บทที่ 2...

บทท 2

ลมตและความตอเนอง

การพฒนาของแคลคลสในชวงเวลาทผานมา ทำใหนกวทยาศาสตรไดเขาใจความหมายทแทจรงของอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง เชน ความเรว และความเรง เมอเกดความเขาใจแลว วธการคำนวณทมประสทธภาพกเกดขนตามมา และรากฐานทสำคญของอตราการเปลยนแปลงคอ ลมต

ในบทนเราจะกลาวถงบทนยามของลมต สญลกษณทใชแทนลมตทฤษฎบท และวธการตางๆ สำหรบการหาคาลมต และจะจบบทนดวยการใชลมตในการศกษาความตอเนองของเสนโคง

2.1 ความหมายของลมตและบทนยามของลมต

ความหมายพนฐานของลมตคอ การใชลมตเพออธบายลกษณะของฟงกชนเมอตวแปรอสระของฟงกชนมคาเขาใกลคาทกำหนดให

ตวอยางเชน หากเราพจารณาลกษณะของฟงกชน

f(x) = x2 − x+ 1

เมอ x มคาเขาใกล 2 จากกราฟและตารางขางลางน

3

2x

y

b b b

b

b

b

x x

f(x)

f(x) y = x2 − x+ 1x f(x) x f(x)

1.0 1.000000 3 7.000000

1.5 1.750000 2.5 4.750000

1.9 2.710000 2.1 3.310000

1.95 2.852500 2.05 3.152500

1.99 2.970100 2.01 3.030100

1.995 2.985025 2.005 3.015025

1.999 2.997001 2.001 3.003001

จะเหนไดวาคาของ f(x) มคาเขาใกล 3 เมอ x มคาเขาใกล 2 ทงทางซายและทางขวา เราสามารถอธบายลกษณะดงกลาวโดยกลาววา ลมตของ x2 − x+ 1 เทากบ 3 เมอ x มคาเขาใกล2 ทงสองทาง และเขยนแทนดวย

limx→3

(x2 − x+ 1) = 3

21

MA113: จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 22

ถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a แลวเราสามารถเขยนแทนดวย

limx→a

f(x) = L (2.1)

และกลาวไดวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a มคาเทากบ L นอกจากนสมการ (2.1) สามารถเขยนแทนดวย

f(x) → L เมอ x → a (2.2)

บทนยาม 2.1

จงพจารณาหาคา limx→1

x− 1√x− 1

ตวอยาง 2.1

วธทำ ถงแมวาฟงกชน f(x) =x− 1√x− 1

หาคาไมไดท x = 1 แตจากกราฟและตารางแสดงคาของ

ฟงกชนตอไปน

1

2

3

1 2 3x

y

b b

b

b

b

bc

x x

y =x− 1√x− 1

x f(x) x f(x)

0.9 1.9 1.1 2.1

0.99 1.99 1.01 2.01

0.999 1.999 1.001 2.001

0.9999 1.9999 1.0001 2.0001

0.99999 1.99999 1.00001 2.00001

0.999999 1.999999 1.000001 2.000001

เหนไดวาเมอ x มคาเขาใกล 1 ทงทางซายและทางขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 2 ดงนน

limx→1

x− 1√x− 1

= 2 z


จงพจารณาหาคา limx→0

sin x

x


วธทำ ในทนฟงกชน f(x) =sin x

xหาคาไมไดทจด x = 0 แตจากกราฟและตารางแสดงคาของ

ฟงกชนตอไปน

x

y

y =sin x

x1

0

b b

bb b

x x

f(x)

x f(x)

±0.1 0.998334

±0.01 0.999983

±0.001 0.99999983

±0.0001 0.9999999983

±0.00001 0.999999999983

จะไดวาlimx→0

sin x

x= 1 z

ลมตดานเดยว

ลมตในสมการ (2.1) เรยกวา ลมตสองดาน (two-sided limit) เนองจาก f(x) มคาเขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทงทางซายและทางขวา อยางไรกตามมฟงกชนบางฟงกชนทคาของฟงกชนมคาแตกตางกน เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวา ตวอยางเชน ฟงกชน

f(x) =x

|x| ={

1, x > 0

−1, x < 0

ซงมกราฟดงน

x

y

1

−1

y =x

|x|

จากกราฟจะเหนไดวาเมอ x เขาใกล 0 ทางขวา คาของ f(x) เขาใกลคาลมต 1 ในทำนองเดยวกนเมอ x เขาใกล 0 ทางซาย คาของ f(x) เขาใกลคาลมต −1 และเราสามารถเขยนแทนลมตเหลานดวยสญลกษณดงน

limx→0+

x

|x| = 1 และ limx→0−

x

|x| = −1


ถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a (แตมากกวา a) แลวเราจะเขยนแทนดวย

limx→a+

f(x) = L (2.3)

และอานวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา มคาเทากบ L หรอf(x) เขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวาถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a (แตนอยกวา a) แลวจะเขยนแทนดวย

limx→a−

f(x) = L (2.4)

และอานวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย มคาเทากบ L หรอf(x) เขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย


ความสมพนธระหวางลมตดานเดยวและลมตสองดาน

โดยทวไปไมมการรบประกนวาฟงกชน f จะมลมตสองดานทจด a ทกำหนดให นนคอ คาของf(x) อาจจะไมเขาใกลจำนวนจรง L เพยงคาเดยว เมอ x → a ในกรณนเราจะกลาววา

limx→a

f(x) หาคาไมได

ในทำนองเดยวกน คาของ f(x) อาจจะไมเขาใกลจำนวนจรง L เพยงคาเดยว เมอ x → a+

หรอเมอ x → a− ในกรณนกลาวไดวา

limx→a+


หรอlimx→a−


การทลมตสองดานของฟงกชน f(x) จะหาคาไดทจด a คาของ f(x) จะตองเขาใกลจำนวนจรงL บางจำนวน เมอ x → a และคาดงกลาวจะตองมคาเทากน ไมวา x มคาเขาใกล a ทางซายหรอทางขวา

ลมตสองดานของฟงกชน f(x) จะหาคาไดทจด a กตอเมอ ลมตดานเดยวทงสองหาคาไดทจด a และมคาเทากน นนคอ

limx→a

f(x) = L กตอเมอ limx→a−

f(x) = L = limx→a+

f(x)



จงอธบายวาทำไม limx→0

x

|x| หาคาไมได


วธทำ เนองจากคาของ f(x) =x

|x| เขาใกล −1 เมอ x เขาใกล 0 ทางซาย และเขาใกล −1

เมอ x เขาใกล 0 ทางขวา ดงนนลมตดานเดยวท 0 มคาไมเทากน z

2.2 ทฤษฎบทของลมต และการหาคาของลมต

สำหรบหวขอนเราจะศกษาวธการหาคาลมตโดยใชกฎพนฐาน ซงจะชวยใหการหาลมตของฟงกชนงายขน

สำหรบคาคงตว c และจำนวนจรง a ใดๆ

limx→a

c = c

ทฤษฎบท 2.1

สำหรบจำนวนจรง a ใดๆlimx→a

x = a


กำหนดให limx→a

f(x) และ limx→a

g(x) หาคาได และใหc เปนคาคงตวใดๆ จะไดวา

1. limx→a

[

cf(x)]

= c limx→a

f(x)

2. limx→a

[

f(x)± g(x)]

= limx→a

f(x)± limx→a

g(x)

3. limx→a

[

f(x) · g(x)]

= limx→a

f(x) · limx→a

g(x)

4. limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)

(

ถา limx→a

g(x) 6= 0)




f(x) หาคาได จะไดวา

limx→a

[

f(x)]2

=[

limx→a

f(x)]2

บทแทรก 2.1

เราสามารถนำทฤษฎบท 2.3 ขอ 3 มาประยกตใชซำๆกนหลายครงได ดงนนสำหรบจำนวนเตมบวก n ใดๆ

limx→a

[

f(x)]

n

=[

limx→a

f(x)]

n

สำหรบจำนวนเตมบวก n และจำนวนจรง a ใดๆ

limx→a

xn = an

บทแทรก 2.2

จงหาคาลมตตอไปน

(a) limx→4

(5x2 + 3x− 2) (b) limx→2

x3 + 2x− 5

x2 − 3


วธทำ


ทฤษฎบทตอไปนเปนทฤษฎบททแสดงใหเหนวาลมตของฟงกชนพหนาม มคาเทากบ คาของฟงกชนพหนามนนทจด x ไดเขาใกล

สำหรบฟงกชนพหนาม

p(x) = cnxn + cn−1x

n−1 + · · ·+ c1x+ c0

และจำนวนจรง a ใดๆ

limx→a

p(x) = cnan + cn−1a

n−1 + · · ·+ c1a+ c0 = p(a)


จงหาคา limx→3

(3x2 − 2x− 21)2018


วธทำ


x3 + 2x− 5

x2 − 3


วธทำ


กำหนดให f(x) =p(x)

q(x)เปนฟงกชนตรรกยะ และให a เปนจำนวนจรงใดๆ

(a) ถา q(a) 6= 0 แลว limx→a

f(x) = f(a)

(b) ถา q(a) = 0 แต p(a) 6= 0 แลว limx→a




f(x) = L และให n เปนจำนวนเตมบวกใดๆแลว

limx→a

n

√

f(x) = n

√

limx→a

f(x) =n

√L,

(

ถา n เปนจำนวนเตมบวกค แลวสมมตให L > 0)



5√2x3 − 3x


วธทำ

จงหาคา limx→−3

x2 − 14x− 51

x2 − 4x− 21


วธทำ



(

4x2

x− 2− 8x

x− 2

)


วธทำ

จงหาคา limx→2−

|x− 2|x3 + x2 − 6x


วธทำ


√x+ 1− 2

x3 − 27


วธทำ



x2 − 4x√2x2 − 7x− 2


วธทำ

ลมตของฟงกชนทนยามเปนชวง

บางครงเราอาจพจารณาฟงกชนทมนพจนทแตกตางกนบนชวงทตางกน ซงฟงกชนในลกษณะนเรยกวา ฟงกชนทนยามเปนชวง (piecewise-defined functions) การหาลมตของฟงกชนทนยามเปนชวงนน จะใชลมตสองดานในการหาลมตทจดแบงชวง หรอจดทมการเปลยนนพจน

กำหนดให

f(x) =

x2 − 5x+ 6

|x− 2| ถา x ≤ 2

2x− 1

x+ 1ถา x > 2


f(x)


วธทำ


2.3 ลมตทเกยวของกบอนนต

ลมตอนนต

บางครงลมตดานเดยวหรอลมตสองดานหาคาไมได เพราะวาคาของฟงกชนเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกด ตวอยางเชน พจารณาฟงกชน f(x) = 1/x เมอ x เขาใกล 0 จากกราฟและตารางแสดงคาของฟงกชนตอไปน

x

y

y =1

x

b

b

x

1/xx

y

y =1

x

b

b

x

1/x

x 1/x x 1/x

−1 −1 1 1

−0.1 −10 0.1 10

−0.01 −100 0.01 100

−0.001 −1000 0.001 1000

−0.0001 −10, 000 0.0001 10, 000

จะเหนไดวา เมอ x มคาเขาใกล 0 ทางซาย f(x) = 1/x มคาเปนลบ และลดลงโดยไมมขดจำกด และเมอ x มคาเขาใกล 0 ทางขวา f(x) = 1/x มคาเปนบวก และเพมขนโดยไมมขดจำกด นนคอ

limx→0−

1

x= −∞ และ lim

x→0+

1

x= +∞


นพจนlimx→a−

1

x= +∞ และ lim

x→a+

1

x= +∞

หมายถง f(x) มคาเพมขนโดยไมมขดจำกด เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวาตามลำดบ และถาสมการทงสองเปนจรง แลวจะเขยนแทนดวย

limx→a

1

x= +∞

ในทำนองเดยวกน นพจน

limx→a−

1

x= −∞ และ lim

x→a+

1

x= −∞

หมายถง f(x) มคาลดลงโดยไมมขดจำกด เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวาตามลำดบ และถาสมการทงสองเปนจรง แลวจะเขยนแทนดวย

limx→a

1

x= −∞


กำหนดให f เปนฟงกชนทมกราฟดงรป

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

bc bc

จากกราฟจงหาคาลมตตอไปน

(a) limx→0−

f(x) (b) limx→0+

f(x)

(c) limx→3−

f(x) (d) limx→3+

f(x)

(e) limx→5−

f(x) (f) limx→5+

f(x)


วธทำ


ลมตทอนนต

นอกจากลมตอนนตทไดกลาวไปแลว เรายงสนใจการหาคาลมตของฟงกชนเมอ x มคาเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกด เชนถา f(x) =

1

xแลวจะไดวา

1

x→ 0 เมอ x มคาเพมขนโดยไมม

ขดจำกด (x → +∞) ในกรณนเราเขยนแทนดวยสญลกษณ

limx→+∞

1

x= 0

ในทำนองเดยวกน เราไดวา1

x→ 0 เมอ x มคาลดลงโดยไมมขดจำกด (x → −∞) ในกรณ

นเราเขยนแทนดวยสญลกษณlim

x→−∞

1

x= 0

ถาหากพจารณากราฟของ y =1

xดงรปตอไปน

−3 3

10

−10

x

y

y =1

x

ทฤษฎบทตอไปนกลาวถงพฤตกรรมของ1

xtเมอ t > 0 เปนจำนวนตรรกยะใดๆ ในขณะท

x → ±∞ ซงจะมพฤตกรรมเชนเดยวกบพฤตกรรมของฟงกชน f(x) =1

xเมอ x → ±∞ ทเรา

ไดกลาวมาแลวขางตน

สำหรบจำนวนตรรกยะ t > 0 ใดๆ

limx→±∞

1

xt= 0

(

สำหรบกรณท x → −∞ เราสมมตให t =p

qเมอ q เปนจำนวนค

)



ให pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0 เปนฟงกชนพหนามทมระดบขนพหนาม n > 0 แลวจะไดวา

limx→∞

pn(x) =

{

+∞ ถา an > 0

−∞ ถา an < 0


จงหาคา limx→∞

x3 − x2 + 5x− 3

2x4 − 3x+ 5


วธทำ


3x2 − 5x+ 2√4x4 + 2x+ 3


วธทำ



(√25x2 + 4x− 5x

)


วธทำ

จงหาคา limx→−∞

3x− 4x2

√x6 − 1 + 5x2


วธทำ


2.4 ลมตของฟงกชนตรโกณมต

ในหวขอน เราจะศกษาวธการหาคาลมตของฟงกชนทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต โดยเรมดวยการกลาวถงทฤษฎบทตอไปน ซงจะเปนประโยชนสำหรบการหาคาลมต

ถา a เปนจำนวนใดๆ ทอยในโดเมนของฟงกชนตรโกณมตทกำหนดให แลว

limx→a

sin x = sin a limx→a

cosx = cos a limx→a

tanx = tan a

limx→a

csc x = csc a limx→a

sec x = sec a limx→a

cotx = cot a


limx→0

sin x

x= 1


สำหรบจำนวนจรง k 6= 0 ใดๆlimx→0

sin kx

x= k



sin 3x− sin 5x

x


วธทำ



1− cos 2x

x2


วธทำ


1− cosx

x sin x


วธทำ



2x cot2 x

csc x


วธทำ

2.5 ความตอเนอง

สงหนงทจะชวยใหเราเขาใจความหมายทแทจรงของความตอเนองของฟงกชนคอ การพจารณากราฟของฟงกชนท ไมตอเนอง (discontinuous) ทจด x = a ตอไปน

x

y

ax

y

b

ax

y

a

จากกราฟเราสามารถสรปแตละกราฟไดดงน

(a) ลมตของ f(x) หาคาไมไดเมอ x เขาใกล a

(b) คาของฟงกชนและคาลมตท a มคาไมเทากน

(c) ฟงกชน f ไมนยามท a

กราฟของฟงกชนทงสามลกษณะขางตน นำไปสบทนยามของความตอเนองทจดใดๆของฟงกชน ดงน


ฟงกชน f จะมความ ตอเนอง (continuous) ทจด x = a ถา

1. f(a) หาคาได

2. limx→a

f(x) หาคาได และ

3. limx→a

f(x) = f(a)


จากกราฟของฟงกชน f ตอไปน จงพจารณาวา f ไมตอเนองทจดใด? และเพราะเหตใด?

x

y

b

0 1 3 51


วธทำ


จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจด x = 2 หรอไม?

(a) f(x) =x2 − 4

x− 2(b) g(x) =

x2 − 4

x− 2, x 6= 2

1 , x = 2

(c) h(x) =

x2 − 4

x− 2, x 6= 2

3 , x = 2


วธทำ

ถาฟงกชน f และ g ตอเนองท x = a แลว

(a) f + g ตอเนองท x = a

(b) f − g ตอเนองท x = a

(c) f · g ตอเนองท x = a

(d)f

gตอเนองท x = a ถา g(a) 6= 0 และไมตอเนองท x = a ถา g(a) = 0



(i) ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนตอเนองททกจดบนเซตของจำนวนจรง

(ii) ฟงกชนตรรกยะเปนฟงกชนตอเนองททกจด ยกเวนจดททำใหตวสวนเปนศนย


จงพจารณาวาฟงกชน f(x) =x5 − 3x2 + 5

x2 − 3x+ 2ตอเนองทใดบาง?


วธทำ

จงหาคาของ k ททำใหฟงกชน

f(x) =

{

x2 − k2 ถา x < 4

kx+ 20 ถา x ≥ 4

มความตอเนองบนชวง (−∞,∞)


วธทำ


กำหนดให

f(x) =

(x− 2)2

x2 − 4+ 2k ถา x > 2

h ถา x = 2

2x+ k ถา x < 2

จงหาคา h และ k ททำให f มความตอเนองท x = 2


วธทำ

บทที่ 2...

Documents