池北二中初三数学组 2011.10.18 讲课

问题 1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？

·O ·O ·OP ·

P· P·

A

问题 2、经过圆外一点 P，如何作已知⊙ O的切线？

O。

A

B

P

思考：假设切线 PA已作出， A为切点，则∠ OAP=90°, 连接 OP ，可知 A在怎样的圆上 ?

在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长

·O P

A

B

切线与切线长的区别与联系：（ 1）切线是一条与圆相切的直线；（ 2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

若从⊙ O外的一点引两条切线 PA， PB ，切点分别是 A、 B，连结 OA 、 OB 、 OP ，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。

A

PO。

B

PA = PB∠OPA= OPB∠

证明：∵ PA ， PB 与⊙ O 相切，点 A ， B 是切点

∴OA⊥PA ， OB⊥PB 即∠ OAP= OBP=90°∠

∵ OA=OB ， OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)

∴ PA = PB OPA= OPB∠ ∠

试用文字语言叙述你所发现的结论

PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、B

PA = PB

∠OPA= OPB∠

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

切线长定理

A

PO。

B

几何语言 :

反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法

我们学过的切线，常有 五个 性质：

1 、切线和圆只有一个公共点；

2、切线和圆心的距离等于圆的半径；

3、切线垂直于过切点的半径；

4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

六个

A

PO。

B

M

若连结两切点 A、B， AB 交 OP 于点 M.你又能得出什么新的结论 ?并给出证明 .

OP 垂直平分 AB证明：∵ PA ， PB 是⊙ O 的切线 , 点 A ， B 是切点

∴PA = PB OPA= OPB∠ ∠

∴△PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线

∴OP 垂直平分 AB

A

PO。

B 若延长 PO 交⊙ O于点 C，连结 CA、 CB ，你又能得出什么新的结论 ?并给出证明 .CA=CB

证明：∵ PA ， PB 是⊙ O 的切线 , 点 A ， B 是切点

∴PA = PB OPA= OPB∠ ∠

∴PC=PC

∴ △PCA PCB ≌△ ∴AC=BC

C

例 .PA 、 PB 是⊙ O的两条切线， A、 B为切点，直线OP交于⊙ O于点 D、 E，交AB 于 C。

B

A

PO CE D（ 1 ）写出图中所有的垂直关系OA PA⊥ ， OB PB⊥ ， AB OP⊥

（ 3 ）写出图中所有的全等三角形△AOP △ BOP△ ， △ AOC BOC≌ △ ， △ ACP BCP≌ △

（ 4 ）写出图中所有的等腰三角形 △ABP AOB△

（ 5 ）若 PA=4 、 PD=2 ，求半径 OA

（ 2 ）写出图中与∠ OAC 相等的角∠OAC= OBC= APC= BPC∠ ∠ ∠

。 P

B

A

O

（ 3）连结圆心和圆外一点

（ 2）连结两切点（ 1）分别连结圆心和切点

反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。

反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。

1. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

小 结：

A

PO。

B

E C D

∵PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、B∴PA = PB , OPA= OPB∠ ∠

OP 垂直平分 AB

切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。

2. 圆的外切四边形的两组对边的和相等

．

o． o．o．

．o

外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。

三角形外接圆 三角形内切圆

．o

内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。

内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。

AA

BB

C C

分析题目已知：如图 , △ABC 的内切圆⊙ O与 BC 、 CA 、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且 AB ＝ 9厘米， BC ＝ 14 厘米 ,CA ＝ 13 厘米 ,求 AF 、BD 、 CE 的长。

A

E

CDB

F O

例 .如图所示 PA、 PB 分别切圆 O于 A、 B，并与圆 O的切线分别相交于 C、D， � 已知PA=7cm ，(1) 求△ PCD 的周长．(2) 如果∠ P=46°,求∠ COD 的度数

C

· OP

B

D

A

E

过⊙ O外一点作⊙ O的切线

O · P

A

B

O

例例 11 ABC△ ABC△ 的内切圆⊙的内切圆⊙ OO 与与 BCBC 、、 CACA 、、 ABAB 分别相切于分别相切于 点点 DD 、、 EE 、、 FF ，且，且 AB=9cmAB=9cm ，， BC=14cmBC=14cm ，， CA=13cmCA=13cm ，， 求求 AFAF 、、 BDBD 、、 CECE 的长的长 ..

解解 ::

设设 AF=x(cm), BD=y(cm),CEAF=x(cm), BD=y(cm),CE ＝＝ z(cm)z(cm)

∴ ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).

∵⊙⊙OO 与与△△ ABCABC 的三边都相的三边都相切切∴∴AFAF ＝＝ AE,BDAE,BD ＝＝ BF,CEBF,CE ＝＝CDCD

则有则有xx ＋＋ yy ＝＝99yy ＋＋ zz ＝＝1414xx ＋＋ zz ＝＝1313

解得解得xx ＝＝44yy ＝＝55zz ＝＝99 ∴ ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).

例 .如图，△ ABC中 ,∠C =90º , 它的内切圆 O分别与边 AB、 BC 、 CA 相切于点 D、 E、 F，且 BD=12 ， AD=8 ，求⊙ O的半径 r.

O

EB

D

C

A

F

1. 一个三角形有且只有一个内切圆；

2.一个圆有无数个外切三角形；

3.三角形的内心就是三角形三条内角平

分线的交点；

4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

分析． 试说明圆的外切四边形的两组对边的和相等．

· OA B

C

D

E

F

· OA B

C

D

E

选做题：如图， AB是⊙ O的直径，AD、 DC 、 BC 是切线，点 A、 E、 B为切点，若 BC=9 ， AD=4 ，求 OE 的长 .

·B

D

E

FO

C

A如图，△ ABC 的内切圆的半径为 r, △ABC 的周长为 l, 求△ ABC 的面积S.解：设△ ABC 的内切圆与三边相切于 D 、 E 、 F ，

连结 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF ，

则 OD AB⊥ ， OE BC⊥ ， OF AC.⊥∴S ABC△ ＝ S AOB△ ＋ S BOC △ ＋ S AOC△

＝ AB·OD ＋ BC·OE ＋ AC·OF2

1

2

1

2

1

2

1＝ l·r设△ ABC 的三边为 a 、 b 、 c ，面积为S ，

则△ ABC 的内切圆的半径 r ＝

2Sa ＋ b ＋ c

三角形的内切圆的有关计算

·

A

BC E

D

FO

如图， Rt ABC△ 中，∠ C ＝ 90°,BC ＝ a,AC ＝ b, AB ＝ c,⊙O 为 Rt ABC△ 的内切圆 . 求： Rt ABC△ 的内切圆的半径 r.

设设 AD= AD= xx , BE= , BE= yy ,CE ,CE ＝ ＝ rr

∵∵ ⊙⊙OO 与与 Rt ABC△Rt ABC△ 的三边都相切的三边都相切∴∴ADAD ＝＝ AF,BEAF,BE ＝＝ BF,CEBF,CE ＝＝CDCD

则有则有xx ＋＋ rr ＝＝bbyy ＋＋ rr ＝＝aaxx ＋＋ yy ＝＝cc

解：设 Rt ABC△ 的内切圆与三边相切于 D 、 E 、 F ，连结 OD 、 OE 、 OF 则 OA AC⊥ ， OE BC⊥ ， OF

AB⊥ 。

解得解得 rr ＝＝a ＋ b － c2

设 Rt ABC△ 的直角边为 a 、 b ，斜边为 c ，则 Rt AB△C 的

内切圆的半径 r ＝ 或 r ＝a ＋ b － c

2ab

a ＋ b ＋ c

·

A

BC E

D

FO

如图， Rt ABC△ 中，∠ C ＝ 90°,BC ＝ 3,AC ＝ 4, ⊙O为 Rt ABC△ 的内切圆 . （ 1 ）求 Rt ABC△ 的内切圆的半径 . （ 2 ）若移动点 O 的位置，使⊙ O 保持与△ ABC 的边 AC 、 BC 都相切，求⊙ O 的半径 r 的取值范围。

设设 AD= AD= xx , BE= , BE= yy ,CE ,CE ＝ ＝ rr

∵∵ ⊙⊙OO 与与 Rt ABC△Rt ABC△ 的三边都相切的三边都相切∴∴ADAD ＝＝ AF,BEAF,BE ＝＝ BF,CEBF,CE ＝＝ CDCD

则有则有xx ＋＋ rr ＝＝44yy ＋＋ rr ＝＝33xx ＋＋ yy ＝＝55

解：（ 1 ）设 Rt ABC△ 的内切圆与三边相切于 D 、 E 、 F ，连结 OD 、 OE 、 OF则 OA AC⊥ ， OE BC⊥ ， OF AB⊥ 。

解得解得 rr ＝＝11

在在 Rt ABC△Rt ABC△ 中，中， BCBC ＝＝ 3,AC3,AC ＝＝ 4, AB∴4, AB∴＝＝ 55

由已知可得四边形由已知可得四边形 ODCEODCE 为正方形，∴为正方形，∴ CDCD ＝＝ CECE ＝＝ ODOD

∴ Rt ABC△ 的内切圆的半径为 1 。

（ 2）如图所示，设与 BC、AC 相切的最大圆与 BC、 AC的切点分别为 B、 D, 连结 OB 、OD, 则四边形 BODC 为正方形。

·

A

B

OD

C

∴OB＝ BC ＝ 3∴半径 r的取值范围为 0＜ r≤3

几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。

基础题：基础题：1.1. 既有外接圆既有外接圆 ,, 又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是 ______.______.2.2. 直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为 5cm,5cm, 内切圆半径为内切圆半径为 1cm,1cm, 则此三角形的周长是则此三角形的周长是 _______._______.3. O⊙3. O⊙ 是边长为是边长为 2cm2cm 的正方形的正方形 ABCDABCD 的内切圆的内切圆 ,EF,EF 切⊙切⊙ OO 于于 PP 点，交点，交 ABAB 、、 BCBC 于于 EE 、、 FF ，则△，则△ BEFBEF 的周长是的周长是 _____._____.

E

F H

G

正方形正方形

22cm22cm

2cm2cm

4.4. 小红家的锅盖坏了小红家的锅盖坏了 ,, 为了配一个锅盖为了配一个锅盖 ,, 需要测量锅盖的需要测量锅盖的直径直径 (( 锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径 ),), 而小红家只有一把长而小红家只有一把长 20cm20cm 的直尺的直尺 ,, 根本不够长根本不够长 ,, 怎么办呢怎么办呢 ?? 小红想了想小红想了想 ,, 采取以下方采取以下方法法 :: 首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根 ,, 锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙 ,, 用直尺紧贴用直尺紧贴墙面量得墙面量得 MAMA 的长的长 ,, 即可求出锅盖的直径即可求出锅盖的直径 ,, 请你利用图乙请你利用图乙 ,, 说说明她这样做的道理明她这样做的道理 ..

同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！