a a a 21 22 2n a -...
TRANSCRIPT
1
เมทรกซและระบบสมการเชงเสน
(Matrices and System of Linear Equations)
หากเราน ากลมของจ านวน (จรงหรอเชงซอน) มาเรยงกนเปนแถว แถวละจ านวน
เทา ๆ กน เราจะเรยกกลมของจ านวนเหลานวา เมทรกซ ซงการศกษาในเรองเมทรกซนมความส าคญมากในสาขาคณตศาสตรประยกต โดยเฉพาะอยางยงในเรองการแกระบบสมการเชงเสน เราจะประยกตความรนใชในการแกปญหาระบบสมการทเกดขนในทางเศรษฐศาสตร ฟสกส วศวกรรมศาสตรและสาขาตาง ๆ ทเกยวของ
1.1 เมทรกซ
นยาม 1.1 ให m, n เปนจ านวนเตมบวก เมทรกซมต mn หมายถง กลมของจ านวนจรง (หรอจ านวนเชงซอน) ชดหนง ซงเรยงกน m แถว (row) แถวละ n หลก (column) โดยจดเรยงใหอยในเครองหมายวงเลบ [ ] หรอ ( ) ซงเครองหมายวงเลบนเขยนใหคลมจ านวนทอยขางใน และเรยกแตละจ านวนในเมทรกซวาเปนสมาชกของเมทรกซ
ให A เปนเมทรกซมต mn โดยทม aij เปนสมาชก เมอ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n แทนเมทรกซทกลาวนดวยสญลกษณดงน
mnm2m1
2n2221
1n1211
aaa
aaa
aaa
A
หรอใชสญลกษณโดยยอเปน A = [aij]mn โดยทแทนสมาชกทอยในแถว i และหลกท j ของเมทรกซ การสลบทกนของสมาชกทมคาไมเทากนในเมทรกซ จะท าใหไดเมทรกซใหมซงไมเหมอนเดม ดงนนเราจงตองใหความส าคญกบต าแหนงของสมาชกในเมทรกซ
2
เมทรกซจตรส (Square matrix) คอเมทรกซทมจ านวนแถวและจ านวนหลกเทากน นนคอ m = n และเราจะเรยกวาเมทรกซจตรสทมมต n เราเรยกสมาชก a11 , a22 , … , ann ในเมทรกซวาเปนสมาชกในแนวทแยง (Diagonal elements) เมทรกซแถว หรอเวกเตอรแถว หมายถงเมทรกซทมแถวเดยวหรอ m = 1 เมทรกซหลก หรอเวกเตอรหลก หมายถงเมทรกซทมหลกเดยวหรอ n = 1 ในเนอหากระบวนวชา 206171 น เปนขอตกลงกนวาถาเรากลาวถงสมาชกแตละคาในเมทรกซ เราจะหมายถงสมาชกนนมคาเปนจ านวนจรงเทานน หากตองการใหเปนจ านวนอน จะมการเขยนก ากบไวเพมเตม
นยาม 1.2 ให A = [aij]mn โดยท aij = 0 ทกคาของ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n
เรยก A วาเปนเมทรกซศนย (Zero matrix) และเขยนแทนดวย 0 เชน 0 =
00
00,
0 = [ 0 0 ]
นยาม 1.3 ให A = [aij]nn โดยท aij = 0 ทกคา i > j เรยก A วาเปนเมทรกซสามเหลยมบน (Upper triangular matrix)
เชน A =
000
120
741
, a21 = a31 = a32 = 0
ให B = [bij]nn ถา bij = 0 ทกคา i < j เรยก B วาเปนเมทรกซสามเหลยมลาง (Lower triangular matrix)
เชน B =
120
045
007
, b12 = b13 = b23 = 0
ให C = [cij]nn ถา C เปนทงเมทรกซสามเหลยมบนและเมทรกซสามเหลยมลาง นนคอ cij = 0 ทกคา i > j และ i < j เรยก C วาเปนเมทรกซทแยง (Diagonal matrix)
3
เชน C =
500
020
001
, c12 = c13 = c21 = c23 = c31 = c32 = 0
นยาม 1.4 ให A = [aij]nn เปนเมทรกซทแยง ถา a11 = a22 = … = ann เรยก A วาเปน เมทรกซสเกลาร (Scalar matrix)
เชน A =
4000
0400
0040
0004
, a11 = a22 = a33 = a44 = 4
ถาเมทรกซสเกลารมสมาชกในแนวทแยงทกตวเปน 1 หมดนนคอ a11 = a22 = … = ann = 1 เรยก A วาเปนเมทรกซเอกลกษณ (Identity matrix) มต n เขยนแทนดวย In
เชน I2 =
10
01, I3 =
100
010
001
นยาม 1.5 ก าหนดให A = [aij]mn และ B = [bij]mn เรยก A เทากบ B กตอเมอ aij = bij ทกคาของ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n เขยนแทนดวย A = B
ตวอยาง 1.1 ให A =
30
51และ B =
3y
5x จงหาคา x และ y ทท าให A = B
จะเหนวามตของเมทรกซ A เทากบมตของเมทรกซ B คอมมต 22 ดงนนจะไดวา A = B กตอเมอ x = –1 และ y = 0
4
นยาม 1.6 ก าหนดให A = [aij]mn และ B = [bij]mn แลวผลบวกของ A และ B เขยน
แทนดวย A + B หมายถงเมทรกซ C = [cij]mn ซง cij = aij + bij เมอ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n
ตวอยาง 1.2 ก าหนดให A =
143
02 1 และ B =
13 2
213 จงหา A
+ B
จะเหนวามตของเมทรกซ A เทากบมตของเมทรกซ B คอมมต 23
ดงนนจะได C = A + B =
211
21 2
113423
2012 31
ทฤษฎบท 1.1 (สมบตของการบวกของเมทรกซ)
ก าหนดให A = [aij]mn , B = [bij]mn และ C = [cij]mn จะไดวา (1) A + B = B + A (2) A + (B + C) = (A + B) + C (3) ม 0 ทมมตเดยวกบ A ซง A + 0 = A
(4) ส าหรบแตละเมทรกซ A = [aij]mn จะมเมทรกซ D = [dij]mn เพยงเมทรกซเดยวเทานนทท าให A + D = 0 เมอ 0 เปนเมทรกซมตเดยวกบ A และ D จะแทน D ดวย –A และเรยก –A วาเปนอนเวอรส (Inverse) ของ A ภายใตการบวก
ขอตกลง ให A = [aij]mn และ B = [bij]mn เขยนแทน A + (–B) ดวย A – B
ตวอยาง 1.3 ให A =
01
23และ B =
10
1 2
จะเหนวามตของเมทรกซ A เทากบมตของเมทรกซ B คอมมต 22
ดงนนจะได A – B =
11
11
1001
1223
)(
นยาม 1.7 ให k เปนจ านวนจรง และ A = [aij]mn
5
การคณดวยสเกลาร (Scalar multiplication) ของ A ดวย k เขยนแทนดวย kA
หมายถงเมทรกซ B = [bij]mn โดยท bij = kaij เมอ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n
ตวอยาง 1.4 ให k = 3 และ A =
0 2
11 จงหา kA
ได kA = 3
0 2
11 =
0 6
33
และถาให k = 1 และ B =
2 1 21
1 1 1 2
0 1 4 1
จะไดวา kB = ( 1)
2 1 21
1 1 1 2
0 1 4 1
=
212 1
1112
0 141
ทฤษฎบท 1.2 (สมบตการคณดวยสเกลาร)
ให c และ d เปนจ านวนจรง
1.3.1 ถา A = [aij]mn และ B = [bij]mn แลว c(A + B) = cA + cB
1.3.2 ถา A = [aij]mn แลว (c + d)A = cA + dA
1.3.3 ถา A = [aij]mn แลว c(dA) = (cd)A
หมายเหต ถา A = [aij]mn แลว A + (–1)A = 0 ดงนน –A = (–1)A
นยาม 1.8 ให A = [aij]mp และ B = [bij]pn
ผลคณของ A และ B เขยนแทนดวย AB หมายถงเมทรกซ C = [cij]mn โดยท
6
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj =
p
1kaikbkj เมอ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2,
…, n ขอสงเกต จ านวนหลกของเมทรกซ A ตองเทากบจ านวนแถวของเมทรกซ B เทานนถงจะหาผลคณของ A และ B ได
ตวอยาง 1.5 ก าหนด A =
12
01 และ B =
4 10
123 จงหา AB
จะเหนวาจ านวนหลกของเมทรกซ A เทากบจ านวนแถวของเมทรกซ B คอ 2
ดงนนจะไดวา AB =
12
01
4 10
123
=
)()()()()()(
)()()()()()(
411211220132
401110210031=
2 56
123
หมายเหต ในกรณทเมทรกซ A มต nn คณกบตวเอง เราจะใชสญลกษณตอไปน A2 หมายถง AA A3 หมายถง (AA)A หรอ A(AA) หรอ (A2)A หรอ A(A2) An หมายถง An–1A หรอ AAn–1 เมอ n เปนจ านวนเตมบวก มสมบตของผลคณของเมทรกซทแตกตางกบสมบตผลคณของจ านวนจรง ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 1.6 ก าหนดให A =
12
02 และ B =
31
41 จงหา AB และ BA
จะไดวา AB =
12
02
31
41 =
51
8 2
และ BA =
31
41
12
02 =
34
46
7
จะเหนวา AB BA
ตวอยาง 1.7 ก าหนดให A =
42
6 3 และ B =
2 1
42จงหา AB
จะไดวา AB =
2 1
42
42
6 3 =
00
00
จะเหนวา AB = 0 โดยท A 0 และ B 0
ตวอยาง 1.8 ก าหนดให A =
134
31 2
2 31
, B =
2 1 21
1 1 1 2
0 1 4 1
และ C =
0 152
1123
211 2
จะไดวา AB = AC =
50 15 3
50 15 1
1 0 33
จะเหนวา ถา AB = AC แลว B อาจไมเทากบ C
ทฤษฎบท 1.3 (สมบตของการคณของเมทรกซ)
1.2.1 ถา A = [aij]mp , B = [bij]pn และ C = [cij]nq แลว A(BC) = (AB)C
1.2.2 ถา A = [aij]mp , B = [bij]pn และ C = [cij]pn แลว A(B + C) = AB + AC
1.2.3 ถา A = [aij]mp , B = [bij]mp และ C = [cij]pn แลว (A + B)C = AC + BC
8
1.2.4 ถา A = [aij]mp , B = [bij]mp , Ip และ Im เปนเมทรกซเอกลกษณ มต p และ m ตามล าดบ แลว AIp = A และ ImB = B
จากขอ 1.2.4 ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n นนคอ A = [aij]nn แลว AIn = A = InA นยาม 1.9 ให A เปนเมทรกซจตรส จะเรยกเมทรกซ A วา เปนเมทรกซไอเดมโพเทนท (Idempotent matrix) ถา A2 = A
ตวอยาง 1.9 A =
0 0
11 และ B =
000
010
001
เปนเมทรกซไอเดมโพเทนท
เนองจาก A2 = A และ B2 = B นยาม 1.10 ให A เปนเมทรกซจตรส จะเรยกเมทรกซ A วาเปนเมทรกซนลโพเทนท (Nilpotent matrix) ถา Aq = 0 โดยท q เปนจ านวนเตมบวก และเรยก q วา ดชนของ A
ตวอยาง 1.10 เมทรกซ A =
010
001
000
เปนเมทรกซนลโพเทนททมดชนเปน 3
เนองจาก A3 =
000
000
000
นยาม 1.11 จะเรยกเมทรกซทมสมาชกเปนฟงกชนวาเมทรกซฟงกชน (Matrix function) ตวอยาง 1.11 ตวอยางของเมทรกซฟงกชน
9
A(x) =
3x33
22x2
x
ex21x
1xex
x2xe
และ B(t) =
2sin(t) 2cos(t)
cos(t)sin(t)
เราจะเรยกเมทรกซ A วาเปนเมทรกซฟงกชน x และเรยกเมทรกซ B วาเมทรกซฟงกชน t
นยาม 1.12 ก าหนดให A = [aij]mn
ทรานสโพสของ A (Transpose of A) เขยนแทนดวย At หรอ AT คอเมทรกซมต nm
โดยท At = [bij]nm โดยท bij = aji เมอ i = 1, 2, …, n และ j = 1, 2, …, m
ตวอยาง 1.13 ให A =
3 4 1
8 2 3
20 1
จะได At =
3 8 2
4 2 0
13 1
ทฤษฎบท 1.4 (สมบตของการด าเนนการทรานสโพส)
ถา A , B เปนเมทรกซ และ k เปนจ านวนจรงใด ๆ แลว จะได 1.4.1 (At) t = A
1.4.2 (A + B) t = At + Bt
1.4.3 (kA) t = kAt
1.4.4 (AB) t = BtAt
1.2 ดเทอรมนนทของเมทรกซจตรส (Determinant of a square matrix)
10
ก าหนดใหเมทรกซ A = [aij]nn =
nnn2n1
2n2221
1n1211
aaa
aaa
aaa
ดเทอรมนนทของ A เขยนแทนดวย det A หรอ |A| หรอ
nnn2n1
2n2221
1n1211
aaa
aaa
aaa
นยาม 1.13 ดเทอรมนนทของเมทรกซมต 22 ให A =
2221
1211aa
aa
ก าหนด det A = |A| =2221
1211aa
aa โดยท |A| = a11a22 – a21a12
ตวอยาง 1.13 ก าหนดให A =
13
32
จะไดวา det A = |A| = 13
32
= (–2)(1) – (–3)(3) = 7
นยาม 1.14 ให A = [aij]nn สญลกษณ Mij หมายถง เมทรกซทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A ออก เรยก |Mij| วาไมเนอร (Minor) ของสมาชก aij ใน A เรยก Aij = (–1)i+j|Mij| วาโคแฟคเตอร (Cofactor) ของสมาชก aij ใน A
ตวอยาง 1.14 ก าหนด A =
31 4
0 13
2 21
11
ไมเนอรของสมาชก a11 คอ |M11| = 31
0 1
= 3 – 0 = 3
ดงนนจะไดโคแฟคเตอรของ a11 คอ A11 = (–1)1+1|M11| = 3
นยาม 1.15 ก าหนดให A = [aij]nn เมอใชแถวท i เปนแถวในการกระจาย จะก าหนดดเทอรมนนทของ A เปน |A| = ai1Ai1 + ai2Ai2+…+ ainAin เมอใชหลกท j เปนหลกในการกระจาย จะก าหนดดเทอรมนนทของ A เปน |A| = a1jA1j + a2jA2j+…+ anjAnj
หมายเหต
1. |A| จะเปนจ านวนจรงและมเพยงคาเดยวไมวาจะใชแถวหรอหลกใดในการกระจาย 2. ในการหาคา |A| ควรเลอกใชแถวหรอหลกทมสมาชกบางตวเปนศนยเปนแถวหรอหลกในการกระจาย เพองายตอการค านวณ
ตวอยาง 1.15 จงหา |A| เมอก าหนดให A =
5 3 1
2 1 0
41 2
หากเราเลอกใชหลกท 1 ในการกระจาย จะได |A| = a11A11 + a21A21 + a31A31
= (2)A11 + (0)A21 + (–1)A31
= (2)(–1)1+1|M11| + (0)(–1)2+1|M21| + (–1)(–1)3+1|M31|
= (2)53
21 + 0 + (–1)
2 1
41
= (2)(–1) + (–1)(6) = –8
12
หากเราเลอกใชแถวท 2 ในการกระจาย จะได |A| = a21A21 + a22A22 + a23A23
= (0)A21 + (1)A22 + (2)A23
= (0)(–1)2+1|M21| + (1)(–1)2+2|M22| + (2)(–1)2+3|M23|
= 0 + (1)5 1
42
+ (–2)
31
12
= (1)(6) + (–2)(7) = –8
หมายเหต ถาเมทรกซ A มมต 33 นนคอ A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
แลวจะหาคา |A| ไดอกวธหนงคอ – – –
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
+ + + |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12
ในกรณทมตของเมทรกซเกน 33 ขนไปจะหาดเทอรมนนทของเมทรกซดวยวธนไมได จากตวอยาง 1.15 หากเราใชวธนในการหาดเทอรมนนทเราจะไดวา – – –
13
|A| = 5 3 1
2 1 0
41 2
; 31
10
12
5 31
2 10
412
+ + +
= (2)(1)(5) + (1)(2)(–1) + (–4)(0)(3) – (–1)(1)(–4) – (3)(2)(2) – (5)(0)(1) = –8 ซงไดเทากบผลลพธในตวอยาง 1.15
สมบตของดเทอรมนนท ก าหนดให A, B เปนเมทรกซจตรสใด ๆ 1. |AB| = |A||B| 2. |At| = |A| เมอ At เปนเมทรกซทรานสโพสของ A 3. ถา A มสมาชกแถวใดแถวหนง (หรอหลกใดหลกหนง) เปนศนยหมดทกตวแลว
|A| = 0 4. ถา A มสมาชกในสองแถวใด (หรอสองหลกใด) เหมอนกนแลว |A| = 0 5. ถา A เปนเมทรกซสามเหลยมบน หรอเมทรกซสามเหลยมลาง แลว |A| เทากบผลคณของสมาชกในแนวทแยงของ A 6. ใหเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากเมทรกซ A ดงตอไปน
6.1 คณแถวใดแถวหนง (หลกใดหลกหนง) ของเมทรกซ A ดวยจ านวนจรง
k 0 จะไดวา |B| = k|A| 6.2 สลบสองแถว (สองหลก) ใด ๆ ของเมทรกซ A จะได |B| = –|A| 6.3 แทนแถว (หลก) ท i ของเมทรกซ A ดวยผลบวกของแถว (หลก) ท i กบ k เทา ของแถว (หลก) ท j ของเมทรกซ A เมอ k เปนจ านวนจรงทไมเทากบศนย
จะไดวา |B| = |A|
14
1.3 อนเวอรสของเมทรกซจตรส
นยาม 1.16 ให A เปนเมทรกซมต nn เรยกเมทรกซ A วาเมทรกซนอนซงกลาร
(Nonsingular matrix) กตอเมอมเมทรกซ มต nn ซง AB = BA = In และเรยกเมทรกซ B วาอนเวอรส (Inverse) ของ A และเขยนแทนอนเวอรสของ A ดวย A–1
ถาเมทรกซ A ไมมอนเวอรส จะเรยกเมทรกซ A วาเปนเมทรกซซงกลาร (Singular matrix) ทฤษฏบท 1.5 อนเวอรสของเมทรกซมไดเพยงเมทรกซเดยวเทานน
พสจน ก าหนดให A, B และ C เปนเมทรกซมต nn โดยทสมมตให B และ C ตางกเปนอนเวอรสของ A ทงค ดงนน AB = In และ CA = In ซงท าให B = InB = (CA)B = C(AB) = CIn = C ทฤษฏบท 1.6 ก าหนดให A เปนเมทรกซจตรส จะได
1.6.1 A เปนเมทรกซนอนซงกลาร กตอเมอ |A| 0
1.6.2 ถา A เปนเมทรกซนอนซงกลารแลว |A–1| = A1
ทฤษฏบท 1.7 ก าหนดให A และ B เปนเมทรกซจตรสใด ๆ จะได 1.7.1 ถา A เปนเมทรกซนอนซงกลาร แลว A–1 จะเปนเมทรกซนอนซงกลารดวย
และ (A–1 ) –1 = A 1.7.2 ถา A และ B เปนเมทรกซนอนซงกลารทมมตเดยวกน
แลว AB เปนเมทรกซนอนซงกลาร และ (AB) –1 = B–1A–1 1.7.3 ถา A เปนเมทรกซนอนซงกลาร แลว At จะเปนเมตรกนอนซงกลารดวย
และ (At) –1 = (A–1)t
15
วธหาอนเวอรสของเมทรกซ
1. โดยใชแอดจอยทของ A
นยาม 1.17 ให A = [aij]nn แอดจอยท (adjoint) ของ A เขยนแทนดวย adj A หมายถงเมทรกซ
t
nnn2n1
2n2221
1n1211
AAA
AAA
AAA
หรอ
nn2n1n
n22212
n12111
AAA
AAA
AAA
โดยท Aij หมายถงโคแฟคเตอรของสมาชก aij ใน A
ทฤษฏบท 1.8 ถาเมทรกซ A เปนเมทรกซจตรสมต nn แลว A(adj A) = (adj A)A = |A|In
ขอสงเกต จากทฤษฏบท 1.8 เราจะไดวา AA)A (adj
AA) A(adj = In , |A| 0
โดยนยามของการมอนเวอรสของเมทรกซ จะไดวา A–1 = A
A adj , |A| 0
2. โดยใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถว
นยาม 1.18 ถาเมทรกซ A เปนเมทรกซใด ๆ แลว โอเปอเรชนเบองตนกบแถว (Elementary row operation) หมายถง การด าเนนการกบสมาชกในแถวของเมทรกซ A แบบใดแบบหนงตอไปน
1. สลบทกนระหวางแถวท i กบแถวท j เราจะเขยนก ากบแถวท i วา ir= jr และเขยนก ากบแถวท j วา jr= ir
16
2. คณสมาชกทกตวในแถวท i ดวย k 0 จะเขยนก ากบแถวท i วา ir= k ir
3. คณสมาชกทกตวในแถวท j ดวย k 0 แลวน าไปบวกกบสมาชกในแถวท i
เมอ i j เราจะเขยนก ากบแถวท i วา ir= ir + k jr
หมายเหต
1. สญลกษณ irหมายถง แถวท i ของเมทรกซใหม สญลกษณ ir หมายถง แถวท i ของเมทรกซเดม 2. เราสามารถนยามโอเปอเรชนเบองตนกบหลก (Elementary column operation) ไดโดยการเปลยน “แถว” เปน “หลก” และเปลยน “r” เปน “c” ในนยาม 1.18 นยาม 1.19 เรยกเมทรกซ A วามสมมลกบแถวของเมทรกซ B กตอเมอ เมทรกซ B เกดจากการใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถวของเมทรกซ A ตอเนองกนเปนจ านวนครงจ ากด ถา เมทรกซ A มแถวสมมลกบแถวของเมทรกซ B แลว เราจะเรยกวา A สมมลแบบแถว (Row equivalent) กบ B และเขยนแทนดวย A ~ B ในท านองเดยวกนเราสามารถนยาม “หลกสมมล” และ “สมมลแบบหลก” (Column equivalent) โดยการเปลยน “แถว” เปน “หลก” ในนยาม 1.19 หมายเหต 1. ถา A ~ B แลว B ~ A
2. ถา A ~ B และ B ~ C แลว A ~ C
ทฤษฎบท 1.9 ให A เปนเมทรกซมต nn จะไดวา A เปนเมทรกซนอนซงกลารกตอเมอ A ~ In
ทฤษฎบท 1.9 จะชวยในการหา A–1 ของเมทรกซ A = [aij]nn ไดสะดวกขนท าไดดงน
17
1. สรางเมทรกซ [A | In] โดยการน าสมาชกในเมทรกซ A และ In มาเขยนเรยงตอกน และเรยกเมทรกซ [A | In] วาเมทรกซออกเมนทเตด (Augmented matrix)
2. ใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถวของ [A | In] เพอเปลยน A ใหอยในรป In ในขณะเดยวกน In กจะถกเปลยนตามไปดวย ไดเปน A–1 ซงจะไดเมทรกซใหมในรป [In | A–1]
ตวอยาง 1.16 ก าหนดให A =
1 34
110
0 21
จงหา A–1 (ถาม)
วธท า [A | In] =
1 2 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
4 3 1 0 0 1
~
3
r 3 1
1 2 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
0 5 1 4 0 1 r 4r
~
3
0 2
4 r
1 1 2
3 2
1 1 2 0 r r 2r
0 1 1 0 1 0
0 0 4 5 1 r 5r
~ ( )3
0 2
5/4 1/4 r 1/4 3
1 1 2 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 r
~ 1 0 0 1/2 1/2 r
1/4 1/4
5/4 1/4
1 3
2 2 3
1 1 r 2r
0 1 0 1 r r r
0 0 1 1
จะไดวา A–1 =
1/45/41
1/41/41
1/2 1/2 1
18
ตวอยาง 1.17 ให A =
5 21
142
4 61
จงหา A–1 (ถาม)
วธท า [A | In] =
1 6 4 1 0 0
2 4 1 0 1 0
1 2 5 0 0 1
~
0
8 9 1 2 2 1
3 3 1
1 6 4 1 0 0
8 9 2 1 0 r r 2r
0 0 1 r r r
~ ( )
0 9/8 1/4 1/8 1/8
8 9 1 2 2
1 6 4 1 0 0
1 0 r r
0 0 1
~
0 9/8 1/4 1/8
0 0 1 3 3 2
1 6 4 1 0 0
1 0
0 1 1 r r 8r
จะเหนวาแถวสดทายทางดานซายเปนศนยหมด จงไมสามารถท าใหเมทรกซ A อยในรปของเมทรกซเอกลกษณได จะสรปวา A ไมมอนเวอรส
19
1.4 ระบบสมการเชงเสน (System of Linear equations)
พจารณาระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และมตวแปร n ตว ตอไปน a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm ซงเราสามารถเขยนระบบสมการเชงเสนในรปสมการเมทรกซไดดงน
mnm2m1
2n2221
1n1211
aaa
aaa
aaa
n
2
1
x
x
x
=
m
2
1
b
b
b
หรอ AX = B โดยท
A =
mnm2m1
2n2221
1n1211
aaa
aaa
aaa
, X =
n
2
1
x
x
x
, B =
m
2
1
b
b
b
เรยกเมทรกซ A วา เมทรกซสมประสทธ (Coefficient Matrix)
20
ค าตอบของระบบสมการเชงเสน
ถาแทนคา x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn ลงในแตละสมการของระบบสมการเชงเสน แลว s1, s2, …, sn สอดคลองกบทกสมการ หรอท าใหทกสมการเปนจรง จะไดวา x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn เปนค าตอบของระบบสมการเชงเสน วธการแกระบบสมการเชงเสนทมจ านวนสมการเทากบจ านวนตวแปร
จากระบบสมการเชงเสนเขยนเปนสมการเมทรกซ AX = B ถา |A| 0 แลวเราจะแกระบบสมการโดยวธตอไปน
วธท 1 ใชอนเวอรสการคณของเมทรกซ
ก าหนดสมการ AX = B ถา |A| 0 แลวจะม A–1 ทซง A–1A = I จาก AX = B คณ A–1 เขาดานซายทงสองขาง จะได A–1AX = A–1B IX = A–1B ดงนนค าตอบคอ X = A–1B ตวอยาง 1.18 จงแกระบบสมการ x1 + x2 – x3 = 4
3x1 – x2 + x3 = 8 x1 – x2 – x3 = 2 วธท า เขยนระบบสมการทโจทยก าหนดใหอยในรป AX = B โดยท
A =
111
1 13
11 1
, X =
3
2
1
x
x
x
, B =
2
8
4
เนองจาก A–1 =
1/21/41/4
1/201/2
0 1/41/4
และจากค าตอบคอ X = A–1B
21
ดงนน
3
2
1
x
x
x
=
1/21/41/4
1/201/2
0 1/41/4
2
8
4
=
0
1
3
นนคอ x1 = 3 , x2 = 1 และ x3 = 0 เปนค าตอบของระบบสมการ
วธท 2 ใชดเทอรมนนท หรอกฎของคราเมอร (Cramer’s Rule)
พจารณาสมการ AX = B
เมอ A =
nnn2n1
2n2221
1n1211
aaa
aaa
aaa
, X=
n
2
1
x
x
x
, B =
n
2
1
b
b
b
ถา |A| 0 แลว สมการ AX = B จะมค าตอบเพยงชดเดยวโดยท
x1 = A
A1 , x2 = A
A2 , … , xn = A
A n
เมอ Ai คอเมทรกซทไดจากการแทนทสมาชกในหลกท i ของเมทรกซ A ดวยสมาชกใน B ตวอยาง 1.19 จงแกระบบสมการ
x1 – 3x2 + x3 = –2 x1 + 2x2 – x3 = 2 –x1 + 4x2 – x3 = 4
วธท า เขยนระบบสมการใหอยในรป AX = B โดยท
A =
14 1
12 1
1 31
, X =
3
2
1
x
x
x
, B =
4
2
2
เนองจาก |A| = 2 0 ดงนน
22
x1 = 2
14 4
12 2
1 32
= 1, x2 = 2
14 1
12 1
1 21
= 2 และ
x3 = 2
4 4 1
2 2 1
231
= 3
นนคอ x1 = 1, x2 = 2 และ x3 = 3 เปนค าตอบของระบบสมการ
หมายเหต
1. กฎของคราเมอรนจะใชไดในกรณทระบบสมการม n สมการ ตวไมรคา n ตว ดเทอร
มนนทของเมทรกซสมประสทธไมเปนศนยเทานน ถามตของเมทรกซมากกวา 33 จะเกดปญหาในการค านวณหาดเทอรมนนทของเมทรกซทมมตใหญ เราจะใชวธอน ซงจะกลาวตอไป
2. ระบบสมการ AX = B ทซง |A| 0 จะมค าตอบชดเดยว ตวอยาง 1.20 เจาของสวนดอกไมตองการปลกดอกไม 2 ชนดคอ ดอกกหลาบและดอกมะล โดยมกระถางใหปลกดอกไมทง 2 ชนดรวมกนเปนจ านวน 1,000 กระถาง ราคาตนของดอกไมทง 2 ชนดเปนดงน ตนดอกกหลาบราคาตนละ 30 บาท ตนดอกมะลราคาตนละ 15 บาท เจาของสวนดอกไมมงบประมาณในการซอตนของดอกไม 21,000 บาท อยากทราบวาเจาของสวนดอกไมจะตองซอดอกไมทง 2 ชนดอยางละกตน จงจะพอดกบงบประมาณทมและไดจ านวนรวมของดอกไมพอดกบจ านวนของกระถางตนไมทม
วธท า
ก าหนดให x1 แทนจ านวนตนของดอกกหลาบทจะซอ (ตน) x2 แทนจ านวนตนของดอกมะลทจะซอ (ตน)
เนองจากตองซอตนของดอกไมทง 2 ชนดรวมกนใหไดพอดกบจ านวนกระถางทม ดงนนเราจะไดสมการแรก คอ x1 + x2= 1,000
23
ราคาของตนกหลาบราคาตนละ 30 บาท และราคาของตนมะลราคาตนละ 15 บาท เจาของสวนมงบประมาณในการซอ 21,000 บาท ดงนนเราจะไดสมการทสองคอ 30x1 + 15x2= 21,000 นนคอเราจะไดระบบสมการเชงเสนคอ x1 + x2 = 1,000 30x1 + 15x2 = 21,000 หรอ
2
1x
x
1530
1 1 =
21,000
1,000
แกระบบสมการจะได x1 =
1530
1 1 1521,000
1 1,000
= 400 และ x2 =
1530
1 1 21,00030
1,000 1
= 600
นนคอเจาของสวนจะตองซอตนดอกกหลาบ 400 ตน และตนดอกมะล 600 ตน จงจะพอดกบงบประมาณและจ านวนกระถางทม ตวอยาง 1.21 บรษทขายปยแหงหนง ขายปย 2 ชนด คอ A และ B ในปยชนด A มไนโตรเจน 18% ชนด B มไนโตรเจน 8% ลกคาตองการสงปย 100 กโลกรม โดยใหมไนโตรเจน 12% ถาปยชนด A และ B บรรจในถง ๆ ละ 5 กโลกรม ถามวาจะตองสงปยชนด A และ B อยางละกถง ไมตองการใหปยเหลอ
วธท า
ก าหนดให x1 เปนจ านวนถงของปยชนด A ทจะตองสง (ถง) x2 เปนจ านวนถงของปยชนด B ทจะตองสง (ถง) ลกคาตองการสงปย 100 กโลกรม ปยทง 2 ชนดบรรจถงละ 5 กโลกรม ดงนนจะไดสมการแรกคอ 5x1 + 5x2= 100 ลกคาตองการปย 100 กโลกรม โดยตองการไนโตรเจน 12% หรอ 12 กโลกรมในปย 100 กโลกรม ปยชนด A มไนโตรเจน 18% หมายถง ปยชนด A จ านวน 100 กโลกรม มไนโตรเจน 18 กโลกรม
24
ดงนนปยชนด A จ านวน 1 ถงหนก 5 กโลกรม จะมไนโตรเจน 100
518 = 0.9 กโลกรม
ปยชนด B มไนโตรเจน 8% หมายถง ปยชนด B จ านวน 100 กโลกรม มไนโตรเจน 8 กโลกรม
ดงนนปยชนด B จ านวน 1 ถงหนก 5 กโลกรม จะมไนโตรเจน 100
58 = 0.4 กโลกรม
ดงนนจะไดสมการทสองคอ 0.9x1 + 0.4x2 = 12 หรอ 9x1 + 4x2 = 120 นนคอเราจะไดระบบสมการเชงเสนคอ 5x1 + 5x2 = 100 9x1 + 4x2 = 120 หรอ
2
1x
x
49
55=
120
100
แกระบบสมการจะได x1 =
49
554120
5100
= 8 และ x2 =
49
551209
1005
= 12
นนคอจะตองสงปยชนด A จ านวน 8 ถง และสงปยชนด B จ านวน 12 ถงจงจะไดตามทตองการ
รปโรวรดวสเอชชลอน (Row Reduced Echelon Form)
นยาม 1.20 เรยกเมทรกซ A วาอยในรปโรวเอชชลอน (Row echelon form) กตอเมอเมทรกซ A มสมบตดงน
1. แถวทมสมาชกทกตวเปนศนยหมด (ถาม) จะอยเหนอแถวทมสมาชกบางตวไมเปนศนยไมได
25
2. ส าหรบแถวทมสมาชกบางตวไมเปนศนย สมาชกตวแรกทไมเปนศนยของแตละแถว (นบจากซายไปขวา) จะอยเรยงลดลงมาจากซายไปขวา และตอไปจะเรยกสมาชกตวแรกทไมเปนศนยนวา ตวน า (leading)
(จากขอ 2. จะไดวา สมาชกของเมทรกซทอยใตแถวทมตวน าและอยทางดานซายของตวน าจะตองเปนศนย)
ตวอยาง 1.22
เมทรกซตอไปนอยในรปโรวเอชชลอน
000 00 00
430 00 00
2820100
451 10 12
,
00000
50000
32100
,
000
000
000
ตวอยางของเมทรกซทไมอยในรปโรวเอชชลอน
000 100
321000
482001
165 030
,
10 1 00
72 100
536 01
,
100
000
001
นยาม 1.21 ก าหนดใหเมทรกซ A เปนเมทรกซมต mn แรงค (rank) ของ A หมายถงจ านวนแถวทมสมาชกบางตวไมเปนศนยของเมทรกซทอยในรปโรวเอชชลอนของ A
26
ตวอยาง 1.23 จงหาแรงคของเมทรกซตอไปน
A =
00000
50000
32100
, B =
300
110
012
และ C =
000
000
000
จะเหนวาเมทรกซทงสามเมทรกซอยในรปโรวเอชชลอน และจากนยามของแรงคหมายถงจ านวนแถวทมสมาชกบางตวไมเปนศนยของเมทรกซทอยในรปโรวเอชชลอน ดงนนแรงคของเมทรกซ A, B และ C คอ 2, 3 และ 0 ตามล าดบ นยาม 1.22 เรยกเมทรกซ A วาอยในรปโรวรดวสเอชชลอน (Row Reduced echelon form) ถา A เปนเมทรกซทอยในรปโรวเอชชลอนและ
1. แตละตวน าตองมคาเปน 1 เทานน 2. สมาชกตวอน ๆ ในหลกทมตวน าตองเปนศนย
ตวอยาง 1.24
ตวอยางเมทรกซทอยในรปโรวรดวสเอชชลอน
100000 0
010000 0
003100 0
0080211
,
00 0
10 0
011
ตวอยางเมทรกซทไมอยในรปโรวรดวสเอชชลอน
1000
0100
0010
1001
,
00 0
010
00 1
27
ทฤษฎบท 1.10 เมทรกซมต mn ทก ๆ เมทรกซทไมเปนเมทรกซศนย สามารถเปลยนใหอยในรปโรวรดวสเอชชลอนไดแบบเดยวเสมอ โดยใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถว
การแกระบบสมการเชงเสนโดยอาศยรปโรวเอชชลอนและรปโรวรดวสเอชชลอน
พจารณาระบบสมการเชงเสน a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm หรอ AX = B
เมอ A =
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
, X =
n
2
1
x
x
x
, B =
m
2
1
b
b
b
และเรยกเมทรกซ
11 12 1n 1
21 22 2n 2
3
m1 m2 mn 4
a a a b
a a a b
b
a a a b
วาเมทรกซออกเมนเตด (Augmented Matrix) เขยนแทนดวยสญลกษณ [A|B] วธการแกระบบสมการ AX = B ท าโดยเปลยนเมทรกซออกเมนเตด [A|B] ใหอยในรปโรวเอชชลอน โดยใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถว สมมตวา [A|B] ~ [C|D] และ [C|D] อยในรปโรวเอชชลอนแลวค าตอบของสมการ AX = B คอค าตอบของสมการ CX = D ขนตอนในการเปลยนเมทรกซ [A|B] ใหอยในรปโรวเอชชลอน โดยใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถวกระท ากบแถวของ [A|B]
28
1. หาหลกทอยซายมอสด ซงมสมาชกบางตวไมเปนศนย และหาตวน า ซงอยในหลกนนทเปนสมาชกตวแรก (นบจากบนมาลาง) ทไมเปนศนย
2. ในกรณทแถวทมตวน าไมไดเปนแถวแรก ใหสลบแถวทมตวน าใหเปนแถวแรกกอน
3. ท าสมาชกอน ๆ ในหลกทมตวน าและอยใตตวน าใหเปนศนยโดยใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถวทเหมาะสม
4. ท าขนตอน 1–3 ซ ากบแถวทอยใตตวน า จนกวาจะไดเมทรกซในรปโรวเอชชลอนขอส าคญ ทกครงทจะเรมขนตอนท 1 จะตองท ากบแถวทอยใตตวน าทไดท าขนตอนท 1–3 เสรจแลว ตวอยาง 1.25 จงแกระบบสมการ
x1 – x2 + 2x3 = 4 x2 – x3 = 2 x1 + 3x3 = 8
วธท า ใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถวเปลยนเมทรกซออกเมนเตดของระบบสมการนใหอยในรปโรวเอชชลอนไดดงน
[A|B] =
8
2
4
3 0 1
11 0
2 11
133 rrr
4
2
4
1 1 0
11 0
2 11
233 rrr
2
2
4
2 0 0
11 0
2 11
จะเหนวาเมทรกซสดทายอยในรปโรวเอชชลอน จะไดสมการคอ x1 – x2 + 2x3 = 4 x2 – x3 = 2 2x3 = 2
29
ตอไปจะแกสมการโดยวธแทนคากลบดงน จากสมการ , 2x3 = 2 นนคอ x3 = 1 จากสมการ , x2– x3 = 2 หรอ x2 = 2 + x3 แทนคา x3 = 1 จะได x2 = 2 + 1 = 3 จากสมการ , x1 – x2 + 2x3 = 4 หรอ x1 = 4 + x2 – 2x3 แทนคา x2=3 และ x3 = 1 จะได x1 = 4 + 3 – 2(1) = 5 ดงนนค าตอบของระบบสมการคอ x1 = 5 , x2 = 3 และ x3 = 1
หมายเหต
1. วธการแกระบบสมการเชงเสน โดยเปลยนเมทรกซออกเมนเตดใหอยในรปโรวเอชชลอน แลวใชวธการแทนคากลบ เพอหาค าตอบนเราเรยกวาวธการก าจดตวแปรของเกาส (Gaussian Elimination) หรอวธการของเกาส
2. วธการของเกาสนใชแกระบบสมการเชงเสนทมจ านวนสมการเทาหรอไมเทากบจ านวนตวแปรกได
ถาเปลยนเมทรกซออกเมนเตดของระบบสมการใหอยในรปโรวรดวสเอชชลอน กจะหาค าตอบไดเลยโดยไมตองแทนคากลบ วธการนเรยกวา การก าจดตวแปรของเกาสและชอรดอง (Gauss and Jordan elimination) การเปลยนเมทรกซออกเมนเตดใหอยในรปโรวรดวสเอชชลอนนน กท าคลายกบวธการท าใหอยในรปโรวเอชชลอน เพยงแตตองท าตวน าใหเปน 1 และท าสมาชกเหนอตวน าใหเปนศนยใหหมด ตวอยาง 1.26 จงแกระบบสมการ
2x1 – x2 + x3 = 4 x1 + 2x2 = 1 x2– 3x3 = 1
วธท า ใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถวเปลยนเมทรกซออกเมนเตดใหอยในรปโรวรดวสเอชชลอน
[A|B] =
1
1
4
31 0
0 2 1
1 12
12
21rr
rr
1
4
1
31 0
1 12
0 2 1
30
122 r2rr
1
2
1
31 0
1 50
0 2 1
23
32rr
rr
2
1
1
1 50
31 0
0 2 1
233
211
r5rr
r2rr
7
1
1
140 0
31 0
6 0 1
33 1/14)r(r1/2
1
1
1 0 0
31 0
6 0 1
322
311r3rr
r6rr
1/2
1/2
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ดงนนค าตอบของระบบสมการคอ x1 = 2 , x2 = –1/2 และ x3 = –1/2 ขอสงเกต จะเหนวา แรงค A เทากบ แรงค [A|B] เทากบ 3 ซงเทากบจ านวนตวแปร และค าตอบของระบบสมการมเพยงชดเดยว ตวอยาง 1.27 จงแกระบบสมการ
3x1 – 2x2 + x3 = 3 2x1 – x2 + 3x3 = 1 x1 – x2 – 2x3 = 2
วธท า เปลยนเมทรกซออกเมนเตดของระบบสมการนใหอยในรปโรวรดวสเอชชลอน โดยใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถวไดดงน
[A|B] =
2
1
3
211
3 12
1 23
31
13
31
rr
rr
3
1
2
1 23
3 12
211
133
122r3rr
r2rr
3
3
2
7 1 0
7 1 0
211
233
211
rrr
rrr
0
3
1
0 0 0
7 1 0
5 0 1
นนคอ x1 + 5x3 = –1 หรอ x1 = –1 – 5x3 และ x2 + 7x3 = –3 หรอ x2 = –3 – 7x3 เราจะเหนวาคาของ x1 และ x2 ขนอยกบคาของ x3 ดงนนหากเราก าหนดคาให x3 = k โดยท k เปนจ านวนจรงใด ๆ จะไดวาค าตอบของระบบสมการคอ x1 = –1 – 5k , x2 = –3 – 7k และ x3 = k ขอสงเกต จะเหนวา แรงค A เทากบ แรงค [A|B] เทากบ 2 แตนอยกวาจ านวนตวแปรซงเทากบ 3 และระบบสมการมค าตอบเปนอนนต ตวอยาง 1.28 จงแกระบบสมการ
x1 – x2 + 2x3 + x4 = 3 x1 + x3 + 2x4 = 2 x2 – 2x3 = 1 – x2 + x3 – x4 = 2
วธท า ใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถวเปลยนเมทรกซออกเมนเตดใหอยในรปโรวรดวสเอชชลอน
32
[A|B] =
2
1
2
3
11 10
0 21 0
2 1 0 1
1 2 11
122 rrr
2
1
1
3
11 10
0 21 0
1 11 0
1 2 11
244
233
211
rrr
rrr
rrr
1
2
1
2
0 0 00
1100
1 110
2 1 01
33 rr
1
2
1
2
00 00
11 00
1110
21 01
322
311rrr
rrr
1
2
3
4
0000
1100
2010
1001
433
422
411
r2rr
r3rr
r4rr
1
0
0
0
0000
1100
2010
1001
จากแถวสดทายไดวา 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1
นนคอ 0 = 1 ซงเปนไปไมได ดงนนระบบสมการไมมค าตอบ ขอสงเกต จะเหนวา แรงค A เทากบ 3 ซงไมเทากบแรงค [A|B] ทเทากบ 4 และระบบสมการไมมค าตอบ เราสามารถสรปกรณทวไปเกยวกบค าตอบของระบบสมการ AX = B ไดดงน
1. ระบบสมการดงกลาว จะมค าตอบชดเดยว ถาแรงคของ A เทากบแรงคของ [A|B] และเทากบจ านวนตวแปร
33
2. ระบบสมการดงกลาวจะมจ านวนค าตอบเปนอนนต ถาแรงคของ A เทากบแรงคของ [A|B] และนอยกวาจ านวนตวแปร
3. ระบบสมการดงกลาวไมมค าตอบ ถาแรงคของ A ไมเทากบแรงคของ [A|B]
แบบฝกหดบทท 1
1. ก าหนดให
1 6 3
A 2 7 1
3 1 4
1.1 จงหาไมเนอร และโคเฟคเตอรของสมาชกทกตวใน A 1.2 จงหา A โดยการกระจายตามแถวท 2 1.3 จงหา A โดยการกระจายตามหลกท 3
2. จงหาคาดเทอรมนนท ของเมทรกซตอไปน
2.1
1 2 5
A 0 1 3
2 1 1
2.2
4 0 1
B 2 5 0
3 0 4
2.3
4 4 0 4
1 1 0 1C
3 0 3 1
6 4 3 6
2.4
1 7 6 1
0 5 12 7D
0 0 8 9
0 0 0 1
2.5
1 0 0 1
4 0 0 2E
12 0 3 6
0 1 4 0
2.6
a b 0 0
0 a b 0F
0 0 a b
b 0 0 a
34
3. ก าหนดให
3 4A
5 6จงหา 3.1 A 3.2 adj A 3.3 1A
4. ก าหนดให
1 2 2
B 3 1 0
1 1 1
จงหา 4.1 B 4.2 adj B 4.3 1B
5. ก าหนดให
4 k 1 0
C 1 1 1
0 1 4 k
จงหาคาของ k ทท าให C 0
6. ก าหนดให
1 2 1
A 3 1 2
0 1 2
จงแสดงวา ~ 3A I โดยใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถว
7. จงแสดงวา ~
1 2 3 1 3 1 0 1 0 2
3 2 1 1 7 0 1 2 0 1
0 2 4 1 1 0 0 0 1 3
1 1 1 1 4 0 0 0 0 0
8. จงหาอนเวอรสการคณของเมตรกซตอไปนโดยใชโอเปอเรชนเบองตนกบแถว
8.1
1 3A
4 2 8.2
a 0B
b c 8.3
1 1 1
C 3 1 0
1 2 2
9. จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปน 9.1 3x1 + 8x2 + 2x3 = 0 9.2 x1 + 3x2 – 5x3 = 0 2x1 + x2 + 3x3 = 0 3x1 – x2 + 5x3 =
0 – 5x1 – x2 + x3 = 0 3x1 + 2x2 – x3 = 0
35
9.3 x1 + 2x2 + 3x3 = 0 9.4 x1 + 2x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + 3x2 =
0 x2 + 2x3 = 0
2x1 + x2 + 4x3 = 0 10. จงหาเฉพาะคา z ของระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร
10.1 3x + 4y – z = 2 10.2 x – 2z = – 3 x + 3z = 10 3x + y + 2z =
1 2x + 5y – 4z = – 5 x – y = 2
11. จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชอนเวอรสของเมทรกซสมประสทธทก าหนดให
11.1 x + 2y + 2z = 7 3x + y = 5 ก าหนด x + y + z = 4 11.2 x – 2z = –3 3x + y + 2z = 1 ก าหนด x – y = 2
12. ในการควบคมอาหารส าหรบสตวในหองทดลอง ใชอาหาร 3 ชนดคอ A, B และ C อาหารแตละชนดใน 1 กรมมสวนประกอบของโปรตน คารโบไฮเดรตและไขมน ดงตารางตอไปน
อาหาร สวนประกอบ
A B C
โปรตน 1 3 1 คารโบไฮเดรต 2 1 4 ไขมน 3 1 4
11 2 2 1 0 2
3 1 0 3 1 6
1 1 1 2 1 5
1/5 1/5 1/5
1/5 1/5 4/5
2/5 1/10 1/10
11 0 2
3 1 2
1 1 0
36
สมมตวานกทดลองตองการใหอาหารสตวทมโปรตน 110 หนวย คารโบไฮเดรต 132 หนวย และไขมน 154 หนวย ถาให x1, x2, x3 แทนปรมาณอาหารทง 3 ชนดทใชในการทดลองครงน จงเขยนระบบสมการทเกยวของ พรอมทงแกระบบสมการทได โดยใชอนเวอรสของเมทรกซ 13. รานคาแหงหนงน าอาหารสตว 2 ชนดมาผสมกนเพอขายกโลกรมละ 80 บาท อาหารชนดแรกปกตขายกโลกรมละ 60 บาท ชนดทสองปกตขายกโลกรมละ 90 บาท ถาตองการขายอาหารผสม 60 กโลกรม จงหาวาตองใชอาหารสตวแตละชนดกกโลกรมมาผสมกนจงจะท าใหรายไดไมเปลยนแปลง 14. ในการผลตสนคา 3 ชนดคอ A, B และ C ตองการแรงงาน 2 ประเภท คอประเภทชางฝมอ และประเภทใชแรงงาน ในการผลตสนคา 1 หนวยของแตละชนดใน 1 วนตองใชจ านวนคนจากแรงงานทง 2 ประเภท ดงแสดงในตารางตอไปน
ประเภท สนคา
ชางฝมอ ใชแรงงาน
A 5 5 B 10 10 C 2 4
บรษทตองการทราบวาในแตละวนจะผลตสนคาไดชนดละกหนวย ถามการวาจางแรงงานประเภทชางฝมอ 100 คน และประเภทใชแรงงาน 150 คน 15. จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชรปโรวรดวสเอชชลอน
15.1 x1 + 2x2 + x3 = 8 15.2 3x1 – x2 + x3 – 4x4 = 2
–x1 + 3x2 – 2x3 = 1 6x1 + 3x2 – x3 – 4x4 = 3
37
3x1 + 4x2 – 7x3 = 10 9x1 + 2x2 – 8x4 = 6
15.3 2x1 + 3x2 – x3 + x4 = –5 15.4 2x1 – 3x2 + x3 – x4 + x5 = 0
4x1 + 5x2 + 2x3 – x4 = 4 4x1 – 6x2 + 2x3 – 3x4 – x5 = –5 –2x1 – x2 – x3 – x4 = 1 –2x1 + 3x2 – 2x3 + 2x4 – x5 = 3
6x1 + 7x2 + x3 – 4x4 = 2 15.5 x – y = 3 15.6 x1 + 2x2 + x3 +
5x4 = 3 2x – y + z = 8 x1 + 2x2
+ 2x3 + 7x4 = 4 y + 2z = 5 x3 + 2x4 = 1 –2x1 – 4x2 – 6x4 = –4
15.7 x1 + x2 + x3 + x4 = 4 15.8 x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0
x1 + 3x2 + 3x3 = 2 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 x1 + x2 + 2x3 – x4 = 6 –x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
38
ค าตอบแบบฝกหดบทท 1 1. 1.1 11M 29 12M 11 13M 19 21M 21 22M 13 23M 19 31M 27 32M 5 33M 19
11A 29 12A 11 13A 19 21A 21 22A 13 23A 19 31A 27 32A 5 33A 19 1.2 A 152 1.3 A 152 2. 2.1 A 2 2.2 B 65 2.3 C 120
2.4 D 40 2.5 E 6 2.6 4 4F a b
3. 3.1 A 2 3.2
6 4adj A
5 3
3.3 / /
1 3 2A
5 2 3 2
4. 4.1 B 1 4.2
1 0 2
adj B 3 1 6
2 1 5
4.3
11 0 2
B 3 1 6
2 1 5
5. ,k 2 4
8. 8.1 / /
/ /
1 1 5 3 10A
2 5 1 10
8.2 /
/ /
1 1 a 0B
b ac 1 c
8.3
12 0 1
C 6 1 3
5 1 2
9. 9.1 x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
9.2 x1 = k, x2 = 2k, x3 = k เมอ k เปนจ านวนจรงใด ๆ
9.3 x1 = 2k, x2 = k, x3 = 0 เมอ k เปนจ านวนจรงใด ๆ
39
9.4 x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
10. 10.1 z = 4 10.2 z = 32
11. 11.1 x = 1, y = 2, z = 1 11.2 x = 0, y = 2, z = 32
12. x1 + 3x2 + x3 = 110 2x1 + x2 + 4x3 = 132 3x1 + x2 + 4x3 = 154 ค าตอบของระบบสมการคอ x1 = 22, x2 =
24, x3 = 16 13. ชนดทหนง 20 กโลกรมและชนดทสอง 40 กโลกรม 14. ค าตอบคอ A = 10 – 2k , B = k , C = 25 โดยท k เปนจ านวนเตมหนวย ซง ม 6 ค าตอบดงน
A B C 1. 10 0 25 2. 8 1 25 3. 6 2 25 4. 4 3 25 5. 2 4 25 6. 0 5 25
15. 15.1 x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1
15.2 ไมมค าตอบ
15.3 x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 1
15.4 x1 = 32
+ 3s2
– t2
, x2 = s, x3 = 2–3t, x4 = 2–5t, x5 = t
โดยท s และ t เปนจ านวนจรงใด ๆ
15.5 x = 2, y = 1, z = 3
40
15.6 x1 = 2 –2s – 3t, x2 = s, x3 = 1 – 2t, x4 = t โดยท s และ t เปนจ านวนจรงใด ๆ
15.7 x1 = 5 – 3k2
, x2 = –3 – 3k2
, x3 = 2 + 2k, x4 = k โดยท k เปนจ านวน
จรงใด ๆ 15.8 x1 = –s – t, x2 = s, x3 = – t, x4 = 0, x5 = t โดยท s และ t เปนจ านวน
จรงใด ๆ
36
ลมตและความตอเนอง ของฟงกชน
1. ลมตของฟงกชน
หลกการ ให f(x) เปนฟงกชน และ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ
1. lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x L แลว lim ( )
x a
f x L ม
ลมตท a ( ลมตเขำทำงซำย เทำกบ ลมตเขำทำงขวำ)
2. lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x แสดงวำ f(x) ไมมลมตท a
ตวอยางท 1 ให f(x) = 4x – 3 จงหำ 2 2
lim ( ) , lim ( )x x
f x f x
วธท ำ 2 2
lim ( ) lim 4 3 4(2) 3 8 3 5x x
f x x
2 2
lim ( ) lim 4 3 4(2) 3 5x x
f x x
ตวอยางท 2 ให f(x) = | x-3 | จงหำ (1) 3 3
lim ( ) , lim ( )x x
f x f x
(2) 3 3
lim ( ) , lim ( )x x
f x f x
วธท ำ เนองจำก f(x) เปนคำสมบรณ คำ x ภำยในคำสมบรณม 2 คำ
, 0| |
, 0
x xx
x x
3 , 3 0 3| 3 |
( 3) , 3 0 3
x x xx
x x x
(1) 3 3 3
lim ( ) lim | 3 | lim ( 3) (3 3) 0x x x
f x x x
3 3 3
lim ( ) lim | 3 | lim 3 3 3 0x x x
f x x x
(2) 3 3 3
lim ( ) lim | 3 | lim ( 3) ( 3 3) 6x x x
f x x x
เขาทางขวา , ทางดานบวก
เขาทางซาย , ทางดานลบ
37
3 3 3
lim ( ) lim | 3 | lim 3 3 3 6x x x
f x x x
ตวอยางท 3 ถำ
2 , 1
( ) 1 ,0 1
0 , 0
x x
f x x x
x
จงหำคำของ
0 1 0lim ( ) , lim ( ), lim ( )x x x
f x f x f x
วธท ำ (1) 0
lim ( ) 0x
f x
(2) 2 2
1 1lim ( ) lim 1 1x x
f x x
(3) 0 0
lim ( ) lim 1 0 1 1x x
f x x
ตวอยางท 4 ถำ 2( ) 5 4f x x x จงหำ 3
lim ( )x
f x
วธท ำ 2 2
3 3lim ( ) lim( 5 4) 3 5(3) 4 20x x
f x x x
ตวอยางท 5 ถำ 2( )f x
x จงหำ
4lim ( )x
f x
, 0
lim ( )x
f x
วธท ำ (1) 4 4
2 2 1lim ( ) lim
4 2x xf x
x
(2) 0 0
2 2lim ( ) lim
0x xf x
x หำคำไมได
ตวอยางท 6 ถำ 3( )
5
xf x
x
จงหำ
5lim ( )x
f x
, 3
lim ( )x
f x
วธท ำ (1) 5 5
3 3 5 2lim ( ) lim
5 5 5 0x x
xf x
x
หำคำไมได
(2) 3 3
3 3 3 0lim ( ) lim 0
5 3 5 2x x
xf x
x
ขอสงเกต :: • เราจะสนใจพจารณาลมตทางซายหรอทางขวา เมอ ฟงกชน เปนแบบ ………………………….
• ถา เปนฟงกชนปกต เราสามารถหาคา lim ( ) ( )x a
f x f a
โดยการแทนคาไดเลย
38
ตวอยางท 7 ถำ 2 4
( )2
xf x
x
จงหำ
2lim ( )x
f x
วธท ำ แทนคำ x = 2 ใน f(x) จะได 22 4 4 4 0
(2)2 2 2 2 0
f
กรณ ผลของ ลมต ออกมาในรปของ 0
0
lim ( )x a
f x
อำจหำคำได โดยพยำยำมเปลยนรปของ f(x) ใหมเพอใหสำมำรถตดทอนกน
และหำคำลมตไดโดยตรง การเปลยนรปของ f(x) มวธการหลายวธ ดงน
1. แยกตวประกอบ 2. ใชคอนจเกต (conjugate) คณทงเศษและสวน (เนน ตดรท )
3. กฎของโลปตำล (L ‘ Hopital ‘ Rule) 4. 0
sinlim 1
จำกตวอยำงท 7 ก ำหนดให 2 4
( )2
xf x
x
เรำจะตองเปลยนรปของ f(x) ใหมเพอท ำให
สำมำรถตดทอนกนได และหำลมตไดโดยตรง จะได 2
2 2 2
4 ( 2)( 2)lim ( ) lim lim
2 ( 2)x x x
x x xf x
x x
2
lim( 2) 2 2 4x
x
ดงนน 2
2
4lim 4
2x
x
x
➢ สตรการแยกตวประกอบ
# ก าลง 2 สมบรณ 1. 2 2 22 ( )x xy y x y 2. 2 2 22 ( )x xy y x y
# ก าลง 3 สมบรณ 4. 3 3 2 2 33 3 ( )x x y xy y x y 5. 3 3 2 2 33 3 ( )x x y xy y x y
# ผลตางก าลง 2 3. 2 2 ( )( )x y x y x y
# ผลตางก าลง 3 6. 3 3 2 2( )( )x y x y x xy y 7. 3 3 2 2( )( )x y x y x xy y
39
ตวอยางท 8 ถำ 3
2
27( )
2 3
xf x
x x
จงหำ
3lim ( )x
f x
วธท ำ น ำ x = 3 แทนใน f(x) จะได 3
2
3 27 27 27 0(3)
3 2(3) 3 9 6 3 0f
เปลยนรปโดยกำรแยกตวประกอบ 3 227 ( 3)( 3 9)x x x x
2 2 3 ( 3)( 1)x x x x
จะได 3 2
23 3 3
27 ( 3)( 3 9)lim ( ) lim lim
2 3 ( 3)( 1)x x x
x x x xf x
x x x x
2 2
3
( 3 9) 3 3(3) 9 27lim
( 1) 3 1 4x
x x
x
ตวอยางท 9 ถำ 2
2
1( )
2 1
xf x
x x
จงหำ
1lim ( )x
f x
วธท ำ น ำ x = 1 แทนใน f(x) จะได 2
2
1 1 0(1)
2(1 ) 1 1 0f
เปลยนรปโดยกำรแยกตวประกอบ 2 1 ( 1)( 1)x x x
22 1 (2 1)( 1)x x x x
จะได 2
21 1 1
1 ( 1)( 1)lim ( ) lim lim
2 1 ( 1)(2 1)x x x
x x xf x
x x x x
1
( 1) 1 1 2lim
(2 1) 2(1) 1 3x
x
x
ดงนน 2
21
1 2lim
2 1 3x
x
x x
ตวอยางท 10 ถำ 4 2( )
xf x
x
จงหำ
0lim ( )x
f x
วธท ำ น ำ x = 1 แทนใน f(x) จะได 4 0 2 2 2 0(0)
0 0 0f
เปลยนรปโดย ใชคอนจเกต (conjugate) คณทงเศษและสวน ตดรท คอนจเกต ทนท
จะได 0 0 0
4 2 4 2 4 2lim lim lim
4 2 ( 4 2)x x x
x x x x
x x x x x
0
1 1 1 1lim
2 2 44 2 4 0 2x x
40
ดงนน 0
4 2 1lim
4x
x
x
ตวอยางท 11 ถำ 0
sinlim 1x
x
x จงหำ
0
sin 5limx
x
x
วธท ำ sin 5 5 sin 5 5sin 5
5 5
x x x
x x x
0 0 0
sin 5 5sin 5 sin 5lim lim lim5
5 5x x x
x x x
x x x
0
sin 55 lim 5(1) 5
5x
x
x
ตวอยางท 12 ถำ 0
sinlim 1x
x
x จงหำ
2
0
sinlimx
x
x
วธท ำ 2 2 2
2
sin sin sinx x x x x
x x x x
2 2 2
2 20 0 0
sin sin sinlim lim limx x x
x x x x x
x x x
2
20 0
sinlim lim (0)(1) 0x x
xx
x
ดงนน 2
0
sinlim 0x
x
x
2. ควำมตอเนองของฟงกชน
41
หลกการ ให f(x) เปนฟงกชน และ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = a เมอเปนจรงทง 3 ขอดงน
1. f(a) หำคำได
2. lim ( )x a
f x
หำคำได นนคอ lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x
และ
3. lim ( ) ( )x a
f x f a
** ถำเงอนไขขอใด ขอหนงขำดไป แสดงวำ f ไมตอเนอง x = a
ตวอยางท 12 ถำ
23 , 3
( ) 2 5 , 1 3
3 2 , 1
x x
f x x x
x x
ขอใดตอไปนถก 1. f ตอเนองท x = – 1 แตไมตอเนองท x =3 2. f ตอเนองท x = – 1 และ x =3 3. f ไมตอเนองท x = – 1 แตตอเนองท x =3
4. f ไมตอเนองท x = – 1 และ x =3 วธท ำ
ม 2 จดทตองพจำรณำคอ x = 1 และ x = 3 1. พจำรณำควำมตอเนองของ f ท x = – 1
• f(-1) = 2(-1) + 5 = 3
• 2 2
1 1lim ( ) lim 3 3( 1) 3x x
f x x
• 1 1
lim ( ) lim(2 5) 2( 1) 5 3x x
f x x
42
แสดงวำ ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = – 1
2. พจำรณำควำมตอเนองของ f ท x = 3
• f(3) = 3(3) - 2 = 9 – 2 = 7
• 3 3
lim ( ) lim(2 5) 2(3) 5 6 5 11x x
f x x
• 33
lim ( ) lim (3 2) 3(3) 2 9 2 7xx
f x x
แสดงวำ ฟงกชน f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = 3 ดงนน f ตอเนองท x = – 1 แตไมตอเนองท x = 3 ตอบ
ตวเลอก 1
ตวอยางท 13 ถำ
1,0 1
3 1
( ) 1 , 1
2 5, 1
1
xx
f x x
xx
x
พจำรณำขอควำมตอไปน ก.
1 1lim ( ) lim ( )x x
f x f x
ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 2. ก ผด และ ข ผด วธท ำ พจำรณำควำมตอเนองท x = 1
1. f(1) = 1
2. 1 1
1 1 1lim ( ) lim
3 1 3(1) 1 4x xf x
x
3. 1 1 1
2 5 2 5 2 5lim ( ) lim lim
1 1 2 5x x x
x x xf x
x x x
43
1 1
4 (5 ) 1lim lim
( 1)(2 5 ) ( 1)(2 5 )x x
x x
x x x x
1
1 1 1 1lim
2 2 4(2 5 ) (2 5 1)x x
ก.
1 1lim ( ) lim ( )x x
f x f x
ถก……….
ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 ผด…….… ดงนน ก ถก และ ข ผด ตอบ ตวเลอก 2
ตวอยางท 14 ถำ
2 , 1
( ) 1 ,0 1
0 , 0
x x
f x x x
x
แลว 2
0 1lim ( ) lim ( 1)x x
f x f x
เทำกบขอใดตอไปน
1. – 2 2. – 1 3. 0 4. 1
วธท ำ พจำรณำ 2
0lim ( )x
f x
จำก 0x จะได 2 0x
แสดงวำ
2 2
2 2 2
0 0 0lim ( ) lim ( ) lim ( 1) 0 1 1x x x
f x f x x
พจำรณำ 1
lim ( 1)x
f x
จำก 1x จะได 1 0x
แสดงวำ 1 ( 1) 0 ( 1) 0
lim ( 1) lim ( 1) lim ( 1) 1x x x
f x f x x
= 0 – 1 = – 1
ดงนน 2
0 1lim ( ) lim ( 1)x x
f x f x
= – 1 – 1 = – 2 ตอบ
ตวเลอก 1
44
ตวอยางท 15 ถำ
2 , 0
( ) 2 1 ,0 1
3 , 1
x x
f x x x
x x
แลว 2
0 0lim ( ) lim (1 )x x
f x f x
เทำกบขอใดตอไปน
1. 0 2. 1 3. 2 4. 3
…แบบฝกหด…
1. จงหำคำ 2
0
(1 ) 1limx
x
x
[ 2 ]
2. จงหำคำ 3
0
1 (1 )limx
x
x
[–3 ]
3. จงหำคำ 4
4 2lim
4x
x
x x
[ 1
2 ]
4. จงหำคำ 22
10 2lim 1
4x x x
[ 5
4 ]
5. จงหำคำ 2
22
4lim
6x
x
x x
[ 4
5 ]
6. จงหำคำ 3
lim 3x
x
[ 6 ]
7. จงหำคำ 23
1 6lim
3 9x x x
[ 1
6 ]
8. ก ำหนด 3
( )8
xf x
mx
, เมอ 2x
, เมอ 2x
45
ถำ f ตอเนองท 2x แลว m มคำเทำกบเทำใด [ 8 ]
9. ก ำหนด 3 5
( )3
xf x
x
จงหำคำ
3
lim ( )x
f x
[ 18 ]
10. ก ำหนด 3
2
3
4
( )
1
1
a
f x
x
x
ถำ f ตอเนองท 1x แลว a มคำ
เทำกบเทำใด [ 2 ] อนพนธของฟงกชน
3. อตรำกำรเปลยนแปลง
หลกการ
อตรำกำรเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x + h คอ ( ) ( )f x h f x
h
อตรำกำรเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคำใด ๆ =
0
( ) ( )limh
f x h f x
h
= dy
dx
ตวอยางท 16 ก ำหนดให 3( )y f x x แลว จงหำอตรำกำรเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x = 2 ถง x = 4 วธท า จำกโจทย 3( )y f x x อตรำกำรเปลยนเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x = 2 ถง x = 4 h =4 – 2 = 2
, เมอ 3x
, เมอ 3x
, เมอ 1x
, เมอ 1x
46
เทำกบ 3 3(4) (2) 4 2 64 8 56
282 2 2 2
f f
ตวอยางท 17 ก ำหนดให ( ) 2 1f x x แลว จงหำอตรำกำรเปลยนแปลงเฉลย ในชวง x ถง x + h วธท า จำกโจทย ( ) 2 1y f x x
อตรำกำรเปลยนเฉลย ในชวง x ถง x + h คอ ( ) ( )f x h f x
h
( ) 2( ) 1f x h x h , ( ) 2 1f x x
ดงนน 2( ) 1 2 1( ) ( ) x h xf x h f x
h h
2( ) 1 2 1 2 2 1 2 1
22
x h x x h x
h h
h
h
ตวอยางท 18 ก ำหนดให 3
( )f xx
แลว จงหำอตรำกำรเปลยนแปลงเฉลย ในชวง x
ถง x + h
วธท า จำกโจทย 3
( )f xx
3
( )f x hx h
, 3
( )f xx
ดงนน
3 3 3 3
( ) ( )f x h f x x h x x h x
h h h
47
3 3( ) 3 3 3 3
( ) ( ) ( )
3 1 3
( ) ( )
x x h x x h h
x h x x h x x h x
h h h
h
x h x h x h x
4. อนพนธของฟงกชน
บทนยาม ถำ y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรจนเปนสบเซตของเซตจ ำนวน
จรงและ 0
( ) ( )limh
f x h f x
h
หำคำได เรยกวำคำลมตทไดนวำ “
อนพนธของฟงกชน f ท x ” เขยนแทนดวย dy
dx หรอ y หรอ
( )f x หรอ ( )d f x
dx
0
( ) ( )limh
f x h f x dyy
h dx
Note : 1. dy y
dx x 2. dy
dx คออตรำกำรเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x
ขณะ x มคำใด ๆ 3. เมอ s แทนระยะทำงทวตถเคลอนทไดในเวลำ t หรอ s = f(t)
ถำ v คอ ควำมเรวขณะเวลำ t ใดๆ จะได v = 0
( ) ( )limh
f t h f t
h
dss v
dt
ตวอยางท 19 ก ำหนดให 2( )y f x x แลว จงหำอตรำกำรเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคำใด ๆ และ ท x = 3
วธท า จำกโจทย 2( )f x x
2 2 2( ) ( ) 2f x h x h x xh h
48
นนคอ 2 2 2
0 0
2( ) ( )lim limh h
x xh h xf x h f x
h h
2 2 2
0
2
0
2lim
2lim
h
h
x xh h x
h
xh h
h
0
0
(2 )lim
lim 2
2
h
h
h x h
h
x h
x
และ อตรำกำรเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ท x = 3 เทำกบ 2(3) = 6
ตวอยางท 20 ก ำหนดให 2( )y f x x x แลว จงหำอตรำกำรเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคำใด ๆ และ ท x = – 2
วธท า จำกโจทย 2( )f x x x
2 2 2( ) ( ) ( ) 2f x h x h x h x xh h x h 2 22x xh h x h
นนคอ 2 2 2
0 0
2( ) ( )lim limh h
x xh h x h x xf x h f x
h h
2 2 2
0
2
0
0
0
2lim
2lim
(2 1)lim
lim 2 1
2 1
h
h
h
h
x xh h x h x x
h
xh h h
h
h x h
h
x h
x
และ อตรำกำรเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ท x = – 2 เทำกบ 2(-2) +
1 = – 2 การหาอนพนธของฟงกชนโดยใชสตร
49
ถำ c , n เปนคำคงทใดๆ และ u = f(x) , v=g(x) , w=h(x) เปนฟงกชน
1. ( ) 0d
cdx
2. ( ) 1d
xdx
3. ( )d d
cu c udx dx
4. 1n nd
x n xdx
5. ( )d d d d
u v w u v wdx dx dx dx
6. ( )d d d
u v v u u vdx dx dx
ดฟผลคณ หลง ดฟหนำ + หนำดฟหลง
7. 2( )
d dv u u v
d u dx dx
dx v v
ดฟผลหำร ลำงดฟบน - บนดฟลำง ลำงยกก ำลง 2
8. 1ln
d du u
dx u dx
9. u ud d
e e udx dx
ตวอยางท 21 จงหำคำของอนพนธของฟงกชนตอไปน
1. y = 5 วธท ำ 5 0d
dx
2. y = x วธท ำ 1d
xdx
3. y = 5x + 3 วธท ำ 5 3 5 3 5 0 5d d d
x xdx dx dx
4. y = 42x วธท ำ 4 4 1 32 4 2 8d
x x xdx
5. y = 2x วธท ำ 2 2 1 3( 2) 2d
x x xdx
50
6. y = 22 5 3x x วธท ำ
2 22 5 3 2 5 3 4 5d d d d
x x x x xdx dx dx dx
7. 22y x x วธท ำ 2 2 22 2 2d d d
x x x x x xdx dx dx
2(2) 2 (2 )x x x
2 2
2
2 4
6
x x
x
จำกขอ 7 สำมำรถท ำไดอกแบบ คอ 2 32 2y x x x
วธท ำ 3 2 22 (2)(3) 6d
x x xdx
8. 2 1x
yx
วธท ำ
2
2 1 2 12 1
( )
d dx x x x
d x dx dx
dx x x
2
2
2
(2) 2 1
2 2 1
1
x x
x
x x
x
x
9. ln(2 1)y x วธท ำ 1ln(2 1) (2 1)
(2 1)
d dx x
dx x dx
1(2)
(2 1)
2
(2 1)
x
x
10. 2xy e วธท ำ 2 2 2 22 (2) 2x x x xd d
e e x e edx dx
51
กฏลกโซ
ตวอยางท 22 ถำ 9( ) (2 1)f x y x จงหำ dy
dx และ (0)f , (0)f
วธท ำ ให 2 1z x จะได 9y z
จำกสตร dy dy dz
dx dz dx
9 2 1dy d d
z xdx dz dx
8 89 (2) 18dy
z zdx
แทน 2 1z x จะได 818(2 1)dy
xdx
จำก 9( ) (2 1)f x x แลว 9 9(0) 2(0) 1 1 1f
และ 8( ) 18(2 1)f x x แลว
8 8
(0) 18 2(0) 1 18 1 18f ตวอยางท 23 ถำ 2( ) 1f x y x จงหำ ( )f x และ (2)f
วธท ำ จำก 1
2 2 21 1y x x
ให 2 1z x จะได 1
2y z
ถา ( )y f z และ ( )z g x
จะได ( )dy dy dz
f xdx dz dx
52
จำกสตร ( )dy dy dz
f xdx dz dx
1 1
122 2
11 (2 )
2
dy d dz x x
dx dz dxz
1
21
2
1( ) ( )
xz x x
zz
แทน 2 1z x จะได 2
( )1
xf x
x
จะได วำ 2
2 2 2 3 2 3(2)
33 3 32 1f
ตวอยางท 24 ถำ 1( )
2 1f x
x
จงหำ ( )f x ท x = 1
วธท ำ ให 11(2 1)
2 1y x
x
ให 2 1z x จะได 1y z
จำกสตร dy dy dz
dx dz dx
1 1 12 1 ( 1) (2)dy d d
z x zdx dz dx
2
2
2
2
z
z
แทน 2 1z x จะได 2
2( )
(2 1)f x
x
ท x = 0 จะไดวำ
2 2
2 2 2(1)
3 92(1) 1f
…แบบฝกหด… จงหำคำ อนพนธของฟงกชน
1. y = 2 2. 2( ) 4f x x 3. 3 22 3 1y x x x
53
4. ( ) (3 1)(2 )f x x x ท x = 1 5. ( ) ( 2)(5 1)f x x x ท x = 0
6. 3
( )f xx
ท x = 1
7. 2
4
4y
x
8. 2
23 1
xy
x
9. 4
2( ) 2 2 5f x x x ท x = 0
10. 2y x x 5. อนพนธอนดบสง
ขอก าหนด ให ( )y f x เปนฟงกชนทสำมำรถหำอนพนธได และ ( )f x เปนอนพนธ ของ
( )f x ซงสำมำรถหำอนพนธได 1. จะเรยกอนพนธ ของ อนพนธ ของ ( )f x หรอ อนพนธ ของ ( )f x ( diff
ซอน diff ) วำอนพนธอนดบท 2 ของ ( )f x
2. สำมำรถเขยนแทนดวยสญลกษณ เปน ( )f x หรอ 2
2
d y
dx
▪ อนพนธอนดบท 1 ( )dy
f xdx
▪ อนพนธอนดบท 2 2
2( )
d dy d yf x
dx dx dx
▪ อนพนธอนดบท 3 2 3
(3)
2 3( ) ( )
d d y d yf x f x
dx dx dx
▪ อนพนธอนดบท 4 4
(4)
4( )
d yf x
dx
▪ ... …
▪ อนพนธอนดบท n ( ) ( )n
n
n
d yf x
dx
ตวอยางท 25 ถำ 5( )f x x จงหำ (4) ( )f x ท x = 2
54
วธท ำ ให 5( )f x x
5 4( ) 5d
f x x xdx
5 4 3( ) 5 20d d d d
f x x x xdx dx dx dx
(3) 2( ) 60f x x (4) ( ) 120f x x
(4) ( )f x ท x = 2 เทำกบ (4) (2) 120(2) 240f
ตวอยางท 26 ถำ 4 3( ) 4 2 9f x x x x จงหำ 5
5
d y
dx
วธท ำ ให 4 3( ) 4 2 9f x x x x
3 24 12 2dy
x xdx
2
2
212 24
d yx x
dx
3
324 24
d yx
dx
4
4
5
5
24
0
d y
dx
d y
dx
ดงนน 5
50
d y
dx
6. อนพนธของฟงกชนอมพลสต หรอ ฟงกชนแฝง
ตวอยางท 27 ถำ 2 29 25x y จงหำ dy
dx ทจด (– 4 ,1 )
55
วธท ำ take diff จะได
2 29 25d d
x ydx dx
2 29 25d d d
x ydx dx dx
2 9(2) 0d dy
x x ydx dx
2 18 0d dy
x x ydx dx
2 18dy
x ydx
2
18
x dy
y dx
9
dy x
dx y
ณ จด (– 4 ,1 )
( 4) 4
9(1) 9
dy
dx
ดงนน dy
dx ทจด (– 4 ,1 ) เทำกบ
4
9
ตวอยางท 28 ถำ 24x y xy จงหำ dy
dx ทจด (1 , – 2 )
วธท ำ 24d d
x y xydx dx
24d d d d
x y x y y xdx dx dx dx
1 4(2)d d
y y x y ydx dx
1 4(2)d d
y y x y ydx dx
1 8dy dy
y x ydx dx
8 1dy dy
y x ydx dx
8 1dy
y x ydx
1 1 1 1 1
8 8 1 8 8
dy y y y y
dx y x y x y x y x
ทจด (19 , – 2 ) 1 ( 2) 3
18( 2) 19 3
dy
dx
7. อนพนธของฟงกชนคอมโพสต หรอ ฟงกชนประกอบ
ถำ ( )( ) ( ( ))y g f x g f x แลว ( )
( ( ))( )
dy d df xg f x
dx df x dx
56
ให ( )u f x และ ( )y g u จะได ( )dy d du dy du
g udx du dx du dx
ใชเทคนคของกฎลกโซ
ตวอยางท 29 ให ( )( )y g f x , 3( ) 2g x x และ 2( ) 2 3 4f x x x จง
หำ dy
dx
วธท ำ จำก ( )( ) ( ( ))y g f x g f x
2
32
(2 3 4)
2 3 4 2
g x x
x x
เทคนค 1. ดฟขำงนอก
3 2
2 22 3 4 2 3 2 3 4d
x x x xdx
2. ดฟขำงใน 22 3 4 4 3d
x x xdx
3. เอำผลดฟมำคณกน 2
23 2 3 4 4 3dy
x x xdx
หรออกวธหนง ให 22 3 4u x x จะได 3 1y u
3 21 2 3 4dy dy du d d
u x xdx du dx du dx
23 4 3u x แทน 22 3 4u x x จะได
2
23 2 3 4 4 3dy
x x xdx
ตวอยางท 30 ให 3 2( ) 2 1f x x x x , ( ) ( )g x f x จงหำ ( )( )g f x และ
( )(1)g f
วธท ำ จำก ( ) ( )g x f x จะได
2( ) 3 2 2
( ) 6 2
f x x x
f x x
นนคอ ( ) ( ) 6 2g x f x x
57
จำก 3 2( )( ) ( ( )) ( 2 1)g f x g f x g x x x
3 26( 2 1) 2x x x 3 2
3 2
6 6 6 6 2
6 6 12 8
x x x
x x x
ดงนน 3 2( )(1) 6(1) 6(1) 12(1) 8g f
6 6 12 8
4
ตวอยางท 31 ให 8 6( )f x x x และ f คอ อนพนธ ของ f ถำ na เปนล ำดบซงม lim 1nx
a
แลว lim nx
f f a
เทำกบเทำใด
วธท ำ 8 6( )f x x x
7 5( ) 8 6f x x x นนคอ ( ( ))f f x f f x
8 6
8 67 5 7 5
( ) ( )
8 6 8 6
f x f x
x x x x
ดงนน 8 6
7 5 7 58 6 8 6n n n n nf f a a a a a
8 6
7 5 7 5lim lim 8 6 lim 8 6n n n n nx x x
f f a a a a a
8 6
7 5 7 58lim 6lim 8lim 6limn n n nx x x x
a a a a
8 6
8 6
8 6 8 6
2 2
256 64
192
ตวอยางท 32 สมมตวำ g เปนฟงกชนทสำมำรถหำอนพนธได ถำ (3) 2g , (3) 3g และ 3 23
( )
x xy
g x
แลว dy
dx ท x = 3 มคำเทำกบเทำใด
58
วธท ำ จำก 3 23
( )
x xy
g x
จะได
3 2 3 2
2
( ) 3 3 ( )
( )
d dg x x x x x g x
dy dx dxydx g x
2 3 2
2
( ) 3 6 3 ( )
( )
g x x x x x g xy
g x
ดงนน
2 3 2
2
(3) 3(3) 6(3) (3) 3(3) (3)(3)
(3)
g gy
g
2
[2] 27 18 27 27 [3]
2
[2] 9
4
9
2
8. ควำมชนของเสนโคง
สงทควรร ถำ ( )y f x เปนสมกำรของเสนโคง
1. จะมควำมชนของเสนโคง ( m ) เทำกบ ( )dy
f xdx
2. เสนสมผสเสนโคงผำนจด 0 0( , )x y ใด ๆ จะมควำมชน ( m ) คอ 0( )m f x 3. สมกำรเสนตรง ท สมผสเสนโคง ทจด 0 0( , )x y จะมสมกำรเสนตรงเปน
0 0( )y y m x x 4. สมกำรเสนตรง มควำมชน เปน 1m ตงฉากกบ เสนสมผส ท 0 0( , )x y มควำมชน
เปน 2m จะไดวำ 1 2 1m m
5. สมกำรเสนตรง มควำมชน เปน 1m ขนานกบ เสนสมผส ท 0 0( , )x y มควำมชน
เปน 2m จะไดวำ 1 2m m
6. เสนตรงทผำนจด 2 จด คอ ( , )x y และ 0 0( , )x y จะไดวำ ควำมชน 0
0
y ym
x x
59
ตวอยางท 34 จงหำจดสมผส บนเสนโคง 2 3 4y x x ทมควำมชนของเสนสมผสเทำกบ 1
วธท ำ diff สมกำรเสนโคง 2 3 4y x x
2 3 4 2 3 1dy d
x x xdx dx
จำก 2 3 1x แกสมกำรหำคำ x
2x น ำ 2x แทนในสมกำรเสนโคง 2 3 4y x x เพอหำคำ y
22 3(2) 4 4 6 4 6y ดงนน จดสมผส คอ
0 0( , ) (2, 6)x y
ตวอยางท 35 เสนตรงเสนหนง มควำมชนเทำกบ 2 และสมผสเสนโคง 2 2y x จงหำสมกำรเสนตรงนน
วธท ำ diff สมกำรเสนโคง 2 2y x
2 2 2 2dy d
x xdx dx
จำก 2 2x แกสมกำรหำคำ x
1x น ำ 1x แทนในสมกำรเสนโคง 2 2y x เพอหำคำ y
2(1) 2 1 2 3y นนคอ จดสมผส คอ
0 0( , ) (1,3)x y สมกำรเสนตรงเปน
0 0( )y y m x x แทนคำ 0 0( , ) (1,3)x y และ 2m
จะได สมกำรเสนตรงเปน 3 2( 1) 2 2y x x
2 2 3 2 1y x x ดงนน สมกำรเสนตรง คอ 2 1y x
ตวอยางท 36 ให (a,b) เปนจดบนเสนโคง 22 2 5y x x ซงเสนสมผสโคงทจด (a,b) นจะตงฉำกกบ เสนตรง 6 1 0x y ดงนน a+b มคำเทำใด
วธท ำ จำก 22 2 5y x x จะได 4 2y x
60
(a,b) เปนจดบนเสนโคง ควำมชนของเสนโคง คอ 4 2m y a และ เสนตรง 6 1 0x y ตงฉำกเสนสมผสโคง นนคอ ควำมชนคณกนเทำกบ -1 จดรปของ 6 1 0x y ใหอยรปของ
0 0( )y y m x x
จะได 1 1( 1)
6 6
xy x
ดงนน m = 1
6
เอำควำมชน ของ เสนสมผสโคง กบ เสนตรงมคณกน จะได
1
4 2 16
a
4 2 6a 4 4a 4
1 14
a x
แทน x=1 ในสมกำร 22 2 5y x x จะได
22(1) 2(1) 5 2 2 5 1 1y b ดงนน a + b = 1+( –1) = 0
9. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด
หลกการ ให f เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง ( , )a b และตอเนองบน [ , ]a b แลว
1. ถำ ( ) 0f x ส ำหรบทกคำ x แลว f(x) เปนฟงกชน เพม บนชวง (a,b)
2. ถำ ( ) 0f x ส ำหรบทกคำ x แลว f(x) เปนฟงกชน ลด บนชวง (a,b)
ตวอยางท 37 3 21( ) 3 8
3f x x x x เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด ในชวงใด
วธท ำ หำอนพนธของ f(x)
3 2 21( ) 3 8 6 8 ( 2)( 4)
3
df x x x x x x x x
dx
ดงนน f เปนฟงกชนเพม เมอ ( 2)( 4) 0x x 4x หรอ 2x
61
และ f เปนฟงกชนลด เมอ ( 2)( 4) 0x x
2 4x นนคอ f เปนฟงกชนเพมในชวง ( ,2) (4, ) และ f เปนฟงกชนลดในชวง (2,4)
ตวอยางท 38 2( ) 2 8 5f x x x เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด ในชวงใด วธท ำ หำอนพนธของ f(x)
2( ) 2 8 5 4 8d
f x x x xdx
ดงนน f เปนฟงกชนเพม เมอ 4 8 0x 2x และ f เปนฟงกชนลด เมอ 4 8 0x 2x
นนคอ f เปนฟงกชนเพมในชวง (2, ) และ f เปนฟงกชนลดในชวง ( ,2)
10. คำสงสดและคำต ำสด
หลกการ ให ( )f x เปนฟงกชน ทตองกำรหำคำสงสดและ คำต ำสด 1. หำ ( )f x 2. จบ ( ) 0f x แลว แกสมกำรหำคำ x คำ x ทไดเรยกวำ
“ คาวกฤต ” สมมตวำได x c 3. หำ ( )f x 4. น ำคำวกฤต x c แทนใน ( )f x แลวท ำกำรตรวจสอบ
4.1 ถำ ( ) 0f c แลว f ใหคำ สงสดสมพทธ ท x c 4.2 ถำ ( ) 0f c แลว f ใหคำ ต าสดสมพทธ ท x c
5. ถำ น ำคำ c ทท ำใหเกดคำสงสดสมพทธ แทนใน ( )f x จะได คาสงสดสมบรณ ถำ น ำคำ c ทท ำใหเกดคำต ำสดสมพทธ แทนใน ( )f x จะได คาต าสดสมบรณ ** คำสงสดสมบรณ และ คำต ำสดสมบรณ คอ คำสงสดและคำต ำสด จรงๆๆ
62
ตวอยางท 39 จงหำคำ x ทท ำใหเกดจดสงสดสมพทธ และ จดต ำสดสมพทธ ของ
3 2( ) 3 9 4f x x x x และหำคำสงสดสมบรณ และ คำต ำสดสมบรณ ดวย
วธท ำ 1.) หำอนพนธของ f(x) 2( ) 3 6 9f x x x
2.) ให ( ) 0f x จะได 23 6 9 0x x
2 2 3 0x x ( 3)( 1) 0x x 3 , 1x จดวกฤต คอ 3 , 1x 3.) ( )f x จะได ( ) 6 6f x x 4.) แทนคำ 3x ใน ( ) 6 6f x x
(3)f 6(3) 6 18 6 12 0 แสดงวำ 3x ใหคำต ำสดสมพทธ แทนคำ 1x ใน ( ) 6 6f x x
( 1)f 6( 1) 6 6 6 12 0
แสดงวำ 1x ใหคำสงสดสมพทธ 5.) หำคำสงสดสมบรณ 3 2( 1) ( 1) 3( 1) 9( 1) 4f
1 3 9 4
9
หำคำต ำสดสมบรณ 3 2(3) (3) 3(3) 9(3) 4f
27 27 27 4
23
63
ตวอยางท 40 ก ำหนดให 2( ) 2 ( 1)( 2)f x x x x x จงหำจดสงสดสมพทธ และ จดต ำสดสมพทธของ f
และหำคำสงสดสมบรณ และ คำต ำสดสมบรณ ดวย วธท ำ จำก 2( ) 2 ( 1)( 2)f x x x x x
2 2
3 2 2
3 2
2 ( 3 2)
2 6 4
2 7 4
x x x x
x x x x
x x x
1.) หำอนพนธของ f(x) 2( ) 6 14 4f x x x
2.) ให ( ) 0f x จะได 26 14 4 0x x
23 7 2 0x x (3 1)( 2) 0x x 1
, 23
x
จดวกฤต คอ 1, 2
3x
3.) ( )f x จะได ( )f x 12 14x
4.) แทนคำ 1
3x ใน ( )f x 12 14x
( 1)f 1
12 14 4 14 10 03
แสดงวำ 1
3x ใหคำสงสดสมพทธ
แทนคำ 2x ใน ( )f x
(0)f 12(2) 14 24 14 10 0
แสดงวำ 0x ใหคำต ำสดสมพทธ
64
5.) หำคำสงสดสมบรณ 3 2
1 1 1 12 7 4
3 3 3 3f
1 1 12 7 4
27 9 3
2 7 4
27 9 3
2 21 36
27
17
27
หำคำต ำสดสมบรณ
3 22 2 2 7 2 4 2f
2 8 7 4 4 2
16 28 8
4
ตวอยางท 41 ในกำรประมำณกำรปลกมนส ำปะหลงพบวำ ถำขดมนส ำปะหลง 100 กโลกรม จะขำยไดกโลกรมละ 1.50 บำท ถำยงไมขดและรอตอไป จะไดมนส ำปะหลงเพมขนสปดำหละ 10 กโลกรม แตรำคำขำยจะลดลงไปสปดำหละ 0.05 บำทตอกโลกรม ดงนนควรขำยมนส ำปะหลงเมอใด จงจะมรำยได จำกกำรขำยมำกทสด
วธท ำ ให x เปนสปดำหทจะขำย ( )f x เปนรำยไดในกำรขำยเมอสปดำหท x ดงนน ( ) (100 10 )(1.5 0.05 )f x x x
2150 10 0.5x x ( ) 10f x x ให ( ) 0f x จะได 10 0x
10x ตรวจสอบ ( )f x จะได ( ) 1 0f x ใหคำสงสดสมพทธ แสดงวำ ( )f x ใหคำสงสดเมอ 10x ดงนน ควรขำยมนส ำปะหลงเมอสนสปดำหท 10
11. ควำมเรวและควำมเรง
65
หลกการ ถำ ( )s f t เปนสมกำรกำรเคลอนท
1. ควำมเรวเฉลยในชวงเวลำ 1t ถง 2t 2 1
2 1
( ) ( )f t f t
t t
2. ควำมเรวขณะเวลำ t ( )ds
v f tst
3. ควำมเรงขณะเวลำ t 2
2( )
dv d sa f t
st dt
ตวอยางท 42 วตถชนดหนงเคลอนทในแนวเสนตรง มสมกำรเปน 3 26 9 4s t t t โดยท s เปนระยะทำงจำกจดเรมตนมหนวยเปน เมตร เมอวตถเคลอนทไป t วนำท
1. จงหำวำวตถอยหำงจำกจดเรมตนเปนระยะทำงเทำใด เมอวตถเคลอนทไป 2 วนำท
2. จงหำระยะทำงและควำมเรง ในขณะทควำมเรว เปน ศนย วธท ำ 1. จำก 3 26 9 4s t t t เมอเวลำ t = 2 ; 3 2(2) (2) 6(2) 9(2) 4s
8 24 18 4
6
ดงนน เมอวตถเคลอนทไป 2 วนำท วตถจะอยหำงจำกจดเรมตน 6 เมตร 2. จำก 3 26 9 4s t t t
2( ) 3 12 9ds
v t t tdt
( ) 6 12dv
a t tdt
ควำมเรวเปนศนย เมอ ( ) 0ds
v tdt
จะได
23 12 9 0t t 2 4 3 0t t ( 3)( 1) 0t t 1 , 3t
66
หำระยะทำงและควำมเรง เมอ t = 1 3 2(1) (1) 6(1) 9(1) 4s
1 6 9 4 8 เมตร
(1) 6(1) 12a
6 12 6 เมตร / (วนำท)2
เมอ t = 3 3 2(1) (3) 6(3) 9(3) 4s
27 54 27 4 4 เมตร
(3) 6(3) 12a
18 12 6 เมตร / (วนำท)2
ตวอยางท 43 ยงจรวดขนไปบนอำกำศ ซงมฟงกชนของกำรเคลอนท คอ 2 4
2 1
t ts
t
เมอ s
เปนระยะทำงมหนวยเปนฟต สวน t เปนเวลำมหนวยเปนวนำท ขณะทจรวดไมมควำมเรงเลย จะมควำมเรวเปนเทำใด
วธท ำ จำกโจทย 2 4
( )2 1
t ts t
t
ควำมเรว คอ 2 4
( )2 1
ds d t tv t
dt dt t
2
( 1)(4) (4 )(1)2
2 ( 1)
t t t
t
2
4
( 1)t
t
ควำมเรงคอ 2
4( )
( 1)
dv da t t
dt dt t
67
= 3
81
( 1)t
ขณะทจรวดไมมควำมเรงเลย a(t) =0
จะได 3
81 0
( 1)t
1t นนคอ ณ เวลำ 1t จรวดไมมควำมเรงเลย
หำควำมเรว 2
4(1) 1
(1 1)v
2
41
(2)
41
4
1 1
2
ดงนน ขณะทจรวดไมมควำมเรงเลย จะมควำมเรว เทำกบ 2 ฟต / วนำท
...ปรพนธ...
ปรพนธ กำรหำอนพนธ เปนกำรด ำเนนกำรแบบหนงกบฟงกชน กลำวคอ เรำหำอนพนธของฟงกชน
( )f x ไดผลคอ ฟงกชน ( )f x ในทำงกลบกน ถำม ( )f x กำรด ำเนนกำรกบ ( )f x เพอใหได ( )f x เรยกวำ การหาปรพนธ
บทนยาม ฟงกชน F เปนปรพนธของ f เมอ ( )f x หำคำได ส ำหรบทกคำของ x ทอยในโดเมนของ f
12. ปรพนธไมจ ำกดเขต
68
บทนยาม เมอ f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจ เปนสบเซตของจ ำนวนจรงและ
( ) ( )F x f x ส ำหรบทก x ทอยในโดเมนของ f ปรพนธไมจ ำกดเขตของฟงกชน f เขยนแทนดวย
( )f x dx โดยท ( ) ( )f x dx F x c เมอ c เปนคำคงทใดๆ
จำกบทนยำม เรยกกระบวนกำร ( )f x dx วำ “ กำรอนทเกรต ” เครองหมำย เรยกวำ เครองหมำย อนทกรล เรยก ( )f x วำตวถกอนทเกรต และ dx เปนสญลกษณทบอกวำ กำรอนทเกรตนเทยบกบตวแปร x
ทฤษฎบท ถำ c , k เปนคำคงท
1. dx x c
2. kdx kx c
3. 1
1
nn x
x dx cn
เมอ 1n
4. ( ) ( )kf x dx k f x dx 5. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx 6. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
หมำยเหต 1. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
2. ( )( )
( ) ( )
f x dxf xdx
g x g x dx
ตวอยางท 44 จงหำคำของกำรอนทเกรต
69
1. 2 dx วธท ำ 2 2dx x c
2. 4x dx วธท ำ 4 1 5
4
4 1 5
x xx dx c c
3. 34x dx วธท ำ 3 1
3 34 4 43 1
xx dx x dx c
4
444
xc x c
4. 7 48 5x x dx วธท ำ 7 4 7 48 5 8 5x x dx x dx x dx
7 4
7 1 4 1
8 5
8 5
8 5
8 57 1 4 1
8 58 5
x dx x dx
x xc
x xc
x x c
5. 3x x dx วธท ำ 3 3x x dx x dx x dx
3 1 1 1
4 2
3 1 1 1
4 2
x xc
x xc
6. 2
1dx
x วธท ำ 2 1
2
2
1
2 1
xdx x dx c
x
1 1
1
xc c
x
7. 3
22 3x dx
x
วธท ำ 3
3
22 3 2 3 2x dx x x dx
x
70
32 3 2x dx dx x dx
3
1 1 3 1
2 2
2 2
2
2
2 3 2
2 3( ) 21 1 3 1
2 3( ) 22 2
3
13
x dx dx x dx
x xx c
x xx c
x x x c
x x cx
…แบบฝกหด…
1. จงหำคำ 2( 2 3)x x dx
2. จงหำคำ x dx
3. จงหำคำ ( 1)( 2)x x dx
4. จงหำคำ 4
4
35 1x dx
x
5. จงหำคำ 13
32 2x x dx
13. ปรพนธจ ำกดเขต
ถำให ( )F x เปนปรพนธของ f(x) อนทกรลจ ำกดเขตของฟงกชนตอเนอง f บนชวง x = a ถง x = b คอ
( ) ( )
b
a
bf x dx F x
a
( ) ( )F b F a
71
เมอ ( ) ( )F x f x เรยก a วำ ขอบลาง และ เรยก b วำ ขอบบน
หมายเหต กำรหำปรพนธจ ำกดของฟงกชน ไมจ ำเปน บวกคำ c เขำไป เนองจำก เมอ
แทนคำ x = a และ x = b ใน ( )F x แลว ( ) ( )F b F a คำ c จะลบกนหมดไป
สมบตของอนทกรลจ ากดเขต
1. ( ) 0
a
a
f x dx
2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
3. ( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
ตวอยางท 45 จงหำคำ
1. 3
2
0
x dx
วธท ำ 3 2 1 3 3 3
2
0
3 3(3) (0) 27
92 1 3 3 3 3
0 0
x xx dx
2. 2
4
1
x dx
วธท ำ 2 4 1 5 5 5
4
1
2 2(2) (1)
4 1 5 5 51 1
x xx dx
72
32 1 31
5 5 5
3. 3
3
2
4x dx
วธท ำ 3 3 3 1
3 3
2 2
3
4 4 43 1
2
xx dx x dx
4
4 4 4
33
4 (3) (2)24
2
xx
81 16 65
4. 2
3
1
x x dx
วธท ำ 2 2 2
3 3
1 1 1
x x dx x dx x dx
3 1 1 1
4 2
4 4 2 2
2 2
3 1 1 11 1
2 2
4 21 1
(2) (1) (2) (1)
4 4 2 2
x x
x x
16 1 4 1 15 3
4 4 2 2 4 2
15 6 9
4 4
14. พนททปดลอมดวยเสนโคง
ถำ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a , b] และ ( ) 0f x แลวพนททลอมรอบดวยเสนโคง
( )y f x แกน X , เสนตรง x a และ เสนตรง x b คอ
73
พนท (A) = ( )
b
a
f x dx
หลกการ 1. เขยนกรำฟของสมกำรทโจทยก ำหนดมำใหทกครง 2. หำขอบเขตทก ำหนดพนท (ปดลอมดวยเสนโคง กบแกน x ) 3. น ำสมกำรมำอนทเกรต แลวใสขอบเขต ▪ ถำ พนทมคำเปนบวก ชวงกรำฟอยเหนอแกน x ▪ ถำ พนทมคำเปนลบ ชวงกรำฟอยใตแกน x
4. พนทจะมคำเปนบวกเสมอ เครองหมำยของผลอนทเกรตเปนกำรบอกวำกรำฟอยในชวงใด
ตวอยางท 46 จงหำพนทปดลอมดวยเสนโคง 2( ) 4 4f x x x กบแกน x ในชวง
0x ถง 3x วธท ำ เขยนกรำฟของเสนโคง 2( ) 4 4f x x x และขอบเขตพนท ทโจทยตองกำร
พนท A =
3
0
( )f x dx
3
2
0
4 4x x dx
32
3
2 43
0
xx x
32(3)
2(3) 4(3) 03
39
74
ตวอยางท 47 จงหำพนทปดลอมดวยเสนโคง 2( ) 5f x x กบแกน x ในชวง 1x ถง
2x วธท ำ เขยนกรำฟของเสนโคง 2( ) 5f x x และขอบเขตพนท ทโจทยตองกำร
พนท A =
2
1
( )f x dx
2
2
1
5x dx
32
53
1
xx
3 3(2) ( 1)5(2) 5( 1)
3 3
8 1
10 53 3
8 110 5
3 3
915 15 3 18
3
75
ตวอยางท 48 จงหำพนทปดลอมดวยเสนโคง 2( ) 9f x x กบแกน x ในชวง 0x ถง
3x วธท ำ เขยนกรำฟของเสนโคง 2( ) 9f x x และขอบเขตพนท ทโจทยตองกำร
พนท A =
3
0
( )f x dx
3
2
0
9x dx
33
93
0
xx
3 3(3) (0)9(3) 9(0)
3 3
27 0
27 03 3
9 27 0
18
76
ตวอยางท 49 จงหำพนทปดลอมดวยเสนโคง 2( ) 2f x x x กบแกน x ในชวง 1x ถง 3x
วธท ำ เขยนกรำฟของเสนโคง 2( ) 2f x x x และขอบเขตพนท ทโจทยตองกำร
2
2
2
0
2A x x dx 3
2
2
30
xx
3
2(2)(2) 0
3
8 8 124 0 0
3 3 3
4 4
3 3
3
2
3
2
2A x x dx 3
2
3
32
xx
3 3
2 2(3) (2)(3) (2)
3 3
27 8 49 4
3 3 3
พนท A =
3
1
( )f x dx
แยกคดเปนพนท 1 2 3, ,A A A
0
2
1
1
2A x x dx
3 2 32
0 02
3 2 31 1
x x xx
32( 1)
0 ( 1)3
1 1 3 4
0 1 0 03 3 3 3
4
3
77
พนท A =3
1
( )f x dx
= 1 2 3A A A = 4 4 4
3 3 3 = 12
3 = 4
15. พนท ระหวำง เสนโคง ถำ f และ g เปนฟงกชนตอเนอง และ ( ) ( )f x g x บนชวงปด [a,b] แลวพนทระหวำงเสนโคง ( )y f x และ ( )y g x ตงแต x a ถง x b คอ
พนท (A) = ( ) ( )
b
a
f x g x dx
ตวอยางท 50 จงหำพนทปดลอมดวยเสนตรง ( ) 2f x x และ เสนโคง 2( )g x x วธท ำ เขยนกรำฟของเสนตรง ( ) 2f x x และ เสนโคง 2( )g x x
โจทยไมไดขอบเขตมำให แต พนทปดลอม อยในชวง 1x ถง 2x
พนท (A) = ( ) ( )
b
a
f x g x dx
จดตดของกราฟ คอ
(-1 , 1 ) และ ( 2 , 4 )
78
= 2
2
1
( 2)x x dx
= 2 3
2
22 3
1
x xx
= 2 3 2 3(2) (2) ( 1) ( 1)
2(2) 2( 1)2 3 2 3
= 4 8 1 1 12 24 16 3 12 24 2 ( )
2 3 2 3 6 6
= 20 7 20 7 27 9
6 6 6 6 6 2
ตวอยางท 51 จงหำพนทปดลอมดวย เสนโคง ( ) 2f x x และ เสนตรง 4
( ) 13
g x x
วธท ำ เขยนกรำฟของเสนตรง ( ) 2f x x และ เสนโคง 4 4 4
( ) 13 3 3
g x x x
โจทยไมไดขอบเขตมำให แต พนทปดลอม อยในชวง 0x ถง 4x
พนท (A) = ( ) ( )
b
a
f x g x dx
= 4
0
4 42
3 3x x dx
= 4 1
2
0
4 42
3 3x x dx
จดตดของกราฟ คอ
( 0 , 2 ) และ ( 4 , 4 )
79
= 3
22
42 4 4
23 6 3
0
x x x x
= 3
222 4 4
(4) 2(4) (4) (4) 03 6 3
= 2 4 4(8) 2(4) (16) (4)
3 6 3
= 16 32 168
3 3 3 = 16 24 32 16
3 3 3 3
= 16 24 32 16
3
= 24
3
= 8
…แบบฝกหด… จงหำคำ
1. 4
1
1
2x dx
x
2. 1
0
3 2x dx
3. 1
2
1
3 2 3x x dx
4. ถำ ( ) 3f x x จงหำ ( )f x
80
5. ถำ 2
1( )f x
x และ (1) 2f จงหำ ( )f x
6. ถำ ( ) 2f x , (0) 3f และ (2) 11f จงหำ ( )f x
7. ให ก ำหนด 2
( )x
f xx
จงหำคำ 2
0
( )f x dx
8. ก ำหนด ให ( )f x เปนฟงกชนซง (2) 1f , (1) 3f และ ( ) 3f x ทกคำของ x แลว (0)f มคำเทำใด
, เมอ 1 2x
, เมอ 0 1x
บทท 4 อนทเกรชน และการประยกต (Integration and Applications)
ในบทนจะเนนถง การหาฟงกชนจากอนพนธทก าหนดให การหาอนทกรลแบบไมจ ากด และการหาอนทกรลแบบจ ากด รวมถงเทคนคตางๆทใชในการหาอนทกรล และการน าเอาอนทกรลไปประยกตใช
4.1 อนทกรลแบบไมจ ากด (Indefinite Integrals)
ในกระบวนการทจะหา f (x) จากอนพนธ f (x) ทก าหนด พรอมทงคาคงทอกคาหนงคาของ f
(x) นนอาจแบงออกไดเปน 2 ขนตอนดวยกน ขนตอนแรกเปนการหาปฏยานพนธของ f (Anti-Derivative) ทงหมด ส าหรบขนตอนทสองเปนการหาอนพนธทสอดคลองกบคาทก าหนดให
นยาม 4.1 ก าหนดฟงกชน f (x) และอนพนธของ f (x) หรอ f (x) ส าหรบทกคา x ทอยในโดเมนของ f ปฏยานพนธของ f ทงหมดจะเรยกวาเปนอนทกรลไมจ ากดของ f เทยบกบ x เขยนแทนดวย dx)x(f
ทฤษฎบท 4.1 ก าหนด ฟงกชน f (x) และ F (x) เปนปฏยานพนธของ f (x) อนทกรลไมจ ากดของ f เทยบกบ x จะเทากบผลบวกของ F (x) กบคาคงท นนคอ dx)x(f = F (x) + C คา C เรยกวาเปนคาคงทของการอนทเกรชน (Constant of Integration) หรอคาคงทไมเจาะจง (Arbitrary Constant)
ตวอยางเชน dxx = 2
x2
+ C
2
x2
เปนปฏยานพนธของ x
C เปนคาคงทไมเจาะจง
ในการหาอนทกรลไมจ ากดของ f (x) โดยทวไปนน ไมสามารถหาไดอยางงายนก อยางไรกตามจากฟงกชนอนพนธทไดกลาวมาแลวในบทท 3 นนสามารถทจะน ามาสรปเปนสตรของการหาอนทกรลไมจ ากดไดดงแสดงในตารางท 4.1
42
ตารางท 4.1 สตรของการหาอนทกรลไมจ ากด
1. dxk = kx + C , k เปนคาคงท
2. dxx
1 = ln|x| + C
3. dxxn = 1n
x 1n
+ C , n เปนจ านวนตกยะ และ n –1
4. dxxsin = –cosx + C 5. dxxcos = sinx + C 6. dxxsec2 = tanx + C 7. dxxeccos 2 = –cotx + C 8. dxxtanxsec = secx + C 9. dxxcotxeccos = –cosecx + C
10. dxax = aln
ax
+ C, a เปนจ านวนจรง, a > 0 และ a 1
11. dxex = ex + C
4.1.1 กฎของอนทกรลไมจ ากด
1. กฎการคณดวยคาคงท dx)x(fk = k dx)x(f , k เปนจ านวนจรง 2. กฎการบวกและลบ dx)x(g)x(f = dx)x(f dx)x(g
ตวอยาง 4.1 จงหาอนทกรลไมจ ากดตอไปน
1. dx3x2x3 2 2. dxxsinxcos 3. dx)3e( xx
วธท า 1. dx3x2x3 2 = dxx3 2 + dxx2 + dx3
= x3 + C1 + x2 + C2 + 3x + C3
ถาให C = C1 + C2 + C3
จะไดวา dx3x2x3 2 = x3 + x2 + 3x + C
ขอสงเกต เนองจากผลรวมของคาคงทกไดวาเปนคาคงท ดงนนจะใชคาคงท C แทนผลรวมของคาคงททงหมด
43
2. dxxsinxcos = dxxcos – dxxsin = sinx + cosx + C
3. dx)3e( xx = dxex + dx3x
= ex + 3ln
3x
+ C
ตวอยาง 4.2 จงหา dx)xtanx(sec 2
วธท า dx)xtanx(sec 2 = dxxtanxtanxsec2xsec 22 = dx1xsecxtanxsec2xsec 22 = dx1xtanxsec2xsec2 2 = 2tanx + 2secx – x + C
4.2 เทคนคของการอนทกรล (Integration Technique)
อยางทไดกลาวมาแลวขางตน การหาอนทกรลไมจ ากดส าหรบบางฟงกชน เชน lnx การทจะหาปฏยานพนธของ lnx หรอหาวา f (x) ใดทมอนพนธคอ lnx ไมใชเปนสงทงาย ดงนน การหาอนทกรลไมจ ากดเขตส าหรบบางฟงกชนจ าเปนตองมเทคนคหรอวธการโดยเฉพาะ วธส าคญๆ คอ
1. วธเปลยนตวแปร (Substitution Method) 2. วธเศษสวนยอย (Partial Fraction Method) 3. วธแยกสวน (By Part Technique) 4. วธแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric Substitution)
4.2.1 วธเปลยนตวแปร
ส าหรบอนทกรลไมจ ากดทอยในรปของ dx)x(g))x(g(f ' โดยท f และ g เปนฟงกชนตอเนอง
นน มวธการดงน
1. ก าหนดให u = g(x) และ du = g(x) ซงจะท าใหไดวา dx)x(g))x(g(f ' = du)u(f
2. หาอนทกรลไมจ ากดเทยบกบตวแปร u 3. แทนคา u ดวย g(x)
ดงตวอยางตอไปน
44
ตวอยาง 4.3 จงหา dx)5x(x6 42
วธท า ให u = x2 + 5 ดงนน du = 2x dx จะได dx)5x(x6 42 = duu3 4
= 5
u3 5
+ C
= 5
3 (x2 + 5)4+ C
ตวอยาง 4.4 จงหา
dx4x3
1
วธท า ให u = 3x – 4 ดงนน du = 3 dx
จะได
dx4x3
1 =
du3
u 2
1
= 31
2
1
u 2
1
+ C
= 3
22
1
u + C
= 3
24x3 + C
ตวอยาง 4.5 จงหา dxex3
2 x
วธท า ให u = x3 จะได du = 3x2 dx
ดงนน dxex3
2 x = due3
1 u
= 3
eu
+ C
= 3
1 3xe + C
ตวอยาง 4.6 จงหา
dx)2x3(sin
1
2
วธท า ให u = 3x + 2 จะได du = 3 dx จะได
dx
)2x3(sin
1
2 = du
)u(sin3
1
2
= –3
1 cotu + C
= –3
1 cot(3x + 2) + C
45
ตวอยาง 4.7 จงหา dxxsec
วธท า dxxsec =
dx
)xtanx(sec
)xtanx(secxsec
=
dx
xsecxtan
xtanxsecxsec2
ให u = tanx + secx จะได
du = (sec2x + secxtanx) dx
ดงนน dxxsec = duu
1
= ln |u| + C = ln |tanx + secx| + C
4.2.2 วธเศษสวนยอย วธนจะอาศยหลกการทเศษสวนของฟงกชนทจะหาอนทกรล ทประกอบดวยหลายเทอมคณ
กนอยนน สามารถแยกยอยออกเปนผลบวกของฟงกชนทมเศษสวนยอย ดงนนแทนทจะหาอนทกรลของฟงกชนทมเศษสวนเดม กจะหาอนทกรลของฟงกชนทเปนเศษสวนยอยๆ เหลานน ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 4.8
dx3x2x
1
2
วธท า จาก 3x2x
1
2 =
)1x)(3x(
1
ดงนน 3x2x
1
2 =
3x
A
+
3x
B
โดยท A, B เปนจ านวนจรง
= )1x)(3x(
)3x(B)1x(A
= )1x)(3x(
)B3A(x)BA(
จากการเทยบสมประสทธจะได A + B = 0 A – 3B = 1
ซงจะได A = 4
1 และ B = –4
1
ดงนน
dx3x2x
1
2 =
dx)3x(4
1 – dx
)1x(4
1
= 4
1 3x
dx – 4
1 1x
dx
= 4
1 ln|x – 3| – 4
1 ln|x + 1| + c, c R
46
ตวอยาง 4.9
dx)1x(x
1
2
วธท า ให )1x(x
1
2 =
x
A + 1x
CBx
2
= )1x(x
x)CBx()1x(A
2
2
จากการเทยบสมประสทธจะได A + B = 0 C = 0 A = 1
และจะได B = –1 ดงนน
dx
)1x(x
1
2 = dx
x
1 –
dx1x
x
2
= dxx
1 – 2
1
)1x(d
1x
1 2
2
= ln|x| – 2
1 ln|x2 + 1| + c, c R
4.2.3 วธแยกสวน วธแยกสวน เปนเทคนคของการหาอนทกรลของฟงกชนทอยในรปแบบของฟงกชน ท
คอนขางมความซบซอนหรอไมสามารถหาอนทกรลไดโดยตรง ซงทงนการใชวธนตองจดรปแบบอนทกรลใหเปนแบบ dvu โดยท u และ v เปนฟงกชนของ x ทงนจากวธแยกสวนจะไดวา
dvu = uv - duv
ตวอยาง 4.10 จงหา dxex x
วธท า dxex x = xedx (ในทน u = x และ v = ex)
= xex – dxex
= xex – ex + c, c R ตวอยาง 4.11 จงหา dxxln
วธท า dxxln = xlnx – dxx
1x (ในทน u = lnx และ v = x)
= xlnx – dx = xlnx – x + c, c R
47
ตวอยาง 4.12 จงหา dxxcosex
วธท า dxxcosex = xsindex (ในทน u = ex และ v = sin x)
= exsinx – dxexsin x
= exsinx + xcosdex
= exsinx + excos x – dxexcos x
ดงนน 2 dxxcosex = exsinx + excosx
นนคอ dxxcosex = 2
1 (exsinx + excosx) + c, c R
4.2.4 วธแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต
ส าหรบการหาอนทกรลของฟงกชนทอยในรปของ 22 xa , 22 xa หรอ 22 ax สามารถหาคาอนทกรลโดยการเปลยนตวแปร x ใหอยในฟงกชนทางตรโกณมต กลาวคอถาอยในรปของ 22 xa จะให x = tan
22 xa จะให x = sin 22 ax จะให x = sec
ตวอยาง 4.13 จงหาคาอนทกรลตอไปน
1.
dx
x1
1
2 2.
dx
x9
1
2
3.
dx
9x4
1
2
วธท า 1.
dx
x1
1
2
ให x = sin ดงนน dx = cos d ดงนน
dx
x1
1
2 =
θdθcos
sin1
1
2
= θdθcos
cos
1
= θd1 = + C
= arcsin(x) + C
48
2.
dx
x9
1
2
ให x = 3tan ดงนน dx = 3sec2 d
ดงนน
dx
x9
1
2 =
dsec3
tan99
1 2
2
= dsec = ln|sec + tan| + C
= 3
x
3
x9ln
2
+ C
3.
dx
9x4
1
2
ให x = 2
3 sec ดงนน dx = 2
3 sectan d
ดงนน
dx
9x4
1
2 =
2
3
dtansec
9sec9
1
2
= 2
1 dsec
= 2
1 ln|sec + tan| + C
= 2
1
3
9x4
3
x2ln
2 + C
ตวอยาง 4.14 จงหาคาอนทกรลตอไปน
1.
dx
x4
1
2
2.
dxxx610
1
2
วธท า 1.
dx
x4
1
2
ให x = 2sin ดงนน dx = 2cos d ดงนน
dx
x4
1
2 =
θdθcos2
sin44
1
2
=
θd
cos2
cos2
= θd1 = + C
= arcsin2
x + C
49
2.
dxxx610
1
2
ให x + 3 = tan จะได dx = sec2 d
ดงนน
dxxx610
1
2 =
θd
tan1
sec
2
2
= θd1 = + C = arctan(x + 3) + C
4.3 อนทกรลแบบจ ากด (Definite Integrals)
นยาม 4.2 ก าหนด f เปนฟงกชนทหาปฏยานพนธไดในชวง [a, b] และ F(x) เปนปฏยานพนธของ f
จะกลาวไดวาอนทกรลแบบจ ากดของ f ในชวง [a, b] เขยนแทนดวย b
a
dx)x(f = F(b) – F(a)
หมายเหต คาของ F(b) – F(a) อาจเขยนแทนดวยสญลกษณ b
a)x(F
ตวอยาง 4.15 จงหาคาของอนทกรลแบบจ ากดตอไปน
1.
3
2
2 dxx2x3
2.
2
0
dxxsin
วธท า 1.
3
2
2 dxx2x3
3
2
2 dxx2x3 = 3223 xx
= (33 – 32) – (23 – 22) = 18 – 4 = 14
2.
2
0
dxxsin = 2
0xcos
= (–cos2
) – (–cos0)
= 0 + 1 = 1
50
ทฤษฎบท 4.2 กฎของอนทกรลแบบจ ากด
1. b
a
dx)x(f = a
b
dx)x(f
2. a
a
dx)x(f = 0
3. b
a
dx)x(kf = k b
a
dx)x(f , k เปนจ านวนจรง
4.
b
a
dx)x(g)x(f = b
a
dx)x(f b
a
dx)x(g
5. b
a
dx)x(f + c
b
dx)x(f = c
a
dx)x(f
4.4 การประยกตใชอนทกรล (Application of Integrals)
ในการน าเอาอนทกรลไปประยกตใชนนมในหลากหลายรปแบบดวยกน เชน การหาคาความยาวของเสนโคง การหาพนทระหวางเสนโคง การหาปรมาตรของรปทรงตางๆ แตในบทนจะกลาวถงเฉพาะการเอาไปประยกตใชในการหาพนทเทานน
4.4.1 การหาพนทใตเสนโคง
ในการหาพนททอยระหวางเสนโคง เสนโคง y = f (x) ในชวงท n มคาอยในชวง [a, b] นน
สามารถน าเอาการอนทกรลแบบจ ากดไปประยกตใชได ทงนพนทดงกลาวจะหาไดจาก b
a
dx)x(f
ตวอยาง 4.16 จงหาพนททอยระหวางแกน x กบเสนโคง y = f (x) ในชวง [a, b] โดยท
1. f (x) = 9 – x2 , [a, b] = [–3, 3]
2. f (x) = x2 – 2x – 8 , [a, b] = [–4, 2]
วธท า 1. f (x) = 9 – x2 , [a, b] = [–3, 3]
พนท =
3
3
2dxx9
= 3
3
3
3
xx9
= (27 – 3
27 ) – (–27 + 3
27 )
= 18 + 18 = 36 ตารางหนวย
51
2. f (x) = x2 – 2x – 8 , [a, b] = [–4, 2]
พนท =
2
4
2 dx8x2x
= 2
4
23
x8x3
x
= (3
8 – 4 – 16) – (–3
64 – 16 + 32)
= (–3
52 ) – (–3
16 )
= –12 ตารางหนวย
ขอสงเกต ในการหาพนทระหวางเสนโคง y = f (x) กบแกน x จากตวอยางดงกลาวขางตนโดยใช
b
adx)x(f นนจะเหนไดวามทงทมคาเปนบวกและมคาเปนลบ ทงนขนอยกบวาพนทดงกลาวอยเหนอ
หรอใตแกน x ถาพนททไดมคาเปนบวกแสดงวาเปนพนททอยเหนอแกน x และถาพนทมคาเปนลบแสดงวาพนทนนอยใตแกน x
ดงนน ถาตองการใหเหนขนาดของพนทจรงๆ โดยไมมเครองหมายเขามาเกยวของนน อาจท าได
โดยการหาคาสมบรณของ b
a
dx)x(f = | b
a
dx)x(f |
ตวอยาง 4.17 จงหาพนททอยระหวางเสนโคง f (x) = x3 – 4x2 + x + 6 กบแกน x , –1 x 3
วธท า จาก f (x) = x3 – 4x2 + x + 6 = (x + 1)(x – 2)(x – 3)
ถา f (x) = 0 จะไดวา x = –1, 2 หรอ 3
ดงนน ถาใหชวง [–1, 3] แบงออกไดเปน 2 ชวงยอย คอ ชวง [–1, 2] และชวง [2, 3] ทงน ในชวง [–1, 2] นน f (x) 0 และในชวง [2, 3] f (x) 0
พนทระหวาง f (x) กบแกน x ในชวง [–1, 2]
พนท =
2
1
23 dx6xx4x
= 2
1
234
x62
x
3
x4
4
x
52
= (4 – 3
32 + 2 + 12) – (4
1 + 3
4 + 2
1 – 6)
= 3
22 – 3
47 = 12
41 ตารางหนวย
พนทระหวาง f (x) กบแกน x ในชวง [2, 3]
พนท =
2
1
23 dx6xx4x
= 3
2
234
x62
x
3
x4
4
x
= (4
81 – 36 + 2
9 + 18) – (4 – 3
32 + 2 + 12)
= 4
27 – 3
22 = –12
7 ตารางหนวย
ดงนนพนททงหมด = 12
41 + |–12
7 | = 12
48 = 4 ตารางหนวย
4.4.2 การหาพนทระหวางเสนโคง
การหาพนทระหวางเสนโคง y = f (x) กบเสนโคง y = g(x) โดยท f (x) g(x) ในชวง [a, b] นน
หาไดจาก
b
a
dx)x(g)x(f
ตวอยาง 4.18 จงหาพนททอยระหวางเสนโคง y = 2 – x2 และเสนตรง y = x
วธท า
หาจดตดของเสนโคงกบเสนตรงดงกลาวโดยการให
2 – x2 = x
x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0
x = –2, 1
ดงนนพนทระหวางเสนโคง y = 2 – x2 และเสนตรง y = x
พนท =
1
2
2 dx)x)x2((
y = x
y = 2 – x2
-2
1
53
=
1
2
2 dx)xx2(
= 1
2
23
2
x
3
xx2
= (2 – 3
1 – 2
1 ) – (–4 + 3
8 – 2)
= 6
7 + 3
10 = 6
27 = 2
9 ตารางหนวย
ตวอยาง 4.19 จงหาพนทลอมรอบดวยเสนโคง y2 = x และเสนตรง y = x – 2
วธท า
หาจดตดของเสนโคงกบเสนตรงโดยการให
x = (x – 2)2
x2 – 4x + 4 = x
x2 – 5x + 4 = 0 (x – 4)(x – 1) = 0 x = 4, 1
จะเหนไดวาพนททอยใตเสนโคง y2= x และเสนตรง y = x – 2 นนแบงออกไดเปน 2 สวน
สวนท 1 คอในชวง [0, 1] เปนพนททอยใตเสนโคง y = x และอยเหนอเสนโคง y = – x และในสวนท 2 คอชวง [1, 4] เปนพนททอยใตเสนโคง y = x และเสนตรง y = x – 2
ดงนน พนททลอมรอบดวยเสนโคง y2 = x และเสนตรง y = x – 2
พนท =
1
0
dx))x(x( +
4
1
dx)2x(x
= 1
0
dxx2 +
4
1
dx)2xx
= 3
4
1
0
2
3
x
+ 4
1
22
3
x22
xx
3
2
= 3
4 + 3
14 + 2
1 – 2 = 2
9 ตารางหนวย
y = x - 2
y2 = x
1 4
54
แบบฝกหด 1. จงหาคาของการอนทกรลไมจ ากดตอไปน
1.1 dx3x2x2
1.2 dxx
1x3
1.3 dxxcosxsin
1.4 dx)5x3(x 42
1.5 dx)2xcos(x 32
1.6
dx4x5x
1
2
1.7
dx4x3x
x
2
1.8
dx)2x(x
1
2
1.9
dx3x2x)(1x(
x
2
1.10 dxxlnx
1.11 dxex x2
1.12
dx
4x25
1
2
1.13
dx
3x2x
1
2
1.14
dx
x16
1
2
1.15
dxx4
1
2
1.16 dxxe 72x
55
2. จงหาคาของอนทกรลแบบจ ากดตอไปน
2.1
2
1
2 dx3x2x
2.2
0
xdxe
2.3
1
12
dxx1
1
3. จงหาพนททอยเหนอหรอใตแกน x ของ f(x) ตอไปน
3.1 f(x) = x2 – 2x – 3
3.2 f(x) = 4 - x2
4. จงหาพนททอยระหวางเสนโคง f(x) กบ g(x) ตอไปน 4.1 f(x) = 9 - x2, g(x) = 4x – 3 4.2 f(x) = x2 + 2x + 3, g(x) = 3x + 5