—— 空间直角坐标系 . 向量的直角坐标运算
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z. A(x,y,z). k. i. O. y. j. x. §9.6 空间向量的坐标运算 (2)(3). —— 空间直角坐标系 . 向量的直角坐标运算. 复习提问：. ③. ３、 ①. ② Ｇ为 △ ABC 的重心. 练习 1 、. 3. (4) 已知 P(2,-1,3) 为 AB 中点且 A(0,4,7) 求 B (5) 已知 △ ABC 中 ,A(2,0,1),B(3,5,-2), 重心 G(1,3,5), 求顶点 C 坐标 (6) ABCD 中 ,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5) 求 D. 一、距离与夹角. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
—— 空间直角坐标系 .向量的直角坐标运算 .
x
y
z
O
A(x,y,z)
i j
k
a
复习提问： 222111 ,,,,,1 zyxBzyxA、设
222111 ,,,,,2 zyxbzyxa 、设
bababaaba ,//,,,
OAOB 121212 ,, zzyyxxAB
aA
B
② Ｇ为△ ABC 的重心
OBOAOP 2
1
OCOBOAOG 3
1
1
OBOAOP
３、① 的中点为ABP
③ PBAP 即所成的比为分ABP
练习 1 、
qp
qpCBA
OPPBAPBA
zzaa
共线，则三点则
的且满足共线与
,3,,1,4,2,2,5,13
,2,4,3,1,1,2,12
18,2,1,21 4,2,4
3,
3
8,
3
1
3 4
(4) 已知 P(2,-1,3) 为 AB 中点且 A(0,4,7) 求 B(5) 已知△ABC 中 ,A(2,0,1),B(3,5,-2), 重心 G(1,3,5), 求顶点 C 坐标(6) ABCD 中 ,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5) 求
D
一、距离与夹角
2 2 2 21 2 3| |
b b b b b b
2 2 2 21 2 3| |
a a a a a a
1. 距离公式（ 1 ）向量的长度（模）公式
1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ),a a a a b b b b
设 则
ABABAB
AB 2 1 2 1 2 1( , , ) x x y y z z
2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) x x y y z z
2 2 2, 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) A Bd x x y y z z
在空间直角坐标系中，已知 、
，则1 1 1( , , )A x y z
2 2 2( , , )B x y z
(2)空间两点间的距离公式
cos ,| | | |
a ba b
a b1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3
;
a b a b a b
a a a b b b
2. 两个向量夹角公式
注意：
（ 1 ）当 时， 同向；
（ 2 ）当 时， 反向；
（ 3 ）当 时， 。
cos , 1 a b
与 a b
cos , 1 a b
与 a b
cos , 0 a b
a b
练习２、 P42 1 ～ 3
例 1 已知 、 ，求：
（ 1 ）线段 的中点坐标和长度；
(3 , 3 ,1)A (1 , 0 , 5)B
AB
（ 2 ）到 两点距离相等的点 的坐标 满足的条件
、A B ( , , )P x y z, ,x y z
练习 3 、 P42 4(1) 习题 ８
二、空间向量的应用
（ 2 ） 0 baba ( 证明线线垂直 )
( 求线段的长 )（ 1）
221
221
221 zzyyxxAB
23
22
21 aaaa
（ 3） ba
baba
,cos ( 求线线夹角 )
例 2 1 1 1 1 ,ABCD ABC D E F ,在正方体 中 分别是
1 1, : .BB CD D F ADE.的中点 求证 平面
x
y
z
A1
D1 C1
B1
A
C
B
DF
E
F1
E1
C1
B1A1
D1
D
A B
C
例 3 、如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值
1 1 1 1ABCD A B C D
1BEz
1 1 1 1 1 1
1
4B E D F AB 1DF
y
x
练习 4 、 P39 10 P42
5
例 4 ．已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，
如果 ，
(1) 求平面 ABCD 的一个法向量；
(2, 1, 4)AB ��������������
(4,2,0)AD ��������������
( 1,2, 1)AP ��������������
（ 2 ）求证： 是平面 ABCD 的法向量；AP��������������
（ 3 ）求平行四边形 ABCD 的面积．
课堂小结1. 基本知识：
（ 1 ）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（ 2 ）两个向量的夹角公式。 2. 思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题
(1) 建立直角坐标系，
(2) 把点、向量坐标化，
(3) 对向量计算或证明。
在棱长为 1 的正方体 中， E,F 分别是
DD1, DB 中点， G 在棱 CD 上， ， H 是 C1G 的中点，
x
y
z
H
GF
E
A B
CD
A1 B1
C1D1
作业
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）求 EF 与 C1G 所成的角的余弦；
（ 3 ）求 FH 的长
1
4CG= CD
1 1 1 1ABCD ABC D
1EF BC
（用空间向量法解决以上问题）
（ 4 ）求平面 EFH 的一个法向量
１、
2 、《名师》 P71 变式探究
例１ . 证明四点 A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),
D(10,14,17) 共面
1 1 1
1 1 1 1
,
, , .
BC D E F
BB D B EF DA19. ABCD-A ,在正方体 中 分
别是 的中点求证
F
E
AB
A1
DC
C1
B1
D1证明 :
1,EF DA ����������������������������
1.EF DA即
y
x
z建立空间直角坐标系 O-xyz
则 D (0,0,0),A 1(1,0,1)
1 (1,0,1).DA ��������������
练习 3
001,12
1,
2
1,
2
11
DAEF
,2
1,1,1
E
1,2
1,
2
1F
2
1,
2
1,
2
1EF
1 1 1BC D110. ABCD-A ,已知正方体
AB
A1
D C
C1
B1
D1
练习 41 1.DB ACD求证 平面
证明 :
1 ,AD AC A又
x
y
z
建立如图空间直角坐标系则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),
1 1 (1,1,1) ( 1,0,1) 0,DB AD ����������������������������
1 1 (1,1,1) (0, 1,1) 0,DB CD ����������������������������
)1,1,0( CD),01,1(),1,1,1(1 ADDB
11 ACDDB 平面111 , DBACDBAD
1 1 1
1 1 1 1
,
, , .
BC D E F
BB D B EF DA19. ABCD-A ,在正方体 中 分
别是 的中点求证
F
E
A B
A1
DC
C1
B1
D1
1 1 1
1( )
2EF DA AA BD DA ����������������������������������������������������������������������
证明 :1 1EF EB B F
������������������������������������������
1 1 1
1( )
2BB B D ����������������������������
1
1( )
2AA BD ����������������������������
1 1 1
1( )
2AA DA BD DA ��������������������������������������������������������
0 01 1 1
1(| | | | cos 45 | | | | cos120 ) 0
2AA DA BD DA
��������������������������������������������������������
1,EF DA ����������������������������
1.EF DA即
练习 3
DA B
A1
C
C1
B1
D1
1 1 1 1 1.BC D DB ACD1-A ,求证 平面10. ABCD已知正方体
证明 :
1 1 1, .AD DB AC DB ��������������������������������������������������������
1 ,AD AC A又 1 1.DB ACD ��������������
平面
，11 DDDCDADB DADCAC
0)DADC()DDDCDA(ACDB 11
DADDAD 11
0)DADD()DDDCDA(ADDB 1111
练习 4