授课人：殷晴霞

开 始 上 课按一定顺序排列的一列数叫做数列

① 1 ， 4 ， 7 ， 10 ， 13 ， 16 ；

② 3 ， 0 ， -3 ， -6 ， -9 ，

10

1

10

2

10

3

10

4

， …③ ， ， ，

这些数列有什么共同特点呢？

① 1 ， 4 ， 7 ， 10 ， 13 ， 16 ；

② 3 ， 0 ， -3 ， -6 ， -9 ，

10

1

10

2

10

3

10

4

， …③ ， ， ，

这些数列有什么共同特点呢？

4-1=7-4=10-7=13-10=16-13=3

0-3=-3-0=-6-(-3)=-9-(-6)=-3

_ _ _ _ _ _ _2 1 3 2 4 3 1 = = =- - - 10 10 10 10 10 10 10

第一课时

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。

（ 1 ） 定义中的关健词是什么？

（ 2 ）公差 d 是哪两个数的差？

（ 3 ） {an} 是等差数列， a1 是首项， d 是公差，则 a2= ？， a3= ？， a4= ？，… ， an= ？

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。

（ 1 ） 定义中的关健词是什么？

（ 2 ）公差 d 是哪两个数的差？

（ 3 ） {an} 是等差数列， a1 是首项， d 是公差，则 a2= ？， a3= ？， a4= ？，… ， an= ？

相邻两项后项与前项的差 (d=an-an-1 ， n≥2) ，且与 n 无关。

an =a1+(n-1)d

a2=a1+d ，(n≥2)

a3=a1+2d ，a4=a1+3d ，…

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。

（ 1 ） 定义中的关健词是什么？

（ 2 ）公差 d 是哪两个数的差？

（ 3 ） {an} 是等差数列， a1 是首项， d 是公差，则 a2= ？， a3= ？， a4= ？，… ， an= ？

相邻两项后项与前项的差 (d=an-an-1 ， n≥2) ，且与 n 无关。

a2=a1+d ，a3=a1+2d ，a4=a1+3d ，…an =a1+(n-1)d (n N*)∈

判断下列数列是否为等差数列。若是，则公差 d 是多少 ?

1. 数列 2 ， 4 ， 6 .

2. 数列 2 ， 4 ， 6…

3. 常数数列 3 ， 3 ， 3 ， 3 ，…

4. 数列 {an} ，若 an-an-1=-2 （ n≥2)

答：是，公差 d 是 2 。

答：不一定是。

答：是，公差 d 是 0 。

答：是，公差 d 是 -2 。

例 1 （ 1 ）求等差数列 5 ， 9 ， 13 ，…的第 20 项。（ 2 ） -299 是不是等差数列 -2 ， -5 ， -8 ，…的项？ 如果是，是第几项？

解： （ 1 ）由 a1=5,d=9-5=4 ， n=20 ，得a20=5+(20-1) ×4=81

（ 2 ）由 a1= -2 ， d= -5 － (-2)= -3 ，得 an= -2+(n-1)(-3)= -3n+1

-299 = -3n+1n =100

所以 – 299 是这个数列的第 100 项。

例 2. 等差数列 {an} 中 , 已知 a4=10,a7=19, 求首项 a1 、公差 d

和通项 an 。

解 : a4=a1+3d=10 ①

a7=a1+6d=19 ②

②- 3d=9, d=3①

代入① 得 a1+3×3=10, a1=1

an=1+(n-1) ×3=3n-2

结论：由等差数列的两项就可以确定这个数列。

例 3. 梯子的最高一级宽 33 cm ，最低一级宽 110cm ，中间还有 10 级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

33

110

解：a1=33 ， a12=110 ， n=12

a12=a1+(12-1)d,

即 110 =33+11d

解得 d =7

a4=54 ， a5=61 ， a6=68 ， a7=75 ，a8=82 ， a9=89 ， a10=96 ， a11=103 。

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm, 47 cm, 54 cm, 61 cm, 68 cm,75 cm, 82 cm,89 cm, 96cm, 103 cm 。

∴ a3=40+7=47 ，a2=33+7=40 ，

课堂练习：

2. 求等差数列 2 ， 9 ， 16… 的第 10 项 ,100 是不是这个数列的项。如果是，是第几项？

1. 等差数列 -5 ， -1 ， 3… 的公差是（ ）A. 4 B. - 4 C. 8 D. -8

3. 已知 a3=9, a9=3, 则 a12 =_____

4. 数列 {an} 中 ,a1= , an+1=an- (n N*), ∈ 则通项 an= （ ）

5. 已知等差数列的前三项依次为： a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ ）

A. an=2n-5 B.an=a+2n-3 C. an=a+2n-1 D. an=2n-3

2 2

A

0

B

222 n

222 n n2A. B.

D. 不能确定C.

C

小结 :

2. 等差数列的计算问题通常先求 a1 和 d 两 个基本量 ,再用通项公式 an=a1+(n-1)d, 求其 它量；

1. 公差 d==an-an-1(n≥2) ，且与 n无关；

3. 判断一个数列是否为等差数列只需看 an-an-1

(n≥2) 是否为常数即可；

4. 利用从特殊到一般的思维去发现数学规律

或解决数学问题。

家庭作业：第 118 页习题 3.2 第 1、 2、 4、 5题

思考题 :(1) 若在 a,b 中插入一个数 A, 使得 a,A,b 成 等差 ,则 A等于多少 ?(2) 已知等差数列 {an}, 取出数列中的所有 奇数项 ,组成一个新的数列 ,这个数列是 等差数列吗 ?如果是 , 它的首项与公差 各是多少 ?

家庭作业：第 118 页习题 3.2 第 1、 2、 4、 5题

思考题 :(1) 若在 a,b 中插入一个数 A, 使得 a,A,b 成 等差 ,则 A等于多少 ?(2) 已知等差数列 {an}, 取出数列中的所有 奇数项 ,组成一个新的数列 ,这个数列是 等差数列吗 ?如果是 , 它的首项与公差 各是多少 ?