4.1 名義利率和實際利率

CH04 名義利率和實際利率 1

4.1 4.1 名義利率和實際利率名義利率和實際利率請複習單利和複利的定義 ( 從第 1 章 )

複利 – 依利率複利利息針對既定的計息期間

計算利息的時間標準 – 一年


名義利率名義利率名義利率的定義 :

一種完全不考慮複利的利率

例如 , 若按月複利，則每年 8% 為名義利率


實際利率實際利率定義 :實際利率為真實的利率，其適用於特

定的時間週期 .在時間週期中，若考慮名義利率的複利，

即為實際利率 .實際利率普遍以年為表示的基準：即

“ ia”

所有利率的公式公式 , 因 , 查表值 , 和試算表關係 , 必須以實際利率來適當考量金前的時間價值 .


三種時間單位三種時間單位時間週期 – 表達利息的週期 ( 要說明 ).

如 : “ 每月 1%”複利週期 (CP) – 付出或賺取利息的最短時

間單位 .如 : “ 每年 8%, 按月複利”

複利頻率 – 在時間週期 t 內發生複利的次數 m.如 : “ 每月 1%, 按月複利” 的 m = 1如 : “ 每年 10%, 每年複利” 的 m = 12

一年分為 : 365 天 , 52 週 , 12 月一季為 : 3 個月 , 每年有 4 季


每每 CP CP 的實際利率的實際利率

每複利週期 (CP) 的實際利率 :

如 : 每年 r = 9%, 按月複利 :

m = 12 …….( 一年有 12 個月 )

每月 i = 0.09/12 = 0.0075 或 0.75%/ 月


常引用的兩種形式常引用的兩種形式

引用兩種利率 :

1. 引用名義利率 2. 引用實際利率

名義和實際利率普遍用於企業 , 財務 , 和工程經濟

兩者都需要加以暸解，才能解決以各種方式描述利率的問題


名義利率的定義名義利率的定義名義利率的定義 :

一種完全不考慮複利的利率

亦即 “只是名義上的” , “ 而非真正、實際的利率” …

每年 8%, 按月複利8% 並非非真正的實際 ( 年 ) 利率8% 代表的是名義利率實際利率將考慮每月複利


名義利率的例子名義利率的例子每月 1.5%，為期 24 個月

等同於 : (1.5%)(24) = 每 24 個月 36%

每月 1.5% ，為期 12 個月等同於 : (1.5%)(12 個月 ) = 18%/ 年

每 6 個月 1.5% ，為期 1 年等同於 : (1.5%)(2 個 6 月 ) = 每年 3%

每週 1% ，為期 1 年等同於 : (1%)(52 週 ) = 每年 52%


例題例題 4.14.1


例題例題 4.1(4.1( 續續 ))


4.2 4.2 年實際利率年實際利率

r = 年名義利率 m = 每年複利期數 i = 每複利期數 (CP)

的實際利率 = r/m ia = 年實際利率 1/(1 ) 1m

eff ai i

r/ 年 = ( 實際 i / CP ) X (CP / 年 ) =(i)X(m)


例題例題 4.24.2


表表 4.2 4.2 用公式用公式 [4.5][4.5] 算實際年利率算實際年利率


例題例題 4.34.3


例題例題 4.3(4.3( 續續 ))


4.3 4.3 任何時間週期的實際利率任何時間週期的實際利率如何計算真正而實際的年利率 .

我們假設年為衡量時間的標準 .

年可由各種複利期數所構成 ( 在一年內 ).

本書的公式 [4.8] 為實際利率的關係


例子例子 : : 實際利率的計算實際利率的計算年利率為 8%, 按季複利則實際年利率為多少 ?

用公式 [4.8] ，以 r = 0.08, m = 4

實際 i = (1 + 0.08/4)4 – 1

= (1.02)4 – 1

= 0.0824 或 8.24%/ 年


例題例題 4.44.4


例題例題 4.4(4.4( 續續 ))


例題例題 4.54.5


4.4 4.4 等值關係式等值關係式 :: 比較支付週期比較支付週期 (PP) (PP) 與複利週期與複利週期 (CP)(CP)

要考慮 : 現金流動的頻率可能等於或不等於複利的頻

率若現金流動的頻率等於複利的頻率 – 沒問題 ! 若否 , 則必須作調整


情況情況

情況參照本書PP = CP 4.5 和 4.6 節PP > CP 4.5 和 4.6 節PP < CP 4.7 節


4.5 4.5 等值關係等值關係 : PP ≥ CP : PP ≥ CP 時的單一金額時的單一金額

只有單一的現金流量 , 也就是 , P 和 F 值

用 P = F(P/F,i,n) 或 F = P(F/P,i,n) 求 P 或 F , 有兩種相當的方法求 i 和 n 因子 .

方法 1. 對實際利率因子 i 而言 : 用 i= r/m 求 CP 內的 i

對總期數因子 n 而言 : 用 n = (m)( 支付期數 ) 求 P 和 F 值之間

發生的 CP 數


4.54.5 等值關係等值關係 : PP ≥ CP : PP ≥ CP 時的單一金額時的單一金額只有單一的現金流量 , 也就是 , P 和 F 值

用 P = F(P/F,i,n) 或 F = P(F/P,i,n) 求 P 或 F , 有兩種相當的方法求 i 和 n 因子 .

方法 2.

用實際 i 的公式 [4.8] 求名義利率時間週期的實際利率

設 n 為名義利率描述中的週期數

r實際 i = (1+ ) 1 m

m


單一金額單一金額 : : 用方法用方法 11 的數字例題的數字例題若現在的 $5000 每年以 6% 賺取利息 ,

按月複利 , 求 5 年後的未來值 .實際月利率 i 為 i = 6%/12 = 0.5%CP 的總年數以及每年 m = 12 次，為 n

= (12)(5) = 60 期

F = 5000(F/P,0.5%,60) = 5000(1.3489)

= $6744


例題例題 4.64.6


例題例題 4.6(4.6( 續續 ))


4.6 4.6 等值關係式等值關係式 : PP ≥ CP : PP ≥ CP 時的系列時的系列

當現金流量涉及一系列時 (A, G, 或 g) ，以現金流動的頻率來定義 PP

若 PP ≥ CP…計算每支付週期的實際 i用正確的 n 為總支付期數 .


系列系列 : : 數字的例子數字的例子

A = $500 ( 每 6 個月 )

F7 = ?

PP > CP , 因 PP = 6- 個月 , 而 CP = 季

計算每 6- 個月 PP 的實際 i

i6- 月表示把 r 調整為適合 PP 者

每年 r = 20%, 按季複利

0 1 2 3 4 5 6 7 年


系列系列 : : 數字的例子數字的例子調整利率

r = 20% 年 , 按季複利i/ 季 = 0.20/4 = 0.05 = 每季 5%

6 個月支付週期中有 2 季實際 i = (1.05)2 – 1 = 每 6 個月 10.25%

現在 , 利率符合支付週期了求 F 7 年 = F 14 期

F = 500(F/A,10.25%,14) = 500(28.4891)

= $14,244.50


例題例題 4.74.7


例題例題 4.7(4.7( 續續 ))


例題例題 4.84.8


例題例題 4.8(4.8( 續續 ))


例題例題 4.94.9


例題例題 4.9(4.9( 續續 ))


4.7 PP < CP 4.7 PP < CP 時的單一金額與系列時的單一金額與系列這種情況跟前者 PP ≥ CP 不同在此 , PP 小於複利週期 CP

扯出的問題是，要如何處理在週期內的複利

請研究例題 4.10


例題例題 4.104.10


例題例題 4.10(4.10( 續續 ))


4.8 4.8 連續複利的實際利率連續複利的實際利率請回想，實際 i = (1 + r/m)m – 1

若複利的頻率 m 趨近於無限大，則會發生什麼事 ?這表示在一個支付週期內的複利次數無限多 ,

且兩次複利間的時間趨近於 “ 0”

對既定的 r 值而言，將會趨近於有限的 i

值


連續實際複利率的推導連續實際複利率的推導

改寫實際 i 的關係為 (1 ) 1 1 1

rm

rmr r

m m

(1 ) 1mri

m

現在 , 來看讓 “ m” 趨近無限大的影響 . 這要取上式的界限為 m→∞

1lim 1 2.71828

h

he

h

記得對數 e 的定義為


連續實際複利率的推導連續實際複利率的推導

因而 :lim 1 1 1.

rm

rr

m

ri e

m

當利率為連續複利時，實際 i 為 :

Effective i = er – 1

當利率為連續複利時，要求既定 i 的等值名義利率，則用 :

ln(1 )r i


例題例題 4.114.11


例題例題 4.11(4.11( 續續 ))


例題例題 4.124.12


例題例題 4.12(4.12( 續續 ))


4.9 4.9 隨時間而改變的利率隨時間而改變的利率實務上 , 不會隨時間改變而維持相同的利

率 , 除非是以契約明定之 .

會存在 “隨時間而改變的利率 – 是很正常的 !

如有必要 , 要如何處理這種狀況 ?


變動的利率變動的利率 : : 要求現值要求現值

要求現值 : 把每筆現金流量都以各期利率，追朔至預期的

時間點如下 :

P = F1(P/F,i1,1) + F2(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) + …

+Fn(P/F,i1,1)(P/F,i2,1)(P/F,i3,1)…(P/F,in,1)

此過程會涉及計算 !


變動的利率變動的利率 : : 觀察觀察

除非特殊狀況，我們極少以變動利率來評估問題的模型 .

若有必要 , 最好是建立試算表模型實施那個工作可能蠻棘手的


例題例題 4.134.13


例題例題 4.13(4.13( 續續 ))

4.1 名義利率和實際利率

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