4주차 강의

26장. 전기용량과 유전체

26.1 전기용량의 정의 26.2 전기용량의 계산 26.3 축전기의 연결 26.4 대전된 축전기에 저장된 에너지 26.5 유전체가 있는 축전기 26.6 전기장 내에서의 전기 쌍극자 26.7 유전체의 원자적 기술

26.1 전기용량의 정의 (Definition of Capacitance)

도체판에 대전되는 전하량 : 전위차에 비례.

전기용량(capacitance) C :

(단위: C/V = F) V

QC

축전기 두 도체판 사이의 전위차가 전지 양단의 전위차와 같아질 때까지 축전기는 충전, 전위차가 같아지면 더 이상 충전이 이루어지지 않음.

26.2 전기용량의 계산 (Calculating Capacitance)

대전된 구형의 도체를 고려. 이 도체로부터 형성되는 전기력선은 무한대의 반지름을 가진 중심이 같은 도체 구에 크기는 같고 반대의 극성을 가진 전하가 있는 경우와 정확하게 동일.

고립된 대전 구의 전기용량

무한대에 위치한 구각 도체의 전위를 영점으로 정하면, 반지름 a인 도체구의 전위차는 간단히 keQ/a 가 되므로

ak

a

aQk

Q

V

QC

ee

04πε/Δ

고립된 대전구의 전기용량 : 반지름에만 비례. 구의 전하량이나 전위차에 의존하지 않음.

평행판 축전기 (Parallel-Plate Capacitors)

A

QE

00 εε

σ

도체판 내부 영역의 전기장

이므로EdV

A

QdEdV

0εΔ

AQd

Qd

V

QC

0ε/

Δ

d

AC 0ε

평행판 축전기의 전기용량 : 판의 면적에 비례하고 판 사이의 간격에 반비례.

예제 : 원통형 축전기

반지름이 a인 원통형 도체가 전하량 +Q로 대전되어 있고 반지름이 b인 큰 원통은 -Q로 대전되어 있으며, 이들은 그림과 같이 동심 축을 이루고 있다. 원통의 길이를 이라고 할 때, 이 원통형 축전기의 전기용량을 구하라

baab dVV sE

rk

rE e

λ

πε

λ2

2 0

a

bnk

r

drkdrEVV e

ba

baerab 122 λλ

)/()/()(/( abnkabnQk

Q

V

QC

ee 1212

Δ )/( abnkC

e12

구형 축전기는 그림과 같이 반지름이 b이고 전하량이 –Q인 구형 도체 구각과 내부에 반지름이 a이고 전하량이 +Q인 작은 도체로 구성되어 있다. 이에 대한 전기용량을 구하라.

예제 : 구형 축전기

구형의 대칭 전하 분포에 대한 구 밖에서의 전기장은 지름 방향이고 크기는 keQ/r2 .

baab dVV sE

r4

12

0

ˆr

QE

πε

b

a

eba

baerab

rQk

r

drQkdrEVV

12

ab

baQk

abQkVV eeab

111)(

)( abk

ab

VV

Q

V

QC

eab

Δ )( abk

abC

e

26.3 축전기의 연결 (Combination of Capacitors)

병렬 연결 (Parallel Combination)

VVV ΔΔΔ 21

21 QQQ

VCQ eqtot Δ

2211 VCVCVCeq ΔΔΔ

)병렬연결( 321 CCCCeq

QQQ 21

21 VVVtot ΔΔΔ

eq

tot

C

QV Δ

21 C

Q

C

Q

C

Q

eq

)직렬연결(321

1111

CCCCeq

직렬 연결(Series Combination)

26.4 대전된 축전기에 저장된 에너지 (Energy Stored in a Charged Capacitor)

축전기를 충전할 때 외부 기전력이 축전지에 대해 일을 한다. ← 기전력이 소모하는 만큼의 에너지가 축전기에 저장.

충전시키는 동안의 어느 순간에 축전기에 전하량 q가 충전되어 있다고 가정. 바로 그 순간에, 축전기 양단의 전위차는 V=q/C , 전하가 -q인 판으로부터 +q인 판(높은 전위)으로 미소 전하 dq를 옮기는 데 필요한 일 따라서,

dqC

qVdqdW

축전기를 충전시킬 때 한 일 축전기에 저장된 전기 위치 에너지 U .

22

2

1

2

1

2)( VCVQ

C

QU ΔΔ

축전기가 충전되면 축전기 내부에 전기장이 형성. ← 축전기에 저장된 에너지는 충전이 되면서 판 사이에 형성되는 전기장의 형태로 저장.

20

202

2

1

2

1

2

1EAdEd

d

AVCU )()()( ε

ε Δ

20

2

1EUE ε (에너지 밀도)

← 전기장 내의 에너지 밀도는 전기장 크기의 제곱에 비례.

예제 : 두 개의 대전된 축전기의 연결

전기용량이 C1과 C2(C1 >C2)인 축전기를 같은 처음 전위차 Vi로 충전한 후 전지를 제거한다. 그리고 그림과 같이 극성을 바꿔 축전기 판에 도선을 연결한다. 그리고 난 후에 S1과 S2를 그림과 같이 닫는다. (A) 스위치를 닫은 다음 점 a와 b 사이의 전위차 Vf 를 구하라.

축전기의 왼쪽 판들을 하나의 고립계로 생각.

iiiiii VCCVCVCQQQ ΔΔΔ )()( 2121211

스위치를 닫으면 모든 축전기가 같은 전위차가 될 때까지 전하가 이동.

ffffff VCCVCVCQQQ ΔΔΔ )()( 2121212

ifif CCVCCQQ ΔΔ )()( 2121

if VCC

CCV ΔΔ

21

213)(

(B) 스위치를 닫기 전과 닫은 후의 저장된 전체 에너지를 구하고, 처음 에너지에 대한 나중 에너지의 비율을 계산하라.

221

22

21

2

1

2

1

2

14 ))(()()()( iii VCCViCVCU ΔΔΔ

221

22

21

2

1

2

1

2

1))(()()( ffff VCCVCVCU ΔΔΔ

21

2221

2

2

21

2121

2

1

2

1

CC

VCC

VCC

CCCC

i

i

)()(

)()(

Δ

Δ

221

2122

21

2

12

1

))((

)/()()(

ViCC

CCViCC

U

U

i

f

Δ

Δ

2

21

21

CC

CC

U

U

i

f

26.5 유전체가 있는 축전기 (Capacitors with Dielectrics)

유전체(dielectric)

고무, 유리, 왁스칠한 종이 등과 같은 비전도성 물질. 유전체를 축전기의 도체판 사이에 채우면 축전기의 전기용량이 증가.

이미 충전되어 있는 고립된 축전기에 유전체를 삽입하면 도체 판 사이의

전위차 감소.

0V

V

κ >1이며, 차원이 없는 인자로서 물질의 유전 상수(dielectric constant)라 부른다.

0

0

0

00

V

Q

V

Q

V

QC

ΔΔΔκ

κ

/

0CC

평행판 축전기의 전기용량은 판의 면적에 비례하고 판 사이의 간격에 반비례. ← 극판 사이의 거리 d를 감소시키면, 전기용량을 아주 크게 증가시킬 수 있는 것처럼 보임. 실제로는 유전체를 통하여 극판 사이에 방전이 일어나므로 d의 최소값은 한계를 가짐.

유전체의 유전 강도(dielectric strength; 최대 전기장의 세기) 주어진 극판 사이의 d에 대하여, 방전을 일으키지 않고 걸어줄 수 있는 최대 전기장.

d

AC

0εκ

유전체 사용의 이점:

•축전기의 전기용량 증가

•축전기의 최대 작동 전압 증가

•도체 극판 사이를 역학적으로 지탱해주는 효과

26.6 전기장 내에서의 전기 쌍극자 (Electric Dipole in an Electric Field)

전기 쌍극자(electric dipole) 크기는 같지만 부호가 반대인 두 전하가 거리 2a를 두고 떨어져 있을 때. 전기 쌍극자 모멘트 aqp 2

• 전기 쌍극자가 균일한 외부 전기장 E 내에서 각 θ 의 방향을 가지고 놓여 있는 경우

0 EqEqF

sin2Fa

sinsin2 pEaqE

Epτ

전기장 방향으로의 정렬과 반대로 쌍극자를 돌리고자 하면, 외부에서 일을 해주어야 하며, 이 일은 계의 위치 에너지로 저장.

dUdpEddW sin

)cos(cos]cos[

sinsin

fi

if

pEpE

dpEdpEdUU

f

i

f

i

f

i

f

i

cospEU Ep U

극성 분자(polar molecules) 물과 같이 분자의 양전하와 음전하의 각각에 대한 평균적인 위치가 분리되어 있는 분자.

비극성 분자(nonpolar molecules) 분극을 가지지 않는 분자.

26.7 유전체의 원자적 기술 (An Atomic Description of Dielectrics)

축전기의 도체판에 유전체를 넣으면, 도체판 사이의 전위차가 줄어든다.

← 전위차가 줄어드는 것은 도체판 내의 전기장의 크기가 줄어들기 때문.

0E

E 00 EEEE ind

000

ind이므로0

0

ε

σE

σκ

κσ

1ind

예제 : 금속판의 효과

평행판 축전기에서 판 하나의 면적이 A이고 두 도체판은 서로 d 만큼 떨어져 있다. 두 도체판의 중앙에 두께가 a이고 대전되지 않은 다른 금속판을 넣었다. (A) 이 소자의 전기용량을 구하라.

금속판의 위와 아래를 두 개의 도체판이라 생각하고 금속판의 내부는 전선이라 생각해도 된다.

ad

AC

ad

A

ad

ACCC

0

0021

2

1

2

1111

ε

εε

/)(/)(

(B) 두께가 거의 영인 금속판을 넣을 경우, 이 금속판은 원래의 전기용량에 영향을 미치지 않음을 보여라.

d

A

ad

AC

a

00

0

εε

lim

예제 : 부분적으로 채워진 축전기

평행판 축전기에서 두 도체판은 서로 d 만큼 떨어져 있고, 판 사이에 유전체가 없을 때의 전기용량은 C0이다. 두 도체판 사이에 두께가 fd이고 유전 상수가 κ인 유전체를 넣었을 때 축전기의 전기용량은 얼마인가? 여기서 f의 크기는 0 과 1 사이에 있다.

df

AC

fd

AC

)(

1

02

01

εκε

A

df

A

fd

CCC 0021

1111

εκε

)(

A

dff

A

df

A

fd

C 000

111

εκ

κ

κε

κ

κε

)()(

00

11C

ffd

A

dffC

)()(

κ

κε

κ

κ