3.0sistemasdecontrolentiempodiscreto

7/29/2019 3.0SistemasdeControlenTiempoDiscreto

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Control en tiempo discreto Pg. 97

Ing. Eduardo Interiano

3Sistemas en tiempo discreto3.1 Introduccin

A/D Regulador D/A G(s)y(t)r(t) e(t) es(t)

(t)Muestreador

Regulador Digital

Planta

e(t)

t

es(t)

tT

(t)

tT

y(t)

t

Figura 3.1: Sistema de control en tiempo discreto

Caractersticas del control en tiempo discreto

La planta es continua pero el regulador trabaja en tiempo discreto.

La estabilidad del sistema en tiempo discreto y la aproximacin del sistema detiempo continuo a tiempo discreto dependen del periodo de muestreo T.


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3.1.1 Casos tpicos de control en tiempo discreto:

Emulacin analgica Diseo digital directo

Emulacin analgica

Primero se realiza el anlisis y la sntesis del regulador en tiempo continuo y

luego se usa un proceso de discretizacin usando el periodo de muestreo T.

La planta se modela en tiempo continuo El regulador se disea en tiempo continuo usando los mtodos conocidos. El regulador obtenido del proceso anterior se discretiza usando un perodo

de muestreo T y empleando alguna de las aproximaciones conocidas talescomo:

Respuesta invariante (al escaln o al impulso) Transformacin bilineal o de Tustin Mapeo de polos y ceros Retenedor de orden cero

Diseo digital directo

La planta en tiempo continuo es discretizada, generalmente por el mtodo delretenedor de orden cero, obtenindose as una aproximacin digital y luego se

calcula o sintetiza un compensador digital.

La planta se modela en tiempo continuo La planta es discretizada usando el periodo de muestreo T y un mtodo de

aproximacin de los antes enumerados.

El regulador se calcula o sintetiza directamente en tiempo discreto usandocualquiera de los mtodos siguientes:

El lugar de las races Respuesta de frecuencia o grficas de Bode (a travs de unatransformacin bilineal al plano W)

Respuesta de orden n con cancelacin de polos Dead-Beat


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f(t)

t

fs(t)

tT 2T 3T 4T 5T 6T

RetenedorMuestreador

fs(t)f(t) ^f(t)

^f(t)

tT 2T 3T 4T 5T 6T

Figura 3.2: Proceso de la seal de tiempo continuo a tiempo discreto

)()()( ttftf TS = (3.1)

=

=0

)()()(K

S kTttftf (3.2)

)()(^

kTftf = TktkT )1(; + (3.3)


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______________________________________________________________________________________________



3.2 Discretizacin de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales

3.2.1 Discretizacin de la ecuacin diferencial de primer orden

)()( tbutaydt

dy=+ cteba =,;

(3.4)

Sustituimos en la ecuacin anterior kTt= para k= 0, 1, 2 ...

y despejandodt

dypara obtener:

( ) kTtkTt

tbutaydtdy =

=+= )()(

)()( kTbukTaydt

dy

kTt

+==

Aproximamos la derivadaKTtdt

dy

=

por el mtodo de Euler para una funcin y(t)

continua.

T

kTyTky

dt

dy

KTt

)())1(( +=

=

(3.5)

La cual es una buena aproximacin si el periodo Tes pequeo.

)()()())1((

kTbukTayT

kTyTky+=

+

Multiplicamos a ambos lados por T y simplificamos el resultado escribiendo

nicamente ken lugar de kT:

)()( kykTy = y )()( kukTu =


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______________________________________________________________________________________________



y obtenemos:

)()()()1( kykubTkyaTky ++=+

Sustituyendo una vez ms kk

1 :

)1()1()1()( += kubTkyaTky (3.6)

Obteniendo como resultado la ecuacin de diferencias correspondiente a la

ecuacin diferencial de primer orden.

3.2.2 Comportamiento de un sistema discreto de primer orden.

Los valores discretos y(k) = y(kT) de la solucin de y(t) pueden ser calculadosresolviendo la ecuacin de diferencias.

Primero calculamos la solucin homognea: 0)( =ku k por recursin:

1=k )0()1()1( yaTy =

2=k [ ])0()1()1()1()1()2( yaTaTyaTy ==

)0()1()2( 2yaTy =

3=k )0()1()2()1()3( 3yaTyaTy ==

)0()1()( yaTky K= ; k= 0, 1, 2 ... (3.7)

3.2.3 Comparacin de nuestra aproximacin con la solucin continua

)0()( yety at= ; 0t (3.8)

Sustituir en 3.8 kTt= :

)0()( yekTy akT= k= 0, 1, 2 ...


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______________________________________________________________________________________________



( ) )0()( yeky kaT= k= 0, 1, 2 ...

DesarrollandoaTe por una serie:

...!3!2!1

13322

++=TaTaaT

e aT

Sustituyendo obtenemos la solucin exacta

)0(...!3!2

1)(3322

yTaTa

aTky

K

++= ; k= 0, 1, 2 ...

Si 1


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______________________________________________________________________________________________



La solucin completa obtenida por recursin, (procedimiento que se deja como

ejercicio al lector) es:

( )[ ]=

+=k

i

ikk iubTaTyaTky

1

)1(1)0()1()( (3.12)

y(0)

tT 2T 3T 4T 5T 6T

1)1(0 1

Podemos observar en la Figura 3.3: que la respuesta natural de y(kT) se

amortigua al aumentar el valor de k cuando 0 < (1-aT) < 1 y en la Figura 3.4:vemos que la salida crece sin lmite al aumentar el valor de kcuando (1-aT) > 1.

De la ecuacin de diferencias (3.6) podemos concluir que el valor (1-aT) es la

raz de la ecuacin de diferencias de primer orden. Tambin podemos observar que

el valor de esta raz depende no slo del coeficiente a de la ecuacin diferencial;sino adems del periodo de muestreo T.

Cmo es la forma de la salida cuando )1( aT es negativo para los casos en

que su magnitud es menor que uno o mayor que uno?

En conclusin, si las magnitudes de las races de la ecuacin de diferencias

son todas menores que 1 el sistema discreto es estable y la estabilidad se ve

afectada por el valor escogido para el periodo de muestreo T.


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3.3 Sistemas de orden superior en el dominio del tiempo discreto

3.3.1 Sistema en tiempo continuo

Sea la ecuacin diferencial

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

yda

q

q

qn

n

qn

n

nn

n

n 011

1

1011

1

1 ++++=++++

LL (3.13)

A la cual le corresponde el siguiente modelo en variables de estado:

uBxAx +=& (3.14)uDxCy += (3.15)

3.3.2 Sistema en tiempo discreto

Sea la ecuacin de diferencias

)()1()()()1()( 0101 kubkbqkubkyakyankya qn +++=+++ LL (3.16)

A la cual corresponde el modelo en variables de estado mostrado a

continuacin:

)()()1( kuBkxAkx dd +=+ (3.17)

)()()( kuDkxCky dd += (3.18)

Derivacin del modelo en tiempo discreto a partir del modelo en tiempo

continuo

Dado el modelo en tiempo continuo en forma de un modelo en variables de

estado mostrado en las ecuaciones 3.14 y 3.15 y tomando en cuenta que usamos un

perodo de muestreo T, con la condicin de que la entrada se mantenga constantedurante la totalidad del tiempo T:

)()( kTutu = ; para TktkT )1( +


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Se desea encontrar las matrices Ad, Bd, Cd y Dd, de las ecuaciones 3.17 3.18,

para lo cual partimos de la ecuacin de movimiento para el sistema en variables de

estado, el cual evaluamos en t = kT.

kTt

t

duBtAxAttx ee=

+= 0

)()()0()(

(3.20)

+=kT

duBkTA

xAkTkTx ee0

)()(

)0()(

para el tiempo (k+1)Ttenemos

+

+

+

+

=+

Tk

duB

TkA

x

TkA

Tkx ee

)1(

0)(

))1((

)0(

)1(

))1((

si descomponemos la parte correspondiente a kTy a T

+

+

++

+=+Tk

kT

kT

duBTkA

duBTkA

xAkTATTkx eeee)1(

0

)())1((

)())1((

)0())1((

observamos que la parte en parntesis rectangulares corresponde ax(kT).

+

+

+

+=+

Tk

kT

kT

duBTkA

duBkTA

xAkTATTkx eeee)1(

0

)())1((

)()(

)0())1((

Si aplicamos la condicin (3.19) que dice que u(t) es constante durante el

intervalo Tsegundos TktkT )1( +


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______________________________________________________________________________________________



)()())1((

0

kTudpBAp

kTxATTkxT

ee =+

Si adems aplicamos el signo a la integral e invirtiendo los lmites de

integracin obtenemos:

)()())1((0

kTudpBAp

kTxATTkx

T

ee +=+

simplificando la escritura haciendo kT = k y sustituyendo la variable p de nuevo

por tenemos:

)()()1(0

kudBAkxATkx

T

ee +=+

(3.21)

)()()( kuDkxCky T += (3.22)

donde

ATA ed = (3.23)

[ ] BIAAdBAB dT

d e ==

1

0

; si A es no singular(3.24)

T

d CC = (3.25)

DDd = (3.26)

Ejemplo 3.1:Obtener el modelo en tiempo discreto para un sistema escalar de 1er

orden

uT

xT

x11

11+=& ; x(0) = 0

xky s=

)(1

)()1(0 1

1

1

1 kuT

dkxkxT

TT

T

ee +

=+


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______________________________________________________________________________________________



10

1

1

11

)()()1(

T

kuTkxkx

T

TT

T

ee

+

=+

)(1)()1( 11 kukxkxTT

TT

ee

+=+

)()( kxkky s =

donde

111 q y no hay races repetidas entonces:

= +

=n

i i

i

ps

RsG

1 )()( (3.39)


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donde los residuos son:

[ ]ips

ii sGpsR =+= )()( (3.40)

Si hay races repetidas donde cada polo pi tiene una multiplicidad mi, entonces:

=

+

=j

i

m

iips

sNsG

1

)(

)()(

(3.41)

con

==

j

i i

mn1

(3.42)

En este caso la expansin en fracciones parciales es:

== +

=im

ll

i

il

j

i ps

RsG

11 )()( (3.43)

donde

[ ]i

i

i

i

ps

m

ilm

lm

i

il sGpsds

d

lmR

=

+

= )()()!(

1 (3.44)

Transformada Z de la funcin exponencial muestreada

{ } { }11

1

==

zeee

aT

akTat (3.45)

{ })(

1

aseL at

+= (3.46)


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para el caso sin races repetidas tenemos:

=

=

n

iTp

i

ze

RzG

i1

1)1(

)( (3.47)

y para el caso con races repetidas

=

=

=

i

i

m

lTpl

i

l

il

lj

i zepl

RzG

111

11

1 )1(

1

)!1(

)1()( (3.48)

Pasos para la conversin:

1. Combinar todos los elementos continuos que se encuentren en cascada enuna nica funcin G(s)

2. Representar G(s) en fracciones parciales usando las ecuaciones (3.39) a(3.44).

3. Convertir cada fraccin parcial a su forma en Z usando la transformada Z dela funcin exponencial muestreada con las ecuaciones (3.47) y (3.48).

G1(s) G2(s)

T T

x(t)

X(s)

x*(t)

X(z)

v(t)

V(s)

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)

G1(s) G2(s)

TT TT

x(t)

X(s)

x*(t)

X(z)

v(t)

V(s)

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)

{ } { })()()()( 21 sGsGsGzG ==

Figura 3.5: Dos funciones continuas en cascada son discretizadas; G(s)=G1(s)G2(s)

G1(s) G2(s)T T

x(t)

X(s)

x*(t)

X(z)

v(t)

V(s)

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)T

v*(t)

V*(s)G1(s) G2(s)

TT TTx(t)

X(s)

x*(t)

X(z)

v(t)

V(s)

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)TTT

v*(t)

V*(s)

{ } { })()()()()( 2121 sGsGzGzGzG ==

Figura 3.6: Dos funciones continuas son discretizadas y se encuentran en cascada


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En general

{ } { } { })()()()( 2121 sGsGsGsG (3.49)

3.5.3 Obtencin de la funcin de transferencia del modelo en variables deestado en tiempo discreto

Partimos del modelo en tiempo discreto dado por las ecuaciones (3.17) y

(3.18) repetidas aqu por comodidad.

)()()1( kuBkxAkx dd +=+ (3.17)

)()()( kuDkxCky dd += (3.18)

Transformando a Z con las condiciones iniciales iguales a cero, 0)0( =x

)()()( zUBzXAzXz dd += (3.50)

)()()( zUDzXCzY dd += (3.51)

Agrupando en la ecuacin (3.50)

)()()( zUBzXAzXz dd = (3.52)

( ) )()( zUBzXAIz dd = (3.53)

Premultiplicando por ( ) 1 dAIz

( ) )()( 1 zUBAIzzX dd =

(3.54)

SustituyendoX(z) de (3.54) en la ecuacin para Y(z) de (3.51).

( ) )()()( 1 zUDzUBAIzCzY dddd += (3.55)

agrupando

( ) )()( 1 zUDBAIzCzY dddd +=

(3.56)


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y finalmente obtenemos la funcin de transferencia G(z).

( ) dddd DBAIzCzU

zYzG +==

1

)(

)()( (3.57)

3.5.4 Discretizacin de controladores

Para transformar al dominio del tiempo discreto usando la transformada Z se

requiere que la entrada al sistema continuo sea un tren de impulsos.

Los controladores discretos obtenidos sern aproximaciones al los

controladores continuos y la aproximacin ser mejor tanto ms pequeo sea el

periodo T.

La transformacin bilineal o regla de Tustin

A partir de la relacin entre la variable s y z dada por la ecuacin (3.36)

mostrada de nuevo a continuacin

sTez= (3.36)

despejando s

zT

s ln1

= (3.58)

y desarrollando en forma de serie infinita el logaritmo natural de z tenemos:

L++

+

+

+

+

=

5

5

3

3

)1(

)1(

5

2

)1(

)1(

3

2

)1(

)1(2

z

z

Tz

z

Tz

z

Ts (3.59)

y aproximandos al primer trmino de la serie

)1(

)1(2

+

z

z

Ts (3.60)


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La transformacin bilineal mapea el SPI del plano S dentro de un crculounitario en el planoZ.

Ocurre una deformacin en frecuencia cuando se usa esta transformacin;

especialmente si la frecuencia de muestreo fS = 1/T es muy pequea respecto a la

dinmica del sistema.

Podemos investigar la relacin entre las frecuencias en el dominio continuo en

el cual se disea el controlador y el dominio z en el cual el controlador

transformado ser implementado, si introducimos una nueva variable . Larelacin entre y se encuentra sustituyendos = jy Tjez = con

)()cos( TjsenTeTj

+=

(3.61)

podemos escribir

1)cos(

)(2'

+=

T

Tjsen

Tj

(3.62)

finalmente

)2

tan(2

'T

T = (3.63)

Cuando como parte del diseo se dan la funcin de transferencia y

especificaciones para respuesta de frecuencia en lazo cerrado, se puede proceder a

disear el controlador continuo GC(s), usando frecuencias predeformadas si esnecesario, y luego se transforma GC(s) en GC(z) usando la ecuacin (3.60).

Ejemplo 3.3:Utilizando la transformacin bilineal o regla de Tustin encuentre latransformada Z del compensador de adelanto generalizado

)(

)()(

0

0

ps

zsksG CC +

+

= (3.64)

Sustituimos)1(

)1(2

+

=

z

z

Ts en (3.64) y obtenemos:


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))1(

)1(2(

))1(

)1(2(

)(

0

0

pz

z

T

zz

z

TkzG CC

++

++

=

)1()1(2

)1()1(2)(

0

0

++

++=

zTpz

zTzzkzG CC

)2()2(

)2()2()(

00

00

++

++=

TpTpz

TzTzzkzG CC

Si usamos los valores T = 0.01s, z0 = 6, p0 = 10 y kC = 3 y los sustituimos

obtenemos:

)9048.0(

)9416.0(943.2)(

=

z

zzGC (Tustin)

Equivalencia de hold (retenedor de orden cero ZOH)

G1(s) G2(s)T T

E*(s) E(s) M(s) M*(s)

M(z)ZOH GC(s)

TT E(z)G1(s) G2(s)

TT TT

E*(s) E(s) M(s) M*(s)

M(z)ZOH GC(s)

TT E(z)

Figura 3.7: Discretizacin con retenedor de orden cero

En esta forma de discretizacin se coloca un retenedor de orden cero en

cascada con el controlador o planta y se procede a transformar a Z usando la forma

de fracciones parciales para el controlador continuo.

{ }

== s

sGzsGsGzG ZOH

)()1()()()( 1 (3.65)


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Ejemplo 3.4:Discretizar el controlador de adelanto generalizado en tiempo continuousando un retenedor de orden cero.

)(

)()(

0

0

ps

zsksG CC

+

+= (3.64)

Aplicamos el retenedor de orden ceros

z1

)1( 1 a la funcin GC(s) dada por la

ecuacin (3.64) y luego transformamos a Z:

+

+=

)(

)(1)1()(

0

01

ps

zs

skzzG CC

+

= )(

)(

)1()(0

0

00

0

0

1

ps

p

pz

s

p

z

kzzG CC

=

)1(

)(

)1()1()(

1

0

00

1

0

0

1

0 ze

p

pz

z

p

z

kzzGTpCC


obtenemos:

)9048.0(

)9430.0(3)(

=

z

zzGC (ZOH)


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Mapeo de polos y ceros

Este mtodo de discretizacin requiere la sustitucin de cada polo de la forma

(s+a) por(z- e-aT) y cada cero de la forma (s+b) por(z- e-bT); con un ajuste final de

la ganancia K del nuevo sistema a una frecuencia crtica que usualmente es

= 0,en tiempo continuo, lo que equivale az = 1, en tiempo discreto.

=

=

+

+

=n

i

i

q

i

i

ps

zs

KsG

1

1

)(

)(

)( (3.66)

=

=

=n

i

i

q

i

i

Tp

Tz

e

e

z

z

KzG

1

11

)(

)(

)( (3.67)

con la ganancia K calculada para que

10)()(

===

zzGsG

(3.68)

como se muestra a continuacin

11

11

)(

)(

==

=

=

z

Tz

Tp

q

i

i

n

i

i

B

e

e

z

z

KK (3.69)

donde

=

=

===

n

i

i

q

i

i

B

p

z

KsGK

1

1

0)( (3.70)


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Ejemplo 3.5:Discretizar el controlador de adelanto generalizado en tiempo continuousando mapeo de polos y ceros.

)(

)()(

0

0

ps

zsksG CC

+

+= (3.64)

Aplicamos el mapeo de polos y ceros a la funcin GC(s) dada por la ecuacin

(3.64).

)(

)()(

0

01

Tp

Tz

e

e

z

zkzG CC

=

con

)1(

)1(

0

0

0

01

Tz

Tp

e

e

p

zkk CC

=


obtenemos:

)9048.0(

)9418.0(9414.2)(

=

z

zzGC (mapeo)

Como puede verse al comparar los resultados de los tres ejemplos anteriores,

las tres formas de discretizacin ofrecen resultados casi iguales para el tiempo de

muestreo seleccionado. En la Figura 3.8: puede observarse las respuestas al escaln

de los controladores en forma continua y dos de las formas discretas, una resultado

de la aproximacin por retenedor de orden cero y la otra resultado del mapeo de

polos y ceros.

La aproximacin por retenedor de orden cero es mejor; pues sta tiene el valor

de la seal f(t) en los instantes de muestreo.


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Figura 3.8: Respuesta al escaln del compensador en tiempo continuo y de los resultados de

la discretizacin con retenedor de orden cero y por mapeo de polos.

3.5.5 Obtencin de la ecuacin de diferencias a partir de la funcin detransferencia en Z.

Partimos de la funcin de transferencia en z expresada como el cociente de

dos polinomios y que representa la relacin entre dos seales discretas.

01

1

1

01

1

1

)(

)(

)(

)()(

azazaza

bzbzbzb

zD

zN

zE

zMzG

n

n

n

n

q

q

q

q

++++

++++===

L

L (3.71)

Multiplicamos en forma cruzada la expresin anterior.

)()( 011

101

1

1 zEbzbzbzbzMazazazaq

q

q

q

n

n

n

n ++++=++++

LL (3.72)


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Expresamos en forma de una sumatoria ambos lados de la ecuacin.

==

=q

i

i

i

n

i

i

i zEzbzMza00

)()( (3.73)

Dividimos ambos lados de la ecuacin entrezn, la potencia mxima de z.

=

=

=q

i

ni

i

n

i

ni

i zEzbzMza00

)()( (3.74)

Obtenemos la transformada Z inversa de la expresin anterior.

==

+=+q

i

i

n

i

i nikebnikma00

)()( (3.75)

Despejamos el trmino m(k), sacndolo primero de la sumatoria y luego dividiendo

toda la ecuacin entre el coeficiente de m(k).

=

=

+=++q

i

i

n

i

in nikebnikmakma0

1

0

)()()( (3.76)

=

=

+++=q

i

i

n

i

in nikebnikmakma0

1

0

)()()( (3.77)

=

=

++

+=

q

i n

in

i n

i nikea

bnikm

a

akm

0

1

0

)()()( (3.78)

Obteniendo finalmente el expandir las sumatorias la ecuacin de diferencias

mostrada a continuacin:

++= )1()1()()( 110 kma

ankm

a

ankm

a

akm

n

n

nn

L

)()1()( 10 nqkea

bnke

a

bnke

a

b

n

q

nn

++++++ L (3.79)


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Ejemplo 3.6:Encontrar la ecuacin de diferencias para la funcin de transferencia dada.

))((

)()(

bzaz

czkzG c

++

+=

))((

)(

)(

)()(

bzaz

czk

zE

zMzG c

++

+==

Distribuimos

))(()())(( czzEkzMbzaz c +=++

( ) )()()()(2 zEkczEzkzMabzbaz cc +=+++

)()()()()()(2 zEkczEzkzMabzMzbazMz cc +=+++

Dividimos entrez2.

)()()()()()(2121 zEzkczEzkzMzabzMzbazM cc

+=+++

Encontramos la transformada Z inversa.

)2()1()2()1()()( +=+++ kekckekkmabkmbakm cc

Finalmente despejamos m(k).

)2()1()2()1()()( +++= kekckekkmabkmbakm cc

3.5.6 Implementacin de la ecuacin de diferencias en un computador digital.

Existen varias formas para implementar la ecuacin de diferencias de uncontrolador usando un computador digital; en todo caso, la ecuacin se implementa

usando memorias para almacenar los valores anteriores de las muestras de entrada

y salida y usando convertidores analgico a digital para tomar las muestras e(k) a

intervalos regulares dados por el periodo T; y convertidores de digital a analgico

para la salida m(k).


29/54

______________________________________________________________________________________________



Existen varios problemas en la implementacin de la ecuacin de diferencias,

se enumeran algunos de ellos a continuacin:

El ruido de cuantizacin debido a la cuantizacin de las muestras

El ruido de redondeo debido al ancho de la palabra limitado en las operacionesde clculo (error de redondeo)

Se requiere una potencia de clculo lo suficientemente grande como para queel tiempo requerido para el clculo desde la toma de la muestra e(k) hasta la

salida de m(k) sea menor a 1/10 del periodo T.

Para evitar problemas con el ruido de cuantizacin se debe de usar una

resolucin del convertidor A/D lo suficientemente grande.

Para reducir los problemas con el redondeo se debe de realizar los clculos

intermedios con una precisin mayor a la del resultado esperado. Esto es porejemplo, trabajar con doce bits y al final redondear a ocho bits el resultado.

Finalmente, para lograr realizar los clculos en el tiempo establecido se debe

de escoger un tiempo de muestreo adecuado a la dinmica del sistema y lo

suficientemente grande como para acomodar todos los clculos necesarios entre

dos muestras consecutivas. Para lograr adems que la salida m(k) est lista en el

tiempo establecido, se puede usar algoritmos especiales como el preclculo, el cual

se analizar ms adelante.

Ejemplo 3.7: Hacer un diagrama de bloques la ecuacin de diferencias resultado delEjemplo 3.6:.

e(k) e(k-1) e(k-2)

m(k)

m(k-1)m(k-2)

e(k) e(k-1) e(k-2)

m(k)

m(k-1)m(k-2)

Figura 3.9: Implementacin de la ecuacin de diferencias para el Ejemplo 3.6:


30/54

______________________________________________________________________________________________



Ejemplo 3.8:Escribir el pseudo-cdigo para la implementacin en un computador digitalde la ecuacin de diferencias para el Ejemplo 3.6:

A continuacin se muestra el pseudo-cdigo para la ecuacin de diferencias

siguiente:

)2()1()2()1()()( +++= kekckekkmabkmbakm cc

label init

m(k-1) = 0;

m(k-2) = 0;

e(k-1) = 0;

e(k-2) = 0;

k1 = a+b;

k2 = a*b;k3 = c*kc;

time = T;

EnableTimer(time);

EnableInterruptTimer(proc);

label loop

goto loop;

label proc

do begin

in(e(k));

m(k) = - k1* m(k-1) - k2* m(k-2) + kc*e(k-1) + k3*e(k-2);

out(m(k));

m(k-2) = m(k-1);

m(k-1) = m(k);

e(k-2) = e(k-1);

e(k-1) = e(k);

end;

La implementacin anterior no est optimizada para ahorrar tiempo. Para que

el sistema discretizado as implementado sea vlido, la salida m(k) debe de estar

lista en menos de una dcima parte del periodo de muestreo T.


31/54

______________________________________________________________________________________________



Vemos, en el ejemplo anterior, que existen clculos que son independientes de

la muestra actual de la entrada e(k) y que por lo tanto pueden ser realizados

inmediatamente despus de sacar la salida actual m(k), con los valores existentes,

antes de tomar la muestra e(k). A esta tcnica se le llama preclculo y permiteacelerar la salida del valorm(k). A continuacin se muestra el pseudo-cdigo para

el mismo ejemplo; pero usando preclculo.

label init

m(k-1) = 0;

m(k-2) = 0;

e(k-1) = 0;

e(k-2) = 0;

p(k) = 0;

k1 = a+b;k2 = a*b;

k3 = c*kc;

time = T;

EnableTimer(time);


label loop

goto loop;

label proc

do begin

in(e(k));

m(k) = p(k);

out(m(k));

m(k-2) = m(k-1);

m(k-1) = m(k);

e(k-2) = e(k-1);

e(k-1) = e(k);

p(k) = kc*e(k-1) + k3*e(k-2) - k1* m(k-1) - k2* m(k-2);end;

En el algoritmo con preclculo mostrado, se ha reducido la cantidad de

clculos necesarios entre la toma de la muestra de entrada actual e(k) y la salida delvalorm(k) a una simple asignacin de valor. En este algoritmo se ha dejado esta


32/54

______________________________________________________________________________________________



asignacin en ese lugar para indicar que en ese punto se realizan los clculos con el

valor actual de la entrada e(k) y los resultados del preclculo; a pesar de que en este

ejemplo la salida m(k) no depende de la entrada e(k); sino, nicamente de los

valores anteriores e(k-1) y e(k-2) y que por ello el valor de m(k) pudo haberseobtenido completamente durante la fase de preclculo.

Ejemplo 3.9:Escriba el pseudo-cdigo con preclculo para la implementacin de laecuacin de diferencias correspondiente a un compensador de adelanto.

)()1()1()( kekkekAkmBkm cc +=

El pseudo-cdigo para la implementacin en un computador digital se muestra

a continuacin:

label initm(k-1) = 0;

e(k-1) = 0;

p(k) = 0;

k1 = A*kc;

time = T;

EnableTimer(time);


label loop

goto loop;

label proc

do begin

in(e(k));

m(k) = p(k) + kc*e(k);

out(m(k));

m(k-1) = m(k);

e(k-1) = e(k);

p(k) = B* m(k-1) - k1* e(k-1) ;end;

En este algoritmo para el compensador de adelanto, se aprecia que el

preclculo reduce la cantidad de operaciones a realizar entre la toma de la muestra


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______________________________________________________________________________________________



e(k) y la salida del valor m(k) a dos operaciones: una suma y una multiplicacin.Sin el preclculo las operaciones a realizar seran tres multiplicaciones una suma y

una resta para un total de cinco operaciones.

Si suponemos que las multiplicaciones duran el doble que las sumas o restas,

entonces el algoritmo con preclculo reduce el tiempo de salida del valor m(k) anicamente el 37.5% del valor sin preclculo.

Se muestra en las figuras siguientes las distribuciones de tiempo entre las

tareas del computador que implementa el algoritmo del controlador a) en forma

directa y b) con preclculo.

0 T 2T

clculo almacenamiento libre

toma de

muestrae(k)

salida de

m(k)

0 T 2T

clculo almacenamiento libre

toma de

muestrae(k)

salida de

m(k)

Figura 3.10: Distribucin del tiempo del periodo Tdel algoritmo sin preclculo

0 T 2T

clculo

preclculo y

almacenamientolibre

toma demuestra

e(k)

salida dem(k)

0 T 2T

clculo

preclculo y

almacenamientolibre

toma demuestra

e(k)

salida dem(k)

Figura 3.11: Distribucin del tiempo del periodo Tdel algoritmo con preclculo

Puede apreciarse en la Figura 3.11:, como el tiempo entre la toma de lamuestra e(k) y la salida de m(k) se reduce notablemente al usar el algoritmo con

preclculo.


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______________________________________________________________________________________________



3.6 Error de estado estacionario en tiempo discreto

Para calcular el error de estado estacionario en tiempo discreto hacemos uso

del teorema del valor final en tiempo discreto, ecuacin (3.35) ,el cual aplicamos a

la transmitancia de errorTE(z) o a la transmitancia equivalente directa GE(z) para el

caso ms general.

-+D(z) G(z)

R(z) Y(z)E(z)

-+D(z) G(z)

R(z) Y(z)E(z)

Figura 3.12: Sistema en tiempo discreto con realimentacin unitaria.

)()()( trtyte = (3.80)

[ ] [ ] [ ] [ ])()()1(lim)()1(lim)()(lim)(lim11

zRzTzzEztrtyte Ezztt

===

(3.81)

con

+=

)()(1

1)(

zGzDzTE (3.82)

3.6.1 Error de estado estacionario ante una entrada escaln

Si tenemos que la entrada en tiempo continuo es r(t) = A(t), entonces la

entrada escaln en tiempo discreto es1

)(

=z

zAzR .

[ ]

+

=

)()(1

)1()1(lim)(lim

1 zGzD

z

zA

ztezt

(3.83)


35/54

______________________________________________________________________________________________



[ ][ ])()(lim1)()(1

lim)(lim

1

1 zGzD

A

zGzD

zAte

z

zt

+=

+

= (3.84)

hacemos

[ ] [ ])(lim)()(lim11

zGzGzDK Ezz

P

== (3.85)

donde KP es la constante de error de posicin y GE(z) es la transmitancia directa

equivalente y el error normalizado ante escaln es:

[ ]

P

t

onormalizadSS

KA

tee

+==

1

1)(lim (3.86)

3.6.2 Error de estado estacionario ante una entrada rampa

Con la entrada rampa en tiempo continuo dada por r(t) = At(t); la entrada

rampa en tiempo discreto ser( )21

)(

=z

TzAzR .

[ ] ( )

+

= )()(1

1)1(lim)(lim2

1 zGzDz

TzA

ztezt

(3.87)

[ ]( )

=

+

=

)()()1(

lim)()(11

lim)(lim

1

1

zGzDT

z

A

zGzD

Tz

z

Ate

z

zt

(3.88)

hacemos

=

=

)(

)1(lim)()(

)1(lim

11zG

T

zzGzD

T

zK E

zzV (3.89)


36/54

______________________________________________________________________________________________



dondeKVes la constante de error de velocidad; por lo que el error normalizado anteuna rampa es:

Vonormalizad

SS

K

e1

= (3.90)

3.6.3 Error de estado estacionario ante una entrada parablica

La entrada de prueba parablica en tiempo continuo que vamos a aplicar es

r(t) =At2(t), entonces la entrada parablica correspondiente en tiempo discreto

es( )3

2

12

)1()(

+=

z

zzTAzR .

[ ] ( )

+

+

= )()(1

12)1(

)1(lim)(lim3

2

1 zGzD

zzzTA

ztezt

(3.91)

[ ]( )

=

+

+

=

)()(1

lim)()(1

)1(

12lim)(lim

2

1

2

21

zGzDT

z

A

zGzD

zzT

z

Ate

z

zt

(3.92)

hacemos

=

=

)(

1lim)()(

1lim

2

1

2

1zG

T

zzGzD

T

zK E

zza (3.93)

donde Ka es la constante de error de velocidad y en consecuencia, el errornormalizado ante una entrada parbolica es:

aonormalizadSS

Ke

1= (3.94)


37/54

______________________________________________________________________________________________



3.6.4 Tipo de sistema

En general podemos establecer al igual que con los sistemas continuos, la

clasificacin por tipo de sistema. En tiempo discreto el tipo de sistema es el nmero

de factores (z-1) del numerador de TE(z) o el nmero de factores (z-1) del

denominador de GE(z). Si i es el exponente de tpara la entrada de prueba, entoncesla constante de error esKi y se calcula de la manera siguiente:

=

=

)(

1lim)()(

1lim

11zG

T

zzGzD

T

zK E

i

z

i

zi para i = 0, 1, 2, ... (3.95)

En la Tabla 3.1 se muestra el error normalizado de estado estacionario para las

tres entradas de prueba ms comunes: escaln, rampa y parbola.

Tabla 3.1 Error normalizado generalizado de estado estacionario

Tipo/entrada Escaln (i = 0)

r(t) = A(t)

Rampa (i = 1)

r(t) = At(t)

Parbola (i = 2)

r(t) =At2(t)

0

PK+1

1

1 0

VK

1

2 0 0aK

1

Ejemplo 3.10:Calcule el error de estado estacionario ante entrada escaln para el sistema

0.6065)-0.7408)(z-(z

0.7659)+(z0.385)( =zGE

El sistema es tipo cero y por lo tanto el error estacionario ante entrada escaln es

finito y se calcula el coeficiente de errorKPcon ayuda de la ecuacin (3.95).

[ ]1305.0

0.6065)-0.7408)(z-(z

0.7659)+(z0.385lim1

1

)(lim1

1

1

1

1

1

=

+

=+

=+

=

z

Ez

PonormalizadSS

zGKe


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______________________________________________________________________________________________



3.7 Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto

En tiempo discreto tambin se puede hablar de estabilidad de estado y de

estabilidad de entrada salida de forma similar a la empleada para los sistemas en

tiempo continuo.

3.7.1 Estabilidad de estado de los sistemas en tiempo discreto

Al ver la ecuacin de movimiento para un sistema en tiempo discreto

mostrada en la ecuacin (3.96), con u(k) = 0 k, podemos observar que para que el

sistema sea estable asintticamente de estado segn Lyapunov, la matrizk

dAk = )( debe extinguirse asintticamente cuando k .

=

+=1

0

1)()0()(

k

j

d

jk

d

k

d juBAxAkx (3.96)

Esto es la norma kdAk = )( debe tender a cero cuando k .

0)(lim

kk

(3.97)

con

( ) 11 )()( == VdiagVVAVk kik

d (3.98)

La condicin (3.97) ser satisfecha cuando todos los modosk

i se extinguen.

Lo anterior implica que todos los valores propios i de la matriz Ad deben sermenores que 1 lo que se expresa en la condicin (3.99).

n)...,2,(1,i1i < (3.99)

condicin necesaria y suficiente para estabilidad asinttica en tiempo

discreto


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______________________________________________________________________________________________



Criterios de estabilidad de estado a partir de los coeficientes de la

ecuacin caracterstica: 0)()A-Idet( d == p

01

2

2

1

1)(p aaaaan

n

n

n +++++=

L (3.100)

Mtodo de Jury

El mtodo de Jury se basa en un arreglo conocido como el arreglo de Jury, que

tiene 2n-3 filas donde n es el orden del polinomio caracterstico en tiempo discreto.

En el arreglo de Jury se colocan los coeficientes ai de dicho polinomio arregladosen dos filas como se muestra en la Tabla 3.2 y se calculan las filas siguientes por

pares hasta llegar al tener una fila con nicamente tres coeficientes. Luego seprocede por comparacin de magnitudes de coeficientes a determinar la estabilidad

del sistema.

Tabla 3.2 Tabla para evaluar el criterio de estabilidad de Jury

Fila 0 1 2 ... n-2 n-1 n1 a0 a1 a2 ... an-2 an-1 an

2 an an-1 an-2 ... a2 a1 a0

3 b0 b1 b2 ... bn-2 bn-14 bn-1 bn-2 bn-3 ... b1 b0

5 c0 c1 c2 ... cn-26 cn-2 cn-3 cn-4 ... c0

. .

. .

. .

2n-5 r0 r1 r2 r32n-4 r3 r2 r1 r0

2n-3 s0 s1 s2

Criterio de estabilidad de Jury

Todos los ceros del polinomio caracterstico (3.100) tienen magnitud menorque uno exactamente si las siguientes condiciones son satisfechas:

1. El polinomio caracterstico evaluado en 1 es mayor que cero0)1(p > (3.101)


40/54

______________________________________________________________________________________________



2. El polinomio caracterstico evaluado en -1 es positivo para polinomios deorden par y negativo para polinomios de orden impar.

0)1(p(-1)n > (3.102)

3. El coeficiente an del polinomio caracterstico debe ser positivo y mayor queel valor absoluto del coeficiente a0.

00 >< naa (3.103)

4. Todos los coeficientes calculados de la columna izquierda en las filasimpares del arreglo deben tener una magnitud mayor que el coeficiente ms a

la derecha de la misma fila.

10 > nbb (3.104)

20 > ncc (3.105)

M

20 ss > (3.106)

Pasos:

Pruebe primero las condiciones 1, 2 y 3.

Calcule los coeficientes del arreglo de Jury de la siguiente forma y evale la

condicin 4 con ellos.

=

0

0

0 detaa

aab

n

n

=

1

10

1 detaa

aab

n

n

=

kn

kn

kaa

aab

0det

=

01

10

0 det

bb

bbc

n

n

=

kn

kn

k

bb

bbc

1

10det

NOTA: Ya que el coeficiente s1 del arreglo de Jury no se emplea para determinar la

estabilidad, no es necesario calcularlo.


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______________________________________________________________________________________________



Ejemplo 3.11: Usando el criterio de Jury probar la estabilidad de estado del sistema con el

polinomio caracterstico 1232)( 234 ++= p .

Procedemos a probar las tres primeras condiciones

01)1( >=p

099)1()1()1( 4 >== pn

0210 >=

4 -1 -2 5 -3

5 8 -17 11 118 < X

La condicin 4 no es satisfecha pues no se cumple que 20 ss > en la ltima

fila del arreglo. Por lo tanto el sistema es inestable.

Mtodo de estabilidad de Routh-Hurwitz

Es posible aplicar el criterio de Routh-Hurwitz a sistemas en tiempo discreto

si se procede a realizar una transformacin bilineal del planoZal plano W, que es

similar al plano S. La transformacin al plano W se efecta al sustituir cadaocurrencia de la variable z en el polinomio caracterstico como se muestra en la

ecuacin (3.107). Esta transformacin mapea el interior del crculo unitario delplanoZal SPI del plano W. Al polinomio en w as obtenido se le aplica el criterio

de Routh-Hurwitz; tal y como se le conoce para sistemas en tiempo continuo. No

vamos a profundizar ms en este mtodo pues requiere ms trabajo algebraico queel mtodo de Jury y adems el criterio de Routh-Hurwitz es de sobra conocido.

w

wz

+=

1

1; (3.107)


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______________________________________________________________________________________________



3.7.2 Estabilidad de entrada salida de los sistemas en tiempo discreto

T(z) y(k)u(k)

x(0) = 0

T(z) y(k)u(k)

x(0) = 0

Figura 3.13: Saliday(k)para una entrada u(k)con condiciones iniciales cero.

Si la entrada u(k) es limitada entonces la saliday(k) debe estar limitada comose expresa en la ecuacin (3.108).

yu kkykku )()( (3.108)

Si en la ecuacin (3.28) hacemos el estado inicial cero, obtenemos la ecuacin

(3.109), donde observamos que podemos expresar la sumatoria como unasumatoria de convolucin como se muestra en la ecuacin (3.110).

)()()1()(1

0

kudjuBjkckyk

j

d

T +=

=

(3.109)

= =k

jjujkgky

0)()()( (3.110)

Si en la ecuacin (3.110) tomamos el valor absoluto, tendremos la ecuacin(3.111) donde podremos reemplazar los valores absolutos de y(k) y u(k) por sus

lmites obteniendo la ecuacin (3.114), de la cual se concluye que para tener

estabilidad de entrada salida la sumatoria de g(k) debe tener un lmite como semuestra en la ecuacin (3.115).

= =k

jjujkgky

0)()()( (3.111)

=

k

j

jujkgky0

)()()( (3.112)


43/54

______________________________________________________________________________________________



=

k

j

ukjkgky0

)()( (3.113)

y

k

ju

kjkgkky p

0)1()1()1( 2 >= pp


44/54

______________________________________________________________________________________________



naa = Kp 0> K

01.074.2)1( >= Kp 4.27


45/54

______________________________________________________________________________________________



)1)(1()(

)()(

1

1

1

2

2

1

10

+

++==

zcz

zdzdd

zE

zMzGPID (3.118)

)2()1()1()2()1()()( 11210 ++++= kmckmckedkedkedkm (3.119)

Donde:

++

++

+=

T

TT

T

TT

T

T

Kd VD

I

V

V

P

21

10 (3.120)

++

+=

T

TT

T

T

T

T

Kd VD

IV

P 22

1

11 (3.121)

+

+=

I

VVD

V

P

T

T

T

TT

T

T

Kd

21

2 (3.122)

V

V

TT

Tc

+=1 (3.123)

con Tcomo el periodo de muestreo.

Si se toma la diferencia entre dos muestras consecutivas de salida segn laecuacin (3.124) obtenemos la ecuacin (3.125), que se conoce como el algoritmo

de velocidad del regulador PID en tiempo discreto.

)1()()( = kmkmkm (3.124)

)1()2()1()()( 1210 ++= kmckedkedkedkm (3.125)

Si el periodo de muestreo Tes menor que una dcima parte de la constante de

tiempo dominante del sistema,

.10

1domTT< (3.126)


46/54

______________________________________________________________________________________________



entonces se dice que el sistema discreto es quasicontinuo y se puede desarrollar el

regulador en tiempo continuo dimensionando los valores de KP, TI, TV y TD; paraposteriormente calcular los coeficientes d0, d1, d2 y c1, del regulador en tiempo

discreto.

3.8.2 Reguladores de compensacin

Partimos de una definicin de la salida esperada del sistema para una clase deseales de entrada o de una definicin de la funcin de transferencia esperada. A

travs del despeje matemtico obtenemos el regulador que compensa la planta detal forma que ante una entrada del tipo definido, se obtenga la salida deseada.

mdzzD

zNzT

=)(

)()( (3.127)

La funcin de transferencia generalizada T(z) posee un retardo dado pordm.

dd

nn

n

qq

qqz

zA

zBz

zazaza

zbzbzbbzG

+

+ =

++++

++++=

)(

)(

1)(

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

L

L (3.128)

Condiciones:

0qb ,

d = tiempo muerto de la planta,

G(z) tiene los polos y ceros dentro del crculo unitario

(3.129)

)()(1

)()(

)(

)()(

zGzK

zGzK

zR

zYzT

+== (3.130)

Despejando de (3.130) tenemos la funcin de transferencia del reguladorK(z):

)(1

)(

)(

1)(

zT

zT

zGzK

= (3.131)


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______________________________________________________________________________________________



Condiciones para la realizabilidad del compensador

Primera condicin

Para que el compensador K(z) sea realizable el exponente de la expresin)( ddmz

en la ecuacin (3.133) debe ser negativo.

dmdd

dm

dm

dm

d zzNzzBzDzzB

zzNzA

zzD

zN

zzD

zN

zzB

zAzK

=

=)()()()(

)()(

)(

)(1

)(

)(

)(

)()( (3.132)

( )( )ddm

dm zzzNzDzB

zNzA

zK

= )()()(

)()(

)( (3.133)

donde debe cumplirse que

0 ddm (3.134)

lo cual significa que el tiempo muerto de la nueva funcin de transferencia debe ser

mayor o igual al tiempo muerto del sistema; pero, nunca menor.

ddm (3.135)

Segunda condicin

De la ecuacin (3.133) obtenemos la segunda condicin que consiste en que

cuando todos los polinomios se encuentran con exponentes negativos, el polinomio

numerador del compensador K(z) debe tener un orden menor o igual que el ordendel polinomio denominador, segn la ecuacin (3.136).

( ) ( )mdzNgradzDgradzBgradzNzAgrad ++ ))(()),((max))(()()( (3.136)


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Con las exigencias mnimas siguientes:

0

0))((

0))((

==

=

=

mdd

zNgrad

zBgrad

tenemos entonces que:

))(())(( zDgradzAgrad

Compensador para error de estado estacionario cero

Segn el teorema del valor final para que la salida del sistema tenga error de

estado estacionario cero ante una entrada escaln debe cumplirse que:

1)1()(lim ==

TzTk

(3.137)

Como sabemos que, para que el sistema resultante tenga error de estado

estacionario cero ante una entrada escaln se requiere que el sistema sea tipo 1,entonces la transmitancia equivalente directa GE(z) tiene que tener un factor(z-1)

en el denominador.

)(1)()()()(zT

zTzGzKzGE

== (3.138)

Por lo tanto la funcin de transferencia de lazo abierto debe tener

comportamiento integral.

Pasos generales para el diseo de reguladores de compensacin:

1. Definir la funcin de tranferencia deseada T(z)2. Verificar que se cumplen las condiciones para realizar el compensador3. Calcular el compensadorK(z) con la ecuacin (3.131)


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Compensador con error cero y tiempo de estabilizacin finito (dead

beat)

Segn la definicin de este tipo de respuesta, la saliday(k) debe de llegar a su

valor final con error de rgimen permanente cero despus de un nmero finito n de periodos de muestreo.

qdn += (3.139)

donde

d: es el tiempo muerto de la planta

q: es el tiempo de estabilizacin pedido

Establecemos que el denominador de la funcin de transferencia sea igual auno y que el tiempo muerto de la funcin de transferencia dm sea igual al tiempo

muerto de la planta d.

1)( =zD (3.140)

ddm = (3.141)

Entonces la funcin de transferencia (3.127) la podemos escribir como:

=

=

==q

i

n

i

q

i

di

i zczczT00

)( (3.142)

Con la condicin (3.137) tenemos entonces que:

=

===

q

i

izczT

0

11)( (3.143)

la cual se conoce como la propiedad dead beat, que establece que la suma de los

coeficientes del polinomio que define la funcin de transferencia debe ser igual a

uno, para respuesta dead beat.


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Procedemos a escoger la funcin de transferencia normalizada deseada; de tal

forma, que su numerador sea igual al numerador de la planta como:

dz

B

zBzT =

)1(

)()( (3.144)

donde

in

i

i zbzB

= =

0

)( (3.145)

Comprobamos que la ecuacin (3.144) cumple con la condicin (3.137) para

error de estado estacionario cero.

1)1(

)1()(

1==

= B

BzT

z

Calculamos el compensadordead beatsegn la frmula dada por la ecuacin

(3.133) as:

ddzzBB

zA

zzBB

zB

zB

zAzK

=

=

)()1(

)(

))()1((

)(

)(

)()( (3.146)

Pasos del diseo:

1. Dada la planta dzzA

zBzG =

)(

)()(

Para la cual se busca un reguladordead beat

2. Calcule el regulador como dzzBB

zAzK

=

)()1(

)()( ; con dnn + ; donde n

es el orden de la planta.

3.No trate de compensar polos o ceros fuera del crculo unitario.


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Ejemplo 3.13:Sintetice un regulador dead beatpara la planta dada a continuacin

dsTesT

sG

+=

11

1)(

El tiempo muerto es TdTd = ; donde T es el periodo de muestreo.

Discretizando la funcin de transferencia de la planta obtenemos

d

T

T

T

T

z

ez

ezG

=

1

11)(

La cual expresamos como un cociente de polinomios en z -i para poder utilizar la

frmula dada por la ecuacin (3.146).

( )1

11

1

1

1

)( +

= d

T

T

T

T

z

ze

e

zG ; con dd =+1

La funcin de transferencia se escribe como:

dd

T

T

T

T

d zz

e

ez

B

zBzT

=

==

1

1

1

1

)1(

)()(

Por lo que el compensador ser:

dT

T

T

T

T

T

d

zee

zezzBB

zAzK

==11

1

11

1)()1(

)()(

1


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( )dTT

T

T

ze

zezK

=

11

1)(

1

1 1

Si tenemos los valores T = 0.1, Td = 0.4 y T1 = 2 entonces:

( )( )5

1

52

1.0

12

1.0

10488.0

9512.01

11

1)(

=

=

z

z

ze

zezK

Graficamos la respuesta al escaln de la planta con el compensador obtenido ytenemos:

t [s]

h(t)

t [s]

h(t)

Figura 3.14: Respuesta al escaln para el sistema original y compensado dead beat.

Como puede observarse en la Figura 3.14:, la respuesta al escaln para el

sistema compensado es exactamente como se esperaba.


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Compensador para respuesta de primer orden

En ocasiones la respuesta dead beates demasiado exigente para un sistema,especialmente cuando el tiempo de estabilizacin pedido es muy pequeo; o

cuando se requiere una respuesta a un escaln de amplitud muy grande. En estoscasos se puede establecer la funcin de transferencia como la de un sistema deprimer orden.

La funcin de transferencia deseada de primer orden obtenida a partir de (3.127) es:

md

T

T

z

ez

e

KzT

=

1

)( (3.147)

Con dm = dy haciendo K = 1, para que la salida tenga en estado estacionario el

valor de la amplitud de entrada; el compensador necesario se calcula como:

)(

0

1

1

)(

)()(

876dd

d

TT

T

mz

zeez

e

zB

zAzK

=

(3.148)

Ejemplo 3.14:Sintetice el compensador para respuesta de primer orden con = 0.3s para laplanta de primer orden dada a continuacin, discretizada con un periodo de

muestreo de T = 0.1s

9512.0

0488.0)(

=

zzG T = 0.1s

Evaluando en la expresin (3.148) con d = 0, = 0.3s, T = 0.1s obtenemos:

( )( )

( )19512.0

81.51

1

0488.0

9512.0)(

3.0

1.0

=

=

z

z

z

ez

zK


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t [s]

h(t)

t [s]

h(t)

Figura 3.15: Respuesta al escaln para el sistema original y compensadoprimer orden.

En la Figura 3.15: podemos observar que la respuesta al escaln para el

sistema compensado es exactamente como se defini.

Ejercicio:

Para el sistema cuya planta tiene una funcin de transferencia en tiempo continuo,

)1(

1)(

+=

sssG

a) Utilizando un periodo de muestreo T = 0.2s, sintetice un controlador queproduzca una respuesta dead beatcon un retardo de un periodo de muestreo,para una entrada escaln.

b) Utilizando un periodo de muestreo T = 0.1s, sintetice un controlador queproduzca una respuesta de primer orden con = 1s, ante una entrada escaln.

3.0sistemasdecontrolentiempodiscreto

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