2.4.1 空间直角坐标系

一．空间直角坐标系

为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点 O 作为原点，过 O 点作三条两两垂直的数轴，通常用 x 、 y 、 z 表示 . 轴的方向通常这样选择：从 z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转 90° 能与 y 轴的半轴重合 . 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系 O － xyz ， O 叫做坐标原点 .

如何理解空间直角坐标系？

1 ．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；2 ．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从 z 轴的正方向看， x 轴的半轴沿逆时针方向转 90° 能与y 轴的半轴重合；

3 ．让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；4 ．在平面上画空间直角坐标系 O － xyz

时，一般情况下使∠ xOy=135° ，∠ yOz=90°.

x

O

z

y

z

y

x

O

二．空间点的坐标1 ．点 P 的 x 坐标：过点 P 作一个平面平行于平面 yOz ，这样构造的平面同样垂直于 x轴，这个平面与 x 轴的交点记为 Px ，它在 x

轴上的坐标为 x ，这个数 x 就叫做点 P 的 x坐标；2 ．点 P 的 y 坐标：过点 P 作一个平面平行于平面 xOz ，这样构造的平面同样垂直于 y轴，这个平面与 y 轴的交点记为 Py ，它在 y

轴上的坐标为 y ，这个数 y 就叫做点 P 的 y坐标；

3 ．点 P 的 z 坐标：过点 P 作一个平面平行于平面 xOy ，这样构造的平面同样垂直于 z 轴，这个平面与 z 轴的交点记为 Pz ，它在 z 轴上的坐标为 z ，这个数 z 就叫做点P 的 z 坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序实数作为它的坐标，记做P(x ， y ， z) ，其中 x ， y ， z 也可称为点 P 的坐标分量 .

P z

P y

P x

P

x

O

z

y

1 ．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面 xOy 、 yOz 、 xOz 叫做坐标平面；2 ．坐标平面上点的坐标的特征： xOy 平面（通过 x 轴和 y 轴的平面）是坐标形如（ x ， y ， 0 ）的点构成的点集，其中 x 、 y 为任意实数

同理： yOz 平面（通过 y 轴和 z 轴的平面）是坐标形如（ 0 ， y ， z ）的点构成的点集，其中 y 、 z 为任意实数； xOz 平面（通过 x 轴和 z 轴的平面）是坐标形如（ x ， 0 ， z ）的点构成的点集，其中 x 、 z 为任意实数；

3 ．坐标轴上点的特征： x 轴是坐标形如（ x ， 0 ， 0 ）的点构成的点集，其中 x 为任意实数； y 轴是坐标形如（ 0 ， y ， 0 ）的点构成的点集，其中 y 为任意实数； z 轴是坐标形如（ 0 ， 0 ， z ）的点构成的点集，其中 z 为任意实数。

4 ．卦限 在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限； 在坐标平面 xOy 上方的四个象限对应的卦限称为第 I 、第 II 、第 III 、第 IV 卦限； 在下面的卦限称为第 V 、第 VI 、第VII 、第 VIII 卦限； 在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第 I 卦限，三个坐标分量 x 、 y 、 z 都为正数；在第 II 卦限， x 为负数， y 、 z 均为正数；

VIII

VII

VI

V

IV

III

II

I

x

O

z

y

八个卦限中点的坐标符号分别为：I ： （ + ， + ， + ）；II ： （ － ， + ， + ） ; III ： （ － ，－ ， + ）；IV ： （ + ，－ ， + ）；V ： （ + ， + ，－ ）；VI ： （ － ， + ，－ ）；VII ：（ － ，－ ，－ ）；VIII ：（ + ，－ ，－ ）；

例 1 ．正方体的棱长为 2 ，求各顶点的坐标 .

解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下 :

A(0 ， 0 ， 0) ， B(2 ， 0 ， 0) ，C(2 ， 2 ， 0) ， D(0 ， 2 ， 0) ，A1(0 ， 0 ， 2) ， B1(2 ， 0 ， 2) ，C1(2 ， 2 ， 2) ， D1(0 ， 2 ， 2) ，

例 2 ．在空间直角坐标系中，写出点P(x ， y ， z) 的对称点的坐标 :

（ 1 ）关于 x 轴的对称点是 P1 ；

（ 2 ）关于 y 轴的对称点是 P2 ；

（ 3 ）关于 z 轴的对称点是 P3 ；

（ 4 ）关于原点的对称点是 P4 ；

(x, － y, － z)

( － x, y, － z)

( － x, － y, z)

( － x, － y, － z)

（ 5 ）关于 xOy 坐标平面的对称点是 P5

；（ 6 ）关于 yOz 坐标平面的对称点是 P6

； （ 7 ）关于 xOz 坐标平面的对称点是 P7

.

(x ， y ，－z)

( －x ， y ， z)

(x ，－ y ， z)

例 3 ．有下列叙述：① 在空间直角坐标系中，在 Ox 轴上的点的坐标一定是（ 0 ， b ， 0 ）；② 在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上点的坐标一定可以写成（ 0 ， b ， c ）；③ 在空间直角坐标系中，在 Oz 轴上的点的坐标可记为（ 0 ， 0 ， c ）；④ 在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上点的坐标可写为（ a ， 0 ， c ） .其中正确的叙述的个数是（ ） （ A ） 1 （ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 4

C

例 4 ．点 A( － 3 ， 1 ， 5) ，点 B(4 ， 3 ，

1) 的中点坐标是（ ）

（ A ） （ B ）

（ C ） ( － 12 ， 3 ， 5) （ D ）

7( ,1, 2)2

1( ,2,3)21 4( , , 2)3 3

B