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数学实验

李尚志 教授 中国科学技术大学数学系

实验十：寻优10.1 光的折射定律光在同一种介质中走最短路

线（直线），聪明！从一种介质进入另一种介质

发生折射，傻了？

设光在两种介质中的速度比为 u ，两介质分界线为直线。从第一介质的 A 点到第二介质的 B 点，走怎样的路线时间最短？

问题：

1 ） 利用 Mathematica ：画出 y=f(x) 的图象，观察最小值点的近似位置 x=c.

运行语句 FindMinimum[f,{x,c}]

求 f(x) 的最小值

确定最初的搜索区间 [a,b]记 d=b-a. 插入两分点 x1= a+0.382d (0.382 点） x2= a+0.618d （ 0.618点）

求出 f(x1),f(x2).

2 ） 0.618 搜索法（求每一点的 f 值需花成本）：

如果 f(x1)优于 f(x2),用 [a,x2] 代替 [a,b] 。 x1已是 0.618 点，只须再求 0.382 点的值。

否则，用 [x1,b]代替 [a,b] 。不断重复以上过程。

10.2 奔向最优点 问题：设 A,B,C 是平面上三点。求点 P(x,y) 到三点距离之和 s=f(x,y) 最小。

Mathematica 语句：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]

多元搜索：最速下降法从初始位置 P0(x0,y0) 出发求 P0 点及点 (x0+d,y0), (x0,y0+d) 的 f 值 s0,s1,s2 。

u=(s1-s0)/d,v=(s2-s0)/d.梯度方向 G=(u,v).

最快下降方向 - G=(-u,-v) 选步长 h 。从 P0 到 P1(x0-hu,y0-hv) 。

从 P1 出发再前进。

10.3 最小二乘法数据点集 t={(xi,yi)}.用直线 y=kx+b 去拟合，使所有 kxi+b-yi 的平方和 s(k,b) 最小。

Fit[t,{1,x},x]

实验十一 : 最速降线 重力场中高度不同的两点

A ， B 。在 A 静止的质点沿怎样的路径下滑到 B 点，时间最少？

时间的计算设 A(0,0),B(a,h).将 x 区间 [0,a] 平均分成 n 段：

xi=ia/n,i=0,1,2,…,n.曲线上的点 Pi(xi,yi) 将曲线分成 n 段，逐段计算时间 T 。

寻找最速降线求 T=f(y1,y2,…,y n-1 ) 的最小值点 (y1,y2,…,y n-1 ) 。

用光滑曲线连接点 Pi

等时曲线

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最速降线的形状

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The End

再见