a² - b² = (a+b)(a-b)

因式分解

整式乘法平方差公式：

(a+b)(a-b) = a² - b²两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积

整式乘法与因式分解是互逆的过程

1. 把下列各式写成完全平方的形式：

如： 36x2y4=( 6xy2) 2

(1)121a 2= ______, (2) 49a4 = __________;

(3)0.04a6b2=_______, (4) 0.16(a–b) 2=_______ ;

(5) =_______, (6) =_________.22

9

4ba 4)(

4

1ba

(11a) 2 (7a2) 2

(0.2a3 b ) 2 [0.4(a-b)] 2

2)3

2( ab

22 ])(2

1[ ba

八年级 数学 第十五章 因式分解

24

22

22

)(4

12)5(

)(9

4)3(

)(4)1(

x

b

a

224

222

24

)(9

45)6(

)(21.1)4(

)(16.0)2(

yx

ba

aa2

b3

2

2

2

3x

24.0 a

ab1.1

yx2

3

7

把下列各式分解因式 : 平方差公式 :a2-b2 =(a+b)(a-b)

(2) m² - 9(3) x² - 4y²

= （ x+1) (x-1)= （ m+3)(m-3)= （ x+2y) (x-2y)

八年级 数学

(1) x² - 1 =x² - 12

=m² - 32

=x² - (2y)2

aa2 2 − − bb22 = (a + b) (a-b)

1. 具备什么特征的多项式是平方差式 ?答：一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子 ( 或

数 ) 的平方，并且这两项的符号为异号 .2. 运用 a2-b2=(a+b)(a-b) 公式时 , 如何区分 a 、 b?答 : 平方前符号为正，平方下的式子（数）为ａ 平方前符号为负，平方下的式子（数）为ｂ

1. 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？

(1) x2 + y2

(2) x2 - y2

(3) -x2+y2

(4) -x2 - y2

不能，这是平方和能 , x2-y2=(x+y)(x-y)

能， -x2+y2=(y+x)(y-x)

不能，这是平方和的相反数2. 下列多项式可以用平方差公式去分解因式吗？为什么？

(1) 4x2+y2 (2) 4x2 － ( － y)2

(3) － 4x2 － y2 (4) － 4x2+y2

(5) a2 － 4 (6) a2 ＋ 3

例 3 分解因式 :

(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.

分析 : 在 (1) 中 ,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2, 即可用平方差公式分解因式 .

(1)4x2 – 9

= (2x)2 – 3 2

= (2x+3)(2x-3).

(2)(x+p)2 – (x+q) 2

= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]

=(2x+p+q)(p-q).

把 (x+p) 和 (x+q)各看成一个整体 ,设 x+p=m,x+p=n,则原式化为 m2-n2.

例 4 分解因式 :

(1)x4-y4; (2) a3b – ab.

分析 :(1)x4-y4 可以写成 (x2)2-(y2)2 的形式 , 这样就可以利用平方差公式进行因式分解了 .(2)a3b-ab有公因式 ab,应先提出公因式 , 再进一步分解 .

解 :(1) x4-y4

= (x2+y2)(x2-y2)

= (x2+y2)(x+y)(x-y)

(2) a3b-ab

=ab(a2-1)

=ab(a+1)(a-1).

分解因式 ,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 .

1. 把下列各多项式分解因式 : 1). 1-25b2

2). x5-x3 3). 81x4-y4 4). (a-b)x2+(b-a)y2

5). ab(a+b)2-ab 6). 9(a+b)2-16(a-b)2 7). 4a2-(b+c)2

2. 把下列各式分解因式⑴ x2 － y2 ⑵ 1 － m2 ⑶ － a2 ＋ b2 ⑷ x2 － y2 ⑸ － 9 ＋ 16x2 ⑹ x2 － 9y2

⑺ 4x2 － 9y2 ⑻ 0.09a2 － 4b2 ⑼ 0.36x2 － y2 ⑽ x4 － y2 ⑾ x2y2 － z2 (12) x2 － (x － y)2 (13) 9(x － y)2 － y2 (14) (x ＋ 2y)2 － (2x － y)2

(15) 16(a ＋ b)2 － 9(a － b)2 (16) (a2 ＋ b2)2 － a2b2

3. 因式分解：

１、 – a4 + 16

2 、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2

3 、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2

4 、 (a-b)n+2 - (a-b)n

4.利用因式分解计算(1)782-222

(2)25×1012-992×25

解： 782-222

=(78+22)(78-22)=100×56=5600

25×1012-992×25=25×(1012-992)

=25×(101+99)×(101-99) =25×200×2 =10000

提取公因式

用平方差公式分解因式

2 、设 n 为整数，用因式分解说明 (2n+1)2 - 25 能被 4 整除。

3 、若 a 、 b 、 c 是三角形的三边长且满足

(a+b)2-(a-c)2=0 ，则此三角形是（ ）

A 、等腰三角形 B 、等边三角形

C 、直角三角形 D 、不能确定

1 、运用简便方法计算：

1 ） 20032 – 9

2 ）（ 1 - ）（ 1 - ）（ 1- ） ×···× （ 1- ）（ 1- ）

1

22

1

32

1

42

1

92

1

102

巩固练习：

1. 选择题：

1) 下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）

A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²

2) -4a² +1 分解因式的结果应是 （ ）

A. -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)

C. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)

2. 把下列各式分解因式：

1） 18-2b² 2) x4 –1

D

D

1) 原式 =2 （ 3+b)(3-b)

2) 原式 =(x²+1)(x+1)(x-1)

0)1( 2 xx0169)3( 3 xx0425)2( 2 x

练习 : 分解因式：

(1) － 2y2

(2)x2n+1-100x

1 8

x2

1 8

x2 － 2y2= (x2 － 16y2)= (x+4y)(x －

4y)

1 8

1 8

解：

x2n+1 － 100x= x(x2n － 100)= x(xn+10)(xn －10)

分解因式 : (1) x5 － x3

解： (1)x5 － x3 =x3(x2 –1) = x3 (x+1)(x － 1)

结论：1 、先提出公因式，再考虑平方差公式 .

2 、分解因式分解到不能分解为止 .

(2) 2x4-32y4

(2)2x4-32y4=2(x4-16y4)

=2(x2+4y2)(x2-4y2)

= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)

分解因式： 2222 2723 babaa 解：原式 222 923 bbaa

222 323 bbaa bbabbaa 32323 2 babaa 22423 2

babaa 2223 2

babaa 212 2

3. 观察下列各式： 1–9 = - 8, 4-16= -12, 9-25=-16,

16-36= -20 　 ······

（ 1 ）把以上各式所含的规律用含 n(n 为正整数）的等式表示出来。

（ 2 ）按照（ 1 ）中的规律，请写出第 10 个等式。4 ．证明：两个连续偶数的平方差能被 4 整除吗？请与你的同伴交流。

5.248 － 1 可以被 60 和 70 之间的两个数整除，请求出这两个数。

小结： 1. 具有的两式（或）两数平方差形式的多项式

可运用平方差公式分解因式。

2. 公式 a² - b² = (a+b)(a-b) 中的字母 a , b 可以是数，

也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。

3. 若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再

进一步分解因式。

4. 分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，

直到不能再分解为止。