الرياضيات3

1431هـ ــ 1432هـ

2010م ــ 2011م

رقــــــم الإيـــــــــداع : 14٢7/3785

ردمك : 9 - ٢35 - 48 - 9960

م

20

11

-م

20

10

/هـ

14

32

-هـ

14

31

ة

نيثا

الة

عطب

ال

ة(

عيبي

طال

م و

علال

ر سا

م�(

ت را

رق

املم

ظا ن

ي و

انلث

ام

ليعلت

ا

3ت

ضياريا

نظام المقررات

)م�سار العلوم الطبيعية(

اال�ســـــــــــــــــم : ......................................................................................

الـمــدر�ســـــــة : ......................................................................................

) م�سار العلـوم الطبيعية (

جلنة التعديل والتطوير

اأ- نور بنت �سعيد باقادر )رئي�سا (

اأ- اإبت�سام بنت �سعيد من�سي اأ- جنوى بنت رجب ال�سوا

اأ- ملياء بنت عبد اهلل خان اأ- �سلمى بنت عبود بايزيد

جلنة املراجعة

م اأ- ثامر بن حمد العي�سى اأ- �سـامي بن اأحمد رحيـ

الطباعة

اأ- اإميان بنت عبداهلل القثمي اأ- �سادية بنت اأحمد باعزيز

اأ- مها بنت عبد العزيز القدير

اأ�سرف على الت�سميم الفني والتعليمي

اأ- حممد بن عبداهلل الب�سي�ص

نظام المقررات

1431 ـــ 1432 هــ

2010 ـــ 2011م

له��ذا الكتاب قيمة مهم��ة وفائدة كبيرة فحافظ عليه واجع��ل نظافته ت�سهد على ح�سن

�سلوكك معه .

اإذا لم تحتفظ بهذا الكتاب في مكتبتك الخا�سة في اآخر العام لال�ستفادة فاجعل مكتبة

مدر�ستك تحتفظ به .

وزارة التربية والتعليمموقع

www.moe.gov.sa

البوابة التعليمية للتخطيط والتطوير موقع

http://www.ed.edu.sa

اإدارة التعليم الثانويموقع

www.hs.gov.sa

البريد الإلكتروني لإدارة التعليم الثانوي

[email protected]

حقوق الطبع والن�سر محفوظة لوزارة التربية والتعليم � المملكة العربية ال�سعودية

وزارة التربية والتعليم ، 1427 ه�ح

فهر�سة مكتبة الملك فهد الوطنية اأثناء الن�سر

وزارة التربية والتعليم

ريا�سيات 3) التعليم الثانوي ( - الريا�ض ، 1427 ه�

252 �ض ؛ 27x21 �سم

ردمك : 9 � 235 � 48 � 9960

1� الريا�سيات � كتب درا�سية 2� التعليم الثانوي � ال�سعودية � كتب درا�سية

اأ. العنوان

ديوي 510،712 3785/ 1427

رقم الإيداع : 3785 / 1427

ردمك : 9 ـ 235 ـ 48 ـ 9960

الحمد هلل رب العالمين، و ال�سـالة وال�سـالم على �سـيد المر�سـلين، وعلى اآله و�سحبه اأجـمعين،

ومن تبعهم باإح�سـان اإلى يوم الدين وبعد ...

ـيا لخطط ـــات ) 3 ( فـــي نظام المقـــررات بالتعليـــم الثانوي الذي ناأمـــل اأن يجـــيء ملب هـــذا كتـــاب ريا�سي

ـة ال�سـعودية ومتفقا مع تطلعاتـها في اإخراج جيل قادر التنميـــة الطموحـــة التي تعي�سـها المملكـة العربي

علـــى مواكبـــة الع�سر ومتم�سـيا مع النه�ســـة التي تحياهـا، كل ذلك وفق اأهـــداف و�سـيا�سـة التعليم فيهـا.

ة الآتية : ولقد ا�سـتند في تنظيم محتوى هذا الكتاب على المنطلقـات العام

الحـاجات الأ�سـا�سـية للطالب.

ات. طرائق تعليم وتعلم الريا�سيـ

. اأ�سـاليب التفكير الريا�سي

ـات ومهارات وم�سـائل ريا�سية. نوعية البناء الريا�سي من مفهومات وم�سطلحـات وخوارزمي

ـة. ـات في الحياة العملي اأوجه ا�سـتخدامات الريا�سي

وتبرز مالمح الكتاب في التالي:

ة للمادة واأهداف نظام المقررات بالتعليم 1- النطالق في تنظيم منهج الريا�سيات من الأهداف العام

الثانـــوي، بمـــا يتالءم وخ�سائ�ـــص نـمو الطالب باتبـــاع اأ�سـاليب وطرائق ت�سـتند اإلـــى نظريات التعلم

المختلفة.

2- الأخـــذ بالتجـــاه الحلزونـــي فـــي معالجـــة المحتـــوى الريا�سي مـــع الجمع بيـــن التنظيـــم المنطقي

والتنظيم ال�سيكولوجي.

ـــات ... وتمييزهـــا 3- روعـــي فـــي عر�ـــص المو�سوعـــات اإبـــراز المفهومـــات والمبـــادئ العلميـــة والنظري

وا�سـتخدامها في مواقف تعليمية مختلفة بما يعين على تعميق معناها لدى الطالب.

4- الهتمام ببرهان الحقائق والنظريات، ومراعاة التوازن بين المفهومات والمهارات.

5- توظيـــف اأ�ساليـــب التفكير العلمـــي في البحث وال�ستق�ســـاء والو�سول اإلـــى ال�ستنتاجات والقرارات

وحل الم�سكالت.

ق في ذلك 6- ال�ستمرار في تعزيز بناء المفهومات بال�ستناد اإلى معلومات الطالب ال�سابقة مع التعم

بمـــا يتفـــق وطبيعـــة المرحلـــة واإي�ساح كل مفهوم من خـــالل اأمثلة متنوعة؛ لم�ساعـــدة الطالب على

. التعلم الذاتي

مقدمة

ـــات العـــرب والم�سـلميـــن واأثرهـــم فـــي بنـــاء وتطويـــر العلـــوم الريا�سية 7- اإبـــراز جهـــود علمـــاء الريا�سي

وتطبيقاتـها.

م لـه في المواد الأخرى، وتوظيـفها 8- ربط المفهومات الريا�سية ببيئة الطالب وبالمفهومات التي تقد

دة. من خالل التطبيقات الحياتية المتعد

9- ت�سمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب كل معلومة ريا�سية.

عة في نـهاية كل وحدة، اإ�سـافة اإلى التمارين التي ة متنـو 10- اإثرا-ء المحتـوى بمجموعة تمـارين عام

تلي كل در�ص؛ لتثبـيت الحقـائق والمهـارات وتاأكيـد ا�سـتمرارية التعلم.

11- اإدراج اأن�سطة اإثرائية با�ستخدام الحا�سب الآلي كلما اأمكن ذلك.

نهـــا محتـــوى كل وحـــدة مـــن الوحـــدات وذلك في ـــات ... التـــي ت�سم 12- تلخي�ـــص المفهومـــات والنظري

نـهايته.

13- اإدراج قائمة بالإجابات النهائية لبع�ص التمارين لكل وحدة بـهدف تقويم الطالب لنف�سـه ذاتـيا.

14- اإدراج الأهداف التعليمـية لكل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها.

ـــة كلما دعت الحاجة ـــة والأ�سـكال فـــي تو�سيح المفهومات الريا�سي 15- ال�ستعانـــة بالر�ســـوم التو�سيحي

لذلك.

ا يلي: ولقد ا�سـتفيد حين اإعداد الكتاب مم

ة للمناهج 1- تو�سيـــف منهـــج مـــادة الريا�سيات فـــي نظام المقررات بالتعليـــم الثانوي مـــن الإدارة العام

بالتطوير التربوي بوزارة التربية والتعليم.

ـــات بـــدول مجل�ـــص التعاون لـــدول الخليـــج العربية، وبع�ـــص الـــدول العربية وغير رات الريا�سي 2- مقـــر

العربية.

هذا ويقع الكتاب في اأربع وحدات وهي:

بة . 4- دوال كثيرات الحدود . جهات . 3- الأعداد المرك 1- الم�سلعات . 2- هند�سة المت

ق هذا الكتاب الأهداف الماأمولة له. و اإ ننا لترجو التوفيق وال�سـداد من اهلل - تعالى - واأن يحـق

واهلل من وراء الق�سد.

لجنـة التاأليف

الوحدة

الثانية

الوحدة

الأولى

هند�سة المتجهات

الم�سلعات

)2-1( المتجهات في الم�ستوي .............................................

)2-2( ال�سرب القيا�سي ) ال�سرب الداخلي ( ..............................

)2-3( معادلة الم�ستقيم في الم�ستوي ......................................

)2-4( الإحداثيات في الف�ساء .............................................

)2-5( المتجهات في الف�ساء الإحداثي ....................................

تعلمت في هذه الوحدة .............................................

�ة ...................................................... تماري�ن عام

)1-1( الم�سلعات المنتظمة ................................................

)1-2( ت�سابه الم�سلعات ...................................................

تعلمت في هذه الوحدة ..............................................

�ة ....................................................... تماري�ن عام

10

29

48

49

54

92

98

106

121

140

143

الوحدة

الثالثةالأعداد المركبة

دوال كثيرات الحدود

بة ........................................... )3-1( مجموعة الأعداد المرك

بة ..................................... )3-2( العمليات على الأعداد المرك

)3-3( حل معادلت الدرجة الثانية في مجموعة الأعداد المركبة ..........

تعلمت في هذه الوحدة ..............................................

�ة ...................................................... تماري�ن عام

)4-1( العمليات على كثيرات الحدود ........................................

)4-2( ق�سمة كثيرات الحدود ..............................................

)4-3( النظرية الأ�سا�سية في الجبر .......................................

اأن�سطة اإثرائية......................................................

تعلمت في هذه الوحدة .............................................

�ة ..................................................... تماري�ن عام

الوحدة

الرابعة

150

156

171

178

180

184

199

212

225

229

231

الوحدة

الأولىالم�سلعــــات

)1-1( امل�سلعات املنتظمة

)1-2( ت�سـابه امل�سلعات

ن�ساه��د الم�سلع��ات ف��ي كثي��ر من

الأ�سي��اء حولنا ، ن�ساهدها في بيوت

النح��ل ، وف��ي المبان��ي والمن�س��اآت

الهند�سي��ة ، وف��ى اللوحات وزخرفة

الحلي

ع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة يتوق

اأن يكون قادرا على اأن :

ب. ر والم�سلع المحد 1- يميز الم�سلع المقع

الخارجية والدائرة الداخلية الدائرة يميز -2

لم�سلع منتظم.

3- ير�سم م�سلعا منتظما داخل دائرة معلومة.

4- يح�سب م�ساحة م�سلع منتظم بدللة المحيط

والعامد.

لبع�ص العامد وطول ال�سلع طول يح�سب -5

الم�سلعات المنتظمة.

ـر معنى ت�سـابه م�سلعين ون�سـبة ت�سابـههما. 6- يف�س

في متناظرين ارتفاعين بين العالقة ي�ستنتج -7

مثلثين مت�سابـهين.

8- ي�ستنتج العالقة بين م�ساحتي مثلثين مت�سابـهين

ما ذلك على م�سلعين مت�سابـهين. معم

ريا�سيات )3( ريا�سيات )3(11 10

الم�سلعــــاتالوحدة الأولى



لنا ة متناهي��ة تجلت فيها قدرته وعظمته، ولو تاأم ره اأجمل ت�سوير بدق اأب��دع الخالق العظيم الكون و�سو

ة والتماثل والنتظام في الخلق لوجدنا هند�س�ة تفوق كل هند�س�ة ناحية من نواحي تلك العظمة وهي الدق

ة البديعة التي اأبدعها الخال��ق نجدها في بلورات وتنا�س�ق��ا يعل��و كل تنا�س�ق . فهذه الأ�س��كال الهند�س�ي

، نجدها في خاليا من النباتات والحيوانات، كما نجدها في بيوت النحل التي المعادن وكثير من المواد

اأوح��ى اهلل ل�ه��ا فاتخذت من الجبال ومن ال�س�ج��ر بيوتا متقنة ال�سنع متماثلة ال�س��كل، واأخيرا نجدها

م المبان�ي وهند�ض ف��ي ابتكارات الإن�س�ان المخلوق الذي وهب��ه اهلل العقل وميزه على �س�ائر خلقه ف�سم

ة والجمال. المن�س�اآت ور�س�م اللوحات وزخرف الحلي في �سور غاية في الدق

وف��ي هذه الوحدة �س�ندر�ض خ�سائ�ض الم�سلعات المنتظمة، كم��ا �س�ندر�ض ت�س�ابه الم�سلعات والعالقة

بين محيطي م�سلعين مت�ساب�هين وكذلك بين م�س�احتيهما.

مـــقــدمـــة

الم�سلعات المنتظمة

1-1





عرف��ت فيم��ا �س�بق مفهوم الم�سلع، وعلى �س�بيل المثال ف��اإن كال من الأ�س�كال في ال�س�كل ) 1-1 ( يمثل

م�سلعا.

الم�سلع

: فالم�سلع هو ا تحاد ثالث قطع م�س�تقيمة اأو اأكثر في الم�س�توي، بحيث اإن

القطع الم�س�تقيمة تتقاطع عند اأطرافها فقط.

كل طرف ينتمي اإلى قطعتين م�س�تقيمتين فقط.

ل توجد قطعتان م�س�تقيمتان ت�س�تركان في طرف واحد، على ا�س�تقامة واحدة.

اأن كال من الأ�س�كال في ال�س�كل ) 1-2 ( ل يمثل م�سلعا ) لماذا ؟ (

�س�كل ) 2-1 (

�س�كل ) 1-1 (





عين روؤو�ض واأ�سالع كل من الم�سلعات الواردة في �س�كل ) 1-1 ( وار�س�م اأقطارها ثم اأعط مثال في كل

منها على راأ�س�ين متتاليين وعلى �سلعين متجاورين.

تدريب )1-1(

ر ب والم�سلع المقع الم�سلع المحد

)1-1(

ب. نا نعن�ي الم�سلع المحد اإذا ذكرنا م�سلعا فاإن

�س�كل ) 3-1 (

3

2

1

4

5

: كما عرفت اأن

عنا�سر الم�سلع هي اأ�سالعه وروؤو�س�ه وزواياه، حيث:

ى اأ�سالع هذا الم�سلع. القطع الم�س�تقيمة الداخلة في تركيب الم�سلع ت�س�م

ى روؤو�ص الم�سلع. اأطراف اأ�سالع الم�سلع ت�س�م

ى زاوية لـهذا الم�سلع. دة ب�سلعين متجاورين متتاليين في م�سلع ت�س�م كل زاوية محد

كل راأ�س�ين متتاليين هما طرفا �سلع، وكل �سلعين متجاورين ي�س�تركان في راأ�ض واحد.

ى قطرا لـهذا الم�سلع. كل قطعة م�س�تقيمة ت�سل بين راأ�س�ين غير متتاليين من م�سلع ت�س�م

ى الم�سلع ب ج� م�سلعا ��ى الم�سل��ع بح�س�ب عدد اأ�سالعه، فمثال في �س�كل )1-1( ي�س�م ي�س�م

ا، د ه و م�سلعا رباعيا، ح ط ي ك ل م�سلعا خما�سـيا. ثالثي

محيط الم�سلع هو مجموع اأطوال اأ�سالعه.

ب اإذا وقع بكامله في جهة واح��دة بالن�س�بة لكل م�س�تقيم يحوي �سلعا من نق��ول ع��ن م�سلع ما اأ نه محد

را. يه م�سلعا مقع نا ن�س�م ق ذلك فاإ ن ا اإذا لم يتحق اأ�سالعه، اأم

ب. ر بينما الم�سلع و ح ط ي محد ففي ال�س�كل ) 1-3 ( نالحظ اأن الم�سلع ب ج� د ه مقع





الم�سلع المنتظم

��ه: م�سلع اأ�سالع��ه متطابقة وزواياه �طة باأ ن �س�ب��ق لن��ا تعريف الم�سل��ع المنتظم في المرحل��ة المتو�س

مت�س�اوية.

ومن اأمثلة الم�سلعات المنتظمة الم�سلعات الواردة في ال�س�كل ) 1-4 ( وهي:

المثلث المتطاب��ق الأ�سالع؛ حيث اإن اأ�سالعه متطابقة وزواياه مت�س�اوية وقيا�ض كل منها ي�س�اوي °60 .

ع؛ لأن اأ�سالعه متطابقة وزواياه مت�س�اوية قيا�ض كل منها ي�س�اوي°90 . المرب

�ض ) الخما�سي ( المنتظم، اأ�سالعه الخم�س�ة جميعها متطابقة وزواياه مت�س�اوية. المخم

ن ) الثماني ( المنتظم، اأ�سالعه الثمانية متطابقة وزواياه مت�س�اوية. المثم

)2-1(

ه اإذا كانت هي عدد اأ�سالع م�سلع ما فاإن عدد المثلثات الداخلة في تق�س�يمه من اأحد من المعلوم اأ ن

ق من ذلك بتق�س�يم كل من الم�سلعات الواردة في �س�كل ) 1-4 ( من روؤو�س�ه ي�س�اوي – 2 ) تحق

الراأ�ض ( ومن ثم فاإن مجموع قيا�ض زوايا الم�سلع ي�س�اوي ) – 2 ( × 180° ونتيجة لت�س�اوي زوايا

الم�سلع المنتظم فاإن :

قيا�ض الزاوية في م�سلع منتظم عدد اأ�سالعه ي�س�اوي

�س�كل ) 4-1(

تدريب )2-1(

3

2

1

4

ن المنتظم. �ض المنتظم والمثم اح�سب قيا�ض زاوية المخم





الدائرة الخارجية والدائرة الداخلية لم�سلع منتظم

من جهة اأخرى،

�س�كل ) 6-1(

�س�كل ) 5-1(

: اإذا كانت م مركزا للدائرة الخارجية لم�سلع منتظم معطى كما في ال�سكل ) 1-6 (، فاإن

) اأطوال اأن�ساف اأقطار دائرة واحدة (

كذلك

) الم�سلع منتظم (

وب�هذا تكون المثلثات :

والتي قواعدها اأ�سالع الم�سلع المنتظم وروؤو�س�ها عند النقطة متطابقة ؛

ا يقت�سي تطابق ارتفاعات�ها النازلة من ؛ مم

ة ( وطول ن�سف قطرها ي�س�اوي طول وه��ذا يثب��ت اأن الدائرة التي مركزها ) مركز الدائ��رة الخارجي

ة المر�س�ومة من اإلى اأحد اأ�سالع الم�سلع المنتظم المعطى تم�ض جميع اأ�سالعه من القطعة العمودي�

ة ل�هذا الم�سلع. ى الدائرة الداخلي الداخل، وت�س�م

ليكن ب ج� د ه ... م�سلعا منتظما معطى، كما في ال�س�كل ) 1-5 (، ولنفر�ض اأن مركز الدائرة التي

تمر بالنقاط ، ب ، ج� وهي نقاط لي�س�ت على ا�س�تقامة واحدة.

) لعلك تذكر طريقة ر�س�م دائرة بمعلومية ثالث نقاط منها (.

لذا فاإن ) اأطوال اأن�ساف اأقطار في دائرة واحدة (.

لن�سل بالروؤو�ض ، ب ، ج� ، د ، ...

بما اأن ) زاويتا م�سلع منتظم واحد (

فاإن

ولكن ) لأن (

اإذا ، وبما اأن ) �سلعا م�سلع منتظم واحد (.

فاإن المثلثين متطابقان ) لتطابق �سلعين وت�س�اوي زاوية مح�سورة بينهما من المثلث

ل مع نظائرها في الثاني ( ، وعليه فاإن ، اأي اأن الدائرة التي تمر بالنق��اط الأو

ا بالنقطة د. ، ب ، ج� تمر اأي�س

ة ى الدائرة الخارجي وب�هذه الطريقة يمكن اإثبات اأن هذه الدائرة تمر ببقية روؤو�ض الم�سلع المعطى وت�س�م

ل�هذا الم�سلع.

، جـ د ب





تعريف ) 1- 1(

ة ل�ه��ذا الم�سلع ، بينما ��ي الدائ��رة التي تمر بروؤو�ض م�سل��ع منتظم معطى الدائرة الخارجي ن�س�م

ة. ي الدائرة التي تم�ض اأ�سالعه من الداخل الدائرة الداخلي ن�س�م

)3-1(

تعريف ) 1- 2(

ة المر�س�ومة من المركز اإلى اأحد اأ�سالع عام��د الم�سلع المنتظم هو القطع��ة الم�س�تقيمة العمودي

هذا الم�سلع.

فمثال : في ال�س�كل ) 1-7 ( كل من

تعد عامدا للمثلث المتطابق الأ�سالع .

3

2

ى هذا المركز 1 ��ة لم�سلع منتظم ل�هما المركز نف�س��ه وي�س�م ة والدائرة الخارجي الدائ��رة الداخلي

مركز الم�سلع المنتظم.

ى ان �سلع��ا من اأ�سالع الم�سلع ت�س�م الزاوي��ة التي راأ�س�ها مركز الم�سلع المنتظم و�سلعاها يحد

ة ة لكل من الدائرتي��ن الداخلي ـــة ل�ه��ذا الم�سلع، وتعد ه��ذه الزاوية زاوي��ة مركزي زاويـــة مركزي

ة للم�سلع مقابلة ل�سلع من اأ�سالعه ، والخارجي

��ة للم�سلع ول��كل من الدائرتين فمثـــال : ف��ي ال�س��كل ) 1-6 ( نج��د اأن زاوي��ة مركزي

ة له. ة والخارجي الداخلي

فين العموديين ل�سلعين متتاليين من د مركز الم�سلع المنتظم بتحديد نقطة تقاطع المن�س يتحد

اأ�س��الع الم�سلع، وبذلك يمكننا ر�س�م الدائ��رة الخارجية لم�سلع منتظم بتحديد مركز الم�سلع

كمركز للدائرة والم�س�افة بين هذا المركز واأحد روؤو�ض الم�سلع كن�سف قطر للدائرة.

�س�كل ) 7-1(





)4-1(

ف العمودي لأي �سلع من اأ�سالع الم�سلع ) لماذا ؟ ( عامد الم�سلع المنتظم هو جزء من المن�س

ة ل�هذا الم�سلع وبذلك يمكننا ر�س�م عوامد م�سلع منتظم هي اأن�ساف اأقطار في الدائرة الداخلي

ة لم�سلع منتظم معطى بتحديد مركزه وطول عامده. الدائرة الداخلي

2

1

تدريب )3-1(

��ة والدائ��رة ار�س��م كال م��ن الدائ��رة الداخلي

��ة للم�سل��ع المنتظم ب ج� د ه في الخارجي

ال�س�كل ) 8-1 (.

ر�سـم بع�ص الم�سلعات المنتظمة داخل دائرة معلومة

1

ن�س��ف ط��ول ،) ( دائ��رة ل��ن�ر�س��م

قطره��ا ونر�س��م فيه��ا قطري��ن متعامدين

، كم��ا ف��ي ال�س��كل

) 1-9 (، ث��م ن�س��ل الن��ق��اط ، ب

ج�� ، د عل��ى الترتي��ب فنح�س��ل بذل��ك

��ع المطل��وب. ) حي��ث اإن كل عل��ى المرب

رباع��ي قط��راه متعام��دان ومتطابق��ان

ومتقاطع��ان في منت�سفهم��ا هو مربع (.

المربع

ة المقابلة للدائرة انق�سمت اإلى اأربع زوايا مت�س�اوية، قيا�ض كل منها اأن الزاوية المركزي

باعي ق عن طريق تطابق المثلثات الأربعة التي روؤو�سها م من اأن الر ، ثم تحق

ع. ب ج� د مرب

�س�كل ) 9-1(

�س�كل ) 8-1(





ن المنتظم المثم 2

�س�كل ) 10-1(

للدائ��رة المقابل��ة ��ة المركزي الزاوي��ة اأن

انق�سم��ت اإلى ثماني زوايا مركزية مت�س�اوية قيا�ض كل

منها هو :

واأن

) اأطوال اأن�ساف اأقطار في دائرة واحدة ( ؛

لذا ف��اإن المثلث��ات الثم��انية :

جميعها متطابقة

) لتطابق �سلعين وت�س�اوي زاوية مح�سورة بينهما في مثلث مع نظائرها في المثلثات الأخرى (.

وينتج من تطابق المثلثات ما يلي:

1

ن منتظم. ن في �س�كل ) 1-10 ( مثم ن اأن المثم وهذا يبي

على �سوء ما �س�بق ن�س�تنتج اأ نه باإمكاننا ر�س�م م�س��لع منت��ظم عدد اأ�سالعه داخ��ل دائرة

ة المت�س�اوية ثم ��ة المقابلة للدائرة اإلى م��ن الزوايا المركزي ) ( بتق�س�ي��م الزاوي��ة المركزي

بر�س�م الأوتار المقابلة ل�هذه الزوايا المركزية.

تدريب )4-1(

�عا منتظما داخل دائرة ) ( طول ن�سف قطرها 3 �سم. ار�س�م مت�س

2

ه�

لنر�س�م الدائرة ) ( التي ط��ول ن�س��ف قطرها ونر�س��م فيها القطرين المتع��امدين

فات : ف الزوايا القائمة بالمن�س ، ثم نن�س

والتي تتقاطع مع الدائرة في النقاط : ب ، د ، و ، ح

تواليا ، واأخيرا ن�سل النقاط : ، ب ، ج� ، د ، ه ، و ، ز ، ح ، على الترتيب ، كما في ال�س�كل

ن المنتظم المطلوب . ) 1-10 ( ، فنح�سل بذلك على المثم





ر في طريقة اأب�سط لر�سم الم�سلع المنتظم ! لعلك تفك

طة لر�سم م�سلع منتظم عدد اأ�سالع��ه داخل دائرة ، وذلك ��ة ومب�س م فيم��ا يلي طريقة عام �س�نق��د

اعتمادا على العالقة - التي در�ستها في المرحلة المتو�سطة - بين الزوايا المركزية المت�ساوية و الأقوا�ض

المقابلة لها من جهة، وبين الأقوا�ض المتطابقة والأوتار المقابلة لها من جهة اأخرى ) وذلك في الدائرة

الواحدة ( .

�ض هذه العالقة في العبارة التالية : ونلخ

ت�ساوي زاويتين مركزيتين تطابق قو�سـاهما تطابق وتراهما

�س�كل ) 11-1(

انظر ال�س�كل ) 1-11 ( والذي فيه :

يطابق

لر�س�م م�سلع منتظم عدد اأ�سالعه داخل دائرة ) ( طول ن�سف قطرها نتبع الخطوات التالية:

ة ولتكن قيا�س�ها ي�س�اوي نر�س�م اأي زاوية مركزي

�م الدائرة اإلى اأقوا�ض مت�س�اوية الطول بدءا من نفتح الفرج�ار بفتحة قدرها وب�ها نق�س

ر هذا الإجراء ( . النقطة ب و انتهاء بالنقطة ) بر

ن�سل بين نقاط التق�سيم المتتابعة لنح�سل على الم�سلع المطلوب

1

2

3

تدريب )5-1(

�ع المنتظم داخل دائرة ف��ي ال�س��كل ) 1-12 ( ر�س�من��ا المت�س

�ة لر�س�م ) ( طول ن�سف قطرها 3 �سم با�ستخدام الطريقة العام

م�سلع منتظم داخل دائرة معلومة.

�س�كل ) 12-1(

ة لر�سـم م�سلع منتظم داخل دائرة معلومة الطريقة العام

�ض ار�س��م مثلث�ا منتظم��ا داخل دائرة وحاول عن طريق تن�سيف الأقوا��ض الناتجة الح�سول على م�س�د

منتظم.





تدريب )6-1(

�ض المنت�ظم ب ج� د ه و في دائرة ) ( ، طول ن�س�ف قطرها ، ثم اأثب��ت اأن ار�س�م الم�س��د

ج� ه متطابق الأ�سالع.

)5-1(

�ض منتظ��م مر�س�وم داخل المثل��ث النات��ج من التو�سيل بي��ن ثالثة روؤو�ض غير متتالية م��ن روؤو�ض م�س�د

دائرة، هو مثلث متطابق الأ�سالع داخل هذه الدائرة.

مثال )1-1(

الحل

على ا�س�تقامة واحدة وتر يمر بالمركز .

�ـــص المنتظم المر�ســــوم داخـــــــل وتـــر فـــي الدائـــرة ) (، طولـــه ي�ســــاوي طـــول �سلـــع الم�سـد

الدائـــرة، وتـــر اآخـــر طولــــه ي�ســــاوي طـــول �سلع المثلث المتطابق الأ�سالع المر�سـوم داخل

الدائـــرة، بحيـــث تكـــون النقطتـــان ، جــــ في جهتين مختلفتيـــن بالن�سـبة للم�ســــــتقيـــم ب . اأثبت اأن

الوتر يمر بالمركز .

�س�كل ) 13-1(

العمل: ن�سل بكل من النقاط ، ب ، ج� كما في ال�س�كل ) 13-1 ( .

�ض منتظم فيها وتر في الدائرة ، طوله ي�ساوي طول �سلع م�سد

وت��ر في الدائ��رة ، طوله ي�ساوي طول �سل��ع مثلث متطابق

الأ�سالع فيها .

�ض منتظم ( ، ة لم�س�د ) زاوية مركزي

ة لمثلث متطابق الأ�سالع(، ) زاوية مركزي

زاويتان متجاورتان .





نظرية )1-1(

تدريب )7-1(

�س�كل ) 14-1(

ف قطر في دائرة ) ( ، طول ن�سف قطرها ، عمود من�س

للقطعة في ك ، كم�ا في ال�س�كل ) 14-1 (

اأثبت اأن متطابق الأ�سالع.

) اإر�سـاد: ار�س�م ن�سف القطر (

)6-1(

م�سـاحة الم�سلع المنتظم

م�س�احة الم�سلع المنتظم ت�س�اوي ن�سف حا�سل �سرب محيطه في طول عامده.

الـبرهان

الفر�ص: م�سلع منتظم، محيطه وطول عامده

المطلوب اإثباته: م�س�احة الم�سلع المنتظم

ة للم�سلع المعطى ومركزها ، العمل: نر�سم الدائرة الخارجي

ثم ن�سل كما في ال�س�كل ) 15-1 (.

يمكنن��ا ر�س��م مثلث متطابق الأ�سالع ف��ي دائرة ) ( بدون قيا�ض الزوايا وذل��ك بر�س�م قطر للدائرة

ا عليه ، واأخيرا بتو�سيل طرفي الوتر بطرف ف لأحد ن�سفي ه��ذا القطر عمودي ث��م بر�س�م الوتر المن�س

ن�سف القطر الآخر ) الطرف المغاير للمركز (.





�س�كل ) 15-1(

ولكن

اإذا م�س�احة الم�سلع المنتظم

الإثبات:

م�س�احة

كذلك م�س�احة

وب�سيغة مكافئة نح�س��ل على م�س��احة بقية المثلثات

المتطابقة التي راأ�ض كل منها م وقاعدته اأحد اأ�سالع الم�سلع.

م�س�احة الم�سلع المنتظم مجموع م�س�احات هذه المثلثات المتطابقة

تدريب )8-1(

اأوجد م�س�احة م�سلع منتظم محيطه 18 �سم وطول عامده 4 �سم.

)7-1(

�س�كل ) 16-1(

اإذا كان م�سلعا منتظما عدد اأ�سالعه ،

ة ) ( ، طول ن�سف ط��ول عامده ، دائرت��ه الخارجي

قط��رها ، كما في ال�سكل ) 1-16 (فاإن

��ف القاعدة العام��د ين�س

ف زاوية الراأ�ض في في وين�س

اأي اأن





طول ال�سلع وطول العامد لبع�ص الم�سلعات المنتظمة

المثلث المتطابق الأ�سالع 2

ع مر�سوم داخل دائرة طول ن�سف قطرها ي�س�اوي طول �سلع مرب

وطول عامده ي�ساوي

المربع 1

ن�ســــــتنتج اأن:

في ال�س�كل ) 1-18 ( مثلث متطابق الأ�س��الع مر�سوم داخل دائرة ) ( طول ن�سف قط��رها

) ح�س�ب الملحوظة ) 1-7 ( ( ، القائم الزاوية في ك ، فيه

ع مر�سوم داخل الدائرة ) ( في ال�س�كل ) 1-17 ( مرب

التي طول ن�سف قطرها ،

حيث اأن

ة فيثاغور�ض على ، يكون وبتطبيق نظري

اإذا

وبما اأن متو�س�ط على الوتر في القائم الزاوية في .

اإذا

�س�كل ) 17-1(






�س�كل ) 18-1(

�س�كل ) 19-1(

طول �سلع مثلث متطابق الأ�سالع مر�سوم داخل دائرة طول ن�سف قط��رها ي�س�اوي

وطول عامده ي�س�اوي

: ن�ي ، وعليه فاإن اأي اأن ثالثين�ي �ستي

�ص المنتظم الم�سـد 3

�ض منتظم مر�سوم داخل دائرة في ال�س�كل ) 1-19 ( م�سد

) ( طول ن�سف قطرها .

ن��ي القائ��م الزاوي��ة ف��ي ك ثالثين��ي �ستي

) لمـاذا ؟ (

: وعليه فاإن

) لماذا ؟ ( 2

) �سل��ع مقاب��ل للزاوي��ة

60° في (.

) لماذا ؟ (

1

2

) �سلع مقابل للزاوية 30°في ( 1

) �سلع مقاب��ل للزاوية 30° في (






�س�كل ) 20-1(

مثال )2-1(

الحل

اأوجد محيط المثلث المتطابق الأ�سالع المر�سـوم داخل دائرة طول ن�سف قطرها 3�سم.

طول �سلع المثلث المتطابق الأ�سالع في دائ��رة

اإذا محيط المثلث المتطابق الأ�سالع في الدائرة طول ال�سلع

)8-1(

�ض منتظم مر�س�وم داخل دائرة طول ن�سف قطرها ي�س�اوي طول �سلع م�س�د

وطول عامده ي�س�اوي

�ض المنتظ��م المر�س��وم داخل دائرة ي�س��اوي طول ن�سف قط��رها، ا�س�تن��ادا اإلى اأن طول �سلع الم�س�د

�لنا �منا محيط الدائرة ) ( اإلى �س�تة اأقوا�ض متطابقة بفتحة فرجار قدرها ، ثم و�س ن��ا اإذا ق�س ف��اإ ن

لنا بين ا اإذا و�س ا منتظما داخل الدائرة ) ( ، اأم�س� بين نقاط التق�س�يم بالتتابع نكون قد ر�س�منا م�سد

ث��الث نق��اط غير متتالية نكون قد ر�س�منا مثلث��ا متطاب��ق الأ�سالع داخل الدائ��رة ) ( وذلك ح�س�ب

الملح��وظة ) 1-5 (. انظر �س�كل ) 20-1 (.





مثال )3-1(

الحل

اأوجد الن�سـبة بين م�سـاحتي الدائرتين الخارجية والداخلية لمربع طول �سلعه

ع المر�س�وم داخل دائرة طول �سلع المرب

) طول ن�سف قطر الدائرة الخارجية (

ة م�س�احة الدائرة الخارجي

ع ة طول عامد المرب ن�سف قطر الدائرة الداخلي

ة م�س�احة الدائرة الداخلي

ة ة اإلى م�س�احة الدائرة الداخلي ن�س�بة م�س�احة الدائرة الخارجي

مثال )4-1(

الحل

�ص منتظم محاط بدائرة طول ن�سف قطرها 6�سم، اح�سب م�سـاحته. م�سـد

�ض المنتظم المر�س�وم في دائرة م�س�احة الم�س�د

�ض المنتظم وحيث اأن طول عامد الم�س�د

�ض محيط الم�س�د

�ض المنتظم المر�س�وم في دائرة طول �سلع الم�سد

�ض فاإن م�س�احة الم�س�د





تمارين )1-1(

را ؟ ن اأي الم�سلعات الآتية محد با واأ يها مقع بي 1

ر لكل من الأنواع الآتية:3 ب واآخر مقع ار�س�م �س�كال لم�سلع محد

�س�كال خما�س�يا. �س�كال �س�دا�س�يا. �س�كال ثمانيا.

اخت��ر اأحد روؤو��ض كل م�سلع فيما ياأت�ي وار�س�م كل اأقطار ه��ذا الم�سلع المنطلقة من هذا 4

د عددها. الراأ�ض ، وحد

. 3( م�سلع ذو ت�س�عة اأ�سالع. 1( م�سلع ذو اثني ع�سر �سلعا. 2( م�سلع �س�باعي

ما عدد الأقطار المنطلقة من اأحد روؤو�ض م�سلع ذي �سلعا ؟

اأي الأ�س�كال الآتية م�سلعات منتظمة مع ذكر ال�س�بب عندما يكون ال�س�كل م�سلعا غير منتظم ؟2





اذكر عدد المثلثات الداخلة في تق�س�يم كل من الم�سلعات التالية من اأحد روؤو�س�ه.5

. دالم�سلع ال�سباعي. الم�سلع الثماني. م�سلع ذو �س�تة ع�سر �سلعا. م�سلع نوني

اأوجد عدد اأ�سالع م�سلع مجموع قيا�ض زواياه الداخلية.6

ه� د°1620 ، °1800 ، °1080 ، °1980 ، °2340

اأوجد عدد اأ�سالع م�سلع منتظم اإذا علمت اأن قيا�ض اإحدى زواياه الداخلية هي:7

د °108 ، °144 ، °162 ، °170

ا يلي:8 ة لكل مم ة واأخرى خارجي ار�س�م دائرة داخلي

ع طول �سلعه 4 �سم. مثلث متطابق الأ�سالع طول �سلعه 3 �سم. ، مرب

ار�س�م الم�سلعات المنتظمة الآتية داخل دائرة ) (، طول ن�سف قطرها 5 �سم. 9

�عا ، م�سلعا له اثنا ع�س�ر �سلعا . ا ، مت�س�س� مخم

( دائرتين طول ن�سف قطر كل منهما 4 �سم 10 2

( ، ) 1اإذا كانت )

.) 1ا منتظما داخل الدائرة )

�س� ة، ار�س�م م�س�د با�س�تخدام الطريقة العام

.) 2ا منتظما داخل الدائرة )

�س� بدون قيا�ض الزوايا، ار�س�م م�س�د

ار�س�م مثلث�ا متطابق الأ�سالع في كل من الحالت التالية:11

ة. ( طول ن�سف قطرها 4 �سم با�س�تخدام الطريقة العام 1

داخل دائرة )

( طول ن�سف قطرها 3 �سم با�س�تخدام الفرجار وبدون قيا�ض الزوايا.2داخل دائرة )

( طول ن�سف قطرها 2 �سم بدون ا�س�تخدام الفرجار وبدون قيا�ض الزوايا. 3داخل دائرة )




ت�سـابه الم�سلعات الوحدة الأولى

اأوجد طول العامد لم�سلع منتظم م�س�احته ت�س�اوي ثالثة اأمثال محيطه.12

ع مر�س�وم داخل دائرة طول ن�سف قطرها 7 �سم.13 اأوجد محيط مرب

�ض منتظم طول �سلعه 4 �سم.14 اأوجد م�س�احة م�س�د

ن اأن نقط التن�سيف هي روؤو�ض مربع.16 ف كل �سلع من اأ�سالعه، بي ع طول �سلعه 2ل �سم ن�س مرب

اأوجد الن�س�بة بين م�ساحت�ي الدائرتين الخارجية والداخلية لمثلث متطابق الأ�سالع طول �سلعه 5 �سم.15

�م كل من اأ�سالعه اإلى ثالثة اأق�س�ام مت�ساوية. 17 ب ج� مثلث متطابق الأ�سالع طول �سلعه 6 �سم، ق�س

�ض منتظم. برهن اأن نقط التق�س�يم هي روؤو�ض م�س�د

ار�س�م دائرة ) ( طول ن�سف قطرها ثم ار�س�م المربع المر�س�وم داخلها . وار�س�م العامد 18

د العوامد التي ر�س�متها لتالقي الدائرة، �سل كال ع ، ثم م��د ��ق بكل �سلع من اأ�سالع المرب المت�عل

�ن ع المج�اورين ل�ها . اأثبت اأن الم�سلع الذي ح�س�لت علي�ه مثم م��ن نق�اط التالق�ي براأ�س�ي المرب

ن. منت�ظم ، واإذا ك�ان �سم، فاح�سب طول �سلع هذا المثم

20

باعي اح�سب كال من ثم اح�سب م�س�احة الر

ة بروؤو�س�ه رباعي دائري طول ن�سف قطر الدائرة المار

�س�ب��ه منح��رف متطابق ال�س�اقين مر�س�وم داخل دائرة ) (، بحي��ث يكون كل من �س�اقيه �سلعا19

��ع مر�س�وم داخل ن منتظ��م مر�س�وم داخل الدائ��رة، وقاعدته ال�سغ��رى �سلعا من مرب م��ن مثم

الدائرة.

اأثبت اأن القاعدة الكبرى ل�س�به المنحرف هذا، قطر في هذه الدائرة.





ت�سـابه الم�سلعات 2-1

ت�سـابه م�سلعين

تعريف ) 1- 3(

فالم�سلعان ب ج� د ه ، �ض �ض ع ل م في �س�كل ) 1-21 ( يكونان

مت�ساب�هين، اإذا وفقط اإذا كان:

2

ق ال�س�رطان الآتيان معا: عرفت فيما �س�بق اأن الم�سلعات تتطابق اإذا تحق

اأطوال اأ�سالعهما المتناظرة مت�س�اوية.

قيا�س�ات زواياهما المتناظرة مت�س�اوية.

��رة لما ن�س�اهده في الواقع رة اأو مكب ة اإلى عمل نماذج م�سغ نا نحتاج ف��ي حياتنا العملي غي��ر اأ ن

وذل��ك باتخاذ مقيا�ض ر�س�م للح�سول على ه��ذا الت�سغير اأو التكبير مع اتخاد قيا�س�ات الزوايا

عل��ى الر�س�م بحي��ث ت�س�اوي قيا�س�ات نظائرها ف��ي الواقع، وذلك للمحافظة عل��ى الن�س�بة بين

ي ا على ت�س�اوي قيا�س��ي كل زاويتين متناظرتين، وهذا يوؤد طول��ي كل �سلعين متناظرين، واأي�س

اإلى اأن ال�سورة على الر�س�م تكون م�ساب�هة لل�سورة على الطبيعة.

2

1

ق ال�س�رطان الم�سلعان اللذان ل�هما نف�ض العدد من الأ�سالع يكونان مت�ساب�هين اإذا وفقط اإذا تحق

الآتيان معا:

قيا�س�ات زواياهما المتناظرة مت�س�اوية.

اأطوال اأ�سالعهما المتناظرة متنا�س�بة. 2

1

�س�كل ) 21-1(

1





��ه لإثب��ات ت�س�ابه م�سلعي��ن ل يكفي ��د هن��ا اأ ن ونوؤك

توافر اأحد �س�رطي الت�س�ابه دون الآخر ، فمثال : في

��ع والم�س�تطيل ل يت�ساب�هان ال�سكل ) 1-22 ( المرب

رغ��م ت�س�اوي قيا�س�ات زواياهم��ا المتناظرة ، وهذا

وا�س��ح ؛ لع��دم تنا�س��ب اأ�سالعهم��ا المتناظ��رة ،

��ن ف��ي �س��كل ) 1-23 ( ل ��ع والمعي وكذل��ك المرب

يت�ساب�ه��ان رغم تنا�سب اأط��وال اأ�سالعهما ؛ وذلك

لختالف قيا�سات زواياهما المتناظرة.�س�كل ) 23-1(

�س�كل ) 22-1(

تكتب الم�سلعات المت�ساب�هة بترتيب الروؤو�ض المتناظرة.

: في حالة ت�س�ابه الم�سلعين الممثلين في ال�س�كل ) 1-21 ( واللذين فيهما الراأ�ض يناظر الراأ�ض �ض ، فمثال

الراأ�ض ب يناظ��ر الراأ�ض �ض ، الراأ�ض ج� يناظ��ر الراأ�ض ع ، الراأ�ض د يناظ��ر الراأ�ض ل ، الراأ�ض ه يناظر

الراأ�ض .

2

نكتب : الم�سلع ي�س�ابه الم�سلع ، اأو الم�سلع ي�س�ابه

الم�سلع ، اأو الم�سلع ي�س�ابه الم�سلع . وهكذا ...

ل كتابة الن�س�ب المت�س�اوية بين الأ�سالع وف��ي الواقع اإن كتابة الم�سلعات المت�ساب�هة ب�هذه الكيفي��ة ت�س�ه

المتناظرة.

: فمثال: اإذا كان الم�سلع ي�س�ابه الم�سلع فاإن

1





تعريف )1- 4(

ي ن�س�بة طولي �سلعين متناظرين في م�سلعين مت�ساب�هين ، ن�س�بة الت�س�ابه. ن�س�م

فاإذا رمزنا بالرمز ث لن�س�بة ت�س�ابه الم�سلع للم�سلع فاإن

وتكون ن�س�بة ت�س�ابه الم�سلع للم�سلع م�س�اوية

)9-1(

الم�سلعان المتطابقان يكونان مت�ساب�هين.

الم�سلعان الم�ساب�هان لثالث مت�ساب�هان.

الم�سلع المطابق لأحد م�سلعين مت�ساب�هين ي�س�ابه الم�سلع الآخر.

اأي م�سلعين منتظمين ل�هما نف�ض عدد الأ�سالع يكونان مت�ساب�هين ، فمثال : المثلثات المتطابقة

الأ�سالع جميعها مت�ساب�هة والمربعات جميعها مت�ساب�هة وهكذا ...

3

2

4

1

مثال )5-1(

الحل

�س�كل ) 24-1(

على ال�سـكل ) 1-24 (، الم�سلع ي�سابه الم�سلع

اأوجد

الم�سلعان مت�ساب�هان الأ�سالع المتناظرة فيهما متنا�س�بة





نظرية )2-1(

: بما اأن فاإن

ل اإلى الثاني الفر�ص: الم�سلعان مت�ساب�هان، ن�س�بة ت�س�ابه الأو

ت�س�اوي ث ومحيطاهما على التوالي كما في ال�س�كل ) 25-1 (.

المطلوب اإثباته :

�س�كل ) 25-1(

اإذا ت�س�ابه م�سلعان فاإن ن�س�بة محيطيهما ت�س�اوي ن�س�بة الت�س�ابه.

الـبرهان





الم�سلعان مت�ساب�هان الأ�سالع المتناظرة متنا�س�بة

مثال )6-1(

الحل

اإذا

ل محيط الم�سلع الأو

ل اإلى الم�سلع الثاني ن�س�بة ت�س�ابه الم�سلع الأو

اأي اأن

الإ ثبات:

الم�سلعان مت�سابـهان ، فيهما

اح�سب محيط الم�سلع





اإذا

ة ) 2-1 ( بما اأن الم�سلعين مت�ساب�هان فاإنه ح�س�ب النظري

وا�س�تنادا اإلى ما �س�بق درا�س�ته في هذا المجال نكت�س�ف ب�س�هولة اأ نه في حالة المثلثات المت�ساب�هة يكون

ق الآخر. ق اأحدهما يعن�ي تحق ال�س�رطان ال�س�ابقان متالزمين ؛ اأي اأن تحق

�س�كل ) 26-1(

ت�سـابه المثلثات

نعلم اأن المثلث ما هو اإل م�سلع له ثالثة اأ�سالع وثالث زوايا، واأن التعريف ) 1-3 ( لم�سلعين مت�ساب�هين

�ط ، ف��اإذا قلنا اإن المثلثين يتف��ق م��ع تعريف مثلثين مت�ساب�هين الذي تعلمت��ه في ال�سف الثالث المتو�س

، مت�ساب�هان - كما في ال�س�كل ) 1-26 ( - فاإن هذا يعن�ي:

1

تنا�س�ب الأ�سالع المتناظرة، اأي اأن :2

ت�س�اوي الزوايا المتناظرة، اأي اأن :





ر الحالت الثالث لت�س�ابه مثلثين وهي: ولعلك تتذك

الحالة الأولى : يت�س�ابه مثلثان اإذا ت�س�اوت زاويتان من اأحدهما مع زاويتين من الآخر.

نتيجة )1-1(

ة من الآخر. ة من اأحدهما مع زاوية حاد يت�س�ابه مثلثان قائمان اإذا ت�س�اوت زاوية حاد

نتيجة )2-1(

اإذا ر�س��م م��ن راأ�ض القائ��مة ف��ي المثلث القائم الزاوية عم��ود على الوتر، انق�س�م المثل��ث اإلى مثلثين

مت�ساب�هين وكالهما ي�س�ابه المثلث الأ�سلي.

ف��ي ال�س��كل ) 1-28 ( اأن ب قائ��م الزاوي��ة ف��ي ، د عم��ود عل��ى الوت��ر، وح�س��ب

: النتيجة) 1-1 ( فاإن

وبما اأن المثلثين الم�ساب�هين لثالث مت�ساب�هان، اإذا د ب ي�س�ابه د ج�

�س�كل ) 27-1(

�س�كل ) 28-1(

ففي ال�س�كل ) 27-1 (

1 د ب ي�س�ابه ب ج� ؛ لأ نهما قائمان وفيهما ب م�س�تركة.

د ج� ي�س�ابه ب ج� ؛ لأ نهما قائمان وفيهما ج� م�س�تركة.2





نتيجة )3-1(

الحالة الثانية : يت�س�ابه مثلثان اإذا ت�س�اوت زاوية من اأحدهما مع زاوية من الآخر، وتنا�س�ب �سلعا اأحد

هاتين الزاويتين مع �سلعي الزاوية الأخرى.

ففي ال�س�كل ) 1-32 ( ب ي�س�ابه ب ؛ لأن :

�س�كل ) 1-31(�س�كل ) 1-30(�س�كل ) 29-1(

�س�كل ) 32-1(

اإذا ر�سم م�س�تقيم يوازي اأحد اأ�سالع مثلث ويقطع الم�س�تقيمين الحاملين لل�سلعين الآخرين فاإن المثلث

. انظر الأ�س�كال ) 1-29 ( ، ) 1-30 ( ، ) 1-31 ( ولحظ اأ نه في الناتج يكون م�ساب�ها للمثلث الأ�سلي

: كل منها يكون د ه ي�س�ابه ب ج� وذلك ؛لأن

د = ب بالتناظر في ال�س�كلين ) 1-29 ( ، ) 1-30 ( وبالتبادل في ال�س�كل ) 31-1 (. 1

ه = ج� بالتناظر في ال�س�كلين ) 1-29 ( ، ) 1-30 ( وبالتبادل في ال�س�كل ) 31-1 (.2





نظرية )3-1(

نتيجة )4-1(

يت�س�اب��ه مثلثان قائم��ان اإذا تنا�س�ب �سلعا الزاوي��ة القائمة من اأحدهما مع �سلع��ي الزاوية القائمة من

الآخر. ) لماذا ؟ (

الحالة الثالثة: يت�س�ابه مثلثان اإذا تنا�س�بت اأ�سالعهما.

ففي ال�س�كل ) 1-33 ( ب ج� ي�س�ابه ب ج� ؛ لأن :

�س�كل ) 33-1(

اإذا ت�س�ابه مثلثان فاإن ن�س�بة ارتفاعين متناظرين فيهما ت�س�اوي ن�س�بة الت�س�ابه.

الفـر�ـــص : ي�س�اب��ه ، ] ب د ،] ب د ارتفاع��ان متناظ��ران فيهم��ا، كم��ا ف��ي

ال�سكل ) 34-1 ( .

�س�كل ) 34-1(

الـبرهان






الإثبات :

المثلثان ب د ، ب د فيهما:

وا�س�تنادا اإلى النتيجة ) 1-1 ( نجد اأن ب د ي�س�ابه ب د

مثلثان مت�سابـهان محيطاهما 15�سم، 45�سم على الترتيب، فاإذا كان طول اأحد الرتفاعات في المثلث

ل 3�سم فاأوجد طول الرتفاع المناظر له في المثلث الثاني. الأو

مثال )7-1(

الحل

ل ، ح محيط المثلث الثاني. ليكن ح محيط المثلث الأو

ا�س�تنادا اإلى نظرية ) 1-3 ( فاإن :

ل 1 طول الرتفاع في المثلث الأو

3 طول الرتفاع المناظر في المثلث الثاني

31

3 طول الرتفاع المطلوب

= 3 × 3 = 9 �سمطول الرتفاع المطلوب

بما اأن المثلثين مت�ساب�هان فاإن ن�س�بة الت�س�ابه ،15

45

1

3

) زاويتان متناظرتان في المثلثين المت�ساب�هين المفرو�سين (1

) كل منهما قائمة (. 2





نظرية )4-1(

العالقة بين م�سـاحتي م�سلعين مت�سابـهين

الفر�ص:


العمل : نر�سم الرتفاعين كما في ال�سكل ) 35-1 (.

الإثبات :

بما اأن

اإذا

ولكن

؛ لأن ن�سبة الرتفاعين المتناظرين ت�ساوي ن�سبة الت�سابه )نظرية) 1-3 ((. كذلك

لذا فاإن

�س�كل ) 35-1(

ع ن�س�بة الت�س�ابه. اإذا ت�س�ابه مثلثان فاإن ن�س�بة م�س�احتيهما ت�س�اوي مرب

الـبرهان





مثال )8-1(

�س�كل ) 1-36(الحل

لذا فاإن

اأي اأن

فتكون م�س�احة الم�سلع

بما اأن

اإذا

ح�س�ب نتيجة فاإن ي�س�ابه

م�س�احةم�س�احةلتكن





، د، د ه الداخلة في تق�سيم الم�سلع ب د من الراأ�ض تناظر ال��م�ثلثات المثلثات ب

نظرية )5-1(

�س�كل ) 37-1(

المطلوب اإثباته:

اإذا ت�س�اب��ه م�سلع��ان فاإنه يمكن تق�س�ي��م كل منهما اإلى مثلثات تت�س�اب��ه مع نظائرها في

الم�سلع الآخر.

�س�ين. ويمكنك بالطريقة نف�س�ها اأن تبرهن النظرية في حالة اأي �س�نبره��ن هذه النظرية في حالة مخم

م�سلعين مت�ساب�هين.

ب ، د ، د الداخلة في تق�س�يم الم�سلع ب د من الراأ�ض على التوالي، كما في

ال�س�كل ) 37-1 (.

الـبرهان

الفـر�ص : الم�سلع ب د ه ي�س�ابه الم�سلع ب د ،





الإثبات :

وهو المطلوب اإثباته ثانيا.

وبالتالي نح�سل على

من ، ، ينتج اأن

اإذا ي�س�ابه وهو المطلوب اإثباته ثالثا.

ومن ذلك نح�سل على

من ت�س�ابه الم�سلعين المفرو�سين نجد اأن

ولكن ) لت�س�ابه الم�سلعين (





نظرية )6-1(

لالطالع فقط

الفـر�ص : الم�سلع ب ج� د ه ي�س�ابه الم�سلع ب ج� د ، كما في ال�س�كل ) 37-1 (،

ون�س�بة الت�س�ابه = ث، وم�س�احتا الم�سلعين ، على التوالي، وم�س�احات المثلثات ب ج� ، ج� د،

على التوالي.


ة ) 1-5 ( اأن الإثبات : اأثبتنا في النظري

ة ) 1-4( فاإن وح�س�ب النظري

)لماذا ؟(

من ينتج اأن

لكن كذلك

اإذا

ع ن�س�بة الت�س�ابه. اإذا ت�س�ابه م�سلعان فاإن ن�س�بة م�س�احتيهما ت�س�اوي مرب

الـبرهان





اإذا كان طـــول �سلعيـــن متناظريـــن فـــي م�سلعين مت�سابـهيـــن 3 �سم ، 5 �سم ، وكانـــت م�سـاحة الم�سلع

الأكبر ت�سـاوي 100 �سم2 ، فاأوجد م�سـاحة الم�سلع الأ�سغر .

مثال )9-1(

الحل

اأن�سـاأنـــا علـــى اأ�ســـالع مثلـــث قائم الزاويـــة م�سلعـــات مت�سابـهة، بحيث كانـــت اأ�سالع المثلـــث اأ�سالعا

متناظـــرة فيهـــا كما في ال�سكل ) 1-38 (، اأثبـــت اأن م�سـاحة �سـطح الم�سلع المن�ساأ على الوتر ي�سـاوي

مجموع م�سـاحتي �سـطحي الم�سلعين المن�سـاأين على �سلعي القائمة.

مثال )10-1(

�س�كل ) 38-1(

لنفر�ض اأن ترمز لم�س�احة الم�سلع الأ�سغر ، ترمز لم�س�احة الم�سلع الأكبر .

ة ) 1-6 ( فاإن ح�س�ب النظري





الحل

نفر�ض اأن ترمز لم�س�احات الم�سلعات على التوالي.

بجمع نجد اأن :

بما اأن الم�سلع �ض ي�س�ابه الم�سلع ع فاإن

وبما اأن الم�سلع �ض ي�س�ابه الم�سلع ع فاإن

اإذا

اإذا ) وهو المطلوب (

وبما اأن ) نظرية فيثاغور�ض (





في ال�س�كل المجاور :

الم�سلع ب ج� د ي�س�ابه الم�سلع �ض �ض ع ل ،

اأوجد

1

م�س�تطي��الن مت�ساب�هان بعدا اأ�سغرهما 4 �سم ، 6 �س��م. اأوجد بعدي الم�س�تطيل الأكبر اإذا علمت

اأن ن�س�بة الت�س�ابه هي .

2

ل ي�س��اوي 5 �سم وطول �سلع م�سلع��ان منتظم��ان مت�ساب�هان ذوا ت�س�عة اأ�سالع، ط��ول �سلع الأو

الثاني ي�س�اوي 6 �سم. اأوجد محيط كل منهما ون�س�بة الت�س�ابه.

3

م�سلع��ان مت�ساب�ه��ان فيهما �سلعان متناظران طولهما 12 �سم ، 15 �سم على الترتيب، فاإذا كان

محيط الم�سلع الأ�سغر 30 �سم، فاأوجد محيط الم�سلع الأكبر.

4

ل بعداه 3 �سم ، 5 �سم والثاني محيطه 30 �سم ، اأوجد بعدي الم�ستطيل م�ستطيالن مت�ساب�هان الأو

الثاني.

5

م�سلع��ان مت�ساب�ه��ان الن�س�ب��ة بين طول��ي �سلعين متناظري��ن فيهما 1 : 2 فما ه��ي الن�س�بة بين

م�ساحت�يهما وما الن�س�بة بين محيطيهما ؟

7

الم�سلعان ب ج� د ه ، ب ج� د ه مت�ساب�هان فيهما ب = 3 �سم ، ب = 5 �سم ، ج� د =4 �سم ،

د ه =6 �سم ، ه = 8 �سم ، ومحيط الم�سلع ب ج� د ه =52�سم.

اأوجد اأطوال اأ�سالعه.

6

تمارين )2-1(





هو 4 �سم ، فاأوجد م�س�احة م�سلع م�س�ابه 2 اإذا كان ط��ول اأح��د اأ�سالع م�سلع م�س�احته 196 �سم

له بحيث يكون طول ال�سلع المناظر 8 �سم.

8

م�سلعان مت�ساب�هان الن�س�بة بي�ن م�س�احتيهما ت�س�اوي فاإذا كان اأحد اأ�سالع الم�سلع الأ�سغر

ي�س�اوي 4 �سم ، فاأوجد طول ال�سلع المناظر له في الأكبر.

9

على الترتيب ف��اإذا كان طول الرتفاع في 2 ، 49 �سم

2مثلث��ان مت�ساب�ه��ان م�ساحتاه�ما 25 �س��م

ل 4 �سم ، فاأوجد الرتفاع المناظر له في المثلث الآخر. المثلث الأو

10

��ف ال�سلع��ان ف��ي النقطتي��ن د ، ه عل��ى الترتي��ب ، ب مثل��ث ، ن�س

اأثب��ت اأن المثل��ث د ه ي�س�ابه المثلث ب ج� . كم ت�س��اوي م�س�احة المثلث د ه من م�س�احة

المثلث ب ج� ؟

،ب 11

ب مثلث قائم الزاوية في ب ، فيه ب =5 �سم ، ب ج� = 12 �سم ، ر�س�م على] ب ،

] م�سلع��ان مت�ساب�ه��ان بحي��ث كان ] ، ] �سلعي��ن متناظري��ن فيهما. برهن 25على اأن الن�س�بة بين م�س�احتي هذين الم�سلعين ت�س�اوي .

169

ب

12

م�ساحة الم�سلع ال�من�ساأ على ال�سلع ]ب ج� = م�ساحة الم�سلع ال�من�ساأ على ال�سلع ]ج�

م�ساحة الم�سلع ال�من�ساأ على ال�سلع ] ب = م�ساحة الم�سلع ال�من�ساأ على ال�سلع]ج�

ب مثلث قائم الزاوية في ب، ر�س�م ب د فقطعه في د، ر�س�م المثلثان المتطابقا

ه ب د ي�س�ابه الم�سلع و ب. الأ�سالع ب ه ، و خ�ارج ب . اأثبت اأن الم�سلع

14

تين ه اإذا ت�س�ابه م�سلعان منتظمان ف��اإن ن�س�بة طولي ن�سفي قطري الدائرتين الخارجي بره��ن اأن

ت�س�اوي ن�س�بة الت�س�ابه.

15

ب مثلث قائم الزاوية في ب ، =30° ، ر�س�مت على اأ�سالعه

م�سلع��ات مت�ساب�هة بحي��ث كانت اأ�سالع المثل��ث اأ�سالعا متناظرة في الم�سلع��ات المت�ساب�هة.

: اأثبت اأن

بب ،، 13

ريا�سيات )3(49


48ريا�سيات )3(

ح ذلك. والجدول التالي يو�س

طول عامده

مثلث متطابق الأ�سالع

ع مرب

�ض منتظم م�س�د

2

2

23

2

طول �سلعه

3

2

الم�سلع المنتظم المر�س�وم داخل دائرة طول ن�سف قطرها

ة تم�ض اأ�سالعه من ة تمر بروؤو�س�ه، واأخ��رى داخلي ل��كل م�سلع منتظم دائرت��ان اإحداهما خارجي

ى المركز الم�س�ترك للدائرتين مركز الم�سلع المنتظم. الداخل، ي�س�م

1

ة لر�س�م كل من المثلث ��ة لر�س�م م�سلع منتظم داخل دائرة، بع�ض الطرق الخا�س الطريق��ة العام

ن المنتظم والمربع. �ض المنتظم والمثم المتطابق الأ�سالع والم�س�د

2

م�س�احة الم�سلع المنتظم ت�س�اوي ن�سف حا�سل �سرب محيطه في طول عامده.3

�ض ��ع والم�س�د اأيج��اد ط��ول كل م��ن ال�سلع والعامد لكل م��ن : المثلث المتطاب��ق الأ�سالع والمرب

ة . المنتظم ، بدللة طول ن�سف قطر الدائرة الخارجي

4

مفهوم ت�س�ابه م�سلعين و�سرورة ت�س�اوي زواياهما وتنا�س�ب اأ�سالعهما المتناظرة. 5

ة بالن�س�بة ة الخا�س ��ة جديدة للمثلثات المت�ساب�هة تتعلق بالن�سبة بي��ن ارتفاعات�ها والنظري خا�سي

بين م�س�احتي مثلثين مت�ساب�هين.

6

خوا��ض اإ�سافي��ة للم�سلعي��ن المت�ساب�هي��ن تتعل��ق بالن�س�بة بي��ن محيطيهما وت�س�اب��ه مثلثات�هما

المتناظرة والن�س�بة بين م�س�احتيهما.

7

الوحدة الأولى



اأكمل الفراغات فيما يلي: 1

�ع من اأحد روؤو�س�ه هو ........ عدد المثلثات الداخلة في تق�س�يم المت�س

ة له ��ض المنتظ��م ي�س��اوي ........ وقيا��ض الزاوي��ة المركزي قيا��ض زاوي��ة الم�س�د

ي�س��اوي ........

�ض المنتظم. ة ل� ........ ي�س�اوي قيا�ض زاوية الم�س�د قيا�ض الزاوية المركزي

ة ة لمثل��ث متطابق الأ�سالع ي�س�اوي �سعف قيا�ض الزاوية المركزي قيا�ض الزاوية المركزي

ل� ........

د

الم�سلع المنتظم الذي قيا�ض زاويته ي�س�اوي قيا�ض زاويته المركزية هو ....... ه�

ة ل� ........ ع ي�ساوي �سعف قيا�ض الزاوية المركزي قيا�ض زاوية المرب و

8 �سم ��ض منتظ��م مر�س��وم داخ��ل دائرة ط��ول ن�سف قطره��ا ط��ول �سل��ع م�س�د

ي�س��اوي ........

ز

اإذا كانت م�س�احة م�سلع منتظم ت�س�اوي محيطه فاإن طول عامده ي�س�اوي ........ ك

��ة لمثلث متطاب��ق الأ�سالع طول عام��ده 4 �سم ط��ول ن�س��ف قطر الدائ��رة الخارجي

ي�س��اوي ........

ى

تمارين عامة


ح ذلك. والجدول التالي يو�س

طول عامده

مثلث متطابق الأ�سالع

ع مرب

�ض منتظم م�س�د

2

2

23

2

طول �سلعه

3

2

الم�سلع المنتظم المر�س�وم داخل دائرة طول ن�سف قطرها

ة تم�ض اأ�سالعه من ة تمر بروؤو�س�ه، واأخ��رى داخلي ل��كل م�سلع منتظم دائرت��ان اإحداهما خارجي

ى المركز الم�س�ترك للدائرتين مركز الم�سلع المنتظم. الداخل، ي�س�م

1

ة لر�س�م كل من المثلث ��ة لر�س�م م�سلع منتظم داخل دائرة، بع�ض الطرق الخا�س الطريق��ة العام

ن المنتظم والمربع. �ض المنتظم والمثم المتطابق الأ�سالع والم�س�د

2

م�س�احة الم�سلع المنتظم ت�س�اوي ن�سف حا�سل �سرب محيطه في طول عامده.3

�ض ��ع والم�س�د اأيج��اد ط��ول كل م��ن ال�سلع والعامد لكل م��ن : المثلث المتطاب��ق الأ�سالع والمرب

ة . المنتظم ، بدللة طول ن�سف قطر الدائرة الخارجي

4

مفهوم ت�س�ابه م�سلعين و�سرورة ت�س�اوي زواياهما وتنا�س�ب اأ�سالعهما المتناظرة. 5

ة بالن�س�بة ة الخا�س ��ة جديدة للمثلثات المت�ساب�هة تتعلق بالن�سبة بي��ن ارتفاعات�ها والنظري خا�سي

بين م�س�احتي مثلثين مت�ساب�هين.

6

خوا��ض اإ�سافي��ة للم�سلعي��ن المت�ساب�هي��ن تتعل��ق بالن�س�بة بي��ن محيطيهما وت�س�اب��ه مثلثات�هما

المتناظرة والن�س�بة بين م�س�احتيهما.

7

الوحدة الأولى

محي��ط مثل��ث متطاب��ق الأ�سالع مر�س��وم داخل دائرة طول ن�س��ف قطرها 3 �سم

ي�س��اوي ........

ح

ع طول �سلعه 2 �سم ي�س��اوي ........ وطول ��ة لمرب ط��ول ن�س��ف قطر الدائرة الخارجي

ة له ي�س�اوي ........ ن�سف قطر الدائرة الداخلي

ط





9

25

اإذا كان��ت الن�س�ب��ة بين م�ساحتي م�سلعين مت�ساب�هين ت�س�اوي فاإن الن�س�بة بين طولي

�سلعين متناظرين فيهما ت�س�اوي ........ والن�س�بة بين محيطيهما ت�س�اوي ........

م

اإذا كان��ت الن�س�ب��ة بي�ن محيطي م�سلعين مت�ساب�هين ت�س�اوي وكانت م�س�احة الم�سلع

، فاإن م�س�احة الم�سلع الثاني ت�س�اوي ........2الأول120 �سم

2

3

ن

اإذا كان ط��ول �سلعي��ن متناظرين في م�سلعين مت�ساب�هين 2 �سم ، 3 �س��م وكانت م�س�احة اأ�سغر

، فاأوجد م�س�احة الم�سلع الآخر. 2الم�سلعين 36 �سم

3

طول �سلعين متناظرين في م�سلعين مت�ساب�هين ه�ما 5 �سم ، 8 �سم ، فاإذا كان مجموع م�ساحتيهما

، اأوجد م�س�احة كل منهما.2534 �سم

4

اإطار �سورة م�ستطيل ال�سكل اأبعاده : 1.5 �سم ، 2.5 �سم على الترتيب، يراد تكبيره لي�سبح طول

ال�سلع الأكبر10 �سم ، فما هو محيط ال�سورة الكبرى ؟

5

م�سلع رباعي اأطوال اأ�سالعه 3 �سم ، 5 �سم ، 4 �سم ، 6 �سم على الترتيب، فاإذا كان اأق�سر طول

�سلع في م�سلع م�س�ابه له هو 9 �سم، فاأوجد اأطوال اأ�سالع الم�سلع الأكبر.

6

-2

اأوجد عدد اأقطار كل من الم�سلعات التالية :

�ر ن 4( المع�س �ض 3( المثم 1( الم�س�تطيل 2( المخم

اأكمل الفراغ التالي : عدد اأقطار م�سلع ذي �سلعا = )..... .....(

2

ب

الم�سلع ب ج� د في ال�س�كل التالي ي�س�ابه الم�سلع �ض �ض ع ل فاإذا كان محيط الم�سلع

�ض �ض ع ل =30 �سم فاإن محي�ط الم�سلع ب ج� د ي�س�اوي ........

ل





ب

م�س�احة المثلثات المناظرة.

�س�ين. م�س�احتي المخم

��ض الأ�سغر = 9 �سم اإذا عل��م اأن طول اأحد اأ�سالع المخم

�ض الأكبر. فاأوجد طول ال�سلع المناظر له في المخم

ج

�م كل من اأ�سالعه اإل��ى ثالثة اأق�س�ام مت�س�اوي��ة برهن اأن نقاط ��ع ط��ول �سلعه 3 ل �س��م، ق�س مرب

ن غير منتظم. التق�سيم هي روؤو�ض مثم

8

تين ه اإذا ت�س�ابه م�سلعان منتظمان فاإن ن�س�بة طول��ي ن�سفي قطري الدائرتين الداخلي بره��ن اأ ن

ت�س�اوي ن�س�بة الت�س�ابه.

9

�ما اإلى مثلثات مت�ساب�هة 7 �س�ان مت�ساب�هان، ن�س�بة ت�س�اب�هما ت�س�اوي ق�س في ال�س�كل التالي مخم

وم�س��احة المثلث 2 وم�س�احة المثلث ب ج� ه = 18 �سم

2ب ه = 9 �سم بحي��ث م�س�احة المثلث

. اأوجد:2ج� د ه = 27 �سم

5

3

هند�سة المتجهات

تعتمد العل��وم الفيزيائية والهند�سية

والكميات العددي��ة الكمي��ات عل��ى

المتجه��ة و�سوف ندر��ض المتجهات

كمفه��وم ريا�س��ي �س��رف م�ستق��ال

عن المفهوم الفيزيائي ويبقى دائما

للمفه��وم الفيزيائ��ي اأهميت��ه عن��د

ا�ستخ��دام المتجه��ات ف��ي درا�س��ة

الفيزياء والميكانيكا .

)2-1( المتجهات في الم�ستوي

)2-2( ال�سرب القيا�سي ) ال�سرب الداخلي (

)2-3( معادلة الم�ستقيم في الم�ستوي

)2-4( الإحداثيات في الف�ساء

)2-5( المتجهات في الف�ساء الإحداثي

الوحدة

الثانية



ف القطعة الموجهة في كل من الم�ستوي 1- يعر

والف�ساء ويمثلها هند�سيا .

ف المتجه في كل من الم�ستوي والف�ساء 2- يعر

ويمثله هند�سيا.

3- يوجد طول متجه معطى في كل من الم�ستوي

د اتجاهه في الم�ستوي. والف�ساء ويحد

4- يجري العمليات الجبرية على المتجهات في

كل من الم�ستوي والف�ساء .

) بين الفرق اأو ( مجموع اإلى متجه يحلل -5

متجهين في كل من الم�ستوي والف�ساء .

) طرح اأو ( جمع عملية هند�سيا يجري -6

متجهين في كل من الم�ستوي والف�ساء .

7- يوجد معادلة الم�ستقيم في كل من الم�ستوي

والف�ساء با�ستخدام المتجهات.

من كل في م�ستقيمين بين الزاوية يوجد -8

الم�ستوي والف�ساء .

9- يوجد معادلة الم�ستوي في الف�ساء .

10- يدر�ص عالقة التوازي والتعامد لمتجهين ،

لم�ستقيمين ، لم�ستقيم وم�ستو ، لم�ستويين.

ريا�سيات )3(55 54

المتجهات في الم�ستوي الوحدة الثانية


الوحدة الثانية

ريا�سيات )3(

1-2

مـــة مـــقــد

تعتمد العلوم الفيزيائية والهند�سية على نوعين من الكميات :

الكمية القيا�سية ) العددية ( وهي الكمية التي نحتاج لو�سفها اإلى معرفة مقدارها فقط

ومن اأمثلتها : الطول والم�س�افة والكتلة ودرجة الحرارة والم�ساحة والحجم وغيرها .

الكميـــة المتجهـــة وهي الكمية الت��ي نحتاج لو�سفها اإلى معرف��ة مقدارها واتجاهها ومن

ة المجال المغناطي�س��ي والقوة وال�سرعة اأمثلته��ا : حركة الأج�س��ام ودوران الأفالك و�سد

وغيرها .

وف��ي هذه الوحدة �سندر�ض المتجه��ات كمفهوم ريا�سي �سرف م�ستقال ع��ن المفهوم الفيزيائي

ويبقى دائما للمفهوم الفيزيائي اأهميته عند ا�ستخدام المتجهات في درا�سة الفيزياء والميكانيكا .

وقبل ال�سروع في درا�سة المتجهات يلزمنا درا�سة الجبر على نقط الم�ستوي .

2

1

المتجهات في الم�ستوي

تعريف ) 2- 1(

اإذا كانت ن ) �ض ، �ض ( ى ، ك ، فاإن حا�سل �سرب العدد ك في النقطة ن

هو النقطة : ك . ن ك . ) �ض ، �ض ( ) ك �ض ، ك �ض (

( يكون : 2

، �ض2 ( ، ) �ض

1 ، �ض

1واأنه لأي نقطت�ين ) �ض

ن ) �ض ، �ض ( اأو ن ) �ض ، �ض ( اأو نكتفي بكتابة ) �ض ، �ض ( فقط ،

علمت من درا�ستك ال�سابقة اأنه يمكننا تمثيل اأي نقطة ن ى باإحداثييها و نكتب :

2 �ض

1 و �ض

2 �ض

1 ( �ض

2 ، �ض

2 ( ) �ض

1 ، �ض

1) �ض

الجبر على نقط الم�ستوي






مثال )1-2(

الحل

اإذا كانت ن ) 1 ، 3 ( فاأوجد كال من النقاط :

2 ن ، 3 ن ، )–1( ن ، ن ، 0 × ن ومثلها جميعا في الم�ستوي الإحداثي .

اأن النقاط الممثلة في ال�سكل ) 2-1 ( جميعها على ا�س�تقامة واحدة .


�س�كل ) 1-2 (






تعريف ) 2- 2(

لتكن اأوجد كـال من النقاط :

اإذا كانت فاإن مجموعهما هو النقطة :

مثال )2-2(

الحل

ثم مثل النقـاط في الم�ســتوي الإحداثي .






نتيجة )1-2(

لأي نقطتين فاإن :

عملية جمع النقاط اإبدالية ؛ لأنه 1

فاإن :

خوا�ص عملية جمع النقاط

عملية جمع النقاط تجميعية ؛ لأنه 2

من تمثيل النقاط في

ال�س��كل ) 2-2 ( اأن النق��طة تق��ع في

منت�سف القطع�ة

�س�كل ) 2-2 (

النقطة هي منت�سف وذلك لأن :







يترك كتدريب للطالب

خوا�ص عملية �سرب نقطة بعدد حقيقي

يوجد لكل نقطة معكو�ض جمعي ؛ لأنه فاإن : 4

) لماذا ؟ (وكذلك يكون

وهذا يعني اأن كل نقطة لها معكو�ض جمعي هو النقطة

ويرمز له بالرمز

3

) من خا�سية الإبدال (وكذلك يكون

عملية جمع النقاط لها عن�سر محايد هو النقطة لأنه

فاإن :

الـبرهان

نظرية )1-2(

ه�

د

اإذا كانت فاإن :






تعريف ) 2- 3(

)1-2(

) لماذا ؟ (

مثال )3-2(

ح من خالل المث�ال ال�س�ابق اأن عملية طرح النقاط غير اإبدالي�ة . و�س

تدريب )1-2(

2اإذا كانت ، فاإن حا�سل طرح النقطة ن

هو النقطة :1من النقطة ن

اإذا كانت فاإن :

1

2

3

4

5








هة القطعة الموج

تعريف ) 2- 4(

تعلم اأنه اإذا كانت نقطتين مختلفتين في الم�ستوي فاإن هي قطعة

ا بال�سورة لأن ترتيب النقطتين الم�س�تقيم الوا�سلة بينهما ويمكن كتابتها اأي�س

لي�ض له دللة في هذه الحالة ، انظر �سكل ) 3-2 (

�س�كل ) 3-2 (

اإل اأنن��ا ف��ي درا�س��ة المتجه��ات نحتاج اإلى اأخذ نقاط بترتيب معين ) من اإلى ب (

بة ى القطعة الم�ستقيمة التي ينظر اإليه��ا كمجموعة من النقاط المرت اأو ) م��ن ب اإل��ى ( وت�سم

قطعة م�ستقيمة موجهة اأو اخت�سارا قطعة موجهة.

القطع��ة الم�ستقيمة الموجهة من اإلى ب ه��ي مجموعة النقاط المرتبة والمنتمية اإلى القطعة

الم�ستقيمة والتي مبدوؤها ) اأ�سلها ( النقطة ونهايتها ) طرفها ( النقطة ب ونرمز

ل�ها بالرمز .

ف طول باأنه طول القطعة الم�ستقيمة . ويعر

د تماما بثالثة عنا�سر وهي : هذا التعريف يعني اأن القطعة الموجهة تتحد

نقطة المبداأ والتجاه من اإلى ب والطول






)2-2(

ا ب�سهم يتجه من نقطة المبداأ اإلى نقطة النهاية ، انظر �سكل ) 4-2 ( نمثل القطعة الموجهة هند�سي 1

ف ت�ساوي القطع الموجهة ك�ما يلي : ويعر

تعريف ) 2- 5(

تعريف ) 2- 6(

ف با�س�تخدام التوازي والتعامد في الم�ستقيمات ك�ما يلي : �ا توازي وتعامد القطع الموجهة فيعر اأم


�س�كل ) 4-2 (

القطع��ة الموجه��ة تنطب��ق فيه��ا نقطة المبداأ على نقطة النهاي��ة ولي�ض ل�ها اتجاه معين 2

وطولها ي�ساوي ال�سفر ؛ لذلك ن�سميها القطعة الموجهة ال�سفرية.

نقول عن قطعتين موجهتين اإنهما مت�ساويتان ، اإذا ك�ان :

لت�كن قطعتي��ن موجهتي��ن بحيث نق��ول

اإن متوازيتان في حالة ، ونقول اإنهما متعامدتان في حالة






�س�كل ) 6-2 (

�س�كل ) 5-2 (

في ال�سكـل ) 2- 5 (

بينـما لي�سـت موازية لأي منـها .

نقول اأن لهما التجاه نف�سـه

واأن م�سادة لهما في التجاه .

مثال )4-2(

ا فلي�ست في اتجاه اأي من هذه القطع الموجهة المتوازية . اأم

غير متوازيتين ومختلفتان في التجاه متوازيتان وفي التجاه نف�سه

180

متوازيتان ومت�سادتان في التجاه

وتجـــدر الإ�ســـارة اإلـــى اأن يكـــون لهمـــا التجـــاه نف�ســـه اإذا وفقـــط اإذا كانت الزاوية

الموجهة من اتجاه ما اإلى م�ساوية للزاوية الموجهة من التجاه نف�سه اإلى

انظر �سكـل ) 6-2 (






تعريف ) 2- 7(

مثال )5-2(

في المثال ) 5-2 (

ما هي القطعة الموجهة الم�سايرة للقطعة الموجهة ؟

دها اإن وجدت . هل هناك قطع موجهة اأخرى مت�سايرة ؟ حد

تدريب )2-2(


اإذا ك�ان له�ما التجاه نف�س�ه .

نقول اإن القطعة الموجهة ت�ساير القطعة الموجهة ونكتب :

اأي اأن القطعتين الموجهتين تك�ونان مت�س�ايرتين اإذا ك�ان له�ما الط�ول نف�سه والتجاه نف�س�ه .

مت�ساويتان في الطول ومتوازيتان

الموجـهتيـــن القطعتيـــن لأن

في ال�سكل ) 2-7 ( متوازي اأ�سالع فيه :

)مـــن خ�سائ�ـــص متـــوازي الأ�ســـالع ( كما لهـمـــا التجاه

�س�كل ) 2-7 (نف�سه .

)3-2(

) لماذا ؟ (

اإذا كانت وكانت النق��اط لي�ست على ا�س��تقامة واحدة فاإن

متوازي اأ�سالع






نظرية )2-2(

ننا با�ستخدام الإحداثيات من الحكم على اأي قطعتين موجهتين في وفي الواقع هناك طريقة عملية تمك

الم�ستوي الإحداثي من حيث كونهما مت�سايرتين اأم ل ؟

وتت�سح هذه الطريقة من خالل النظرية التالية :

مثال )6-2(

الحل

تدريب )3-2(

اإذا ك�انت نقاطا في الم�ستوي الإحداثي فاإن :

اإذا كــــان متــــوازي اأ�ســـالع كـمـــا فـــي

�سكل ) 2-8 ( فاأثبت با�ستخدام نظرية ) 2-2 (

اأن

�س�كل ) 8-2(

في المثال ال�س�ابق ، با�ستخدام نظرية ) 2-2 ( اأثبت اأن :






يك��ون ال�س��كل ب ج� د مت��وازي اأ�سالع اإذا وج��دت فيه قطعتان موجهت��ان مت�سايرت��ان ، وباختيار اأي

قطعتين موجهتين متقابلتين مثل ) الر�سم المبدئي ي�س��اعدنا

في الختيار ( نجد اأن :

مثال )7-2(

الحل

مثال )8-2(

الحل

تدريب )4-2(


لتكن = ) – 2 ، 3 ( ، ب = ) 2 ، 1 ( ، جـ = ) 4 ، 2 ( ، د = ) 0 ، 4 (

اأثبت اأن ب جـ د متوازي اأ�سالع مع التو�سيح بالر�سم .

ح ذل�ك . وال�سكل ) 2-9 ( يو�س

متوازي اأ�سالع

اإذا كانــــــت اأوجــــد د بحيث تكــون

اإذا كان��ت النق��اط ، ب ، ج�� كم�ا في المثال ال�سابق فاأوجد النقط��ة د بحيث يكون ب ج� د متوازي

اأ�سالع .

�س�كل ) 9-2(






وعلى �سوء هذه النتيجة يمكننا تف�سير عملية جمع نقطتين هند�سيا كم�ا يلي :

نتيجة )2-2(

الـبرهان

2 + ن

1 متوازي اأ�سالع فاإن ن = ن

2 ن ن

1اإذا كان ال�سكل و ن

هو :2 ، ن

1حا�سل جمع نقطتين ن

. 2 وراأ�سه الرابع ن

1الراأ�ض الثالث لمتوازي الأ�سالع الذي راأ�سه الأول و ، وراأ�سه الثاني ن

انظر �سكل ) 11-2 (

في ال�سكل ) 10-2 (

- و1 = ن

2 ن - ن

2 + ن

1 ن = ن

مثال )9-2(

الحل

1 ن و ن

2 متوازي اأ�سالع ن

2 ن ن

1و ن

�س�كل ) 10-2 (

ن

1ن

2ن

متوازي اأ�سالع . 2 1

= ) 1 ، 3 ( فاأوجد بحيث يكون و 2 ،) 4 ، 1- ( =

1اإذا كانت

ح اإجابتك بالر�سم. و�س

2 1

متوازي اأ�سالع و

2 1 =+

=-=) 1 ، 2– ( = ) 3 ، 1 ( – ) 4 ، 1– (

�س�كل ) 11-2 (







مثال )10-2(

ى مجموعة هذه القطع الموجهة المت�سايرة متجها . ت�سم

تعريف ) 2- 8(

�س�كل ) 12-2 (

�ح هذا التعريف . وال�س�كل ) 2-13 ( يو�س

في الم�س�توي الإح�داثي .


ح تمثيل القطع وال�سكل ) 2-12 ( يو�س

اأي اأن :

فاإن :

من النقطة مثل القطعة الموجهة بحيث تكون م�سايرة للقطعة الموجهة ب .

لعل��ك تو�سل��ت اإل��ى اأن هناك عدد ل نهائي م��ن القطع الموجهة التي ت�ساير القطع��ة الموجهة ب .

مثل القطعة الموجهة ح ط الم�سايرة للقطعة الموجهة ب .

المتج��ه في الم�ستوي ه��و مجموعة غير منتهية من القطع الموجه��ة المت�سايرة ويرمز للمتجه الذي

يحوي القطعة الموجهة بالرمز فيكون

كما نرمز لمجموعة المتجهات في الم�ستوي بالرمز .






)4-2(

�س�كل ) 13-2 (

المتج��ه ف��ي الم�ستوي ه��و مجموعة غير منتهية من القط��ع الموجهة المتوازية له��ا نف�ض الطول

والتجاه .

1

)لماذا( ؟ 2

3

وح�سب النظرية ) 2–2 ( يمكننا كتابة :

المتجه يمثل هند�سيا بالقطعة الموجهة اأو اأي قطعة موجهة اأخرى ت�سايرها .






ال�سورة القيا�سية للمتجه

)5-2(

بالتمثيل القيا�س��ي

: فمثال

يمكن التعبير عن مجموعة المتجهات في الم�ستوي با�ستخدام ال�سورة القيا�سية للمتجه على النحو التالي :


كل متج��ه يحت��وي قطع��ة موجه��ة مبدوؤها اأ�سل المحوري��ن و ) 0 ، 0 ( وطرفها =

وهي القطعة الموجهة ) لماذا ؟ (

وبذلك يكون =

بحيث = =فاإنه يوجداأي اأن :

ى تمثيل المتجه بالقطعة ى ال�سورة بال�سورة القيا�سية للمتجه وي�سم ت�سم

اإذا كان��ت = =

فاإنه توجد نقطة = = =

بحيث يكون = انظر �سكل ) 14-2 ( .

�س�كل ) 14-2 (

==

ى ال�سورة القيا�سـية المخت�سرة للمتجه( فاإنه يمكننا واإذا اخت�سرنا ال�سورة اإلى ال�سورة ) وت�سم

=اأن نكتب :






التعبير عن المتجهات با�ستخدام الم�سفوفات

)6-2(

فا وه��ذا يعن��ي اأن هناك تقابال بي��ن مجموعة المتجهات ف��ي الم�ستوي ومجموعة نق��اط الم�ستوي معر

بالقاعدة :

ن -=نن=

ال��ة م��ن ال��ة د: بالقاع��دة : ن ن ن نج��د اأن ه��ذه الد فن��ا الد اإذا عر

نوع التقابل ) لماذا ؟ (

لذا فاإنه من الممكن تحديد بمعرفة اإحداثيي النقطة ب ويكون من المنا�سب كتابة على

بتي . يهما مرك �سكل م�سفوفة عمود من الرتبة 2 × 1 عن�سراها هما اإحداثيا النقطة ب ون�سم

-

-

= ==

-=

1=====

اأي اأنه يت�ساوى متجهان اإذا وفقط اإذا ت�ساوت مركبتاهما .

2==

فن��ا مي��ل المتج��ه باأن��ه مي��ل الم�ستقي��م نج��د اأن : ميل المتج��ه = ، 3 اإذا عر

=حيث =






طول المتجه واتجاهه

يه المتجه ال�سفري ( ) لذلك ن�سم

)7-2(

د اإن النقطة ن ) ، ( هي النقطة المرتبط بها مثلث المرجع للزاوية ، و موقع هذه النقطة يحد

موقع الزاوية وعليه فاإنه يمكننا ح�ساب قيمة من العالقة ظ�ا = ، وفي حالة كون النقطة ن

د قيمتها ب�سهولة . ) ، ( واقعة على اأحد المحورين فاإن الزاوية تكون زاوية ربعية وتتحد


ف طول المتجه ورمزه باأنه الطول ، وهذا يعني اأنه : نعر

+اإذا كانت = = =

+وبفر�ض اأن = ن ، وعندها يكون = فاإن =

ده الزاوي��ة الموجه��ة م��ن ن�س��ف المح��ور ال�سين��ي الموج��ب اإلى اأم��ا اتج��اه المتج��ه فتح��د

حيث =360، انظر ال�سكل ) 2- 15 (

�س�كل ) 15-2 (

ومن الجدير ذكره اأنه ى فاإن = وطوله ي�ساوي ال�سفر 0

0

ننولي�ض له اتجاه معين ، ونرمز له بالرمز 0 حيث 0 = = = =

يمكننا التعبير عن بدللة الزاوية على النحو التالي : = )لماذا ؟ () 2-2 (






مثال )11-2(

تدريب )5-2(

د اإذا كـانـــت = ) 4 ، 1 ( ، ب = ) 1 ، -2 ( . فاكتـــب المتجـــه كم�سفوفـــة ثـــم اأوجـــد طولـــه وحـــد

اتجاهه مع التو�سيح بالر�سم .

225

ن

�س�كل ) 16-2 ( ر عن بدللة الزاوية عب

د اتجاهه . في المثال ال�سابق اكتب كم�سفوفة ثم اأوجد طوله وحد

الحل

+اإذا = 180 45 = 225

و بما اأن تقع في الربع الثالث ؛ لأن ) 3 ، 3 ( تقع في الربع الثالث .

زاوية المرجع للزاوية هي ع = 45 ==

=

=== += +

د الزاوية ه� كما يلي : ولتحديد اتجاه المتجه ب نحد

ح وه��ذا يعن��ي اأن ي�سنع زاوية 225 مع التج��اه الموجب للمحور ال�سيني وال�سكل ) 2-16 ( يو�س

ذلك .






التوازي والتعامد في المتجهات

تعريف ) 2- 9(

اإن هذا التعريف يتوافق مع تعريف التوازي والتعامد للقطع الموجهة .

مثال )12-3(

===بفر �ض اأن فاإنه ح�سب الملحوظة ) 2-6 ( يكون :

3-

6

2

4-1

2

مثال )13-2(

الحل


ميل = =3-

ميل = =-22

2-4-

ميل = 2

1

وعليه فاإن

==2-

=2-1-=

) لماذا ؟ (

=2

5-

= اإذا كان

==

) لماذا ؟ ( =

نقول عن المتجهين غير ال�سفريين ، اإنهما :

متوازيان ونكتب اإذا كان

2 متعامدان ونكتب اإذا كان

1






العمليات على مجموعة المتجهات في الم�ستوي

اإن م��ن فوائ��د تمثيلنا المتجه��ات بم�سفوفات اأنن��ا ن�ستطيع توظي��ف العمليات الجبرية الت��ي �سبق لنا

درا�ستها على الم�سفوفات في درا�ستنا للمتجهات .

تعريف ) 2- 10(

نتيجة )3-2(

مثال )14-2(

الحل

فاإن حا�سل �سرب المتجه بالعدد الحقيقي ك هو المتجه : ==

= =

-اإن هذا التعريف يعني اأن :

ا . اإذا كـانت = ) 5 ، 1 ( ، ب = ) 9 ، 3 ( فاأوجد ومثل ذلك هند�سي

==

===== =

ح التمثيل الهند�سي لكل من المتجهات تمثيال وال�سكل)2-17( يو�س

على الترتيب . 2 ، و ن

1قيا�سيا وذلك بالقطع الموجهة و ن ، و ن

=






والآن يمكننا على �سوء هذا المثال وا�ستنادا اإلى التعريف ) 2-10 ( التو�سل اإلى النتيجة التالية :

نتيجة )4-2(


ن نن

�س�كل ) 17-2 (

ن

ن

ن

د اتجاه المتجه على النحو التالي : اإذا كان فاإن قيمة تحد 1

في اتجاه م�ساد للمتجه

في اتجاه المتجه نف�سه

ح اأن المتجه 2 في اتجاه المتجه بينما المتجه) ( في و ال�سكل )2- 17( يو�س

اتجاه م�ساد للمتجه

اإذا كان ك = 0 فاإن ك ب هو ........... واتجاهه .....................) اأكمل الفراغ (

ح اأن طول المتجه 2 ي�ساوي �سعف ، و ال�سكل ) 2- 17 ( يو�س

طول المتجه بينما طول المتجه ي�ساوي ن�سف طول المتجه .

=

) (

2

===

= = ==

===






نظرية )3-2(

)8-2(

تدريب )6-2(

4

ح اأن ناتج �سرب متجه بعدد حقيقي هو متجه مواز له . والنظرية التالية تو�س

ا للم�ستقيم ، ومن ال�سك�ل ) 2-17 ( يت�س�ح اأن كل م�ستقيم يحوي المتجه ك يك�ون موازي�

ب2 ب و و ن

1و ن

ك يكون��ان عل��ى ا�ستقام��ة واح��دة عن��د تمثيلهما قيا�سيا ، فمن ال�سكل )17-2 ( 3

يت�سح اأن المتجهات على ا�ستقامة واحدة في تمثيلها القيا�سي حيث

على ا�ستقامة واحدة . 2 ، ن

1و ، ن ، ن

،

ج� د اإذا وفقط اإذا كان = ك ج� د حيث ، ج� د متجهان غير �سفريين،

ك

ق من اأن : = ) ( . في المثال ) 2-12 ( تحق-3

2

لأي متجهين غير �سفريين = ، = نجد اأنه :

1

1

2

2

ن : 2 =اإذا كان��ت كل م��ن مركبت��ي مغاي��رة لل�سف��ر ف��اإ

وعندئذ ك = ففي المث�ال ) 2-12 ( يمكن ا�ستنتاج اأن باأن

كما يمكن ا�ستنتاج اأن ، مت�سادان في التجاه باأن ك = .

=3-

4-

3-

اإذا كان��ت اإح��دى مركبت��ي ت�س��اوي ال�سف��ر ف��اإن : المركبة المناظرة 1

في ت�ساوي ال�سفر.






مثال )15-2(

الحل

=+=+==

=

=

=

=

==

=

تعريف ) 2- 11(

) معطى (==


اأوجد المتجه الموازي للمتجه = ، اإذا علمت اأن = 10 وحدات .

نظرية ) 3-2 ( ==

=

نتيجة ) 4-2 ( =

ا في حالة ك = 2 فيكون في اتجاه م�ساد ل� . اأنه في حالة ك = 2 يكون في اتجاه ، اأم

لتهما ( هو المتجه : ==اإذا كان فاإن مجموعهما ) مح�س

+=+=

+

+

اإن هذا التعريف يعني اأن :++






2 = ) 6 ، 4 ( – ) 4 ، 1 ( = ) 2 ، 3 ( = ن

1حيث ن – ن

مثال )16-2(

الحل

هو ن قطر في متوازي الأ�سالع .2 ، ن

1ا اأن مجموع المتجهين ن ولحظ اأي�س

2 ن ، ] و ن

1 متوازي اأ�سالع ؛ لأن فيه قطعتين موجهتين مت�سايرتين مثل ] ن

2 ن ن

1 اأن ال�سكل و ن

+اأوجد ومثل ذلك هند�سيا .

===اإذا كـانت =

====

+

+=+==

+

+

�ح التمثيل الهند�سي لكل من المتجهات تمثيال وال�سكل ) 2-18 ( يو�س

، ] و ن على الترتيب . 2

، ] و ن1

قيا�سيا وذلك بالقطع الموجهة ] و ن

+

�س�كل ) 18-2 (

+

ى بطريقة متــــوازي الأ�سالع للح�سول على مج�موع وعل��ى �س��وء هذا المثال فاإنه يمكننا ا�ستخدام ما ي�سم

حها النظري�ة الت�الية : متج�هين هند�س�يا والتي تو�س +






نظرية )4-2(

�س�كل ) 19-2 (

�سنكتفي باإثبات هذه النظرية في الم�ستوي الإحداثي عندما تكون ه� هي نقطة الأ�سل ) وهذه هي الحالة التي

ت�ستخدم عادة (

متوازي اأ�سالع2 ن ن

1و ن

2+ ن

1 ن = ن

انظر ال�سكل ) 19-2 (

)9-2(

2

2 ه� ن

1 متوازي اأ�سالع ه� ن = ه� ن

2 ن ن

1+ه� ن

الـبرهان


+

متوازي اأ�سالع 2 ن ن

1اإذا كان ، ج� د متجهين في الم�س�توي وكان ه� ن

= ج� د فاإن : ب ج� د = ه� ن 2 = ب ، ه� ن

1حيث ه� ن

= ب + ج� د

2+ و ن

1 و ن = و ن

ن

ن

ن

على 1

2 ، ن

1اإن هذه النظرية ل تناق�ض الحالة التي يكون فيها ب // ج� د والتي فيها تكون النقاط و ، ن

ا�ستقامة واحدة مما يتعذر معه اإن�ساء متوازي الأ�سالع .

مثل تحليال اآخر للمتجه

�س�كل ) 20-2 (

نن= +

ا اإلى مجموع مت�جهين 3 ا�ستن��ادا اإل��ى طريقة متوازي الأ�س�الع يمكننا تحليل المتج��ه ب هند�سي

�ح ، وال�س�كل ) 2-20 (يو�س2 ب ن

1مبدوؤهم��ا وذل��ك بجع��ل ب قطرا في مت�وازي اأ�س�الع ن

تح�ليلين مخت�لفين للمت�جه ب .






) قاعدة المثلث (

نتيجة )5-2(

�سكل ) 21-2 (

الـبرهان

اأكمل الفراغ فيما يلي :

لأي مثلث ب ج� يكون :

باختيار د بحيث يكون د = ب ج� كما في ال�سكل ) 21-2 (

يكون ب ج� د متوازي اأ�سالع ؛ لأن د ب ج�

) ملحوظة ) 9-2 ( (

،،ومن الجدير بالذكر اأنه يمكننا ب�سهولة التحقق جبريا من اأن :

وذلك باأن :

......................

والآن اإذا تاأملن��ا قاعدة المثلث يت�سح لنا اأن مجموع متجهين

متتاليي��ن ب ، ب ه��و متج��ه مبدوؤه ) مبداأ المتجه

الأول ( وطرف��ه ) ط��رف المتجه الثاني ( وعلى �سوء هذه

القاع��دة يمكنن��ا تقديم طريق��ة هند�سية جدي��دة لج�مع اأي

متج�هين ب ، ج� د ت�عرف

بطريقـــة المثلـــث ويت��م فيه��ا تعي�ين نقطة ه� في الم�ستوي ، ير�سم منه��ا متجه ه� ن = ب ثم ير�سم

بمن ن متجه فيكون

كما في ال�سكل )22-2(

�سكل ) 22-2 (






مثال )17-2(

الحل

)10-2(

ا اعتمادا على اأن اأننا مثلنا المتجه ج� د بالقطعة ب ه� الم�سايرة للقطعة ج� د )يمكن تحديد ه� جبري


لتكن = ) 4 ، 0 ( ، ب = ) 8 ، 1 ( ، = ) -3 ، 1 ( ، د = ) -1 ، 4 ( كما في المثال ) 16-2 ( .

مثل ب + جـ د هند�سيا با�ستخدام طريقة المثلث بحيث تكون ب اأحد اأ�سالع المثلث .

�س�كل ) 23-2 (

��ل بالقطع��ة . انظ��ر �س��كل ) 23-2 ( وباإكم��ال ر�س��م المثل��ث ب ح�سلن��ا عل��ى ب د الممث

ا�ستنادا اإلى قاعدة المثلث في جمع متجهين ، يمكننا تحليل اأي متجه ب اإلى مجموع متجهين متتاليين

ح تحليلين مختلفين للمتجه ب . مبداأ الأول منهما هو وطرف الثاني هو ب وال�سكل ) 2-24 ( يو�س

�س�كل ) 24-2 (






خوا�ص جمع المتجهات و�سربها بعدد حقيقي

اعتمادا على خوا�ض عمليتي جمع الم�سفوفات و�سربها بعدد حقيقي يمكننا ا�ستنتاج ما يلي :

)11-2(

) عملية جمع المتجهات اإبدالية ( 1

)عملية جمع المتجهات تجميعية ( 2

وهذا يعني اأن لعملية جمع المتجهات عن�سر محايد هو 3

5

6

7

8

9

10

لهما الطول نف�س��ه ومت�س��ادان في التجاه 1

هو المعكو�ض الجمعي

اإذا كانت على ا�ستقامة واحدة ، فاإن : 2

وهذا يعني اأن لكل متجه معكو�ض جمعي هو ويرمز له 4

بالرمز ونكتب






مثال )18-2(

الحل

�س�كل ) 25-2 (

وبجمع و نح�سل على :

) لأن هو المعكو�ض الجمعي (

) خا�سية العن�سر المحايد (

وعلى �سوء هذا المثال نتو�سل للنتيجة التالية :

نتيجة )6-2(


) قاعدة المثلث (في ال�سكل ) 2-25 ( نجد اأن

) قاعدة المثلث ( وكذلك

اإذا كان متو�س��ط ف��ي المثل��ث فاإن��ه يمك��ن التعبي��ر ع��ن المتج��ه بدلل��ة

المتجهين كما يلي :

اإذا كانت ثالث نقاط في الم�ستوي لي�ست على ا�ستقامة واحدة وكانت

منت�سف

اأثبت اأن :






مثال )19-2(

الحل

مثال )20-2(

الحل

متو�سط في كذلك منت�سف

ا�ستخل�ض من هذا المثال خا�سية هند�سية للمثلث �سبق لك درا�ستها في المرحلة المتو�سطة .

2

1

�س�كل ) 26-2 (

متوازي اأ�سالع ، هـ نقطة خارجه ، م نقطة

تقاطع قطريه ، كما بال�سكـل ) 2-26 ( اأثبت اأن :

متو�سط فيمنت�سف

ليكن مثلثا ولتكن هما منت�سفا ال�سلعين على الترتيب .

اأثبت اأن :

2 1


) لماذا ؟ (


�س�كل ) 27-2 (






مثال )21-2(

الحل

اأن ال�سكل هو متوازي اأ�سالع

واأن هو اأحد اأ�سالعه.

) لماذا ؟ (

تعريف ) 2- 12(

اإذا كان فاإن حا�س��ل طرح المتجه من المتجه

هو المتجه :

اإذا كان اأوجد مع التو�سيح بالر�سم .

��ح التمثي��ل الهند�س��ي ل��كل من : وال�س��كل) 2-28 ( يو�س

تمثيال قيا�س��يا بالقطع

الموجهة : على الت��رتيب

�س�كل ) 28-2 (






)12-2(

اإذا كان متوازي اأ�سالع كما في ال�سكل ) 29-2 (

وك�ان ه�ما ال�سورتان القيا�س�يتان للمتج�هين

على الترتيب وحيث اأن :

فاإن :

1

ا�س�تنادا اإلى طريقة المثلث لجم��ع متج��هين فاإنه يمك��ننا2

اإيج�اد هند�س��يا وذلك باأن نوجد نقط��ة

بحيث يك�ون فنح�سل على المثلث

كما في ال�سكل ) 2-30 ( ويكون :

يمكن تحليل المتجه اإلى فرق بين متجهين لهما المبداأ 3

نف�س��ه وليكن ن بحي��ث يكون ط��رف الأول منهما ب وطرف

الثاني ، ونكتب

انظر �سكل ) 31-2 (

وف��ي الم�ستوي الإحداثي اإذا ا�س�تبدلنا النقطة و بالنقطة ن،

يك�ون :

واخت�سارا نكتب

انظر �سكل ) 32-2 ( .

لأي متجهين يكون :

) ت�سمى هذه المتباينة بمتباينة المثلث (

وذلك لأن مجموع المتجهين ) اأو الفرق بينهما ( يمكن تمثيله باأحد اأ�سالع مثلث �سلعاه الآخران

يمثالن هذين المتجهين انظر ال�سكل ) 33-2 (

4

متى يكون :

�س�كل ) 29-2 (

�س�كل ) 30-2 (

�س�كل ) 33-2 (

�س�كل ) 32-2 (

�س�كل ) 31-2 (






مثال )22-2(

الحل

مثال )23-2(

الحل

بجمع يكون :


لأي �سكل رباعي ب جـ د اأثبت اأن :

) خا�سية التجميع (


) تعريف عملية الطرح (

الطرف الأيمن

) خا�سية المعكو�ض ( الطرف الأي�سر

اإذا كان مثلث فيه منت�سفات على الترتيب

فاأثبت ما يلي :

2 1

منت�سف

) لماذا ؟ ( منت�سف 1

2

) ملحوظة ) 12-2 ( (

بطرح من يكون :

�س�كل ) 34-2 (

) نتيجة)26-2( (

ى ال�سكل ا�ستنتج من المطلوب الأول م�سم






بفر�ض اأن اأثبت اأن :3

تمارين )1-2(

1

منت�سف

اأوجدلتكن

نها هذه النقط .4 ، ب ، ج� ثالث نقاط . اكتب جميع القطع الموجهة التي تعي

اإذا كانت ) –1 ، 3 ( ، ب ) 4 ، 5 ( ، ج� ) 2 ، 3 ( فاأوج�د ن = ) �ض ، �ض ( بحيث :5

وه� د

�ح اإجابتك بالر�سم ( ) و�س

هل يمكن ترتيب النقط 7

بحيث تكون روؤو�ض متوازي اأ�س�الع .

لتك�ن6

اأثبت اأن ال�سك�ل ب ج� د متوازي اأ�س�الع .

اأوجد النقطة ن بدللة النقطة فيما يلي :2






ا : 10 لها تمثيال قيا�سي اكتب كال من المتجهات التالية على ال�سورة ومث


بفر�ض اأن = ) 2 ، 4 ( ، ب = ) –1 ، 2 ( ، ج� = ) 5 ، 4 ( ، د = ) –1 ، –2 ( 8

اأوجد النقطة ه� بحيث يكون ال�سكل ه� د ب متوازي اأ�سالع ، مع التو�سيح بالر�سم .

واأثب��ت اأوجد منت�سف كل من القطع

ن روؤو�ض متوازي اأ�سالع ، مع التو�سيح بالر�سم . اأنها تكو

اإذا كان��ت فاأوج��د ف��ي كل م��ن الح��الت التالي��ة 9

مع التو�سيح بالر�سم :

ال�سكل متوازي اأ�سالع ال�سكل متوازي اأ�سالع

منت�سف ال�سكل متوازي اأ�سالع د

د

اإذا كان وكان 11فاأوجد قيمة كل من �ض ، �ض .

اإذا كانت 12

اأوجد طول واتجاه كل من المتجهات :

)1

)2

)3

تحقق من اأن :






ليكن لدينا المتجهات 15

ح اإجابتك بالر�سم : ن اأي العبارات الآتية �سائبة واأيها خاطئة مع التعليل ثم و�س بي

اإذا كان وحدات فاأوجد 13

لأي متج��ه غي��ر �سف��ري ، اأثب��ت اأن ط��ول المتج��ه ي�ساوي الوحدة ، 14

ثم اأوجد هذا المتجه عندما

د

لهما التجاه نف�سه لهما التجاه نف�سه

و مت�سادان في التجاه ه�

اإذا كان وحدات ، فاأوجد في كل من الحالت التالية : 16

وه�

د

باأخذ المتجهات في تمرين ، اأوجد ما يلي مع التو�سيح بالر�سم 17






اأوجد قيمة ك اإذا كان


، اأوجد : لتكن18

د

وه�

با�ستخدام ال�سكل المجاور ، والذي فيه كل من الأ�سكال :19

متوازي اأ�س�الع

اأكمل الفراغ بالمتجه المنا�سب في كل مما يلي :

)1

)5)6

)7)8

)2

)3)4

فاأوجد الذي يحقق المعادلة :20 اإذا كان






ال�سرب القيا�سي ) ال�سرب الداخلي (

قبل التعريف بال�سرب القيا�سي لمتجهين يلزمنا التعريف بمفهوم الزاوية بين متجهين : 2-2

)13-2(

تعريف ) 2- 13(

ف��ي الم�ست��وي الإحداث��ي ، اإذا كان ب ، د متجهي��ن غي��ر �سفريي��ن و �سورتاهما

ف الزاوية بينهما باأنها على الترتيب فاإننا نعر2 ، ن

1القيا�سيت��ان المخت�سرت��ان هما ن

ونرمز لقيا�سها بالرمز حيث . 180 2 و ن

1الزاوية ن

ح مفهوم الزاوية بين المتجهين ب ، د ال�سكل ) 2- 35 ( يو�س

�س�كل ) 35-2(

انظر ال�سكل ) 36-2 (

ب داإذا كان // فاإن :

0 اإذا كان ب ، ج� د في اتجاه واح�د .

180 اإذا كان ب ، ج� د مت�سادان في التجاه.

�س�كل ) 36-2 (






نتيجة )7-2(

)14-2(

نظرية )5-2(

12

) 4-2 ( 2 �ض

1 + �ض

2 �ض

1اإذا كان ب = ، = فاإن : ب = �ض

12


تعريف ) 2- 14(

ف حا�سل في الم�ستوي الإحداثي ، لأي متجهين غير �سفريين ، ، قيا�ض الزاوية بينهما ه� نعر

ال�سرب القيا�سي لهما باأنه العدد الحقيقي = . ج� د جت�ا ) 3-2 (

ف حا�سل ال�سرب القيا�سي للمتجه ب بالمتجه ال�سفري باأن ب 0 = �سفر ونعر

��ى هذا ال�سرب بال�سرب القيا�سي ؛ لأن نات��ج �سرب المتجهين يكون كمية قيا�سية. ومن المنا�سب ي�سم

هنا التذكير باأن ناتج �سرب العدد الحقيقي ك بالمتجه ب هو متجه ) اأي كمية متجهة ( .

2+-

وعليه فاإن ) لماذا ؟ (

1

) لأنه ح�سب الملحوظة ) 2-13 ( ب // ج� د 0 ، 180 جتا = ± 1 (

= ب .2 للدللة على ب ب فيكون ) ب (

2ن�ستخدم الرمز ) ب (

2

اإذا تاأملنا التعريف ) 2-14 ( يت�سح لنا �سعوبة اإيجاد قيمة ال�سرب القيا�سي ب ج� د والتي تكمن في

ل ذلك كثيرا حيث يمكننا تحديد قيا�ض الزاوية بين المتجهين ب ، ج� د اإل اأن الملحوظة ) 2-7 ( ت�سه

با�ستخدامها التعبير عن ال�سرب القيا�سي لمتجهين بدللة مركبتيهما كما في النظرية التالية :






مثال )24-2(

الـبرهان

�س�كل ) 37-2(

1 –

2بالنظر اإلى ال�سكل ) 2-37 ( نالحظ اأن : =

فيك��ون بذل��ك : ) ح�س��ب الملحوظ��ة ) 7-2 ( (

وبالتالي فاإن :

بالرجوع اإلى مثال ) 2-12 ( حيث ب = ، جـ د = ، = يمكننا اإثبات اأن

ب ، ب // جـ د وذلك اعتمادا على النتيجة ) 2-7 ( والنظرية ) 2-5 ( كما يلي :

ب ؛ لأن = 3- × 2 6 × 1 = - 6 6= �سفر 1

2

وهذا يعني اأن

اأن الإ�سارة ال�سالبة في الم�ساواة ال�سابقة تدل على اأن ب ، ج� د في اتجاهين مت�سادين .

ق��ارن - م��ن حيث ال�سهولة - بين الأ�سلوبين المتبعين لإثبات ت��وازي المتجهين في هذا المثال وفي

مثال ) 12-2 ( .






م بع�ص خوا�ص ال�سرب القيا�سي وفيما يلي نقد

مثال )25-2(

الحل

الـبرهان


نظرية )6-2(

) خا�سي��ة توزيع ال�س��رب القيا�سي على جمع ) اأو طرح ( المتجه��ات (

) خا�سي��ة ال�سرب بعدد حقيق��ي (

) خا�سية الإب��دال ( 1

2

3

) يترك كتدريب للطال��ب (

اإر�ســـاد :

،،افر�ض اأن واح�سب طرفي كل م�ساواة واردة في النظرية . 1

1

2

2

3

3






قيا�ص الزاوية بين متجهين في الم�ستوي

مثال )26-2(

الحل

يمكنن��ا بالإف��ادة من �سيغتي ال�سرب القيا�سي ) 2-3 ( ، ) 2-4 ( ا�ستنتاج القاعدة التالية لإيجاد قيا�ض

الزاوية بين متجهين غير �سفريين ب ، ج� د .

180

) 5-2 (

اأوجد قيا�ص الزاوية بين المتجهين

1-

2-

-21-

1-2-

10-

= زاوية في الربع الثاني ؛

) ع زاوية المرجع للزاوية (

1-






ب ج�� مثل��ث روؤو�س��ه ه��ي ) 2 ، 3 ( ، ب ) 4 ، -1 ( ، ج�� ) 6 ، 0 ( اأثبت با�ستخدام

ال�سرب القيا�سي اأن المثلث قائم الزاوية في ب ثم اأوجد قيا�ض كل من زاويتيه الأخريين .

تمارين )2-2(


13-2-

ثم ا�ستنتج المتجهات المتعامدة من بين المتجهات

اأوج��د قيم��ة ك الت��ي تجع��ل المتجهي��ن متعامدي��ن .2

اأوج��د قيا��ض الزاوي��ة بين كل من المتجهين ، فيما يل��ي : 3

و

د

8-

ه�

اأوجد قيا�ض الزاوية في المثلث ب حيث ) 3 ، -1 ( ، ب )-3 ، 1 ( ، ) 1 ، 5 ( 4

5

اأثبت اأن 6

اإذا كان ب ج� د مربعا فاأثبت اأن : 7

Cauchy- Schwarz ى هذه المتباينة بمتباينة كو�سي - �سوارتز ت�سم

اأثبت اأن 8






معادلة الم�ستقيم في الم�ستوي

ف��ي هذا البند ن�ستخدم المتجهات ل�ستنتاج �سيغ��ة جديدة لمعادلة الخط الم�ستقيم

ح ذلك : والنظرية التالية تو�س3-2

الـبرهان

نظرية )7-2(

وبالعك��ض : اإذا كانت ن نقطة في الم�ستوي الإحداثي تحقق المت�ساوية ) 2-6 ( فاإن

ن ل .

) 6-2 (

اإذا كانت ، ب اأي نقطتين في الم�ستوي الإحداثي بحيث وكان ل هو الم�ستقيم

المار بالنقطة ب والموازي للم�ستقيم فاإن اأي نقطة ن ل تكون على ال�سورة :

�س�كل ) 38-2(

وحيث اأن فاإن هو اأي اأن . وبذلك نكون قد اأثبتنا اأن :

اأول- نفر�ض اأن النقطة ن ل

في الحالة ن = ب فاإن ن = ك + ب حيث ك = 0

وفي الحالة ن ب فاإن ب ن = ل ب ن كما في ال�سكل ) 38-2 (

ثانيا - نفر�ض العك�ض ، اأي نفر�ض اأن :

فينتج اأن :

يوجد بحيث






مثال )27-2(

الحل


بالمعادلـــة النقطيـــة للم�ستقي��م ل الم��ار بالنقط��ة ب ��ى ال�سيغ��ة ن= ك + ب حي��ث ت�سم

ن لك�ل قيمة من قيم ك نقطة من نقط الم�ستقيم ل ومن ثم والموازي للم�ستقيم وهذه المعادلة تعي�

�ن جميع نقط الم�ستقيم ل . فهي تعي

ى ال�سيغة حيث بالمعادلة المتجهة للم�ستقيم ل . كما ت�سم

وبفر�ض اأن النقط

فاإن المعادلة النقطية للم�ستقيم ل ت�سبح على ال�سورة :

كما ت�سبح المعادلة المتجهة على ال�سورة :

ومن ذلك يمكن الح�سول على المعادلتين :

يان بالمعادلتين الو�سيطيتين للم�ستقيم ل . وت�سم

فمن الممكن كتابة المعادلتين الو�سيطيتين على ال�سورة :

ى بالمعادلة المتماثلة للم�ستقيم ل . والتي ت�سم

وهي المعادلة الماألوفة للم�ستقيم بمعلومية ميله ونقطة عليه .

فاإننا نح�سل على المعادلة ، حيث ميل ميل ل 2

وبفر�ض �ض ≠ �ض

اأوجد المعادلة النقطية للم�ستقيم ل . اأوجد ثالث نقاط مختلفة من نقاط الم�ستقيم ل .

ح اإجابتك بالر�سم. -6بين موقع كل من النقطتين بالن�سبة للم�ستقيم ل ثم و�س

اإذا كان الم�ستقيم ل يمر بالنقطة ب ) 0 ، 2 ( موازيا الم�ستقيم حيث = ) 3 ، 1 (

المعادلة النقطية للم�ستقيم ل هي :

ريا�سيات )3(101 100





بما اأن

-6لتحديد موقع النقطة بالن�سبة للم�ستقيم ل نفر�ض اأن : 6-

بم��ا اأن كل ع��دد حقيقي ك يعين نقطة ن على ل ، فاإننا للح�سول على ثالث نقاط مختلفة على ل

�ض عن كل منها في المعادلة النقطية نختار ثالث قيم مختلفة للعدد ك ولتكن : 1 ، 2 ، -1 ثم نعو

فنح�سل على النقاط المطلوبة وهي :

) 3 ، 3 ( ، ) 6 ، 4 ( ، ) -3 ، 1 ( على الترتيب .

6-2-

2-

تحقق الم�ساواة 1.وهذا يعني اأنه توجد قيمة للعدد ك 6-

ولتحديد موقع النقطة بالن�سبة للم�ستقيم ل نفر�ض اأن :

1-

تحقق الم�ساواة ) 5 ، 1 ( ل انظر ال�سكل ) 39-2 ( 2وهذا يعني اأنه ل توجد قيمة للعدد ك

�س�كل ) 39-2(

تحقق الم�ساواة ل انظر ال�سكل ) 39-2 ( 2وهذا يعني اأنه ل توجد قيمة للعدد ك

ريا�سيات )3(101 100





نتيجة )8-2(


�س�كل ) 40-2(

مثال )28-2(

الحل

اأوجـــد المعـادلـــة النقطيـــة والمعـادلـــة المتجهـــة والمعـادلتيـــن الو�سيطيتيـــن والمعـادلـــة المتماثلـــة

للم�ستقيم ل الذي يمر بالنقطة و يوازى المتجه

الم�ستقيم ل يوازي

فتكون المعادلة النقطية للم�ستقيم ل هي :

وتكون المعادلة المتجهة هي :

والمعادلتان الو�سيطيتان هما

ومن ثم تكون المعادلة المتماثلة هي :

المعادلة النقطية للم�ستقيم ) اأي الم�ستقيم المار باأ�سل المحورين وبالنقطة ( 1

)لماذا؟(تكون على ال�سورة :

يمكننا كتابة المعادلة النقطية للم�ستقيم ل المار بالنقطتين ب ، ج� على ال�سورة : 2

ا بالنقطة ب وموازيا وذلك باأن نعد هذا الم�ستقيم مار

انظر �سكل ) 40-2 ( .

و يمكننا كذلك كتابة هذه المعادلة على اإحدى

ال�سور الثالث الآتية :

ريا�سيات )3(103 102





مثال )29-2(

الحل

اأوجد المعادلة النقطية والمعادلتين الو�سيطيتين للمحور ال�سيني .

مثال )30-2(

الحل

اأن كال م��ن ال�س��ور الأرب��ع المختلفة ال�سابقة تمثل الم�ستقيم ل ؛ حيث اأنه باأخذ اأي قيمة للعدد ك

والتعوي�ض عنها في المعادلت الأربع نح�سل على اأربع نقاط مختلفة كلها تقع على الم�ستقيم ل .

بم��ا اأن المح��ور ال�سين��ي يم��ر باأ�س��ل المحورين و بنقطة و لتك��ن ) 1 ، 0 ( - مثال - ف��اإن المعادلة

النقطية للمحور ال�سيني تكون على ال�سورة :

المعادلتين الو�سيطيتين للمح�ور ال��سيني هما

اأن هاتين المع�ادلتين الو�سيطيتين للمح�ور ال�سيني موافقتان لكون مجموعة نقاط المحور ال�سيني

هي

اإذا كانت ) 2 ، 1 ( ، ب ) -2 ، 7 ( فاأوجد المعادلة النقطية والمعادلة المتجهة والمعادلة المتماثلة

للم�ستقيم ب.

والمعادلة المتجهة هي :

4-

والمعادلة المتماثلة هي :

4-

المعادلة النقطية للم�ستقيم ب على ال�سورة :

4- -2 وحيث اأن

4- تكون المعادلة النقطية للم�ستقيم ب هي :

ريا�سيات )3(103 102





مثال )31-2(

الحل

اإذا كان وكان

6- 1-

فاأثبت اأن :

مثال )32-2(

الحل

تعريف ) 2- 15(

الزاوية بين م�ستقيمين


هو قيا�ض الزاوية ه� بين 2 و ل

1بما اأن قيا�ض الزاوية بين ل

1-

اإذا جتا

1-

1-

) با�ستخدام الآلة الحا�سبة ( 180وحيث اأن

متقاطعان ؟ 2، ل

1هل الم�ستقيمان ل

اأوجد قيا�ص الزاوية بين الم�ستقيمين 1-

4-

ف قيا�ض الزاوية بين الم�ستقيمين نعر

باأنه قيا�ض الزاوية بين المتجهين

) اذكر �سببا اآخر ( 6-. 2

) اذكر �سببا اآخر ( 1

يوازييوازييوازيالمعادلت الثالث المعطاة

6-

ريا�سيات )3(105 104





متوازيان حيث : 2، ل

15 اأثبت اأن الم�ستقيمين ل

اأوجد المعادلة النقطية والمعادلة المتجهة والمعادلتين الو�سيطيتين لكل من : 1

المحور ال�سادي .

الم�ستقيم المار بالنقطة ) 3 ، 4 ( موازيا المحور ال�سيني .

الم�ستقيم المار بالنقطة ) -2 ، 1 ( موازيا المحور ال�سادي .

تمارين )3-2(

اإذا كان��ت المعادل��ة النقطي��ة للم�ستقيم ل هي : ) �ض ، �ض ( = ك ) -2، -3 ( ) 3 ، -2 (،

1 ، 4 ( ل فاأوجد �ض

1فاأثبت اأن ) 5 ، 1 ( ل بينما ) -3 ، -7 ( ل، واإذا كانت ) �ض

3

اأوجد المعادلة النقطية والمعادلة المتجهة والمعادلتين الو�سيطيتين والمعادلة المتماثلة لكل من

الم�ستقيمات الآتية :

2

الم�ستقيم المار بالنقطة ب = ) -5 ، 2 ( موازيا الم�ستقيم حيث = ) 2 ، -3 (

الم�ستقيم المار بنقطة الأ�سل موازيا المتجه

الم�ستقيم المار بالنقطتين ) 1 ، 7 ( ، ب ) -2 ، 6 (

الم�ستقيم المار بالنقطتين ، ) -4 ، -3 (

3-

7

د

وي��وازي ) 1- ، بالنقط��ة ب = ) -3 يم��ر ال��ذي ل للم�ستقي��م المتجه��ة المعادل��ة اأوج��د

حيث = ) 2 ،-2( ومن ثم عين النقطة ج� الواقعة على الم�ستقيم ل والتي اإحداثيها ال�سيني

ي�ساوي 9 .

4

ريا�سيات )3(105 104





اأوجد قيا�ض الزاوية بين الم�ستقيمين في كل مما يلي حيث ك . 7

د


الوا�سل 1اإذا كان = ) -3 ، 3 ( ، ب = ) 1 ، -2 ( ، = ) 4 ، 0 ( فاأوجد معادلة الم�ستقيم ل

: ن = ك )-1، -10( ) 2 ، 7 (، فاأثب��ت اأن 2بي��ن ومنت�س��ف] ، واإذا كان ل

2 ل

1ل

ب

6


المتجهات الوحدة الثانية



الإحداثيات في الف�ساء

ماهية الف�ساء

ى الف�ساء على العالم الذي نعي�ض فيه والذي يحتوي جميع الأج�سام يطلق معظم الريا�سيين م�سم

والم�ستويات والأ�سكال الهند�سية وبذلك يكون :

الف�ساء مجموعة غير منتهية من النقاط لي�ست جميعها في م�ستو واحد .

ر بع�ض المفاهيم والعالقات في الهند�سة وقبل البدء بدرا�سة الإحداثيات في الف�ساء يلزمنا تذك

ف على مفاهيم وعالقات هند�سية جديدة في الف�ساء . الم�ستوية والتعر

الأو�ساع الن�سبية للم�ستقيمات والم�ستويات في الف�ساء .

ل - الأو�ساع الن�سبية لم�ستقيمين في الف�ساء اأو

التقاطع 1

ماذا نق��ول عن الم�ستقيمي��ن اإذا ا�سترك�ا ف��ي اأكثر من

نقطة ؟

4-2

متقاطعي��ن اإذا ا�ستركا في نقطة 2

، ل 1

يك��ون الم�ستقيمان ل

واح��دة . ففي المكع��ب الممثل في ال�س��كل ) 2-41 ( يكون

�س�كل ) 41-2 (





اأي م�ستقيمين متقاطعين وكذلك اأي م�ستقيمين متوازيين يمر بهما م�ستو واحد .

��ر واأكم��ل الفراغ في ن��ض العالقة التالي��ة بين الم�ستقيم��ات في الم�ست��وي والتي تبقى تذك

�سحيحة في الف�ساء :

التوازي2

اإذا وقعا في 2 // ل

1 متوازيين ونكتب ل

2 ، ل

1يكون الم�ستقيمان ل

م�ستو واحد وكان

كما في �سكل ) 42-2 (

وهذه هي ح�الة التطابق

تحقق عمليا من اأن :

التخالف 3

لماذا تن�ساأ ج�سور الم�ساة ؟

ماذا نق��ول عن الم�ستقيمين اللذي��ن ل ي�ستركان في

اأي نقطة ؟

في �سكل ) 2-44 ( ؟2 ، ل

1ما هو و�سع الم�ستقيمين ل

اأ�سر اإلى م�ستقيمين متوازيين واآخرين متخالفين في

غرفة ال�سف .

متخالفين اإذا لم يقعا في 2، ل

1يك��ون الم�ستقيمان ل

= و 2 ل

1م�ست��و واحد ، اأي اإذا ك��ان : ل

كم��ا ف��ي ال�س��كل ) 2-43 ( وه��ذا يعني 2 // ل

1ل

اأن الم�ستقيمين اإذا لم يكونا متقاطعين ول متوازيين

فهما متخالفان .

�س�كل ) 43-2 (

�س�كل ) 44-2 (

�س�كل ) 42-2 (






ثانيا - الأو�ساع الن�سبية لم�ستقيم وم�ستو في الف�ساء .

التقاطع 1

التوازي2

يكون الم�ستقيم ل موازيا للم�ستوي ى ونكتب ل // ى

اإذا كان

كما في �سكل ) 47-2 (

)اأي حالة وقوع ل في الم�ستوى ى(

اأ�س��ر في غرفة �سفك اإلى م�ستقيم يتقاطع مع �سقف الغرفة

واآخر يوازيه ول يقع فيه .

قم باإجراء خطوات الن�ساط التالي :

�س�كل ) 48-2 (

يك��ون الم�ستقي��م ل والم�ستوي ى متقاطعي��ن اإذا ا�ستركا في

نقط��ة واح��دة ، اأي اإذا ك��ان انظ��ر

ال�س�كل ) 45-2 (

اأن��ه اإذا ا�ست��رك الم�ستقي��م مع الم�ستوي في اأكثر من

نقطة فاإن الم�ستقيم �سيقع بكامله في الم�ستوي فيكون ل ى ،

كما في �س�كل ) 46-2 (

ار�س��م عل��ى كرا�ست��ك م�ستقيم��ا ل ثم ارف��ع قلمك فوق

الكرا�سة بحيث يوازي الم�ستقيم ل كما في �سكل ) 48-2 ( .

هل يبدو القلم موازيا للكرا�سة ؟

اأدر القلم بحيث يظل موازيا للكرا�سة دون الم�ستقيم ل .

ه��ل يمكنك ر�س��م م�ستقيم اآخر عل��ى الكرا�سة بحيث

يوازي القلم في الو�سع الجديد ؟

لعلك تو�سلت اإلى النتيجة التالية :

2

1

�س�كل ) 46-2 (

�س�كل ) 45-2 (

�س�كل ) 47-2 (

نقول اإن ل // ى اإذا وفقط اإذا وجد على الأقل ى بحيث ل //





انظر �سكل ) 2-49 ( الذي فيه :

واأكمل الفراغ :

والآن يمكننا كتابة العالقة التالية :

�س�كل ) 49-2 (

ثالثا - الأو�ساع الن�سبية لم�ستويين في الف�ساء

التقاطع 1

التوازي2

فاإنهما يتقاطعان في خط م�ستقيم . 2، ى

1اإذا تقاطع م�ستويان ى

= ل 2

ى1 ففي المكعب الممثل في �سكل ) 2-50 ( ى

2

// ى1متوازيين ونكتب ى

2، ى

1يكون الم�ستويان ى

اإذا كان

كما في ال�سكل ) 51-2 (

وهذه حالة التطابق

اأ�س��ر ف��ي غرفة �سف��ك اإل��ى م�ستويي��ن متوازيي��ن واآخرين

د خط التقاطع . متقاطعين وحد

في المو�سور الممثل بال�سكل ) 52-2 (

د العالقة بي��ن كل زوج من الم�ستويات و�سم خ��ط التقاطع في حالة ح��د

التقاطع

�س�كل ) 50-2 (

�س�كل ) 51-2 (


اإذا كان ل // ى وكان ى فاإن ل ، يكونان متوازيين اأو متخالفين .

4، ى

3 ى

3 ، ى

2 ى

2 ، ى

1 ى

�س�كل ) 52-2 (

تدريب )7-2(





مفهوم التعامد في الف�ساء

التعامد بين م�ستقيمين في الف�ساء : 1

لعلك تذكر العالقة التالية التي در�ستها على الم�ستقيمات في الم�ستوي .

ع م في الف�ساء ، مما يو�س وه��ذه العالقة في الواقع تعم

مفه��وم التعام��د بي��ن الم�ستقيم��ات في الف�س��اء اإلى

الم�ستقيمات المتخالفة .

عل��ى الرغ��م من 3 ل

1فف��ي ال�س��كل ) 2-53 ( ل

اأنهما متخالفان

اأ�سر في غرفة �سفك اإلى م�ست��قيمين متخالفين

ومتعامدين .

التعامد بين م�ستقيم وم�ستو في الف�ساء 2

الم�ستقي��م العمودي عل��ى م�ستقيمي��ن متقاطعين عند

نقطة التقاطع يكون عموديا على م�ستويهما .

قم باإجراء خطوات الن�ساط التالي :

�س�كل ) 53-2 (

�س�كل ) 54-2 (

�س�كل ) 55-2 (

1ل

2ل

3ل

، 2، ل

1ار�سم على كرا�ستك ثالثة م�ستقيمات ل

متقاطعة في . 3ل

�س��ع �س��ن قلم��ك عل��ى الكرا�سة عن��د النقطة

كما في ال�سكل ) 55-2 ( 2، ل

1بحيث ي�سنع القلم زاوية قائمة مع كل من ل

) لح��ظ اأن القل��م اإذا كان مائال على الكرا�س��ة فقد ي�سنع زاوية قائمة مع اأح��د الم�ستقيمين دون الآخر (

. 3تحقق با�ستخدام مثلث الر�سم من اأن القلم عمودي على ل

لعلك تو�سلت اإلى النتيجة التالية :

1

2

3

باأي و�سع ت�سع الم�سمار على

ت الم�سمار ؟ لوح خ�سبي لتثب

يق��ال اإن الم�ستقيم ل عمودي

على الم�ستوي ى الذي يقطعه

في نقطة ونكتب ل ى اإذا كان ل عموديا على

جميع الم�ستقيمات الواقعة في ى

والتي تمر بالنقطة . انظر �سكل ) 54-2 (





والآن يمكنك بالإفادة من مفهوم التعامد في الف�ساء ا�ستنتاج مايلي:

12

3

ح هذه النتيجة . و�سكل ) 2-56 ( يو�س

�س�كل ) 56-2 (

�س�كل ) 57-2 (

2 ل

1 ، ل

2 ى

2 ، ل

1 ى

1 بحيث ل

2، ل

1 اإذا وجد م�ستقيمان ل

2 ى

1ى

انظر �سكل ) 2-58 ( لتقنع نف�سك باأن :

التعامد بين م�ستويين في الف�ساء 3

، 1

ى1 اإذا وجد ل

2 ى

1 ونكتب ى

2 يكون عموديا على ى

1= ل فاإن ى

2 ى

1اإذا كان ى

انظر �سكل ) 57-2 ( .2 ل

1 ل ، ل

2 ل ، ل

1 بحيث ل

2 ى

2ل


1234

4

�س�كل ) 58-2 (





تعيين الف�ساء

م�ستقيم ونقطة ل تنتمي اإليه

م�ستقيمين متقاطعين

م�ستقيمين متوازيين

1

2

3

وق��د �سب��ق للطالب التحقق م��ن الأمرين )2( ، )3( اأما الأمر الأول فهو وا�س��ح بكون الم�ستقيم يحوي

نقطتين مختلفتين عليه .

وق��د يرم��ز للم�ست��وي بثالث��ة اأح��رف فنق��ول - مث��ال -

الم�ست��وي 1 ب ج�� ، اأو بحرفي��ن كبيري��ن كل منهما يرمز

لم�ستقي��م . فنرم��ز - مثال - للم�ست��وي الإحداثي بالرمز

لماذا يكون حامل اآلة الت�سوير عادة بثالثة اأرجل ؟

لماذا قد يتاأرجح مقعد ذو اأربعة اأرجل بينما يقف ثابتا مقعد له ثالثة اأرجل ؟

تعلم اأن الم�ستقيم ل يتعين بمعلومية نقطتين مختلفتين ، ب عليه ، اأو بمعلومية نقطة عليه وم�ستقيم

عمودي عليه ، اأو بمعلومية نقطة عليه وم�ستقيم مواز له . انظر �سكل ) 59-2 (

�س�كل ) 59-2 (

�س�كل ) 60-2 (

وق��د يرم��ز للم�ستقي��م ل بحرفي��ن فنق��ول - مث��ال -

الم�ستقيم ب .

وتعلم كذلك اأن الم�ستوي ى يتعين بمعلومية ثالث نقاط

مختلف��ة ، ب ، ج�� عليه ولي�ست واقع��ة على ا�ستقامة

واح��دة ، اأو بمعلومية نقط��ة ا عليه وم�ستقيم ل عمودي

عليه. انظر �سكل ) 60-2 (

وفي الحقيقة اإن اإمكانية تعيين الم�ستوي بثالث نقاط مختلفة عليه لي�ست على ا�ستقامة واحدة يعني اأنه

يمكن كذلك تعيين الم�ستوي باأحد الأمور التالية :





والآن كيف يتعين الف�ساء ؟

النظام الإحداثي للف�ساء


��ن الف�س��اء بمعلومية اأربع نقاط مختلفة عليه لي�ست جميعها في م�ستو واحد . انظر �سكل ) 61-2 ( يتعي

ويحوي الف�ساء اأربعة م�ستويات مختلفة على الأقل ، ففي �سكل ) 2-61 ( اأربعة م�ستويات مختلفة هي :

. ويمك��ن للطالب ب�سهولة ا�ستنتاج اأن الف�ساء يتعين كذلك

بمعلومية م�ستو ى وم�ستقيم ل عمودي على هذا الم�ستوي . انظر �سكل ) 62-2 (

�س�كل ) 2-62 (�س�كل ) 61-2 (

ونود اأن ن�سير هنا اإلى اأنه من الممكن ت�سمية المحاور الثالثة في نظام

الف�ساء الإحداثي بطريقة مختلفة

كم��ا في ال�س��كل ) 2- 64 ( ، اإل اأننا في هذا الكت��اب �سنتبع الطريقة

الواردة في �سكل ) 2- 63 (

�س�كل ) 64-2 (

نعل��م اأن الم�ست��وي الإحداث��ي ين�س��اأ م��ن تقاط��ع محوري��ن متعامدي��ن ، متقاطعي��ن ف��ي

نقط��ة الأ�س��ل . واأن اأي نقط��ة ن في الم�ستوي الإحداثي يرتب��ط بها زوج مرتب وحيد م��ن الأع��داد

الحقيقي��ة ) ��ض ، ��ض ( مم��ا يتيح لنا ت�سمية هذا النظام الإحداثي بالم�ست��وي ثنائي البعد .

ويمكننا تعميم نظ��ام الم�ستوي الإحداثي ثنائي

البعد لتمثيل النقاط في الف�ساء وذلك باإ�سافة

محور ثالث يتقاطع مع المحورين ،

ف��ي نقطة الأ�سل ، وبفر��ض اأن المحاور الثالثة

متعام��دة مثنى مثنى ولها نف��ض وحدة الطول ،

فاإنن��ا نح�سل عل��ى النظام الإحداث��ي للف�ساء

ثالثي الأبعاد . انظر �سكل ) 63-2 (

�س�كل ) 63-2 (





ى اإن كل زوج م��ن المحاور الثالثة يقع في م�ستو واحد ي�سم

الم�ست��وي الإحداث��ي له��ذا ال��زوج ، فيك��ون لدين��ا ثالثة

م�ستويات اإحداثية هي :

وجميع هذه الم�ستويات تلتقي في نقطة الأ�سل . انظر �سكل ) 2- 66 (

�س�كل ) 65-2 (

�س�كل ) 67-2 (

الأر�ض

الحائط الأيمن

لأي�سرط ا

حائال

الم�ستوى

�ستوىالم�ستوىالم

اأنه يمكنك ا�ستخدام يدك اليمنى لتمثيل الف�ساء

ح في �س��كل ) 2-65 ( ؛ حي��ث ي�سير اأ�سبع كم��ا ه��و مو�س

الو�سط��ى اإل��ى الجزء الموج��ب من المح��ور ، وي�سير

الإبه��ام اإلى الجزء الموجب من المحور ، بينما ي�سير

ال�سبابة اإلى الجزء الموجب من المحور .

الم�ستوي الإحداثي



ى ثمن��ا ، والثمن المح�سور وه��ذه الم�ستوي��ات الثالثة تق�سم الف�س��اء اإلى ثمانية اأج��زاء كل منها ي�سم

ى الثمن الأول ، اأما باقي الأثمان فال يوجد لها ترتيب معين . بالأجزاء الموجبة من المحاور ي�سم

اإذا كان م��ن ال�سعب عليك تخيل هذه الم�ستويات الثالث��ة ومعنى الثمن الأول فلعل الإجراء التالي

ل عليك ذلك : ي�سه

ر اأنه نقطة الأ�سل للف�ساء . �سيكون الحائط الذي انظ��ر اإلى اأحد الأركان ال�سفلية في غرفة وت�سو

عل��ى يمين��ك ج��زءا من الم�س��ت��وي ، والحائ��ط الذي على ي�سارك ج��زءا من الم�س��توي

ا اأر�ض الغرفة ف�ستكون جزءا من الم�ستوي . ويكون بذلك جزء الحجرة الظاهر ، اأم

ال للثمن الأول في الف�ساء . في �سكل ) 2-67 ( ممث

�س�كل ) 66-2 (




الوحدة الثانيةالإحداثيات في الف�ساء

�س�كل ) 68-2 (

الإحداثي الف�ساء في نقطة ن لتكن والآن

كما في ال�سكل ) 2-68 ( فاإن هناك م�ستو

الم�ستوي موازيا ن بالنقطة يمر 1ى واحد

1�س�ص ويقطع ال��م��ح��ور في نقطة ن

ى اإحداثيها على المحور هو �ض ، ي�سم

للنقطة ال�سيني ح�داثي بالإ �ض العدد

يمر 2ى واح��د م�ستوي هناك وبالمثل ، ن

بالنقطة ن موازيا الم�ستوي ويقطع

على اإحداثيها 2ن نقطة في �ــص المحور

ى �ض بالإحداثي المحور هو �ض ، ي�س��م

م�ستوي ا اأي�س وهناك ن للنقطة ال�سادي

الم�ستوي موازيا ن بالنقطة يمر 3ى واحد

3

ن نقطة ف��ي ال��م��ح��ور ويقطع .....

ى ع بالإحداثي ..... للنقطة ن ) اأكمل الفراغ ( اإحداثيها على المحور.....هو ع ، ي�سم

وبذلك تكون اإحداثيات النقطة ن هي الثالثي المرتب من الأعداد الحقيقية ) �ض ، �ض ، ع ( وهذا يعني

ا ، فكل ثالثي اأن كل نقط��ة ف��ي الف�ساء الإحداثي تمثل ثالثي مرتب واحد فق��ط ، والعك�ض �سحيح اأي�س

��ل بنقطة واحدة في الف�ساء الإحداثي . وهكذا نجد اأنه يمكن تعريف تقابل مرت��ب ) �ض ، �ض ، ع ( يمث

ت :

لمجموعة الثالثيات المرتبة من الأعداد 3حيث ترمز لمجموعة نقاط الف�ساء الثالثي ، وترمز

الحقيقية .

ومن ثم فاإنه يمكننا كتابة ما يلي :





تدريب )8-2(

تدريب )9-2(

اكتب اإحداثيات روؤو�ض المكعب الممثل في �سكل ) 69-2 (

اإذا علمت اأن طول �سلع المكعب وحدة واحدة .

من ال�سكل ) 2-68 ( اأنه في الف�ساء الإحداثي يكون :

اإحداثي نقطة الأ�سل هو ) 0 ، 0 ، 0 (

الواقع��ة عل��ى المحاور 3، ن

2 ، ن

1اإحداثي��ات النق��اط ن

الإحداثية ، ، على الترتيب هي :

) 0 ، 0 ، ع (3 ) 0 ، �ض ، 0 ( ، ن

2 ) �ض ، 0 ، 0 ( ، ن

1ن

اإحداثي��ات النق��اط ، ب ، ج�� الواقع��ة عل��ى الم�س��تويات الإح��داثي��ة ، ،

على الترتيب هي :

) �ض ، �ض ، 0 ( ، ب ) �ض ، 0 ، ع ( ، ج� ) 0 ، �ض ، ع ( .

3

2

1

مم��ا �سب��ق نجد اأن��ه يمكننا و�سف المح��اور الإحداثي��ة الثالثة وكذل��ك الم�ستوي��ات الإحداثية الثالثة

با�ستخدام الثالثيات المرتبة ، فنكتب مثال:

المحور

اأو المحور

الم�ستوي

اأو الم�ستوي

2

1

ف با�ستخدام الثالثيات المرتبة الم�ستوي . �س

�س�كل ) 69-2 (




الوحدة الثانيةالإحداثيات في الف�ساء

تحديد نقطة في الف�ساء الإحداثي

لتحدي��د موقع نقطة في الف�س��اء الإحداثي ولتكن ن ) 3 ، 2 ، 4 ( - مثال - يمكننا اتباع الخط��وات

��حة في �سكل ) 70-2 ( : التالية والمو�س

ابت��داء م��ن النقط��ة المقابل��ة للعدد

3 عل��ى المح��ور نتح��رك بمقدار

وحدتي��ن في التج��اه الموجب للمحور

عل��ى 1د بذل��ك النقط��ة ن 1 ونح��د

الم�ستوي .

؟1ماهو اإحداثي النقطة ن

م�ستقيم��ا ل 1نر�س��م م��ن النقط��ة ن

يوازي المحور .

د النقط��ة ن ) 3 ، 2 ، 4 ( عل��ى نح��د

الم�ستقيم ل باأن نتحرك على الم�ستقيم

بمقدار 4 وحدات في 1ل من النقطة ن

التجاه الموجب للمحور .

) لحظ اأن��ه يمكننا تحديد النقطة ن

على الم�ستقيم ل باأن نر�سم من النقطة

U المقابلة للع��دد 4 على المحور 2ن

1م�س��تقيما م��وازيا للق��طعة و ن

فيقط��ع الم�ستقي��م ل ف��ي النقطة ن ،

كما في ال�سكل ) 71-2 ( (

بالإفادة من الخط��وات ال�س�ابقة ،

اقت��رح طريقة لتحدي��د اإحداثيات

النقط��ة ن الممثلة ف��ي �س��كل

) 68-2 (

اقت��رح طريقة اأخرى لتحديد موقع

النقط��ة ) 3 ، 2 ، 4 ( م�ستفيدا من

ال�سكل ) 68-2 (

3

2

1

�س�كل ) 70-2 (

�س�كل ) 71-2 (





تدريب )10-2(

مثال )33-2(

مثال )34-2(

الحل

مثال )35-2(

الحل

ح تمثيل الم�ستوي ى في الف�ساء . ال�سكل ) 2-72 ( يو�س

ـــف مجموعـــة نقاط �سقـــف الحجرة التي اأبعادها 7 م ، 4 م ، 3 م �س

با�ستخدام الثالثيات المرتبة .

د موقع النقطة ن ) –1 ، 3 ، 7 ( في الف�ساء . حد

لعل��ك لحظ��ت اأن النقط��ة ن تبع��د عن الم�ستوي بمق��دار 7 وحدات في التجاه الموجب

للمحور .

ماهو بعد النقطة ن عن كل من الم�ستويين ، ؟

في ال�سكل ) 2-69 ( يمكننا و�سف كل من كما يلي :

ـــل فـــي الف�ســـــــــــاء مجــــــموعـــة نقط الم�ستوي ى الذي يوازي الم�ســــــتوي ويمـــــر بالنقطة مث

ف ى با�ستخدام الثالثيات المرتبة. ) 0 ، 0 ، 5 (، ثم �س

�س�كل ) 73-2 (

ل��ة ف��ي الف�ساء كما في ال�س��كل ) 2-73 ( فاإن �سقف الحج��رة والذي يعد لن��ا اأن الحج��رة ممث اإذا تخي

ج��زء ا م��ن الم�ستوي الم��ار بالنقطة ) 0 ، 3 ، 0 ( والموازي للم�ست��وي ، يو�سف بالمجموعة :

ف مجموعة نقاط اأر�ض هذه الحجرة با�ستخدام الثالثيات المرتبة . �س

�س�كل ) 72-2 (





ا�ستخ��دم ال�سكل التالي والذي يمثل �سندوق على �سكل متوازي م�ستطيالت مرفوع الغطاء لتقرن 2

كل زوج معطى في القائمة ) ( بما ينا�سبه من و�سع في القائمة ) ب (.

تمارين )4-2(


القائمة ) ب (

متوازيان

منطبقان

متقاطعان في ج�

متقاطعان في د

متقاطعان في ج� د

متخالفان

القائمة ) (

ج� د ، ج� ه�

ا د ، ه� و

2ج� د ، ى

1ه� و ، ى

4 ، ى

3ى

ان م�ستويا . اأي م�ستقيمين يعين

اإذا وازى م�ستقيم م�ستويا فهو يوازي كل م�ستقيم في الم�ستوي

اإذا احتوى م�ستوي م�ستقيمين فالبد من تقاطعهما .

مجموعة الم�ستقيمات الموازية لم�ستو واحد تكون متوازية .

ان م�ستويا . الم�ستقيمان الموازيان لثالث في الفراغ يعين

واقعين في م�ستو واحد .2 ، ل

1يتوازيان اإذا كان ل

2 ، ل

1الم�ستقيمان ل

يتطابق م�ستويان اإذا ا�ستركا في ثالث نقاط لي�ست على ا�ستقامة واحدة .

النقطة ) 1 ، – 3 ، 2 ( تبعد عن الم�ستوي ثالث وحدات في التجاه ال�سالب .

الم�ستوي

�سع عالمة ) ( اأو عالمة ) ( عن يمين العبارات التالية : 1





بال�ستفادة من متوازي الم�ستطيالت الممثل بال�سكل 3

المجاور اأوجد مايلي :

مت��وازي م�ستطيالت في الثمن الأول اأوجهه موازية لم�ستوي��ات الإحداثيات الثالثة واأحد روؤو�سه 4

يق��ع على نقطة الأ�س��ل وراأ�ض اآخر يقع على النقطة ) 2 ، 4 ، 5 ( ، ار�سم متوازي الم�ستطيالت ،

واأوجد اإحداثيات باقي روؤو�سه .

لها في الف�ساء وعلى ال�سكل نف�سه .7 ف مجموعات النقط التالية ثم مث �س

اإحداثيات النقط ، ب ، د ، ح

د بعد النقطة ج� عن الم�ستوي حد

��ف �س الثالثي��ة الإحداثي��ات با�ستخ��دام

مجموعة نقاط كل من :

عين النقط التالية في الف�ساء الثالثي : 5

ف مجموعات النقط التالية با�ستخدام الثالثيات المرتبه في الف�ساء ، مع الر�سم حيثما اأمكن 6 �س

ذلك .

د

الم�ستوي الموازي للم�ستوي ويقطع المحور في النقطة ) 0 ، 2 ، 0 (

الم�ستوي الموازي للم�ستوي ويقطع المحور في النقطة ) 3 ، 0 ، 0 (

الم�ستقي��م الواق��ع ف��ي الم�ست��وي وي��وازي المحور وعلى م�سافة 6 وحدات

منه .

النقاط التي اإحداثيها ال�سيني ي�ساوي اإحداثيها ال�سادي واإحداثيها العيني ي�ساوي �سفر .





الجبر على نقط الف�ساء

م على نقط الف�ساء الإحداثي وعليه اإن جميع العمليات التي در�ستها على نقط الم�ستوي تعم

يمكننا كتابة التعريف التالي :

تعريف ) 2- 16(

5-2

تدريب )11-2(

اإذا كانت

نقطتين في الف�ساء ، فاإن :

1

2

3

اإذا كانت = ) 2 ، 3 ، –1 ( ، ب = ) 0 ، 5 ، 2 ( ، فاأوجد ما يلي :

ا ؟ له النقطة هند�سي مالذي تمث

ج� بحيث يكون و ب ج� متوازي اأ�سالع

المتجهات في الف�ساء الإحداثي


ا باأن��ه الراأ�ض ج� لمتوازي ر هند�سي وكم��ا ف��ي الم�ست��وي ف��اإن مجم��وع النقطتي��ن يف�س

الأ�س�الع و .





عند درا�سة عالقة الت�ساير على القطع الموجهة في الم�ستوي ، ا�ستخدمنا الإحداثيات

لتحديد القطع الموجهة المت�سايرة ؛ وذلك ح�سب نظرية ) 2-2 ( وفي الواقع تبقى

هذه النظرية �سحيحة في الف�ساء ، اأي اأنه :

مثال )36-2(

الحل

اإذا كانت النقاط ، ب ، ج� ، د في الف�ساء فاإن :

لتكن ) 0 ، 2 ، 0 ( ، ب ) 0 ، 2 ، 4 ( ، جـ ) 3 ، 0 ، 0 ( اأوجد ن بحيث تكون

في ال�سكل ) 2-74 ( اأن ب ن ج� متوازي اأ�سالع

، اأي اأن في م�ستو واحد .

اأن القطع الموجهة :

لن��ا ال�سكل ) 2-75 ( نجد اأن القطعة الموجهة والآن اإذا تاأم

ت�ساير ك�ال من القطع الموجهة :

ل يجمعهم م�ستوي واحد

يجمعها م�ستوي واحد بينما

وه��ذا يعني اأنه في الف�ساء الإحداث��ي لي�ض من ال�سروري

اأن تقع اأي ثالث قطع موجهة مت�سايرة في م�ستو واحد .

��ل عل��ى ال�س��كل ) 2-75 ( القط��ع الموجه��ة : والت��ي كل منه��ا مث

ت�ساير القطعة الموجهة

ف مجموعة جميع القطع الموجهة التي ت�ساير القطعة الموجهة �س

�س�كل ) 74-2 (

�س�كل ) 75-2 (






تعريف ) 2- 17(


المتج��ه في الف�ساء الإحداثي ه��و مجموعة غير منتهية من القط��ع الموجهة المت�سايرة ويرمز

للمتجه الذي يحوي القطعة الموجهة بالرمز فيكون :

ونرمز لمجموعة المتجهات في الف�ساء بالرمز

وكما هو الحال في الم�ستوي نجد في الف�ساء الإحداثي اأن :

1

يمثل هند�سيا بالقطعة اأو اأي قطعة موجهة اأخرى م�سايرة لها . 2

ال�سورة القيا�سية للمتجه هي واخت�سارها حيث 3

ر عن المجموعة با�ستخدام ال�سورة القيا�سية المخت�سرة للمتجه . عب

وبهذا يمكننا التعبير عن المتجه ن بالم�سفوفة والتعبير عن ب بالم�سفوفة

حيث

ي هذا المتجه وما رمزه ؟ ر عن المتجه في الف�ساء با�ستخدام الم�سفوفة . ماذا ن�سم عب

ف بالقاعدة : 4 هناك تقابل بين المجموعتين ، يعر





تعريف ) 2- 18(

ه��ذا واإن جمي��ع الخوا�ض على عملي��ات جمع المتجهات و�سربه��ا بعدد حقيقي وال�س��رب القيا�سي في

الم�ستوي تبقى �سحيحة في الف�ساء .

تدريب )12-2(

�س�كل ) 76-2 (

اأنه بدللة اإحداثيات النقطتين :

اأثبت �سح��ة القان��ون ال�سابق وذل��ك بتطبيق

نظرية فيثاغورث على المثلث ثم على

المثلث في �سكل ) 76-2 (

ر عن البعد بين النقطتين في الف�ساء . وهذه ال�سيغة تعب

طول المتجه والذي رمزه هو الطول ، ويعطى بالقانون :5

حيث

اإذا كانت = ) –4 ، 2 ، 6 ( ، ب = ) 0 ، 2 ، 9 ( ، اكتب المتجه ب كم�سفوفة ثم اأوجد طوله .

على �سوء ما �سبق يمكننا تعريف العمليات على المتجهات في الف�ساء الإحداثي على النحو التالي :

12

4 3





مثال )37-2(

الحل

تدريب )13-2(


اأثبت �سحة القاعدة :

) �سم هذه الخا�سية ( ومن ثم ا�ستنتج اأن :

حيث

اإذا كانت

فاأوجد مايلي :

د

د





تدريب )14-2(

)15-2(

ق من اأن : في المثال ال�سابق تحق

توازي المتجهات وتعامدها في الف�ساء الإحداثي :

لتعميم النظرية ) 2-3 ( على الف�ساء الإحداثي نقول :

) �سم هذه الخا�سية (

لأي متجهين غير �سفريين في الف�ساء الإحداثي فاإن :

كي��ف تحك��م ف��ي الف�س��اء الإحداثي على كون المتجهين المتوازيين في اتجاه واحد

اأم مت�سادان في الإتجاه ؟

وعلى وفق الملحوظة ) 2-8 ( ن�سوغ الملحوظة التالية :

لأي متجهين غير �سفريين في الف�ساء الإحداثي

اإذا �ساوت مركبتان من ال�سفر فاإن : 1

المركبتان المناظرتان في ت�ساويان ال�سفر

= 0 - مثال - فاإن : 21اإذا �ساوت اإحدى مركبتي ال�سفر ، ولتكن �ض

اإذا كانت كل من مركبات مغايرة لل�سفر فاإن : 3





مثال )38-2(

الحل

فاأوجد قيمة ع التي تجعل اإذا كان

حل اآخر : ح�سب الملحوظة ) 2-15 ( يكون :

بين ما اإذا كان المتجهان متوازيين اأم ل ؟

والآن بتعميم القاعدة ) 2-5 ( لقيا�ض الزاوية بين متجهين في الف�ساء الإحداثي على النحو التالي :

تدريب )15-2(


اإذا كان متجهين غير �سفريين في الف�ساء الإحداثي فاإن :





نجد اأن النتيجة ) 2-7 ( تبقى �سحيحة في الف�ساء الإحداثي . اأي اأنه :

ماهي دللة كل من الإ�سارتين ± في العالقة ) 7-2 (

مثال )39-2(

الحل

تدريب )16-2(

لكل متجهين غير �سفريين في الف�ساء الإحداثي يكون :

1

2

اأوجد قيا�ض الزاوية بين المتجهين

اأعد حل مثال ) 2-38 ( با�ستخدام العالقة ) 7-2 (

في المثال ) 2-38 ( اأوجد قيمة ع التي تجعل





معادلة الم�ستقيم في الف�ساء

تدريب )17-2(

تدريب )19-2(

ا�ستنتج المعادلة النقطية للم�ستقيم ب ج� في الف�ساء .

بكم �سورة يمكن كتابة هذه المعادلة النقطية ؟

المعادلت الو�سيطية للم�ستقيم ل :3

المعادلتان المتماثلتان للم�ستقيم ل :4

تمت��د التعميم��ات في الم�ستوي عل��ى الف�ساء لت�سم��ل معادلة الم�ستقي��م . وهكذا نجد في

الف�ساء اأن معادلة الم�ستقيم ل المار بالنقطة ب موازيا الم�ستقيم تكتب على اإحدى

ال�سيغ التالية :

المعادلة النقطية للم�ستقيم ل :1

المعادلة المتجهة للم�ستقيم ل : 2

المعادلة المتجهة للم�ستقيم ل .

( اكتب 2 ، ع

2 ، �ض

2 ( ، ب = ) �ض

1 ، ع

1 ، �ض

1بفر�ض اأن ن = ) �ض ، �ض ، ع ( ، = ) �ض

تدريب )18-2(

ا�ستنتج المعادلة النقطية للم�ستقيم في الف�ساء ، ثم اأوجد المعادلة النقطية والمعادلت الو�سيطية

للمحور

اأوج��د المعادلة النقطية والمعادلة المتجهة والمعادلت الو�سيطية والمعادلتين المتماثلتين للم�ستقيم ل

الذي يمر بالنقطة ) 0 ، -1 ، 2 ( ويوازي المتجه = .

4-






الزاوية بين م�ستقيمين في الف�ساء

اإن تعريف ) 2-15 ( لقيا�ض الزاوية بين م�ستقيمين ينطبق على الم�ستقيمين في الف�ساء ، مع مالحظة

اأن التعريف هنا ل ي�ستبعد كون الم�ستقيمين متخالفين .

تدريب )20-2(

ر اأنه في الف�ساء يتقاطع مع تذك

مثال )40-2(

الحل

اأوجد قيا�ص الزاوية بين الم�ستقيمين :

هو قيا�ض الزاوية بين 2 ، ل

1بما اأن قيا�ض الزاوية بين ل

اإما متقاطعان اأو متخالفان . 2 ، ل

1اأن الم�ستقيمين ل

تدريب )21-2(

اإذا كان الم�ستقي��م ل // كم��ا في ال�سكل

) 2-77 ( فاإن :

الم�ستقيم ل والمحور ) متقاطعان ، متعامدان ، متوازيان (

اختر الإجابة ال�سحيحة للعبارة التالية :

�س�كل ) 77-2(





) 9-2 (

معادلة الم�ستوي في الف�ساء

با�ستخدام مفهوم التعامد يمكننا ا�ستنتاج معادلة الم�ستوي ى العمودي على متجه معلوم وغير �سفري

. ) 2 ، ع

2 ، �ض

2، ويمر بنقطة معلومة ب = ) �ض

وهي المعادلة العامة للم�ستوي ويمكن كتابتها على ال�سورة المخت�سرة :

)16-2(

ى معادلة 1 معادل��ة الم�ستوي هي معادلة من الدرجة الأولى ف��ي ثالثة متغيرات �ض ، �ض ، ع وت�سم

خطية في ثالثة متغيرات . ) �سبق لك درا�سة هذا النوع من المعادلت . متى واأين ؟ (

كل متجه عمودي على الم�ستوي ى يكون على ال�سورة : ك ) لماذا ؟ (2

المعادلة العامة للم�ستوي المار بالنقطة عموديا على المتجه هي :3

ف��اإذا فر�سن��ا اأن النقط��ة ن = ) ( اأي نقط��ة عل��ى الم�ست��وي ى غي��ر النقط��ة ب ، كم��ا في

ال�سكل ) -2 78 ( نجد اأن :

�س�كل ) 78-2(

ى ال�سيغة : ن = ب ) 10-2 ( ت�سم

بالمعادلة القيا�سية للم�ستوي المار بالنقطة ب عموديا على المتجه .

4






اأوجد معادلة الم�ستوي الذي يمر بالنقطة ) - 6 ، 0 ، 4 ( والعمودي على المتجه .

اأنه يمكننا تمثيل معادلة هذا الم�ست�وي كما

في �س��كل ) 2-79 ( ، وذلك باإيجاد نقط تقاطعه

مع المحاور الإحداثية الثالثة على النحو التالي :

مثال )41-2(

الحل

��ا بتطبي��ق المعادل��ة القيا�سي��ة : ن = ب بفر��ض اأن = ، ب = ) - 6 ، 0 ، 4 ( ، فاإنن

نح�سل على المعادلة المطلوبة وهي :

�س�كل ) 79-2(

نقطة التقاطع مع المحور :1

1ن

نقطة التقاطع مع المحور : 2ن

2

نقطة التقاطع مع المحور :3ن

3





له المعادلة �ض = 4 في الف�ساء الثالثي مع التو�سيح بالر�سم . بين ما الذي تمث

تدريب )22-2(

مثال )42-2(

الحل

اأوجد معادلة الم�ستوي الإحداثي .

ا اأن هذه المعادلة هي على ال�سورة العامة لمعادلة الم�ستوي المار باأ�سل المحورين . وهي اأي�س

موافقة لما و�سفت به نقاط الم�ستوي في تدريب ) 2-8 ( باأن :

والآن لعلك تذكر اأن المعادلة �ض = 0 والتي مثلت الم�ستوي في الف�ساء الثالثي هي في الواقع

تمثل معادلة المحور في الم�ستوي الإحداثي ) ف�ساء ثنائي البعد ( بينما تمثل اإحداثي نقطة الأ�سل

على المحور ) ف�ساء اأحادي البعد ( . انظر �سكل ) 80-2 (

له المعادلة �ض = 0 دون معرفة اأبعاد الف�ساء الذي تمثل فيه هذه وهكذا نجد اأنه ل يمكن تحديد ما تمث

المعادلة .

لكي نتمكن من تطبيق المعادلة القيا�سية للم�ستوي ، نختار متجها عموديا على الم�ستوي ،

ونقط��ة ب تق��ع علي��ه . وحي��ث اأن الم�ستوي يمر بنقطة الأ�س��ل وعمودي على المحور فاإن

اأب�سط اختيار يكون :

�س�كل ) 80-2(






مثال )43-2(

الحل

اأوجد معادلة الم�ستوي المار بالنقطة ) 7 ، -1 ، 3 ( وموازيا للم�ستوي ى : 2 �ص - �ص + ع = - 4 .

وهك��ذا نجد اأن��ه من الممكن الإفادة من معادلتي م�ستويين لدرا�سة عالق��ة التوازي اأو التعامد بينهما .

والنتيجة التالية تو�سح ذلك

نتيجة )9-2(

اإذا كان لدينا الم�ستويان اللذان معادلتاهما :

)لماذا ؟( و ح�سب الملحوظة )2-15( نجد اأنه في 1

) اأكمل الفراغ (.............

ر عن �سرط التوازي في كل من الحالتين الأخريتين من الملحوظة ) 15-2 ( عب

معادلة الم�ستوي هي :

) لماذا ؟ ( 2

مغايرة لل�سفر فاإن : 1 ، ع

1 ، �ض

1حالة كون كل من �ض

ع = ج� 1 �ض + ع

1 �ض + �ض

1 ع = ج� فاإن : �ض

1 �ض + ع

1 �ض + �ض

1�ض

قارن بين معادلتي

ا على الم�ستوي المطلوب وليكن )لماذا ؟( المتجه عمودي على عمودي اأي�س





مثال )44-2(

الحل

بتطبيق النتيجة ) 2-9 ( نجد اأن :

بو�سع معادلة على ال�سورة العامة تكون : �ض - �ض = 0

اأن الم�ستوي : �ض= �ض هو م�ستوي يتقاطع مع الم�ستوي ) في الم�ستقيم

ل : �ض = �ض ( ويحوي المحور .

والآن يمكننا على ن�سق النتيجة ) 2-9 ( تقديم النتيجة التالية لتو�سيح عالقتي التوازي والتعامد

بين م�ستو وم�ستقيم في الف�ساء بدللة معادلتيهما .

نتيجة )10-2(

.....................

) لماذا ؟ ( 1 �سفر

اإذا كان لدينا الم�ستقيم ل والم�ستوي اللذان معادلتاهما :

) اأكمل الفراغ (

ع =

1 �ض + ع

1 �ض + �ض

1( حيث ك ، : �ض

2 ، ع

2 ، �ض

2( + )�ض

1 ، ع

1 ، �ض

1ل : ن = ك )�ض

فاإن :

بين ما اإذا كان الم�ستويان متوازيين اأم متعامدين في كل من الحالتين التاليتين :

= 1 × 0 ) -1 ( × 0 0 × 1 = �سفر 1 ع

1 ع

1 �ض

1 �ض

1 �ض

1فيكون �ض






ر عن ال�سرط في كل من الحالت الثالث في الملحوظة ) 15-2 ( عب

) لماذا ؟ ( 2

مثال )45-2(

الحل

فـــي كل مـــن الحالتيـــن التاليتيـــن وحيث ك بين ما اإذا كان الم�ستقيم ل موازيا الم�ستوي اأم

ا عليه . عمودي

بتطبيق النتيجة ) 2-10 ( نجد اأن :

فاختر الإجابة ال�سحيحة فيما بين القو�سين لكل فقرة مما يلي :

تدريب )23-2(

اإذا كان

الم�ستويان ، ) متوازيان ، متعامدان ، غير متوازيين وغير متعامدين (

الم�ستقيم ل والم�ستوي ) متوازيان ، متعامدان ، متقاطعان (





تمارين )5-2(

1

اإذا كان فاأوجد قيمة �ض في كال الحالتين :4

وه� د

طحز

2

فاأوجد ن في كل حالة مما يلي :

بالإفادة من معطيات تمرين ] 2 اأوجد :3

وه� د

طحز

لكى






: = ك + 2 : = ك + ، ل

1ل

اأوجد قيا�ض الزاوية بين الم�ستقيمين التاليين ، 9

ادر�ض التوازي والتعامد لكل من اأزواج الم�ستقيمات التالية ، 8

5

�سم متجهين متعامدين واآخرين متوازيين وذلك بالإفادة من نتائج فقرة

اأوجد قيا�ض الزاوية بين المتجهين في كل مما يلي :

اأوجد المعادلت المتجهة والو�سيطية والمتماثلة لكل من : 7

الم�ستقيم المار بالنقطة ب ) 3 ، 2 ، 1 ( موازيا المتجه =

الم�ستقيم المار بالنقطتين ) -1 ، ، 2 ( ، ) 0 ، 3 ، 0 (

الم�ستقيم المار بالنقطة ) - 2 ، 3 ، 1 ( موازيا للمحور د

الم�ستقيم المار بالنقطتين ، ) -4 ، 2 ، 3 (

الم�ستقيم المار بالنقطة ) 0 ، 2 ، - 5 ( وفي اتجاه المتجه

المحور

اأوجد المعادلة النقطية ثم المعادلة المتجهة والمعادلت الو�سيطية لكل من الم�ستقيمات التالية:6





بين ما اإذا كان الم�ستويان متوازيين اأم متعامدين في كل مما يلي : 11

د

بين ما اإذا كان الم�ستقيم ل والم�ستوي متوازيين اأم متعامدين في كل مما يلي ،12

اأوجد معادلة كل من الم�ستويات التالية :10

الم�ستوي المار بالنقطة ) 3 ، -1 ، 2 ( وعمودي على المتجه

الم�ستوي المار بالنقطة ) 1 ، -3 ، 4 ( ويوازي الم�ستوي الإحداثي

الم�ستوي المار بالنقطة ) 1 ، -1 ، 1 ( وموازيا للم�ستوي ى : 3 �ض + 2 �ض - ع = -2


ريا�ضيات )3( ريا�ضيات )3(141 140


ريا�ضيات )3( ريا�ضيات )3(141 140


خوا�ص عملية �سرب نقطة بعدد حقيقي وذلك في الم�ستوي . 4

الكمية القيا�سية والكمية المتجهة . 1

2

3

= ) 0 ، 0 ( والمعكو��ص الجمعي للنقطة ن هو النقط��ة - ن .

عملي��ة جم��ع النق��اط ف��ي الم�ست��وي اإبدالي��ة وتجميعي��ة وعن�سره��ا المحاي��د ه��و النقط��ة

المتجه في الم�ستوي هو مجموعة غير منتهية من القطع الموجهة المت�سايرة . 6

تكونان مت�سايرتين اإذا وفقط اإذا كان

مفهوم القط�عة الموجهة وت�ساير قطعتين موجهتين واأن القطعتين الموجهتين 5

اأن ال�س��ورة ن حي��ث ن = ب - =) ��ص ، �ص ( هي ال�سورة القيا�سية للمتجه ب واأنه يمكن

التعبير عن المتجه ب بم�سفوفة العمود .

7

8





اأن��ه با�ستخدام طريق��ة متوازي الأ�سالع ) اأو طريقة المثلث ( اأمكنن��ا اإيجاد مجموع متجهين 10

��ا كم��ا اأمكننا تحلي��ل متجه اإل��ى مجموع متجهي��ن اأو الف��رق بينهما. والف��رق بينهم��ا هند�سي

عملية ال�سرب القيا�سي للمتجهات اإبدالية وتتوزع على عملية جمع ) اأو طرح ( المتجهات . 12

9

حا�س��ل ال�س��رب القيا�سي للمتجهي��ن غير ال�سفريين ب ، ج� د ف��ي الم�ستوي ي�ساوي حا�سل 11

�س��رب طول��ي المتجهي��ن في جيب تمام قيا�ض الزاوي��ة بينهما ويرمز له بالرمز ب ج�� د

ق يكون المتجهان غير ال�سفريين ب = ، ج� د = متوازيين اإذا وفقط اإذا تحق

اأي من ال�سروط التالية :

13

ق اأي من ال�سرطين التاليين : ويكون هذان المتجهان متعامدين اإذا وفقط اإذا تحق



ا�ستخدام هند�سة المتجهات في اإثبات خوا�ض هند�سية . 15

مفهوم الف�ساء ومفاهيم وعالقات هند�سية جديدة في الف�ساء . 18

النظام الإحداثي في الف�ساء وو�سف مجموعة نقاط في الف�ساء با�ستخدام الثالثيات المرتبة .19

المعادلة العامة للم�س��توي ى في الف�س��اء بمعلومي��ة متجه عمودي عليه و نقط��ة

( يمر بها وهذه المعادلة هي : 2 ، ع

2، �ض

2) �ض

20

لإيجاد قيا�ض الزاوية بين المتجهين ن�ستخدم القانون :14

180ه�ه�

المعادلة النقطية للم�ستقيم ل المار بالنقطة ب والموازي للم�ستقيم وهي :16

ن = ك + ب حيث ك ، وكيفية اإيجاد المعادلة المتجهة والمعادلتين الو�سيطيتين والمعادلة

المتماثلة للم�ستقيم ل . واإيجاد المعادلة النقطية لم�ستقيم يمر بنقطتين .

قيا�ض الزاوية بين الم�ستقيمين

حيث ك . 2 + ب

2 : ن = ك

2 ، ل

1+ ب

1 : ن = ك

1ل

وذلك باإيجاد قيا�ض الزاوية بين المتجهين

17






143

ي�سنع زاوية قيا�سها ) -30 ( مع التجاه الموجب للمحور ال�سيني .


اإذا كان المتجهان يح�سران بينهما زاوية قيا�سها وكان

اأي م�ستقيم وم�ستوي اإما اأن يتقاطعا اأو يتوازيا

ف مجموعة نقاط المحور باأنها ن�س

الم�ستقيمان العموديان على ثالث في الف�ساء متوازيان

في م�ستو واحد فال يمكن اأن يتقاطعا 2 ، ل

1اإذا لم يقع الم�ستقيمان ل

اختر الإجابة ال�سحيحة مما بين القو�سين فيما يلي :2

اإذا كان كل من الأ�سكال

متوازي اأ�سالع كما في ال�سكل المجاور فاإن د ي�ساوي:

اإذا كانت د منت�سف ] ب ج� في ب ج� كما في ال�سكل المجاور

فاإن ج� ي�ساوي :


في التمارين من ]3 اإلى ]7 لتكن = ) 1 ، -3 ( ، ب = ) -1 ، 2 ( ، ج� = ) 3 ، 4 ( 3

اح�سب ما يلي :

حا اإجابتك بالر�سم : 4 اكتب المتجهات ب ، ب ج� ، ج� كم�سفوفات ثم اأوجد ما يلي مو�س

في كل مما يلي اأوجد النقاط د = ) �ض ، �ض ( التي تحقق ال�سرط المعطى : 5

+ ب = ج� + د

ب د = ج�

ن مع النقاط ، ب ، ج� روؤو�ض متوازي اأ�سالع )مع التو�سيح بالر�سم ( د تكو

د ب ج� = 0

د م�ساد في التجاه للمتجه ب ج�

د

ه�

فاإن ن ت�ساوي : ) 9 ، 5 ، 15 ، ل �سيء مما �سبق (

د

فاإن قيا�ض الزاوية بين

ه�

اأوج��د المعادلة المتجه��ة للم�ستقيم ل المار بالنقطة ج� والموازي للمتجه ب ثم عين النقطة د 7

على الم�ستقيم ل والتي اإحداثيها ال�سيني ي�ساوي اإحداثيها ال�سادي .


اإذا كانت هي قيا�ض الزاوية بين ب ، ب ج� فاح�سب جتا ، جا . 6

8

لتكن ) 4 ، -1 ( ، ب ) 6 ، 2 ( ، ) 9 ، 0 ( روؤو�ض المثلث ب ، با�ستخدام ال�سرب القيا�سي 9

اأثبت اأن المثلث ب ج� قائم الزاوية ثم اأوجد قيا�سي الزاويتين الأخريتين .

ب ج� د �سكل رباعي فيه �ض منت�سف ] ب ، �ض منت�سف ] ب ج� ، ع منت�سف ] ج� د ، 10

م منت�سف ] د اأثبت اأن : ب + د ج� + ج� ب + د = 2 ) ع �ض + م �ض (

ب ج� مثلث فيه ب = ج� ، د نقطة على ] ب ج� ، اأثبت اأن : 11

ف الزاوية د عمودي على ب ج� د ين�س

12

د

المعادلة المتجهة للم�ستقيم الوا�سل بين ومنت�سف ] ب ج�

المعادلة المتجهة للم�ستقيم الوا�سل بين ب ومنت�سف ] ج�

با�ستخدام ال�سرب القيا�سي اثبت اأن المثلث ب ج� قائم الزاوية .

اأوجد قيا�ض الزاويتين الأخريتين في المثلث ب ج� .

اإذا كانت روؤو�ض المثلث ب ج� هي ) -1 ، 2 ، 3 ( ، ب ) 4 ، -1 ، 0 ( ، ج� ) 0 ، -1 ، -1 (

فاأوجد :

( ون�سف قطرها هي : 141، ع

1 ، �ض

1اأثبت اأن معادلة الكرة التي مركزها النقطة 2) �ض

2 =

2)

1 ) ع – ع

2)

1 ) �ض – �ض

2)

1) �ض – �ض

13

. 2 // ل

1) 4 ، 2 ، -6 ( ، ) 8 ، 8 ، 2 ( فاأثبت اأن ل

يم��ر بالنقطتي��ن 2 يم��ر بالنقطتي��ن ) 2 ، -1 ، -5 ( ، ) 8 ، 8 ، 7 ( والم�ستقي��م ل

1اإذا كان ل


بة الأعداد المرك

تطرق الخوارزمى في كتابة "الجبر

والمقابلة" اإلى حل معادلت الدرجة

الثاني��ة واأ�س��ار اإل��ى وج��ود ح��الت

للمعادل��ة يك��ون اأن فاإم��ا ث��الث:

يك��ون اأن اأو ، مختلف��ان ج��ذران

له��ا ج��ذران مت�ساوي��ان اأو اأن تكون

الم�ساأل��ة م�ستحيلة ، وه��ذا ما نعبر

عنه في ه��ذه الوحدة ب��اأن للمعادلة

جذرين تخيليين.

بة )3-1( مجموعة الأعداد المرك

بة )3-2( العمليات على الأعداد المرك

)3-3( حل معادلت الدرجة الثانية في

بة مجموعة الأعداد المرك

الوحدة

الثالثة



ب ومرافقه وقيا�سه. ف العدد المرك 1- يعر

الأعداد على الأربع الجبرية العمليات يجري -2

بة. المرك

ب. 3- يوجد المعكو�ض ال�سربي للعدد المرك

ب. 4- يوجد الجذور التربيعية للعدد المرك

مجموعة في الثانية الدرجة معادلت يحل -5

بة. الأعداد المرك


بة الأعداد المرك الوحدة الثالثة


الوحدة الثالثة

اإن المعادلة هي من اأب�سط معادلت الدرجة الثانية

م�ستحيل��ة الح��ل في ؛ وذلك لأنه لي�ض للعدد الحقيق��ي ال�سالب ) – 1 ( جذر تربيعي حقيقي

. ولح��ل ه��ذه المعادل��ة نفتر��ض وجود ع��دد غير حقيقي ي�ساوي ونرم��ز له بالرمز و

ن�سميه عددا تخيليا .

وفيم��ا يل��ي نقدم التعريف الأ�سا�س��ي لهذا العدد والذي يع��د اللبنة الأ�سا�سية ف��ي بناء مجموعة

بة. الأعداد المرك

1-3


العدد التخيلي

تعريف ) 3- 1(

ق المعادلة العدد التخيلي هو العدد الذي يحق

ق الخوا�ض الجبرية لالأعداد الحقيقية ؛ وبهذا ن�ستطيع ح�ساب قوى �سنفتر�ض اأن العدد يحق

كما يلي :العدد

وهكذا ...

تدريب )1-3(

اإن ح��ل المعادلت من الم�سائل المهمة في الجبر، وقد عرفنا �سابقا اأنه يوجد في مجموعة

الأع��داد الحقيقي��ة حل واحد لأي معادلة من الدرجة الأول��ى في متغير واحد، وعند درا�سة

معادل��ة الدرجة الثانية في متغير واحد وجدنا اأنه لبع��ض منها حلول في مجموعة الأعداد

الحقيقي��ة في حين اأن بع�سها الآخ��ر لي�ض له حل في هذه المجموعة وهي المعادلت �سالبة

ى » المع��ادلت الم�ستحيلة . الممي��ز والت��ي اأطلق عليها العال��م الم�سلم الخوارزم��ي م�سم

ونظرا اإلى ظهور هذه المعادلت في كثير من التطبيقات الفيزيائية والهند�سية فقد ظهرت

الحاجة اإلى تو�سيع مجموعة الأعداد الحقيقية اإلى مجموعة اأكبر منها هي مجموعة الأعداد

المركبة والتي �ستكون مو�سوع درا�ستنا في هذه الوحدة .

«





اأكمل الجدول التالي:

فمثال :

تقبل الق�سمة على 4 1

؛ لأن باقي ق�سمة 131 على 4 هو 23

تدريب )1-3(

اكتب كال مما ياأتي في اأب�سط �سورة :

ومن الجدير بالذكر اأنه يمكن كتابة جذر اأي عدد حقيقي �سالب بدللة وفق التعريف التالي:

تعريف ) 3- 2(

مثال )1-3(

اكتب بدللة


لعل��ك لحظ��ت اأن ق��وى الع��دد ت ذات الأ�ض الطبيع��ي تعطي اإح��دى القيم

وهذه القيم تتكرر ب�سفة دورية كلما زاد الأ�ض بمقدار 4.

وعليه فاإننا لإيجاد حيث نق�سم على 4 فيكون

اإذا كانت تقبل الق�سمة على 4

اإذا كان باقي ق�سمة على 4 هو ، حيث

اإذا كان فاإن






تعريف ) 3- 3(

فمثـــال: الع��دد ه��و ع��دد مرك��ب جزوؤه الحقيقي هو العدد الحقيق��ي 2 وجزوؤه التخيلي هو

العدد الحقيقي 3.

)1-3(

مثال )2-3(

الحل

اكتب كال من الأعداد التالية على ال�سورة

و ه� د

ب هو عدد على ال�سورة حيث العدد المرك

ى الجزء الحقيقي للعدد الجزء التخيلي للعدد ونرمز لمجموعة الأعداد ، ي�سم

بة بالرمز فتكون: المرك

مجموعة الأعداد الحقيقية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة اأي اأن ؛ اإذ اأن كل

ع��دد حقيق��ي ��ض يمك��ن كتابته على ال�س��ورة ، ويكون �سف��ر الأعداد الحقيقية �سفرا

لالأعداد المركبة.





و

د

؛ لأن باقي ق�سمة العدد 101 على 4 ي�ساوي 1ه�

تعريف ) 3- 4(

يت�ساوى عددان مركبان اإذا وفقط اإذا ت�ساوى جزءاهما الحقيقيان وت�ساوى جزءاهما التخيليان،

اأي اأنه

)2-3(

1

مجموعة الأعداد المركبة غير مرتبة، فال يمكن اأن نقول اأن الع��دد الم��ركب 2

اأكبر من العدد المركب اأو اأ�سغر منه ، كما اأنه ل يمكن اأن نقول اأن عددا مرك�با

ما هو موجب اأو �سالب.


؛ لأن تطبيق الخا�سية

م�سروط باأن يكون





مثال )3-3(

الحل

ق ما ياأتي : اأوجد قيم �ص ، �ص الحقيقية التي تحق

من تعريف ) 3-4 ( نجد اأن :

تدريب )2-3(

ق الم�ساواة : اأوجد قيم �ض ، �ض الحقيقيين التي تحق





اكتب ما ياأتي في اأب�سط �سورة : 1

و ه� د

د

و حزه�

د

اأوجد �ض ، �ض الحقيقيين فيما يلي :3

تمارين )1-3(


ر عن كل مما يلي بال�سورة ، علما باأن 2 عب

ي كط�





2-3

العمليات على الأعداد المركبة

ف العمليات على الأعداد المركبة بحيث تكون هذه التعاريف متفقة مع ف��ي هذا البند نع��ر

قها قنا القواعد الجبرية عل��ى الأعداد المركبة كما نطب النتائ��ج الت��ي نح�سل عليها لو طب

على الأعداد الحقيقية.

تعريف ) 3- 5(

اإذا كان

فاإن حا�سل جمعهما هو العدد المركب:

اإن هذا التعريف يعني اأن جمع عددين مركبين يتم بجمع الجزئين الحقيقيين معا وجمع الجزئين

التخيليين معا ؛ اأي اأن�هما يجمعان كمقدارين جبريين .

مثال )4-3(

عملية جمع الأعداد المركبة اإبدالية ؛ لأنه 1

) تعريف ) 5-3 ( (

) عملية الجمع على اإبدالية (

عملية الجمع على

خوا�ص عملية الجمع على





يوجد لكل عدد مركب معكو�ض جمعي يرمز له بالرمز 4

وكذلك المعكو�ض الجمعي للعدد 2 هو – 2 ، وهذا يتفق مع كون العدد 2 عددا حقيقيا.

فمثال : المعكو�ض الجمعي للعدد

و المعكو�ض الجمعي للعدد


عملية جمع الأعداد المركبة تجميعية ؛ لأنه 2

) عملية الجمع على تجميعية (

عملية الجمع على لها عن�سر محايد هو ال�سفر ؛ لأنه 3





تعريف ) 3- 6(

مثال )5-3(

تدريب )3-3(

ثم قارن بينهما. ماذا تالحظ ؟1 – ك

2 ، ك

2 – ك

1فاأوجد كال من ك

اإذا كان

تعريف ) 3- 7(

عملية الطرح على

اإذا كان

فاإن حا�سل طرح من هو العدد المركب:

عملية ال�سرب على

اإذا كان

فاإن حا�سل �سربهما هو العدد المركب:





ومن الجدير بالذكر اأنه يمكننا الح�سول على ناتج ال�سرب الوارد في التعريف ) 3-7 ( ب�سرب العددين

بالعدد ) – 1 ( .2 كمقدارين جبريين مع التعوي�ض عن ت

2 ، ك

1ك

مثال )6-3(

اأنه با�ستخدام القواعد الجبرية يمكن اإجراء عملية ال�سرب ال�سابقة كما يلي :

اأنه با�ستخدام القواعد الجبرية يكون:

د


خوا�ص عملية ال�سرب على

اعتم��ادا عل��ى خوا�ض عملية ال�سرب في و بطريق��ة م�سابهة لطريقة اإثبات خوا�ض عملية الج��مع

على يمكننا اإثبات الخوا�ض التالية :





تدريب )4-3(

لإجراء عملية ق�سمة عددين مركبين يلزمنا تقدي�م بع�ض التعريفات الأ�سا�سية المتعلقة بالعدد المركب .

مرافق العدد المركب

تعريف ) 3- 8(

��ى الع��دد المرك��ب مرافق��ا للع��دد لأي ع��دد مرك��ب ي�سم

و يرمز له بالرمز .

عملية ال�سرب على اإبدالية، اأي اأنه 1

عملية ال�سرب على تجميعية، اأي اأنه 2

عملية ال�سرب تتوزع على عملية الجمع في اأي اأنه 3

عملية ال�سرب على لها عن�سر محايد هو العدد واحد اأي اأنه 4

اأوجد وقارن الناتج بناتج فقرة ) ( من مثال ) 3-6 ( للتحقق من

خا�سية الإبدال لعملية ال�سرب في .

عملية الق�سمة على





مثال )7-3(

د

)3-3(

ح متى يكون و�س

خوا�ص العدد المركب ومرافقه

مرافق المرافق لأي عدد مركب هو العدد المركب نف�سه ؛ ذلك اأن : 1

مجموع اأي عدد مركب مع مرافقه هو عدد حقيقي ؛ ذلك اأن : 2

حا�سل �سرب اأي عدد مركب بمرافقه هو عدد حقيقي ؛ ذلك اأن : 4

الفرق بين اأي عدد مركب و مرافقه هو عدد مركب جزوؤه الحقيقي �سفر ؛ ذلك اأن : 3

تدريب )5-3(

وجدنا في المثال ال�سابق فقرة ) د ( ) حيث ( اأن ، وفي الواقع فاإنه :

؛ ذل��ك اأن العددين المترافقين ل يختلف��ان اإل في اإ�سارة الجزء التخيلي

منهما.

يكون






تدريب )6-3(

حلل العدد 13 اإلى عاملين مركبين.

ة طرق منها: في الواقع يمكن اإجراء هذا التحليل بعد

اأعط ثالث طرق اأخرى لتحليل العدد 13 اإلى عاملين مركبين .

القيمة المطلقة للعدد المركب ) قيا�ص العدد المركب (

تعريف ) 3- 9(

ى العدد الحقيقي بالقيمة المطلقة لأي عدد مركب ي�سم

للعدد ) اأو قيا�ض العدد ك ( ويرمز له بالرمز اأي اأن

)4-3(

يت�سح من التعريف ال�سابق ما يلي:

1

2

ق الخوا�ض ال�سابقة للعدد المركب 0حق

مثال )8-3(

1

2

) لماذا ؟ (

الحل





مثال )9-3(

ومن المعلوم اأن

المعكو�ص ال�سربي للعدد المركب

ا�ستنادا اإلى اأن فاإنه يمكننا كتابة:

وحيث اإن فاإننا ن�ستنتج اأن المعك��و�ض ال�س��ربي للعدد المركب ورمزه

هو العدد المركب وهذا يعني اأن :

واأن :


وبفر�ض اأن يكون:





مثال )10-3(

اأنه يمكن الح�سول على مبا�سرة بالتعوي�ض في الق��انون ) 3-2 ( كما يمكننا اإيج��اد

بال�سرب في على النحو التالي :

وه��ذا يتف��ق م��ع ك��ون

العدد – 4 عددا حقيقيا.

تعريف ) 3- 10(

ومن هذا التعريف ومن القانون ) 3-1 ( ن�ستنتج اأن :

والآن يمكننا تعريف عملية الق�سمة على كما يلي :

اإذا كان فاإن ناتج ق�سمة على هو العدد المركب :





اأنه يمكننا اإيجاد ب�سرب كل من الب�سط والمقام في فيكون:

مثال )11-3(

الحل

اإذا كان فاأوجد

اأنه يمكننا اإيجاد ب�سرب كل من الب�سط والمقام في على النحو التالي:






مثال )12-3(

الحل

اإذا عددان مترافقان .

اإذا كان فاأثبت اأن عددان مترافقان.





اأوجد ناتج كل مما ياأتي :1

و ه�

حز

د

اأوجد حا�سل ال�سرب في كل مما ياأتي :2

اأوجد المعكو�ض الجمعي والمعكو�ض ال�سربي والمرافق والقيمة المطلقة لكل من الأعداد المركبة 3

التالية :

ما هو العدد المركب الذي ي�ساوي معكو�سه الجمعي ؟ وما هو العدد المركب الذي ي�ساوي معكو�سه 4

ال�سربي ؟

د

تمارين )2-3(


و

ح

د

ه�

ز

ط





اح�سب ناتج الق�سمة في كل من الحالت الآتية:5

�سع كال مما ياأتي على ال�سورة 6

ه�

د

ز

ح

ط

ي

ك

و





اأوجد �ض ، �ض الحقيقيين فيما يلي: 7

و

ه�

د

اأوجد ك في كل من الحالت التالية :8

حلل المقادير التالية اإلى عوامل مركبة :9


د

ه�





ليكن 10

اأثبت اأن اأوجد قيمة

اأثبت اأن12

فاأثبت اأن اإذا كانت 13

فاأثبت اأن ك ، ل مترافقان ثم اأوجد اإذا كانت 14

قيمة المقدار

فاأثبت اأن اإذا كان 11

اأثبت �سحة العبارة في كل حالة مما ياأتي بطريقة جبرية حيث 15

و ه�

حز

د





3-3

مثال )13-3(

الحل

اأوجد الجذور التربيعية للعدد

فيكون

هونفر�ض اأن الجذر التربيعي للعدد

) لماذا ؟ (

ن من المعادلتين ، والآن نوجد �ض ، �ض بحل النظام المكو

) لماذا ؟ (وذلك باأن نق�سم طرفي المعادلة على حيث

فنجد اأن

ث�م بالتعوي�ض عن �ض من المعادلة في المعادلة نح�سل على:

ق ع��رفنا اأنه اإذا ك��ان ، فاإن الع��دد الح��قيقي الذي يح��ق

ى الجذر التربيعي للعدد . المعادلة ي�سم

ق وبالمثل اإذا كان ع��ددا مرك�با فاإن الع��دد المركب الذي يحق

المعادلة

ى الجذر التربيعي للعدد الم��ركب ، و�سنرى من خالل الأمثلة التالية اأن لكل ي�سم

عدد مركب جذرين تربيعيين كال منهما على ال�سورة

ق المعادلة ويحق

حل معادلت الدرجة الثانية فى

مجموعة الأعداد المركبة

حل معادلت الدرجة الثانية

في مجموعة الأعداد المركبة

الجذور التربيعية للعدد المركب





) لي�ض لهذه المعادلة حل لأن �ض عدد حقيقي (

: وبالتعوي�ض عن في المعادلة نجد اأن

اإذا جذرا العدد هما

ر هن��ا م��ن التعوي��ض ع��ن في المعادلة والتي فيها �ض من الدرجة الثانية نح��ذ

مما ينتج عنه قيما ل تحقق المعادلة

ق من �سحة حل مثال ) 3-13 ( بتربيع كل من الجذرين . تحق

تدريب )7-3(

اأوجد الجذور التربيعية للعدد





حل معادلت الدرجة الثانية في مجموعة الأعداد المركبة

مثال )14-3(

الحل

اإذا للمعادلة جذران هما

ق من �سحة الحل بالتعوي�ض في المعادلة المعطاة. تحق



علمت �سابقا عند درا�سة حل معادلة الدرجة الثانية:

با�ستخدام القانون العام اأن حل المعادلة يعتمد على قيمة

المميز فيكون للمعادلة جذران حقيقيان مت�ساويان اإذا كان و يكون

لها ج��ذران حقيقيان مختلفان اإذا ك��ان بينما ل ي��كون لها حل في اإذا كان

و�سن��رى من خ��الل الأمثلة الآتية اأن للمعادلة من الدرجة الثانية ج��ذران في مجموعة الأعداد المركبة

دائما بغ�ض النظر عن قيمة المميز.

اأوجد جذور المعادلة

يكون:با�ستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية: حيث





مثال )15-3(

الحل

با�ستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية نجد اأن :

مثال )16-3(

الحل

اأنه يمكننا كذلك حل هذه المعادلة على النحو التالي :

فيكون :

في ه��ذا المثال ل �سرورة ل�ستخدام القانون العام حيث يمكنن��ا كتابة المعادلة على ال�سورة

تدريب )8-3(

حل المعادلة

اأوجد مجموعة حل المعادلة

حل كال من المعادلت التالية في :





)5-3(

من القانون العام والأمثلة ال�سابقة نالحظ الخا�سيتين التاليتين لجذري معادلة الدرجة الثانية ) 5-3 (.

مثال )17-3(

الحل

اإذا كان الجذران غير حقيقيين فاإنهما مترافقان، اأي اأنه اإذا كان

اأحد جذري المعادلة فاإن هو الجذر الآخر لها.

1

ولعل��ك تذكر ا�ستخدامنا للخا�سية )2( في مقرر ريا�سي��ات )1( لإيجاد معادلة الدرجة الثانية

بمعلومية جذريها الحقيقيين ؛

و الآن يمكننا بالإفادة من الخا�سية )1( اإيجاد معادلة الدرجة الثانية اإذا علم جذر غير حقيقي

واحد من جذريها.

اأوجد معادلة الدرجة الثانية التي اأحد جذريها

بما اأن جذر للمعادلة المطلوبة

اإذا مرافقه جذر اآخر لها.

ويكون معامل مجموع الجذرين

والحد الثابت حا�سل �سرب الجذرين

اإذا المعادلة هي :



مجموع الجذرين ، وحا�سل �سرب الجذرين 2

ذلك اأن المعادلة ) 3-5 ( تكافئ المعادلة: والتي تعني اأن :





اأوجد الجذور التربيعية لكل من الأعداد التالية :1

في كل مما يلي اأوجد معادلة الدرجة الثانية التي اأحد جذريها :3

د

و ه�

حز

د

و ه�

حز

يط

لك

د

تمارين )3-3(

اأوجد جذور المعادلت التالية في :2





اإذا كان اأحد جذري المعادلة فاأوجد قيمة ب .4

و ه�

ز







العدد التخيلي ت وقوى هذا العدد وكتابة جذر اأي عدد حقيقي �سالب بدللة ت.1

العدد المركب ك ورمز مجموعة الأعداد المركبة حيث2

لأي عدد مركب فاإن :3

اإذا كان بحيث فاإن : 4

عملي��ة الجم��ع على اإبدالي��ة وتجميعية وعن�سرها المحايد هو ال�سف��ر والمعكو�ض الجمعي 5

للعدد المركب هو العدد المركب





اإيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب .7

ح��ل معادلة الدرج��ة الثاني��ة ذات المعامالت الحقيقية والت��ي مميزها �سال��ب، و اإيجاد معادلة 8

الدرجة الثانية اإذا علم جذر غير حقيقي واحد من جذريها.

كذلك فاإن عملية ال�سرب تتوزع على عملية الجمع في .

عملي��ة ال�س��رب على اإبدالية وتجميعي��ة وعن�سرها المحايد هو الواحد والمعكو�ض ال�سربي 6

للعدد المركب 0 هو العدد المركب :






مجموعة الأعداد ال�سحيحة هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة .

العدد المركب جزوؤه الحقيقي ي�ساوي 1 و جزوؤه التخيلي ي�ساوي – 1 .

مرافق العدد

ت�ساوي 1 . 5القيمة المطلقة للعدد ت

جذرا معادلة الدرجة الثانية مترافقان دائما .

المعكو�ض ال�سربي للعدد

اإذا كان جذرا للمعادلة فاإن ت�ساوي �سفر .

ا تحت الإجابة ال�سحيحة في كل م�ما يلي :2 �سع خط

ه�

د






ز

و

مجموعة حل المعادلة ح

�سع كال م�ما ياأتي على ال�سورة 3

اأوجد الجذور التربيعية للعدد المركب 4

اأوجد مجموعة حل المعادلت الآتية في :5

اإذا كان هما جذرا المعادلة 6

فاأوجد قيمة كل من بفر�ض اأن�هما حقيقيان موجبان.

الوحدة

الرابعة دوال كثيرات الحدود

)4-2( ق�سمة كثيرات الحدود

)4-3( النظرية الأ�سا�سية في الجبر

م��ن الثاب��ت اأن الريا�س��ي الم�سل��م

ع��ام المتوف��ى الكرخ��ي اأبابك��ر

421 ه�� ومن خالل كتاب��ه الم�سهور

)الفخ��رى( ق��ام بدرا�س��ة منهجية

لالأ�س��ض الجبري��ة وانتق��ل بعده��ا

الح�سابي��ة العملي��ات تطبي��ق اإل��ى

على المفردات والعب��ارات الجبرية

وانته��ى اأخيرا اإلى العر�ض الأول فى

جبر كثيرات الحدود.

)4-1( العمليات على كثيرات الحدود

ت �أنه يكون:ف�أثب

ت �إذ� ك�ن



درجتها د ويحد الحدود كثيرة دالة ف يعر -1

ومعامالت حدودها.

2- يجمع دوال كثيرات الحدود.

3- يطرح دالة كثيرة حدود من اأخرى.

4- ي�سرب دالة كثيرة حدود باأخرى.

5- يق�سم دالة كثيرة حدود على اأخرى.

6- يوجد باقى ق�سمة كثيرة حدود على كثيرة حدود

من الدرجة الأولى با�ستخدام نظرية الباقى.

كثيرة على حدود كثيرة ق�سمة قابلية يثبت -7

نظرية با�ستخدام الأولى الدرجة من حدود

العوامل.

8- يوجد جذور دالة كثيرة حدود.

9- يحلل دالة كثيرة حدود اإلى عوامل من الدرجة

الأولى في .

10- يوجد دالة كثيرة حدود بمعلومية جذورها.

ت �أنه يكون:ف�أثب

ت �إذ� ك�ن


دوال كثيرات الحدودالوحدة الرابعة


الوحدة الرابعة

5-2

232(2) äÉ«°VÉjQ

á©HGôdG IóMƒdG

á```aƒ``Ø°üªdG

º«¶æàd πFÉ`°Sh øY åëÑdG Ωõ∏à````°SG ä’ÉéªdG ≈sà````°T »a É¡YƒæJh äÉeƒ∏©ªdG Iôãc s¿EG

äÉaƒØ°üªdG tó© oJh ,áLÉëdG óæY É¡eGóîà````°SG πu¡`°ùj mπµ````°ûH É¡¶ØMh äÉeƒ∏©ªdG √òg

ójhõàd á````°ù«FôdG Ö«dÉ````°SC’G øe tó©J Éªc ,É¡ª«¶æJh äÉeƒ∏©ªdG ¢VôY »a kádÉs©a kIGOCG

áª∏c ™ªL äÉaƒØ```°üªdGh .¬H á```s°UÉîdG èeGôÑdG π```ªYh äÉeƒ∏©ªdÉH »```dB’G Ö````°SÉëdG

,á«Lƒdƒ«ÑdG Ωƒ∏©dG π```ãe mIô«ãc mΩƒ∏Y »a ¬à«ªgCG RôÑJ w»```°VÉjQ lΩƒ¡Øe »gh áaƒØ```°üe

á`°Sóæ¡dGh ,AÉjõ«ØdGh ,AÉ°üME’G º∏Yh ,OÉ°üàb’G º∏Yh ,¢ùØædG º∏Yh ,´ÉªàL’G º∏Yh

. á«fhôàµdE’G áÑ`°SÉëdG ä’B’G Ö«côJ »ah É¡YGƒfCÉH

äGQÉÑàN’G óMCG »a ø∏°üM ºjôeh áªWÉah á`°ûFÉYh ÖæjR :äÉÑdÉ£dG s¿CG ¢VôØæd

, 72, 85 , ó«MƒàdG IsOÉe »a 88 , 70, 84 ,75 :Ö«JôàdG ≈∏Y á«JB’G äÉ`LQódG ≈∏Y

s¿CG ßMÓJ ∂∏©d AÉjõ«ØdG IsOÉe »a 84, 58, 76, 60, äÉ«°VÉjôdG IsOÉe »a 90, 63

OGOõjh ,É¡æ«H áfQÉ≤ªdG hCG ÉgôtcòJ ≈∏Y G kô«ãc óYÉ`°ùj ’ äÉeƒ∏©ªdG √ò¡d ¢Vô©dG Gòg

¿CG øµªªdG øeh á«````°SGQódG OGƒªdG OóYh äÉÑdÉ£dG OóY IOÉjõH káHƒ©```°U ôeC’G Gòg

:»JB’Éc mπ«£à`°ùe m∫hóL »a káªs¶æe äÉeƒ∏©ªdG √òg ¢Vô©J

ÖæjRá°ûFÉYáªWÉaºjôe

ó«MƒàdG75847088

äÉ«°VÉjôdG85726390

AÉjõ«ØdG60765884

áÑdÉ£dG

IsOÉe áLQO

áaƒØ°üªdG

¢SQódG ±GógCG

áaƒØ°üŸG ±ô©àj

. É¡YGƒfCG õ«Áh

äÉaƒØ°üŸG Ωóîà°ùj

äÉ`fÉ` `` `` `` «` H π` «` ã`ª` à` d

IQƒ` °`ü` H á` «` `` `` Ø` °`Uh

.áª¶æe

1-41-4

العمليات على كثيرات الحدود

هي كثيرات حدود من الدرجة الأولى، الثانية، الثالثة على الترتيب.

ا عمليات جمع وطرح و�سرب كثيرات الح��دود وكذلك ق�سمة كثيرة حدود على كم��ا در�س��ت اأي�س

ح��د جبري، وفي ه��ذه الوحدة ندر�ض كثيرات الح��دود والعمليات عليه��ا وخوا�سها ب�سكل اأعمق

واأكثر �سمولية و�سنعنى بكثيرات الحدود في متغير واحد.

+ 5 �ض + 12 �سنالحظ اأنه عند التعوي�ض عن المتغير �ض 2 - 3 �ض

3لنا كثيرة الحدود 4 �ض لو تاأم

باأي عدد حقيقي نح�سل على قيمة حقيقية وحيدة مناظرة لكثيرة الحدود،

12 = 12 + )0( 5 + 2)0( 3 -

3فمثـــال: عن��د �ض =0 تك��ون القيمة العددية لكثيرة الح��دود = 4 )0(

+ 5 )2( + 12 = 42... وهكذا. 2)2( 3 -

3وعند �ض = 2 تكون القيمة العددية لكثيرة الحدود = 4 )2(

وهذا يعني اأن كثيرة الحدود هذه تعين دالة د :

ويمكننا التعبير عن هذه القاعدة بال�سيغة التالية:

وهذه ال�سيغة ت�ساعدنا على اإعطاء التعريف الريا�سي التالي:

عرفت من درا�ستك في المرحلة المتو�سطة اأن كثيرة الحدود هي عبارة ريا�سية ناتجة

ين جبريين غير مت�ساب�هين اأو اأكثر، فمثال العبارات: من جمع حد

مة وتعاريف مقد





اإن هذا التعريف يعني اأنه في قاعدة دالة كثيرة الحدود ل يكون المتغير في مقام ك�سر اأو تحت جذر.

)1-4(

م��ن التعري��ف ) 4-1 ( يت�سح اأن كال من المجال والمجال المقاب��ل لأي دالة كثيرة حدود د هو

د تماما بمعرفة كثيرة الحدود د ) �ض ( . مجموعة الأعداد الحقيقية ، لذلك فاإن د تتحد

ل��ذا يمك�نن��ا اخ�ت�سارا ا�س�تخدام الع�بارة ) ك�ثيرة الح�دود د ) �ض ( ( للدلل�ة ع�لى) دالة كثيرة

) 0 +

1�ض + ...+ -1

ن �ض

ن1- +

ن �ض

نالحدود د التي قاعدت�ها د ) �ض ( =

1

مثال )1-4(

بينما كل من الدالتين:

) لماذا ؟ ( لي�ست دالة كثيرة حدود.

كل دالة من الدوال التالية هي دالة كثيرة حدود:

تعريف ) 4- 1(

ن عدد �سحيح غير �سالب ) ن ( دالة كثيرة حدود في المتغير �ض من الدرجة ن.

ى الدالة د : التي قاعدت�ها: ت�سم






مثال )2-4(

د درجة د ) �ص ( ثم اكتب معامالتـها مبيـنا المعامل الرئي�ص والحد الثابت فيها. حد

لتكن

0 ، ... ،

ن-1 ف��ي تعري��ف دالة كثيرة الحدود م��ن الدرجة ن يمكن اأن يكون اأي م��ن المعامالت

فه��و دائما ل ي�ساوي ال�سف��ر، واإذا كان اأحد معام��الت كثيرة الحدود ن

ا م�ساوي��ا لل�سف��ر، اأم

يمكن حذفه عند كتابة د ) �ض (.ك

�ض ك

= �سفرا فاإن الحد ك

د ) �ض ( وليكن

3

ى ��ى دوال خطية والتي من الدرج��ة الثانية ت�سم دوال كثي��رات الحدود م��ن الدرجة الأولى ت�سم

ى دوال تكعيبية . ا التي من الدرجة الثالثة فت�سم دوال تربيعية اأم

5

يمكننا ا�ستعمال اأي رموز اأخرى مثل ه ) �ض ( ، ) �ض ( ، ... اإلخ للتعبير عن كثيرات الحدود، وكذلك

اأو غيرها 0، ...، ب

م-1، ب

م يمكن ا�ستعمال الرموز م ، ل ، ... اإلخ لدرجات كثيرات الحدود، والرموز ب

للمعامالت.

6

اإذا كانت د دالة كثيرة حدود وكانت فاإن د ) ( هي �سورة تحت تاأثير الدالة د ونوجد

�ض في د ) �ض ( بالقيمة بدل من �ض . د ) ( باأن نعو

7

4

وبذلك نجد اأن عدد معامالت كثيرة الحدود من الدرجة ن هو ن + 1 .

، ... ، �ض 2ن-1

، �ض ن بمعـامـــالت �ض

1 ، ... ،

ن-1 ،

ن��ى الأع��داد ف��ي التع�ري��ف ) 4-1 ( ت�س�م

0 بالحـد الثـابت، ونعد الح�د الث�ابت

.ى بالمعـامل الرئي�سى كما ي�سم

نى على الترتيب، وي�سم

مع�امال ل� �ض0 )لماذا ؟( .

��ى كثي��رة الح��دود الثابت��ة ) اأو الدال��ة اإذا كان��ت د ) (= . ، ف��اإن د ) ( ت�سم

= �سفرا 0ا اإذا كان ≠ 0 ، اأم

0الثابت��ة ( ، وتك��ون درجته��ا م�ساوية ال�سفر ب�سرط اأن يك��ون

دة ول ى كثيرة الحدود ال�سفرية اأو ) الدالة ال�سفرية ( ولي�ض ل�ها درجة محد فاإن د ) �ض ( ت�سم

معامل رئي�ض )لماذا ؟( .

ى كثيرة الحدود الواحدية. = 1 فاإن د ) �ض ( ت�سم0هذا واإذا كان





الحل

د ) �ض ( من الدرجة ال�ساد�سة ،

المعامل الرئي�ض هو

معامالت�ها:

مثال )3-4(

الحل

اكتب كثيرة الحدود د ) �ص ( التي معامالتـها هي:

د درجتها ثم اأوجد وحد

د ) �ض ( من الدرجة الرابعة.

تدريب )1-4(

اأوجد كثيرة الحدود د )�ض( من الدرجة الثانية اإذا كان :

ثم اأوجد د ) �ض ( وقارن�ها ب� د ) �ض ( ماذا تالحظ ؟

اأوجد كثيرة الحدود د )�ض( من الدرجة الثالثة ومعامالت�ها هي :

اأوجد د ) �ض ( وقارن�ها مع د ) �ض ( .

ليكن لدينا اأي كثيرة حدود من الدرجة الرابعة د ) �ض ( على ال�سورة:






ت�ساوي كثيرتي حدود

تدريب )2-4(

تعريف ) 4- 2(

)اأي اأن المعامالت المتناظرة فيهما مت�ساوية(.

اإذا كانت د ) �ض ( ، ) �ض ( كثيرتي حدود بحيث :

ق ال�سرطان: فاإننا نقول اأن د )�ض( ت�ساوي )�ض( ونكتب د )�ض( = )�ض( اإذا وفقط اإذا تحق

) اأي اأن ل�هما الدرجة نف�سها (. 1

2

مثال )4-4(

الحل

وب�جمع المعادلتين ، ينتج اأن

: وبالتعوي�ض عن قيمة ب في المعادلة نجد اأن

اإذا كانت

فاأوجد قيم

المعامالت المتناظرة مت�ساوية .





بع�ص العمليات على كثيرات الحدود

�سرب كثيرة حدود بعدد حقيقي

مثال )5-4(

: اإذا كانت د ) �ص ( = 4 �ص5 – 3 �ص2 + 7 فاإنه يمكننا - من درا�ستنا ال�سابقة - التو�سل اإلى اأن

وه��ذا يعن��ي اأن حا�سل �سرب كثيرة الحدود د ) �ض ( بالعدد الحقيقي 2 هو كثيرة الحدود الناتجة من

د ) �ض ( بعد �سرب معامالت�ها بالعدد 2 .

ويمكننا تعميم ذلك لأي ولأي كثيرة حدود د ) �ض ( على النحو التالي:

تعريف ) 4- 3(

اإذا كانت كثيرة الحدود

ف ك . د )�ض(باأنه كثيرة الحدود: فاإننا نعر

)2-4(

في التعريف ) 4-3 ( اإذا كان فاإن هي كثيرة الحدود ال�سفرية.

ا اإذا كان ك ≠ �سفر فاإن ك . د ) �ض ( هي كثيرة حدود ل�ها درجة د ) �ض ( نف�سها ومعامالت�ها هي: اأم

جمع كثيرات الحدود

مثال )6-4(

اإذا كانت

: فاإننا نجد من درا�ستنا ال�سابقة اأن






)3-4(

اأي اأن حا�س��ل جم��ع كثيرت��ي الح��دود د )�ض ( ، )�ض( هو كثيرة ح��دود ناتجة من جمع الح�دود

ا الحدود غير المت�ساب�هة فتبقى كما هي في حا�سل الجمع المت�ساب�هة في كل من د ) �ض ( ، ) �ض ( اأم

ويمكننا تعميم ذلك في التعريف التالي:

تعريف ) 4- 4(

فاإن حا�سل الجمع هو كثيرة حدود من الدرجة ن وتتعين كما يلي:

اإذا كانت د ) �ض ( ، ) �ض ( كثيرتي حدود من الدرجة ن ، م على الترتيب ) ن م ( بحيث تكون:

: في التعريف ) 4-4 ( اإذا كانت كل من د ) �ض ( ، ) �ض ( من الدرجة ن فاإن

ا اإذا ك�انت اأم ≠ �س�فر ، ن+ ب

نوتك��ون درج��ة ) د ) ��ض ( + ه ) ��ض ( ( ت�س�اوي ن اإذا ك�ان��ت

فاإن درجة ) د ) �ض (+ ه ) �ض ( ( تكون اأ�سغر من ن ، فمثال: اإذا كانت كل من

د ، ه ، كثيرة حدود من الدرجة الثالثة حيث:

��ة الأم��ر ف��اإن درجة )د ) �ض ( + ) �ض (( ل يمكن اأن تزيد ع��ن الدرجة الكبرى من بين درجتي وعام

د ) �ض ( ، ه ) �ض (

من الدرجة الأولى بينما

ا. من الدرجة الثالثة اأي�س اأي اأن

فاإن





خوا�ص عملية جمع كثيرات الحدود

اإن خوا��ض عملية جمع كثي��رات الحدود هي نف�سها خوا�ض عملية جمع الأع��داد الحقيقية ؛ذلك اأن عملية

جمع كثيرات الحدود تتم بجمع معامالت الحدود المت�ساب�هة ) والتي هي في واقع الأمر اأعداد حقيقية (.

ويمكن تلخي�ض هذه الخوا�ض فيما يلي:

: عملية جمع كثيرات الحدود اإبدالية ؛ اأي اأنه لأي كثيرتي حدود فاإن

: عملية جمع كثيرات الحدود تجميعية؛اأي اأنه لأي ثالث كثيرات حدود فاإن

كثي��رة الح��دود ال�سفرية هي العن�سر المحايد في عملية جمع كثي��رات الحدود ؛ اأي اأنه لأي كثيرة

: حدود د ) �ض ( فاإن

لكل كثيرة حدود د )�ض( يوجد معكو�ض جمعي يرمز له بالرمز

وفي الواقع يمكننا الح�سول على المعكو�ض الجمعي لدالة كثيرة حدود بتغيير اإ�سارات حدودها جميعا،

فالمعكو�ض الجمعي للدالة

د

تدريب )4-4(

فاأثبت اأنه يكون:

اإذا كانت

تدريب )3-4(

: ق من اأن تحق

ق من اأن المعكو�ض الجمعي ل� تحق






تدريب )5-4(

ن اأن عملية طرح كثيرات الحدود لي�ست تجميعية ول اإبدالية ولي�ض ل�ها عن�سر م�حايد. اأعط مثال يبي

طرح كثيرات الحدود

تعريف ) 4- 5(

حيث هي المعكو�ض الجمعي ل�

: لأي كثيرتي حدود د ) �ض ( ، ) �ض ( فاإن

مثال )7-4(

الحل

لتكن





ويمكننا تعريف عملية �سرب كثيرتي حدود على النحو التالي:

تعريف ) 4- 6(

)4-4(

�سرب كثيرات الحدود

مثال )8-4(

: اإذا كانت د ) �ص ( = �ص - 1، ) �ص ( = �ص2 + �ص + 2 فمن درا�ستنا ال�سابقة نجد اأن

اأي اأن حا�س��ل �س��رب كثيرت��ي الح��دود د ) �ض ( ، ) �ض ( هو كثيرة ح��دود درجتها ت�ساوي مج�موع

درج�تي د ) �ض ( ، ) �ض ( ) الدرجة الثالثة (.

بع��د اإجراء عملية �سرب كثيرتي ح��دود ح�سب التعريف ) 4-6 ( فاإننا نجمع الحدود المت�ساب�هة

لنح�سل على كثيرة الحدود التي تمثل حا�سل ال�سرب في اأب�سط �سورها.

حا�سل �سرب كثيرة الحدود ال�سفرية باأي كثيرة حدود هو كثيرة الحدود ال�سفرية.

2

1

: اإذا كانت د)�ض( ، )�ض( كثيرتي حدود غير �سفريتين من الدرجة ن ، م على الترتيب بحيث اإن

فاإن حا�سل ال�سرب د ) �ض ( . ) �ض ( هو كثيرة حدود من الدرجة ن + م وتتعين كما يلي:






وم��ن الج�دي��ر بالذك�ر اأن العن�س��ر المح�ايد ف��ي عم�لية �س�رب ك�ثي��رات الح�دود هو ك�ثي��رة الح�دود

الواح�دية د ) �ض ( = 1 ) لماذا ؟ (

واأن المعكو�ض ال�سربي لكثيرة الحدود الثابتة هي كثيرة الحدود

بينما كثيرات الحدود غير الثابتة وكثيرة الحدود ال�سفرية فلي�ض لأي منها معكو�ض �سربي. ) لماذا ؟ (

تدريب )6-4(

:اإذا كانت فاأثبت اأن

اإن الخوا�ض الواردة في التدريب ال�سابق يمكن اإثبات�ها لأي كثيرات حدود اختيارية د ) �ض ( ، ) �ض(،

)�ض( لنح�سل على النظرية التالية:

نظرية )1-4(

لأي كثيرات حدود د ) �ض ( ، ) �ض ( ، )�ض ( يكون :

) خا�سية الإبدال ( 1

) خا�سية التجميع (

2

) خا�سية توزيع ال�سرب على الجمع (

3





د درجتها. اأي من الدوال التالية كثيرة حدود، واإذا كانت كذلك فحد 1

د

ه�

و

�نا المعامل الرئي�ض د درجة كثيرة الح��دود د )�ض( واكتب معامالت�ه��ا مبي ف��ي كل م�م��ا ياأتي حد

والحد الثابت فيها.

2

د

ه�

تمارين )1-4(






اكتب كثيرة الحدود د ) �ض ( التي معامالت�ها هي : 3

جميع المعامالت اأ�سفار ما عدا د

في كل فقرة من ت�مرين ]2 اح�سب د ) 1- ( ، د ) 0 ( 4

اإذا كانت كثيرة ح�دود من الدرج�ة الثالثة، وكان

فما قيمة ب ؟

5

اإذا كانت فاأوجد 6

فما قيمة كل من

اإذا ت�ساوت كثيرتا الحدود حيث: 7

فاأوجد قيمة كل من

اإذا ت�ساوت كثيرتا الحدود حيث: 8

اأوجد قيمة كل من م ، ن بحيث: 9





اأوجد ما يلي:

10

د

د درجة كثيرة الحدود الناتجة وقارن�ها مع درجتي في كل فقرة من ت�مرين 10 حد 11

فاأوجد ما يلي:

اإذا كانت 12

د

وه�

في كل م�ما يلي اأوجد 13

د

ه�

و






بالأمت��ار وطول��ه بالأمت��ار عر�س��ه م�ستطي��ل �س��كل عل��ى اأر��ض قطع��ة

اأوجد محيط وم�ساحة قطعة الأر�ض بدللة �ض ، ثم اأوجد المحيط

والم�ساحة عندما �ض = 5

16

ق ال�سرط اإذا كانت فاأوجد في كل م�ما ياأتي التي تحق

المعطى:

14

د

ه�

و

د

ه�

ق الخوا�ض التالية : لتكن حق 15





در�س��ت في المرحلة المتو�سطة ق�سمة حد جبري على اآخر وق�سمة كثيرة حدود على حد

جب��ري، وفي هذا البند �سندر�ض ق�س�مة ك�ثيرة ح�دود على اأخرى ولعله من المنا�سب اأن

نب��داأ بالتذكي��ر بقابلية ق�سمة عدد كلي على اآخر فاإذا كان ، ب عددين كليين وكان ل

ي�س��اوي ال�سف��ر فاإننا نقول اأن ب يقبل الق�سمة عل��ى اإذا وفقط اإذا وجد عدد كلي ج�

بحي��ث ب = . ج�� ، وف��ي ه��ذه الحال��ة نكت��ب ونق��ول اإن يق�س��م ب

اأو) قا�س��م ل�� ب( فالعدد -15مث�ال -يقبل الق�س��مة عل��ى 3 لأن 15=3 × 5 ويك��ون

5= وف��ي الواق��ع اإن قابلية ق�سمة كثيرة حدود على اأخرى ت�سابه قابلية ق�سمة عدد

كلي على اآخر، وب�هذا يمكننا تقدي�م التعريف التالي:

)5-4(

: ن�ستنتج من التعريف ) 4-7 ( اأن

ق�سمة كثيرات الحدود

درجة ) �ض ( يجب اأن تكون اأ�سغر من اأو ت�ساوي درجة د ) �ض ( .

كثي��رة الح��دود ال�سفرية تقبل الق�سمة على اأي كثي��رة ح�دود اأخرى ) �ض ( ولكن ل يمكن لأي

كثيرة ح�دود د ) �ض ( اأن تقبل الق�سمة على كثيرة الحدود ال�سفرية.

2

1

232(2) äÉ«°VÉjQ

á©HGôdG IóMƒdG

á```aƒ``Ø°üªdG

º«¶æàd πFÉ`°Sh øY åëÑdG Ωõ∏à````°SG ä’ÉéªdG ≈sà````°T »a É¡YƒæJh äÉeƒ∏©ªdG Iôãc s¿EG

äÉaƒØ°üªdG tó© oJh ,áLÉëdG óæY É¡eGóîà````°SG πu¡`°ùj mπµ````°ûH É¡¶ØMh äÉeƒ∏©ªdG √òg

ójhõàd á````°ù«FôdG Ö«dÉ````°SC’G øe tó©J Éªc ,É¡ª«¶æJh äÉeƒ∏©ªdG ¢VôY »a kádÉs©a kIGOCG

áª∏c ™ªL äÉaƒØ```°üªdGh .¬H á```s°UÉîdG èeGôÑdG π```ªYh äÉeƒ∏©ªdÉH »```dB’G Ö````°SÉëdG

,á«Lƒdƒ«ÑdG Ωƒ∏©dG π```ãe mIô«ãc mΩƒ∏Y »a ¬à«ªgCG RôÑJ w»```°VÉjQ lΩƒ¡Øe »gh áaƒØ```°üe

á`°Sóæ¡dGh ,AÉjõ«ØdGh ,AÉ°üME’G º∏Yh ,OÉ°üàb’G º∏Yh ,¢ùØædG º∏Yh ,´ÉªàL’G º∏Yh

. á«fhôàµdE’G áÑ`°SÉëdG ä’B’G Ö«côJ »ah É¡YGƒfCÉH

äGQÉÑàN’G óMCG »a ø∏°üM ºjôeh áªWÉah á`°ûFÉYh ÖæjR :äÉÑdÉ£dG s¿CG ¢VôØæd

, 72, 85 , ó«MƒàdG IsOÉe »a 88 , 70, 84 ,75 :Ö«JôàdG ≈∏Y á«JB’G äÉ`LQódG ≈∏Y

s¿CG ßMÓJ ∂∏©d AÉjõ«ØdG IsOÉe »a 84, 58, 76, 60, äÉ«°VÉjôdG IsOÉe »a 90, 63

OGOõjh ,É¡æ«H áfQÉ≤ªdG hCG ÉgôtcòJ ≈∏Y G kô«ãc óYÉ`°ùj ’ äÉeƒ∏©ªdG √ò¡d ¢Vô©dG Gòg

¿CG øµªªdG øeh á«````°SGQódG OGƒªdG OóYh äÉÑdÉ£dG OóY IOÉjõH káHƒ©```°U ôeC’G Gòg

:»JB’Éc mπ«£à`°ùe m∫hóL »a káªs¶æe äÉeƒ∏©ªdG √òg ¢Vô©J

ÖæjRá°ûFÉYáªWÉaºjôe

ó«MƒàdG75847088

äÉ«°VÉjôdG85726390

AÉjõ«ØdG60765884

áÑdÉ£dG

IsOÉe áLQO

áaƒØ°üªdG

¢SQódG ±GógCG

áaƒØ°üŸG ±ô©àj

. É¡YGƒfCG õ«Áh

äÉaƒØ°üŸG Ωóîà°ùj

äÉ`fÉ` `` `` `` «` H π` «` ã`ª` à` d

IQƒ` °`ü` H á` «` `` `` Ø` °`Uh

.áª¶æe

1-42-4

تعريف ) 4- 7(

وفي هذه الحالة نكتب:

اإذا كانت د ) �ض ( ، ) �ض ( كثيرتي حدود بحيث ) �ض ( ≠ 0 فاإننا نقول اإن د ) �ض ( تقبل

ق العالقة: الق�سمة على ) �ض ( اإذا وفقط اإذا وجدت كثيرة حدود ك ) �ض ( ت�حق






مثال )9-4(

اإن كثيرة الحدود تقبل الق�سمة على لوجود

كثيرة حدود بحيث يكون:

اأي اأن

) بالتحليل (

) لماذا ؟ ( وكذلك فاإن تقبل الق�سمة على

: ا تقبل الق�سمة على اأي عدد ؛ لأن واأي�س

تدريب )7-4(

اأوجد قا�س�ما لكثيرة الحدود

الق�سمة الإقليدية لكثيرة الحدود

تعلم اأنه يمكن ق�سمة اأي عدد كلي ب على اأي عدد كلي اآخر ≠ 0 فنح�سل على خارج ق�سمة ك وباقي

ق�سمة ) قد تكون ك اأو م�ساوية لل�سفر ( اأو بعبارة اأخرى نح�سل على ال�سورة:

والتي تمثل ق�سمة اإقليدية على

)6-4(

ف��ي التعري��ف ) 4-7 ( اإذا كان��ت د ) �ض ( ≠ 0 فاإن كال م��ن ه ) �ض ( ، ك ) �ض ( يعد قا�س�ما

) عام��ال ( لكثي��رة الح��دود د ) �ض ( ؛ففي المثال ) 4-9 ( كل من ) �ض - 2 ( ، ) �ض - 3 ( يعد

عامال لكثيرة الحدود د ) �ض (.

ك��ل ك�ثي��رة ح��دود د ) �ض ( تق�بل الق�س�مة ع�ل��ى اأي ع�دد ح�قيقي ≠ 0 لأن��ه في ه�ذه الح�الة

د ) �ض ( = × ) . د ) �ض ( (

1

2





)7-4(

فمثال : خ�ارج ق�سمة كثيرة الحدود على ك�ثيرة الح�دود

هو ك ) �ض ( = 0 وباقي الق�سمة ) �ض ( = 2 �ض + 1

اأي اأنه يمكننا كتابة

نظرية )2-4(

ا ت�ساوي كثيرة الحدود ال�سفرية اأو تكون درجتها اأقل من درجة ) �ض (. وتكون )�ض( اإم

ا ) �ض ( ى د ) �ض ( المق�سوم ، ) �ض ( المق�سوم عليه ، ك ) �ض ( خارج الق�سمة اأم ت�سم

ى باقي الق�سمة. فت�سم

اإذا كانت د ) �ض ( ، ) �ض ( ك�ثيرتي ح�دود بحيث اأن ) �ض ( ≠ 0 فاإنه يوجد ك�ثيرتا

ح�دود ك )�ض( ، )�ض( بحيث:

د ) �ض ( تقبل الق�سمة على هي كثيرة الحدود ال�سفرية. ) لماذا ؟ ( 2

درجة المق�سوم د ) �ض ( = درجة خارج الق�سمة ك ) �ض ( + درجة المق�سوم عليه ) �ض (. 1

اإذا كان��ت درج��ة المق�س��وم د ) �ض ( درج��ة المق�س�وم عليه ) �ض ( فاإن خارج الق�س��مة 3

ك ) �ض ( هو كثيرة الحدود ال�سفرية وباقي الق�سمة ) �ض ( = د ) �ض (.

فمثال : عند ق�سمة 20 على 3 يكون لدينا : 20 = 3 × 6 + 2

ا في كثيرات الحدود اأن نجري عملية الق�سمة لأي كثيرة حدود د ) �ض ( على اأي وفي الواقع يمكننا اأي�س

كثيرة حدود اأخرى ) �ض ( ≠ 0 لنح�سل على خارج ق�سمة ك ) �ض ( وباقي ق�سمة ) �ض ( .

م نظرية الق�سمة الإقليدية لكثيرات الحدود: وفيما يلي نقد






لة لكثيرات الحدود، حيث نجري عملية ق�سمة م�ساب�هة لعملية ف على طريقة الق�سمة المطو والآن نتعر

ح هذه الطريقة. لة على الأعداد الكلية والمثال التالي يو�س الق�سمة المطو

مثال )10-4(

نط��رح حا�س�ل ال�س��رب من المق�س��وم فنح�س�ل

. ) 1 + 2على ناتج الطرح )– �ض

4

( في 2ن�سرب الحد الأول من خارج الق�سمة ) 3 �ض

المق�س��وم عليه )��ض – 2( ون�سع حا�سل ال�سرب

( تحت المق�س��وم بحيث تك��ون 2 – 6 �ض

3) 3 ��ض

الحدود المت�ساب�هة تحت بع�سها.

3

( على 3نق�س��م الح��د الأول في المق�س��وم ) 3 �ض

الح��د الأول في المق�س�وم عليه ) �ض ( فينتج الح�د

.) 2

الأول من خ�ارج الق�س�مة ) 3 �ض

2

��ب حدود كثيرتي الحدود د )�ض( ، ه ) �ض ( نرت

��ا ح�س��ب قوى �ض مع و�سع �سف��ر مكان اأي تنازلي

قوة للمتغير �ض غير موج�ودة في د ) �ض (.

1

لإيـجــــــاد خــــارج وباقـــي ق�ســــمـــة د ) �ـــص ( = 3 �ص3 + 1 – 7 �ص 2 على ه ) �ص ( = �ص - 2 نجـري عملية

لة وفقا للخطوات التالية: الق�سمة المطو

ر الخطوات )2( ، + 1 ( مق�سوما جديدا بدل م��ن المق�سوم الأ�سلي ونكر2نع��د نات��ج الطرح )– �ض

)3( ، )4( حتى نح�سل على باق درجته تكون اأقل من درجة المق�سوم عليه.

5

وبذلك يكون خ�ارج ق�س�مة د ) �ض ( على ) �ض ( هو ك ) �ض ( = 3 �ض2 – �ض – 2 بينما باق�ي

: ة الق�سمة نجد اأن ق من �سح الق�س�مة ) �ض ( = – 3 وللتحق





تدريب )8-4(

لة اأوجد خ�ارج الق�س�مة والباقي عند ق�س�مة با�س�تخدام الق�س�مة المط�و

اأوج�د ك�ثيرة الح�دود د ) �ض ( التي اإذا ق�س�مناها على

وباقي الق�سمة ك�ان خ�ارج الق�سمة

مثال )11-4(

الحل

اأوجد خارج الق�سمة والباقي عند ق�سمة

نتبع الخطوات الواردة في المثال ال�سابق فنجد اأن :

+ 1 ، الباقي ) �ض ( = 02اإذا خارج الق�سمة ك ) �ض ( = �ض

ة الق�سمة. ق من �سح تحق

على






نظريتا الباقي والعوامل

�سندر��ض ف��ي هذا البند طريقة مخت�س��رة لإي�جاد باقي ق�سم��ة اأي كثيرة حدود على

كثيرة حدود من الدرجة الأولى.

اإذا كانت

فاإننا باإج��راء عملية الق�س�مة

لة ل� د ) �ض ( على ) �ض ( ن�جد اأن الباقي المط�و

) �ض (=4- لحظ اأن ) 1 (=�سفر ،

اإذا كانت

لة ل� د ) �ض ( فاإننا باإج�راء عملية الق�سمة المط�و

لحظ اأن

على ه ) �ض ( ن�جد اأن الباقي ) �ض (

واأن

مثال )12-4(





مثال )13-4(

با�ستخدام نظرية الباقي اأوجد باقي ق�سمة د ) �ص ( على ه ) �ص ( في كل من الحالت التالية:

ح النظرية التالية: اإن المثال ال�سابق يو�س

اأن هو العدد الذي يجعل ه ) �ض ( = �سفر .

الـبرهان

اأي اأن ) �ض ( دالة ثابتة.

ب�ما اأن درجة الباقي ) �ض ( يجب اأن تكون اأ�سغر من درجة المق�سوم عليه ) �ض (= �ض+ ب، وحيث

اأن المق�سوم عليه من الدرجة الأولى فاإن درجة الباقي ) �ض ( تكون �سفرا ) قد تكون درجة الباقي غير

دة وذلك عندما تكون ) �ض ( = �سفر (. محد

وحيث اأن

لأن ) �ض ( دالة ثابتة.

فاإن

ح�سب النظرية ) 2-4 (.

)8-4(

باقي ق�سمة

هو دالة ثابتة قيمتها ت�ساوي

باقي ق�سمة كثيرة الحدود

نظرية )4-3( نظرية الباقي






الحل

) اأكمل الفراغ (

)9-4(

عامال من عوامل اإذا وفقط اإذا كانتكون حيث

وعليه يمكننا كتابة اأن : عامل من عوامل تقبل الق�سمة على

اإذا الباقي

بو�سع


يكونبو�سع

تكونبو�سع


الحدود د ) �ض ( اإذا وفقط اإذا كان

ع�امال من ع�وامل كثيرة تك�ون

نظرية )4-4( نظرية العوامل

ة الأمر فاإنه يمكننا ا�س�تنادا اإلى نظرية الباقي وفقرة 2( من ملح�وظة ) 4-7 ( ا�ستنتاج اأن اأي وعام

ك�ثيرة حدود د ) �ض ( تق�بل الق�س�مة ع�لى

اإذا وفق�ط اإذا ك�انت = �سفر ، وب�هذا يمكننا تقدي�م النظرية التالية:

ل اإلى اأن تقبل الق�سمة على اأنه يمكننا التو�س

باأن الباقي





مثال )14-4(

الحل

ـــن اأن ) �ص ( عامـــل من عوامل د ) �ـــص ( ثم حلل فـــي كل مـمـــا يلـــي ا�ستخـــدم نظريـــة العوامـــل لتبي

د) �ص ( اإلى عاملين:

وبذلك نكون حللنا اإلى عاملين.

اأن��ه يمك��ن تحلي��ل اإل��ى عاملي��ن كل منهم��ا م��ن الدرجة الثانية با�ستخدام

ين فتكون قانون الفرق بين مربعي حد

بو�سع

لة ل� اإذا عامل من ع�وامل وباإج�راء عملية الق�سمة المطو

: على ن�ستنتج اأن

بو�سع تكون

لة ل� اإذا عامل من ع�وامل ، وباإجراء عملية الق�سمة المطو

: على ن�ستنتج اأن

تدريب )9-4(

ادر�ض قابلية ق�سمة كثيرة الحدود على :






مثال )15-4(

الحل

يـــن ، ومنها يمكنك ب�سهول��ة ا�ستنتاج ��ى ه��ذه المتطابق��ة بـمتطابقة الفـــرق بين مكعبــــي حد وت�سم

ين المتطابقة التالية التي تعرف بـمتطابقة مجموع مكعبـي حد

)10-4(

فاإن :حيثاإذا كانت

بينما : تقبل الق�سمة على ول تقبل على

اإذا كان زوجيا.

اإذا كان فرديا.

فمثال : تقبل الق�سمة على كل من

لة ا�ستنتاج المتطابقة التالية: وفي الواقع يمكننا باإجراء الق�سمة المطو

في حالة اأن ن عددا زوجيا فقط لأن :تقبل الق�سمة على 2

لأنتقبل الق�سمة على 1

حلل كال من الدالتين الآتيتين اإلى عاملين :

تدريب )10-4(

اإذا كانت فاأوجد قيمة بـحيث تكون عامال من عوامل

عامال من عوامل





2 اإذا كان عامال لكثيرة الحدود فاأوجد العامل الآخر.

فاأوجداإذا كان 3

بطريقتين م�ختلفتين اأوجد باقي ق�سمة على فيما ياأتي : 4

ل��ة اأوجد خارج الق�سمة والباقي عند ق�سمة كثي��رة الحدود د ) �ض ( على با�س�تخ��دام الق�سمة المطو

كثيرة الحدود ه ) �ض ( في كل من الحالت التالية :

1

د

ه�

و

ز

تمارين )2-4(






ن اأن تقبل الق�سمة على فيما ياأتي : بطريقتين م�ختلفتين بي 6

على ي�ساوي 6 .

اأوجد قيمة ب�حيث يكون باقي ق�س�مة ك�ثيرة الح�دود 8

9 اأوجد قيم التي تجعل عامال من عوامل حيث

حلل كال من الدالتين التاليتين اإلى عاملين : 10

ا�ستخدم نظرية الباقى لإيجاد باقى ق�سمة على فيما يلى : 5

ن اأن عامل من عوامل فيما يلي : با�ستخدام نظرية العوامل بي 7





قط�عة اأر�ض م�س�تطيلة ال�س�كل م�س�احتها

وعر�س�ها اأوجد طول�ها بدللة

11

منط�ق��ة مث�لث��ة متط�ابق��ة الأ�س�الع م�س�احته��ا

وارتفاع�ه��ا اأوج��د م�حيطه��ا بدلل��ة

13

�س�ندوق على �سكل متوازي م�ستطيالت حجمه

وارتفاعه ، اأوجد م�ساحة قاعدته بدللة

12






5-23-4النظرية الأ�سا�سية فى الجبر

ا مع�ادلة الدرج�ة تعلم اأن لمع�ادلة الدرج�ة الأولى ج�ذرا وح�يدا في ، اأم

ا جذران م�ختلفان اأو جذر مكرر اأو لي�ض ل�ها الث�انية �سفر فلها اإم

جذور في .

وم��ن الوا�س��ح اأن الطرف الأي�من ف��ي معادلة الدرجة الأولى ما هو اإل كثي��رة حدود من الدرجة

الأولى، كما اأن الطرف الأي�من في معادلة الدرجة الثانية هو كثيرة حدود من الدرجة الثانية.

ح مفهوم الجذر لأي كثيرة حدود والتعريف التالي يو�س

تعريف ) 4- 8(

يقال للعدد باأنه جذر ) اأو �سفر ( لكثيرة الحدود د ) �ض ( اإذا كان

اإن هذا التعريف يعني اأن جذر كثيرة الحدود د ) �ض ( هو جذر للمعادلة د ) �ض ( �سفر

)11-4(

: من التعريف ) 4-8 ( ومن ملحوظة ) 4-9 ( ن�جد اأن

جذر لكثيرة الحدود تقبل الق�سمة على

وهذا يعني اأنه توجد كثيرة حدود بحيث ويكون لدينا

حالتان :

ى جـذرا ب�سـيطا لك�ثيرة الحدود وهذا يعني 1 اإذا كان فاإن ي�سم

اأن خ�ارج ق�سمة على وهو ل يقبل الق�سمة على

ى جذرا م�ساعفا ) اأي مكررا مرتين اأو اأكثر ( لكثيرة 2 اإذا كان فاإن ي�سم

الحدود

جذور كثيرات الحدود





العدد 3 هو جذر لكثيرة الحدود لأن

تقبل الق�سمة على توجد كثي��رة ح��دود بحيث

وبت�حليل اإلى عوامل ينتج اأن

اأي اأن ووا�س��ح اأن

�سفر وبالتالي فاإن 3 هو جذر ب�سيط لكثيرة الحدود

مثال )17-4(

الحل

) لماذا ؟ (العدد )- 1( هو جذر لكثيرة الحدود

تقبل الق�سمة على توجد كثيرة حدود

بحيث

وبق�سمة على نح�سل على

وحيث اأن ك )– 1( �سفر فاإن العدد )– 1( يكون جذرا م�ساعفا

لكثيرة الحدود

اأي اأن

اأنه بتحليل ن�جد اأن

ام الني�سابوري قد والجدير بالذكر اأن العالم الم�سلم عمر بن اإبراهيم الخي

ع�ال��ج المعادلت التكعيبية معالجة منهجية منتظم��ة نادرة في نوعها عبر

الع�سور وتو�سل اإلى اإي�جاد جذور كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة.

اأوجد جذور كثيرات الحدود التالية :

اإذا جذر كثيرة الحدود

اإذا جذرا كثيرة الحدود هما

مثال )16-4(

النظرية الأ�سا�سية فى الجبر





مثال )18-4(

الحل

اأثبـــت اأن العـــدد 2 هـــو جـــذر لكثيـــرة الحـــدود ثـــم اأوجـــد

الجذور الأخرى لـها.

اإذا العدد 2 هو جذر لكثيرة الحدود تقبل الق�سمة على ) �ض – 2 (

لة لكثيرة الحدود على يك��ون خارج الق�س��مة هو وباإجراء عملية الق�سمة المطو

اإذا

وبو�سع تكون الجذور الأخرى ل� هي

ق المعادلة: قيم �ض التي تحق

اإذا الجذران الآخران ل� هما

نظرية )5-4(

اإذا كانت جذورا مختلفة لكثيرة حدود د ) �ض ( فاإن د ) �ض (

تقبل الق�سمة على كثيرة الحدود

بما اأن جذر لكثيرة الحدود فاإنه توجد كثيرة حدود بحيث

وبالتعوي�ض عن �ض بالجذر يكون:

وبالتالي فاإن هو جذر لكثيرة الحدود ومنه يوجد بحيث

وعليه فاإن :

وحيث اأن فاإن

وبالتالي يوجد بحيث ومنه نح�سل على

وبال�ستمرار على نف�ض المنوال نح�سل اأخيرا على كثيرة حدود بحيث :

وبالتالي يكون

تقبل الق�سمة على

ومن هذه النظرية نح�سل على النتيجة التالية:

الـبرهان





نتيجة )1-4(

اإذا كان��ت كثي��رة ح��دود درجته��ا ف��اإن ل�ه��ا عل��ى الأكث��ر ن من الجذور الحقيقية

المختلفة.

الـبرهان

لتك��ن ه��ي الج��ذور الحقيقي��ة المختلف��ة لكثي��رة الح��دود د فاإن��ه يمكنن��ا من

النظرية ) 4-5 ( وبج��عل ا�ستنتاج اأنه

يوجد كثيرة حدود بحيث

) لماذا ؟ ( فاإن وبالتالي تكون : وحيث اأن

ومنه اأي اأن عدد الجذور المختلفة هو ن على الأكثر.

الجذور ال�سحيحة لكثيرة الحدود

لتك��ن كثي��رة ح��دود معامالت�ه��ا جميعه��ا

اأعداد �سحيحة.

مثال، يكون : 1

اإذا فر�سنا اأن ل� د ) �ض ( جذرا �سحيحا �ض

اإذا

ومن ذلك ن�ستنتج اأن 1ومن الوا�سح اأن الطرف الأيمن هو حا�سل �سرب عددين �سحيحين اأحدهما �ض

قا�سم للحد الثابت وعليه يمكننا تقدي�م القاعدة التالية:1�ض

وبالإفادة من هذه القاعدة يمكننا تعيين الجذور ال�سحيحة لأي كثيرة حدود معامالت�ها اأعداد �سحيحة،

�ض ب�هذه القوا�سم على التوالي في د قوا�سم الحد الثابت جميعه��ا ونعو وذل��ك بالتجريب ويكفي اأن نحد

كثيرة الحدود، فالقا�سم الذي يجعل قيمة كثيرة الحدود �سفرا يكون جذرا �سحيحا ل�ها.

وفي الواقع اإن الح�سول على جذر �سحيح لكثيرة الحدود ي�ساعد في تعيين باقي الجذور والأمثلة التالية

ح ذلك. تو�س

اإذا كانت د ) �ض ( كثيرة حدود ذات معامالت �سحيحة ووجد ل�ها جذر

�سحيح كان هذا الجذر قا�س�ما للحد الثابت فيها.






مثال )19-4(

الحل

اأوجد جذور كثيرة الحدود

نب��داأ بتعيي��ن الجذور ال�سحيحة - اإن وجدت - بمعلومية قوا�سم الحد الثابت ) – 5 ( وهي 1 ، –1 ، 5

، – 5 وبالتجريب ن�جد اأن

اإذا ) –1 ( هو جذر لكثيرة الحدود


لة لكثيرة الحدود على يك��ون خارج الق�س��مة هو وباإجراء عملية الق�سمة المطو

اإذا

) بالتحليل (

وبو�سع تكون

اإذا جذور كثيرة الحدود د ) �ض ( هي

اأن ) –1 ( هو جذر م�ساعف ) مكرر مرتين ( ل� د ) �ض (

مثال )20-4(

ـــل كثيـــرة الحـــدود اإلـــى عوامـــل مـــن حل

الدرجة الأولى

تدريب )11-4(





تدريب )11-4(

الحل

��ن الج��ذور ال�سحيحة - اإن وجدت - لكثي��رة الحدود د ) �ض ( ب�معلومية قوا�س��م الح��د الثاب��ت نعي

) – 3 ( وهي : –1 ، 1 ، – 3 ، 3 وبالتجريب ن�جد اأن

اإذا 1 ، 3 هما جذران لكثيرة الحدود


لة لكثيرة الحدود وباإجراء عملية الق�سمة المطو

يكون خارج الق�سمة هو

اإذا

اإذا

اكت�سف الخطاأ عند تحليل كثيرة الحدود على النحو التالي:

)12-4(

اإذا كان لدينا كثيرة حدود من الدرجة ن معاملها الرئي�ض وكانت جذورها هي:

فاإن تحليلها اإلى عوامل من الدرجة الأولى يكون على ال�سورة:

حلل كثيرة الحدود اإلى عوامل من

الدرجة الأولى .






مثال )21-4(

الحل

حاويـــة ب�سائـــع علـــى �ســـكل متـــوازي م�سـتطيـــالت ينق�ـــص عر�سهـــا

مترين عـــن طولـها ، وينق�ص ارتفاعها مترا واحدا عن

طولـها ، اأوجد اأبعاد الحاوية اإذا كان حجمها 6 م3 .

�س�كل ) 1-4 (

وبالتحليل ن�جد اأن :

نفر�ض اأن �ض تمثل طول الحاوية ، فيكون :

) ��ض – 2 ( يمثل عر�سه��ا و ) �ض – 1 ( ارتفاعها انظر

�سكل ) 4 - 1 (

حجم متوازي الأ�سالع الطول × العر�ض × الرتفاع

ح خطوات اإجراء هذا التحليل ( ) و�س

) لماذا ؟ (وهذا م�ستحيل في

ن�ستنتج اأن طول الحاوية وعر�سها وارتفاعها

ق من �سحة الحل. تحق





النظرية الأ�سا�سية في الجبر

نظرية )4-6( النظرية الأ�سا�سية في الجبر

ب واحد على الأقل. اأي كثيرة حدود درجتها اأكبر من ال�سفر ل بد اأن يكون ل�ها جذر مرك

د عدد الجذور وف��ي الواق��ع يمك�ننا من ه��ذه النظرية الح�س�ول عل��ى النتيجة التالية التي ت�ح��د

بة، والمقابلة للنتيجة ) 4-1 ( في حالة الجذور الحقيقية. المرك

نتيجة )2-4(

بة ) لي�ض من ال�سروري اأن تكون اأي كثيرة حدود درجتها ل�ها بال�سبط ن من الجذور المرك

الجذور م�ختلفة (.

مثال )22-4(

كثيرة الحدود ل�ها جذر واحد هو

بان لأن : كثيرة الحدود ل�ها الجذران المرك

ب لأن اأن اأي جذر حقيقي هو جذر مرك

علم��ت �سابق��ا اأن ج��ذور كثيرة الح�دود د ) �ض ( هي ج��ذور للمعادلة د ) �ض ( �سفر

وبالتالي اإذا كانت المع�ادلة د ) �ض ( 0 م�ستحيلة الحل في فاإن كثيرة الح��دود د

1 لي�ض ل�ها 2) �ض ( لي�ض ل�ها ج��ذور في ، فمث��ال : ك�ثي��رة الح�دود د) �ض ( �ض

اأي ج��ذر حقيقي لأنه لأي فاإن �سفر، ولكن اإذا

ب��ة فاإن الو�سع ي�ختلف عن��ا م�ج��ال ه��ذه الدالة لي�سمل م�جموعة الأعداد المرك و�س

نها مها بدون برهان لت�سم ت�مام��ا و�سيت�سح ذلك من خالل النظرية التالي��ة والتي �سنقد

اأفكارا فوق م�ستوى هذا الكتاب.

اأنه يمكننا تحليل كثيرة الحدود اإلى عاملين كالتالي:

اإن كال من يعد عامال من الدرجة الأولى في






مثال )23-4(

الحل

اإذ

بي��ن ف��ي كل من المثالي��ن ) 4-22 ( ، ) 4-23 ( مترافقان، وقد �سبق اأن اأن الجذري��ن المرك

بين يكونان مترافقين وذلك عرف��ت في وحدة الأعداد المركبة اأن جذري معادلة الدرج��ة الثانية المرك

يعن��ي اأن��ه اإذا كان ج��ذرا للدال��ة التربيعي��ة ف��اإن مرافق��ه هو جذر ل�ها

ا وهذه حالة خا�سة من النظرية التالية : اأي�س

تين ( ر مر اإذا جذور هي ) مكر

بة هي : كثيرة الحدود ل�ها ثالثة جذور مرك

ين ( ) بتحليل الفرق بين مكعبي حد

) با�ستخدام القانون العام (

ومن ثم يمكننا تحليل اإلى عوامل من الدرجة الأولى في كما يلي :

ى هذه الجذور الثالثة جذورا تكعيبية للعدد واحد في )1( ت�سم

اأوجد جذور كثيرة الحدود التالية ثم حللها اإلى عوامل من الدرجة الأولى في





نظرية )7-4(

�با لكثيرة الح��دود د ) �ض ( فاإن مرافق��ه اإذا كان ج��ذرا مرك

ا. هو جذر ل�ها اأي�س

اأنه في حالة

ننا من معرف��ة متى نحكم بوجود جذر ل اإل��ى النتيجة التالية والتي تمك وعل��ى �س��وء هذه النظرية نتو�س

حقيقي لكثيرة حدود من درجة معينة.

نتيجة )3-4(

اإذا كانت د ) �ض ( كثيرة ح��دود من الدرجة ن حيث ن عدد فردي فاإن د ) �ض ( ل بد واأن يكون ل�ها

على الأقل جذر حقيقي واحد.

ق من النتيجة ) 3-4 (. ا�ستخدم مثال ) 4-22 ( للتحق

مثال )24-4(

الحل

اأوجد في كل مـما يلي كثيرة الحدود د ) �ص ( باأقل درجة ممكنة بـحيث يكون :

ل�ها الجذور

ومعاملها الرئي�ضل�ها الجذور

ب�ما اأن جذر لكثيرة الحدود د ) �ض (

نظرية ) 7-4 ( اإذا جذر اآخر ل�ها

اإذا جذور كثيرة الحدود د ) �ض ( هي :

وبالتالي فاإن د ) �ض ( تقبل الق�سمة على

نظرية ) 5-4 (






ولكي تك�ون درج�ة د ) �ض ( اأق�ل ما يم�كن ف�ال ب�د اأن تك�ون درج�ة ك ) �ض ( م�س�اوية ال�س�فر

اأي اأن

ب�ما اأن جذور كثيرة الحدود د ) �ض ( هي 1 ، 2 ، –3

فاإن كثيرة الحدود د ) �ض ( تكون باأقل درجة اإذا كانت على ال�سورة

ولكي يكون المعامل الرئي�ض ل� د ) �ض ( ي�ساوي 3 ن�سع فتكون





اأوجد جذور ) اأ�سفار ( كثيرات الحدود التالية :1

د

ه�

و

��ل كثي��رات الح��دود في الفقرات من )ب( اإل��ى )و( في ت�مرين اإل��ى عوامل من الدرجة 2 حل

الأولى.

اأوج��د دال��ة ك�ثي��رة الحدود من الدرج��ة الثالثة ب�حيث يك��ون -1 ، -2 جذرين ل�ه��ا ويكون باقي 3

( ي�ساوي 18 ، وباقي ق�سمتها على �ض هو 2 . ق�سمتها على ) �ض – 1

ثالث��ة اأع��داد �سحيح��ة حا�سل �سرب�ها ي�س��اوي 54 ، اإذا علم��ت اأن العدد الثان��ي يقل عن الأول 4

ب�مقدار 7 واأن العدد الثالث يقل عن الثاني ب�مقدار 3 ، اأوجد هذه الأعداد .

ى مربعة ال�س��كل طول �سلعها 9 �س��م ، قطع من اأركان�ه��ا الأربعة اأربعة 5 قط�ع��ة من ال��ورق المق�و

ن �سندوقا مفتوحا. اأوجد طول �سلع المربع مربع��ات مت�ساوية الم�ساحة ثم ثنيت اأ�سالعها لتك��و

. 3المقطوع لكي يكون حجم ال�سندوق 27 �سم

تمارين )3-4(






اأوجد في كل م�ما يلي كثيرة الحدود د ) �ض ( باأقل درجة ب�حيث يكون :7

ل�ها الجذور

ومعاملها الرئي�ض ل�ها الجذور

ول�ها الجذر تقبل الق�سمة على كثيرة الحدود

حلل كثيرات الحدود التالية اإلى عوامل من الدرجة الأولى في 6





ا�ستخدام الحا�سب الآلي لإيجاد جذور كثيرات الحدود وتحليلها اإلى عوامل

مثال )25-4(

الحل

بعد فتح البرنامج نقوم باتباع التالي :

نكت��ب كثي��رة الحدود في �سريط الإدخال ، ثم ندخله��ا بالنقر على مفتاح الإدخال Enter في 1

لوحة المفاتيح ،

) اأو بالنق��ر عل��ى زر الموج��ود ي�س��ار �سريط الإدخال ( ، فنح�س��ل على ال�سكل التالي :

اأن�سطة اإثرائية

اأوجد جذور كثيرة الحدود التالية في :


�سب��ق لن��ا ا�ستخدام برنامج لح��ل المعادلت ، و لتمثيل معادلة الدرجة الثانية في متغيرين ، كما

ا�ستخدمناه لإجراء بع�ض التطبيقات على الم�سفوفات ، وفيما يلي ن�ستخدم هذا البرنامج لإيجاد جذور

حان ذلك : كثيرة الحدود ، و لتحليلها اإلى عوامل . و المثالين التاليين يو�س





2

اأن مج��ال الح��ل الفترا�س��ي علي��ه ه��و Complex الذي يعن��ي مجموعة الأعداد

المركبة

ننق��ر عل��ى زر ال�ح��ل ف��ي مرب��ع الح��وار ال�ساب��ق فنح�س��ل عل��ى ج�ذور كثيرة

حة في ال�سكل التالي : الحدودالمو�س

3

ننقر على اأيقونة الحل ) في �سريط القوائم ( فتظهر قائمة فيها خياران نقوم بالنقر

على الخيار الأول و هو Expression ) و يعني التعبير الجبري ( فيظهر مربع حوار عنوانه

كما في ال�سكل التالي : Solve Expression

تدريب )12-4(





تدريب )12-4(

مثال )26-4(

الحل

حلل كثيرة الحدود التالية اإلى عوامل من الدرجة الأولى في :

نقوم بكتابة كثيرة الحدود و اإدخالها كما في خطوة )1( في المثال ال�سابق ثم نتبع التالي :

ننق��ر ف��وق اأيقون��ة التب�سي��ط ) ف��ي �سري��ط القوائ��م ( ، فتظه��ر قائم��ة فيها عدة

��ل ( ، يظه��ر مربع حوار خي��ارات وبالنق��ر عل��ى الخي��ار الراب��ع Factor ) ويعن��ي حل

عن��وان��ه Factor Expression ن�خت��ار منه ن�م��ط التح��لي��ل الذي نري�ده وه��و

Complex polynomial ) وال��ذي ي�سم��ح بتحليل كثيرة الح��دود اإلى عوامل من الدرجة الأولى في ( كما في ال�سكل التالي :

1






ق من �سحة حل تدريب ) 11-4 ( . با�ستخدام الحا�سب الآلي ت�حق

ننقر على زر التحليل في مربع الح�وار ال�سابق فنح�سل على ناتج ت�حليل كثيرة 2

ح في ال�سكل التالي : الحدود اإلى عوامل من الدرجة الأولى في المو�س





دالة كثيرة الحدود من الدرجة ن هي دالة قاعدت�ها : 1

حيث

اإذا كانت د ) �ض ( ، ه ) �ض ( كثيرتي حدود فاإن د ) �ض ( ه ) �ض ( اإذا وفقط اإذا كانت ل�هما 2

الدرجة نف�سها ومعامالت�هما المتناظرة مت�ساوية.

عمليات جمع وطرح و�سرب كثيرات الحدود واأهم خوا�ض هذه العمليات.3

نق��ول اإن كثي��رة الحدود د ) �ض ( تقبل الق�سم��ة على كثيرة الحدود ه ) �ض ( ≠ 0 اإذا وفقط اإذا 4

ق العالقة وجدت كثيرة حدود ك ) �ض ( ت�حق

لة لإجراء عملية ق�سمة كثيرة حدود على اأخرى.6 الق�سمة المطو

اإذا كانت د ) �ض ( ، ه ) �ض ( كثيرتي حدود ، ه ) �ض ( ≠ 0 فاإنه توجد كثيرتا حدود ك ) �ض ( 5

، ) �ض ( ب�حيث تكون :

نظرية الباقي:7

باقي ق�سمة كثيرة الحدود د ) �ض ( على

هو دالة ثابتة قيمتها ت�ساوي



نظرية العوامل :8

تك�ون عام�ال من ع�وامل د ) �ض (

اإذا وفقط اإذا كان

9


عامال لكثيرة الحدود

جذر لكثيرة الحدود

اإذا كانت جذورا م�ختلفة لكثيرة الحدود د ) �ض ( فاإن د ) �ض ( تقبل 10

الق�سمة على

اإذا كان��ت د ) ��ض ( كثيرة حدود ذات معامالت �سحيحة ووجد ل�ها جذر �سحيح كان هذا الجذر 11

قا�س�ما للحد الثابت فيها، وال�ستفادة من ذلك تعيين جذر �سحيح لكثيرة الحدود ذات المعامالت

ال�سحيحة ومن ثم تعيين باقي الجذور.

بة التي قد ل تكون 12 كثي��رة الح��دود الت��ي درجته��ا ل�ه��ا بال�سبط من الج��ذور المرك

مختلفة.

اأن�سط��ة اإثرائي��ة ا�ستخدمن��ا فيها الحا�سب الآل��ي ؛لإي�جاد ج��ذور كثيرة الح��دود ولتحليلها اإلى 15

عوامل.

اإذا كان ج��ذرا لكثي��رة الح��دود ف��اإن مرافق��ه ه��و ج��ذر اآخ��ر ل�ها 14

واأن اأي كثيرة حدود درجتها عدد فردي ل�ها جذر حقيقي واحد على الأقل.



230

تحليل كثيرات حدود معطاة اإلى عوامل من الدرجة الأولى في .13



هي كثيرة حدود .

هي دالة تربيعية في .

المعامل الرئي�ض لكثيرة الحدود

اإذا كانت ب�حيث

اإذا كانت

فاإن درجة

اإذا كانت د ) �ض ( ، ه ) �ض ( كثيرتا حدود من الدرجة الخام�سة والثالثة على الترتيب فاإن

خ�ارج ق�س�مة د ) �ض ( على ه ) �ض ( هو كثيرة حدود من الدرجة الثانية.

اإذا كانت هي باقي ق�سمة كثيرة الحدود

فاإن درجة كثيرة الحدود

باقي ق�سمة

هو �سفر لكثيرة الحدود

3 هو �سفر مكرر مرتين لكثيرة الحدود

جذر كثيرة الحدود




بان هما لكثيرة الحدود جذران مرك

بة اأحدها على الأقل كثيرة الحدود ل�ها �سبعة جذور مرك

هو جذر حقيقي.

فاأوجد :اإذا كانت 2

اإذا كانت فاأوجد في كل م�ما ياأتي كثيرة الحدود ه ) �ض ( 3

ق ال�سرط المعطى : التي ت�حق

د

اإذا كانت4

فاأوج�د قيم�ة كل من

ن اأن لي�ض اأحد عوامل 6 بي

اإذا كان��ت فما قي��م�ة 5

ه ) – 3 (


ف��ي كل م�م��ا ياأت��ي ناق�ض ه��ل جذر لكثيرة الحدود د ) �ض ( اأم ل ؟ وف��ي حالة اأنه جذر اأوجد 7

باقي الجذور.

اأوجد كال من م ، ل التي ت�جعل د ) �ض ( تقبل الق�سمة على ه ) �ض ( في كل م�ما ياأتي : 8

ق من 9 بة وت�حق حلل كثيرات الحدود التالية اإلى عوامل من الدرجة الأولى على حقل الأعداد المرك

�سحة الحل با�ستخدام الحا�سب الآلي.

، اإذا 103�سندوق على �سكل متوازي م�ستطيالت حجمه �سم

كان طول ال�سندوق �سم ، وعر�سه �سم . اأوجد ارتفاعه بدللة �ض .

11 ، 3ان عل��ى �س��كل م�ت��وازي م�س�تطي��الت حج�م��ه م خ��ز

. 2ان ت�ساوي 32 م وارتفاعه م . اأوجد قيمة �ض التي تجعل م�ساحة اأر�سية الخز



الم�سلعاتالوحدة

الأولى

)2 -1 (

2

محيط الم�سلع الأول = 45 �سم ، محيط الم�سلع الثاني = 54 �سم ، ن�سبة الت�سابه =3

محيط الم�سلع الأكبر = 37.5 �سم4

5

6

1

8910

4

ه� د6

د7

12

م�ساحة الرباعي 20

131415

)1 -1 (


3

4

5

6

2

7


)1 -2 (

هند�سة المتجهاتالوحدة

الثانية

13

16

17

وه� د

11

8

وه� د

5

9 د

المتجه

طولة

زاويته

12

2


18

وه� د

19

)2 -2 (

2

4

3

وه� د

5

3

)3 -2 (

4

د7

20

1


)5 -2 (

2

وه� د

طح ز

3

وه� د

لك

ح

ي

ط ز

4

5

متعامدان متوازيان غير متوازيين وغير متعامدين8

9


10

متوازيان متعامدان متوازيان متعامدان د11

متوازيان متعامدان متوازيان12

3

4

5

ه� د

7

6

8

9


الأعداد المركبةالوحدة

الثالثة

)2 -3 (

2

وه� د

طحز

5

6

وه� د

طحز

كي

7

د

و

8

10

14


1

و

ز

ح

د

لكي

ود

= 4

= = د

3= =

== و

= و

2

طحز

)3 -3 (


4

6

5

3


دوال كثيرات الحدودالوحدة

الرابعة

4

ه� د

5

6

9

8

7

10

د

12

د

وه�

)1 -4 (


1

د

ه�

و

ز

2

3

4

5

1112

13

89

13

د

ه�

و

)2 -4 (


)3 -4 (

1

ه�

و

د

3

4

5

6

7


2

4

5

10

11

7

8

الرياضيات3

Documents