晶格振动对晶体的许多性质有影响，例如，固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格的振动有关。

设：原胞中只含有一个原子， 整个原子平面作同位相运动。

可以有三种振动波，一个纵向振动波，两个横向振动波 .

1.3 晶格振动1.3.1 一维原子链的的振动

1.3.2 晶体振动的量子化

1.3.3 确定晶格振动谱的实验

s-1 s s+1 s+2 s+3 s+4

a

K 或 q

K 或 q

一、一维单原子晶格的线性振动 1.3.1 一维原子链的振动

条件：

每个原子都具有相同的质量 m ；

晶格常数（平衡时原子间距）为 a ；

热运动使原子离开平衡位置 x 。 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3

xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3

设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反的弹性力；

两个最近邻原子间才有作用力 ------ 短程弹性力。

xn 表示第 n 个原子离开平衡位置的位移，第 n 个原子相对第 n+1 个原子间的位移是：

a+ xn– xn+1- a= xn – xn+1

同理：第 n 个原子相对第 n-1 个原子间的位移是：

xn – xn-1

第 n 个原子受第 n+1 个原子的作用力 ：

Fn ， n+1= -ks(xn- xn+1)

第 n 个原子受第 n-1 个原子的作用力：

Fn ， ,n-1= -ks(xn- xn-1)

则第 n 个原子所受原子的总力为：

F= Fn ， n+1 +Fn ， ,n-1

得： F=ks(xn+1+xn-1-2xn)

1. 原子间的作用力服从虎克定律

第 n 个原子运动方程：

md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)

2. 原子间的作用力服从牛顿定律

晶格中所有原子作简谐振动（或具有前进波的形式）：

xn=Aexpi(t-naq) 、 xn=Ae i(t-naq) 、 xn=Acos(t-naq)

A ：振幅；

：角频率；

n ： 1 ， 2 ， 3 ， 4……N ；

aq ：相邻原子的位相差；

naq ：第 n 个原子振动的位相差。此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。

0 1 2 3 4

3. 原子振动方程

如果第 n 个和 n 第个原子的位相之差：

(qna-qna)=2s(s 整数 ) ，即 qn-qn=2s/a 时，原子因振动而产生的位移相等，因此晶格中各个原子间的振动相互间存在着固定的位相关系 。

结果：在晶格中存在着角频率为的平面波 ------ 格波。

格波

格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的形式在晶体中传播形成的波。

格波的特点： 晶格中原子的振动；

相邻原子间存在固定的位相。

n

n+2

n-1

n+1

n-2

°

°

°°

°°

°°

°°

°

°

° °°

2/q=

4. 色散关系（晶格的振动谱）

色散关系：频率和波矢的关系。

（ 1 ）色散关系的数学表达式

将间谐振动方程： xn=Ae i(t-naq) 代入

牛顿方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)

得 ： 2={1-cos(qa)}2ks/m

或 =2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|

上式为一维简单晶格中格波的色散关系（ ---q的关系 ) ，也为频谱关系。

---q 的关系为周期函数。

根据函数的周期性， |qa/2|/2

即 |q| /a

在此范围以外的一切 q 值，只是重复此范围的 q值所得频率。该范围的长度正好是倒格矢的长度(|-/a |+|/a|= 2/a) 。

q 的正负号说明：

正的 q 对应在某方向前进的波，负的 q 对应于相反方向进行的波。

色散关系为周期函数；

当 q=0 时， =0

当 sin(qa/2)=1 时，有最大值， 且 max=2(ks/m)1/2

-2/a -/a 0 /a 2/a

max max

一维不喇菲格子振动的频谱

（ 2 ）频谱图

有： (q)= (q+2 /a)

说明波矢空间具有平移对称性 , 其周期为第一布里渊区边长 .

由布里渊区边界 q= /a=2 /

得： / 2 = a 满足形成驻波的条件

q= ±/a 正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条件，反射波与入射波叠加形成驻波。入射波

反射波

一维单原子简谐振动的波函数： xn=Aei{t-qna}

将波矢 ： q=2s/a+q´ （为任意整数）代入

得 xn=Aei{t- (2s/a+q´ )na} = Aei 2sn ei(t- q´ na)

ei 2sn=1

xn=Aei{t-q´na}= xn´

(3) 分析讨论

结论 如果 q -q´ =2s/a （为任意整数）这两种波矢对同一种原子所引起的振动完全相同。 对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢 q ，它们之间都相差 2/a 的整数倍。 为了保证 xn 的单值性，把 q 值限制在 (-/a, /a), 其中 a 是该格子的晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区。

例如：波矢 q´ =/2a 原子的振动同样可以当作波矢 q =5/2a 的原子的振动（ q -q´ =2/a ）。

红线： q =5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相差是 2+ /2 。

••

••

•

绿线： q´ =/2a ， =4a 两相邻原子振动的位相差是 /2 。

格波与一般连续介质波的比较

相同： 振动方程形式类似

区别：

[1] 连续介质波中 x 表示空间任意一点，而格波只取呈周期性排列的格点的位置；

[2] 一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为 aq.

[3] 二者的重要区别在于波矢的涵义（ 原子以 q 与 q´ 振动一样 ，同一振动状态对应多个波矢，或多个波矢为同一振动状态） 。

a

2a

2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2

° °° • • •m M

运动方程： md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n)

Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2)

1. 色散关系（晶格振动谱）

双原子（ Mm ）一维晶格

贰 、一维双原子晶格的线性振动

方程的解是以角频率为的简谐振动：

x2n+1=Aei{t-q(2n+1)a} x2n=Bei{t-q2na}

x2n+2=Bei{t-q(2n+2)a} x2n+3=Aei{t-q(2n+2)a}

由牛顿方程与简谐振动方程得：

-m2A=ks(e iqa+e -iqa)B-2ksA

-M2B=ks(e iqa+e -iqa)A-2ksA

上式可改写为： (2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0

-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0

若 A 、 B 有异于零的解，则其行列式必须等于零，

2ks-m2 -2kscosqa

-2kscosqa 2ks-M2

即

得： 2={(m+M)[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于一维简单晶格，只能存在一种 格波）。两种不同的格波各有自己的色散关系：

12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

由于 q 值限制在 (-/2a, /2a) ， 2qa 介于 (-, )

当 2qa= ( 或 -) 时

由 12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

得 (1 ) 最大 =(2ks/M)1/2

由 22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

得 (2) 最小 =(2ks/m)1/2

因为 Mm ，

有 (2) 最小 (1 ) 最大 。

（ 2 ）频率的取值

当 2qa=0 时

由 12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

得 (1 ) 最小 =0

由 22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

得 (2) 最大 = [2ks(m+m)/mM ]1/2

设 =mM/(m+M) （两种原子的折合质量）

则 (2) 最大 =(2ks/ )1/2

-/2a, 0 /2a q

(2ks/M)1/2

(2ks/m)1/2

(2ks/ )1/2

光频支 2

声频支 1

一维双原子复式格子的振动频谱

复式格子两种格波的振动频率， 1—支格波的频率总比 2—支的低。

2支格波：光学支格波（光学波）可以用红外光光来激发；

1支格波：声频支格波（声学波），可以用超声波来激发。

结 论

由 (2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0

得 ( A/B)1=(2kscosqa)/ (2ks-m12)

因为 12 2ks/ M, cos(qa)0

得 ( A/B)1 0

三、 声学波和光学波

1. 声学波

说明： 相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。

声学波示意图

由 -(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0

得 ( A/B)2= (2ks-M2)/ 2kscos(qa)

因 22 2ks/ m, cos(qa)0

得 ( A/B)2 0

2. 光学波

说明：对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的。

当 q很小时，即波长很长的光学波（长光学波）， cos(qa)1 ，

又 22=2ks/ ，

由 -(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0

得 ( A/B)2 =-M/m

mA+MB=0

说明：原胞的质心保持不动，由此也可以定性的看出，光学波代表原胞中两个原子的相对振动。

相邻原子的振动方向

振动的频率

长 波振动质点

振动质点的质量

同号双原子

异号双原子

声 学 波

相同 慢 原胞 重 连续介质的弹性波

光 学 波

相反 快 异号原子相对振动

轻产生电偶极矩，发射电磁波

声学波与光学波的比较

说明：带异性电荷的离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，可以和电磁波相互作用。且只和波矢相同的格波相互作用，如果有与格波相同频率的电磁波作用，发生共振。

-/2a 0 /2a q

光波 =coq

共振点

四、 周期性边界条件（波恩—卡门边界条件）

由振动 波函数单值的要求，对波矢的取值范围进行了限定 : 一维不喇菲格子， q 介于 (-/a, /a) 之间 ; 一维双原子的复式格子， q 介于 (-/2a, /2a) 之间 .

波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成如下面所述的周期性边界条件模型（包含 N 个原胞的环状链作为有限链的模型）：

包含有限数目的原子，保持所有原胞完全等价。

如果原胞数 N很大使环半径很大，沿环的运动仍可以看作是直线的运动。

和以前的区别：需考虑链的循环性。即原胞的标数增加 N ，振动情况必须复原。

一维链的波恩—卡曼边界条件

xn=Aei{t-qna}

xn+N= Aei{t-q(n+N)a}= Aei{t-qna} ei{-qNa}

由于 xn= xn+N

有 ei{-qNa}=1

即 Nqa=2h, （ h 为整数），或 q= 2h/Na

q 介于 (-/a, /a) 之间，或 -/a q /a

得 - N/2 h N/2说明 : h 只能取由 -N/2到 N/2 ，一共有 N 个不同的数值。 -N/2 h N/2 ,q 是均匀取值。

由 N 个原胞组成的链， q 可以取 N 个不同的值，每个 q 对应着一个格波，共有 N 个不同的格波， N 是一维单原子链的自由度数，即得到链的全部振动模（或振动状态数）。

同理：可得两种复式格子的 q 取值个数为 N.

结论

原胞内含

原子 数

原胞数

自由度数

q

数

格波数 [ 晶体振动模或 (,q) 数 ]

声学波数 (支 )

光学波数

（支）

单原子链

1 N N N N 1

双原子链

2 N 2N N 2N 1 1

三维结构

n N 3nN N 3nN 3 3(n-1)

晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动，其结果表现为晶格中的格波。

一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简谐平面波的线性叠加。

一、声子概念的由来

1.3.2 晶格振动的量子化 ---声子

当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认为它们的存在是相互独立振动的模式。

每一独立模式对应一个振动态 (q) 。

晶格的周期性给予格波以一定的边界条件，使独立的模式也即独立的振动态是分立的。

可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式。

声子 ---- 晶格振动中的独立简谐振子的能量量子。

二 、格波能量量子化

1. 三维晶格振动能量

原胞（ N 个）内含 1 个原子系统的三维晶格振动具有 3N 个独立谐振子 ；

晶体中的格波是所有原子都参与的振动，含 N 个原胞的晶体振动能量为 3N 个格波能量之和；

在简谐近似下，每个格波是一个简谐振动，晶体总振动能量等于 3N 个简谐振子的能量之和。

谐振子的能量用量子力学处理时，每一个谐振子的能量 l 为 ：

l =(n1+1/2)ħI, nl=0,1,2,……

则晶格总能量 E 为：

E= (n1+1/2)ħI

2. 格波能量量子化

说明：晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能量量子 ħI 称为声子。

叁 、声子的性质

1. 声子的粒子性

光子 ------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量。

声子 ------声子携带声波的能量和动量。若格波频率为，波矢 q 为，则声子的能量为 ħ ，动量为ħq 。

声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量 ħ 和动量 ħ q 的粒子一样。

可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论也正确。如，电子、光子、声子等。

准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振动状态，所以不是真正的动量；

系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具有能量为 Ei 的状态用出现的几率来表示。

2. 声子的准粒子性

3. 声子概念的意义

1.3.3 确定晶格振动谱 (q) 的实验方法

晶格的振动谱 ------ 格波的色散关系。

确定晶格振动谱的意义 ------ 晶体的许多性质和函数(q) 有关。

测定的依据 ------利用波和格波的相互作用。

最重要的实验方法 ------ 中子的非弹性散射，即利用中子的德布洛依波与格波的相互作用。

其他实验方法 ------X 射线衍射、光的散射等。

本节介绍 ------ 中子的非弹性散射（中子与原子核的作用）

一束 中子流：动量 p 、能量 E=p2/2Mn 。

样品（与原子核之间有较强的相互作用，容易

穿过晶体）

一束 中子流：动量 p´ 、能量 E´=p´2/2Mn 。

入射

射出

格波振动因起中子的非弹性散射（吸收或发射声子的过程），该过程满足能量守恒和动量守恒。

一、实验原理

p´2/2Mn － p2/2Mn=±ħ(q)

p´ － p=±ħq+ħKn

多出 ħKn项的说明：动量平移倒格子矢量，格波的运动状态不变。

－ 发射声子的过程 ＋ 吸收声子的过程

固定入射中子流的动量和能量，测量不同散射中子流的动量和能量。

二、实验过程

2dh1h2h3sin =n

中子流单色器

准直器

样品

准直器

探测器

分析器

´

三轴中子谱仪结构

p´

p

p´

p

中子源：反应堆中产生出来的慢中子流。

单色器：利用单晶的布拉格反射产生单色（的确定）的中子流。

准直器：选择入射、散射中子流的方向 , 确定、 。

分析器：利用单晶的布拉格反射来决定散射中子流的动量。

(1,0,0)

60 50 40 30 20 10

声子的能量(m

ev)

LOTO

LA

TA

(1,1,0) (1/2,1/2,1/2)T ：横； O ：光学波；

L ：纵； A ：声学波。

硅的格波谱

晶体中的原子在平衡位置附近的微振动具有波的形式（称为格波）。

由于原子间的相互作用力，在晶体中产生格波，原子间的作用力符合虎克定律时，格波为简谐波。格波间不发生相互作用，独立存在。

晶体中所有格波都可用倒格子空间中的第一布里渊区内的波矢来描述。

声学波与光学波的区别。前者是相邻原子的振动方向相同，波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质的弹性波；后者是相邻原子的振动方向相反，波长很长时，晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。

由于边界条件，使格波发生分立，若晶体中含有个 N 原胞，每个原胞含有 n 个原子，则共有 3nN 个格波，其中 3支是声学波， 3(n-1)支是光学波，每支包含 N 个格波。

小 结

晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的量子单元称作声子，声子具有能量 ħ ，与光子的区别是不具有真正的动量，这是由格波的特性决定的。

晶格振动的色散关系可以进行测定。