บทที่ 5...

บทท 5

ปรพนธ

5.1 บทนยามและทฤษฎบทพนฐานของปรพนธ

5.1.1 ปรพนธไมจำกดเขต

ในทางคณตศาสตรมการดำเนนการทเปนผกผน (inverse operations) ซงกนและกนเปนจำนวนมาก เชน การบวกและการลบ การคณและการหาร การยกกำลงและการถอดราก เปนตนในทนเราจะศกษาการดำเนนการผกผนของการหาอนพนธของฟงกชน ซงเรยกวา การหาปฏยานพนธ

บทนยาม 5.1 ฟงกชน F จะถกเรยกวา ปฏยานพนธ (antiderivative) ของ f บนชวงเปด I ถา F ′(x) = f(x) สำหรบทกคาของ x ∈ I

ตวอยาง 5.1 จงหาปฏยานพนธของ f(x) = x2

วธทำ . . . . . . . . .

โดยทวไปจะสงเกตไดวา ถา F เปนปฏยานพนธใดๆของ f และ C เปนคาคงตวใดๆ แลว

d

dx

[

F (x) + C]

= F ′(x) + 0 = f(x)

ดงนน F (x) + C เปนปฏยานพนธของ f(x) เมอ C เปนคาคงตวใดๆ

คำถาม มปฏยานพนธของ f(x) นอกเหนอจาก F (x) + C หรอไม?คำตอบ ไมม

ทฤษฎบท 5.1 ให F และ G เปนปฏยานพนธของ f บนชวง [a, b] แลวจะไดวา

G(x) = F (x) + C

เมอ C เปนคาคงตวใดๆ

97

เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 98

หมายเหต ทฤษฎบท 5.1 กลาววา ถา F เปนปฏยานพนธของ f แลวปฏยานพนธใดๆของf สามารถเขยนอยในรป F (x) + C สำหรบคาคงตว C บางคา และไดมการกำหนดชอใหกบปฏยานพนธทวไปของฟงกชน ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 5.2 กำหนดให F เปนปฏยานพนธใดๆของ f ปรพนธไมจำกดเขต หรอ อนทกรลไมจำกดเขต (indefinite integral) ของ f(x) (เทยบกบตวแปร x) ถกกำหนดโดย

∫

f(x) dx = F (x) + C

เมอ C เปนคาคงตวใดๆ และจะเรยก C วา คาคงตวของการอนทเกรต (constant ofintegration)

เราจะเรยกการหาปรพนธวา การอนทเกรต (integration) และในทน f(x) ถกเรยกวา ปรพทธ (integrand) หรอเปนฟงกชนทจะอนทเกรต สำหรบพจน dx จะเปนตวกำหนดวา x คอ ตวแปรของการอนทเกรต (variable of integration)

ตวอยาง 5.2 จงหา∫

4x3 dx

วธทำ . . . . . . . . .


ex dx

วธทำ . . . . . . . . .


cosω dω

วธทำ . . . . . . . . .


xn dx โดยท n 6= −1

วธทำ . . . . . . . . .

จากตวอยางขางตนจะไดวา เราสามารถหาปฏยานพนธของกฎอนพนธทกกฎได หรอกลาวไดวากฎการหาอนพนธทกกฎจะมกฎการหาอนทกรลทสมนยกนเสมอ ตารางตอไปนจะแสดงกฎการหาอนทกรลทสำคญ


∫

xn dx =xn+1

n+ 1+ C (n 6= −1)

∫

1

xdx = ln |x|+ C

∫

ex dx = ex + C

∫

ax dx =ax

ln a+ C, a > 0, a 6= 1

∫

sin x dx = − cos x+ C

∫

cosx dx = sin x+ C∫

sec2 x dx = tan x+ C

∫

csc2 x dx = − cot x+ C∫

sec x tan x dx = sec x+ C

∫

csc x cot x dx = − csc x+ C∫

1√1− x2

dx = sin−1 x+ C

= − cos−1 x+ C

∫

1

1 + x2dx = tan−1 x+ C

= − cot−1 x+ C∫

1

|x|√x2 − 1

dx = sec−1 x+ C

= − csc−1 x+ C

ทฤษฎบทตอไปจะชวยใหเราสามารถนำกฎการหาอนทกรลมาใชรวมกนได

ทฤษฎบท 5.2 ให f(x) และ g(x) เปนฟงกชนทมปฏยานพนธ แลวจะไดวาสำหรบคาคงตวa และ b ใดๆ

∫

[

af(x) + bg(x)]

dx = a

∫

f(x) dx+ b

∫

g(x) dx

จากทฤษฎบทนจะสงเกตไดวา เราสามารถหาอนทกรลของผลบวก ผลตาง และผลคณระหวางคาคงตวกบฟงกชนได อยางไรกตามอนทกรลของผลคณ (หรอผลหาร) ของฟงกชน ไมเทากบผลคณ (หรอผลหาร) ของอนทกรลของฟงกชน


(3 sin x+ 4x15) dx

วธทำ . . . . . . . . .


(2ex − 3 sec2 x) dx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.8 จงหาอนทกรลไมจำกดเขตตอไปน

(a)

∫

13√x2

dx (b)

∫

x(1 + 2x3) dx

(c)

∫

x4 + 3

xdx (d)

∫

sin 2x

sin xdx


วธทำ . . . . . . . . .

นอกจากนเราสามารถหาอนทกรลของฟงกชนตางๆโดยใชตารางของกฎการหาอนทกรลขางตนเมอ x ถกแทนดวย ax โดยท a เปนคาคงตวใดๆ ไดดงน เรมดวยการพจารณา

d

dxsin 3x = 3 cos 3x

เมอคาคงตว 3 ไดมาจากการใชกฎลกโซ และจากการทกฎอนพนธทกกฎ จะนำไปสกฎการหาอนทกรล เราสงเกตไดวา

∫

cos 3x dx =1

3sin 3x+ C

เนองจากd

dx

(

1

3sin 3x+ C

)

= cos 3x

ตวอยางขางตนเปนตวอยางเฉพาะทนำไปสทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 5.3 ถา∫

f(x) dx = F (x) + C แลวสำหรบคาคงตว a 6= 0 ใดๆ

∫

f(ax) dx =1

aF (ax) + C

ตวอยาง 5.9 จงหาอนทกรลไมจำกดเขตตอไปน

(a)

∫

cos(5x) dx (b)

∫

3e4xdx

(c)

∫

7 csc2(2x) dx (d)

∫

sec

(

3

2x

)

tan

(

3

2x

)

dx

วธทำ . . . . . . . . .

5.1.2 ปรพนธจำกดเขต

ทฤษฎบท 5.4 ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] แลว∫ b

a

f(x) dx = F (x)]b

a= F (b)− F (a)

เมอ F เปนปฏยานพนธใดๆ ของ f นนคอ F ′(x) = f(x) สำหรบทกคาของ x ∈ [a, b]

ในทนเราเรยก∫ b

a

f(x) dx วา ปรพนธจำกดเขต หรอ อนทกรลจำกดเขต (definite

integral) ของ f จาก a ถง b และเรยก a และ b วา ลมตของการอนทเกรต (limitof integration) โดยท a คอ ลมตลางของการอนทเกรต (lower limit of inte-gration) และ b คอ ลมตบนของการอนทเกรต (upper limit of integration)


สมบตของปรพนธจำกดเขต

1.∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx

2.∫ a

a

f(x) dx = 0

ทฤษฎบทตอไปนเปนกฎทวไปของปรพนธจำกดเขต

ทฤษฎบท 5.5 ถา f และ g เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวง [a, b] และ c และ d เปนคาคงตวใดๆ แลว

∫ b

a

[

cf(x) + dg(x)]

dx = c

∫ b

a

f(x) dx+ d

∫ b

a

g(x) dx

ทฤษฎบท 5.6 ถา f เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวง [a, b] และ c เปนคาคงตวใดๆ แลว∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx

ทฤษฎบท 5.7 กำหนดให f และ g เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวง [a, b] และ g(x) ≤f(x) สำหรบทกคาของ x บนชวง [a, b] ดงนน

∫ b

a

g(x) dx ≤∫ b

a

f(x) dx

ตวอยาง 5.10 จงหาคาของ∫ 4

0

(x2 − 4x+ 2) dx

วธทำ . . . . . . . . .


0

(

3 + x√x)

dx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.12 จงหาคาของ∫ 2π

π

cos θ dθ

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.13 จงหาคาของ∫ −e

−e2

1

xdx

วธทำ . . . . . . . . .


แบบฝกหด 5.1

1. จงหาปฏยานพนธใดๆ ในรปแบบ F (x) + C ของฟงกชน f(x) ตอไปน

(a) f(x) = 5 (b) f(x) = x2 + π

(c) f(x) = x5/4 (d) f(x) = 1/3√x2

(e) f(x) = x2 − x (f) f(x) = 4x5 − x3

(g) f(x) = 27x7 + 3x5 − 45x3 +√2x

(h) f(x) =3

x2− 2

x3(i) f(x) =

4x6 + 3x4

x3

2. จงหาอนทกรลไมจำกดเขตตอไปน

(a)∫

3x4 dx (b)∫

(x2 + x) dx

(c)∫

(3x4 − 3x) dx (d)∫

(x+ 1)2 dx

(e)∫

3√x dx (f)

∫(

3− 1

x4

)

dx

(g)∫

x1/3 − 3

x2/3dx (h)

∫

(x2 + 1)2√x

dx

(i)∫

(sin x− cosx) dx (j)∫

2 sec x tan x dx

(k)∫

5 sec2 x dx (l)∫

(3ex − 2) dx

(m)∫

(3 cosx− 1/x) dx (n)∫

(

5x− 3

ex

)

dx

(o)∫

5 sin 2x dx (p)∫

3 sec 2x tan 2x dx

(q)∫

ex + 3

exdx (r)

∫

x1/4(x5/4 − 4) dx

3. จงหาคาปรพนธจำกดเขตตอไปน

(a)∫ 1

0

2x dx (b)∫ 5

−1

(1 + 3x) dx

(c)∫ 5

1

(2 + 3x− x2) dx (d)∫ 2

0

(2− x2) dx

(e)∫ 5

0

(1 + 2x3) dx (f)∫ 2

1

x3 dx

4. จงใชทฤษฎบท 5.5 และ 5.6 เขยนนพจนตอไปนในรปปรพนธจำกดเขตเพยงปรพนธ


เดยว

(a)∫ 2

0

f(x) dx+

∫ 3

2

f(x) dx (b)∫ 3

0

f(x) dx−∫ 3

2

f(x) dx

(c)∫ 2

0

f(x) dx+

∫ 1

2

f(x) dx (d)∫ 2

−1

f(x) dx+

∫ 3

2

f(x) dx

(e)∫ 3

1

f(x) dx+

∫ 6

3

f(x) dx+

∫ 12

6

f(x) dx

5. กำหนดให∫ 8

2

f(x) dx = 1.8 และ∫ 8

5

f(x) dx = 3.2 จงหา∫ 5

2

f(x) dx

6. กำหนดให∫ 1

0

f(x) dx = 3,

∫ 4

0

f(x) dx = −7 และ∫ 4

3

f(x) dx = 2 จงหา∫ 3

1

f(x) dx

7. จงหาคาปรพนธจำกดเขตตอไปน

(a)∫ 3

−1

x5 dx (b)∫ 2

0

(2x− 3) dx

(c)∫ 4

0

√x dx (d)

∫ 4

0

(√x+ 3x) dx

(e)∫ 2

1

3

x4dx (f)

∫ 1

0

(x√x+ x−1/2) dx

(g)∫ 3

3

√x5 + 2 dx (h)

∫ π/2

0

2 sin x dx

(i)∫ π

π/2

sec x tan x dx (j)∫ π

π/2

(2 sin x− cosx) dx

(k)∫ 9

1

1

2xdx (l)

∫ 1

0

(ex − e−x) dx

(m)∫ 9

8

2x dx (n)∫ 3

0

(3e2x − x2) dx

(o)∫ 1

−1

(ex + e−x) dx (p)∫

√3

1

6

1 + x2dx

(q)∫ 2

0

f(x) dx เมอ f(x) =

{

x4 ถา 0 ≤ x < 1

x5 ถา 1 ≤ x ≤ 2

8. จงหาปรพนธตอไปน


(a)∫

x−3/4 dx (b)∫

(x3 + 6x+ 1) dx

(c)∫

(1− x)(2 + x2) dx (d)∫

(2−√x)2 dx

(e)∫

sin x

1− sin2 xdx (f)

∫ 1

0

(1− 2x− 3x2) dx

(g)∫ 0

−1

(2x− ex) dx (h)∫ 3

1

(

1

x2− 1

x4

)

dx

(i)∫ 2

1

x2 + 1√x

dx (j)∫ 1

0

x(√x+ 3

√x) dx

(k)∫ 4

1

√

5

xdx (l)

∫ 3

−2

|x2 − 1| dx

(m)∫ 4

1

(√x− 2√

x

)

dx (n)∫ 0

−1

(x+ 1)3 dx

(o)∫ π/3

π/6

csc2 x dx (p)∫ π/4

0

1 + cos2 x

cos2 xdx

(q)∫ e

1

x2 + x+ 1

xdx (r)

∫ 2

−1

(x− 2|x|) dx

คำตอบแบบฝกหด 5.1

1. (a) 5x+ C (b) 13x3 + πx+ C (c) 4

9x9/4 + C (d) 3 3

√x+ C

(e) 13x3− 1

2x2+C (f) 2

3x6− 1

4x4+C (g) 27

8x8+ 1

2x6− 45

4x4+

√22x2+C

(h) − 3x+ 1

x2 + C (i) x4 + 32x2 + C

2. (a) 35x5 +C (b) 1

3x3 + 1

2+C (c) 3

5x5 − 3

2x2 +C (d) 1

3(x+1)3 +C

(e) 2x3/2 + C (f) 3x+ 13x−3 + C (g) 3

2x2/3 − 9x1/3

(h) 29x9/2 + 4

5x5/2 + 2x1/2 + C (i) − cosx− sin x+ C (j) 2 sec x+ C

(k) 5 tanx+ C (l) 3ex − 2x+ C (m) 3 sin x− ln |x|+ C

(n) 52x2+3e−x+C (o) −5

2cos 2x+C (p) 3

2sec 2x+C (q) x−3e−x+C

(r) 25x5/2 − 16

5x5/4

3. (a) 7, 385 (b) −21, 980 (c) 323, 400 (d) −2, 746, 200 (e) 2, 870

(f) 44, 520 (g)n(n+ 1)(2n+ 1)

3−3n (h)

4n(n+ 1)(2n+ 1)

6−n(n + 1)

2


4. (a)∫ 3

0

f(x)dx (b)∫ 2

0

f(x)dx (c)∫ 1

0

f(x)dx (d)∫ 3

−1

f(x)dx

(e)∫ 12

1

f(x)dx

5. −1.4 6. −12

7. (a) 3643

(b) −2 (c) 163

(d) 883

(e) 78

(f) 125

(g) 0

(h) 2 (i) หาคาไมได (j) 3 (k) ln 3 (l) e− e−1 − 2 (m) 28

ln 2

(n) 32e6 − 21

2(o) 2e− 2e−1 (p) π

2(q) 10.7

8. (a) 4x1/4 + C (b) 14x4 + 3x2 + x+ C (c) 2x− x2 + 1

3x3 − 1

4x4 + C

(d) 4x− 83x3/2 + 1

2x2 + C (e) sec x+ C (f) −1 (g) −2 + 1

e

(h) 2881

(i) 6(3√2− 2)/5 (j) 29

35(k) 2

√5 (l) 28

3(m) 2

3

(n) 14

(o) 2√3/3 (p) 1 + π

4(q) 1

2e2 + e− 1

2(r) −3.5

5.2 เทคนคการหาปรพนธ

5.2.1 การอนทเกรตโดยการแทนท

ในหวขอนเราจะเรยนรเทคนคทชวยในการหาปรพนธทเราเรยกวา การอนทเกรตโดยการแทนท(integration by substitution) เนองจากกฎลกโซชวยในการหาอนพนธของฟงกชนหลายๆ ฟงกชนซอนกน การอนทเกรตโดยการแทนท จะเปนวธการทชวยทำใหเราเหนวา ฟงกชน

ทเปนปรพทธของอนทกรลเปนผลทไดมาจากกฎลกโซของอนพนธ ตวอยางเชน พจารณา∫

2xex2

dx

ถาให F (x) = ex2 แลวจากกฎลกโซจะไดวา

F ′(x) = ex2 d

dx(x2) = 2xex

2

ซงเปนปรพทธของอนทกรล ดงนน F (x) = ex2 เปนปฏยานพนธของ 2xex

2 และจะไดวา∫

2xex2

dx = ex2

+ C

ในกรณทวไป ถา F เปนปฏยานพนธใดๆของ f แลวจากกฎลกโซจะได

d

dx

[

F (u)]

= F ′(u)du

dx= f(u)

du

dx


ดงนนจะไดวา∫

f(u)du

dxdx =

∫

d

dx

[

F (u)]

dx = F (u) + C =

∫

f(u) du (5.1)

และสมการ (5.1) บงชวาdu =

du

dxdx

บทนยาม 5.3 (ผลตางเชงอนพนธ) ถาฟงกชน y = f(x) หาอนพนธไดทจด x ใดๆ แลวผลตางเชงอนพนธ dy ของ y ถกกำหนดโดย

dy = f ′(x)dx =dy

dxdx

ดงนนถาเราไมสามารถหา∫

h(x) dx ไดโดยตรง เราสามารถใชวธการแทนท หรอการหา

ตวแปรใหม u และฟงกชน f(u) ททำให∫

h(x) dx =

∫

f(

u(x))du

dxdx =

∫

f(u) du

ซงจะชวยใหการอนทเกรตงายขน


(x4 − 1)99(4x3) dx

วธทำ . . . . . . . . .

ขนตอนการอนทเกรตโดยการแทนท

• เลอกนพจน u โดยทวไปเราจะเลอกให u เปนนพจนซงอยสวนในสด หรอพจนสวนในของฟงกชนประกอบ (composite function) เชนในตวอยาง 5.14 จะไดวาx4 − 1 เปนพจนสวนในของ (x4 − 1)99

• คำนวณ du =du

dxdx

• แทนททกพจนของปรพทธ ดวยนพจนทเกยวของกบตวแปร u และผลตางเชงอนพนธ du

• หาคาอนทกรล ถาหากยงหาไมได อาจจะตองเลอกนพจน u ใหม

• แทนทแตละ u ในปฏยานพนธทได ดวยนพจนทสมนยกนในรปของตวแปรเดม ซงในทนคอ x


x2 cos(x3 − 2) dx


วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.16 จงหา∫ √

2 sin x+ 1 cosx dx

วธทำ . . . . . . . . .


x√1− 4x2

dx

วธทำ . . . . . . . . .


cos√x√

xdx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.19 จงหา∫ √

1 + x2 x5 dx

วธทำ . . . . . . . . .


tan x dx

วธทำ . . . . . . . . .

การแทนทในอนทกรลจำกดเขต

การหาคาอนทกรลจำกดเขตโดยการแทนทม 2 วธทเปนไปได วธแรกคอหาอนทกรลไมจำกดเขตกอน แลวใชทฤษฎบท 5.4 หาคาอนทกรลจำกดเขต ตวอยางเชน จากตวอยาง 5.16 เราไดวา

∫ π/2

0

√2 sinx+ 1 cos x dx =

∫ √2 sin x+ 1 cosx dx

]π/2

0

=1

3(2 sin x+ 1)3/2

]π/2

0

=1

3

(

2 sinπ

2+ 1

)3/2

− 1

3(2 sin 0 + 1)3/2

=1

3(3)3/2 − 1

3(1)3/2 =

1

3(33/2 − 1)

อกวธหนงคอ การเปลยนขดจำกดของการอนทเกรต เมอตวแปรเปลยนไปเชน ถาหากตวแปรตวใหมคอ u แลวเราจะตองเปลยนขดจำกดของการอนทเกรตจาก x = a และ x = b

เปนขดจำกดทสมนยกบ u นนคอ u = u(a) และ u = u(b) ดงนน∫ b

a

f(

u(x))

u′(x) dx =

∫ u(b)

u(a)

f(u) du



1

x3√x4 + 5 dx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.22 จงหาคาของ∫ e

1

ln x

xdx

วธทำ . . . . . . . . .

แบบฝกหด 5.2.1

1. จงหาคาอนทกรลตอไปนโดยการแทนทดวยตวแปรทกำหนดให

(a)∫

cos 3x dx, u = 3x

(b)∫

x2(x3 + 2) dx, u = x3 + 2

(c)∫

4

(1 + 2x)3dx, u = 1 + 2x

(d)∫

(√x+ 2)3√

xdx, u =

√x+ 2

2. จงหาคาอนทกรลไมจำกดเขตตอไปน

(a)∫

2x(x2 + 3)4 dx (b)∫

(2x+ 1)(x2 + x)3 dx

(c)∫ √

x− 1 dx (d)∫

x2

√x3 − 2

dx

(e)∫

dx

5− 3x(f)

∫

2x+ 1

x2 + x− 1dx

(g)∫

1 + 4x√1 + x+ 2x2

dx (h)∫

1√x(√x+ 1)2

dx

(i)∫

cos 2x dx (j)∫

cosx√sin x+ 1 dx

(k)∫

x sin(x2) dx (l)∫

sin x√cosx

dx

(m)∫

cos4 x sin x dx (n)∫

sin x(cos x+ 3)3/4 dx

(o)∫

sec x tan x√1 + sec x dx (p)

∫

cos xesinx dx


(q)∫

ex√1 + ex dx (r)

∫

xex2+1 dx

(s)∫

dx

x ln x(t)

∫

4

x(ln x+ 1)2dx

(u)∫ √

cot x csc2 x dx (v)∫

sin x(cosx− 1)3 dx

(w)∫

sec3 x tan x dx (x)∫

ex − e−x

ex + e−xdx

(y)∫

1 + x

1 + x2dx (z)

∫

2x+ 3

x+ 7dx

3. จงหาคาอนทกรลจำกดเขตตอไปน

(a)∫ 2

0

(x− 1)25 dx (b)∫ 2

0

x√x2 + 1 dx

(c)∫ 1

0

x2(1 + 2x3)5 dx (d)∫ 1

−1

x

(x2 + 1)2dx

(e)∫ 1

0

cosπx dx (f)∫ π

π/2

4 cosx

(sin x+ 1)2dx

(g)∫ 4

1

1

x2

√

1 +1

xdx (h)

∫ π/2

π/4

cot x dx

(i)∫ 3

0

dx

2x+ 3(j)

∫ 4

1

x− 1√x

dx

(k)∫ π/3

0

sin x

cos2 xdx (l)

∫ 13

0

dx3

√

(1 + 2x)2

(m)∫ 2

1

x√x− 1 dx (n)

∫ e4

e

dx

x√ln x

(o)∫ a

0

x√x2 + a2 dx (a > 0)

คำตอบแบบฝกหด 5.2.1

1. (a) 13sin 3x+ C (b) 2

3(x3 + 2)3/2 + C (c) −1/(1 + 2x)2 + C

(d) 12(√x+ 2)4 + C

2. (a) 15(x2 + 3)5 + C (b) 1

4(x2 + x)4 + C (c) 2

3(x− 1)3/2 + C

(d) 23

√x3 − 2 + C (e) −1

3ln |5− 3x|+ C (f) ln |x2 + x− 1|+ C

(g) 2√1 + x+ 2x2 + C (h) −2(

√x+ 1)−1 + C (i) 1

2sin 2x+ C

(j) 23(sin x+ 1)3/2 + C (k) −1

2cos(x2) + C (l) −2

√cosx+ C


(m) −15cos5 x+ C (n) −4

7(cosx+ 3)7/4 + C (o) 2

3(1 + sec x)3/2 + C

(p) esinx +C (q) 23(1 + ex)3/2 +C (r) 1

2ex

2+1 +C (s) ln | lnx|+C

(t) −4(ln x+ 1)−1 + C (u) −23(cot x)3/2 + C (v) −1

4(cosx− 1)4 + C

(w) 13sec3 x+ C (x) ln(ex + e−x) + C (y) tan−1 x+ 1

2ln(1 + x2) + C

(z) 2(x+ 7)− 11 ln |x+ 7|+ C

3. (a) 0 (b) 53

√5− 1

3(c) 182

9(d) 0 (e) 0 (f) −2

(g) 4√2

3− 5

√5

12(h) 1

2ln 2 (i) 1

2ln 3 (j) 8

3(k) 1 (l) 3

(m) 1615

(n) 2 (o) 13(2√2− 1)a3

5.2.2 การอนทเกรตทละสวน

ตามทไดกลาวมาแลววา กฎการหาอนพนธทกกฎจะมกฎการหาอนทกรลทสมนยกนเสมอ ตวอยางเชน กฎการแทนทของการหาอนทกรลจะสมนยกบกฎลกโซของการหาอนพนธ สำหรบกฎการหาอนทกรลทสมนยกบกฎผลคณของการหาอนพนธนน เราเรยกวา การอนทเกรตทละสวน (in-tegration by parts)

จากกฎผลคณเราไดวา ถา f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธ แลว

d

dx

[

f(x)g(x)]

= f(x)g′(x) + g(x)f ′(x)

อนทเกรตทงสองขางสมการ จะได∫

[

f(x)g′(x) + g(x)f ′(x)]

dx = f(x)g(x)

หรอ∫

f(x)g′(x) dx+

∫

g(x)f ′(x) dx = f(x)g(x)

ซงสามารถเขยนอยในรป∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−∫

g(x)f ′(x) dx (5.2)

เราเรยกรปแบบนวา สตรสำหรบการอนทเกรตทละสวน (formula for integration byparts)

ถาให u = f(x) และ v = g(x) แลวเราไดวา du = f ′(x)dx และ dv = g′(x)dx จากกฎการแทนทจะไดวา รปแบบสำหรบการอนทเกรตทละสวน (5.2) สามารถเขยนไดใหมเปน

∫

u dv = uv −∫

v du (5.3)


ดงนนในการใชเทคนคการอนทเกรตทละสวน เราจะตองเลอก u และ dv ททำใหเราสามารถหาอนทกรลทางขวามอของ (5.3) ไดงายขน


x cosx dx

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต วตถประสงคของการใชการอนทเกรตทละสวนคอ เราตองการทจะอนทเกรตฟงกชนท

งายกวาทกำหนดให ดงเชนจากตวอยาง 5.23 เราเรมตนดวย∫

x cosx dx และจากการใชสตร

การอนทเกรตทละสวน เราจะไดอนทกรล∫

sin xdx ซงสามารถหาคาอนทกรลไดงายขน แตถา

เราให u = cosx และ dv = xdx แลว du = − sin xdx และ v = x2/2 ดงนนจากสตรการอนทเกรตทละสวน เราไดวา

∫

x cos x dx = (cosx)x2

2+

1

2

∫

x2 sin x dx

ซงการหา∫

x2 sin x dx นนยากกวาการหาอนทกรลทกำหนดให เพราะฉะนนโดยทวไปเรามก

เลอกให u = f(x) เปนฟงกชนทเมอหาอนพนธแลวจะไดฟงกชนทงายกวาเดม หรออยางนอยทสดกไมยงยากกวาเดม และเลอก dv = g′(x)dx ทเราสามารถจะอนทเกรตหา v ได


ln x dx

วธทำ . . . . . . . . .


x2 sin x dx

วธทำ . . . . . . . . .


e2x cosx dx

วธทำ . . . . . . . . .

สำหรบการใชการอนทเกรตทละสวนหาคาอนทกรลแบบจำกดเขตนน เราสามารถทำไดดงน สมมตให f ′ และ g′ เปนฟงกชนตอเนอง แลวจะไดวา

∫ b

a

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)

]b

a

−∫ b

a

g(x)f ′(x) dx (5.4)

นนคอ ถา u = f(x) และ v = g(x) แลวจะได∫ b

a

u dv = uv]b

a−

∫ b

a

v du



1

x3 ln x dx

วธทำ . . . . . . . . .


0

tan−1 x dx

วธทำ . . . . . . . . .


จงหาอนทกรลตอไปน

1.∫

xe2x dx 2.∫

x2 ln x dx

3.∫

x sin 4x dx 4.∫

x2e−3x dx

5.∫

x2 cos 3x dx 6.∫

ex sin 4x dx

7.∫

(ln x)2 dx 8.∫

cos x cos 2x dx

9.∫

x sec2 x dx 10.∫

cosx ln(sin x) dx

11.∫

cos(ln x) dx 12.∫

cos−1 x dx

13.∫

sin√x dx 14.

∫ 1

0

x sin 2x dx

15.∫ 1

0

xe−x dx 16.∫ 2

1

ln x

x2dx

17.∫ 4

1

ln√x dx 18.

∫ 2

1

x4(ln x)2 dx


1. 12xe2x − 1

4e2x + C 2. 1

3x2 ln x− 1

9x3 + C 3. −1

4x cos 4x+ 1

16sin 4x+ C

4. −13x2e−3x − 2

9xe−3x − 2

27e−3x + C 5. 1

3x2 cos 3x+ 2

9x cos 3x− 2

27sin 3x+C

6. 117ex sin 4x− 4

17ex cos 4x+ C 7. x(ln x)2 − 2x ln x+ 2x+ C

8. 23sin 2x cosx− 1

3cos 2x sin x+ C 9. x tanx+ ln | cosx|+ C

10. sin x ln(sin x)− sin x+ C 11. 12x[sin(ln x) + cos(ln x)] + C


12. x cos−1 x−√1− x2+C 13. −2

√x cos

√x+2 sin

√x+C 14. 1

4sin 2− 1

2cos 2

15. 1− 2e

16. 12− 1

2ln 2 17. 2 ln 4− 3

218. 3

2(ln 2)2 − 64

25ln 2 + 62

125

5.2.3 การอนทเกรตโดยใชเศษสวนยอย

ในหวขอน เราจะกลาวถงการอนทเกรตฟงกชนตรรกยะ โดยการเขยนฟงกชนตรรกยะใหอยในรปเศษสวนยอย (partial fractions) เพอใหเขาใจถงวธการน จงพจารณาตวอยางตอไปน

เนองจาก3

x+ 2− 2

x− 5=

3(x− 5)− 2(x+ 2)

(x+ 2)(x− 5)=

x− 19

x2 − 3x− 10(5.5)

ถาหากเราตองการหาคาอนทกรลของฟงกชนทางขวามอของสมการ (5.5) จะเหนวายงไมมความชดเจนวาเราจะใชวธใด แตถาเราหาคาดงกลาว โดยการอนทเกรตฟงกชนทางซายมอของสมการ (5.5) จะพบวา เราสามารถหาคาอนทกรลไดงายขน ดงน

∫

x− 19

x2 − 3x− 10dx =

∫(

3

x+ 2− 2

x− 5

)

dx

= 3 ln |x+ 2| − 2 ln |x− 5|+ C

ในทนเราจะเรยกผลบวก (ผลลบ) ของฟงกชนตรรกยะ3

x+ 2− 2

x− 5

วา เศษสวนยอย (partial fractions decomposition) ของ

x− 19

x2 − 3x− 10

จากตวอยางขางตนจะเหนไดวา การเขยนฟงกชนตรรกยะใหอยในรปของเศษสวนยอยนน จะชวยใหการอนทเกรตงายขน

บทนยาม 5.4 เราเรยกฟงกชน f วาเปน ฟงกชนตรรกยะ ถา f สามารถเขยนอยในรป

f(x) =P (x)

Q(x)(5.6)

โดยท P (x) และ Q(x) เปนฟงกชนพหนาม ในทนจะเรยก P (x) วา ตวเศษ (numer-ator) และเรยก Q(x) วา ตวสวน (denominator) ของ f(x)

ถา P (x) เปนฟงกชนพหนามทอยในรป

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

โดยท an 6= 0 แลว ระดบขนพหนาม (degree of the polynomial) ของ P คอ n

ซงจะเขยนแทนดวยสญลกษณ deg(P ) = n


จาก (5.6) โดยทวไปถา deg(P ) < deg(Q) แลวฟงกชน f อาจเขยนแทนดวยเศษสวนยอย แตถา deg(P ) ≥ deg(Q) แลวการหารยาวจะทำใหฟงกชน f สามารถเขยนไดในรป

f(x) =P (x)

Q(x)= S(x) +

R(x)

Q(x)

โดยท S(x) และ R(x) ตางกเปนฟงกชนพหนามทม deg(R) < deg(Q)

ตวอยางตอไปนแสดงใหเราเหนวา บางครงการหารยาวเปนสงจำเปนเบองตนของการอนทเกรตฟงกชนตรรกยะ


x3 + 2x2 − 1

x− 2dx

วธทำ . . . . . . . . .

ลำดบตอไป เราจะกลาวถงรายละเอยดของการเขยนฟงกชนตรรกยะ R(x)/Q(x) ทม deg(R) <

deg(Q) ใหอยในรปของผลบวกของเศษสวนยอย

A

(ax+ b)iหรอ

Ax+B

(ax2 + bx+ c)j

ซงจะแบงออกเปน 4 กรณ ตามรปแบบของตวประกอบของ Q(x) ดงน

กรณท 1 Q(x) เปนผลคณของตวประกอบเชงเสนทไมซำกน

ในกรณนQ(x) = (a1x+ b1)(a2x+ b2) · · · (anx+ bn)

โดยทตวประกอบแตละตวของ Q(x) เปนตวประกอบเชงเสนทแตกตางกนทงหมด ดงนนเราสามารถแยกเศษสวนยอยของ R(x)/Q(x) ไดในรป

R(x)

Q(x)=

R(x)

(a1x+ b1)(a2x+ b2) · · · (akx+ bk)

=A1

a1x+ b1+

A2

a2x+ b2+ · · ·+ Ak

akx+ bk(5.7)

เมอ A1, A2, . . . , An เปนคาคงตวทสามารถหาคาได ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 5.30 จงหาคาของ∫

x− 9

x2 + 3x− 10dx

วธทำ . . . . . . . . .


3x2 − 7x− 2

x3 − xdx


วธทำ . . . . . . . . .

กรณท 2 Q(x) เปนผลคณของตวประกอบเชงเสนทมบางพจนซำกน

ถาตวประกอบเชงเสน (a1x + b1) ของ Q(x) ซำกน r ตว นนคอ (a1x + b1)r เปน

ตวประกอบของ Q(x) แลวเศษสวนยอย A1/(a1x + b1) ในสมการ (5.7) จะถกแทนทดวยผลบวกของเศษสวนยอย

A11

a1x+ b1+

A12

(a1x+ b1)2+ · · ·+ A1r

(a1x+ b1)r(5.8)

เมอ A11, A12, . . . , A1r เปนคาคงตวทเราสามารถหาคาได ตวอยางเชน

x2 − 5

x2(x+ 1)3=

A

x+

B

x2+

C

(x+ 1)+

D

(x+ 1)2+

E

(x+ 1)3

ตวอยาง 5.32 จงใชวธการแยกเศษสวนยอย หาอนทกรลไมจำกดเขตของ

f(x) =5x2 + 20x+ 6

x3 + 2x2 + x

วธทำ . . . . . . . . .


x− 2

x2(x− 1)2dx

วธทำ . . . . . . . . .

กรณท 3 Q(x) มตวประกอบกำลงสองแบบไมซำกน

ถา Q(x) มตวประกอบ ax2 + bx + c โดยท b2 − 4ac < 0 แลวนอกเหนอจากเศษสวนยอยในสมการ (5.7) และ (5.8) การแยกเศษสวนยอยของ R(x)/Q(x) จะตองมพจน

Ax+B

ax2 + bx+ c(5.9)

โดยท A และ B เปนคาคงตวทเราสามารถหาคาได ตวอยางเชน ถาเราม

f(x) =x

(x+ 2)(x2 + 1)(x2 + 2)

แลวเราจะไดเศษสวนยอยในรปx

(x+ 2)(x2 + 1)(x2 + 2)=

A

x+ 2+

Bx+ C

x2 + 1+

Dx+ E

x2 + 2

พจนทอยในรปแบบ (5.9) นน เราสามารถอนทเกรตได โดยใชวธการเขยนตวสวนใหอยในรปกำลงสองสมบรณ และใชสตร

∫

1

x2 + a2dx =

1

atan−1

(x

a

)

+ C (5.10)



3x2 − 4x+ 3

x3 + xdx

วธทำ . . . . . . . . .


6x2 − 3x+ 1

(4x+ 1)(x2 + 1)dx

วธทำ . . . . . . . . .

กรณท 4 Q(x) มตวประกอบกำลงสองแบบซำกน

ถา Q(x) มตวประกอบ (ax2 + bx + c)r โดยท b2 − 4ac < 0 แลวเศษสวนยอย (5.9) จะถกแทนทดวยผลบวกของเศษสวนยอย

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Arx+Br

(ax2 + bx+ c)r(5.11)

ซงแตละพจนของ (5.11) นน เราสามารถอนทเกรตได โดยการทำใหตวสวนอยในรปกำลงสองสมบรณกอน


6x2 − 15x+ 22

(x+ 3)(x2 + 2)2dx

วธทำ . . . . . . . . .


จงหาอนทกรลตอไปน

1.∫

x− 5

x2 − 1dx 2.

∫

6x

x2 − x+ 2dx

3.∫

x+ 1

x2 − x− 6dx 4.

∫ −x+ 5

x3 − x2 − 2xdx

5.∫

x3 + x+ 2

x2 + 2x− 8dx 6.

∫ −3x− 1

x3 − xdx

7.∫

2x+ 3

(x+ 2)2dx 8.

∫

x− 1

x3 + 4x2 + 4xdx

9.∫

x+ 4

x3 + 3x2 + 2xdx 10.

∫

x+ 2

x3 + xdx

11.∫

4x− 2

x4 − 1dx 12.

∫

3x2 − 6

x2 − x− 2dx

13.∫

2x+ 3

x2 + 2x+ 1dx 14.

∫

x2 + 2x+ 1

x3 + xdx

15.∫

4x2 + 3

x3 + x2 + xdx 16.

∫

3x3 + 1

x3 − x2 + x− 1dx



1. 3 ln |x+ 1| − 2 ln |x− 1|+ C 2. 2 ln |x+ 1|+ 4 ln |x− 2|+ C

3. 15ln |x+ 2|+ 4

5ln |x− 3|+ C 4. 2 ln |x+ 1|+ 1

2ln |x− 2| − 5

2ln |x|+C

5. 11 ln |x+ 4|+ 2 ln |x− 2|+ 12x2 − 2x+C 6. ln |x+ 1| − 2 ln |x− 1|+ ln |x|+C

7. 2 ln |x+ 2| − (x+ 2)−1 + C 8. 14ln |x+ 2| − 3

2(x+ 2)−1 − 1

4ln |x|+ C

9. ln |x+ 2| − 3 ln |x+ 1|+ 2 ln |x|+ C 10. − ln(x2 + 1) + tan−1 x+ 2 ln |x|+C

11. 32ln |x+1|+ 1

2ln |x−1|−ln(x2+1)+tan−1 x+C 12. 3x+ln |x+1|+2 ln |x−2|+C

13. 2 ln |x+ 1| − (x+ 1)−1 + C 14. 2 tan−1 x+ ln |x|+ C

15. 3 ln |x|+ 12ln |x2 + x+ 1| − 7√

3tan−1

(

2x+1√3

)

+ C

16. 3x+ 2 ln |x− 1|+ 12ln(x2 + 1)− 2 tan−1 x+ C

บทท 6

อนกรมอนนต

6.1 บทนยามและอนกรมอนนตชนดตางๆ

บทนยาม 6.1 อนกรมอนนต (infinite series) เปนนพจนทอยในรป

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · · (6.1)

หรอเขยนในรปสญลกษณ∞∑

n=1

an หรอ∑

an

โดยเรยกแตละจำนวน a1, a2, a3, . . . , an, . . . วา พจน (term) ของอนกรม

โดยทวไปการพจารณาวาอนกรมอนนต (6.1) หาผลบวกไดหรอไมนน เราพจารณา ผลบวกยอย (partial sum)

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4...

sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =n

∑

i=1

ai

ซงผลบวกยอยนกอใหเกดลำดบ {sn} ทอาจจะหาคาลมตได ถา limn→∞

sn = s แลวเราจะเรยก s

วา ผลบวกของอนกรมอนนต∑

an

118


บทนยาม 6.2 กำหนดอนกรมอนนต∞∑

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · และให sn เปนผลบวก

ยอยท n

sn =

n∑

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

ถาลำดบ {sn} เปนลำดบลเขาและ limn→∞

sn = s หาคาไดเปนจำนวนจรง แลวอนกรม∑

an

เรยกวา อนกรมลเขา (convergent) และจะเขยนแทนดวย

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · · = s หรอ∞∑

n=1

an = s

จำนวน s เรยกวา ผลบวก (sum) ของอนกรม แตถาลำดบ {sn} เปนลำดบลออก แลวอนกรม

∑

an เรยกวา อนกรมลออก (divergent) ซงไมสามารถหาผลบวกได

ตวอยาง 6.1 จงพจารณาวาอนกรม1

2+

1

22+

1

23+ · · · เปนอนกรมลเขาหรอไม ถาเปนอนกรม

ลเขา จงหาผลบวก

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 6.3 อนกรมเรขาคณต (Geometric Series) คออนกรมอนนตทอยในรป

a + ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn−1 + · · · =∞∑

n=1

arn−1, a 6= 0

โดยท r เรยกวา อตราสวน (ratio) ของอนกรม

ตวอยางอนกรมเรขาคณต

• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·+ 2n−1 + · · · ; r = 2

•1

2− 1

4+

1

8− 1

16+ · · ·+ (−1)n+1 1

2n+ · · · ; r = −1

2

•3

10+

3

102+

3

103+

3

104+ · · ·+ 3

10n+ · · · ; r = 1

10

ทฤษฎบท 6.1 อนกรมเรขาคณต∞∑

n=1

arn−1 = a + ar + ar2 + ar3 + · · ·

เปนอนกรมลเขาถา |r| < 1 และมผลบวกเทากบ∞∑

n=1

arn−1 =a

1− r|r| < 1

แตถา |r| ≥ 1 แลวอนกรมเรขาคณตจะลออก


ตวอยาง 6.2 จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณต

5− 10

3+

20

9− 40

27+ · · ·

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.3 จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณตตอไปน

(a)4

3+

4

9+

4

27+

4

81+ · · ·

(b) 0.515151 . . . =51

100+

51

10, 000+

51

1, 000, 000+ · · ·

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.4 จงพจารณาวาอนกรม∞∑

n=1

22n31−n ลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.5 จงแสดงวาอนกรม∞∑

n=1

1

n(n+ 1)ลเขาพรอมทงหาผลบวกของอนกรม

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 6.4 อนกรมฮาโมนค (Harmonic Series) คออนกรมอนนตทอยในรป

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+ · · ·

ซงเปนอนกรมลออก

ทฤษฎบท 6.2 ถาอนกรม∞∑

n=1

an ลเขาแลว limn→∞

an = 0

หมายเหต บทกลบของทฤษฎบท 6.2 ไมจรงเสมอไป นนคอถา limn→∞

an = 0 เราไมสามารถ

สรปไดวา∑

an เปนอนกรมลเขา ตวอยางเชน จากอนกรมฮาโมนค∑

1n

เราไดวา an =

1/n → 0 เมอ n → ∞ แตอนกรมฮาโมนคลออก

ทฤษฎบท 6.3 (The Test for Divergence) ถา limn→∞

an หาคาไมได หรอ limn→∞

an 6=

0 แลวอนกรม∞∑

n=1

an ลออก



n=1

n2

5n2 + 4ลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 6.4 ถา∑

an และ∑

bn เปนอนกรมลเขา แลว∑

can เมอ c เปนคาคงตวใดๆ,

∑

(an + bn) และ∑

(an − bn) เปนอนกรมลเขา และ

(i)∞∑

n=1

can = c∞∑

n=1

an

(ii)∞∑

n=1

(an + bn) =∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn

(ii)∞∑

n=1

(an − bn) =∞∑

n=1

an −∞∑

n=1

bn

ตวอยาง 6.7 จงพจารณาวาอนกรม 7 +7

2+

7

3+ · · ·+ 7

n+ · · · ลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .


n=1

1

n + 5ลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.9 จงหาผลบวกของอนกรม∞∑

n=1

(

3

n(n + 1)+

1

2n

)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.10 จงหาผลบวกของอนกรม∞∑

n=2

(

1

n2 − 1− 3

5n−1

)

วธทำ . . . . . . . . .


จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก ถาเปนอนกรมลเขา จงหาผลบวก

1. 4 + 85+ 16

25+ 32

125+ · · · 2. −2 + 5

2− 25

8+ 125

32− · · ·

3.∞∑

n=1

5(

23

)n−1 4.∞∑

n=1

(−3)n−1

4n


5.∞∑

n=1

3−n8n+1 6.∞∑

n=1

n

n+ 5

7.∞∑

n=1

1

n(n + 2)8.

∞∑

n=1

[2(0.1)n + (0.2)n]

9.∞∑

n=1

n√1 + n2

10.∞∑

n=1

3n + 2n

6n

11.∞∑

n=1

arctann 12.∞∑

n=1

lnn

n+ 1

13.∞∑

n=1

[

2(

14

)n+ 3

(

−15

)n] 14.∞∑

n=1

n− 5

n+ 2

15.∞∑

n=2

(

1

n− 1

n− 1

)

16.∞∑

n=1

n!

100n

17.∞∑

n=1

( e

π

)n+1

18.∞∑

n=2

(

3

(n− 1)2− 3

n2

)


1. 203

2. ลออก 3. 15 4. 17

5. ลออก 6. ลออก 7. 34

8. 1736

9. ลออก 10. 32

11. ลออก 12. ลออก 13. 316

14. ลออก

15. −1 16. ลออก 17. e2

π(π−e)18. 3

6.2 การทดสอบการลเขาของอนกรมอนนต

ในหวขอนเราจะศกษาวธการทใชในการทดสอบการลเขาของอนกรมอนนต

6.2.1 การทดสอบอนทกรล

ทฤษฎบท 6.5 (The Integral Test) กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนอง มคาเปนบวก และเปนฟงกชนลดบนชวง [1,∞) และให an = f(n) อนกรม

∑∞n=1 an ลเขา กตอเมอ

∫∞1

f(x) dx ลเขา หรอกลาวไดวา

(i) ถา∫ ∞

1

f(x) dx ลเขา แลว∞∑

n=1

an ลเขา

(ii) ถา∫ ∞

1

f(x) dx ลออก แลว∞∑

n=1

an ลออก



n=1

1

n2 + 1ลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.12 จงหาคาของ p ททำใหอนกรม∞∑

n=1

1

npลเขา

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต อนกรมในตวอยาง 6.12 เรยกวา อนกรมพ (p-series) และเราสามารถสรปผลทไดจากตวอยาง 6.12 ดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 6.6 อนกรมพ∞∑

n=1

1

npจะลเขาถา p > 1 และจะลออกถา p ≤ 1

ตวอยาง 6.13 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

1

n3(b)

∞∑

n=1

1

n1/3

วธทำ . . . . . . . . .


n=1

lnn

nลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .

6.2.2 การทดสอบเปรยบเทยบ

ทฤษฎบท 6.7 (The Comparison Test) กำหนดให∑

an และ∑

bn เปนอนกรมทพจนแตละพจนมคาเปนบวก

(i) ถาอนกรม∑

bn ลเขา และ an ≤ bn สำหรบทกคา n แลวอนกรม∑

an ลเขา

(ii) ถาอนกรม∑

bn ลออก และ an ≥ bn สำหรบทกคา n แลวอนกรม∑

an ลออก

หมายเหต ในการใช the Comparison Test เราจำเปนตองรอนกรม∑

bn เพอนำมาใชในการเปรยบเทยบ โดยสวนใหญเรามกจะใชอนกรมพ

(∑

1/np ลเขาถา p > 1 และลออกถา p ≤ 1

)

หรออนกรมเรขาคณต(∑

arn−1 ลเขาถา |r| < 1 และลออกถา |r| ≥ 1)



(a)∞∑

n=1

5

2n2 + 4n+ 3(b)

∞∑

n=1

n

5n2 − 4

(c)∞∑

n=1

n

2n(n + 1)(d)

∞∑

n=1

lnn

n

วธทำ . . . . . . . . .

6.2.3 การทดสอบเปรยบเทยบโดยลมต

ทฤษฎบท 6.8 (The Limit Comparison Test) กำหนดให∑

an และ∑

bn

เปนอนกรมทพจนแตละพจนมคาเปนบวก ถา

limn→∞

anbn

= c

เมอ c เปนจำนวนจรงทมากกวาศนย แลวอนกรมทงสองจะลเขาหรอลออกพรอมกน


(a)∞∑

n=1

3n− 2

n3 − 2n2 + 11(b)

∞∑

n=1

1√n2 + 19n

(c)∞∑

n=1

1

2n − 1(d)

∞∑

n=1

2n2 + 3n√5 + n5

วธทำ . . . . . . . . .

6.2.4 การทดสอบอตราสวน

ทฤษฎบท 6.9 (The Ratio Test) กำหนดให∑

an เปนอนกรมทพจนแตละพจนมคาเปนบวกและ

ρ = limn→∞

an+1

an

(i) ถา ρ < 1 แลวอนกรม∑

an ลเขา

(ii) ถา ρ > 1 หรอ ρ = ∞ แลวอนกรม∑

an ลออก

(iii) ถา ρ = 1 แลวอนกรม∑

an อาจจะลเขาหรอลออก ตองทดสอบการลเขาโดยวธอน



(a)∞∑

n=1

2n

n!(b)

∞∑

n=1

n3

3n

(c)∞∑

n=1

2n

n20(d)

∞∑

n=1

n!

nn

วธทำ . . . . . . . . .

6.2.5 การทดสอบราก

ทฤษฎบท 6.10 (The Root Test) กำหนดให∑

an เปนอนกรมทพจนแตละพจนมคาเปนบวกและ

ρ = limn→∞

n

√an = lim

n→∞(an)

1/n

(i) ถา ρ < 1 แลวอนกรม∑

an ลเขา

(ii) ถา ρ > 1 หรอ ρ = ∞ แลวอนกรม∑

an ลออก

(iii) ถา ρ = 1 แลวอนกรม∑

an อาจจะลเขาหรอลออก ตองทดสอบการลเขาโดยวธอน


(a)∞∑

n=1

(

2n+ 3

3n+ 2

)n

(b)∞∑

n=2

(

1

lnn

)n

วธทำ . . . . . . . . .


จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก

1.∞∑

n=1

1

n42.

∞∑

n=1

1

3n+ 13.

∞∑

n=1

ne−n

4.∞∑

n=5

1

n1.00015. 1 +

1

8+

1

27+

1

64+ · · · 6.

∞∑

n=1

5− 2√n

n3

7.∞∑

n=1

ne−n2

8.∞∑

n=1

n

n2 + 19.

∞∑

n=2

1

n lnn

10.∞∑

n=1

arctann

1 + n211.

∞∑

n=1

1

n2 + 2n+ 212.

∞∑

n=1

−2√n + 2

13.∞∑

n=2

7

4n+ 214.

∞∑

n=1

3

(4 + 3n)7/615.

∞∑

n=2

ne−3n2


16.∞∑

n=1

1

n2 + n+ 117.

∞∑

n=1

5

2 + 3n18.

∞∑

n=1

n+ 1

n2

19.∞∑

n=1

3

n2n20.

∞∑

n=1

1√

n(n+ 1)(n+ 2)21.

∞∑

n=1

n2 + 1

n3 − 1

22.∞∑

n=1

3 + cosn

3n23.

∞∑

n=1

n√n5 + 4

24.∞∑

n=1

2n

1 + 3n

25.∞∑

n=1

1

1 +√n

26.∞∑

n=1

n2 + 1

n4 + 127.

∞∑

n=1

1 + n+ n2

√1 + n2 + n6

28.∞∑

n=1

n + 1

n2n29.

∞∑

n=1

1

n!30.

∞∑

n=1

sin

(

1

n

)

31.∞∑

n=1

n

n2 + 2n+ 332.

∞∑

n=1

1

n√n+ 1

33.∞∑

n=1

8n

n!

34.∞∑

n=1

n!

n10035.

∞∑

n=1

n3

(2n)!36.

∞∑

n=1

n

n+ 200

37.∞∑

n=1

n+ 3

n2√n

38.∞∑

n=1

n2

n!39.

∞∑

n=1

4n3 + 3n

n5 − 4n2 + 1

40.∞∑

n=1

1

(2n)!41.

∞∑

n=1

sin 2n

n242.

∞∑

n=1

n(−3)n

4n−1

43.∞∑

n=1

10n

(n + 1)42n+144.

∞∑

n=1

n!

(−10)n45.

∞∑

n=1

cos(nπ/3)

n!

46.∞∑

n=1

nn

31+3n47.

∞∑

n=1

(

n2 + 1

2n2 + 1

)n

48.∞∑

n=1

1

2 + sin2 n

49.∞∑

n=1

nn

(2n)!50.

∞∑

n=1

4n + n

n!51.

∞∑

n=1

(

n

3n+ 2

)n

52.1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 +1

4 · 5 + · · · 53.1

3+

2

32+

3

33+

4

34+ · · ·

54. 1 +1

2√2+

1

3√3+

1

4√4+ · · · 55.

∞∑

n=1

2 · 4 · 6 · · · · · (2n)n!

56.2

1 · 3 · 4 +3

2 · 4 · 5 +4

3 · 5 · 6 +5

4 · 6 · 7 + · · ·



1. ลเขา 2. ลออก 3. ลเขา 4. ลเขา 5. ลเขา 6. ลเขา 7. ลเขา

8. ลออก 9. ลออก 10. ลเขา 11. ลเขา 12. ลออก 13. ลออก

14. ลเขา 15. ลเขา 16. ลเขา 17. ลเขา 18. ลออก 19. ลเขา

20. ลเขา 21. ลออก 22. ลเขา 23. ลเขา 24. ลเขา 25. ลออก

26. ลเขา 27. ลออก 28. ลเขา 29. ลเขา 30. ลออก 31. ลออก

32. ลเขา 33. ลเขา 34. ลออก 35. ลเขา 36. ลออก 37. ลเขา

38. ลเขา 39. ลเขา 40. ลเขา 41. ลเขา 42. ลเขา 43. ลเขา

44. ลออก 45. ลเขา 46. ลออก 47. ลเขา 48. ลเขา 49. ลเขา

50. ลเขา 51. ลเขา 52. ลเขา 53. ลเขา 54. ลเขา 55. ลออก

56. ลเขา

บทท 7

สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนง

7.1 บทนยามและทฤษฎบทพนฐาน

บทนยาม 7.1 สมการเชงอนพนธ (Differential Equations) คอ สมการทเกยวของกบอนพนธของฟงกชนตวแปรเดยว หรอหลายตวแปร

เราสามารถแบงสมการเชงอนพนธไดตาม ชนด อนดบ และ การเปนเชงเสน ดงน

ชนดของสมการเชงอนพนธ แบงไดเปน 2 ชนดคอ

1. สมการเชงอนพนธสามญ (Ordinary Differential Equation หรอเรยกยอๆวาODE) คอ สมการเชงอนพนธทเกยวของกบอนพนธของฟงกชนเทยบกบตวแปรอสระเพยงตวเดยว

2. สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation หรอเรยกยอๆวา PDE)คอ สมการเชงอนพนธทเกยวของกบอนพนธยอยของฟงกชนเทยบกบตวแปรอสระมากกวาหนงตว

อนดบของสมการเชงอนพนธ คอ อนดบสงสดของอนพนธหรออนพนธยอยทปรากฏอยในสมการนน ตวอยางเชน

1.dy

dx= 2xy เปนสมการเชงอนพนธสามญอนดบหนง

2. y(4) + x2y(3) + x5y = sin x เปนสมการเชงอนพนธสามญอนดบส

โดยทวไปสมการเชงอนพนธสามญอนดบท n ∈ I+ ทม x เปนตวแปรอสระและม y เปนตวแปรตาม คอสมการทเขยนอยในรป

F(

x, y, y′, . . . , y(n))

= 0 (7.1)

128


โดยท F เปนฟงกชนคาจรง (real-valued function) ของตวแปร n + 2 ตวแปร ซงในทนคอ x, y, y′, . . . , y(n) และถาเราสามารถเขยน y(n) ในรปของพจนทเหลอไดแลวสมการ(7.1) จะเปลยนเปนสมการ

y(n) = G(

x, y, y′, . . . , y(n−1))

(7.2)

โดยท G เปนฟงกชนตอเนองทมคาจรง (real-valued continuous function) ของตวแปร n+ 1 ตวแปร

การเปนเชงเสนของสมการเชงอนพนธ เราจะกลาววา สมการเชงอนพนธสามญอนดบท n

(7.1) เปน เชงเสน ถา F เปนเชงเสนในเทอมของ y, y′, . . . , y(n) นนคอสมการ (7.1)เขยนอยในรป

an(x)y(n) + an−1(x)y

(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)

หรอ

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

d(n−1)y

dx(n−1)+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x)

ตวอยางเชน

1. (y − x)dx+ 4xdy = 0 เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบหนง

2. y′′ − 2y′ + y = 0 เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสอง

3.d3y

dx3+ x

dy

dx− 5y = ex เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสาม

สำหรบสมการเชงอนพนธสามญทไมเปนเชงเสน จะเรยกวา สมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสน(nonlinear ordinary differential equation) ซงเปนสมการทประกอบดวยเทอมทไมเปนเชงเสน เชน มฟงกชนทไมเชงเสนของตวแปรตามหรออนพนธของตวแปรตาม ดงนน

(1− y)y′ + 2y = ex,d2y

dx2+ sin y = 0, และ

d4y

dx4+ y2 = 0

เปนตวอยางของสมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสนอนดบหนง อนดบสอง และอนดบส ตามลำดบ

วตถประสงคของการศกษาสมการเชงอนพนธ ทสำคญคอ

1. เพอคนหาสมการเชงอนพนธทจะชวยในการอธบายสถานการณทางกายภาพทเกดขน

2. เพอหาผลเฉลยทแนนอนหรอคาประมาณของสมการเชงอนพนธ

3. เพอตความจากผลเฉลยทหามาได

หมายเหต จากนเปนตนไปเราจะศกษาเฉพาะสมการเชงอนพนธสามญ ดงนน ถาเขยน สมการเชงอนพนธ จะหมายถง สมการเชงอนพนธสามญ


บทนยาม 7.2 ฟงกชน u = u(x) ทนยามบนชวง I จะเปน ผลเฉลยชดแจง (explicitsolution) ของสมการเชงอนพนธ(7.1) บนชวง I ถา u′, u′′, . . . , u(n) หาคาไดและตอเนองบนชวง I และ

F(

x, u, u′, . . . , u(n))

= 0

หรอจะกลาวไดวา u = u(x) สอดคลองกบสมการเชงอนพนธ (7.1) บนชวง I

ตวอยาง 7.1 จงแสดงวา u(x) = A cos 3x + B sin 3x เมอ A,B เปนคาคงตวใดๆ เปนผลเฉลยชดแจงของสมการ y′′ + 9y = 0 บนชวง (−∞,∞)

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 7.3 ความสมพนธ G(x, y) = 0 จะเรยกวา ผลเฉลยโดยปรยาย (implicit so-lution) ของสมการ (7.1) บนชวง I ถาความสมพนธนไดกำหนดผลเฉลยชดแจงของสมการบนชวง I อยางนอยหนงผลเฉลย

ตวอยาง 7.2 จงแสดงวา x2+ y2 = 4 เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ x+ yy′ = 0 บนชวง(−2, 2)

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต เพอความกระทดรด เราจะเรยก ผลเฉลยชดแจง หรอ ผลเฉลยโดยปรยาย ของสมการเชงอนพนธวา ผลเฉลย

ปญหาคาเรมตน (initial value problem) สำหรบสมการเชงอนพนธอนดบท n จะประกอบดวยสมการเชงอนพนธอนดบท n

F(

x, y, y′, . . . , y(n))

= 0

และเงอนไขเรมตน (initial condition) n เงอนไขคอ

y(x0) = y0, y′(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = yn−1

โดยท x0, y0, y1, . . . , yn−1 เปนคาคงตวทกำหนดให

ตวอยาง 7.3 กำหนดให y(x) = c1 cos 4x + c2 sin 4x เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใดๆเปนผลเฉลยของสมการ y′′ + 16y = 0 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

y′′ + 16y = 0, y(π

2

)

= −2, y′(π

2

)

= 1

วธทำ . . . . . . . . .


บทนยาม 7.4 ผลเฉลยทวไป (general solution) ของสมการเชงอนพนธคอ ผลเฉลยทมคาคงตวใดๆปรากฏอยในผลเฉลยนน

บทนยาม 7.5 ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชงอนพนธคอ ผลเฉลยทไดจากผลเฉลยทวไป โดยกำหนดคาทเจาะจงใหกบคาคงตวใดๆทปรากฏอยในผลเฉลยทวไปโดยทวไปจะกำหนดคาทเจาะจงใหสอดคลองกบเงอนไขเรมตนทโจทยกำหนดให

การมจรงและเปนไปไดอยางเดยวของผลเฉลยทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงเงอนไขเพยงพอ (sufficient condition) สำหรบการมจรง

และเปนไปไดอยางเดยวของผลเฉลย

ทฤษฎบท 7.1 กำหนดใหฟงกชนคาจรง f(x, y) มความตอเนองในบรเวณสเหลยมมมฉากบางบรเวณของระนาบ xy ซงบรรจจด (x0, y0) แลวจะไดวาปญหาคาเรมตน

y′ = f(x, y), y(x0) = y0

จะมผลเฉลยอยางนอยหนงผลเฉลยบนชวงเปด J บางชวงทมจด x = x0 อย

นอกจากน ถา∂f

∂yเปนฟงกชนตอเนองในบรเวณสเหลยมมมฉากดงกลาว แลวขอปญหาคา

เรมตนทกำหนดใหจะมผลเฉลยเปนไปไดอยางเดยวบนชวงเปด J0 บางชวงทมจด x = x0

ตวอยาง 7.4 จงพจารณาวาปญหาคาเรมตน y′ =y2

x− 3, y(1) = 0 มผลเฉลยเปนไปได

อยางเดยวหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.5 จงพจารณาวาปญหาคาเรมตน y′ = 3y2/3, y(2) = 0 มผลเฉลยเปนไปไดอยางเดยวหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธตอไปนเปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนหรอสมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสนพรอมทงบอกอนดบของสมการดวย

(a) (1− x)y′ − 4xy = cos x (b)d2y

dt2+ sin(t + y) = sin t

(c)d2y

dx2=

√

1 +

(

dy

dx

)2

(d)d3y

dt3+ t

dy

dt+ cost)y = t3

(e) (sin θ)y′′′ − (cos θ)y′ = 2ey (f)d4y

dt4+

d3y

dt3+

d2y

dt2+

dy

dt+ y = 1


2. จงแสดงวาฟงกชน u = u(x) ทกำหนดใหเปนผลเฉลยชดแจงของสมการเชงอนพนธ

(a) (y − x)y′ = y − x+ 8 ; u = x+ 4√x+ 2

(b) y′ = 25 + y2 ; u = 5 tan 5x

(c) y(4) + 4y′′′ + 3y = t ; u = e−t + t/3

(d) y′ = 2xy2 ; u = 1/(4− x2)

(e) 2y′ = y3 cosx ; u = (1− sin x)−1/2

(f) t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0 ; u = t−2 ln t

3. จงแสดงวา x3 − 3xy2 = 1 เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ

2xydy

dx+ x2 + y2 = 0 บนชวง (0, 1)

4. จงแสดงวา 5x2y2 − 2x3y2 = 1 เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ

xdy

dx+ y = x3y3 บนชวง (0, 5

2)

5. จงแสดงวา ln

(

2y − 1

y − 1

)

= x เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ

dy

dx= (y − 1)(1− 2y) บนชวง (−∞, ln 2) หรอ (ln 2,∞)

6. จงหาคาของ r ททำใหฟงกชน y = erx เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) 3y′ = 2y (b) 4y′′ = y

(c) y′′ + y′ − 2y = 0 (d) 3y′′ + 3y′ − 4y = 0

7. จงหาคาของ r ททำใหฟงกชน y = xr เมอ x > 0 เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 (b) x2y′′ − 4xy′ + 4y = 0

8. จงพจารณาวาปญหาคาเรมตนตอไปนมผลเฉลยเปนไปไดอยางเดยวหรอไม

(a)dy

dx= 2x2y2; y(1) = −1 (b)

dy

dx= 3

√y; y(0) = 1

(c)dy

dx=

√x− y; y(2) = 2 (d) y

dy

dx= x− 1; y(1) = 0

(e)dy

dx= ln(1 + y2); y(0) = 0


9. กำหนดให u(x) = C1e−x + C2e

2x เมอ C1 และ C2 เปนคาคงตวใดๆ เปนผลเฉลย

ของสมการd2y

dx2− dy

dx− 2y = 0 จงหาคาของ C1 และ C2 ททำให u(x) สอดคลอง

กบเงอนไขเรมตนในแตละขอตอไปน

(a) y(0) = 2, y′(0) = 1 (b) y(1) = 1, y′(1) = 0


1. (a) สมการเชงเสนอนดบหนง (b) สมการไมเชงเสนอนดบสอง

(c) สมการไมเชงเสนอนดบสอง (d) สมการเชงเสนอนดบสาม

(e) สมการไมเชงเสนอนดบสาม (f) สมการเชงเสนอนดบส

6. (a) r = 23

(b) r = ±12

(c) r = −2, 1 (d) r = −12±

√576

7. (a) r = −1,−2 (b) r = 1, 4

8. (a) ม (b) ม (c) ไมม (d) ไมม (e) ม

9. (a) c1 = 1, c2 = 1 (b) c1 =2e

3, c2 =

1

3e2

7.2 สมการแยกตวแปรได

สมการเชงอนพนธอนดบหนงdy

dx= H(x, y) (7.3)

เรยกวา สมการแยกตวแปรได (separable equation) ถา H(x, y) สามารถเขยนในรปของผลคณของฟงกชนของ x เพยงอยางเดยว กบฟงกชนของ y เพยงอยางเดยว นนคอ

dy

dx= g(x)h(y) =

g(x)

f(y)

โดยท h(y) =1

f(y)และในกรณนฟงกชนของ x และฟงกชนของ y สามารถแยกกนอยคน

ละดานของสมการไดดงนf(y)dy = g(x)dx

เพอความเขาใจในการใชสญลกษณสำหรบสมการเชงอนพนธ เราจะเขยนในรป

f(y)dy

dx= g(x) (7.4)


การหาผลเฉลยของสมการ (7.4) สามารถทำไดโดยอนทเกรตทงสองขางของสมการ (7.4)เทยบกบตวแปร x ดงน

∫

f(y)dy

dxdx =

∫

g(x)dx+ c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

ซงเทยบไดกบสมการ∫

f(y)dy =

∫

g(x)dx+ c (7.5)

นนคอF (y) = G(x) + c (7.6)

โดยท F (y) =

∫

f(y) dy และ G(x) =

∫

g(x) dx เปนผลเฉลยของสมการ (7.4)

ตวอยาง 7.6 จงหาผลเฉลยของสมการ

dy

dx=

4− 2x

3y2 − 5

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.7 จงหาผลเฉลยของสมการ (1 + x)dy − ydx = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.8 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

dy

dx= 6e2x−y, y(0) = 0

วธทำ . . . . . . . . .


2√xdy

dx= cos2 y, y(4) =

π

4

วธทำ . . . . . . . . .



1. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a)dy

dx+ 2xy = 0 (b)

dy

dx= y sin x

(c) 2√xdy

dx=

√

1− y2 (d)dy

dx= (64xy)1/3

(e) (1− x2)dy

dx= 2y (f) y′ = xy3

(g) y3dy

dx= (y4 + 1) cosx (h)

dy

dx=

(x− 1)y5

x2(2y3 − y)

(i) y′ = 1 + x+ y + xy (j) y ln xdx

dy=

(

y + 1

x

)2

(k) csc ydx+ sec2 xdy = 0 (l)dy

dx=

xy + 3x− y − 3

xy − 2x+ 4y − 8

(m) (ey + 1)2e−ydx+ (ex + 1)3e−xdy = 0

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตนตอไปน

(a) y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6

(b)dx

dt= 4(x2 + 1), x(π/4) = 1

(c) x2 dy

dx= y − xy, y(−1) = −1

(d) y′ =3x2 − ex

2y − 5, y(0) = 1

(e)√

1− y2 dx−√1− x2 dy = 0, y(0) =

√3

2

(f) y2(1− x2)1/2dy = arcsin xdx, y(0) = 1


1. (a) y(x) = ce−x2 (b) y(x) = ce− cos x (c) y(x) = sin(c+√x)

(d) y(x) = (2x4/3 + c)3/2 (e) y(x) = c(1 + x) · (1− x)

(f) y(x) = (c− x2)−1/2 (g) ln(y4 + 1) = c+ 4 sin x

(h)1

3y3− 2

y=

1

x+ ln |x|+ c (i) ln |1 + y| = x+ 1

2x2 + c

(j) 13x3 ln x− 1

9x3 = 1

2y2 + 2y + ln y + c (k) 4 cos y = 2x+ sin 2x+ c

(l) (y + 3)5ex = c(x+ 4)5ey (m) (ex + 1)−2 + 2(ey + 1)−1 = c


2. (a) y = 1/(x2 − x− 6) (b) x = tan(4t− 34π) (c) y =

e−(1+1/x)

x

(d) y = 52−√

x3 − ex + 134

(e) y = 12x+ 1

2

√3√1− x2

(f) y =[

32(arcsin x)2 + 1

]1/3

7.3 สมการแบบแมนตรง

โดยทวไปสมการเชงอนพนธอนดบหนงdy

dx= f(x, y) สามารถเขยนในรปผลตางเชงอนพนธ

(differential) ดงนM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (7.7)

และจะเรยกสมการทอยในรป (7.7) วา รปแบบเชงอนพนธ (differential form) ตวอยางเชนสมการ

dy

dx=

2x+ xy

y2 + 1

สามารถเขยนใหมไดเปนdy =

2x+ xy

y2 + 1dx

(y2 + 1)dy = (2x+ xy)dx

(2x+ xy)dx+ [−(y2 + 1)]dy = 0

ดงนนถาให M(x, y) = 2x + xy และ N(x, y) = −(y2 + 1) แลวจะไดวาสมการในบรรทดสดทายเปนสมการทอยในรปแบบเชงอนพนธ (7.7)

บทนยาม 7.6 ผลตางเชงอนพนธรวม (total differential) dF (x, y) ของฟงกชน 2

ตวแปร F (x, y) คอ

dF (x, y) =∂F (x, y)

∂xdx+

∂F (x, y)

∂ydy

ถาหากทราบวานพจนทางซายมอของสมการ (7.7) เปนผลตางเชงอนพนธรวมของฟงกชน2 ตวแปร F (x, y) แลวการหาผลเฉลยของสมการ (7.7) จะงายขน ซงจะศกษาเปนลำดบตอไป

บทนยาม 7.7 สมการเชงอนพนธอนดบหนงทเขยนอยในรปแบบเชงอนพนธ

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

จะเรยกวา สมการแบบแมนตรง (exact equation) ในบรเวณเปดทเปนรปสเหลยมมมฉากR : a < x < b, c < y < d ถามฟงกชน F (x, y) ททำให

∂F (x, y)

∂x= M(x, y) และ

∂F (x, y)

∂y= N(x, y)


สำหรบทก (x, y) ใน R นนคอ ผลตางเชงอนพนธรวมของ F (x, y) จะสอดคลองกบความสมพนธ

dF (x, y) = M(x, y)dx+N(x, y)dy

คำถาม

1. จะทดสอบวาสมการเชงอนพนธอนดบหนงเปนสมการแบบแมนตรงไดอยางไร?

2. ถาสมการเชงอนพนธอนดบหนงเปนสมการแบบแมนตรง แลวจะหาฟงกชน F ททำใหFx = M และ Fy = N โดยวธใด?

ทฤษฏบทตอไปนจะตอบคำถามแรก

ทฤษฎบท 7.2 สมมตวาอนพนธยอยอนดบหนงของ M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชนตอเนองในบรเวณสเหลยมมมฉาก R แลวสมการ

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

จะเปนสมการแบบแมนตรงใน R กตอเมอ

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x

สำหรบทก (x, y) ใน R

สำหรบคำตอบของคำถามขอท 2 คอวธการหาผลเฉลย F (x, y) = c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ ของสมการแบบแมนตรงมขนตอนดงน

1. จากการทสมการเชงอนพนธอนดบหนงเปนสมการแบบแมนตรง จะไดวา

∂F (x, y)

∂x= M(x, y)

อนทเกรตทงสองขางของสมการเทยบกบ x จะได

F (x, y) =

∫

M(x, y)dx+ g(y) (7.8)

2. g(y) สามารถหาไดโดยการหาอนพนธเทยบกบ y ทงสองขางของสมการ (7.8) แลว

แทนคา∂F (x, y)

∂yลงในความสมพนธ

∂F (x, y)

∂y= N(x, y) แลวเราจะได g′(y)

3. อนทเกรต g′(y) จะได g(y) แทน g(y) ลงในสมการ (7.8) จะได F (x, y)

หมายเหต ในทำนองเดยวกน เราอาจจะเรมดวย∂F (x, y)

∂y= N(x, y) แลวอนทเกรตเทยบกบ

y กจะหาผลเฉลยไดเชนกน


ตวอยาง 7.10 สมการ (e2y − y cosxy)dx+ (2xe2y − x cosxy + 2y)dy = 0 เปนสมการแบบแมนตรงหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .


(e2y − y cosxy)dx+ (2xe2y − x cosxy + 2y)dy = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.12 จงหาผลเฉลยของสมการ (y + 2xy3)dx+ (1 + 3x2y2 + x)dy = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.13 จงหาผลเฉลยของสมการdy

dx= −2xy + 1

x2 + 2y

วธทำ . . . . . . . . .

การแปลงเปนสมการแบบแมนตรงโดยใชตวประกอบปรพนธ

บทนยาม 7.8 ถาสมการM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (7.9)

ไมเปนสมการแบบแมนตรง แตสมการ

ρ(x, y)M(x, y)dx+ ρ(x, y)N(x, y)dy = 0 (7.10)

ซงไดจากการคณสมการ (7.9) ดวย ρ(x, y) เปนสมการแบบแมนตรง แลวเราจะเรยก ρ(x, y)

วา ตวประกอบปรพนธ (integrating factor) ของสมการ (7.9)

ลำดบตอไปเราจะศกษาวธการหา ρ(x, y) ถา ρ(x, y) เปนตวประกอบปรพนธของสมการ(7.9) โดยทอนพนธยอยอนดบทหนงของ ρ(x, y) เปนฟงกชนตอเนอง แลวจะไดวาสมการ(7.10) เปนสมการแบบแมนตรงเมอ

∂

∂y

[

ρ(x, y)M(x, y)]

=∂

∂x

[

ρ(x, y)N(x, y)]

ρ∂M

∂y+M

∂ρ

∂y= ρ

∂N

∂x+N

∂ρ

∂x

M∂ρ

∂y−N

∂ρ

∂x= ρ

(

∂N

∂x− ∂M

∂y

)

(7.11)

ในทนสมการ (7.11) เปนสมการเชงอนพนธยอย ซงการหาผลเฉลย ρ ยากยงกวาการหาผลเฉลยของสมการ (7.9) ดงนนเราจะสมมตวาสมการ (7.9) มตวประกอบปรพนธทมตวแปร x


เพยงตวแปรเดยว นนคอ ρ = ρ(x) ฉะนนสมการ (7.11) จะเปนสมการแยกตวแปรได และสามารถหา ρ(x) ไดดงน

−N∂ρ

∂x= ρ

(

∂N

∂x− ∂M

∂y

)

1

ρ

∂ρ

∂x=

(

∂N∂x

− ∂M∂y

)

−N

1

ρdρ =

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

∫

1

ρdρ =

∫

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

ln ρ(x) =

∫

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

ρ(x) = e

∫

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

หมายเหต ถาสมการ (7.9) มตวประกอบปรพนธทขนกบ y เพยงตวแปรเดยว นนคอ ρ =

ρ(y) กจะหา ρ(y) ไดในทำนองเดยวกน

ทฤษฎบท 7.3 ถา

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Nเปนฟงกชนตอเนองและมตวแปร x เพยงตวแปรเดยว แลว

ตวประกอบปรพนธของสมการ (7.9) คอ

ρ(x) = e

∫

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

ถา

(

∂N∂x

− ∂M∂y

)

Mเปนฟงกชนตอเนองและมตวแปร y เพยงตวแปรเดยว แลวตวประกอบปร

พนธของสมการ (7.9) คอ

ρ(y) = e

∫

(

∂N∂x

− ∂M∂y

)

Mdy

ตวอยาง 7.14 จงหาผลเฉลยของสมการ y′ = −3xy + y2

x2 + xy, x > 0

วธทำ . . . . . . . . .



1. จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธตอไปนเปนสมการแบบแมนตรงหรอไม? ถาหากเปนสมการแบบแมนตรง แลวจงหาผลเฉลย

(a) (2x+ 3y)dx+ (3x+ 2y)dy = 0

(b) (5x+ 6y)dx+ (8y3 − 6x)dy = 0

(c) (3x2 + 2y2)dx+ (4xy + 6y2)dy = 0

(d) (3x2 − 2xy + 2)dx+ (6y2 − x2 + 3)dy = 0

(e)(

x3 +y

x

)

dx+ (y2 + ln x)dy = 0

(f) (ex sin y + 3y)dx− (3x− ex sin y)dy = 0

(g) (y ln y − e−xy)dx+

(

1

y+ x ln y

)

dy = 0

(h) (cosx+ ln y)dx+

(

x

y+ ey

)

dy = 0

(i) (3x2y3 + y4)dx+ (3x3y2 + y4 + 4xy3)dy = 0

(j) (ex sin y − 2y sin x)dx+ (ex cos y + 2 cosx)dy = 0

(k) (x− y3 + y2 sin x)dx = (3xy2 + 2y cosx)dy

(l) (x ln y + xy)dx+ (y ln x+ xy)dy = 0; x > 0, y > 0

(m) xdy

dx= 2xex − y + 6x2

(n) (tanx− sin x sin y)dx+ (cosx cos y)dy = 0

(o)(

x2y3 − 1

1 + 9x2

)

dx

dy+ x3y2 = 0

(p)xdx

(x2 + y2)3/2+

ydy

(x2 + y2)3/2= 0


(a) (2x− y)dx+ (2y − x)dy = 0, y(1) = 3

(b) (x+ y)2dx+ (2xy + x2 − 1)dy = 0, y(1) = 1

(c) (9x2 + y − 1)dx− (4y − x)dy = 0, y(1) = 0

(d) (4y + 2t− 5)dt+ (6y + 4t− 1)dy = 0, y(−1) = 2

(e) (y2 cosx− 3x2y − 2x)dx+ (2y sin x− x3 + ln y)dy = 0, y(0) = e


3. จงหาคาของ k ททำใหสมการเชงอนพนธตอไปนเปนสมการแบบแมนตรง

(a) (xy2 + kx2y)dx+ (x+ y)x2dy = 0

(b) (y3 + kxy4 − 2x)dx+ (3xy2 + 20x2y3)dy = 0

(c) (ye2xy + x)dx+ kxe2xydy = 0

(d) (x2 + 3xy)dx+ (kx2 + 4y)dy = 0

(e)(

1

x2+

1

y2

)

dx+

(

kx+ 1

y3

)

dy = 0

4. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปนโดยการแปลงเปนสมการแบบแมนตรง

(a) (2y2 + 3x)dx+ 2xydy = 0

(b) 6xydx+ (4y + 9x2)dy = 0

(c) y′ = e2x + y − 1

(d) ydx+ (2xy − e−2y)dy = 0

(e) (10− 6y + e−3x)dx− 2dy = 0

(f) dx+

(

x

y− sin y

)

dy = 0


1. (a) x2+3xy+y2 = c (b) ไมเปนสมการแบบแมนตรง (c) x3+2xy2+2y3 = c

(d) x3 − x2y + 2x+ 2y3 + 3y = c (e) 3x4 + 4y3 + 12y ln x = c

(f) ไมเปนสมการแบบแมนตรง (g) ไมเปนสมการแบบแมนตรง

(h) sin x+x ln y+ey = c (i) 5x3y3+5xy4+y5 = c (j) ex sin y+2y cosx = c

(k) xy3 + y2 cosx− 12x2 = c (l) ไมเปนสมการแบบแมนตรง

(m) xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c (n) − ln | cosx| + cosx sin y = c

(o) x3y3 − tan−1 3x = c (p) x2 + y2 = c

2. (a) y =[

x+√28− 3x2

]

/2 (b) 13x3 + x2y + xy2 − y = 4

3

(c) y =[

x− (24x3 + x2 − 8x− 16)1/2]

/4 (d) 4ty + t2 − 5t+ 3y2 − y = 8

(e) y2 sin x− x3y − x2 + y ln y − y = 0

3. (a) k = 3 (b) k = 10 (c) k = 1 (d) k = 32

(e) k = −2

4. (a) x2y2 + x3 = c (b) 3x2y3 + y4 = c (c) y = cex + 1 + ex

(d) xe2y−ln |y| = c (e) −2ye3x+ 103e3x+x = c (f) xy+y cos y−sin y = 0


7.4 สมการเชงเสน

ในหวขอนเราจะศกษาถงวธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน ทเขยนอยในรป

dy

dx+ P (x)y = Q(x) (7.12)

บนชวงใดชวงหนงทฟงกชน P (x) และ Q(x) มความตอเนอง ซงสมการ (7.12) สามารถเขยนในรปผลตางเชงอนพนธดงน

[

P (x)y −Q(x)]

dx+ dy = 0 (7.13)

หมายเหต สมการ (7.13) จะเปนสมการแบบแมนตรง ถา P (x) = 0 คณสมการ (7.13)ดวยฟงกชน ρ(x) จะได

[

ρ(x)P (x)y − ρ(x)Q(x)]

dx+ ρ(x)dy = 0 (7.14)

ดงนนสมการ (7.14) จะเปนสมการแบบแมนตรงถา ρ(x) สอดคลองกบสมการเชงอนพนธ

dρ(x)

dx= P (x)ρ(x) (7.15)

ซงสมการ (7.15) เปนสมการแยกกนได ดงนนสามารถหาผลเฉลยไดดงน

1

ρ(x)dρ(x) = P (x) dx

∫

1

ρ(x)dρ(x) =

∫

P (x) dx

ln ρ(x) =

∫

P (x) dx

ρ(x) = e∫P (x) dx

= exp(∫

P (x) dx

)

ในทนจะเรยกฟงกชน ρ(x) วา ตวประกอบปรพนธ คณสมการ (7.12) ดวยฟงกชน ρ(x)

จะไดρ(x)

dy

dx+ P (x)ρ(x)y = ρ(x)Q(x) (7.16)

จากสมการ (7.15) และ (7.16) จะได

ρ(x)dy

dx+

dρ(x)

dxy = ρ(x)Q(x)

d[

ρ(x)y]

dx= ρ(x)Q(x)


อนทเกรตทงสองขางเทยบกบ x จะได

ρ(x)y =

∫

ρ(x)Q(x) dx+ c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

นนคอจะไดวา

y =1

ρ(x)

[∫

ρ(x)Q(x) dx+ c

]

เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

เปนผลเฉลยทวไปของสมการ (7.12)

ตวอยาง 7.15 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ xdy

dx− 4y = 3x7 + 5, x > 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.16 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ xy′ − 4y = x6ex

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.17 จงหาผลเฉลยของขอปญหาคาเรมตน

(x2 + 1)dy

dx+ 3xy = 6x, y(0) = 1

วธทำ . . . . . . . . .



(a) y′ + 3y = 2xe−3x (b) xdy

dx− y = x2 sin x

(c) xdy

dx+ 4y = x3 − x (d) xy′ = 2y + x3 cosx

(e) x2y′ + x(x+ 2)y = ex (f) cosxdy

dx+ (sin x)y = 1

(g)dr

dθ+ r sec θ = cos θ (h) x

dy

dx+ (3x+ 1)y = e−3x

(i) (x+ 1)dy

dx+ (x+ 2)y = 2xe−x


(a) xy′ + 5y = 7x2, y(2) = 5

(b) xy′ − y = x, y(1) = 7


(c) xy′ + 3y = 2x5, y(2) = 1

(d) y′ + 2xy = x, y(0) = −2

(e) xy′ = 3y + x4 cosx, y(2π) = 0

(f) (x2 + 4)y′ + 3xy = x, y(0) = 1


1. (a) y(x) = (x2 + c)e−3x (b) y = cx− x cosx (c) y = 17x3 − 1

5x+ cx−4

(d) y(x) = x2(sin x+c) (e) y = 12x−2ex+cx−2e−x (f) y = sin x+c cos x

(g) (sec θ + tan θ)r = θ − cos θ + c (h)y = e−3x + cx−1e−3x

(i) (x+ 1)exy = x2 + c

2. (a) y(x) = x2 + 32/x5 (b) y(x) = x ln x+ 7x (c) y(x) = 14x5 − 56x−3

(d) y(x) = 12− 5

2e−x2 (e) y(x) = x3 sin x (f) y(x) = 1

3+ 16

3(x2 + 4)−3/2

7.5 สมการเอกพนธ

บทนยาม 7.9 สมการเชงอนพนธอนดบหนงdy

dx= f(x, y) จะกลาววาเปน สมการเอกพนธ

(homogeneous equation) ถา f(x, y) สามารถเขยนในรปฟงกชนของy

xเพยงอยางเดยว

นนคอdy

dx= F

(y

x

)

(7.17)

ตวอยาง 7.18 จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธอนดบหนงตอไปนเปนสมการเอกพนธหรอไม

1.dy

dx=

2x+ y2

xy

2. (y − x)dx+ xdy = 0

3. (x− 2y + 1)dx+ (x− y)dy = 0

วธทำ . . . . . . . . .

วธตรวจสอบอกแบบหนงวาสมการdy

dx= f(x, y) เปนสมการเอกพนธหรอไมนน สามารถ

ทำไดโดยการแทน x ดวย tx และแทน y ดวย ty ลงใน f(x, y) ถา f(tx, ty) = f(x, y)

แลวจะไดวาสมการdy

dx= f(x, y) เปนสมการเอกพนธ


ตวอยาง 7.19 จงพจารณาวาสมการ y′ =2xy

x2 − y2เปนสมการเอกพนธหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

ถาเราให u =y

xหรอ y = ux แลวจะได

dy

dx= u + x

du

dxดงนนสมการ (7.17) จะ

เปลยนรปเปนสมการแยกตวแปรได

u+ xdu

dx= F (u)

หรอxdu

dx= F (u)− u

และสามารถใชวธการในหวขอ 7.2 หาผลเฉลยได ดงตวอยางตอไปน


(x+ y)y′ = x− y

วธทำ . . . . . . . . .


(x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0

วธทำ . . . . . . . . .


xdy

dx= y +

√

x2 − y2, y(x0) = 0 เมอ x0 > 0

วธทำ . . . . . . . . .



(a) xy′ = y + 2√xy (b) (x+ y)dx+ xdy = 0

(c) (x+ 2y)y′ = y (d) ydx = 2(x+ y)dy

(e) x2y′ = xy + y2 (f) (y2 + yx)dx+ x2dy = 0

(g) xyy′ = y2 + x√

4x2 + y2 (h)dy

dx=

x+ 3y

3x+ y

(i) x(x+ y)y′ + y(3x+ y) = 0 (j) −ydx+ (x+√xy)dy = 0

(k) y′ =2xy

(x2 − y2)(l) y′ =

y − x

x



(a) (16x+ 5y)dx+ (3x+ y)dy = 0, y(1) = −3

(b) xydx+ 2(x2 + 2y2)dy = 0, y(0) = 1

(c) xy2dy

dx= xy, y(1) = 3

(d)(

y −√

x2 + y2)

dx = xdy, y(√

3)

= 1

(e)dy

dx=

y

x+

y2

x2, y(1) = 1

(f) (x+ yey/x)dx− xey/xdy = 0, y(1) = 0


1. (a) y = x(ln x+ c)2 (b) x2 + 2xy = c (c) 2y ln y = x+ cy

(d) x+ 2y = cy2 (e) x = y(c− ln x) (f) x2y = c(y + 2x)

(g)x

2sin(2 ln x+ c) (h) (y − x)2 = c(y + x) (i) x2(4xy + 2y2) = c

(j) 4x = y(ln |y| − c)2 (k) ln∣

∣

∣

y

x

∣

∣

∣− y

x= ln |x|+ c (l) y = x ln

∣

∣

∣

c

x

∣

∣

∣

2. (a) y + 3x = (y + 4x) ln(y + 4x) (b) y4(3x2 + 4y2) = 4

(c) y3 + 3x3 ln |x| = 27x3 (d) x2 + 6y = 9 (e) x = y − y ln x

(f) ln |x| = ey/x − 1

บทที่ 5...

Documents