数字电子技术基础
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数字电子技术基础. 参考教材： 《 数字电子技术基础 》 （第四版） 清华大学电子学教研组编 阎石 主编. 《 数字电子技术基础 》 （第五版）. 董 玮 Add: 唐敖庆楼 D221 Tel: 13504330973 QQ:553908910 Email: [email protected]. 第一章 逻辑代数基础. 1.1 概述 1.2 逻辑代数中的三种基本运算 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
数字电子技术基础数字电子技术基础
参考教材：《数字电子技术基础 》 （第四版） 清华大学电子学教研组编 阎石 主编
《数字电子技术基础 》 （第五版）
第一章 逻辑代数基础
1.1 概述1.2 逻辑代数中的三种基本运算1.3 逻辑代数中的基本公式和常用公式1.4 逻辑代数的基本规则1.5 逻辑函数的代数变换与化简1.6 逻辑函数的卡诺图化简1.7 逻辑函数的表示方法及其相互转换
1.1.1 数字信号与模拟信号 1. 数字信号和模拟信号
电子电路中的信号
模拟信号
数字信号
幅度随时间连续变化的信号
例：正弦波信号、锯齿波信号
温度、流量、压力信号等。幅度不随时间连续变化 , 而是跳跃变化
例如开关信号、计数信号等
1.1 概述
模拟信号t
V(t)
t
V(t)数字信号
高电平
低电平 上跳沿
下跳沿
2. 二元函数，两种状态 数字信号的两种对立状态在分析时用逻辑 0 和逻辑 1 表示。
在数字电路中，用电子器件的开关特性实现，用逻辑电平来表示。
0、 1 不表示数量的大小，只表示两种对立的逻辑状态。
逻辑电平不是物理量，而是物理量的相对表示。
如：电压 +5V……… 高电平（ H）……… 1
0V………. 低电平（ L）……… 0
3. 脉冲波形：电压（流）值对时间的图形表示。描述： a. 周期 T 或频率 f=1/T （对周期性的数字波形）
b. 脉冲宽度 tW ：脉冲作用的时间。
c. 占空比 q= tW /T
d. 上升时间 tr ：脉冲幅值从 10%到 90% 所需时间。
下降时间 tf ：脉冲幅值从 90%到 10% 所需时间。
实际脉冲宽度： 脉冲幅值的 50% 时间点所跨越的时间。
理想波形： tr =0 ， tf =0
e. 位时间：数据传输时，每一位（ 0或 1 ）所占用的时间。
m0.9V
m0.5V
m0.1V
rt上升时间上升时间
ft
wt脉冲宽度脉冲宽度
下降时间下降时间
mV
脉冲幅度脉冲幅度
T
脉冲周期脉冲周期
占空比 占空比 qq = = ttWW / /
TT
4. 模拟量和数字量可以相互转换 A/D 转换和 D/A 转换
1.1.2 模拟电路与数字电路模拟电路：处理模拟信号的电路。
交、直流放大器、滤波器等。
分析方法：图解法、微变等效电路法
数字电路：处理数字信号的电路。 采用二进制，研究输入、输出间的逻辑关系。
模拟电路与数字电路的区别1 、工作任务不同： 模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、相位、失真等方面的关系；数字电路主要研究的是输出与输入间的逻辑关系（因果关系）。
模拟电路中的三极管工作在线性放大区 ,是一个放大元件；数字电路中的三极管工作在饱和或截止状态 , 起开关作用。 因此，基本单元电路、分析方法及研究的范围均不同。
2 、三极管的工作状态不同：
模拟电路研究的问题基本电路元件 :
基本模拟电路 :
晶体三极管场效应管集成运算放大器
信号放大及运算 ( 信号放大、功率放大）
信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）
信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、…）
数字电路研究的问题
基本电路元件
基本数字电路
逻辑门电路
触发器
组合逻辑电路
时序逻辑电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、脉冲整形电路）
A/D转换器、 D/A转换器
数字电路研究的问题特点：1. 研究对象：输入 - 输出间的逻辑关系。
2. 采用二进制 0、 1
例：交通信号灯控制
停车场监控
3. 分析工具：逻辑代数
4. 表达方式：真值表、逻辑表达式、时序图等。
• 1. 十进制 ND （Decimal ）
• 数码： 0 ～ 9• 进制：逢十进一。例 1234.5=1×103 +2×102 +3×101 +4×100 +5×10-
1
• 加权展开式以 10为基数，各位系数为 0 ～ 9 。一般表达式：
• ND= dn-1×10n-1+dn-2×10n-2 +…+d0×100 +d-1×10-
1+…
1.1.3数制
• 2. 二进制 NB （ Binary ）
• 数码： 0 、 1• 进制：逢二进一。
例 1101.101=1×23+1×22+0×21+1×20+1×
2-1+1×2-3 • 加权展开式以 2 为基数，各位系数为 0 、 1 。
一般表达式： NB = bn-1×2n-1 + bn-2×2n-2 +…+b0×20 +
b-1×2-1+…
从数字电路的角度看，十进制数每一位对应十个状态，这十个状态就需要有十个不同且能严格区分开的状态与之对应。若采用二进制，每一位用两种状态与之对应：有 - 无；真 - 假；通 - 断等，总结为 0、 1总之，1. 二进制的数字装置简单可靠。2. 基本运算规则简单，运算操作简便。3. 有存储数据功能。但是位数长，使用起来不方便；不符合人们使用十进制的习惯。
二进制的权位图
……..24 23 22 21 20。 2-1 2-2 2-3 2-4………
……..16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625……..
• 3. 十六进制 NH （Hexadecimal ）
• 数码： 0 ～ 9 、 A ～ F ，• 进制：逢十六进一。
例： DFC.8=13×162 +15×161 +12×160 +8×16-1
• 展开式以十六为基数，各位系数为 0 ～ 9 ，A ～ F 。一般表达式：NH= hn-1×16n-1+ hn-2×16n-2+…+ h0×160+
h-1×16-1+…
• 4. 八进制 NO （Octal ）
• 数码： 0 ～ 7• 进制：逢八进一。
展开式以八为基数，各位系数为 0 ～ 7 。一般表达式：No= hn-1×8n-1+ hn-2×8n-2+…+ h0×80+ h-
1×8-1+…
• 二进制与十六进制数、八进制数之间的转换 24=16 ，四位二进制数对应一位十六进制
数。 23=8 ，三位二进制数对应一位八进制数。
将二进制整数从右向左每隔 44 位分为一组
将二进制整数从右向左每隔 44 位分为一组
将每组二进制数换为对应的十六进制数
将每组二进制数换为对应的十六进制数
整数整数
将每组二进制数换为对应的十六进制数
将每组二进制数换为对应的十六进制数小数小数
将二进制小数 从左向右每隔 44 位分为一组
将二进制小数 从左向右每隔 44 位分为一组
• 3AF.2H = 0011 1010 1111.0010 =
1110101111.001B 3 A F 2
• 1111101.11B = 0111 1101.1100 = 7D.CH
7 D C
• 十六进制和八进制是二进制的另一种表达形式，一一对应，能简单互换。
表 1-2-1 不同进位记数制对照表
十进制 二进制 十六进制 十进制 二进制 十六进制
0 0000 0 8 1000 8 1 0001 1 9 1001 9 2 0010 2 10 1010 A 3 0011 3 11 1011 B 4 0100 4 12 1100 C 5 0101 5 13 1101 D 6 0110 6 14 1110 E 7 0111 7 15 1111 F
• 进位计数制的一般表达式：
1n
mi
iiD RKN
处于不同位置的数码 Ki 所代表的数值是不同的，每一位的权数（位权）是 Ri 。
n- 整数位数
m- 小数位数
Ki- 各位系数
R- 基数
5. 不同进位计数制之间的转换
• 先展开，然后按照十进制运算法则求和。 举例：
1011.1010B= （ 1×23+1×21+1×20+1×2-1+1×2-
3） D=11.625D
DFC.8H =（ 13×162+15×161+12×160+8×16-1） D = 3580.5D
（一）二进制数（ B、 O、 H ）转换成十进制数（ D ）
（二）十进制数转换成二进制数• 整数、小数分别转换 • 1. 整数转换法：除除 22 取余，直至商为取余，直至商为 00 ，低位至高位，低位至高位“ 除基取余”：十进制整数不断除以转换进制基数，直至商为 0 。每
除一次取一个余数，从低位排向高位。
例 1. 39 转换成二进制数39D =100111B
2 39 1 （ b
0 ） 2 19 1 （ b1 ） 2 9 1 （ b2 ） 2 4 0 （ b3 ） 2 2 0 （ b4 ）
2 1 1 （ b5 ） 0
例 2. 208 转换成十六进制数
208D = D0H
16 208 余 016 13 余 13 = DH
0
（ 185 ） 10 = （ ? ） 2
（ 185 ） 10 = （ 10111001 ） 2
2
4 6 ………022 3 ………02
1 1 ………12
5 ………122 ………121 ………020 ………1
1 8 5 2
9 2 ………1
余数
（ 3981 ） 10 = ( ? )16
（ 3 9 8 1 ） 10 = （ F 8 D ） 16
16
1 5 …….… 8160 ……...15 (F)
3 9 8 1 16
2 4 8 ………13 (D)
余数
• 2. 小数转换法：乘 2 取整，直至 ε ，高位到低位• “ 乘基取整”：用转换进制的基数乘以小数部分，
直至小数为 0 或达到转换精度要求的位数。每乘一次取一次整数，从最高位排到最低位。例：
2. 0.625 转换成十六进制数 0.625D = 0.1010B
= 0.AH
1. 0.625 转换成二进制数0.625
× 2 1.250 1 (b-1)× 2 0.5 0 0 (b-2)
× 2 1.0 1 (b-3)
• 0.625D = 0.101B
若要转换的数既有整数又有小数时，整数、小数分别转换。
1. 208.625 转换成十六进制数 208.625 D= D0.AH2. 39.625 转换成二进制数 39.625 D=100111 .101 B
• 不同数制的“数”可以等效转换，二、八、十六进制数之间的转换非常容易。
• 表示同一含义时，数制愈大，所需位数愈少，用二进制数表示时，位数最长。
(F)(F) 16 16 = (15) = (15)
1010 = (17) = (17) 8 8 = (120) = (120)
3 3 = (1111) = (1111) 2 2
结论：：
1.1.4二进制码1.编码：把若干个 0和 1 按一定规律编排在一起，组成不同的代码，并且赋予每个代码以固定的含义。
用 n 位二进制代码可以表达 2n 个不同的信号
需要编码的信息有 N项，则 2n ≥ N
A. 每一组代码都可以看作是一个包含特定含义的符号，各组代码之间以及每组代码内部各位之间没有一定的数值进位关系。
B. 信息与代码间的对应关系完全是人为规定的，可以任意编，但在制定编码时，应该使编码顺序有一定的规律可循。
2.几种常见编码
A.自然二进制码：在数值上与对应的十进制恰好相等
位数 n由 N决定。
B.二 - 十进制码（ BCD 码）
用 4 位二进制编码表示十进制的 0-9 十个数码。
由于 4 位二进制码可以表示 24=16 种信号，所以在表示0-9 这十个数码时就有不同的组合，即不同的编码方式：
8421BCD 码
2421BCD 码
5421BCD 码
余 3 码： 8421BCD码 +0011
二—十进制编码 BCD 码
例：求十进制数 876的 BCD码
876D = （ 1000 0111
0110） 8421BCD
876D = 1101101100B=36CH
BCD 码 (Binary Coded Decimal)
二进制代码表示的十进制数。8421 BCD 码
BCD 码十进制数
码8421 码 2421 码 5421 码 余 3 码
余 3循环码
0 0000 0000 0000 0011 0010
1 0001 0001 0001 0100 0110
2 0010 0010 0010 0101 0111
3 0011 0011 0011 0110 0101
4 0100 0100 0100 0111 0100
5 0101 1011 1000 1000 1100
6 0110 1100 1001 1001 1101
7 0111 1101 1010 1010 1111
8 1000 1110 1011 1011 1110
9 1001 1111 1100 1100 1010
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
几种常用的 BCD 代码
对于有权 BCD 码，可以根据位权展开求得所代表的十进制数。例如：
[ ]BCD8421
0111 ( )10
7=11214180 +++=
[ ] ( )10 BCD2421
7112041211101 =+++=
求 BCD 代码表示的十进制数
对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组 BCD 代码来表示。例如：
BCD2421 2368
10
BCD8421 536410
0010 .0011 1100 11102.863
0101 .0011 0110 01005.463
不能省略！ 不能省略！
用 BCD 代码表示十进制数
C. 格雷码：相邻的码组之间仅有一位不同。
D.ASCII 码：美国标准信息交换码
采用 7 位二进制表示 27=128 个包括 0-9 ，字母等可打印字符。
美国标准信息交换码 ASCII 码，用于计算机与计算机、计算机与外设之间传递信息。
行列 000 001 010 011 100 101 110 111
0000 NUL DLE SP 0 @ P 、 p
0001 SOH DC1 ! 1 A Q a q
0010 STX DC2 ” 2 B R b r
0011 ETX DC3 # 3 C S c s
0100 EOT DC4 $ 4 D T d t
0101 ENQ NAK % 5 E U e u
0110 ACK SYN & 6 F V f v
0111 BEL ETB ’ 7 G W g w
1000 BS CAN ( 8 H X h x
1001 HT EM ) 9 I Y i y
1010 LF SUB * : J Z j z
1011 VT ESC + ； K [ k {
1100 FF FS ， ＜ L \ l ¦
1101 CR GS － = M ] m }
1110 SO RS · ＞ N ↑ n ～1111 SI US / ？ O _ o DEL
b3b2b1
b0
b6b5b4
1.1.5 算术运算与逻辑运算
二进制数 0 和 1,可以表示为具体的数量的大小 , 也可以表示为两个不同的逻辑状态。
当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。
二进制算术运算和十进制算术运算的规则基本相同，唯一区别在于二进制数是逢二进一而不是十进制数的逢十进一。
原码：二进制数的最高位作为符号位，正数为 0 ，负数为 1 。以下各位的 0 和 1 表示数值。
例如 (0 1011001)2=(+89)10
(1 1011001)2=(-89)10
补码：二进制数的最高位作为符号位，正数为 0 ，负数为 1 。正数的补码与它的原码相同；负数的补码可通过原码的数值位逐位求反，然后在最低位上加 1 得到。
例如 (1001)2 － (0101)2 10010101－0100
采用补码运算时，求出 (+1001)2 和 (- 0101)2的补码[+1001] 补 =0 1001 [-0101] 补 =1 1011两个补码相加并舍去进位，得到
0100111011+
100100舍去把减法运算转化成了加法运算。乘法运算可以用加法和移位实现，除法可以用加法和移位实现。因此，二进制数的加、减、乘、除运算都可以用加法运算实现，大大简化了运算电路的结构。
第一章 逻辑代数基础
1.2 基本逻辑运算数字电路的输入、输出是一种因果（逻辑）关系。
逻辑代数是研究数字逻辑电路的数学工具。
逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数，与普通代数一样也是用字母表示变量，区别在于：
1. 变量值只有 0和 1 ，且只表示两种对立的逻辑状态，不表示数量的大小。
2. 表达方式：真值表 -- 将输入变量的各种可能取值和相应函数
值排列在一起而组成的表格。
逻辑符号 -- 规定的图形符号。
逻辑函数表达式 --L=f（ A、 B… ）
基本逻辑关系
与 ( and )
或 (or )
非 ( not )
逻辑代数中的三种基本逻辑运算
1. 与逻辑关系
U
A B
Y
规定 :
开关合为逻辑“ 1”
开关断为逻辑“ 0”
灯亮为逻辑“ 1” 灯灭为逻辑“ 0”
真值表特点 :
任 0 则 0, 全 1则 1
一、“与”逻辑关系和与门与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。
真值表
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
与逻辑运算规则 — 逻辑乘
2.与逻辑关系表示式
Y= A•B = AB
基本逻辑关系
0 • 0=0 0 • 1=0
1 • 0=0 1 • 1=1
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B Y
与逻辑真值表
3.与逻辑符号
AB
Y& AB Y
二、“或”逻辑关系和或门
或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。
1 、 “或”逻辑关系
U
A
B
Y
开关合为逻辑“ 1” ，开关断为逻辑“ 0” ；灯亮为逻辑“ 1” ， 灯灭为逻辑“ 0” 。
设：
特点 : 任 1 则 1, 全0 则 0
真值表
基本逻辑关系
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
或逻辑运算规则— 逻辑加
2.或逻辑关系表示式
Y=A＋ B
基本逻辑关系
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
或逻辑真值表
3.或逻辑符号A
BY
BY
≥1A
三、“非”逻辑关系与非门
“非”逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。
特点 : 1 则 0, 0则 1
Y
R
AU
1 、“非”逻辑关系
基本逻辑关系
真值表
0 1
1 0
A Y
非逻辑— 逻辑反
运算规则：
0＝ 1
1＝ 0
2.非逻辑关系表示式 非逻辑关系表示式 :
Y＝ A非逻辑真值表
A Y
0 1
1 0
3.非逻辑符号
A1
Y A Y
三种基本逻辑运算的图形符号
&AYB
1A Y≥1 AB Y
YAB YA
B YA
与与 或或 非非
与非逻辑真值表
A B Y
0 0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
A
BY
A
B
&
Y
与非逻辑符号
四 . 几种常用复合逻辑运算
与非逻辑表达式 Y = A · B
1) 与非运算
或非逻辑真值表
A B Y
0 0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
B
≥1A
A
BY
Y
或非逻辑符号
2) 或非运算
或非逻辑表达式 Y = A+B
第一章 逻辑代数基础
3)与或非
AB
CD
Y
Y
&AB
&CD
≥1 Y
DC
AB
≥1&
CDABY
图形符号：图形符号：
与或非逻辑表达式与或非逻辑表达式
第一章 逻辑代数基础
4 )异或逻辑
若两个输入变量的值相异，输出为 1 ，否则为 0 。
异或逻辑真值表
A B Y
0 0 0
10 1
01 1
11 0
B
AY
=1
A
BY
异或逻辑符号
异或逻辑表达式 YY= = AA B=AB+ABB=AB+AB
第一章 逻辑代数基础
5)同或运算
若两个输入变量的值相同，输出为 1 ，否则为 0 。
同或逻辑真值表
A B Y
0 0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
B
=AY
A
B Y
同或逻辑逻辑符号
同或逻辑表达式 YY= = AA⊙B B = = A A BB
门电路是实现一定逻辑关系的电路。
类型 : 与门、或门、非门、与非门、或非门、 异或门 …… 。
1 、用二极管、三极管实现
2 、数字集成电路 ( 大量使用 )
1) TTL集成门电路
2) MOS集成门电路
实现方法 :
门电路小结
门电路小结
门电路 符号 表示式
与门 &A
BY
A
BY≥1或门
非门 1 YA
Y=AB
Y=A+B
Y= A
与非门 &A
BY Y= AB
或非门 A
BY≥1 Y=
A+B异或门 =1
A
BY Y= AB
逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。 与、或、非是 3 种基本逻辑关系，也是 3 种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非 3 种基本逻辑运算复合而成的 4 种常用逻辑运算。 逻辑代数的公式和定理是变换及化简逻辑函数的依据。
1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数。
注意注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是 0或 1 ，并且这里的 0和 1 只表示两种不同的状态，没有数量的含义。
（ 1 ）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非 3 种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母 A、 B、 C、 D 等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。 （ 2 ） 逻 辑 函 数 ： 如果对 应 于 输 入 逻 辑 变 量A、 B、 C、…的每一组确定值，输出逻辑变量 Y 就有唯一确定的值，则称 Y是 A、 B、 C、…的逻辑函数。记为
),,,( CBAfY
（ 3 ）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数
),,,( ),,,( 21 CBAgYCBAfY 它们的变量都是 A、 B、 C、…，如果对应于变量A、 B、 C、…的任何一组变量取值， Y1和 Y2 的值都相同，则称 Y1和 Y2 是相等的，记为 Y1=Y2 。 若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。
BAAB 证明等式：
1.3.1 逻辑代数的基本公式
与运算： 111 001 010 000 （ 1 ）常量之间的关系
（ 2 ）基本公式
0-1律：AA
AA
1
0
00
11
A
A
或运算： 111 101 110 000
互补律： 0 1 AAAA
重叠律： AAAAAA
还原律：AA
分别令 A=0及A=1 代入这些公式，即可证明它们的正确性。
0 － 1律应用：处理门电路多余输入端
重叠律应用：把门电路多余输入端连接当一个输入端使用
（ 3 ）基本定理 利用真值表很容易证明
这些公式的正确性。如证明 A·B=B·A ：
(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率
A(B+C)=AB+AC
=A+AB+AC+BC 重叠率 AA=A
=A(1+B+C)+BC 分配率A(B+C)=AB+
AC=A+BC 0-1 率A+1=1
证明分配率： A+BC=(A+B)(A+C)
证明：
证明： ))(( BAAABAA
)(1 BA
BA
分配率A+BC=(A+B)
(A+C)互补率 A+A=1
0-1 率 A·1=1
BABAA
AABA
ABAAB
吸收律
1.3.2 若干常用公式
冗 余 律 ： CAABBCCAAB
证明： BCCAAB
BCAABCCAAB
BCAACAAB )( 互补率 A+A=1
分配率A(B+C)=AB+
AC)1()1( BCACAB
CAAB 0-1 率A+1=1
序号 公 式 序号 公 式10 1=0;0=1
1 0·A=0 11 0+A=A
2 1·A=A 12 1+A=1
3 A·A=A 13 A+A=A
4 A·A=0 14 A+A=1
5 A·B=B·A 15 A+B=B+A
6 A·(B·C)=(A·B)·C 16 A+(B+C)=(A+B)+C
7 A·(B+C)=A·B+A·C 17 A+B·C=(A+B)·(A+C)
8 A·B=A+B 18 A+B=A·B9 A=A
逻辑代数的基本公式
0-1 律
重叠律互补律
交换律结合律
分配律反演律
还原律
例如，已知等式 ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A ，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
1.4 逻辑代数运算的基本规则
（ 1 ）代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。
BAAB
CBABACBAC )(
EDCBAY
（ 2 ）反演规则：对于任何一个逻辑表达式 Y ，如果将表达式 中 的 所 有 “ ·” 换 成 “＋” ， “＋” 换 成 “ ·” ， “ 0” 换成“ 1” ，“ 1” 换成“ 0” ，原变量换成反变量，反变量换成原原变量换成反变量，反变量换成原变量变量，那么所得到的表达式就是函数 Y 的反函数 Y （或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：
))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
等式中 •
＋ ＋
•
0 1
1 0
原变量 反变量
反变量 原变量
2 个或 2 个以上变量的非号照写
常量 ：
运算符：
⊙⊕⊕⊙
保持运算优先顺序不变
Y=(A+BC)(C+D)=AC+BC+AD+BCD
=AC+BC+AD
例 已知 Y=AB+C+D+C, 求 Y
例 已知 Y=A(B+C)+CD, 求 Y
注意：不是一个变量上的反号应保持不变
Y=(A+B)C • D • C
（ 3 ）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式 Y ，如果将表达式中的所有“ ·” 换成“＋”，“＋”换成“ ·” ，“ 0” 换成“ 1” ，“ 1” 换成“ 0” ，而变量保持不变变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式 Y＇， Y＇称为函 Y 的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
EDCBAY
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则 , 可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：
ACABCBA )( ))(( CABABCA ABABA ABABA )()(
))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
等式中
0 1
1 0
变量不变
常量 ：
• ＋
＋ •
运算符：
⊙⊕
⊕⊙
保持运算优先顺序不变
例 证明 A+BC=(A+B)(A+C)
等式两边的对偶式为 A(B+C) AB+AC
根据乘法分配律可知，这两个对偶式相等，所以由对偶定理可知原来的两式也相等。
练习 证明 A+BCD = (A+B)(A+C)(A+D)
A • ( B+C+D) = AB+AC+AD
对对偶偶 对对偶偶
序号 公 式 序号 公 式10 1=0;0=1
1 0·A=0 11 0+A=A
2 1·A=A 12 1+A=1
3 A·A=A 13 A+A=A
4 A·A=0 14 A+A=1
5 A·B=B·A 15 A+B=B+A
6 A·(B·C)=(A·B)·C 16 A+(B+C)=(A+B)+C
7 A·(B+C)=A·B+A·C 17 A+B·C=(A+B)·(A+C)
8 A·B=A+B 18 A+B=A·B9 A=A
逻辑代数的基本公式互为对偶式
利用对偶规则 , 可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。
注意注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。
在进行反函数和对偶函数变换时：
1.保持运算的先后顺序不变。
2.反变量以外的非号保留不变。
EDCBAY EDCBAY
CDABY DCBAY
逻辑函数表达形式的变换
将逻辑函数与或式变换与非 - 与非表达式
ACCD
例 用与非门实现逻辑函数
方法：将逻辑函数两次求反后用摩根定律
主要是为了适应器件的情况
Y AC CD
Y AC CD
DCAC
1.5 逻辑函数的代数变换与化简
Y ABD ABD ABD A BCD ABCD
( ) ( )Y AB D D ABD ABD C C DBADBA=AB
)( DDBAAB BAAB
BAAB BAAB
例 用最少的与非门实现逻辑函数Y
最简与或式
≥ 1
&
&
1
1 B
A
L
AB
BA
(a) 最简与或式逻辑图
B
A
L AB
BA
(b)
&
&
&
& &
与非 - 与非式逻辑图
与非 - 与非式
例 用或非门实现逻辑函数
2 、两次求反。
与或式转换为或非 - 或非式
= A+C + C+D
Y =A+C + C+D
Y = AC + CD
=AC + CD
方法： 1 、将每个乘积两次求反后，用摩根定律；
Y = AC + CD
（ 1） 与 或 表 达 式 ： ACBAY （ 2） 或 与 表 达 式 ： Y ))(( CABA
（ 3） 与 非 -与 非 表 达 式 ： Y ACBA
（ 4） 或 非 -或 非 表 达 式 ： Y CABA
（ 5） 与 或 非 表 达 式 ： Y CABA
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非 - 与非表达式、或非 - 或非表达式、与或非表达式 5 种表示形式。
一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。
① 逻辑函数的变换
根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类，因此实际中需要对表达式进行变换。
例如 L=A B⊕
1. 用与非门实现：与或表达式→摩根定律
2. 用或非门实现：或与表达式→摩根定律
3. 用最少门实现
化简；选用异（同）或门
BABABAL
&A
B
&A
B
≥1L
1. 用与非门实现
BABABABABABAL
AB
&
&
&
B
LA
=1
B
AL
2. 用或非门实现求反变量的与或表达式，再用摩根定理得或与表达式。
BABAL BABA
BAAB
L L A B A B
BABA
AB
≥1
≥1
≥1
B
LA
))(( BABAL
≥ 1 A
B
C
≥ 1 L
&
&
1
L=B+C
B
C ≥ 1
1
BCBBB)(AL
CBL
BCBBBBAL
BC1)(ABL
BCBL
B)(A
B
BC
BB)(A
BCBBB)(A
化简后使电路简单，可靠性提高。
逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。
最简？
②逻辑函数的化简
⑴ 逻辑函数的最简表达式
最简与或表达式 乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。
CABA
CBCABA
DCBCBECACABAEBAY
最简与或表达式
最简与非 - 与非表达式 非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非 - 与非表达式。
CABACABACABAY
①在最简与或表达式的基础上两次取反
②用摩根定律去掉下面的非号
最简或与表达式 括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。
CABAY
ACBACBACBA
CABACABAY
))(())(( CABAY
①求出反函数的最简与或表达式 ②利用反演规则写出函
数的最简或与表达式
最简或非 - 或非表达式 非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非 - 或非表达式。
CABACABA
CABACABAY
))((
))(( ①求最简或与表达式
②两次取反最简与或非表达式
非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。
ACBACABACABAY
①求最简或非 - 或非表达式
③用摩根定律去掉下面的非号
②用摩根定律
去掉大非号下
面的非号
⑵逻辑函数的公式化简法
1 、并项法
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。
利用公式Ａ B＋ Ａ B＝ A ，将两项合并为一项，并消去一个变量。
BCCBCBBC
CBBCAACBBCAABCY
)(
)(1
ABCBCABCAABC
CBAABCCABAABCY
)(
)(2
若两个乘积项中分别
包含同一个因子的原变量
和反变量，而其他因子都
相同时，则这两项可以合
并成一项，并消去互为反
变量的因子。
运用摩根定律
运用分配律
运用分配律
2 、吸收法
BAFEBCDABAY )(1
BABCDBADA
BADBCDABADCDBAY
)()(2
如果乘积项
是另外一个乘积
项的因子，则这
另外一个乘积项
是多余的。
运用摩根定律
（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ +Ｂ，消去多余的变量。
CAB
CABAB
CBAAB
CBCAABY
)(
DCBA
DBACBA
DBACBA
DBACCBA
DCBDCACBAY
)(
)(
如果一个乘积项
的反是另一个乘积项
的因子，则这个因子
是多余的。
３、配项法
（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。
CACBBA
BBCAACBCBA
CBABCACBACBACBBA
CCBACBAACBBA
BACBCBBAY
)()1()1(
)()(
（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。
BCACAB
BCAABCCBAABCCABABC
BCACBACABABCY
)()()(
４、消去冗余项法
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将冗余项ＢＣ消去。
DCACBA
ADDCACBA
DCADACBAY
)(
1
CBAB
FGDEACCBABY
)(2
优点 不受变量数目的约束；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。 缺点 1. 逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握。2. 公式化简法无一套完善的方法可循，需要人的经验和灵活度。3. 技巧性强，较难掌握。在很多情况下难以判断化简结果是否最简。
卡诺图法能够比较简便的得到最简的逻辑表达式。
公式化简法
1.6 逻辑函数的卡诺图化简法
代数法化简逻辑函数需要一定的技巧，并且化简后得到的表达式是否最简较难掌握。而图形（卡诺图）法可以比较简单的得到最简的与或表达式。
代数法多用于逻辑函数的变换。
1.6.1 逻辑函数的最小项和最大项及其性质 （ 1 ）最小项：在 n 变量逻辑函数中，若 m 为包含 n 个因子的乘积项，而且 n 个变量均以原变量或反变量的形式在m 中出现一次，则称 m 为该组变量的最小项。
3 个变量 A、 B、 C 可组成 8 个最小项：
ABCCABCBACBABCACBACBACBA 、、、、、、、 （ 2 ）最小项的表示方法：通常用符号 mi 来表示最小项。下标 i 的确定：把最小项中的原变量记为 1 ，反变量记为 0 ，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标 i 。 3 个变量 A、 B、 C的 8 个最小项可以分别表示为：
ABCmCABmCBAmCBAm
BCAmCBAmCBAmCBAm
7654
3210
、、、
、、、
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
000 000 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
001 0 001 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
010 0 0 010 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
011 0 0 0 011 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0
100 0 0 0 0 100 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0
101 0 0 0 0 0 101 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0
110 0 0 0 0 0 0 110 0 0 0 0 0 0 11 0 0
111 0 0 0 0 0 0 0 111 0 0 0 0 0 0 0 11mm00 mm11 mm22
mm33 mm44 mm55 mm66 mm77
（ 3 ）最小项的性质： 3变量全部最小项的真值表
A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
10000000
01000000
00100000
00010000
00001000
00000100
00000010
00000001
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为 1 。
③全部最小项的和必为 1 。
ABC ABC
②任意两个不同的最小项的乘积必为 0 。
④具有相邻性的两个最小项可以合并，消去不同的因子。
2. 最大项
在 n 变量逻辑函数中，若M 为包含 n 个变量之和，而且 n 个变量均以原变量或反变量的形式在 M 中出现一次，则称 M 为该组变量的最大项。
例如，三变量 A 、 B 、 C 的最大项有 (A+B+C) 、 (A+B+C) 、
(A+B+C) 、 (A+B+C) 、 (A+B+C) 、 (A+B+C) 、 (A+B+C) 、
(A+B+C) 共 8 个最大项。对于 n 变量则有 2n 个最大项。
可见， n 变量的最大项数目和最小项数目是相等的。
MM00MM77MM55 MM66MM44MM33MM22MM11
A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C
000 000 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
001 1 001 1 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
010 1 1 010 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
011 1 1 1 011 1 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1 1
100 1 1 1 1 100 1 1 1 1 00 1 1 1 1 1 1
101 1 1 1 1 1 101 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
110 1 1 1 1 1 1 110 1 1 1 1 1 1 00 1 1
111 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 00
最大项的性质
1) 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为 0 。
2) 全体最大项之积为 0 。
3) 任意两个最大项之和为 1 。
4) 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。
最大项和最小项之间的关系
变量数相同，编号相同的最小项和最大项之间存在互反关系，即
mmi i = M= Mi , i , MMi i = m= m
ii
MM7 7 =A+B+C=A·B·C=m=A+B+C=A·B·C=m77例
mm7 7 =A·B·C= A·B·C =A+B+C= M=A·B·C= A·B·C =A+B+C= M77
1.6.2 逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式 对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式 A＋ A＝ 1 和 A(B+C)＝ AB＋ BC 来配项展开成最小项表达式。
)7,3,2,1,0(
)())((
73210
m
mmmmm
ABCBCACBACBACBA
BCAABCCBACBACBABCA
BCAACCBBA
BCAY
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1 的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
m1＝ ABC
m5＝ ABC
m3＝ ABC
m2＝ ABC
CBACBACBACBA
mmmmmY
)5,3,2,1(5321
将真值表中函数值为 0 的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。
逻辑函数的最大项之积形式
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式 , Y= Σmi 。
全部最小项之和为 1 。 Y= 1 － Σ mi = Σ mkk=i
Y= Σ mk
k=i
利用反演定理可以将上式换为最大项乘积的形式
Y= Π mk = Π Mk
k=i k=i
得出结论：任何一个逻辑函数既可以用最小项之和表示，也可以用最大项之积表示。如果将一个 n 变量函数的最小项之和改为最大项之积时，其最大项的编号必定都不是最小项的编号。
例 试将逻辑函数 Y=ABC+BC 化成最大项之积的标准形式。
Y=Π Mk = M0 · M1 · M2 · M4 · M5 k=i
Y=ABC+ABC+ABC= = Σ((mm3 3 , mm6 6 , mm77))
= (A+B+C) · (A+B+C) · (A+B+C) · (A+B+C) ·
(A+B+C)
1. 逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所
有公式熟练掌握；
2. 代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验
和灵活性；
3. 用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简
后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。
卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。
代数法化简在使用中遇到的困难：
1.6.3 逻辑函数的卡诺图化简法
1 、卡诺图的构成
逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列排列，这样构成的图形就是卡诺图。
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
每个2
变量的最小
项有两个最小项与
它相邻
每个3
变量的最小
项有3
个最小项与
它相邻
B A 0 1
0 m0 m1
1 m2 m3
BC A 00 01 11 10
0 m0 m1 m3 m2
1 m4 m5 m7 m6
2变量卡诺图 3变量卡诺图
每个 4 变量的最小项有 4 个最小项与它相邻
最左列的最小项与
最右列的相应最小
项也是相邻的
最上面一行的最小
项与最下面一行的
相应最小项也是相
邻的
两个相邻最小项可以合并消去一个变量
BACCBACBACBA )(
DCADCBADCAB
逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并
CD AB 00 01 11 10
00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
4变量卡诺图
每个 5 变量的最小项有 5 个最小项与它相邻，在 5变量最小项的卡诺图中，除了几何位置相邻的最小项具有逻辑相邻性以外，以图中双竖线为轴左右对称位置上的两个最小项也具有逻辑相邻性。
另外形式的卡诺图 A B 0 1
0 m0 m2
1 m1 m3
ABC 00 01 11 10
0 m0 m2 m6 m4
1 m1 m3 m7 m5
2变量卡诺图 3变量卡诺图
ABCD 00 01 11 10
00 m0 m4 m12 m8
01 m1 m5 m13 m9
11 m3 m7 m15 m11
10 m2 m6 m14 m10
4变量卡诺图
2 、逻辑函数在卡诺图中的表示 （ 1 ）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入 1 ，其余的方格内填入 0 。
ABCD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
)15,14,11,7,6,4,3,1(),,,( mDCBAY
m1
m3
m4
m6m7
m11
m14 m15
（ 2 ）从真值表画卡诺图 根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（ 0 或 1 ）即可。需注意二者顺序不同。例 已知 Y 的真值表，要求画 Y 的卡诺图。
逻辑函数 Y 的真值表
A B C Y0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1
卡诺图
（ 3 ）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入 1 ，其余的方格内填入 0 。
))(( CBDAY
CBDAY
ABCD 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 0 0 0 0
11 1 0 0 1
10 1 1 0 1
变换为与
或表达式
ＡＤ的公因子
ＢＣ的公因子
说明：如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入 0 ，其余方格内填入 1 。
0 0 0 1 1 1 1 0A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
11
11
1
1
0 0
0
0
00
1
11
1
练习 将 Y=BC+BD填入卡诺图
卡诺图化简法的依据：具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观的找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。
00 01 11 10A B
CD
00
01
11
10
m0 m2m1
m4
m3
m5 m6
m15
m7
m14m12 m13
m9m8 m11 m10
ABCD+ABCD=ABD
ABCD+ABCD=ACD
ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=AD
ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
=D
3 、卡诺图的性质（化简的依据）
ABCD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 0 0 1
11 0 0 0 1
10 0 1 0 0
（ 1 ）任何两个（ 21 个）标 1 的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C 00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
CBACBA
ABCBCA
DBCADCBA
CDBADCBA
CB
BC
DBA
DBA
ABCD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 1 0 0
（ 2 ）任何 4 个（ 22 个）标 1 的相邻最小项，可以合并为一项，并消去 2 个变量。 AB C 00 01 11 10
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 C
CBAABBABA
CBACABCBACBA
)(
BBACCACACAABCCABBCACBA )(
BA
DC
ABCD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 1 0 0 1
ABCD 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
ＢＤ
ＢＤ ＢＤ
ＢＤ
ABCD 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
ABCD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
（ 3 ）任何 8 个（ 23 个）标 1 的相邻最小项，可以合并为一项，并消去 3 个变量。
Ｄ
Ｂ
小结：相邻最小项的数目必须为
个才能
合并为一项，并消去n
个变量。包含的最小项
数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，
消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达
式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数
的基本原理。
2n
合并最小项的一般规则：如果有 2n 个最小项相邻 (n=1,2,…)
并排列成一个矩形组，则它们可以合并成一项，并消去 n 对因子。合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。
相邻的概念——紧靠在一起的、首尾、对称。
m 0
ABCD ABCD
m 1ABCD
m 3 m
ABCD2
m 5 67 mm
ABCDABCD
m
ABCD4
ABCD
ABCD
mm 13
ABCD ABCD1412 m15m
ABCDABCD ABCD
m
ABCD8 m 1011m9m
ABCDA
B
C
D
0 1 3 2
7 654
13 141512
98 11 10
AB
CD
00
00
01
01
11
11
10
10
(a) (b)
用卡诺图合并最小项的原则（划圈原则）：
1. 圈尽量少、尽量大。但每个圈内只能含有 2n(n=0,1,2,3, ……) 个相邻项，要特别注意对边相邻性和四角相邻性。2. 组成函数的最小项必须被划到，即不能漏掉取值为 1 的最小项。3. 每个圈内必须包含 1 个或 1 个以上新的最小项。4. 最小项的小方块可以重复使用。
4 、图形法化简的基本步骤
逻辑表达式或真值表
卡诺图
)15,13,12,11,8,7,5,3(),,,( mDCBAY
ABCD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
1
1
合并最小项
①圈越大越好，但每个圈中标１
的方格数目必须为 个。②同一
个方格可同时画在几个圈内，但
每个圈都要有新的方格，否则它
就是多余的。③不能漏掉任何一
个标１的方格。
i2
最简与或表达式
ABCD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
DCACDBDDCBAY ),,,(
ＢＤ
ＣＤ
ＡＣＤ
冗余项
2
2
3
3
将代表每个圈
的乘积项相加
ABCD 00 01 11 10
ABCD 00 01 11 10
00 1 1 0 1 00 1 1 0 1
01 0 1 1 1 01 0 1 1 1
11 0 0 1 1 11 0 0 1 1
10 0 0 0 0 10 0 0 0 0
两点说明：
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。
不是最简ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
最简ADCBADCBDCA
ABCD 00 01 11 10
ABCD 00 01 11 10
00 1 1 0 0 00 1 1 0 0
01 1 1 1 0 01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 11 0 0 1 0
10 1 0 1 0 10 1 0 1 0
② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤ ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ
0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
1
1
111
1
③但是在小格覆盖时，需要注意，每一个矩形带中至少要 有一个小格是独立的，即没有被其他矩形带所覆盖。
CBA
CDA
ABC
DCA
BD
CBA CDA
ABC
中间的四个小格圈成的矩形带对应的与项 BD虽然最简，但 BD 对应的四个小格一一被其他四个矩形带所覆盖，所以就应从最简与或式中取消，最简与或式为
DCAABCCDACBAP
DCA
• 由卡诺图也可得到其它形式的最简式化简为最简与或非式：
可考虑在卡诺图中先圈 0 ，再将圈 0 所得的函数化为最简与或式，然后在此最简式上加反，即得最简与或非式。例将下式化简为最简与或非式
)15,14,13,11,9,7,6,3,1()( mABCDY
CDAB 00 01 11 10
00
01
11
100
1 11
11
1 1
11
0
0
0
0
0
0 CBAY DB DC
DCDBCBA Y
[ 例 ]
m
D,C,B,AF ) 15 , 13 , 21 , 8 , 6 , 5 , 4 , 1 () (
[ 解 ]
(1) 画函数的卡诺图 ABCD
00
01
11
10
00 01 11 101
1 1 1
1
1 1 1
(2) 合并最小项： 画包围圈(3) 写出最简与或表达式
多余的圈DBAABDDCADCAY
注意：先圈孤 立项
利用图形法化简函数
[ 例 ] 用图形法求反函数的最简与或表达式
ACBCABY
[ 解 ] (1) 画函数的卡诺图
ABC
0
1
00 01 11 10
1 1
1
1
0 0 0
0
(2) 合并函数值为 0 的最小项
(3) 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式
CACBBAY
约束项
在分析某些具体的逻辑函数时，有些输入变量的取值不是任意的。对输入变量取值加以约束，相应的最小项的取值为 0 ，这些取值为 0 的最小项称为约束项。
如， A=1 表示电机正转， B=1 表示电机反转， C=1 表示电机停止。所以 ABC 不能等于 000 、 011 、 101 、 110 、 111 中的一种。
ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=0
恒等于 0 的最小项 ABC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 为约束项。
1.6.4含任意项的逻辑函数的化简
任意项某些逻辑问题中，在输入变量的某些取值下函数值是 1 是 0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，对应的那些最小项为任意项。
如 四位二进制代码中，对于 8421BCD 代码而言， 1010-1111
为任意项。
无关项：约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项。
例如：判断一位十进制数是否为偶数。
不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现
说 明
× 1 1 1 10 0 1 1 1× 1 1 1 01 0 1 1 0× 1 1 0 10 0 1 0 1× 1 1 0 01 0 1 0 0× 1 0 1 10 0 0 1 1× 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A B C D
ABCD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
输入变量 A， B， C， D 取值为 0000～ 1001 时，逻辑函数 Y 有确定的值，根据题意，偶数时为 1 ，奇数时为 0 。
)8,6,4,2,0(),,,( mDCBAY A， B， C， D 取值为 1010 ～ 1111 的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于任意项。用符号“ φ” 、“ ×” 或“ d” 表示。 任意项之和构成的逻辑表达式叫做 任意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。
0)15,14,13,12,11,10( d
含有任意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：)15,14,13,12,11,10()8,6,4,2,0(),,,( dmDCBAF
2 、含任意项的逻辑函数的化简 在逻辑函数的化简中，充分利用任意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，任意项的取值可视具体情况取 0 或取 1 。具体地讲，如果任意项对化简有利，则取 1 ；如果任意项对化简不利，则取 0 。
ABCD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
不利用任意项的化简结果为：
DCBDAY 利用任意项的化简结果为：
DY
[ 例 ] 化简逻辑函数
dm
DC ,B ,A ,F
) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 () 8 , 7 , 1 (
) (
化简步骤 :(1) 画函数的卡诺图，顺序 为： AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10先填 1 01
1
1
0 0
0 0
0
0
(2) 合并最小项，画圈时╳既可以当 1 ，又可以当 0(3) 写出最简与或表达式
DA DAY
[ 解 ]
╳
0) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 (
d
总结：卡诺图化简逻辑函数的步骤：
1. 用卡诺图 表示逻辑函数。
2. 合并最小项。
包含 2n 个方格： 2、 4、 8
包围的方格为矩形块
包围圈越大越好，越少越好
方格可以被重复包围，但每个包围圈内必 需有新的方格
所有的 1都要被包围住
充分考虑随意项
3. 合并后的最小项之和即为最简与或表达式。
例 1 、未用最小项表示的逻辑函数的卡诺图化简。
用公式展开成最小项表达式
直接在图中展开{
CBADCACBCDBL 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 1 0 0
11 1 1 0 0
10 0 0 1 1
AB
CDL
CBADBACBL
例 2 、包含最小项数多的逻辑函数的卡诺图化简。
卡诺图中填 1 的方格占大部分
DABCBAABDDCBBAF
CDABAF
00 01 11 10
00 1 1 0 1
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1
AB
CDF圈 1 ：
圈 0 ：
DBCBAF
DBCBAF
例 3 、具有任意项的逻辑函数的卡诺图化简。
DCBABCDADCBF
00 01 11 10
00 × 0 × 0
01 × 1 ×1 0
11 × 1 × 0
10 × 1 × 0
AB
CDF
，其中 C D=0⊙
考虑约束条件：BDADCAF
CABDF
不考虑约束条件：
ADBD CBAD CBCA
逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用随意项可以得到十分简单的结果。
1.7逻辑函数的表示方法及其相互转换
逻辑真值表 （真值表）
逻辑函数式（逻辑式或函数式）
卡诺图
逻辑图
波形图
常用的表示方法
1. 逻辑函数的表示方法
1 、真值表
真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。 真值表列写方法：每一个变量均有 0、 1 两种取值， n 个变量共有 2n
种不同的取值，将这 2n 种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。 例如：当 A=B=1 、或者 B=C=1时，函数 Y=1 ；否则 Y=0 。
2 、逻辑表达式
逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非 3 种运算符连接起来所构成的式子。
函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为1 的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。
)7,6,3(m
ABCCABBCAY
3 、卡诺图
卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
逻辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数值为 1 的变量取值组合所对应的小方格内填入 1 ，其余的方格内填入 0 ，便得到该函数的卡诺图。
4 、逻辑图
逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。
Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ
Y
&
≥ 1
&
A
B
B
C
ＡＢ
ＢＣ
５、波形图
波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。
Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｙ
０ ０ ０ ０
０ ０ １ ０
０ １ ０ ０
０ １ １ １
１ ０ ０ ０
１ ０ １ ０
１ １ ０ １
１ １ １ １
０ ０ ０ ０
Ｙ
1. 从真值表写出逻辑函数式
一般方法：
(1) 找出真值表中使逻辑函数为 1 的那些输入变量取值的组合。
(2) 每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，
其中取值为 1 的写入原变量，
取值为 0 的写入反变量。
(3) 将这些乘积项相加，即得输出的逻辑函数式。
2. 逻辑函数表示方法之间的转换
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
0
1
0
1
1
1
ABC
ABCABCABC
ABCCABCBABCAY
例 将下图所示真值表转换为逻辑函数式。
2. 从逻辑函数式列出真值表
CBACBAY
例
已知逻辑函数表达式：
求它对应的真值表。
一般方法 :将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式 ,
求出函数值，列成表。
0
1
0
0
0
1
0
0
BC
0
0
1
0
0
0
0
0
ABC
0
1
1
0
1
1
1
1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
YA B C
&
ABBAY
Y≥1
& 1 A
1 B
3. 根据逻辑表达式画出逻辑图
一般方法：将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系，
用图形符号表示出来，就可画出表示函数关系的逻辑图。
AB
CB
BCA
&
C
1A
≥1
1B &
&
≥1 Y
练习 已知逻辑函数为
画出对应的逻辑图。
Y=AB+BC+ABC
AB+BCAB+BC
4. 从逻辑图写出逻辑式
BA
CB
CBBBA
CBCBBBAY
一般方法 : 从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即可得到对应的逻辑式。
&
C
B
1A
≥1 Y1
1 &
≥1
1 、由真值表到逻辑图的转换
真值表
逻辑表达式或卡诺图
)7,6,5,3(m
ABCCABCBABCAY
1 1
最简与或表达式
化简 2
或
ACABBCY
2
&
画逻辑图
3
&
&
≥1
BC
最简与或表达式
ACABBCY
C
B
B
A
AC
AB
AC
Y
C
B
B
A
AC
Y&
&
BC
AB
AC
若用与非门实现，将最简与或表达式变换乘最简与非 -与非表达式
ACABBCY
3
&
&
2 、由逻辑图到真值表的转换
逻辑图
逻辑表达式
1
1
最简与或表达式
化简 2
&
A≥1
C
B
B
A
AC
Y≥1
≥1
CBAY 1
BAY 2
CAY 3
1Y
2Y
3Y
Y
))()((
321
CABACBA
YYYY
2
CAABCBA
CBACBACABACBAY
))(())()((
从输入到输出
逐级写出
最简与或表达式
3
真值表
CAABCBAY 3
①逻辑函数可用真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图和波形图 5 种方式表示，它们各具特点，但本质相通，可以互相转换。 ②对于一个具体的逻辑函数，究竟采用哪种表示方式应视实际需要而定。 ③在使用时应充分利用每一种表示方式的优点。由于由真值表到逻辑图和由逻辑图到真值表的转换，直接涉及到数字电路的分析和设计问题，因此显得更为重要。