Pouak 55

64

Pravilo trojnoLjubica Bai1, Vojislav urakovi2

1. UvodPravilo trojno je metoda gospodarskog rauna koja ima veliku primjenu u trgo-

vini i ekonomiji. Ve u 7. razredu osnovne kole uenici se prvi put susreu s ovom metodom, u sklopu nastavne cjeline Proporcionalnost i obrnuta proporcionalnost. Tada im je ponajvei problem odrediti jesu li veliine proporcionalne ili obrnuto pro-porcionalne, to je ujedno izazov i za uitelje matematike pri obradi ovih nastavnih sadraja. Izazov je vei ako uzmemo u obzir da elimo konceptualno uenikovo zna-nje, a ne proceduralno. Proceduralno znanje je sposobnost slijeenja niza sekven-cijalnih koraka u rjeavanju matematikog zadatka. Praksa je pokazala da uenici proceduru zapamte nakon to su rijeili dovoljan broj zadataka, ali pritom uope ne znaju zato to rade upravo na takav nain.

Zato se odreeni zadatak radi upravo na takav nain? Moe li se zadatak rijeiti na neki drugi nain? Koja je metoda pri rjeavanju tog zadatka efikasnija? Niz je to pitanja koja vode k stvaranju konceptualnog znanja kod uenika. Poticati logiko mi-ljenje i zakljuivanje, prikazivati matematike sadraje na razliite naine doprinijet e formiranju konceptualnog znanja.

U nastavku elimo ukazati kako je radi brzine i rutine, a s druge strane razumi-jevanja matematikih koncepta, potrebno uspostaviti svojevrsnu ravnoteu izmeu proceduralnog i konceptualnog miljenja.

Stoga se pitamo treba li rijeiti zadatak primjenom pravila trojnog ili koeficijenta proporcionalnosti? Moda metoda pravila trojnog ima zorniji i jasniji pristup, dok raunanje koeficijenta proporcionalnosti tjera na razmiljanje to on zapravo pred-stavlja. Kod pravila trojnog uenici rjeavaju proporciju, dok uz pomo koeficijenta proporcionalnosti dvaput rjeavaju linearnu jednadbu s jednom nepoznanicom.

Zamjerka na pravilo trojno je pristup koji naglaava slijeenje niza sekvenci-jalnih koraka koji vode k rjeenju zadatka. Imajte na umu kako izbor metode nee zaobii pitanje jesu li dane veliine proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Treba istaknuti i prednost sloenog pravila trojnog koje nudi krai i jednostavniji nain rjeavanja zadataka.

1Ljubica Bai, O Nikole Andria, Vukovar, ljubica.bacic@skole.hr2Vojislav urakovi, O Negoslavci, Negoslavci, vojislav.djurackovic@gmail.com

Poucak 55.indd 64 21.10.2013. 14:44:34

65

2. jednostavno pravilo trojnoPravilo trojno je jednostavno ako veliina x zavisi samo od jedne jedine druge

veliine. Pri tome veliine mogu biti proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Za proporcionalne veliine vrijedi: Koliko se puta povea (smanji) jedna veliina, toliko se puta povea (smanji) druga veliina. Npr. visina bora proporcionalna je duljini sjene, proteklo vrijeme proporcionalno je prijeenoj udaljenosti uz uvjet da se brzina ne mijenja... Pritom strelice postavljamo u istom smjeru.

Za obrnuto proporcionalne veliine vrijedi: Koliko se puta povea (smanji) jedna veliina, toliko se puta smanji (povea) druga veliina. Npr. broj radnika obrnuto je proporcionalan vremenu kopanja kanala, prosjena brzina obrnuto je proporcionalna proteklom vremenu... U tom sluaju strelice postavljamo u suprotnom smjeru. Ana-lizirajmo na sljedeim primjerima prednosti i nedostatke primjene pravila trojnog.

Primjer 1. Bor visok 12 m baca sjenu duljine 16 m. Koliko je visok bor koji baca sjenu duljine 24 m?

Rjeenje: Nepoznatu visinu bora oznaimo s x. Koliko je puta bor vii, toliko je puta dulja njegova sjena. Duljina sjene proporcionalna je visini bora koji baca tu sjenu.

12 24 16x : :=16 12 24x =

12 2416

x =

18x =

Bor koji baca sjenu duljine 24 m ima visinu 18 m.

Drugi pristup rjeavanju ovog zadatka bio bi primjenom koeficijenta proporci-onalnosti koji odgovara koliniku proporcionalnih veliina. Uz oznake y za visinu bora i x za duljinu sjene, koeficijent proporcionalnosti k = y : x lako moemo izrau-nati iz poetnih uvjeta.

y k x= ykx

=

12 3 0 7516 4

k .= = =

ovato tondo

Poucak 55.indd 65 21.10.2013. 14:44:34

Pouak 55

66

Koeficijent proporcionalnosti govori nam kolika duljina sjene odgovara boru vi-sine 1 m. Uenici trebaju usvojiti da je koeficijent proporcionalnosti konstantni omjer, te da se uvrtavanjem poznatih veliina u dani omjer lako izrauna nepoznata veliina.

y k x= 0 75 24y .=

18y =

Grafiki prikaz ovih proporcionalnih veliina proiruje logiko i matematiko miljenje o odnosima danih veliina te pridonosi konceptualnom promiljanju. Na osi x biljeit emo duljinu sjene, a na osi y visinu bora. Crtajui odgovarajue paralele s osi x i osi y oitavamo traene vrijednosti. Uenicima bi trebalo naglasiti kako pra-vac koji odgovara grafikom prikazu proporcionalnosti y = k x, k > 0, u koordinat-nom sustavu u ravnini sadri ishodite. Grafiki prikaz proporcionalnosti bi po strani trebao ostaviti proceduralno rjeavanje zadatka. Naime, pravac je odreen dvjema tokama, ishoditem i tokom iz uvjeta zadatka (vidi Sliku 1).

Slika 1. Grafiki prikaz proporcionalnosti.

Problemi koje je poeljno predvidjeti kriju se ve u sluaju kada su veliine obr-nuto proporcionalne. Pravilom trojnim rutinski pristupamo problemu. Ako pak za-datak pokuamo rijeiti koeficijentom obrnute proporcionalnosti, moramo imati na umu da on odgovara umnoku zadanih veliina. Zbog sloenosti se grafiki prikaz obrnute proporcionalnosti ne obrauje u osnovnoj koli.

Neto kasnije, takoer u osnovnoj koli, i to u sklopu nastavne cjeline Krunica i krug, ui se, izmeu ostalog, o duljini krunice i krunog luka. Uenici najprije usvoje formulu prema kojoj se rauna duljina krunice, tj. opseg kruga, a zatim pri-mjenom proporcionalnosti izvode formulu za duljinu krunog luka. Naime, duljina krunog luka i veliina njemu pridruenog sredinjeg kuta proporcionalne su veli-ine (vidi Sliku 2). Kako formulu elimo zapisati u generaliziranom obliku, pravilo trojno je obeavajui pristup. Niti pristup izvoenju formule primjenom koeficijenta

Poucak 55.indd 66 21.10.2013. 14:44:35

67

proporcionalnosti, niti grafiki prikaz proporcionalnosti nee uiniti izvod lakim, ak naprotiv.

Slika 2. Duljina krunog luka i veliina njemu pridruenog sredinjeg kuta proporcionalne su veliine

Krunom luku duljine l pridruen je sredinji kut a, a cijeloj krunici duljine 2r sredinji kut od 360 pa vrijedi proporcionalnost:

l a2rp 360

2 360l : r := p a360 2l r = p a

2360

l r=

ap

180l r=

ap

Analogno ovome izvodi se i formula za povrinu krunog isjeka.

Miljenja smo kako je pravilo trojno jo vie dolo do izraaja primjenom u za-dacima okarakteriziranim sa sloenim pravilom trojnim. Prije nego li prijeemo na sloeno pravilo trojno, dotaknimo se i fenomena poznatog pod nazivom iluzija li-nearnosti ili zamka linearnosti. Iluzija linearnosti predstavlja sklonost miljenju kako su odreene veliine linearno ili proporcionalno povezane ak i u situacijama u kojima to nije opravdano (za vie informacija o ovom problemu pogledaj [6]). Pogle-dajmo konkretno na jednom primjeru o emu se zapravo radi.

Primjer 2. Velika pizza promjera 30 cm stoji 32 kn. Koliko bi trebala stajati mala pizza iste debljine, ali promjera 15 cm?

Veini se srednjokolaca odgovor (16 kn) temelji na zakljuku: ako je promjer dvostruko manji, i cijena treba biti dvostruko manja, ne uzimajui u obzir povrinu.

ovato tondo

Poucak 55.indd 67 21.10.2013. 14:44:35

Pouak 55

68

Uzimajui u obzir navedeno, dalo bi se zakljuiti kako je proceduralno znanje dovelo do ove pogreke. Ipak, mislimo kako ista pogreka nije posljedica primjene pravila trojnog ve sveprisutnih linearnih odnosa. U kolskom procesu trebalo bi malo vie naglasak staviti i na odnose koji su nelinearni.

3. Sloeno pravilo trojnoSloeno pravilo trojno obrauje se u 3. razredu srednje kole, kao i na pojedinim

fakultetima u sklopu kolegija Gospodarska matematika. Njime se nepoznata veli-ina rauna iz 5, 7, 9 ili vie poznatih veliina koje su joj proporcionalne ili obrnuto proporcionalne.

Primjer 3. Kanal dug 100 m, dubok 1 m i irok 120 m iskopalo je 50 radnika u 15 dana, radei 8 h na dan. Koliko bi radnika trebalo zaposliti kako bi se iskopao kanal dug 150 m, dubok 2 m i irok 180 m u 20 dana, ako se dnevno radi po 9 h?

Rjeenje: Oznaimo s x nepoznat broj radnika. Zapiimo odgovarajue podatke iz zadatka u stupce:

50 150 100x : := 2 1:=

180 120:= 15 20:=

8 9:=50 150 2 180 15 8

100 1 120 20 9x =

150x =

Drugi nain rjeavanja ovog zadatka je uoavanjem proporcionalnosti. Trebamo biti paljivi kako ne bismo upali u ve spomenutu zamku linearnosti. Zanimljivo je pogledati kako se veliine odnose meusobno. Naime, broj radnika proporciona-lan je duini kanala. To zapravo znai da bi se broj radnika poveao za neki faktor

1150 1 5100

k .= = te bi iznosio x = 50 1.5 = 75. No, pitanje je moemo li tako zakljui-

vati jer kanal ima oblik kvadra, a volumen kvadra jednak je umnoku duine, irine i visine kvadra. Dakle, ne smijemo zanemariti ostale zadane veliine. Takoer, broj radnika proporcionalan je dubini i irini kanala pa su pripadni faktori 2

2 21

k = = i

3180 1 5120

k .= = . Stoga se broj radnika povea 1 2 3k k k puta, odnosno

1 2 350 50 4 5 225x k k k .= = =

Poucak 55.indd 68 21.10.2013. 14:44:35

69

Broj radnika obrnuto je proporcionalan vremenu u danima i satima. Stoga se broj radnika x1 smanji 4 5k k puta, pri emu je 4

20 415 3

k = = i 598

k = . Onda imamo

14 5

1 2225 1503

x xk k

= = =

Isti problem moe se rijeiti i na sljedei nain. Naime, razmatrat emo koliko vremena treba da bi jedan radnik obavio cjelokupan posao.

1. 50 radnika radi 15 dana po 8 sati dnevno, tj. 50 radnika obavi posao za 15 8 = 120 sati. 1 radnik isti posao obavi za 50 120 = 6000 sati.

Istaknimo kako se posao sastoji u iskopu kanala dimenzija

100 m 1 m 120 m, tj. iskopu kvadra volumena 12 000 m3 zemlje.

2. Drugi kanal ima dimenzije 150 m 2 m 180 m, odnosno potrebno je iskopati kanal takoer u obliku kvadra, ali volumena 54 000 m3.

x radnika radi 20 dana po 9 sati dnevno, x radnika obavi posao za 20 9 = 180 sati. 1 radnik taj posao obavi za 180 x sati.

Oznaimo sa x1 i x2 vremena trajanja rada, a sa y1 i y2 koliine iskopane zemlje. Te su veliine proporcionalne, tj. 1 1y k x= i 2 2y k x= .

1 6000x = h

1 12000y = m3

1

1

12000 26000

ykx

= = =

Koeficijent proporcionalnosti govori nam kako se u jednom satu iskopa 2 m3 zemlje. Koliko je onda radnika radilo kako bi iskopali 54 000 m3 zemlje?

2 180x x=

2 54000y = m3

2k =

22

54000 270002

yxk

= = =

180 27000x =27000 180x :=

150x =

ovato tondo

Poucak 55.indd 69 21.10.2013. 14:44:35

Pouak 55

70

Kao to moete primijetiti, opet smo doli do tonog rjeenja. Odabir metode stvar je vlastitog izbora. Primjenom sloenog pravila trojnog doli smo do istog re-zultata kao i uoavanjem linearnosti medu veliinama, samo na krai i zorniji nain.

4. zakljuakNa kraju istaknimo kako je matematika kompetencija jedna od kljunih kom-

petencija za cjeloivotno uenje. S ciljem da obuhvati i ujedini temeljna znanja, vje-tine i sposobnosti te vrijednosti i stavove, matematika mora ponuditi i proceduru i matematiki nain miljenja. Konkretno u naem sluaju, izbor metode pri rjeava-nju ranije spomenutih zadataka samo je jedan od naina kako uspostaviti korelaciju unutar matematike.

Literatura

1. Z. iki, I. Golac-Jakopovi, M. Vukovi, L. Krni, Matematika 7, udbenik i zbir-ka zadataka za sedmi razred osnovne kole, prvo polugodite, Profil, Zagreb, 2007.

2. B. Jagodi, R. Svedrec, Matematika 7, za izbornu i dodatnu nastavu, kolske novi-ne, Zagreb, 2000.

3. V. Erceg, S. Varoanec, Matematika 3, udbenik i zbirka zadataka za 3. razred ugo-stiteljsko-turistikih kola, Element, Zagreb, 2009.

4. B. Reli, Gospodarska matematika, Hrvatska zajednica raunovoa i financijskih djelatnika, Zagreb, 2002.

5. M. Rajter, Ispitivanje jaine izraenosti iluzije linearnosti kod uenika srednjih ko-la, Disertacija, Filozofski fakultet, Zagreb, 2006.

6. N. Pavlin-Bernardi, V. Vlahovi-teti, Iluzija linearnosti, Pouak, 47(2011.),12-17

7. http://oss.unist.hr/zg/rif/kolegiji/posl_mat/20091020_posmat.pdf

8. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/mnm3nastavni_sat_ma-tematike.pdf

Poucak 55.indd 70 21.10.2013. 14:44:35