1א "חדו סיכום הה רצ אות של מר מרד כי אפשטיין

אודי רובינשטיין: עורךhttp://www.cs.tau.ac.il/~ehudrubi

30/08/2004: עודכן בתאריך

ר ו ו ח ים

a b

[a, b]רווח סגור

a b

(a, b)רווח פ ת ו ח

a b

[a, b)רווח חצי סגור חצי פ ת וח

a b

(a, b]רווח חצי פ ת וח חצי סגור

קבו צות

)(Aϕ

A

קבוצת ה חזקה

x

Ax∈A

A

B

BA⊆

A

B

cAAה משל ים של

י חס י ם בין קבוצ ות

BA∩A BA B

BA− BA∪A B

A B

Aו - Bזרות

ז וג ו ת סד ו ר י ם(X, Y) = { {x}, {x, y} }

z = (x, y)

x

y

x = Pr1(z)

y = Pr2(z) (x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3) (x4, y4)

(x5, y5)y5

y4y3

y1y2

x5x4x3x2x1

G -גרף

Pr1(G)

Pr2(G)

),(),( xyyx ≠

ק רט ז יתמכפלה },,{ 321 aaaA =

},,{ 321 bbbB =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=×

),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(

332313

323212

312111

bababababababababa

BA

ABBA ×≠×nAAA =×× ...2AAA =×

BBA =× )(2PrABA =× )(1Pr

י חס י ם

(A, B, R) –יחס בינארי (A, B, R) = (A’, B’, R’)A = A’B = B’R = R’

RyxxRy ∈= ),(

y5

y4

y3

y1

y2

x5x4x3x2x1

R – הגרף של ה יחס

AR ⊆)(1Pr

BR ⊆)(2Pr

תח ו ם ה י חס

ט ו ו ח ה י חס (A, A, R) – יחס ה ו מ וגני

(A, B, AxB)- אונב רסל י י חס

R-1 –יחס הפ וך

פונ ק צי ות

A BBAf →:

תחום טו וח

א קס י ומת הסד ר

R יחס סדר טוטאלי על -≥

zyzx

yx

+≤+⇓

≤

yzxz

zyx

≤⇓

≥∧≤ 0

שדה עם יחס סד ר טוטאל י ה מקי ים שת י תכונ ו ת א ל ו נקרא שדה סד ור

קבו צה צפופה

x y

z

בי ן כל ש ני איברי ם של קבוצה צ פ ו פה י ש א יבר נו ס ף הש י יך ל קבוצה

R היא ק בוצה צפ ו פה

חסמ ים

חסמ י מ לעי ל

חסם עלי ו ן

חסם תחת ו ן חסמ י מ לרע

supA – חסם עלי ו ן של AinfA – חסם תחת ו ן ש ל A

AxAAxA

∈≤∈≥

infsup

קבוצה ה חסו מ ה גם מלע יל וגם מלר ע תקרא קבוצה חס ו מה

א קס י ומת השלמו ת

. אז י ש ל ה חסם עלי ו ן , אם לא ריקה וחס ו מה מ ל עיל RA⊂

: מ סקנה מאק ס י ו מ ת ה של מ ו ת

. אז י ש ל ה חסם תחת ו ן, אם לא ריקה וחס ו מה מ ל רע RA⊂

Dedekindמשפט

: בהינ ת ן

yxByAxRBA

BARBA

<⇒∈∈=∪≠≠

⊂

,

,,

φφ

: קי ים יחיד כך ש γ

R

BAγ

γ>zγ<z

מש פט זה שקו ל לאקס י ו מ ת הש ל מ ו ת *

א רכ י מיד י אנ יו ת

R כל ו מר, ארכימ י דיאנ י הוא ש דה סד ור :

.nx>y - כך שnאזי קי ים מ ס פר טבעי , x>0 -אם כך ש Ryx ∈,

הח ל ק ה שלם

1][][ +≤≤ xxx

[x] – שלם

סביבה

.x תקרא סב יבה של x המ כילה רו ו ח פת וח ה מכי ל א ת Vכל קבוצה

x)( )(( )

רווח פ ת ו ח הוא ס ביבה ש ל כל אחת מנקו ד ו ת י ו

)(

xסביבה ס י מטרי ת של

)(x

εε

)( x

xסביבה מ נוקבת ש ל

מר ח ב טופול ו ג י Rx∈

V(x) קבוצ ת כל הסב יבו ת של x

x)( )(( )

vxxVv ∈⇒∈ )()(),( xVwwvxVv ∈⇒⊂∈

)()(, 2121 xVvvxVvv ∈∩⇒∈

)()()( yVvwyxVwxVv ∈∃∈∀→∈∃⇒∈

x)( )(

w

v

y

אז נא מר , ל " ש מקי י מ ו ת א ת ה תכו נ ות הנX ש ל סביב ו ת ש ל V(X) נבחרה קבוצה X ב xאם עבור כל . מבנה ט ו פ ול וגי Xשה וגדר על

. ולא י בריו ק וראים נקוד ו תמרחב טופ ו ל וגיקבוצה כזו ה מצ ו י דת בט ופ ו ל וגיה נק ראת

מערכת פונד מנטלית של סביבות

א ם כל סביבה , x נקראת מערכת פ ונד מנ ט ל ית ש ל סביב ו ת של xקבוצת ס ביבו ת ש ל נק ודה . מכי לה סב י בה מ ה מ ערכתxשל

x)( )( ( ) )(

נ קו ד ה פנימיתAV-כך ש, x של V אם קיי מ ת סב יבה A- נקראת נקודה פנ י מ י ת ל xנקודה ⊂

x)( )(

A

V

y

AcAc

( )

.A0- ו י ס ו מ ן בA נקרא הפנ ים ש ל Aאו ס ף כל הנקו ד ו ת ה פנ י מ י ו ת ש ל AAברור כי ⊂0

. Ac אם היא פנ י מ י ת ל A נקראת נקודה חי צונ י ת לקבוצה yנקודה .A קו ראים החוץ ש ל 0(Ac)לקבוצה

. כל נקוד ה הש י יכ ת לרו וח פת וח נק ודה פ נ י מ י ת לרו וח זה

000

00

)( BABABABA

∩=∩

⊂⇒⊂

קבו צה פתוחה . ה ן פנ י מ י ו ת לקבוצה זוAאם כל הנקוד ו ת של , כל ו מר, A=A0קבוצה נ קראת פ ת וחה אם RA⊂

x)( )(

y( )

z( )

A

. האיחוד של מ שפ חה כלשהי ש ל קבוצו ת פ ת וחו ת ה יא קבוצ ה פ ת וחה. החית וך של מ ס פ ר סו פ י ש ל קבוצ ו ת פת וח ו ת ה יא ק בוצה פ ת וחה

נ קו ד ת סג ו ר ∩≠φ: מ תק י יםx אם עבור כל סב יבה ש ל A נקראת נקו דת סגור של A של xנקודה AV

x)( )(

y( )

z( )

A

V

A ו י ס ו מ ן A נקרא ה סגור של Aאו ס ף כל נקוד ו ת הסגור ש ל קבוצה

⊃AA היא נקוד ת סגור שלה ולכ ן Aכל נקוד ה ש ל

קבו צה סג ו ר ה

AA אםקבוצה ס גורה נקראת Aקבוצה =

ה יא פת וחה Ac ה יא סגורה אם ורק אם Aקבוצה

. החית וך של מ שפ חה כלשהי ש ל קבוצו ת ס גורות ה ו א קבוצה סגורה.האיחוד של מ ס פ ר סו פ י ש ל קבוצ ו ת סגורו ת ה וא ק בוצה סגו רה

נ קו ד ת הצטבר ות. A- מכי ל ה איבר מ xא ם כל סביבה מ נ ו קבת של , A תקרא נקודת הצ טברות של xנקודה

x )( )( y( )z

( )

A

V

’A- ו ת ס ו מ ן ב A נקראת הקבוצ ה הנגזרת ש ל Aקבוצת כל נק וד ו ת ההצטברות של

φ='A ס ו פ ית אזAאם

. הה י פך אינ ו נכו ן, ה י א נקוד ת הצטברות אז ה י א גם נקודת סגורxאם

RA⊂AAקבוצה סגורה אם ורק אם ⊂'

X ה יא נ קודת הצ טברות של A אם ורק אם לכל ס ביבה V של x הקבוצה היא א ינ ס ו פ ית . AV ∩

. הה יפך אינ ו נכו ן , נק וד ת הצט ברות אז ה יא אי נ ס ו פ ית Aאם לקבוצה

נ קו ד ה מבוד דת. שאינ ה נ קודת הצ טברות נ קראת נ קודה מב ודד תxנקודה

x ה יא נק ודה מבו דדת ב -A אם ורק אם קיי מ ת סב י בה V ש ל xכך ש }{xAV =∩

. קבוצה די סק רטיתקבוצה ש כל נקוד ו ת יה מב ו דדו ת נקראת

. הן קבוצ ו ת די סקרטי ו תZ- ו Nהקבוצו ת

AAA': ולכ ן, ה י א נקוד ת הצטברות א ו נק ו דה מבו ד דתAכל נקוד ת סגור של ∪=

Weierstrass-Bolzanoמשפט

אזי י ש ל ה ל פ חות נקו דת הצט ברות אחת , אם ה יא קבוצה אינ ס ו פ י ת וחס ו מ ה). ס ו פ ית או לא(

RA⊂

)(x

( )

A

כיס ו י : אםA או מרים ש היא כ י ס ו י של Rע ל מ שפחה של ת ת קבוצו ת של . תה י RA⊂IiiEF ∈= )(

∪Ii

iEA∈

⊂

A

)(( ) ( )( )

E3E2E1

. כ י ס ו י פת וח ה וא F ה וא ק בוצה פ ת וחה נא מ ר ש Fאם כל איבר של

.F ש ל תת כיס ו י נקראת A שגם היא מכ סה א ת Fת ת מ שפחה של . A כי ס ו י של Fיה י

. כ י ס ו י ס ו פ י ה יא F-או מרי ם ש, מ ספ ר סו פ י ש ל א יבריםF-ול , A- היא כ י ס ו י ל Fאם המש פחה

קבו צה ק ומ פקטית, כלו מר, מכי ל תת כי ס ו י ס ו פ יA של Fקבוצה נקראת קו מפקט י ת אם כל כי ס ו י פ ת וח

: כך ש, -F חלקית ל (Ei,…,Ek)קי י מ ת מ שפחה ס ו פ ית RA⊂

∪k

iiEA

1=

⊂

. קבוצה ה יא קו מפקט י ת אם ורק אם היא סגורה וחס ו מ ה – Borel-Lebesgueמ שפט RA⊂

מוש ג ה ג בול

ε<− || lan

אם לכל ק י ים כך שאם an י ה יה גבו ל ש ל L, סדרה מ מ ש ית anתה י : אזי

0>ε*Nv∈vn ≥

l

ε

*Nvna ∈>

laal

n

n

→= lim .L- ל מ תכנ סת an -אז או מרי ם ש, an ה ו א גבול של Lאם

. אי ן גבול אז או מרי ם שזו ס דרה מ ת בדרתanאם ל

. מ תכנס ת אז היא חסו מ הanאם .אם היא לא חס ו מ ה אז ה י א מ תבד רת

) המשך (מוש ג ה ג בול

L מ ספר ס ו פ י ש ל יה י ה גבול של הסדרה אם כל ס ביבה ש ל ו מכ י לה את כל א ברי הסד רה פרט ל.איברים

l( )

סד ר ה מתבדרת

0|| ε≥− lan

anקי יםאם ורק אם לכל ק י ים כך שלכל , סדרה מ מש י ת :עבורו

00 >ε*Nv∈vn > Rl∈

l

0ε

*Nvna ∈>

) המשך (מוש ג ה ג בול

, A שא יבריה ב anקיי מ ת סדרה , א ם ורק אם, A הוא נקוד ת סגור של Lה מ ס פר , תה י . L-ה מתכנ ס ת ל

RA⊂

lR

A

an

( )

.A הוא נקוד ת הצטב רות של L אז L שו נ ים מ anאם כל איברי

. קבוצה ס גורהAאז , ש מתכנ ס תanאם לכל Aan ∈lim

מערכת המספר י ם הממשי ים המור חב ים

},{ +∞−∞∪= RR

. קי י ם ב חסם עלי ו ן וחסם תחת ו ן) Rו בפרט של ( לכל ת ת קבוצה ל א ריקה של RR

−∞=−∞++∞=∞+)(x

x

0>x 0<x

−∞=−∞⋅∞=∞⋅)(x

x+∞=−∞⋅

−∞=∞⋅)(x

x

Weierstrass משפט –סד ר ות מונ וטו ני ות החס ם העלי ו ן של ה א ם הסדרה : וה ו א-אזי יש ל ה גבול ב, סדרה מ מ ש ית מ ו נוט ו נ ית anתה י

.עולה וה חסם הת חתו ן של ה אם הסדרה י ו רדתR

סדרה מ ו נוט ו נ ית מ תכנ סת אם ורק אם היא חסו מ ה

גבול עלי ו ן וגב ול ת חתו ן של סי ד רה מ ס פר נקרא נקוד ת גבול או גבול חל קי ש ל ה סדרה אם קיי מ ת . סדרה מ מ ש ית anתה י

ת ת סדרה כך שRl∈

knalakn →

l

knana

( )

אם ורק אם כל סב יבה של ו מכ י לה א ינ ס ו ף anמ ס פר ה ו א נקוד ת גבול של ה סדרה .איברים של הס ד רה

Rl∈

. כל סדרה מ מ ש ית חס ו מה מכ י לה ת ת סדרה מ תכנס ת – Cesaroהל מה ש ל

. אזי ק י י מ ת ת ת סדרה ש גבולה , )מ לרע( ה יא סדרה לא חס ו מ ה מ לעי ל anאם ∞+−∞)(

. לכל סדרה מ מש י ת ק י ים גבול חלק י ב R. l י ש גבול ו ה וא anאז ל , )ס ופ י א ו לא( י חיד l קי ים גבול חלקי anאם לסד רה

י ו ן של ה ס דרה וה מ ס ו מנ ת לכל סדרה מ מש י ת יש נק ו דת גבול ב הגדו לה ב י ו תר הנקראת הגבול העל ש ל ה סדרה וכמ ו כן יש לה נקוד ת גבול ב הקטנה בי ו תר הנקראת הגבול ה תחת ו ן . -ב

. -וה מ ס ו מ נ ת ב

RnasuplimR

nainflim

גבול עלי ו ן וגב ול ת חתו ן של סי ד רה : . י ש גבו ל אם ורק אם קיי םanל סדרה

.וב מקרה זה הערך ה מש ו ת ף של הגבול העל י ו ן ו התח ת ו ן ה וא גבול ה ס דרהnn aa supliminflim =

.A- י ש נק ו דת גבול הש י יכת ל A-קבוצה ה יא ק ו מ פ קטית א ם ורק אם לכל ס דרה ב.A- מכי לה ת ת סד רה המ ת כנסת ל נ קודה ב A-כ ל ס דרה ב, או ב מ יל י ם אחרות

RA⊂

Cauchyהק ר יטר י ו ן ש ל א ם לכל ) או סדרה פ ונד מ נ טל ית (Cauchy ה יא סדרת anנ אמר ש . סדרה מ מ ש ית anתה י

: אזי-קי ים כך שאם ו 0>ε

*Nv∈vn ≥vm ≥

ε<− || nm aaε

na mal

. היא חסו מ הCauchyכל סדר ת

.Cauchyסדרה מ מ ש ית מ תכנס ת אם ורק אם היא סדרת

ו לו ג ר יתמיםא קס פוננ ציא ל ים: י" עaxנגדיר את ה חזקות . x- ה מ תכנס ת ל רציונ ל ים ס דרת rnתה י . כלשה ו- ו a>0יה י Rx∈

nrx aa lim=:אזי ק י ים, x- ה מ תכנ ס ו ת כל אחת ל רצי ונ ל ים ה ן ש ת י סדרו ת ש ל r’n - ו rnאם עבור נת ו ן Rx∈

nnnn rrrr aaa ⋅= −''

: ולכ ן נקבל ש -נ ו בע ש, 0 שגבולה רצי ונ ל ים היא סדרת -וה י ו ת ו nn rr −'1' →− nn rra

nn rr aa limlim ' =

e

xn

ne

nx

=+∞→

)1(lim

לו ג ר יתמים

bxxe

bxxab

ab

=⇔=

=⇔=

ln

log

ccara

cacacaac

bb

br

b

bbb

bbb

log)/1(logloglog

loglog)/(logloglog)(log

−==

−=+=

xb

xbx

xb

b =

=log

)(log

0)ln(

ln >⇐=

=

xxexe

x

x

0ln

0log

>⇔=⇔=

>⇔=⇔=

yyxey

yyxbyx

bx

mxx

a

am log

loglog =

גבול של פונ ק ציה בנקודה fמ ספר נק רא גבול של . - בA נק וד ת הצטב רות של x0 -תה י ו

x0 , אם ל כל סב יבהW של l קי י מ ת סביבה מ נוקבת V* של x0כך ש :RRAf →⊂:RRl∈

WxfAVx ∈⇒∩∈ )(*lxf

xx=

→)(lim

0

l

(

(

W

x0( )

V*

A

) המשך (גבול של פונ ק ציה . x0 - לכל ה י ו תר גבול אחד בf - ב אזי ל A נקוד ת הצט ברות ש ל x0 -תה י ו RAf →:R

Cauchy-Bolzanoהק ר יטר י ו ן ש ל אם ורק אם לכל x0 - גבול ס ופ י בfל . - בA נקוד ת הצט ברות ש ל x0 -תה י ו

: כך שלכל קי יםx0 של *Vקי י מ ת ס ביבה RAf →:R0>ε

AVyx ∩∈ *,

ε<− |)()(| yfxf

l

(

(

x0( )

V*

A

ε

Stolzהק ר יטר י ו ן ש ל

x0( )

A - {x0}

x1 x2 x3 x4 x5x6

xn

)(lim nxfl =

אם ורק אם עבור כל סד רה x0 - יש גבול ב fל . - בA נקוד ת הצט ברות ש ל x0 -תה י ו xnשאבריה ב - A - {x0} וה ש ואפ ת ל x0 , ל סדרהf(xn)קי י ם גבול .

RAf →:R

Heine – l הוא גבול של f בנקודה x0 אם עבור כל ס דרה xn שאבריה ב A - {x0} והש ו אפת ל x0 . קי ים lxf n →)(

גבול של פונ ק ציה ביח ס ל תת קבו צה ה י א נקוד ת x0 -תה י כך ש. A נקוד ת הצט ברות ס ו פ ית או ל א של x0 -תה י ו

בנקודה l הגבו ל f/B -אם ל , B י חסי ת ל x0 - בf ה וא הגבול של lנא מר שה מס פר . Bהצטברות ש ל x0 ,ונרש ום :

RAf →:AB ⊂

x0( )

A

B

l

lxfBxxx

=∈→

)(lim0

) המשך (גבול של פונ ק ציה ביח ס ל תת קבו צה אם קי ים אזי עבור כל . A נקוד ת הצט ברות ש ל x0 -תה י ו

: היא נקוד ת הצטב רות של ה מ תקי י םx0כך ש RAf →:lxf

xx=

→)(lim

0AB ⊂

lxfBxxx

=∈→

)(lim0

! הה יפך אינ ו נכו ן

גבול ות צד די י ם

x0

)(lim0

xfxx −→

גבול י מ נ י

גבול ש מ אלי

)(lim0

xfxx +→

),( 00xAAx −∞∩=

−),( 00

+∞∩=+

xAAx

:וא ז, שנ י גבול ות צדד י ים והם שו ו יםx0 אם ורק אם קיי מ ים ב x0 - קי ים גבול ב fל

)(lim)(lim)(lim000

xfxfxfxxxxxx +→−→→

==

פעול ות בגבול ות של פונ ק צי ות: הגבול ו ת אזי וסופייםאם קיי מ י ם )(lim),(lim

00

xgxfxxxx →→

( ) )(lim)(0

00

0

0

0

000

00

000

)(lim)(lim

)(lim)(lim

))((lim

)(lim)(lim))((lim

))((lim))((lim

)(lim)(lim))((lim

xg

xx

xg

xx

xx

xx

xx

xxxxxx

xxxx

xxxxxx

xxxfxf

xgxf

xgf

xgxfxfg

xfxf

xgxfxgf

→

→→

→

→

→

→→→

→→

→→→

=

=

⋅=

=

+=+

λλ

פונ ק צי ות רצ י פות נקוד ת רצי פ ו ת x0א ו ש (x0 רציפה בנקודה fנ אמר ש . תה י פ ונ קציה ו

: כך שx0 קי י מ ת סב י בה של f(x0) ש ל W אם לכל סב י בה fשל RRAf →⊂:Ax ∈0

WAVf ⊂∩ )(

0x

)( 0xfW

V

AWxfAVf: מ ש ו ם שת מ י ד מתק י י םx0 רציפה ב f אז A נקודה מב ודד ת של x0אם ⊂=∩ )}({)( 0

אם היא רציפ ה x0ב ) מ ש מאל ( רציפ ה מ י מ י ן fנא מר ש . תה י פ ונ קציה ו בנקודה זאת יח ס י ת לקבו צה

RAf →:Ax ∈0

]),(( 0xA −∞∩ ),[ 0 +∞∩ xA

) המשך (פונ ק צי ות רצ י פות f אם ורק אם לפונקצ יה x0 רציפה בנקודה fנ אמר ש . תה י פ ונ קציה ו

:כל ו מ ר, וה וא שו ו ה לערך שלה בנקודה זוx0יש גבול בנקודה RAf →:'0 AAx ∩∈

)()(lim 00

xfxfxx

=→

0x

)( 0xf

) מש מא ל( רציפה מ י מ י ן f היא נק וד ת הצטברות ש ל אזיx0אם .f(x0)ו הוא ש ו ו ה ל ) מ ש מאל( אם ורק אם קיי ם הגבול מ י מ י ן , בנקודה זו

),[]),(( 00 +∞∩−∞∩ xAxA

) המשך (פונ ק צי ות רצ י פות . הרכבה של שת י פ ונקצי ו ת רציפ ו ת י וצרת פ ו נקציה רציפ ה

. ה יא קבוצ ה קו מ פק טי תf(A)א זי , A רציפה על fו , תה י קו מ פ קטית RA⊂

RAf →: . חסו מ ה ו מש יגה את ח ס מ יה fאז י , קו מ פקט י ת ו רציפ הAתה י

Darbouxתכונ ת

c

)(cf

a b

)(af)(bf

. I על Darboux אזי יש לה תכ ונ ת I רציפה על רו וח f אם –) Bolzano( מ שפט .f(a)<f(c)<f(b) קי ים a<c<bעבור , כלו מר

0)(.0)()( =∃⇒<⋅ zfzyfxf

. אז הי א מ ו נ וט ו ני ת ב מ ו בן הצרע"חח fאם

רצ יפות במיד ה שו וה : קי יםאם לכל ק י י ם כך שלכל עבורם Ayx ∈, 0>ε0>δδ<− || yx

ε<− |)()(| yfxf

δ δ δ

ε<

. הה יפך אינ ו נכו ן , היא גם רציפהש"במ אם פונק ציה רצי פ ה

Heineמשפט .A על ש"ב מ רציפה fאז י . פ ו נקציה רציפ ה על קבוצה ק ו מ פקט י תfתה י RA⊂