概率论与概率论与数理统计数理统计

自考辅导班第四讲

今日讲课提纲今日讲课提纲数学预备知识数学预备知识事件的独立性事件的独立性随机变量的概念随机变量的概念随机变量的分布随机变量的分布

离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布随机变量的分布函数随机变量的分布函数连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布

无穷递缩等比数列之和无穷递缩等比数列之和 (|q|<1)(|q|<1)

eexx 的级数展开式的级数展开式 (-∞<x<+∞)(-∞<x<+∞)

数学预备知识数学预备知识几个重要的级数之和几个重要的级数之和

NewtonNewton 二项式公式：二项式公式：

n

0k

knkkn

n baCb)(a

q1

aqaqaaqa 1k

1110k

k1

!k

x

!2

xx1

!k

xe

k2

0k

kx

事件的独立性事件的独立性事件事件 AA 与与 BB 相互独立指：相互独立指：

如如 P(A|B)=P(A) (P(B)>0)P(A|B)=P(A) (P(B)>0)或如或如 P(B|A)=P(B) (P(A)>0)P(B|A)=P(B) (P(A)>0)或如或如 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)

AA 与与 BB 独立独立 AA 与与 BB 也独立也独立 AA 与与 BB 独立独立 AA 与与 BB 也独立也独立 AA 与与 BB 独立独立 AA 与与 BB 也独立也独立

随机变量的概念随机变量的概念随机现象的量化随机现象的量化 (( 实实 ))引入随机变量的意义引入随机变量的意义随机变量的记法：随机变量的记法： ξ,ηξ,η随机变量的分类：随机变量的分类：

离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布

随机变量的例子随机变量的例子掷两枚骰子得的点数掷两枚骰子得的点数某商店日顾客数某商店日顾客数收看某电视节目的人数收看某电视节目的人数上每十分钟一班的公交上每十分钟一班的公交车的候车时间车的候车时间

某地块的茶叶产量某地块的茶叶产量

随机变量的例子随机变量的例子掷四枚骰子得点数和掷四枚骰子得点数和某食堂就餐人数某食堂就餐人数某电影票房收入某电影票房收入某地一年台风次数某地一年台风次数某人电脑打字速度某人电脑打字速度某电视机寿命。某电视机寿命。

离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量概念离散型随机变量概念离散型离散型 r.v.r.v. 的分布列的分布列 P(ξ=xP(ξ=xkk)=p)=pkk (k=1,2,…) (k=1,2,…)概率函数的性质概率函数的性质分布列的描述分布列的描述

离散型离散型 r.v.r.v. 的概的概念念离散型随机变量离散型随机变量 :: 只取有限只取有限个或可列个值的个或可列个值的 r.v.r.v.

其分布列其分布列 (( 概率函数概率函数 ))

P(ξ=xP(ξ=xkk)=p)=pkk (k=1,2,…) (k=1,2,…)

要求：⑴要求：⑴ ppkk≥0 ∑p⑵≥0 ∑p⑵ kk=1=1

离散型随机变量离散型随机变量分布列的描述法分布列的描述法两行表格两行表格 [p.79(3.1)][p.79(3.1)] ；； P(ξ=xP(ξ=xkk)=p)=pkk 的表达式如的表达式如 [p.8[p.8

0(3.6)] 0(3.6)] ；；““ 钉图” 钉图” (p.81(p.81 图图 3.1)3.1) 。。

重要的离散型重要的离散型 r.v.r.v.两点分布两点分布 ξ~B(1,p)ξ~B(1,p)

二项分布二项分布 ξ~B(n,p)ξ~B(n,p)

几何分布几何分布 ξ~G(p)ξ~G(p)

泊松分布泊松分布 ξ~P(λ)ξ~P(λ)

二项分布二项分布 ξ~B(n,p)ξ~B(n,p) 次品率为次品率为 pp 的产品中的产品中抽抽 nn 件，其中次品件，其中次品数数 ξ~B(n,p) q=1-p .ξ~B(n,p) q=1-p .

PP((ξ=kξ=k)=)= n)0,1,...,(kqpC knkkn

几何分布几何分布 ξ~G(p)ξ~G(p) 射中气球的概率为射中气球的概率为 pp ，，独立重复射击，直到首独立重复射击，直到首次命中为止，射击的次次命中为止，射击的次数数 ξ~G(p) q=1-p .ξ~G(p) q=1-p .

P(ξ=k)=pqP(ξ=k)=pqk-1 k-1 (k=1,2,…)(k=1,2,…)

泊松分布泊松分布 ξ~P(λ)ξ~P(λ)

某品种的鸡，每千只鸡某品种的鸡，每千只鸡的日下蛋量的日下蛋量 ξ~P(λ) ξ~P(λ)

P(ξ=k)=P(ξ=k)= ,...)1,0k(e!k

k

重要的离散型重要的离散型 r.v.r.v.

随机变量的随机变量的分布函数分布函数定义： F(x)=P(ξ≥x) -∞<x<+∞

有 :(1)有界 :0≤F(x)≤1 -∞<x<+∞

(2)单调非减 :x1 ≤x2F(x1)≤ F(x2)

(3)有极限：(4)处处右右连续。

1)(lim

,0)(lim

xFx

xFx

随机变量的随机变量的分布函数分布函数两点分布 ξ~B(1,p)ξ~B(1,p) 的 d.f.

1

1

q

x

y

y=F(x)

ξ 0 1p q p

0

连续型连续型 r.v.r.v. 的定义的定义如果随机变量 ξ 的 d.f. 为 F

(x), 存在一个在 (-∞,+∞) 上非负的可积函数 p(x) 使得：

则称 ξ 是一个连续型随机变量 ,p(x) =F’(x) 为 ξ 的概率密度函数。

x

),(xdt)t(p)x(F

连续型随机变量连续型随机变量公交车每 5 分钟一班，随机去候车，等车的时间为 ξ 分钟： ξ [0,5)∈ 且

这种分布叫均匀分布，记作：ξ~U[0 ， 5]

)5,0[x5

x)x(P)x(F

r.v.r.v. 的的 d.f.d.f. 概率密度函概率密度函数数均匀分布 ξ~U[0,5]ξ~U[0,5] 的 d.f.

1

550x

y

y=F(x)

0 x<0

F(x)= x/5 0≤x≤5

1 x>5

1/5 0≤x≤5

p(x)=

0 其它

连续型连续型 r.v.r.v. 的性质的性质离散型随机变量 ξ 的分布列 P(ξ=P(ξ=

xxkk)=p)=pkk (k=1,2,…) (k=1,2,…)

ppkk≥0 ≥0 且∑∑ ppkk=1=1

连续型随机变量 ξ 的概率密度函数： p(x) ≥≥ 0 且

1dt)t(p