ล ำดับอนันต์ และ อนุกรมอนันต์ · 4 ล...

ล ำดบอนนต และ

อนกรมอนนต

31 Oct 2016

สารบญ

ทบทวนล ำดบเลขคณต ............................................................................................................................................................ 1

ทบทวนล ำดบเรขำคณต ........................................................................................................................................................... 3

ทบทวนล ำดบเวยนเกด............................................................................................................................................................. 5

ล ำดบพหนำม ........................................................................................................................................................................... 6

ลมตของล ำดบ .......................................................................................................................................................................... 8

กำรหำลมตในรปเศษสวน ..................................................................................................................................................... 12

กำรหำผลบวกอนกรมดวยซกมำ ........................................................................................................................................... 18

ทบทวนอนกรมเลขคณต ....................................................................................................................................................... 26

ทบทวนอนกรมเรขำคณต ...................................................................................................................................................... 29

อนกรมเรขำคณตดดแปลง .................................................................................................................................................... 31

อนกรมเทเลสโคปค ............................................................................................................................................................... 34

อนกรมอนนต ......................................................................................................................................................................... 40

อนกรมเรขำคณตอนนต ........................................................................................................................................................ 45

ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต 1

ทบทวนล ำดบเลขคณต

ล ำดบเลขคณต คอ ล ำดบทเพมหรอลดอยำงคงท โดยกำรบวก

เรำเรยกคำคงท ทน ำมำบวก วำ “ผลตำงรวม” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑑 เชน 5 , 8 , 11 , 14 → 𝑑 = 3 1 , 3 , 5 , 7 → 𝑑 = 2

5 , 3 , 1 , −1 → 𝑑 = −2 5 , 5 , 5 , 5 → 𝑑 = 0

1 , 3

2 , 2 ,

5

2 → 𝑑 =

1

2

จะเหนวำ ถำเอำสองพจนทอยตดกนในล ำดบเลขคณต มำลบกน (พจนขวำ ลบ พจนซำย) จะไดผลลพธเทำกบ 𝑑 เสมอ เชน ล ำดบเลขคณต 5 , 8 , 11 , 14 , … จะเหนวำ 8 − 5 = 11 − 8 = 14 − 11 = 3 = 𝑑

สตรพจนทวไปของล ำดบเลขคณต คอ

แบบฝกหด

1. ก ำหนดให 4 พจนแรกของล ำดบเลขคณต คอ 2𝑎 + 1 , 2𝑏 − 1 , 3𝑏 − 𝑎 และ 𝑎 + 3𝑏 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวนจรง พจนท 1000 ของล ำดบเลขคณตนเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/17]

2. จ ำนวนเตมทมคำตงแต 100 ถง 999 ทหำรดวย 2 ลงตว แตหำรดวย 3 ไมลงตว มจ ำนวนเทำกบเทำใด

[PAT 1 (ก.ค. 52)/36]

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

2 ล ำดบอนนต และอนกรมอนนต

3. พจำรณำกำรจดเรยงล ำดบของจ ำนวน 2, 5, 8, 11, 14, … ในตำรำงดงตอไปน

จ ำนวน 2012 อยในหลกทเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/50]

4. บทนยำม ให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง เรยกพจน 𝑎𝑛 วำ พจนค ถำ 𝑛 เปนจ ำนวนค และ

เรยกพจน 𝑎𝑛 วำ พจนค ถำ 𝑛 เปนจ ำนวนค ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบเลขคณต โดยทมจ ำนวนพจนเปนจ ำนวนค และผลบวกของพจนคทงหมด เทำกบ 36 และผลบวกของพจนคทงหมดเทำกบ 56 ถำพจนสดทำยมำกกวำพจนแรก เปนจ ำนวนเทำกบ 38 แลวล ำดบเลขคณต {𝑎𝑛} น มทงหมดกพจน [PAT 1 (ต.ค. 53)/38]

5. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5 และ 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, 𝑏5, 𝑏6 เปนล ำดบเลขคณตของจ ำนวนจรงบวก

โดยท 𝑎1 = 𝑏2 , 𝑎5 = 𝑏5 และ 𝑎1 ≠ 𝑎5 ถำ (𝑏6−𝑏4)+(𝑏6−𝑏1)𝑎4−𝑎2

= 𝑥

𝑦 เมอ ห.ร.ม. ของ 𝑥 กบ 𝑦 เทำกบ 1

แลว 𝑥2 + 𝑦2 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/36]

หลกท 1

หลกท 2

หลกท 3

หลกท 4

หลกท 5

2 5 8 23 20 17 14 11

26 29 32 47 44 41 38 35 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮


ทบทวนล ำดบเรขำคณต

ล ำดบเรขำคณต คอ ล ำดบทเพมหรอลด อยำงคงท โดยกำร “คณ” เรำเรยกคำคงท ทน ำมำคณ วำ “อตรำสวนรวม” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑟 เชน 2 , 6 , 18 , 54 → 𝑟 = 3 3 , −6 , 12 , −24 → 𝑟 = −2

5, 5, 5, 5 → 𝑟 = 1 10, 5, 5

2 , 5

4 → 𝑟 = 1

2

1, √2 , 2 , 2√2 → 𝑟 = √2

จะเหนวำ ถำเอำสองพจนทอยตดกนในล ำดบเรขำคณต มำหำรกน

โดยเอำพจนขวำเปนตวตง หำรดวย พจนซำยทอยตดกน จะไดผลลพธเทำกบ 𝑟 เสมอ

เชน ในล ำดบเรขำคณต 2 , 6 , 18 , 54 , … จะเหนวำ 62 =

18

6 =

54

18 = 3 = 𝑟

สตรพจนทวไปของล ำดบเรขำคณต คอ


1. ถำผลคณของล ำดบเรขำคณต 3 จ ำนวนทเรยงตดกน เทำกบ 343 และผลบวกของทงสำมจ ำนวนน เทำกบ 57

แลวคำมำกทสดในบรรดำ 3 จ ำนวนน เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/49]

2. ก ำหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 26𝑥2 + 𝑏𝑥 − 216 เมอ 𝑏 เปนจ ำนวนจรง ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เปนจ ำนวนจรงสำมจ ำนวนเรยงกนแบบล ำดบเรขำคณต และเปนค ำตอบของสมกำร 𝑓(𝑥) = 0

แลว จงหำคำ 𝑏 [PAT 1 (ต.ค. 55)/19*]

𝑎𝑛 = 𝑎1𝑟𝑛−1


3. ก ำหนดให 𝑥, 𝑦, 𝑧 เปนล ำดบเรขำคณต มอตรำสวนรวมเทำกบ 𝑟 และ 𝑥 ≠ 𝑦

ถำ 𝑥, 2𝑦, 3𝑧 เปนล ำดบเลขคณต แลว คำ 𝑟 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/17]

4. ให 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 เปนจ ำนวนจรง โดยท 2𝑎 , 3𝑏 , 4𝑐 เปนล ำดบเรขำคณต และ 1𝑎

, 1

𝑏 , 1

𝑐 เปนล ำดบเลขคณต

คำของ 𝑎𝑐+𝑐

𝑎 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/39]


ทบทวนล ำดบเวยนเกด

ล ำดบเวยนเกด คอ ล ำดบตองใชพจนกอนหนำในกำรค ำนวณพจนถดๆไป

ล ำดบประเภทน จะยงยำก เพรำะสดทำย เรำมกตอง “ไลหำตงแต 𝑎1 ขนมำ” จนกวำจะถงพจนทเรำตองกำร

แบบฝกหด 1. ให {𝑏𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑏1 = −3 และ 𝑏𝑛+1 =

1+𝑏𝑛

1−𝑏𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

คำของ 𝑏1000 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/39]

2. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบของจ ำนวนเตม โดยมสมบตดงน 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘+1 + 𝑎𝑘+2 = 2576 − 𝑘 เมอ 𝑘 = 1, 2, 3, …

ถำ 𝑎1 = 12 , 𝑎2 = 2556 และ 𝑎3 = 7 แลวคำของ 𝑎2558 เทำกบเทำใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/37]

3. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนล ำดบซงสอดคลองกบเงอนไข 1

𝑎𝑛+

1

𝑎𝑛−1= 1 ส ำหรบทกจ ำนวนนบ 𝑛

ถำ 𝑎1 + 𝑎2+. . . +𝑎100 = 250 แลว |𝑎2552 − 2.5| มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/47]


ล ำดบพหนำม

เรองน ไมอยในหลกสตร แตนกเรยนสวนใหญนยมใหสอน จงน ำมำรวมในเอกสำรดวย

ในกรณทสตรของ 𝑎𝑛 สำมำรถเขยนเปนพหนำมได จะมสตรกำรหำพจนทวไปอย วธนจะไดสตร 𝑎𝑛 ทซบซอนไปนด แตรบประกนวำไดชวร (ถำ 𝑎𝑛 สำมำรถเขยนเปนพหนำมได) 1. หำผลตำงของแตละคพจนทตดกน ไปเรอยๆ จนกวำจะไดผลตำงของทกคเทำกน

2. น ำตวแรกของแตละแถว ไปแทนในสตร

ในกรณทตองท ำ 4 แถวถงจะเทำ กบวก (𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)(𝑛−4)(1)(2)(3)(4)

𝑑4 หรอตวอนๆ ตอไปไดเรอยๆ

ตวอยำง จงหำพจนทวไปของล ำดบ 5, 7, 12, 20, …

วธท ำ หำผลตำงของแตละคไปเรอยๆ จนกวำทกตวจะหำงกนคงท

5 7 12 20 𝑎1 = 5 2 5 8 𝑑1 = 2 3 3 𝑑2 = 3

แทนสตร จะได 𝑎𝑛 = 5 +(𝑛−1)

(1)(2) +

(𝑛−1)(𝑛−2)

(1)(2)(3)

= 5 + 2𝑛 − 2 +3(𝑛2−3𝑛+2)

2 =

3𝑛2−5𝑛+12

2 #

ตวอยำง จงหำพจนท 10 ของล ำดบ 1, 5, 12, 24, 43, 71, …

วธท ำ หำผลตำงของแตละคไปเรอยๆ จนกวำทกตวจะหำงกนคงท

1 5 12 24 43 71 𝑎1 = 1 4 7 12 19 28 𝑑1 = 4 3 5 7 9 𝑑2 = 3 2 2 2 𝑑3 = 2

แทนสตร จะได 𝑎𝑛 = 1 +(𝑛−1)

(1)(4) +

(𝑛−1)(𝑛−2)

(1)(2)(3) +

(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)

(1)(2)(3)(2)

ดงนน 𝑎10 = 1 +(10−1)

(1)(4) +

(10−1)(10−2)

(1)(2)(3) +

(10−1)(10−2)(10−3)

(1)(2)(3)(2)

= 1 + (9)(4) +(9)(8)

(1)(2)(3) +

(9)(8)(7)

(1)(2)(3)(2) = 1 + 36 + 108 + 168 = 313 #

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ 𝑑1 ? ? ? ? ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ 𝑑2 ? ? ? ⋁ ⋁ ⋁ 𝑑3 𝑑3 𝑑3

…

𝑎𝑛 = 𝑎1 +(𝑛−1)

(1)𝑑1 +

(𝑛−1)(𝑛−2)

(1)(2)𝑑2 +

(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)

(1)(2)(3)𝑑3


แบบฝกหด 1. จงหำสตรพจนทวไปของล ำดบตอไปน

1. −6 , −3 , 2 , 9 , 18 , … 2. 2 , −1 , −6 , −13

2. จงหำ พจนท 8 ของล ำดบ 1 , 3 , 13 , 37 , 81 , 151


ลมตของล ำดบ

ในคณตศำสตรพนฐำน เรำไดรจก “ล ำดบจ ำกด” และ “ล ำดบอนนต” ไปแลว

ล ำดบจ ำกด คอ ล ำดบทมจ ำนวนพจน เปนจ ำนวนจ ำกด เชน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 ล ำดบอนนต คอ ล ำดบทมพจนตอไปเรอยๆ ไมสนสด เชน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , …

จะเหนวำ ล ำดบอนนต จะม “…” ตอทำย เพอบอกวำมพจนตอไปเรอยๆ

ในหวขอน เรำจะศกษำกำรประมำณคำของ “ตวสดทำย” ในล ำดบอนนต

จะเหนวำ ล ำดบอนนต จะมพจนตอทำยไปเรอยๆ ดงนน ล ำดบอนนต จะไมมตวสดทำย

อยำงไรกตำม เรำสำมำรถ “ประมำณ” ตวสดทำยของล ำดบอนนต “บำง” ล ำดบได

เชน 1

2 ,

1

3 ,

1

4 ,

1

5 , … ตวสดทำยจะมคำประมำณ 0 เพรำะ สวนเพมขนเรอยๆ ในขณะทเศษเปน 1 ตลอด

0.3 , 0.33 , 0.333 , … ตวสดทำยจะมคำประมำณ 0.33333333333… ซงจะเทำกบ 13

3 , 3 , 3 , 3 , … ตวสดทำยจะมคำประมำณ 3

แตอยำงไรกตำม ล ำดบอนนตสวนใหญ จะไมสำมำรถหำคำประมำณของตวสดทำยได

เชน 1 , 3 , 5 , 7 , … ล ำดบน เพมขนอยำงไมมขอบเขต จงไมสำมำรถประมำณตวสดทำยได

−1 , −3 , −5 , −7 , … ล ำดบน ลดลงอยำงไมมขอบเขต จงไมสำมำรถประมำณตวสดทำยได

3 , −3 , 3 , −3 , … ล ำดบน แกวงไปแกวงมำ ท ำใหบอกไมได วำตวสดทำยประมำณ 3 หรอ −3

“ลมตของล ำดบ” แทนดวยสญลกษณ n

lim 𝑎𝑛 หมำยถง คำประมำณของพจนสดทำย ในล ำดบอนนต {𝑎𝑛}

เชน ล ำดบ 12 ,

1

3 ,

1

4 ,

1

5 , … มลมตของล ำดบ คอ 0

ล ำดบ 3 , 3 , 3 , 3 , … มลมตของล ำดบ คอ 3

ล ำดบ 1 , 3 , 5 , 7 , … หำลมตของล ำดบไมได เปนตน

ในกรณทโจทยใหสตรพจนทวไปมำ กำรหำ n

lim 𝑎𝑛 จะท ำไดโดยกำรแทน 𝑛 ดวย ∞ ลงไป

หลกในกำรค ำนวณคำประมำณ เกยวกบ ∞ จะมดงน ∞ + ∞ → ∞ ∞ − ∞ → ไมร ∞ + 𝑘 → ∞ ∞ − 𝑘 → ∞ 𝑘 − ∞ → −∞

∞ × ∞ → ∞ ∞ × 𝑘 → {

∞ เมอ 𝑘 เปนบวก −∞ เมอ 𝑘 เปนลบไมร เมอ 𝑘 ประมำณ 0

∞

𝑘 → { ∞ เมอ 𝑘 เปนบวก

−∞ เมอ 𝑘 เปนลบ

𝑘

∞ → 0

∞

∞ → ไมร

∞𝑘 → {

∞ เมอ 𝑘 เปนบวก 0 เมอ 𝑘 เปนลบไมร เมอ 𝑘 ประมำณ 0

𝑘∞ →

{

∞ เมอ 𝑘 > 1 1 เมอ 𝑘 = 10 เมอ 0 < 𝑘 < 1ไมร เมอ 𝑘 ประมำณ 0


ถำแทน 𝑛 ดวย ∞ แลวไดผลเปน “ไมร” แปลวำเรำตองจดรปเพมกอน แลวคอยแทนใหม ถำแทนแลว ค ำนวณคำประมำณได ∞ หรอ −∞ หรอ แกวงไปแกวงมำ ใหตอบวำ

nlim 𝑎𝑛 หำไมได

เชน n

lim 2𝑛 = หำไมได n

lim 1

3𝑛+1 = 0

n

lim 3𝑛 = หำไมได n

lim 1

2−5𝑛 = 0

n

lim 4 = 4 n

lim 4𝑛2 + 1 = หำไมได

n

lim (−1)𝑛 = แกวงระหวำง 1 กบ −1 = หำไมได

ตวอยำง จงหำคำของ n

lim4𝑛+1

𝑛−1

วธท ำ ถำแทน 𝑛 ดวย ∞ จะได ∞∞

ซงประมำณคำตอไมได

ขอน เรำจะจดรป 4𝑛+1𝑛−1

กอน โดยดง 𝑛 จำกเศษและสวนมำตดกน → 4𝑛+1𝑛−1

= 𝑛(4+

1

𝑛)

𝑛(1−1

𝑛) =

4+1

𝑛

1−1

𝑛

จำกนน คอยแทน 𝑛 ดวย ∞ ลงไปใหม จะได 4+

1

𝑛

1−1

𝑛

= 4+

1

∞

1−1

∞

= 4+0

1−0 = 4 #

ในกรณทแทนแลวได ∞∞

เรำจะมวธจดรป โดยกำรดง 𝑛𝑘 จำกทงเศษและสวนมำตดกน

เชน n

lim 2𝑛

3𝑛+5 =

nlim

2𝑛

𝑛(3+5

𝑛) =

nlim

2

3+0 =

2

3

n

lim𝑛2−3𝑛+4

2𝑛2+5 =

nlim

𝑛2(1−3

𝑛+4

𝑛2)

𝑛2(2+5

𝑛2)

= n

lim1−0+0

2+0 =

1

2

n

lim 2𝑛2−𝑛+3

4𝑛3−𝑛2+5𝑛−1 =

nlim

𝑛2(2−1

𝑛+3

𝑛2)

𝑛2(4𝑛−1+5

𝑛−1

𝑛2) =

nlim

2−0+0

4𝑛−1+0−0 = 0

n

lim 2𝑛5+3

𝑛3+2𝑛−2 =

nlim

𝑛3(2𝑛2+3

𝑛3)

𝑛3(1+2

𝑛2−2

𝑛3) =

nlim

2𝑛2+0

1+0−0 = หำไมได

n

lim 4𝑛+3

√𝑛2+5𝑛−2 =

nlim

𝑛(4+3

𝑛)

𝑛(√1+5

𝑛−2

𝑛)

= n

lim4+0

√1+0−0 = 4

สดทำย ตองรจกค ำศพท 2 ค ำ ถำ

nlim 𝑎𝑛 หำคำได จะเรยกส ำดบนนวำเปนล ำดบ “คอนเวอรเจนต” (ล ำดบลเขำ)

ถำ n

lim 𝑎𝑛 หำไมได จะเรยกส ำดบนนวำเปนล ำดบ “ไดเวอรเจนต” (ล ำดบลออก)

เชน 𝑎𝑛 = 1

3𝑛+1 เปนล ำดบคอนเวอรเจนต เพรำะ

nlim

1

3𝑛+1 หำคำได เทำกบ 0

𝑎𝑛 = 4𝑛+1

𝑛 เปนล ำดบคอนเวอรเจนต เพรำะ

nlim

4𝑛+1

𝑛 หำคำได เทำกบ 4

𝑎𝑛 = 3𝑛 เปนล ำดบไดเวอรเจนต เพรำะ n

lim 3𝑛 หำคำไมได เปนตน

เรำจะดงให 𝑛𝑘 ตำมพหนำมทดกรนอยกวำ ระหวำงเศษกบสวน



1. จงพจำรณำวำล ำดบตอไปน เปนล ำดบคอนเวอรเจนต หรอ ไดเวอรเจนต พรอมทงหำลมตของล ำดบ ในกรณท {𝑎𝑛} เปนล ำดบคอนเวอรเจนต

1. 𝑎𝑛 = 𝑛 2. 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 10

3. 𝑎𝑛 =1

𝑛 4. 𝑎𝑛 = 3𝑛

5. 𝑎𝑛 = (−2)𝑛 6. 𝑎𝑛 = (−1)2𝑛

7. 𝑎𝑛 =(−1)𝑛

𝑛 8. 𝑎𝑛 =

3𝑛2−2

2𝑛+1

9. 𝑎𝑛 = 2+2𝑛2−3𝑛

𝑛2−2𝑛+1−2𝑛3 10. 𝑎𝑛 =

3𝑛3+2𝑛2−3𝑛+5

2𝑛3−3𝑛2+4𝑛−1

11. 𝑎𝑛 = 𝑛+1

√𝑛−2 12. 𝑎𝑛 =

√3𝑛+2

√𝑛−2


2. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 = 2 และ

𝑎𝑛 = (𝑛+1

𝑛−1) (𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛−1) ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, … แลวคำของ

nlim

𝑛

𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛 เทำกบเทำใด

[PAT 1 (ต.ค. 53)/37]

3. ก ำหนดให { 𝑎𝑛 } เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 = 1 และ 𝑎𝑛 + 1 ≤ 𝑎𝑛+1 และ 𝑎𝑛+5 ≤ 𝑎𝑛 + 5

ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … แลวคำของ n

lim1

𝑛

n

k 1

(𝑎𝑘 + 6 − 𝑘) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/40]

4. ก ำหนดให 𝑡𝑛 = 2𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … และ 𝑎𝑛 = 5𝑡𝑛 + 5−𝑡𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, …

คำของ n

lim 𝑎𝑛+1

𝑎1𝑎2…𝑎𝑛 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/36]


กำรหำลมตในรปเศษสวน หวขอน จะพดถงวธหำ

nlim 𝑎𝑛 แบบงำยๆ โดยใชวธดๆ แลวตอบ

วธคอ เรำจะพยำยำมเขยน 𝑎𝑛 ใหอยในรปเศษสวน แลวดวำ ระหวำงเศษกบสวน ใครชนะ โดยเรำจะน ำ “ตวแรงสดของเศษ” มำเทยบกบ “ตวแรงสดของสวน” โดยใชหลกดงน

พหนำมดกรมำก ชนะ พหนำมดกรนอย (ดกร = ก ำลงสงสดของ 𝑛 ในพหนำม) เอกซโพเนนเชยลฐำนมำก ชนะ เอกซโพเนนเชยลฐำนนอย

เอกซโพเนนเชยล ฐำน > 1 ชนะ พหนำม

เอกซโพเนนเชยล ฐำน < 1 แพ พหนำม

เชน 2𝑛+3𝑛

𝑛2+3𝑛−5 →

เอกซโพฐำน 3พหนำมดกร 2 → เศษชนะ 2𝑛−3𝑛

3𝑛+2∙5𝑛 →

เอกซโพฐำน 3เอกซโพฐำน 5 → สวนชนะ

2𝑛+𝑛2

𝑛1000 →

เอกซโพฐำน 2พหนำมดกร 1000 → เศษชนะ 𝑛2

(0.1)𝑛 →

พหนำมดกร 2เอกซโพฐำน < 1 → เศษชนะ

5∙2𝑛+3𝑛

4∙3𝑛+5 →

เอกซโพฐำน 3เอกซโพฐำน 3 → เสมอ 23𝑛−5𝑛

810(3𝑛)−7𝑛 →

(23)𝑛

7𝑛 →

เอกซโพฐำน 8เอกซโพฐำน 7 → เศษชนะ

2𝑛+1

𝑛2−5𝑛+2 →

พหนำมดกร 1พหนำมดกร 2 → สวนชนะ

(𝑛2+1)3

4𝑛5−1 →

(𝑛2)3

4𝑛5 →

พหนำมดกร 6พหนำมดกร 5 → เศษชนะ

3𝑛2+1

𝑛2−1 →

พหนำมดกร 2พหนำมดกร 2 → เสมอ

4𝑛3+20𝑛2−5𝑛+1

𝑛2−7𝑛3+4𝑛−3 →

พหนำมดกร 3พหนำมดกร 3 → เสมอ

√𝑛−1

√𝑛+13 →

พหนำมดกร 12


→ เศษชนะ √𝑛3−1

𝑛 →


พหนำมดกร 1 → เศษชนะ

เมอตดสนไดแลววำใครชนะ ใหตอบn

lim 𝑎𝑛 ดงน

ถำ เศษชนะ → ตอบ หำไมได

ถำ สวนชนะ → ตอบ 0

ถำ เสมอกน → ตอบ สมประสทธตวแรงสดของเศษสมประสทธตวแรงสดของสวน

(สมประสทธ = ตวเลขทมำคณ)

เชน n

lim 2𝑛+3𝑛

𝑛2+3𝑛−5 = หำไมได

nlim

2𝑛−3𝑛

3𝑛+2∙5𝑛 = 0

n

lim 2𝑛+5𝑛

3𝑛−7𝑛 = 0

nlim

23𝑛−5𝑛

810(3𝑛)−7𝑛+5 = หำไมได

n

lim 5∙2𝑛+3𝑛

4∙3𝑛+5 =

1

4

nlim

2𝑛+1

𝑛2−5𝑛+2 = 0

n

lim 3𝑛2+1

𝑛2−1 =

3

1 = 3

nlim

4𝑛3+20𝑛2−5𝑛+1

𝑛2−7𝑛3+4𝑛−3 =

4

−7 = −

4

7

n

lim (𝑛2+1)

2

𝑛3−5 = หำไมได

nlim

(𝑛3+1)2

2𝑛6−5 =

1

2

เอกซโพ → 𝑛 เปนเลขชก ำลง พพนำม → 𝑛 เปนฐำน


n

lim 2𝑛+𝑛2

𝑛1000 = หำไมได

nlim

(𝑛2+1)2+3𝑛4

5𝑛4−5 =

4

5

n

lim 𝑛2−5𝑛−𝑛3−3

−𝑛2+3 = หำไมได

nlim

2𝑛2−5𝑛+4

3𝑛3+4𝑛2−2𝑛+5 = 0

n

lim 𝑛2−5𝑛−𝑛3−3

−𝑛2+3𝑛3−5 = −

1

3

nlim

(2𝑛+3)(3𝑛−2)

7𝑛2−3 =

6

7

n

lim (𝑛)(𝑛2−3𝑛+1)(3𝑛+1)

(2𝑛−1)4 =

3

16

nlim

(𝑛−1)2(2−𝑛2)

7𝑛3−3 = หำไมได

n

lim √𝑛

𝑛2−1 = 0

nlim

√𝑛−1

√𝑛+13 = หำไมได

n

lim √𝑛3

+2

2√𝑛−5 = 0

nlim

5−𝑛

√𝑛2+1+√4𝑛2−5 = −

1

3

n

lim (32)𝑛

= n

lim 3𝑛

2𝑛 = หำไมได

nlim

√𝑛3+2

2𝑛−5 = หำไมได

n

lim (−1

2)𝑛

= n

lim (−1)𝑛

2𝑛 =

แกวง 1 กบ −1เอกซโพฐำน 2 = 0

ในกรณท 𝑎𝑛 ไมไดอยในรปเศษสวน เรำจะมวธท ำใหเปนเศษสวน โดยกำรคณดวยคอนตเกต ทงเศษและสวน

โดยกำรคณดวยคอนจเกต จะท ำใหเขำสตร (น+ ล)( น− ล) = น2 − ล2 ได

หมำยเหต : คอนจเกต คอ ตวทเหมอนกน ยกเวนเครองหมำยตรงกลำง เปลยนเปนตรงขำม

เชน คอนจเกต ของ √𝑛 + 2 คอ √𝑛 − 2

คอนจเกต ของ 3√𝑛 − 2√𝑛 − 1 คอ 3√𝑛 + 2√𝑛 − 1 เปนตน

ตวอยำง จงหำคำของ n

lim √𝑛 + 1 − √𝑛

วธท ำ เปลยนรปใหเปน เศษสวน โดยกำรคณดวยคอนจเกต = √𝑛 + 1 + √𝑛 ทงเศษและสวน ดงน

จะเหนวำขำงลำงแรงกวำ ดงนน n

lim √𝑛 + 1 − √𝑛 = 0 #

√𝑛 + 1 − √𝑛 = (√𝑛+1−√𝑛)(√𝑛+1+√𝑛)

(√𝑛+1+√𝑛)

= (√𝑛+1)

2−(√𝑛)

2

√𝑛+1+√𝑛

= 𝑛+1−𝑛

√𝑛+1+√𝑛

= 1

√𝑛+1+√𝑛


แบบฝกหด 1. จงพจำรณำวำล ำดบตอไปน เปนล ำดบคอนเวอรเจนต หรอ ไดเวอรเจนต พรอมทงหำลมตของล ำดบ ในกรณท {𝑎𝑛}

เปนล ำดบคอนเวอรเจนต

1. 𝑎𝑛 =1−3𝑛

5∙3𝑛+4 2. 𝑎𝑛 =

2𝑛+1

2−3𝑛

3. 𝑎𝑛 = (2

3)𝑛

4. 𝑎𝑛 =3𝑛

0.9𝑛

5. 𝑎𝑛 =22𝑛+1−3𝑛

4∙2𝑛+5∙3𝑛 6. 𝑎𝑛 =

2𝑛−1

3𝑛2−5𝑛+2

7. 𝑎𝑛 =4𝑛2+3𝑛−2

2𝑛2+𝑛−1 8. 𝑎𝑛 =

3+2𝑛2−𝑛

2−3𝑛

9. 𝑎𝑛 =4𝑛3−1

2𝑛−𝑛3 10. 𝑎𝑛 =

3𝑛+𝑛2+1−𝑛2

2−3𝑛2

11. 𝑎𝑛 = 2 − 𝑛 12. 𝑎𝑛 =1

𝑛

13. 𝑎𝑛 =3𝑛2+2𝑛

(𝑛+1)(𝑛−1) 14. 𝑎𝑛 =

(𝑛+2)(2𝑛−5)

3𝑛−(2𝑛+1)(2𝑛−1)

15. 𝑎𝑛 = 5 16. 𝑎𝑛 =√5𝑛3+2+√𝑛+2

2𝑛√𝑛+1


2. ก ำหนดให 𝛽 เปนจ ำนวนจรง และให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรงทนยำมโดย 𝑎𝑛 =𝛽𝑛−7

𝑛+2

ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … ถำผลบวก 9 พจนแรกมคำมำกกวำผลบวก 7 พจนแรกของล ำดบ {𝑎𝑛} เปนจ ำนวนเทำกบ 𝑎108 แลว

nlim 𝑎𝑛 มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/35]

3. พจำรณำล ำดบ 𝑎𝑛 และ 𝑏𝑛 ตอไปน ล ำดบใดบำง เปนล ำดบลเขำ [A-NET 49/1-16]

𝑎𝑛 = {𝑛2

2𝑛+1เมอ 𝑛 ≤ 100

2 เมอ 𝑛 > 100 𝑏𝑛 = {

2 เมอ 𝑛 ≤ 100𝑛2

2𝑛+1เมอ 𝑛 > 100

4. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนล ำดบเลขคณตทสอดคลองกบเงอนไข n

lim (𝑎𝑛−𝑎1

𝑛) = 5

ถำ 𝑎9 + 𝑎5 = 100 แลว 𝑎100 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/29]


5. ถำ 𝑎𝑛 เปนล ำดบเลขคณตซง n

lim (𝑎𝑛+12 −𝑎𝑛

2

𝑛) = 4 แลว √𝑎17−𝑎9

2 มคำเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-15]

6. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 = 1 และ

𝑎𝑛 = (1 −1

4) (1 −

1

9)…(1 −

1

𝑛2) ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, … คำของ

nlim 𝑎𝑛 เทำกบเทำใด

[PAT 1 (ม.ค. 58)/44]


7. คำของ x

lim (√𝑥(𝑥 − 1) − 𝑥 + 2) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/19]

8. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = √𝑛2 + 16𝑛 + 3 − √𝑛2 + 2 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … คำของ n

lim √𝑎𝑛3 เทำกบเทำใด

[PAT 1 (ม.ค. 57)/20]


กำรหำผลบวกอนกรมดวยซกมำ

ในคณตศำสตรพนฐำน เรำไดรจกสญลกษณ ∑ ไปแลว

โดย สญลกษณ b

ai จะหมำยถงกำรน ำกอน มำบวกซ ำๆกน หลำยๆกอน

โดยกอนแรก ให 𝑖 = 𝑎 และ กอนถดไป ใหเพม 𝑖 ขนทละ 1 ไปเรอยๆ จนจบกอนสดทำยท 𝑖 = 𝑏

เชน 6

3i

𝑖2 + 1 = (32 + 1) + (42 + 1) + (52 + 1) + (62 + 1)

= 10 + 17 + 26 + 37 = 80

4

1i

𝑖(𝑖 + 1) = (1)(1 + 1) + (2)(2 + 1) + (3)(3 + 1) + (4)(4 + 1)

= 2 + 6 + 12 + 20 = 40

และสมบตทส ำคญของ ∑ มดงน

ถำหลง ∑ เปนคำคงท ใหเอำคำคงทคณจ ำนวนพจนทน ำมำบวกกนไดเลย

เชน 4

1i

7 = 7 × 4 = 28 8

1i

5 = 5 × 8 = 40

10

1i

−3 = −3 × 10 = −30 9

3i

−2 = −2 × 7 = −14

ดง “คำคงท” ทคณหรอหำรอย ออกมำคณหรอหำร นอก ∑ ได

เชน 5

1i

4𝑖 = 4 5

1i𝑖

9

1i

−2𝑖2 = −2 9

1i𝑖2

12

9i

𝑖

3 =

1

3

12

9i𝑖

6

1i

−3𝑖3

4 = −

3

4

6

1i𝑖3

∑ กระจำยในกำรบวกลบได แตกระจำยในกำรคณหำรไมได

เชน 5

3i

2𝑖 − 𝑖 = 5

3i2𝑖 −

5

3i𝑖

แต 4

3i

𝑖(𝑖 + 1) ≠

4

3

4

31

iiii

ถำจะกระจำย 4

3i

𝑖(𝑖 + 1) เรำตองเปลยน 𝑖(𝑖 + 1) ใหอยในรปของกำรบวกลบกอน

เชน 4

3i

𝑖(𝑖 + 1) = 4

3i

𝑖2 + 𝑖

= 5

3i𝑖2 +

5

3i𝑖


ในกำรหำผลบวกของอนกรมดวยซกมำ เรำตองทองสตรเพม 3 สตร ดงน

เชน 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = (5)(5+1)(2∙5+1)

6 =

(5)(6)(11)

6 = 55

1 + 2 + 3 + … + 12 = 12

2(12 + 1) = 6 × 13 = 78

13 + 23 + 33 + … + 83 = [8

2(8 + 1)]

2 = (4 × 9)2 = 1296

จำกควำมรทงหมดทกลำวมำ เรำจะสำมำรถหำผลบวกของอนกรมบำงชนดได

โดยมขนตอนงำยๆ คอ เขยน ∑ → กระจำย → ใชสตร เชน ถำตองกำรหำคำของ 9 + 16 + 25 + … + 121 จะมขนตอนกำรท ำ ดงน 1) เขยน ∑ : กำรเขยน ∑ ตองร 2 อยำง คอ “สตรพจนทวไป” กบ “จ ำนวนพจน”

โดยเรำตองเอำสตรพจนทวไป มำเปลยน 𝑛 เปน 𝑖 แลวเตมจ ำนวนพจนไวขำงบน ∑ ขอนไมใชทงอนกรมเลขคณต หรออนกรมเรขำคณต ตองเดำสตรพจนทวไปเอง

จะเหนวำ 9 + 16 + 25 + … + 121 = 32 + 42 + 52 + … + 112

จะไดสตรพจนทวไปคอ 𝑎𝑛 = (𝑛 + 2)2

หำจ ำนวนพจนทบวกกน โดยแกสมกำร

ดงนน 9 + 16 + 25 + … + 121 = 9

1i

(𝑖 + 2)2

2) กระจำย : ขนตอน ตองใชสมบตของ ∑ กระจำยเขำไปใหลกทสด ดงน

3) ใชสตร : #

1 + 2 + 3 + … + 𝑛 =

n

i 1

𝑖 = 𝑛

2(𝑛 + 1)

12 + 22 + 32 + … + 𝑛2 =

n

i 1

𝑖2 = (𝑛)(𝑛+1)(2𝑛+1)

6

13 + 23 + 33 + … + 𝑛3 =

n

i 1

𝑖3 = [𝑛

2(𝑛 + 1)]

2

(𝑛 + 2)2 = 112 𝑛 = 9

9

1i

(𝑖 + 2)2 = 9

1i

𝑖2 + 4𝑖 + 4

= 9

1i𝑖2 +

9

1i

4𝑖 + 9

1i

4

= 9

1i𝑖2 + 4

9

1i𝑖 + 36

= (9)(10)(19)

6 + 4 ∙

9

2∙ 10 + 36

= 285 + 180 + 36 = 501


ตวอยำง จงหำคำของ 12

1i

𝑖(𝑖 + 2)

วธท ำ ขอนใจด ท ำเปนรป ∑ มำใหแลว ทเหลอกแค เอำไปกระจำยกบแทนสตร ดงน #


1. จงหำคำในแตละขอตอไปน

1. 1 + 2 + 3 + … + 20 2. 13+23+33+...+103

1+2+3+...+10

3. 12+22+32+...+𝑘2

𝑘

2. จงหำคำของ (1)(1) + (2)(3) + (3)(5) + … + (8)(15)

12

1i

𝑖(𝑖 + 2) = 12

1i

𝑖2 + 2𝑖

= 12

1i𝑖2 +

12

1i2𝑖

= 12

1i𝑖2 + 2

12

1i𝑖

= (12)(13)(25)

6 + 2 ∙

12

2∙ 13

= 650 + 156

= 806


3. คำของ

9999

1n

1

(√𝑛+√𝑛+1)( √𝑛4 + √𝑛+1

4) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/40]

4. ถำ {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรงท 𝑎𝑛 =2+4+6+⋯+2𝑛

𝑛2 ส ำหรบทกจ ำนวนเตมบวก 𝑛

แลว n

lim 𝑎𝑛 มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/35]

5. ถำ 𝐴 = n

lim (2𝑛𝑘

1+8+27+...+𝑛3) มคำเปนจ ำนวนจรงบวกแลว แลวคำของ 𝐴 เทำกบเทำใด

[PAT 1 (ก.ค. 52)/30]


6. n

lim (3𝑛+12𝑛+27𝑛+ … +3𝑛3

1+8+27+ … +𝑛3) มคำเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-16]

7. ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, … ให 𝑎𝑛 = 1 + 2 + 3 + … + 𝑛

คำของ n

lim𝑎2𝑎3𝑎4…𝑎𝑛

(𝑎2−1)(𝑎3−1)(𝑎4−1)…(𝑎𝑛−1) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/37]

8. ก ำหนดให 𝑎𝑛 =1

𝑛𝑘[1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) +⋯+ (𝑛 +⋯+ 𝑛)⏞

𝑛 พจน

] โดยท 𝑘 เปนคำคงตวทท ำให

nlim 𝑎𝑛 = 𝐿, 𝐿 > 0 แลว 6(𝐿 + 𝑘) มคำเทำใด [A-NET 51/2-8]


9. ก ำหนดให 12+22+32+⋯+𝑛2

1(2)+2(3)+3(4)+⋯+(𝑛−1)𝑛 =

231

228 จงหำคำของ 𝑛 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/42]

10. ให {𝑎𝑛} เปนล ำดบเลขคณต โดยท 𝑎1 = 2 และ 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 < … สมมตวำ 𝑎2, 𝑎4, 𝑎8 เรยงกนเปน

ล ำดบเรขำคณต จงหำคำของ 𝑛 ทท ำให (𝑎1−1)3+(𝑎2−1)

3+ … +(𝑎𝑛−1)3

𝑎13+𝑎2

3+ … +𝑎𝑛3 =

391

450 [PAT 1 (พ.ย. 57)/38]

11. ก ำหนดแบบรป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, … จ ำนวนในพจนท 5060 ของรปแบบนมคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/46]


12. หนงสอเลมหนงม 500 หนำ หนำแรกมค ำผด 1 ค ำ เวนไป 1 หนำ หนำทสำมมค ำผด 1 ค ำ เวนไป 3 หนำ หนำทเจด มค ำผด 1 ค ำ เวนไป 5 หนำ เปนเชนนตอๆไป จ ำนวนหนำทไมมค ำผดจะเพมขนทละ 2 หนำ จ ำนวนค ำผดในหนงสอเลมนเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 57)/44]

13. พจำรณำกำรจดเรยงล ำดบของจ ำนวนค 1, 3, 5, 7, 9, … ในตำรำงดงตอไปน

จำกตำรำงจะเหนวำ จ ำนวน 15 อยต ำแหนงท 2 (จำกซำย) ของแถวท 4

อยำกทรำบวำ จ ำนวน 361 จะอยต ำแหนงใดในแถวทเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/25]

แถวท 1 1

แถวท 2 3 5

แถวท 3 7 9 11

แถวท 4 13 15 17 19

แถวท 5 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮


14. พจำรณำรปตอไปน

ใหเตมจ ำนวนเตมบวก 1, 2, 3, … , 11 ลงในชองรปสเหลยมชองละ 1 จ ำนวน โดยใหผลบวกของจ ำนวนในแนวตงเทำกบ 43 และผลบวกของจ ำนวนในแนวนอน เทำกบ 28 จ ำนวน 𝑥 ในชองรปสเหลยมมม เทำกบเทำใด

[PAT 1 (ม.ค. 53)/49]

15. จำกตำรำงทก ำหนดให มชองวำงทงหมด 16 ชอง ดงรป

ใหเตมจ ำนวนเตมบวก 1, 2, 3, … , 16 ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จ ำนวน โดยใหผลบวกของจ ำนวนในแตละแถว ((ก) และ (ข)) และในแตละหลก ((ค) และ (ง)) มคำเทำๆกน

ถำเตมจ ำนวนเตมบวก 1, 5, 13 ดงปรำกฏในตำรำงแลว จ ำนวน 𝑥 ในตำรำง เทำกบเทำใด

[PAT 1 (ก.ค. 53)/47]

𝑥

แนวตง

แนวนอน

1 5

𝑥 13

หลก (ค) หลก (ง)

แถว (ก)

แถว (ข)


ทบทวนอนกรมเลขคณต

สตรส ำหรบหำผลบวกของอนกรมเลขคณต ม 2 สตร ดงน

เมอ 𝑆𝑛 คอ ผลบวกของอนกรม 𝑎1 คอพจนแรก , 𝑎𝑛 คอพจนสดทำย

𝑛 คอจ ำนวนพจนทน ำมำบวก

𝑑 คอผลตำงรวมในล ำดบเลขคณต


1. ถำล ำดบเลขคณตชดหนงมผลบวก 10 พจนแรกเทำกบ 205 และผลบวกอก 10 พจนถดไปเทำกบ 505 แลว ผลบวก 55 พจนแรกของล ำดบเลขคณตนเทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/36]

2. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบเลขคณต โดยมสมบต ดงน (ก) 𝑎15 − 𝑎13 = 3

(ข) ผลบวก 𝑚 พจนแรกของล ำดบเลขคณตน เทำกบ 325 และ

(ค) ผลบวก 4𝑚 พจนแรกของล ำดบเลขคณตน เทำกบ 4900

แลวพจน 𝑎2𝑚 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/17]

𝑆𝑛 = 𝑛

2(𝑎1 + 𝑎𝑛) (1)

𝑆𝑛 = 𝑛

2[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑] (2)

สตรแรก จะใชเมอเรำรพจนสดทำย

นอกนน ใชสตรทสอง


3. ก ำหนดอนกรมเลขคณต 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎201 ถำ 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + … + 𝑎201 = 303

แลวจงหำคำของ 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … + 𝑎200 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/15]

4. ให {𝑎𝑛} และ {𝑏𝑛} เปนล ำดบเลขคณตของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1+𝑎2+ … +𝑎𝑛𝑏1+𝑏2+ … +𝑏𝑛

= 𝑛+1

2𝑛−1 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

คำของ 2𝑏100𝑎100

เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/38]


5. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎𝑛+1 = 𝑛2 − 𝑎𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

คำของ 𝑎1 ทท ำให 𝑎101 = 5100 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/16]

6. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎1000 เปนล ำดบของจ ำนวนจรงทสอดคลองกบ 𝑎1

𝑎1+2 =

𝑎2

𝑎2+3 =

𝑎3

𝑎3+4 = … =

𝑎1000

𝑎1000+1001

และ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎1000 = 250000 แลวคำของ 𝑎1 + 𝑎1000 เทำกบเทำใด

PAT 1 (เม.ย. 57)/36]


ทบทวนอนกรมเรขำคณต

สตรส ำหรบหำผลบวกของอนกรมเรขำคณต จะม 2 สตร ดงน

เมอ 𝑆𝑛 คอ ผลบวกของอนกรม 𝑎1 คอพจนแรก , 𝑎𝑛 คอพจนสดทำย

𝑛 คอจ ำนวนพจนทน ำมำบวก

𝑟 คออตรำสวนรวมในล ำดบเรขำคณต


1. ก ำหนดให 𝑎𝑛 เปนล ำดบทสอดคลองกบ 𝑎𝑛+2

𝑎𝑛= 2 ส ำหรบทกจ ำนวนนบ 𝑛

ถำ

10

1n

𝑎𝑛 = 31 แลว

2552

1n

𝑎𝑛 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/30]

2. ล ำดบเรขำคณตชดหนง มอตรำสวนรวมเปนจ ำนวนจรงบวก

ถำผลบวกของสองพจนแรก เทำกบ 20 และผลบวกของสพจนแรก เทำกบ 65

แลว ผลบวกของหกพจนแรก เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/34]

𝑆𝑛 = 𝑎1−𝑎𝑛𝑟

1−𝑟 (1)

𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑟

𝑛)

1−𝑟 (2)

สตรแรก จะใชเมอเรำรพจนสดทำย

นอกนน ใชสตรทสอง


3. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยทม 𝑎1 = 2 และ 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 + 1 ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, …

และก ำหนดให 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛 ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 57)/26] 1. 2𝑆𝑛 = 5(3𝑛−1) − 2𝑛 + 1 2. 2𝑆𝑛 = 2(3𝑛) + 3𝑛−1 − 𝑛 − 1

3. 4𝑆𝑛 = 4(3𝑛) + 3𝑛−1 − 4𝑛 − 1 4. 4𝑆𝑛 = 5(3𝑛) − 2𝑛 − 5


อนกรมเรขำคณตดดแปลง หวขอน จะพดถงอนกรมทเกดจำกกำรดดแปลงอนกรมเรขำคณต เอำไปผสมกบอนกรมอน เชน (3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + … + (15 ∙ 27)

เกดจำกกำรผสมระหวำงอนกรมเรขำคณต 2 , 22 , 23 , … , 27 กบ อนกรมเลขคณต 3 , 5 , 7 , … , 15

อนกรมประเภทน ไมสำมำรถท ำในขนตอนเดยวเหมอนทผำนมำได

แตตองใชวธ “หกกบตวมนเอง” ใหกลำยเปนอนกรมเรขำคณตทงำยขนกอน ดงน 1. สมมตใหผลบวกทตองกำรหำ เทำกบ 𝑥 → สมกำร (1)

2. คณหรอหำรทงสองขำง ดวย อตรำสวนรวม (𝑟) ของล ำดบเรขำคณต → สมกำร (2)

3. เขยน สมกำร (1) กบ (2) ใหเลขชก ำลงของ 𝑟 ตรงกน

น ำสมกำร (1) กบ (2) มำลบกน จะเกดกำรหกกน ไดเปนอนกรมทงำยขน

ตวอยำง จงหำคำของ (3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + … + (21 ∙ 210)

วธท ำ อนดบแรก สมมตใหผลบวกทตองกำรหำ เทำกบ 𝑥

ถดมำ คณทงสองขำง ดวย อตรำสวนรวม (𝑟) ของล ำดบเรขำคณต จะเหนวำขอน 𝑟 = 2

จำกนน เขยน (1) กบ (2) ใหเลขชก ำลงตรงกน แลวเอำ (1) − (2) โดยลบเปนหลกๆ

(ตวแรกกบตวสดทำย จะไมมคลบ ใหชกลงมำ / เปลยนเครองหมำย เหมอนตอนลบพหนำมตำมปกต) จะเหนวำผลลบ มสวนทเปนอนกรมเรขำคณต และสำมำรถใชสตร 𝑆𝑛 =

𝑎1−𝑎𝑛𝑟

1−𝑟 ตอได

ดงนน (3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + … + (15 ∙ 27) = 38914 #

(3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + … + (19 ∙ 29) + (21 ∙ 210) = 𝑥 (1)

(3 ∙ 22) + (5 ∙ 23) + (7 ∙ 24) + … + (19 ∙ 210) + (21 ∙ 211) = 2𝑥 (2)

อนกรมเรขำคณต = 2∙22−2∙210∙2

1−2 = 4088

(3 ∙ 2) + (5 ∙ 22) + (7 ∙ 23) + (9 ∙ 24) + … + (21 ∙ 210) = 𝑥 (1) (3 ∙ 22) + (5 ∙ 23) + (7 ∙ 24) + … + (19 ∙ 210) + (21 ∙ 211) = 2𝑥 (2)

(3 ∙ 2) + (2 ∙ 22) + (2 ∙ 23) + (2 ∙ 24) + … + ( 2 ∙ 210) − (21 ∙ 211) = −𝑥

−

6 + 4088 − 43008 = −𝑥 −38194 = −𝑥 38194 = 𝑥



1. จงหำผลบวกของอนกรมตอไปน

1. 1 ∙ 2 + 2 ∙ 22 + 3 ∙ 23 + … + 7 ∙ 27

2. 1 ∙ 2 − 2 ∙ 22 + 3 ∙ 23 − … + 7 ∙ 27

3. 1 ∙ 1 + 3 ∙ 31 + 5 ∙ 32 + … + 11 ∙ 35


4. 1

20+2

2+

3

22+⋯+

6

25

2. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = n

k 1

𝑘

2𝑘 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … คำของ

nlim

2𝑛(6−3𝑎𝑛)

√𝑛2+5𝑛+1 เทำกบเทำใด

[PAT 1 (ม.ค. 57)/37]

3. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 𝑛23𝑛

32𝑛+1 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … จงหำคำของ

1n

𝑎𝑛 [PAT 1 (ต.ค. 58)/20]


อนกรมเทเลสโคปค มอนกรมจ ำนวนมำก ทไมใชอนกรมเลขคณต ไมใชอนกรมเรขำคณต และใชสมบตของ ∑ ไมได

ถำจะหำผลบวกของอนกรมแบบแปลกๆ เรำจะตองใชเทคนคอนๆมำชวย ตำมลกษณะของอนกรม

ในหวขอน จะพดถงเทคนคกำร “สอง” พจนรอบขำงมำหกกน (Telescope = กลองสอง) หวใจของเรองน คอ กำรจดรปแตละพจนในอนกรม ใหเปน “ผลลบ” โดยเมอแยกเปนผลลบไดแลว เรำจะหวงวำ พจนคทอยตดกน จะมบำงตวตดกนได

วธจดรปพจนใหเปนผลลบ จะมอย 2 วธ คอ กำรใชคอนจเกต กบ กำรแตกเศษสวน

คอนจเกต คอ ตวทเหมอนกน ยกเวนเครองหมำยตรงกลำง เปลยนเปนตรงขำม

เชน คอนจเกต ของ √𝑛 + 2 คอ √𝑛 − 2

คอนจเกต ของ 3√𝑛 − 2√𝑛 − 1 คอ 3√𝑛 + 2√𝑛 − 1 เปนตน โดยกำรคณดวยคอนจเกต จะท ำใหเขำสตร (น+ ล)( น− ล) = น2 − ล2 ได

ตวอยำง จงหำคำของ 99

1i

1

√𝑖+1+√𝑖

วธท ำ ลองจดรปโดยกำรคณดวยคอนจเกต จะได

เมอเขยนพจนในรปผลลบไดแลว ใหกระจำย ∑ ดวยควำมหวงวำจะมบำงตว ตดกนได

จะเหนวำ “ตวหนำของพจนหนำ” ตดกบ “ตวหลงของพจนหลง” ไดทกคพจน

สดทำย จะตดกนได “เกอบ” หมดทกตว สงทยำกกคอ ตองคดใหรอบคอบวำ “เหลอตวไหน” เนองจำก “ตวหนำของพจนหนำ” ตดกบ “ตวหลงของพจนหลง” ดงนน จะเหลอ “ตวหลงของพจนหนำสด” = −√1 กบ “ตวหนำพจนหลงสด” = √100

ดงนน 99

1i

1

√𝑖+1+√𝑖 = −√1 + √100 = −1 + 10 = 9 #

1

√𝑖+1+√𝑖 =

1

√𝑖+1+√𝑖∙√𝑖+1−√𝑖

√𝑖+1−√𝑖

= √𝑖+1−√𝑖

(𝑖+1)−(𝑖)

= √𝑖 + 1 − √𝑖

99

1i

1

√𝑖+1+√𝑖 =

99

1i

√𝑖 + 1 − √𝑖

= (√2 − √1) + (√3 − √2) + (√4 − √3) + (√5 − √4) + … +

(√98 − √97) + (√99 − √98) + (√100 − √99)


นอกจำกคอนจเกต อกวธทแปลงรปพจนใหเปนผลลบได คอ วธ “แตกเศษสวน” วธน จะคลำยๆกบตอนทเรำลบเศษสวน เพยงแคครำวนเรำจะท ำกลบ เพอแตกเศษสวนใหกลำยเปนผลลบ

เชน 1

(3)(5) = (

1

3−1

5) (

1

2)

1

(2)(6) = (

1

2−1

6) (

1

4)

1

(2)(3) = (

1

2−1

3)

2

(4)(7) = (

1

4−1

7) (

2

3)

5

(4)(9) = (

1

4−1

9) 5

(2)(3)(5) = (

1

(2)(3)−

1

(3)(5)) (

5

3)

เมอน ำควำมรเรองกำรแตกเศษสวนไปใชแปลงพจนใหเปนผลลบ เรำจะหำผลบวกของอนกรมบำงขอได

เชน 20

1i

1

(𝑖)(𝑖+1) =

20

1i

(1

𝑖−

1

𝑖+1)

= (1

1−1

2) + (

1

2−1

3) + (

1

3−1

4) + … + (

1

19−

1

20) + (

1

20−

1

21)

= 1

1 −

1

21 =

20

21

12

1i

2

(3𝑖−1)(3𝑖+2) =

12

1i

(1

3𝑖−1−

1

3𝑖+2) (

2

3) = (

2

3)

12

1i

(1

3𝑖−1−

1

3𝑖+2)

= (2

3) [(

1

2−1

5) + (

1

5−1

8) + (

1

8−

1

11) + ⋯+ (

1

32−

1

35) + (

1

35−

1

38)]

= (2

3) [1

2−

1

38]

= 2

3 ∙ 18

38 =

6

19

8

1i

3

(2𝑖+1)(2𝑖+3)(2𝑖+5) =

8

1i

(1

(2𝑖+1)(2𝑖+3)−

1

(2𝑖+3)(2𝑖+5)) (

3

4)

= (3

4)

8

1i

(1

(2𝑖+1)(2𝑖+3)−

1

(2𝑖+3)(2𝑖+5))

= (3

4) [(

1

3∙5−

1

5∙7) + (

1

5∙7−

1

7∙9) + (

1

7∙9−

1

9∙11) + ⋯+

(1

15∙17−

1

17∙19) + (

1

17∙19−

1

19∙21)]

= (3

4) [

1

3∙5−

1

19∙21]

= (3

4) [

133−5

5∙19∙21] =

32

665

1

𝑎𝑏 = (

1

𝑎−1

𝑏) (

1

𝑏−𝑎)

1

𝑎𝑏𝑐 = (

1

𝑎𝑏−

1

𝑏𝑐) (

1

𝑐−𝑎)

1

𝑎𝑏𝑐𝑑 = (

1

𝑎𝑏𝑐−

1

𝑏𝑐𝑑)(

1

𝑑−𝑎)

1

𝑎−1

𝑏 =

𝑏−𝑎

𝑎𝑏

1

𝑎𝑏−

1

𝑏𝑐 =

𝑐−𝑎

𝑎𝑏𝑐

1

𝑎𝑏𝑐−

1

𝑏𝑐𝑑 =

𝑑−𝑎

𝑎𝑏𝑐𝑑


8

1i

𝑖2

(2𝑖−1)(2𝑖+1) =

8

1i

(1

2𝑖−1−

1

2𝑖+1) (

𝑖2

2) = (

1

2)

8

1i

(𝑖2

2𝑖−1−

𝑖2

2𝑖+1)

= (1

2) [(

12

1−12

3) + (

22

3−22

5) + (

32

5−32

7) +⋯+ (

72

13−72

15) + (

82

15−82

17)]

= (1

2) [12

1+ (

22

3−12

3) + (

32

5−22

5) +⋯+ (

82

15−72

15) + (−

82

17)]

= (1

2) [12

1+(2−1)(2+1)

3+(3−2)(3+2)

5+⋯+

(8−7)(8+7)

15+ (−

82

17)]

= (1

2) [1 + 1 + 1 + ⋯+ 1 + (−

82

17)]

= (1

2) [8 −

64

17]

= 4 − 32

17 =

68−32

17 =

36

17


1. จงหำผลบวกของอนกรมตอไปน

1. 1

3∙5+

1

5∙7+

1

7∙9+⋯+

1

13∙15 2.

10

1i

3

4𝑖2−1

2. ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 1 +1

𝑛−

1

𝑛2 และ 𝑏𝑛 = 1 −

1

𝑛−

1

𝑛2

จงหำจ ำนวนเตมบวก 𝑛 ทท ำให 𝑎2𝑎3…𝑎𝑛𝑏2𝑏3…𝑏𝑛

= 1331 [PAT 1 (ต.ค. 55)/49]

3. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรงโดยท 𝑎𝑛 = 1

4+8+12+⋯+4𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

ผลบวกของอนกรม 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/18]


4. ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 2 + 4 + 6 + … + 2𝑛 และ 𝑏𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛

คำของ n

lim [2

𝑏1+

3

𝑏2+

4

𝑏3+⋯+

𝑛+1

𝑏𝑛] เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/34]

5. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎𝑛 =

n

k 1

𝑘2

(2𝑘−1)(2𝑘+1) ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

n

lim16

𝑛𝑎𝑛 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/16]

6. ให 𝑎 เปนจ ำนวนจรงบวก และให {𝑏𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑛 − 1)(𝑎 + 𝑛) ส ำหรบ

𝑛 = 1, 2, 3, … ถำ 𝑎 สอดคลองกบ n

lim (𝑎+1

𝑏1𝑏2+𝑎+2

𝑏2𝑏3+⋯+

𝑎+𝑛

𝑏𝑛𝑏𝑛+1) =

1

312 แลวคำของ 𝑎2 + 57 เทำกบ

เทำใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/35]


7. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 𝑛2

16𝑛2−4 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, … ถำ

nlim

𝑎1+𝑎2+𝑎3+ … +𝑎𝑛

𝑛 =

𝑎

𝑏 โดยท 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวน

เตมบวก ซง ห.ร.ม. ของ 𝑎 และ 𝑏 เทำกบ 1 แลว 𝑎2 + 𝑏2 เทำกบเทำใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/20]

8. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = √1+ (1 +1

𝑛)2+√1 + (1 −

1

𝑛)2 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

คำของ 1𝑎1+

1

𝑎2+⋯+

1

𝑎20 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/39]

9. จงหำคำของ n

lim 1𝑛(√1 +

1

12+

1

22+√1 +

1

22+

1

32+⋯+√1+

1

𝑛2+

1

(𝑛+1)2)

[PAT 1 (ม.ค. 55)/35]


10. ก ำหนดให 𝑏𝑛 = n

k 1 (

𝑘

𝑘4+𝑘2+1) จงหำคำ 𝑐 ทท ำให

nlim (−1 + 𝑐𝑏𝑛) = 4 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/37*]

11. ถำ {𝑎𝑛} และ {𝑏𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎𝑛 = 2𝑛

𝑛(𝑛+2) และ 𝑏𝑛 =

3𝑛

5𝑛+18 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

แลวอนกรม 𝑎1𝑏1+𝑎2

𝑏2+𝑎3

𝑏3+ … มผลบวกเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/42]

12. ถำ 𝐴 = 1

1∙2 +

1

3∙4 + … +

1

(2015)(2016) และ 𝐵 =

1

(1009)(2016) +

1

(1010)(2015) + … +

1

(2016)(1009)

แลวคำของ 20𝐴11𝐵

เทำกบเทำใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/44]


อนกรมอนนต อนกรมอนนต หมำยถง กำรน ำตวเลขในล ำดบอนนต มำบวกกน ไปเรอยๆ อยำงไมมทสนสด

เชน 1 + 3 + 5 + 7 + … 1 + 4 + 9 + 16 + …

0.3 + 0.03 + 0.003 + … 1

2 +

1

4 +

1

8 +

1

16 + …

ในเรองน เรำจะไดเรยนวธประมำณคำผลบวกของอนกรมอนนตเหลำน

อยำงไรกตำม ตองรกอนวำอนกรมอนนต “สวนใหญ” หำคำประมำณของผลบวกไมได

เชน 1 + 3 + 5 + 7 + … ผลบวกเพมอยำงไมมขอบเขต จงไมสำมำรถประมำณคำผลบวกได

1

10 +

1

10 +

1

10 + … ถง 1

10 จะมคำนอย แตถำบวกอยำงไมสนสด ผลบวกกจะเพมอยำงไมมขอบเขตได

จงไมสำมำรถประมำณคำผลบวกได

(−1) + (−2) + (−3) + … ผลบวก เปนคำตดลบอยำงไมมขอบเขต จงไมสำมำรถประมำณคำผลบวกได

3 + (−3) + 3 + (−3) + … ผลบวกแกวงไปมำระหวำง 3 กบ 0 จงประมำณคำผลบวกไมได

1

2 +

1

3 +

1

4 +

1

5 +

1

6 +

1

7 + … ผลบวกเพมไดอยำงไมมขอบเขต เพรำะ จบกลม 1

2 กกลมกได ดงน

แต 0.3 + 0.03 + 0.003 + … ประมำณคำผลบวกได 0.333333… = 13

1

2 +

1

4 +

1

8 +

1

16 + … ประมำณคำผลบวกได 1 เพรำะ

ค ำศพททใช จะใชค ำวำ คอนเวอรเจนต กบ ไดเวอรเจนต คลำยๆกบในเรองล ำดบอนนต

ถำสำมำรถหำผลบวกของอนกรมอนนตได จะเรยกวำ อนกรม “คอนเวอรเจนต” (อนกรมลเขำ) ถำไมสำมำรถหำผลบวกของอนกรมอนนตได จะเรยกวำ อนกรม “ไดเวอรเจนต” (อนกรมลออก)

เรำจะเคยเจอค ำวำ คอนเวอรเจนต กบ ไดเวอรเจนต ในเรองล ำดบอนนตมำแลว

ในเรองน เรำจะตองสำมำรถบอกควำมสมพนธ ระหวำง ล ำดบ / อนกรม ทเปน คอนเวอรเจนต / ไดเวอรเจนต ได ในล ำดบอนนต เรำจะสนใจ “ตวท ∞” แตในเรองอนกรมอนนต เรำจะสนใจ “ผลบวก ∞ ตว”

คอนเวอรเจนต ไดเวอรเจนต

ล ำดบอนนต หำคำประมำณของ ตวท ∞ ได ตวท ∞ มคำมำกสดๆ, ตดลบสดๆ , หรอแกวง อนกรมอนนต หำคำประมำณของ ผลบวก ∞ ตว ได ผลบวก ∞ ตว มคำมำกสดๆ, ตดลบสดๆ , หรอแกวง

= 1

2+ (

1

3+1

4) + (

1

5+1

6+1

7+1

8) +⋯

> 1

2+ (

1

4+1

4) + (

1

8+1

8+1

8+1

8) +⋯

= 1

2 +

1

2 +

1

2 +

1

2 +

1

2 + …

= มำกไดอยำงไมมขอบเขต

1

2

1

4

1

8

1

16


จำกควำมหมำยดงกลำว จะเหนวำ “อนกรม คอนเวอรเจนตยำกกวำ ล ำดบ” เพรำะอนกรมอนนตตองหำคำของ “ทกตวบวกกน” ในขณะทล ำดบอนนต หำคำของ “ตวสดทำย” ตวเดยว

เนองจำก “อนกรม คอนเวอรเจนตยำกกวำ ล ำดบ” ดงนน ถำเขยนแผนภำพ จะไดดงน อนกรม → คอนยำก → คอนชองเดยว

ล ำดบ → คอนงำย → คอน 2 ชอง

จำกแผนภำพน จะท ำใหเรำสรปควำมสมพนธระหวำง ล ำดบ / อนกรม ทเปน คอนเวอรเจนต / ไดเวอรเจนต ไดดงน ล ำดบไดเวอรเจนต จะท ำใหเกด อนกรมไดเวอรเจนต เสมอ

ล ำดบคอนเวอรเจนต จะท ำใหเกด อนกรมคอนเวอรเจนต หรอ ไดเวอรเจนต กได

อนกรมคอนเวอรเจนต ตองมำจำก ล ำดบคอนเวอรเจนต เทำนน

อนกรมไดเวอรเจนต จะมำจำก ล ำดบคอนเวอรเจนต หรอ ไดเวอรเจนต กได

ตวอยำงของล ำดบทคอนเวอรเจนต แตท ำใหเกดอนกรมไดเวอรเจนต

เชน ล ำดบ 32 , 4

3 , 5

4 , 6

5 , … → คอนเวอรเจนต มลมตของล ำดบ = 1

อนกรม 32 +

4

3 +

5

4 +

6

5 + … → ไมคอนเวอรเจนต เพรำะทกตวทมำบวก เกน 1 หมด

บวกไป ∞ ตว จะมำกขนไดอยำงไมมขอบเขต

หรอ ล ำดบ 12 , 1

3 , 1

4 , 1

5 , … → คอนเวอรเจนต มลมตของล ำดบ = 0

อนกรม 12 +

1

3 +

1

4 +

1

5 + … → ไมคอนเวอรเจนต เพรำะจบกลม 1

2 กกลมกได ดงแสดงในหนำทแลว

ในเรองน เรำนยมใชสญลกษณ 𝑆∞ แทนผลบวกของอนกรมอนนต

นอกจำกน ยงมสญลกษณอกหลำยแบบ ทหมำยถง 𝑆∞ ได เชน

1i𝑎𝑖 ,

nlim 𝑆𝑛 ,

nlim

n

i 1 𝑎𝑖

ในกำรหำ 𝑆∞ เรำนยมหำ 𝑆𝑛 แบบไมอนนตทตดตวแปร 𝑛 ออกมำกอน โดยใชควำมรทเรยนมำในบทกอนหนำ

แลวคอยแทน 𝑛 ดวย ∞ (หรอพดอกแบบวำ “เทคลมต ให 𝑛 → ∞”)

ตวอยำง จงหำคำของ 12∙3+

1

3∙4+

1

4∙5+⋯

วธท ำ เรำตองหำผลบวก 𝑛 ตวแรก หรอ 𝑆𝑛 แบบไมอนนต ออกมำกอน แลวคอยเทคลมตให 𝑛 → ∞

เขยนพจนทวไปของล ำดบน ออกมำกอน จะได 𝑎𝑛 = 1

(𝑛+1)(𝑛+2)

ดงนน 𝑆𝑛 =1

2∙3+

1

3∙4+

1

4∙5+⋯+

1

(𝑛+1)(𝑛+2)

ขอน เปนอนกรม Telescopic ตองแยกแตละพจนเปนผลลบ แลว “สอง” ตวขำงๆ มำหก ดงน

เทคลมตให 𝑛 → ∞ จะได 𝑆∞ =

1

2−0 =

1

2 #

คอน ได อนกรมคอน

ล ำดบคอน อนกรมได ล ำดบคอน

อนกรมได ล ำดบได

𝑆𝑛 = 1

2∙3+

1

3∙4+

1

4∙5+⋯+

1

(𝑛+1)(𝑛+2)

= (1

2−1

3) + (

1

3−1

4) + (

1

4−1

5) +⋯+ (

1

𝑛+1−

1

𝑛+2)

= 1

2−

1

𝑛+2



1. จงพจำรณำวำอนกรมตอไปน เปนอนกรมคอนเวอรเจนต หรอ อนกรมไดเวอรเจนต พรอมทงหำผลบวกของอนกรม ในกรณทเปนอนกรมคอนเวอรเจนต

1. 1 + 2 + 3 + 4 + … 2. 10 + 7 + 3 + (−1) + (−4) + …

3.

1i

7

10𝑖 4.

1i

(−1)𝑖

5.

1i

1

(2𝑖−1)(2𝑖+1) 6.

1i

1 +1

2𝑖

7.

1i

1

𝑖2+𝑖 8.

2i

1

𝑖2−1


2. ขอใดตอไปน ถกตอง 1. ล ำดบคอนเวอรเจนต จะท ำใหเกดอนกรมคอนเวอรเจนตเสมอ

2. อนกรมไดเวอรเจนต ตองเกดจำก ล ำดบไดเวอรเจนตเทำนน

3. ล ำดบไดเวอรเจนต จะท ำใหเกดอนกรมคอนเวอรเจนต หรอไดเวอรเจนตกได 4. อนกรมคอนเวอรเจนต ตองเกดจำก ล ำดบคอนเวอรเจนตเทำนน

3. ขอใดตอไปนเปนจรง [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-14]

1. ถำ ล ำดบ 𝑎𝑛 ลเขำ แลว อนกรม

1n

𝑎𝑛 ลเขำ

2. ถำ อนกรม

1n

𝑎𝑛 ลเขำ แลว อนกรม

1n

(1 +𝑎𝑛

2𝑛) ลเขำ

4. ก ำหนดให 𝑆𝑘 = 13 + 23 + 33 +⋯+ 𝑘3 ส ำหรบ 𝑘 = 1, 2, 3, …

คำของ n

lim (1

√𝑆1+

1

√𝑆2+

1

√𝑆3+⋯+

1

√𝑆𝑛) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/41]

5. ก ำหนดให 𝑆𝑛 =

n

k 1

(1

√𝑘(𝑘+1)+𝑘√𝑘+1) ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … คำของ

nlim 𝑆𝑛 เทำกบเทำใด

[PAT 1 (ม.ค. 53)/36]


6. ถำ

2n

1

𝑛4−𝑛2= 𝐴 แลว

2n

1

𝑛2 มคำเทำกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ก.ค. 52)/31]

1. 3

4+ 𝐴 2. 5

4+ 𝐴 3. 3

4− 𝐴 4. 5

4− 𝐴

7. ให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑛2𝑎𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

ถำ 𝑎1 = 100 แลวn

lim 𝑛2𝑎𝑛 มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/34]


อนกรมเรขำคณตอนนต

จะเหนวำบทน ไมมหวขอ “อนกรมเลขคณตอนนต” เพรำะอนกรมเลขคณตอนนตเกอบทงหมด จะเปนอนกรมไดเวอรเจนต หำผลบวกไมได (ยกเวน 0 + 0 + 0 + … ) เพรำะอนกรมเลขคณต จะเพมหรอลดอยำงคงทไปเรอยๆ ท ำใหผลบวก เพมหรอลดไปเรอยๆอยำงไมมขอบเขต เชน 1 + 3 + 5 + 7 + … → บวกไป ∞ ตว จะไดผลบวกมคำมำกไดอยำงไมมขอบเขต

20 + 19 + 18 + … → ตวหลงๆ จะตดลบกนสดๆ ดงนน ผลบวกมคำตดลบไดอยำงไมมขอบเขต

1

100 +

1

100 +

1

100 + … → อนนเปนอนกรมเลขคณต ท 𝑎1 = 100 และ 𝑑 = 0

ถงแม 1100

จะนอย แตบวกไป ∞ ตว กจะยงไดผลบวกมคำมำกสดๆได

ส ำหรบ อนกรมเรขำคณตอนนต จะมบำงอนคอนเวอรเจนต บำงอนไดเวอรเจนต

|𝑟| < 1 → คอนเวอรเจนต → หำผลบวกอนกรมอนนตไดจำกสตร |𝑟| ≥ 1 → ไดเวอรเจนต → หำผลบวกอนกรมอนนตไมได

ดงนน ถำเจอโจทยอนกรมเรขำคณตอนนต กอยำเพงรบใชสตร แตใหเชคใหแนใจวำ |𝑟| < 1 กอน จงจะใชสตรได

ทส ำคญ ตอนใชสตรน ตองแมนเรองเศษสวนซอน กลำวคอ 𝑎

𝑏 𝑐

𝑑

= 𝑎

𝑏÷𝑐

𝑑 ,

𝑎 𝑏

𝑐

= 𝑎 ÷𝑏

𝑐 ,

𝑎

𝑏

𝑐 =

𝑎

𝑏÷ 𝑐

เชน 1

2+1

4+1

8+⋯ → |𝑟| = |

1

2| < 1 → 𝑆∞ =

1

2

1−1

2

=

1

21

2

= 1

2×2

1 = 1

1 + (−2) + 4 + (−8) + … → |𝑟| = |−2| ≥ 1 → ไดเวอรเจนต หำผลบวกไมได

3 − 6

5 +

12

52 −

24

53 + … → |𝑟| = |−

2

5| < 1 → 𝑆∞ =

3

1−(−2

5) =

37

2

= 3 ×2

7 =

6

7

1i 2

(−3)𝑖 =

2

−3 +

2

(−3)2 +

2

(−3)3 + … → |𝑟| = |

1

−3| < 1

→ 𝑆∞ =

2

−3

1−(1

−3)

= −2

34

3

= −2

3×3

4 = −

1

2

𝑆∞ = 𝑎1

1−𝑟

1i 2𝑖+3

5𝑖−1 =

1i 2𝑖

5𝑖−1+

3

5𝑖−1

=

1i 2𝑖

5𝑖−1 +

1i 3

5𝑖−1

= 2

1−(2

5) +

3

1−(1

5)

= (2 ÷3

5) + (3 ÷

4

5)

= 10

3 +

15

4 =

85

12

1i 1−(3∙2𝑖)

(−3)𝑖 =

1i 1

(−3)𝑖−

3∙2𝑖

(−3)𝑖

=

1i 1

(−3)𝑖 −

1i 3∙2𝑖

(−3)𝑖

=

1

−3

1−(1

−3) −

3∙2

−3

1−(2

−3)

= (−1

3÷4

3) − (−2 ÷

5

3)

= −1

4+6

5 =

19

20


ตวอยำง จงหำคำของ 12+2

4+3

8+

4

16+⋯

วธท ำ ขอนเปนอนกรมเรขำคณตดดแปลงอนนต โดยมเศษเปนอนกรมเลขคณต แตสวนเปนอนกรมเรขำคณต

เทคนคกำรหำผลบวกของอนกรมเรขำคณตดดแปลง ตองน ำอนกรมมำ “หกกบตวมนเอง”

ดงนน 12 +

2

4 +

3

8 +

4

16 + … = 2 #


1. จงพจำรณำวำอนกรมตอไปน เปนอนกรมคอนเวอรเจนต หรอ อนกรมไดเวอรเจนต พรอมทงหำผลบวกของอนกรม ในกรณทเปนอนกรมคอนเวอรเจนต

1.

1i

2

3𝑖 2.

1i

(−1

2)𝑖

3.

1i

(−1)𝑖 4.

1i

(3

2)𝑖

5.

1i

2𝑖+3𝑖

22𝑖 6.

1i

2𝑖+1

3𝑖

𝑆∞ = 1

1−1

2

= 11

2

= 2

ใหสงทตองกำรหำ เทำกบ 𝑥 1

2+2

4+3

8+

4

16+⋯ = 𝑥 (1)

คณสองขำงดวย 2 1 +2

2+3

4+4

8+⋯ = 2𝑥 (2)

(2) − (1) 1 +1

2+1

4+1

8+⋯ = 𝑥


2. ก ำหนดใหอนกรมตอไปน

𝐴 =

1000

1k

(−1)𝑘 𝐵 =

20

3k

𝑘2 𝐶 =

100

1k

𝑘 𝐷 =

1k

2 (1

2)𝑘

คำของ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/23]

3. ให 𝑇(𝑥) = sin 𝑥 − cos2 𝑥 + sin3 𝑥 − cos4 𝑥 + sin5 𝑥 − cos6 𝑥 + …

แลวคำของ 3𝑇 (𝜋3) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/6]

4. ถำ 1

𝑎+1

3+

𝑎

32+𝑎2

33+⋯ เปนอนกรมเรขำคณต ซงมผลบวกเทำกบ 4

3 แลว 𝑎 มคำเทำใด [A-NET 49/2-7]

5. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเรขำคณตซง

1n

𝑎𝑛 = 4 แลว จงเขยน 𝑎2 ในรปของ 𝑟


6. ผลบวกของอนกรม 3 + 11

4+33

16+⋯+

3𝑛+2𝑛−2

4𝑛−1+⋯ เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/17]

7. ก ำหนดให 𝑎𝑛 =2𝑛+1+3𝑛−1

4𝑛 และ 𝑏𝑛 =

1

1+2+⋯+𝑛 ถำ 𝐴 และ 𝐵 เปนผลบวกของอนกรม

1n

𝑎𝑛 และ

1n

𝑏𝑛

ตำมล ำดบ แลว 𝐴 + 𝐵 เทำกบเทำใด [A-NET 50/1-19]

8. ถำ n

lim𝑛2𝑏+1

2𝑛2𝑎−1= 1 แลวผลบวกของอนกรม

1n

(𝑎𝑏

𝑎2+𝑏2)𝑛 เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/29]


9. ให 𝑘 เปนคำคงท และถำn

lim𝑘(𝑛5+𝑛)+3𝑛4+2

(𝑛+2)5= 15 + 6 +

12

5+⋯+ 15(

2

5)𝑛−1

+⋯

แลว 𝑘 มคำเทำกบเทำใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/40]

10. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 1+2+22+23+ … +2𝑛

32𝑛 เมอ 𝑛 = 1, 2, 3, …

คำของ n

lim (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛) เทำกบเทำใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/23]

11. ก ำหนดให {𝑎𝑛} และ {𝑏𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 3𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 และ 2𝑛𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, …

ถำ 𝑎5 = 2 แลว อนกรม 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + … มผลบวกเทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 59)/35]


12. ก ำหนดให 𝑎𝑛 = 2

4𝑛2−1− (−

1

3)𝑛

ส ำหรบ 𝑛 = 1, 2, 3, … จงหำคำของ

1n

𝑎𝑛 [PAT 1 (ม.ค. 59)/24]

13. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, … เปนล ำดบเลขคณตของจ ำนวนจรง

โดยท 25

1

n

𝑎𝑛 = 1900 และ

1n

𝑎𝑛

4𝑛−1 = 8 คำของ 𝑎100 ตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 59)/20]


14. ก ำหนดให {𝑎𝑛} เปนล ำดบของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1 = 1

6 และ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 −

1

3𝑛 ส ำหรบ 𝑛 = 2, 3, 4, …

ขอใดถกตองบำง [PAT 1 (พ.ย. 57)/20] 1.

nlim 𝑎𝑛 = 0

2. อนกรม 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … เปนอนกรมลเขำ มผลบวกเทำกบ 0.75

15. ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 55)/15]

1. ส ำหรบ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวนเตมบวก จะไดวำ

1n

𝑎𝑛+𝑏𝑛

(𝑎+𝑏)𝑛 =

𝑎2+𝑏2

𝑎𝑏

2. ถำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เปนล ำดบเลขคณตของจ ำนวนจรง โดยท 𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛

𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑚 =

𝑛2

𝑚2

ส ำหรบจ ำนวนเตมบวก 𝑛 และ 𝑚 ทแตกตำงกน แลว 𝑎𝑚𝑎𝑛

= 2𝑚−1

2𝑛−1


16. ก ำหนดให 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … เปนล ำดบเรขำคณตของจ ำนวนจรงบวก โดยม 𝑟 เปนอตรำสวนรวม และ

𝑎1+𝑎3

𝑎2+𝑎4 +

𝑎3+𝑎5

𝑎4+𝑎6 +

𝑎5+𝑎7

𝑎6+𝑎8 + … +

𝑎2011+𝑎2013

𝑎2012+𝑎2014 = 2012

คำของ 1 + 5𝑟 + 12𝑟2 + 22𝑟3 +⋯ เทำกบเทำใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/34]

17. จงหำคำ 𝑥 > 0 ทท ำให 1 + 6

1+𝑥+

15

(1+𝑥)2+

28

(1+𝑥)3+⋯ =

27

4 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/36]


ทบทวนล ำดบเลขคณต

1. 4001 2. 300 3. 2 4. 20

5. 205

ทบทวนล ำดบเรขำคณต

1. 49 2. 156 3. 1

3 4. 2.5

ทบทวนล ำดบเวยนเกด

1. 2 2. 1704 3. √5

2

ล ำดบพหนำม

1. 1. 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 7 2. 𝑎𝑛 = 3 − 𝑛2

2. 393

ลมตของล ำดบ

1. 1 ได 2. ได 3. คอน , 0 4. ได

5. ได 6. คอน , 1 7. คอน , 0 8. ได

9. คอน , 0 10. คอน , 32 11. ได 12. คอน , √3

2. 0 3. 6 4. 24.96

กำรหำลมตในรปเศษสวน

1. 1. คอน , − 1

5 2. คอน , 0 3. คอน , 0 4. ได

5. ได 6. คอน , 0 7. คอน , 2 8. ได

9. คอน , −4 10. คอน , 0 11. ได 12. คอน , 0

13. คอน , 3 14. คอน , −1

2 15. คอน , 5 16. คอน , √5

2

2. 2 3. 𝑎𝑛 4. 515 5. 2√24

6. 0.5 7. 3

2 8. 2

กำรหำผลบวกอนกรมดวยซกมำ

1. 1. 210 2. 55 3. (𝑘+1)(2𝑘+1)

6

2. 372 3. 9 4. 1 5. 8

6. 4 7. 3 8. 20 9. 115


10. 14 11. 10 12. 22 13. 10, 19

14. 5 15. 9

ทบทวนอนกรมเลขคณต

1. 4840 2. 121

2 3. 300 4. 3.97

5. 50 6. 500

ทบทวนอนกรมเรขำคณต

1. 21276 − 1 2. 166.25 3. 4

อนกรมเรขำคณตดดแปลง

1. 1. 1538 2. 626 3. 3646 4. 15

4

2. 3 3. 24

อนกรมเทเลสโคปค

1. 1. 2

15 2. 10

7

2. 36 3. 1

2 4. 2.25 5. 4

6. 201 7. 257 8. 7 9. 1

10. 10 11. 8 12. 2750

อนกรมอนนต

1. 1. ได 2. ได 3. คอน , 0.777… 4. ได

5. คอน , 12 6. ได 7. คอน , 1 8. คอน , 3

4

2. 4 3. - 4. 2 5. 1

6. 3 7. 200

อนกรมเรขำคณตอนนต

1. 1. คอน , 1 2. คอน , − 1

3 3. ได 4. ได

5. คอน , 4 6. คอน , 2

2. 7917 3. 6√3 − 1 4. 1.5 5. 4𝑟 − 4𝑟2

6. 40

3 7. 5 8. 2

3 9. 25

10. 2556

11. 97.2 12. 54 13. 598

14. 1 15. 1, 2 16. 16 17. 2


เครดต

ขอบคณ คณครเบรด จำก กวดวชำคณตศำสตรครเบรด ยำนบำงแค 081-8285490

และ คณ Gunta Serikijcharoen ทชวยตรวจสอบควำมถกตองของเอกสำรดวยครบ

ล ำดับอนันต์ และ อนุกรมอนันต์ · 4 ล...

Documents