3B08P4 課堂討論

圖中直立五角棱錐的高是 12 cm ，而斜棱的長度是 15 cm ，N 點是由頂點 V 至底的垂直線與底的交點，即 VNA = VNB = VNC = VND = VNE = 90º 。求 NA 、 NB 、NC 、 ND 和 NE 。

V

A

B C

D

E

N

NA = cm

NB = cm

NC = cm

ND = cm

NE = cm

9

9

9

9

9

除了用幾何的方法，先證明 ΔVNA ， ΔVNB ，ΔVNC ， ΔVND ， ΔVNE 全等外，我們亦可用代數的方法 ( 畢氏定理 ) ，得出直立棱錐從頂點至底的垂直線與底相交於一點，而該點與底部的多邊形各頂點等距。

除了用幾何的方法，先證明 ΔVNA ， ΔVNB ，ΔVNC ， ΔVND ， ΔVNE 全等外，我們亦可用代數的方法 ( 畢氏定理 ) ，得出直立棱錐從頂點至底的垂直線與底相交於一點，而該點與底部的多邊形各頂點等距。

3B08P10 課堂練習

圖中所示為某牌子的巧克力。它的形狀是個三棱錐，其中BDC = ADB = ADC = 90 ，而且 AD = 6 cm ， BD = DC = 3 cm 。求(a) 巧克力的體積；

(b) 巧克力的總表面積。

3cm 9巧克力的體積

2cm 36巧克力的總表面積

3 cm3 cm

6 cm

A

B C

D

3B08P19 課堂練習

一塊等腰三角形的路牌三邊長度為 25 cm 、 25 cm 及 34 cm 。若它繞著對稱軸來旋轉，試寫出所形成的立體名稱，然後求該立體的總表面積和體積，答案準確至最接近的整數。

體積 = 5 547 cm3

立體：圓錐總表面積 = 2 243 cm2

3B08P23a 課堂活動

通過以下的方法，我們嘗試驗證 。334

rV 球體的體積

利用兩塊木塊及間尺量度球體的半徑 r 。

V1 = 400 cm3V1 = 400 cm3 V2 = 433.5 cm3

(準確至一位小數 )

V2 = 433.5 cm3

(準確至一位小數 )

cm 2

cm 2

)37(

r

cm 2

cm 2

)37(

r

先讀出有刻度量筒中水的體積，然後將球體完全浸入量筒的水中，　　　　　　　　　再讀出量筒中水的體積 。

上升的水的體積 V= V2 V1

= (433.5 400) cm3

= 33.5 cm3

)( cm 5.33)2(3

4

3

4 333 準確至一位小數 ππr

3B08P23b 課堂活動

根據 (1) 的結果，代入想驗證的式子：

3

34

rV 3

34

rV

再試用不同大小的球體重複以上的步驟，我們便可驗證到球體的體積 。

根據 (2) 的結果，

33.5 cm333.5 cm3

因此，球體的體積便是 V 。

V1 = 400 cm3V1 = 400 cm3

V2 = 433.5 cm3V2 = 433.5 cm3

r = 2 cmr = 2 cm

可見球體的體積 V 等於以上式子求得的答案。

3B08P28 課堂練習

明輝有一個用鉛造的球，它的體積是 3 600 cm3 。( 所有答案須準確至最接近的整數。 )

1. 求鉛球的表面面積。

2. 明輝把這個鉛球熔掉，然後再鑄造出兩個相同的鉛球。(a) 求這兩個鉛球的總表面積。

(b) 問總表面積增加的百分數？

1 136 cm2

1 431 cm2

26%

3B08P34 課堂練習

代數式 線性量度 二次量度 三次量度 維數

a 2r

a3 r2a

2ra

a2 r2

6a2 + 2ra 2r2

圖中是一個邊長為 a 的正方體，內有一個半徑為 r 及高度為 a 的圓柱形的洞。試在下表適當位置內加「」來表示該代數式所屬的量度，並填上代數式的維數。

1

3

2

2

2

a

r

用長度計算放大的比例因子 = 用長度計算放大的比例因子 =

用闊度計算放大的比例因子 = 用闊度計算放大的比例因子 =

3B08P36 課堂探討

3 cm3 cm 6 cm6 cm

2

2

4 cm4 cm 8 cm8 cm

圖 (b) 是放大後的圖 (a) 。圖 (b) 是放大後的圖 (a) 。

圖 (b) 圖 (b)圖 (a)

比例因子 = 2比例因子 = 2

圖 (d) 是縮小後的圖 (c) 。圖 (d) 是縮小後的圖 (c) 。

圖 (c) 圖 (d)

6 cm6 cm 4 cm4 cm

用闊度計算縮小的比例因子 = 用闊度計算縮小的比例因子 =

用長度計算縮小的比例因子 = 用長度計算縮小的比例因子 = 3

2

32

比例因子 = 比例因子 = 32

9 cm9 cm 6 cm6 cm在兩個相似平面圖形中，某兩個對應線性量度的比等於其他任何兩個對應線性量度的比。

3B08P37 課堂探討

相似圖形相似圖形

線段長度的比線段長度的比

面積的比面積的比

‧ ‧1.4 cm 3 cm

AB

A 的邊長B 的邊長 = ( )

( )

線段長度的比線段長度的比

面積的比面積的比

A 的半徑B 的半徑 = ( )

( )

2 cmB

2 cm

3

2

2

21

21

的面積的面積

B

A

2

2

2

的面積的面積

B

A

1.4

3

3 3

2 2

3

2

1.4

3

1.4

3

等腰直角三角形

3 cm

3 cm

A

圓形兩個相似平面圖形面積的比，等於該兩個圖形中任何兩個對應線性量度的比的平方。

3B08P42 課堂探討相似立體相似立體

線段長度的比線段長度的比

體積的比體積的比

P 的長度Q 的長度= ( )

( )

線段長度的比線段長度的比

體積的比體積的比

P 的半徑Q 的半徑= ( )

( )

PQ

Q

5 cm

25 cm

3

31

31

的體積的體積

Q

P

3

2

2

的體積的體積

Q

P

4

3

42 8

32 6

4

3

2

5

2 10

5 25

2

5

‧

4 cm

8 cm

3 cm

6 cm

正方棱錐

圓柱體

P

2 cm

10 cm

‧

兩個相似立體體積的比，等於它們之中任何兩個對應線性量度的比的立方。

3B08P44a 課堂練習

在圖中，一個直立圓錐 M 被分割成為三部分，分別是一個與它相似的直立圓錐 X ，一個立體 Y 和一個立體 Z ，而且它們的高度都是 2 。如果 M 的底半徑是 12 ，求

2

2

2

12

X

Y

Z

1 ： 7 ： 19

(b) X 的體積： Y 的體積： Z 的體積。

(a) X 的曲面面積： Y 的曲面面積： Z 的曲面面積；1 ： 3 ： 5

M

(c) 如果沒有提供所有長度的數值，只知道 X 、 Y 和 Z 的高度一樣 ，以上兩部的結 果是否會維持不變？ 是

3B08P44b 課堂練習

圖中是一個正四面體，高為 10 cm 。它被分割成一個較小的正四面體 A 及一個立體 B 。設 A 的高為 h cm 。

(a) 求 A 的體積： B 的體積。

(b) 若 A 的體積 = B 的體積，求 h 的值， 準確至一位小數。

h3 ： 1 000 – h3

)( 7.9 5003

準確至一位小數h

10 cm

h cm

A

B