2008_02_21_letra
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21/02/2008
Ejercicio 1
La placa rectangular OABC est compuesta por un material de mdulo de elasticidad E y coeficiente de Poison .
La placa est sometida en su contorno a las tensiones normales que se indican en la figura y a unas tensiones tangenciales positivas en los
O A
BC
5 m
3 m
400 kg/cm
400 kg/cm
400 kg/cm
800 kg/cm
x
y
lados AB y CO, que varan segn una ley parablica de segundo grado, siendo nulas en los vrtices y con un mximo de 60 kg/cm2 en la mitad de los lados.
a) Hallar el tensor de tensiones en un punto cualquiera de la placa, referido a los ejes XY con origen en el punto O. b) Hallar el tensor de deformaciones. c) Hallar la mxima distorsin angular en el punto medio de la placa e indicar en qu direccin se da. Utilizar E = 2,0x106 kg/cm2 y = 0,2.
R, 3E, 332R, E,
figura 2
R, 3E, 3
figura 3
Ejercicio 2
L
L
figura 1
La estructura de la figura 1 est formada por dos barras de largo L. La barra superior est a su vez compuesta por dos barras como se indica en la figura 2 y ambas estn unidas solamente en sus extremos. La barra inferior tiene la seccin indicada en la figura 3. Toda la estructura est sometida a su peso propio.
a) Utilizando el Mtodo de las Fuerzas o el Mtodo de los Desplazamientos, hallar y graficar campo desplazamientos, campo deformaciones unitarias, campo de tensiones y campo de fuerzas en todas las barras. b) Utilizando el Mtodo de los Elementos Finitos, hallar y graficar campo desplazamientos, campo deformaciones unitarias, campo de tensiones y campo de fuerzas en todas las barras. c) Comparar ambas soluciones. La solucin obtenida por MEF fue exacta? Por qu? Cmo podra mejorarla?
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Terico 1
a) Enunciar y demostrar el teorema de Reciprocidad de Betti.
b) Se considera el disco de radio R y espesor e
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PPRROOBBLLEEMMAASS DDEE BBAARRRRAASS SSOOMMEETTIIDDAASS AA DDIIRREECCTTAA
Problemas unidimensionales de barras de seccin constante y de un solo material.
Ecuacin de Navier: 0)()(22
=+
Exb
x
xu
Deformacin unitaria: x
xu
=
)(
Ecuacin constitutiva de un material Hookeano: = E
Estiramiento de una barra sometida slo a directa F: AElFl
=
EELLEEMMEENNTTOO FFIINNIITTOO DDEE DDOOSS NNOODDOOSS EENN DDIIRREECCTTAA
Ecuacin de rigidez del elemento finito: FuK =.
Vector de desplazamiento [ ]2211 ,,, vuvuue = Matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales:
=
0000010100000101
e
ee
e lAE
K
Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento (girada con un ngulo antihorario):
=
22
22
22
22
sscssc
sccscc
sscssc
sccscc
lAE
Ke
ee
e Donde: s = sen c = cos
Vector de carga por temperatura:
En coordenadas locales:
=11
TAEF eeT En coordenadas globales:
=
s
c
s
c
TAEF eeT
Vector de carga para densidad de fuerza constante
En coordenadas locales:
=
21
21
ee
T lbAF En coordenadas globales:
=
s
c
s
c
lbAF eeT
2
-
TTEENNSSOORR DDEE TTEENNSSIIOONNEESS CCCoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss cccaaarrrttteeesssiiiaaannnaaasss
Tensor de tensiones:
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
Tm
)(
Divergencia del tensor de tensiones:
( )
( )
( )
+
+
=
+
+
=
+
+
=
zyxT
zyxT
zyxT
zyzxzz
yzyxyy
xzxyxx
.
.
.
DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS
CCCoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss ccciii lll nnndddrrriiicccaaasss
Campo de desplazamientos: ( )zrzzrr uuueueueuu ,, =++=
Tensor de deformaciones:
=
=
zzrz
zr
rzrr
zzzrz
zr
rzrrr
DDDDDDDDD
Dm
21
21
21
21
21
21
)(
Donde: r
uD rrr
=
r
uu
rD r+
=
1
z
uD zzz
=
+
=
r
r
u
rr
u
r
uD 1
21
+
=
r
u
z
uD zrrz 21
+
=
z
uu
rD zZ
121
-
EECCUUAACCIINN CCOONNSSTTIITTUUTTIIVVAA DDEE UUNN MMAATTEERRIIAALL EELLSSTTIICCOO--LLIINNEEAALL,, IISSTTRROOPPOO YY HHOOMMOOGGNNEEOO
( ) ( ) ( ) ( ) IET
+
+
=
2-1E
-D 1
E + Itr(D)
211
( )
( )
( )
+
=
+
=
+
=
21E)]+( +)1[()21()1(
E21
E)]+( +)1[()21()1(E
21E)]+( +)1[()21()1(
E
2133
3122
3211
=
===
)+1(2E Gdonde
GGG
2323
1313
1212
( )[ ] IITtrTE
D ++= )(11
+=
+=
+=
)]+( - [E1
)]+( - [E1
)]+( - [E1
2133
3122
3211
=
=
=
G
G
G
2323
1313
1212
)+1(2E
=Gdonde
NNAAVVIIEERR
Ecuacin de Navier: )( )23( = b u).( )( + u +++
Donde: ( ) ( )
211 +
=E
y ( ) += 12E
Simetra de Revolucin:
=
=
=
)z,r(uu)z,r(uu
0udedependeNada
:scilindricasCoordenada
zz
rr
=
=
)z(uu)r(uu
Sizz
rr ( )u.u =
Para estos casos la ec. de Navier queda: )( )23( = b u).( )2( +++
-
CCCoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss ccciii lll nnndddrrriiicccaaasss
Campo de desplazamientos: ( )zrzzrr uuueueueuu ,, =++=
Divergencia de u: ( )z
uu
rur
rru zr
+
+
=
11.
Laplaciano de u: ( )
+
= zrrr ur
uu
ru
r
uu
ruu ,
2,
22222
Sea ),,( zrff = una funcin escalar: Gradiente de f:
=z
ffrr
ff ,1,
Laplaciano de f: 2
2
2
2
211
z
ffrr
fr
rrf
+
+
=
PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE LLOOSS TTRRAABBAAJJOOSS VVIIRRTTUUAALLEESS
=+ dVD~:TdVu~.bdSu~.t