KPSS2017

30.Eğitimde

yıl

önce bİz sorduk

soru30

50 Soruda

İLKÖĞRETİMMATEMATİK

ÖABT

ANALİZ - DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Fikret Hemek

ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler

ISBN 978-605-318-656-4

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

3.Baskı: 2016, Ankara

Proje-Yayın: Seher Reyhani

Dizgi-Grafik Tasarım: Vedat Hancı

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz-Diferansiyal Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köker, Ayşegül Eroğlu, Salih Özler, dizgicimiz Vedat Hancı ve Seher Reyhani'ye teşekkürü bir borç biliriz.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz deerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLERMATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz

b. Cebir

c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 28

% 18

% 18

% 16

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015–2016 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

ÖN SÖZ .................................................................................................................................................. III

1. KISIMÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARPARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 5MUTLAK DEĞER FONKSİYONU .......................................................................................................................... 6MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER ...................................................................................... 8SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU ........................................................................................................................ 10İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ .................................................................................................................. 12TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU ...................................................................................................... 13TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ .................................................................................................. 13TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ ................................................................................................... 16FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ ................................................................................................... 18

LİMİTLİMİT ...................................................................................................................................................................... 27SAĞ – SOL LİMİT................................................................................................................................................... 27GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ ........................................................................................................... 29LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER .............................................................................................................................. 30ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ ........................................................................................................... 32MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ ...................................................................................................... 33SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ ..................................................................................................................... 35TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ ........................................................................................................... 36BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................ 37TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................... 38∞/∞ BELİRSİZLİĞİ .................................................................................................................................................. 41∞–∞ BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................................................. 420 · ∞ BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................................................... 44ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN ∞/∞ FORMU .................................................................................................. 45SÜREKLİLİK ........................................................................................................................................................... 46SÜREKLİLİK TEOREMLERİ .................................................................................................................................. 47SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ..................................................................................................................................... 47 Kaldırılabilir Süreksizlik ................................................................................................................................. 47 Sıçrama Süreksizliği ..................................................................................................................................... 47 Sonsuz Süreksizliği ....................................................................................................................................... 48 Balzano Teoremi ........................................................................................................................................... 48DÜZGÜN SÜREKLİLİK .......................................................................................................................................... 49

TÜREVTÜREV ................................................................................................................................................................... 59SAĞ–SOL TÜREV.................................................................................................................................................. 60LİMİT – SÜREKLİLİK – TÜREV İLİŞKİSİ ............................................................................................................... 60TÜREV ALMA KURALLARI.................................................................................................................................... 61YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ................................................................................................................... 77ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ ........................................................................................................ 80 Parçalı Fonksiyonların Türevi ....................................................................................................................... 80MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................... 81SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................................. 82TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ............................................................................................................ 82

vi

TÜREVİN UYGULAMALARI................................................................................................................................... 93 L'Hospital Kuralı ............................................................................................................................................ 93ÜSTEL BELİRSİZLİKLER....................................................................................................................................... 95 1∞, 00, ∞0 Belirsizlikleri ................................................................................................................................ 95TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU .............................................................................................................................. 97POLİNOM – TÜREV İLİŞKİSİ................................................................................................................................. 98DİFERANSİYEL UYGULAMALARI ........................................................................................................................ 98MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ ............................................................................................................. 99 Maksimum – Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar .............................................................. 102TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ........................................................................................................................ 106 Teğet – Eğim – Türev İlişkisi ......................................................................................................................... 106ARTAN – AZALAN FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 111YEREL EKSTREMUM DEĞERLER ....................................................................................................................... 114 Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası ............................................................................................ 115TÜREV – EKSTREMUM İLİŞKİSİ .......................................................................................................................... 115 Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu ........................................................................................... 117TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ .................................................................................... 120ASİMPTOT KAVRAMI ............................................................................................................................................ 125 Düşey Asimptot ............................................................................................................................................. 125FONKSİYONUN GRAFİKLERİ ............................................................................................................................... 128TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER ............................................................................................................................. 129

İNTEGRALBELİRSİZ İNTEGRAL............................................................................................................................................. 149TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI ................................................................................................................. 150İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ .......................................................................................................................... 155 Değişken Değiştirme Yöntemi....................................................................................................................... 155ÖZEL DÖNÜŞÜMLER ............................................................................................................................................ 158

a x2 2- İfadesini İçeren İntegraller ............................................................................................................ 158

RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ ................................................................................................. 161TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ............................................................................................ 165 İndirgeme Bağıntıları..................................................................................................................................... 167KISMİ İNTEGRASYON ........................................................................................................................................... 168BELİRLİ İNTEGRAL ............................................................................................................................................... 174 Reimann Kavramları ..................................................................................................................................... 174İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ ....................................................................................................... 176 Belirli İntegralin Özellikleri ............................................................................................................................. 176ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ .................................................................................................. 181İNTEGRALDE ALAN .............................................................................................................................................. 183İNTEGRALDE HACİM ............................................................................................................................................ 184 Kabuk Yöntemi.............................................................................................................................................. 190 Dönel Yüzeyin Alanı...................................................................................................................................... 195 Pappus – Guldin Teoremi.............................................................................................................................. 198

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARTANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ ............................................................................................................................. 203 Seviye Eğrileri ............................................................................................................................................... 206 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik ........................................................................................ 206 Süreklilik........................................................................................................................................................ 209 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) .................................................................................... 209 Çok Değişkenli Fonksiyonların 2. Türevi....................................................................................................... 211

vii

Zincir Kuralı ................................................................................................................................................... 212 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi.............................................................................. 213ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM–MİNİMUM ........................................................................ 214 Yerel Maksimum ........................................................................................................................................... 214 Yerel Minimum .............................................................................................................................................. 214 Kritik Nokta – Eyer Nokta .............................................................................................................................. 214 Kritik Nokta İçin 2. Türev Testi ...................................................................................................................... 215 Maksimum–Minumum Problemleri................................................................................................................ 216ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL ............................................................................................ 218 Çift Katlı İntegral ........................................................................................................................................... 218 Sınır Değiştirme ............................................................................................................................................ 220 Bölge Değiştirme........................................................................................................................................... 221 Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı) ........................................................................................ 222 İki Katlı İntegralin Uygulamaları .................................................................................................................... 223 Hacim Hesabı ............................................................................................................................................... 226ORTALAMA DEĞER TEOREMİ ............................................................................................................................. 228 Kütle Hesabı ................................................................................................................................................. 228AĞIRLIK MERKEZİ ................................................................................................................................................ 229ÜÇ KATLI İNTEGRALLER ...................................................................................................................................... 229

KUTUPSAL KOORDİNATLARKUTUPSAL KOORDİNATLAR ............................................................................................................................... 237KARDİYOİD EĞRİSİ............................................................................................................................................... 239 Gül Eğrilerinin Çizimi..................................................................................................................................... 245

DİZİLER – SERİLERDİZİ ...................................................................................................................................................................... 255 Sonlu Dizi ...................................................................................................................................................... 255 Sabit Dizi ....................................................................................................................................................... 255EŞİT DİZİLER ......................................................................................................................................................... 256ALT DİZİ ................................................................................................................................................................. 256DİZİLERDE DÖRT İŞLEM ...................................................................................................................................... 257DİZİLERDE SINIRLILIK .......................................................................................................................................... 258DİZİLERDE MONOTONLUK .................................................................................................................................. 258ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER ................................................................................................................. 259 Aritmetik Dizi ................................................................................................................................................. 259 Geometrik Dizi .............................................................................................................................................. 260DİZİLERDE LİMİT ................................................................................................................................................... 261 Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler .................................................................................................................... 263 Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) – En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları .............................................. 264SERİLER ................................................................................................................................................................ 265 Geometrik Seri .............................................................................................................................................. 267 Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri ............................................................................................... 270 Genel Terim Testi .......................................................................................................................................... 270 İntegral Testi.................................................................................................................................................. 270 p – Testi......................................................................................................................................................... 271 Karşılaştırma Testi ........................................................................................................................................ 271 Karşılaştırma Testinin Limit Formu................................................................................................................ 271 Cauchy – Kök Testi ....................................................................................................................................... 272 D'alambert Oran Testi ................................................................................................................................... 273 Alterne Seriler ............................................................................................................................................... 274

viii

Mutlak Yakınsaklık – Yakınsaklık İlişkisi ....................................................................................................... 274KUVVET SERİLERİ ................................................................................................................................................ 275 Yakınsaklık Yarıçapı ...................................................................................................................................... 275 Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon ................................................................................ 276 Taylor ve Maclaurin Serileri ........................................................................................................................... 277 Önemli Maclaurin Seri Açılımları................................................................................................................... 278ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 284

2. KISIMDİFERANSİYEL DENKLEMLERDİFERANSİYEL DENKLEMLER ............................................................................................................................ 395 Giriş ............................................................................................................................................................... 395 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................................... 396 Genel ve Özel Çözümler ............................................................................................................................... 397 Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması ............................................................................ 399

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLERDEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER ................................................................................................ 403DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER .......................................................... 405HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................................................................... 406 Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................... 406HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 407TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER .................................................................................................................... 409İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ ................................................ 411LİNEER DENKLEMLER ......................................................................................................................................... 413 Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi............................................................................................ 413BERNOULLİ DENKLEMLERİ ................................................................................................................................. 415RİCCATİ DENKLEMİ .............................................................................................................................................. 416

BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERBİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ........................................................ 423 Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler .................................................................................... 423 Türeve Göre Çözülebilen Denklemler ........................................................................................................... 423 x'e Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................. 424 y'ye Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................ 424CLAİRAUT DENKLEMİ .......................................................................................................................................... 425LAGRANGE DENKLEMİ ........................................................................................................................................ 426İNDİRGENEBİLİR İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 427

YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERYÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER ..................................................................... 431 Mertebe İndirgeme ........................................................................................................................................ 432 Sabit Katsayılı Denklemler ............................................................................................................................ 433 Farklı Reel Kökler ......................................................................................................................................... 433 Katlı Reel Kökler ........................................................................................................................................... 434 Kompleks Kök ............................................................................................................................................... 434 Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler ....................................................................... 437 Belirsiz Katsayılar Yöntemi ........................................................................................................................... 437PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ ............................................................................................................. 441CAUCHY – EULER DENKLEMİ ............................................................................................................................. 443ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 447