§3-3 晶格振动量子化与声子
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§3-3 晶格振动量子化与声子. 问题的提出: 在简谐近似下,晶体中存在 3NS 个独立的简谐格波,晶体中任一原子的实际振动状态由这 3NS 个简谐格波共同决定,那么, 晶格振动的系统能量是否可表示成 3NS 个独立谐振子能量之和?. 一、晶格振动和谐振子. 1 .系统能量的普遍表示 一维单原子链中,平衡时距原点为 na 的原子, t 时刻的绝对位移是 q 所有可能的 N 个值的特解的线性叠加:. 其中 A q ( t )= A q e -iωt 。按经典力学系统的总能量为动能和势能之和:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
§3-3 晶格振动量子化与声子
问题的提出: 在简谐近似下,晶体中存在 3NS 个独立的简谐格波,晶体中任一原子的实际振动状态由这 3NS 个简谐格波共同决定,那么, 晶格振动的系统能量是否可表示成3NS 个独立谐振子能量之和?
2 2
一、晶格振动和谐振子 1 .系统能量的普遍表示 一维单原子链中,平衡时距原点为 na
的原子, t 时刻的绝对位移是 q 所有可能的 N 个值的特解的线性叠加:
tqnai
qqn eAtU =
iqna
qq etA=
其中 Aq ( t )= Aqe-iωt 。按经典力学
系统的总能量为动能和势能之和:
nnn
nn UUUmWTE 2
1
2
22
1 ==
该表示式中有( Un+1×Un )的交叉项存在,对建立物理模型和数学处理都带来困难。用坐标变换的方法
消去交叉项。
2 .坐标变换(变量置换) 设
q
iqnaqn etQ
NmtU
1=
( 3 - 51 )
式中 Qq(t) 称为简正坐标,容易证明:
( 3 - 52 )
',
i q q na
q qn
e N ’=
',
i n n qa
n nq
e N ’=
证明要点: q=q’ 时,显然成立; q≠q’ 时,为等比级数求和,即可证。
由式( 3 - 51 ),( 3 - 52 )可得
q
iqnaqn etQ
NmtU
1=
iqna
nnq etU
N
mtQ =
iqna
nnq etU
N
mtQ =
( 3 - 51’ )
( 3 - 53’ )
( 3 - 53 )
3 .系统能量的重新表示
由式( 3 - 51 )~( 3 - 53’ )可得系统势能
qqq
q QQW 2
2
1 =
22
2
1q
qq Q (3-54’)
式中 ω2q = 2
sin4 2 qa
m
不含交叉项了。(请同学们自行推导)
类似地,系统的动能也可写为
n
nUmT2
2
1=
qqQ
2
2
1=
于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式:
q qqqqq EQQE =+=
222
2
1 (3-56)
复习:经典谐振子能量 E = T + W = m + kx2 ,
所以( 3 - 56 )式相当于 m=1, k=ωq2 的
以 Qq 为自变量的谐振子能量。 可见由 N 个原子组成的一维单原子晶体有 N个格波,其晶格振动能量可看成 N 个谐振子的能量之和。
2x2
1
2
1
二 、能量量子和声子 (量子力学修正) 把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。量子力学告诉我们,频率为的谐振子,其能量为
nEn 2
1= n=0,1,2……
( 3 - 57 )
这表明谐振子处于不连续的能量状态。
当 n = 0 时,它处于基态, E0 = , 称为零点能。
相邻状态的能量差为 , 它是谐振子的能量量子,称它为声子,正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。
2
1
3NS 个格波与 3NS 个量子谐振子一一对应
因此式( 3 - 57 )也是一个频率为 ω 的格波的能量。
频率为 ωi(q) 的格波被激发的程度,用该格波所具有的能量为 ωi (q) 的声子数 n 的多少来表征。
1. 声子是玻色子
一个模式可以被多个相同的声子占据,ω 和 q 相同的声子不可区分,自旋为零。满足玻色统计。 除碰撞外,不考虑它们之间的相互作用,则可视为近独立子系,则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。
讨论
2. 平衡态声子是非定域的对等温平衡态,格波是非定域的,声子属于格波,所以声子也是非定域的,它属于整个晶体 .
粒子数不守恒,例如温度升高后声子数增加。声子与声子,声子与其它粒子、准粒子互作用,满足能量守恒。
3. 声子是一种准粒子
4. 准动量选择定则
不具有通常意义下的动量,常把 q 称为声子的准动量。准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢 Gh
ω(q)= ω(q+ Gh)
例 : 二声子作用q1 + q2 = q3 + Gh 简写成: q1 + q2 = q3 + Gh
各个格波可能具有不同的声子数,在一定温度的热平衡态,一个格波的平均声子数有多少呢? 由于声子间相互作用很弱,除了碰撞外,可不考虑它们之间的相互作用,故可把声子视为近独立子系,这时玻色-爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。
三 . 平均声子数
在确定的温度 T 下,频率均为ω的 N个格波的平均能量
N
N nnn
=
其中: N— 频率为ω的格波总数, (并不是晶体的格波总数) Nn—频率为 ω,能量为 En(即声子数为 n)的格波数,能量为 的声子在同 ω的格波间均可存在,某
一 ω的格波具有声子数 n 的状态,满足一定的几率分布。可理解为声子在格波间可跳跃。
Nn/N :温度为 T、频率为ω、能量为 En(即n 为某确定值 )的格波出现的几率,由玻尔兹曼统计
其中:分母为配分函数 gn :能量为 En 的相格数,即能量 En 的简并度。 设: gn = 1
KTEn
n
KTEn
nn
n
eg
eNgN
=
0
0
n
KTE
KTE
nn
n
n
e
eEE =
0
0
n
KTE
KTE
nn
n
n
e
eEE =
nEn 2
1=其中,由( 3 - 57 )
KT
KT
n
KTn
n
KTn
e
e
e
en
2
2
0
0
2
1
+=
)(ln0
0
2
0
2
n
KT
n
n
KT
nn
KT
n
eT
e
KTe
TKT
==
因为
02
0
2
)1
)((n
KT
n
n
KT
ne
TK
n
e
KT
=
0
0
n
KT
nn
KT
n
e
en
=
0
0
1
2
n KT
n
n KT
n
n e
e
= +
• 利用等比级数求和公式、求导、整理可得
E 2
1 + kBT2
( 3 - 58 )
1)exp(
1
2
1
TkE
B
+=
)( n2
1( 3 - 58‘)
n=0 B
n[ln exp( ]
kT T
)
其中
意义: 频率为ω的格波温度为 T时的平均声子数。 当 = k
BT 时, ≈ 0.6, 定性地讲,此格波已
激发,以此为界,温度为 T 时,只有 ω≤kBT 的格
波才能被激发。
1exp
1),(
-=
Tk
Tn
B
( 3 - 59)
n