树

2011 赛前知识点梳理

翻一下口袋（总共 20 题， 30 分）

进制转换 2-3 题

硬件 1-2 题

软件1-2 题

表达式转换码制、存储 1-2 题

逻辑表达式、位运算 1-2 题

树理论 2-3 题图理论 1-2 题排序 1-2 题

网络 1-2 题时政 1 题

考试相关 1 题

链表 1 题

队、栈、数组 1-2 题

线形结构 : 数据元素的逻辑位置之间呈线性关系，即每一个数据元素通常只有一个前驱（除第一个元素外）和一个后继（除最后一个元素外）。不管其存储方式（顺序和链式）如何 .

栈、队列

非线形结构 : 至少存在一个结点（数据元素）有多于一个前驱或后继的数据结构称为非线性结构。

                         树、图

数据结构 :

认识树结构 兔子繁殖图——象一株倒悬着的树

树根

分枝

树叶

空树（不含结点）；非空树（至少一个结点）

树结构没有封闭的回路思考：树中结点和边的关系

2 、结点的分类

结点一般分成三类

⑴根结点：没有父亲的结点。在树中有且仅有一个根结点。

⑵分支结点：除根结点外，有孩子的结点称为分支结点。

⑶叶结点：没有孩子的结点称为树叶。

根结点到每一个分支结点或叶结点的路径是唯一的。

从根 A 到结点 M 的唯一路径为 ADHM。

层级关系

Ë ï-1 Ë ï-2

- 1儿

Ë ï

- 2儿

Ë ï-1 Ë ï-2 Ë ï-3

- 3儿

¸ Ç̧ ×

3 、树的度

    ⑴结点的度：一个结点的子树数目称为该结点的度。

   ⑵树的度：所有结点中最大的度称为该树的度 ( 宽度）。

A

B C D

E F G H I J

K L M

结点 A 的度： 3结点 B 的度： 2结点 M 的度： 0

叶子结点： K ， L ， F ， G ， M ， I ， J

结点 A 的子结点： B ， C ， D结点 B 的子结点： E ， F

结点 I 的父结点： D结点 L 的父结点： E

树的度： 3

根结点： A

子树

4 、树的深度（高度）     树是分层次的。结点所在的层次是从根算起的。根结点在第一层，根的儿子在第二层，其余各层依次类推。图中的树共有 4 层。在树中，父结点在同一层的所有结点构成兄弟关系。     树中最大的层次称为树的深度，亦称高度。图中树的深度为 4 。

1

2

3

4

有序树和无序树若结点的子树有次序排列，且先后次序不能互换，这样的树称为有序树，反之为无序树。

A

F

G

E D

C B

A

G

E D

B C

F

有序树

5 、森林

     所谓森林，是指若干棵互不相交的树的集合。如图去掉根结 点 A ， 其 原 来 的 三 棵 子 树 Tb ， Tc ， Td 的 集 合{Tb ， Tc ， Td} 就为森林，这三棵子树的具体形态如图（ c ）。

二叉树的定义 二叉树是一种重要的树状结构。 二叉树是 n(n0) 个结点的有限集合，具有两个特点： 如果二叉树非空，则有且只有一个根结点； 每个结点最多有两个子结点，分别以这两个子结点作为

根结点组成该结点的左子树和右子树。 二叉树的度最大为 2 。 A

F

G

E D

C B

右子树

左子树

根结点

A

F

G

E D

C B

(a)

A

G

E D

B C

F

(b)

(a)、 (b) 是不同的二叉树， (a) 的左子树有四个结点，

(b) 的左子树有两个结点，

二叉树的 5 种基本形态：

φ 空二叉树 仅有根结点的二叉树

右子树为空的二叉树

左、右子数均为非空的二叉树

左子树为空的二叉树

练习题

由 3 个结点可以构造出多少种不同的二叉树 ?

答案 : 共 5 种

如果是 4 个结点，二叉树应该有多少种形态？

C63

4=

4

6*5*4

1*2*3 4= 5

• 满二叉树

满二叉树是指除了最后一层外，每一层的结点都有两个子结点的二叉树。也就是说，在满二叉树的任何一层上，结点的数目都达到最大值。

A

G F E D

C B A

C B

深度为 3 的满二叉树 深度为 2 的满二叉树

• 完全二叉树

完全二叉树是指除了最后一层外，每一层的结点都有两个子结点，而在最后一层上，右边的若干结点缺失的二叉树。

A

E D

C B

A

F E D

C B

• 完全二叉树是二叉树的特例• 满二叉树又是完全二叉树的特例

1

2 3

11

4 5

8 9 12 13

6 7

10 14 15

1

2 3

11

4 5

8 9 12

6 7

10

1

2 3

4 5

6 7

1

2 3

4 5 6

指出正确的完全二叉树

平衡二叉树 平衡二叉树的左右子树都是平衡二叉树，并且左右子树的深度的差值的绝对值不超过 1. 平衡二叉树上的任何节点的左子树和右子树的深度的差值只能是－ 1 、 0 或 1 根据平衡二叉树的性质，不难得到，对于 N>2 的平衡二叉树，其前 N-2层必然是完全二叉树

有 12 个节点的平衡二叉树的最大深度是 A.4 B.5 C.6 D.3

二叉树的性质 1

性质 1

二叉树第 i(i>=1) 层的结点总数不超过 2i-1 ；性质 2

深度为 k 的二叉树的结点总数不超过 2k-1(k>=1) 。 第 1 层 1 个结点， 20

第 2 层 2 个结点， 21

第 3 层 4 个结点， 22

第 i 层 2i-1 个结点；对于深度为 k 的二叉树所具有的结点总数为：

20+ 21+ 22+……+ 2k-1= 2k-1

二进制 11111111=100000000-1

1 1 1 1 1 1 1 1

二叉树的性质

性质 2

在任意二叉树中，如果其叶结点的个数为 N0 ，其度数为 2 的结点总数为 N2 ，则有：

N0=N2+1

N0 =4 ， N2=3 N0 =6 ， N2=5

设树的结点总数为 n ，度为 0 、 1 、 2 的结点个数为n0 、 n1 、 n2 ，树的边个数为 b

n=n0+n1+n2

b=n-1

b= 2n2+n1

所以有 n-1= 2n2+n1

n=2n2+n1+1

n0+n1+n2=2n2+n1+1

n0=n2+1

证明

4 、设有一棵 k 叉树，其中只有度为 0 和 k 两种结点，设 n 0 ， n k ，分

别表示度为 0 和度为 k 的结点个数，试求出 n 0 和 n k 之间的关系（ n

0 = 数学表达式，数学表达式仅含 n k 、 k 和数字）。

答： n0 和 nk 之间的关系为： n0=(k-1) nk+1 。

k=2n0=n2+1

k=3n0=2n3+1

k=4n0=3n4+1

结点的位置与结点编号的关系：如果 i=1 ，则 i 为根，无父结点；如果 i<>1 ，则父结点为 [i/2] 。如果 2*i<=N ，则 i 的左儿子的编号为 2*i 。如果 2*i+1<=N ，则 i 的右儿子的编号为 2*i+1 。

[i/2]

i

2*i 2*i+1

i+1

2*(i+1) 2*(i+1)+1

堆排序的原理

将一棵有 100 个结点的完全二叉树从根结点这一层开始，每一层从左到右依次对结点进行编号，根结点的编号为 1 ，则编号为 49 的结点的左孩子的编号为 [ ] A 98 B 99 C 97 D 50

例题1 、高度为 n 的均衡的二叉树是指：如果去掉叶结点及相应的树枝，它

应该是高度为 n-1 的满二叉树。 在这里，树高等于叶结点的最大深度，根结点的深度为 0 ，如果某个均衡的二叉树共有 2381 个结点，则该树的树高为（ ）。 A.10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 210 – 1

2 、设某种二叉树有如下特点 : 结点的子树数目不是 2 个，则是 0 个。这样的一棵二叉树中有 m(m>0) 个子树为 0 的结点时，该二叉树上的结点总数为 ____ 。 　 A ． 2m+l 　　 B ． 2m-1 　　 C ． 2(m-1) 　 D ． 2(m+1)

B

B

2^10=1024

2^11=2048

10tg 10tg 满二叉树的叶结点个数为满二叉树的叶结点个数为 NN ，则它的结点总数为（ ，则它的结点总数为（ C C ）。）。 A. N B. 2 * N C. 2 * N – 1 D. 2 * N + 1 E. 2N – 1A. N B. 2 * N C. 2 * N – 1 D. 2 * N + 1 E. 2N – 1

115tg 5tg 一个包含 n 个分支结点（非叶结点）的非空满 k 叉树， k>=1 ，它的叶结点数目为：A ） nk+1 B ） nk-1 C ） (k+1)n-1 D ） (k-1)n+1

【分析】选择 D

考多叉树的性质， N0=(K-1)N+1 ，考试的时带入 K=2 时候，验证二叉树能得到结果。

1 、 (NOIP9) 一个高度为 h 的二叉树最小元素数目（ ）。 A. 2h+1   B. h    C. 2h-1    D. 2h  

2 、 (NOIP8) 按照二叉数的定义，具有 3 个结点的二叉树有（ ）种。

A.3 B.4 C.5 D.6

3 、 (NOIP7). 一棵二叉树的高度为 h ，所有结点的度为 0 ，或为 2 ，则此树最少有 ( ) 个结点 A.2h-1 B.2h-1 C.2h+1 D.h+1

4 、将一棵有 100 个结点的完全二叉树从根结点这一层开始，每一层从左到右依次对结点进行编号，根结点的编号为 1 ，则编号为 49 的结点的左孩子的编号为 ( ) A. 98 B. 99 C. 97 D. 50

5 、有 n 个结点并且其高度为 n 的二叉树的数目是 ( ) A.n B. 2n C. 2n-1 D. 2(n-1)

历届试题历届试题(10tg) (10tg) 满二叉树的叶结点个数为满二叉树的叶结点个数为 NN ，则它的结点总数为（ ）。，则它的结点总数为（ ）。

A. N B. 2 * N C. 2 * N – 1 D. 2 * N + 1 E. 2N – 1A. N B. 2 * N C. 2 * N – 1 D. 2 * N + 1 E. 2N – 1

(10tg) (10tg) 叉树叉树 TT ，已知其前序遍历序列为，已知其前序遍历序列为 1 2 4 3 5 7 61 2 4 3 5 7 6 ，中序遍历序列为，中序遍历序列为 4 2 1 5 7 4 2 1 5 7

3 63 6 ，则其后序遍历序列为（ ）。，则其后序遍历序列为（ ）。 A. 4 2 5 7 6 3 1 B. 4 2 7 5 6 3 1 C. 4 2 7 5 3 6 1 A. 4 2 5 7 6 3 1 B. 4 2 7 5 6 3 1 C. 4 2 7 5 3 6 1

D. 4 7 2 3 5 6 1 E. 4 5 2 6 3 7 1 D. 4 7 2 3 5 6 1 E. 4 5 2 6 3 7 1

(8tg) (8tg) 按照二叉数的定义，具有按照二叉数的定义，具有 33 个结点的二叉树有（ ）种。个结点的二叉树有（ ）种。 AA ）） 3 B3 B ）） 4 C4 C ）） 5 D5 D ）） 66

(7tg) (7tg) 一棵二叉树的高度为一棵二叉树的高度为 hh ，所有结点的度为，所有结点的度为 00 ，或为，或为 22 ，则此树最少有，则此树最少有 ( )( ) 个个结点结点

　 　 A)2h-1 A)2h-1 　　 B)2h-1 B)2h-1 　　 C)2h+1 C)2h+1 　　 D)h+1D)h+1

C

B

C

B