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25.8 .1 正多边形和圆

A

B C

D

E

五角星的画法

学习新知学习新知正多边形

各边相等，各角也相等的多边形 .

练一练 下列命题是真命题吗？如果不是，举出一个反例。（ 1 ）正多边形的各边相等。（ 2 ）各边相等的多边形是正多边形。（ 3 ）正多边形的各角相等。（ 4 ）各角相等的多边形是正多边形。

正多边形和圆关系： 把圆分成 n （ n≥3 ）等份：⑴ 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；

A

B C

D

E

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例 1 已知，如图，点 A,B,C,D,E 在⊙O 上，且 AB=BC=CD=DE=EA.

A

B C

D

E求证：五边形 ABCDE 是⊙ O 的内接正五边形；

⌒

⌒⌒

1

2

3

A

B

C D

E

证明：∵ AB=BC=CD=DE=EA

∴AB=BC=CD=DE=EA

∵BCE=CDA=3AB

∴∠1=∠2

同理∠ 2=∠3=∠4=∠5

又∵顶点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 都在⊙ O 上，∴ 五边形 ABCDE 是⊙ O 的内接五边形。

4⌒

⌒5

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

⌒ ⌒⌒

— 正多边形弧相等弦相等（边相等）圆周角相等（角相等）

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例 2 已知，如图，点 A,B,C,D,E 在⊙ O上，且AB=BC=CD=DE=EA,TP,PQ,QR,RS,ST 分别是以点 A,B,C,D,E 为切点的⊙ O 的切线 .

A

B C

D

E求证： 五边形 PQRST 是⊙ O 的外切正五边形 .

证明：连结 OA 、 OB 、 OC ，则：∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB

∵TP 、 PQ 、 QR 分别是以 A 、 B 、 C

为切点的⊙ O 的切线∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ

∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB

又∵ AB=BC

∴AB=BC

∴△PAB 与△ QBC 是全等 的等腰三角形。∴∠P=∠Q PQ=2PA

同理∠ Q=∠R=∠S=∠T

QR=RS=ST=TP=2PA

又∵五边形 PQRST 的各边都与⊙ O 相切，∴ 五边形 PQRST 的是 O 外切正五边形。

⌒ ⌒

A

B

C D

E

P

Q

R

S

T

O

弧相等—弦切角相等—全等三角形 边相等 角相等— — 多边形是正多边形

正多边形和圆关系： 把圆分成 n （ n≥3 ）等份：⑴ 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；⑵ 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形 .

（正多边形的判定定理）正多边形和圆关系定理1 ：

A

B C

D

E

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。 已知⊙ O 的半径为 2cm ，求作圆的内接正三角形 .

120 °

① 用量角器度量，使∠ AOB= BOC∠= COA=120°∠ ． ② 用量角器或 30°角的三角板度量，使∠ BAO= CAO∠=30° ．

A

O

C B

方法：用量角器作正多边形

你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？

·

A

B C

D

O·

A

B

C D

EO O

A

B C

D

EF

·90° 72° 60°

你能尺规作出正四边形、正八边形吗？

·

A

B C

D

O

只要作出已知⊙ O 的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙ O 相交，或作各中心角的角平分线与⊙O 相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六

十四边形……

方法：用尺规作图作图法作正多边形

你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？

OA

B C

EF

· D

以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形 . 先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边

形………

说说作正多边形的方法有哪些 ?

归纳

（ 1 ）用量角器等分圆周作正 n 边形； （ 2 ）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形 , 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12 边形、正三角形．

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作业： 课堂作业：课本 52 页习题25.8 第 1 、 3 题。

家庭作业：预习下一节内容；完成本节课后练习题；完成本节配套资料 .

近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：

A=x + y + Z并解释道：“ A 代表成功， x 代表艰苦的劳动， v 代表正确的方法， Z 代表少说空话 .