计算方法

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Taishan University

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第 1 章求解线性代数方程组的直接法求解线性代数方程组的方法有很多，一般可分为两类：

直接法和迭代法。直接法：指的是如果所有计算都是精确进行的，那么经

过有限步算术运算就可以求出方程组准确解的方法；迭代法：是用某种无限迭代过程去逐步逼近方程组的准

确解。


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现考虑一般 n 元线性代数方程组

其矩阵形式为：

这里是 n 阶系数矩阵，是解向量，是右端向量。今后总假设 A 是实矩阵，b 是实向量。

1

, 1, *n

ij j ij

a x b i n

,Ax b ijA a 1,

T

nx x x

1,T

nb b b


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ramer

, 1,

deti i

i

C A

x D D i n

D A A D D i

b

根据克拉默法则,只要方程组 * 的系数矩阵

非奇异，它的解便唯一存在，且可表示为

其中，为的行列式，而表示将的第列换为右端

向量后的行列式。


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克拉默（ Cramer ）法则是一种不实用的直接法。在本章中，我们研究一些有效地求解方程组（ * ）的直接法。这里，所谓“有效”，主要指算法的运算次数少，所用机器内存单元少，并且，近似解精确程度高。


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§1 高斯（ Gauss ）顺序消去法§2 矩阵分解法§3 两类特殊矩阵的矩阵分解法§4 主元消去法§5 行列式与逆矩阵的计算§6 向量范数与矩阵范数§7 基本误差估计


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§1 高斯（ Gauss ）顺序消去法

1.1 方法的原理为了清楚起见 , 先看一个简单的例子。例 1.1 用高斯消去法求解三元线性代数方程组

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 2 2

3 3 1

4 2 2 3

x x x

x x x

x x x

（1. 1）


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首先，消去后两个方程中的 x1 得1 2 3

2 3

2 3

2 4 2 2

5 2 2

6 6 1

x x x

x x

x x

（1. 2）

再消去最后一个方程的 x2 得

2

1,3

1,6

1123 xxx消元结束 , 经过回代得解 :

1 2 3

2 3

3

2 4 2 2

5 2 2

42 7

5 5

x x x

x x

x

（1. 3）


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现在来讨论用高斯顺序消去法求解一般 n 元方程组（ * ）的情形。

顺序向前消元约化与回代过程

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

(1) (1)

1 1 11 2

1 1 1 11 2

1 1 1 11 2

,1 , ,

...

...1.4

................................................

...

n

n

n n nn n

ij ij i i

n

n

n

a a b b i j n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

1

为叙述方便，记与于是

方程组 * 可以写为：


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11 12 1 1

22 2 2

1 111

1 1 111 1 1 11

1

1

1 1 11 2

2 2 22

0 ,

1.4 2, .

1.4

...

...

...............

n

n

i i

i

n

n

A x b a

a l a a

l i i n

x

a x a x a x b

a x a x b

1

1

其相应的矩阵形式记为。元素称为

。如果，令

用- 乘以中第一个方程加到第个方程上去，这里

消去（第2至第n个方程中）后方

第一步

程组约化为等价的方程

（顺序消元过程的

组：

）约化主元

2

2 2 22

2

2 1 1 2 1 11 1 1 1

1.5.................................

...

, , , 2, ,

n nn nn

ij ij i j i i i

a x a x b

A x b

a a l a b b l b i j n

2其相应的矩阵形式，其中

至此，完成消元过程的第一步。


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11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3

2 2 222 2 2 22 2

2

1 1 1 11 2 3

2 2 2 22 3

3 3 33 3

0, , 1.5

n.

, 1.5

...

...

...

.................

n

n

n

i i i

n

n

n

a l a a l

x

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

1

接着设第二步约化主元令以乘（）

的第二个方程并加到其中的第i个方程上去，这里i =3，，这样便消去方程组（）约化成等价的方程组：

3 3 33 3

3

3 2 2 3 2 22 2 2 2

1.6

...............................

...

, , , 3, ,

nn nn n

ij ij i j i i i

a x a x b

A x b

a a l a b b l b i j n

3相应的矩阵形式记为，其中

至此，完成消元过程的第二步。


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11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3

1 1 1 11 2 3

2 2 2 22 3

3 3 33 3

,

n-1,

...

...

...

................................................

n

n

n

nn

kkk

n

n

n

n

a k

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

a x

1

照此进行下去，如果前n-1步的约化主元 =1，，

均不为零，则经过n-1步之后，得到具有上三角形系数矩阵的方程组:

1.7

.

n

nn

n

b

A x b

n相应的矩阵形式记为


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1

1

1 1

, , 1, ,

, 1, ,

, 1, , 1.8

, , , 1, ,

1, 1

1.7 .

k k kij ij ik kj

k k ki i ik k

k kik ik kk

ij ij i i

a a l a i j k n

b b l b i k n

l a a i k n

a a b a i j n

k n

一般的，我们有

上式中。至此，完成了方法的

。显然方程组与原方程组

向前消元

1.

约化

段 4 等价阶


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为了最后得到解，我们执行向后回代。假如最后一个约化主元，从方程组（ 1.7 ）的最后一个方程开始，逐步回代便可以求出原方程得解：

0nnna

1 1 11 1 1, 1, 1

1 1 1 1 11 1 1 1, 1 1 12 2 11

,

,

.

n nn n nn

n n nn n n n n n n

n n n n

x b a

x b a x a

x b a x a x a x a


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1

1

, , ,1 1.9

0.

ni i i

i i ij j iij i

nnnj j

j n

x b a x a i n

a x

上式也可以简单记为：

约定

从前面讨论看出，高斯消去法包含两个过程：向前消元约化和向后回代。并且，当且仅当顺序的约化主元均不为零时，才可以用这个方法求解方程组（ 1.4 ）。

1, ,iiia i n


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舒尔（ Schur ）补

11 12

21 22

11 22

111 22 21 11 12

11

11

11

1 22 21 11 12

1.10

1.11

m s B

B BB

B B

B B B p m p s p

B m p s p B B B B

B B

B

B

B B B B

B Schu

B

r

设实矩阵有分块形式

，

式中，与分别是的阶

定义1.

与子阵.

当非奇异时，矩阵叫做

，

2

在中补记的为，即


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计算中间结果的存贮在以上消去法计算过程中，要多次应用乘数 lik (i>k) , 因

而在计算机解题时有必要将中间结果存贮起来以备调用。应该怎样合理安排存贮单元以便节省机器内存呢？我们来分析一下消元约化过程中各种数量出现的先后次序以及对以后计算的影响。


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1 11 1

2 1 11 1

21

1, ,

2, , 2, ,

2, ,

j

i i i i

i i

a j n b

l b i n a b i n

l b i n

在消元过程的第一步，与始终不变，

且在计算出与之后，与

已不再有用，因此，它们所占用的单元可以分别用来存放

与。

2 22 2

3 2 22 2

2

3

2, ,

3, , 3, ,

3, ,

j

i i i i

i

i

a j n b

l b i n a b i n

l

b i n

同理，在第二步中，与始终不变，

且在计算出与之后，与

也不再有用，其所占用的单元可以分别用来存放与

，其余类推。

1 11, 1

1 1, 1 , 1

, 1

1, ,n nn j n

n n nn n n n n n

nn n n

a j n n b

l b a b

l b

最后，在第n-1步中，与不变，

且在计算出与后，与无用，它们所占用的

单元可以分别用来存放与。


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高斯顺序消去法实现的条件

定理 1.3 可以用高斯顺序消去法求解方程组（ 1.4 ）的充分必要条件是它的系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。

23.1,,1,det

1

22.1,,1,

3.1

0

1

nkaB

nka

knkkk

k

kkkkk

，并且约定

条件成立时，这里指出，当定理


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1.1 1.1

1.3

A回顾例，容易算出方程组的系数矩阵的

顺序主子式均不等于零，因而定理保证可以用顺序消去法求出解。


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1.2 高斯顺序消去法的算法

所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序进行的运算（包括算数运算，输入，输出等）的一个序列。

本书中，我们用接近于现代高级算法语言的一种非正式语言 INFL 来描述算法。现以高斯顺序消去法的 INFL 描述为例说明一下有关规则。


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顺序消去法的算法

11

11

1111

3.1

1.2.1

,22.1

1.1

,3,21

4.1

babb

aaaa

nj

aaa

ni

iii

jiijij

ii

对

对顺序消元过程第一步算法


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22

22

2222,

3.1

1.2.1

,32.1

1.1

4,31

5.1

babb

aaaa

nj

aaa

ni

iii

jiijij

ii

对

，对顺序消元过程第二步算法


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},{n,3

3.1.2

1.2.1.2

,2,12.1.2

1.1.2

,,2,11.2

1,2,12

},{n,1

6.1

iij

kikii

kjikijij

kkikik

iij

ba

babb

aaaa

nkkj

aaa

nkki

nk

ba

输出

对

对对

输入程高斯顺序消去法消元过算法


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},,{4

3.3

1.2.3

,,12.3

1.3

1,,2,13

2

},{n,1

7.1

21 n

kkkk

ikikk

kk

nnnn

iij

xxx

axx

xaxx

nki

bx

nnk

abx

ba

输出

对

对

输入程高斯顺序消去法回代过算法


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顺序消去算法的计算量通常把一个算法中四则运算的次数作为度量该算法的计

算量大小的标准。下面考虑求解 (1.4) 的高斯消元法的计算量。消元过程需要除法次数：

12

11221 nn...nn


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需要的乘法和加减法的次数都是

加上回代过程的运算次数，共需乘、除法的次数为

共需加、减法的次数为

13

112211 2 nn...nnnn

133

11

2

11

3

11

2

1 22 nnnnnnnnn

5326

11

2

11

3

1 22 nnnnnnn


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当 n较大时 , , 消元过程的运算量远大于回代过程，从而，高斯消元法中乘除法的次数与加减法的次数近似为 .

nn 23

n33

1

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