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2012.06.19

Pulse+ Daishin Hedge Fund Strategy Investment Strategy Department Strategist 이제훈 02) 769-2985 alee2007@daishin.com, Strategist 이승호 02) 769-2076 sungho@daishin.com 복잡계 모델: 유가 6월 바닥, 8월까지 반등지속

5 월 국제 유가는 유종별 20% MoM 가량 하락하여 2008 년 리만사태 이후 월간 최대 하락폭을 기록하였다. 종종 시장은 이러한 가격의 급격한 변화를 블랙스완적 리스크라고 부른다. 어쩌면 우리는 이제 이러한

리스크를 예측 불가한 시장의 속성으로 치부하여 어쩔 수 없는 대응의 요소로 받아들이고 있는 듯하다.

블랙스완적 리스크가 존재하는 것은 분명한 사실이다. 그러나 우리는 그 범주는 현저히 축소될 수 있다고

판단하고 복잡계 개념에 기반하여 대표적 자산군(주식, 원자재, 국채, 통화)의 1~2 개월 미래를 예측하는 Pulse

System 을 개발, 월간 보고서인 Pulse+를 시작한다.

Pulse System 은 유가를 비롯한 자산 가격의 1~2 개월 후 미래를 예측하도록 설계되었다. June/12 Pulse+에

따르면 유가는 6 월 중 바닥을 확인, 7~8 월 연속 상승할 것으로 예측된다. 지난 2 년간 유가가 급락했던

시기는 2011 년 8~9 월, 2012 년 5 월로 총 두 번 있었다. 이러한 시기는 통념에 의하면 블랙스완적

사건이지만, Pulse System 에 따르면 예측 가능한 사건이었고 절대수익을 추구하는 투자자에게는 오히려

절호의 기회로 여겨진다. 2000 년 이후 유가가 2 개월 연속 상승했을 때 시장 수익률을 초과하는 섹터로는

에너지, 화학 등 소재 섹터를 들 수 있고, 7~8 월 유가가 상승할 것으로 예상됨에 따라 투자자는 위 섹터에

대해 긍정적으로 접근할 것을 권고한다.

Pulse+는 원자재, 주식, 국채, 통화로 매월 확장될 것이고, 주식의

경우 MSCI World Index 에 포함된 전 섹터와 종목이 포함될

예정이다. 결국 Pulse System 은 월간 최적의 Long Portfolio

와 Short Portfolio 를 산출하여 매월 편입된 자산의 수익률을

기록할 것이다.

무수히 많은 주체의 변덕스러운 탐욕과 공포가

만들어내는 금융자산 가격의 단기 향방을 예측한다는 것은

무모해 보일 수 있는 도전이다. 그러나 이것이 애널리스트로서

가지고 있던 갈증이고, 전 세계 어떤 금융 자산도 독립적으로

해석되기 어려운 시점에서 복잡계적 개념이 해갈의 역할을

할 수 있다면 도전할 만한 가치가 있지 않겠는가?

Pulse+ 2012.06.19

2

Pulse System: 자산 가격의 단기 예측 시스템

20% MoM 이상 하락한

유가는 블랙스완적 사건인가?

5월 국제 유가는 유럽 재정 위기의 지속과 미국 경기 회복의 둔화로 유종별 약 20%

MoM 하락하여, 2008년 이후 월간 최대 하락폭을 기록하였다. 우리는 종종 이러한 가격

의 급격한 변화를 블랙스완, 혹은 팻테일(Fat Tail) 리스크라고 부른다. 어쩌면 이제 시

장은 이러한 리스크를 예측 불가한 금융 시장의 속성 중 하나로 치부하여, 어쩔 수 없는

대응의 요소로 받아들이고 있는 듯하다. 시장에 블랙스완적 리스크가 존재하는 것은 분

명하다. 그러나 그 범주를 축소시키고 단기 예측력을 현저히 강화시키는 플랫폼을 가질

수 있다면 기존 다양한 헤지펀드형 매매 전략들의 효과는 배가될 수 있을 것이다.

Pulse System:

자산의 단기 예측 시스템

Pulse System은 특정 자산 가격의 1~2개월간 향방을 예측한다. 현 시점의 Pulse

System은 복잡계 네트워크(Complex Network)의 개념에 열역학적 상전이 (Phase

Transition) 과정에서 임계점을 산출하는 이징모형(Ising Model), 중력과 거리의 반비례

적 관계를 설명하는 중력모형(Gravity Model)이 결합되어 설계되었다.

Pulse System은 주식, 원자

재, 국채, 통화로 확장될 것

향후 Pulse System에는 주식, 원자재, 국채, 통화의 네 가지 자산군이 포함될 것이고,

주식의 범위는 MSCI World Index에 포함된 시장, 섹터, 종목이 될 것으로 예상된다. 월

간 Pulse+ 보고서에는 매월 한 개 이상의 자산이 추가될 예정이며 이와 함께 기존 예측

력이 검토될 것이다. Pulse System의 개념은 본 보고서 후반에 설명하도록 한다.

June/12 Pulse: 원유가격은 6월 바닥, 7~8월간 반등.

June/12 Pulse:

유가는 6월이 바닥, 7~8월

연속 상승할 것

그림 1에서 보듯 유가는 2개월의 시차를 가지고 Pulse를 따라가고 있다. 지난 2년간 유

가가 급락했던 시기는 2011년 8~9월, 2012년 5월로 총 두 번 있었다. 그러나 Pulse가

유가를 2개월 선행하도록 설계되었다는 것을 감안한다면 이러한 시기는 충분히 감지될

수 있었다는 것을 알 수 있다. 위 두 시기는 통념에 의하면 블랙스완적 사건이지만

Pulse System에 의하면 절대수익을 추구하는 투자자에게는 오히려 절호의 기회로 보여

진다. June/12 Pulse는 유가 약세는 일시적일 것이고, 6월 중 바닥을 확인한 후 7~8월

연속 상승할 것으로 예측하고 있다.

그림 1. June/12 Pulse: 유가는 7~8월간 반등할 것

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

10.11 11.2 11.5 11.8 11.11 12.2 12.5 12.8

(Pulse)

70

80

90

100

110

120

(달러/배럴)Pulse (좌)

WTI (우)

주: 12년 6월 유가는 둘째 주 기준

자료: Pulse System, Bloomberg, 대신증권 리서치센터

Pulse+ 2012.06.19

3

Pulse의 역사적 검토 Pulse와 유가 관계의 시계열을 확장하면 아래와 같은 그림을 얻는다. 우리가 과거 어떤

시점을 선택하더라도 유가 차트 앞에서는 두 개의 막대 그래프가 그 길을 안내하고 있었

을 것임을 기억하자. 추가 설명이 필요없을 만큼 과거 수 년간 Pulse System의 단기 예

측력은 매우 뛰어나다.

그림 2. Pulse System의 역사적 검증 (09~10년)

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

09.1 09.4 09.7 09.10 10.1 10.4 10.7 10.10

(Pulse)

40

50

60

70

80

90

(달러/배럴)Pulse (좌)

WTI (우)

자료: Pulse System, Bloomberg, 대신증권 리서치센터

2008년 금융위기 당시 Pulse

의 움직임

2008년은 세계가 금융위기로 몸살을 앓은 한 해이다. 그 과정에서 130 달러/배럴을 웃

돌던 유가는 불과 4개월 만에 50달러 수준까지 곤두박질친다. 모든 금융과 실물자산이

폭락한 기간이다. 여기서 우리는 매우 흥미로운 두 가지 결과를 얻는다.

첫째, 2007년 8월 “0”에 근접하던 Pulse는 두 달간 -1 수준으로 하락한 직후 유가는 수직 낙하하였다. 이후 Pulse는 -1 수준에서 하락을 멈추고 우측으로 점진적으로 증가하

였으며 유가는 재차 회복하기 시작하였다. Pulse가 비단 시장에 단기 시야를 제공할 뿐

만 아니라 장기적으로도 경기 침체의 마무리를 알리고 있던 모습을 볼 수 있다. 둘째,

2008년 금융위기의 전후 Pulse와 유가의 관계에서 보이는 일관성이다. 우연히도 2008

년 전후의 데이터가 각각 동일하게 4년치인데 우상향을 그리는 각도가 상당히 닮아있다.

그림 3. 월별 Pulse와 유가의 산포도(04~현재)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

(Pulse)

(달러/배럴) 금융위기

08년 이전 08년 이후

자료: Pulse System, Bloomberg, 대신증권 리서치센터

Pulse+ 2012.06.19

4

그림 4. 유가와 Pulse (08년 이전) 그림 5. 유가와 Pulse (08년 이후)

y = 24.715x + 156.88

R2 = 0.5829

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0

(달러/배럴)

(Pulse)

y = 22.095x + 47.852

R2 = 0.6964

0

20

40

60

80

100

120

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

(달러/배럴)

(Pulse)

자료: Pulse System, Bloomberg, 대신증권 리서치센터 자료: Pulse System, Bloomberg, 대신증권 리서치센터

7~8월 소재 업종에 대한

긍정적 접근이 필요

Pulse System이 예측하는 것 처럼 7~8월간 유가가 연속 상승한다는 가정하에, 각 섹터

별 시장 초과 수익의 가능성을 역사적으로 검토하면 아래와 같다. 하지만 기 서술한 바

와 같이 Pulse System은 여타 다른 자산군으로 확장되고, 주식 유니버스의 경우 MSCI

World Index에 포함된 전 섹터와 종목이 포함될 예정이다. 따라서 조만간 Pulse

System은 각 섹터와 종목에 초점을 둔 단기 전망을 포함하게 될 것이고, 결국 월간 최

적의 Long Portforlio와 Short Portfolio를 산출하여 매월 편입된 자산의 수익률을 기록

할 것이다.

그림 6. 2개월 연속 유가 상승시 섹터별 시장 초과 상승 확률 (2000년 이후)

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

건설

에너

지

화학

조선

비철

금속

기계

철강

증권

IT제

품

자동

차

유통

은행

운송

디스

플레

이

보험

소프

트웨

어

반도

체

헬스

케어

하드

웨어

필수

소비

내구

소비

유틸

리티

통신

자료: Bloomberg, 대신증권 리서치센터

표 1. Pulse System Track Record

항목 Long Portfolio 편입일자 Short Portfolio 편입일자

원자재 원유(WTI) 2012년 06월 18일 N/A N/A

ETF 원유선물ETF 2012년 06월 18일 N/A N/A

자료: 대신증권 리서치센터

Pulse+ 2012.06.19

5

Pulse의 방법론과 미래를 보는 이유

Pulse는 임계점을 측정하는

도구

규모에 상관없이 모든 금융시장은 항상 상전이의 임계점 근처에 위치하고 있다. 본 보고

서 후반에 서술되어 있듯이 임계점 근처에 위치하고 있는 모든 물질은 최소 에너지의 가

감만으로도 쉽게 끓어 오르거나 얼어 붙어 그 본래의 상태가 순식간 바뀌는 성향이 있

다. Pulse는 결국 특정 자산의 임계점과 현재의 위치를 매월 설정하는 시스템이다.

단계 1: 자산별 복잡계

네트워크 위상도 설계

첫 단계로 우리는 자산별 고유의 복잡계 네트워크 위상도를 설계하는 것이 필요하고 이

위상은 각 자산에 대한 해부도 역할을 할 것이다. 각 위상도는 표 2에 정리된 데이터를

기반으로 한다. 이렇게 구성된 특정 자산의 해부도는 전 세계 지역을 노드(Node)로 지역

간의 관계를 링크(Link)로 가지고 있는 네트워크 형태가 된다. 그림 7과 8은 표 2의 데

이터를 기본으로 프로그램으로 설계한 원유 관련 두 종류의 위상도이고, 여러 데이터를

합성하였음에도 지역별 군집이 확인된다.

표 2. 데이터의 종류

구 분 노드 링크

경 제 경제규모(GDP), 자산의 거래량 자금이동

산 업 지역별 제품 수요와 가격 교역량

사 회 내부 유동 인구 노드간 인구이동

자료: 대신증권 리서치센터

그림 7. 유가관련 복잡계 네트워크 (Circle Type)

주: 붉은색은 아메리카 대륙, 파랑색은 유럽, 주황색은 아시아, 검은색은 아프리카로 표시(PDF)

자료: Pulse System, 대신증권 리서치센터

Pulse+ 2012.06.19

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그림 8. 유가관련 복잡계 네트워크 (Haren Koren Multiscale)

주: 붉은색은 아메리카 대륙, 파랑색은 유럽, 주황색은 아시아, 검은색은 아프리카로 표시(PDF)

자료: Pulse System, 대신증권 리서치센터

단계 2: 자산별 전체 네트워

크의 자성 측정

우리가 설계한 위상도는 전 세계가 하나로 연결된 시스템을 상기시킨다. 이는 마치 특정

물질이 전자의 공유로 연결되어 통일성 있는 고유의 성질을 지니는 것과 유사하다. 그리

고 그 물질에 에너지를 가하거나 제거하면 분자의 움직임은 활발해지거나 느려지고, 임

계점 근처에서는 물질 전체의 상전이 현상이 나타난다. 이와 유사하게 우리의 복잡계 모

델은 국가간 존재하는 링크의 강도를 마치 전자의 움직임처럼 수치화하여, 전 시스템이

지닌 ‘자성’을 판단하는 것이다.

Pulse는 어떻게 미래를 보는

창의 역할을 하는 가?

복잡계 모델링이 미래를 예측할 수 있는 주요 이유는 다음과 같다. 첫째, 1977년 노벨

수상자인 필립 앤더슨(Phillip Anderson)의 말처럼 ‘많으면 달라진다(More is different)’. 전체 네트워크에는 수 많은 링크(민감도에 따라 200~20,000개)가 있고 간혹 개별 정보는 상충될 때도 있다. 그러나 소셜 네트워크의 특정 임계점 이상에서 군집

행동이 발생하는 것과 유사하게 전체가 주는 정보는 부분의 상충을 압도한다. 둘째, 네

트워크의 특성상 한 노드의 정보는 다음 노드로 연쇄적으로 이동한다. 우리의 복잡계 네

트워크 모델은 현 시점에서 보이는 정보가 어떤 형태의 연쇄 반응을 초래할 지 예측한

다. 그리고 실제 매매를 위한 실효성은 1~2개월 사이에서 최대가 될 것으로 판단한다.

Pulse+ 2012.06.19

7

다음 장에서는 복잡계의 개념, 복잡계 네트워크가 지니고 있는 열역학의 상전이적 특성,

기타 세부 방법론을 보다 상세히 살펴 보도록 한다.

Appendix 1: 복잡계 네트워크의 개념

부분에서 전체로 20세기 과학은 여러 물리적, 화학적, 생물학적 현상을 원자와 세포처럼 보다 단순한 구

성체로 쪼개면 전체에 대한 단순한 법칙을 규명할 수 있다는 사상적 토대에서 출발하였

다. 전체에 대한 질문의 답은 최소 단위에서도 발견될 수 있다는 선형적이고 기계론적

가정이다. 이에 현 시대의 과학은 원자의 지름을 측정할 수도, 유전자를 조작할 수도 있

게 되었다. 그럼에도 생명체의 총체적 의식 활동과 같은 전체를 해석할 수 있는 방법은

여전히 미지수로 남아있고, 이것이 과학계의 관심을 부분이 아닌 부분의 상호작용에 따

른 전체의 현상으로 이동시켰으며, 보다 비선형적이고 유기적인 ‘복잡계(Complex System, Complexity)’라는 개념이 창출되었다.

복잡계: 부분의 합과 전체의

비선형성

어감이 주는 다소의 난해함에도 불구하고 복잡계는 우리 주변에서 종종 목격되는 ‘계(界, System)’이다. 대표적으로 생명체의 신경망, 태양계의 자전과 공전, 생태계, 지구대기의 순환 등이 이에 해당된다. 이러한 복잡계의 공통적 특징은 부분에 대한 집중으로

는 전체의 ‘창발(Emergence)’을 이해할 수 없다는 데에 있고, 전체의 창발은 각 부분의상호작용에서 기인하며, 상호작용의 미세한 초기 값의 변화가 전체에는 예상치 못한 결

과를 초래할 수 있다는 데에 있다. 그래서 보편적으로 복잡계는 ‘부분의 합보다 전체가비선형적으로 더 큰 계’라고 할 수 있다.

그림 9. 복잡성을 가진 계(界)

자료: 대신증권 리서치센터

Pulse+ 2012.06.19

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Complex와 Complicated의

차이

국문으로 ‘복잡하다’라는 의미는 혼란스러워 무질서한 상태로 이해되는 경우가 많다. 그러나 이는 영어로 Complex가 아닌 Complicated라는 단어에 가깝다. 복잡계에 사용되는

Complex는 라틴어인 Complexus에서 유래되었는데, Complexus는 그리스어로 ‘역는다’라는 뜻인 Pleko와 ‘함께’라는 뜻의 접두사인 ‘Com-‘의 합성어이다.

복잡계: 완벽한 질서와 완벽

한 무질서의 사이

다시 말하면 복잡계에서 의미하는 ‘복잡하다’라는 의미는 혼란스러워 보이지만 함께 엮여있어 질서가 있는 복잡함을 뜻한다. 이는 마치 옷감의 씨줄과 날줄처럼 다양하게 얽혀

있어 겉보기에 쉽사리 그 구조가 눈에 들어오지 않지만 나름대로 질서를 가지고 있다는

이야기이다. 반면 Complicated란 의미의 ‘복잡함’은 실타래 형태의 줄이 무작위로 방치된 상태를 의미한다고 할 수 있다.

세계의 네트워크화 지난 반세기 동안 급속한 세계화 과정을 통해 오늘날 세계는 여러 분야에서 과거 어느

때 보다 하나의 네트워크 시스템으로 연결되고 있기에 우리는 최근에도 지구 반대편 국

가의 선거 결과에 촉각을 곤두세우고 있었다. 특정 사건은 실시간적으로 동시다발적으로

승수효과를 일으키며 전세계 구석구석으로 파급되기 때문이다.

각 네트워크는 고유의 링크

(Link)를 보유

특정 사건이 파급되는 과정은 해당 네트워크가 지닌 고유의 통로 혹은 링크(Link)를 필

요로 한다. 앞서 예로 든 복잡계 중에서 신경계는 뉴런과 시냅스를, 태양계는 중력을,

생태계는 먹이사슬을, 그리고 지구 대기는 공기와 해수와 같은 유체의 흐름을 이러한 링

크로 이용한다. 이러한 통로의 특성을 지닌 복잡계를 복잡계 네트워크(Complex

Network)라고도 한다. 복잡계 네트워크는 우리가 흔히 알고 있는 무작위계 네트워크

(Random Network)나 바둑판 모양의 결맞은계 혹은 격자형 네트워크(Coherent

Network)와는 매우 다른 특성을 지니고 있다.

그림 10. 네트워크의 종류와 복잡성

자료: SERI, 대신증권 리서치센터

Pulse+ 2012.06.19

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Appendix 2: 멱함수와 상전이

허브 노드의 존재와 멱함수 복잡계 네트워크가 무작위계 또는 결맞은계 네트워크와는 다른 중요한 요소는 허브역할

을 하는 노드(Node)의 존재이다. 즉 복잡계 네트워크에는 적은 수의 링크(Link)를 보유

하고 있는 월등히 많은 수의 노드가 있고, 반대로 극히 적은 수의 노드가 월등히 많은

링크를 보유하고 있다. 후자를 허브 노드(Hub Node)라고도 한다. 우리가 설계한 유가관

련 복잡계 네트워크(그림 7, 8)에서도 허브 노드의 존재가 확인된다.

복잡계 네트워크의 허브 노드의 존재로 인해 모든 복잡계 네트워크는 아래와 같은 수식

을 만족해야 한다. 여기서 K는 특정 노드가 보유하고 있는 링크의 수이고, P(K)는 K가

발생할 확률이다.

P(K) ~ K –γ (2 ~ γ ~ 3)

앞 장의 그림 7와 8의 네트워크의 P(K) 함수를 그리면 아래와 같은 전형적인 멱함수

(Power Law Function) 현상을 볼 수 있다. 시장에 간혹 팻테일(Fat Tail) 공식이라고도

불리는 이러한 멱함수의 발견은 네트워크 과학을 발전시킨 시초가 되기도 하였다.

그림 11. 유가 복잡계 네트워크의 멱함수 (2011년) 그림 12. Log-Log Plot (2011년)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 (K)

P(K)

y = 2199.8x-1.4461

R2 = 0.7841

1

10

100

10 100 (K)

P(K)

자료: Pulse System, 대신증권 리서치센터 자료: Pulse System, 대신증권 리서치센터

멱함수와 지수함수의 차이 멱함수(Power Law Function)는 지수함수(Exponential Function)와 질적으로 다르다.

전형적인 멱함수와 지수함수를 비교하면 멱함수의 P(K)는 지수함수에 비해 훨신 급격하

게 하락한다. 즉 멱함수에서는 적은 K를 지닌 노드를 발견 확률인 P(K)는 K가 증가함에

따라 더욱 급격하게 하락한다는 것이다.

멱함수의 중요성 복잡계 네트워크 모델링을 이해하기 위해서는 바로 이 멱함수 법칙 속에 있는 열역학과

상전이(Phase Transition)관련 미스테리를 살펴볼 필요가 있다. 왜냐하면 우리의 복잡계

모델은 결국 그림 7과 8에 있는 전체 네트워크가 특정 시점에서 발현하고 있는 성질을

수치화하는 데에 기초하기 때문이다.

Pulse+ 2012.06.19

10

그림 13. 지수함수와 멱함수

자료: 대신증권 리서치센터

열역학 1법칙:

에너지 보존법칙

열역학 법칙에는 엔탈피(Enthalpy)와 엔트로피(Entropy)라는 두 가지 중요한 개념이 있

다. 이 중 제1법칙에 관여하는 엔탈피는 물질이 지니고 있는 에너지 총량의 변화를 의미

하여 간혹 에너지 자체와 혼용되기도 한다. 계(界)의 상태가 변하면 내부로 혹은 외부로

열(Q)과 일(W)이 이동하고 이 둘의 합을 에너지 변화량, 즉 엔탈피(ΔE)라 한다. 이것

이 에너지 보존 법칙이라고 불리기도 하는 열역학 제1법칙이다. 즉 계(界)의 상태가 변

하면 계(界)와 계(界)의 외부 사이에서 에너지의 형태를 열(Q) 혹은 일(W)로 변할 수 있

지만 총 에너지 양은 보존된다는 것이다.

ΔE = Q + W

일의 종류에는 여러 가지가 있으며 외부 압력(P)에 대해 계의 부피(V)가 변하는 경우도

일이 관여하는 것으로 볼 수 있다. 이때 계에 해준 일(W)은 -ΔPV로 표현될 수 있다.

따라서 부피가 일정하게 유지되면서 계의 상태가 변하면 에너지 변화량 ΔE는 흡수한

열량(Q)과 같다. 압력이 일정한 상태, 즉 대기압 아래에서 일어나는 물의 증발, 얼음의

융해, 연료의 연소 반응이 이에 속한다. 다시 말하면 엔탈피는 발열반응에서 감소하고

흡열반응에서 증가한다는 의미이다.

ΔE = Q + W = Q - ΔPV

열역학 2법칙: 계(界)의 엔트

로피는 증가한다

열역학 제2법칙에 의하면 모든 자연의 양(量)은 질서에서 무질서로의 변화를 추구하고

엔트로피(Entropy, ΔS)는 무질서가 증가하는 정도를 나타낸다. 따라서 자연 전체의 엔트로피는 꾸준히 증가하게 되는데, 제레미 레프킨(Jeremy Rifkin)은 열역한 제2법칙이

야 말로 인류가 발견한 유일한 자연의 진실이라고도 하였다. 예를 들면, 온도차가 있는

어떤 2개의 물체를 접촉시켰을 때 열은 고온부에서 저온부로 흐르는 것도 엔트로피가

증가하는 과정이다. 물리학자 볼츠만(Luwin Boltzmann)은 엔트로피를 확률적인 방법으

로 아래와 같이 정의하였는데, k는 볼츠만 상수이고 Ω는 계의 최대 무질서 정도를 나타낸다.

ΔS = k*lnΩ

Pulse+ 2012.06.19

11

깁스(Gibbs)의 자유에너지:

유효한 일을 위해 필요한

에너지

물리학자 깁스(Josiah Willard Gibbs)는 열역한 제1법칙의 엔탈피와 제2법칙의 엔트로피

를 결합하여 깁스의 자유 에너지(Gibbs’ Free Energy, ΔG)라는 개념을 제안하였는데자유 에너지란 계(界)가 특정 반응을 진행할 때에 유효한 일을 하는 에너지이다. 깁스의

자유 에너지 공식은 아래와 같이 엔탈피에서 엔트로피를 차감한 것이다.

ΔG = ΔE – TΔS

ΔG = (Q + W) – (k*lnΩ)

ΔG = (Q - ΔPV) – (k*lnΩ)

깁스의 자유 에너지 공식을 살펴보면 엔탈피(ΔE)의 증가가 없다면, 혹은 인위적으로 투입되는 일(W)이나 열(Q)이 없다면 자유 에너지(ΔG)는 제2법칙이 말하는 것과 같이 항상 감소한다. 종말론자라고도 불리는 제레미 레프킨은 전 우주적 차원의 계(界)에서는

추가 투입되는 열이나 일이 있을 수 없으므로 결국 우주의 엔트로피는 지속 감소하여

종말에 이르게 된다고 주장한다.

엔트로피가 증가하는 자연의

성질은 대부분 정규 분포를 따

라

우리가 멱함수의 성질을 이해하기 위해서는 바로 이 ‘추가 투입되는 열이나 일이 없다면자유 에너지는 지속 감소하려는 자연의 성질’을 볼 필요가 있다. 왜냐하면 자연이 무질서로 진행하는 과정에서는 대부분의 통계 분포에는 우리가 발견한 복잡계 네트워크의

멱함수가 발견되지 않고, 종 모양의 정규 분포를 따르기 때문이다. 사람들의 신장 분포,

IQ 결과 분포, 분자 속도의 분포 등의 경우 통계 분포는 평균치를 중심으로 양 극간으

로 갈수록 데이터의 수는 급격히 감소한다.

상전이: 자연 속에서 멱함수

가 등장하는 시기

그럼에도 자연속에서 멱함수의 법칙이 등장할 때가 간혹 있는데, 그 중 가장 중요한 현

상이 상전이(Phase Transition)이다. 깁스의 자유에너지 공식에 따라 어떤 계((界)에 열

(Q)이나 일(W)이 가해지면 유효한 일을 하는 자유 에너지는 상승하는데, 상전이란 에너

지의 특정 임계점(Ec)에서 물체의 상태가 변하는 것을 말한다. 액체가 고체나 혹은 기체

로 변하는 것은 대표적인 상전이 현상이다.

그림 14. 상전이와 임계점

자료: 대신증권 리서치센터

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상전이는 질서와 혼돈이 공존

하는 순간

대표적인 액체인 물 분자의 화학적 표기인 H2O는 우리에게 매우 익숙하다. 1 기압내에

서 섭씨 0도와 100도 사이에서 물 분자의 결합을 이루는 수소(H)와 산소(O)는 자유롭게

새로운 짝을 찾는다. 물이 아무리 차가워지더라도 그 자유분방함은 변하지 않는다. 무질

서 혹은 혼돈의 상태이다. 그러나 온도가 섭씨 0를 통과하는 순간 특별한 현상이 생기

는데, 이 순간에 갑자기 물 분자들은 어떠한 신비한 힘에 이끌리듯 질서정연하게 배열

(자기 조직화, Self-Organizing)되면서 상태는 혼돈에서 질서의 경계로 돌연 전이된다.

임계점 근처는 질서와 혼돈이 공존하고 있는 공간인 것이다. 이를 복잡계에서는 혼돈의

가장자리(Edge of Chaos)라고 하기도 한다.

질서와 혼돈 사이에 존재하는

멱함수의 법칙

중요한 것은 물의 상전이 뿐만 아리라 모든 물질의 상이 변하는 순간에서는 매우 유사한

현상들이 목격된다는 것이다. 초전도체가 자성을 띠는 과정도 역시 마찬가지이다. 그리

고 이 상전이의 임계점에서는 ‘엔트로피’가 지속 감소하는 과정에서 보이는 정규분포가아닌 멱함수가 나타난다. 이것이 우리가 앞서 설계한 복잡계 네트워크에서 보인 멱함수

가 중요한 의미를 가지는 이유이다. 오랜 기간 동안 모든 물질이 질서와 혼돈의 경계에

서 보이는 멱함수는 과학계, 특히 물리학계의 관심거리였다.

상전이의 임계점 근처에서

필요한 시스템적 사고

1960년대 물리학자인 레오 카다노프(Leo Kadanoff)는 물질의 상전이와 임계점을 연구

하던 중 임계점 근방에서는 원자들을 더 이상 개별적으로 볼 것이 아니고 전체가 일제

히 움직이는 하나의 커뮤니티로 봐야한다고 주장하였다. 이후 케네스 윌슨(Kenneth

Wilson)은 카다노프의 스케일링 이론을 받아들여 재규격(Renormalization) 이론을 창

출, 다양한 상전이에서 멱함수가 발생하는 이유와 그 임계점을 예측할 수 있게 되었다.

윌슨은 그의 재규격 이론으로 1982년 노벨 물리학상을 수상하였다.

사고의 통섭 우리는 이제까지 열역학, 상전이, 멱함수, 임계점 등의 개념을 살펴 보았다. 이제 우리

의 생각을 통합 정리할 때이다. 일이 가해지지 않으면, 계(界)의 엔트로피는 증가, 즉 깁

스의 자유 에너지는 감소한다. 그리고 이 때에 발견되는 것은 멱함수가 아닌 정규 분포

이다. 반대로 일이 투입되어 깁스의 자유 에너지가 증가한다. 그 과정 속에서 에너지가

임계점에 근접하면 계(界)는 상전이를 경험하고, 이 순간 정규 분포는 갑자기 멱함수로

바뀐다. 마지막으로 상전이 근방의 계(界)는 온도를 0.1도만 올리거나 내릴 수 있는 에

너지만으로도 순식간에 그 성질이 뒤바뀐다.

금융시장은 항상 임계점 근처

에서 상전이를 되풀이 한다.

위의 설명은 우리가 이 순간에도 겪고 있는 금융시장에 대한 설명이라고 해도 이상하지

않을 만큼 금융시장의 속성을 이야기하고 있다. 금융시장이야 말로 대표적인 물리학적

용어로는 ‘상전이의 임계점’ 혹은 복잡계적 용어로는 ‘혼돈의 가장자리’에 위치한 계(界)이고, 혼돈과 질서 사이를 넘나든다. 약간의 자유 에너지 증가 혹은 감소로도 시장은 뜨

겁게 달아 오르거나 순식간에 얼어 붙기도 한다. 이러한 금융 시장 중 우리가 설계한 유

가관련 복잡계 네트워크에서 멱함수의 특성이 목격된 것은 어쩌면 당연한 현상일지도

모르겠다.

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Appendix 3: 이징모형과 중력모형의 적용

금융시장은 항상 임계점 근처

에서 상전이를 되풀이

따라서 우리가 설계한 복잡계 모델의 개념적 설명은 전체의 계(界)는 항상 임계점 근처

에서 상전이를 거듭하고 있다는 가정하에, 계(界)의 전체 엔탈피와 엔트로피를 통해 깁

스의 자유 에너지를 산출하는 것이라고 할 수 있다. 이는 위에 설명한 레오 카다노프

(Leo Kadanoff)가 상전이의 임계점 근방에서 원자들은 개별적으로 볼 수 없고 하나의

커뮤니티로 봐야한다는 생각과 일치하다. 다만 복잡계의 특성인 개별 노드의 상호작용

에 의한 전체 창발을 감안하기 위하여 두 가지 모델링 기법을 추가 적용하였다.

모델링 기법 1:

이징모형(Ising Model)

통계 역학과 관련된 이징모형(Ising model)은 물리학자 에른스트 이징(Ernst Ising)의

이름을 딴 강자성(Ferromagnetism)의 수학적 모형이다. 이징모형은 네트워크 형태로

존재하는 계의 상전이 과정에 목격되는 임계점을 모형화한 것으로 형태가 단순하면서도

그 확장성이 뛰어나다. 이징모형의 가장 단순한 표현 방식은 아래와 같다.

(1)과 (2)의 경우는 외부 필드에 대한 영향이 없는 상태, (3)의 경우는 외부 필드의 영향

을 감안한 수식이다. δi와 δj는 각각 입자 i와 j의 스핀(Spin)을 의미하고, J는 상수, H(δ)는 전체 계의 상태를 의미한다. 여기서 스핀이란 입자의 기본 성질을 나타내는 물리량

중 하나로 입자의 고유한 각운동량을 나타내며, 물리학에서는 입자를 상징하는 원을 가

로지르는 화살표로 표시된다.

그림 15. 각 노드의 스핀(Spin)

자료: 대신증권 리서치센터

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우리는 그림 7과 8에서 보인 복잡계 네트워크에 존재하는 각 노드(Node)와 링크(Link)

의 에너지 혹은 자성을 계산하였고 이를 이징모형으로 적용하였다. 따라서 각각의 노드

가 가지고 있는 자성은 절대값을 가지고 있는 +와 −로 표시되고, +와 – 표시는 전체 네트워크 자성의 상승과 하락 요인으로 각각 작용한다. 따라서 전체 네트워크를 그림 15와

같이 표시할 수 있었다.

모델링 기법 2:

중력모형(Gravity Model)

그런데 복잡계 네트워크가 격자형태의 배열을 바탕으로 하는 기본적 형태의 이징모형와

다소 다른 부분이 있는데, 그것은 각 노드간의 거리이다. 다시 말하면 하나의 노드에 영

향을 주는 다른 노드의 영향 정도는 그 거리에 따라 달려져야 한다. 예를 들면 그림 13

의 경우에서 B와 C의 노드가 모두 ‘−‘라고 해도 A노드가 이들로부터 받는 영향은 C`과B`노드의 거리에 따라 달라지고, 또한 B와 C 혹은 B`와 C` 사이에 링크가 있는가 없는가

에 따라 달라진다. 이를 위해 우리는 이징모형에 중력과 거리의 영향을 설명하는 중력

모델(Gravity Model)을 추가 적용하였다. 다만 우리가 사용하는 지리적 거리가 아닌 네

트워크 상에서의 노드간 거리인 측지선(Geodesic Distance)으로 계산되었다.

그림 16. 각 노드의 스핀(Spin)과 복잡계 네트워크의 상전이

자료: 대신증권 리서치센터

중력모델은 뉴턴의 만유 인력의 법칙을 기반한 것으로 물체의 질량 대신 지역의 인구 규

모 등으로 대체하여 두 지역 간의 상호 작용 관계를 설명하려는 수식으로, 공간적 상호

작용 모형이라고도 한다. 중력 모형은 도시 사이의 교통량 예측, 인구 이동 예측, 물자

이동량 예측 등에 활용되고 있다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

위 수식에서 Iab는 이동량, Pa와 Pb는 각각 a와 b의 특성(인구 등), Dab는 a와 b의 거

리, 그리고 K는 상수를 의미한다.

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향후 우리의 숙제 우리는 이제까지 다소 복잡(Complicated)할 수 있는 복잡계 네트워크(Complex

Network)의 모델링 과정을 살펴보았다. 그러나 본 보고서에서 소개된 복잡계 모델링은

이제 시작에 불과하다. 기 서술된 바와 같이 향후 복잡계 모델링은 원자재, 주식시장,

국채, 통화로 확장될 뿐만 아니라, 질적으로도 더욱 정교해질 것이다. 장기적으로는 유

럽 재정 위기와 같은 금융위기의 전염경로를 에측하기 위한 SIR 모형(Susceptibility,

Infection, Recovery)이 추가될 예정이다.

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▶ Compliance Notice

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