3節空間におけるベクトル平面に平行な平面の方程 …...数学b...

数学Ｂスタンダード２章「ベクトル」

1

（教科書 p.87）

空間の座標は，右の図のように 1 点 O で互いに直交する 3 本の数

直線によって定められる。それぞれの数直線を（① 𝑥 軸），

（② 𝑦 軸），（③ 𝑧 軸）といい，まとめて

（④ 座標軸）とよぶ。また，点 O を（⑤ 原点）という。

𝑥 軸と 𝑦 軸によって定められる平面を（⑥ 𝑥𝑦 平面），

𝑦 軸と 𝑧 軸によって定められる平面を（⑦ 𝑦𝑧 平面），

𝑧 軸と 𝑥 軸によって定められる平面を（⑧ 𝑧𝑥 平面）

といい，まとめて（⑨ 座標平面）という。

空間における任意の点 P に対して，P を通り，各座標平面に平行な

平面が，𝑥 軸，𝑦 軸，𝑧 軸と交わる点をそれぞれA, B, C とする。

点 A, B, C の各座標軸上での座標がそれぞれ 𝑎, 𝑏, 𝑐 であるとき，こ

の 3 つの数の組 𝑎, 𝑏, 𝑐 を点 P の（⑩ 座標）という。

点 P の座標が 𝑎, 𝑏, 𝑐 であることを P 𝑎, 𝑏, 𝑐 と書く。また，𝑎, 𝑏,

𝑐 をそれぞれ点 P の（⑪ 𝑥座標），（⑫ 𝑦座標），

（⑬ 𝑧座標）という。

座標の定められた空間を（⑭ 座標空間）という。


右の図で，点 P 2, 4, 6 に対して，

点 A, B, S の座標は次のようになる。

A 2, 0, 0

B 0, 4, 0

S 2, 0, 6

例 1 で，点 C, Q, R の座標を答えよ。

𝐂 𝟎，𝟎，𝟔 ，𝐐 𝟐，𝟒，𝟎 ，𝐑 𝟎，𝟒，𝟔


点 3, 4, 5 を通り，𝑦𝑧 平面に平行な平面の方程式は

𝑥 3

点 1, 3, 2 を通り，𝑥𝑦 平面に平行な平面の方程式を求めよ。

𝒛 𝟐

𝑥𝑦 平面，𝑦𝑧 平面，𝑧𝑥 平面はそれぞれどのような方程式で表されるか。

𝑥𝑦平面 𝒛 𝟎

𝑦𝑧平面 𝒙 𝟎

𝑧𝑥平面 𝒚 𝟎

空間座標１

問１

例１

座標平面に平行な平面の方程式

問２

例２３節空間におけるベクトル

問３


2


平面の場合と同様に，空間における有向線分 AB について，その位

置を問題にせず，向きと長さだけに着目したとき，それを

（⑮ 空間のベクトル）といい，（⑯ AB⃗ ）と表す。

有向線分 AB の長さをベクトル AB⃗ の（⑰ 大きさ）または長

さといい，（⑱ AB⃗ ）で表す。

平面上のベクトルのときと同様に，大きさが等しく向きが反対のベ

クトルを（⑲ 逆ベクトル）という。また，大きさが 0 のベク

トルを（⑳ 零ベクトル），大きさが 1 のベクトルを（㉑単位ベクトル）ということも，

平面の場合と同様である。

右の図の直方体 ABCD EFGH において

AB⃗ DC⃗ EF⃗ HG⃗

また，（ BA⃗, CD⃗, FE⃗, GH⃗ ）は，いずれも AB⃗ の逆ベクト

ルである。

例 3 の直方体において，AE⃗ と等しいベクトルをすべて答えよ。

また，AC⃗ の逆ベクトルをすべて答えよ。

AE⃗ と等しいベクトル 𝐁𝐅，𝐂𝐆，𝐃𝐇

AC⃗ の逆ベクトル 𝐂𝐀，𝐆𝐄


右の図の直方体 ABCD EFGH において

AB⃗ BG⃗ AG⃗

FB⃗ CD⃗ FB⃗ BA⃗ FA⃗ また

AD⃗ AF⃗ FD⃗ である。

例 4 の直方体において，次の等式が成り立つことを示せ。

(1) AF⃗ BC⃗ DF⃗

AF⃗ BC⃗ AF⃗ AD⃗

DF⃗

(2) AB⃗ AD⃗ AE⃗ AG⃗

AB⃗ AD⃗ AE⃗ AB⃗ AD⃗ AE⃗

AC⃗ CG⃗

AG⃗

右の図のように，3 組の向かい合った面がそれぞれ平行である六面体を

（㉒平行六面体）という。平行六面体の各面は平行四辺形である。

右の図の平行六面体 ABCD EFGH において，AB⃗ 𝑎, AD⃗ 𝑏,

AE⃗ 𝑐 とする。ベクトル AG⃗ を，𝑎, 𝑏, 𝑐 で表してみよう。

AG⃗ AC⃗ CG⃗ AB⃗ AD⃗ AE⃗

𝑎 𝑏 𝑐

例 5 の平行六面体において，次のベクトルを 𝑎, 𝑏, 𝑐 で表せ。

(1) AF⃗

AF⃗ AB⃗ AE⃗ 𝒂 𝒄

(2) HF⃗

HF⃗ DB⃗

AB⃗ AD⃗

𝒂 𝒃

(3) CH⃗

CH⃗ BE⃗

AE⃗ AB⃗ 𝒂 𝒄

(4) BH⃗

BH⃗ AH⃗ AB⃗ AD⃗ AE⃗ AB⃗

𝒂 𝒃 𝒄

空間のベクトル２

問４

例３

問５

例４

問６

例５

空間のベクトル


3

（教科書 p.91）ベクトルの平行についても，平面の場合と同様に次のことが成り立つ。

𝑎 0⃗, 𝑏 0⃗ のとき

（㉓ 𝑎 ∥ 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑘𝑎 となる実数 𝑘 がある）

4 点 O, A, B, C が同一平面上にないとき

OA⃗ 𝑎, OB⃗ 𝑏, OC⃗ 𝑐

とおく。このとき，空間の任意のベクトル 𝑝 は実数 𝑙, 𝑚, 𝑛 を用いて

（㉔ 𝑝 𝑙𝑎 𝑚𝑏 𝑛𝑐 ）の形にただ 1 通りに表される。

（教科書 p.92）空間において，O を原点とする座標軸が定まっているとき，𝑥 軸，

𝑦 軸，𝑧 軸の正の向きと同じ向きの単位ベクトルを

（㉕基本ベクトル）といい，それぞれ（㉖ 𝑒⃗, 𝑒⃗, 𝑒⃗ ）

で表す。

与えられた空間のベクトル 𝑎 に対して，𝑎 OP⃗ となる点 P をとり，

その座標を 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 とすると，平面の場合と同様に，𝑎 は次のよう

に表される。

𝑎 𝑎 𝑒⃗ 𝑎 𝑒⃗ 𝑎 𝑒⃗

この 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 をそれぞれ 𝑎 の（㉗ 𝑥 成分），（㉘ 𝑦 成分），（㉙ 𝑧 成分）といい，

𝑎 を

（㉚ 𝑎 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 ）

と書き表す。この表し方を 𝑎 の（㉛成分表示）という。

成分表示されたベクトルの大きさは，次のようになる。

ベクトルの大きさ

𝑎 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 のとき | 𝒂 | 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐

𝟐 𝒂𝟑𝟐

右の図において

| 𝑎 | OP OQ QP

OP P Q QP OP OP OP 𝑎 𝑎 𝑎

よって | 𝑎 | 𝑎 𝑎 𝑎

次のベクトルの大きさを求めよ。

(1) 𝑎 3, 2, 6

|𝑎| 3 2 6 √49 𝟕

(2) 𝑏 5, 4, 2

𝑏 5 4 2

√45

𝟑√𝟓

（教科書 p.93）平面の場合と同様に，成分による計算について次のことが成り立つ。

成分による計算

(1) 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 𝑏 , 𝑏 , 𝑏 𝑎 𝑏 , 𝑎 𝑏 , 𝑎 𝑏

(2) 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 𝑏 , 𝑏 , 𝑏 𝑎 𝑏 , 𝑎 𝑏 , 𝑎 𝑏

(3) 𝑘 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 𝑘𝑎 , 𝑘𝑎 , 𝑘𝑎 𝑘 は実数

𝑎 1, 2, 3 , 𝑏 2, 1, 1 のとき，2𝑎 3𝑏 を成分表示してみよう。

2𝑎 3𝑏 2 1, 2, 3 3 2, 1, 1

2, 4, 6 6, 3, 3

4, 7, 3

𝑎 2, 3, 0 , 𝑏 3, 2, 5 , 𝑐 6, 0, 3 のとき，次のベクトルを成分表示せよ。

(1) 3𝑎 4𝑏

3𝑎 4𝑏

3 2， 3，0 4 3，2，5

6， 9，0 12，8，20

𝟔， 𝟏，𝟐𝟎

ベクトルの平行と分解

ベクトルの成分

証明

問７

成分による計算

問８

例６


4

(2) 2 𝑎 𝑏 3 𝑏 2 𝑐

2 𝑎 𝑏 3 𝑏 2𝑐

2𝑎 2𝑏 3𝑏 6𝑐 2𝑎 𝑏 6𝑐 2 2， 3，0 3，2，5 6 6，0， 3

4， 6，0 3，2，5 36，0， 18

𝟒𝟑， 𝟖， 𝟐𝟑

𝑎 1, 1, 1 , 𝑏 0, 1, 1 , 𝑐 0, 1, 0 のとき，

𝑝 3, 3, 5 を 𝑙𝑎 𝑚𝑏 𝑛𝑐 の形に表せ。

𝑝 𝑙𝑎 𝑚𝑏 𝑛𝑐 より

3, 3, 5 𝑙 1, 1, 1 𝑚 0, 1, 1 𝑛 0, 1, 0

よって 𝑙 3 𝑙 𝑚 𝑛 3𝑙 𝑚 5

これを解いて 𝑙 3, 𝑚 2, 𝑛 2

ゆえに 𝑝 3𝑎 2𝑏 2𝑐

例題 1 の 𝑎, 𝑏, 𝑐 に対して，𝑞 2, 3, 5 を 𝑙𝑎 𝑚𝑏 𝑛𝑐 の形に表せ。

𝑞 𝑙𝑎 𝑚𝑏 𝑛𝑐より

2，3， 5

𝑙 1，1，1 𝑚 0，1， 1 𝑛 0，1，0

よって 𝑙 2 𝑙 𝑚 𝑛 3 𝑙 𝑚 5

これを解いて 𝑙 2，𝑚 3，𝑛 2

ゆえに 𝒒 𝟐𝒂 𝟑𝒃 𝟐𝒄


点 A 2, 1, 3 , B 3, 5, 2 のとき，AB⃗ の成分表示と大きさを求

めてみよう。

原点を O とすると

OA⃗ 2, 1, 3 , OB⃗ 3, 5, 2

となるから

AB⃗ OB⃗ OA⃗ 3 2, 5 1, 2 3

1, 4, 1

AB⃗ 1 4 1

3√2

一般に，ベクトル AB⃗ の成分表示と大きさは次のようになる。

座標と成分表示

A 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , B 𝑏 , 𝑏 , 𝑏 のとき

(1) 𝐀𝐁 𝒃𝟏 𝒂𝟏, 𝒃𝟐 𝒂𝟐, 𝒃𝟑 𝒂𝟑

(2) 𝐀𝐁 𝒃𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒃𝟐 𝒂𝟐

𝟐 𝒃𝟑 𝒂𝟑𝟐

(2)は空間における

2 点 A 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , B 𝑏 , 𝑏 , 𝑏 間の距離である。

2 点 A 4, 3, 5 , B 2, 8, 3 について，AB⃗ の成分表示を求めよ。

また， AB⃗ を求めよ。

𝐀𝐁 2 4，8 3，3 5

𝟔，𝟓，𝟖

𝐀𝐁 6 5 8

√125

𝟓√𝟓

問９

例題

１

解

座標と成分表示

例７

問 10


5

（教科書 p.95）平面の場合と同様に，𝑎 と 𝑏 の内積 𝑎 ⋅ 𝑏 を，次のように定義する。

（㉜ 𝑎 ⋅ 𝑏 | 𝑎 | 𝑏 cos 𝜃 ）

𝑎 0⃗ または 𝑏 0⃗ のときには，𝑎 ⋅ 𝑏 0 と定める。

右の図のような立方体 ABCD EFGH において，内積 AC⃗ ⋅ AF⃗ を

求めてみよう。

△ AFC は正三角形であるから

AC⃗ 2√2 , AF⃗ 2√2, ∠CAF 60°

よって AC⃗ ⋅ AF⃗ 2√2 2√2 cos 60° 4

例 8 で，次の内積を求めよ。

(1) AB⃗ ⋅ AF⃗

AB⃗ ⋅ AF⃗ 2 2√2 cos 45° 𝟒

(2) BG⃗ ⋅ DE⃗

BG⃗ ⋅ DE⃗ BG⃗ ⋅ CF⃗

2√2 2√2 cos 90° 𝟎

(3) DE⃗ ⋅ FC⃗

DE⃗ ⋅ FC⃗ DE⃗ ⋅ ED⃗

2√2 2√2 cos 180° 𝟖

(4) DE⃗ ⋅ AF⃗

DE⃗ ⋅ AF⃗ DE⃗ ⋅ DG⃗

2√2 2√2 cos 60° 𝟒


空間のベクトルの内積は，平面の場合と同様に，ベクトルの成分により次のように求めることが

できる。

内積と成分

𝑎 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , 𝑏 𝑏 , 𝑏 , 𝑏 のとき

𝒂 ⋅ 𝒃 𝒂𝟏𝒃𝟏 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝒂𝟑𝒃𝟑

𝑎 1, 3, 4 , 𝑏 2, 5, 1 のとき，内積 𝑎 ⋅ 𝑏 は

𝑎 ⋅ 𝑏 1 2 3 5 4 1 17

次のベクトル 𝑎, 𝑏 について，内積 𝑎 ⋅ 𝑏 を求めよ。

(1) 𝑎 2, 2, 3 , 𝑏 4, 5, 6

𝑎 ⋅ 𝑏 2 4 2 5 3 6 𝟐𝟎

(2) 𝑎 4, 3, 1 , 𝑏 2, 1, 3

𝑎 ⋅ 𝑏 4 2 3 1 1 3 𝟖

0⃗ でない 2 つのベクトル 𝑎 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , 𝑏 𝑏 , 𝑏 , 𝑏 のなす角を 𝜃 とすると，次の式が成り

立つ。

（㉝ cos 𝜃 ⃗⋅ ⃗| ⃗ | ⃗

）

ただし，0° ≦ 𝜃 ≦ 180°

2 つのベクトル 𝑎 1, 2, 3 , 𝑏 3, 1, 2 のなす角 𝜃 を求めてみよう。

cos 𝜃𝑎 ⋅ 𝑏

| 𝑎 | 𝑏 1 3 2 1 3 2

√1 2 3 3 1 212

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜃 60°

ベクトルの内積３

ベクトルの内積

例８

問 11

内積と成分

例９

問 12

例 10


6

次のベクトル 𝑎, 𝑏 のなす角 𝜃 を求めよ。

(1) 𝑎 1, 0, 1 , 𝑏 1, 2, 2


|𝑎| 𝑏

1 1 0 2 1 21 0 1 1 2 2

1√2

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから

𝜽 𝟒𝟓°

(2) 𝑎 2, 1, 1 , 𝑏 2, 2, 4


|𝑎| 𝑏

2 2 1 2 1 4

√2 1 1 2 2 4

12

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから

𝜽 𝟏𝟐𝟎°

(3) 𝑎 3, 2, 1 , 𝑏 2, 1, 4


|𝑎| 𝑏

3 2 2 1 1 43 2 1 √2 1 4

0

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから

𝜽 𝟗𝟎°

（教科書 p.97）平面の場合と同様に，0⃗ でない 2 つのベクトル 𝑎 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , 𝑏 𝑏 , 𝑏 , 𝑏 の垂直について，

次のことが成り立つ。

（㉞ 𝑎 ⊥ 𝑏 ⇔ 𝑎 ⋅ 𝑏 0 ）

よって（㉟ 𝑎 ⊥ 𝑏 ⇔ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 0 ）

𝑎 2, 1, 3 , 𝑏 1, 𝑥, 2 が垂直になるとき，

𝑎 ⋅ 𝑏 0 より 2 1 1 𝑥 3 2 0

よって 𝑥 8

𝑎 𝑥, 5, 2 , 𝑏 2, 2, 3 が垂直になるような 𝑥 の値を求めよ。

𝑎 ⋅ 𝑏 0より 𝑥 2 5 2 2 3 0

よって 𝒙 𝟐

2 つのベクトル 𝑎 1, 1, 0 , 𝑏 3, 2, 2 の両方に垂直で，大きさが 3 であるベクト

ルを求めよ。

求めるベクトルを 𝑐 𝑥, 𝑦, 𝑧 とする。

𝑎 ⊥ 𝑐 より 𝑎 ⋅ 𝑐 0 であるから 𝑥 𝑦 0 …①

𝑏 ⊥ 𝑐 より 𝑏 ⋅ 𝑐 0 であるから 3𝑥 2𝑦 2𝑧 0 …②

| 𝑐 | 3 より | 𝑐 | 9 であるから 𝑥 𝑦 𝑧 9 …③

①，②より，𝑦, 𝑧 を 𝑥 で表すと 𝑦 𝑥, 𝑧 𝑥 …④

④を③に代入すると 𝑥 𝑥 𝑥 9

よって 𝑥 4 すなわち 𝑥 2

④より 𝑥 2, 𝑦 2, 𝑧 1

または 𝑥 2, 𝑦 2, 𝑧 1

ゆえに，求めるベクトルは 2, 2, 1 , 2, 2, 1

ベクトルの垂直

例 11

問 14

例題

２

解

問 13


7

2 つのベクトル 𝑎 0, 1, 2 , 𝑏 1, 1, 1 の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

求めるベクトルを 𝑐 𝑥，𝑦，𝑧 とする。

𝑎 ⊥ 𝑐より 𝑎 ⋅ 𝑐 0 であるから 𝑦 2𝑧 0 ……①

𝑏 ⊥ 𝑐 より 𝑏 ⋅ 𝑐 0 であるから 𝑥 𝑦 𝑧 0 ……②

|𝑐| 1 より |𝑐| 1 であるから 𝑥 𝑦 𝑧 1 ……③

①，②より，𝑥，𝑦 を 𝑧 で表すと 𝑦 2𝑧，𝑥 𝑧 ……④

④を③に代入すると 𝑧 4𝑧 𝑧 1

よって 𝑧 すなわち 𝑧√

④より 𝑥√

，𝑦√

，𝑧√

または 𝑥√

，𝑦√

，𝑧√

ゆえに，求めるベクトルは 𝟏

√𝟔，

𝟐√𝟔

，𝟏

√𝟔，

𝟏√𝟔

，𝟐

√𝟔，

𝟏√𝟔

（教科書 p.98）空間においても，定点 O をとると，点 P の位置は，ベクトル

OP⃗ 𝑝 によって定まる。このとき，𝑝 を点 O を基準とする点 P の

（㊱位置ベクトル）という。

点 P の位置ベクトルが 𝑝 であることを，（㊲ P 𝑝 ）と表す。

（教科書 p.98）空間における 2 点 A 𝑎 , B 𝑏 に対して，線分 AB を 𝑚 ∶ 𝑛 に内分する点を P 𝑝 ，外分する点を Q 𝑞

とすると，次のようになる。

（㊳ 𝑝 ⃗ ⃗, 𝑞 ⃗ ⃗

） 𝑚 𝑛

とくに，線分 AB の中点の位置ベクトルは 𝒂 𝒃

𝟐

また，3 点 A 𝑎 , B 𝑏 , C 𝑐 を頂点とする△ ABC の重心 G の位置ベクトル 𝑔 は，次のようになる。

（㊴ 𝑔 ⃗ ⃗ ⃗ ）

空間における 2 点 A 𝑎 , B 𝑏 に対して，線分 AB を 3 ∶ 5 に内分する点を P 𝑝 ，外分する点を

Q 𝑞 とする。𝑝, 𝑞 をそれぞれ 𝑎, 𝑏 で表せ。

𝒑5𝑎 3𝑏

3 5𝟓𝒂 𝟑𝒃

𝟖

𝒒5𝑎 3𝑏3 5

𝟓𝒂 𝟑𝒃𝟐

問 16

問 15

内分点・外分点の位置ベクトル

位置ベクトルと空間の図形４

位置ベクトル


8

（教科書 p.99） 2 点 A, B が異なるとき，平面の場合と同様に，次のことが成り立つ。

3 点が一直線上にあるための条件

3 点 A, B , C が一直線上にある

⇔ AC⃗ 𝑘AB⃗ となる実数 𝑘 がある

右の図の平行六面体 ABCD EFGH において，△ BDE の重心

を P とする。このとき，3 点 A, P, G は一直線上にあること

を示せ。

AG⃗ 𝑘AP⃗ となる実数 𝑘 があることを示せばよい。

AB⃗ 𝑎, AD⃗ 𝑏, AE⃗ 𝑐 とすると

AG⃗ 𝑎 𝑏 𝑐

また，点 P は△ BDE の重心であるから

AP⃗ ⃗ ⃗ ⃗

よって AG⃗ 3AP⃗

ゆえに，3 点 A, P, G は一直線上にある。

例題 3 の平行六面体 ABCD EFGH において，△ DEF の重心を Q，線分 GE の中点を R とする。

このとき，3 点 A, Q, R は一直線上にあることを示せ。

AB⃗ 𝑎，AD⃗ 𝑏，AE⃗ 𝑐 とすると

AG⃗ 𝑎 𝑏 𝑐

点 Q は△DEF の重心であるから

AQ⃗AD⃗ AE⃗ AF⃗

3𝑏 𝑐 𝑎 c⃗

3

𝑎 𝑏 2𝑐3

AR⃗AG⃗ AE⃗

2𝑎 𝑏 𝑐 𝑐

2

𝑎 𝑏 2c⃗2

よって AR⃗ AQ⃗

ゆえに，3 点 A，Q，R は一直線上にある。

同一平面上にある 4 点に対して，次のことが成り立つ。

4 点が同一平面上にあるための条件

一直線上にない 3 点 A, B, C が定める平面を 𝛼 とする。

このとき

点 D が平面 𝛼 上にある⇔ AD⃗ 𝑘AB⃗ 𝑙AC⃗

となる実数 𝑘, 𝑙 がある

次の 4 点が同一平面上にあるように，𝑥 の値を定めよ。

A 2, 3, 3 , B 1, 5, 1 , C 0, 1, 3 , D 𝑥, 0, 0

AB⃗ 1, 8, 2 , AC⃗ 2, 4, 0 より，3 点 A, B, C は一直線上にない。

よって，AD⃗ 𝑥 2, 3, 3 に対して，AD⃗ 𝑘AB⃗ 𝑙AC⃗ となる実数 𝑘, 𝑙 があるから

𝑥 2, 3, 3 𝑘 1, 8, 2 𝑙 2, 4, 0

ゆえに

𝑥 2 𝑘 2𝑙 ⋯ ⋯ ①

3 8𝑘 4𝑙 ⋯ ⋯ ②

3 2𝑘 ⋯ ⋯ ③

②，③より 𝑘 , 𝑙

したがって，これらを①に代入すると

𝑥 5

空間図形への応用

証明

例題

３

問 17

例題

４

解


9


A 4, 2, 5 , B 3, 4, 4 , C 1, 2, 4 , D 𝑥 1, 4, 𝑥

AB⃗ 7，6， 9 ，AC⃗ 3，4， 1 より，3 点 A，B，C は一直線上にない。

よって，AD⃗ 𝑥 3， 2，𝑥 5 に対して AD⃗ 𝑘AB⃗ 𝑙AC ⃗となる実数 𝑘，𝑙 があるから

𝑥 3， 2，𝑥 5 𝑘 7，6， 9 𝑙 3，4， 1

ゆえに

𝑥 3 7𝑘 3𝑙 ⋯ ⋯ ①

2 6𝑘 4𝑙 ⋯ ⋯ ②

𝑥 5 9𝑘 𝑙 ⋯ ⋯ ③

①，③より 2 2𝑘 2𝑙

1 𝑘 𝑙

これと②より 𝑘 ，𝑙

したがって，これらを①に代入すると

𝒙 𝟒

（教科書 p.101）

2 点 A 0, 1, 4 , B 4, 5, 0 を通る直線 𝑙 上の点 P が，OP ⊥ 𝑙 を満たすとき，点 P の座標を求

めよ。

点 P は直線 𝑙 上にあるから，OP⃗ はある実数 𝑡 を用いて次のように表すことができる。

OP⃗ OA⃗ 𝑡AB⃗

ここで

AB⃗ 4 0, 5 1, 0 4

4, 4, 4

であるから

OP⃗ 0, 1, 4 𝑡 4, 4, 4

4𝑡, 1 4𝑡, 4 4𝑡

と表される。

OP⃗ ⊥ 𝑙 であるから，OP⃗ ⋅ AB⃗ 0 が成り立つ。

よって 4𝑡 4 1 4𝑡 4 4 4𝑡 4 0

これを解くと 𝑡

ゆえに OP⃗ 4 , 1 4 , 4 4

1, 2, 3

したがって，点 P の座標は 1, 2, 3

2 点 A 1, 1, 3 , B 3, 1, 1 を通る直線 𝑙 上の点 P が，OP ⊥ 𝑙 を満たすとき，点 P の座標を求

めよ。

点 P は直線 𝑙 上にあるから，OP⃗ はある実数 𝑡 を用いて次のように表すことができる。

OP⃗ OA⃗ 𝑡AB⃗

ここで

AB⃗ 3 1 ， 1 1，1 3

4， 2， 2

であるから

OP⃗ 1，1，3 𝑡 4， 2， 2

1 4𝑡，1 2𝑡，3 2𝑡

と表される。


よって

1 4𝑡 4 1 2𝑡 2 3 2𝑡 2 0


ゆえに

OP⃗

1 412 ，1 2

12 ，3 2

12

1，0，2

したがって，点 P の座標は 𝟏，𝟎，𝟐

問 18

空間における直線

例題

５

解

問 19


10

（教科書 p.102）空間において，定点 C から一定の距離 𝑟 にある点 P の集合を，C を

中心とする半径 𝑟 の（㊵球面），または単に（㊶球）

という。

ベクトルを用いて，球について考えてみよう。

C 𝑐 , P 𝑝 とすると， CP⃗ 𝑟 であるから，次の式が成り立つ。

（㊷ | 𝑝 𝑐 | 𝑟 ） ……①

①の両辺を 2 乗すると

| 𝑝 𝑐 | 𝑟

ここで，𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑐 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 とすると

𝑝 𝑐 𝑥 𝑥 , 𝑦 𝑦 , 𝑧 𝑧

よって | 𝑝 𝑐 | 𝑥 𝑥 𝟐 𝑦 𝑦 𝟐 𝑧 𝑧 𝟐

したがって，点 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 を中心とする半径 𝑟 の球の方程式は

（㊸ 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 𝑟 ）

となる。とくに，中心が原点の場合は次のようになる。

（㊹ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑟 ）

点 C 0, 2, 6 を中心とし，点 A 2, 1, 4 を通る球の方程式を求めてみよう。

求める球の半径を 𝑟 とすると

𝑟 CA⃗ 2 0 1 2 4 6 3

よって，求める球の方程式は

𝑥 0 𝑦 2 𝑧 6 3

すなわち 𝑥 𝑦 2 𝑧 6 9

点 C 0, 1, 3 を中心とし，点 A 1, 3, 4 を通る球の方程式を求めよ。


𝑟 CA⃗

1 0 3 1 4 3

3√2


𝑥 0 𝑦 1 𝑧 3 3√2

すなわち

𝒙𝟐 𝒚 𝟏 𝟐 𝒛 𝟑 𝟐 𝟏𝟖

2 点 A 1, 1, 4 , B 3, 5, 2 を直径の両端とする球の方程式を求めよ。

求める球の中心は線分 AB の中点であるから，線分 AB の中点を C とすると，その座標は

, , すなわち 1, 2, 1

球の半径は

CA⃗ 1 1 1 2 4 1

√22


𝑥 1 𝑦 2 𝑧 1 √22

すなわち 𝑥 1 𝑦 2 𝑧 1 22

2 点 A 5, 3, 0 , B 3, 5, 4 を直径の両端とする球の方程式を求めよ。


，，すなわち 1，1， 2

球の半径は

CA⃗ 5 1 3 1 0 2 6


𝑥 1 𝑦 1 𝑧 2 6

すなわち

𝒙 𝟏 𝟐 𝒚 𝟏 𝟐 𝒛 𝟐 𝟐 𝟑𝟔

点 C 2, 3, 4 を中心とし，𝑥𝑦 平面に接する球の方程式を求めよ。

求める球の半径 𝑟 は，点 C と 𝑥𝑦 平面の距離に等しい。

よって 𝑟 4

ゆえに，求める球の方程式は

𝑥 2 𝑦 3 𝑧 4 4

すなわち 𝑥 2 𝑦 3 𝑧 4 16

球の方程式

例 12

問 20

例題

６解

問 21

例題

７解


11

点 C 3, 1, 4 を中心とし，𝑦𝑧 平面に接する球の方程式を求めよ。

求める球の半径 𝑟 は，点 C と 𝑦𝑧 平面の距離に等しい。

よって 𝑟 3

ゆえに，求める球の方程式は

𝑥 3 𝑦 1 𝑧 4 3

すなわち 𝒙 𝟑 𝟐 𝒚 𝟏 𝟐 𝒛 𝟒 𝟐 𝟗

（教科書 p.104）

100 ページで学んだように，一直線上にない 3 点 A 𝑎 , B 𝑏 , C 𝑐 が定める平面を 𝛼 とするとき，

点 P 𝑝 が平面 𝛼 上にある条件は AP⃗ 𝑘AB⃗ 𝑙AC⃗ となる実数 𝑘, 𝑙 があることである。

よって 𝑝 𝑎 𝑘 𝑏 𝑎 𝑙 𝑐 𝑎

𝑝 1 𝑘 𝑙 𝑎 𝑘𝑏 𝑙𝑐

1 𝑘 𝑙 𝑠, 𝑘 𝑡, 𝑙 𝑢 とおくと，点 P が平面 𝛼 上にある条件は

（㊺ 𝑝 𝑠𝑎 𝑡𝑏 𝑢𝑐, 𝑠 𝑡 𝑢 1 ）

となる実数 𝑠, 𝑡, 𝑢 があることである。

このことを用いて，100 ページの例題 4 は次のように解くこともできる。


A 2, 3, 3 , B 1, 5, 1 , C 0, 1, 3 , D 𝑥, 0, 0

AB⃗ 1, 8, 2 , AC⃗ 2, 4, 0 より，3 点 A, B, C は一直線上にない。

1 点 O をとり，OA⃗ 𝑎, OB⃗ 𝑏, OC⃗ 𝑐, OD⃗ 𝑑 とおくと

𝑑 𝑠𝑎 𝑡𝑏 𝑢𝑐, 𝑠 𝑡 𝑢 1

となる実数 𝑠, 𝑡, 𝑢 があるから

𝑥, 0, 0 𝑠 2, 3, 3 𝑡 1, 5, 1 𝑢 0, 1, 3

したがって

⎩⎪⎨

⎪⎧ 𝑥 2𝑠 𝑡 ⋯ ⋯ ①

0 3𝑠 5𝑡 𝑢 ⋯ ⋯ ②

0 3𝑠 𝑡 3𝑢 ⋯ ⋯ ③

𝑠 𝑡 𝑢 1 ⋯ ⋯ ④

②，③，④より 𝑠 , 𝑡 , 𝑢

これらを①に代入すると 𝑥 5

問 22 発展点が平面上にある条件

例題

４

別解


12

（教科書 p.105）

19 2 点 A 1, 3, 4 , B 3, 6, 2 について，AB⃗ の成分表示を求めよ。また， AB⃗ を求めよ。

AB⃗ 3 1 ， 6 3 ， 2 4

𝟒， 𝟑， 𝟔

AB⃗ 4 3 6

√𝟔𝟏

20 次のベクトル 𝑎, 𝑏 のなす角 𝜃 を求めよ。 (1) 𝑎 1, 1, 2 , 𝑏 4, 2, 2


|𝑎| 𝑏

1 4 1 2 2 21 1 2 √4 2 2

12

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 𝟔𝟎°

(2) 𝑎 1, 1, 0 , 𝑏 2, 1, 2


|𝑎| 𝑏

1 2 1 1 0 21 1 0 2 1 2

1√2

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 𝟏𝟑𝟓°

(3) 𝑎 √3, 1, √6 , 𝑏 1, √3, √2


|𝑎| 𝑏

√ √ √ √

√ √ √ √

0 0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから

𝜽 𝟗𝟎°

21 2 つのベクトル 𝑎 1, 3, 2 , 𝑏 2, 1, 4 の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

求めるベクトルを 𝑐 𝑥，𝑦，𝑧 とする。 𝑎 ⊥ 𝑐 より 𝑎 ⋅ 𝑐 0 であるから 𝑥 3𝑦 2𝑧 0 ……① 𝑏 ⊥ 𝑐 より 𝑏 ⋅ 𝑐 0 であるから 2𝑥 𝑦 4𝑧 0 ……② |𝑐| 1 より |𝑐| 1 であるから 𝑥 𝑦 𝑧 1 ……③ ①，②より 𝑦 0，𝑥 2𝑧 ③に代入して 4𝑧 0 𝑧 1

よって 𝑧 すなわち 𝑧√

したがって 𝑥√

，𝑦 0，𝑧√

または 𝑥√

，𝑦 0，𝑧√

ゆえに，求めるベクトルは 2

√5，0，

1√5

，2

√5，0，

1√5

すなわち

𝟐√𝟓𝟓 ，𝟎，

√𝟓𝟓 ，

𝟐√𝟓𝟓 ，𝟎，

√𝟓𝟓

Training


13

22 空間における 2 点 A 𝑎 , B 𝑏 に対して，線分 AB を 3 ∶ 1 に内分する点を P 𝑝 ，外分する点を

Q 𝑞 とする。𝑝, 𝑞 をそれぞれ 𝑎, 𝑏 で表せ。

𝒑𝑎 3𝑏3 1

𝒂 𝟑𝒃𝟒

𝒒𝑎 3𝑏3 1

𝒂 𝟑𝒃𝟐

23 四面体 OABC において，辺 OA, BC, OB, AC の中点を，それぞれ K, L, M,N とし，KL の中点を P とする。このとき，3 点 M, P, N は一直線上にあ

ることを示せ。

OA⃗ 𝑎，OB⃗ 𝑏，OC⃗ 𝑐 ⃗ とすると

OK⃗12 𝑎，OL⃗

𝑏 𝑐2

OM⃗12 𝑏，ON⃗

𝑎 𝑐2

OP⃗OK⃗ OL⃗

2

12 𝑎 𝑏 𝑐

22

𝑎 𝑏 𝑐4

MP⃗ OP⃗ OM⃗𝑎 𝑏 𝑐

412 𝑏

𝑎 𝑏 𝑐4

MN⃗ ON⃗ OM⃗𝑎 𝑐

212 𝑏

𝑎 𝑏 𝑐2

よって MN⃗ 2MP⃗

ゆえに，3 点 M，P，N は一直線上にある。

24 次の 4 点が同一平面上にあるように，𝑥 の値を定めよ。

A 1, 3, 4 , B 2, 5, 3 , C 4, 0, 2 , D 0, 𝑥, 𝑥 2

AB⃗ 3，2， 7 ，AC⃗ 5， 3， 6 より，3 点 A，B，C は一直線上にない。

よって，AD⃗ 1，𝑥 3， 𝑥 2 に対して，AD⃗ 𝑘AB⃗ 𝑙AC⃗ となる実数 𝑘，𝑙 があるから

1，𝑥 3， 𝑥 2 𝑘 3，2， 7 𝑙 5， 3， 6

ゆえに

1 3𝑘 5𝑙 ⋯ ⋯①

𝑥 3 2𝑘 3𝑙 ⋯ ⋯②

𝑥 2 7𝑘 6𝑙 ⋯ ⋯③

②，③より 5 5𝑘 9𝑙

これと①より 𝑘 8，𝑙 5 これらを②に代入すると 𝒙 𝟐𝟖

25 2 点 A 5, 3, 1 , B 1, 3, 5 を通る直線 𝑙 上の点 P が，OP ⊥ 𝑙 を満たすとき，点 Pの座標を求め

よ。

点 P は直線 𝑙 上にあるから，OP⃗ はある実数 𝑡を用いて次のように表すことができる。

OP⃗ OA⃗ 𝑡AB⃗ ここで AB⃗ 6，6，4

であるから

OP⃗ 5， 3，1 𝑡 6，6，4

5 6𝑡， 3 6𝑡，1 4𝑡

と表される。


5 6𝑡 6 3 6𝑡 6 1 4𝑡 4 0


ゆえに OP⃗ 2，0，3

したがって，点 P の座標は 𝟐，𝟎，𝟑


14

26 点 2, 3, 4 を中心とし，点 1, 2, 1 を通る球の方程式を求めよ。


𝑟 1 2 2 3 1 4

√19 よって，求める球の方程式は

𝒙 𝟐 𝟐 𝒚 𝟑 𝟐 𝒛 𝟒 𝟐 𝟏𝟗

27 次の問に答えよ。 (1) 2 点 A 2, 1, 4 , B 6, 3, 2 を直径の両端とする球の方程式を求めよ。


2 62 ，

1 32 ，

4 22

すなわち 2， 1， 3

球の半径は

CA⃗

2 2 1 1 4 3

√21 よって，求める球の方程式は

𝒙 𝟐 𝟐 𝒚 𝟏 𝟐 𝒛 𝟑 𝟐 𝟐𝟏

(2) 点 C 0, 3, 4 を中心とし，𝑧𝑥 平面に接する球の方程式を求めよ。

求める球の半径 𝑟 は，点 C と 𝑧𝑥 平面の距離に等しい。よって 𝑟 3 ゆえに，求める球の方程式は

𝒙𝟐 𝒚 𝟑 𝟐 𝒛 𝟒 𝟐 𝟗

3節 空間におけるベクトル 平面に平行な平面の方程 …...数学b...

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3節空間におけるベクトル平面に平行な平面の方程 …...数学b...