บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t...

บทท 3

การประยกตของอนพนธ

ในบทนเราจะศกษาการประยกตหลากหลายของอนพนธ ตวอยางเชน เราจะใชวธการของแคลคลสในการวเคราะหฟงกชนและกราฟของฟงกชน และใชอนพนธเปนเครองมอทางคณตศาสตรในการหาผลเฉลยของ ปญหาคาเหมาะทสด (optimization problems) ซงปญหาดงกลาว เปนปญหาของการหาวธทดทสดเพอทำบางสงบางอยาง อาทเชน ถาเวลาเปนสงสำคญทสดทเราพจารณาเรากจะหาวธทเรวทสด เพอทำงานใหลลวง แตถาคาใชจายเปนสงสำคญทสดทเราพจารณา เรากหาวธการททำใหมคาใชจายนอยทสด เพอทำงานใหลลวง ในทางคณตศาสตร ปญหาคาเหมาะทสดสามารถลดรปเปนการหาคาสงสดหรอคาตำสดของฟงกชนบนชวงบางชวง นอกจากนเราจะใชอนพนธในการศกษาการเคลอนทของอนภาคตามแนวของเสนตรง

3.1 ฟงกชนเพม ฟงกชนลด และความเวา

ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

คำวา เพมขน ลดลง หรอ คงตว ไดถกนำมาใชอธบายลกษณะกราฟของฟงกชนจากซายไปขวาตวอยางเชน จากกราฟของฟงกชนตอไปนสามารถอธบายไดวาฟงกชนเปนฟงกชนเพมทางซายของx = 0 เปนฟงกชนลดจาก x = 0 ถง x = 2 เปนฟงกชนเพมจาก x = 2 ถง x = 4 และเปนฟงกชนคงตวทางขวาของ x = 4

x0 2 4

เพมขน ลดลง เพมขน คงตว

51

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 52

กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง I และให x1 และ x2 เปนจดในชวง I

(a) f เปน ฟงกชนเพม (increasing function) บนชวง I ถา f(x1) <

f(x2) เมอ x1 < x2

(b) f เปน ฟงกชนลด (decreasing function) บนชวง I ถา f(x1) >

f(x2) เมอ x1 < x2

(c) f เปน ฟงกชนคงตว (constant function) ถา f(x1) = f(x2) สำหรบทกคา x1 และ x2

บทนยาม 3.1

กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด (a, b)

(a) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a, b]

(b) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง [a, b]

(c) ถา f ′(x) = 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนคงตวบนชวง [a, b]

ทฤษฎบท 3.1

ถงแมวาทฤษฎบท 3.1 จะกำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] แตเราสามารถใชทฤษฎบท 3.1 กบฟงกชนทตอเนองบนชวงใดๆ เชนถา f ตอเนองบนชวง [a,+∞) และf ′(x) > 0 บนชวง (a,+∞) แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a,+∞) และถา f ตอเนองบนชวง (−∞,+∞) และ f ′(x) < 0 บนชวง (−∞,+∞) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง(−∞,+∞)

จงหาชวงททำให f(x) = 3x4+4x3−12x2−5 เปนฟงกชนเพม และชวงททำให f(x)

เปนฟงกชนลด

ตวอยาง 3.1

วธทำ


ความเวา

แมวาอนพนธของฟงกชน f จะบอกชวงททำใหกราฟของ f มลกษณะเพมขนหรอลดลง แตไมไดบอกวากราฟมลกษณะโคงแบบใด ตวอยางเชนกราฟของรปท 3.1 ทงสองกราฟ มลกษณะเพมขน แตมลกษณะของโคงไมเหมอนกน กราฟทางดานซายมอมลกษณะเวาอยดานบน ในขณะทกราฟทางดานขวามอมลกษณะเวาอยดานลาง สำหรบชวงททำใหกราฟของ f มความเวาอยดานบนเรากลาววา f เวาบน (concave up) บนชวงนน และชวงททำใหกราฟของ f มความเวาอยดานลาง จะกลาววา f เวาลาง (concave down) บนชวงนน

y

x0 a b

y

x0 a b

รปท 3.1:

รปท 3.2 ชวยใหเราสามารถพจารณาความเวาของฟงกชนบนชวงเปดใดๆ ดงน

• f เวาบน บนชวงเปดใดๆ ถาความชนของเสนสมผสโคงเพมขนบนชวงนน และ f เวาลางถาความชนของเสนสมผสโคงลดลงบนชวงนน

• f เวาบน บนชวงเปดใดๆ ถากราฟของ f อยบนเสนสมผสโคงบนชวงนน และ f เวาลางถากราฟของ f อยลางเสนสมผสโคงบนชวงนน

y

x0 a b

y

x0 a b

รปท 3.2:

ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนเปด I ใดๆ แลว

(a) f จะ เวาบน(concave up) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวง I

(b) f จะ เวาลาง(concave down) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนลดบนชวง I



เนองจากความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชน f ซงเปนฟงกชนทหาอนพนธได คอคาของอนพนธ f ′ และจากทฤษฎบท 3.1 จะไดวา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวงท f ′′ มคาเปนบวกและ f ′ เปนฟงกชนลดบนชวงท f ′′ มคาเปนลบ ดงทกลาวในทฤษฎบทตอไปน

กำหนดให f ′′ หาคาไดบนชวงเปด I ใดๆ

(a) ถา f ′′(x) > 0 สำหรบทก x บนชวง I แลว f จะเวาบนบนชวง I

(b) ถา f ′′(x) < 0 สำหรบทก x บนชวง I แลว f จะเวาลางบนชวง I


ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปดใดๆ ทบรรจคา c และถา f มการเปลยนความเวาทจด (c, f(c)) แลว f จะม จดเปลยนเวา (inflection point) ท c และจะเรยกจด (c, f(c)) บนกราฟของ f วา จดเปลยนเวาของ f


จงพจารณาความเวาของฟงกชน f(x) = x4 − 6x2 + 3 และหาจดเปลยนเวา (ถาม)


วธทำ


y

x

1

−1

−2

1 2 3 4−1−2

จากรปสงเกตไดวาฟงกชน f(x) = xe−x มจดเปลยนเวา แตเราไมสามารถหาไดบอกไดวาคอจดอะไร จงใชอนพนธอนดบหนงและอนพนธอนดบสองของ f หาชวงททำให f

เปนฟงกชนเพม ฟงกชนลด และชวงท f เวาบน เวาลาง พรอมทงหาจดเปลยนเวา


วธทำ


3.2 คาสดขดสมพทธและกราฟของฟงกชน

คาสดขดสมพทธ

1. f(c) จะเปน คาสงสดสมพทธ (relative maximum หรอ local maxi-mum) ของ f ถา f(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก

(

c, f(c))

วา จดสงสดสมพทธ

2. f(c) จะเปน คาตำสดสมพทธ (relative minimum หรอ local mini-mum) ของ f ถา f(c) ≤ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก

(

c, f(c))

วา จดตำสดสมพทธ

ถา f มคาสงสดสมพทธหรอคาตำสดสมพทธท c แลวเราจะกลาววา f ม คาสดขดสมพทธ (relative extremum) ท c


y

xab

cd

b

b

b

b

คาสงสดสมพทธ[

f ′(a) หาคาไมได]

คาตำสดสมพทธ[

f ′(b) หาคาไมได]

คาสงสดสมพทธ[

f ′(c) = 0]

คาตำสดสมพทธ[

f ′(d) = 0]

รปท 3.3: คาสดขดสมพทธ

รปท 3.3 แสดงกราฟของฟงกชนทมคาสดขดสมพทธหลายคาดวยกน นอกจากน จากรปเราสงเกตไดวา คาสดขดสมพทธแตละคาจะเกดทจดทมเสนสมผสในแนวนอน

(

นนคอ f ′(x) = 0)

หรอทจดทมเสนสมผสในแนวยน

(

นนคอ f ′(x) หาคาไมได)

ดงนนเราจงกำหนดชอใหกบจดดงกลาวดงบทนยามตอไปน

คาวกฤต (critical number) ของฟงกชน f คอคา c ทอยในโดเมนของ f ททำให f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได



ถา f มคาสดขดสมพทธท c แลว c เปนคาวกฤตของ f

ทฤษฎบท 3.3 (ทฤษฎบทของแฟรมา (Fermat’s Theorem))

จงหาคาวกฤตของ f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 5


วธทำ

จงหาคาวกฤตของ f(x) = (2x+ 3)2/3


วธทำ

จงหาคาวกฤตของ f(x) =x2 + 3

x+ 1


วธทำ


ทฤษฎบทของแฟรมากลาวแตเพยงวา คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต แตไมไดกลาววา จะมคาสดขดสมพทธท ทกคาวกฤต ตวอยางเชนจากฟงกชน f(x) = x3 ซงมกราฟดงรป

y

x−2 2

2

−2

เราไดวา f ′(x) = 3x2 ดงนน x = 0 เปนคาวกฤตเพยงคาเดยวของ f และจากกราฟจะเหนไดวาณคาวกฤต ฟงกชนไมไดใหคาสดขดสมพทธ

กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (a, b) และ c ∈ (a, b) เปนคาวกฤตของ f

(a) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (c, b)

(

นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากบวกเปนลบท c)

แลว f มคาสงสดสมพทธท c

(b) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของx ∈ (c, b)

(

นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากลบเปนบวกท c)

แลว f มคาตำสดสมพทธท c

(c) ถา f ′(x) มเครองหมายเหมอนกนบนชวง (a, c) และ (c, b)(

นนคอ f ′ มเครองหมายบวกทงสองดานของ c หรอมเครองหมายลบทงสองดานของ c

)

แลวf ไมมคาสดขดสมพทธท c

ทฤษฎบท 3.4 (การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบหนง (First Derivative Test))

รปภาพตอไปนจะชวยใหเขาใจทฤษฎบท 3.4 มากขนy

x0 c

f ′(x) > 0 f ′(x) < 0

(a) f มคาสงสดสมพทธ

y

x0 c

f ′(x) < 0 f ′(x) > 0

(b) f มคาตำสดสมพทธ


y

x0 c

f ′(x) > 0

f ′(x) > 0

(c) f ไมมคาสดขดสมพทธ

y

x0 c

f ′(x) < 0

f ′(x) < 0

(d) f ไมมคาสดขดสมพทธ

จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชนในตวอยาง 3.1


วธทำ

จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชน f(x) = x(x− 1)3


วธทำ


ทฤษฎบทตอไปเปนอกวธหนงทสามารถนำมาพจารณาหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน f

กำหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธอนดบสองท c

(a) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) < 0 แลว f มคาสงสดสมพทธท c

(b) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) > 0 แลว f(c) มคาตำสดสมพทธท c

(c) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) = 0 แลวการทดสอบนไมสามารถหาขอสรปได นนคอf อาจจะมคาสงสดสมพทธ หรอคาตำสดสมพทธ หรอไมมคาสดขดสมพทธท c

ทฤษฎบท 3.5 (การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบสอง (Second Derivative Test))

จงหาคาสดขดสมพทธของ f(x) = 3x5 − 5x3


วธทำ


กราฟของฟงกชนพหนาม

ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนทงายทสดสำหรบการวาดกราฟและวเคราะหกราฟ นนคอ การหาจดตดแกนพกด การหาคาสดขดสมพทธ การหาจดเปลยนเวา และลกษณะของกราฟเมอ x → +∞และเมอ x → −∞ สมบตตอไปนเปนสมบตทวไปของฟงกชนพหนาม

• โดเมนของฟงกชนพหนามคอ (−∞,+∞)

• ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนตอเนองททกจด

• ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนทหาอนพนธไดททกจด และกราฟของฟงกชนพหนามไมหกมมและไมมเสนสมผสกราฟในแนวยน

• กราฟของฟงกชนพหนามทไมใชศนยจะเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกดเมอ x → +∞และเมอ x → −∞ เนองจากลมตของฟงกชนพหนามทไมใชศนยเมอ x → +∞ หรอเมอ x → −∞ มคาเทากบ ±∞ ขนกบเครองหมายของพจนทมเลขชกำลงมากทสด

• กราฟของฟงกชนพหนามทมเลขชกำลง n (> 2) จะมจดตดแกน x อยางมากทสด n จดมคาสดขดสมพทธอยางมากทสด n − 1 คา และมจดเปลยนเวาอยางมากทสด n − 2 จดเนองจากจดตดแกน x คาสดขดสมพทธ และจดเปลยนเวาของฟงกชนพหนาม p(x) เปนผลเฉลยของสมการ p(x) = 0, p′(x) = 0 และ p′′(x) = 0 ซงเปนฟงกชนพหนามทมเลขชกำลง n, n− 1 และ n− 2 ตามลำดบ

กำหนดฟงกชน f(x) = x4 − 4x3 + 12

• จงหาชวงททำให f เปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด

• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม) ของ f

• จงหาชวงททำใหกราฟของ f เวาบน หรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)

• จงเขยนกราฟของ f โดยใชขอมลทหาไดขางตน


วธทำ


3.3 คาสงสดและคาตำสดสมบรณ

กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนสบเซตของจำนวนจรง D (โดเมนของ f) และc ∈ D

(a) f ม คาสงสดสมบรณ (absolute maximum หรอ global maximum)ท c ถา f(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในโดเมน D และเราเรยก f(c)

วา คาสงสด (maximum value) ของ f บน D และเรยกจด(

c, f(c))

วาจดสงสดสมบรณ ของ f บน D

(b) f ม คาตำสดสมบรณ (absolute minimum หรอ global minimum) ทc ถา f(c) ≤ f(x) สำหรบทกคา x ในโดเมน D และเราเรยก f(c) วา คาตำสด (minimum value) ของ f บน D และเรยกจด

(

c, f(c))

วา จดตำสดสมบรณ ของ f บน D

และเราจะกลาววา f ม คาสดขดสมบรณ (absolute extremum) ท c ถา f มคาสงสดสมบรณหรอคาตำสดสมบรณท c


รปท 3.4 แสดงกราฟของ f ทมจด(

b, f(b))

เปนจดสงสดบนกราฟ และมจด(

e, f(e))

เปนจดตำสด ดงนน f มคาสงสดสมบรณท x = b และมคาตำสดสมบรณท x = e

x

y

a b c d e

b

b

(

b, f(b))

(

e, f(e))

รปท 3.4: คาสงสด f(b), คาตำสด f(e)

เราอาจจะมคำถามวา ฟงกชนทกฟงกชนมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณหรอไม? คำตอบคอไม ซงพจารณาไดจากกราฟของฟงกชนตอไปน


c

f(c)

y

x

b

y = f(x)

(a)

c

f(c)

y

x

by = f(x)

(b)

รปท 3.5: (a) คาตำสดสมบรณ (b) คาสงสดสมบรณ

จากรปท 3.5(a) พบวาฟงกชน f ไมมคาสงสดสมบรณ แตมคาตำสดสมบรณท x = c

สำหรบรปท 3.5(b) เปนกราฟของฟงกชน f ทไมมคาตำสดสมบรณ แตมคาสงสดสมบรณทx = c

จากตวอยางกราฟขางตนนำไปสคำถามวา เมอใดฟงกชนทเราพจารณาจะมคาสงสดสมบรณ และคาตำสดสมบรณ? ทฤษฎบทตอไปนจะตอบคำถามดงกลาว

ถาฟงกชน f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลว f จะมคาสงสดสมบรณ f(c) และคาตำสดสมบรณ f(d) ทจด c และ d บางจดในชวง [a, b]

ทฤษฎบท 3.6 (ทฤษฎบทคาสดขด (Extreme Value Theorem))

พจารณากราฟตอไปนy

x

b

b

| |

a c d b

y

x

b

b

|

a c d = b

y

x

b

b

| |

a c1 d c2 b

จะเหนวาแตละกราฟสอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบท 3.6 ดงนนแตละกราฟจะมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณ

แตถาฟงกชนใดขาดสมมตฐานใดสมมตฐานหนงในทฤษฎบท 3.6 แลวฟงกชนนนไมจำเปนตองมคาสงสดสมบรณ หรอคาตำสดสมบรณ ดงตวอยางกราฟตอไปน


y

x

fb

b

bc

b|

+

0 2

1

3

ฟงกชนมคาตำสดสมบรณ f(2) = 0

แตไมมคาสงสดสมบรณ

y

x

g

1

1 bc

0

ฟงกชนตอเนอง g ไมมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ

ทฤษฎบทคาสดขดกลาวแตเพยงวา ฟงกชนตอเนองบนชวงปดจะมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ แตไมไดบอกเราวาจะหาคาเหลานไดอยางไร? ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงตำแหนงทมคาสดขดสมบรณของฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [a, b]

ถาฟงกชน f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลวคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f จะเกดขนทจดปลายของชวง (a หรอ b) หรอทคาวกฤตของ f


จากทฤษฎบท 3.7 ทำใหเราไดขนตอนของการหาคาสดขดสมบรณของฟงกชนตอเนอง f บนชวงปด [a, b] ดงน

ขนตอนท 1 หาคาวกฤตของ f ในชวง (a, b)

ขนตอนท 2 คำนวณคาฟงกชน f ทคาวกฤตทงหมด และทจดปลาย a และ b

ขนตอนท 3 คาทมากทสดทไดจากขนตอนท 2 คอ คาสงสดสมบรณของ f บนชวง [a, b] และคาทนอยทสดคอ คาตำสดสมบรณ

จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) = x3 − 3x+ 1 บนชวงปด [0, 3]


วธทำ


จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) = x3/2 − 12x1/2 บนชวงปด [1, 9]


วธทำ

3.4 โจทยประยกตเกยวกบคาสงสดและคาตำสด

ในหวขอนเราจะประยกตใชวธการทกลาวมาแลว สำหรบการหาผลเฉลยของ ปญหาคาเหมาะทสด ซงในการหาผลเฉลยของปญหาดงกลาววธหนงทนยมใชคอ การแปลงปญหานนๆ ใหอยในรปปญหาคาเหมาะทสดเชงคณตศาสตร โดยการกำหนดฟงกชนทตองการหาคาสงสด หรอคาตำสด ดงนนการหาคาเหมาะทสดของฟงกชนสามารถเขยนเปนขนตอนไดดงน

ขนตอนการหาคาผลเฉลยของ ปญหาคาเหมาะทสด

ขนตอนท 1 อานโจทยปญหาอยางรอบคอบ พรอมทงตงคำถามวา อะไรคอสงทเราไมทราบ? อะไรคอปรมาณทโจทยกำหนดให? อะไรคอเงอนไขทโจทยกำหนดให?

ขนตอนท 2 วาดรปประกอบ (ถาวาดได)

ขนตอนท 3 กำหนดตวแปรแทนปรมาณทตองการหาคาสงสด หรอคาตำสด และแทนปรมาณตางๆทเกยวของในโจทยปญหา

ขนตอนท 4 เขยนนพจนสำหรบตวแปรทตองการหาคาสงสดหรอคาตำสดในรปของตวแปรอนๆ ในขอ 3


ขนตอนท 5 ถาหากนพจนทไดในขนตอนท 4 เขยนอยในรปของฟงกชนทมตวแปรอสระหลายตวแปร ใหลดทอนเหลอตวแปรอสระเพยงตวแปรเดยว โดยใชเงอนไขทโจทยกำหนดให

ขนตอนท 6 ใชวธการวธการทกลาวมาแลวหาคาสงสด หรอคาตำสด

ถามวสด 1200 ตารางเซนตเมตร ในการทำกลอง ทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสแตไมมฝาปด แลวจงหาปรมาตรทมากทสดทเปนไปไดของกลอง


วธทำ


บรษทโฆษณาแหงหนงตองการทำแผนโปสเตอรประชาสมพนธรปสเหลยมผนผาทมพนท180 ตารางนว โดยพนททใชในการพมพขอความตองเวนขอบลางและดานขางทงสองดานไว 1 นว และเวนขอบบนไว 2 นว จงหาขนาดของแผนโปสเตอรททำใหมพนททใชพมพขอความมากทสด


วธทำ


Wb

5 km.

Ab

Pb

Bb

8 km.

จากรป แทนขดเจาะนำมนในทะเลตงอยในตำแหนง W ซงอยหางจากจด A บนชายหาดในแนวเสนตรงเปนระยะทาง 5 กโลเมตร ตองการวางทอสงนำมนจากจด W

ไปยงจด B ซงอยหางจากจด A เปนระยะทาง 8 กโลเมตร โดยจะวางทอสงนำมนใตนำจากจด W ไปยงจด P ซงอยระหวางจด A และจด B จากนนตอทอสงนำมนไปบนชายหาดไปยงจด B ถาคาใชจายในการวางทอสงนำมนใตนำคดเปน 1, 000, 000 ดอลลารตอกโลเมตร และคาใชจายในการวางทอสงนำมนบนชายหาดคดเปน 500, 000 ดอลลารตอกโลเมตร จงหาตำแหนงของจด P ททำใหเสยคาใชจายในการวางทอสงนำมนนอยทสด


วธทำ


3.5 ทฤษฎบทของรอล และทฤษฎบทคามชฌม

ในหวขอนจะกลาวถงทฤษฎบททเรยกวา ทฤษฎบทคามชฌม ซงถอวาเปนทฤษฎบททสามารถเขาใจไดงายในเชงเรขาคณต

ทฤษฎบทของรอล

เรมดวยการกลาวถงกรณเฉพาะของทฤษฎบทคามชฌม ซงเรยกวา ทฤษฎบทของรอล (Rolle’sTheorem) โดยกลาวในเชงเรขาคณตวา ถากราฟของฟงกชนทหาอนพนธไดมคาฟงกชนทจดปลายของชวง [a, b] เทากน แลวจะมจดอยางนอยหนงจดทอยระหวางจด a และจด b ทมเสนสมผสกราฟเปนเสนตรงในแนวนอน

y

x

b b

a bc

y

x

b b

a bc

y

x

b b

a bc1

c2

รปท 3.6: ทฤษฎบทของรอล (เชงเรขาคณต)

กำหนดให f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด(a, b) ถา

f(a) = f(b)

แลวจะมจำนวน c ∈ (a, b) อยางนอยหนงจำนวนททำให f ′(c) = 0

ทฤษฎบท 3.8 (ทฤษฎบทของรอล)

จงหาคาของ c ทสอดคลองกบขอสรปของทฤษฎบทของรอลสำหรบฟงกชน

f(x) = x3 − 3x2 + 2x+ 2 บนชวง [0, 1]


วธทำ


ทฤษฎบทคามชฌม

ทฤษฎบทของรอลเปนกรณเฉพาะของทฤษฎบททเรยกวา ทฤษฎบทคามชฌม (Mean-ValueTheorem) ในเชงเรขาคณตทฤษฎบทคามชฌมกลาาวา ระหวางจด A(a, f(a)) และจด B(b, f(b))

บนกราฟของฟงกชน f ทหาอนพนธได จะมจดอยางนอยหนงจดบนกราฟทมเสนสมผสกราฟขนานกบเสนตด AB

y

x

b

b

b

A(a, f(a))

a c b

B(b, f(b))

y

xa b

b

b

b

b

c1 c2

A(a, f(a))

B(b, f(b))

รปท 3.7: ทฤษฎบทคามชฌม (เชงเรขาคณต)

กำหนดให f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด(a, b) แลวจะมจำนวน c ∈ (a, b) ททำให

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

ทฤษฎบท 3.9 (ทฤษฎบทคามชฌม)

จงหาคา c ทสอดคลองกบขอสรปของทฤษฎบทคามชฌม สำหรบฟงกชน

f(x) = x3 + x− 1 บนชวงปด [0, 2]


วธทำ


3.6 อตราสมพทธ

ปญหาอตราสมพทธ (related rates problem) เปนปญหาทเกยวกบ อตราการเปลยนแปลงของปรมาณตางๆ ทมความสมพนธกน โดยทปรมาณแตละตวจะเปนฟงกชนของเวลา

ขนตอนการหาผลเฉลยของปญหาอตราสมพทธ

1. อานโจทยปญหาอยางรอบคอบ

2. เขยนรปประกอบณ เวลาใดๆ (ถาเขยนได)

3. กำหนดตวแปรแทนปรมาณตางๆ ซงเปนฟงกชนของเวลา

4. เขยนอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลาของปรมาณตางๆ ทโจทยกำหนดให และทตองการหาในรปของอนพนธ

5. เขยนสมการแสดงความสมพนธของปรมาณตางๆ ทไดจากขอ 4 ณเวลาใดๆ

6. ใชกฎลกโซหาอนพนธทงสองขางของสมการทไดจากขอ 5 เทยบกบเวลา

7. แทนคาอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลา และคาของตวแปรทโจทยกำหนดให แลวหาอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลาของตวแปรทโจทยตองการ

ถารศมของวงกลมเพมขนดวยอตรา 5 เซนตเมตรตอวนาท จงหาวาพนทของวงกลมจะเพมขนดวยอตราเทาใด? เมอรศมของวงกลมยาว 15 เซนตเมตร


วธทำ


หลอดไฟหลอดหนงวางอยบนพน และสองไฟไปบนผนงตกทอยหางออกไป 12 เมตร ถาชายคนหนงสง 1.7 เมตร เดนจากหลอดไฟไปยงผนงดวยความเรว 1.6 เมตรตอวนาท จงหาวาความยาวของเงาของชายผนทปรากฎอยบนผนงจะลดลงดวยอตราเทาใด? เมอเขาอยหางจากผนงตก 4 เมตร


วธทำ


บนไดยาว 10 ฟต พงอยบนฝาผนงซงตงฉากกบพนราบ ถาดงสวนปลายของบนไดออกจากผนงดวยอตรา 2 ฟตตอวนาท จงหาวามมระหวางสวนบนของบนไดกบผนงจะเพมขนดวยอตราเทาใด? ถามมระหวางสวนบนของบนไดกบผนงมคาเปน π/4 เรเดยน


วธทำ


รถยนต 2 คนวงออกจากสถานทแหงหนงพรอมกน คนหนงวงไปทางทศใตดวยความเรว60 ไมลตอชวโมง อกคนหนงวงไปทางทศตะวนตกดวยความเรว 25 ไมลตอชวโมง จงหาอตราการเพมของระยะทางระหวางรถทงสองคน เมอเวลาผานไปครบ 2 ชวโมง


วธทำ


3.7 ผลตางเชงอนพนธและการประยกต

จากหวขอทผานมา เราไดใชสญลกษณdy

dxแทนอนพนธของ y เทยบกบ x ไมใช dy หาร

ดวย dx แตในหวขอนเราจะใหความหมาย dy และ dx แยกกนให P (a, b) เปนจดคงท (fixed point) บนกราฟของสมการ y = f(x) ดงรปท 3.8(a)

b dx

dy

P (a, b)

y = f(x)

x

y

เสนสมผส

(a)

bP (a, b)

y = f(x)

x

y

a a+∆x

dy∆y

∆x

(b)

รปท 3.8:

ถา P เปนจดกำเนดของระบบแกนพกดใหม (แกน dx และแกน dy) ซงขนานกบระบบแกนพกดเดม (แกน x และแกน y) เสนสมผสกราฟทจด P จะมรปแบบสมการคอ dy = mdx

โดยท m คอ ความชนของเสนสมผส แตเนองจากความชน m ในระบบแกนพกดใหมมคาเทากบความชน m ในระบบแกนพกดเดม ดงนน m = f ′(x) และสมการเสนสมผสสามารถเขยนอยในรป

dy = f ′(a)dx

เนองดวยเสนสมผสกราฟจะอยใกลกบเสนโคงซงเปนกราฟของสมการ y = f(x) ในบรเวณทใกลกบจด P (a, b)

(

ดรปท 3.8(b))

ดงนน ถา ∆x = dx แทนสวนเปลยนแปลงของ x ทมคานอยมาก แลวสวนเปลยนแปลงของ y บนเสนโคงบนชวง [a, a+∆x] คอ

∆y = f(a+∆x)− f(a)

ในขณะทสวนเปลยนแปลงของ y บนเสนสมผสคอ

dy = f ′(a)dx

ซงจะไดวา dy เปนตวประมาณคาทดของ ∆y และงายตอการคำนวณ(

เนองจากเปนผลคณของคาคงตวกบ dx

)


ผลตางเชงอนพนธ (Differential)

ถาฟงกชน y = f(x) หาอนพนธไดทจด x ใดๆ และให dx(

ผลตางเชงอนพนธของตวแปรอสระ x

)

แทนสวนเปลยนแปลงของ x แลวผลตางเชงอนพนธ dy ของตวแปรตาม y ถกกำหนดโดย

dy = f ′(x)dx

บทนยาม 3.7 (ผลตางเชงอนพนธ)

จงหาผลตางเชงอนพนธ dy ของฟงกชนตอไปน

(a) y = x3 − 2ex (b) y =√3x2 + x+ 1

(c) y = sin(1 + 2x) ln(x2 + 1)


วธทำ


การประมาณคา (Approximations)

ผลตางเชงอนพนธมบทบาททสำคญในเรองของการประมาณคาดงน กำหนดให y = f(x) เปนฟงกชนใดๆ โดยมกราฟดงรป

bP (a, b)

y = f(x)

x

y

a a+∆x

dy∆y

f(a)

f(a+∆x)∆x

จากรปจะเหนไดวา ถาคา x เปลยนไปดวยปรมาณ ∆x แลวคา y จะเปลยนไปดวยปรมาณ ∆y

ซงเราสามารถประมาณคาไดดวย dy นนคอ

∆y ≈ dy หรอ f(a+∆x)− f(a) ≈ f ′(a)dx

ดงนนสำหรบจด x ใดๆบนเสนโคง จะไดวา

f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x)dx (3.1)

จงหาคาประมาณของ√4.3 และ

√8.6


วธทำ


จงหาคาประมาณของ (1.97)6


วธทำ

จงหาคาประมาณของ cos 62◦


วธทำ


3.8 รปแบบยงไมกำหนด และหลกเกณฑโลปตาล

ในหวขอนเราจะกลาวถงวธการทวไปในการหาลมตโดยใชอนพนธ ซงเปนวธการทนยมใชมากในการหาลมตโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอร และสามารถหาลมตไดหลากหลายรปแบบ

รปแบบยงไมกำหนด 0/0

โดยทวไปถาลมตอยในรปแบบ

limx→a

f(x)

g(x)

โดยท f(x) → 0 และ g(x) → 0 เมอ x → a แลวจะเรยกลมตรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด 0/0 และคาของลมตอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมได เราไดพบลมตในรปแบบนมาแลวบางในบทท 1 ตวอยางเชน

limx→−3

x2 − 14x− 51

x2 − 4x− 21= 2 และ lim

x→0

sin x

x= 1

ลมตแรกเปนลมตของฟงกชนตรรกยะ ซงหาคาลมตไดโดยการตดทอนตวประกอบรวม สำหรบลมตทสอง เราสามารถใชวธการเชงเรขาคณตในการหาคาลมต อยางไรกตามมรปแบบลมตหลายรปแบบทไมสามารถใชวธการทางพชคณต หรอวธการเชงเรขาคณตหาคาลมตได

ดงนนในหวขอนเราจะเรยนรวธการทเรยกวา หลกเกณฑโลปตาล (L’Hospital’s rule)ซงจะใชในการหาลมตในรปแบบยงไมกำหนด

สมมตให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทบรรจจด x = a (อาจจะยกเวนท x = a) และให

limx→a

f(x) = 0 และ limx→a

g(x) = 0

ถา limx→a

[f ′(x)/g′(x)] หาคาได หรอถาคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลว

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

นอกจากนขอความขางตนยงคงเปนจรงสำหรบกรณของลมตเมอ x → a−, x → a+,x → −∞ หรอเมอ x → +∞

ทฤษฎบท 3.10 (หลกเกณฑโลปตาลสำหรบรปแบบยงไมกำหนด 0/0)

ตวอยางตอไปนจะใชหลกเกณฑโลปตาลในการหาคาลมต โดยมขนตอนดงน

ขนตอนท 1 ตรวจสอบวา limx→a

f(x)

g(x)อยในรปแบบยงไมกำหนด 0/0


ขนตอนท 2 หาอนพนธของ f และ g แยกกน

ขนตอนท 3 หาคา limx→a

f ′(x)

g′(x)ถาลมตหาคาได หรอคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลวจะไดวา

limx→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

f(x)

g(x)

จงหาคาของ limx→1

x ln x

1− x


วธทำ



tan 2x

ln(1 + x)


วธทำ


ex − sin x− 1

x2 − x3


วธทำ


รปแบบยงไมกำหนด ∞∞

ถาพจารณาลมตในรปแบบ

limx→a

f(x)

g(x)

โดยท f(x) → +∞ (หรอ −∞) และ g(x) → +∞ (หรอ −∞) เมอ x → a แลวจะไดวาลมตอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมได และจะเรยกลมตรปแบบลกษณะนวา รปแบบยงไมกำหนด∞/∞ เราไดพบลมตในรปแบบนมากอนแลว เชน

limx→+∞

2x2 − 3

3x2 − 5x

จากหวขอ 1.3 จะไดวาลมตนสามารถหาคาได โดยการหารตวเศษและตวสวนดวย x ยกกำลงเลขชกำลงมากทสดของตวสวน นนคอ

limx→+∞

2x2 − 3

3x2 − 5x= lim

x→+∞

(2x2 − 3)/x2

(3x2 − 5x)/x2

= limx→+∞

2−3

x2

3−5

x

=2− 0

3− 0=

2

3

อยางไรกตามเราไมสามารถใชวธการนกบการหาคาลมต

limx→1

ln x

1− x

แตหลกเกณฑโลปตาลสามารถนำมาใชในการหาลมตรปแบบยงไมกำหนด ∞/∞

สมมตให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทบรรจจด x = a (อาจจะยกเวนท x = a) และให

limx→a

f(x) = ±∞ และ limx→a

g(x) = ±∞

ถา limx→a

[f ′(x)/g′(x)] หาคาได หรอถาคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลว

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

นอกจากนขอความขางตนยงคงเปนจรงสำหรบกรณของลมตเมอ x → a−, x → a+,x → −∞ หรอเมอ x → +∞

ทฤษฎบท 3.11 (หลกเกณฑโลปตาลสำหรบรปแบบยงไมกำหนด ∞/∞)


จงหาคาของ limx→0+

ln x

cot x


วธทำ


ln(sin x)

ln(tan x)


วธทำ


รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞

ถา limx→a

f(x) = 0 แต limx→a

g(x) = ±∞ แลวไมมความชดเจนวา limx→a

f(x)g(x) มคาเทาไร? เรา

เรยกลมตในรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞ ลมตในรปแบบยงไมกำหนด 0 ·∞ สามารถหาคาได โดยการเขยนผลคณ fg ในรปผลหาร นนคอ

fg =f

1/gหรอ fg =

g

1/f

จากนนใชหลกเกณฑโลปตาลหาลมตสำหรบรปแบบยงไมกำหนด 0/0 หรอ ∞/∞

จงหาคาของ limx→π/2

(tanx · ln sin x)


วธทำ



(

sin−1 x · csc x)


วธทำ

รปแบบยงไมกำหนด ∞−∞

ถาคาลมต limx→a

[f(x)− g(x)] อยในรป

(+∞)− (+∞), (−∞)− (−∞), (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞)

แลวจะเรยกลมตรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด ∞ − ∞ การหาคาลมตในรปแบบน บางครงสามารถหาไดโดยการเปลยนรปลมตของผลตางเปนลมตของผลหาร ซงจะไดลมตทมรปแบบยงไมกำหนด0/0 หรอ ∞/∞


(

1

x−

1

sin x

)


วธทำ



(

1√x− 2

−4

x− 4

)


วธทำ


รปแบบยงไมกำหนด 00,∞0, 1∞

รปแบบยงไมกำหนดหลายรปแบบเกดขนมาจากลมตในรป

limx→a

[

f(x)]g(x)

ซงแบงเปนกรณไดดงน

1. limx→a


g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด 00

2. limx→a

f(x) = ∞ และ limx→a

g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด ∞0

3. limx→a


g(x) = ±∞ จะไดรปแบบยงไมกำหนด 1∞

ในแตละกรณเราสามารถหาคาลมตได เรมดวยการให

y =[

f(x)]g(x)

จากนนหาลมตของ ln y เนองจาก

ln y = ln[

f(x)]g(x)

= g(x) · ln[f(x)]

ดงนนลมตของ ln y จะมรปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞ ซงสามารถหาคาลมตได โดยวธการทกลาวมาขางตน หลงจากททราบคาลมตของ ln y แลวเราสามารถหาคาลมตของ y =

[

f(x)]g(x) ดง

ตวอยางตอไปน


(1− ex)1/ lnx


วธทำ


จงหาคาของ limx→(π/2)−

(tanx)cos x


วธทำ



(1− 2x)1/x


วธทำ

บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t...

Documents