คูมอืครสูาระการเรยีนรูพืน้ฐานคณติศาสตร เลม ๑

กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๑

ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร

ISBN 974 - 01 -3610 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๒๐,๐๐๐ เลม

พ.ศ. ๒๕๔๖

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ

( .)

2544

1 1

.

.

.

( )

( .)

3

( 1-3) 4 ( 4-6)

2544

3 4

3

6 1

1 2 1 1 2 2 2 1

3 2 3

1 1 3

( )

( )

สารบัญ

หนาคํานําคําชี้แจงคําชี้แจงการใชคูมือครู กกําหนดเวลาสอนโดยประมาณ งบทท่ี 1 สมบัติของจํานวนนับ 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1แนวทางในการจัดการเรียนรู 21.1 ตัวหารรวมมากและการนําไปใช 2

จุดประสงค 2เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 2ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2

1.2 ตัวคูณรวมนอยและการนําไปใช 3จุดประสงค 3เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 3ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3

คําตอบแบบฝกหัด 5กิจกรรมเสนอแนะ 8

บทท่ี 2 ระบบจํานวนเต็ม 22ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 22แนวทางในการจัดการเรียนรู 232.1 จํานวนเต็ม 23

จุดประสงค 23เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 23ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 23

2.2 การบวกจํานวนเต็ม 24จุดประสงค 24เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 24ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 24

หนา2.3 การลบจํานวนเต็ม 25

จุดประสงค 25เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 25ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 25

2.4 การคูณจํานวนเต็ม 26จุดประสงค 26เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 26ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 26

2.5 การหารจํานวนเต็ม 27จุดประสงค 27เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 27ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 28

2.6 สมบัติของจํานวนเต็ม 28จุดประสงค 28เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 28ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 28

คําตอบแบบฝกหัด 29กิจกรรมเสนอแนะและแบบฝกหัดเพิ่มเติม 39

บทท่ี 3 เลขยกกําลัง 64ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 65แนวทางในการจัดการเรียนรู 663.1 ความหมายของเลขยกกําลัง 66

จุดประสงค 66เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 66ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 66

3.2 การดําเนินการของเลขยกกําลัง 70จุดประสงค 70เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 70ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 70

หนา3.3 การนําไปใช 72

จุดประสงค 72เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 72ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 72

คําตอบแบบฝกหัด 73กิจกรรมเสนอแนะและแบบฝกหัดเพิ่มเติม 83

บทท่ี 4 พื้นฐานทางเรขาคณิต 110ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 110แนวทางในการจัดการเรียนรู 1114.1 จุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสีและมุม 111

จุดประสงค 111เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 111ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 111

4.2 การสรางพื้นฐาน 114จุดประสงค 114เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 114ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 114

4.3 การสรางรูปเรขาคณิตอยางงาย 120จุดประสงค 120เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 120ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 120

คําตอบแบบฝกหัด 123กิจกรรมเสนอแนะ 154คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน 167

คําชี้แจงการใชคูมือครู

สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยไีดพจิารณาเหน็วา เพือ่ใหจดัการเรยีนการสอนคณติศาสตรไดอยางมปีระสทิธภิาพและบรรลมุาตรฐานการเรยีนรูทีก่าํหนดไวในหลักสตูรครบถวนทัง้สามดาน ไดแก ดานความรู ดานทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรและดานคุณธรรม จริยธรรมและคานิยม จึงไดจัดทําคูมือครู ซ่ึงเสนอแนะวธีิสอนและวธีิจดักจิกรรมการเรยีนการสอนไวโดยละเอยีด เพือ่ใชควบคูกบัหนงัสอืเรยีนสาระการเรยีนรูพืน้ฐาน คณติศาสตร เลม 1 ดงันัน้ครตูองศกึษาคูมอืครูใหเขาใจถองแท ควรทดลองปฏบิตักิจิกรรมเพือ่ใหเกดิความพรอมในการสอนกอนเขาสอนทกุบทเรยีน และดาํเนนิกจิกรรมตามทีเ่สนอแนะไว ครูอาจปรบัเปลีย่นกจิกรรมและวธีิจดักจิกรรมการเรยีนการสอนไดตามความเหมาะสม โดยคํานึงถึงศักยภาพของนักเรียนเปนสําคัญ

คูมือครูของแตละบทประกอบดวยหัวขอตอไปนี้ 1. ชือ่บทและหวัขอเร่ืองประจาํบท ระบจุาํนวนชัว่โมงทีใ่ชในการเรยีนการสอนของแตละบทและแตละหวัขอไวโดยประมาณ ครูอาจยืดหยุนไดตามที่ครูเห็นสมควร 2. คํานําประจําบท บอกสาระสําคัญของบทเรียนที่ควรย้ํา

3. ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป ในแตละบทเรียนจะระบุผลการเรียนรูที่คาดหวังรายปตามที่ปรากฏอยูในหนังสือคูมือการจัดการเรียนรูกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ครูตองคํานึงถึงเสมอวาจะตองจดักจิกรรมการเรยีนรูใหนกัเรยีนเกดิผลการเรยีนรูตามทีก่าํหนด เพือ่การวดัและประเมนิผลหลังจบการเรยีนการสอน และผลการเรียนรูที่ผานการประเมินนี้จะทําใหผูเรียนบรรลุผลตามมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นที่ 3 ดวย

4. แนวทางในการจัดการเรียนรู ในแตละหัวขอเร่ืองของบทเรียนนี้ประกอบดวยหัวขอ ดังตอไปนี้

1) จุดประสงค ระบุไวเพื่อใหครูคํานึงถึงเสมอวาจะตองจัดกิจกรรมการเรียนรูใหนักเรียนมีความรูและมีความสามารถตรงตามจุดประสงคที่วางไว ซ่ึงจะตองเกิดขึ้นระหวางเรียนหรือดําเนินกิจกรรม ครูตองประเมินผลใหตรงตามจุดประสงคและใชวธีิการประเมนิผลทีห่ลากหลายเพือ่ใหมผีลบรรลุถึงผลการเรยีนรูทีค่าดหวงัรายป

การประเมนิผลทีห่ลากหลายอาจเปนการสงัเกต การตอบคาํถาม การทาํแบบฝกหดั การทําใบกิจกรรม หรือการทดสอบยอย จุดประสงคใดที่ครูเห็นวานักเรียน สวนใหญยังไมผาน ในชั่วโมงตอไปครูควรนําบทเรียนนั้นมาสอนซอมเสริมใหม

ข

2) เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ระบุรายการกิจกรรมเสนอแนะหรือแบบฝกหัดเพิ่มเติมดังรายละเอียดในขอ 6 และขอ 7

3) ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เปนสวนสําคัญของคูมือครู ครูควรศึกษาและทําความเขาใจควบคูกับหนังสือเรียน เพื่อเตรียมจัดกิจกรรม การเรียนการสอนใหสอดคลองกับจุดประสงคและเหมาะสมกับความสามารถของ นักเรียน

5. คําตอบแบบฝกหัดประจําบท แบบฝกหัดทุกขอมีคําตอบใหและบางขอมีเฉลยแนวคิดไวใหเพื่อเปนแนวทางหนึ่งในการหาคําตอบ บางขอมีหลายคําตอบแตใหไวเปนตัวอยางเพียงหนึ่งคําตอบ ทั้งนี้เพราะแบบฝกหัดที่ใหนักเรียนทํา ไดสอดแทรกปญหาที่เปดโอกาสใหนักเรียนคิดอยางหลากหลาย การใหเหตุผลหรือคําอธิบายของนักเรียนอาจแตกตางจากที่เฉลยไว ในการตรวจแบบฝกหัด ครูควรพิจารณาอยางรอบคอบ ยอมรับคําตอบที่เห็นวามีความถูกตองและเปนไปได ปญหาที่มีลักษณะเปนปญหาชวนคิด มีคําตอบอยูในสวนนี้ดวย

6. กิจกรรมเสนอแนะ มทีัง้กจิกรรมเพือ่นาํเขาสูเนือ้หาสาระ เสรมิเนือ้หาสาระและกจิกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรเพื่อใหครูเลือกใช ในแตละกิจกรรมครูอาจปรับเปลี่ยนใหเหมาะสมกับเวลาและความสามารถของนักเรียน

กอนดําเนินกิจกรรม ครูควรสนทนากับนักเรียนดวยบรรยากาศที่เปนกันเอง เพื่อใหเกิดความเขาใจและมองเหน็แงมมุตาง ๆ ของกจิกรรมทีจ่ะทาํ ไมควรดวนอธบิายหรอืช้ีนาํแนวคดิ ขณะทาํกจิกรรม ครูตองสงเสริมใหนักเรียนไดมีโอกาสแสดงความคิดเห็นที่หลากหลาย ตลอดจนฝกฝนใหนักเรียนรูจักวิเคราะห ตัดสินใจและหาขอสรุป 7. แบบฝกหัดเพิ่มเติม ในบางบทเรียนไดเตรียมแบบฝกหัดเพิ่มเติมไวใหครูเลือกหรือปรับใช

ค

คําแนะนําการใชหนังสือเรียนคณิตศาสตรพื้นฐาน

หนังสือเรียนคณิตศาสตรพื้นฐาน ประกอบดวย1. เนื้อหาสาระ ในการนําเสนอเนื้อหาสาระของแตละบทเรียน ไดคํานึงถึงการเชื่อมโยงความรูใหม

กับความรูพื้นฐานเดิมของนักเรียน โดยพยายามใชตัวอยางจากชีวิตจริงและความรูจากศาสตรอ่ืนประกอบการอธิบายเพื่อใหไดขอสรุปเปนความรูใหมตอไป

2. ตัวอยาง มีไวเสริมความเขาใจในเนื้อหาสาระและการนําไปใช3. แบบฝกหัดทายหัวขอ แบบฝกหัดที่นําเสนอไวมีหลายลักษณะ คือ ฝกทักษะการคิดคํานวณ

แกโจทยปญหา ฝกวิเคราะห ใหเหตุผล และฝกหาขอสรุปเพื่อนําไปสูการสรางขอความคาดการณ4. ปญหาชวนคดิหรือเร่ืองนารู เปนโจทยปญหาหรอืสถานการณกระตุนใหนกัเรยีนไดใชความรูทีเ่รียนมา

เพื่อแกปญหาหรือหาขอสรุปใหม

เพื่อใหเกิดประสิทธิภาพสูงสุดในการใชหนังสือเรียน ครูควรปฏิบัติดังนี้1. ศึกษาเนื้อหาสาระและวิธีนําเสนอควบคูกับกิจกรรมของแตละเร่ืองที่เสนอแนะไวในคูมือครูให

เขาใจอยางถองแท2. ทําแบบฝกหัดทายหัวขอและแสวงหาวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการหาคําตอบ โดยเฉพาะอยางยิ่ง

ขอที่มีวิธีคิดหรือคําตอบที่หลากหลาย3. วางแผนการจัดการเรียนรูตลอดภาคเรียนใหครอบคลุมทุกเนื้อหาสาระและเหมาะสมกับเวลา4. ในการสอนเนื้อหาสาระแตละเรื่องไมควรดวนบอกนักเรียนทันที ควรใชวิธีการสอนผานกิจกรรม

หรืออภิปรายโตตอบ เพื่อใหนักเรียนสรุปความคิดรวบยอดดวยตนเองเทาที่จะสามารถทําได5. สรางสถานการณหรือโจทยที่สอดคลองกับเนื้อหาสาระในบทเรียนเพิ่มเติมจากสิ่งที่อยูใกลตัวหรือ

ภูมิปญญาทองถ่ิน เพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจในเนื้อหาสาระมากขึ้นและสามารถเชื่อมโยงความรูตาง ๆ เปนแนวทางในการประยุกตตอไป

กําหนดเวลาสอนโดยประมาณ

หนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 1

บทท่ี เร่ือง จํานวนชั่วโมง1

2

3

4

สมบัติของจํานวนนับ

ระบบจํานวนเต็ม

เลขยกกําลัง

พื้นฐานทางเรขาคณิต

6

26

13

15

รวม 60

1

บทที่ 1สมบัติของจํานวนนับ (6 ช่ัวโมง)

1.1 ตัวหารรวมมากและการนําไปใช (4 ช่ัวโมง)1.2 ตัวคูณรวมนอยและการนําไปใช (2 ช่ัวโมง)

เนื้อหาในบทเรียนนี้ จะเนนเฉพาะเรื่อง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. โดยเริ่มทบทวนในเรื่องที่เกี่ยวกับการหารจํานวนนับที่เปนการหารลงตัว ตัวหารหรือตัวประกอบ ตัวประกอบรวม หรือตัวหารรวมจํานวนเฉพาะ ตัวประกอบเฉพาะและการแยกตัวประกอบ เพื่อนําสมบัติไปใชในการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับตอไป

ในบทเรียนนี้เนนการนํา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใชในการแกปญหา จึงจําเปนตองทบทวนวิธีการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

ตัวอยางเอกสารแนะนําการจัดกิจกรรมที่จัดไวในแตละหัวขอ มีไวเพื่อนําเขาสูเนื้อหาสาระ เสริมเนื้อหาสาระ ฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ใหมีคุณธรรมจริยธรรมและคานิยมที่ดีงาม ครูสามารถเลือกใชไดตามความเหมาะสมและอาจปรับใชไดตามความตองการ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับที่กําหนดใหได2. ใชความรูเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. แกปญหาได

2

แนวทางในการจัดการเรียนรู

1.1 ตัวหารรวมมากและการนําไปใช (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. หา ห.ร.ม. ของจํานวนนับตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปได2. ใชความรูเกี่ยวกับ ห.ร.ม. แกปญหาได3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ก – 1.1 ง

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. สําหรับกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ก ครูอาจใชการถามตอบหรือครูอาจจัดทําเปนใบงานให

นักเรียนทํากอน แลวจึงใชการถามตอบตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนอีกครั้งหนึ่ง เมื่อนักเรียนมีความรูพื้นฐานแลวครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ข เพื่อทบทวนการแยกตัวประกอบ

2. ในการหาตัวประกอบของจํานวนนับที่กําหนดให นักเรียนอาจหาไดไมครบถวน ครูควรแนะนํานักเรียนใหพิจารณาจากตัวคูณสองจํานวนทุกคูที่มีผลคูณเทากับจํานวนนับนั้น เชน การหา ตัวประกอบของ 18 ทําไดดังนี้

หาจํานวนนับสองจํานวนที่คูณกันแลวได 18 โดยเริ่มจากตัวคูณ 1, 2, 3, …1 × 18 = 182 × 9 = 183 × 6 = 184 × χ = χ ซ่ึงไมมีจํานวนนับที่คูณกับ 4 ได 18

ครูอาจใชแผนภาพการจับคูจํานวนสองจํานวนที่คูณกันได 18 เพื่อชวยในการหาวายังมีจํานวนคูอ่ืนอีกหรือไมที่คูณกันได 18 ดังนี้

1 2 3 4 χ 6 9 18

ไมมี

3

จากแผนภาพจะเห็นวาจํานวนนับที่อยูระหวาง 4 กับ 6 คือ 5 มีเพียงจํานวนเดียวและ4 × 5 ไมเทากับ 18 ดังนั้นตัวประกอบของ 18 มีทั้งหมด 6 จํานวน ไดแก 1, 2, 3, 6, 9 และ 18

3. สําหรับกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ค กอนใหนักเรียนทํากิจกรรมนี้ครูควรสนทนากับนักเรียนถึงเรื่องการตัดไมทําลายปาซึ่งเปนสาเหตุที่ทําใหเกิดอุทกภัยทุกป ทําใหเราตองหาวิธีชวยเหลือผูประสบอุทกภัยในเบื้องตน เชน แจกถุงยังชีพ

4. ปญหาการลอมร้ัวที่ดินของชาวสวนในหนังสือเรียนที่นําเสนอไวนั้น เพื่อใหเกิดแนวคิดเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และการนําไปใช ครูอาจจําลองสถานการณใหนักเรียนลงมือปฏิบัติโดยใชฟวเจอรบอรดแทนบริเวณที่ดินและเข็มหมุดแทนเสาเพื่อชวยในการหาคําตอบ นอกจากนี้ครูอาจเลือกใชโจทยปญหาอ่ืน ๆ จากกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ง เพิ่มเติมก็ได

5. เมือ่นกัเรยีนไดเรียนรูวธีิหา ห.ร.ม. ของจาํนวนนบัตัง้แตสองจาํนวนขึน้ไปครบถวนทัง้สามวธีิแลว ควรแนะใหนักเรียนสํารวจตัวเองวาวิธีใดที่ตนเองถนัดและนําไปใชไดดี ในการทําแบบฝกหัด นักเรียนจะเลือกทําโดยวิธีใดก็ได

6. สําหรับตัวอยางที่ 6 – 8 ในหนังสือเรียน ครูควรใชคําถามประกอบการอธิบาย และชี้ใหเห็นประโยชนของการนํา ห.ร.ม. มาใชในการแกปญหา เมื่อนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.1 ขอ 11 แลว ครูควรชวยใหนกัเรยีนสรปุไดวา เศษสวนใดเปนเศษสวนอยางต่าํกต็อเม่ือ ห.ร.ม. ของตวัเศษและตวัสวนเปน 1 ซ่ึงเปนบทนิยามของเศษสวนอยางต่ํา

1.2 ตัวคูณรวมนอยและการนําไปใช (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. หา ค.ร.น. ของจํานวนนับตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปได2. บอกความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนที่กําหนดใหได3. ใชความรูเกี่ยวกับ ค.ร.น. แกปญหาได4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก – 1.2 ค

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ครูทบทวนความรูเดมิเกีย่วกบัตวัประกอบเพือ่ใหนกัเรยีนเขาใจวาตวัประกอบของจาํนวนนบัใด

ยอมหารจํานวนนับนั้นลงตัวดังนี้ 2 เปนตัวประกอบของ 6 หมายความวา 2 หาร 6 ลงตัว

หรือกลาวอีกอยางหนึ่งวา 6 หารดวย 2 ลงตัว

4

3 เปนตัวประกอบของ 15 หมายความวา 3 หาร 15 ลงตัวหรือกลาวอีกอยางหนึ่งวา 15 หารดวย 3 ลงตัว

4 เปนตัวประกอบของ 16 หมายความวา 4 หาร 16 ลงตัวหรือกลาวอีกอยางหนึ่งวา 16 หารดวย 4 ลงตัว

2. เพื่อใหนักเรียนเขาใจความหมายของพหุคูณ ครูสามารถใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก ประกอบการเรียนการสอน

3. ครูควรระวังเกี่ยวกับการใหความหมายของตัวประกอบและพหุคูณซึ่งใชถอยคําใกลเคียงกัน ดังนี้ ตัวประกอบของจํานวนนับใด คือ จํานวนนับท่ีหารจํานวนนับนั้นลงตัว พหุคูณของจํานวนนับใด คือ จํานวนนับท่ีหารดวยจํานวนนับนั้นลงตัว

จะเห็นวาขอความทั้งสองนั้นแตกตางกันที่พหุคูณของจํานวนนับมีคําวา หารดวย ครูตองอธิบายอยางชัดเจนโดยอาจยกตัวอยางดังนี้

ตัวประกอบของ 12 มี 6 ตัว ไดแก 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 แตพหุคูณของ 12 มีมากมาย ไดแก 12, 24, 36, …4. ปญหาน้ําพุกลางสวนในหนังสือเรียนนําเสนอไวเพื่อใหเห็นตัวอยางของการนํา ค.ร.น.

ไปใช ครูควรใหนักเรียนรวมกันวิเคราะหแนวคิดและหาขอสรุปใหไดวาเวลาที่น้ําพุทั้งสามวงพุงขึ้นพรอมกันคือ ค.ร.น. ของเวลาครบกําหนดที่น้ําพุแตละวงพุงขึ้น

5. เมื่อนักเรียนไดเรียนรูวิธีหา ค.ร.น. ของจํานวนนับตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปครบทั้งสามวิธีแลว ควรแนะใหนักเรียนสํารวจตัวเองวาวิธีใดที่ตนเองถนัดและนําไปใชไดดี ในการทําแบบฝกหัด 1.2 นักเรียนจะเลือกใชวิธีใดก็ได

ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นวาวิธีการแยกตัวประกอบและวิธีการตั้งหารเปนวิธีที่สามารถใชหาไดทั้ง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

6. ครูควรใหนักเรียนทํากิจกรรมชวนคิดในหนังสือเรียนเพื่อใหสังเกตความสัมพันธระหวาง ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนกับผลคูณของจํานวนนับสองจํานวนนั้นหลาย ๆ คู จากนั้นครูและนักเรียนชวยกันสรุปใหไดวาผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ เทากับผลคูณของจํานวนนับสองจํานวนนั้น ขอสรุปดังกลาวเขียนในรูปทั่วไปไดดังนี้

ถา a และ b เปนจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ(ห.ร.ม. ของ a และ b) × (ค.ร.น. ของ a และ b) = a × b

5

การพิสูจนความสัมพันธดังกลาวตองใชความรูในระดับสูง ในชั้นนี้ตองการเพียงใหนักเรียน รูจักและนําความสัมพันธดังกลาวนี้ไปใชได

ครูควรใหนักเรียนทดลองหาความสัมพันธของจํานวนนับสามจํานวนใดๆ ตามแบบรูปของความสัมพันธขางตนแลวตรวจสอบดูวาความสัมพันธนั้นยังคงเปนจริงสําหรับกรณีสามจํานวนเสมอไปหรือไม นักเรียนควรสรุปไดวาไมเปนจริง

7. สําหรับกิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ข และ 1.2 ค นั้น ครูอาจเลือกใชเพื่อช้ีใหนักเรียนเห็นการนําความรูเร่ืองสมบัติของจํานวนนับไปเชื่อมโยงกับความรูในกลุมสาระการเรียนรูอ่ืนๆ

คําตอบแบบฝกหัดคําตอบแบบฝกหัด 1.1

1. 1) 17 2) 13) 3 4) 1

2. 13. 174. 275. 346. 12 กอง ชนิดที่หนึ่งกองละ 4 ผล ชนิดที่สองกองละ 5 ผล ชนิดที่สามกองละ 7 ผล7. 5 แถว แถวละ 32 คน8. 120 แผน แตละแผนมีดานยาว 13 เซนติเมตร9. 176 ตน10. ตัดไดมากที่สุด 180 ผืน ตัดไดนอยที่สุด 5 ผืน ซ่ึงมีแนวคิดดังนี้ หาตัวหารรวมของ 36 และ 180 จะได 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 18 และ 36 จากเงื่อนไขของโจทยที่ตองตัดผาเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มีความยาวไมต่ํากวา 5 เซนติเมตร ความยาวที่ใชได คือ 6 , 9 , 12 , 18 หรือ 36 เซนติเมตร ถาตองการตัดใหไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสจํานวนมากที่สุด ตองตัดใหยาวดานละ 6 เซนติเมตร จะตัดได 180 ผืน และถาตองการตัดใหไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสนอยที่สุด ตองตัดใหยาวดานละ 36 เซนติเมตร จะตัดได 5 ผืน

11. 1813 เปนเศษสวนอยางต่ําของ 10878 เพราะวา ห.ร.ม. ของ 13 และ 18 คือ 112. ห.ร.ม. ของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ ตองมากกวาหรือเทากับ 1 เสมอ เพราะวา

6

กรณีท่ี 1 ถาจํานวนนับสองจํานวนนั้นมีตัวประกอบรวมเปน 1 เทานั้นห.ร.ม. ของสองจํานวนนั้นตองเทากับ 1

กรณท่ีี 2 ถาจาํนวนนบัสองจาํนวนนัน้มตีวัประกอบรวมมากกวา 1 แลว ห.ร.ม. ของสองจาํนวนนัน้ตองมากกวา 1

หรืออาจใหเหตุผลดังนี้1 เปนตัวหารรวมของจํานวนนับทุกจํานวน และ 1 เปนจํานวนนับที่นอยที่สุด

ดังนั้น ห.ร.ม. หรือตัวหารรวมที่มากที่สุดของจํานวนนับสองจํานวนที่กําหนดใหจึงตองมากกวาหรือเทากับ 1

คําตอบแบบฝกหัด 1.21.

1) 114 2) 3773) 3657 4) 1205) 2499 6) 1551

2. 1) 67 หรือ 1 61

2) 12089

3) 4811

3. 1494. 180 ผล5. เวลา 17.30 น.6. คร้ังตอไปที่แมจะพบลูกพรอมกันสองคนดังนี้

แมพบสวยกับขําอีก 12 วันตอมา ซ่ึงตรงกับวันที่ 25 เมษายน แมพบสวยกับคมอีก 20 วันตอมา ซ่ึงตรงกับวันที่ 3 พฤษภาคม แมพบคมกับขําอีก 30 วันตอมา ซ่ึงตรงกับวันที่ 13 พฤษภาคม และพบลูกพรอมกันทั้งสามคนในวันที่ 12 มิถุนายน

7. ค.ร.น. ของจาํนวนนบัสองจาํนวนใด ๆ ตองมากกวาหรือเทากบัจาํนวนใดจาํนวนหนึง่ในสองจาํนวนนั้นเสมอ เพราะวาแตละจํานวนตองหาร ค.ร.น. ไดลงตัว

8. เพราะวา ห.ร.ม. ของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ ตองหารสองจํานวนนั้นลงตัวและสองจํานวนนั้นตองหาร ค.ร.น. ของสองจํานวนนั้นลงตัวดวย ดังนั้น ห.ร.ม. ของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ หาร ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนนั้นไดลงตัวเสมอ

7

คําตอบปญหาชวนคิด 1. ห.ร.ม. ของ 6 และ 10 คือ 2 ค.ร.น. ของ 6 และ 10 คือ 30 2. 1) ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คือ 2 × 30 = 60 2) ผลคูณของ 6 และ 10 คือ 6 × 10 = 60 3. ผลลัพธที่ไดในขอ 2 จากขอ 1) และ 2) เทากัน 4. ห.ร.ม. ของ 8 และ 28 คือ 4 ค.ร.น. ของ 8 และ 28 คือ 56 ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คือ 8 × 28 = 224 ผลคูณของ 8 และ 28 คือ 8 × 28 = 224 5. กําหนด 15 และ 27 ห.ร.ม. ของ 15 และ 27 คือ 3 ค.ร.น. ของ 15 และ 27 คือ 135 ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คือ 3 × 135 = 405 ผลคูณของ 15 และ 27 คือ 15 × 27 = 405 6. ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนเทากับผลคูณของจํานวนนับ สองจํานวนนั้น หรือ เมื่อ a และ b เปนจํานวนนับ

(ห.ร.ม. ของ a และ b) × (ค.ร.น. ของ a และ b) = a × b 7. จํานวนสองจํานวนมี ห.ร.ม. เปน 6 ค.ร.น. เปน 72 จํานวนหนึ่งคือ 18 อีกจํานวนหนึ่ง คือ 24 8. 18 และ 24 มี ห.ร.ม. คือ 6 และ ค.ร.น. คือ 72 จริง

8

กิจกรรมเสนอแนะ

9

กิจกรรมนี้ครูอาจใชการถามตอบ เพื่อทบทวนความรูเกี่ยวกับตัวประกอบ ตัวประกอบรวม จํานวนคู จํานวนคี่ และจํานวนเฉพาะ

กิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ก

1. ใหนักเรียนหาตัวประกอบทั้งหมดของจํานวนตอไปนี้1) 17 [1, 17]

2) 24 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24] 3) 36 [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36] 4) 125 [1, 5, 25, 125]

2. จํานวนนับทุกจํานวนมี 1 เปนตัวประกอบใชหรือไม เพราะเหตุใด[ใช เพราะ 1 หารจํานวนนับทุกจํานวนลงตัว]

3. จํานวนนับทุกจํานวนมี 2 เปนตัวประกอบใชหรือไม เพราะเหตุใด[ไมใช เพราะมีตัวอยาง เชน 3 เปนจํานวนนับซึ่งไมมี 2 เปนตัวประกอบ]

4. จํานวนนับใดบางที่เปนตัวประกอบรวมของ 16 และ 20 [1, 2, 4]

5. ขอความตอไปนี้เปนจริงหรือเท็จ1) 8 เปนตัวประกอบของ 72 [จริง]2) 7 เปนตัวประกอบของ 91 [จริง]3) 3 ไมเปนตัวประกอบของ 45 [เท็จ]4) ตัวประกอบของ 13 มีเพียง 2 ตัวเทานั้น [จริง]5) 28 มีตัวประกอบทั้งหมด 7 ตัว [เท็จ]6) 2 และ 3 เปนตัวประกอบของ 15 [เท็จ]

6. จงหาจํานวนนบัที่นอยที่สุดที่มีจํานวนทุกจํานวนในแตละขอตอไปนี้เปนตัวประกอบ1) 1, 3, 4, 8 [24]2) 1, 5, 7 [35]

7. จงหาวาขอความในขอใดเปนจริงหรือเปนเท็จ ถาเปนเท็จใหบอกเหตุผลหรือยกตัวอยางคาน1) จํานวนนับที่ลงทายดวย 0, 2, 4, 6 และ 8 ทุกจํานวนเปนจํานวนคู [จริง]2) จํานวนนับที่ลงทายดวย 1, 3, 5, 7 และ 9 ทุกจํานวนเปนจํานวนคี่ [จริง]

10

3) จํานวนนับทุกจํานวนที่ 2 หารลงตัวเปนจํานวนคู [จริง]4) จํานวนนับทุกจํานวนที่ 3 หารลงตัวเปนจํานวนคี่

[เท็จ เพราะมีตัวอยาง เชน 12 ซ่ึง 3 หารลงตัว แต 12 ไมเปนจํานวนคี่]5) จํานวนคี่ทุกจํานวนมี 1 และตัวมันเองเทานั้นหารลงตัว

[เท็จ เพราะมีตัวอยาง เชน 27 มี 1, 3, 9 และ 27 หารลงตัว]6) ผลบวกของจํานวนคูสองจํานวนเปนจํานวนคู [จริง]7) ผลคูณของจํานวนคูกับจํานวนคี่เปนจํานวนคู [จริง]8) 48, 112, 215 เปนจํานวนคูทุกจํานวน

[เท็จ เพราะ 215 เปนจํานวนคี่]9) 302, 247, 121 มีจํานวนคี่สองจํานวน [จริง]

8. จงหาวาขอความในขอใดเปนจริงหรือเปนเท็จ ถาเปนเท็จใหบอกเหตุผลหรือยกตัวอยางคาน1) 3 เปนจํานวนเฉพาะที่นอยที่สุด

[เท็จ เพราะยังมีจํานวนเฉพาะที่นอยกวา คือ 2]2) จํานวนคี่ทุกจาํนวนเปนจํานวนเฉพาะ

[เท็จ เพราะมีจํานวนคี่ที่ไมเปนจํานวนเฉพาะ เชน 9]3) 1 ไมใชจํานวนเฉพาะ [จริง]4) ไมมีจํานวนคูจํานวนใดเปนจํานวนเฉพาะ

[เท็จ เพราะ 2 เปนจํานวนคู และ 2 เปนจํานวนเฉพาะ]5) จํานวนเฉพาะที่มากที่สุดแตนอยกวา 30 คือ 29 [จริง]6) 5 × 7 เปนจํานวนเฉพาะ

[เท็จ เพราะ 5 × 7 ยังมีตัวประกอบที่ไมใช 1 และไมใชตัวของมันเอง คือ 5 และ 7]

9. จงหาจํานวนที่มีสองหลักและเปนจํานวนเฉพาะที่มากที่สุด [97]

10. จงหาจํานวนที่มีสามหลักและเปนจํานวนเฉพาะที่นอยที่สุด [101]

11. จงหาจํานวนเฉพาะที่อยูระหวาง 40 ถึง 60 [41, 43, 47, 53 และ 59]

12. จงหาจํานวนเฉพาะสามจํานวนแรกที่มากกวา 200 [211, 223 และ 227]

13. ถา a และ b เปนจํานวนเฉพาะที่ a ≠ b จํานวนนับที่หารทั้ง a และ b ไดลงตัว คือจํานวนใด [1]

11

กิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ข

1. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุดที่มีตัวประกอบเฉพาะไมซํ้ากัน 4 ตัว[จํานวนนับที่นอยที่สุดที่มีตัวประกอบเฉพาะไมซํ้ากัน 4 ตัว คือ 210 210 ไดจาก 2 × 3 × 5 × 7]

2. จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้1) 189 [189 = 3 × 3 × 3 × 7]2) 333 [333 = 3 × 3 × 37]3) 735 [735 = 3 × 5 × 7 × 7]4) 1,155 [1155 = 3 × 5 × 7 × 11]5) 1,350 [1350 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5]6) 9,009 [9009 = 3 × 3 × 7 × 11 × 13]

กิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ค

สื่อการเรียนรูใบกิจกรรมเพื่อนชวยเพื่อน

แนวการจัดกิจกรรม1. ครูสนทนากับนักเรียนถึงการจัดสิ่งของเปนถุงหรือเปนกองเพื่อใหนักเรียนเห็นแนวคิดใน

การใชตัวประกอบรวม เชน มีมะมวง 12 ผล และมังคุด 18 ผล จะจัดใสจานไดอยางไรบางโดยให แตละจานมีจํานวนผลไมแตละชนิดเทากัน และไมมีผลไมเหลืออยู

กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อใหนักเรียนเห็นการใชความรูเกี่ยวกับตัวประกอบรวมและใหเห็นสถานการณของปญหาที่เชื่อมโยงถึงเรื่องที่จะสรางเสริมคุณธรรมใหแกนักเรียน

กิจกรรมนี้ครูอาจใชเพื่อทบทวนการแยกตัวประกอบ

12

2. ครูแจกใบกิจกรรมเพื่อนชวยเพื่อน ใหนักเรียนทําเปนงานกลุม กอนใหทํากิจกรรมนี้ ครูควรสนทนาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการชวยเหลือสังคมในเรื่องอื่น ๆ เพื่อกระตุนใหนักเรียนรูสึกถึงการมี น้ําใจทํางานเพื่อสังคม

3. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรมแลว ควรใหมีการนําเสนอแนวคิดและวิธีการแกปญหาของ แตละกลุมและอภิปรายถึงความเหมาะสมของการจัดสิ่งของมอบใหหมูบาน

4. หลังจากนักเรียนนําเสนอแลวใหครูใชคําถามเพิ่มเติมวา ถาในการจัดของไปบริจาคครั้งนี้ตองการจัดใหไดจํานวนหมูบานมากที่สุด จะจัดไดกี่หมูบาน

นักเรียนของโรงเรียนแหงหนึ่งชวยครูจัดสิ่งของที่ไดรับบริจาคเพื่อนําไปชวยเหลือหมูบานที่ประสบอุทกภัยในจังหวัดหนึ่ง

รายการสิ่งของที่ไดรับบริจาคมีดังนี้ผาหม จํานวน 120 ผืนปลากระปอง จํานวน 150 โหลผักกาดดองกระปอง จํานวน 840 กระปองบะหมี่กึ่งสําเร็จรูป จํานวน 600 กลองขาวสารถุงละ 5 กิโลกรัม จํานวน 480 ถุง

ถาตองการจัดสิ่งของเหลานี้เปนกองเพื่อมอบใหแตละหมูบาน แตละกองมีของครบทุกชนิดและแตละชนิดมีจํานวนเทากันโดยไมมีส่ิงของเหลืออยู นักเรียนจะมีวิธีการจัดสิ่งของไดกี่วิธี

คําตอบกิจกรรม เพื่อนชวยเพื่อนเนื่องจากตัวประกอบของ 120, 150, 840, 600 และ 480 ไดแก 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ

30 ดังนั้นนักเรียนจะมีวิธีการจัดสิ่งของ ใหแตละหมูบานไดของครบทุกชนิดและแตละชนิดมีจํานวนเทากันโดยไมมีส่ิงของเหลืออยูไดทั้งหมด 8 วิธีดังนี้

เพื่อนชวยเพื่อน

13

ตัดเชือก

กิจกรรมตอไปนี้นําเสนอใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติเพื่อใหเกิดแนวคิดเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ นําความรูเร่ือง ห.ร.ม. ไปแกปญหาหรือสถานการณตาง ๆ ครูอาจใหนักเรียนทําทั้งหมดหรือ ทําบางกิจกรรมก็ได

ผาหม(ผืน)

ปลากระปอง(โหล)

ผักกาดดองกระปอง

(กระปอง)

บะหมี่ก่ึงสําเร็จรูป

(กลอง)

ขาวสารถุงละ5 กิโลกรัม

(ถุง)1. จัดให 1 หมูบาน2. จัดให 2 หมูบาน3. จัดให 3 หมูบาน4. จัดให 5 หมูบาน5. จัดให 6 หมูบาน6. จัดให 10 หมูบาน7. จัดให 15 หมูบาน8. จัดให 30 หมูบาน

120604024201284

1507550302515105

840420280168140845628

600300200120100604020

4802401609680483216

กิจกรรมเสนอแนะ 1.1 ง

สื่อการเรียนรู เชือกฟางสามเสนยาว 28 เซนติเมตร 36 เซนติเมตร และ 48 เซนติเมตร กรรไกร และไมบรรทัดคําสั่ง ใหนกัเรยีนชวยกนัหาวธีิตดัเชอืกทัง้สามเสนออกเปนทอนสัน้ๆ โดยใหทกุทอนยาวเทากนั

เปนจํานวนเต็มเซนติเมตรและไมเหลือเศษ จงหาวา1. จะตัดเชือกไดอยางไรบาง2. ถาตองการใหเชือกแตละทอนยาวท่ีสุดจะไดเชือกกี่ทอน แตละทอนยาว

กี่เซนติเมตร

วิธีท่ี

สิ่งของที่แตละหมูบาน จะไดรับ

14

ตัดกระดาษ

คําตอบกิจกรรม ตัดเชือก

1. ตัดเชือกได 3 แบบ1) ถาตัดใหเชือกแตละทอนยาว 1 เซนติเมตร จะตัดได 112 ทอน2) ถาตัดใหเชือกแตละทอนยาว 2 เซนติเมตร จะตัดได 56 ทอน3) ถาตัดใหเชือกแตละทอนยาว 4 เซนติเมตร จะตัดได 28 ทอน

2. ถาตองการใหเชือกแตละทอนยาวท่ีสุดจะตัดเชือกไดทั้งหมด 28 ทอน แตละทอนยาว 4 เซนติเมตร

สื่อการเรียนรู กระดาษรูปสี่เหล่ียมผืนผาขนาดกวาง 32 เซนติเมตร ยาว 56 เซนติเมตรคําสั่ง ใหนกัเรยีนชวยกนัหาวธีิตดักระดาษออกเปนรูปสีเ่หล่ียมจตัรัุสขนาดเทาๆ กนัดวยความยาว

ของดานเปนจํานวนเต็มเซนติเมตรโดยไมเหลือเศษ จงหาวา1. จะตัดกระดาษรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสไดขนาดเทาใดบาง2. ถาตองการตดัใหเปนรูปสีเ่หล่ียมจตัรัุสทีม่ขีนาดใหญทีสุ่ด โดยไมใหเหลือเศษ

จะไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสทั้งหมดกี่รูป แตละรูปมีดานยาวกี่เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม ตัดกระดาษ

1. ตัดกระดาษรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสได 4 แบบ1) ถาตัดใหมีดานยาว 1 เซนติเมตร จะตัดได 1,792 รูป2) ถาตัดใหมีดานยาว 2 เซนติเมตร จะตัดได 448 รูป3) ถาตัดใหมีดานยาว 4 เซนติเมตร จะตัดได 112 รูป4) ถาตัดใหมีดานยาว 8 เซนติเมตร จะตัดได 28 รูป

2. ถาตองการตัดใหเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มีขนาดใหญที่สุด จะตองตัดใหมีดานยาวดานละ 8เซนติเมตร และตัดได 28 รูป

15

จัดยางรัดใสถุง

สื่อการเรียนรู ยางรัดสีเขียว 48 เสน ยางรัดสีแดง 72 เสน และยางรัดสีเนื้อ 192 เสนคําสั่ง ใหนกัเรยีนชวยกนัจดัยางรดัใสถุง ถุงละเทาๆ กนัโดยไมใหเหลือเศษ ใหแตละถุงมยีางรัด

ครบทุกสีและแตละสีมีจํานวนเทากันดวย จงหาวา1. ถาตองการใหไดจาํนวนถงุมากทีสุ่ดจะจดัไดกีถุ่ง แตละถุงจะมยีางรัดทัง้หมดกีเ่สน

และแตละสีมีอยางละกี่เสน2. ถาตองการใหในแตละถุงมีจํานวนยางรัดมากที่สุด จะจัดไดกี่ถุง และแตละ

ถุงจะมียางรัดกี่เสน

คําตอบกิจกรรม จัดยางรัดใสถุง1. ถาตองการใหไดจํานวนถุงมากที่สุดจะจัดได 24 ถุง แตละถุงมียางรัดทั้งหมด 13 เสน มี สีเขียว 2 เสน สีแดง 3 เสน และสีเนื้อ 8 เสน2. ถาตองการใหในแตละถุงมีจํานวนยางรัดมากที่สุดจะจัดได 1 ถุง และในถุงมียางรัด 312 เสน

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก

แนวการจัดกิจกรรม1. ครูอาจใหนักเรียนทองสูตรคูณแม 2, 3, 4 และ 5 พรอมกันหนึ่งรอบ จากนั้นครูเขียน

สูตรคูณดังกลาวบนกระดานตามแบบรูปดังนี้2 × 1 2 × 2 2 × 3 2 × 4 2 × 5 …3 × 1 3 × 2 3 × 3 3 × 4 3 × 5 …4 × 1 4 × 2 4 × 3 4 × 4 4 × 5 …5 × 1 5 × 2 5 × 3 5 × 4 5 × 5 …

กิจกรรมนี้นําเสนอไวเพื่อใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับพหุคูณของจํานวนนับ โดยสังเกตจาก แบบรูปของสูตรคูณที่นักเรียนคุนเคยมาแลว

พหุคูณ

16

2. ครูใชคําถามใหนักเรียนสังเกตวาจํานวนในแถวที่ 1 ซ่ึงเปนสูตรคูณของแม 2 แตละจํานวนไดมาอยางไร (นักเรียนควรตอบไดวา ไดมาจากการคูณของ 2 กับจํานวนนับตั้งแต 1 ขึ้นไป) ครูแนะนําวาแตละจํานวนนั้นคือ พหุคูณของ 2 พรอมทั้งเขียนคําวา “เปนพหุคูณของ 2” หลังแถวที่ 1 ดังนี้

2 × 1 2 × 2 2 × 3 2 × 4 2 × 5 … เปนพหุคูณของ 23. ครูใหนักเรียนสังเกตจํานวนในแถวตอไปวามีลักษณะเชนเดียวกับจํานวนในแถวที่ 1

หรือไม และควรเรียกจํานวนในแตละแถววาอยางไร (นักเรียนควรตอบไดวา แถวที่ 2, 3 และ 4 เปน พหุคูณของ 3 พหุคูณของ 4 และพหุคูณของ 5 ตามลําดับ) ใหครูเขียนคําวา เปนพหุคูณของ 3, 4 และ 5 ตามคําบอกของนักเรียนไวหลังแถวเชนเดียวกบัแถวที่ 1

4. ครูใชการถามตอบ ใหนักเรียนไดสังเกตเห็นวาจํานวนที่เปนพหุคูณของจํานวนนับจะตองหารดวยจํานวนนับนั้นไดลงตัว โดยใชคําถามในทํานองตอไปนี้

1) 2 หารจํานวนทุกจํานวนที่เปนพหุคูณของ 2 ลงตัวหรือไม2) 2 เปนตัวประกอบของจํานวนทุกจํานวนที่เปนพหุคูณของ 2 ใชหรือไม3) จํานวนทุกจํานวนที่หารดวย 2 ลงตัวเปนพหุคูณของ 2 ใชหรือไม

ครูใชคําถามในทํานองเดียวกันนี้กับพหคุูณของจํานวนนับอื่น ๆ อีก 2 – 3 คําถาม เพื่อให นักเรียนสรุปไดวา จํานวนนับท่ีหารดวยจํานวนนับท่ีกําหนดใหลงตัว เรียกวาพหุคูณของจํานวนนับท่ีกําหนดใหนั้น

ในทางคณิตศาสตรมีบทนิยามสําหรับพหุคูณของ a เมื่อ a แทนจํานวนเต็มใด ๆ ดังนี้

บทนิยาม พหุคูณของ a เมื่อ a แทนจํานวนเต็มใด ๆ คือ จํานวนในรูป ma เมื่อ m เปนจํานวนเตม็

ดังนั้นถาใชบทนิยามโดยตรง พหุคูณของ a คือ 0 × a, 1 × a, 2 × a, … และ -1 × a, -2 × a, -3 × a … เมื่อ a แทนจํานวนเต็มใด ๆ แตในบทเรียนระดับนี้ เราจํากัดขอบเขตไวเฉพาะจํานวนนับ ดังนั้นพหุคูณของ 2 คือ 1 × 2, 2 × 2, 3 × 2, 4 × 2, … และเมื่อใชสมบัติการสลับที่จะไดสูตรคูณ ในแบบรูปของกิจกรรมนี้เปน 2 × 1, 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4, …

ความรูเกี่ยวกับบทนิยามขางตนนี้ ครูไมจําเปนตองใหนักเรียนรู ในที่นี้เพิ่มเติมไวสําหรับครู

17

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ข

กิจกรรมนี้ครูอาจใชเพื่อใหนักเรียนไดเห็นการนําสมบัติของจํานวนนับมาประยุกตเปนกิจกรรมและไดเชื่อมโยงความรูคณิตศาสตรกับความรูในกลุมสาระการเรียนรูอ่ืน

พรรณไมบานเรา

สื่อการเรียนรูบัตรสีตาง ๆ 4 สี ในตัวอยางนี้สมมติในหองเรียนมีนักเรียน 50 คน จัดเตรียมบัตรสีตาง ๆ

50 ใบ ดังนี้บัตรสีแดงมีจํานวน 14 ใบ แตละใบเขียนหมายเลข 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,

24, 26 และ 28บัตรสีเขียวมีจํานวน 12 ใบ แตละใบเขียนหมายเลข 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21

และ 23บัตรสีน้ําเงินมีจํานวน 10 ใบ แตละใบเขียนหมายเลข 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45

และ 50บัตรสีชมพูมีจํานวน 14 ใบ แตละใบเขียนหมายเลข 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,

33, 36, 39 และ 42

แนวการจัดกิจกรรม1. ครูแจกบัตรสี 1 ใบใหนักเรียนแตละคนโดยไมเจาะจงสีและหมายเลขบัตร2. ใหนักเรียนแยกเขากลุมตามสีของบัตร อาจใหยืนเปนกลุมก็ได3. ใหนักเรียนในแตละกลุมอภิปรายกันถึงจํานวนบนบัตรที่แตละคนไดรับวาครูแบงกลุมโดย

ใชความรูหรือหลักเกณฑอยางไร ซ่ึงนักเรียนควรสรุปไดวา บนบัตรสีแดงเปนจํานวนคูหรือเปนจํานวนซ่ึงเปนพหุคูณของ 2 บนบัตรสีเขียวเปนจํานวนคี่ บนบัตรสีน้ําเงินเปนจํานวนซึ่งเปนพหุคูณของ 5 บนบัตรสีชมพูเปนจํานวนซึ่งเปนพหุคูณของ 3

จากนั้นใหนักเรียนพิจารณาวา1) ระหวางกลุมบัตรสีตาง ๆ มีบัตรซึ่งแสดงจํานวนเดียวกันอยางนอย 1 จํานวนบาง

หรือไม

18

[กลุมบัตรสีแดงกับกลุมบัตรสีน้ําเงิน มีจํานวนซ้ํากันคือ 10 และ 20กลุมบัตรสีแดงกับกลุมบัตรสีชมพู มีจํานวนซ้ํากันคือ 6, 12, 18 และ 24กลุมบัตรสีเขียวกับกลุมบัตรสีน้ําเงิน มีจํานวนซ้ํากันคือ 5 และ 15กลุมบัตรสีเขียวกับกลุมบัตรสีชมพู มีจํานวนซ้ํากันคือ 3, 9, 15 และ 21กลุมบัตรสีน้ําเงินกับกลุมบัตรสีชมพู มีจํานวนซ้ํากันคือ 15 และ 30กลุมบัตรสีเขียว บัตรสีน้ําเงิน และบัตรสีชมพู มีจํานวนซ้ํากันคือ 15 ]

2) กลุมบัตรสีใดบางที่มีจํานวนบนบัตรไมซํ้ากับกลุมสีอ่ืน[กลุมบัตรสีแดงกับกลุมบัตรสีเขียว]

คําตอบของทั้งสองขอนี้จะนําไปใชในกิจกรรมตอนตอไป4. ใหนักเรียนในแตละกลุมบัตรสีชวยกันรวบรวมรายชื่อพรรณไมบานเรา ดังนี้

บัตรสีแดง รวบรวมชื่อ ไมดอกบัตรสีเขียว รวบรวมชื่อ ไมผลบตัรสีน้ําเงิน รวบรวมชื่อ ไมเล้ือยบัตรสีชมพู รวบรวมชื่อ ไมประดับ

ถาครูเห็นวานักเรียนหาชื่อพรรณไมไดชาเกินไป ครูอาจแจกใบรายชื่อพรรณไมบานเรา ดังตัวอยางขางลางนี้ ใหนักเรียนเลือกชื่อและบันทึกเปนของกลุม แลวใหแตละกลุมนําเสนอรายชื่อ พรรณไมบนกระดานดําในเวลา 10 นาที

รายชื่อพรรณไมบานเรา

กุหลาบ มะมวง องุน ปาริชาต ฟกทอง โกสนแตงโม พวงผกา ไทร เสนหจันทน เล็บมือนาง เสาวรสทุเรียน กระดุมทอง เล็บครุฑ ชมพู กลวย อัญชันสุพรรณิการ จําปา จําป ตําลึง สลิด (ขจร) ฤๅษีผสมมะดัน เฟองฟา นอยหนา พลูฉีก พลูดาง มังคุดมะขวิด มะเฟอง ลดาวัลย ถ่ัวฝกยาว มะเขือ พวงแสดมะปราง บัวหลวง เข็ม ตีนตุกแก โมก มะไฟมะยม เข็ม พลับพลึง บานบุรี พวงชมพู แตงไทยพวงคราม มะตูม ปบ พุทรา ผักบุงไทย บานเชาผักบุงทะเล บานชื่น มะลิ ลําไย กระทอน รางเงินบอน ตีนเปด สมจี๊ด บวบ พุทธรักษา ละมุดไมยราบ มะกอก ราชาวดี วานสี่ทิศ เศรษฐีเรือนนอกปรง พริกไทย มะพราว เงาะ เฟรน บานชื่น

19

5. จากนั้นใหนักเรียนสังเกตรายชื่อที่รวบรวมไดของทุกกลุมแลวพิจารณาวา1) กลุมบัตรสีใดบางที่มีรายช่ือพรรณไมซํ้ากัน2) กลุมบัตรสีใดบางที่ไมมีรายช่ือพรรณไมซํ้ากันเลย

ครูใหนักเรียนอภิปรายและเปรียบเทียบดูวา จํานวนบนบัตรของกลุมสีที่มีจํานวนซ้ํากัน มีความสัมพันธกับชื่อพรรณไมที่กลุมเหลานั้นรวบรวมมาอยางไร เชน เมื่อพิจารณาจํานวนบนบัตรสีแดงและจํานวนบนบัตรสีน้ําเงินจะเห็นวามีจํานวนที่ซํ้ากันคือ 10 และ 20 และเมื่อพิจารณารายชื่อพรรณไมที่สองกลุมนี้รวบรวมมาจะพบวามีช่ือพรรณไมที่ซํ้ากัน เชน อัญชัน เล็บมือนาง พลับพลึง ฯลฯ เชนกัน ระหวางกลุมบัตรสีที่ไมมีจํานวนซ้ํากันก็จะไมมีช่ือพรรณไมซํ้ากันดวยเชนกัน

คําตอบกิจกรรม พรรณไมบานเรา

ตัวอยางคําตอบของแตละกลุมที่จะนําเสนออาจมีดังนี้

ไมดอก ไมผล ไมเล้ือย ไมประดับกุหลาบปาริชาตพวงผกาเล็บมือนางจําปาจําปสุพรรณิการโมกราชาวดีอัญชันลดาวัลยเฟองฟาบัวหลวงพวงแสดพลับพลึงเข็มปบ

มะมวงองุนแตงโมมังคุดเสาวรสทุเรียนนอยหนากลวยชมพูมะขวิดมะตูมมะดันมะกอกมะเฟองมะไฟมะยมมะปราง

ฟกทององุนแตงโมเล็บมือนางเสาวรสกระดุมทองพลูดางพลูฉีกถ่ัวฝกยาวอัญชันลดาวัลยเฟองฟาสลิด (ขจร)พวงแสดตําลึงไมยราบตีนตุกแก

กุหลาบโกสนเสนหจันทนเล็บมือนางไทรกระดุมทองพลูดางพลูฉีกเล็บครุฑอัญชันฤๅษีผสมเฟองฟาบัวหลวงพวงแสดพลับพลึงเข็มตีนตุกแก

20

แจกแลวแจกอีก

ไมดอก ไมผล ไมเล้ือย ไมประดับบานบุรีวานสี่ทิศมะลิพวงครามบานเชาบานชื่นพวงชมพูพุทธรักษา

พุทราเงาะแตงไทยกระทอนละมุดลําไยมะพราวสมจี๊ด

บานบุรีพวงชมพูแตงไทยพวงครามผักบุงไทยผักบุงทะเลพริกไทยบวบ

รางเงินวานสี่ทิศบอนเศรษฐีเรือนนอกปรงเฟรนตีนเปดสมจี๊ด

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ค

ใหนักเรียนศึกษาปญหาตอไปนี้แลวตอบคําถามและแสดงแนวคิดในชองวางที่กําหนดให

กิจกรรมนี้นําเสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดฝกการสังเกต คนหาความสัมพันธ และนําความรูเกี่ยวกับ ค.ร.น. ไปใชในการแกปญหา

ในชวงเทศกาลปใหม หางสรรพสินคาแหงหนึ่งตองการแจกของขวัญสําหรับลูกคาที่เขาหาง 300 คนแรกในแตละวัน โดยมีกติกาการแจกของขวัญดังนี้

แจกคูปองสวนลด 10% สําหรับลูกคาที่เขาหางซื้อสินคาเปนลําดับที่ 7, 14, 21, …หรืออยูในลําดับที่ 8, 16, 24 , …

แจกเสื้อยืด 1 ตัว แกลูกคาที่เขาหางเปนลําดับที่ 10, 20, 30, …

21

1. ลูกคาเขาหางเปนลําดับที่เทาใดจึงจะไดรับทั้งคูปองสวนลดและเสื้อยืดเปนคนแรกและคนสุดทาย………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ลูกคาเขาหางเปนลําดับที่เทาใดจึงจะไดรับคูปองสวนลดเปนคนสุดทาย………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ถานักเรียนเขาหางเปนคนที่ 295 นักเรียนจะไดรับแจกของขวัญอะไรหรือไม เพราะเหตุใด………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คําตอบกิจกรรม แจกแลวแจกอีก

1. เนื่องจากลูกคาที่จะไดรับคูปองสวนลด 10% ไดแก ลูกคาที่อยูในลําดับที่ 7, 14, 21, … , 280, 287, 294 หรือลูกคาที่อยูในลําดับที่ 8, 16, 24, … , 280, 288, 296ลูกคาที่จะไดรับเสื้อยืด ไดแก ลูกคาที่อยูในลําดับที่ 10, 20, 30, … , 280, 290, 300แนวคิด

1) หาลูกคาที่จะไดรับทั้งคูปองสวนลด 10% และเสื้อยืดหา ค.ร.น.ของ 7 และ 10 จะได 70หา ค.ร.น.ของ 8 และ 10 จะได 2× 4× 5 = 40

ดังนั้นลูกคาคนแรกที่จะไดรับทั้งคูปองสวนลด 10% และเสื้อยืด คือลูกคาคนที่ 402) หาลูกคาที่จะไดรับทั้งคูปองสวนลด 10% และเสื้อยืด

จํานวนนับที่นอยกวา 300 ที่ 70 หารลงตัวไดแก 70, 140, 210, และ 280จํานวนนับที่นอยกวา 300 ที่ 40 หารลงตัวไดแก 40, 80, 120, 160, 200, 240 และ 280

ดังนั้นลูกคาคนสุดทายที่จะไดรับทั้งคูปองสวนลด 10% และเสื้อยืด คือลูกคาคนที่ 2802. ลูกคาที่ไดรับคูปองสวนลดเปนคนสุดทาย คือคนที่ 2963. ลูกคาคนที่เขาหางเปนลําดับที่ 295 จะไมไดรับแจกของขวัญ เพราะไมเปนลูกคาที่ไดรับแจกคูปอง

สวนลดในชุดของลําดับที่ 7, 14, 21, … หรือชุดของลําดับที่ 8, 16, 24, … และไมเปนลูกคาที่ไดรับแจกเสื้อยืดซึ่งเขาหางเปนลําดับที่ 10, 20, 30, …

22

บทที่ 2ระบบจํานวนเต็ม (26 ช่ัวโมง)

2.1 จํานวนเต็ม (4 ช่ัวโมง)2.2 การบวกจํานวนเต็ม (6 ช่ัวโมง)2.3 การลบจํานวนเต็ม (6 ช่ัวโมง)2.4 การคูณจํานวนเต็ม (4 ช่ัวโมง)2.5 การหารจํานวนเต็ม (4 ช่ัวโมง)2.6 สมบัติของจํานวนเต็ม (2 ช่ัวโมง)

ในระดับประถมศึกษานักเรียนไดรูจักจํานวนนับ ศูนย เศษสวนและทศนิยมที่เปนจํานวนบวกมาแลว ในบทนี้นักเรียนจะไดเรียนรูเกี่ยวกับจํานวนเต็มซึ่งประกอบดวย จํานวนเต็มบวก (จํานวนนับ)จํานวนเต็มลบ และศูนย และจะไดเรียนเกี่ยวกับการดําเนินการและสมบัติของจํานวนเต็ม ครูควรใหนักเรียน เรียนดวยความเขาใจถึงหลักเกณฑและวิธีการในการบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม ถาใหนักเรียนจําหลักเกณฑและวิธีลัดโดยไมเขาใจที่มาและเหตุผล อาจทําใหนักเรียนไมเห็นธรรมชาติและวิวัฒนาการของคณิตศาสตร การแสดงใหเห็นที่มาของหลักเกณฑและวิธีการหาคําตอบในบทเรียนนี้ใชวิธีตอไปนี้

1. ใชเสนจํานวนในการหาผลบวก2. ใชบทนิยามและสมบัติของจาํนวนเต็มในการหาผลลบ ผลคูณ และผลหารตัวอยางเอกสารแนะนําการจัดกิจกรรมที่จัดไวในแตละหัวขอ มีไวเพื่อนําเขาสูเนื้อหาสาระ

เสริมเนื้อหาสาระ ฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ใหมีคุณธรรมจริยธรรมและคานิยมที่ดีงาม ครูสามารถเลือกใชไดตามความเหมาะสมและอาจปรับใชไดตามความตองการ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได2. เปรียบเทียบจํานวนเต็มได3. บวก ลบ คูณ และหารจํานวนเต็มได4. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม พรอมทั้งบอก

ความสัมพันธของการดําเนินการได5. นําความรูและสมบัติเกี่ยวกับจํานวนเต็มไปใชได6. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

23

แนวทางในการจัดการเรียนรู

2.1 จํานวนเต็ม (4 ชั่วโมง)

จุดประสงค นักเรียนสามารถ1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได2. เปรียบเทียบจํานวนเต็มได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก – 2.1 ค

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ในการนําเขาสูบทเรียนเกี่ยวกับจํานวนเต็มลบ ครูอาจสนทนาและยกตัวอยางการนําไปใช

ในชีวิตประจําวัน เชน การบอกอุณหภูมิของอากาศ การจัดลําดับผลการแขงขันฟุตบอลหรือการแขงขันกอลฟ ดังตัวอยางในกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก ครูอาจใหนักเรียนหาขอมูลเพิ่มเติมจากหนังสือพิมพหรือส่ือตาง ๆ เพื่อนํามาอภิปราย สําหรับการหาคําตอบในตารางที่ 3 นั้นเปนการฝกการเขียนจํานวนเต็มลบโดยไมใชการคํานวณ

2. ครูใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข เพื่อใหนักเรียนรูจักจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ ศูนยและเห็นความจําเปนที่ตองมีจํานวนเต็มลบ

ขอสังเกต การเขียนตัวเลขแทนจํานวนเต็มลบโดยทั่วไปใชเครื่องหมาย (-) กํากับ เชน -9หรือ -3 แตในบางครั้งนักเรียนอาจพบการเขียนตัวเลขแทนจํานวนเต็มลบโดยยกเครื่องหมาย (-) สูงขึ้นเชน –9 หรือ –3 สําหรับหนังสือเลมนี้จะเขียนตัวเลขแทนจํานวนเต็มลบดวยการวางเครื่องหมาย (-) ไวตรงกลาง เชน -5, -16 หรือ -200

3. ครูควรใชคําถามเพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับจํานวนเต็มในเรื่องตอไปนี้1) 0 ไมใชจํานวนนับ2) 0 เปนจํานวนเต็มที่ไมเปนจํานวนเต็มบวก และไมเปนจํานวนเต็มลบ3) ไมมีจํานวนเต็มลบที่นอยที่สุด4) จํานวนเต็มลบที่มากที่สุดคือ -15) จํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุดคือ 16) ไมมีจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด7) ไมมีจํานวนเต็มที่มากที่สุด8) ไมมีจํานวนเต็มที่นอยที่สุด

24

-12 -9 -6 0-3-15

สําหรับการหาคําตอบของขอ 5 – 8 ในแบบฝกหัด 2.1 ก ครูอาจแนะนําใหนักเรียนใชเสนจํานวน เชน ขอ 5 ทําไดดังนี้

4. ครูควรใชการสนทนาเพื่อนําเขาสูการเปรียบเทียบจํานวน โดยนําสิ่งที่เกิดขึ้นในชีวิตประจําวันมาอภิปราย เชน

1) เปรียบเทียบอุณหภูมิของอากาศในประเทศตาง ๆ2) รานลุงขาวกับรานปาแดงรานใดขายของถูกกวากนั นักเรียนทราบไดอยางไร3) วนีสักบัลัดดาสงู 150 เซนตเิมตรเทากนั วนีสัหนกั 43 กโิลกรัม ลัดดาหนกั 47 กโิลกรัม

ใครอวนกวากันเพราะเหตุใด5. ในการหาคําตอบในแบบฝกหัด 2.1 ข ขอ 3 ขอ 4) และ 5) ครูควรอธิบายใหเห็นการหา

คาของอุณหภูมิที่ตางกันโดยใชเสนจํานวน ยังไมควรอธิบายโดยใชการลบจํานวนเต็มซึ่งจะกลาวถึงในหัวขอ 2.3 ตอไป สําหรับขอ 6) การประมาณอุณหภูมิของอากาศบนดอยอาจใชแผนภาพเทียบคาของความสูงเหนือระดับน้ําทะเลกับอุณหภูมิของอากาศดังนี้

2.2 การบวกจํานวนเต็ม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. หาผลบวกของจํานวนเต็มที่กําหนดใหได2. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการบวกจํานวนเต็มได3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของผลบวกจํานวนเต็มที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก – 2.2 คแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก – 2.2 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. การใชคาสัมบูรณในบทเรียนนี้มีเจตนาเพียงเพื่อเปนสื่อในการอธิบายการบวก การคูณ

และการหารจํานวนเต็มเทานั้น ครูควรใชเสนจํานวนประกอบการสอนเรื่องคาสัมบูรณ นอกจากนี้ครู

17 14 11อุณหภูมิ (องศาเซลเซียส)

2 2.58 3ความสูงจากระดับน้ําทะเล (กิโลเมตร)

25

ควรใหนกัเรยีนสงัเกตวามจีาํนวนเตม็บวกและจาํนวนเตม็ลบเปนคู ๆ ทีม่คีาสมับรูณเทากนั และคาสมับรูณของจํานวนเต็มที่ไมใช 0 ตองเปนบวกเสมอ

บทนิยามของคาสัมบูรณอาจยากเกินไปสําหรับนักเรียนในระดับนี้ การนําสัญลักษณ | |มาใชแทนคาสัมบูรณใหอยูในดุลพินิจของครูผูสอน

ในบทเรียนนี้จะใชเสนจํานวนแสดงการหาผลบวกของจํานวนเต็มเพื่อใหนักเรียนสรางขอสรุปและหาหลักเกณฑการบวกไดเทานั้น ไมควรนํามาเปนขอสอบวัดผลการเรียน

การใชเสนจํานวนแสดงการบวกใหถือเปนขอตกลงวา เมื่อบวกดวยจํานวนเต็มบวกใหนับไปทางขวา และเมื่อบวกดวยจํานวนเต็มลบใหนับไปทางซาย ครูควรยกตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางจน นักเรียนสามารถสรุปวิธีการหาผลบวกโดยใชคาสัมบูรณได

2. สําหรับแบบฝกหดั 2.2 ก ในหนงัสอืเรียน ขอ 1 ขอ 3) – ขอ 10) และขอ 2 ขอ 3) – ขอ 8) มีเจตนาใหนักเรียนไดสังเกตและคาดการณวาการบวกจํานวนเต็มลบนาจะมีสมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนหมู เมื่อนักเรียนทําแบบฝกหัด 2.2 ข เสร็จแลว ครูควรใหนักเรียนคาดการณวาการบวกจํานวนเต็มมีสมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู สําหรับโจทยขอ 6 ของแบบฝกหัด 2.2 ขเจตนาเพื่อพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนของนักเรียนใหมีความยืดหยุนในการคิดคํานวณและรูความสัมพันธระหวางจํานวน

3. ครูอาจใชแบบฝกหดัเพิม่เตมิ 2.2 ก ตรวจสอบความเขาใจเกีย่วกบัคาสมับรูณของจาํนวนเตม็สําหรับแบบฝกหดัเพิม่เตมิ 2.2 ข ครูอาจนาํมาใชถามตอบในชัน้เรยีนเพือ่ตรวจสอบความเขาใจและเสริมสรางความรูสึกเชิงจํานวน

2.3 การลบจํานวนเต็ม (6 ช่ัวโมง)

จุดประสงค นักเรียนสามารถ1. หาผลลบของจํานวนเต็มที่กําหนดใหได2. บอกความสัมพันธของการบวกและการลบจํานวนเต็มได3. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการลบจํานวนเต็มได4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของผลลบจํานวนเต็มที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ในหัวขอนี้จะกลาวถึงจํานวนตรงขามเพียงเพื่อนําไปใชในการลบจํานวนเต็มเทานั้น

ดังนั้นการทําแบบฝกหัด 2.3 ก ในหนังสือเรียน ครูอาจใชการถามตอบในชั้นเรียนก็ได

26

2. วิธีการสอนการลบจํานวนเต็มไมใชเสนจํานวนเพราะไมชวยใหนักเรียนเขาใจงายขึ้นจึงใช บทนิยามในการหาคําตอบดังนี้

ตัวตั้ง ลบดวย ตัวลบ เทากับ ตัวตั้ง บวกดวย จํานวนตรงขามของตัวลบ

3. สําหรับแบบฝกหัด 2.3 ข ขอ 3 เจตนาใหหาคา a โดยวิธีลองแทนคา สวนขอ 5 และขอ 6 ครูอาจใหนักเรียนไดนําเสนอซึ่งจะไดคําตอบที่หลากหลายพรอมทั้งเหตุผล ครูควรชี้แจงใหนักเรียนเขาใจขอตกลงวาถามีตัวอยางคานอยางนอยหนึ่งตัวอยางหรือมีจํานวนอยางนอยสองจํานวนมาแสดงใหเห็นวาประโยคเปนเท็จจะถือวาประโยคนั้นไมจริง ดังนั้น กรณีขอ 5 ขอ 3) และขอ 6 ขอ 3) จึงสรุปไดวาจํานวนเต็มไมมีสมบัติการสลับที่สําหรับการลบและไมมีสมบัติการเปลี่ยนหมูสําหรับการลบ

4. ครูควรแนะใหนักเรียนตรวจสอบผลลบโดยใชความสัมพันธ

5. ปญหาชวนคิด การทอนเงินของแมคา ในหนังสือเรียนนั้น เจตนาใหเห็นความสัมพันธระหวางการบวกและการลบจาํนวนเตม็ ครูอาจใหนกัเรยีนทาํกจิกรรมการทอนเงนิโดยจาํลองสถานการณใหนักเรียนเปนแมคาขายสินคาชนิดหนึ่งราคา 23 บาท ลูกคาใหธนบัตรฉบับละ 100 บาท นักเรียนจะมีวธีิการทอนเงินอยางไรไดบาง

2.4 การคูณจํานวนเต็ม (4 ช่ัวโมง)

จุดประสงค นักเรียนสามารถ1. หาผลคูณของจํานวนเต็มที่กําหนดใหได2. บอกความสัมพันธของการบวกและการคูณจํานวนเต็มได3. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการคูณจํานวนเต็มได4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของผลคูณจํานวนเต็มที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.4

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ในการหาผลคูณของจํานวนเต็มเราไมใชเสนจํานวนอธิบายเพราะไมชวยใหนักเรียนเขาใจ

งายขึ้น แตจะใชบทนิยามหรือสมบัติการสลับที่ในการอธิบายและใหความหมายการคูณจํานวนเต็มบวก

ผลลบ + ตัวลบ = ตัวตั้ง

27

ดวยจํานวนเต็มลบ สําหรับการคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวกไมสามารถอธิบายและใหความหมาย (การคูณจํานวนเต็ม) ได จึงนําสมบัติการสลับที่การคูณของจํานวนเต็มมาใช

2. การหาผลคูณของจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบในหนังสือเรียนไดใหหลักเกณฑการคูณไว (โดยไมไดใหความหมายเชนกัน) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบสามารถแสดงใหเห็นไดวาผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวกโดยใชสมบัติการแจกแจง และไมยากเกินไปสําหรับนักเรียนในระดับชั้นนี้ ถาครูเห็นวานักเรียนสามารถเขาใจได ครูอาจแสดงใหนักเรียนเห็นไดดังตัวอยาง

ถาตองการแสดงวา (-3) × (-2) = 6 ทําไดดังนี้เนื่องจาก (-2) + 2 = 0

(-3) × [(-2) + 2] = (-3) × 0[(-3) × (-2)] + [(-3) × 2] = 0 (สมบัติการแจกแจง)

เนื่องจาก [(-3) × 2] = -6จะได [(-3) × (-2)] + (-6) = 0เนื่องจาก 6 + (-6) = 0ดังนั้น [(-3) × (-2)] = 6

3. สําหรับแบบฝกหัด 2.4 ในหนังสือเรียน โจทยบางขอที่นําเสนอไวมีเจตนาใหนักเรียนสังเกตไดวา การคูณจํานวนเต็มนาจะมีสมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู และสมบัติการแจกแจง

4. สําหรับกิจกรรมเสนอแนะ 2.4 ครูอาจนํามาใชหลังจากนักเรียนไดหลักเกณฑการคูณจํานวนเต็มแลว เพื่อใชเปนการตรวจสอบความเขาใจ และใหนักเรียนไดเห็นวาผลคูณที่ไดในแตละขอเปนจริงตามหลักเกณฑที่ใหไว

5. สําหรับปญหาทายตัวอยางที่ 4 ขอ 2.4 เปนคําถามที่ตองการกระตุนใหนักเรียนสังเกตเห็นสมบัติของ 1 ซ่ึงจะพบวาจาํนวนเตม็ที่กลาวถึงในปญหานี้คือ 1 เพราะวา 1 + 1 = 2 แต 1 × 1 = 1

2.5 การหารจํานวนเต็ม (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. หาผลหารของจํานวนเต็มที่กําหนดใหได2. บอกความสัมพันธของการคูณและการหารจํานวนเต็มได3. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการหารจํานวนเต็มได4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของผลหารจํานวนเต็มที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.5 ก – 2.5 ค

28

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ในบทเรียนนี้จะกลาวถึงการหารจํานวนเต็มที่เปนการหารลงตัว คือมีผลหารเปนจํานวนเต็ม

และเศษเปนศูนย ครูควรแนะใหนักเรียนตรวจสอบผลหารโดยใชความสัมพันธ

ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตั้ง

2. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.5 ก – 2.5 ค ซ่ึงมีไวเพื่อตรวจสอบความเขาใจและฝกทักษะเกี่ยวกับการบวก การลบ การคูณ และการหาร

2.6 สมบัติของจํานวนเต็ม (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

นําความรูและสมบัติเกี่ยวกับจํานวนเต็มไปใชในการคิดคํานวณและแกปญหาได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.6 แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ในหัวขอนี้เปนเรื่องเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนเต็มที่จําเปนและควรรูในชั้นนี้ ซ่ึงที่จริงแลว

เมื่อตอนที่นักเรียนไดเรียนเรื่องการบวกจํานวนเต็มและการคูณจํานวนเต็มในหัวขอ 2.2 และ 2.4 นั้นจะมีแบบฝกหัดบางขอที่เจตนาเสนอไวเพื่อชวยใหนักเรียนเกิดขอคิดเกี่ยวกับจํานวนเต็ม ดังนี้

จํานวนเต็มมีสมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนหมูสําหรับการบวกและการคูณจํานวนเต็มมีสมบัติการแจกแจง

ในการสอนหวัขอนีค้รูอาจเขยีนสมบตัติาง ๆ ลงบนแผนภมูแิลวนาํมาตดิแสดงไวในชัน้เรยีน เพื่อใหนักเรียนคุนเคย สามารถนําไปใชในการคํานวณและแกปญหาได

ตัวอยางแผนภูมิ

สมบัติการสลับท่ี ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว a + b = b + a

ครูควรหาโจทยที่ตองใชสมบัติตาง ๆ เหลานี้ไปใชในการหาคําตอบมาใหนักเรียนไดฝกทําใหมากพอเพื่อใหเกิดทักษะ

29

2. เพื่อสงเสริมและพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับจํานวนเต็ม ครูควรใหนักเรียนทํา แบบฝกหดัเพิ่มเติม 2.6 อาจใชการถามตอบในชั้นเรียน เพราะนักเรียนจะสามารถอธิบายเหตุผลดวยการพูดไดดีกวาการเขียนอธิบาย เปนการสงเสริมใหนักเรียนรูจักคิดและแสดงเหตุผล และครูสามารถชี้แนะแนวคิดและใหขอสังเกตกับนักเรียนในดานความรูสึกเชิงจํานวนดวย

3. สําหรับปญหาทายตัวอยางที่ 5 หัวขอ 2.6 การคิดราคาสมของแมคาทั้งสามแบบอาศัยสมบัติการแจกแจง

คําตอบแบบฝกหัดคําตอบแบบฝกหัด 2.1 ก

1. 1) เท็จ 2) จริง3) จริง 4) จริง5) เท็จ 6) เท็จ7) จริง 8) จริง9) จริง เพราะจํานวนเต็มบวกที่มากกวา a จํานวนถัดไปคือ a + 1 10) จริง เพราะจํานวนเต็มที่นอยกวา a จํานวนถัดมาคือ a – 1

2. 1) 0, 1, 2 2) -1, -2, 3, -33) 4, -44) 5, -5, 6

3. ไมใช เพราะ a สามารถแทนจํานวนเต็มบวก หรือจํานวนเต็มลบ หรือศูนย4.

5. -3, -6, -9, -12 และ -156. -3, -5, -7, -9 และ -11

-20 -15 -10 0-5-25 5 10

30

7. -12, -9, -6, -3 และ 08. -4, -2, 0, 2 และ 49.

1) -2, 0, 2 2) 2, 5, 83) -2, -4, -6 4) 0, -5, -105) -6, -10, -14 6) 6, 11, 16

คําตอบแบบฝกหัด 2.1 ข1.

1) -4 > -5 2) 7 > -73) 0 < 5 4) 0 > -55) 18 > -12 6) 20 > -2 7) -15 < 3 8) -8 < 1

2. -15, -10, - 8, -2, 0, 1, 2, 3, 53.

1) 0 กิโลเมตร2) 5 กิโลเมตร3) 9 กิโลเมตร4) 11 องศาเซลเซียส5) 23 องศาเซลเซียส6) ประมาณ 14 องศาเซลเซียส7) เมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้นอุณหภูมิของอากาศจะลดลง (ยิ่งสูงยิ่งหนาว)

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก1.

1) 33 2) 333) -12 4) -125) -10 6) -107) -25 8) -259) -106 10) -106

31

จากผลลัพธในขอ 3) ถึง 10) การบวกจํานวนเต็มลบนาจะมีสมบัติการสลับที่ (นักเรียนจะไดเรียนในหัวขอ 2.6)2. 1) 12 2) 12

3) -12 4) -125) -13 6) -137) -32 8) -32จากผลลัพธในขอ 3) ถึง 8) การบวกจํานวนเต็มลบนาจะมีสมบัติการเปลี่ยนหมู (นักเรียนจะได

เรียนในหัวขอ 2.6)3.

1) -2 2) -63) -1 4) -5

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข1.

1) 320 2) 3203) -36 4) -365) 0 6) 07) 4 8) 49) -17 10) -17

2. 1) 9, 9, จริง 2) -41, -41, จริง3) 15, 15, จริง 4) -2, -2, จริง5) 0, 0, จริง 6) 0, 0, จริง

3.1) -11 2) -113) 2 4) 25) -1 6) -17) 0 8) 09) 1 10) 1

11) 41 12) 41

32

4.1) 6, 6, จริง2) 0, 0, จริง3) 4, 4, จริง4) 4, 4, จริง5) -39, -39, จริง

5.1) 13 2) -133) -4 4) 0

6. คําตอบมีไดหลายคําตอบ ตัวอยางเชน1) 7 + (-1) 2) (-5) + 53) (-4) + (-5) 4) 1 + (-16)

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ก

1. จํานวนตรงขามของ 11, 13, 15, 16, 20 คือ -11, -13, -15, -16, -20 ตามลําดับ2. จํานวนตรงขามของ -11, -13, -15, -16, -20 คือ 11, 13, 15, 16, 20 ตามลําดับ3. จํานวนตรงขามของ -5, 5, 20, -20, 9, -9, 25, 100, -586, -1,079, 5,936 คือ 5, -5, -20, 20,

-9, 9, -25, -100, 586, 1,079, -5,936 ตามลําดับ4.

1) 0 2) 03) 17 4) 29

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ข1.

1) 8 + (-9) 2) 3 + (-16) 3) 0 + (-20) 4) (-28) + (-9)5) (-5) + (-27) 6) (-17) + (-2)7) 0 + 15 8) 9 + 359) (-30) + 30 10) (-53) + 30

33

2. 1) 6 2) 193) -7 4) -195) 22 6) -1007) -9 8) -159) 9 10) 0

11) 15 12) 273.

1) 6 2) 223) -15 4) -115) 40 6) -477) -24 8) 189) 100 10) 1

11) 24 12) -27 13) -5 14) 8 15) 0 16) 04.

1) 0 2) 323) 30 4) -185) -44 6) -557) -18 8) 189) -23 10) -13

5.1) มีหลายจํานวน แต a และ b ตองเปนจํานวนที่เทากัน ตัวอยางเชน ให a = 2, b = 2

จะได 2 – 2 = 2 – 2 เปนจริง2) มีหลายจํานวน ตัวอยางเชน ให a = 3, b = 1 จะได 3 – 1 ≠ 1 – 33) จํานวนเต็มไมมีสมบัติการสลับที่สําหรับการลบ

6.1) มีหลายจํานวน ตัวอยางเชน ให a = -3, b = 2, c = 0 จะได

{(-3) – 2} – 0 = (-3) – (2 – 0) เปนจริง2) มีหลายจํานวน ตัวอยางเชน ให a = 1, b = 2, c = 3 จะได (1 – 2) – 3 ≠ 1 – (2 – 3)3) จํานวนเต็มไมมีสมบัติการเปลี่ยนหมูสําหรับการลบ

34

7. คําตอบของแตละขอมีไดหลายคําตอบ ตัวอยางเชน1) (-2) – (-8) 2) ตัวอยางเชน 3 – 123) (-5) – (-5) 4) ตัวอยางเชน 0 – (-a)

คําตอบแบบฝกหัด 2.41.

1) 108 2) -773) -104 4) 2525) -625 6) -8,0007) 0 8) 09) 115 10) 318

11) 1 12) 02.

1) 238 2) 238 3) -45 4) -455) -60 6) -607) -1,000 8) -1,0009) 4,560 10) 4,560

11) -196 12) -1963.

1) -20, -20, จริง 2) -12, -12, จริง3) 90, 90, จริง 4) 0, 0, จริง

4.1) -1 2) -13) 0 4) 0 5) 6 6) 67) 504 8) 5049) 350 10) 350

5. 1) จริง (เทากับ -12) 2) จริง (เทากับ 20)3) จริง (เทากับ -12)

35

6.1) 20 2) 203) -44 4) -445) 15 6) 157) 10 8) 109) 36 10) 36

7. 1) จริง (เทากับ 0) 2) จริง (เทากับ 49)3) จริง (เทากับ -18)

8.1) 36 2) 363) -30 4) -305) 20 6) 207) 1 8) 19) 45 10) 45

9.1) จริง (เทากับ 3) 2) จริง (เทากับ 8)3) จริง (เทากับ 42)

10. 1) -2 2) -13) -3 4) -15) -1 6) 17) -2 8) -29) 1 10) -5

11. คําตอบมีไดหลายคําตอบ ตัวอยางเชน1) (-1) × 7 2) (-3)(-5)3) 2 × (-12) 4) 1 × 31

12. ไมจริง เชน ให a = 3, b = -2 จะได 3 × (-2) = -61) -6 มากกวา 3 ไมจริง แสดงวา ab มากกวา a ไมจริง2) -6 มากกวา -2 ไมจริง แสดงวา ab มากกวา b ไมจริง

36

คําตอบแบบฝกหัด 2.5

1. 1) 1 2) -13) -25 4) 55) -21 6) 197) -2 8) -109) 10 10) -50

11) 39 12) 112 13) -89 14) 5 15) 45 16) 4 17) 16 18) -4 2.

1) -12 2) -33) 4 4) -125) -32 6) -4

3. 1) เมื่อ a = 2, b = -2

2 ÷ (-2) = (-2) ÷ 2 = -12) เมื่อ a = -12, b = 3

(-12) ÷ 3 = -4 ในขณะที่ 3 ÷ (-12) ไมเปนจํานวนเต็ม ดังนั้น (-12) ÷ 3 ≠ 3 ÷ (-12)3) จํานวนเต็มไมมีสมบัติการสลับที่สําหรับการหาร

4. 1) เมื่อ a = 0, b = 2, c = -3

(0 ÷ 6) ÷ (-3) = 0 ÷ (-3) = 0 0 ÷ {6 ÷ (-3)} = 0 ÷ (-2) = 0 ดังนั้น (0 ÷ 6) ÷ (-3) = 0 ÷ {6 ÷ (-3)}

37

2) เมื่อ a = 9, b = -3, c = 3{9 ÷ (-3)} ÷ 3 = (-3) ÷ 3

= -1 ขณะที่ 9 ÷ {(-3) ÷ 3} = 9 ÷ (-1) = -9 ดังนั้น {9 ÷ (-3)} ÷ 3 ≠ 9 ÷ {(-3) ÷ 3}

3) จํานวนเต็มไมมีสมบัติการเปลี่ยนหมูสําหรับการหาร5.

1) 0 เปนจํานวนคู เพราะ 0 หารดวย 2 ลงตัว ( 20 = 0 เนื่องจาก 0 = 2 × 0)2) 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, …3) 1, -1, 3, -3, 5, -5, …

คําตอบแบบฝกหัด 2.61.

1) -21 2) 4803) 0 4) 05) -25 6) 527) 0 8) -9 9) 1 10) 1

11) 1 12) -12.

1) 0 2) 03) 5 4) 05) 9 6) -37) -1 8) จํานวนเต็มใด ๆ

3.1) m = 0

สมบัติของศูนยที่กลาววา(1) การคูณจํานวนเต็มใด ๆ ดวยศูนยจะไดผลคูณเทากับศูนย(2) ถาผลคูณของสองจํานวนใดเทากับศูนย จํานวนใดจํานวนหนึ่งอยางนอยหนึ่งจํานวน

ตองเปนศูนย 2) m = 0 เหตุผลทํานองเดียวกับขอ 1)

38

4. 1) a 2) a 3) 3 4) 6 5) p 6) 5 7) 12 8) -2 9) 1 10) 40 11) -1 12) -6 13) b – c 5. 1) 6 2) 9 3) -7 4) 4 5) 45 6) 436 7) 4 8) -146. ตัวอยางแนวคิด 12 × 55 = 12 × (50 + 5)

= (12 × 50) + (12 × 5) = 600 + 60 = 6607. ตัวอยางแนวคิด (5 × 99) + (4 × 199) = [5 × (100 – 1)] + [4 × (200 – 1)] = [5 × 100) – (5 × 1)] + [(4 × 200) – (4 × 1)]

= (500 – 5) + (800 – 4) = 1300 – 9 = 1291

คําตอบปญหา “ทําไมไมใช 0 เปนตัวหาร”1. 0 = 0 × a2. จํานวนใด ๆ (ทุกจํานวน)3. มีมากกวาหนึ่งคา4. หาคา a ที่เปนคาเดียวไมได เพราะ a แทนจํานวนไดทุกจํานวนแลวทําใหประโยค 0 = 0 × a เปนจริง5. ไมมีจํานวนใดแทน b และทําให 0 × b = 56. ไมมีคําตอบสําหรับ 05 เพราะไมสามารถหาจํานวนมาคูณกับ 0 แลวไดผลลัพธเทากับ 57. มีคําตอบได 2 แบบ คือ

1) ผลลัพธเปนจํานวนใดก็ได2) ไมมีผลลัพธ

ดังนั้น ในทางคณิตศาสตรจึงไมใช 0 เปนตัวหาร

39

กิจกรรมเสนอแนะและแบบฝกหัดเพิ่มเติม

40

กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก

กิจกรรมนี้อาจใชนําเขาสูบทเรียน เพื่อใหเห็นการนําจํานวนเต็มลบไปใช เชน ในการจัด อันดับผลการแขงขันฟุตบอลและกอลฟ ครูอาจนําเอกสารตอไปนี้ไปประกอบการสนทนา

เปนใบความรู หรืออาจทําเปนปายนิเทศเพื่อใหนักเรียนศึกษา

ตารางที ่ 1 สรุปผลการแขงขนัฟตุบอลพรเีมยีรลีกของประเทศองักฤษบางทมีตัง้แตเร่ิมตนการแขงขนัในป พ.ศ. 2544 จนถึงวันที่ 22 เมษายน 2544

ทีม จํานวนครั้งท่ีแขง

จํานวนประตูท่ีได

จํานวนประตูท่ีเสีย

จํานวนประตูท่ีไดลบดวยจํานวนประตูท่ีเสีย

เชลซี 34 62 39 23อัสตัน วิลลา 35 43 38 5ซันเดอรแลนด 35 40 37 3เอฟเวอรตัน 35 42 42 0ชารลตัน 35 46 49 -3เซาธแธมปตัน 33 34 40 -6สเปอร 35 42 49 -7เลสเตอร ซิตี้ 35 34 45 -9

ทีม่า : หนงัสอืพมิพเดลนิวิสฉบบัวนัที ่ 28 เมษายน 2544

ในการแขงขันฟุตบอลครั้งนี้คิดคะแนนจากจํานวนประตูที่ไดลบดวยจํานวนประตูที่เสีย ทีมใดไดคะแนนมากกวาถือวามีความสามารถสูงกวา

จากตารางที ่ 1 นกัเรยีนคดิวาทมีฟตุบอลทมีใดเลนไดดกีวาทมีอืน่ ๆ จงอภปิราย

[ขออภิปรายของนักเรียนควรสรุปไดวา “ทีมเชลซีเลนไดดีที่สุด เพราะมีคะแนนมากกวาทีม อ่ืน ๆ”]

41

ตารางที ่ 2 รายงานผลคะแนนของนกักอลฟบางคนจากการตกีอลฟรอบหนึง่ในประเทศไทย เมือ่ปพ.ศ. 2543

นักกอลฟ คะแนนไทเกอร วูดสธงชัย ใจดีประหยัด มากแสงนิกค ฟลโดวุก – ซุน กังพอล โกวทิม เอลเลียทยอง – จิน ชิน

-7-3-2-1EE+4+7

สนามกอลฟแตละแหงจะกําหนดจํานวนครั้งที่นักกอลฟควรตีลูกใหลงหลุมแตละหลุมไว เรียกจํานวนครั้งที่กําหนดไวนั้นวา “พาร (par)” ในการตีกอลฟหนึ่งรอบที่สนามแหงนี้กําหนดพารสําหรับตีกอลฟ 18 หลุมไวรวม 72

คะแนน -7 ของไทเกอร วูดส มีความหมายวาในรอบนี้ ไทเกอร วูดส ตีกอลฟต่ํากวาพาร7 คร้ัง

สําหรับนักกอลฟที่ตีกอลฟไดเทากับพารจะไดรับการรายงานคะแนนเปน E (ยอมาจาก even ซ่ึงในที่นี้แปลวาเสมอกันหรือเทากัน) หรือ PAR (พาร) จากตารางแสดงวา วุก – ซุน กัง ตีกอลฟรอบนี้เทากับพาร

ในรอบนี้ ทิม เอลเลียท ตีกอลฟสูงกวาพาร 4 คร้ัง คะแนนจึงเปน +4ในการแขงขันกอลฟผูที่ตีไดต่ํากวาพารจะถือวามีความสามารถสูงกวาผูที่ตีไดสูงวาพาร นักเรียน

คิดวาจากตารางนี้ใครเปนผูชนะ จงอภิปราย

[ไทเกอร วูดส เปนผูชนะ เพราะมีคะแนนต่ําสุด]

42

ตารางที่ 3 แสดงจํานวนครั้งที่นักกอลฟแตละคนใชในการตีกอลฟหนึ่งรอบที่สนามแหงหนึ่ง

นักกอลฟ พาร จํานวนครั้งท่ีใชตี คะแนนคาบรีนาปเตอรสันแบล็กกี้เฟอรนานเดซออตโตอวาเรซวอลลกอนซาเลซลาราโรมีโอ

70707070707070707070

65697072677270647166

-5………

PAR+2

………………………………………………

สนามแหงนี้กําหนดพารในการตีกอลฟหนึ่งรอบไว 70จงเติมคะแนนของนักกอลฟแตละคนในตารางที่ 3 โดยใช PAR แทนคะแนนของผูที่ตีได

เทากับพารที่สนามกําหนดเมื่อนักเรียนบันทึกคะแนนลงในชองคะแนนเรียบรอยแลวใหบอกดวยวาผูชนะคือนักกอลฟ

คนใด และไดคะแนนเปนเทาใด

[ผูชนะคือ กอนซาเลซ ไดคะแนน -6]

กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูจักจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย โดยใชเสนจํานวน ครูใชคาํถามใหนกัเรยีนมองเหน็ปญหาและความจาํเปนทีต่องกาํหนดใหมจีาํนวนเตม็ลบ เพื่อใชในการแกปญหา

ครูอาจดําเนินกิจกรรมตามลําดับตอไปนี้

-1

-3+2

PAR-6+1-4

43

1. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้1) กิตติมีเงินอยู 5 บาท ถาเขาใหนอง 1 บาท กิตติเหลือเงินเทาไร นักเรียนมีวิธีหาเงิน

ที่เหลืออยางไร [เหลือเงิน 4 บาท หาไดจากนํา 1 ไปลบออกจาก 5]

2) ใหนักเรียนเขียนวิธีหาจํานวนเงินที่เหลือ ถากิตติใหเงินนองตามลําดับดังนี้ (1) 2 บาท [จํานวนเงินที่เหลือ 5 – 2 = 3 บาท] (2) 3 บาท [จํานวนเงินที่เหลือ 5 – 3 = 2 บาท] (3) 4 บาท [จํานวนเงินที่เหลือ 5 – 4 = 1 บาท] (5) 5 บาท [จํานวนเงินที่เหลือ 5 – 5 = 0 บาท]

2. ใหนักเรียนสังเกตวาในสัญลักษณแสดงการลบตอไปนี้ตัวลบมีคาเพิ่มขึ้น5 – 1, 5 – 2, 5 – 3, 5 – 4, 5 – 5

ถาใหตัวลบมีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เราอาจเขียนสัญลักษณได เชน 5 – 6, 5 – 7, 5 – 8 ฯลฯ

3. ใหนักเรียนเสนอวาถาจะเขียนจํานวนแทนสัญลักษณ 5 – 6, 5 – 7, 5 – 8, … เหลานี้ จะใชจํานวน ชนิดใด

[นักเรียนอาจตอบไดวา -1, -2, -3, … ถานักเรียนตอบไมไดใหครูบอก]

4. ครูอาจแสดงการหาคําตอบโดยใชเสนจํานวน เพื่อโนมนาวความคิดของนักเรียนใหเห็นที่มาของ จํานวนเต็มลบดังนี้

ใหนักเรียนสังเกตวาการหาคําตอบในการลบนั้น เรานับยอนจากตัวตั้งไปทางซายบนเสนจํานวนเปนระยะเทากับตัวลบ

0 1 2 3 4 5

5 – 15 – 2

5 – 35 – 4

5 – 55 – 6

5 – 7

44

เชน 5 – 1 นับยอนจาก 5 ไปทางซาย 1 ชอง จะได 5 – 1 = 4 5 – 2 นับยอนจาก 5 ไปทางซาย 2 ชอง จะได 5 – 2 = 3

5 – 3 นับยอนจาก 5 ไปทางซาย 3 ชอง จะได 5 – 3 = 25 – 4 นับยอนจาก 5 ไปทางซาย 4 ชอง จะได 5 – 4 = 15 – 5 นับยอนจาก 5 ไปทางซาย 5 ชอง จะได 5 – 5 = 0

ฯลฯใหนักเรียนชวยกันหาวา 5 – 6, 5 – 7, 5 – 8, … จะหาคําตอบไดอยางไร

5. ให 5 – 6 เปนจํานวนซึ่งแทนดวยสัญลักษณ -1 อานวา ลบหนึ่ง 5 – 7 เปนจํานวนซึ่งแทนดวยสัญลักษณ -2 อานวา ลบสอง

5 – 8 เปนจํานวนซึ่งแทนดวยสัญลักษณ -3 อานวา ลบสามครูแนะนํานักเรียนวา -1, -2, -3, … เปนจํานวนที่นักคณิตศาสตรสรางขึ้น เรียกวาจํานวนเต็มลบ

6. ใหนักเรียนบอกจํานวนที่ใชแทนสัญลักษณ 5 – 8, 5 – 9, 5 – 10 [ลบสาม ลบสี่ และลบหา] และเขียนจํานวนดังกลาวบนเสนจํานวน ซ่ึงจะไดดังนี้

ครูแนะนําเสนจํานวนและแสดงจํานวนเต็มดังนี้

อาจเขียนในแนวตั้งดังนี้

0 1 2 3 4 5-2 -1-4 -3

5 – 95 – 8

5 – 75 – 6

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-1012

-2

45

7. ครูควรใหนักเรียนสังเกตการเขียนจํานวนเต็มลบบนเสนจํานวน ซ่ึงจะพบวา-1 อยูหางจาก 0 หนึ่งชอง

-2 อยูหางจาก -1 หนึ่งชอง -3 อยูหางจาก -2 หนึ่งชอง

1 และ -1 อยูหางจาก 0 เปนระยะเทากัน 2 และ -2 อยูหางจาก 0 เปนระยะเทากัน 3 และ -3 อยูหางจาก 0 เปนระยะเทากัน

กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ค

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนฝกทักษะการเปรียบเทียบจํานวนเต็ม

จํานวนปริศนา

ใหครูดําเนินกิจกรรมตามลําดับดังนี้

1. ครูสาธิตการทายจํานวนปริศนาเปนตัวอยางดังนี้1) ครูเขียนจํานวนปริศนาไวโดยไมใหนักเรียนเห็น โดยมีขอตกลงวา เปนจํานวนเต็มตั้งแต

-50 ถึง 50 เชน -352) ใหนักเรียนทายจํานวนที่ครูเขียนไว ครูแจงผลการทายวา จํานวนที่นักเรียนบอกนั้นมากไป

หรือนอยไป หรือถูกตอง เชน นักเรียนทายวา -2 ครูจะบอกวามากไป3) ถานักเรียนทายผิดใหทายครั้งตอ ๆ ไป จนกระทั่งทายถูกตอง

2. ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 4 – 5 คน ครูกําหนดเวลาในการเลน ใหแตละกลุมเลนประมาณ 15 นาที ใหนักเรียนแตละกลุมบันทึกจํานวนปริศนาที่ใชทายและจํานวนครั้งที่ใชทายจํานวนปริศนาแตละจํานวน กลุมที่นําจาํนวนมาทายไดถูกตองมากที่สุดเปนผูชนะ

3. ใหนักเรียนชวยกันตั้งเกณฑการตัดสินที่จะพิจารณาวากลุมใดเปนผูชนะ[เกณฑการตัดสินที่นักเรียนชวยกันตั้งขึ้นอาจเปนดังนี้

1) กลุมที่นําจํานวนปริศนามาทายไดมากที่สุดเปนผูชนะ2) กลุมทีน่าํจาํนวนปรศินามาทายแลวมจีาํนวนครัง้ในการทายแตละจาํนวนนอยทีสุ่ด

เปนผูชนะ]

46

กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก

สามเหลี่ยมกล

1. จงเติม -7, -5, -3, -1, 1 และ 3 ลงใน โดยไมซํ้ากันเพื่อทําใหผลบวกของจํานวนเต็มสามจํานวนที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน มีผลบวกเทากันทั้งสามแนว

2. ตรวจสอบกับเพื่อน ๆ วาไดคําตอบเหมือนกันหรือไม

วงลอกล

จงเติม -6, -3, 0, 3, 6, 9 และ 12 ลงใน โดยไมซํ้ากัน เพื่อทําใหผลบวกของจํานวนเต็มสามจํานวนที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน มีผลบวกเทากันทั้งสามแนว

กจิกรรมนีต้องการใหนกัเรยีนฝกการคดิวเิคราะหในการแกปญหา ควรใชกจิกรรมนีห้ลังจากทําแบบฝกหัด 2.2 ข ในหนังสือเรียนแลว

47

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก

ตัวอยางคําตอบ

ตัวอยางคําตอบ

-7

3

1

-5 -1

-3 -3

-5

3

1 -1

-7

3

-5

-7

-1 -3

1 3

-3

-7

-5 1

-1

12

6

9 -3

3

0

-6

-3

-6

6 9

12

0

3

-3

-6

0 6

9

3

12

48

ตนทาง ตนทาง ปลายทาง

ตนทาง

กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ข

กิจกรรมนี้ตองการเสริมสรางการสังเกต การคิดวิเคราะห และฝกทักษะการคิดคํานวณ เปนกิจกรรมที่นําไปใชหลังจากเรียนเรื่องการบวกจํานวนเต็ม คําตอบอาจมีไดมากกวา 1 วิธี

เสนทางการบวก

ตัวอยางเสนทางแสดงการบวกจํานวนจากตนทางไปยังปลายทางที่มีผลบวกเทากับ -12

เสนทาง A ผาน (-4) + 3 + (-2) + 5 + (-18) + 4 = -12 เสนทาง B ผาน (-4) + 3 + (-2) + 1 + (-6) + 0 + (-8) + 4 = -12

เสนทาง A ผานหกจํานวน เสนทาง B ผานแปดจํานวน

ดังนั้นเสนทาง A ส้ันกวาเสนทาง B

ใหนักเรียนชวยกันหาเสนทางที่ส้ันที่สุด และเขียนประโยคแสดงการบวกจํานวนในเสนทางที่ส้ันที่สุด จากตนทางถึงปลายทางตามที่กําหนดให เพื่อใหไดผลบวกเทากัน

กิจกรรมหาเสนทางการบวก

0

5 -3 8

-16 -11 -10

-2 0 -6

-8

- 4

16 12 5

-8 -15 -2

2 -7 -10

0

ปลายทาง

-4

3 -2 5

-6 1 -18

0 -8 4

-12ปลายทาง

AB

49

คําตอบกิจกรรม เสนทางการบวกตัวอยางคําตอบ

เสนทาง A ผาน 0 + 8 + (-10) + (-6) + 0 = -8เสนทาง B ผาน 0 + 8 + (-3) + 5 + (-16) + (-2) + 0 = -8

เสนทาง A ผานหาจํานวนเสนทาง B ผานเจ็ดจํานวนดังนั้นเสนทาง A ส้ันที่สุด

ปลายทาง

เสนทาง A ผาน 0 + 16 + (-8) + 2 + (-7) + (-10) + (-2) + 5 = - 4เสนทาง B ผาน 0 + 16 + (-8) + (-15) + (-2) + 5 = - 4

เสนทาง A ผานแปดจํานวนเสนทาง B ผานหกจํานวนดังนั้นเสนทาง B ส้ันที่สุด

กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ค

คะแนนติดลบ

กลุมโรงเรียนมธัยมศกึษากลุมหนึง่จดัตอบปญหาแขงขนัคณติศาสตร ในการแขงขนัรอบสดุทายมีโรงเรียน 3 โรงเรียนที่ไดเขารอบ ไดแก โรงเรียน A, B และ C ในการตอบปญหารอบนี้มีคําถามทั้งหมด 6 ขอ และมีเงื่อนไขในการใหคะแนนดังนี้

1. ตอบถูกตองสมบูรณไดคะแนนขอละ 2 คะแนน2. ตอบถูกเปนบางสวนไดคะแนนขอละ 1 คะแนน

0

5 -3 8

ตนทางAB

-16 -11

-2 0 -6

-8

-10

0A - 4

16 12 5

-8 -15 -2

2 -7 -10

ปลายทางตนทางB

50

3. ถาไมตอบเลยได 0 คะแนน4. ถาตอบผิดจะไดคะแนนขอละ -2เมื่อส้ินสุดการแขงขันปรากฏวาโรงเรียน B ไดคะแนนรวม 7 คะแนน โรงเรียน A ได

คะแนนรวม 6 คะแนน และโรงเรียน C ไดคะแนนรวม 5 คะแนน จงหาวาโรงเรียน B ไดคะแนนอยางไรไดบาง

คําตอบกิจกรรม คะแนนติดลบถาแจกแจงกรณีที่โรงเรียน B ทําได คะแนนจะเปนดังนี้

กรณีที่ 1 2 1 1 1 1 1กรณีที่ 2 2 2 1 1 1 0กรณีที่ 3 2 2 2 1 0 0กรณีที่ 4 2 2 2 2 -2 1

หรือเขียนในรูปตารางขางลางนี้

จํานวนขอท่ีไดคะแนนกรณี2 1 0 -2

คะแนนรวม

1234

1234

5311

0120

0001

2 + 5 = 74 + 3+ 0 = 76 + 1 + 0 = 78 + 1 + (-2) = 7

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 กใหนักเรียนทําแบบฝกหัดตอไปนี้1. จงหาคาสัมบูรณของ 0 [ 0 ]

2. จงหาคาสัมบูรณของ -37, -38, -39, -40 [37, 38, 39, 40]

3. จงเติมขอความในชองวางใหถูกตอง1) คาสัมบูรณของ 51 และ -51 เทากับ …………… [51]2) คาสัมบูรณของ 470 และ …………….. เทากับ 470 [ -470]

51

3) คาสัมบูรณของ ………….. และ -132 เทากับ 132 [ 132]4) 56 เปนคาสัมบูรณของ ……………. และ ……………. [-56, 56]5) 142 เปนคาสัมบูรณของ ……………. และ ……………. [ -142, 142]6) …………… เปนคาสัมบูรณของ 318 และ -318 [ 318 ]

4. จงเติมคําวา “มากกวา” “นอยกวา” หรือ “เทากับ” ลงในชองวางเพื่อทําใหประโยคตอไปนี้เปนจริง1) 21 ……….. -21 [ มากกวา]2) คาสัมบูรณของ 21 ………….. คาสัมบูรณของ -21 [เทากับ]3) -6 ………… 6 [นอยกวา]4) คาสัมบูรณของ -6 ………….. คาสัมบูรณของ 6 [เทากับ]5) คาสัมบูรณของ -7 ………….. คาสัมบูรณของ 9 [นอยกวา]6) คาสัมบูรณของ -5 ………….. คาสัมบูรณของ -7 [นอยกวา]7) คาสัมบูรณของ -23 ………….. คาสัมบูรณของ 20 [ มากกวา]8) คาสัมบูรณของ 13 ………….. คาสัมบูรณของ -19 [นอยกวา]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ข

1. ผลบวกของจํานวนเต็มบวกสองจํานวนเปนจํานวนเต็มบวกเสมอใชหรือไม [ใช]

2. ผลบวกของจํานวนเต็มลบสองจํานวนเปนจํานวนเต็มลบเสมอใชหรือไม [ใช]

3. ผลบวกของจํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากันเทากับเทาใด [0]

4. ผลบวกของจํานวนเต็มบวกสองจํานวนจะมากกวาจํานวนทั้งสองเสมอใชหรือไม [ใช]

5. ผลบวกของจํานวนเต็มลบสองจํานวนจะมากกวาจํานวนทั้งสองเสมอใชหรือไม [ไมใช]

6. จํานวนเต็มสองจํานวนใดบางที่มีผลบวกเทากับจํานวนตอไปนี้1) -21 2) 353) 60 4) -95

[คําตอบมีหลายคําตอบ เชน1) (-18) + (-3) 2) (-12) + 473) 40 + 20 4) (-25) + (-70)]

52

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนฝกทักษะการบวกและการลบจํานวนเต็ม ฝกการสังเกต และ กิจกรรมนี้ยังชวยพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวน ครูควรใชกิจกรรมนี้หลังจากทําแบบฝกหัดที่ 2.3 ข ในหนังสือเรียน

ใหครูดําเนินกิจกรรมดังตอไปนี้1. ครูแจกบัตรจํานวนเต็มดังตัวอยาง กลุมละ 1 ชุด จํานวน 8 ใบ

2. ใหแตละกลุมชวยกันเลือกบัตรเพียง 4 ใบ แลวใชการบวกหรือการลบเชื่อมระหวางจํานวนใหไดผลลัพธตามจํานวนที่ครูกําหนดให

3. ใหตัวแทนกลุมนําบัตรมาติดบนกระดานดํา พรอมทั้งเขียนเครื่องหมายแสดงการดําเนินการบวกหรือลบระหวางจํานวนดังตัวอยาง

1. = 24

2. = -24

3. = 12

4. = 10

5. = -7

4. ใหนักเรียนทุกคนในชั้นชวยกันตรวจสอบความถูกตอง5. ใหนักเรียนกลุมอื่นที่สามารถทําไดในรูปแบบที่แตกตางออกมานําเสนอไดอีก

1 5 6 12

-1 -5 -6 -12

-6 + 5 + -1 – -12

1 + 5 + 6 + 12

-1 + -5 + -6 + -12

-6 + 5 – -1 + 12

5 + -5 – 1 + -6

53

กิจกรรมเสนอแนะ 2.4

กจิกรรมนีต้องการใหนกัเรยีนฝกการสงัเกตความสมัพนัธของจาํนวนในแบบรปูของการคณูจํานวนเต็ม

1. ใหสังเกตแบบรูปที่กําหนดใหแลวเติมคําตอบลงในชองวางใหถูกตอง5 × 5 = 25 (-4) × 5 = -205 × 4 = 20 (-4) × 4 = -165 × 3 = 15 (-4) × 3 = -125 × 2 = 10 (-4) × 2 = …… [-8]5 × 1 = 5 (-4) × 1 = …… [-4]5 × 0 = 0 (-4) × 0 = …… [0]5 × (-1) = -5 (-4) × (-1) = …… [4]5 × (-2) = ….. [-10] (-4) × (-2) = …… [8]5 × (-3) = ….. [-15] (-4) × (-3) = …… [12]5 × (-4) = ….. [-20] (-4) × (-4) = …… [16]5 × (-5) = ….. [-25] (-4) × (-5) = …… [20]5 × (-6) = ….. [-30] (-4) × (-6) = …… [24]5 × (-7) = ….. [-35] (-4) × (-7) = …… [28]5 × (-8) = ….. [-40] (-4) × (-8) = …… [32]5 × (-9) = ….. [-45] (-4) × (-9) = …… [36]

2. ใหนักเรียนสังเกตความสัมพันธของการเพิ่มหรือการลดของตัวคูณและผลคูณในขอ 1 แลวบอก ความสัมพันธตามที่พบ

[นักเรียนอาจพบความสัมพันธวา1) เมื่อตัวตั้งเปนจํานวนเต็มบวกและตัวคูณเปนจํานวนเต็มที่นอยลงทีละ 1 จะทําให

ผลคูณลดลงทีละ 5 2) เมื่อตัวตั้งเปนจํานวนเต็มลบและตัวคูณเปนจํานวนเต็มที่นอยลงทีละ 1 จะทําให ผลคูณเพิ่มขึ้นทีละ 4

หรืออาจสรุปเปนภาพรวม ๆ ไดวา จํานวนเต็มชนิดเดียวกันคูณกันไดผลคูณเปนจํานวนเต็มบวกจํานวนเต็มตางชนิดกันคูณกันไดผลคูณเปนจํานวนเต็มลบ]3. ใหนักเรียนสังเกตวาผลคูณที่ไดในขอ 1 เปนไปตามหลักเกณฑการคูณจํานวนเต็มหรือไม [เปน]

54

กิจกรรมเสนอแนะ 2.5 ก

กิจกรรมนี้ใชฝกทักษะการหารจํานวนเต็ม ฝกการวิเคราะหและวางแผนเพื่อใหไดผลลัพธ ตามที่ตองการ

เกมการหาร

อุปกรณ1. ตาราง 6 × 6 ซ่ึงมีจํานวนเต็มกํากับดังรูป

2. แถบจํานวน

3. เบี้ยสี 2 สี สีละ 1 อัน

กติกา1. ผูเลน 2 ฝาย (คน) ผลัดกันเลน2. เลือกเบี้ยสีฝายละสี

1 -1 2 -2 3 -3

4 -4 5 -5 6 -6

8 -8 9 -9 10 -10

12 -12 15 -15 16 -16

18 -18 20 -20 24 -24

25 -25 30 -30 36 -36

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

55

วิธีเลน สมมติใหผูเลนคือ A และ B

1. ตกลงกันวาฝายใดจะเปนผูไดเลนกอน2. ผูเลน A เลือกจํานวนบนแถบจํานวนหนึ่งจํานวน โดยนําเบี้ยสีของตนไปวางที่จํานวนนั้น

บนแถบจํานวน เชน ถาเลือก -6 ก็ใหนําเบี้ยสีไปวางไวที่ -6 บนแถบจํานวน3. ผูเลน B ตองหาจาํนวนทีห่ารดวยจาํนวนทีผู่เลน A กาํหนดไวลงตวั ในตารางจาํนวน

เชน -12 (เพราะ -12 หารดวย -6 ลงตัว) ทําเครื่องหมาย ลอมรอบ -12จากนั้นผูเลน B เลือกจํานวนบนแถบจํานวนเพื่อผลัดใหผูเลน A ทําเครื่องหมาย × บน

จํานวนที่หารดวยจํานวนที่ผูเลน B กําหนดไวลงตัว ในตารางจํานวน4. ผูเลน A ทําเครื่องหมายบนจํานวนในตารางแลว เลือกกําหนดจํานวนบนแถบจํานวนให

ผูเลน B วงจํานวนในตารางจํานวน ผลัดกันกําหนดและหาคําตอบเชนนี้สลับกันไป5. ผูเลนคนใดสามารถทําเครื่องหมายของตนเองตอกัน 4 เครื่องหมายตามแนวตั้ง แนวนอน

หรือแนวทแยงกอนเปนผูชนะ

กิจกรรมเสนอแนะ 2.5 ข

ปริศนาจํานวนเต็ม

คําสั่ง ใหนักเรียนเติมจํานวนเต็มใน ใหถูกตอง เมื่อกําหนดใหจํานวนที่อยูในสดมภที่หนึ่งเปนตัวตั้ง และจํานวนที่อยูในแถวที่หนึ่งเปนตัวบวก ตัวลบ ตัวคูณ หรือตัวหาร

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดฝกทักษะการบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม

56

ปริศนาการบวก ปริศนาการลบ

ปริศนาการคูณ ปริศนาการหาร

คําตอบกิจกรรม ปริศนาจํานวนเต็ม

ปริศนาการบวก ปริศนาการลบ

5 –2 6 3

4 -1 6 –2 1

-6 –11 -4 –12 –2

–3 –8 -1 –9 –6

1 –4 3 -5 –2

× –5 4 -9 2

–2 10 -8 18 –4

-3 15 -12 27 –6

–7 35 –28 63 -14

6 –30 24 –54 12

÷ 2 4 -2 -4

4 2 1 –2 –1

8 4 2 –4 –2

–4 -2 –1 2 1

–8 –4 –2 4 2

+ 0 -3 1 4

5 555 2 9

2 2 -1 3 6

-1 –1 -4 0 3

–3 -3 –6 -2 1

25

+ 0 -3 1 4

5 55 2 66 9

2 2 -1 3 6

-1 –1 -4 0 3

–-33 -3 –6 -2 1

1

25 6

2 2 3 6

-1 0

-3 -6 1

5 –2 6 3

4 -1 6 –2 1

-6 –11 -4 –12 –2

–3 –8 -1 –9 –6

1 –4 3 -5 –2

-2 6 3

4 6 -2

-11 -12 -9

-3 -8 -9 -6

-4 3 -2

_

_

57

ปริศนาการคูณ ปริศนาการหาร

กิจกรรมเสนอแนะ 2.5 ค

งูกินหาง

1. ครูอธิบายกติกาการทํากิจกรรมโดยยกตัวอยางดังตอไปนี้

กติกา ใหนักเรียนใชจํานวนตั้งแต -10 ถึง 10 แลวดําเนินการดังนี้นักเรียนคนที่หนึ่ง บอกจํานวนมาหนึ่งจํานวน เชน 5นักเรียนคนที่สอง นึกจํานวนไดจํานวนหนึ่ง นํามาบวก หรือลบ หรือคูณ หรือหารกับ

5 สมมติวาคนที่สองนึก -2 ไวในใจอาจพูดวา 5 คูณดวย -2 เทากับ -10

นักเรียนคนที่สาม ถานึก 4 ไวในใจอาจพูดวา -10 บวกดวย 4 เทากับ -6ฯลฯ

2. ใหนักเรียนทํากิจกรรมตามกติกาโดยใชการบวก การลบ การคูณ การหารตามที่ตองการ ครูย้ําวาคนถัดไปจะตองใชจํานวนของนักเรียนคนที่กลาวมากอนเปนตัวตั้งเสมอ

3. ถานักเรียนคนใดทําตอจากเพื่อนไมได ใหแกตัวอีกครั้งหนึ่ง และถายังทําตอไมไดใหเปลี่ยนเปนคนถัดไป ทําเชนนี้ตอไปจนกวาจะครบทุกคนและวนมาถึงคนแรกซึ่งจะตองตอบเปนคน สุดทาย

× –5 4 -9 2

–2 10 -8 18 –4

-3 15 -12 27 –6

–7 35 –28 63 -14

6 –30 24 –54 12

-5

-2 10 -4

15 27 -6

-7 -28 63

-30 24 -54

÷ 2 4 -2 -4

4 2 1 –2 –1

8 4 2 –4 –2

–4 -2 –1 2 1

–8 –4 –2 4 2

4

4 2 -2 -1

4 2 -4 -2

-4 -1 2 1

-8 -4 -2 4

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดฝกทักษะการบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม

58

กิจกรรมเสนอแนะ 2.6

กิจกรรมนี้มีจุดมุงหมายใหนักเรียนตรวจสอบความเขาใจเกี่ยวกับสมบัติของหนึ่ง

จัตุรัสกล

จากตาราง 3 × 3 ใหนักเรียนทํากิจกรรมดังตอไปนี้ 1. จงเติม 1 หาจํานวน และ -1 อีกสี่จํานวนลงในชองตารางแตละชองเพื่อทําใหผลคูณของ

จํานวนในแนวนอน แนวตั้ง และแนวทแยงตางก็เทากับ 12. จงเขียน 1 ส่ีจํานวน และ -1 อีกหาจํานวนลงในชองตารางแตละชองแลวทําใหผลคูณของ จํานวนในแนวนอน แนวตั้ง และแนวทแยงตางก็เทากับ -1

คําตอบกิจกรรม จัตุรัสกล

1.

2.

-1 -11

1 11

-1 -11

1 1-1

-1 -1-1

1 1-1

59

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6

กิจกรรมนี้ตองการฝกใหนักเรียนไดสังเกตและคนพบความสัมพันธของจํานวนเต็ม ใชสมบัติการสลับที่ หรือสมบัติการเปลี่ยนหมูเพื่อฝกการคิดคํานวณใหรวดเร็วข้ึน เปนแบบฝกที่สงเสริมและพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวน

1. จงพิจารณาวาประโยคตอไปนี้ประโยคใดเปนจริงหรือเปนเท็จ นักเรียนมีเหตุผลอยางไรในการตอบเชนนั้น

1) (-719) + (305) มากกวา (-719) + (-305)2) 4-836 นอยกวา -4-836 3) (-93)(-125) นอยกวา 93 × 1254) (-65)(13) เทากับ 65 × (-13)5) 0 – (-218) นอยกวา 0 + 2186) 5 110 1350 − มากกวา 5- 1101350 −

7) ถา a = -65 และ b = -56 แสดงวา a < b8) ถา a = 87, b = -12 และ c = -11 แลว a + b > a + c

2. จงประมาณวาผลลัพธในแตละขอเปนจาํนวนชนดิใดและมกีีห่ลัก โดยไมตองคาํนวณจรงิ ๆ พรอมทัง้ ใหเหตุผลประกอบ

1) 135 + 999 2) 135 + (-685) 3) 1246 – 348 4) (-2054) + (-128) 5) 12 × 234 6) (-5) × 689 7) (-2344) ÷ 4 8) 2338 ÷ 14 9) 1,000,000 ÷ 2.5 10) (-10) × (-10) × (-10) × (-10) × (-10) 11) 10 × (-10) × 10 × (-10) × 10 12) 100,000,000 ÷ (-4)

60

3. จงใชการสังเกต การประมาณ และการคิดในใจ ในการหาคําตอบเพื่อเปรียบเทียบจํานวนโดย ไมตองคํานวณ แลวเขียนเครื่องหมาย >, < หรือ = ลงใน

1) 747 + 435 + 603 747 + 435 + 606

2) 350 + 350 + 350 + 350 + 350 (-5) × 350

3) 70 + 71 + 72 3 × 71

4) 50 × 15 51 × 15

5) 350 ÷ 8 350 ÷ 9

6) 1500 ÷ 56 1499 ÷ 56

7) 2000 ÷ (-10) (-2000) ÷ 10

8) (-15) × 16 × (-2) (-2) × 16 × (-15)

4. วันหนึ่งในเดือนมกราคม ฉันเห็นรายงานอุณหภูมิของอากาศจากโทรทัศนวา กรุงมอสโคว ประเทศรัสเซียมีอุณหภูมิ -22 °C ที่เมืองคัลเกอรี ประเทศแคนาดามีอุณหภูมิ -40°C เมืองใดหนาวกวากัน และทั้งสองเมืองมีอุณหภูมิตางกันกี่องศาเซลเซียส

5. แผนภูมิแทงแสดงการแขงขันวิ่งเร็วระยะทาง 100 เมตรของนักเรียน 5 คน

1) ใครถึงเสนชัยเปนคนแรก และใครถึงเสนชัยเปนคนสุดทาย2) ใหเรียงลําดับผูที่ถึงเสนชัยกอนหลังตามลําดับ

พลอย เพชรทับทิม มุก ทองนักเรียน

เวลา (วินาที)

6

12

18

0

61

คําตอบแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6

1. ตัวอยางคําตอบและเหตุผล1) จริง เพราะ ตัวตั้ง (-719) เทากัน แตตัวบวก 227 มากกวา -305

2) จริง เพราะ 4-836 มีผลหารเปนจํานวนลบ แต -4-836 มีผลหารเปนจํานวนบวก 3) เท็จ เพราะ -93 กับ 93 และ -125 กับ 125 ตางก็มีคาสัมบูรณเทากัน และผลคูณของ

ทั้งสองจํานวนตางก็เปนจํานวนเต็มบวก จึงทําให (-93)(-125) เทากับ 93 × 125 4) จริง เพราะ -65 กับ 65 มีคาสัมบูรณเทากัน 13 กับ -13 มีคาสัมบูรณเทากัน และผลคูณของทั้งสองจํานวนตางก็เปนจํานวนเต็มลบ 5) เท็จ เพราะ 0 – (-218) เขียนในรูปการบวกไดเปน 0 + 218

จะได 0 – (-218) = 0 + 218 6) จริง เพราะ 5 110 1350 − มีผลลัพธเปนจํานวนบวก

แต 5- 1101350 − มีผลลัพธเปนจํานวนลบซ่ึงจํานวนบวกมากกวาจํานวนลบ

7) จริง เพราะวา -65 < -56 8) เท็จ เพราะวา (-12) < (-11) หรือ b < c ดังนั้น a + b < a + c

62

2.

ผลลัพธขอ ตัวอยางแนวคิด จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบจํานวนหลักของผลลัพธ

1)2)3)4)5)6)7)8)9)

10)

11)

12)

100 + 1,000 = 1,100100 + (-700) = -6001,200 – 300 = 900(-2,000) + (-100) = -2,10012 × 200 = 2,400(-5) × 700 = -3,500-2,000 ÷ 4 = -5002,000 ÷ 10 = 200เนื่องจาก 2.5 × 4 = 10 หรือ10 ÷ 2.5 = 4ดังนั้น 1,000,000 ÷ 2.5 = 400,000มีจํานวนลบคูณกันหาจํานวนจะไดผลคูณเปนจํานวนลบ และมี 0จํานวนหาตัวมีจํานวนลบคูณกันสองจํานวนจะไดผลคูณเปนจํานวนบวก และมี 0จํานวนหาตัวเนื่องจาก 100 ÷ (-4) = -25ดังนั้น 100,000,000 ÷ (-4) = -4100 × 1,000,000 = (-25) × 1,000,000 = -25,000,000

ส่ีหลักสามหลักสามหลักส่ีหลักส่ีหลักส่ีหลักสามหลักสามหลักหกหลัก

หกหลัก

หกหลัก

แปดหลัก

63

3. 1) < 2) >

3) = 4) <

5) > 6) >

7) = 8) =4. เมืองคัลเกอรี ประเทศแคนาดาหนาวกวากรงุมอสโคว ประเทศรัสเซีย ทั้งสองเมืองมีอุณหภูมิ

ตางกัน 18 °C

5. 1) พลอยถึงเสนชัยเปนคนแรก และทองถึงเสนชัยเปนคนสุดทาย2) พลอย เพชร ทับทิม มุก และทอง

บทที่ 3เลขยกกําลัง (13 ช่ัวโมง)

3.1 ความหมายของเลขยกกําลัง (4 ช่ัวโมง)3.2 การดําเนินการของเลขยกกําลัง (5 ช่ัวโมง)

3.3 การนําไปใช (4 ช่ัวโมง)

การนําเสนอเนื้อหาเรื่องเลขยกกําลังในบทเรียนนี้ เร่ิมจากการใหนิยามเกี่ยวกับความหมายของ เลขยกกําลัง an เมื่อ a เปนจํานวนใด ๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก จากนั้นจึงใชบทนิยามแสดงใหเห็นที่มาของสมบัติของการคูณและสมบัติของการหารเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก

สําหรับการหารเลขยกกําลัง am ÷ an เมื่อ a ≠ 0 กรณีที่ m = n และ m < n ไดแสดง ใหเห็นความจําเปนที่ตองมีขอตกลงให a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0 และ a-n = na1 เมื่อ a ≠ 0 และ n เปนจํานวนเต็มบวกและใหไวเปนบทนิยาม เพื่อใหสมบัติของการคูณและสมบัติของการหารเลขยกกําลังใชไดกับเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มลบและศูนยดวย ซ่ึงจะเปนเนื้อหาสาระที่จะเรียนในชั้นที่สูงขึ้น แตในชั้นนี้ใหเนนการใชสมบัติของการคูณและสมบัติของการหารเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก ถึงแมวาในบทเรียนจะมีโจทยบางขอที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มลบ การหาคําตอบก็ตองทําใหอยูในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกกอน

นอกจากจะใหนยิามตามระบบคณติศาสตรแลว ครูควรดําเนินกิจกรรมที่สามารถทําใหนักเรียนเกิดความรูสึกเชิงจํานวน เชน มคีวามรูสึกถึงคาทีเ่พิม่ขึน้ หรือลดลงอยางรวดเรว็ของจาํนวนทีอ่ยูในรปูเลขยกกาํลัง เชน ใหเห็นความแตกตางของ 3 × 100 กับ 1003 ดังนี้ 3 × 100 หมายถึง 100 + 100 + 100 = 300

1003 หมายถึง 100 × 100 × 100 = 1,000,000สมบัติที่เกี่ยวกับเลขยกกําลังที่กลาวถึงในบทเรียนนี้จํากัดไวเฉพาะเทาที่กําหนดไวดังนี้

เมื่อ a เปนจํานวนใด ๆ m และ n เปนจํานวนเต็มบวกam × an = am + n

am ÷ an = am – n เมื่อ a ≠ 0 a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0

a–n = na1 เมื่อ a ≠ 0

65

ตัวอยางเอกสารแนะนําการจัดกิจกรรมที่จัดไวในแตละหัวขอ มีไวเพื่อนําเขาสูเนื้อหาสาระ เสริมเนื้อหาสาระ ฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ใหมีคุณธรรมจริยธรรมและคานิยมที่ดีงาม ครูสามารถเลือกใชไดตามความเหมาะสมและอาจปรับใชไดตามความตองการ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. เขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่กําหนดใหได 2. หาผลคูณและผลหารของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกัน และเลขชี้กําลังเปนจํานวน

เต็มได 3. ใชเลขยกกําลังในการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร (scientific notation) ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

66

แนวทางในการจัดการเรียนรู

3.1 ความหมายของเลขยกกําลัง (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. บอกความหมายของเลขยกกําลังได 2. เขียนจํานวนที่กําหนดใหในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกได 3. เขียนจํานวนแทนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกที่กําหนดใหได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ก – 3.1 ฉแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1 ก – 3.1 ง

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. คําประพันธในกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ก บรรยายภาพและลักษณะของชางเอราวัณที่วิจิตรพิสดารยากที่จะจินตนาการไดตรงกัน แตมีใจความที่เกี่ยวของกับเลขยกกําลังสอดแทรกอยู จึงนําเสนอไวเพื่อใชนําเขาสูบทเรียน 2. ครูอาจใชแผนภาพและกราฟจากกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ข อธิบาย เพื่อใหนักเรียนเห็นภาพคราว ๆ ของการขยายพันธุของแบคทเีรียใหเปนรูปธรรมขึน้

เพือ่ใหเหน็พลังของเลขยกกาํลัง ครูอาจเขยีนแบบรปูแสดงการขยายพนัธุของแบคทเีรียดังนี้เวลาผานไป 20 นาที ขยายจาก 1 เซลล เปน 2 เซลลเวลาผานไป 40 นาที ขยายจาก 1 เซลล เปน 4 เซลลเวลาผานไป 60 นาที ขยายจาก 1 เซลล เปน 8 เซลลเวลาผานไป 80 นาที ขยายจาก 1 เซลล เปน 16 เซลล

ครูควรนําการอภิปรายใหนักเรียนเห็นวา ถารางกายของคนเราติดเชื้อแบคทีเรียชนิดที่ใหโทษ เชน เชื้ออหิวาตกโรค อาการที่รางกายแสดงออกจะทวีความรุนแรงอยางรวดเร็ว ตามจํานวนแบคทีเรียที่เพิ่มขึ้น ถาไมมีการใหยาฆาเชื้อแบคทีเรียนั้น

.

.

....

67

นอกจากนี้ครูควรชี้ใหนักเรียนเกิดความรูสึกวาในชวงตนจะเห็นการเพิ่มขึ้นของเซลล ไมรวดเร็วนัก แตในชวงตอ ๆ ไปจํานวนของแบคทีเรียจะพุงขึ้นอยางรวดเร็ว โดยใหสังเกตการเพิ่มขึ้นของแบคทีเรียในแตละครั้งจากแบบรูปดังนี้

การแบงเซลลคร้ังท่ี การขยายเซลลของแบคทีเรีย จํานวนเซลลท่ีเพิ่มขึ้น

ในแตละคร้ัง123456

ขยายจาก 1 เซลลเปน 2 เซลล ขยายจาก 2 เซลลเปน 4 เซลล ขยายจาก 4 เซลลเปน 8 เซลล ขยายจาก 8 เซลลเปน 16 เซลล ขยายจาก 16 เซลลเปน 32 เซลล ขยายจาก 32 เซลลเปน 64 เซลล

12481632

3. ในการใหความหมายของเลขยกกําลัง เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ และ n แทนจํานวนนับ

n a ... a a a a n ××××= หมายถึงจํานวนที่มี a คูณกัน n ตัว ครูควรระวังในการอาน คําอานที่ถูกตองคือ

มี a คูณกัน n ตัว ไมใช n คร้ัง เพราะถาอานวา a คูณกัน n คร้ัง ตองมี a อยูทั้งหมด n + 1 ตัว เชน 23 ถาอานวามี 2 คูณกัน 3 คร้ังจะหมายถึง 2 × 2 × 2 × 2 4. ในกรณีที่เลขยกกําลังมีฐานเปนจํานวนเต็มลบ เศษสวนหรือทศนิยม ใหครูย้ําวาควรเขียนฐานไวในวงเล็บ ( ) ใหเกิดความชัดเจนในการสื่อสารและสื่อความหมาย เชน

เมื่อฐานเปน -3 ถาเขียนเปนเลขยกกําลังสองใหเขียน (-3)2 ไมใช -32

เมื่อฐานเปน 52 ถาเขียนเปนเลขยกกําลังสามใหเขียน ( )352 ไมใช 52 3

5. สําหรับแบบฝกหดั 3.1 ก ขอ 3 ขอ 2) ถาใหนกัเรยีนทาํเปนการบาน ครูควรนาํปญหานี้มาอภิปรายในชั้นเรียนอีกครั้ง เพื่อตรวจสอบวานักเรียนมีความเขาใจถูกตองหรือไม และใชแผนโปรงใสประกอบกจิกรรมเสนอแนะ 3.1 ค ในการอธบิายเพือ่ใหเหน็ภาพวาคาของเลขยกกาํลังทีม่ฐีานเปนเศษสวนเชน ( )n

21 ลดลงอยางรวดเร็วอยางไร โดยเปรียบเทียบจํานวนที่ลดลงแบบเดียวกันกับที่แสดงในตารางขอ 2 เชนแนะนําใหนักเรียนเปรียบเทียบคาแตกตางระหวาง 21 กับ 41 , 41 กับ 81 , 81 กับ 161 ฯลฯ และใหนักเรียนสังเกตวามีคาตางกันอยางไร อาจใหทํากิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ค ประกอบดวยก็ได

......

...

68

6. สําหรับแบบฝกหัด 3.1 ข ขอ 9 ถาใหนักเรียนทําเปนการบานครูควรนําปญหานี้มา ทําความเขาใจอกีครัง้ อาจใชกจิกรรมเสนอแนะ 3.1 ง และแผนโปรงใสประกอบกจิกรรมเสนอแนะ 3.1 ง ในการอธิบายดวยก็ได

7. การเขียนจํานวนบางจํานวนใหอยูในรูปเลขยกกําลังอาจมีไดมากกวา 1 แบบ เชน 64 อาจเขียนเปน 82, (-8)2, 43, 26 หรือ (-2)6 ก็ได ในการเขียนคําตอบในแบบฝกหัด 3.1 ข ของนักเรียนไมจําเปนตองเขียนใหไดครบทุกแบบ

ถาครูตองการใหนักเรียนเขียนเลขยกกําลังที่มีฐานหรือเลขชี้กําลังเปนจํานวนชนิดใด ควรระบุไวในคําสั่งใหชัดเจน 8. ในหวัขอนีไ้ดนาํเสนอตวัอยางและโจทยปญหาทีเ่ชือ่มโยงความรูเกีย่วกบัเลขยกกาํลัง ใหเหน็การนําไปใชในที่ตาง ๆ เชน เงินงบประมาณของประเทศ จํานวนดาวฤกษในเอกภพ ระยะหางระหวางดวงดาว รวมถึงการใชเลขยกกําลังแกปญหาในเรื่องที่เกี่ยวกับการคํานวณหาพื้นที่และปริมาตรของ รูปเรขาคณิต เชน พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มีดานยาว a หนวย เทากับ a2 ตารางหนวย ปริมาตรของลูกบาศกที่มีดานยาว b หนวย เทากับ b3 ลูกบาศกหนวย เพื่อใหนักเรียนเห็นประโยชนของเลขยกกําลังและทําใหนักเรียนเกิดความรูสึกเชิงจํานวนและความรูสึกเชิงปริภูมิ ครูอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมในลักษณะโจทยปญหาดังนี้ ครูมีลูกบาศกอยูสองลูก ลูกใหญมีดานยาวเปนสามเทาของลูกเล็ก นักเรียนคิดวาปริมาตรของลูกใหญเปนกี่เทาของปริมาตรของลูกเล็ก ครูอาจยกตัวอยางเปรียบเทียบลูกบาศกขนาด 1 × 1 × 1 หนวย3 กับ 3 × 3 × 3 หนวย3

ใหนักเรียนบอกคําตอบกอน นักเรียนควรบอกไดวาลูกบาศกเล็กมีปริมาตรเทากับ 1 ลูกบาศกหนวยและปริมาตรของลูกบาศกใหญเทากับ 27 ลูกบาศกหนวย ซ่ึงจะเห็นวาปริมาตรของลูกบาศกใหญเปน 27 เทาของปริมาตรของลูกบาศกเล็ก ครูยกตัวอยางเพิ่มเติมโดยกําหนดลูกบาศกเล็กใหแตละดานยาว 2 เซนติเมตร และเพื่อใหนกัเรยีนเหน็ภาพมากขึน้ ครูอาจใหนกัเรยีนสรางลกูบาศกจากกระดาษแขง็ใหมขีนาด 23 ลูกบาศกเซนตเิมตร และขนาด (3 × 2)3 ลูกบาศกเซนติเมตรดังนี้

22 2

3 × 2

3 × 23 × 2

69

ครูอาจใชลูกบาศกขนาดเล็ก 1 ลูก เปรียบเทียบกับลูกบาศกขนาดใหญที่ไดจากการนํา ลูกบาศกขนาดเล็ก 27 ลูกนั้นมาจัดวางซอนกันดังนี้

วิธีคิดในรูปท่ัวไป ใหลูกบาศก A มีดานยาว a หนวย ดังนั้นลูกบาศก B มีดานยาว 3a หนวย

จะไดลูกบาศก A มีปริมาตรเปน a3 ลูกบาศกหนวย และลูกบาศก B มีปริมาตรเปน (3a)3 = 27a3 ลูกบาศกหนวย นั่นคือ ปริมาตรของลูกบาศก B เปน 27 เทาของปริมาตรของลูกบาศก A ครูควรใหนักเรียนอภิปรายจนสรุปไดวา เมื่อความยาวของดานของลูกบาศกเพิ่มเปน 3 เทาปริมาตรจะเพิ่มเปน 27 เทา

เพือ่ใหนกัเรยีนเกดิความรูสึกถึงพลังของเลขยกกาํลัง ครูอาจเขยีนแบบรปูแสดงความสมัพนัธของความยาวของดานและปริมาตรของลูกบาศกใหเห็นดังนี้

ดานยาว 1 หนวย ปริมาตร 1 × 1 × 1 = 1 ลูกบาศกหนวยดานยาว 2 หนวย ปริมาตร 2 × 2 × 2 = 8 ลูกบาศกหนวยดานยาว 3 หนวย ปริมาตร 3 × 3 × 3 = 27 ลูกบาศกหนวยดานยาว 4 หนวย ปริมาตร 4 × 4 × 4 = 64 ลูกบาศกหนวย

9. ครูอาจใชแบบฝกหดัเพิม่เตมิ 3.1 ก – 3.1 ง ประกอบการสอน เพือ่ใหนกัเรยีนไดฝกทกัษะและใชเปนเครื่องมือในการตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน อาจใชการถามตอบก็ได

......

a aa

3a3a

3a

A B

70

3.2 การดําเนินการของเลขยกกําลัง (5 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ หาผลคูณและผลหารของเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มและนําสมบัติของเลขยกกําลังไปใชในการคํานวณและแกปญหาได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก – 3.2 งแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการเสนอกจิกรรมตามบทนาํในหวัขอ 3.2.1 เกีย่วกบัการคณูเลขยกกาํลังในหนงัสอืเรียนซึ่งกลาวถึงกาแล็กซีแอนโดรมีดา ครูควรใหนักเรียนหาระยะทางระหวางกาแล็กซีแอนโดรมีดากับโลก โดยใชวิธีคูณกอน เพื่อใหนักเรียนเห็นปญหาในการหาผลคูณของ 2,200,000 กับ 9,460,000,000,000 ซ่ึงตองนบัจาํนวนศนูยในผลลพัธหลายตวั อาจทาํใหนบัขาดหรอืนบัเกนิ นกัเรยีนจะไดเหน็วามคีวามจาํเปนที่จะตองใชสมบัติของการคูณเลขยกกําลัง 2. ในการสอนเรือ่งการคณูเลขยกกาํลัง ครูอาจใชเอกสารในทาํนองเดยีวกนักบักจิกรรมเสนอแนะ 3.2 ก เพื่อใหนักเรียนไดสังเกตและคนหาความสัมพันธของฐานและเลขชี้กําลังของตัวตั้ง ตัวคูณ และ ผลคูณของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกัน เพื่อนําไปสูสมบัติของการคูณเลขยกกําลัง การให ตวัอยางหลายๆ ตวัอยางจะทาํใหนกัเรยีนไดขอสังเกตวาตวัอยางเหลานัน้มแีนวคดิหรือวธีิการหรอืขอสรุปอยางเดียวกัน ซ่ึงเปนการสอนที่ตองการโนมนาวความคิดของนักเรียน เปนวิธีการสรุปโดยใชเหตุผลแบบอุปนัยวาสิ่งที่เปนขอสรุปนั้นเปนจริง หรือเปนไปตามสมบัติที่กลาวไว ครูใชการถามตอบเขียนในตารางใหนักเรียนเห็นแบบรูปดังนี้

การคูณของเลขยกกําลัง

เขียนการคูณของเลขยกกําลังโดยใชบทนิยาม ผลคูณ เขียนเลขชี้กําลังของ

ผลคูณในรูปการบวก22 × 23

32 × 34

53 × 54

am × an

เมื่อ m และ nเปนจํานวนเต็มบวก

(2 × 2) × (2 × 2 × 2)(3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3)(5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5)

(a × a × a × … × a) × (a × a × a × … × a) m ตัว n ตัว

25

36

57

am + n

22 + 3

32 + 4

53 + 4

am + n

......

......

71

จากนั้นใหนักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้ เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆm และ n แทนจํานวนเต็มบวก am × an = am + n

สําหรับนักเรียนที่มีความสนใจเปนพิเศษ อาจใหทําแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.2 ดวยก็ได3. ในการสอนเรื่องการหารเลขยกกําลัง ครูควรใหตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางในทํานองเดียวกัน

กับการคูณเลขยกกําลัง ทั้งนี้ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ค เพื่อใหนักเรียนสังเกตและคนพบความสัมพันธของเลขชี้กําลังของตัวตั้ง ตัวหาร และผลหารของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันไดเอง

4. ในเรื่องที่เกี่ยวกับการคูณและการหารเลขยกกําลัง มขีอสังเกตและขอควรระวังดังนี้1) เมื่อกําหนดขอความใดเปนบทนิยามแลวจะไมมีการพิสูจน เชน ในบทนี้ไดตกลงให

a0 = 1, a ≠ 0 เปนบทนิยาม ดังนั้นจึงไมมีการพิสูจน2) ในกรณีที่กําหนดโจทยที่มีการใชตัวแปรแทนจํานวน จะตองระบุวาตัวแปรที่เปน

ตัวหารนั้นตองไมเปนศูนยไวในโจทยดวย เชน

จงหาผลลัพธ 2332

--b6ab3a- , a ≠ 0 และ b ≠ 0

5. คาํตอบของแบบฝกหดั 3.2 ข ในหนงัสอืเรียน ขอ 1 มโีจทยบางขอทีส่ามารถเขยีนไดหลายแบบ นกัเรยีนจะเขยีนตอบแบบใดกไ็ด

6. สําหรับปญหา “นาคดินะ” ทายแบบฝกหดั 3.2 ข ครูอาจเลาเรือ่งยอ ๆ ของวรรณกรรมเรื่องกามนิตในตอนที่ 21 “ในทามกลางความเปนไป” ซ่ึงเปนตอนทีก่ามนติเสยีชีวติและจะไดไปเกดิอยูในสุขาวดแีดนสวรรคและไดเสวยสุขบนสวรรคนานนบัหลายโกฏปิ

ครูอาจแนะนําหนวยที่ใชเรียกจํานวนที่มีคามากๆ ในสมัยโบราณที่นาสนใจ เชน

1 โกฏิ เทากับ 107

1 ปทมะ เทากับ 109

1 ปโกฏิ เทากับ 1014

1 นหุต เทากับ 1028

1 พินทุ เทากับ 1049

1 กุมุท เทากับ 10105

1 บุณฑริก เทากับ 10112

1 อสงไขย เทากับ 10140

72

3.3 การนําไปใช (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. เขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ หรือมีคานอย ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได2. หาจํานวนที่เทากับจํานวนที่อยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได3. คูณหรือหารจํานวนที่อยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรอยางงายได4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 3.3 ก – 3.3 ขแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 ก – 3.3 ค

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 3.3 ก นําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนไดศึกษา ทําความเขาใจ

และอภปิรายเกีย่วกบัวธีิอานและแปลความหมายภาพและขอความทีร่ะบไุวในใบกจิกรรม ครูควรใชคาํถามเสริมความคิด และตรวจสอบความเขาใจเกี่ยวกับการแบงหนวยบนเสนตรงและคาประมาณที่ได 2. เพื่อใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงวิชาคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ ครูอาจใหนักเรียนไปศึกษาคนควาหาขอมลูเพิม่เตมิเกีย่วกบัระยะทางระหวางดวงดาวหรอืขนาดของดาวตาง ๆ มาเสนอในรปูสญักรณวิทยาศาสตร สําหรับสาระในหัวขอนี้ ถึงแมวาจะเปนเรื่องการนําเลขยกกําลังไปใชในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรเปนสวนใหญ ครูก็ยังสามารถจัดกิจกรรมใหเห็นการนําเลขยกกําลังไปใชในลักษณะอื่น ๆ เพิ่มเติมไดอีก เชน ใหเห็นการใชเลขยกกําลังในสูตรคณิตศาสตรหรือวิทยาศาสตร อาจยกตัวอยางสูตรสําหรับหาพื้นที่รูปวงกลม A = πr2 เมื่อ A แทนพื้นที่และ r แทนรัศมีของรูปวงกลม หรือสูตรการคํานวณพลังงานที่เกิดจากการสลายมวลของไอนสไตน E = mc2 เมื่อ E แทนพลังงาน m แทนมวลของวัตถุที่สลายไป และ c แทนความเร็วของแสง 3. ในการสอนเรือ่งการเขยีนจาํนวนทีม่คีามาก ๆ หรือมคีานอย ๆ ใหอยูในรปูสญักรณวทิยาศาสตรหลังจากฝกทักษะตามขั้นตอนแลว ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตวิธีลัดเพื่อเขียนจํานวนเหลานี้ไดอยางรวดเร็ว โดยเลือ่นตาํแหนงของจดุทศนยิม เชน การเขยีน 0.005 × 106 ใหอยูในรปูสญักรณวทิยาศาสตรซ่ึงมีขั้นตอนดังนี้

0.005 × 106 = 61010005 ×

= 63 1010

5 ×

= 5 × 106 – 3

= 5 × 103

73

นักเรียนควรสังเกตไดวาการหาคําตอบโดยวิธีลัดไดจากการเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวามือ 3 ตาํแหนงใหจุดทศนิยมอยูหลัง 5 สวนคาของ 106 ซ่ึงมีเลขชี้กําลังเปน 6 จะตองลดลง 3 เหลือเปน103 ดังนี้ 0.005 × 106 = 5 × 106 – 3

= 5 × 103

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 ก และ 3.3 ข เปนแบบฝกที่เอื้อใหนักเรียนสังเกตเห็นวิธีเขียนจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรไดเร็วขึ้น 4. สําหรับแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 ค นําเสนอไวเพื่อเสริมสรางและพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนในการหาคําตอบนักเรียนไมจําเปนตองใชการคิดคํานวณ แตครูตองใหความสําคัญกับการแสดงแนวคิดและการใหเหตุผลของนักเรียนกับคําตอบนั้น การหาคําตอบอาจใชการถามตอบในชั้นเรียน เพราะการอธิบายเหตุผลดวยการพูดของนักเรียนทําไดงายกวาการเขียนอธิบาย

คําตอบแบบฝกหัดคําตอบแบบฝกหัด 3.1 ก

1.1) 10 2) 643) 64 4) -2165) 321 6) 1258

7) 0.0016 8) 0.0000012.

1) เทากัน เพราะวา 21 ตามบทนิยามของเลขยกกําลัง เลขชี้กําลังเปนจํานวนที่แสดงวามีฐานคูณกันกี่ตัว ในที่นี้ 21 หมายถึงมี 2 เพียงตัวเดียว ดังนั้น 21 = 2 2) เทากัน เพราะวา 52 = 5 × 5 = 25 และ (-5) 2 = (-5) × (-5) = 25 3) ไมเทากัน เพราะวา (-6) 2 = (-6) × (-6) = 36 แต -62 = -(6 × 6) = -36 4) ไมเทากัน เพราะวา ( ) 3

32 = 278 แต 323 = 38

3. 1)

0 4 8 16 32

2122 23 24 25

2 64

26

74

(1) 26 แทน 64 จุดที่แทน 26 อยูบนเสนจํานวน หางจาก 0 เทากับ 64 หนวยหรืออยูหางจุดที่แทน 25 ไปทางขวา 32 หนวย

(2) 2 หนวย หรือ 21 หนวย(3) 4 หนวย หรือ 22 หนวย(4) 8 หนวย หรือ 23 หนวย

(5) เพิ่มขึ้นเปนสองเทาของ 2 ส่ีเทาของ 2 แปดเทาของ 2 สิบหกเทาของ 2 ตอไปเร่ือย ๆ หรือเพิ่มขึ้นเปนสองเทาของจํานวนสุดทายที่ได

(6) 2 n

หมายเหตุ ครูอาจแนะนําใหนักเรียนหาคําตอบจากแบบรูปดังนี้

จุดท่ีแทน ระยะหางระหวางจุดสองจุด(หนวย)

21 กับ 22

22 กับ 23

23 กับ 24

24 กับ 25

2n กับ 2n + 1

4 – 2 = 2 = 21

8 – 4 = 4 = 22

16 – 8 = 8 = 23

32 – 16 = 16 = 24

2 n + 1 – 2n = 2n

(7) ตองใชเวลานาน 120 นาที หรือ 2 ช่ัวโมง จะไดจํานวนแบคทีเรียอยางนอย 120ลานเซลล เพราะวาแบคทีเรียใชเวลา 2 ช่ัวโมงจะไดจํานวนแบคทีเรีย 27 = 128 ลานเซลล

2)

0 81 41 21 1321 161

( )521 ( )4

21 ( )321 ( )2

21 ( )121

......

...

75

(1) ( )521 แทน 321 และจุดที่แทน ( )5

21 จะอยูหางจาก 0 เทากับ 321 หนวย จุดที่แทน ( )5

21 เปนจุดกึ่งกลางระหวาง 0 กับ 161

(2) มากกวา (3) จะลดลงเปนครึ่งหนึ่งของจํานวนกอนหนาที่อยูถัดไปทางซาย (4) ( ) 1n

21+

อาจหาคําตอบจากแบบรูปดังนี้

จุดท่ีแทน ระยะหางระหวางจุดสองจุด(หนวย)

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 กับ

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 กับ

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 กับ

4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 กับ

5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

n

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ กับ

1n

21 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41

41 2

1=− =

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

81

81

41

=− =3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

161

161

81

=− =4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

321

321

161

=− =5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

n

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ –

1n

21 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

1n

21 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(5) เขาใกลศูนย แตจะไมเทากับศูนย

คําตอบแบบฝกหัด 3.1 ข1.

1) 34 2) 112

3) 132 4) 7 3

5) 54 6) 36

2. 1) เขียนไดหลายแบบดังนี้ 28, (-2)8, 44, (-4)4, 162, (-16)2 2) เขียนไดหลายแบบดังนี้ 54, (-5)4, 252, (-25)2

......

...

76

3) (-2)7 4) (-10)3

5) เขียนไดหลายแบบดังนี้ (1.5)2, (-1.5)2 , 2

1015

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ หรือ

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1015-

6) (0.3)3 หรือ 3

103⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

7) 109 หรือ 10003

8) (0.1)5 หรือ 5

101⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3. 1) 0.0001 2) -273) -8 4) 81

5) 9.261 6) 4007) 0.04 8) 0.04

9) 1 10) 13 11) 35 12) 125 13) 25 14) 254. 45. 4 + 3 = 7 เนื่องจาก x = 4 และ y = 36. 1010 คน7. ไมได เพราะถงัคอนกรตีทรงลกูบาศกในบรเิวณทีก่าํหนดจะจนุ้าํไดเพยีง (1.5)3 = 3.375 ลูกบาศกเมตร

ซ่ึงนอยกวา 4 ลูกบาศกเมตร8. อยางมากที่สุด 3 × 24 = 48 ตน9. ใชเวลาสลายตัว 3,200 ป

เวลา (ป) 0 1600 3200เรเดียม (กรัม) 20 10 5

10. 1) 25, 36 และ 49

2) ได n2 เมื่อ n แทนจํานวนจุดของแตละดานของจัตุรัส3) 10 จุด

77

คําตอบปญหาชวนคิด

1. เศรษฐีคิดวาถาใหทอง จะตองจายมากกวาใหเงิน2. บุญมาใชความรูเกี่ยวกับพลังของเลขยกกําลังมาใชเปนประโยชนตอตนเอง3. บุญมาไดเงินทั้งสิ้น

1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 219 = 1048575 บาท4. เศรษฐีตัดสินใจผิดเพราะวาตองจายเงินใหบุญมามากกวาใหทองคําหลายแสนบาท

สําหรับการหาคําตอบของขอ 3 ครูอาจใหนักเรียนสังเกตแบบรูปของจํานวนที่สามารถนําไปสูคําตอบไดดังนี้

วันที่ จํานวนเงิน 1 1 = 1 2 1 + 21 = 1 + 2 = 3 3 3 + 22 = 3 + 4 = 7 4 7 + 23 = 7 + 8 = 15 5 15 + 24 = 15 + 16 = 31

20 (219- 1) + 219 = 524287 + 524288 = 1048575

หมายเหตุ นักเรียนบางคนอาจสังเกตพบแบบรูปคําตอบเปน(219 – 1) + 219 = (2 × 219) – 1

= 220 – 1= 1048576 – 1= 1048575

.

.

.

.

.

.

.

.

.

เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนคู จะเปนจํานวนบวกเสมอไมวาฐานจะเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบ

78

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ก1.

1) 313 2) 810

3) 711 4) (-2)13

5) (0.2)8 6) (1.2)7 7) (0.01)5 8) (0.5)6

9) 3 m + n 10) x m + n

2.1) 28 2) 39

3) 7 × 27 4) 32 × 55

5) 211 6) 58 หรือ (-5)8

7) x12 8) a6 × b3

3. 1020 ดวง4. 9.46 × 1017 กิโลเมตร5. 212 ลูกบาศกเซนติเมตร6.

1) 23

2) 33

3) 44

คําตอบปญหา “ตอบไดหรือไม” แหนเพิ่มจํานวนของตัวเองเปน 2 เทา ในทุกสองวัน

แหนเพิ่มจํานวนเต็มสระในเวลา 40 วัน ดังนั้นมีแหนครึ่งสระในเวลา 38 วัน

79

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ข1.

1) 24

2) (-3)3 3) เขียนไดหลายแบบดังนี้

( ),

5.012 (0.5)–2 หรือ 4

4) เขียนไดหลายแบบดังนี้ ( )

,111,

111

44−(-11)–4 หรือ 11–4

5) 54 หรือ 0.8

6) เขียนไดหลายแบบดังนี้ 5.01,

21,2,

211 1−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ หรือ (0.5)–1

7) (0.3)3

8) 49) 410) 54

11) m3

12) 113) a14) 1

2. 1) 321 2) 1031

3) 231 4) 3m1

5) 7a1 6) 12x1

3. 04.

1) มี 1 และ 0 2) มีหลายจํานวน เชน 21

5. 59 ลูกบาศกเซนติเมตร แนวคิด ลูกบาศกลูกใหญมีดานยาวดานละ 125 = 53 เซนติเมตร

จะไดปริมาตร (53)(53)(53) ลูกบาศกเซนติเมตร = 59 ลูกบาศกเซนติเมตร

80

6. 9 × 1012 เทา7. ประมาณ 15 วัน8. ประมาณ 57 × 10-5

แนวคิด 610 6235340× = 510 623534

×

= 51057

= 57 × 10-5

คําตอบปญหา “นาคิดนะ”

1 โกฏิ เทากับ 107

1 อสงไขย เทากับ (107)20

จะได 1 อสงไขย เทากับ 10140 หรือ 10134 × 106

จะได 1 อสงไขย เทากับ 10134 ลาน

คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ก1.

1) 7 × 104 2) 2.1 × 105

3) 5.67 × 107 4) 8 × 109

5) 4.9 × 1011 6) 2.45 × 1013

2.1) 6.38 × 106 เมตร2) 1.4 × 106 กิโลเมตร3) ความเร็วประมาณ 6 × 104 กิโลเมตรตอช่ัวโมง อยูหางจากโลกประมาณ 3.22 × 108 กิโลเมตร4) บริวารของดาวเสารโคจรหางจากดาวเสารประมาณ 1.2 × 106 กิโลเมตร อยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ 1.5 × 109 กิโลเมตร5) ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางประมาณ 1.13 × 108 เมตร อยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ 1.43 × 109 กิโลเมตร

81

3.1) 400,000 2) 3,800,0003) 1,450,000,000 4) 82,5705) 5,060,000,000 6) 605,000,000,000

4.1) 89,600,000 ตารางกิโลเมตร2) 3,000,000,000 กิโลเมตร3) 602,380,000,000,000,000,000,000 โมเลกุล4) 17,700,000,000 ลูกบาศกเมตร

5.1) (4 × 105) × (6 × 1024) = 2.4 × 1030 กิโลกรัม2) (3.85 × 107) × (60 × 60) = 1.386 × 1011 กิโลเมตรตอช่ัวโมง3) 105 × 9.46 × 1012 = 9.46 × 1017 กิโลเมตร4) 7

1010 1510

× ≈ 6.6 × 10 คนตอพื้นที่ 1 ตารางกิโลเมตร5) 104000 × 10 = 1.04 × 106 ลานบาท หรือ 10104000 × 106× 10 = 1.04 × 1012 บาท

คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ข1.

1) 2 × 10–3 2) 1.3 × 10–4

3) 5 × 10–6 4) 7.6 × 10–6

5) 8.19 × 10–8 6) 4.65 × 10–10

2.1) 0.0005 2) 0.0000093) 0.000012 4) 0.0000006825) 0.0000005413 6) 0.0000000089

3.1) 6.4 × 10–5 เซนติเมตร 2) 5.3 × 10–5 เซนติเมตร3) 4.5 × 10–5 เซนติเมตร 4) 3 × 10–19 เซนติเมตร

4.1) 1003 หรือ 0.03 เซนติเมตร2) 100003 หรือ 0.0003 เซนติเมตร

82

3) 0001,000,000,915 หรือ 0.000000915 เซนติเมตร4) 000,0001,000,000,66 หรือ 0.000000000066 เมตร

5. ตัวอยาง ถาน้ําหนักตัวเทากับ 50 กิโลกรัม จะไดน้ําหนักสมอง 50100019 × = 0.95 กิโลกรัมหรือ 9.5 × 10–1 กิโลกรัม

6. ประมาณ 2.23097 ×10–3 ลูกบาศกเมตร

แนวคิด จากสูตรพื้นที่วงกลม πr2

จะไดเสนลวดมีพื้นที่หนาตัด (3.5 ×10–4) × (3.5 × 10–4) × π ตารางเมตร สายไฟยาว 5.8 × 103 เมตร ปริมาตรของลวดเสนนี้ประมาณ (3.5 × 10–4) × (3.5 × 10–4) × 3.14 × (5.8 × 103)

= (3.5 × 3.5 × 3.14 × 5.8) × (10-4 × 10-4 × 103)= 223.097 × (10–8 × 103)= 2.23097 × 102 × 10–8 × 103

= 2.23097 × 85

1010

= 2.23097 × 10–3 ลูกบาศกเมตร

คําตอบปญหาชวนคิด

1 ตําลึง = 22 บาท1 บาท = 22 สลึง1 สลึง = 2 เฟอง1 เฟอง = 2 ซีก1 ซีก = 2 เสี้ยว1 เสี้ยว = 2 อัฐ1 อัฐ = 2 โสฬส

ดังนั้น 1 ตําลึง เทากับ 29 โสฬส นั่นคือ 1 โสฬส เทากับ 921 หรือ 2–9 ตําลึง

83

กิจกรรมเสนอแนะและแบบฝกหัดเพิ่มเติม

84

กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ก

กิจกรรมนี้มีไวเพื่อใหนักเรียนเห็นการนําสาระของวิชาคณิตศาสตรไปใชในบทประพันธ ตอนหนึง่ของบทพากยเอราวณั ซ่ึงเปนบทพระราชนพินธในพระบาทสมเดจ็ ฯ พระพทุธเลศิหลา นภาลัย ครูอาจใชกจิกรรมนีน้าํเขาสูบทเรยีนและอาจนาํเสนอคาํประพนัธเปนแผนภมูใิหนกัเรยีน

ไดศึกษาและอานคําประพันธเปนทํานองเสนาะพรอมกันทั้งชั้น ครูควรนําอภิปรายใหเห็นวาบทประพันธนี้มีความเชื่อมโยงกับเลขยกกําลังและอาจถอด

คําประพันธใหเห็นเลขยกกําลังบางจํานวน เชน จํานวนดอกบัวบนหนึ่งเศียรเทากับ 74 ซ่ึงเทากับ2,401 ดอก

สามสิบสามเศียรโสภา เศียรหนึ่งเจ็ดงา

ดังเพชรรัตนรูจี

งาหนึ่งเจ็ดโบกขรณี สระหนึ่งยอมมี

เจ็ดกออุบลบันดาล

กอหนึ่งเจ็ดดอกดวงมาลย ดอกหนึ่งเบงบาน

มีกลีบไดเจ็ดกลีบผกา

กลีบหนึ่งมีเทพธิดา เจ็ดองคโสภา

แนงนอยลําเพานงพาล

นางหนึ่งยอมมีบริวาร อีกเจ็ดเยาวมาลย

ลวนรูปนิรมิตมารยา

85

กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ข

กิจกรรมนี้สอดคลองกับบทนําของเรื่องเลขยกกําลังในหนังสือเรียน เปนกจิกรรมทีน่าํสาระ คณติศาสตรไปใชในวชิาวทิยาศาสตร ตองการใชเปนสือ่ใหนกัเรยีนเกดิความรูสึกเชงิจาํนวน รูและ

เขาใจถึงคาของเลขยกกําลังที่แสดงใหเห็นการเพิ่มขึ้นอยางรวดเร็วของแบคทีเรีย ระหวางการทํา กจิกรรมนี้นักเรียนจะไดฝกทักษะการสังเกต คนหาแบบรูปและความสัมพันธ

ใหนกัเรยีนศกึษาภาพการขยายพนัธุของแบคทเีรียซ่ึงเปนสตัวเซลลเดยีวและมีการแบงเซลลในทกุ ๆ ชวงเวลา 20 นาที

คร้ังท่ี เวลาที่ผานไป(นาที) จํานวนแบคทีเรีย (เซลล)

0 0

1 20

2 40

3 60

4 80

5 100

จงตอบคําถามตอไปนี้1. แบคทีเรียมีการขยายพันธุอยางไร [แบงเซลลจาก 1 เซลล เปน 2 เซลล ในทุก ๆ 20 นาที]2. หาจํานวนแบคทีเรียในแตละครั้งที่แบงเซลลไดอยางไร [คูณจํานวนสุดทายดวย 2]3. ในครั้งที่ 6 จะมีแบคทีเรียทั้งหมดกี่เซลล [26 เซลล]4. เมื่อเวลาผานไป 3 ช่ัวโมงจะมีแบคทีเรียทั้งหมดกี่เซลล [29 เซลล]

.

.

....

.

.

....

.

.

.

86

แผนโปรงใสประกอบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ข

กราฟแสดงการขยายพันธุของแบคทีเรีย

2n

80

72

64

56

48

40

32

24

16

8

n1 2 3 4 5 6 70

42

จํานวน

แบคท

ีเรีย (เซ

ลล)

คร้ังที่

ในการใชแผนโปรงใสนี้ประกอบการอธิบายการขยายพันธุของแบคทีเรีย ครูควรแนะนํา แกนนอนและแกนตัง้ และการใชมาตราสวนบนแกนทัง้สองซึง่ไมจาํเปนตองใชมาตราสวนเดยีวกนั เนื่องจากจํานวนครั้งที่และจํานวนของแบคทีเรียมีคาตางกันมาก ใหครูแนะนําการอานกราฟซึ่งจะ ตองอานจํานวนบนแกนนอนจากซายไปขวาเสมอ

87

กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ค

ในกิจกรรมนี้ตองการใหศึกษาแบบรูปของเลขยกกําลังที่มีฐานตาง ๆ นักเรียนควรจะสังเกตเห็นวาคาของเลขยกกําลังจะมากหรือนอยยอมขึ้นอยูกับจํานวนที่เปนฐานวาเปนจํานวนเต็มบวกจาํนวนเตม็ลบหรอืเศษสวน และขึน้อยูกบัจาํนวนทีเ่ปนเลขชีก้าํลังดวยวาเปนจาํนวนคูหรือจาํนวนคี่คาํตอบของนกัเรยีนอาจไดขอสังเกตมากกวาทีไ่ดเฉลยไว หรือสามารถอธบิายความสมัพนัธหรือแบบรปูของเลขยกกําลังที่ไดดวย นอกจากนั้นกิจกรรมนี้ยังชวยพัฒนาในเรื่องของความรูสึกเชิงจํานวนอีกดวย ครูอาจใชกิจกรรมนี้ตอจากแบบฝกหัด 3.1 ก ขอ 3

ใหนักเรียนศึกษาคาของเลขยกกําลังในตารางและตอบคําถามของแตละขอตอไปนี้

เลขยกกําลัง 2 22 23 24 25 – – –1.คาของเลขยกกําลัง 2 4 8 16 32 – – –

นักเรียนคิดวา เลขยกกําลังที่มีฐานเทากับ 2 เมื่อเลขชี้กําลังมีคามากขึ้นทีละหนึ่ง เลขยกกําลังนั้นจะมีคาเปนอยางไร จงอธิบาย

[คามากขึ้นเปนสองเทาของจํานวนกอนหนาที่อยูติดกัน]

เลขยกกําลัง (-2) (-2)2 (-2)3 (-2)4 (-2)5 – – –2.คาของเลขยกกําลัง -2 4 -8 16 -32 – – –

นักเรียนคิดวา เลขยกกําลังที่มีฐานเทากับ -2 เมื่อเลขชี้กําลังมีคามากขึ้นทีละหนึ่ง เลขยกกําลังนั้นจะมีคาเปนอยางไร จงอธิบาย

[เมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนคู คาของเลขยกกําลังจะเปนจํานวนบวกที่มีคามากขึ้น และเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนคี่ คาของเลขยกกําลังจะเปนจํานวนลบที่มีคานอยลงสลับกันไปเรื่อย ๆ]

เลขยกกําลัง 21 ( )221 ( )3

21 ( )421 ( )5

21 – – –3.

คาของเลขยกกําลัง 21 41 81 161 321 – – –

นักเรียนคิดวา เลขยกกําลังที่มีฐานเทากับ 21 เมื่อเลขชี้กําลังมีคามากขึ้นทีละหนึ่ง เลขยกกําลังนั้นจะมีคาเปนอยางไร จงอธิบาย [คาลดลงเปนครึ่งหนึ่งของจํานวนกอนหนาที่อยูติดกันแตจะไมเทากับศูนย]

88

แผนโปรงใสประกอบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ค

กราฟของ ( )n21

ครูใชแผนโปรงใสนี้ประกอบการอธิบายใหเห็นภาพการลดลงของจํานวนที่อยูในรูป ( )n21

เมื่อ n เปนจํานวนนับ ใหนักเรียนเกิดความรูสึกเชิงจํานวนถึงพลังของเลขยกกําลังกรณีที่ฐานเปน 21 วาในชวงแรกคาของจํานวนจะลดลงอยางรวดเร็ว และจะคอย ๆ ลดชาลงไปเรื่อย ๆ แตจะไม เทากับศูนย

1

641 n1 2 3 4 5 6 70 8

16181

41

21

(ศูนยหรือจํานวนนับ)

( )n21

89

กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ง

แนวการจัดกิจกรรม1. ครูใชแผนโปรงใสประกอบกจิกรรมเสนอแนะ 3.1 ง ในการอธบิายแบบฝกหดั 3.1 ข ขอ 9

ใหนักเรียนไดเห็นกราฟของการสลายตัวของเรเดียม ดังนี้

จากกราฟขางบนนี้ ครูช้ีใหนักเรียนเห็นการสลายตัวของเรเดียม ในระยะเวลาชวงแรกเมื่อสารเรเดียม 20 กรัมสลายตัวไปครึ่งหนึ่งเหลือ 10 กรัม ตองใชเวลา 1,600 ป ระยะเวลาชวงที่ 2 เรเดยีมสลายตวัคร่ึงหนึง่เหลอื 5 กรัม ตองใชเวลาอกี 1,600 ป รวมเปนเวลา 3,200 ป และถาสลายตวั อีกครึ่งหนึ่งเหลือ 2.5 กรัม ตองใชเวลานานอีก 1,600 ป รวมเปนเวลาถึง 4,800 ป ใหนักเรียนสังเกตการลดลงของสารเรเดียมในชวงเวลาตาง ๆ ดังนี้ ในชวงแรกลดลงเร็วมาก ในชวงตอ ๆ ไปจะลดชาลง แตจะอยางไรก็ตามสารนี้จะไมสลายตัวจนหมด

2. ครูอาจใหปญหาใหมดังนี้คร่ึงชีวิตของสารกัมมันตรังสียูเรเนียม -238 มีคาประมาณ 4,500 ลานป ถามีสาร

กัมมันตรังสียูเรเนียม -238 อยู 40 กรัม ตองใชเวลานานประมาณกี่ป สารนี้จึงจะสลายตัวเหลือ 5 กรัม [13,500 ลานป]

ครูอาจใชกิจกรรมนี้เสริมความรูใหกับนักเรียน ใหนักเรียนไดเห็นกราฟแสดงการสลายตัว ของสารกัมมันตรังสีบางชนิด

05

101520

0 1600 3200 4800 6400 เวลา (ป)

น้ําหน

ัก (กรัม)

90

แผนโปรงใสประกอบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ง

กราฟแสดงการสลายตัวของเรเดียม

กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 จ

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดสังเกตแบบรูปที่แสดงความสัมพันธระหวางจํานวนครั้งที่พับและความหนาของกระดาษที่พับไดซ่ึงอยูในรูปของเลขยกกําลัง

พับกระดาษ

ใหนักเรียนใชกระดาษรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก 1 แผน ในการทํากิจกรรมตอไปนี้ 1. พับครึ่งครั้งที่ 1 จะไดกระดาษที่พับแลวมีความหนาเทากับกระดาษ 2 แผน

2. พับครึ่งครั้งที่ 2 จะไดกระดาษที่พับแลวมีความหนาเทากับกระดาษ 4 แผน3. พับครึ่งไปเรื่อย ๆ เทาที่นักเรียนจะทําไดแลวเติมจํานวนลงในตารางขางลางนี้ใหสมบูรณ

05

101520

0 1600 3200 4800 6400 เวลา (ป)

น้ําหน

ัก (กรัม)

91

จํานวนครั้งท่ีพับ ความหนา(คิดเปนจํานวนแผนกระดาษ)

0123456

1248

163264

4. ถาพับกระดาษครั้งที่ 5 จะไดความหนาเทากับกระดาษกี่แผน สามารถเขียนคําตอบนั้นในรูป เลขยกกําลังไดหรือไม ถาไดจะเขียนไดเปนอยางไร [32 แผน หรือ 2 5 แผน]

5. ถาพับกระดาษครั้งที่ 20 จะไดความหนาเทากับกระดาษกี่แผน ใหเขียนจํานวนนั้นในรูปเลขยกกําลัง [1,048,576 แผน หรือ 220 แผน]

6. นักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธระหวางจํานวนครั้งที่พับกับความหนาของแผนกระดาษที่ไดจากการพบัอยางไรบาง [จาํนวนกระดาษทีไ่ดจากการพบัจะเทากบั 2n แผนเมือ่ n แทนจาํนวนคร้ังทีพ่บั]

กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ฉ

กิจกรรมนี้เสนอไวสําหรับนักเรียนที่มีความสามารถและสนใจเปนพิเศษ เพื่อใหนักเรียน

สังเกตและเกิดแนวคิดในการสรางองคความรูใหม ในขณะที่กําลังหาคําตอบ เชน ในการหาคําตอบของ 220 นกัเรยีนบางคนอาจคดิหาคาํตอบไดจาก 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4หรือ 16 × 16 × 16 × 16 × 16 หรือ 32 × 32 × 32 × 32 หรืออาจใชเครื่องคิดเลขหาคําตอบ

ในการหาคําตอบตอไปนี้ ครูควรใหนักเรียนอธิบายถึงแนวคิดในการหาคําตอบและนักเรียนอาจใชเครื่องคิดเลขชวยในการคิดคํานวณก็ได

.

.

....

92

1. จงพิจารณาวาจํานวนที่กําหนดใหในแตละขอเทากันหรือไม เพราะเหตุใด1) 316 กับ 814

2) 231 กับ 810 × 22. จงหาวาเลขยกกําลังตอไปนี้แทนจํานวนใด

1) 225 2) 315

3) (0.5)10 4) (0.02)12

3. กระดาษรูปสี่เหล่ียมผืนผามีความหนา 0.01 เซนติเมตร ถานํามาพับทบเปน 3 ช้ันใหทับกนัสนทิพอดแีลวตดัตามรอยพบัเปน 3 แผน นาํ 3 แผนนัน้มาซอนกนัใหมแลวตดัครัง้ที ่ 2 ทาํดวยวธีิการเดิมไปเรื่อย ๆ จงหาวาในการตัดตามรอยพับครั้งที่ 10 จะไดกระดาษที่ซอนกันกี่แผนและกระดาษที่ซอนกันทั้งหมดหนาประมาณกี่เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 ฉ1. ตัวอยาง แนวคิด

1) เทากัน เพราะวา 814 เทากับ 81 คูณกัน 4 ตัว หรือเทากับ 34 คูณกัน 4 ตัว2) เทากัน เพราะวา 810 เทากับ (23)10 ซ่ึงเทากับ 23 คูณกัน 10 ตัว

จะได 810 = 230

2. ตัวอยาง แนวคิด1) เนื่องจาก 225 เทากับ 25 คูณกัน 5 ตัว หรือเทากับ 32 คูณกัน 5 ตัว

จะได 225 = 325 = 33,554,4322) เนื่องจาก 315 เทากับ 33 คูณกัน 5 ตัว หรือเทากับ 27 คูณกัน 5 ตัว

จะได 315 = 275 = 14,348,9073) จาก (0.5)10 ใหคิดเปน 5 คูณกัน 10 ตัว หรือ 25 คูณกัน 5 ตัวกอนแลวกําหนด

จุดทศนิยมเปนทศนิยม 10 ตําแหนงจะได (0.5)10 = 0.0009765625

ตัดตามรอยพับคร้ังที่ 1

ตัดตามรอยพับคร้ังที่ 2

ตัดตามรอยพับคร้ังที่ 3

93

4) จาก (0.02)12 ใหคิดเปน 2 คูณกัน 12 ตัว หรือ 8 คูณกัน 4 ตัวกอนแลวกําหนดจุดทศนิยมเปนทศนิยม 24 ตําแหนง

จะได (0.02)12 = 0.000 000 000 000 000 000 004 0963. ไดกระดาษหนา 310 แผนซึ่งเทากับ 33 × 33 × 33 × 3 = 273 × 3 แผน

จะไดกระดาษที่ซอนกัน 59,049 แผนกระดาษแตละแผนหนา 0.01 เซนติเมตรดังนั้นกระดาษที่ซอนกันหนา 59049 × 0.01 = 590.49 เซนติเมตร

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1 กจงตอบคําถามตอไปนี้ โดยเขียนคําตอบเติมในชองวาง

1. เรียก 6 ในเลขยกกําลัง 106 วาอะไร………………………………………………………………………………………[เลขชี้กําลัง]

2. เรียก 0.4 ในเลขยกกําลัง (0.4)5 วาอะไร………………………………………………………..……………………………………[ฐาน]

3. เลขยกกําลัง (-8)3 มีจํานวนใดเปนฐานและมีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง……………………………………………….…………...[-8 เปนฐาน และ 3 เปนเลขชี้กําลัง]

4. 7 มีจํานวนใดเปนฐาน และมีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง…………………………………………..………….……..[7 เปนฐาน และ 1 เปนเลขชี้กําลัง]

5. ( )4 52 มีจํานวนใดเปนฐาน และมีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง

…………………………………………….……………..[ 52 เปนฐาน และ 4 เปนเลขชี้กําลัง]6. (3a)10 มีจํานวนใดเปนฐาน และมีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง

……………………………………….…………..….…...[3a เปนฐาน และ 10 เปนเลขชี้กําลัง]7. (3)5 มีความหมายอยางไร

………………………………….…………………….…….……………...[3 × 3 × 3 × 3 × 3]8. ( )3

43 มีความหมายอยางไร……………………………………...…….…………………………..…………….[ 43 43 43 ×× ]

9. (-5)4 มีความหมายอยางไร…………………………………………………….………………...[(-5) × (-5) × (-5) × (-5)]

10. เขียนเลขยกกําลังแทน (-7) (-7) (-7) (-7) (-7) ไดเปนอยางไร…………………………………………………………………………..….……………...[(-7)5]

94

11. เขียนเลขยกกําลังแทน m × m × m × m × m ไดเปนอยางไร…………………………………………………………………………..….………………..[m5]

12. เขียนเลขยกกําลังแทน mn × mn × mn × mn ไดเปนอยางไร…………………………………………………………………………..….…………….[(mn)4]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1 ข

ใหนักเรียนเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้

1. (-3)4 อานวา………………………………………และเทากับ…………..[ลบสามทั้งหมดยกกําลังสี่ หรือกําลังสี่ของลบสาม] [81]

2. -34 อานวา………………………………………และเทากับ………..…..[ลบของสามยกกําลังสี่ หรือลบของกําลังสี่ของสาม] [-81]

3. (-3)4 และ -34 แทนดวยจํานวนเดียวกันหรือไม เพราะเหตุใด………………………..…………………………………………………………………………………………….

[ไมไดแทนจํานวนเดียวกันเพราะวา -34 เปนจํานวนตรงขามของ (-3)4 หรือของ 34 ]

4. ( )2 43 อานวา……………………………………………. และเทากับ………………….

[เศษสามสวนสี่ทั้งหมดยกกําลังสอง] [ 169 ]

5. 43 2 อานวา……………………………………………. และเทากับ………………….

[เศษสามยกกําลังสองสวนสี่ หรือสามยกกําลังสองหารดวย 4] [ 49 ]

6. 243 อานวา……………………………………………. และเทากับ………………….

[เศษสามสวนสี่ยกกําลังสอง หรือสามหารดวยส่ียกกําลังสอง] [ 163 ]

7. นักเรียนมีขอสังเกตอยางไรบางเกี่ยวกับการเขียนเลขยกกําลัง…………………………….…………………………………………………………………………………………….

[ถาฐานเปนจํานวนลบ หรือเศษสวนควรตองใสวงเล็บคลุมฐาน]

95

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1 คใหนักเรียนเขียนคําตอบในรูปเลขยกกําลังโดยเติมคําตอบในชองวางแตละขอตอไปนี้

1. 9 = 3 × 3= ……………………. [32]

2. 9 = (-3) (-3)= ……………………. [(-3)2]

3. 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2= ……………………. [26]

4. 64 = (2 × 2) (2 × 2) (2 × 2)= 4 × 4 × 4= ……………………. [43]

5. 64 = (-8) (-8)= ……………………. [(-8)2]

6. 0.001 = (0.1) (0.1) (0.1)= ……………………. [(0.1)3]

7. 0.0016 = (0.2) (0.2) (0.2) (0.2)= ……………………. [(0.2)4]

8. 0.0016 = (0.04) (0.04)= ……………………. [(0.04)2]

9. -343 = (-7) (-7) (-7)= ……………………. [(-7)3]

10. -243 = (-3) (-3) (-3) (-3) (-3)= ……………………. [(-3)5]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1 ง1. จงเติมคําตอบในชองวางขางลางนี้

1) 16 = (-4)n จะได n = [2]2) 81 = a2 จะได a = [9 หรือ -9]3) 81 = 3n จะได n = [4]

96

4) 0.027 = a3 จะได a = [0.3]5) 128 = 2n จะได n = [7]6) -27 = an จะได a = และ n = [a = -3 และ n = 3]

2. จงเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังมากกวา 1 แทนจํานวนตอไปนี้1) 36 [62 , (-6)2]2) -125 [(-5)3]3) 256 [เขยีนคาํตอบไดหลายแบบดงันี ้ 28 , (-2)8 , 44 , (-4)4 , 162 หรือ (-16)2]4) 278 [( )3

32 ]5) 2,401 [เขียนคําตอบไดหลายแบบดังนี้ 74 , (-7)4 , (-49)2 หรือ 492]6) 10,000 [เขยีนคาํตอบไดหลายแบบดงันี ้ 104 , (-10)4 , 1002 หรือ (-100)2]

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนสังเกตและคนพบความสัมพันธของฐานและเลขชี้กําลังของตัวตั้ง ตัวคูณและผลคูณของเลขยกกําลังที่มีฐ านเปนจํานวนเดียวกัน เพื่อนําไปสูสมบัติ

ของการคูณเลขยกกําลัง ครูอาจใชกิจกรรมนี้นําเขาสูบทเรียน

1. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ 1) 32 × 34 เขียนในรูปการคูณของ 3 ไดทั้งหมดกี่ตัว [6 ตัว] 2) 32 × 34 เทากับเลขยกกําลังใด [36] 3) 32 × 34 เทากับ 32 + 4 หรือไม [เทากัน] 4) นักเรียนคิดวา 52 × 57 มี 5 คูณกันทั้งหมดกี่ตัว [9 ตัว]

5) 52 × 57 เทากับเลขยกกําลังใด [59]6) 52 × 57 เทากับ 52 + 7 หรือไม [เทากัน]

7) นักเรียนไดขอสังเกตอะไรบางเกี่ยวกับการคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกัน [เลขชี้กําลังของผลคูณจะเทากับผลบวกของเลขชี้กําลังของจํานวนที่นํามาคูณกัน]

97

2. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ 1) 23 มี 2 คูณกันกี่ตัว [3 ตัว] 2) 32 มี 3 คูณกันกี่ตัว [2 ตัว] 3) 23 × 32 เขียนผลคูณในรูปเลขยกกําลังไดหรือไม เพราะเหตุใด

[ไมได เพราะฐานไมเปนจํานวนเดียวกัน]4) ผลคูณของ 23 × 32 เทากับเทาใด [8 × 9 = 72 ]

5) จะเขียนผลคูณของ 53 × 34 ในรูปเลขยกกําลังไดหรือไม เพราะเหตุใด [ไมได เพราะฐานไมเปนจํานวนเดียวกัน]

6) นักเรียนมีขอสังเกตอะไรบางเกี่ยวกับการคูณเลขยกกําลังที่มีฐานตางกัน[เขียนผลคูณในรูปเลขยกกําลังไมไดตองหาผลคูณเหมือนกับการคูณจํานวนเต็ม]

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดฝกทักษะในการสังเกตแบบรูปและความสัมพันธโดย เชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับพื้นที่และเลขยกกําลัง อาจใชกิจกรรมนี้นําเขาสูบทเรียนเพื่อเราความ สนใจ หรือใหทําเปนการบานก็ได

ใหนักเรียนพิจารณารูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่จัดวางไวตามแบบรูปที่กําหนดใหและใหบันทึกคําตอบลงในชองวาง

รูปท่ี 1 2 3 4 5 6 7พื้นท่ี (ตารางหนวย) 1 4 9 16

[25] [36] [49]

รูปที่ 1 2 3 4

98

จงตอบคําถามตอไปนี้

1. นกัเรยีนสงัเกตแบบรปูและขอมลูทีก่าํหนดไวในตารางขางตนนีแ้ลว นกัเรยีนไดขอสรุปเกีย่วกบัพื้นที่ของแตละรูปอยางไรบาง…………………………………………………………………………………………………

[หาพื้นที่ของแตละรูปจากสูตร n2 เมื่อ n แทนรูปที่ตองการหาพื้นที่]

2. ถาตองการหาพื้นที่ของรูปที่ 20 ในรูปเลขยกกําลังจะไดพื้นที่กี่ตารางหนวย…………………………………………………………………………………………………

[202 หรือ 400 ตารางหนวย]

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ค

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนสังเกตและคนพบความสัมพันธของเลขชี้กําลังของตัวตั้งตัวหาร และผลหารของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกัน เพื่อนําไปสูสมบัติของการหารเลขยกกําลัง ครูอาจใชกิจกรรมนี้นําเขาสูบทเรียน

1. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้1) ผลหาร 36 ÷ 32 เทากับ 33 333333

×××××× หรือไม [เทากัน]

2) ผลหาร 36 ÷ 32 เขียนในรูปเลขยกกําลังไดหรือไม ถาไดจะไดเทาไร [34]

3) หาผลหาร 34 ÷ 36 จาก 333333 3333×××××

××× ไดเทาไร [ 3 3 1× = 91 ]

4) ผลหาร 34 ÷ 36 เขียนในรูปเลขยกกําลังไดหรือไม

[ไมได แตนักเรียนอาจตอบวาได คือ 231 ซ่ึงไมใชคําตอบที่ถูกตอง]

5) หาผลหารของ 54 ÷ 54 ไดเทาไร [1]

6) ผลหารของ 54 ÷ 54 เขียนในรูปเลขยกกําลังไดหรือไม

[ได 11 (หนึ่งยกกําลังหนึ่ง)]

7) หาผลหารของ 53 ÷ 32 ไดเทาไร [ 9125 ]

8) ผลหารของ 53 ÷ 32 เขียนในรูปเลขยกกําลังไดหรือไม [ไมได]

99

2. ใหนักเรียนหาผลหารตอไปนี้1) 78 ÷ 74 [74] 2) 54 ÷ 5 [53]3) 910 ÷ 93 [97] 4) 43 ÷ 45 [ 241 ]5) 32 ÷ 37 [ 531 ] 6) 73 ÷ 78 [ 571 ]7) 64 ÷ 64 [1] 8) 103 ÷ 103 [1]9) 25 ÷ 32 [ 932 ] 10) 53 ÷ 72 [ 49125 ]

3. ในการหารเลขยกกําลังขางตน นักเรียนมีขอสังเกตเกี่ยวกับ ฐาน เลขชี้กําลังและผลหารในการหารแตละขออยางไรบาง จงอธิบายคําตอบ 1. ถาฐานเหมอืนกนัและเลขชีก้าํลังของตวัตัง้มากกวาเลขชีก้าํลังของตวัหาร ผลหารจะมเีลขชีก้าํลัง

เทากับเลขชี้กําลังของตัวตั้งลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร2. ถาฐานเหมอืนกนัและเลขชีก้าํลังของตวัตัง้เทากบัเลขชีก้าํลังของตวัหาร ผลหารจะเทากบั 13. ถาฐานเหมอืนกนัและเลขชีก้าํลังของตวัตัง้นอยกวาเลขชีก้าํลังของตวัหาร ผลหารจะอยูในรูปเศษสวนที่ตัวเศษเปน 1 และตัวสวนเปนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเทากับเลขชี้กําลังของตัวหาร ลบดวยเลขชี้กําลังของตัวตั้ง

4. ถาฐานไมเหมือนกัน จะเขียนผลหารในรูปเลขยกกําลังไมได

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ง

กิจกรรมนี้เสนอไวสําหรับนักเรียนที่มีความสามารถและสนใจเปนพิเศษ ครูอาจใชในตอนทายของหัวขอเร่ืองนี้เพื่อใหนักเรียนไดนําสมบัติตาง ๆ มาใชระหวางทํากิจกรรม นักเรียนจะไดฝกทักษะการสังเกต คนหาแบบรูปและความสัมพันธ อีกทั้งไดเห็นการประยุกตของ เลขยกกําลัง

จัตุรัสกลของเลขยกกําลัง

ใหนักเรียนพิจารณาจํานวนในตารางจัตุรัส 3 × 3 ตอไปนี้

ตารางที่ 1 ตารางที่ 2

4 -3 2

-1 1 3

0 5 -2

8 161 2

1 4

162141

81

100

จากตารางที ่ 1 ใหนกัเรยีนหาผลบวกของจาํนวนในแนวนอน แนวตัง้และแนวทแยงแตละแนว[เทากันทุกแนวและเทากับ 3]

จากตารางที่ 2 ใหนักเรียนหาผลคูณของจํานวนในแนวนอน แนวตั้งและแนวทแยงแตละแนว[เทากันทุกแนวและเทากับ 1]

จัตุรัสที่มีผลบวกหรือผลคูณของจํานวนในแนวนอน แนวตั้งและแนวทแยงเทากัน เรียกวาจัตุรัสกล

ใหนักเรียนทํากิจกรรมตอไปนี้1. ใหนกัเรยีนเขยีนคาํตอบทีแ่สดงจาํนวนเดยีวกนักบัเลขยกกาํลังในแตละชองของตารางที ่ 3 ลงใน

ชองตารางที่ 4 ใหตรงกันทุกแถวและทุกแนว พรอมทั้งตอบคําถามใตตารางตอไปนี้

จากตารางที่ 1 และตารางที่ 31) ใหนักเรียนสังเกตเลขชี้กําลังของเลขยกกําลังในตารางที่ 3 วามีความเกี่ยวของกับจํานวนในตารางที่ 1 อยางไร [เหมือนกัน]2) นักเรียนหาผลคูณของจํานวนในแตละแนวของตารางที่ 4 ไดเทาไร

[เทากับ 8 ทุกแนว]3) ตารางที่ 3 เปนจัตุรัสกล หรือไม [เปน]

2. ใหนักเรียนพิจารณาจัตุรัสทั้งสองตารางขางลางนี้ แลวตอบคําถามใตตาราง

24 2-3 22

2-1 21 23

20 25 2-2

16

41

81

214

2 8

1 32

ตารางที่ 3 ตารางที่ 4

28 21 26

23 25 27

24 29 22

8 1 6

4 9 2

ตารางที่ 5 ตารางที่ 6

101

1) ตารางที่ 5 เปนจัตุรัสกลหรือไม เพราะเหตุใด[เปน เพราะผลบวกของทุกแนวเทากับ 15]

2) จาํนวนในตารางที ่ 5 เกีย่วของกบัตารางที ่ 6 อยางไร[จํานวนในแตละชองของตารางที่ 5 เปนเลขชี้กําลังของเลขยกกําลังในชองที่ตรงกันของตารางที่ 6]

3) ตารางที่ 6 เปนจัตุรัสกลหรือไม เพราะเหตุใด[เปน เพราะทุกแนวมีผลคูณเทากับ 215]

4) ในการหาคําตอบของขอ 3) มีการใชสมบัติเกี่ยวกับเลขยกกําลังใดบาง[ใชสมบัติการคูณเลขยกกําลัง am × an = am + n]

3. ใหนกัเรยีนสรางจตัรัุสกลในทาํนองเดยีวกบัขอ 2 โดยใชเลขยกกาํลังทีม่ฐีานเปนจาํนวนนบัอ่ืน ๆ

ตัวอยาง

1)

2)

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.21. จงเขียนผลคูณของเลขยกกําลังตอไปนี้ใหอยูในรูปเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเฉพาะ

1) 35 × 92 [39]2) 42 × 230 [234]3) 44 × 163 [220]4) 510 × 625 [514]5) 7100 × 49 [7102]6) 9 × 950 [3102]

7 0 5

2 4 6

3 8 1

37 30 35

32 34 36

33 38 31

-3 -1 4

7 0 -7

-4 1 3

5-3 5-1 54

57 50 5–7

5-4 51 53

102

2. กําหนดให m และ n เปนจํานวนเต็มบวก a, b, x และ y เปนจํานวนใด ๆ จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลัง

1) (2m) .⋅ 2n [2m + n] 2) (-5) m ⋅ (-5)n [(-5)m + n] 3) 4 (4) m [4m + 1] 4) (-7)n ⋅ (-7) [(-7)n + 1] 5) (a3) ⋅ (a7) [a10] 6) (a3) ⋅ (a m) [a3 + m] 7) (x m) ⋅ (xn) [xm + n] 8) (ab) m (ab) [(ab)m + 1] 9) ( )m

yx ( )nyx , y ≠ 0 [ ]

10) am ⋅ an ⋅ a2 [am + n + 2 ]

กิจกรรมเสนอแนะ 3.3 ก

กจิกรรมนีต้องการใหนกัเรยีนเหน็ตวัอยางของสถานการณปญหาทีส่งเสรมิการศกึษาคนควาตามความสนใจของนักเรียน ไดฝกทกัษะในดานการอานและแปลความหมายของขอมูลจากภาพที่มีความเกี่ยวของกับเลขยกกําลังที่มีฐานเปนสิบ

สื่อการเรียนรู ใบกิจกรรมความยาวของคลื่นแมเหล็กไฟฟา

แนวการจัดกิจกรรม1. ครูแจกใบกิจกรรม “ความยาวของคลื่นแมเหล็กไฟฟา” ใหนักเรียนศึกษาเปนกลุม และให

อภิปรายภายในกลุมถึงการอานและแปลความหมายของขอมูลที่ปรากฏในภาพ2. ครูสุมตัวแทนกลุมออกมาเสนอผลสรุปจากการอภิปรายภายในกลุมสัก 2 – 3 กลุม3. ครูควรเสริมและเพิ่มเติมความรูในประเด็นตาง ๆ โดยใชคําถามหลังการเสนอผลงานของ

นักเรียน เชน1) หากนักเรียนยังไมสามารถอานและแปลความในภาพได ครูอาจชี้แนะใหเห็นวาเราไมอาจ

เหน็คลืน่แมเหล็กไดดวยตาจงึจาํลองเปนภาพเพือ่เปรยีบเทยีบกบัขนาดของสิง่ทีท่ราบกนัอยูแลว2) เสนตรงที่แสดงมาตราสวนแบงหนวยในใบกิจกรรมมีการแบงอยางไร

( )ym + nx

103

ความยาวของคลื่นแมเหล็กไฟฟา

[การแบงหนวยแตละชวงไมเทากัน ชวงหนึ่งหนวยทางขวาจะเปนสิบเทาของชวงหนึ่งหนวยทางซายที่อยูถัดกัน]

3) ความยาวของคลื่นแสงหรือขนาดของสิ่งตาง ๆ เปนเทาใดบาง เชน ความสูงของยอดเขาเอเวอรเรสต

[คาํตอบของนกัเรยีนควรเปนคาประมาณ เชน ยอดเขาเอเวอรเรสตสูงประมาณ 104 หรือ 10,000 เมตร อาจบอกความสงูจรงิของยอดเขาเอเวอรเรสตใหนกัเรยีนทราบ ดวย ซ่ึงเทากับ 8,848 เมตร]

ความยาวของไวรัสคิดเปนเมตร [ประมาณ 10-8 เมตร] ความยาวของคลื่นรังสีเอกซ [ประมาณความยาวอยูในชวง 10-8 – 10-13 เมตร]

4. ครูอาจใหนักเรียนลองวัดความยาวของนิ้วหัวแมมือของตนเองแลวเขียนรูปไวใตเสนจํานวนเพื่อเปรียบเทียบดูวาควรอยูระหวางจํานวนใด 5. ครูอธิบายสรปุถึงความยาวของคลืน่แสงซึง่เปนคลืน่แมเหล็กไฟฟา ความยาวของคลืน่แมเหล็กไฟฟาจะมีความสั้นหรือยาวเปนชวง ๆ เชน ความยาวของคลื่นรังสีเอกซอยูระหวาง 10-8 – 10-13 เมตร ความยาวของคลืน่แมเหล็กไฟฟา อาจใชหนวยวดัเปนองัสตรอม ( ) ซ่ึง 1 เทากบั 10-10 เมตร เมื่อกลาววาคลื่นแสงสีแดงยาวประมาณ 7000 หมายความวาคลื่นแสงสีแดงยาวประมาณ 7 × 10-7 เมตร

เด็กชายมานะพบเอกสารแสดงความยาวของคลื่นแมเหล็กไฟฟาในหนังสือเลมหนึ่ง ซ่ึงมีเนื้อหาเกี่ยวของกับเลขยกกําลังที่กําลังศึกษาอยู จึงสนใจและนํามาอภิปรายกับเพื่อน ๆ

ภาพเปรียบเทียบชวงความยาวของคลื่นแมเหล็กไฟฟาบางชนิดกับขนาดของสิ่งตาง ๆ โดยประมาณ(หนวยเปนเมตร)

AA

10-12 10-10 10-8 10010-210-410-6 102 104

คลื่นรังสีเอกซ

ยอดเขาเอเวอรเรสตคนเข็มอะตอม ตึกสูงฝุนไวรัส

คลื่นแสงสีแดง คลื่นเรดาร คลื่นเอฟเอ็ม

เมตร10-13

A

104

ถานกัเรยีนเปนเพือ่นคนหนึง่ของมานะ นกัเรยีนคดิวาภาพขางบนนีส่ื้อความหมายอะไรใหรูไดบาง จงบันทึกสิ่งที่นักเรียนรูและสนใจไวในสวนบันทึกขางลางนี้

ตัวอยาง ขอความที่นักเรียนบันทึกจากการสังเกต

บันทึก1) เสนแสดงมาตราสวนมีการแบงแตละชวงไมเทากัน ชวงหนึ่งหนวยทางขวาเปนสิบเทาของชวงหนึ่ง หนวยทางซายที่อยูถัดกัน จํานวนที่กํากับหนวยทางขวาจะเปน 10 เทาของจํานวนที่กํากับหนวยซ่ึง อยูถัดไปทางซาย2) ความยาวของคลื่นแมเหล็กไฟฟามองไมเห็นดวยตา แตสามารถจินตนาการชวงของคลื่นโดยเปรียบเทียบกับความสูงหรือความยาวของสิ่งตาง ๆ ได เชน

– คล่ืนเอฟเอ็ม ยาวกวาความสูงของคน และมีความยาวอยูระหวาง 1 – 10 เมตร– อะตอมมีขนาดเล็กมากประมาณ 10–10 เมตร– ตึกสูง สูงประมาณ 100 เมตร– คล่ืนสีแดงยาวประมาณ 10–6 – 10–8 เมตร– เข็มหมุดยาวประมาณ 10–2 หรือ

1001 เมตร หรือ 100

1001

× เซนติเมตร = 1 เซนติเมตร ฯลฯ

กิจกรรมเสนอแนะ 3.3 ข

กจิกรรมนีต้องการใหนกัเรยีนไดสังเกตรปูแบบหรอืสัญลักษณทีใ่ชเขยีนแทนจาํนวนเดยีวกนัมีความสัมพันธกันระหวางรูปเศษสวน ทศนิยม และเลขยกกําลัง นักเรียนจะสามารถนําความรูจากใบกิจกรรมนี้ไปใชในการคํานวณไดเหมาะสมและรวดเร็วข้ึน

จากตารางจงศึกษาจํานวนทุกจํานวนในแนวตั้งและแนวนอน

– – – 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 – – –– – – 100001 10001 1001 101 1 10 100 1000 – – –– – – 410

1 3101 210

1 1101 010

110 102 103 – – –

– – – 10– 4 10–3 10–2 10–1 100 101 102 103 – – –

105

1. จํานวนในแนวตั้งและแนวนอนแตละแนวมีความสัมพันธกันอยางไร จงอธิบาย [จํานวนในแนวนอนที่อยูติดกันมีคาตางกันเปน 10 เทา จํานวนทางขวาเปน 10 เทาของ

จํานวนที่อยูถัดไปทางซาย และจํานวนทุกจํานวนในแนวตั้งในชองเดียวกันมีคาเทากัน]

2. ถาตองการเขียนจํานวนแทน 0.000001 ในรูปอื่น ๆ จะเขียนไดอยางไรบาง [ 10000001 หรือ 6101 หรือ 10–6]

3. เซลลแตละเซลลของไวรัสชนิดหนึ่งมีความยาวประมาณ 0.000000003 เมตร ถานําไวรัสชนิดนี้ 10,000 เซลลมาเรียงตอกัน จะยาวกี่เมตร

[อาจตอบในรูปทศนิยมเปน 0.00003 หรือเลขยกกําลัง 3 × 10-5 เมตร]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 ก1. จงเขียนคําตอบในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร

1) 20000 = 2 × 10000= ………………. [2 × 104]

2) 24000 = 24 × 1000= (2.4 × 10) × 1000= 2.4 × 10000= 2.4 × ………… [2.4 × 104]

3) 360000 = 36 × 10000= 3.6 × ………… [3.6 × 105]

4) 5000000 = 5 × 1000000= ………………. [5 × 106]

5) 1450000 = 1.45 × 1000000= 1.45 × ………. [1.45 × 106]

6) 72810000 = 7.281 × 10000000= 7.281 × ……… [7.281 × 107]

7) 835000000 = 8.35 × …..…… [8.35 × 108]

106

2. นกัเรยีนมขีอสังเกตในการเขยีนจาํนวนทีม่คีามากๆ ใหอยูในรปูสญักรณวทิยาศาสตรใหไดคาํตอบ อยางรวดเร็วไดอยางไรบาง จงอธิบาย

[กําหนด A ใน A × 10n เมื่อ 1 < A < 10 และ n เปนจํานวนเต็มแลวคูณ A ดวย 10n – 1 เมื่อ n แทนจํานวนหลักของจํานวนที่กําหนดให เชน 835,000,000 เปนจํานวนที่มีเกาหลัก

กําหนด A โดยให 1 < A < 10 ดังนั้น A = 8.35 และ 10n – 1 คือ 109-1 = 108

จะได 835,000,000 = 8.35 × 108 ]

3. ใหนักเรียนเขียนจํานวนแทนสัญกรณวิทยาศาสตรที่กําหนดใหในชองวางตอไปนี้

1) 3 × 104 = ……………………[30,000]

2) 4.5 × 103 = ……………………[4,500]

3) 7.8 × 105 = ……………………[780,000]

4) 2.39 × 107 = ……………………[23,900,000]

5) 8.102 × 108 = ……………………[810,200,000]

4. นักเรียนมีขอสังเกตในการเขียนจํานวนแทนสัญกรณวิทยาศาสตรที่กําหนดใหอยางไรบางจงอธิบาย[จากจํานวนที่กําหนดใหในรูป A × 10n เมื่อ 1 < A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม ใหเขียน

จํานวนนับที่มีเลขโดดชุดเดียวกันกับ A กอน แลวเขียนศูนยตอทายจํานวนนับนั้นจนไดจํานวนหลัก เทากับ n + 1 หลัก]

7.8 × 105 = 7.8 × 10000

4.5 × 103 = 4.5 × 1000

3 × 104 = 3 × 10000

107

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 ข

ใหนักเรียนเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้1. 0.5 เขียนในรูปเศษสวนไดเปน………….. [ 105 หรือ

21 ]

2. 0.003 เขียนในรูปเศษสวนไดเปน…………… [ 10003 หรือ 3103 ]

3. ถา 0.003 = 3 × n101 แลว n เทากับ…………… [3]

4. ถา 0.003 = 3 × 10n แลว n เทากับ……………. [-3]

5. เขียน 0.003 ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรไดเปน…………….. [3 × 10–3]

6. 0.0027 เขียนในรูปเศษสวนไดเปน………….. [ 1000027 ]

7. ถา 0.0027 = 27 × n101 แลว n เทากับ…………… [4]

8. ถา 0.0027 = (2.7 × 10) × n101 แลว n เทากับ………….. [4]

9. ถา 0.0027 = 2.7 × 10n แลว n เทากับ…………….. [-3]

10. 0.0027 เขียนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรไดเปน……………… [2.7 × 10–3]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 ค

1. จงพิจารณาวาประโยคตอไปนี้เปนจริงหรือเปนเท็จ นักเรียนมีแนวคิดหรือมีเหตุผลในการพิจารณาในการหาคําตอบอยางไรบาง

1) 43 < 53

2) 25 > 43

3) (0.5)3 > ( 21 )3

4) 34 < 35

5) 23 × 32 > 25

6) 28 = 82

7) 92 = 34

8) 991 = 199

9) 312 = (34)8

10) 2 × 33 = 63

108

2. ขอสรุปของแตละปญหาตอไปนี้นักเรียนคิดวาถูกหรือผิด จงบอกแนวคิดในการพิจารณา1) น้ํา 1 ลิตร เทากับ 103 ลูกบาศกเซนติเมตร

ดังนั้น น้ํา 10 ลิตร เทากับ 104 ลูกบาศกเซนติเมตร2) ระยะทาง 105 เซนติเมตร เทากับ 1 กิโลเมตร

ดังนั้น ระยะทาง 105 × 10 เซนติเมตร เทากับ 106 กิโลเมตร3) น้ํา 0.0005 กรัม หนักเทากับน้ํา 5 × 104 กรัม4) ถาพรพรรณจัดลูกเตาขนาด 1 ลูกบาศกเซนติเมตร ลงในกลองพลาสติกได 1,200 ลูก

แสดงวากลองใบนี้ตองมีความจุมากกวา 103 ลูกบาศกเซนติเมตร5) ถาบรษิทัแหงหนึง่ตองสงจดหมายใหลูกคาประจาํทกุ ๆ เดอืน ประมาณเดอืนละ 3,000 ฉบบั

ในแตละปตองสงจดหมายประมาณ 3 × 1012 ฉบับ

คําตอบแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 ค1. ตัวอยางคําตอบ และการใหเหตุผล

1) จริง เพราะวา 43 และ 53 มีเลขชี้กําลังเปน 3 เทากันแตฐาน 4 นอยกวา 52) เท็จ เพราะวา 43 = 22 × 22 × 22

= 25 × 2

3) เทจ็ เพราะวา เลขยกกาํลัง (0.5)3 และ 3

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ มฐีานเทากนั (0.5 =

21 ) และเลขชีก้าํลัง

เทากันจึงตองมีคาเทากัน4) จริง เพราะวา 34 มีฐานเทากับ 35 แตมีเลขชี้กําลังนอยกวา5) จริง เพราะวา 25 = 23 × 22 เมือ่เปรยีบเทยีบกบั 23 × 32 จะเหน็วาตวัตัง้เทากนัคอื 23 แต

ตัวคูณ 32 มากกวา 22

6) เท็จ เพราะวา 28 = 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 × 2 = 8 × 8 × 2 × 2 = 82 × 22

7) จริง เพราะวา 92 สามารถเขียนในรูป 32 × 32 = 34 ได8) เท็จ เพราะวา 991 เทากับ 99 แต 199 เทากับ 19) เทจ็ เพราะวา 312 หมายถงึ 3 คณูกนั 12 ตวั แต (34)8 หมายถงึ 34 คณูกนั 8 ตวั และ 34

หมายถึง 3 คูณกันอีก 4 ตัว ดังนั้น (34)8 หมายถึง มี 3 คูณกัน 8 × 4 ตัว หรือ 32 ตัว

109

10) เท็จ เพราะวา 2 × 33 หมายถึง มี 2 คูณกับ 3 อีก 3 ตัวแต 63 = (2 × 3)3 = (2 × 3)(2 × 3)(2 × 3)ซ่ึงหมายถึง จํานวนที่มี 2 คูณกัน 3 ตัวและคูณดวย 3 อีก 3 ตัว ดังนี้2 × 33 = 2 × 3 × 3 × 363 = (2 × 3)3 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

2. 1) ถูก เพราะวา น้ํา 1 ลิตร เทากับ 103 ลูกบาศกเซนติเมตร

ดังนั้น น้ํา 10 ลิตร จึงเทากับ 103 × 10 = 104 ลูกบาศกเซนติเมตร2) ผิด เพราะวา ระยะทาง 105 เซนติเมตร เทากับ 1 กิโลเมตร

ระยะทาง 105× 10 เซนติเมตรจะเทากับ 106 เซนติเมตรดังนั้น 106 เซนติเมตรนอยกวา 106 กิโลเมตร เพราะหนวยเซนติเมตรเล็กกวา หนวยกิโลเมตร

3) ผิด เพราะวา 0.0005 มีคานอยกวา 1 แต 5 × 104 มีคามากกวา 14) ถูก เพราะวา กลองนี้ตองมีความจุอยางนอย 1,200 ลูกบาศกเซนติเมตร

กลองตองจุไดมากกวา 1,000 หรือ 103 ลูกบาศกเซนติเมตร5) ผิด เพราะวา เดือนหนึ่งสงจดหมายประมาณ 3 × 103 ฉบับ

เวลา 1 ป ตองสงจดหมาย ประมาณ 3 × 103 × 12 ฉบับเนื่องจาก 3 × 1012 = (3 × 103) × 109

ดังนั้น 3 × 1012 ≠ (3 × 103) × 12

110

บทที่ 4พื้นฐานทางเรขาคณิต (15 ช่ัวโมง)

4.1 จุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสี และมุม (3 ช่ัวโมง)4.2 การสรางพื้นฐาน (7 ช่ัวโมง)

4.3 การสรางรูปเรขาคณิตอยางงาย (5 ช่ัวโมง)

บทเรียนนี้กลาวถึงรูปเรขาคณิตที่เปนพื้นฐานของการศึกษาเรขาคณิต เร่ิมจากใหนักเรียนรูจักคําบางคําที่เปนคําอนิยาม เชน จุด เสนตรง และระนาบ เขาใจถึงการนําคาํอนิยามมาใชในการใหนิยาม สวนของเสนตรง รังสี และมุม เพื่อสรางสมบัติทางเรขาคณิตตอไป การสรางรูปเรขาคณิตในบทเรียนนี้มีขอกําหนดใหใชเครื่องมือเพียงสองชนิดเทานั้นคือ สันตรง และวงเวียน และตองมีรองรอยการสรางใหเห็นทุกขั้นตอน

การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนมุงเนนใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติแลวสังเกตผลที่เกิดขึ้น โดยใชการสืบเสาะ การคาดการณและสรางขอสรุปเกี่ยวกับสมบัติทางเรขาคณิตดวยตนเอง อาจใหนักเรียน อธิบายความสมัพนัธระหวางรปูเรขาคณติและใหเหตผุลประกอบอยางงาย ๆ ตามพืน้ความรูของนกัเรยีน การสรางรูปเรขาคณิตที่ถือวาเปนพื้นฐานมีอยู 6 แบบซึ่งเปนการสรางที่กําหนดไวในผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป ครูจะตองจัดกิจกรรมใหนักเรียนมีความรู มีทักษะ / กระบวนการ สามารถนําไปใชและแกปญหาที่ไมซับซอนได

ตัวอยางเอกสารแนะนําการจัดกิจกรรมที่จัดไวในแตละหัวขอ มีไวเพื่อนําเขาสูเนื้อหาสาระ เสริมเนื้อหาสาระ ฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ใหมีคุณธรรมจริยธรรมและคานิยมที่ดีงาม ครูสามารถเลือกใชไดตามความเหมาะสมและอาจปรับใชไดตามความตองการ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. สรางรูปเรขาคณิตโดยใชวงเวียนและสันตรงและบอกขั้นตอนการสรางพื้นฐานตอไปนี้ได

1) การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากับความยาวของสวนของเสนตรงที่กําหนด ให

2) การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให3) การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให4) การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให5) การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให6) การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเสนตรงที่กําหนดให

2. นําการสรางพื้นฐานไปสรางรูปเรขาคณิตอยางงายได3. สืบเสาะ สังเกต และคาดการณเกี่ยวกับสมบัติทางเรขาคณิตได

111

แนวทางในการจัดการเรียนรู4.1 จุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสีและมุม (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. อธิบายลักษณะและสมบัติของจุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสี และมุมได 2. เปรียบเทียบความยาวของสวนของเสนตรง เปรียบเทียบขนาดของมุม โดยใชวงเวียน และนําไปใชแกปญหาได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.1 ก – 4.1 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียนโดยสนทนากับนักเรียน ช้ีใหเห็นวาในบทเรียนกลาวถึงคําอนิยาม ไดแก จุด เสนตรงและระนาบ แลวใชคําอนิยามนี้ในการใหนิยาม สวนของเสนตรง รังสีและมุม ครูอาจใหนักเรียนสํารวจและยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ที่มีสวนประกอบของจุด สวนของเสนตรง รังสีและมุม เชน จุด อาจยกตัวอยางแผนที่ซ่ึงมีจุดบอกตําแหนงของจังหวัด หรือแผนผังซึ่งมีจุดบอกที่ตั้งของหนวยงานหรือสถานที่ตาง ๆ สวนของเสนตรง อาจยกตัวอยาง ขอบกระดาษ A4 รอยพับของกระดาษ หรือขอบโตะ รังสี อาจยกตัวอยาง รูปแสดงทิศทางของลําแสงที่ออกจากแหลงกําเนิดแสง รูปแสดงทิศในแผนที่ หรือรูปแสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ

มุม อาจยกตัวอยาง มุมกระดานดํา มุมระหวางเข็มสั้นกับเข็มยาวบนหนาปดนาฬิกา หรือมุมที่เกิดจากการพับกระดาษ

N

112

2. ครูอาจใหนกัเรยีนทาํกจิกรรมเพือ่คนพบสมบตัขิองจดุและเสนตรงดวยการลงมอืปฏิบตัจิริงดงันี้1) กําหนดจุดสองจุดใด ๆ ใหนักเรียนทดลองลากเสนตรงผานจุดสองจุดนี้ และ

นบัจาํนวนเสนตรงที่ลากผาน 2) ใหนักเรียนลากเสนตรงสองเสนใหตัดกัน แลวนับจํานวนจุดตัดที่เกิดขึ้น 3) ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.1 ก และกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 ข เพื่อใหไดขอสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธของจํานวนจุดและจํานวนเสนตรง ที่สังเกตพบจากผลการทาํกิจกรรม

3. การใชสัญลักษณ เชน AB แทนสวนของเสนตรงและการใชสัญลักษณ เชน AB แทนความยาวของสวนของเสนตรงอาจทําใหนักเรียนเกิดความสับสน ครูช้ีใหนักเรียนเห็นขอแตกตางและใหระมัดระวังในการใชสัญลักษณทั้งสอง แตไมควรใชเปนประเด็นในการประเมินผล 4. การเปรียบเทียบความยาวของสวนของเสนตรงสองเสนในบทเรียนนี้ ควรใหนักเรียนใชวงเวียนเปนเครื่องมือและใชสมบัติของวงกลมที่วา รัศมีของวงกลมเดียวกันมีความยาวเทากัน เชน ใชวงเวยีนตรวจสอบวารูปสามเหลีย่มใดเปนรูปสามเหลีย่มดานเทา รูปสามเหลีย่มหนาจัว่ หรือรูปสามเหลีย่มดานไมเทา 5. ครูอาจใหนักเรียนสรางมุมที่เกิดจากการตัดกันหรือพบกันของเสนตรง สวนของเสนตรง หรือรังสีวาจะเกิดมุมในลักษณะใดไดบาง ตัวอยางคําตอบ เชน 1) 2)

3) 4)

กระดานดํา นาฬิกา พัด กระดาษ

A

C

D

BO O

H

G

E F

O

R

S

P QA

BX Y

113

5)

นอกจากนี้เมื่อกลาวถึงมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ครูอาจแนะนํามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป เชน กําหนด ∆ ABCเมื่อตอ AB ออกไปทางจุด B ถึงจุด D จะได DBC∧ เปนมุมภายนอกมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ABC

ครูอาจใชคําถามกระตุนใหนักเรียนคิดตอวา ยังมีมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม ABC อีกหรือไมและหาไดอยางไร 6. ครูอาจใชคําถามชี้ใหนักเรียนเห็นวาขนาดของมุม ไมไดขึ้นอยูกับความยาวของแขนมุม กลาวคือ เราสามารถตอแขนของมุมใหยาวข้ึนได โดยท่ีขนาดของมุมไมเปลี่ยนแปลง ครูอาจใชคําถามเพิ่มเติม เชน เมื่อกําหนด CBA∧ ใหมีขนาดเทากับ 60o ถาใชแวนขยายสอง CBA∧ นักเรียนคิดวามุมที่เห็นจากแวนขยายจะมีขนาดเทาใด ถามีแวนขยายอาจใหนักเรียนทดลองตรวจสอบคําตอบที่ได 7. ในชั้นนี้ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นความแตกตางของสัญลักษณที่ใชแทนมุมและขนาดของมุม เชน ถาเขียน CBA∧ หมายถึง มุม ABC และ C)BA(m ∧ หมายถึงขนาดของมุม ABC แตครูไมควรใชเปนประเด็นในการประเมินผล

8. ในการกลาวถึงมุมที่มีขนาดตาง ๆ ครูอาจใชไมที่มีสันตรงสองอันประกบกันแลวยึดปลายขางหนึ่งของไมทั้งสองดวยหมุด จะไดมุมที่มีหมุดเปนจุดยอดและไมทั้งสองเปนแขนของมุม

สําหรับมุมที่มีขนาดเทากับ 0 o และ 360 o ครูอาจใชอุปกรณนี้อธิบายวา

“เมือ่แขนทัง้สองของมมุซอนทบักนัจะไดมมุทีม่ขีนาดเทากบั 0 o และเมือ่หมนุแขนของมมุขางหนึ่งรอบจุดยอด 1 รอบจนแขนมุมซอนทับกันจะไดมุมรอบจุดมีขนาดเทากับ 360 o”

9. กิจกรรมเรื่องนารูทายแบบฝกหัด 4.1 เสนอไวเพื่อใหนักเรียนรูจักทฤษฎีบทที่กลาวถึง ซ่ึงนักเรียนจะไดนําไปใชในบทเรียนชั้นตอไป

P

QA B

A

C

DB

114

4.2 การสรางพื้นฐาน (7 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. สรางและบอกขั้นตอนการสรางพื้นฐานทางเรขาคณิตตอไปนี้โดยใชสันตรงและวงเวียนได

1) การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากบัความยาวของสวนของเสนตรงทีก่าํหนดให2) การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให3) การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให4) การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให5) การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให6) การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเสนตรงที่กําหนดให

2. สรางรูปเรขาคณิตอยางงายโดยใชการสรางพื้นฐานได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรชี้แนะใหนักเรียนเขาใจวา การสรางรูปเรขาคณิตทั้งหลายตองอาศัยความรูจากการสรางพื้นฐาน 6 แบบ ตามจุดประสงคขางตน การสรางรูปเรขาคณิตพื้นฐานของยุคลิดเปนการสรางโดยใชเครื่องมือเพียงสองชนิด คือ สันตรง และวงเวียน การสรางในหัวขอนี้เนนความรูและทกัษะปฏิบตั ิ ซ่ึงครสูามารถตรวจสอบไดจากรองรอยการสรางทกุขัน้ตอนของนกัเรยีนและนักเรียนควรอธิบายขั้นตอนการสรางไดดวยวาจา ในชั้นนี้ครูยังไมตองเนนการเขียนอธิบายขั้นตอนการสราง

ในการสรางทีต่องใชรูปทีโ่จทยกาํหนดให นกัเรยีนอาจจาํลองรปูทีโ่จทยกาํหนดใหขึน้ใหมโดยคะเนใหมีขนาดใกลเคียงกับรูปนั้น ยกเวนรูปที่ตองการใหหาความยาวและมีมาตราสวนกาํหนดไวซ่ึงตองใชขนาดจรงิตามทีก่าํหนด การตรวจสอบความยาวของสวนของเสนตรงและขนาดของมุม เพื่อความสะดวกใหนักเรียน ใชวงเวียน 2. สําหรับการแบงครึ่งสวนของเสนตรง ครูอาจนําเขาสูบทเรียนโดยใชการพับกระดาษดังนี้ ใหนักเรียนสราง AB บนกระดาษแลวพับใหจุด A และจุด B ซอนทับกัน จากนั้นรีดกระดาษใหเกิดรอยพับ เมื่อคล่ีกระดาษออกจะไดรอยพับเปนสวนของเสนตรงที่ตัดกับ AB ที่จุดกึ่งกลางของ AB สําหรับการหาจุดกึ่งกลางของ AB โดยใชวงเวียนและสันตรง นักเรียนอาจสรางโดยทิ้งรองรอยไวดังนี้

115

ครูควรใชคําถามวา “เมื่อกําหนดจุดสองจุดเปนจุดศูนยกลางของวงกลม ตองการเขียนสวนโคงของวงกลมใหตัดกัน ทําไมตองใชรัศมียาวเกินครึ่งหนึ่งของระยะระหวางจุดทั้งสอง”

ครูควรใหนักเรียนสังเกตและตรวจสอบวา CD ตั้งฉากกับ AB ที่จุด O ดวย 3. ครูอาจจัดกิจกรรมเกี่ยวกับการแบงครึ่งสวนของเสนตรงเพิ่มเติม เพื่อฝกใหนักเรียนคุนเคยกับการคนหาแบบรูป โดยสราง AB บนกระดานดําแลวใหนักเรียนออกมาแบงครึ่ง AB แลวแบงครึ่งของครึ่ง AB ออกเปนสวน ๆ ที่ยาวเทากันโดยใชวงเวียนและสันตรง

เมื่อนักเรียนทํากิจกรรมแบงครึ่งของครึ่งของ AB ออกเปน 2 สวน 4 สวน 8 สวน… ในครั้งที่ 1, 2, 3, … ตามลําดับไดแลว ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตความสัมพันธของจํานวนคร้ังที่แบงครึ่งสวนของเสนตรงกับจํานวนสวนของเสนตรงที่ยาวเทากันวาอยูในรูปของ 2n เมื่อ n แทนจํานวนครั้งของการแบงดังนี้

A B

C

D

OA B

C

D

O หรือ

A B

116

คร้ังท่ีของการแบง

แบงสวนของ AB ออกเปนสวน ๆท่ียาวเทากัน

จํานวนสวนแบงท่ียาวเทากัน (เสน)

1

2

21 = 2

22 = 4

หมายเหตุ การแบงครั้งที่ 1 มีเสนแบงครึ่ง 1 เสน แบง AB ออกเปน 2 สวนที่ยาวเทากัน การแบงครั้งที่ 2 มีเสนแบงครึ่งเพิ่มขึ้นอีก 2 เสน แบง AB ออกเปน 4 สวนที่ยาวเทากัน

ฯลฯ ครูอาจตั้งคําถามใหนักเรียนชวยกันคิดวาในการแบงครั้งที่ 10 จะไดสวนของเสนตรงที่ยาวเทากัน กี่เสน คําตอบที่ไดคือ 210 เสน เปนการฝกการสังเกต คนหาแบบรูปของผลที่เกิดขึ้นเพื่อนําไปสูการสรางขอความคาดการณ 4. ในการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับการแบงครึ่งมุม ครูอาจนําเสนอโดยตัดหรือพับกระดาษเปนมุมมุมหนึ่ง แลวพับครึ่งมุมโดยใหแขนของมุมทั้งสองขางทับกันสนิท เมื่อรีดใหเกิดรอยพับจะไดเสนแบงคร่ึงมุม ตอจากนั้นครูดําเนินกิจกรรมแบงครึ่งมุมของครึ่งมุมไปเรื่อย ๆ เปน 2 สวน 4 สวน 8 สวน … ทํานองเดียวกันกับการแบงครึ่งสวนของเสนตรง เพื่อใหนักเรียนไดเห็นแบบรูปและสังเกตเห็นความสัมพันธของจํานวนครั้งที่แบงครึ่งมุมกับจํานวนมุมที่ไดจากการแบง ซ่ึงสามารถเขียนอยูในรูป 2n เมื่อ n แทนจํานวนครั้งของการแบง

A B

.

.

....

.

.

.

A B

117

5. ในการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับการสรางเสนตั้งฉาก จากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดใหครูอาจเริ่มตนดวยการเสนอปญหา ดังนี้ “เราจะเขียนสวนของเสนตรงที่แสดงระยะหางระหวางจุด P กับ AB ไดอยางไร” ใหนักเรียนอภิปรายรวมกัน

จากการอภิปราย นักเรียนควรไดขอสรุปวา “ตองเขียนสวนของเสนตรงจากจุด P มาตั้งฉากกับ AB และความยาวของเสนตั้งฉากที่ไดคือ ระยะหางระหวางจุด P กับ AB” จากนั้นครูสาธิตการสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให และใหนักเรียนทําตามไปพรอมกัน

6. ใหนกัเรยีนอภปิรายรวมกนั ถึงการหาวธีิการสรางเสนตัง้ฉากทีจ่ดุจดุหนึง่บนเสนตรงทีก่าํหนดให เมื่อกําหนดจุด P บน AB ดังรูป

ครูอาจใชคําถามถามกระตุนใหนักเรียนคิด ดังนี้1) BPA∧ มีขนาดเทาใด (180 องศา)

2) ถาตองการสราง EPA∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศาจะทําอยางไร นักเรียนควรตอบไดวาแบงครึง่มมุ BPA∧

ใหนักเรียนลองสรางดวยตนเองกอน จากนั้นครูสาธิตการสรางตามขั้นตอนและใหนักเรียนทําตามไปพรอมกัน 7. ครูยกตัวอยางการนําความรูเกี่ยวกับการสรางเสนตั้งฉากไปใชในกิจกรรมตาง ๆ เชน การหาระยะหางระหวางจุดกับเสนตรง การหาสวนสูงของรูปสามเหลี่ยม การสรางรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ในการทําแบบฝกหัด 4.2 ค ขอ 1 นักเรียนจะพบวา สวนสูงของรูปสามเหลี่ยมทั้งสามเสนตัดกันที่จุดจุดหนึ่ง ดังรูป

A B

P

A BP

118

สําหรับแบบฝกหัด 4.2 ค ขอ 2 นักเรียนอาจมีปญหาในการสรางสวนสูงของรูปสามเหลี่ยมABC ซ่ึงเปนรูปสามเหลี่ยมมุมปาน ครูควรแนะนําใหสรางสวนสูงจากจุด A มายังฐาน BC โดยตอ BC จะได AD ตั้งฉากกับ BC ที่จุด D และสรางสวนสูงจากจุด B มายังฐาน AC โดยตอ AC จะได BE ตั้งฉาก AC ที่จุด E ดังรูป

ครูแนะนาํใหนกัเรยีนสรางรปูสามเหลีย่มใดๆ ขึน้ใหมเอง และสรางสวนสงูทัง้สามเสน สังเกตผลที่เกิดขึ้นทั้งจากผลงานของตนเองและของเพื่อน ๆ ครูใชคําถามกระตุนเพื่อนําไปสูการสรางขอความคาดการณ ดังนี้

P

O

RQ

E

DC

B

A

O

119

สวนสูงหรือสวนตอของสวนสูงของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะตัดกันที่จุดจุดหนึ่งเสมอ และจุดนี้เรียกวา จุดออรโทเซนเตอร (orthocentre) จากรูป O เปนจุดออรโทเซนเตอร

แบบฝกหัด 4.2 ค ขอ 3 และขอ 9 เปนโจทยที่กําหนดระยะหางระหวางจุดกับสวนของเสนตรงและมาตราสวนมาให ครูควรแนะนาํใหนกัเรยีนลอกรปูจากหนงัสอืเรยีนลงในสมดุโดยใชสันตรง และ วงเวยีนกอน แลวจึงแสดงวิธีสรางและหาคําตอบ แบบฝกหดั 4.2 ค ขอ 6 เสนแบงครึง่และตัง้ฉากกบัดานแตละดานของรปูสามเหลีย่ม DEF เสนทัง้สามนีจ้ะตดักนัทีจ่ดุจดุหนึง่ ครูอาจแนะนาํชือ่เรียกของจดุตดันีว้า ศูนยกลางวงลอม (circumcentre)

จากรูปจุด O เปนศูนยกลางวงลอม

หมายเหตุ ในกรณีที่เสนตรงหรือสวนของเสนตรงสามเสนขึ้นไปมาตัดกันหรือพบกันที่จุดจุดหนึ่ง โดยทั่วไปจะเรียกจุดนี้วา จุดจวบ สําหรับแบบฝกหัด 4.2 ค ขอ 10 นักเรียนอาจมีแนวคิดในการสรางสะพานโดยลาก ABแลวหาจุดกึ่งกลางของ AB ดังรูป

D

OFE

Y

BD

E

C

A

X

120

นักเรียนอาจสรางเสนตั้งฉากจากจุด C มายัง BX ที่จุด D แลวตอ DC ไปตัด AY ที่จุด E หรือสรางเสนตั้งฉากจากจุด C มายัง AY ที่จุด E แลวตอ EC ไปตัด BX ที่จุด D ก็ได ในชั้นนี้ นักเรียนอาจจะยังใหเหตุผลไมไดวา AE = BD เพราะตองใชสมบัติของความเทากันทุกประการของ รูปสามเหลี่ยม ใหครูยอมรับวิธีสรางและใหใชวงเวียนตรวจสอบความยาว

8. ครูอาจนาํความรูเกีย่วกบัเสนตัง้ฉากหาสวนสงูของสิง่ตาง ๆ ในชวีติจรงิ เชน หาวามะพราวที่มีลําตนเอียงมียอดสูงจากพื้นดินเทาไร

9. ครูอาจใชกจิกรรมเสนอแนะ 4.2 เพิม่เตมิเพือ่ใหเหน็การนาํสมบตัทิางเรขาคณติทีเ่กีย่วกบั จุดจวบ ของเสนแบงครึ่งมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมไปใชในการแกปญหา

4.3 การสรางรูปเรขาคณิตอยางงาย (5 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. สรางรูปเรขาคณิตอยางงายโดยใชการสรางพื้นฐานได 2. สืบเสาะ สังเกต และคาดการณเกี่ยวกับสมบัติทางเรขาคณิตได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการสรางมุมที่มีขนาดตาง ๆ เชน มุมที่มีขนาดเทากับ 150o ทําไดหลายแบบ ครูควรใหนักเรียนเลือกวิธีสรางเอง อาจใช 150o = 120 o + 30 o หรือ 150 o = 90 o + 60 o หรือ 150 o = 180 o – 30 o

2. ในแบบฝกหัด 4.3 ก และ 4.3 ข มีโจทยหลายขอที่กําหนดความยาวของสวนของเสนตรงเปนเซนติเมตรมาให ใหครูตกลงกับนักเรียนวาในกรณีเชนนี้ใหเขียนรังสีแลวใชวงเวียนรัศมีเทากับ

121

ความยาวที่โจทยกําหนด เขียนสวนโคงตัดรังสีดังรูป

สําหรับโจทยที่ตองการใหนักเรียนอธิบายเหตุผลประกอบ ในชั้นนี้ตองการคําอธิบายงาย ๆ ที่มีการอางอิงสมบัติทางเรขาคณิตและความรูพื้นฐาน ที่นักเรียนเรียนมาแลวในระดับประถมศึกษา ซ่ึง บางครั้งอาจบอกเหตุผลโดยใชผลการวัดขนาดของดานหรือขนาดของมุมที่กําหนดใหมาใชประกอบ การอางดวย สําหรับแบบฝกหัด 4.3 ก ขอ 7 นักเรียนอาจอธิบายวารูปที่สรางขึ้นเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสโดย ใชบทนิยามที่วา รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเปนรูปที่มีดานทั้งสี่ยาวเทากัน ขนาดของมุมภายในแตละมุมเปน มุมฉาก หรืออาจอธิบายโดยใชสมบัติของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่กลาวถึงเสนทแยงมุมวา เสนทแยงมุมทั้งสองเสนของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสจะแบงครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกันก็ได 3. ในการทําแบบฝกหัด 4.3 ก ขอ 8 ครูอาจแนะนําวิธีสรางอีกวิธีหนึ่งดังนี้

1) สรางวงกลมที่มีจุด O เปนจุดศูนยกลางและมีรัศมียาวเทากับ OA2) ใช A เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับ OA เขียนสวนโคงตัดเสนรอบวงที่จุด B

3) ใช B เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับ OA เขียนสวนโคงตัดเสนรอบวงที่จุด C 4) ดําเนินการเชนเดียวกับขอ 3) เขียนสวนโคงตัดเสนรอบวงที่จุด D, E และ F

5) ลาก ,AB ,BC ,CD ,DE EF และ FA จะได ABCDEF เปนรูปหกเหลี่ยม ดานเทามุมเทาตามตองการ ดังรูป

O A

BC

D

E F

O A

BC

D

E F

A BC

4 เซนติเมตร

122

นักเรียนแตละคนอาจมีแนวคิดในการสรางที่แตกตางกัน ครูควรสนับสนุนอยางยิ่ง 4. ในการจดักจิกรรมเกีย่วกบัการสรางเสนขนาน ครูควรทบทวนความรูพืน้ฐานเกีย่วกบัสมบตัิ

ของเสนขนานกอนและครูอาจใชคําถามกระตุนใหนักเรียนหาแนวทางที่จะนําไปสูการหาคําตอบเชน 1) ถาเราสราง CD ใหผานจดุ P โดยคะเนดวยสายตาใหขนานกับ AB เราจะตรวจสอบ

ไดอยางไรวา CD ขนานกับ AB

2) ถา CD ขนานกับ AB เมื่อลาก AP จะไดมุมคูใดที่มีขนาดเทากัน

3) ถาเราตองการสรางให CD ขนานกับ AB จะทําไดอยางไร จากการตอบคําถามขอ 3) นักเรียนควรไดแนวคิดวา ควรลาก AP และสรางให PAB∧

และ CPA∧ เปนมุมแยงและมีขนาดเทากัน จากนั้นลาก CD ผานจุด P 5. ในการทําแบบฝกหัด 4.3 ข ขอ 6 สําหรับรูป ข การสรางรูปขยายคอนขางยากสําหรับนักเรียนทั่วไป ครูอาจเลือกใหนักเรียนทําตามความเหมาะสมได ในแบบฝกหัดขอ 7 การใหเหตุผลเพื่อสรุปวา AB ขนานกับ CD อาจมีนักเรียนใชสมบัติการถายทอดของการขนานกัน ซ่ึงก็ยอมรับได แตครูควรอธิบายเพิ่มเติมใหเห็นการนําสมบัติของมุมตรงขามที่เกิดจากเสนตรงสองเสนตัดกัน และสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับขนาดของมุมแยงที่เทากันมาใชในการใหเหตุผลดวย สําหรับแบบฝกหัดขอ 9 นักเรียนอาจบอกความเกี่ยวของโดยวิธีตรวจสอบความยาวของดานและขนาดของมุมดวยวงเวียน แตสําหรับนักเรียนที่มีความสามารถสูงอาจใหบอกความเกี่ยวของของดานหรือมุมของรูปสามเหลี่ยมโดยอธิบายเหตุผลประกอบดวย

A B

PC D

A B

P

123

6. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 4.3 เพิ่มเติมเพื่อสงเสริมความสามารถในการแกปญหาและความคิดริเร่ิมสรางสรรค

คําตอบแบบฝกหัดคําตอบแบบฝกหัด 4.1

1. 1) จุด D 2) เสนตรง PQ 3) มุม RST 4) สวนของเสนตรง EF 5) รังสี XY 6) มุมกลับ DEF2. AB, AC และ BC เปนเสนตรงเดียวกัน เพราะวาจุด A, B และ C อยูบนเสนตรงเดียวกันและ

เสนตรงมีความยาวไมจํากัดและไมมีจุดปลาย จะเรียกชื่อเสนตรงนี้วา AB หรือ AC หรือ BC ก็ได3. ไมเปนรังสีเดียวกันทุกเสน AB และ AC เปนรังสีเดียวกัน เพราะมี A เปนจุดปลายจุดเดียวกัน

และมีทิศทางเดียวกัน แต AC และ BC ไมเปนรังสีเดียวกันเพราะมีจุดปลายตางกัน AC มี A เปนจุดปลายแต BC มี B เปนจุดปลาย

4. บอกไมได เพราะเราสามารถเขียนรังสีที่มี A เปนจุดปลาย ไปไดทุกทิศทาง จึงมีรังสีจํานวนไม จํากัดที่มีจุด A เปนจุดปลาย เชน

5. สวนของเสนตรงสั้นที่สุด6. เนื่องจากแขนของมุมเปนรังสี เราจึงสามารถตอแขนของ CBA∧ ออกไปไดไมส้ินสุด เมื่อตอแขน

ของมุมออกไปจะไดจุด Q เปนจุดภายใน CBA∧ จุด P และจุด R เปนจุดภายนอก CBA∧

7. CAB∧ , DAC∧ , DAB∧ , มุมกลับ CAB∧ , มุมกลับ DAC∧ และมุมกลับ DAB∧

8.1) BAP∧ และ QAC∧

2) CAB∧ , BCA∧ และ ABC∧

3) QAP∧ , BAQ∧ , CAB∧ , PAC∧ , มุมกลับ QAP∧ , มุมกลับ BAQ∧ , มุมกลับ CAB∧ และ มุมกลับ PAC∧

AB

C

D

E

124

9. a = d10. ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมดานไมเทา ∆ PQR เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา11.

1) ประมาณ 11,000 เมตร หรือ 11 กิโลเมตร แนวคิด อาจเขียนรังสีและวัดความยาวของระยะทางแตละชวง เขียนความยาวตอกันบน

รังสีแลววัดความยาวครั้งเดียว ดังนี้

ระยะทางตามแผนที่ยาวประมาณ 11 เซนติเมตร เทากับ 11 × 1000 เมตร หรือ 11 กิโลเมตร 2) 9,500 เมตร หรือ 9.5 กิโลเมตร

แนวคิด หาระยะหางทางตรงของสองหมูบานโดยใชวงเวียนวัดความยาว

จะไดระยะหางเทากับ 9.5 × 1000 เมตร หรือ 9.5 กิโลเมตร

12. การตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเทากันโดยใชวงเวียน ตรวจสอบทําไดดังนี้

สราง AB ตัดกับ CD ที่จุด E

11 เซนติเมตร

A

E

D B

CG

H

F

K

9.5 เซนติเมตร

125

1) ใช E เปนจุดศูนยกลาง รัศมี EK ที่ยาวพอสมควร เขียนสวนโคงวงกลมตัด AB ที่จุด F และ H ตามลําดับ และตัด CD ที่จุด G และ K ตามลําดับ

2) ตรวจสอบโดยใชวงเวียนจะไดรัศมี FK ยาวเทากับ รัศมี GH และรัศมี FG ยาว เทากับรัศมี KH แสดงวาขนาดของมุมตรงขามแตละคูเทากันนั่นคือ C)Em(A∧ = D)Em(B∧

และ D)Em(A∧ = C)Em(B∧

13.1) 30o 2) 120 o

3) 180o 4) 210 o

5) 270o 6) 300 o

คําตอบแบบฝกหัด 4.2 ก

1. กําหนดสราง

จากการสราง จะได AB ยาวเทากับ 2a

2. กําหนด และสราง

จากการสราง จะได AB ยาวเทากับ a + b

สราง

จากการสราง จะได PR ยาวเทากับ a – b (สราง PQ ใหยาวเทากบั a แลวใช Q เปนจดุศนูยกลางรศัมยีาวเทากบั b เขยีนสวนโคงตดั PQ ที่ R)

a

a aA B

a b

a bA B

P QR ba

126

3. กําหนด

สราง

4. กําหนด

สราง

จากการสราง ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

5. สราง

a b c

a b

cA B

C

aA

B Ca

bb

2ba

aA B

C

2b

aa

A

B C

หรือ

2b

2b

127

6.1) กําหนด

สราง

2) ไมได เพราะวาถาสรางฐานของรปูสามเหลีย่มยาวเทากบั 3a และความยาวของดานอกี สองดานเทากับ a และ 2a ผลบวกของความยาวของสองดานนี้จะเปน a + 2a = 3a พอดีจึงไดรูปเปนสวนของเสนตรงสองเสนที่ยาวเทากันและทับกันสนิท ดังรูป

7.

จากการสราง จะได AE = EC = CF = FB

a

a a a a

3a2a

A BCE F

a

3a

2aA B

128

8.1) 2 สวน 4 สวน 8 สวน 16 สวน … มแีบบรปูเปน 21, 22, 23, 24, … ซ่ึงจะแบงได

ตามแบบรปูนีไ้ปเรือ่ย ๆ กลาวคอืในกรณทีัว่ไปจะแบงได 2n สวน เมือ่ n แทนจาํนวนคร้ังของการแบง

2) แบงไมได เพราะการแบงเปน 3 สวน 5 สวน หรือ 6 สวนไมไดเกดิจากการแบงครึง่ของสวนของเสนตรงแตละสวน กลาวอกีอยางหนึง่คอื จาํนวนสวนแบงทีก่าํหนดไมสามารถเขยีนใหอยูในรูป 2n เมื่อ n เปนจํานวนนับ

9. เขาควรขดุบอตรงจดุกึง่กลางของระยะหางระหวางบานของเสรแีละบานของสนัต ิ จะไดบานอยูหางจากบอน้ําประมาณ 17.50 เมตร

แนวคิด ใหจุด A และ B แทนตําแหนงบานของเสรีและสันติตามลําดับ

หาตําแหนงของบอน้ําโดยการแบงครึ่ง ABจากการสรางจะไดจุด O เปนตําแหนงของบอน้ําบานของเสรแีละสนัตอิยูหางจากบอน้าํ 3.5 × 500 = 1750 เซนตเิมตรหรอืเทากบั 17.50 เมตร

10. การแบงครึง่สวนของเสนตรงทีม่คีวามยาวมาก ๆ สามารถทาํไดโดยใชวงเวยีนรัศมยีาวเทากนัแบงสวนของเสนตรงจากจุดปลายทั้งสองเขามาหาจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรงนี้ จนกวาจะเหลือสวนของเสนตรงที่มีความยาวสั้นพอที่จะใชการแบงครึ่งสวนของเสนตรงเพื่อหาจุดกึ่งกลางไดดังตัวอยาง

A BC D

A

BO สันติ

เสรี

มาตราสวน 1:500

129

จากรูป ใชวงเวียนรัศมียาวเทากันแบงสวนของเสนตรงจากจุดปลาย A และ B ใหจํานวนครั้งที่แบงจากปลายทั้งสองเทากันจนไดจุด C และจุด D แลวใชการแบงครึ่ง CD จะได O เปนจุดกึ่งกลาง AB

คําตอบแบบฝกหัด 4.2 ข

1. กําหนด

สราง

จากการสราง จะได CBA∧ มีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให

2. กําหนด

สราง

AB

C

A

B C

130

จากการสราง จะไดมุมกลับ CBA∧ มีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให

3. กําหนด

สราง

จากการสราง จะได QPR∧ มีขนาดเทากับสองเทาของขนาดของ CBA∧ ที่กําหนดให

4. กําหนด

สราง

P Q

R

A

B C

M

NOQ

P

R

A

C

B

D

131

จากการสราง BAC∧ และ BAD∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ RQP∧ และขนาดของ NOM ∧ ตาม ลําดับจะได DAC∧ มีขนาดเทากับผลตางของขนาดของ RQP∧ และขนาดของ NOM ∧ ที่กําหนด ให หรือ D)Am(C∧ = B)Am(C∧ – B)Am(D∧

5. สราง CBA∧ มีขนาดนอยกวา 180o

1) จากการสราง BD เปนเสนแบงครึ่ง CBA∧

2) จากการสราง BE เปนเสนแบงครึ่งมุมกลับ ABC 3) จะได BD และ BE ซ่ึงเปนเสนแบงครึ่งมุมในขอ 1) และ 2) ตอเปนเสนตรงเดียวกัน

[เนื่องจาก A)Bm(D∧ + E)Bm(A∧ = 21 A)Bm(C∧ + 21 C)BA (มุมกลับ m ∧

= 21 { A)Bm(C∧ + C)BA (มุมกลับ m ∧ } = 21 (360o) = 180 o

ดังนั้น BD และ BE ตอเปนเสนตรงเดียวกัน (ดูรายละเอียดจากเรื่องนารู หนา 99 ในหนังสือเรียน)]

6. กําหนดX

Y Z

B

E

BC

DA

132

สราง

จากการสราง จะได BAC∧ มีขนาดเทากับขนาดของ ZYX ∧

AD แบงครึ่ง BAC∧ AE แบงครึ่ง DAC∧

และ AF แบงครึ่ง BAD∧

ดังนั้น E)Am(C∧ = D)Am(E ∧ = F)Am(D∧ = B)Am(F∧

1) ไมสามารถแบง ZYX ∧ ออกเปน 3 มุม 5 มุม หรือ 6 มุมได 2) โดยอาศัยการแบงครึ่งมุม เราสามารถแบง ZYX ∧ ออกเปนมุมที่มีขนาดเทากัน 2 มุม 4 มุม 8 มุม 16 มุม … ซ่ึงมีแบบรูปเปน 21, 22, 23, 24, … เมื่อแบงตามแบบรูปนี้ ไปเรื่อย ๆ จะแบงได 2n มุม เมื่อ n แทนจํานวนครั้งของการแบง7. กําหนด

สราง

BA

C

a

FC

A B

ED

a

P Q

R

XY

Z

133

จากการสราง จะได ∆ ABC มี AB = a C)Bm(A∧ = R)Qm(P∧

และ C)Am(B∧ = Z)Ym(X ∧

8. สราง

จากการสราง จะได QX แบงครึ่ง RQP∧ และ QY แบงครึ่ง SQR ∧

1) R)Qm(P∧ + S)Qm(R ∧ = 180o

2) 21 (180 o) = 90 o

3) จะได Y)Qm(X ∧ = 90 o เพราะวา Y)Qm(X ∧ = 2S)Qm(R R)Qm(P ∧∧

+

คําตอบแบบฝกหัด 4.2 ค

1.

จากการสราง QA, RB และ PC เปนเสนตั้งฉากกับ PR , PQ และ QR ตามลําดับ จะได QA , RB และ PC เปนสวนสูงของ ∆ PQR

P Q

R

S

X

Y

Q C R

AB P

134

2. จากการสราง AR, BP และ CQ เปนเสนตั้งฉาก กับสวนตอของ BC , AC และตั้งฉากกับ AB ตามลําดับ จะได AR , BP และ CQ เปนสวนสูงของ ∆ ABC

3. จากการสราง AY ตั้งฉากกับ BC ที่จุด X จะได AX แทนระยะหางระหวางบานกับถนนจากการวัดได AX = 2.7 เซนติเมตร ดังนั้นระยะหางระหวางบานกับถนนเทากับ 2.7 × 500 = 1350 เซนติเมตร หรือ 13.50 เมตร

4.

1) การสราง CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O 2) จากการใชวงเวียนวัดขนาดของ COA ∧ และ COB∧ จะพบวา C)Om(A∧ = C)Om(B∧

3) CD ตั้งฉาก AB ที่จุด O เพราะวา C)Om(A∧ + C)Om(B∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) และจากขอ 2) C)Om(A∧ = C)Om(B∧

ดังนั้น C)Om(A∧ = C)Om(B∧ = 21 (180 o) = 90o

A

PB C

RQ

C

OA B

D

C

Y

X

A

B

มาตราสวน 1 : 500

135

5.

1) จากการสราง CD แบงครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด O 2) ให P เปนจุดใด ๆ บน CD จะได PA = PB (ใชวงเวียนตรวจสอบความยาวของ PA และ PB )

6.

จากการสราง จะได PQ , RS และ XY แบงครึ่งและตั้งฉากกับ EF , DF และ DE ตามลําดับ

P

OA

D

C

B

Q

P

E FS

X

Y

RD

136

7.

จากการสราง จะได PD , PE และ PF เปนเสนตั้งฉากที่ลากจากจุด P ไปยัง AB , BC และ AC ตามลําดับ

8. กําหนด

สราง

จากการสราง ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมี CAB∧ เปนมุมฉาก AC และ AB ยาวเทากับ a และ b ตามลําดับ

a

C

b BA

A

E

F

D

CB

P

ba

137

9. จากการสราง AY ตั้งฉากกับ BC ที่จุด X จะได AX แทนเสนทางที่ตองการหา AX แทนระยะที่ ส้ันที่สุดระหวางตําแหนงที่กวางยืนอยูกับ ลําธารริมทุง จากการวัดได AX = 2.7 เซนติเมตร ดังนั้นระยะหางระหวางตําแหนงที่กวางยืนกับลําธาร เทากบั 2.7 × 1000 = 2700 เซนตเิมตร หรือ 27 เมตร

มาตราสวน 1 : 1000

10. วิธีหาตําแหนงของสะพานที่จะสรางทําไดโดยสราง AX ตั้งฉากกับ BM ที่จุด X และสราง BY ตั้งฉากกับ AN ที่จุด Y จะได AXBY เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

เนื่องจาก AY ขนานกับ XB และ AY = XB เมื่อสราง RS แบงครึ่ง AY จะได RS เปนเสนตั้งฉากกับ AY และ BX ดวย

ดังนั้นตําแหนงของสะพานที่ตองการสรางจะอยูที่จุด R และ S ซ่ึงเปนกึ่งกลางของ AY และ BX ตามลําดับ

A

B

CX

Y

NR

SX

A

BM

Y

แมน้ํา

138

คําตอบแบบฝกหัด 4.3 ก1. 1) สรางมุมที่มีขนาดเทากับ 30o แนวการสราง (1) สราง CBA∧ ใหมีขนาดเทากับ 60o

(2) สราง BD แบงครึ่ง CBA∧ จะได DBA∧ และ CBD∧ และมีขนาดเทากับ 30 o

2) สรางมุมที่มีขนาดเทากับ 120o แนวการสราง (1) สราง CBA∧ ใหมีขนาดเทากับ 60o

(2) สราง DBC∧ ใหมีขนาดเทากับ 60o

จะได DBA∧ มีขนาดเทากับผลบวก ของขนาดของ CBA∧ กับขนาดของ DBC∧ ซ่ึงเทากับ 60 o + 60 o = 120 o

3) สรางมุมที่มีขนาดเทากับ 150 o

แนวการสราง (1) สรางมุม CBA∧ ใหมีขนาดเทากับ 180 o

(2) สราง EBC∧ ใหมีขนาดเทากับ 60 o

สราง BD แบงครึ่ง EBC∧ จะได DBC∧ มีขนาดเทากับ 30 o จะได DBA∧ มีขนาดเทากับ 180 o – 30 o = 150 o

D

CB

A

30o30o

B

C D

A60o

60o

150 o 30 o

ED

A B C

139

4) สรางมุมที่มีขนาดเทากับ o2122

แนวการสราง (1) สราง BAC∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 o

(2) สราง AD แบงครึ่ง BAC∧ จะได BAD∧ มีขนาดเทากับ 45 o

(3) สราง AE แบงครึ่ง BAD∧

จะได EAD∧ และ BAE ∧ แตละมุมมีขนาดเทากับ o2122

2. 1) สราง

D

E

C

BA

A B

C

4.5 ซม.

6 ซม.90o

140

สราง

3. สราง

หรือ

5 ซม.5 ซม.

5 ซม.

5 ซม.

A B

CD

90o 90o

90o

BA

CD

5 ซม.5 ซม.

5 ซม.

5 ซม.

A

C

B

5 ซม. 12 ซม.

141

4.

∆ AOB เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วและเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดวย เพราะวา 1) B)Am(D∧ = C)Bm(A∧ = 90o

2) AO แบงครึ่ง BAD∧ และ BO แบงครึ่ง CBA∧

3) B)Am(O ∧ = A)Bm(O∧ = 290 = 45 o

4) นั่นคือ ∆ AOB เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มุมที่ฐานมีขนาดเทากัน)5) B)Om(A ∧ + B)Am(O ∧ + A)Bm(O∧ = 180 o

(ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเทากับสองมุมฉาก) 6) B)Om(A ∧ + 45 o + 45 o = 180 o

7) ดังนั้น B)Om(A ∧ = 90 o

8) นั่นคือ ∆ AOB เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

5. กําหนด

สราง

จากแนวการสรางของขอ 4 จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่มีฐาน AB ยาวเทากับ a และมุมยอด BCA

∧ มีขนาดเทากับ 90 o

C

B

D

O

A45 o 45o

A B

C

a

a

45 o 45 o

142

6. สราง

จากการสราง จะได BAD∧ และ CBA∧ มีขนาดเทากับ 60 o + 45 o = 105 o BCD∧ มีขนาด

เทากับ 90o AB ยาว 5 เซนติเมตรและ BC ยาว 3.5 เซนติเมตร

7.

แนวการสราง 1) (1) ลากเสนผานศูนยกลาง AB (2) สราง XY ตั้งฉากกับ AB ที่จุด O และตัดวงกลมที่จุด C และจุด D จะได

C)Om(A ∧ = B)Om(C∧ = D)Om(B∧ = A)Om(D∧ = 90 o

A O

Y

C

B

D

X

C

5 ซม.

3.5 ซม.

D

BA45o60o

45o

90o

60o

143

2) ลาก AC , CB , BD และ AD จะได ACBD เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส เพราะวา จากการใชวงเวียนตรวจสอบความยาวของดานทั้งสี่ของ ACBD พบวา AC = CB = BD = AD และใชวงเวียนตรวจสอบขนาดของมุมภายในทั้งสี่ของ ACBD พบวา B)Cm(A∧ = D)Bm(C∧ = A)Dm(B∧ = C)Am(D∧

เนื่องจากผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหล่ียมใด ๆ เทากับ 360 o

ดังนั้น B)Cm(A∧ = D)Bm(C∧ = A)Dm(B∧ = C)Am(D∧ = 90 o

นัน่คอื ACBD เปนรูปสีเ่หล่ียมจตัรัุส เพราะมดีานทัง้สีย่าวเทากนัและขนาดของมมุภายใน แตละมุมเทากับ 90 o

8.

แนวการสราง แบงมมุทีจ่ดุศนูยกลางของวงกลมออกเปน 6 สวนทีม่ขีนาดเทากนั แตละมมุจะมขีนาดเทากบั 60 o

จะไดรูป ABCDEF เปนรูปหกเหล่ียมดานเทามุมเทา

9.

E

CB

F

DOA60o

60o

60o

60o60o60o

45o

HG

F

E

DC

B

AO 45o

45o

45o

45o

45o

45o45o

144

แนวการสราง แบงมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมออกเปน 8 สวนที่มีขนาดเทากัน แตละมุมจะมีขนาดเทากับ45 o

จะไดรูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลี่ยมดานเทามุมเทา

คําตอบแบบฝกหัด 4.3 ข1.

แนวการสราง สราง ACB∧ และ DAC∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน จะได AD เปนแนวถนนที่ขนานกับแนวคลองชลประทาน BC

2. กําหนด

แนวการสราง 1) สราง AB 2) สราง AD ตั้งฉากกับ AB ที่จุด A และให AD ยาว 3 เซนติเมตร 3) ที่จุด D สราง EF ตั้งฉากกับ AD จะได EF ขนานกับ AB และอยูหางจาก AB เทากับ 3 เซนติเมตร

B

A

D

C

E

BA

FD

3 ซม.

145

3. สราง

แนวการสราง 1) สราง AB ยาว 5 เซนติเมตร 2) สราง BAX ∧ ใหมีขนาดเทากับ 60o

3) ตัด AX ที่จุด D ให AD = 3 เซนติเมตร 4) สราง EY ใหขนานกับ AB และผานจุด D โดยสราง YDA ∧ และ BAX ∧ ใหเปน

มุมแยงที่มีขนาดเทากัน 5) ตัด DE ที่จุด C ให DC = 5 เซนติเมตร 6) ลาก BC จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนานที่ตองการ อาจสรางอีกวิธีหนึ่งดังนี้

สราง

แนวการสราง 1) สราง AB ยาว 5 เซนติเมตร 2) สราง BAP ∧ ใหมีขนาดเทากับ 60o

3) ตัด AP ที่จุด D ให AD = 3 เซนติเมตร 4) ใช B และ D เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทากับ 3 เซนติเมตร และ 5 เซนติเมตร

ตามลําดับเขียนสวนโคงใหตัดกันที่จุด C 5) ลาก BC และ DC จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนาน

5 ซม.

5 ซม.

3 ซม.3 ซม.

C

A

D

P

B60o

D C

B

EY

A

5 ซม.

5 ซม.

3 ซม. 3 ซม.

60o

X

146

4. แนวคิด 180 o – 45 o = 135o

สราง

วิธีสรางในทํานองเดียวกันกับขอ 3 โดยสราง BAD∧ ใหมีขนาดเทากับ 135o และสราง AB = AD = DC = BC = 4 เซนติเมตร

จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูนตามตองการ

5. สราง

วิธีสรางในทํานองเดียวกันกับขอ 3 และขอ 4 จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาตามตองการ

A

C

B

D

4 ซม.

6 ซม.

6 ซม.

4 ซม.

CD

A B

4 ซม.

4 ซม.

4 ซม.

4 ซม.

P

147

6. ก. 6.1 กําหนด ∆ PQR

สราง

จากการสราง จะได ∆ ABC มีดานแตละดานยาวเปนสองเทาของความยาวของแตละดานของรูป ∆ PQR

2a 2a

b bB C

A

a a

bQ R

P

a a

148

6. ข. 6.1 กําหนด

ให AB ยาว a หนวย

สราง

aA B

V ZG

X

F

RS

E H Y

QP 2a

2a

2a2a

2a 2a

2a

149

1) สราง PQRS เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก โดยให Q)Pm(S∧ = P)Qm(R ∧ = 90o มี PQ และ RS ยาวเทากับ 2a หนวย PS และ QR ยาวเทากับ 6a หนวย 2) สราง PE = EF = FS = 2a หนวย และสราง QH = HG = GR = 2a หนวย 3) ลาก EH และ FG 4) สราง EX = HY = 2a หนวย และสราง FV = GZ = 2a หนวย 5) ลาก XV และ YZ จะไดรูป P Q H Y Z G R S F V X E เปนรูปที่มีแตละดานยาวเปนสองเทาของแตละดานของรูป ข ที่กําหนดให

6.2 กําหนด ∆ PQR

สราง

1) สราง YBX∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ RQP∧

2) สราง BA และ BC ใหยาวเทากับ 2a และ 2b ตามลําดับ 3) ลาก AC

2b

2a

2a

A

CB

a a

b

P

RQ

2b

2b

2a

2a

Y

X

150

จากการตรวจสอบโดยใชวงเวียนได AC ยาวเทากับ 2a

จะได ∆ ABC มดีานแตละดานยาวเปนครึง่หนึง่ของความยาวของดานแตละดานของ ∆ PQR หรืออาจสรางดังนี้

1) แบงครึ่ง PQ และ RQ ที่จุด A และ B ตามลําดับ จะได AQ = 2a และ BQ = 2b

2) ลาก AB จากการตรวจสอบโดยใชวงเวียนได AB ยาวเทากับ 2a

จะได ∆ AQB มีดานแตละดานยาวเปนครึ่งหนึ่งของความยาวของแตละดานของ ∆PQR 6.2

ให AB ยาว a หนวย สราง AC ใหยาวเทากบัครึง่หนึง่ของ AB จากรปู AC = 2a หนวย

สราง

2a

2aA BC

A

Q B

2a

2a

2b

2b

a

R

P

151

วิธีสรางทํานองเดียวกันกับการสรางรูป P Q H Y Z G R S F V X E ในขอ 6.1 ขางตน แตใหความยาวของแตละดานยาวเทากับ 2a หนวย

7. กําหนด

สราง

1) AB ขนานกับ EF 2) CD ขนานกับ EF 3) AB จะขนานกับ CD เพราะวา E)Bm(A∧ = F)Em(B∧ จากการสราง F)Em(B∧ = E)Rm(C∧ จากการสราง จะได E)Bm(A∧ = E)Rm(C∧ สมบัติของการเทากัน แต E)Rm(C∧ = D)Rm(B∧ เสนตรงสองเสนตดักนัขนาดของมมุตรงขามยอมเทากนั ดังนั้น E)Bm(A∧ = D)Rm(B∧ สมบัติของการเทากัน นัน่คอื AB ขนานกบั CD ถาเสนตรงเสนหนึง่ตดัเสนตรงอกีคูหนึง่ ทาํใหมมุแยงมี ขนาดเทากันแลว เสนตรงคูนั้นจะขนานกัน

8. กําหนด

R DC

BA

E F

E F

A B

152

สราง

1) สราง CD ขนานกับ AB 2) สราง ∆ AEB, ∆ AFB และ ∆ AGB โดยใหมีจุดยอด E, F และ G อยูบน CD 3) ∆ AEB, ∆ AFB และ ∆ AGB มีสวนสูงยาวเทากัน เพราะวา ถาเสนตรงสองเสน

ขนานกันแลว ระยะหางระหวางเสนทั้งสองจะยาวเทากัน 4) พื้นที่ของ ∆ AEB, ∆ AFB และ ∆ AGB จะเทากันทั้งหมด เพราะวาแตละรูปมีฐานยาว

เทากันและสวนสูงยาวเทากัน

9. กําหนด ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมใด ๆ

1) สรางจุด E เปนจุดกึ่งกลางของ AB 2) สราง EF ขนานกับ BC ให EF ตัดกับ AC ที่ F 3) จะได AF = CF ตรวจสอบไดดวยการใชวงเวียนวัดความยาวของ AF และ CF

A

DFEG

C

B

E

I

B

DF

C

A

153

4) จากการตรวจสอบโดยใชวงเวียนจะได AI เปนสวนสูงของ ∆ AEF และยาวเปนครึ่งหนึ่งของ AD ซ่ึงเปนสวนสูงของ ∆ ABC (AI = 21 ของ AD)

5) จากการตรวจสอบโดยใชวงเวียนจะไดฐาน EF ของ ∆ AEF ยาวเปนครึ่งหนึ่งของฐาน BC ของ ∆ ABC (EF = 21 ของ BC)

6) พื้นที่ของ ∆ AEF = 21 × AI × EF = 21 × ( )AD21 × ( )BC21

= 21 × 21 × 21 × BCAD×

= 41 ( )BCAD 21 ××

จะไดพื้นที่ของ ∆ AEF เทากับ 41 ของพื้นที่ของ ∆ ABC

154

กิจกรรมเสนอแนะ

155

กิจกรรมเสนอแนะ 4.1 ก

นับจํานวนเสนตรง

กิจกรรมนี้มีจุดมุงหมายเพื่อสรางเสริมประสบการณเกี่ยวกับสมบัติของจุดและเสนตรง ฝกใหนักเรียนคุนเคยกับการคนหาแบบรูปจากการสังเกตและสืบเสาะ สามารถบอกจํานวนเสนตรงที่ลากผานจุดครั้งละสองจุด เมื่อกําหนดจุดหลาย ๆ จุดให

สื่อการเรียนรู ใบกิจกรรม “นับจํานวนเสนตรง”

แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูใหนักเรียนกําหนดตําแหนงของจุดสองจุด ใหนักเรียนลากเสนตรงผานจุดสองจุด และนับจํานวนเสนตรง 2. ครูใหนักเรียนกําหนดตําแหนงของจุดสามจุด โดยไมมีจุดสามจุดใดอยูบนเสนตรงเดียวกัน ใหนักเรียนลากเสนตรงผานจุดครั้งละสองจุด และนับจํานวนเสนตรง 3. ครูแจกใบกจิกรรม “นบัจาํนวนเสนตรง” ใหนกัเรยีนปฏิบตัแิละบนัทกึผลทีเ่กดิขึน้ สําหรับการปฏิบัติกิจกรรมตอนที่ 2 ครูอาจแนะนําใหนักเรียนหาคําตอบโดยอาศัยการสังเกตแบบรูปของจํานวนเสนตรงที่เพิ่มขึ้นเมื่อกําหนดจํานวนจุดเพิ่มขึ้น ดังตาราง

ขอท่ี จํานวนจุด รูปท่ีสราง จํานวน

เสนตรงจํานวนเสนตรง

ท่ีเพิ่มขึ้น

1 2 1

2 3 3(1 + 2)

2

156

ขอท่ี จํานวนจุด รูปท่ีสราง จํานวน

เสนตรงจํานวนเสนตรง

ท่ีเพิ่มขึ้น

3 4 6(1 + 2 + 3)

3

4 5 10(1 + 2 + 3 + 4)

4

จากการสังเกตแบบรูปของจํานวนเสนตรงในตาราง นักเรียนควรหาจํานวนเสนตรงที่ลากผานจุดครั้งละสองจุดในกิจกรรมตอนที่ 2 ไดเปน 15, 21 และ 28 เสน เมื่อกําหนดจํานวนจุดทั้งหมดเปน 6, 7 และ 8 จุดตามลําดับ

หมายเหตุ จากกิจกรรมนี้สามารถสรุปความสัมพันธระหวางจํานวนจุดกับจํานวนเสนตรงที่ลากผานสองจุดใด ๆ ในกรณีทั่วไปไดดังนี้ “เมือ่กาํหนดจดุใด ๆ ให n จดุ โดยทีไ่มมสีามจดุใด ๆ อยูบนเสนตรงเดียวกันจะสามารถลากสวนของเสนตรงเชื่อมจุดเหลานี้ไดทั้งหมด 2

1) n(n − เสน” ในชั้นนี้ยังไมตองการใหนักเรียนเขียนสูตรแสดงจํานวนเสนตรงเปนกรณีทั่วไป นักเรียนจะไดศึกษากรณีทั่วไปของเรื่องนี้อีกครั้งหนึ่ง หลังจากที่มีความรูเกี่ยวกับพหุนามแลว

157

นับจํานวนเสนตรง

ตอนที่ 1 ใหนักเรียนลากเสนตรงผานจุดครั้งละสองจุด แลวบันทึกจํานวนเสนตรง

ขอท่ี จํานวนจุด รูปท่ีสราง จํานวนเสนตรง จํานวนเสนตรงที่เพิ่มขึ้น

1 2 1

2 3

3 4

4 5

158

ขอท่ี จํานวนจุด จํานวนเสนตรง จํานวนเสนตรงที่เพิ่มขึ้น

5 6

6 7

7 8

ตอนที่ 2 ถากําหนดจํานวนจุดเปน 6, 7 และ 8 จุด โดยไมมีจุดสามจุดใดอยูบนเสนตรงเดียวกัน นักเรียนสามารถหาจํานวนเสนตรงที่ลากผานจุดเหลานี้ คร้ังละสองจุดโดยไมตองสรางรูปไดหรือไมและมีวิธีหาอยางไร…………..…………..…………..…………..…………..…………..…………………………………….…………..…………..…………..…………..…………..…………..…………………………………….…………..…………..…………..…………..…………..…………..…………………………………….…………..…………..…………..…………..…………..…………..…………………………………….…………..…………..…………..…………..…………..…………..…………………………………….…………..…………..…………..…………..…………..…………..…………………………………….

159

กิจกรรมเสนอแนะ 4.1 ข

นับจํานวนจุดตัด

กจิกรรมนีม้จีดุมุงหมายเพือ่สรางเสรมิประสบการณเกีย่วกบัสมบตัขิองจดุและเสนตรง ฝกใหนักเรียนคุนเคยกับการคนหาแบบรูปจากการสังเกตและสืบเสาะ สามารถบอกจํานวนจุดตัดของเสนตรงเมื่อกําหนดเสนตรงหลาย ๆ เสนให

สื่อการเรียนรู ใบกิจกรรม “นับจํานวนจุดตัด”

แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูใหนักเรียนเขียนเสนตรงสองเสนตัดกันแลวใหบอกจํานวนจุดตัด 2. ครูใหนักเรียนเขียนเสนตรงสามเสนตัดกัน (ไมมีเสนตรงคูใดขนานกัน) แลวใหนับจํานวนจุดตัด

3. จากนั้นครูแจกใบกิจกรรม “นับจํานวนจุดตัด” ใหนักเรียนปฏิบัติและบันทึกผลที่เกิดขึ้น สําหรับการปฏิบัติกิจกรรมตอนที่ 2 ครูอาจแนะนําใหนักเรียนหาคําตอบโดยอาศัยการสังเกตแบบรูปของจํานวนจุดตัดที่เพิ่มขึ้นเมื่อกําหนดจํานวนเสนตรงเพิ่มขึ้นดังตาราง

160

ขอท่ี จํานวนเสนตรง รูปท่ีสราง จํานวนจุดตัด จํานวนจุดตัดท่ีเพิ่มขึ้น

1 2 1

2 3 3(1 + 2)

2

3 4 6(1 + 2 + 3)

3

4 5 10(1 + 2 + 3 + 4)

4

จากการสงัเกตแบบรปูของจาํนวนจดุตดัในตาราง นกัเรยีนควรจะสามารถหาจาํนวนจดุตดัของ เสนตรง 6, 7 และ 8 เสนในกิจกรรมตอนที่ 2 ไดวามีจํานวนเทากับ 15, 21 และ 28 จุดตามลําดับ

หมายเหต ุ จากกจิกรรมนีส้ามารถสรปุความสมัพนัธระหวางจาํนวนเสนตรงกบัจาํนวนจดุตดัทีเ่กดิจากเสนตรงตัดกันในกรณีทั่วไปไดดังนี้ “เมือ่กาํหนดเสนตรงใด ๆให n เสน โดยทีไ่มมเีสนตรงคูใดขนานกนัและไมมเีสนตรงสามเสนใดๆ ตัดกันที่จุดจุดเดียวกัน จะสามารถลากเสนตรงตัดกันไดทั้งหมด 2

1) n(n − จุด” ในชัน้นีย้งัไมตองการใหนกัเรยีนเขยีนสตูรแสดงจาํนวนจดุตดัเปนกรณทีัว่ไป นกัเรยีนจะไดศึกษากรณีทั่วไปของเรื่องนี้อีกครั้ง หลังจากที่มีความรูเกี่ยวกับพหุนามแลว

161

นับจํานวนจุดตัดตอนที่ 1

ใหนักเรียนเขียนเสนตรงโดยใหเสนตรงสองเสนใด ๆ ตองตัดกันเสมอแลวบันทึกจํานวนจุดตัด

ขอท่ี จํานวนเสนตรง รูปท่ีสราง จํานวนจุดตัด จํานวนจุดตัดท่ีเพิ่มขึ้น

1 2 1

2 3 3 2

3 4

4 5

ตอนที่ 2ถากาํหนดจาํนวนเสนตรงเปน 6, 7 และ 8 เสน โดยทีไ่มมเีสนตรงคูใดขนานกนั และไมมเีสนตรง

สามเสนใด ๆ ตัดกันที่จุดจุดเดียวกัน จงหาจํานวนจุดตัดที่เกิดขึ้นทั้งหมด…………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………….

162

กิจกรรมเสนอแนะ 4.2

กิจกรรมสรางสวนสนุก

กิจกรรมนี้มีจุดมุงหมายเพื่อสรางเสริมประสบการณเกี่ยวกับการแบงครึ่งมุมใหเห็นวาทุกจุดบน เสนแบงครึ่งมุมจะอยูหางจากแขนมุมทั้งสองเปนระยะเทากันเสมอ และใหเห็นสมบัติเกี่ยวกับการพบกันของเสนแบงครึ่งมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ซ่ึงนักเรียนสามารถเรียนรูโดยการสังเกต สืบเสาะและหาขอสรุปจากการลงมือปฏิบัติดวยการพับกระดาษและสามารถนําความรูไปใชแกปญหาได

สื่อการเรียนรู กระดาษรูปสามเหลี่ยมใด ๆ สําหรับแจกนักเรียนคนละสองรูป

แนวการจัดกิจกรรม1. ครูใหนักเรียนเลือกใชรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปและเลือกพับมุมหนึ่งมุมใหเกิดรอยพับเปนเสน

แบงครึ่งมุมมุมนั้น นักเรียนมีวิธีพับอยางไร 2. ใหนกัเรยีนกาํหนดจดุจดุหนึง่บนรอยพบัทีเ่ปนเสนแบงครึง่มมุ สมมตใิหเปนจดุ O จากจดุ O ใหนกัเรยีนหาวธีิการพบัใหเกดิรอยพบัเปนเสนตัง้ฉากกบัแขนของมมุทัง้สอง จากนัน้ใหนกัเรยีนตรวจสอบดูวาระยะจากจดุ O ถึงแขนมมุทัง้สองเทากนัหรือไม อาจใชการพบักระดาษหรอืใชการวดัตรวจสอบความยาวก็ได ครูใหนักเรียนชวยกันสรุปผลการตรวจสอบ ซ่ึงควรจะไดขอสรุปวา “จุดใดๆ บนเสนแบงคร่ึงมุมจะอยูหางจากแขนของมุมท้ังสองเปนระยะเทากัน ” 3. ครูใหนกัเรยีนใชกระดาษรปูสามเหลีย่มมมุแหลม พบักระดาษเพือ่หารอยพบัทีเ่ปนเสนแบงครึง่มมุทัง้สามของรปูสามเหลีย่มรูปนี ้ ใหนกัเรยีนสงัเกตวารอยพบัทัง้สามตดักนัทีจ่ดุเดยีวกนัหรือไม นกัเรยีนควรบอกไดวา “เสนแบงครึง่มมุท้ังสามของรปูสามเหลีย่มพบกนัท่ีจุดจดุหนึง่ภายในรปูสามเหลีย่มนัน้ ”

A

B CO

163

ครูแนะนําเพิ่มเติมวา จุดดังกลาวนี้มีช่ือเรียกโดยทั่ว ๆ ไปวา “จุดจวบ” จากรูป O เปนจุดจวบซึ่งเกิดจากจุดตัดของเสนแบงครึ่งมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ABC

4. ใหนักเรียนใชการพับกระดาษหาระยะจากจุด O ถึงดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม จากนั้นครูใชคําถามกระตุนใหนักเรียนวิเคราะหและหาเหตุผลวาระยะจากจุด O ถึงดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเกี่ยวของกันอยางไร ซ่ึงนักเรียนควรสรุปไดวา เทากัน และอาจใหเหตุผลดังนี้

ในรูปสามเหลี่ยม ABC มี AO , BO และ CO เปนเสนแบงครึ่งมุมทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่ O OD , OE และ OF ตั้งฉากกับ BC , AC และ AB ตามลําดับ ใชผลสรุปที่ไดในขอ 2 อธิบายดังนี้เนื่องจาก OE เปนระยะที่ O อยูหางจาก AC OF เปนระยะที่ O อยูหางจาก AB และ OE = OF ทํานองเดียวกัน OD = OE และ OD = OF นั่นคือ OD = OE = OF ดังนั้นจุด O อยูหางจากดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ABC เปนระยะเทากัน

5. ครูนําเสนอปญหา “สรางสวนสนุก” เพื่อใหนักเรียนเห็นแบบจําลองทางเรขาคณิตในการนําความรูเกี่ยวกับ จุดจวบ ขางตนไปใชแกปญหาดังนี้

A

B C

OF E

D

164

หมูบานดอนหวาย ไรขิง และศาลายา มีถนนสายตรงเชื่อมระหวางหมูบานทั้งสามดังรูป

คณะกรรมการของหมูบานทั้งสามตกลงใจที่จะสรางสวนสนุกใหอยูหางจากถนนทั้งสามสายเปน ระยะทางเทากัน จงหาตําแหนงที่จะสรางสวนสนุก

เมื่อนักเรียนไดตําแหนงที่จะสรางสวนสนุกแลว ครูควรใชคําถามกระตุนใหนักเรียนหาวา ถาตองการสรางถนนเลก็ ๆ จากสวนสนกุไปยงัถนนใหญทีเ่ชือ่มหมูบานแตละสายโดยใหมรีะยะทางสัน้ที่สุดจะสรางอยางไร นักเรียนควรบอกไดวา “แนวของถนนเล็กจากสวนสนุกจะตองตั้งฉากกับถนนใหญแตละสาย”

การสรางเสนขนานโดยใชสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน

กิจกรรมนี้มีจุดมุงหมายใหนักเรียนสามารถสรางเสนขนานโดยใชสมบัติของรูปสี่ เหล่ียม ขนมเปยกปูน

ดอนหวาย

ไรขิง ศาลายา

165

แนวการจัดกิจกรรม1. ครูแสดงการสรางเสนตรงผานจุด P และใหขนานกับ AB ดังนี้

กําหนด

การสราง

1) ใช A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทากับ AP เขียนสวนโคงตัด AB ที่จุด C 2) ใช P และ C เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิมเขียนสวนโคงตัดกันที่จุด D 3) ลาก PD จะได PD ขนานกับ AB 2. ครูอธิบายเหตุผลใหนักเรียนทราบวาการสรางวิธีนี้มีแนวคิดจากการใชสมบัติของรูป ส่ีเหล่ียมขนมเปยกปูนที่กลาววา “รูปสี่เหลี่ยมเปยกปูนเปนรูปท่ีมีดานทั้งสี่ยาวเทากัน” ดังรูป

A

P

B

A C

DP

B

A C

DP

B

166

จากการสราง AP = AC = CD = DP สําหรับการใหเหตุผลวา PD ขนานกับ AB อาจพิจารณาดังนี้ จากการแบงประเภทของรูปสี่เหล่ียม รูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูนเปนรูปหนึ่งของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน ดังนั้น ACDP จะมีดานตรงขามขนานกัน นั่นคือ PD ขนานกับ AB ถานักเรียนมีความรูเกี่ยวกับสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมแลว เมื่อลาก PC จะสรุปไดวา ∆ APC ≅ ∆ DCP (ด.ด.ด) และ ได PCA∧ กับ CPD∧ เปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน ดังนั้น PD ขนานกับ AB 3. ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนคิดหาวิธีสรางเสนขนานดวยวิธีอ่ืน ๆ อีก เชน สรางโดยอาศัยสมบัติของรูปส่ีเหล่ียมดานขนาน

167

คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

นางยุพิน พิพิธกุล ขาราชการบํานาญนางจารุนี สูตะบุตร ขาราชการบํานาญนางอารียา สุวรรณคํา ขาราชการบํานาญนางเจริญศรี จันไพบูลย ขาราชการบํานาญนางสาวจันทรเพ็ญ ชุมคช ขาราชการบํานาญนายสมพล เล็กสกุล มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ ประสานมิตรนายปรีชา เนาวเย็นผล มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราชนางสาวสาคร บุญดาว มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราชนางสาวอุษาวดี จันทรสนธิ มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราชนายสมนึก บุญพาไสว มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีมหานครนางปยรัตน จาตุรันตบุตร สถาบันราชภัฏสวนดุสิตนางจรรยา ภูอุดม โรงเรียนดอนเมืองจาตุรจินดานางสาวจารุวรรณ แสงทอง สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวปานทอง กุลนาถศิริ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางชุลีพร สุภธีระ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางชมัยพร ตั้งตน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวรจนา รัตนานิคม สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาววันดี ตีระสหกุล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวปยวรรณ ทะเลรัตน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวปญญาทิพย กระเปาทอง สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คณะบรรณาธิการนางยุพิน พิพิธกุล นางปยรัตน จาตุรันตบุตรนางจารุนี สูตะบุตร นางสาวปานทอง กุลนาถศิรินายสมพล เล็กสกุล นางชุลีพร สุภธีระ

ผูจัดพิมพตนฉบับนางสาวเสาวนีย ประมูลทรัพยนางสาวระภีพรรณ โคกแกว