如果 P 是圆所在平面内的一点， d 表示 P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么就有 r

O d<r P在圆内；

rO P

P

d=r P在圆上；

r

P

d>r P在圆外。

点和圆的位置关系：

定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

.

..

A

CB

O

C

A

B

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，

外接圆的圆心叫做三角形的外心，

三角形叫做圆的内接三角形。

问题 1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？

问题 2：三角形的外心一定 在三角形内吗？

O

C

AB

∠C＝ 90°

O

C

AB

▲ABC是锐角三角形

O

C

A

B

▲ABC是钝角三角形

圆的轴对称性：

ED

BA

C

O

垂径定理： AB是直径 AB CD

CD=DB

AC=AD CE=DE

推论 1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

推论 2 ：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

1 、如图 , 已知⊙ O 的半径 OA长为 5, 弦 AB 的长 8,OC AB⊥于 C, 则 OC 的长为 _______. O

A BC

3AC=BC

弦心距半径

半弦长

• 2 、如图， P 为⊙ O 的弦 BA 延长线上一点，PA ＝ AB ＝ 2 ， PO ＝ 5 ，求⊙ O 的半径。

M A关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

PB

O

A

O

D

C

B

A

F

E

圆的中心对称性和旋转不变性：

圆心角定理：AOB= COD

AB =CD

AB=CD

OE=OF（ OE AB于 E

OF CD于 F）圆心角定理：圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

O

C

B

A

A B

C

O

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 圆周角所对的弦是直径。

同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

知识回顾一、圆的周长公式二、圆的面积公式

C=2πr

S=πr2

180

rnr2

360

nl

2

360r

ns lrs

2

1或

三、弧长的计算公式

四、扇形面积计算公式

五 、大于半圆的弓形面积为 S 弓形 =S 扇形 +S△

六 、小于半圆的弓形面积为 S 弓形 =S 扇形 -S

△

l

r

h a

S侧=S扇形

S全=S侧+S底

圆锥的侧面积和全面积

圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

rarala 22

1

2

1

2rra

1、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇形的圆心角的度数是 _________°. 3

2

；

240°

2、 圆锥的母线为 5cm，底面半径为 3cm，则圆锥的表面积为 _______24πcm2

1. 如图 24-1 ，点 A、 B、 C都在⊙ O上，若∠ C=34° ，则∠ AOB 的度数为（ ） A ． 34° B ． 56° C ． 60° D ． 68°

A B

CO

3. 如图 24-4 ，⊙ O的内接正方 ABCD ，，点 P在弧 BC 上移动（点 P不与点 B， C重合），则 的变化范围是 ．

A

P

O

B C

D

ABC△

，

4. 在 中 ,如果 ,

圆 O的半径为 ，且经过点 B、 C，求线段 AO的长 .

5AB AC 3cos

5B

10

A

B C

5. 如图， C是以 AB为直径的⊙ O上一点，已知 AB=10 ， BC=6 ，则圆心 O到弦 BC的距离是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6

C

A BO

E

6. 如图， AB是圆 O的直径， BC是弦， OD⊥BC 于 E，交 BC于点 D. 则下列结论① BE=CE ；②∠ BDO=∠A ；③ AC∥OD ；④∠ A=2∠CBD 中 ,正确的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4

A

BC

D

O

E

7. 在直角坐标系中 ,已知⊙ O的半径为5,与 x轴的交点为 A(1,0),B(7,0) 那么圆心 O的的坐标是（ ）A. （ 4,0 ） B. （ 4,4 ） C. （ 4,-4 ） D. （ 4,4 ）或（ 4,-4 ）

8. 我市某蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB =16m ， CD =4m ，则半径为 m ．

D BA

O

C

9. 如图 , AB 是⊙ O的直径，点 C在⊙ O上，∠ BAC=30° ，点 P在线段 OB上运动 .设∠ ACP =x ，则 x的取值范围是 .

A BO

Cx

P

8mm

10. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是 10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm ，如图所示，则这个小孔的直径是 mm ．

O

11. 如图 ,A 是半圆上一个 三等分点 ,B是 AN 的中点 ,P是直径 MN上一个动点 , ⊙O的半径为 1,求 PA+PB 的最小值 .

⌒

NO

A

M

B

B′

P

A

B C

12. 已知圆内接△ ABC 中， AB=AC ，圆心 O到 BC 的距离为 3cm, 圆半径为 7cm, 求腰长 AB.

O

D

AB=2√35

B C

O

A

AB=2√14

D

已知： 在射线 AC上顺次截取 AD =3cm ， DB =10cm ，以 DB 为直径作⊙ O交射线 AP于 E、 F两点，求圆心 O到 AP 的距离及 EF的长．

30PAC

OA D B C

E　　　　　　　　　　　　　　

FP

Ｇ

如图， 内接于⊙ O，过点 A的直线交⊙ O于点 P，交 BC的延长线点 D，AB2=AP·AD ．（ 1）求证： AB=AC ；（ 2）如果⊙ O的半径为 1，且 P为弧AC的 中点，求 AD的长．

ABC△

已知：如图，在半径为 4的⊙ O中， AB，CD 是两条直径， M为 OB 的中点， CM的延长线交⊙ O于点 E，且 EM＞ MC ．连结 DE， DE= .(1) 求证(2) 求 EM 的长；(3）求 sin∠EOB 的值 .

AM MB EM MC 15

.

BA

C

E

D

OM

F