上海理工大学《机械制图》课件

§2-3 直线的投影

一、直线和直线上点的投影特性1 ．直线的投影

H

a

b

D

C

c(d)

A

B

直线的投影一般仍为直线。 只有当直线垂直于某一投影面时，它的投影才积聚成一点。

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o

两点确定一条直线。

只需作出直线上两端点的投影，然后连接其同面投影 。

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2 ．直线上点的投影特性

⑴ 从属性 若点在直线上，则点的各投影必在该直线的各同面投影上，且符合点的投影规律。

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2 ．直线上点的投影特性

⑵ 定比性 直线上的点分割线段之比，等于该点的投影分割线段的同面投影之比 。 A K: K B = a k : k b= ak : kb = ak : k b

A

B

b

b

a

aX O

kK

k

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[ 例 1] 已知点 C 在线段 AB上，求点 C 的正面投影。

X OA

B

b

b

a

a

c

C

c

H

V b

Xa

b

a

c

cac

cb

采用定比性

O

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解法二

c

c

b

a

b

a

c

b

a

采用从属性

X

Z

YO

Y

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b

X

a

a

bc

c

[ 例 2] 在已知线段 AB上取一点，将 AB分成 2 ： 1两段，求点 C 的投影。

（ 1 ）过 a 引一任意直线，并在其上作三等分；（ 2 ）连接 bb0，再推出平行线，交 ab于 c ；（ 3 ）由 c 再求出 c′。

b0

O

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二、各种位置直线的投影特性

分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线；前两类又称为特殊位置直线。

1 ．投影面平行线 平行于一个投影面而倾斜于另两个投影面的直线。

可分为：水平线 ----平行于 H 面，倾斜于 V 、 W 面的直线；正平线 ----平行于 V 面，倾斜于 H 、 W 面的直线；侧平线 ----平行于 W 面，倾斜于 V 、 H 面的直线。 、、分别表示直线对 H 、 V 、 W 面的倾角。

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(1) 水平线 — 平行于水平投影面的直线

X

Z

Y

O

a

a ba

b

b

X

a b a b

b

a

O

z

Y

Y

A

B

投影特性： 1 、 ab OX ; ab OY 2 、 ab =AB 3 、反映、 角的真实大小

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X

Z

Y

O

（ 2 ）正平线— 平行于正立投影面的直线

a

a

b

b

a

b

X

a

b

a

b

ba

O

Z

Y

YA

B

投影特性： 1 、 ab OX ; a b OZ 2 、 a b =AB 3 、反映、 角的真实大小

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X

Z

Y

O

（ 3 ）侧平线— 平行于侧立投影面的直线

X

Za

b b

b

a

O

Y

Y

a

a

a

b

a

b

b

A

B

投影特性： 1 、 ab OZ ; ab OY 2 、 ab = AB 3 、反映 、 角的真实大小

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2 ．投影面垂直线垂直于一个投影面而平行于另两个投影面的直线。

可分为：铅垂线 ----垂直于 H 面，平行于 V 、 W 面的直线；正垂线 ----垂直于 V 面，平行于 H 、 W 面的直线；侧垂线 ----垂直于 W 面，平行于 V 、 H 面的直线。

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OX

Z

Y

b

a(b)

a

a

b

Z

b

X

a

b

a(b)

O

Y

Y

a

投影特性： 1 、 a （ b ）积聚成一点 2 、 a b OX ; a b OY 3 、 a b = a b = AB

（ 1 ）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线

A

B

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（ 2 ）正垂线— 垂直于正立投影面的直线

OX

Z

Yb

b (c)

c

b

c

投影特性： 1 、 b(c )积聚成一点 2 、 bc OX ; bc OZ 3 、 bc = bc =BC

C

B

b

Y

z

X

b (c )

c

O

Y

c

b

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（ 3 ）侧垂线— 垂直于侧立投影面的直线

OX

Z

Y

A B

投影特性： 1 、 a （ b ） 积聚成一点 2 、 ab OY ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB

b

a

a （ b ）

a

bZ

X

a(b ）b

a

O

Y

Y

a

b

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Z

Ya

OX

a

b

b

a

Y

b

1.对三个投影面都倾斜的直线，其投影长度均小于 AB的实长。 2.其与投影轴的夹角均不反映该直线对投影面的倾角。

投影特性 :

Ha

γa

Ab

VB

b

Wβ

a

b

O

3 ．一般位置直线

X

Y

Z

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A

B

b

b

a

aX O

AB

(1)求直线的实长及对水平投影面的倾角

zB-zA

X

a

a

b

b

AB

ab

zB-zA

AB

zB-zA

ab

CZB-ZA

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aX

a

b

(2)求直线的实长及对正立投影面的倾角

A

B

b

b

a

a

CX O

YA-YB

AB

ab

YA-YB

YA-YB

AB

YA-YB

b

ab

AB

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X

Z

Y

O

(3)求直线的实长及对侧立投影面的倾角

A

B

b

b

a

b

a

a

XA-XB

XA-XB

a

Z

Xa

a

O

Y

Y

b

b

b

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b

b

X

a

a

L=BC

[ 例 3] 已知直线 AB的投影，试在 AB上定出点 C的投影， 使 BC 的实长等于已知线段 L。

c

L

AB

zA-zB

c

ab

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三、两直线的相对位置

空间两直线的相对位置可分为三种情况：平行、相交和交叉 ( 既不平行，也不相交 ) 。

其中平行和相交属于共面直线，而交叉为异面直线。

另外 , 空间两直线有相交垂直和交叉垂直两种。

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(1) 平行两直线

1、若空间两直线互相平行，则其同面投影必互相平行 。

2、平行两线段之比等于其投影之比。

X

b

a

a

d

b bc

c

X

b

a

a

b d

c

d

c

A

B

C

D

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但当两条直线同时平行于某一投影面时，虽然 a′b′∥c′d′， ab∥cd，当求出其侧面投影后，因 a″b″≠c″d″，则 AB≠CD。

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(2) 相交两直线

a

cV

X

b

H

D

a

cd

CA K

d

b

O

B

k

k

c

a

b

d

b

a

c

d

X

k

k

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且其交点符合点的投影规律。

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●c

d

d

[ 例 4] 过 C 点作水平线 CD与 AB相交 , 且 CD长度为 50mm。

先作正面投影

a

●

b

b

a

c

X

k

k

量取 CD=50

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[ 例 5] 判断两直线是否相交

da

cb

o Y

Y

z

交叉两直线

解法一：用侧面投影

两直线不相交

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[ 例 5] 判断两直线是否相交

解法二：用定比性

b

a

a

c

d

d

c

b

X

1

1d1c

1

两直线不相交

交叉两直线

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(3) 交叉两直线

凡不满足平行和相交条件的直线均为交叉两直线。

b

X

a

a

b

c

d

d

c

1

1(2)

2X O

B

D

A

Cb

b

a

ac

cd

d

2

1

1(2)

2

1

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a

c

c

Aa

C

V

b H

d

d

D

B

b

′ ′

′

′

c

a

c

a

b

d

d

b

OX

′

′

′

1(2)

2●

′

1●

′

投影特性：

●

3(4 )

3

4●●

′ ′

′

●

●

●

Ⅱ

Ⅰ

1(2)●

′

●

●1

′2 Ⅳ

Ⅲ●

●

3

●4●

′′3 (4)●

1.同面投影可能相交，但 “交点”不符合点的投影规律。2.“ 交点”是两直线上一对重影点的投影，可帮助判断两直线的空间位置。

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b

b

c

d

dc

X

a

a

3(4)

3

4

1

2

1(2)

[ 例 6] 判断两直线重影点的可见性

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(4) 垂直两直线（直角投影定理） 垂直相交两直线，若其中一条直线为某投影面的平行线时，则两直线在该投影面上的投影必定反映直角。

已知 AB⊥BC，其中 AB H∥ 面， BC倾斜于 H 面。因AB⊥Bb， AB⊥BC，则 AB⊥BbcC平面；又因 ab AB∥ ，所以ab⊥BbcC平面，因此 ab⊥bc，即∠ abc =∠ABC = 90º

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[ 例 7] 试判断下列两直线是否垂直。

如相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一直线为该投影面的平行线时，则这两直线在空间必定互相垂直。

当两直线是交叉垂直 ( 即两直线垂直但不相交 )时，也符合直角投影定理。

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[ 例 8] 求交叉两直线 AB、 CD的公垂线。

分析 交叉两直线的公垂线，就是与 AB和 CD都垂直的直线。由于 AB是铅垂线， CD是一般位置直线，所以其公垂线必为一条水平线，它与 CD的垂直关系在 H 面上反映。

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[ 例 9] 已知菱形 ABCD的一条对角线 AC为一正平线，菱形的一边 AB位于直线 AM上，求该菱形的投影。分析 菱形的两对角线互相垂直且平分，其对边互相平行。