3 อนพนธ 3.1 นยามของอนพนธ

นยาม 3.1 ให a อยในโดเมนของฟงกชน f ถา

ax

afxf

ax

)(lim หรอ

h

afhaf

h

)(lim

0

หาคาได

เราเรยกลมตนวา อนพนธของ f ท a และเขยนแทนดวย af

หมายเหต af คอความชนของกราฟ f ทจด afa,

นยาม 3.2 ให f เปนฟงกชนของตวแปร x ทนยามบนชวงเปด เรากลาววาอนพนธของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย xf นยามโดย

h

xfhxfxf

h

)(lim

0

ถาลมตหาคาได

นยาม 3.3 อนพนธทางซายของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย xf หมายถง

h

xfhxfxf

h

0lim เมอลมตหาคาไดอนพนธทางขวาของฟงกชน f ท

x เขยนแทนดวย xf หมายถง

h

xfhxfxf

h

0lim เมอลมตหาคาได

ตวอยาง 3.1 จงหาคา โดยใชนยาม เมอ ก.

ข.

ค.

ตวอยาง 3.2 จงหาคา 2f เมอ xxxf 22

ตวอยาง 3.3 ก าหนดให

จงหา

และ

1. อนพนธของฟงกชน )(xfy เขยนแทนดวย

)(xfy หรอ )(xfdx

d

dx

dy

2. คาของอนพนธของฟงกชน )(xfy ท ax จะเขยนแทนดวย

af หรอ axdx

dy

นนคอ

h

afhafaf

h

)(lim

0

หรออาจเขยนไดอกรปแบบหนง

ax

afxfaf

ax

lim

ทฤษฎบท 3.1 ถา f เปนฟงกชนทมอนพนธท 0xx แลว f จะตอเนองท 0xx

ตวอยาง 3.4 ก าหนดให xxf )( จงหา 0),0( ff และ 0f

วธท า จาก

0,

0,

xx

xx

xxf

h

hf

h

00lim0

0

1lim0

h

h

h

h

hf

h

00lim0

0

1lim0

h

h

h

ดงนน 0,00 fff หาคาไมได

หมายเหต บทกลบของทฤษฎบท 3.1 ไมจรง นนคอ จดทฟงกชนมความตอเนอง ไมจ าเปนทจะตองมอนพนธ ทเหนไดชดคอ “จดหกมม”ทงหลาย ฟงชนกมความตอเนองแตไมมคาอนพนธ เพราะอนพนธทางซายกบอนพนธทางขวามคาไมเทากน

ตวอยาง 3.5 ก าหนดให

33

323

2 xx

xx

xf จงหาโดเมนของ xf

วธท า ถา 3x , 23 xxf

h

xhxxf

h

2323lim

0

33

lim0

h

h

h

แสดงวา 3 xf ในชวง 3x ถา 3x , 23 xxf

h

xhxxf

h

22

0

33lim

h

hxh

h

2

0

2lim

xhxh

22lim0

แสดงวา xxf 2 ในชวง 3x จะเหนวา 6323,33

ff ดงนน 3,33 fff

หาคาไมได ดงนนโดเมนของ xf คอ ,33,

3.2 การหาอนพนธโดยการใชสตร

3.2.1 อนพนธของฟงกชนพชคณต

1. 0cdx

d เมอ c เปนคาคงท

2. 1xdx

d

3. ...)()(...)( vdx

du

dx

dvu

dx

d

4. )()( udx

dccu

dx

d เมอ c เปนคาคงท

5. )()()( udx

dvv

dx

duuv

dx

d

6.

)()(

12

vdx

duu

dx

dv

vv

u

dx

d

7. 1)( nn nxxdx

d

8. dx

dunuu

dx

d nn 1)(

ตวอยาง 3.6 จงหาคาอนพนธของ

1. 5

4

4

15

x

xxf

2. xxf

3. xx

xf23

2

4. 233 12 xxxf

5. 3

23

2

xxxf

6. 322321 xxxxf

7. 4

2

x

xxxf

8. จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทวงกลมเทยบกบรศม และรศมเทยบกบพนทวงกลม 9. ทจดใดของโคง 202223 xxxy ทเสนสมผสของมนผานจดก าเนด

10. ภเขามลกษณะเปนโคงพาราโบลา บรรจจด 3 จดดงรป (หนวยเปนเมตร) เสาสงสญญาณความสง 30 เมตร ตงอยทจด 0,120 จงหาจดทใกลกบฐานของภเขาบนแกน x ทเปนบวกซงรบสญญาณโดยไมถกรบกวนจากภเขา

3.2.2 อนพนธของฟงกชนลอการทมและฟงกชนชก าลง

1. dx

duaaa

dx

d uu ln)( ; 0a และ

1a 2.

dx

duee

dx

d uu )(

3. dx

du

auu

dx

da

ln

1)(log

4. dx

du

uu

dx

d 1)(ln

คณสมบตบางประการทอาจจะน าไปชวยแกปญหาโจทยได 1. caac bbb logloglog

2. cac

abbb logloglog

3. ara b

r

b loglog

4. cc

bb log1

log

5. xbx

b log และ xex ln 6. xb

xb log และ xe x ln

7. b

aa

c

cb

log

loglog

ตวอยาง 3.7 จงหาคาอนพนธของ

1. xx

xx

ee

eexf

2. 22 lnln xxf

3. xexxf 42ln

4. 23

2

1x

xf

5. xexf ln2

2log

6. xxxf 2

7. xxxxf

ln3 2 8. x

xxfln

ln และ xxxf lnln

3.3 อนพนธอนดบสง

ถา หาอนพนธได จะได dx

dyxfy และถาฟงกชน xf สามารถหาอนพนธได เรา

จะเรยกอนพนธของ xf วาเปนอนพนธอบดบสองของ y เทยบกบ x ใชสญลกษณ

2

2

dx

ydxfy ในท านองเดยวกน

อนพนธอนดบสามของ y เทยบกบ x ใชสญลกษณ 3

3

dx

ydxfy

อนพนธอนดบ n ของ y เทยบกบ x ใชสญลกษณ n

nnn

dx

ydxfy

ตวอยาง 3.8 จงหาอนพนธอนดบสองของ

1. xy 1

2. x

xy

ln

3. xeey

ตวอยาง 3.9 จงหาคาของ เมอก ำหนดให

3.4 อนพนธของฟงกชนผกผน

ทฤษฎบท 3.2 อนพนธของฟงกชนผกผน

ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงทนยามบนชวง ba, เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ 0 xf ทก

),( bax แลว f -1 จะมอนพนธ

xff

xf1

1 1

หรออาจเขยนเปน

dx

dydy

dx 1

ตวอยาง 3.10 จงหาคาของอนพนธของฟงกชนผกผน ท cy 1. 248 37 xxxxf , 2c

2. xxxf 25 3c และ 11c

3. xxxf 2c

4. xxxf ln 22ec

5. 33 xxxf 2c

3.5 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ

ทฤษฎบท 3.3 (กฎลกโซ / Chain Rule) ให xgfy โดย f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได

แลว y จะเปนฟงกชนทหาอนพนธได และ xgxgfdx

dy

กฎลกโซอาจเขยนอยในอกรปแบบหนง

ให ufy และหา uf เปนอนพนธเทยบกบ u โดยท xgu ซงเราหา xu เปนอนพนธของ u เทยบกบ x ได แลวเราจะไดวา

dx

du

du

dy

dx

dy

ท านองเดยวกน ถา ufy , sgu และ ths เราจะไดกฎลกโซเปน

dt

ds

ds

du

du

dy

dt

dy

ตวอยาง 3.11 จงหา dx

dy เมอ

3.6 การหาอนพนธแบบแฝง

ฟงกชนของตวแปรหนงตว เราอาจแบงไดเปนสองประเภทใหญ ๆ คอ

1. ฟงกชนชดเจน (explicit function) คอฟงกชนทเขยนอยในรป xfy ตวแปรตาม y กบตวแปรตน x สามารถแยกกนอยางชดเจนเชน xxey x 22 21

2. ฟงกชนแบบแฝง (implicit function) คอฟงกชนทเขยนอยในรป 0, yxf ตวแปรตาม y ไมสามารถแยกกนกบตวแปรตน x ได เชน 035423 22 yxyxyx ,

2xyxe

การหาอนพนธของฟงกชนแบบแฝงอาจท าไดโดยการจดรปฟงกชนแบบแฝงเสยใหมใหอยในรปฟงกชนชดเจน คอหา y ในเทอมของ x จะสรางความยงยากมาก เราสามารถเลยงดวยการหาอนพนธของฟงกชนแบบแฝง โดยหาอนพนธทงสองขางของสมการ 0, yxf เทยบกบ x จากนน จดสมการทไดใหม

ตวอยาง 3.12 จงหา dx

dy ของ

1. yxyx 2ln

2. 0ln2 xy yeyxxe

3. yx

ee yx1111

ตวอยาง 3.13 จงหา y เมอ xyxy ln

3.7 อนพนธและสมการองตวแปรเสรม

ความสมพนธระหวางตวแปร x และ y อาจนยามดวยตวแปรเดยวกน t อยในรป )(tfx , )(tgy โดยท gf DD เรยกสมการทงสองนวา เปนสมการองตวแปรเสรม เรยก t วา “ตวแปร

เสรม” เชน tx 2ln , xxey

ถา txx และ tyy แลว เราสามารถหาอนพนธจากสมการองตวแปรเสรมไดโดยกฎลกโซคอ

dt

dxdx

dt

dt

dxdt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy 1. เพราะวา

นอกจากนเรายงไดวา

dt

dx

dx

dy

dt

d

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd

2

2

เมอแทนคา

dt

dxdt

dy

dx

dy จะไดวา

dt

dx

dt

dx

dt

xd

dt

dy

dt

yd

dt

dx

dt

dx

dt

dx

dt

dy

dt

d

dx

yd

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

dt

dx

dt

xd

dt

dy

dt

yd

dt

dx

ตวอยาง 3.14 จงหา dx

dy ทจดทก าหนดของ 42 tx , ty 8 , 2t

ตวอยาง 3.15 จงหา 2

2

dx

yd ทจดทก าหนดของ tx , 42 ty , 1t

ตวอยาง 3.16 จงหา 2

2

dx

yd

1. t

tx12 ,

tty

12

2. 1 tx , 1 ty