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Clculo de Volumen

Integral

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Habilidades

1.Identifica los dos tipos de regiones regulares con

respecto a los ejes coordenados.2.Calcula rea entre curvas.3.Calcula volmenes por el mtodo de las

secciones transversales..Calcula volmenes por el mtodo del disco.!.Calcula volmenes por el mtodo de la arandela.

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3

I"#$%&'CCI("

)l tratar de calcular el volumen de un s*lidoenfrentamos el mismo problema +ue al tratar decalcular un rea.&ebemos usar el Clculo Integral para llegar a unadefinici*n e,acta.

-ara ello recordaremos los volmenes de s*lidossencillos como cilindros / prismas.

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4

)0

Cilindro $ectoV )0

r0

Cilindro circularV r20

ab

c

-araleleppedo$ectangularV abc

l volumen de un s*lido cual+uiera podrdescomponerse en la suma de volmenes de s*lidoselementales como los anteriores

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Volumen de un s*lido de revoluci*n

4*lido de revoluci*n es el +ue se obtiene al girar unaregi*n del plano alrededor de una recta del planollamada eje de revolucin.

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6

&iferencial de

volumen5,i

f6xi7a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

89#%&% &: &I4C%

( )[ ] iii xxfV =2

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7

#%$8)

4ea funa funci*n continua en el intervalo ;a b< /

f6x7 = > en ;a b

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8

jemplo 1@

Calcule el volumen del s*lido generado al rotaralrededor del eje ? la regi*n acotada por la curva/ ,2/ las rectas , 1 , 2 / >.

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9

jemplo 2@

Calcule el volumen del s*lido de revoluci*ngenerado al rotar alrededor del eje A la regi*nlimitada por la curva / B ,2 2 > , > / >/ 1.

y

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3. Calcula el volumen del s*lido +ue se obtiene algirar la regi*n R alrededor del eje y.

( )

=

yxyyxR 2>D1E 2

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&el ejemplo anterior se desprende lo siguiente@

l volumen obtenido al girar la regi*n limitada porla curvax g6y7 / las rectas , > / c / d 6c F d7 alrededor del eje Yser igual a@

( )[ ]=d

c

dyygV2

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8todo de la arandelaCuando la regi*n a girar est limitada por dos

funciones f6x7 / g6x7 continuas en ;a b

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#%$8)

4ean f/ gdos funciones continuas en ;a b< tales

+ue f6x7 = g6x7 para toda , en ;a b

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jemplo @

Calcule el volumen del s*lido generado al giraralrededor del eje ? la regi*n acotada por laparbola / ,2B 1 / la recta / , B 3.

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jemplo !@

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16

jemplo @Calcule el volumen del s*lido generado al girar

alrededor del eje Ala regi*n limitada por las curvasx y2B 1 / x y2B yB .

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

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jemplo J@

Halle el volumen del s*lido +ue se obtiene algirar la regi*n limitada por /> /2,2 ,3alrededor del eje y.

8todo de los cascarones cilndricos

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8todo de los cascarones cilndricos

n algunos casos se desea calcular el volumen deuna regi*n limitada por una funci*n y f6x7 algirar alrededor del eje / para lo cual se deben0allar los e,tremos locales de f6x7 / despejar , entrminos de / 6xg6y77. sto muc0as veces es

mu/ complicado por lo +ue se usar otro mtodo@los cascarones cilndricos.

KC*mo escogera elelemento diferencialde volumenL

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,i,i

f6xi7

&iferencial de

volumen,i ,i

f(xi)

-ara espesores lo suficientemente pe+ueMos elvolumen ser igual a@

( ) iiii xxfxV = 2

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20

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#%$8)

4ea funa funci*n continua en el intervalo ;a b para toda , en ;a b

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jemplo N@

&etermine el volumen del s*lido de revoluci*ngenerado al girar alrededor del eje A la regi*nlimitada por la curva / 3, ,3 el eje A / la recta/ 2.

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jemplo O@

:a regi*n limitada por la curva / ,2

las rectas/ 1 / , 2 se gira alrededor de la recta / 3.Calcule el volumen generado.

y = -3

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,

xi

)6b7

)6a7

ba ,i

)6xi7

l diferencialde volumen

)6,i7

,i

Vi )6,i7 ,i

Clculo de volmenes de s*lidos +ueno son de revoluci*n

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l volumen del s*lido ser apro,imadamente@

4e define el volumen V como el lmite de la suma

de $iemann

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jemplo 1>@ Calcular el volumen de una esfera de

radio R.

x

y

x

Ry

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jemplo 11@ 'tilice la definici*n anterior para

calcular el volumen de una pirmide de altura h/base cuadrada de lado b.

h

b

yi