บทที่ 1 เมทริกซì - t...

บทท 1

เมทรกซ

1.1 เมทรกซและการดำเนนการบนเมทรกซ

กลมของจำนวนทนำมาจดเรยงในรปสเหลยมผนผาหรอทเราเรยกวา เมทรกซ ไดถกนำมาใชในหลายสาขาวชา เมทรกซจดวาเปนหนงในเครองมอทสำคญมากทางดานคณตศาสตร ในหวขอนเราจะเรยนรบทนยามเบองตนของเมทรกซ การดำเนนการบวก ลบ และคณเมทรกซ

สญลกษณของเมทรกซ

บทนยาม 1.1 เมทรกซ คอ กลมของจำนวนทนำมาจดเรยงในรปสเหลยมผนผา ภายในเครองหมาย[ ] หรอ ( ) และจำนวนทนำมาจดเรยงแตละจำนวนนนเรยกวา สมาชก ของเมทรกซ

ตวอยางเชน

2 1

−1 2

0 5

(1.1)

(

1 −1 0

0 5 0

)

(1.2)

และ[

1√2 π

]

(1.3)

สมาชกทจดเรยงกนในแนวนอนเรยกวา แถว ของเมทรกซ ในขณะทสมาชกทจดเรยงกนในแนวตงเรยกวา หลก หรอ สดมภ ของเมทรกซ ตวอยางเชนแถวทสามของเมทรกซ(1.1)ประกอบดวยสมาชก 0 และ 5 และสมาชกในสดมภทหนงคอ 2, −1 และ 0 ถาเมทรกซทกำหนดใหม m แถว และม n สดมภ แลวจะเรยกเมทรกซนวา m × n เมทรกซ สำหรบจำนวนแถว m และจำนวนสดมภ n คอ ขนาด หรอ มต ของเมทรกซ ดงนนเมทรกซ(1.1)มขนาด 3× 2 เมทรกซ (1.2) มขนาด 2× 3 และเมทรกซ (1.3) มขนาด 1× 3

1

เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 2

เมทรกซทมเพยงแถวเดยวหรอ 1 × n เมทรกซ เรยกวา เมทรกซแถว หรอ เวกเตอรแถวในขณะเดยวกนเมทรกซทมเพยงหลกเดยวหรอ m × 1 เมทรกซ เรยกวา เมทรกซหลก หรอเวกเตอรหลก ดงนนเมทรกซ (1.3) คอ เมทรกซแถวหรอเวกเตอรแถว

โดยทวไปเรานยมใชตวอกษรพมพใหญเชน A,B,C, . . . แทนเมทรกซ ในขณะทสมาชกของเมทรกซจะเขยนแทนดวยตวพมพเลกทมดชนลาง 2 ตว เชน aij จะหมายถงสมาชกของเมทรกซทอยในแถวท i และหลกท j ดงนนรปทวไปของ 2× 4 เมทรกซ สามารถเขยนแทนดวย

A =

[

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

]

และรปทวไปของ m× n เมทรกซ คอ

A =

a11 a12 · · · a14

a21 a22 · · · a24... ... ...am1 am2 · · · amn

(1.4)

เพอความสะดวกในการนำไปใช บางครงเราเขยนแทนเมทรกซ A ในรป

[aij]m×n หรอ [aij ]

โดยทสญลกษณตวแรกจะใชเมอตองการรขนาดของเมทรกซ ในขณะทสญลกษณตวทสองจะใชเมอไมจำเปนตองกลาวถงขนาดของเมทรกซ

นอกจากนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A อาจจะเรยกแทนดวยสญลกษณ(A)ij ดงนนสำหรบเมทรกซ (1.4)

(A)ij = aij

และสำหรบเมทรกซ

A =

3 6 −1

4 2 0

1 −3 −5

เราไดวา a12 = 6, a21 = 4 และ a33 = −5

เมทรกซ A ทม n แถว และ n หลก เรยกวา เมทรกซจตรสอนดบท n และสมาชกa11, a22, . . ., ann ใน(1.5) คอสมาชกทอยใน เสนทแยงมมหลก ของ A

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... ...an1 an2 · · · ann

. (1.5)


เมทรกซจตรสทมสมาชกใตเสนทแยงมมหลกทกตวเปนศนย เรยกวา เมทรกซแบบสามเหลยมบน และเมทรกซจตรสทมสมาชกเหนอเสนทแยงมมหลกทกตวเปนศนย เรยกวา เมทรกซแบบสามเหลยมลาง เมทรกซทเปนเมทรกซแบบสามเหลยมบน หรอเมทรกซแบบสามเหลยมลาง เรยกวา เมทรกซแบบสามเหลยม

เมทรกซทนาสนใจอกเมทรกซหนงคอ เมทรกซจตรสทสมาชกในเสนทแยงมมหลกทกตวมคาเทากบ 1 และสมาชกซงไมอยในเสนทแยงมมหลกทกตวมคาเทากบ 0 ตวอยางเชน

[

1 0

0 1

]

,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.

เมทรกซในรปแบบนเรยกวา เมทรกซเอกลกษณ ซงเขยนแทนดวย I แตหากตองการแสดงขนาดของเมทรกซ เราจะเขยนแทน n× n เมทรกซเอกลกษณดวย In

m × n เมทรกซทสมาชกทกตวมคาเทากบศนย เรยกวา m × n เมทรกซศนย และเขยนแทนดวย 0m×n หรอ 0 ตวอยางตอไปนเปนตวอยางของเมทรกซศนย

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,

[

0 0 0

0 0 0

]

,

0

0

0

และ

[

0 0 0 0]

การดำเนนการบนเมทรกซ

บทนยาม 1.2 กำหนดให A และ B เปนเมทรกซใดๆ เราจะกลาววาสมาชก aij และ bkp

เปน สมาชกทสมนยกน กตอเมอ i = k และ j = p หรอกลาวอกนยหนงวา สมาชกของA สมนย กบสมาชกของ B กตอเมอ สมาชกทงสองอยในตำแหนงเดยวกน

ตวอยางเชน ถา

A =

[

1 2 3

4 5 6

]

และ B =

[

7 8 9

−1 −2 −3

]

แลว 1 สมนยกบ 7, 2 สมนยกบ 8, และ 4 สมนยกบ −1

หมายเหต เราจะกลาวถงการสมนยกนของสมาชกเมอเมทรกซ 2 เมทรกซ มขนาดเทากนเทานน

บทนยาม 1.3 ภาวะเทากนของเมทรกซ เมทรกซ A และ B จะ เทากน หรอเขยนแทนดวย A = B ถาเมทรกซทงสองมขนาดเทากน และสมาชกทสมนยกนของเมทรกซทงสองมคาเทากน

หรอกลาวไดวา ถา A = [aij ] และ B = [bij ] เปนเมทรกซทมขนาดเทากน แลว A = B

กตอเมอ aij = bij สำหรบทกคาของ i และ j


ตวอยาง 1.1 จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปนเทากน

A =

[

1 2 −1

4 0 1 + 2

]

B =

[

1 2

4 0

]

C =

[

1 42

−1

4 0 3

]

D =

[

1 2 −1

4 0 1

]

?

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.4 ผลบวกของเมทรกซ กำหนดให A และ B เปนเมทรกซทมขนาดเทากนผลบวก ของ A และ B ซงเขยนแทนดวย A+B คอ เมทรกซทไดจากการบวกสมาชกทสมนยกนของ A และ B

หรอกลาวไดวา ถา A = [aij] และ B = [bij ] เปนเมทรกซทมขนาดเทากน แลว C =

A+B กตอเมอ cij = aij + bij สำหรบทกคาของ i และ j

ตวอยาง 1.2 จงหาเมทรกซ C ทเปนผลบวกของเมทรกซ

A =

3 6

−1 5

0 2

และ B =

12

−4

−2 0

−3 −2

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.5 การคณโดยสเกลาร กำหนดให A เปนเมทรกซใดๆ และ c เปนสเกลารใดๆผลคณ cA คอ เมทรกซทไดจากการคณแตละสมาชกของ A ดวยสเกลาร c และเราจะเรยกเมทรกซ cA วา พหคณสเกลาร ของ A

หรอกลาวไดวา ถา A = [aij] แลว B = cA กตอเมอ bij = caij สำหรบทกคาของ i

และ j

ตวอยาง 1.3 กำหนดให

A =

[

1 −1 0 3

2 6 −4 8

]

จงหา 3A และ (−1)A

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.6 ตวลบ ของเมทรกซ B ซงเขยนแทนดวย −B คอ เมทรกซ (−1)B ทไดจากการเปลยนเครองหมายของสมาชกทกตวของ B


บทนยาม 1.7 ผลตางของเมทรกซ กำหนดให A และ B เปนเมทรกซทมขนาดเทากนผลตาง ของ A และ B ซงเขยนแทนดวย A − B คอ เมทรกซ C ทถกกำหนดโดยC = A+ (−B)

หมายเหต เมทรกซ A − B สามารถหาไดจากการลบแตละสมาชกของ B จากสมาชกทสมนยกนของ A

ตวอยาง 1.4 จงหาเมทรกซ C = 2A− B เมอ A =

[

1 2

−1 0

]

และ B =

[

0 4

−1 0

]

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.8 การคณเมทรกซ ถา A เปน m×n เมทรกซ และ B เปน p×q เมทรกซแลว ผลคณ AB สามารถหาไดถา n = p และ AB จะเปน m× q เมทรกซ โดยทสมาชกของ AB ในแถวท i และหลกท j ไดมาจากการบวกกนของผลคณระหวางสมาชกแตละตวของแถวท i ของ A กบสมาชกทสมนยกนในหลกท j ของ B

หรอกลาวไดวา ถา C = AB แลว

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj หรอ cij =n∑

k=1

aikbkj

ตวอยาง 1.5 กำหนดให A และ B เปนเมทรกซตอไปน จงหาผลคณ AB และ BA (ถาหาได)

(a) A =

3 −2

2 4

1 −3

, B =

[

−2 1 3

4 1 6

]

(b) A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, B =

x

y

z

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาการคณของเมทรกซ จะแตกตางจากการคณของจำนวนกลาวคอ การคณของจำนวนมสมบตการสลบท นนคอ ถา a และ b เปนจำนวนใดๆ แลวab = ba แตการคณของเมทรกซไมมสมบตดงกลาว

อยางไรกตาม สถานการณหนงททำให AB และ BA สามารถหาได (แตอาจจะไมเทากน)คอ เมอเมทรกซ A และ B มขนาดเทากนและเปนเมทรกซจตรส


เมทรกซสลบเปลยน

บทนยาม 1.9 กำหนดให A เปน m×n เมทรกซใดๆ เมทรกซสลบเปลยน ของ A เขยนแทนดวย AT คอ n × m เมทรกซทไดจากการสลบแถวและหลกของ A นนคอ หลกท j

ของ AT คอแถวท j ของ A

หรอกลาวไดวา B = AT กตอเมอ bij = aji สำหรบแตละคาของ i และ j

ตวอยาง 1.6 จงหาเมทรกซสลบเปลยนของ

(a) A =

[

1 2 3

4 5 6

]

(b) B =

−3 2 1

4 3 2

1 2 5

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.10 ถา A เปนเมทรกซจตรสใดๆ แลว รอย ของ A เขยนแทนดวย tr(A) คอผลบวกของสมาชกทอยในเสนทแยงมมหลกของ A แตถา A ไมใชเมทรกซจตรส แลว tr(A)

หาคาไมได

ตวอยาง 1.7 จงหารอยของเมทรกซตอไปน

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, B =

−3 1 7 0

2 4 −8 4

1 −2 5 0

8 3 −1 0

วธทำ . . . . . . . . .

เราจะจบหวขอนโดยการกลาวถงสมบตพชคณตของเมทรกซตอไปน

ทฤษฎบท 1.1 (สมบตพชคณตของเมทรกซ) กำหนดให A, B และ C เปนเมทรกซใดๆและ a และ b เปนสเกลารใดๆ และสมมตใหขนาดของเมทรกซในแตละการดำเนนการเปนไปตามบทนยาม พชคณตของเมทรกซตอไปนสมเหตสมผล

(a) A +B = B + A (กฎการสลบทสำหรบการบวก)

(b) A+ (B + C) = (A+B) + C (กฎการจดหมสำหรบการบวก)

(c) A(BC) = (AB)C (กฎการจดหมสำหรบการคณ)

(d) A(B + C) = AB + AC (กฎการแจกแจงทางซาย)

(e) (B + C)A = BA+ CA (กฎการแจกแจงทางขวา)


(f) A(B − C) = AB −AC (g) (B − C)A = BA− CA

(h) a(B + C) = aB + aC (i) a(B − C) = aB − aC

(j) (a + b)C = aC + bC (k) (a− b)C = aC − bC

(l) (ab)C = a(bC) (m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

(n) A+ 0 = 0+ A = A (o) A− A = 0

(p) 0− A = −A (q) A0 = 0, 0A = 0

(r) AI = A

แบบฝกหด 1.1

1. สมมตให A,B,C,D และ E เปนเมทรกซทมขนาดดงน

A B C D E

(4× 5) (4× 5) (5× 2) (4× 2) (5× 4)

จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปนหาได และมขนาดเทาใด?(a) BA (b) AC +D (c) AE +B (d) AB +B

(e) E(A+B) (f) E(AC) (g) ETA (h) (AT + E)D

2. ถา A เปน 3 × 5 เมทรกซ และ AB เปน 3 × 7 เมทรกซ แลวขนาดของเมทรกซB คออะไร?

3. จงหาคา a, b, c และ d จากสมการ[

a− b b+ c

3d+ c 2a− 4d

]

=

[

8 1

7 6

]

4. กำหนดให

A =

3 0

−1 2

1 1

, B =

[

4 −1

0 2

]

, C =

[

1 4 2

3 1 5

]

,

D =

1 5 2

−1 0 1

3 2 4

, E =

6 1 3

−1 1 2

4 1 3

จงหาเมทรกซตอไปน (ถาหาได)(a) 2AT + C (b) DT −ET (c) (D − E)T (d) BT + 5CT

(e) 12CT − 1

4A (f) B − BT (g) 2ET − 3DT (h) (2ET − 3DT )T


5. จงใชเมทรกซทกำหนดใหในขอ 4. หาเมทรกซตอไปน (ถาหาได)(a) AB (b) BA (c) (3E)D (d) (AB)C

(e) A(BC) (f) CCT (g) (DA)T (h) (CTB)AT

(i) tr(DDT ) (j) tr(4ET −D) (k) tr(CTAT + 2ET )

6. จงหา 6× 6 เมทรกซ [aij ] ทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน และเขยนคำตอบใหอยในรปทวไปมากทสด โดยใชตวอกษรแทนจำนวนทไมเทากบศนย

(a) aij = 0 ถา i 6= j (b) aij = 0 ถา i > j

(c) aij = 0 ถา i < j (d) aij = 0 ถา |i− j| > 1

7. จงหาเมทรกซ A ททำให

A

x

y

z

=

x+ y

x− y

0

สำหรบทกคาของ x, y และ z


A =

1 −2 0

3 5 −1

2 3 4

, B =

6 0 2

4 1 −1

−3 8 5

C =

4 −5 3

5 7 −2

−3 2 −1

, a = 3, b = −5

จงแสดงวา

(a) A+ (B + C) = (A +B) + C (b) (AB)C = A(BC)

(c) (a+ b)C = aC + bC (d) a(B − C) = aB − aC

(e) a(BC) = (aB)C = B(aC) (f) A(B − C) = AB − AC

(g) (B + C)A = BA+ CA (h) a(bC) = (ab)C

(i) (AT )T = A (j) (A+B)T = AT +BT

(k) (aC)T = aCT (l) (AB)T = BTAT

9. กำหนดให 0 เปน 2× 2 เมทรกซศนย จงหา

(a) เมทรกซ A ททำให A 6= 0 และ AA = 0


(b) เมทรกซ A ททำให A 6= 0 และ AA = A

10. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอไม? ถาขอความทพจารณาเปนเทจ จงยกตวอยางประกอบ

(a) tr(AAT ) และ tr(ATA) หาคาไดเสมอ

(b) tr(AAT ) = tr(ATA) สำหรบทกเมทรกซ A

(c) ถาสมาชกทกตวในหลกทหนงของ A มคาเทากบศนย แลวสมาชกทกตวในหลกทหนงของผลคณ AB ใดๆมคาเทากบศนย

(d) ถาสมาชกทกตวในแถวทหนงของ A มคาเทากบศนย แลวสมาชกทกตวในแถวทหนงของผลคณ AB ใดๆมคาเทากบศนย

(e) ถา A เปนเมทรกซจตรสทมแถว 2 แถวเหมอนกน แลวเมทรกซ AA จะมแถว 2

แถวเหมอนกน

(f) ถา A เปนเมทรกซจตรส และ AA มหลกใดหลกหนงเปนศนย แลว A จะตองมหลกใดหลกหนงเปนศนย

(g) ถา B เปน n×n เมทรกซ ทสมาชกทกตวเปนจำนวนเตมบวกค และถา A เปนn×n เมทรกซ ทสมาชกทกตวเปนจำนวนเตมบวก แลวสมาชกทกตวของ AB และBA เปนจำนวนเตมบวกค

(h) ถาผลบวกของเมทรกซ AB +BA หาได แลว A และ B ตองเปนเมทรกซจตรส

คำตอบแบบฝกหด 1.1

1. (a) หาไมได (b) 4× 2 (c) หาไมได (d) หาไมได (e) 5× 5

(f) 5× 2 (g) หาไมได (h) 5× 2

2. 5× 7 3. a = 5, b = −3, c = 4, d = 1

4. (a)

[

7 2 4

3 5 7

]

(b)

−5 0 −1

4 −1 1

−1 −1 1

(c)

−5 0 −1

4 −1 1

−1 −1 1

(d) หาไมได (e)

−14

32

94

034

94

(f)

[

0 −1

1 0

]

(g)

9 1 −1

−13 2 −4

0 1 −6

(h)

9 −13 0

1 2 1

−1 −4 −6


5. (a)

12 −3

−4 5

4 1

(b) หาไมได (c)

42 108 75

12 −3 21

36 78 63

(d)

3 45 9

11 −11 17

7 17 13

(e)

3 45 9

11 −11 17

7 17 13

(f)

[

21 17

17 35

]

(g)

[

0 −2 11

12 1 8

]

(h)

12 6 9

48 −20 14

24 8 16

(i) 61 (j) 35 (k) 28

6. (a)

a11 0 0 0 0 0

0 a22 0 0 0 0

0 0 a33 0 0 0

0 0 0 a44 0 0

0 0 0 0 a55 0

0 0 0 0 0 a66

(b)

a11 a12 a13 a14 a15 a16

0 a22 a23 a24 a25 a26

0 0 a33 a34 a35 a36

0 0 0 a44 a45 a46

0 0 0 0 a55 a56

0 0 0 0 0 a66

(c)

a11 0 0 0 0 0

a21 a22 0 0 0 0

a31 a32 a33 0 0 0

a41 a42 a43 a44 0 0

a51 a52 a53 a54 a55 0

a61 a62 a63 a64 a65 a66

(d)

a11 a12 0 0 0 0

a21 a22 a23 0 0 0

0 a32 a33 a34 0 0

0 0 a43 a44 a45 0

0 0 0 a54 a55 a56

0 0 0 0 a65 a66

7.

1 1 0

1 −1 0

0 0 0

9. (a)

[

0 1

0 0

]

(b)

[

1 0

0 0

]

10. (a) จรง (b) จรง (c) เทจ ตวอยางเชน A =

[

0 2

0 4

]

และ B =

[

1 2

3 4

]

(d) จรง (e) จรง (f) เทจ ตวอยางเชน A =

[

1 −1

1 −1

]

(g) จรง

(h) จรง


1.2 การดำเนนการขนมลฐานและรปแบบขนบนได

การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน

การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน (elementary row operations) ประกอบดวยการดำเนนการ 3 แบบ ดงน

1. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมเทากบศนย: α ri

2. สลบทสองแถวใดๆของเมทรกซ: ri ↔ rj

3. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมเทากบศนย แลวนำไปบวกกบอกแถวหนง: rj + α ri

ตวอยาง 1.8 กำหนดให A =

2 −3 2 1

0 8 6 −10

4 1 3 −2

จงหาเมทรกซ B ทเกดจากการดำเนนการ

ตามแถวขนมลฐานตอไปนบนเมทรกซ A

(a) r1 ↔ r2 (b) 12r2 (c) r3 − 2r1

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.11 เมทรกซ A สมมลตามแถว กบเมทรกซ B กตอเมอ B เปนเมทรกซทไดจากการใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานบน A และจะเขยนแทนดวย A ∼ B

รปแบบขนบนได

บทนยาม 1.12 เมทรกซ A จะเปน เมทรกซขนบนไดตามแถว (row-echelon ma-trix) กตอเมอ เมทรกซ A มสมบตตอไปน

1. ถาแถวใดแถวหนงของ A มสมาชกทกตวเปนศนย แลวแถวดงกลาวจะตองเปนแถวทอยดานลางของเมทรกซ

2. สมาชกตวแรกทไมเปนศนย หรอเราเรยกวา ตวนำ ของแตละแถวจะตองอยในหลกทางขวามอของตวนำของแถวบน

ถาเมทรกซขนบนไดตามแถว A มสมบตตอไปนเพมเตมแลวเราจะเรยก A วา เมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป (reduced row-echelon matrix)

3. สมาชกตวแรกทไมเปนศนย หรอตวนำของแถว ตองมคาเทากบ 1

4. ถาตวนำ 1 ของแถวใดแถวหนงอยในหลกใด แลวสมาชกตวอนของหลกนนตองเทากบศนย


เมทรกซตอไปนเปนเมทรกซขนบนไดตามแถว

3 4 −3 7

0 2 6 2

0 0 1 −1

,

1 0 0

0 3 1

0 0 0

,

0 −1 2 6 0

0 0 3 −1 0

0 0 0 0 1

เมทรกซตอไปนเปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป

1 0 0 1

0 1 0 −1

0 0 1 2

,

1 0 3 1 0

0 1 2 1 0

0 0 0 0 0

,

0 1 −2 0 0

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

,

[

0 0

0 0

]

ตวอยาง 1.9 จงทำใหเมทรกซตอไปนเปนเมทรกซขนบนไดตามแถว

0 −3 −6 4 9

−1 −2 −1 3 1

−2 −3 0 3 −1

1 4 5 −9 −7

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 1.10 จงทำใหเมทรกซตอไปนเปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป

0 3 −6 6 4 −5

3 −7 8 −5 8 9

3 −9 12 −9 6 15

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.13 คาลำดบชน ของเมทรกซ A ใดๆ ซงเขยนแทนดวย rank(A) คอ จำนวนแถวทมสมาชกไมเปนศนยของเมทรกซขนบนไดตามแถวทสมมลกบเมทรกซ A

ตวอยางเชน เมทรกซในตวอยาง 1.9 มคาลำดบชนเทากบ 3


1. จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถว

(a)

1 0 0

0 2 0

0 0 3

(b)

2 3 0

0 0 −1

0 0 0

(c)

4 1 1

0 −2 2

0 0 3

(d)

1 0 0

0 2 0

0 3 0

(e)

1 4 6

0 0 1

0 −2 3

(f)

−1 1 0

0 2 0

0 0 0

(g)

1 3 4

0 0 1

0 0 0

(h)

1 2 3

0 0 0

0 0 4


2. จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป

(a)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(b)

0 1 0

1 0 0

0 0 0

(c)

0 1 0

0 0 1

0 0 0

(d)

1 0 0

0 0 1

0 0 0

(e)

1 0 0

0 0 0

0 0 1

(f)

1 1 0

0 1 0

0 0 0

(g)

1 0 2

0 1 3

0 0 0

(h)

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3. จงพจารณาวาเมทรกซตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถว หรอเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป หรอทงสองอยาง หรอไมใชทงสองอยาง

(a)

0 1 3 5 7

0 0 1 2 3

0 0 0 0 0

(b)

1 0 0 5

0 0 1 3

0 1 0 4

(c)

[

1 0 3 1

0 1 2 4

]

(d)

[

1 −7 5 5

0 1 3 2

]

(e)

1 0 0 1 2

0 1 0 2 4

0 0 1 3 6

(f)

0 1

0 0

0 0

4. จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปทสมมลตามแถวกบเมทรกซ A เมอ

A =

2 2 −1 0 1 0

−1 −1 2 −3 1 0

1 1 −2 0 −1 0

0 0 1 1 1 0

5. จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปทสมมลตามแถวกบเมทรกซ B เมอ

B =

0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

6. จงแสดงวา rank(A) = rank(AT ) เมอ

A =

1 −1 2 1

0 1 1 −2

1 −3 0 5


7. จงหาคาลำดบชนของเมทรกซตอไปน

(a) A =

[

2 0 −3 1

3 4 2 2

]

(b) A =

1 0 1

−2 1 1

1 1 2

(c) A =

1 4 5 2

2 1 3 0

−1 3 2 2

(d) A =

0 6 6 3

1 2 1 1

4 1 −3 4

1 3 2 0

(e) A =

1 2 1 4 2 5

2 4 3 1 6 1

1 2 3 10 6 3

2 4 4 −6 8 −8

8. คาของ r และ s ททำให

1 0 0

0 r − 2 2

0 s− 1 r + 2

0 0 3

มคาลำดบชน 1 หรอ 2 มหรอไม? ถาม จงหาคาเหลานน


1. (a), (b), (c), (f), (g) 2. (a), (c), (d), (g), (h)

3. (a) เมทรกซขนบนไดแบบแถว (b) ไมใชทงสองอยาง (c) ทงสองอยาง

(d) เมทรกซขนบนไดแบบแถว (e) ทงสองอยาง (f) ทงสองอยาง

4.

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

5.

1 2 0 3 0 7

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

6. rank(A) = rank(AT ) = 2

7. (a) rank(A) = 2 (b) rank(A) = 3 (c) rank(A) = 2 (d) rank(A) = 3

(e) rank(A) = 3

8. คาลำดบชนเทากบ 2 ถา r = 2 และ s = 1; คาลำดบชนไมเทากบ 1

บทท 2

ดเทอรมแนนต

ในบทนเราจะศกษาสมบตทสำคญของเมทรกซจตรส นนคอเมทรกซจตรสทกเมทรกซจะสอดคลองกบจำนวนจรงทเรยกวา ดเทอรมแนนต (determinant) หรอ ตวกำหนด ของเมทรกซ ถาA เปนเมทรกซจตรส แลวดเทอรมแนนตของ A จะเขยนแทนดวย det(A) หรอ |A|

บทนยาม 2.1 ดเทอรมแนนตของ 1× 1 และ 2× 2 เมทรกซ

1. ดเทอรมแนนตของ 1× 1 เมทรกซ A =[

a]

คอ det(A) =∣

∣

∣a∣

∣

∣= a

2. ดเทอรมแนนตของ 2× 2 เมทรกซ A =

[

a b

c d

]

คอ det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

a b

c d

∣

∣

∣

∣

∣

= ad− bc

สำหรบหวขอยอยตอไปน เราจะเรยนรการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซจตรสทมอนดบตางๆ

2.1 ดเทอรมแนนตโดยการกระจายตวประกอบรวมเกยว

ไมเนอรและตวประกอบรวมเกยว

วธการหาดเทอรมแนนตในหวขอน เปนการใหบทนยามดเทอรมแนนตของ n× n เมทรกซในรปของดเทอรมแนนตของ (n− 1)× (n− 1) เมทรกซโดยท (n− 1)× (n− 1) เมทรกซทปรากฎในบทนยามนน เปนเมทรกซยอยของเมทรกซทกำหนดให และเมทรกซยอยเหลานมชอเรยกเฉพาะ

บทนยาม 2.2 ถา A เปนเมทรกซจตรส แลว ไมเนอร (minors) ของ aij ซงเขยนแทนดวย Mij คอ ดเทอรมแนนตของเมทรกซยอยทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ออกจากเมทรกซ A และจำนวน (−1)i+jMij ซงเขยนแทนดวย Cij เรยกวา ตวประกอบรวมเกยว(cofactor) ของ aij

15



A =

2 1 3

4 1 2

1 2 −3

จงหาไมเนอรและตวประกอบรวมเกยวของ a11 และ a32

วธทำ . . . . . . . . .

สงเกตไดวาตวประกอบรวมเกยว และไมเนอรของ aij จะแตกตางกนเฉพาะเครองหมายนนคอ Cij = ±Mij วธการทงายและรวดเรวในการพจารณาวาจะใชเครองหมาย + หรอ −อาศยขอเทจจรงทวา เครองหมายทสมพนธกบ Cij และ Mij คอ เครองหมายในแถวท i

และหลกท j ของการจดเรยงตอไปน

+ − + − + · · ·− + − + − · · ·+ − + − + · · ·− + − + − · · ·...

......

......

ตวอยางเชน C11 = M11, C21 = −M21, C13 = M13 และ C32 = −M32

การกระจายตวประกอบรวมเกยว

สำหรบบทนยามของดเทอรมแนนตของ 3 × 3 เมทรกซ ในรปของไมเนอรและตวประกอบรวมเกยวคอ

det(A) = a11M11 + a12(−M12) + a13M13

= a11C11 + a12C12 + a13C13 (2.1)

จากสมการ (2.1) ดเทอรมแนนตของ A สามารถหาไดจากการคณสมาชกในแถวท 1 ของA ดวยตวประกอบรวมเกยวของสมาชกนน แลวนำมาบวกกนสำหรบกรณทวไป ดเทอรมแนนตของ n× n เมทรกซคอ

det(A) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n

วธการคำนวณ det(A) นเรยกวา การกระจายตวประกอบรวมเกยว ตามแถวท 1 ของ A

ตวอยาง 2.2 กำหนดให A =

1 5 0

2 4 −1

0 −2 0

จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบ

รวมเกยวตามแถวท 1 ของ A


วธทำ . . . . . . . . .

ถา A เปน 3× 3 เมทรกซใดๆ แลวดเทอรมแนนตของ A คอ

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a11

∣

∣

∣

∣

∣

a22 a23

a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

− a12

∣

∣

∣

∣

∣

a21 a23

a31 a33

∣

∣

∣

∣

∣

+ a13

∣

∣

∣

∣

∣

a21 a22

a31 a32

∣

∣

∣

∣

∣

= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31)

+ a13(a21a32 − a22a31) (2.2)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

− a12a21a33 − a11a23a32 (2.3)

การจดเรยงพจนใน (2.3) ใหมใหมรปแบบดงเชน (2.2) มหลายวธดวยกน และเราสามารถแสดงไดวา

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11C11 + a21C21 + a31C31

= a21C21 + a22C22 + a23C23

= a12C12 + a22C22 + a32C32

= a31C31 + a32C32 + a33C33

= a13C13 + a23C23 + a33C33 (2.4)

สงเกตไดวาในแตละสมการ สมาชกและตวประกอบรวมเกยวมาจากแถว หรอหลกเดยวกน สมการเหลานเรยกวา การกระจายตวประกอบรวมเกยว ของ det(A)

ทฤษฎบท 2.1 (การกระจายโดยตวประกอบรวมเกยว) ดเทอรมแนนตของ n× n เมทรกซA ใดๆ สามารถหาไดโดยการคณสมาชกในแถวใดแถวหนง(หรอหลกใดหลกหนง) ดวยตวประกอบรวมเกยวของสมาชกตวนนแลวนำมาบวกกน นนคอสำหรบแตละ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ n

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj

(การกระจายตวประกอบรวมเกยวตามหลกท j)

และ

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin

(การกระจายตวประกอบรวมเกยวตามแถวท i)


ตวอยาง 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซในตวอยาง 2.2 จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวตามหลกท 1 ของ A

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต โดยทวไปการหาดเทอรมแนนต โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวนนเรามกเลอกกระจายตวประกอบรวมเกยวตามแถว หรอหลกทมสมาชกเปนศนยจำนวนมากๆ เพอความสะดวกและรวดเรวในการคำนวณ


A =

0 2 3 0

0 4 5 0

0 1 0 3

2 0 1 3

จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยว

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 2.2 ถา A เปน n × n เมทรกซแบบสามเหลยม(เมทรกซแบบสามเหลยมบนเมทรกซแบบสามเหลยมลางหรอเมทรกซทแยงมม) แลว det(A) คอ ผลคณของสมาชกในเสนทแยงมมหลกของ A นนคอ det(A) = a11a22 · · · ann

ตวอยาง 2.5 จงหา det(A) เมอ

A =

2 4 −3 5 3

0 −1 6 7 −2

0 0 3 8 5

0 0 0 9 3

0 0 0 0 −4

วธทำ . . . . . . . . .



A =

3 2 4

1 −2 3

2 3 2

(a) จงหาไมเนอรทงหมดของ A (b) จงหาตวประกอบรวมเกยวทงหมดของ A


2. จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซในขอ8. โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวตาม

(a) แถวท 1 (b) หลกท 1 (c) แถวท 2

(d) หลกท 2 (e) แถวท 3 (f) หลกท 3

3. จงหาคาของ λ ทงหมดททำใหดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปนเทากบ 0∣

∣

∣

∣

∣

2− λ 4

3 3− λ

∣

∣

∣

∣

∣

4. จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปน โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยว

(a)

5 2 1

1 −1 4

3 0 2

(b)

3 3 1

1 0 −4

1 −3 5

(c)

4 3 0

3 1 2

5 −1 −4

(d)

k + 1 k − 1 7

2 k − 3 4

5 k + 1 k

(e)

2 3 4 6

2 0 −9 6

4 1 0 2

0 1 −1 0

(f)

2 0 0 1

0 1 0 0

1 6 2 0

1 1 −2 3

(h)

2 1 2 1

3 0 1 1

−1 2 −2 1

−3 2 3 1


1. (a) M11 = −13, M12 = −4, M13 = 7, M21 = −8, M22 = −2,

M23 = 5, M31 = 14, M32 = 5, M33 = −8

(b) C11 = −13, C12 = 4, C13 = 7, C21 = 8, C22 = −2, C23 = −5,

C31 = 14, C32 = −5, C33 = −8

2. −3 3. λ = 6 หรอ −1

4. (a) 13 (b) −66 (c) 58 (d) k3 − 8k2 − 10k + 95 (e) 320

(f) 8 (h) 20


2.2 การหาดเทอรมแนนตโดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐาน

ในหวขอน เราจะเหนไดวาดเทอรมแนนตของเมทรกซจตรสสามารถหาได โดยการลดรปเมทรกซใหอยในรปขนบนไดตามแถว วธการนมความสำคญ เนองจากเปนวธการทมประสทธภาพมากทสดในการหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซทวไป

ทฤษฎบทพนฐาน

เรมดวยทฤษฎบทพนฐาน ทจะนำเราไปสขนตอนทมประสทธภาพสำหรบการคำนวณดเทอรมแนนตของเมทรกซอนดบ n ใดๆ

ทฤษฎบท 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซจตรส ถา A มแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนงทสมาชกทกตวเปนศนย แลว det(A) = 0

ทฤษฎบท 2.4 ถา A เปนเมทรกซจตรส แลว det(A) = det(AT )

การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน

ทฤษฎบทตอไปจะแสดงใหเหนวาการดำเนนการตามแถวขนมลฐานบนเมทรกซใดๆ มผลกระทบกบดเทอรมแนนตของเมทรกซนนอยางไร

ทฤษฎบท 2.5 กำหนดให A เปน n× n เมทรกซ

1. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการคณแถวใดแถวหนงหรอหลกใดหลกหนงของ A ดวยสเกลาร k แลว det(B) = k det(A)

2. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการสลบทแถวสองแถวหรอหลกสองหลกใดๆของ A แลวdet(B) = −det(A)

3. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการคณแถวใดแถวหนงของ A ดวยสเกลารแลวนำไปบวกกบอกแถวหนง หรอคณหลกใดหลกหนงของ A ดวยสเกลารแลวนำไปบวกกบอกหลกหนงแลว det(B) = det(A)

เราสามารถแสดงทฤษฎบทน โดยใช 3× 3 เมทรกซ ดงน


ความสมพนธ การดำเนนการ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

k a11 k a12 k a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= k

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

คณแถวท 1 ของ A

ดวย k

det(B) = k det(A)∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a21 a22 a23

a11 a12 a13

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

สลบทแถวท 1 กบแถวท 2 ของ A

det(B) = − det(A)∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 + k a12 a12 + k a22 a13 + k a23

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

คณแถวท 2 ของ A

ดวย k แลวนำไปบวกกบแถวท 1

det(B) = det(A)

หมายเหต จากทฤษฎบท 2.5(a) ซงแสดงโดยสมการแรกในตารางขางตน กลาวไดวาเราสามารถดงตวประกอบรวมออกจากแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนง โดยผานเครองหมายดเทอรมแนนต

ทฤษฎบท 2.6 ถา A เปนเมทรกซจตรสทมแถวสองแถวเปนสดสวนกน หรอมหลกสองหลกเปนสดสวนกน แลว det(A) = 0

ตวอยางตอไปนเปนเมทรกซทมแถวสองแถวเปนสดสวนกน หรอหลกสองหลกเปนสดสวนกนดงนนดเทอรมแนนตของแตละเมทรกซมคาเทากบศนย

[

1 −3

−2 6

]

,

1 −2 7

−4 8 8

3 −6 5

,

1 −2 5 2

3 1 −4 −2

4 7 8 1

−9 −3 12 6

การหาดเทอรมแนนตโดยใชการลดรปตามแถว

ลำดบตอไปเราจะแนะนำวธการหาดเทอรมแนนต ซงใชการคำนวณนอยกวาการหาดเทอรมแนนตโดยการกระจายตวประกอบรวมเกยว แนวคดของวธดงกลาวคอ การลดรปเมทรกซทกำหนดใหไปอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบนโดยใชการดำเนนการตามแถว แลวจงคำนวณคาดเทอรม


แนนตของเมทรกซแบบสามเหลยมบน และหาความสมพนธของดเทอรมแนนตทไดกบดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดให ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 2.6 จงหาคาของ det(A) เมอ A =

3 −6 9

−2 4 −7

0 5 2

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 2.7 จงหาคาของ det(A) เมอ

A =

1 2 0 −2

0 0 2 −1

0 −1 1 0

1 3 4 1

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยางตอไปเปนการหาดเทอรมแนนตโดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวรวมกบการดำเนนการตามแถว ซงจดวาเปนวธการหาดเทอรมแนนตทมประสทธภาพวธหนง


A =

3 5 −2 6

1 2 −1 1

2 4 1 5

3 7 5 3

วธทำ . . . . . . . . .


A =

2 1 −3 1

−3 −2 0 2

2 1 0 −1

1 0 1 2

วธทำ . . . . . . . . .


A =

13

0 34

25

−1 32

18

−34

54


วธทำ . . . . . . . . .


1. จงแสดงวา det(A) = det(AT ) เมอ

(a) A =

[

1 2

6 −3

]

(b) A =

1 3 2

−1 4 1

5 3 8

2. จงหาคาของดเทอรมแนนตตอไปน

(a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −17 4

0 5 1

0 0 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 3

0 4 1

2 3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 1 3

1 −7 4

−2 1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(d)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 3

2 −4 6

5 −8 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(e)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

√2 0 0 0

−8 2 0 0

7 0 −1 0

9 5 6 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(f)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 3

0 3 1 1

0 0 2 2

−1 −1 −1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3. จงหาคาของดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดใหตอไปน โดยการลดรปเมทรกซใหอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบน

(a)

3 0 2

−1 5 0

1 9 6

(b)

1 −3 0

−2 4 1

5 −2 2

(c)

1 −2 3 1

5 −9 6 3

−1 2 −6 −2

2 8 6 1

(d)

2 0 −1 3

4 0 1 −1

−3 1 0 1

1 4 1 1

(e)

4 5 0 1 0

0 0 0 0 1

4 1 8 2 0

1 0 0 1 0

4 8 0 1 0

(f)

0 0 0 3 −4

0 0 0 2 1

−1 2 4 0 0

3 1 −2 0 0

5 1 5 0 0



∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

d e f

g h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 7 จงหา

(a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

d e f

5g 5h 5i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

g h i

d e f

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

2d+ a 2e+ b 2f + c

g h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(d)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2a −2b −2c

d e f

3g 3h 3i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


A =

0 1 2 3

1 1 1 1

−2 −2 3 3

1 2 −2 −3

(a) จงหา det(A) โดยการลดรปเมทรกซ A ใหอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบน

(b) จงใชคาของ det(A) ทคำนวณไดจากขอ(a) หาคาของ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 2 3

−2 −2 3 3

1 2 −2 −3

1 1 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 2 3

1 1 1 1

−1 −1 4 4

2 3 −1 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6. จงแสดงวา∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 x1 x21

1 x2 x22

1 x3 x23

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (x2 − x1)(x3 − x1)(x3 − x2)

7. จงหาคาของดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดใหขอ3. โดยการใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวรวมกบการดำเนนการตามแถวดงเชนตวอยาง 2.8

8. จงหาคาของ x จากสมการ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x 5 7

0 x+ 1 6

0 0 2x− 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0


9. จงหาคาของ x ทงหมดททำให det(A− xI) = 0 เมอ

A =

0 −3 4

0 5 0

1 −2 0

และ I เปน 3× 3 เมทรกซเอกลกษณ


2. (a) −30 (b) 2 (c) 0 (d) 0 (e) −2 (f) 30

3. (a) 62 (b) −17 (c) 39 (d) 30 (e) −72 (f) −715

4. (a) 35 (b) −7 (c) 14 (d) −42 5. (a) 10 (b) 20

8. x = 0,−1, 12

9. x = 5, 2,−2

2.3 เมทรกซผกผน

บทนยาม 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซจตรส ถามเมทรกซ B ททำให AB = BA = I

แลวจะกลาววา A เปน เมทรกซทหาตวผกผนได (invertible matrix) หรอ A เปนเมทรกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix) และเรยก B วา เมทรกซผกผน (in-verse matrix) ของ A แตถา A ไมมเมทรกซผกผน หรอไมสามารถหาเมทรกซ B ไดแลวจะกลาววา A เปน เมทรกซเอกฐาน (singular matrix)

ตวอยาง 2.11 จงแสดงวา B =

[

2 −5

−1 3

]

เปนเมทรกซผกผนของ A =

[

3 5

1 2

]

วธทำ . . . . . . . . .

สมบตของเมทรกซผกผน

ทฤษฎบท 2.7 ถา B และ C เปนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A แลว B = C

จากทฤษฎบท 2.7 เราสามารถกลาวไดวา ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลวเมทรกซผกผนของ A มเพยงเมทรกซเดยว ซงจะเขยนแทนดวย A−1 ดงนน

AA−1 = I และ A−1A = I


ทฤษฎบท 2.8 n × n เมทรกซ A จะมเมทรกซผกผน กตอเมอ rank(A) = n นนคอกตอเมอ det(A) 6= 0 ดงนน A เปนเมทรกซไมเอกฐานถา rank(A) = n และเปนเมทรกซเอกฐานถา rank(A) < n

ทฤษฎบท 2.9 ถา A และ B เปนเมทรกซไมเอกฐานและมขนาดเทากน แลว AB เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ

(AB)−1 = B−1A−1

ทฤษฎบท 2.10 ถา A1, A2, . . . , An เปนเมทรกซไมเอกฐานและมขนาดเทากน แลว A1A2 · · ·An

เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ

(A1A2 · · ·An)−1 = A−1

n A−1n−1 · · ·A−1

2 A−11

ทฤษฎบท 2.11 ถา A เปนเมทรกซทหาตวผกผนได แลว

(a) A−1 เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ (A−1)−1 = A

(b) สำหรบสเกลาร k 6= 0 ใดๆ เมทรกซ kA เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ (kA)−1 =1

kA−1

ทฤษฎบท 2.12 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว AT เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ

(AT )−1 = (A−1)T

ลำดบตอไปเราจะศกษาวธการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซไมเอกฐานขนาดใดๆ อยางไรกตามทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงเงอนไขททำให 2 × 2 เมทรกซมเมทรกซผกผน พรอมทงสตรงายๆของเมทรกซผกผนของ 2× 2 เมทรกซ

ทฤษฎบท 2.13 เมทรกซ

A =

[

a b

c d

]

เปนเมทรกซไมเอกฐาน ถา ad− bc 6= 0 และเมทรกซผกผนของ A คอ

A−1 =1

ad− bc

[

d −b

−c a

]

=

d

ad− bc− b

ad − bc

− c

ad− bc

a

ad− bc

ตวอยาง 2.12 จงหาเมทรกซผกผนของ

A =

[

12(ex + e−x) 1

2(ex − e−x)

12(ex − e−x) 1

2(ex + e−x)

]

วธทำ . . . . . . . . .


การหาเมทรกซผกผนโดยวธกำจดเกาส-จอรแดน

การหาเมทรกซผกผน A−1 ของ n × n เมทรกซไมเอกฐาน A นนเราสามารถใชวธการทเรยกวา วธการกำจดเกาส-จอรแดน (Gauss-Jordan elimination) ซงมขนตอนดงน

ขนตอน 1 สรางเมทรกซแบงสวน [A | In ] ซงมขนาด n× 2n

ขนตอน 2 ใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานกบเมทรกซน จนกระทงเมทรกซยอยทางซายมอถกลดรปเปนเมทรกซ In และการดำเนนการตามแถวขนมลฐานเหลานจะแปลงเมทรกซยอยทางขวามอเปน A−1 ดงนนขนตอนสดทายจะไดเมทรกซแบงสวนในรป [ I |A−1 ]

ตวอยาง 2.13 จงหาเมทรกซผกผนของ

A =

1 −2 1

2 −5 2

3 2 −1

วธทำ . . . . . . . . .

บอยครงทเราไมทราบวาเมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซไมเอกฐานหรอไม? ถา n ×n เมทรกซ A เปนเมทรกซเอกฐาน แลวเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปของ A จะมแถวอยางนอยหนงแถวทมสมาชกทกตวเปนศนย ดงนนถาใชวธการเชนเดยวกบตวอยาง 2.13 กบเมทรกซทกำหนดให แลวพบวามแถวทมสมาชกทกตวเปนศนยเกดขนในการคำนวณกบเมทรกซยอยทางซายมอ ในกรณเชนนเราสามารถหยดการคำนวณ และสรปไดวา เมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซเอกฐาน

ตวอยาง 2.14 จงพจารณาวาเมทรกซ

A =

1 3 4

−2 −5 −3

1 4 9

เปนเมทรกซไมเอกฐานหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

การหาเมทรกซผกผนโดยใชเมทรกซผกพน

บทนยาม 2.4 ถา A เปน n×n เมทรกซใดๆ และ Cij เปนตวประกอบรวมเกยวของ aij

แลวเมทรกซ

C11 C12 · · · C1n

C21 C22 · · · C2n

......

...Cn1 Cn2 · · · Cnn


เรยกวา เมทรกซของตวประกอบรวมเกยว ของ A และเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซนเรยกวา เมทรกซผกพน (adjoint matrix) ของ A เขยนแทนดวย adj(A)

ตวอยาง 2.15 จงหา adj(A) เมอ

A =

3 2 −1

1 6 3

2 −4 0

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ซงเปนเมทรกซไมเอกฐาน โดยใชเมทรกซผกพนของ A และอาศยขอเทจจรงทสำคญทไดกลาวไปแลว นนคอ เมทรกซจตรสA เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ det(A) ไมเทากบศนย

ทฤษฎบท 2.14 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว

A−1 =1

det(A)adj(A) (2.5)

ตวอยาง 2.16 จงใช (2.5) หาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ในตวอยาง 2.15

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงใชทฤษฎบท 2.13 หาเมทรกซผกผนของเมทรกซตอไปน

(a) A =

[

1 3

2 −4

]

(b) B =

[

2 3

1 1

]

(c) C =

[

−4 −5

5 6

]

(d) D =

[

3 −7

−6 13

]

2. จงใชเมทรกซ A, B และ C ในขอ 1 แสดงวา

(a) (A−1)−1 = A (b) (BT )−1 = (B−1)T

(c) (AB)−1 = B−1A−1 (d) (ABC)−1 = C−1B−1A−1

3. จงใชขอมลทกำหนดใหในแตละขอตอไปน หาเมทรกซ A

(a) A−1 =

[

2 −1

3 5

]

(b) (7A)−1 =

[

−3 7

1 −2

]

(c) (5AT )−1 =

[

−3 −1

5 2

]

(d) (I + 2A)−1 =

[

−1 2

4 5

]


4. จงหาเมทรกซผกผนของ

[

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

]

5. จงใชวธการในตวอยาง 2.13 และตวอยาง 2.14 หาเมทรกซผกผนของเมทรกซทกำหนดให ถาเมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซไมเอกฐาน

(a)

[

1 4

2 7

]

(b)

[

−3 6

4 5

]

(c)

[

6 −4

−3 2

]

(d)

1 0 1

3 3 4

2 2 3

(e)

1 1 1

0 1 1

0 0 1

(f)

2 0 5

0 3 0

1 0 3

(g)

2 1 4

3 2 5

0 −1 1

(h)

15

15

−25

15

15

110

15

−45

110

(i)

√2 3

√2 0

−4√2

√2 0

0 0 1

(j)

1 0 0 0

1 3 0 0

1 3 5 0

1 3 5 7

(k)

−8 17 2 13

4 0 25

−9

0 0 0 0

−1 13 4 2

(l)

0 0 2 0

1 0 0 1

0 −1 3 0

2 1 5 −3

6. จงหาคา a ททำใหเมทรกซตอไปนเปนเมทรกซไมเอกฐาน

(a) A =

[

2 a

3 4

]

(b) A =

1 a 0

−1 0 1

0 1 1


A =

[

3 1

5 2

]

และ B =

[

1 2

3 4

]

จงหา A−1 จากนนใช A−1 คำนวณหา

(a) 2× 2 เมทรกซ X ททำให AX = B

(b) 2× 2 เมทรกซ Y ททำให Y A = B


A =

3 2 4

1 −2 3

2 3 2


จงหา

(a) adj(A) (b) A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14

9. จงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14

(a) A =

2 5 5

−1 −1 0

2 4 3

(b) A =

2 −3 5

0 1 −3

0 0 2

(c) A =

2 1 2

3 2 2

1 2 3

(d) A =

4 0 1

2 2 0

3 1 1


A =

1 3 1 1

2 5 2 2

1 3 8 9

1 3 2 2

(a) จงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14

(b) จงหา A−1 โดยใชวธการในตวอยาง 2.13

(c) วธการแบบใดทใชการคำนวณนอยกวา

11. จงแสดงวาเมทรกซ

A =

cos θ sin θ 0

− sin θ cos θ 0

0 0 1

เปนเมทรกซไมเอกฐานสำหรบทกคาของ θ และจงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14


1. (a) A−1 =

[

25

310

15

− 110

]

(b) B−1 =

[

−1 3

1 −2

]

(c) C−1 =

[

6 5

−5 −4

]

(d) D−1 =

[

−133

−73

−2 −1

]

3. (a) A =

[

513

113

− 313

213

]

(b) A =

[

27

117

37

]

(c) A =

[

−25

1

−15

35

]

(d) A =

[

− 913

113

213

− 613

]

4.

[

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

]


5. (a)

[

−7 4

2 −1

]

(b)

[

− 539

213

439

113

]

(c) ไมมเมทรกซผกผน

(d)

1 2 −3

−1 1 −1

0 −2 3

(e)

1 −1 0

0 1 −1

0 0 1

(f)

3 0 −5

0 13

0

−1 0 2

(g)

−7 5 3

3 −2 −2

3 −2 −1

(h)

1 3 1

0 1 −1

−2 2 0

(i)

√2

26−3

√2

260

4√2

26

√2

260

0 0 1

(j)

1 0 0 0

−13

13

0 0

0 −15

15

0

0 0 −17

17

(k) ไมมเมทรกซผกผน (l)

−45

35

15

15

32

0 −1 012

0 0 045

25

−15

−15

6. (a) a 6= 83

(b) a 6= 1 7. (a)

[

−1 0

4 2

]

(b)

[

−8 5

−14 9

]

8. (a) adj(A) =

−13 8 14

4 −2 −5

7 −5 −8

(b) A−1 =

133

−83

−143

−43

23

53

−73

53

83

9. (a) A−1 =

3 −5 −5

−3 4 5

2 −2 −3

(b) A−1 =

12

32

1

0 1 32

0 0 12

(c) A−1 =

25

15

−25

−75

45

25

45

−35

15

(d) A−1 =

12

14

−12

−12

14

12

−1 −1 2

10. A−1 =

−4 3 0 −1

2 −1 0 0

−7 0 −1 8

6 0 1 −7

11. A−1 =

cos θ − sin θ 0

sin θ cos θ 0

0 0 1

บทท 3

ระบบสมการเชงเสน

ปญหาทจดวาสำคญมากในทางคณตศาสตรคอ การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน หรอกลาวไดวา 70 เปอรเซนตของปญหาทางคณตศาสตรจะเกยวของกบการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน การนำวธการทางคณตศาสตรสมยใหมมาใช บอยครงปญหาทมความซบซอนจะถกลดรปใหเปนระบบสมการเชงเสนเพยงระบบสมการเดยว ระบบสมการเชงเสนสามารถนำมาประยกตใชในหลายสาขาวชาดวยกน ตวอยางเชน เศรษฐศาสตร สงคมศาสตร นเวศนวทยา สถตประชากรพนธกรรม วศวกรรม และฟสกส

3.1 ระบบสมการเชงเสน

สมการเชงเสน

เสนตรงใดๆ ในระนาบเรขาคณตสามารถเขยนแทนไดดวยสมการ

ax+ by = c

เมอ a, b และ c เปนคาคงตวทเปนจำนวนจรง และ a, b ไมเปนศนยพรอมกน ซงสมการในรปแบบนเรยกวา สมการเชงเสน ของตวแปร x และ y ในกรณทวไปเราสามารถเขยนสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2, . . ., xn ใหอยในรป

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b

โดยท a1, a2, . . ., an และ b เปนคาคงตวทเปนจำนวนจรง และ a1, a2, . . ., an ไมเปนศนยพรอมกน บางครงเราจะเรยกตวแปรทอยในสมการเชงเสนวา ตวแปรไมรคา

ตวอยาง 3.1 สมการ

3x+ y = 7, y = 15x+ 2z + 4 และ x1 + 3x2 − 2x3 + 5x4 = 7

32


เปนสมการเชงเสน แตสมการ√x+ 3y = 2, 3x− 2y − 5z + yz = 4 และ y = cosx

ไมเปนสมการเชงเสน ♠

ขอสงเกต สมการเชงเสนจะเปนสมการทไมเกยวของกบผลคณ หรอรากของตวแปร และตวแปรทกตว ตองเปนตวแปรทมเลฃชกำลงเปนหนง และไมปรากฎในนพจนของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนลอการทม หรอฟงกชนเลขชกำลง

ผลเฉลย ของสมการเชงเสน a1x1+a2x2+ · · ·+anxn = b คอลำดบของ n จำนวน: s1, s2,. . ., sn ททำใหสมการนเปนจรงเมอแทนคา x1 = s1, x2 = s2, . . ., xn = sn และเชตของผลเฉลยทงหมดของสมการเชงเสนเรยกวา เชตผลเฉลย หรอบางครงเรยกวา ผลเฉลยทวไป ของสมการเชงเสน

ระบบสมการเชงเสน

เชตจำกดของสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2, . . ., xn เรยกวา ระบบสมการเชงเสน หรอระบบเชงเสน และลำดบของจำนวน s1, s2, . . ., sn จะเปน ผลเฉลย ของระบบสมการเชงเสนถา x1 = s1, x2 = s2, . . ., xn = sn เปนผลเฉลยของสมการทกสมการในระบบสมการเชงเสน ตวอยางเชน

4x1 − x2 + 3x3 = −1

3x1 + x2 + 9x3 = −4

เปนระบบสมการเชงเสนทมผลเฉลยคอ x1 = 1, x2 = 2 และ x3 = −1 เนองจากคาเหลานสอดคลองกบสมการทงสอง อยางไรกตาม x1 = 1, x2 = 8 และ x3 = 1 ไมเปนผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนขางตน เนองจากคาเหลานสอดคลองกบสมการแรกเพยงสมการเดยว ดงนนระบบสมการเชงเสนบางระบบอาจจะไมมผลเฉลย

ถาระบบสมการเชงเสนใดไมมผลเฉลยเราจะเรยกระบบสมการเชงเสนนวา ระบบไมสอดคลอง(inconsistent) แตถาระบบสมการเชงเสนใดมผลเฉลยอยางนอยหนงผลเฉลย แลวจะเรยกระบบสมการนนวา ระบบสอดคลอง (consistent)

รปแบบเมทรกซของระบบสมการเชงเสน

พจารณาระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และตวแปรไมรคา n ตวแปร

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 (3.1)... ... ... ...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm


โดยท x1, x2, . . ., xn เปนตวแปรไมรคา และ a และ b ทมดชนลางเปนคาคงตวใดๆดชนลางของสมประสทธของตวแปรไมรคาจะชวยบอกตำแหนงของสมประสทธของระบบสมการโดยทดชนลางตวแรกของสมประสทธ aij จะบงชสมการทมสมประสทธนน และดชนลางตวทสองจะบงชตวแปรทมสมประสทธนนเปนตวคณ ตวอยางเชน a23 เปนสมประสทธทอยในสมการทสองและเปนตวคณของตวแปรไมรคา x3

เนองจากเมทรกซ 2 เมทรกซใดๆ จะเทากน กตอเมอ สมาชกทสมนยกนของเมทรกซทงสองมคาเทากน ดงนนเราสามารถเขยนแทนสมการ m สมการของระบบสมการเชงเสนนดวยสมการเมทรกซเพยงสมการเดยว

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn

=

b1

b2...bm

และเมทรกซทางซายมอทมขนาด m× 1 ของสมการน สามารถเขยนในรปของผลคณดงน

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

x1

x2

...xm

=

b1

b2...bm

ถากำหนดให A, x และ b แทนเมทรกซแตละเมทรกซตามลำดบ แลวระบบสมการเชงเสน(3.1) สามารถเขยนแทนดวยสมการเมทรกซ

Ax = b

เพยงสมการเดยว และเมทรกซ A ในสมการนเรยกวา เมทรกซสมประสทธ ของระบบสมการเชงเสน เมทรกซแตงเตม (augmented matrix) ของระบบสมการเชงเสน คอเมทรกซทไดจากการนำเมทรกซ b มาเขยนรวมกบเมทรกซ A โดยเขยนตอจาก A เปนหลกสดทายดงนนเมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสน (3.1) คอ

[

A b

]

=

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2... ... ... ...am1 am2 · · · amn bm

ตวอยางเชน เมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสน

x+ 2y + z = 3

3x− y − 3z = −1

2x+ 3y + z = 4


คอ

1 2 1 3

3 −1 −3 −1

2 3 1 4

หมายเหต ในการสรางเมทรกซแตงเตม ตวแปรไมรคาของแตละสมการจะเขยนในลำดบเดยวกนและคาคงตวตองอยทางขวามอ


1. จงพจารณาวาสมการใดตอไปนเปนสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2 และ x3

(a) x1 + 5x2 −√2 x3 = 1 (b) x1 + 3x2 + x1x3 = 2

(c) x1 = −7x2 + 3x3 (d) x−21 + x2 + 8x3 = 5

(e) x3/51 − 2x2 + x3 = 4 (f) πx1 −

√2x2 +

13x3 = 71/3

2. จงพจารณาวาระบบสมการใดตอไปนเปนระบบสมการเชงเสน

(a) x1 − 3x2 = x3 − 4

x4 = 1− x1

x1 + x4 + x3 − 2 = 0

(b) 2x−√y + 3z = −1

x+ 2y − z = 2

4x− y = −1

(c) 3x− xy = 1

x+ 2xy − y = 0

(d) y = 2x− 1

y = −x

(e) 2x1 − sin x2 = 3

x2 = x1 + x3

−x1 + x2 − 3x3 = 0

(f) x1 + x2 + x3 = 1

−2x21 − 2x3 = −1

3x2 − x3 = 2

3. จงเขยนระบบสมการเชงเสนตอไปนในรปของสมการเมทรกซ Ax = b

(a) 3x1 + 2x2 = 1

2x1 − 3x2 = 5

(b) x1 + x2 = 5

2x1 + x2 − x3 = 6

3x1 − 2x2 + 2x3 = 7

(c) 2x1 + x2 + x3 = 4

x1 − x2 + 2x3 = 2

3x1 − 2x2 − x3 = 0

(d) 4x1 + −3x3 + x4 = 1

5x1 + x2 − 8x4 = 3

2x1 − 5x2 + 9x3 − x4 = 0

3x2 − x3 + 7x4 = 2

4. จงเขยนสมการเมทรกซตอไปนในรปของระบบสมการเชงเสน


(a)

3 −1 2

4 3 7

−2 1 5

x1

x2

x3

=

2

−1

4

(b)

3 −2 0 1

5 0 2 −2

3 1 4 7

−2 5 1 6

w

x

y

z

=

0

0

0

0

5. จงหาเมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสนตอไปน

(a) 3x1 − 2x2 = −1

4x1 + 5x2 = 3

7x1 + 3x2 = 2

(b) 2x1 + 2x3 = 1

3x1 − x2 + 4x3 = 7

6x1 + x2 − x3 = 0

(c) x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3

(d) x1 + 2x2 − x4 + x5 = 1

3x2 + x3 − x5 = 2

x3 + 7x4 = 1

6. จงหาระบบสมการเชงเสนทสมนยกบเมทรกซแตงเตมตอไปน

(a)

2 0 0

3 −4 0

0 1 1

(b)

3 0 −2 5

7 1 4 −3

0 −2 1 7

(c)

[

7 2 1 −3 5

1 2 4 0 1

]

(d)

1 0 0 0 7

0 1 0 0 −2

0 0 1 0 3

0 0 0 1 4


1. (a), (c), (f) 2. (a), (d)

3. (a)

[

3 2

2 −3

][

x1

x2

]

=

[

1

5

]

(b)

1 1 0

2 1 −1

3 −2 2

x1

x2

x3

=

5

6

7

(c)

2 1 1

1 −1 2

3 −2 −1

x1

x2

x3

=

4

2

0

(d)

4 0 −3 1

5 1 0 −8

2 −5 9 −1

0 3 −1 7

x1

x2

x3

x4

=

1

3

0

2


4. (a) 3x1 − x2 + 2x3 = 2

4x1 + 3x2 + 7x3 = −1

−2x1 + x2 + 5x3 = 4

(b) 3w − 2x + z = 0

5w + 2y − 2z = 0

3w + x+ 4y + 7z = 0

−2w + 5x+ y + 6z = 0

5. (a)

3 −2 −1

4 5 3

7 3 2

(b)

2 0 2 1

3 −1 4 7

6 1 −1 0

(c)

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

(d)

1 2 0 −1 1 1

0 3 1 0 −1 2

0 0 1 7 0 1

6. (a) 2x1 = 0

3x1 − 4x2 = 0

x2 = 1

(b) 3x1 − 2x3 = 5

7x1 + x2 + 4x3 = −3

−2x2 + x3 = 7

(c) 7x1 + 2x2 + x3 − 3x4 = 5

x1 + 2x2 + 4x3 = 1

(d) x1 = 7

x2 = −2

x3 = 3

x4 = 4

3.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

3.2.1 วธการกำจดเกาสเซยน (Gaussian Elimination)

เปนวธการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน Ax = b โดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานลดรปเมทรกซแตงเตม [A |b] ใหเปนเมทรกซขนบนไดตามแถว จากนนหาผลเฉลยของระบบสมการทสมนยกน โดยใชวธการทเรยกวา การแทนคายอนหลง (back-substitution) ดงตวอยางตอไปน


ตวอยาง 3.2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชวธการกำจดเกาสเซยน

x1 − x2 + x3 = 0

−x1 + x2 − x3 = 0

10x2 + 25x3 = 90

20x1 + 10x2 = 80

วธทำ . . . . . . . . .


x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 5

2x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 3

3x1 + 3x2 − 4x3 − 2x4 = 1

วธทำ . . . . . . . . .


3x1 + 2x2 + x3 = 3

2x1 + x2 + x3 = 0

6x1 + 2x2 + 4x3 = 6

วธทำ . . . . . . . . .

3.2.2 วธการกำจดเกาส-จอรแดน (Gauss-Jordan Elimination)

เปนวธการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน Ax = b โดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานลดรปเมทรกซแตงเตม [A |b] ใหเปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป จากนนหาผลเฉลยของระบบสมการทสมนยกน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.5 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชวธการกำจดเกาส-จอรแดน

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1

−x1 − x2 + 4x3 − x4 = 6

−2x1 − 4x2 + 7x3 − x4 = 1

วธทำ . . . . . . . . .


3.2.3 หลกเกณฑคราเมอร

ทฤษฎบทตอไปจะใหสตรสำหรบการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนของ n สมการ n ตวแปรไมรคา ซงสตรนรจกกนในนาม หลกเกณฑคราเมอร (Cramer’s rule) 1

ทฤษฎบท 3.1 (หลกเกณฑคราเมอร) ถา Ax = b เปนระบบสมการเชงเสนของ n สมการn ตวแปร โดยท det(A) 6= 0 แลวระบบสมการเชงเสนจะมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว และผลเฉลยคอ

x1 =det(A1)

det(A), x2 =

det(A2)

det(A), . . . , xn =

det(An)

det(A)

เมอ Aj เปนเมทรกซทไดมาจากการแทนสมาชกทกตวของหลกท j ของเมทรกซ A ดวยสมาชกทกตวของเมทรกซ

b =

b1

b2...bn

ตวอยาง 3.6 จงใชหลกเกณฑคราเมอรหาผลเฉลยของระบบสมการ

x1 + 2x2 + x3 = 5

2x1 + 2x2 + x3 = 6

x1 + 2x2 + 3x3 = 9

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 3.2 กำหนดให Ax = b เปนระบบสมการเชงเสนของ m สมการ n ตวแปร ถาp = rank(A) และ q = rank([A |b]) แลวระบบสมการเชงเสน Ax = b

(a) ไมมผลเฉลย ถา p < q

(b) มผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว ถา p = q = n

(c) มผลเฉลยมากมายไมจำกด ถา p = q และ p < n

1Gabriel Cramer (1704-1752) นกคณตศาสตรชาวสวส



1. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชวธการกำจดเกาสเซยน(a) x1 + x2 + 2x3 = 8

−x1 − 2x2 + 3x3 = 1

3x1 − 7x2 + 4x3 = 10

(b) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1

8x1 + x2 + 4x3 = −1

(c) 2x1 − 3x2 = −2

2x1 + x2 = 1

3x1 + 2x2 = 1

(d) −2b+ 3c = 1

3a+ 6b− 3c = −2

6a + 6b+ 3c = 5

(e) 4x1 − 8x2 = 12

3x1 − 6x2 = 9

−2x1 + 4x2 = −6

(f) x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3

2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 8

3x1 + x2 + 2x3 − x4 = −1

(h) x− y + 2z − w = −1

2x+ y − 2z − 2w = −2

−x+ 2y − 4z + w = 1

3x − 3w = −3

(h) 3x1 + 2x2 − x3 = −15

5x1 + 3x2 + 2x3 = 0

3x1 + x2 + 3x3 = 11

−6x1 − 4x2 + 2x3 = 30

(i) x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2x1 + x2 − x3 + 3x4 = 0

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0

(j) 10y − 4z + w = 1

x+ 4y − z + w = 2

3x+ 2y + z + 2w = 5

−2x− 8y + 2z − 2w = −4

x− 6y + 3z = 1

2. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนในขอ 1 โดยใชวธการกำจดเกาส-จอรแดน

3. พจารณาระบบสมการเชงเสนทมเมทรกซแตงเตมอยในรป

1 2 1 1

−1 4 3 2

2 −2 α 3

จงหาคาของ α ททำใหระบบสมการมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว


1 2 1 0

2 5 3 0

−1 1 β 0


(a) ระบบสมการนมโอกาสทจะเปนระบบไมสอดคลองหรอไม? จงอธบาย

(b) จงหาคาของ β ททำใหระบบสมการมผลเฉลยมากมายไมจำกด


1 1 3 2

1 2 4 3

1 3 α β

(a) จงหาคาของ α และ β ททำใหระบบสมการมผลเฉลยมากมายไมจำกด

(b) จงหาคาของ α และ β ททำใหระบบสมการนเปนระบบไมสอดคลอง

6. จงหาผลเฉลย x1, x2, และ x3 ของระบบสมการ

2x1 − x2 = λ x1

2x1 − x2 + x3 = λ x2

−2x1 + 2x2 + x3 = λ x3

เมอ λ = 1 และ λ = 2

7. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชหลกเกณฑคราเมอร (ถาหาได)

(a) x1 + 2x2 = 3

3x1 − x2 = 1

(b) 2x1 + 3x2 = 2

3x1 + 2x2 = 5

(c) 2x1 + x2 − 3x3 = 0

4x1 + 5x2 + x3 = 8

−2x1 − x2 + 4x3 = 2

(d) x1 + 3x2 + x3 = 1

2x1 + x2 + x3 = 5

−2x1 + 2x2 − x3 = −8

(e) 3x1 − x2 + x3 = 4

−x1 + 7x2 − 2x3 = 1

2x1 + 6x2 − x3 = 5

(f) x1 + x2 = 0

x2 + x3 − 2x4 = 1

x1 + 2x3 + x4 = 0

x1 + x2 + x4 = 0

8. จงใชหลกเกณฑคราเมอรหาผลเฉลย x2 ของระบบสมการ

x1 + x2 − 3x3 + x4 = 1

2x1 + x2 + 2x4 = 0

x2 − 6x3 − x4 = 5

3x1 + x2 + x4 = 1


9. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

4x+ y + z + w = 6

3x+ 7y − z + w = 1

7x+ 3y − 5z + 8w = −3

x+ y + z + 2w = 3

โดยใช (a) หลกเกณฑคราเมอร (b) วธการกำจดเกาส-จอรแดน


1. (a) x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2 (b) x1 = −17− 3

7t, x2 =

17− 4

7t, x3 = t

(c) ระบบไมสอดคลอง (d) ระบบไมสอดคลอง (e) x1 = 3 + 2t, x2 = t

(f) x1 =34− 5

8t, x2 = −1

4− 1

8t, x3 = t, x4 = 3

(g) x = t− 1, y = 2s, z = s, w = t (h) x1 = −4, x2 = 2, x3 = 7

(i) x1 = −43t, x2 = 0, x3 =

13t, x4 = t

(j) x = 145− 6

5t, y = − 7

10+ 3

10t− 1

10s, z = −2 + t, w = t

3. α 6= −2 4. β = 2 5. (a) α = 5, β = 4, (b) α = 5, β 6= 4

6. ถา λ = 1 แลว x1 = x2 = s, x3 = 0

ถา λ = 2 แลว x1 = −12s, x2 = 0, x3 = s

7. (a) x1 =57, x2 =

87

(b) x1 =115, x2 = −4

5

(c) x1 = 4, x2 = −2, x3 = 2 (d) x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3

(e) ใชหลกเกณฑคราเมอรไมได (f) x1 = −23, x2 =

23, x3 =

13, x4 = 0

8. x2 = 10 9. x = 1, y = 0, z = 2, w = 0

บทท 4

อนพนธของฟงกชน

4.1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน

4.1.1 ลมตของฟงกชน

ลมตจดเปนพนฐานทสำคญของวชาแคลคลส การเขาใจความหมายทแทจรงของลมตจะชวยใหเขาใจเนอหาของวชาแคลคลสทจะศกษาตอไป ในหวขอนเราจะกลาวถงลมต สญลกษณทใชแทนลมตทฤษฎบทตางๆทชวยในการคำนวณคาของลมต ลมตทอนนต และลมตของฟงกชนตรโกณมต

เรมดวยการพจารณาฟงกชน

f(x) =x2 − 1

x− 1และ g(x) =

x2 − 2

x− 1

ในทนเราสงเกตไดวาฟงกชนทงสองหาคาไมไดท x = 1 แตคาของฟงกชนเมอ x เขาใกล 1

ไดแสดงไวในตารางตอไปน

x f(x) =x2 − 1

x− 1g(x) =

x2 − 2

x− 10.9 1.9 11.9

0.99 1.99 101.99

0.999 1.999 1, 001.999

0.9999 1.9999 10, 001.9999

0.99999 1.99999 100, 001.99999

0.999999 1.999999 10, 000, 001.999999

จากตารางเรากลาววา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล 1 ทางซาย มคาเทากบ 2 และเขยนแทนดวย

limx→1−

f(x) = 2

43


ในขณะท ลมตของ g(x) เมอ x เขาใกล 1 ทางซาย มคาเพมขนโดยไมมขดจำกด และเขยนแทนดวย

limx→1−

g(x) = +∞

ในทำนองเดยวกน หากเราพจารณาคาของฟงกชนเมอ x มคาเขาใกล 1 แต x มคามากกวา1 ดงตารางตอไปน

x f(x) =x2 − 1

x− 1g(x) =

x2 − 2

x− 11.1 2.1 −7.9

1.01 2.01 −97.99

1.001 2.001 −997.999

1.0001 2.0001 −9, 997.9999

1.00001 2.00001 −99, 997.99999

1.000001 2.000001 −999, 997.999999

เรากลาววา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล 1 ทางขวามคา เทากบ 2 และเขยนแทนดวยสญลกษณ

limx→1+

f(x) = 2

ในขณะเดยวกน g(x) มคาลดลงโดยไมมขดจำกดเมอ x มคาเขาใกล 1 ทางขวา ดงนน

limx→1+

g(x) = −∞

ในทนเราจะเรยก limx→1−

f(x) และ limx→1+

f(x) วา ลมตซาย และ ลมตขวา ของ f ตาม

ลำดบ หรออาจจะเรยกลมตแตละตววา ลมตดานเดยว ของ f และเนองจากลมตดานเดยวทงสองตวของ f ในขณะท x มคาเขาใกล 1 มคาเทากน นนคอ

limx→1−

f(x) = limx→1+

f(x)

ดงนนเราสามารถกลาวไดวา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล 1 มคาเทากบ 2 และเขยนแทนดวยสญลกษณ

limx→1

f(x) = 2

จากทกลาวมาขางตน เราไดวา ลมตหาคาไดกตอเมอ ลมตซาย และลมตขวามคาเทากน นนคอ

limx→a

f(x) = L กตอเมอ limx→a−

f(x) = Lและ limx→a+

f(x) = L


และจากความหมายของลมตทกลาวไปแลวขางตนเราไดวาลมตเปนคาของฟงกชนทใกลๆกบจดทเราสนใจบางจดแตไมใชคาของฟงกชนทจดๆนน

นอกจากนเราสงเกตไดวา

limx→1

f(x) = limx→1

x2 − 1

x− 1

= limx→1

(x− 1)(x+ 1)

x− 1= lim

x→1(x+ 1) = 2

การคำนวณคาของลมต

ทฤษฎบทตอไปน เปนกฎพนฐานทจะชวยให การหาลมตของฟงกชนงายขน

ทฤษฎบท 4.1 สำหรบคาคงตว c และจำนวนจรง a ใดๆ

limx→a

c = c

ทฤษฎบท 4.2 สำหรบจำนวนจรง a ใดๆ

limx→a

x = a

ทฤษฎบท 4.3 กำหนดให limx→a

f(x) และ limx→a

g(x) หาคาได และให c เปนคาคงตวใดๆ

แลวจะไดวา

1. limx→a

[

cf(x)]

= c limx→a

f(x)

2. limx→a

[

f(x)± g(x)]

= limx→a

f(x)± limx→a

g(x)

3. limx→a

[

f(x) · g(x)]

= limx→a

f(x) · limx→a

g(x)

4. limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)

(

ถา limx→a

g(x) 6= 0)

บทแทรก 4.1 กำหนดให limx→a

f(x) หาคาได แลวจะได

limx→a

[

f(x)]2

=[

limx→a

f(x)]2

ในทำนองเดยวกนเราไดวา สำหรบจำนวนเตมบวก n ใดๆ

limx→a

[

f(x)]n

=[

limx→a

f(x)]n


บทแทรก 4.2 สำหรบจำนวนเตมบวก n และจำนวนจรง a ใดๆ

limx→a

xn = an

ทฤษฎบท 4.4 สำหรบฟงกชนพหนาม p(x) และจำนวนจรง a ใดๆ

limx→a

p(x) = p(a)

ทฤษฎบท 4.5 กำหนดให limx→a

f(x) = L และให n เปนจำนวน เตมบวกใดๆ แลว

limx→a

n

√

f(x) = n

√

limx→a

f(x) =n

√L

(

ถา n เปนจำนวนเตมบวกค แลวเราสมมตให L > 0)

ตวอยาง 4.1 จงใชกฎของลมตหาคาของลมตตอไปน

(a) limx→4

(5x2 + 3x− 2) (b) limx→2

x3 + 2x− 5

x2 − 3

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.2 จงหาคาของ limx→−3

x2 − 14x− 51

x2 − 4x− 21

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.3 จงหาคาของ limx→2

(

4x2

x− 2− 8x

x− 2

)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.4 จงหาคาของ limx→2−

|x− 2|x3 + x2 − 6x

วธทำ . . . . . . . . .


x2/3 − 41/3

x− 2

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.6 จงหาคาของ limx→−1

x2 − 1

1−√2 + x

วธทำ . . . . . . . . .



2− 3√x+ 6

x− 2

วธทำ . . . . . . . . .

บางครงเราอาจพจารณาฟงกชนทมนพจนทแตกตางกนบนชวงทตางกน ซงเราเรยกฟงกชนในลกษณะเชนนวา ฟงกชนทนยามเปนชวง


f(x) =

x2 − 5x+ 6

|x− 2| ถา 1 ≤ x ≤ 2

2x− 1

x+ 1ถา x > 2

จงหาคาของ limx→2

f(x)

วธทำ . . . . . . . . .

ลมตทอนนต

นอกจากลมตของฟงกชนทไดกลาวไปแลว เรายงสนใจการหาคาลมตของฟงกชนเมอ x มคาเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกด เชนถา f(x) = 1/x แลวจะไดวา 1/x → 0 เมอ x มคาเพมขนโดยไมมขดจำกด (x → ∞) ในกรณนเราเขยนแทนดวยสญลกษณ

limx→∞

1

x= 0

ในทำนองเดยวกน เราไดวา1

x→ 0 เมอ x มคาลดลงโดยไมมขดจำกด (x → −∞) ใน

กรณนเราเขยนแทนดวยสญลกษณlim

x→−∞

1

x= 0

ทฤษฎบทตอไปนกลาวถงพฤตกรรมของ1

xtเมอ t > 0 เปนจำนวนตรรกยะใดๆ ในขณะท

x → ±∞ ซงจะมพฤตกรรมเชนเดยวกบพฤตกรรมของฟงกชน f(x) =1

xเมอ x → ±∞ ท

เราไดกลาวมาแลวขางตน

ทฤษฎบท 4.6 สำหรบจำนวนตรรกยะ t > 0 ใดๆ

limx→±∞

1

xt= 0

(

สำหรบกรณท x → −∞ เราสมมตให t =p

qเมอ q เปนจำนวนค

)


ทฤษฎบทตอไปกลาวถงการหาคาลมตของฟงกชนพหนามทอนนต ซงสามารถหาไดโดยงาย

ทฤษฎบท 4.7 ให pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 เปนฟงกชนพหนามทมระดบขนพหนาม n > 0 แลวจะไดวา

limx→∞

pn(x) =

{

∞ ถา an > 0

−∞ ถา an < 0

ตวอยาง 4.9 จงหาคาของ limx→∞

x3 − x2 + 5x− 3

2x4 − 3x+ 5

วธทำ . . . . . . . . .


3x2 − 5x+ 2√4x4 + 2x+ 3

วธทำ . . . . . . . . .


(√x2 + 3x+ 1− x

)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.12 จงหาคาของ limx→−∞

3x− 4x2

√x6 − 1 + 5x2

วธทำ . . . . . . . . .

ลมตของฟงกชนตรโกณมต

บทตง (lemma) ตอไปน จะเปนประโยชนสำหรบการหาลมตของฟงกชนตรโกณมต

บทตง 4.1limθ→0

sin θ = 0


cos θ = 1


sin θ

θ= 1

บทแทรก 4.3 สำหรบจำนวนจรง k 6= 0 ใดๆ

limθ→0

sin kθ

θ= k


ตวอยาง 4.13 จงแสดงวา limx→0

1− cosx

x= 0

วธทำ . . . . . . . . .


sin 2x+ sin 3x

x

วธทำ . . . . . . . . .


tan 3x

x

วธทำ . . . . . . . . .


3x2 tan2 x

4x sec x

วธทำ . . . . . . . . .


tan 3x

tan 5x

วธทำ . . . . . . . . .

แบบฝกหด 4.1.1

1.

x

y

1

y = f(x)

จากรปทกำหนดให จงหาคาของลมตตอไปน ถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ

(a) limx→0−

f(x) (b) limx→0+

f(x)

(c) limx→0

f(x) (d) limx→2−

f(x)

(e) limx→2+

f(x) (f) limx→2

f(x)

(g) limx→−3

f(x)


2.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 y

x

b

b

y = f(x)

จากรปทกำหนดให จงหาคาของลมตตอไปน ถาลมตหาคาได ถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ

(a) limx→1

f(x) (b) limx→3−

f(x)

(c) limx→3+

f(x) (d) limx→3

f(x)

(e) f(3) (f) limx→−2−

f(x)

(g) limx→−2+

f(x) (h) limx→−2

f(x)

(i) f(−2)

3.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

x

y

bcbc

b

b

b

bc

y = f(x)

จากรปทกำหนดให จงหาคาของลมตตอไปน ถาลมตหาคาได ถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ

(a) limx→−3

f(x) (b) f(−3)

(c) f(−1) (d) limx→−1

f(x)

(e) f(1) (f) limx→1−

f(x)

(g) limx→1+

f(x) (h) limx→1

f(x)


4. กำหนดใหlimx→a

f(x) = −3, limx→a

g(x) = 0, และ limx→a

h(x) = 8

จงหาคาของลมตตอไปน ถาลมตหาคาได และถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ

(a) limx→a

[

f(x) + h(x)]

(b) limx→a

[

f(x)]2

(c) limx→a

3√

h(x) (d) limx→a

1

f(x)

(e) limx→a

f(x)

h(x)(f) lim

x→a

g(x)

f(x)

(g) limx→a

f(x)

g(x)(h) lim

x→a

2f(x)

h(x)− f(x)

5. จงหาคาของลมตตอไปน

(a) limx→0

(x2 − 3x+ 1) (b) limx→3

(x3 + 2)(x2 − 5x)

(c) limx→2

x− 5

x2 + 4(d) lim

x→1

(

x4 + x2 − 6

x4 + 2x+ 3

)2

(e) limx→1

√x2 + 2x+ 4 (f) lim

x→4−

√16− x2

(g) limx→−3

x2 − x− 12

x+ 3(h) lim

x→−2

x+ 2

x2 − x− 6

(i) limx→1

x2 + x− 2

x2 − 3x+ 2(j) lim

x→1

x3 − 1

x2 − 1

(k) limh→0

(1 + h)4 − 1

h(l) lim

h→0

(2 + h)3 − 8

h

(m) limt→1

t− 1√t− 1

(n) limt→9

9− t

3−√t

(o) limt→2

t2 + t− 6

t2 − 4(p) lim

t→0

√2− t−

√2

t

(q) limx→2

x4 − 16

x− 2(r) lim

x→9

x2 − 81√x− 3

(s) limx→1

[

1

x− 1− 2

x2 − 1

]

(t) limt→0

[

1

t√1 + t

− 1

t

]

(u) limh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h(v) lim

x→2

1x− 1

2

x− 2

(w) limx→1

√x− x

1−√x

(x) limx→0

x√1 + 3x− 1

(y) limx→0

√3 + x−

√3

x(z) lim

x→0

xe−2x+1

x2 + 1


6. จงหาคาของ limx→2

f(x) โดยท f(x) =

{

3x2 − 2x+ 1 ถา x < 2

x3 + 1 ถา x ≥ 2



{

2x ถา x < 2

x2 ถา x ≥ 2



{

x2 + 1 ถา x < −1

3x+ 1 ถา x ≥ −1

9. จงหาคาของ limx→−1


2x+ 1 ถา x < −1

3 ถา −1 ≤ x < 1

2x+ 1 ถา x ≥ 1

10. จงหาคาของลมตตอไปน(a) lim

x→−4|x+ 4| (b) lim

x→−4−

|x+ 4|x+ 4

(c) limx→1.5

2x2 − 3x

|2x− 3| (d) limx→0+

(

1

x− 1

|x|

)

11. จงหาคาลมตตอไปน

(a) limx→∞

x+ 4

x2 − 2x+ 5(b) lim

x→−∞

(1− x)(2 + x)

(1 + 2x)(2− 3x)

(c) limx→−∞

−x√4 + x2

(d) limx→−∞

x3 − 2x+ 1

3x3 + 4x− 1

(e) limx→∞

x3 − 2x+ 4

3x2 + 3x− 5(f) lim

x→∞

x2 − sin x

x2 + 4x− 1

(g) limx→∞

3x3 − x+ 5

4x3 + 4x2 − 1(h) lim

x→∞

x4 − x2 + 1

x5 + x3 − x

(i) limx→∞

(√x2 + 3− x

)

(j) limx→∞

√x2 + 4x

4x+ 1

(k) limx→∞

1−√x

1 +√x

(l) limx→∞

(√x2 + 1−

√x2 − 1

)

(m) limx→∞

(√9x2 + x− 3x

)

(n) limx→∞

√x

(o) limx→∞

(

x−√x)

(p) limx→−∞

(x3 − 5x2)

(q) limx→∞

x7 − 1

x6 + 1(r) lim

x→∞e2x

(s) limx→∞

sin 2x (t) limx→∞

e−3x cos 2x

(u) limx→∞

ln(2x) (v) limx→0+

(x ln 2x)


12. จงหาคาของลมตตอไปน

(a) limx→0

sin 5x

3x(b) lim

t→0

sin 8t

sin 9t

(c) limθ→0

cos θ − 1

sin θ(d) lim

x→0

sin2 x

x

(e) limx→0

tan x

4x(f) lim

x→0

cot 2x

csc x

(g) limx→π/4

sin x− cos x

cos 2x(h) lim

x→0

2x cot2 x

csc x

(i) limx→0

x+ sin x

tan x(j) lim

x→0

sin(cosx)

sec x

คำตอบแบบฝกหด 4.1.1

1. (a) −2 (b) 2 (c) หาคาไมได (d) −1 (e) 3 (f) หาคาไมได

(g) 2

2. (a) 3 (b) 2 (c) −2 (d) หาคาไมได (e) 1 (f) −1

(g) −1 (h) −1 (i) −3

3. (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 52

(e) 2 (f) 2 (g) 1

(h) หาคาไมได

4. (a) 5 (b) 9 (c) 2 (d) −13

(e) −38

(f) 0 (g) −∞(h) − 6

11

5. (a) 1 (b) −174 (c) −38

(d) 49

(e)√7 (f) 0 (g) −7

(h) −15

(i) −3 (j) 32

(k) 4 (l) 12 (m) 2 (n) 6

(o) 54

(p) −√24

(q) 32 (r) 108 (s) 12

(t) −12

(u) −19

(v) −14

(w) 1 (x) 23

(y) 12√3

(z) 0

6. 9 7. 4 8. 1 9. หาคาไมได

10. (a) 0 (b) −1 (c) หาคาไมได (d) 0

11. (a) 0 (b) 16

(c) 1 (d) 13

(e) ∞ (f) 1 (g) 34

(h) 0 (i) 0 (j) 14

(k) −1 (l) 0 (m) 16

(n) ∞(o) ∞ (p) −∞ (q) ∞ (r) ∞ (s) หาคาไมได (t) 0

(u) ∞ (v) 0


12. (a) 53

(b) 89

(c) 0 (d) 0 (e) 14

(f) 12

(g) − 1√2

(h) 2 (i) 2 (j) sin 1

4.1.2 ความตอเนอง

สงหนงทจะชวยใหเราเขาใจความหมายทแทจรงของความตอเนองของฟงกชนไดดกคอ การพจารณากราฟของฟงกชนตอไปนซงเปนกราฟของฟงกชนท ไมตอเนอง (discontinuous) ทจด x =

a

x

y

ax

y

b

ax

y

a

กราฟของฟงกชนทงสามลกษณะขางตน จะนำไปสบทนยามของความตอเนองทจดใดๆของฟงกชนดงน

บทนยาม 4.1 เรากลาววาฟงกชน f ตอเนอง (continuous) ทจด x = a ถา

1. f(a) หาคาได

2. limx→a

f(x) หาคาได และ

3. limx→a

f(x) = f(a)

ทฤษฎบท 4.8 กำหนดให f และ g เปนฟงกชนตอเนองทจด x = a ดงนนจะไดวา

(i) f ± g ตอเนองท x = a

(ii) f · g ตอเนองท x = a

(iii)f

gตอเนองท x = a ถา g(a) 6= 0 และไมตอเนองท x = a ถา g(a) = 0

หมายเหต ถา f เปนฟงกชนตอเนองททกๆจดบนโดเมนของ f แลวเรากลาววา f ตอเนองบนโดเมน f และถา f ตอเนองบนชวง (−∞,∞) = R แลวเรากลาว f ตอเนองบนเซตของจำนวนจรง


ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนตอเนองททกๆ จดบนโดเมน

1. ฟงกชนพหนาม (polynomial functions)

2. ฟงกชนตรรกยะ (rational functions)

3. ฟงกชนราก (root functions)

4. ฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions)

5. ฟงกชนตรโกณมตผกผน (inverse trigonometric functions)

6. ฟงกชนเลขชกำลง (exponential functions)

7. ฟงกชนลอการทม (logarithmic functions)

ตวอยาง 4.18 จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนไมตอเนองทจดใด? และเพราะเหตใด?

(a) f(x) =x2 − x− 2

x− 2(b) g(x) =

x2 − x− 2

x− 2; x 6= 2

1 ; x = 2

วธทำ . . . . . . . . .

จากตวอยางทผานมาขางตน เราพบวา f ไมตอเนองท x = a อาจมสาเหตมาจาก f(a)

หาคาไมได หรอ limx→a

f(x) หาคาไมได หรอ f(a) 6= limx→a

f(x) ภาวะไมตอเนองของฟงกชน

f น สามารถแบงออกเปน 2 ชนดคอ

1. ภาวะไมตอเนองทขจดได (removable discontinuity) เปนภาวะไมตอเนองทเกดขนเมอ f(a) หาคาไมได หรอ f(a) 6= lim

x→af(x) ซงภาวะนสามารถขจดได โดยการ

กำหนดคา f(a) ขนใหมใหมคาเทากบ limx→a

f(x) และผลลพธทไดคอ f จะตอเนองทx = a

2. ภาวะไมตอเนองทขจดไมได (non-removable discontinuity) เปนภาวะไมตอเนองทเกดขนเมอ lim

x→af(x) หาคาไมได ภาวะนเปนภาวะทไมสามารถขจดได นนคอเราไม

สามารถขจดความไมตอเนองของฟงกชน f ท x = a ได


f(x) =

4 sin(x− 2)

x2 − 2xถา 0 < x < 2

x3 − 8

x2 + 2x− 8ถา x ≥ 2

จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองทจด x = 2 หรอไม? ถาฟงกชน f ไมตอเนอง แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาได จะขจดอยางไร?


วธทำ . . . . . . . . .


f(x) =

x2 − 2x− 3

|x− 3| ; −2 ≤ x < 3

1− 5x√x+ 1

; x ≥ 3

จงพจารณาวาฟงกชน f มความตอเนองทจด x = 3 หรอไม? ถาฟงกชน f ไมตอเนอง แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาไดจะขจดอยางไร?

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 4.9 ทฤษฎบทคาระหวางกลาง (Intermediate Value Theorem)กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และ N เปนจำนวนจรงใดๆ ทมคาอยระหวาง f(a) และ f(b) จะไดวามจำนวนจรง c ∈ [a, b] ททำให f(c) = N

ขอสงเกต คา N ตามทฤษฎบทคาระหวางกลางนนม 2 ลกษณะคอ f(a) < N < f(b) หรอf(b) < N < f(a)

ทฤษฎบทคาระหวางกลางกลาววา ถา f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลว f จะมคาทกคาระหวาง f(a) และ f(b) นนคอคาx ของ f ทสมนยกบคา N อาจจะเกดขนไดเพยงครงเดยว

(

ดงรป (a))

หรอหลายครง(

ดงรป (b))

กได

f(a)

N

f(b)

y

a c bx

y = f(x)

(a)

f(a)

N

f(b)

y

a c1 c2 c3 bx

y = f(x)

(b)

บทแทรก 4.1 กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และ f(a) และ f(b) มเครองหมายตรงกนขาม จะไดวามจำนวนจรง c ∈ (a, b) อยางนอยหนงจำนวนททำให f(c) =

0


ตวอยาง 4.21 จงแสดงวาผลเฉลยของสมการ

4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0

มคาอยระหวาง 1 และ 2

วธทำ . . . . . . . . .

แบบฝกหด 4.1.2

1. จากกราฟของฟงกชนตอไปน จงหาจดททำใหฟงกชนไมตอเนอง

(a)

x

y

(b)

x

y

(c)

x

y

2. จงแสดงวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจดทกำหนดให

(a) f(x) = x2 +√7− x , x = 4


(b) g(x) = (x+ 2x3)4, x = −1

(c) h(x) =x+ 1

2x2 + 1, x = 4

3. จงอธบายวาทำไมฟงกชนตอไปนไมตอเนองทจดทกำหนดให

(a) f(x) =x

x− 1; x = 1

(b) f(x) = sin1

x; x = 0

(c) f(x) = e1/x ; x = 0

(d) f(x) = ln |x− 2| ; x = 2

(e) f(x) =

1

x− 1ถา x 6= 1

2 ถา x = 1; x = 1

(f) f(x) =x2 − 1

x+ 1; x = −1

(g) f(x) =

x2 − 2x− 8

x− 4ถา x 6= 4

3 ถา x = 4; x = 4

(h) f(x) =

{

1− x ถา x ≤ 2

x2 − 2x ถา x > 2; x = 2

(i) f(x) =

x2 ถา x < 2

3 ถา x = 2

3x− 2 ถา x > 2

; x = 2

(j) f(x) =

x2 ถา x < 0

−x ถา 0 ≤ x ≤ 1

x ถา x > 1

; x = 1

4. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนมความตอเนองและไมตอเนองทจดใดบาง? ถา f ไมตอเนองทจดใด แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาไดจะขจดอยางไร?

(a) f(x) =x− 2

x2 − 4(b) f(x) =

1

1− |x|

(c) f(x) =x− 17

|x− 17| (d) f(x) =3−√

x

9− x

(e) f(x) =

√x− 1

x− 1

(f) f(x) =x4 + 2x2 − 3

x+ 1


(g) f(x) =

{

−x ถา x < 0

x2 ถา x ≥ 0

(h) f(x) =

1 + x2 ถา x ≤ 0sin x

xถา x > 0

5. จงหาคาของ c ททำใหฟงกชน f(x) ตอเนองบนชวง (−∞,∞)

(a) f(x) =

{

x+ c ถา x < 0

4− x2 ถา x ≥ 0

(b) f(x) =

{

c2 − x2 ถา x < 0

2(x− c)2 ถา x ≥ 0

(c) f(x) =

{

cx+ 1 ถา x ≤ 3

cx2 − 1 ถา x > 3

(d) f(x) =

{

x2 − c2 ถา x < 4

cx+ 20 ถา x ≥ 4

6. จงหาคาของ a และ b ททำใหฟงกชนตอไปนตอเนองททกๆ จด

f(x) =

x+ 1 ถา x < 1

ax+ b ถา 1 ≤ x < 2

3x+ 1 ถา x ≥ 2

7. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางแสดงวา ฟงกชน f(x) มคาเทากบศนยในชวงทกำหนดให

(a) f(x) = x2 − 7 ; [2, 3]

(b) f(x) = x3 − 4x− 2 ; [−1, 0]

(c) f(x) = cos x− x ; [0, 1]

8. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางพสจนวาสมการ x3 +3x− 2 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงทมคาอยระหวาง 0 และ 1

9. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางพสจนวาสมการ (cos t) t3+6 sin5 t−3 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงทมคาอยระหวาง 0 และ 2π

10. จงแสดงวาสมการ x5 + 4x3 − 7x + 14 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงอยางนอยหนงผลเฉลย


คำตอบแบบฝกหด 4.1.2 บางขอ

1. (a) x = −2, 2 (b) x = −2, 1, 4 (c) x = −2, 2, 4

3. (a) f(1) หาคาไมได (b) f(0) หาคาไมได (c) f(0) หาคาไมได

(d) f(2) หาคาไมได (e) limx→1

f(x) หาคาไมได (f) f(−1) หาคาไมได

(g) limx→4

f(x) 6= f(4) (h) limx→2

f(x) หาคาไมได (i) limx→2

f(x) 6= f(2)

(j) limx→1

f(x) หาคาไมได

5. (a) 4 (b) 0 (c) 13

(d) −2 6. a = 5, b = −3

4.2 อนพนธของฟงกชน

4.2.1 ความชนของเสนสมผส

การหาสมการของเสนตรงทสมผสโคงทจดทกำหนดให เปนปญหาทเกดขนมานานแลว ในสมยกรกโบราณ (ประมาณ 287 ปกอนครสตศกราช) ไดมการวาดเสนสมผสเสนโคงหลายแบบดวยกนโดยปราศจากการพยายามอธบายความหมายของเสนสมผส เชนการวาดเสนสมผสวงกลม ซงกคอเสนตรง L ซงเปน เสนตรงทตงฉากกบเสนผานศนยกลางของวงกลมทจด P ดงรป

b

b P

L

เสนสมผสท P

นนคอ ถา C เปนวงกลม แลวเสนสมผส L ทจด P คอเสนตรงทลากผานจด P และสมผสวงกลม C เพยงจดเดยวทจด P แตในบางกรณ เสนสมผสอาจจะสมผสเสนโคงทจดหลายจด

ความหมายทชดเจนของเสนสมผสทปรากฏในวชาแคลคลสในปจจบนน ไดแนวคดมาจาก PierreFermat

(

ค.ศ.1601− 1665, นกคณตศาสตรชาวฝรงเศส)

ในป ค.ศ. 1630

กำหนดใหเสนโคง C เปนกราฟของสมการ y = f(x) การหาสมการของเสนสมผส C ทจด P

(

a, f(a))

สามารถทำไดโดยการ เลอกจด Q(

x, f(x))

เมอ x 6= a ซงเปนจดทอยใกลกบจด P ดงนนความชนของเสนตด PQ คอ

(

ดรปท 4.1 (a))

mPQ =f(x)− f(a)

x− a

จากนนใหจด Q เลอนเขาหาจด P ตามแนวของเสนโคง C ซงการเลอนจดดงกลาวนจะทำใหx เลอนเขาหา a

(

ดรปท 4.1 (b))

ถาหากคาของ mPQ มคาเขาใกลคา m แลวเราจะนยามใหเสนสมผส L ซงเปนเสนสมผสเสนโคง C ทจด P มความชนเทากบ m


y

x

P (a, f(a))

Q(x, f(x))

0 a x

x− a

f(x)− f(a)

(a)

y

x0

bb

b

a x

Q

L

P

(b)รปท 4.1: (a) เสนตด PQ (b) จด Q เลอนเขาใกลจด P

บทนยาม 4.2 เสนสมผสโคง y = f(x) ทจด P(

a, f(a))

คอ เสนตรงทผานจด P และมความชน

m = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

เมอลมตหาคาได

อกรปแบบหนงของความชนของเสนสมผสโคง ซงในบางครงถอวางายตอการนำไปใช มรปแบบดงน กำหนดให h = x− a นนคอ x = a+ h ดงนน ความชนของเสนตด PQ คอ

mPQ =f(a+ h)− f(a)

h

เราจะสงเกตไดวา h มคาเขาใกล 0 เมอ x มคาเขาใกล a (เพราะวา h = x − a) ดงนนความชนของเสนสมผสในบทนยาม 4.2 จะเปลยนเปน

m = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h(4.1)

ตวอยาง 4.22 จงหาสมการของเสนสมผสโคง y =2

xทจด x = 2

วธทำ . . . . . . . . .

4.2.2 อนพนธของฟงกชน

จากทกลาวมาขางตน เราไดใหบทนยามของความชนของเสนสมผสโคง y = f(x) ทจด x = a

คอm = lim

h→0

f(a+ h)− f(a)

h


ซงในทนเราไดกำหนดชอและสญลกษณของ

limh→0

f(a+ h)− f(a)

h

เพอความสะดวกในการนำไปประยกตใชตอไป

บทนยาม 4.3 อนพนธของฟงกชน y = f(x) ทจด x = a ถกกำหนดโดย

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h(4.2)

เมอลมตหาคาได และถาลมตหาคาได แลวเรากลาววา f หาอนพนธได (differentiable)ทจด x = a

ตวอยาง 4.23 จงหาอนพนธของ f(x) = 2x3 + 3x− 1 ทจด x = 1

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 4.4 อนพนธของฟงกชน y = f(x) คอ ฟงกชน f ′(x) โดยท

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h(4.3)

เมอลมตหาคาได

ตวอยาง 4.24 จงหา f ′(x) ถา f(x) =√x

วธทำ . . . . . . . . .

สญลกษณอนๆ

ถา y = f(x) นนคอ x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม แลวสญลกษณตอไปนจะแทนอนพนธของฟงกชน f ทจด x

f ′(x) = y′ =dy

dx=

df

dx=

d

dxf(x) = Df(x) = Dxf(x)

และสำหรบอนพนธของฟงกชน y = f(x) ทจด x = a เราเขยนแทนดวย

f ′(a) =dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=a

=d

dxf(x)

∣

∣

∣

∣

x=a

ทฤษฎบท 4.10 ถาฟงกชน y = f(x) หาอนพนธไดทจด x = a แลว f มความตอเนองทจดx = a


หมายเหต บทกลบของทฤษฎบท 4.10 ไมเปนจรง

ตวอยาง 4.25 จงพจารณาวา

f(x) =

{

4 ถา x < 2

2x ถา x ≥ 2

เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทจด x = 2 หรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

4.2.3 กฎอนพนธทวไป

จากตวอยางขางตน เราไดเรยนรถงวธการหาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยาม ลำดบตอไปเราจะกลาวถงทฤษฎบทตางๆ ทชวยในการหาอนพนธของฟงกชนโดยไมตองใชบทนยาม สตรตางๆทจะกลาวตอไปนจะชวยใหการหาอนพนธของฟงกชนงายขน

ทฤษฎบท 4.11 ถา f เปนฟงกชนคาคงตว นนคอ f(x) = c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ แลวf ′(x) = 0 หรอเขยนแทนดวยสญลกษณ

d

dx(c) = 0

ทฤษฎบท 4.12 ถา f(x) = x แลว f ′(x) = 1 หรอเขยนแทนดวยสญลกษณ

d

dx(x) = 1

ทฤษฎบท 4.13 กฎกำลงถา f(x) = xn เมอ n เปนจำนวนจรงใดๆ แลว f ′(x) = nxn−1 นนคอ

d

dx(xn) = nxn−1 (4.4)

ทฤษฎบท 4.14 กฎการคณคาคงตวถา c เปนคาคงตวใดๆ และ f เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว

d

dx

[

cf(x)]

= cd

dxf(x)

ทฤษฎบท 4.15 กฎผลบวกถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว

d

dx

[

f(x) + g(x)]

=d

dxf(x) +

d

dxg(x)


ทฤษฎบท 4.16 กฎผลตางถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว

d

dx

[

f(x)− g(x)]

=d

dxf(x)− d

dxg(x)

ทฤษฎบท 4.17 กฎผลคณถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว

d

dx[f(x)g(x)] = f(x)

d

dx[g(x)] + g(x)

d

dx[f(x)]

ทฤษฎบท 4.18 กฎผลหารถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดและ g(x) 6= 0 แลว

d

dx

[

f(x)

g(x)

]

=g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)

[

g(x)]2

ตวอยาง 4.26 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) = 5x5/2 + 3x3/2 − 2√x+ 6x4 − 5

(b) f(x) = (3x4 − 4x+ 2)

(

x2 −√x+

3

x

)

(c) f(x) =x2 + x+ 1

x3 + 4

วธทำ . . . . . . . . .

4.2.4 กฎลกโซ

หากเราตองการหาอนพนธของฟงกชน h(x) =√x2 + 1 เราจะพบวากฎการหาอนพนธทได

กลาวไปแลวขางตน ไมสามารถนำมาใชหา h′(x) ได แตเราจะสงเกตไดวา h เปนฟงกชนประกอบนนคอถาให f(u) =

√u และ g(x) = x2 + 1 แลว h(x) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x) ในทน

อนพนธของฟงกชน f และ g สามารถหาไดโดยงาย ดงนนเปนการดทจะมกฎการหาอนพนธของ h = f ◦ g ในรปของอนพนธของ f และ g ซงเราพบวาอนพนธของฟงกชนประกอบf ◦ g คอ ผลคณของอนพนธของ f และ g และเราเรยกกฎการหาอนพนธนวา กฎลกโซ(The Chain Rule)

ทฤษฎบท 4.19 กฎลกโซ (The Chain Rule)ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท g(x) แลวฟงกชนประกอบ f ◦ g หาอนพนธไดท x และ

d

dx

[

f(

g(x))]

= f ′(g(x))

g′(x)


ถา y = f(u) และ u = g(x) แลว y = f(

g(x))

และ

dy

dx=

dy

du· dudx

ทฤษฎบท 4.20 ถา n เปนจำนวนจรงใดๆ และ u = g(x) เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว

d

dx(un) = nun−1du

dx

หรอd

dx

[

g(x)]n

= n[

g(x)]n−1 · g′(x)


(a) y = (x3 + 5x− 2)5 (b) g(x) =1

3√x2 + 3x+ 5

(c) h(x) =

(

x− 2

2x+ 1

)9

วธทำ . . . . . . . . .

4.2.5 อนพนธของฟงกชนตรโกณมต

อนพนธของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน สามารถสรปไดดงน

d

dx(sin x) = cosx

d

dx(cosx) = − sin x

d

dx(tanx) = sec2 x

d

dx(cotx) = − csc2 x

d

dx(sec x) = sec x tan x

d

dx(csc x) = − csc x cot x


(a) f(x) = x4 sin x (b) f(x) = 3 tanx− 2 csc x

(c) f(x) =sec x

1 + tan x(d) f(x) = sin

(

cos(tanx))

(e) f(x) =tan 3x2

(3x+ 2)2(f) f(x) =

√tanx2 − sec 3x

วธทำ . . . . . . . . .


4.2.6 อนพนธของฟงกชนเลขชกำลง

ทฤษฎบท 4.21 สำหรบคาคงตว a > 0 ใดๆ

d

dx(ax) = ax ln a

ฟงกชนเลขชกำลงทนยมใชมากทสดคอ ฟงกชนเลขชกำลงทมฐานคอ จำนวนอตรรกยะ e

และเนองจาก ln e = 1 ดงนนอนพนธของฟงกชน f(x) = ex คอ

d

dx(ex) = ex ln e = ex

ซงสรปไดเปนทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 4.22d

dx(ex) = ex และ

d

dx(e−x) = −e−x


(a) f(x) = 4x cos x (b) f(x) =x

ex

(c) f(x) = 2sec x +1

3√etan x

วธทำ . . . . . . . . .

4.2.7 อนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

อนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนทง 6 ฟงกชนสามารถสรปไดดงน

d

dx

(

sin−1 x)

=1√

1− x2สำหรบ −1 < x < 1

d

dx(cos−1 x) =

−1√1− x2

สำหรบ −1 < x < 1

d

dx(tan−1 x) =

1

1 + x2

d

dx(cot−1 x) =

−1

1 + x2

d

dx(sec−1 x) =

1

|x|√x2 − 1

สำหรบ |x| > 1

d

dx(csc−1 x) =

−1

|x|√x2 − 1

สำหรบ |x| > 1



(a) y = cos−1(5x2) (b) y = x tan−1√x

(c) y = (sec−1 x)2

วธทำ . . . . . . . . .

4.2.8 อนพนธของฟงกชนปรยาย

จากการพจารณาเปรยบเทยบสมการ 2 สมการตอไปน

y =√x2 + 3 และ x2 + y2 = 9

เราเหนไดวา สมการแรกเปนการใหนยามของ y อยางชดเจนในรปของฟงกชนของ x เราจะเรยกฟงกชนทมลกษณะเชนนวา ฟงกชนชดแจง (explicit function)

สำหรบสมการทสองนนไมเปนฟงกชน แตเราสามารถแกสมการหาคา y ได และทำใหเราไดฟงกชน 2 ฟงกชน

(

y =√9− x2 และ y = −

√9− x2

)

ทถกกำหนดโดยปรยายดวยสมการx2+y2 = 9 ซงเราจะเรยกฟงกชนทมลกษณะเชนนวา ฟงกชนปรยาย (implicit function)

วธการหาอนพนธของฟงกชนปรยายเรยกวา การหาอนพนธโดยปรยาย (implicit dif-ferentiation) ซงหาไดโดยการ หาอนพนธทงสองขางของสมการของฟงกชนปรยายเทยบกบ x จากนนแกสมการหาคา y′(x)

ตวอยางในหวขอน เราจะสมมตใหสมการทกำหนดใหเปนการกำหนด y โดยปรยายในรปของฟงกชนของ x นนคอเราพจารณาให x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตามเสมอ

ตวอยาง 4.31 จงหา y′(x) ถา x3 + y2 − 3y = 5

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.32 จงหา y′(x) ถา x2 cos y + sin 2y = xy

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.33 จงหา y′ ถา cos(x+ y) = y2 sin x

วธทำ . . . . . . . . .

4.2.9 อนพนธของฟงกชนลอการทม

ทฤษฎบท 4.23d

dx(loga x) =

1

x ln a(4.5)


ถาเราให a = e ในสมการ (4.5) แลวตวประกอบ ln a ทางขวามอของสมการ (4.5)จะกลายเปน ln e = 1 ดงนนเราจะไดอนพนธของฟงกชนลอการทม loge x = ln x คอ

d

dx(ln x) =

1

x(4.6)

โดยทวไป ถาเราใชสตรในสมการ (4.6) ผสมกบกฎลกโซ แลวจะไดวาd

dx(ln u) =

1

u

du

dxหรอ

d

dx

[

ln g(x)]

=g′(x)

g(x)


(a) f(x) = log5(3 + tanx) (b) f(x) = ln[

cos(

ex2−secx

)

]

(c) y = ln

(

x+ 1√x− 2

)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.35 จงหา f ′(x) ถา f(x) = ln |x|

วธทำ . . . . . . . . .

การหาอนพนธโดยใชลอการทม

ในบางครงการคำนวณอนพนธของฟงกชนทเกยวของกบผลคณ ผลหาร หรอเลขชกำลง มความยงยากซบซอน แตเราสามารถทำปญหาดงกลาวใหงายขนได โดยการใชลอการทม วธการทจะศกษาในตวอยางตอไปนนนเราเรยกวา การหาอนพนธโดยใชลอการทม (logarithmic differ-entiation)

ตวอยาง 4.36 จงหาอนพนธของ y =x3/4

√x2 + 1

(3x+ 2)5

วธทำ . . . . . . . . .

จากตวอยาง 4.36 เราสามารถสรปขนตอนการหาอนพนธของฟงกชนโดยใชลอการทมไดดงน

ขนตอนการหาอนพนธโดยใชลอการทม1. ใสลอการทมฐาน e เขาไปทงสองขางของสมการ y = f(x) และใชคณสมบต

ของลอการทมจดสมการใหงายขน2. ใชวธการหาอนพนธโดยปรยาย หาอนพนธเทยบกบ x

3. แกสมการหา y′

ตวอยาง 4.37 จงหาอนพนธของ y = (ln x)cos x

วธทำ . . . . . . . . .


4.2.10 อนพนธอนดบสง

ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธได และอนพนธของ f ซงเขยนแทนดวย f ′ จะเปนฟงกชนเชนกน ดงนน f ′ อาจจะหาอนพนธได ซงเราจะเขยนแทนอนพนธของ f ′ ดวย (f ′)′ = f ′′

และเรยกฟงกชน f ′′ วา อนพนธอนดบสอง (second derivative) ของ f เนองจากf ′′ เปนอนพนธของอนพนธของ f สญลกษณทนยมใชแทนอนพนธอนดบสองคอ

y′′ = f ′′(x) =d2y

dx2

สำหรบ อนพนธอนดบสาม (third derivative) ของ f ซงเขยนแทนดวย f ′′′ คออนพนธของอนพนธอนดบสอง: f ′′′ = (f ′′)′ ดงนน f ′′′(x) หมายถงความชนของเสนโคงy = f ′′(x) หรอ อตราการเปลยนแปลงของ f ′′(x) และถา y = f(x) แลว สญลกษณทนยมใชแทนอนพนธอนดบสามคอ

y′′′ = f ′′′(x) =d

dx

(

d2y

dx2

)

=d3y

dx3

ในทำนองเดยวกน เราสามารถหาอนพนธอนดบทส และอนดบอนๆได โดยทวไปอนพนธอนดบท n ของ f จะเขยนแทนดวย f (n) ซงไดมาจากการหาอนพนธของ f เปนจำนวน n ครงดงนนถา y = f(x) แลว

y(n) = f (n)(x) =dny

dxn

ตวอยาง 4.38 ถา f(x) = 5x3 − 2x2 + 1 แลวจงหาอนพนธอนดบตางๆ ทเราสามารถหาได

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.39 กำหนดให y = e√x จงหา y′ และ y′′

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.40 จงหา y′′ ถา x2 − xy + y2 = 6

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงหาสมการของเสนสมผสโคงทจดทกำหนดให

(a) y = x2 − 2, (1,−1) (b) y = x2 − 3x, (−2, 10)

(c) y = 1− 2x− 3x2, (−2,−7) (c) y =1

x2, (−2, 1

4)

(e) y =2

x+ 1, (1, 1) (f) y =

√x+ 3, (−2, 1)


2. (a) กำหนดให y =2

x+ 3จงหาความชนของเสนสมผสเสนโคง y ทจด x = a

(b) จงหาความชนของเสนสมผสเสนโคง y ทจด

(i) x = −1 (ii) x = 0 (iii) x = 1

3. (a) กำหนดสมการเสนโคง y = x3−4x+1 จงหาความชนของเสนสมผสเสนโคง y ทจด x = a

(b) จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคง y ทจด (1,−2) และ (2, 1)

4. จงหา f ′(a) ของฟงกชนตอไปน โดยใชบทนยาม 4.3

(a) f(x) = 3x+ 1, a = 1 (b) f(x) =√3x+ 1 , a = 1

(c) f(x) = x2 + 2x, a = 0 (d) f(x) = x3 + 4, a = −1

(e) f(x) =x

2x− 1, a = 1 (f) f(x) =

2√3− x

, a = −1

5. จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) โดยใชบทนยาม 4.4 เมอกำหนด f(x) ดงตอไปน

(a) f(x) = 3x2 + 1 (b) f(x) =3

x+ 1

(c) f(x) =√3x+ 1 (d) f(x) = x3 + 2x− 1

6. จงพจารณาหาคาของ f ′(0) (ถาหาคาได) เมอกำหนด f(x) ดงตอไปน

(a) f(x) =

{

2x+ 1 ถา x < 0

3x+ 1 ถา x ≥ 0

(b) f(x) =

x sin1

xถา x 6= 0

0 ถา x = 0

7. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) = x3 − 2x+ 1 (b) f(x) = 3x2 − 4

(c) f(x) = 4 (d) f(x) = 3x3 − 2√x

(e) f(x) =3

x− 8x+ 1 (f) f(x) =

10√x− 2x

(g) f(x) = 2x3/2 − 3x−1/3 (h) f(x) = 2 3√x+ 3

(i) f(x) = x (3x2 −√x) (j) f(x) =

3x2 − 3x+ 1

2x

(k) f(x) = x+5√x2 (l) f(x) = x

√x+

1

x2√x



(a) f(x) = (x2 + 3)(x3 − 3x+ 1)

(b) f(x) = (3x+ 4)(x3 − 2x2 + x)

(c) f(x) = (√x+ 3x)

(

5x2 − 3

x

)

(d) f(x) =3x− 2

5x+ 1(e) f(x) =

x− 2

x2 + x+ 1

(f) f(x) =3x− 6

√x

5x2 − 2(g) f(x) =

(x+ 1)(x− 2)

x2 − 5x+ 1

(h) f(x) =x2 + 3x− 2√

x(i) f(x) = x( 3

√x+ 3)

(j) f(x) = (x2 + 1)x3 + 3x2

x2 + 2(k) f(x) =

x

x+c

x


(a) f(x) = (x3 + 4x)7 (b) f(x) = (x3 + x− 1)3

(c) f(x) =√x2 − 7x (d) f(x) =

√x2 + 4

(e) f(x) =

(

x− 1

x

)3/2

(f) f(x) = (3x− 2)10(5x2 − x+ 1)12

(g) f(x) = (2x− 5)4(8x2 − 5)−3 (h) f(x) =

(

x− 6

x+ 7

)3

(i) f(x) =1

5√2x− 1

(j) f(x) =√

x+√x


(a) f(x) = 4 sin x− x (b) f(x) = tanx− csc x

(c) f(x) = x cos x (d) f(x) = 4√x− 2 sinx

(e) f(x) =sin x

x(f) f(x) =

tanx

x

(g) f(x) =cosx− 1

x2(h) f(x) =

x

sin x+ cosx

(i) f(x) = csc x cot x (j) f(x) = sin x sec x

(k) f(x) = 2 sin x cosx (l) f(x) = 4x2 tanx

(m) f(x) = 4 sin2 x+ 4 cos2 x (n) f(x) = sin(2x2 + 3)


(o) f(x) = cos(a3 + x3) (p) f(x) = tan2 x

(q) f(x) = tan(cosx) (r) f(x) = x2 sin 4x

(s) f(x) = sec3 4x (t) f(x) = sin(

tan√sin x

)


(a) f(x) = 4ex − x (b) f(x) = xex

(c) f(x) = x− 2x (d) f(x) = 2ex+1

(e) f(x) = (1/3)x (f) f(x) = 4−x+1

(g) f(x) = e2x (h) f(x) = x2e−x

(i) f(x) =ex

x(j) f(x) = e

1

3x

(k) f(x) = ex2 (l) f(x) = xe−x2

(m) f(x) = 5−1/x (n) f(x) = ex cos x


(a) y = sin−1(x2) (b) y = tan−1(ex)

(c) y = cos−1(x3) (d) y = sec−1(x2)

(e) f(x) = (1 + x2) tan−1 x (f) g(t) = sin−1(4/t)

(g) y = x2 cot−1(3x) (h) f(x) = ex − x2 tan−1 x

(i) y = tan−1(cos 2x) (j) y = x cos−1(2x)

(k) y = cos−1(sin x) (l) y = tan−1(sec x)

13. จงหาdy

dxโดยวธการหาอนพนธโดยปรยาย

(a) x2 + y2 = 1 (b) x3 + x2y + 4y2 = 6

(c) x2y + xy2 = 3x (d) x2y2 + 3y = 4x

(e) √xy − 4y2 = 12 (f)

x+ 3

y= 4x+ y2

(g)√x+ y − 4x2 = y (h)

y

x− y= x2 + 1


(i) √xy = 1 + xy (j) ex

2y − ey = x

(k) e4y − ln y = 2x (l) 4 cosx sin y = 1

(m) cos(x− y) = xex (n) xy = cot(xy)


(a) f(x) = ln(2x) (b) f(x) = ln(x3)

(c) f(θ) = ln(cos θ) (d) f(x) = log3(x2 − 4)

(e) f(x) = ln√x (f) f(x) =

√x ln x

(g) f(x) = ln

(

a− x

a+ x

)

(h) f(x) = ex ln x

(i) f(x) =ln x

1 + x(j) f(x) = |x3 − x2|

(k) f(x) = ln(e−x + xe−x) (l) f(x) = x2 ln(1− x2)

(m) f(x) = ln(x3 + 3x) (n) f(x) = sin(

ln(cosx3))

(o) f(x) =[

ln(x2 + 1)]8 (p) f(x) = ln(sec x+ tan x)

15. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปนโดยใชลอการทม

(a) y = (2x+ 1)5(x4 − 3)6 (b) y =sin2 x tan4 x

(x2 + 1)2

(c) y = xx (d) y = xsinx

(e) y = (ln x)x (f) y = xex

16. จงหาอนพนธอนดบหนงและอนดบสองของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) = x4 + 3x2 − 2 (b) f(x) = x5 + 6x2 − 7x

(c) f(x) = x6 +√x (d) f(x) =

√2x+ 1

(e) f(x) = e2x (f) y = cos 2θ

(g) h(x) =√x2 + 1 (h) F (s) = (3s+ 5)8

(i) y =x

1− x(j) y = (1− x2)3/4

(k) H(t) = tan 3t (l) g(t) = t3e5t

17. ถา f(x) = (2− 3x)−1/2 แลวจงหา f(0), f ′(0), f ′′(0) และ f ′′′(0)


18. ถา f(θ) = cot θ แลวจงหาคาของ f ′′′(π/6)

19. จงหา f (n)(x) ของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) =1

x(b) f(x) = e2x (c) f(x) =

1

3x3

20. จงหาสมการของเสนสมผสโคงทจดทกำหนดให

(a) y = x+4

x, (2, 4) (b) y = x+

√x, (1, 2)

(c) y =2x

x+ 1, (1, 1) (d) y =

1

1 + x2, (−1, 1

2)

(e) y = sin x, (π2, 1) (f) y = cosx, (π

2, 0)

(g) y = tanx, (π4, 1) (h) y = x+ cosx, (0, 1)

(i) y = x cos x, (π,−π) (j) y = 3 tanx− 2 csc x, ทจด x = π3

(k) f(x) = 3ex, (1, 3e) (l) f(x) = 3x, (1, 3)

(m) f(x) = xex, (1, e) (n) y = x2 ln x, (1, 0)

(o) y = ln(ln x), (e, 0)

21. จงหาสมการของเสนสมผสโคง y = f(x) ทจด x = a

(a) y =√x2 + 16 , a = 3 (b) y =

8√4 + 3x

, a = 4

(c) y = sin(sin x), a = π (d) y =2

1 + e−x, a = 0

22. จงหาจดทงหมดบนกราฟของฟงกชน f(x) = 2 sin x+ sin2 x ทมเสนสมผสในแนวนอน

23. จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคงตอไปนทจดทกำหนดให

(a) x2 − 4y2 = 0, (2, 1) (b) x2 − 4y3 = 0, (2, 1)

(c) x2y2 = 4y, (2, 1) (d) x3y3 = 9y, (1, 3)

(e)x2

16− y2

9= 1, (−5, 9

4) (f) y2 = x3(2− x), (1, 1)

(g) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), (3, 1) (h) y2 = x3 + 3x2, (1, 2)

(i) y(y2 − 1)(y − 2) = x(x− 1)(x− 2), (0, 1)



1. (a) y = 2x− 3 (b) y = −7x− 4 (c) y = 10x+ 13

(d) y = 14x+ 3

4(e) y = −1

2x+ 3

2(f) y = 1

2x+ 2

2. (a) −2/(a+ 3)2 (b) (i) −12

(ii) −29

(iii) −18

3. (a) 3a2 − 4 (b) y = −x− 1, y = 8x− 15

4. (a) 3 (b) 34

(c) 2 (d) 3 (e) −1 (f) 18

5. (a) 6x (b)−3

(x+ 1)2(c)

3

2√3x+ 1

(d) 3x2 + 2

6. (a) หาคาไมได (b) หาคาไมได

7. (a) 3x2 − 2 (b) 6x (c) 0 (d) 9x2 − 1√x

(e) − 3x2 − 8

(f) −5x−3/2 − 2 (g) 3x1/2 + x−4/3 (h) 23x−2/3 (i) 9x2 − 3

2x1/2

(j) 32− 1

2x−2 (k) 1 + 2/(5

5√x3) (l) 3

2

√x− 5/(2x3

√x)

8. (a) 2x(x3−3x+1)+(x2+3)(3x2−3) (b) 3(x3−2x2+x)+(3x+4)(3x2−4x+1)

(c)(

1

2x−1/2 + 3

)(

5x2 − 3

x

)

+ (√x+ 3x)(10x+ 3x−2) (d)

13

(5x+ 1)2

(e)−x2 + 4x+ 3

(x2 + x+ 1)2(f)

(3− 3x−1/2)(5x2 − 2)− (3x− 6√x)(10x)

(5x− 2)2

(g)−4x2 + 6x− 11

(x2 − 5x+ 1)2(h) 3

2x1/2 + 3

2x−1/2 + x−3/2 (i) 4

3x1/3 + 3

(j) 2xx3 + 3x2

x2 + 2+(x2−1)

(3x2 + 6x)(x2 + 2)− (x3 + 3x2)(2x)

(x2 + 2)2(k)

2cx

(x2 + c)2

9. (a) 7(x3 + 4x)6(3x2 + 4) (b) 3(3x2 + 1)(x3 + x− 1)2 (c)2x− 7

2√x2 − 7x

(d) x(x2 + 4)−1/2 (e) 32(x− 1/x)1/2(1 + 1/x2)

(f) 6(3x− 2)9(5x2 − x+ 1)11(85x2 − 51x+ 9)

(g) 8(2x− 5)3(8x2 − 5)−4(−4x2 + 30x− 5) (h)39(x− 6)2

(x+ 7)4

(i) −25(2x− 1)−6/5 (j) [1 + 1/(2

√x)]/(2

√

x+√x)


10. (a) 4 cosx− 1 (b) sec2 x+ csc x cotx (c) cosx− x sin x

(d) 2x−1/2 − 2 cosx (e)x cos x− sin x

x2(f)

x sec2 x− tanx

x

(g)−x2 sin x− (cosx− 1)2x

x4(h)

sin x+ cosx+ x sin x− x cosx

1 + sin 2x

(i) − csc x cot2 x− csc3 x (j) sec2 x (k) 2 cos2 x− 2 sin2 x

(l) 8x tan x+ 4x2 sec2 x (m) 0 (n) 4x cos(2x2 + 3)

(o) −3x2 sin(a3 + x3) (p) 2 tanx sec2 x (q) − sin x sec2(cosx)

(r) 2x sin 4x+ 4x2 cos 4x (s) 12 sec3 4x tan 4x

(t) cos(

tan√sin x

)

(sec2√sin x)

[

1/(2√sin x)

]

(cosx)

11. (a) 4ex−1 (b) ex+xex (c) 1+(ln 2)2x (d) 2ex+1 (e)(

ln 13

) (

13

)x

(f) −(ln 4)4−x+1 (g) 2e2x (h) 2xe−x − x2e−x (i)xex − ex

x2

(j) −e1/x

x(k) 2xex

2 (l) e−x2

(1− 2x2) (m) 5−1/x(ln 5)/x2

(n) (cosx− x sin x) ex cos x

12. (a)2x√1− x4

(b)ex

1 + e2x(c)

−3x2

√1− x6

(d)2

x√x4 − 1

(e) 1 + 2x tan−1 x (f)−4√

t4 − 16t2(g) 2x cot−1(3x)− 3x2

1 + 9x2

(h) ex − x2

1 + x2− 2x tan−1 x (i)

−2 sin 2x

1 + cos2 2x(j) cos−1 2x− 2x√

1− 4x2

(k)− cosx

√

1− sin2 x= ±1 (l)

sec x tanx

1 + sec2 x

13. (a)−x

y(b)

−x(3x + 2y)

x2 + 8y(c)

3− 2xy − y2

x2 + 2xy(d)

4− 2xy2

3 + 2x2y

(e)y

16y√xy − x

(f)y − 4y2

x+ 3 + 2y3(g)

16x√x+ y − 1

1− 2√x+ y

(h)2x(x− y)2 + y

x(i)

2y√xy − y

x− 2x√xy

(j)1− 2xyex

2y

x2ex2y − ey(k)

2y

4ye4y − 1

(l) tan x tan y (m) 1 +ex(1 + x)

sin(x− y)(n)

−y

x

14. (a) f ′(x) =1

x(b) f ′(x) =

3

x(c) f ′(θ) = − tan θ


(d) f ′(x) =2x

(x2 − 4) ln 3(e) f ′(x) =

1

2x(f) f ′(x) =

2 + ln x

2√x

(g) f ′(x) =−2a

a2 − x2(h) f ′(x) = ex

(

ln x+1

x

)

(i) f ′(x) =1 + x− x ln x

x(1 + x)2

(j) f ′(x) =3x− 2

x(x− 1)(k) f ′(x) =

−x

1 + x(l) f ′(x) = 2x ln(1−x2)− 2x3

1− x2

(m)3x2 + 3

x3 + 3x(n) −3x2 tanx3 cos

(

ln(cosx3))

(o)16x

x2 + 1

[

ln(x2 + 1)]7

(p) sec x

15. (a) y′ = (2x+ 1)5(x4 − 3)6(

10

2x+ 1+

24x3

x4 − 3

)

(b) y′ =sin2 x tan4 x

(x2 + 1)2

(

2 cotx+4 sec2 x

tanx− 4x

x2 + 1

)

(c) y′ = xx(ln x+ 1) (d) y′ = xsinx

[

cos x ln x+sin x

x

]

(e) y′ = (ln x)x(

ln ln x+1

ln x

)

(f) y′ = exxex(

ln x+1

x

)

16. (a) f ′(x) = 4x3 + 6x, f ′′(x) = 12x2 + 6

(b) f ′(x) = 5x4 + 12x− 7, f ′′(x) = 20x3 + 12

(c) f ′(x) = 6x5 + 12x−1/2, f ′′(x) = 30x4 − 1

4x−3/2

(d) f ′(x) = (2x+ 1)−1/2, f ′′(x) = −(2x+ 1)−3/2

(e) f ′(x) = 2e2x, f ′′(x) = 4e2x

(f) y′ = −2 sin 2θ, y′′ = −4 cos 2θ

(g) h′(x) =x√

x2 + 1, f ′′(x) =

1

(x2 + 1)3/2

(h) F ′(s) = 24(3s+ 5)7, F ′′(s) = 504(3s+ 5)6

(i) y′ =1

(1− x)2, y′′ =

2

(1− x)3

(j) y′ = −32x(1 − x2)−1/4, y′′ = 3

4(1− x2)−5/4(x2 − 2)

(k) H ′(t) = 3 sec2 3t, H ′′(t) = 18 sec2 3t tan 3t

(l) g′(t) = t2e5t(5t+ 3), g′′(t) = te5t(25t2 + 30t+ 6)

17.1√2,

3

4√2,

27

16√2,

405

64√2

18. −80


19. (a)(−1)nn!

xn+1(b) 2ne2x (c)

(−1)n(n+ 2)!

6xn+3

20. (a) y = 4 (b) y = 32x+ 1

2(c) y = 1

2x+ 1

2(d) y = 1

2x+ 1

(e) y = 1 (f) y = −x+ π2

(g) y = 2x+ 1− π2

(h) y = x+ 1

(i) y = −x (j) y = 403

(

x− π3

)

+ 3√3− 4√

3(k) y = 3ex

(l) y = 3 ln 3(x−1)+3 (m) y = 2ex−e (n) y = x−1 (o) x−ey = e

21. (a) y = 35x+ 16

5(b) y = − 3

16x+ 11

4(c) y = −x+π (d) y = 1

2x+1

22.(

π2+ 2nπ, 3

)

,(

3π2+ 2nπ,−1

)

, เมอ n เปนจำนวนเตม

23. (a) y = 12x (b) y = 1

3x+ 1

3(c) y = −x+ 3 (d) y = −9

2x+ 15

2

(e) y = −54x− 4 (f) y = x (g) y = − 9

13x+ 40

13(h) y = 9

2x− 5

2

(i) y = −x+ 1

4.3 คาสงสดและคาตำสดของฟงกชน

การประยกตทสำคญอยางหนงของอนพนธคอ การประยกตของปญหาการหาคาเหมาะทสด (op-timization problems) ซงปญหาดงกลาว เปนการหาวธทดทสดเพอทำบางสงบางอยาง ตวอยางเชน

• ชาวสวนตองการเลอกผสมพชพนธทจะปลก เพอใหไดผลผลตททำใหมรายไดมากทสด

• ผผลตตองการทราบขนาดของกระปอง ทใชวสดในการผลตนอยทสด

• นกเดนทางตองการทราบระยะทางทนอยทสดระหวางเมอง 2 เมอง

ปญหาเหลานสามารถเปลยนเปนการหาคาสงสดหรอคาตำสดของฟงกชนได ดงนนเราจะเรมดวยการใหนยามของคาสงสดและคาตำสด

บทนยาม 4.5 กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนสบเซตของจำนวนจรง D (โดเมนของf) และ c ∈ D

1. f ม คาสงสดสมบรณ (absolute maximum หรอ global maximum) ท c

ถา f(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในโดเมน D และเราเรยก f(c) วา คาสงสด(maximum value) ของ f บน D และเรยกจด

(

c, f(c))

วา จดสงสดสมบรณของ f บน D


2. f ม คาตำสดสมบรณ (absolute minimum หรอ global minimum) ท c

ถา f(c) ≤ f(x) สำหรบทกคา x ในโดเมน D และเราเรยก f(c) วา คาตำสด(minimum value) ของ f บน D และเรยกจด

(

c, f(c))

วา จดตำสดสมบรณของ f บน D

และถา f(c) เปนคาสงสดหรอคาตำสดของ f บน D แลวเราเรยก f(c) วา คาสดขด (ex-treme value) ของ f

รปท 4.2 แสดงกราฟของ f ทมจด(

b, f(b))

เปนจดสงสดบนกราฟ และมจด(

e, f(e))

เปนจดตำสด ดงนน f มคาสงสดสมบรณท b และมคาตำสดสมบรณท e

x

y

a b c d e

b

b

(

b, f(b))

(

e, f(e))

รปท 4.2: คาสงสด f(b), คาตำสด f(e)

คำถาม ฟงกชนทกฟงกชนมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณหรอไม?คำตอบ ไม

พจารณาไดจากกราฟของฟงกชนตอไปน

c

f(c)

y

x

b

y = f(x)

(a)

c

f(c)

y

x

b

y = f(x)

(b)

รปท 4.3: (a) คาตำสดสมบรณ (b) คาสงสดสมบรณ

จากรปท 4.3(a) เราพบวาฟงกชน f ไมมคาสงสดสมบรณ แตมคาตำสดสมบรณท c

สำหรบรปท 4.3(b) เปนกราฟของฟงกชน f ทไมมคาตำสดสมบรณ แตมคาสงสดสมบรณทc


คำถาม เมอใดฟงกชนทเราพจารณาจะมคาสงสดสมบรณ และคาตำสดสมบรณ?

ทฤษฎบทตอไปนจะตอบคำถามดงกลาว

ทฤษฎบท 4.24 ทฤษฎบทคาสดขด (Extreme Value Theorem)ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] แลว f จะมคาสงสดสมบรณ f(c) และคาตำสดสมบรณ f(d) ทจด c และ d บางจดในชวง [a, b]

พจารณากราฟตอไปนy

x

b

b

| |

a c d b

y

x

b

b

|

a c d = b

y

x

b

b

| |

a c1 d c2 b

จะเหนวากราฟแตละรปขางตนสอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบท 4.24 ดงนนกราฟแตละรปจงมคาสงสดสมบรณ และคาตำสดสมบรณ และในบางกรณคาสดขดสมบรณอาจมมากกวา 1 คา

แตถาฟงกชนใดขาดสมมตฐานในทฤษฎบท 4.24 แลวฟงกชนนนไมจำเปนตองมคาสงสดสมบรณ หรอคาตำสดสมบรณ ดงตวอยางกราฟตอไปน

y

x

fb

b

bc

b|

+

0 2

1

3

ฟงกชนมคาตำสดสมบรณ f(2) = 0

แตไมมคาสงสดสมบรณ

y

x

g

1

1 bc

0

ฟงกชนตอเนอง g ไมมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ

ทฤษฎบทคาสดขดกลาวแตเพยงวา ฟงกชนทตอเนองบนชวงปดจะมคาสงสดและคาตำสดสมบรณแตไมไดบอกเราวาจะหาคาเหลานไดอยางไร กอนทจะศกษาวธการหาคาเหลาน เราจะกลาวถงคาสดขดอกชนดหนง ซงนยามไดดงน

บทนยาม 4.6

1. f(c) จะเปน คาสงสดสมพทธ (local maximum หรอ relative maximum)ของ f ถา f(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก

(

c, f(c))

วา จดสงสดสมพทธ


2. f(c) จะเปน คาตำสดสมพทธ (local minimum หรอ relative minimum) ของf ถา f(c) ≤ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก(

c, f(c))

วา จดตำสดสมพทธ

ในสองกรณนเราเรยกคา f(c) วา คาสดขดสมพทธ (local extremum) ของ f

y

xab

cd

b

b

b

b

คาสงสดสมพทธ[

f ′(a) หาคาไมได]

คาตำสดสมพทธ[

f ′(b) หาคาไมได]

คาสงสดสมพทธ[

f ′(c) = 0]

คาตำสดสมพทธ[

f ′(d) = 0]

รปท 4.4: คาสดขดสมพทธ

รปท 4.4 แสดงกราฟของฟงกชนทมคาสดขดสมพทธหลายคาดวยกน นอกจากน จากรปเราสงเกตไดวา คาสดขดสมพทธแตละคาจะเกดทจดทมเสนสมผสในแนวนอน

(

นนคอ f ′(x) = 0)

หรอทจดทมเสนสมผสในแนวยน(

นนคอ f ′(x) หาคาไมได)

ดงนนเราจงกำหนดชอใหกบจดดงกลาว ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 4.7 คาวกฤต (critical number) ของฟงกชน f คอคา c ทอยในโดเมนของ f ททำให f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได

ทฤษฎบท 4.25 ทฤษฎบทของแฟรมา (Fermat’s Theorem)ถา f(c) เปนคาสดขดสมพทธ (คาสงสดสมพทธหรอคาตำสดสมพทธ) แลว c จะเปนคาวกฤตของ f

ตวอยาง 4.41 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 5

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.42 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = (2x+ 3)2/3


วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต ทฤษฎบทของแฟรมากลาวแตเพยงวา คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต แตไมไดกลาววา จะมคาสดขดสมพทธท ทกคาวกฤต ตวอยาง 4.43 จะแสดงใหเหนวา ณคาวกฤตฟงกชนไมไดใหคาสดขดสมพทธ

ตวอยาง 4.43 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = x3

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.44 จงหาคาวกฤตของ f(x) =x2 + 3

x+ 1

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 4.26 กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] คาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f จะเกดขนทจดปลายของชวง (a หรอ b) หรอทคาวกฤตของ f

ทฤษฎบท 4.26 ชวยใหเราไดขนตอนของการหาคาสดขดสมบรณของฟงกชนตอเนอง fบนชวงปด [a, b] ดงน

1. หาคาของ f ทจดปลายของชวง

2. หาคาของ f ทคาวกฤตของ f บนชวง (a, b)

3. คาทมากทสดทไดจากขนตอนท 1 และ 2 คอ คาสงสดสมบรณ และคาทนอยทสดคอ คาตำสดสมบรณ

ตวอยาง 4.45 จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) =ln x

xบนชวงปด [1, 3]

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 4.27 ทฤษฎบทของรอล (Rolle’s Theorem)

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] หาอนพนธไดบนชวงเปด (a, b) และ f(a) = f(b)

แลวจะมจำนวน c ∈ (a, b) ททำให f ′(c) = 0

ทฤษฎบท 4.28 ทฤษฎบทคามชฌม (Mean Value Theorem)ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด (a, b) แลวจะมจำนวน c ∈ (a, b) ททำให

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

หรอf(b)− f(a) = f ′(c)(b− a)


4.3.1 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

คำถามหนงทเรายงไมมคำตอบกคอ คาสงสดและคาตำสดสมพทธของฟงกชนเกดขนทใด? และสงทเราทราบแลวกคอ คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต แตคาวกฤตทกคาไมจำเปนตองใหคาสดขดสมพทธ ลำดบตอไปเราจะพจารณาวา ทคาวกฤตใดใหคาสดขดสมพทธ ในขณะเดยวกนเราจะศกษาความสมพนธของอนพนธกบการเขยนกราฟของฟงกชน

บทนยาม 4.8 เราเรยกฟงกชน f วาเปน ฟงกชนเพม (increasing function) บนชวง I ถา

f(x1) < f(x2) เมอ x1 < x2 ในชวง I

และเรยกฟงกชน f วาเปน ฟงกชนลด (decreasing function) บนชวง I ถา

f(x1) > f(x2) เมอ x1 < x2 ในชวง I

ทฤษฎบท 4.29 กำหนดใหฟงกชน f หาอนพนธไดบนชวง I

(i) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈ I แลว f จะเปน ฟงกชนเพม บนชวง I

(ii) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ I แลว f จะเปน ฟงกชนลด บนชวง I

ตวอยาง 4.46 จงหาชวงททำให f(x) = 3x4 + 4x3 − 12x2 − 5 เปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 4.30 การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบหนง (First Derivative Test)กำหนดใหฟงกชน f ตอเนองบนชวง [a, b] และ c ∈ (a, b) เปนคาวกฤต

1. ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈(c, b)

(

นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากบวกเปนลบท c)

แลว f(c) จะเปนคาสงสดสมพทธ

2. ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈(c, b)

(

นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากลบเปนบวกท c)

แลว f(c) จะเปนคาตำสดสมพทธ

3. ถา f ′(x) มเครองหมายเหมอนกนบนชวง (a, c) และ (c, b)(

นนคอ f ′ มเครองหมายบวกทงสองดานของ c หรอมเครองหมายลบทงสองดานของ c

)

แลว f(c) ไมเปนคาสดขดสมพทธ

เปนการงายทเราสามารถจดจำการทดสอบอนพนธอนดบหนง โดยการจำรปภาพตอไปน


y

x0 c

f ′(x) > 0 f ′(x) < 0

(a) คาสงสดสมพทธ

y

x0 c

f ′(x) < 0 f ′(x) > 0

(b) คาตำสดสมพทธy

x0 c

f ′(x) > 0

f ′(x) > 0

(c) ไมมคาสงสดหรอคาตำสด

y

x0 c

f ′(x) < 0

f ′(x) < 0

(d) ไมมคาสงสดหรอคาตำสด

ตวอยาง 4.47 จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชน f(x) = xex

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.48 จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน f(x) = x(x− 1)3

วธทำ . . . . . . . . .

4.3.2 ความเวา

บทนยาม 4.9 กำหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง I

(i) กราฟของ f จะ เวาบน (concave up) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวงI

(ii) กราฟของ f จะ เวาลาง (concave down) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนลดบนชวง I

ในการพจารณาวา f ′ เพมขนหรอลดลงเมอใดนน อนพนธของ f ′ (นนคอ f ′′) จะเปนตวใหขอมลเรา ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงความสมพนธของบทนยาม 4.9 กบสงทเราทราบมาแลวในเรองของการเพมขนหรอลดลงของฟงกชน

ทฤษฎบท 4.31 สมมตให f ′′ หาคาไดบนชวง I


1. ถา f ′′ > 0 บนชวง I แลวกราฟของ f จะเวาบนบนชวง I

2. ถา f ′′ < 0 บนชวง I แลวกราฟของ f จะเวาลางบนชวง I

บทนยาม 4.10 สมมตใหฟงกชน f มความตอเนองบนชวงเปด (a, b) และกราฟของ f เปลยนความเวาทจด c ∈ (a, b)

(

นนคอ กราฟเวาลางบนดานหนงของ c และเวาบนอกดานหนงของc)

แลวจะเรยกจด (c, f(c)) วา จดเปลยนเวา (inflection point) ของ f

ตวอยาง 4.49 จงพจารณาความเวาของกราฟของฟงกชน f(x) = x4 − 6x2 + 3 และหาจดเปลยนเวา (ถาม)

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 4.32 การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบสอง (The Second Derivative Test)

สมมตใหฟงกชน f มความตอเนองบนชวงเปด (a, b) และ f ′(c) = 0 สำหรบบางจำนวนc ∈ (a, b)

1. ถา f ′′(c) < 0 แลว f(c) คอคาสงสดสมพทธ

2. ถา f ′′(c) > 0 แลว f(c) คอคาตำสดสมพทธ

ตวอยาง 4.50 จงใชการทดสอบอนพนธอนดบสองหาคาสดขดสมพทธของ

f(x) = 2x3 + 6x2 − 18x+ 5

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต ถา f ′′(c) = 0 หรอ f ′′(c) หาคาไมได แลวการทดสอบโดยใชอนพนธอนดบสองไมสามารถหาขอสรปได นนคอ f(c) อาจจะเปนคาสงสดสมพทธ คาตำสดสมพทธ หรอไมใชทงสองอยาง ดงนนการพจารณาวา f(c) เปนคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธหรอไมนนเราจะใชการทดสอบโดยใชอนพนธอนดบหนง

ตวอยาง 4.51 กำหนดฟงกชน f(x) = x4 − 4x3 + 12

• จงหาชวงททำใหฟงกชนเพมขน และลดลง

• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม)

• จงหาชวงททำใหฟงกชนเวาบนหรอเวาลางและหาจดเปลยนเวา (ถาม)

• จงเขยนกราฟของฟงกชนโดยใชขอมลทหาไดขางตน

วธทำ . . . . . . . . .


ตวอยาง 4.52 กำหนดฟงกชน f(x) = x2/3(6− x)1/3


• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม)

• จงหาชวงททำใหฟงกชนเวาบนหรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)


วธทำ . . . . . . . . .


1. จากกราฟของฟงกชนทกำหนดใหตอไปน จงพจารณาวาแตละคา a, b, c, d, e, r, s

และ t ใหคาสงสดหรอตำสดสมบรณ และคาสงสดหรอตำสดสมพทธหรอไม?(a) y

x

b

b

a b c d e r s t

(b)y

x

b

ba b c d e r s

t

2. จากกราฟของฟงกชนตอไปน จงหาคาสดขดสมบรณ และคาสดขดสมพทธ(a)

x

y

b

b10

1

y = f(x)


(b)

x

y

b

b

10

1

y = f(x)

3. จงหาคาวกฤตของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) = x2 + 5x− 1 (b) f(x) = x3 − 3x+ 1

(c) f(x) = x3 − 3x2 + 3x (d) f(x) = x4 − 3x3 + 2

(e) f(x) = x3/4 − 4x1/4 (f) f(x) = x3 − 2x2 − 4x

(g) f(x) = sin x cosx, [0, 2π] (h) f(x) =x+ 1

x− 1

(i) f(x) =x

x2 + 1(j) f(x) = 1

2(ex + e−x)

(k) f(x) = x4/3 + 4x1/3 + 3x−2/3 (l) f(x) = 2x√x+ 1

(m) f(x) = e−x2 (n) f(x) = sin x2, [0, π]

4. จงหาคาสงสด และคาตำสดสมบรณของฟงกชนตอไปน บนชวงทกำหนดให

(a) f(x) = 3x2 − 12x+ 5, [0, 3] (b) f(x) = 2x3 + 3x2 + 4, [−2, 1]

(c) f(x) = x4 − 4x2 + 2, [−3, 2] (d) f(x) = x2 − 2

x, [1

2, 2]

(e) f(x) =x

x2 + 1, [0, 2] (f) f(x) = sin x+ cos x, [0, π/3]

(g) f(x) = xe−x, [0, 2] (h) f(x) = x− 3 lnx, [1, 4]

(i) f(x) = |x− 1|, [0, 3] (j) f(x) = 3√x , [−1, 27]

5. จงแสดงวาฟงกชนตอไปน สอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบทของรอล บนชวงทกำหนดให พรอมทงหาคา c ทสอดคลองกบขอสรปของทฤษฎบทของรอล

(a) f(x) = x2 − 4x+ 1, [0, 4]

(b) f(x) = x3 − 3x2 + 2x+ 5, [0, 2]

(c) f(x) = sin 2πx, [−1, 1]

(d) f(x) = x√x+ 6, [−6, 0]


6. จงแสดงวาฟงกชนตอไปน สอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบทคามชฌม บนชวงทกำหนดให พรอมทงหาคา c ทสอดคลองกบขอสรปของทฤษฎบทคามชฌม

(a) f(x) = 3x2 + 2x+ 5, [−1, 1]

(b) f(x) = x3 − x, [0, 2]

(c) f(x) = e−2x, [0, 3]

(d) f(x) =x

x+ 2, [1, 4]

7. จงหาชวงททำใหฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด(a) f(x) = x3 − 3x+ 2 (b) f(x) = x4 − 8x2 + 1

(c) f(x) = x6 + 192x+ 17 (d) f(x) = (x+ 1)2/3

(e) f(x) = x− 2 sin x, [0, 2π] (f) f(x) = sin 3x, [0, π]

(g) f(x) = ex2−1 (h) f(x) = (ln x)/

√x

8. จงหาคา x ททำใหฟงกชนตอไปนมคาสดขด(

คาสดขดสมบรณ หรอคาสดขดสมพทธ)

(a) f(x) = x3 + 2x2 − x− 1 (b) f(x) = x√x2 + 1

(c) f(x) = xe−2x (d) f(x) = ln x2

(e) f(x) =x

x2 − 1(f) f(x) =

x3

x2 − 1

(g) f(x) = sin x+ cosx (h) f(x) =√x3 + 3x2

(i) f(x) = x2/3 − 2x−1/3

9. จงหาชวงททำใหกราฟของฟงกชนตอไปนเวาบน และเวาลาง(a)

x

y

10

20

1 3−1−3

(b)

x

y1

2 4−2−4


(c)

x

y

5

10

−5

−10

2 4−2

(d)

x

y

5

10

−5

1 2 3−1−3

10. จากฟงกชนทกำหนดใหตอไปน


• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ

• จงหาชวงททำใหฟงกชนเวาบนหรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)


(a) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x (b) f(x) = x4 − 6x2

(c) f(x) = 3x5 − 5x3 + 3 (d) f(x) = x√x2 + 1

(e) f(x) = x1/3(x+ 3)2/3 (f) f(x) = sin2 x


1. (a) คาสงสดสมบรณท b ; คาสงสดสมพทธท b, e และ r

คาตำสดสมบรณท d ; คาตำสดสมพทธท d และ s

(b) คาสงสดสมบรณท e ; คาสงสดสมพทธท e และ s

คาตำสดสมบรณท t ; คาตำสดสมพทธท b, c, d, r และ t


2. (a) คาสงสดสมบรณ f(4) = 4 ; คาตำสดสมบรณ f(7) = 0

คาสงสดสมพทธ f(4) = 4, f(6) = 3 ; คาตำสดสมพทธ f(2) = 1, f(5) = 2

(b) คาสงสดสมบรณ f(7) = 5 ; คาตำสดสมบรณ f(1) = 0

คาสงสดสมพทธ f(0) = 2, f(3) = 4, f(5) = 3

คาตำสดสมพทธ f(1) = 0, f(4) = 2, f(6) = 1

3. (a) −52

(b) −1, 1 (c) 1 (d) 0, 94

(e) 0, 169

(f) −23, 2 (g) π

4, 5π

4, 3π

4, 7π

4(h) 1, (i) −1, 1 (j) 0

(k) −2, 1 (l) −23

(m) 0 (n) 0,√

3π2,√

π2,√

5π2

4. (a) f(0) = 5, f(2) = −7 (b) f(1) = 9, f(−2) = 0

(c) f(−3) = 47, f(±√2) = −2 (d) f(2) = 3, f(1) = −1

(e) f(1) = 12, f(0) = 0 (f) f(π/4) =

√2, f(0) = 1

(g) f(1) = 1/e, f(0) = 0 (h) f(1) = 1, f(3) = 3− 3 ln 3

(i) f(3) = 2, f(1) = 0 (j) f(27) = 3, f(−1) = −1

5. (a) 2 (b) 3±√3

3(c) ±1

4,±3

4(d) −4

6. (a) 0 (b) 2√3

(c) −12ln[(1− e−6)/6] (d) 3

√2− 2

7. (a) เพมขน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; ลดลง: (−1, 1)

(b) เพมขน: (−2, 0) ∪ (2,∞) ; ลดลง: (−∞,−2) ∪ (0, 2)

(c) เพมขน: (−2,∞) ; ลดลง: (−∞,−2)

(d) เพมขน: (−1,∞) ; ลดลง: (−∞,−1)

(e) เพมขน: (π3, 5π

3) ∪ (7π

3, 3π) ; ลดลง: (0, π

3) ∪ (5π

3, 7π

3)

(f) เพมขน: (0, π6) ∪ (3π

6, 5π

6) ; ลดลง: (π

6, 3π

6) ∪ (5π

6, π)

(g) เพมขน: (0,∞) ; ลดลง: (−∞, 0)

(h) เพมขน: (0, e2) ; ลดลง: (e2,∞)

8. (a) คาสงสดสมพทธท x = −23−

√73

คาตำสดสมพทธท x = −23+

√73

(b) ไมมคาสดขด (c) คาสงสดสมบรณท x = 12

(d) ไมมคาสดขด

(e) ไมมคาสดขด (f) คาสงสดสมบรณท x = −√3 คาตำสดสมบรณท x =

√3

(g) คาสงสดสมบรณทx = π4+ 2nπ คาตำสดสมบรณท x = 5π

4+ 2nπ


(h) คาสงสดสมพทธท x = −2 คาตำสดสมบรณท x = 0

(i) คาตำสดสมบรณท x = −1

9. (a) เวาบน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−1, 1)

(b) เวาบน: (−∞, 0) ; เวาลาง: (0,∞)

(c) เวาบน: (1,∞) ; เวาลาง: (−∞, 1)

(d) เวาบน: (−1, 0) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−∞,−1) ∪ (0, 1)

10. (a) เพมขน: (−∞,−1) ∪ (2,∞) ; ลดลง: (−1, 2)

คาสงสดสมพทธ: f(−1) = 7 ; คาตำสดสมพทธ: f(2) = −20

เวาบน: (12,∞) ; เวาลาง: (−∞, 1

2) ; จดเปลยนเวา: (1

2,−13

2)

x

y

5

−10

−20

1

b

b

b

(b) เพมขน: (−√3, 0) ∪ (

√3,∞) ; ลดลง: (−∞,−

√3) ∪ (0,

√3)

คาตำสดสมพทธ: f(±√3) = −9 ; คาสงสดสมพทธ: f(0) = 0

เวาบน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−1, 1) ; จดเปลยนเวา: (±1,−5)

x

y

−10

1−1

b b

b

b b

(c) เพมขน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; ลดลง: (−1,−1)

คาสงสดสมพทธ: f(−1) = 5 ; คาตำสดสมพทธ: f(1) = 1

เวาบน: (−1/√2, 0) ∪ (1/

√2,∞) ; เวาลาง: (−∞,−1/

√2) ∪ (1/

√2,∞)

จดเปลยนเวา: (0, 3), (±1/√2, 3∓ 7

8

√2)


x

y

5

1−1

b

b

b

b

b

(d) เพมขน: (−∞,∞) ; ไมมคาสงสดและคาตำสดสมพทธเวาบน: (0,∞) ; เวาลาง: (−∞, 0) ; จดเปลยนเวา: (0, 0)

x

y

b

e) เพมขน: (−∞,−3) ∪ (−1,∞) ; ลดลง: (−3,−1)

คาสงสดสมพทธ: f(−3) = 0 ; คาตำสดสมพทธ: f(−1) = − 3√4

เวาบน: (−∞,−3) ∪ (−3, 0) ; เวาลาง: (0,∞) ; จดเปลยนเวา: (0, 0)

x

y

2

1b

b

b

(f) เพมขน: (0, π/2) ∪ (π, 3π/2) ; ลดลง: (π/2, π) ∪ (3π/2, 2π)

คาสงสดสมพทธ: f(π/1) = f(3π/2) = 1 ; คาตำสดสมพทธ: f(π) = 0

เวาบน: (0, π/4) ∪ (3π/4, 5π/4) ∪ (7π/4, 2π)

เวาลาง: (π/4, 3π/4) ∪ (5π/4, 7π/4)

จดเปลยนเวา: (π/4, 12), (3π/4, 1

2), (5π/4, 1

2), (7π/4, 1

2)

x

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

0

1

π2

π 3π2

2π


4.4 รปแบบยงไมกำหนดและหลกเกณฑโลปตาล

4.4.1 รปแบบยงไมกำหนด 00 หรอ∞

∞

โดยทวไปถาลมตอยในรปแบบ

limx→a

f(x)

g(x)

โดยท f(x) → 0 และ g(x) → 0 เมอ x → a แลวลมตนอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมไดรปแบบลกษณะนเรยกวา รปแบบยงไมกำหนด 0

0

นอกจากนถาเราพจารณาลมตในรป

limx→a

f(x)

g(x)

โดยท f(x) → ∞ (หรอ −∞) และ g(x) → ∞ (หรอ −∞) เมอ x → a แลวลมตอาจจะหาคาไดหรอไมได รปแบบลกษณะนวา รปแบบยงไมกำหนด ∞

∞ในทนเราจะเรยนรวธการทเรยกวา หลกเกณฑโลปตาล ซงจะถกใชในการหาลมตในรปแบบ

ยงไมกำหนด

ทฤษฎบท 4.33 หลกเกณฑโลปตาล (L’Hospital’s Rule)กำหนดให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ g′(x) 6= 0 ทจดใกลๆ a (อาจจะยกเวนท a) และให

limx→a

f(x) = 0 และ limx→a

g(x) = 0

หรอlimx→a

f(x) = ±∞ และ limx→a

g(x) = ±∞(

นนคอเรามรปแบบยงไมกำหนด 00

หรอ ∞∞

)

แลวจะไดวา

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

ถาลมตทางขวามอหาคาได(

หรอมคาเปน ∞ หรอ −∞)

ขอสงเกต

1. หลกเกณฑโลปตาลกลาววาลมตของผลหารของฟงกชนเทากบลมตของผลหารของอนพนธถาหากเงอนไขของหลกเกณฑโลปตาลเปนจรง ดงนนจงเปนสงสำคญทจะตองแสดงวาเงอนไขตางๆ เกยวกบลมตของ f และ g สอดคลองกบเงอนไข ของหลกเกณฑโลปตาล กอนทจะใชหลกเกณฑโลปตาล


2. หลกเกณฑโลปตาลยงคงเปนจรงสำหรบลมตดานเดยว หรอลมตทอนนต นนคอเราสามารถแทน x → a ดวย x → a−, x → a+, x → ∞, หรอ x → −∞


ln x

1− x

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต ขอผดพลาดทพบบอยเมอใชหลกเกณฑโลปตาลคอ การใชกฎผลหารหาอนพนธแทนทจะเปนผลหารของอนพนธ นอกจากนขอผดพลาดจะอาจเกดมาจาก การใชหลกเกณฑโลปตาลโดยมไดตรวจสอบวาลมตนนอยในรปแบบยงไมกำหนด 0

0หรอ ∞

∞ หรอไม?


ex

x2

วธทำ . . . . . . . . .


ln x3√x2

วธทำ . . . . . . . . .


tan x− x

x3

วธทำ . . . . . . . . .

4.4.2 รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞ถา lim

x→af(x) = 0 แต lim

x→ag(x) = ∞ แลวจงไมมความชดเจนวาคาของ lim

x→af(x)g(x) คอ

อะไร? เราเรยกลมตในรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞(

indeterminate formof type 0 · ∞

)

เนองจากเราสามารถเขยนผลคณ fg ใหอยในรปผลหาร

fg =f

1/gหรอ fg =

g

1/f

นนคอเราสามารถจดรปแบบลมตทกำหนดใหไปเปนรปแบบยงไมกำหนด 00

หรอ ∞∞ ซงจะทำ

ใหเราสามารถใชหลกเกณฑโลปตาลหาคาลมตได

ตวอยาง 4.57 จงหาคาของ limx→0+

x ln x

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.58 จงหาคาของ limx→π

4

−

(1− tan x) sec 2x

วธทำ . . . . . . . . .


4.4.3 รปแบบยงไมกำหนด ∞−∞ถา lim

x→af(x) = ∞ และ lim

x→ag(x) = ∞ แลวลมต

limx→a

[f(x)− g(x)]

จะถกเรยกวา รปแบบยงไมกำหนด ∞−∞(

indeterminate form of type ∞−∞)

การหาคาลมตในรปแบบนทำได โดยการเปลยนรปลมตของผลตางเปนลมตของผลหาร โดยอาจทำใหเปนรปตรรกยะ หรอหาตวประกอบรวม ซงลมตทถกเปลยนรปนจะเปนรปแบบยงไมกำหนด 0

0

หรอ ∞∞


[

1

ln(x+ 1)− 1

x

]

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.60 จงหาคาของ limx→(π/2)−

(sec x− tan x)

วธทำ . . . . . . . . .

4.4.4 รปแบบยงไมกำหนด 00,∞0, 1∞

รปแบบยงไมกำหนดหลายรปแบบเกดขนมาจากลมตในรป

limx→a

[

f(x)]g(x)

ซงแบงเปนกรณไดดงน

1. limx→a


g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด 00

2. limx→a

f(x) = ∞ และ limx→a

g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด ∞0

3. limx→a


g(x) = ±∞ จะไดรปแบบยงไมกำหนด 1∞

ในแตละกรณเราสามารถเขยนฟงกชนในรปเลขชกำลง[

f(x)]g(x)

= eg(x) ln f(x)

หรอใสลอการทมธรรมชาตดงน ใหy =

[

f(x)]g(x)

แลวจะไดวาln y = g(x) ln f(x)

ดงนนแตละแบบจะนำไปสรปแบบยงไมกำหนดของ g(x) ln f(x) ซงอยในรป 0 · ∞



(tanx)sinx

วธทำ . . . . . . . . .


(ex + x)1

x

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.63 จงหาคาของ limx→1+

x1

x−1

วธทำ . . . . . . . . .


จงหาคาของลมตตอไปน

1. limx→−2

x+ 2

x2 − 42. lim

x→−2

x+ 1

x2 + 4x+ 3

3. limx→∞

3x2 + 2

x2 − 44. lim

x→−∞

x+ 1

x2 + 4x+ 3

5. limx→0

ex − 1

sin x6. lim

x→0

sin x

x3

7. limx→0

sin x− x

x38. lim

x→1

√x− 1

x− 1

9. limx→∞

x3

ex10. lim

x→0

ex − 1

x

11. limx→1

sin πx

x− 112. lim

x→∞

ln x

x2

13. limx→∞

xe−x 14. limx→0

x sin x

cos x− 1

15. limx→0+

x ln x 16. limx→0+

lnx

cot x

17. limx→∞

(√x2 − 1− x

)

18. limx→∞

(

1 +1

x

)x

19. limx→0+

(

ln x+1

x

)

20. limx→0+

(1/x)x

21. limx→0+

xsinx 22. limx→0

(1− 2x)1/x


1. −14

2. 1 3. 3 4. 0 5. 1 6. ∞ 7. −16

8. 12

9. 0

10. 1 11. −π 12. 0 13. 0 14. −2 15. 0 16. 0 17. 0

18. e 19. ∞ 20. 1 21. 1 22. e−2

บทที่ 1 เมทริกซì - t...

Documents