3． 2.2　直线的两点式方程3． 2.3　直线的一般式方程

3．两点式的适用范围是 ________．[ 答案 ] 　斜率存在且不为 0的直线，即不能表示垂直

于坐标轴的直线．

4．把两点式y－y1

y2－y1＝x－x1

x2－x1化成整式形式为(y－y1)(x2

－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，可用于求过平面上任意两点的直

线方程吗？________

[答案 ] 　可以

5．点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，线段 AB的中点 P的

坐标为 .

6．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有

一个表示这条直线的关于 x、 y的 方程；任何关于

x、 y的二元一次方程都表示 ．

二元一次

一条直线

7．方程 Ax＋ By＋ C＝ 0(其中 A、 B不同时为 0)

叫做直线方程的 ．一般式

8．在求直线方程时，点斜式、斜截式、两点式、截距式各有怎样的局限性？

[ 答案 ] 　点斜式和斜截式都是适用于直线的斜率存在即直线不与 x轴垂直的情况；两点式和截距式都适用于直线不与坐标轴垂直且截距式还要求直线不过原点．

9．已知直线 Ax＋ By＋ C＝ 0.

(1)若直线过原点，则系数 A、 B、 C满足.

(2)若直线只与 x轴相交，则系数 A、 B、 C满足.

(3)若直线只与 y轴相交，则系数 A、 B、 C满足.

10． x轴的方程是 ； y轴的方程是 .

C＝ 0 ， A2 ＋ B2≠0

B＝ 0 ， A≠0 ， C∈R

A＝ 0 ， B≠0 ， C∈Ry＝ 0 x＝ 0

本节学习重点：直线方程的两点式、截距式与一般式及各种形式与一般式的互化．

本节学习难点：选择恰当形式求直线的方程和直线方程各种形式的适用条件．

1．直线方程的一般式可表示任何一条直线，直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式；反之，一般式能否化为其它几种特殊形式，要看 A、 B、 C是否为零．

求直线方程时，若无特殊说明都应化成一般式．2．误区警示：直线的截距式是两点式的一个特殊情

形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积周长等比较方便，注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且都等于零．当遇直线在两坐标轴上截距相等或是倍数关系时，务必考虑截距为 0 的情形．

[例 1] 已知三角形的三个顶点分别为 A(6，－ 7)，B(－ 2,3)， C(2,1)，求 AC边上的中线所在的直线方程．

[ 分析 ] 　欲求 AC边上的中线所在直线的方程，因为两点确定一条直线， AC边上的中线过顶点 A和 AC边的中点，故只要求出 AC边的中点 A的坐标，即可代入两点式方程求得结果．

[解析] 设AC的中点为M(x，y)，则

x＝6＋2

2 ＝4，y＝－7＋1

2 ＝－3，即M(4，－3)．

由于直线过B(－2,3)，M(4，－3)两点，

∴ 直线方程的两点式为y－3－3－3

＝x－(－2)4－(－2)

，

化简得x＋y－1＝0.

∴ AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0.

[例 2] 一条直线经过点 A(－ 2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求此直线方程．

[ 分析 ] 　直线与两坐标轴围成三角形的面积与两截距有关，故可设截距式方程求解．

[解析] 由题设可知，直线在两轴上的截距均不为

0，故可设所求直线方程为xa＋yb＝1，

∵ 点A(－2,2)在直线上，故有

－2a＋

2b＝1.①

又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，

∴12|a||b|＝1.②

由①，②可得

(1) a－b＝1，ab＝2；

或(2) b－a＝1，ab＝－2.

由(1)解得 a＝2，b＝1；

或 a＝－1，b＝－2.

方程组(2)无解．

故所求的直线方程为x2＋y1＝1，或

x－1＋y－2＝1，

即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求．

总结评述：要根据不同条件，选用适当的直线表示形式来求直线方程．本题选用直线方程的截距式就是一个好的选择．

已知直线 mx＋ ny＋ 12＝ 0在 x轴、 y轴上的截距分别是－ 3和 4，则 m＝ ________， n＝ ________.

[ 答案 ] 　 4 － 3

[解析] 解法1：将方程mx＋ny＋12＝0化为截距式得

x

－12m

＋y

－12n

＝1，

因此有

－12m ＝－3

－12n ＝4

，解之得m＝4，n＝－3.

解法2：由截距意义知，直线经过A(－3,0)和B(0,4)两

点，

因此有 m·(－3)＋n·0＋12＝0

m·0＋n·4＋12＝0，

解之得m＝4，n＝－3.

解法3：由直线在两轴上截距可得直线方程为x－3＋y4＝

1，即4x－3y＋12＝0，

∵ 4x－3y＋12＝0与mx＋ny＋12＝0表示同一条直线，

∴m4＝

n－3＝

1212，∴ m＝4，n＝－3.

[例 3] 已知直线 l经过点 A(－ 5,6)和点 B(－ 4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．

[解析] 直线过A(－5,6)、B(－4,8)两点，

由两点式得，y－68－6＝x＋5－4＋5

，

整理得2x－y＋16＝0，

∴ 2x－y＝－16，两边同除以－16得，x－8＋y

16＝1.

故所求直线的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式

方程为x－8＋y

16＝1.图形略．

[ 点评 ] 　熟练进行直线各种形式方程的互化，是解决直线方程问题的基本功．请自己再用点斜式求 l的方程，并化为斜截式．

直线 l： 2x－ 3y＋ 6＝ 0的斜率及在 y轴上的截距分别为 ________．

[ 例 4] 　如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用 y(元 )与行李重量 x(kg)的关系用直线 AB

的方程表示．试求：(1)直线 AB的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李？

[ 解析 ] 　 (1) 由图知，点 A(60,6) ， B(80,10) 在直线上．

由直线方程的两点式或斜截式可求得直线 AB的方程是 x－ 5y－ 30 ＝ 0.

(2) 依题意，令 y＝ 0 ，得 x＝ 30.

即旅客最多可免费携带 30kg 行李．

为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD内建一个矩形草坪如图，△ AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量 A

B＝ 100m， BC＝ 80m， AE＝ 30m， AF＝ 20m，应如何设计才能使草坪面积最大？

[ 分析 ] 　点 P在线段 EF上运动，随着点 P的变化，矩形 PQCR的面积也在变化．如果建立坐标系，则可写出直线 EF的方程， EF上的点 P的坐标，可用一个未知数 x

表示，从而矩形的面积可表达为此未知数 x的函数，转化为函数极值来求解．由于 AB⊥AD，可以 AB与 AD为标架建立平面直角坐标系，容易写出 EF的截距式方程．

[解析] 建立如图所示直角坐标系，则E(30,0)，

F(0,20)，于是，线段EF的方程是x

30＋y

20＝1(0≤ x≤ 30)，

在线段EF上取点P(m，n)，则0≤m≤ 30，m30 ＋

n20 ＝

1，

∴ n＝20

1－m30 ，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，

设矩形PQCR的面积为S，则：

S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)

＝(100－m)

80－20＋23m

＝－23(m－5)2＋

180503 (0≤m≤ 30)，

于是，当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝

51.

答：当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线

段EF上，且这个顶点分EF成5 1时，草坪面积最大．

[例 5] (1)已知三直线 l12x－ 4y＋ 7＝ 0， l2x

－ 2y＋ 5＝ 0， l34x＋ 2y－ 1＝ 0，求证： l1∥l2， l1

⊥l3；

(2)求过点 A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）与直线 l： 3x＋ 4y－ 20＝ 0平行；（Ⅱ）与直线 l： 3x＋ 4y－ 20＝ 0垂直．

[解析] (1)把l1、l2、l3的方程写成斜截式得

l1 y＝12x＋

74；l2 y＝

12x＋

52；

l3 y＝－2x＋12，

∵ k1＝k2＝12，b1＝

74≠

52＝b2，∴ l1∥ l2.

∵ k3＝－2，∴ k1·k3＝－1，∴ l1⊥ l3.

(2)解法 1：已知直线 l：3x＋4y－20＝0的斜率 k＝－34.

（Ⅰ）过 A(2,2)与 l平行的直线方程为

y－2＝－34(x－2)．即 3x＋4y－14＝0.

（Ⅱ）过 A与 l垂直的直线的斜率 k1＝－1k＝

43

方程为 y－2＝43(x－2)．

即 4x－3y－2＝0为所求．

解法 2 ：（Ⅰ）设所求直线方程为 3x＋ 4y＋ c

＝ 0 ，由 (2,2) 点在直线上，∴ 3×2 ＋ 4×2 ＋ c＝ 0 ，∴c＝－ 14.∴所求直线为 3x＋ 4y－ 14 ＝ 0.

（Ⅱ）设所求直线方程为 4x－ 3y＋ λ＝ 0 ，由 (2,2) 点在直线上，∴ 4×2 － 3×2 ＋ λ＝ 0 ，∴λ＝－ 2.∴所求直线为 4x－ 3y－ 2 ＝ 0.

[ 点评 ] 　 1.与直线 Ax＋ By＋ C＝ 0平行的直线可设为 Ax＋ By＋ m＝ 0(m≠C)，与直线 Ax＋ By＋ C＝ 0

垂直的直线可设为 Bx－ Ay＋ m＝ 0.

2．直线 l1A1x＋ B1y＋ C1＝ 0，直线 l2： A2x＋ B2y

＋ C2＝ 0若 l1⊥l2则： A1A2＋ B1B2＝ 0；若 A1A2＋ B1B2＝

0则 l1⊥l2.

若 l1∥l2，则 A1B2－ A2B1＝ 0，反之若 A1B2－ A2B1＝

0，则 l1∥l2或 l1与 l2重合．

(1)直线 l1： x＋ ay＋ 6＝ 0与 l2： (a－ 2)x＋ 3y＋

2a＝ 0平行，则 a的值为 ________．(2)过点 A(－ 1,2)与直线 x＋ 2y－ 1＝ 0垂直的直线

方程为 ________．[ 答案 ] 　 (1)－ 1 (2)2x－ y＋ 4＝ 0

[解析] (1)∵ l1∥ l2，∴1a－2＝a3≠

62a，

由1a－2＝a3，解得a＝－1或3，

∵ a＝3时，a3＝

62a，∴ a＝－1.

(2)设所求直线方程2x－y＋λ＝0，

∵ 过A(－1,2)，∴ λ＝4.

[ 点评 ] 　 (2)中求直线方程时，可以从不同角度入手解决．

法一：所求直线过点 A(－ 1,2)，可设方程为 y－ 2＝k(x＋ 1)，整理为一般式用垂直条件求 k.

法二：已知直线的斜率 k1 ＝－ ，故所求直线的斜率

k＝ 2，直接用点斜式写出方程 .

[例 6] 据下列所给条件求直线方程．(1)△ABC的顶点 A(－ 1,3)， B(2,4)， C(3，－ 2)，

求 BC边上的中线所在直线的方程．(2)▱ABCD的顶点 A(1,2)， B(2，－ 1)， C(3，－ 3)，

求直线 BD的方程．

[解析] (1)B(2,4)，C(3，－2)的中点D(52，1)，

∴ BC边上的中线AD所在直线斜率k＝3－1

－1－52

＝－47，∴ 直线AD的方程为：y－3＝－

47(x＋1)，

即4x＋7y－17＝0.

(2)平行四边形ABCD两对角线AC与BD交点M为AC的

中点，∴ M(2，－12)，直线BM的方程为x＝2，

即直线BD的方程为x－2＝0.

[ 例 7] 　 求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形周长为 12的直线方程．

[ 分析 ] 　已知直线斜率，可选用直线的斜截式方程，然后根椐题目条件确定 b的值．

[解析] 设直线方程为y＝34x＋b，

令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－43b.

∴ |b|＋|－43b|＋ b2＋(－

43b)

2＝12.

∴ |b|＋43|b|＋

53|b|＝12，∴ b＝±3.

∴ 所求直线方程为y＝34x±3.

[ 点评 ] 　 (1) “三角形的周长是三顶点间距离的和， 截” “ ”距 不是距离，故解题时应注意 距离 为截距的绝对值．在

解决有关面积问题时，也要注意加绝对值符号．(2) ―用待定系数法求直线方程的基本步骤是：设方程

→ ―→求系数 代入．

(1)过定点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ________．

(2)若直线 (m＋ 1)x＋ (m2－ m－ 2)y＝ m＋ 1在 y轴上截距等于 1，则实数 m的值为 ________．

[ 答案 ] 　 (1)3x－ 2y＝ 0或 x＋ y－ 5＝ 0 (2)3

[解析] (1)①当两截距为零时，直线过原点，可设为y

＝kx.

∴ 3＝2k，k＝32，

∴ l：y＝32x，即3x－2y＝0.

②当两截距不为零时，可设为x＋y＝a(a≠ 0)

∴ 2＋3＝a，∴ a＝5

∴ l：x＋y＝5.

(2)直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1的方程可化为

(m＋1)x＋(m＋1)(m－2)y＝m＋1，即x＋(m－2)y＝1，由题

意得1

m－2＝1，即m＝3.

[ 点评 ] 　 1°第 (1)问常出现下面错解：设直线的两截距皆为 a，则有

即 x＋ y＝ a.将点 P(2,3)代入得， a＝ 5.

∴所求的直线方程为 x＋ y＝ 5.

“此解法的错误原因，就是审题时，没能把题中 非零截” “ ”距相等 和 零截距相等 的分类因素挖掘出来进行分类讨论，

“ ”把 零截距 的情况丢掉了，由此可见，如果题中出现直线“ ” “ ”“在两轴上的 截距相等 、 截距互为相反数 在一坐标轴上

截距是另一坐标轴截距的 m ”倍 (m＞ 0)等条件时，采用截“ ”距式求直线方程时，要注意考虑 零截距 的情况．

在零截距的情况下，由直线过原点可设 y＝ kx.

还可以设点斜式 y－ 3＝ k(x－ 2)，由在两轴上截距相等求出 k.

2°第 (2)问常出现如下错解：

由题意知，m＋1

m2－m－2＝1，∴ m2－2m－3＝0，∴ m＝

3，或－1.故m的值为3或－1.

其错因是忽视了直线方程Ax＋By＋C＝0的隐含条件：

A2＋B2≠ 0.当m＝－1时，m＋1＝0且m2－m－2＝0.此时方

程(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1不表示直线方程．

就表达式m＋1

m2－m－2＝1本身来看m＝－1也不是其根．

因此解题时，要结合题设条件的具体情景全面考虑，

注意变形的等价性，才能有效避免失误．

一、选择题

1．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是

( )

A.x3＋y2＝1 B.

x2＋y3＝1

C.x3－y2＝0 D.

x2－y3＝1

[答案 ] 　 B

2．过点 (－ 3,2)， (9,2)的直线方程是( )

A． y＝－ 3 B． y＝ 2

C． x＝－ 3 D． x＝ 9

[ 答案 ] 　 B

3．直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2

－1＝0平行，则a值为

( )

A．2 B．－1

C.23 D．－1或2

[答案 ] 　 B

4．直线(3－a)x＋(2a－1)y＋7＝0与直线(2a＋1)x＋(a

＋5)y－6＝0互相垂直，则a值是

( )

A．－13 B.

17 C.

12 D.

15

[答案 ] 　 B

二、填空题5 ．已知点 P 在 y 轴上，点 N 是点 M 关于 y 轴的对称

点，直线 PM的斜率为 k(k≠0) ，则直线 PN的斜率为 _____

_____ ．[ 答案 ] 　－ k

[ 解析 ] 　设 P(0 ， m) ，M(a， b) 则 N( － a， b) ，

6．已知点 P(－ 1,3)在直线 l上的射影为 Q(1，－ 1)，则直线 l的方程是 ________________．

[ 答案 ] 　 x－ 2y－ 3＝ 0

[解析] ∵ 点P在l上射影为Q，

∴ PQ⊥ l，且Q在l上，

∵ kPQ＝3－(－1)－1－1

＝－2，∴ kl＝12，

∴ 直线l方程为y－(－1)＝12(x－1)，

即x－2y－3＝0.

三、解答题7 ．求过点 P( － 3,4) 且在两坐标轴上的截距之和为 12

的直线的方程．

[解析] 设直线方程为xa＋yb＝1，则

－3a ＋

4b＝1，

a＋b＝12. 解方程组得

a＝－4，b＝16

或 a＝9，b＝3.

故所求直线方程为x－4＋y

16＝1或x9＋y3＝1

即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.