บทที่ 4 วิธีการ ... - t...

บทท 4

วธการอนกรมกำลง

4.1 นยามและคณสมบตเบองตนของอนกรมกำลง

ในหวขอนเราจะแนะนำอนกรมกำลงในรปแบบอยางงาย พรอมทงกลาวถงทฤษฎบทเบองตนทควรรเกยวกบอนกรมกำลง

บทนยาม 4.1 อนกรมกำลง (power series) ในเทอมของ x − a คอ อนกรมอนนตทเขยนอยในรป

∞∑

n=0

cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cn(x− a)n + · · · (4.1)

ถา a = 0 แลวจะไดอนกรมกำลงในเทอมของ x คอ อนกรมกำลงทเขยนอยในรป∞∑

n=0

cnxn = c0 + c1x+ c2x

2 + · · ·+ cnxn + · · · (4.2)

การศกษาในบทนโดยสวนใหญเราจะกลาวถงอนกรมกำลงในเทอมของ x เนองจากคณสมบตทวไปของอนกรมกำลงในเทอมของ x สามารถขยายไปสคณสมบตทวไปของอนกรมกำลงในเทอมของ x− a โดยการแทน x ดวย x− a

อนกรมกำลง (4.2) จะ ลเขา (converge) บนชวง I ถา

∞∑

n=0

cnxn = lim

N→∞

N∑

n=0

cnxn

หาคาได สำหรบทกคาของ x บนชวง I ในกรณนผลบวก

f(x) =

∞∑

n=0

cnxn

67

เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 68

ถกนยามบนชวง I และเราจะเรยกอนกรม∑

cnxn วา ตวแทนอนกรมกำลง ของฟงกชน

f บนชวง I

ตวอยางตอไปนเปนตวแทนอนกรมกำลงของฟงกชนพนฐานทผอานเคยศกษามาแลว

ex =∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+ · · · (4.3)

cosx =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x4

4!− · · · (4.4)

sin x =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− · · · (4.5)

ln(1 + x) =

∞∑

n=1

(−1)n+1xn

n= x− x2

2!+

x3

3!− · · · (4.6)

1

1− x=

∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · · (4.7)

จากตวอยางขางตนจะไดวาอนกรม (4.3) - (4.5) เปนอนกรมลเขาสำหรบทกคาของ x

ในขณะทอนกรม (4.6) และ (4.7) เปนอนกรมลเขาถา |x| < 1 และลออกถา |x| > 1

นอกจากนอนกรม (4.7) คอ อนกรมเรขาคณต

บทนยาม 4.2 ฟงกชน f จะเปน ฟงกชนวเคราะห (analytic function) ทจด x = a

ถาอนกรมกำลง∞∑

n=0

cn(x− a)n ลเขาสฟงกชน f(x) สำหรบบางชวงเปดทมจด a บรรจอย นน

คอม รศมของการลเขา เปนจำนวนจรงบวก

ตวอยางเชน ฟงกชนพหนาม

f(x) = p0 + p1x+ p2x2 + · · ·+ pnx

n

เปนฟงกชนวเคราะหททกๆจด x = a เนองจากเราสามารถเขยน f(x) ในรป

f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cn(x− a)n

สำหรบฟงกชนตรรกยะ f(x) =P (x)

Q(x)เมอ P (x) และ Q(x) เปนฟงกชนพหนามทไมม

ตวประกอบรวมจะเปนฟงกชนวเคราะหททกๆจด a ยกเวนทจด a ททำให Q(a) = 0

การดำเนนการของอนกรมกำลง

ถา f(x) =

∞∑

n=0

anxn และ g(x) =

∞∑

n=0

bnxn แลว

f(x) + g(x) =

∞∑

n=0

(an + bn)xn (4.8)


และ

f(x)g(x) =

∞∑

n=0

cnxn

= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + · · · (4.9)

เมอ cn = a0bn + a1bn−1 + · · · + anb0 และในทนอนกรม (4.8) และ (4.9) ลเขาส

ฟงกชน f(x) + g(x) และ f(x)g(x) ตามลำดบ บนชวงเปดใดๆ ททำใหอนกรม∞∑

n=0

anxn

และ∞∑

n=0

bnxn ลเขา ตวอยางเชน

sin x cos x =

(x− x3

6+

x5

120− · · ·

)(1− x2

2+

x4

24− · · ·

)

= x+

(−1

6− 1

2

)x3 +

(1

24+

1

12+

1

120

)x5 + · · ·

= x− 4

6x3 +

16

120x5 − · · ·

=1

2

[(2x)− (2x)3

3!+

(2x)5

5!− · · ·

]

=1

2sin 2x สำหรบทกคาของ x

ในทำนองเดยวกนผลหารของอนกรมกำลง 2 อนกรม สามารถหาไดโดยใชการหารยาว เชน

tanx =sin x

cosx= x+

x3

3+

2

15x5 +

17

315x7 + · · ·

เปนอนกรมลเขาถา |x| < π/2

วธการอนกรมกำลง

วธการอนกรมกำลงเปนวธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ โดยการแทนคา

y =∞∑

n=0

cnxn (4.10)

ลงในสมการเชงอนพนธ แลวพยายามหาคาของสมประสทธ c0, c1, c2, . . . ททำใหอนกรมกำลงสอดคลองกบสมการเชงอนพนธ ซงวธการนอาจจะไมสำเรจเสมอไป แตถาเราสามารถหาอนกรมกำลงทเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธได ผลเฉลยทไดจะแตกตางกบผลเฉลยทเราศกษามากอนนซงเปนผลเฉลยรปแบบปด


กอนทเราจะแทนอนกรมกำลง (4.10) ลงในสมการเชงอนพนธ เราจะตองรวาจะแทนคาy′, y′′, . . . อยางไร? ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงอนพนธ y′ ของ y =

∑cnx

n ซงไดมาจากผลบวกของอนพนธของแตละพจนของอนกรมของ y

ทฤษฎบท 4.1 การหาอนพนธทละพจนของอนกรมกำลง

ถาตวแทนอนกรมกำลง

f(x) =∞∑

n=0

cnxn = c0 + c1x+ c2x

2 + c3x3 + · · ·

ของฟงกชน f ลเขาบนชวงเปด I แลว f สามารถหาอนพนธไดบนชวง I และ

f ′(x) =

∞∑

n=1

ncnxn−1 = c1 + 2c2x+ 3c3x

2 + · · ·

ททกจดของชวง I

ตวอยางเชน อนพนธของอนกรมเรขาคณต

1

1− x=

∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·

คอ1

(1− x)2=

∞∑

n=1

nxn−1 = 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · ·

วธการหาคาสมประสทธของอนกรม y =∑

cnxn ททำใหอนกรมนสอดคลองกบสมการเชง

อนพนธ จะขนอยกบทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 4.2 หลกการเอกลกษณ

ถา∞∑

n=0

anxn =

∞∑

n=0

bnxn

สำหรบทกจด x บนชวงเปด I บางชวง แลว an = bn สำหรบทกคา n ≥ 0

ในกรณเฉพาะ ถา∑

anxn = 0 สำหรบทกคาของ x บนชวงเปดบางชวง แลวจากทฤษฎบท 4.2

จะไดวา an = 0 สำหรบทกคา n ≥ 0

ตวอยาง 4.1 จงหาผลเฉลยของสมการ y′ + 3y = 0

วธทำ . . . . . . . . .


การเลอนดชนของเครองหมายผลบวก

จากตวอยาง 4.1 เราเขยน∞∑

n=1

ncnxn−1 =

∞∑

n=0

(n + 1)cn+1xn (4.11)

โดยใชการเลอนดชนของเครองหมายผลบวก ในทนเรา +1 ในอนกรมทางซายมอ นนคอเราเพมคาดชนของเครองหมายผลบวกไป 1 โดยการแทน n ดวย n + 1 ซงจะเขยนแทนดวยn → n + 1 ในขณะเดยวกนเราลดคาเรมตนลง 1 นนคอจาก n = 1 เปน n = 0 และผลทไดกคออนกรมทางขวามอ การกระทำนสมเหตสมผลเนองจากอนกรมอนนตทงสองตวของสมการ(4.11) สามารถเขยนในรป

c1 + 2c2x+ 3c3x2 + 4c4x

3 + · · ·

โดยทวไปเราสามารถเลอนดชนของเครองหมายผลบวกไป k โดยการเพมคาดชนของเครองหมายผลบวกไป k (n → n+ k) ในขณะเดยวกนลดคาเรมตนลง k ตวอยางเชน

∞∑

n=3

cnxn−1 =

∞∑

n=1

cn+2xn+1

เปนการเลอนดชนของเครองหมายผลบวกไป +2

ถา k เปนจำนวนลบ เราสามารถตความ ‘‘การลดลง k’’ เปน‘‘การเพมขน −k = |k|’’ดงนน การเลอนไป −2 (n → n− 2) ของดชนของเครองหมายผลบวก จะทำให

∞∑

n=1

ncnxn−1 =

∞∑

n=3

(n− 2)cn−2xn−3

ซงในทนดชนของเครองหมายผลบวกลดลง 2 แตคาเรมตนเพมขน 2 นนคอจาก n = 1 เปนn = 3

เนองจากอนกรมเลขชกำลงเปนอนกรมทลเขาสำหรบทกคา x ≥ 0 ดงนนผลเฉลยทอยในรปอนกรมกำลงของตวอยาง 4.1 จะลเขาสำหรบทกคา x ≥ 0 การพจารณาวาผลเฉลยทอยในรปอนกรมกำลงของสมการเชงอนพนธลเขาเมอใดนน เราสามารถนำทฤษฎบทตอไปนมาใชในการพจารณาได

ทฤษฎบท 4.3 รศมของการลเขา

กำหนดอนกรมกำลง∑

cnxn และสมมตให

ρ = limn→∞

∣∣∣∣cncn+1

∣∣∣∣ (4.12)

หาคาได (ρ มคาเปนจำนวนจรงใดๆ หรอ ρ = ∞) แลวจะไดวา


1. ถา ρ = 0 แลวอนกรมจะ ลออก สำหรบทกคา x 6= 0

2. ถา 0 < ρ < ∞ แลว∑

cnxn จะลเขาถา |x| < ρ และจะลออกถา |x| > ρ

3. ถา ρ = ∞ แลวอนกรมจะลเขาสำหรบทกคา x

คา ρ ในสมการ (4.12) จะเรยกวา รศมของการลเขา ของอนกรมกำลง∑

cnxn

ตวอยาง 4.2 จงหารศมของการลเขาของผลเฉลยทอยในรปอนกรมกำลงจากตวอยาง 4.1

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.3 จงหาผลเฉลยของสมการ (2x− 1)y′ + 2y = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.4 จงหาผลเฉลยของสมการ x2y′ = y + x− 2

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.5 จงหาผลเฉลยของสมการ y′′ + 9y = 0

วธทำ . . . . . . . . .

แบบฝกหด 4.1

1. จงหารศมของการลเขาของอนกรมกำลงตอไปน

(a)∞∑

n=0

(x− 3)n (b)∞∑

n=0

x2n

(c)∞∑

n=0

x2n

n!(d)

∞∑

n=1

3n

nxn

(e)∞∑

n=1

(2x+ 1)n

n2(f)

∞∑

n=0

(−1)nx2n

2n

(g)∞∑

n=0

(−1)nx2n

n!2n(h)

∞∑

n=0

(−1)n(2n+ 3)x2n+1

(i)∞∑

n=1

(−1)n

10n(x− 2)n (j)

∞∑

n=1

(−1)nn2(x+ 2)n

3n

(k)∞∑

n=0

(n+ 1)(2n+ 3)x2n+1

3

2. จงเขยนนพนธทกำหนดใหตอไปนในรปของผลบวกของพจน xn


(a)∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2

(b)∞∑

n=0

cnxn+2

(c) x∞∑

n=1

ncnxn−1 +

∞∑

n=0

cnxn

(d) (1− x2)

∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2

(e)∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 + x

∞∑

n=1

ncnxn−1

(f)∞∑

n=1

ncnxn−1 + x

∞∑

n=0

cnxn

(g)∞∑

n=2

n(n− 1)cnxn−2 +

∞∑

n=0

cnxn

3. จงหาผลเฉลยอนกรมกำลงของสมการตอไปน

(a) y′′ − y = 0 (b) y′′ − xy′ − y = 0

(c) y′′ + xy′ + 2y = 0 (d) 2y′′ + xy′ + 3y = 0

คำตอบแบบฝกหด 4.1

1. (a) ρ = 1 (b) ρ = 1 (c) ρ = ∞ (d) ρ = 13

(e) ρ = 12

(f) ρ = 2 (g) ρ = ∞ (h) ρ = 1 (i) ρ = 10 (j) ρ = 3

(k) ρ = 1

2. (a)∞∑

n=0

(n+ 2)(n+ 1)cn+2xn (b)

∞∑

n=2

cn+2xn (c)

∞∑

n=0

(n+ 1)cnxn

(d)∞∑

n=0

[(n+2)(n+1)cn+2−n(n−1)cn]xn (e)

∞∑

n=0

[(n+2)(n+1)cn+2+ncn]xn

(f) c1 +∞∑

n=0

[(n + 1)cn+1 + cn−1]xn (g)

∞∑

n=0

[(n+ 2)(n+ 1)cn+2 + cn]xn


3. (a) y(x) = c0

(1 +

x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+ · · ·

)+ c1

(x+

x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+ · · ·

)

(b) y(x) = c0

(1 +

x2

2+

x4

2 · 4 +x6

2 · 4 · 6 + · · ·)+ c1

(x+

x3

3+

x5

3 · 5 +x7

3 · 5 · 7 + · · ·)

(c) y(x) = c0

(1− x2

1+

x4

1 · 3 − x6

1 · 3 · 5 + · · ·)+ c1

(x− x3

2+

x5

2 · 4 − x7

2 · 4 · 6 + · · ·)

(d) y(x) = c0

(1− 1

4x2 +

5

96x4 − 7

1152x6 + · · ·

)+ c1

(x− x3

3+

x5

20− x7

210+ · · ·

)

4.2 ผลเฉลยอนกรมรอบจดสามญ

วธการอนกรมกำลงทแนะนำในหวขอทผานมา สามารถนำไปประยกตใชกบสมการเชงเสนอนดบใดๆ แตทสำคญคอการประยกตใชกบสมการเชงเสนเอกพนธอนดบสองทอยในรป

A(x)y′′ +B(x)y′ + C(x)y = 0 (4.13)

โดยท A,B และ C เปนฟงกชนวเคราะห โดยแทจรงแลวการประยกตทสำคญคอเมอ A,B

และ C เปนฟงกชนพหนามจากตวอยาง 4.2 ในหวขอ 4.1 จะเหนไดวาวธการอนกรมกำลงไมไดใหผลเฉลยทอยใน

รปอนกรมเสมอไป ในการพจารณาวากรณเชนนจะเกดขนเมอใดนนเราจะเขยนสมการ (4.13)ในรป

y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0 (4.14)

โดยท P = B/A และ Q = C/A ในทน P (x) และ Q(x) จะไมเปนฟงกชนวเคราะหทจดททำให A(x) = 0 ตวอยางเชน พจารณาสมการ

xy′′ + y′ + xy = 0 (4.15)

จะเหนไดวาฟงกชนสมประสทธใน (4.15) มความตอเนองททกจด แตถาเขยนในรปแบบของ(4.14) นนคอสมการ

y′′ +1

xy′ + y = 0 (4.16)

โดยท P (x) = 1/x จะไมเปนฟงกชนวเคราะหท x = 0

จด x = a จะเรยกวา จดสามญ (ordinary point) ของสมการ (4.14) (และของสมการ (4.13)) ถาฟงกชน P (x) และ Q(x) เปนฟงกชนวเคราะหทจด x = a มฉะนนจะเรยกจด x = a วา จดเอกฐาน (singular point) ดงนนเราไดวาจด x = 0 เปนจดเอกฐานเพยงจดเดยวของสมการ (4.15) เนองจากผลหารของฟงกชนวเคราะหเปนฟงกชนวเคราะห ดงนนถา A(a) 6= 0 ในสมการ (4.13) ทมสมประสทธเปนฟงกชนวเคราะห แลวx = a จะเปนจดสามญ และถาหาก A(x), B(x) และ C(x) เปนฟงกชนพหนามทไมมตวประกอบรวม แลว x = a จะเปนจดสามญกตอเมอ A(a) 6= 0


ตวอยาง 4.6 จงหาจดเอกฐานของสมการ xy′′ + x(1− x)−1y′ + (sin x)y = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 4.4 ผลเฉลยอนกรมรอบจดสามญ

ถา x = a เปนจดสามญของสมการ

A(x)y′′ +B(x)y′ + C(x)y = 0 (4.17)

นนคอ P = B/A และ Q = C/A เปนฟงกชนวเคราะหทจด x = a แลวสมการ (4.17)จะมผลเฉลย 2 ผลเฉลยทเปนอสระเชงเสนกนและแตละผลเฉลยจะเขยนอยในรป

y =

∞∑

n=0

cn(x− a)n (4.18)

รศมของการลเขาของแตละผลเฉลยอยางนอยทสดจะไมเกนระยะทใกลทสดระหวางจดa กบจดเอกฐาน (จำนวนจรงหรอจำนวนเชงซอน) ของสมการ(4.17) สมประสทธของอนกรม (4.18)สามารถหาไดโดยการแทน อนกรม (4.18) ลงในสมการ(4.17)

ตวอยาง 4.7 กำหนดให(x2 + 9)y′′ + xy′ + x2y = 0

จงใชทฤษฎบท 4.4 หารศมของการลเขาของผลเฉลยอนกรมในเทอมของx และ x− 4 ของสมการทกำหนดให

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.8 จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการ

y′′ + xy′ + (x2 + 2)y = 0

รอบจด x = 0

วธทำ . . . . . . . . .


y′′ + (cosx)y = 0

รอบจด x = 0

วธทำ . . . . . . . . .


y′′ + (x− 1)y′ + y = 0

รอบจด x = 1 และสอดคลองกบเงอนไขเรมตน y(1) = 2 และ y′(1) = 0

วธทำ . . . . . . . . .



1. จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการตอไปนรอบจด x = 0

(a) (x2 − 1)y′′ + 4xy′ + 2y = 0 (b) y′′ + xy′ + y = 0

(c) (x2 − 3)y′′ + 2xy′ = 0 (d) (x2 + 3)y′′ − 7xy′ + 16y = 0

(e) (x2 − 1)y′′ + 8xy′ + 12y = 0 (f) 5y′′ − 2xy′ + 10y = 0

(g) y′′ + x2y′ + 2xy = 0 (h) y′′ + x2y = 0

2. จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการตอไปนรอบจดทกำหนดให

(a) y′′ − xy′ − y = 0, x = 1

(b) xy′′ + y′ + xy = 0, x = 1

(c) 2y′′ + (x+ 1)y′ + 3y = 0, x = 2

3. จงใชอนกรมกำลงหาผลเฉลยของขอปญหาคาเรมตนตอไปน

(a) y′′ + xy′ − 2y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0

(b) (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0; y(0) = −2, y′(0) = 6

(c) y′′ − 2xy′ + 8y = 0; y(0) = 3, y′(0) = 0

(d) (2x− x2)y′′ − 6(x− 1)y′ − 4y = 0; y(1) = 0, y′(1) = 1

(e) (4x2 + 16x+ 17)y′′ = 8y; y(−2) = 1, y′(−2) = 0


1. (a) y(x) = c0(1 + x2 + x4 + · · · ) + c1(x+ x3 + x5 + · · · )

(b) y(x) = c0

(1− 1

2x2 +

1

8x4 + · · ·

)+ c1

(x− 1

3x3 +

1

15x5 + · · ·

)

(c) y(x) = c0 + c1

(x+

x3

9+

x5

45+ · · ·

)

(d) y(x) = c0

(1− 8x2

3+

8x4

27

)+ c1

(x− x3

2+

x5

120+ · · ·

)

(e) y(x) = c0(1 + 6x2 + 15x4 + · · · ) + c13(3x+ 10x3 + 21x5 + · · · )

(f) y(x) = c0

(1− x2 +

x4

10+

x6

250+ · · ·

)+ c1

(x− 4x3

15+

4x5

375+ · · ·

)


(g) y(x) = c0

(1− 1

3x3 +

1

18x6 + · · ·

)+ c1

(x− 1

4x4 +

1

28x7 + · · ·

)

(h) y(x) = c0

(1− 1

12x4 +

1

672x8 + · · ·

)+ c1

(x− 1

20x5 +

1

1440x9 + · · ·

)

2. (a) y(x) = c0

(1 +

1

2(x− 1)2 +

1

6(x− 1)3 +

1

6(x− 1)4 + · · ·

)

+ c1

((x− 1) +

1

2(x− 1)2 +

1

2(x− 1)3 +

1

4(x− 1)4 + · · ·

)

(b) y(x) = c0

(1− 1

2(x− 1)2 +

1

6(x− 1)3 − 1

12(x− 1)4 + · · ·

)

+ c1

((x− 1)− 1

2(x− 1)2 +

1

6(x− 1)3 − 1

6(x− 1)4 + · · ·

)

(c) y(x) = c0

(1− 3

4(x− 2)2 +

3

8(x− 2)3 +

1

64(x− 2)4 + · · ·

)

+ c1

((x− 2)− 3

4(x− 2)2 +

1

24(x− 2)3 +

9

64(x− 2)4 + · · ·

)

3. (a) y(x) = 1 + x2

(b) y(x) = −2

(1 +

1

2!x2 +

1

3!x3 +

1

4!x4 + · · ·

)+ 6x

(c) y(x) = 3− 12x2 + 4x4

(d) y(x) = 13(3(x− 1) + 5(x− 1)3 + 7(x− 1)5 + · · · )

(e) y(x) = 1 + 4(x+ 2)2

4.3 ผลเฉลยอนกรมรอบจดเอกฐาน

ในหวขอนเราจะศกษาวธการหาผลเฉลยอนกรมของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบสอง

A(x)y′′ +B(x)y′ + C(x)y = 0 (4.19)

รอบจดเอกฐาน ซงสมการ (4.19) สามารถเขยนใหมในรป

y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0 (4.20)

โดยท P = B/A และ Q = C/A และเราสามารถบอกชนดของจดเอกฐานดงนยามตอไปน


บทนยาม 4.3 จดเอกฐาน x = a จะเรยกวา จดเอกฐานแบบปกต (regular singularpoint) ของสมการ (4.19) ถาฟงกชน p(x) = (x − a)P (x) และ q(x) = (x− a)2Q(x)

เปนฟงกชนวเคราะหทจด x = a มฉะนนจะเรยกจด x = a วา จดเอกฐานแบบไมปกต (ir-regular singular point)

ตวอยาง 4.11 จงตรวจสอบวาจด x = 0 และ x = 2 เปนจดเอกฐานแบบปกตของสมการ2x(x− 2)2y′′ + 3xy′ + (x− 2)y = 0 หรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

สำหรบการหาผลเฉลยอนกรมของสมการ (4.19) นน ในทนเราจะศกษาเฉพาะกรณท x =

0 เปนจดเอกฐานของสมการ (4.19) ดงนนจากสมการ (4.20) เราไดวา

y′′ +p(x)

xy′ +

q(x)

x2y = 0 (4.21)

โดยท p(x) = xP (x) และ q(x) = x2Q(x) ซงเราจะสงเกตไดวาจด x = 0 จะเปนจดเอกฐานแบบปกตของสมการ (4.19) ถาฟงกชน p(x) และ q(x) เปนฟงกชนพหนาม ตวอยางเชนx = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกตของสมการ

y′′ +1

xy′ +

x2 − n2

x2y = 0

ซงในทน p(x) ≡ 1 และ q(x) = x2 − n2 เปนฟงกชนพหนามในเทอมของ x

ในทางตรงกนขาม หากพจารณาสมการ

2x3y′′ + (1 + x)y′ + 3xy = 0

เราไดวา x = 0 เปนจดเอกฐาน แตถาเขยนสมการนในรปแบบของสมการ (4.21) แลวเราจะได

y′′ +(1 + x)/(2x2)

xy′ +

32

x2y = 0

ซงในทนp(x) =

1 + x

2x2=

1

2x2+

1

2x→ ∞ เมอ x → 0

ดงนน x = 0 เปนจดเอกฐานแบบไมปกตในหวขอนเราจะไมกลาวถงการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธรอบจดเอกฐานแบบไมปกต

ซงการหาผลเฉลยดงกลาวจะศกษาในขนสงตอไป


วธของโฟรเบนอส

จากนไปเราจะพจารณาถงวธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบสองรอบจดเอกฐานแบบปกต x = 0 ซงรปแบบทงายทสดของสมการดงกลาวคอ

x2y′′ + p0xy′ + q0y = 0 (4.22)

ซงเปนสมการโคช-ออยเลอรอนดบสอง และถาหากเขยนในรปของสมการ (4.21) เราจะไดp(x) ≡ p0 และ q(x) ≡ q0 เปนคาคงตว ในกรณนเราสามารถพสจนไดวา y(x) = xr จะเปนผลเฉลยของสมการ (4.22) ถา r เปนรากของสมการ

r(r − 1) + p0r + q0 = 0

ในกรณทวไป p(x) และ q(x) อาจจะไมใชคาคงตว แตเปนอนกรมกำลง ซงจะไดวาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ จะอยในรป

y(x) = xr∞∑

n=0

cnxn =

∞∑

n=0

cnxn+r = c0x

r + c1xr+1 + c2x

r+2 + · · · (4.23)

ดงจะกลาวในทฤษฎบท 4.5 และขอเทจจรงนเปนพนฐานของ วธของโฟรเบนอส (methodof Frobenius) ซงใหชอเพอเปนเกยรตกบนกคณตศาสตรชาวเยอรมนทชอ Georg Frobe-nius (1848-1917) ซงเปนผคนพบวธนในป 1870

อนกรมอนนต (4.23) เรยกวา อนกรมโฟรเบนอส (Frobenius series) และอนกรมนโดยทวไปจะไมใชอนกรมกำลง ตวอยางเชน เมอ r = 1

2จะไดอนกรม (4.23)

อยในรปy = c0x

−1/2 + c1x1/2 + c2x

3/2 + c3x5/2 + · · ·

ซงไมใชอนกรมทเลขชกำลงของ x เปนจำนวนเตมในการศกษาความเปนไปไดทจะมผลเฉลยทอยในรปอนกรมโฟรเบนอส เรมจากสมการ

x2y′′ + xp(x)y′ + q(x)y = 0 (4.24)

ซงเปนสมการทไดจากการคณสมการ (4.21) ดวย x2

ถา x = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกต แลว p(x) และ q(x) จะเปนฟงกชนวเคราะหทจดx = 0 ดงนน

p(x) = p0 + p1x+ p2x2 + p3x

3 + · · · (4.25)

q(x) = q0 + q1x+ q2x2 + q3x

3 + · · · (4.26)

กำหนดใหสมการ (4.24) มผลเฉลยทอยในรปอนกรมโฟรเบนอส

y =

∞∑

n=0

cnxn+r, c0 6= 0 (4.27)


จะได

y′ =∞∑

n=0

cn(n+ r)xn+r−1 (4.28)

และ

y′′ =

∞∑

n=0

cn(n + r)(n+ r − 1)xn+r−2 (4.29)

แทนคาอนกรม (4.25) ถง (4.29) ในสมการ (4.24) จะได

[r(r − 1)c0x

r + (r + 1)rc1xr+1 + · · ·

]

+[p0x+ p1x

2 + · · ·]·[rc0x

r−1 + (r + 1)c1xr + · · ·

]

+[q0 + q1x+ · · ·

]·[c0x

r + (r + 1)c1xr+1 + · · ·

]= 0 (4.30)

จะเหนไดวากำลงทนอยทสดของ x ทปรากฎในสมการ (4.30) คอ xr โดยการเทยบสมประสทธจะไดวา

r(r − 1)c0 + rp0c0 + q0c0 = [r(r − 1) + rp0 + q0]c0 = 0

เนองจาก c0 6= 0 ดงนนคา r จะสอดคลองกบสมการ

r(r − 1) + rp0 + q0 = 0 (4.31)

สมการ (4.31) เรยกวา indicial equation ของสมการเชงอนพนธ (4.21) และรากของสมการนจะเปน เลขชกำลง ของสมการเชงอนพนธทจดเอกฐานแบบปกต x = 0

จากสมการ (4.31) เราสามารถแสดงไดวาถาอนกรมโฟรเบนอส y = xr∑

cnxn เปนผล

เฉลยของสมการเชงอนพนธ (4.20) แลว r จะตองเปนรากใดรากหนงระหวาง r1 และ r2

ของ indicial equation (4.31) ถา r1 6= r2 แลวจะมโอกาสทจะไดผลเฉลย 2 ผลเฉลยทเปนอนกรมโฟรเบนอส แตถา r1 = r2 แลวจะมโอกาสทจะไดผลเฉลยเปนอนกรมโฟรเบนอสเพยงผลเฉลยเดยว และผลเฉลยทสองจะไมเปนอนกรมโฟรเบนอส คาของ r1 และ r2 สามารถหาไดโดยใช indicial equation เมอทราบคา p0 = p(0) และ q0 = q(0) ในกรณทสมประสทธของสมการเชงอนพนธ (4.19) เปนฟงกชนพหนาม วธการทงายทสดในการหา p0และ q0 คอการเขยนสมการใหอยในรป

y′′ +p0 + p1x+ p2x

2 + · · ·x

y′ +q0 + q1x+ q2x

2 + · · ·x2

y = 0 (4.32)

แลาคาของ p0 และ q0 จะปรากฎออกมา

ผลเฉลยอนกรมโฟรเบนอส

เมอทราบคา r1 และ r2 แลวสมประสทธในอนกรมโฟรเบนอสจะหาไดโดยการแทนอนกรม(4.27) - (4.29) ลงในสมการเชงอนพนธแลวใชวธการเชนเดยวกบการหาสมประสทธของ


ผลเฉลยทเปนอนกรมกำลงในหวขอทผานมา ถา r1 และ r2 เปนจำนวนเชงซอนแลวจะไดวาผลเฉลยทเปนอสระเชงเสน 2 ผลเฉลย จะเปนอนกรมโฟรเบนอส ในทนเราจะศกษาเฉพาะกรณทr1 และ r2 เปนจำนวนจรง

ทฤษฎบท 4.5 ผลเฉลยอนกรมโฟรเบนอส

กำหนดให x = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกตของสมการ

x2y′′ + xp(x)y′ + q(x)y = 0 (4.33)

ให r1 และ r2 โดยท r1 ≥ r2 เปนรากของ indicial equation r(r−1)+ rp0+ q0 = 0

แลว

1. สำหรบ x > 0 จะมผลเฉลยของสมการ (4.33) อยในรป

y1(x) = xr1

∞∑

n=0

anxn, (a0 6= 0) (4.34)

ซงสมนยกบราก r1

2. ถา r1 − r2 ไมเปนศนยและไมเปนจำนวนเตมบวก แลวจะมผลเฉลยทสองทเปนอสระเชงเสนสำหรบ x > 0 ทอยในรป

y2(x) = xr2

∞∑

n=0

bnxn, (b0 6= 0) (4.35)

ซงสมนยกบราก r2

ตวอยาง 4.12 จงหาผลเฉลยอนกรมโฟรเบนอสของสมการ

4xy′′ + 3y′ − 3y = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.13 จงหาผลเฉลยอนกรมโฟรเบนอสของสมการ

2x2y′′ + 3xy′ − (x2 + 1)y = 0

วธทำ . . . . . . . . .



1. จงหาจดเอกฐานของสมการตอไปน พรอมทงพจารณาวาเปนจดเอกฐานแบบปกต หรอจดเอกฐานแบบไมปกต

(a) x3y′′ + 4x2y′ + 3y = 0

(b) xy′′ + (1− x)y′ + xy = 0

(c) (x2 − 16)2y′′ + (x+ 4)y′ + 2y = 0

(d) (x3 + 4x)y′′ − 2xy′ + 6y = 0

(e) (x2 + x− 6)y′′ + (x+ 3)y′ + (x− 2)y = 0

(f) x3(x2 − 25)(x− 2)2y′′ + 3x(x− 2)y′ + 7(x+ 5)y = 0

(g) (1− x2)2y′′ + x(1− x)y′ + (1 + x)y = 0

(h) (x+ 3)y′′ − 2xy′ + (1− x2)y = 0

(i) (x+ 2)2(x− 1)y′′ + 3(x− 1)y′ − 2(x+ 2)y = 0

(j) (x2 + x− 2)y′′ + (x+ 1)y′ + 2y = 0

(k) x2y′′ − 3(sin x)y′ + (1 + x2)y = 0

2. จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการตอไปนรอบจด x = 0

(a) 2xy′′ − y′ + 2y = 0

(b) 4xy′′ + 12y′ + y = 0

(c) 3xy′′ + (2− x)y′ − y = 0

(d) 2xy′′ − (3 + 2x)y′ + y = 0

(e) 2xy′′ + y′ + xy = 0

(f) 2x2y′′ + 3xy′ + (2x2 − 1)y = 0


1. (a) x = 0 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต (b) x = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกต

(c) x = −4 เปนจดเอกฐานแบบปกต, x = 4 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต

(d) x = 0, 2i,−2i เปนจดเอกฐานแบบปกต

(e) x = −3, 2 เปนจดเอกฐานแบบปกต

(f) x = −5, 5, 2 เปนจดเอกฐานแบบปกต, x = 0 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต


(g) x = 1 เปนจดเอกฐานแบบปกต, x = −1 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต

(h) x = −3 เปนจดเอกฐานแบบปกต

(i) x = 1 เปนจดเอกฐานแบบปกต, x = −2 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต

(j) x = −2, 1 เปนจดเอกฐานแบบปกต (k) x = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกต

2. (a) y(x) = C1x3/2

(1− 2

5x+

22

7 · 5 · 2 x2 − 23

9 · 7 · 5 · 3! x3 + · · ·

)

+C2

(1 + 2x− 2x2 +

23

3 · 3! x3 − · · ·

)

(b) y(x) = C1x7/8

(1− 2

15x+

22

23 · 15 · 2 x2 − 23

31 · 23 · 15 · 3! x3 + · · ·

)

+C2

(1− 2x+

22

9 · 2 x2 − 23

17 · 9 · 3! x3 + · · ·

)

(c) y(x) = C1x1/3

(1 +

1

3x+

1

32 · 2 x2 +1

32 · 3! x3 + · · ·

)

+C2

(1 +

1

2x+

1

5 · 2 x2 +1

8 · 5 · 2 x3 + · · ·)

(d) y(x) = C1x5/2

(1 +

2 · 27

x+22 · 39 · 7 x2 +

23 · 411 · 9 · 7 x3 + · · ·

)

+C2

(1 +

1

3x+

1

3 · 2 x2 +1

5 · 3 · 2 x3 + · · ·)

(e) y(x) = C1x1/2

(1− x2

2 · 5 +x4

2 · 4 · 5 · 9 − x6

2 · 4 · 6 · 5 · 9 · 13 + · · ·)

+C2

(1− x2

2 · 3 +x4

2 · 4 · 3 · 7 − x6

2 · 4 · 6 · 3 · 7 · 11 + · · ·)

(f) y(x) = C1x1/2

(1− x2

7+

x4

2!7 · 11 − x6

3!7 · 11 · 15 + · · ·)

+C2x−1

(1− x2 +

x4

2!5− x6

3!5 · 9 + · · ·)

บทท 5

วธผลการแปลงลาปลาซ

5.1 ผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงผกผน

บทนยาม 5.1 กำหนดให f(t) เปนฟงกชนทกำหนดบนชวง [0,∞) ผลการแปลงลาปลาซ(Laplace transform) ของ f คอฟงกชน F ทกำหนดโดย

F (s) = L{f(t)} =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt (5.1)

สำหรบทกคาของ s ททำใหอนทกรลไมตรงแบบ (improper integral) หาคาได

จากบทนยามของอนทกรลไมตรงแบบ (improper integral) ทเขยนอยในรปลมตของอนทกรลบนชวงปดใดๆ นนคอ

∫ ∞

a

g(t)dt = limb→∞

∫ b

a

g(t)dt (5.2)

เราไดวา ถาลมตในสมการ (5.2) หาคาไดแลว อนทกรลไมตรงแบบจะ ลเขา (converge)และคาของอนทกรลจะเทากบคาของลมต แตถาลมตในสมการ (5.2) หาคาไมได แลวเรากลาววา อนทกรลไมตรงแบบจะ ลออก (diverge)

ขอสงเกต ฟงกชนทถกอนทเกรตในสมการ (5.1) จะมพารามเตอร s ซงไมใชตวแปรสำหรบการอนทเกรต ซงในทนคอตวแปร t ดงนนถาอนทกรลในสมการ (5.1) หาคาได แลวคาทไดจะไมใชคาคงตว แตจะเปนฟงกชน F ของตวแปร s

ตวอยางตอไปนแสดงใหเหนวา อนทกรลไมตรงแบบในนยามของผลการแปลงลาปลาซ L{f(t)}จะลเขาสำหรบบางคาของ s

ตวอยาง 5.1 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = 1 เมอ t ≥ 0

วธทำ . . . . . . . . .

84


ตวอยาง 5.2 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = eat เมอ a เปนคาคงตว และ t ≥ 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยางตอไปจะแสดงใหเหนวาผลการแปลงลาปลาซ L{ta} สามารถเขยนในรปของ ฟงกชนแกมมา (gamma function) Γ(x) ซงเปนฟงกชนทกำหนดโดย

Γ(x) =

∫ ∞

0

e−ttx−1dt เมอ x > 0

จากนยามของฟงกชนแกมมา เราสามารถแสดงไดวา

Γ(1) = 1

และเมอ x > 0

Γ(x+ 1) = xΓ(x) (5.3)

ถา n เปนจำนวนเตมบวก แลว

Γ(n+ 1) = nΓ(n)

= n(n− 1)Γ(n− 1)

= n(n− 1)(n− 2)Γ(n− 2)

...

= n(n− 1)(n− 2) · · ·2 · Γ(2)= n(n− 1)(n− 2) · · ·2 · 1 · Γ(1)

นนคอΓ(n+ 1) = n! (5.4)

ถา n เปนจำนวนเตมบวก ดงนนฟงกชน Γ(x + 1) จะนยามสำหรบทกคา x > −1 ซงสอดคลองกบฟงกชนแฟกตอเรยล (factorial function) เมอ x = n เปนจำนวนเตมบวก

ตวอยาง 5.3 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = ta เมอ a เปนจำนวนจรง และ a > −1

วธทำ . . . . . . . . .

สำหรบการคำนวณหา L{tn/2} จะขนอยกบการทราบคาเฉพาะ

Γ

(1

2

)=

√π

ของฟงกชนแกมมา ตวอยางเชน

Γ

(5

2

)=

3

2Γ

(3

2

)=

3

2· 12Γ

(1

2

)=

3

4

√π

ซงไดมาจากการใชสมการ (5.3) นนคอ Γ(x + 1) = xΓ(x) และกำหนดให x = 32

ในครงแรกแลวให x = 1

2ในครงทสอง


การเปนเชงเสนของผลการแปลง (Linearity of Transform)

ถาหากเราทราบผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนหลากหลายฟงกชน แลวเราสามารถนำผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนทเราทราบ มาชวยในการหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนบางฟงกชน โดยไมตองใชนยามโดยตรง เนองจากผลการแปลงลาปลาซเปนการดำเนนการเชงเสน (linear op-eration)

ทฤษฎบท 5.1 การเปนเชงเสนของผลการแปลงลาปลาซ (Linearity of the LaplaceTransform)ถา a และ b เปนคาคงตวใดๆ แลว

L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)}+ bL{g(t)} (5.5)

สำหรบทกคาของ s ททำใหผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน f และ g หาคาได

ตวอยาง 5.4 จงหา L{4t3 + 5t3/2}

วธทำ . . . . . . . . .

ตารางตอไปนแสดงผลการแปลงลาปลาซ ของฟงกชนพนฐานบางฟงกชน ซงสามารถนำไปใชในการหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนอนๆ เพมเตม

f(t) F (s) = L{f(t)}

11

s(s > 0)

t1

s2(s > 0)

tn, n = 1, 2, . . .n!

sn+1(s > 0)

ta, a > −1Γ(a + 1)

sa+1(s > 0)

eat1

s− a(s > a)

eattn, n = 1, 2, . . .n!

(s− a)n+1(s > a)

sin ktk

s2 + k2(s > 0)

cos kts

s2 + k2(s > 0)


f(t) F (s) = L{f(t)}

sinh ktk

s2 − k2(s > |k|)

cosh kts

s2 − k2(s > |k|)

eat sin ktk

(s− a)2 + k2(s > a)

eat cos kts− a

(s− a)2 + k2(s > a)

ตวอยาง 5.5 จงหา L{5− 3e2t + 4 sin 3t}

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.6 จงหาผลการแปลงลาปลาซตอไปน

1. L{sin 2t cos 2t}

2. L{t2 + sin2 3t}

วธทำ . . . . . . . . .

ผลการแปลงผกผน (Inverse Transforms)

จากทฤษฎบท 5.3 ของบทน เราไดวา ไมม ฟงกชน 2 ฟงกชนใดๆ ทตอเนองบนชวง[0,∞) ทมผลการแปลงลาปลาซเหมอนกน ดงนนถา F (s) เปนผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนf(t) บางฟงกชนทมความตอเนอง แลวฟงกชน f(t) จะเปนฟงกชนเดยวทสามารถหาได ดงนนจะกอใหเกดนยามตอไปน

บทนยาม 5.2 ถา F (s) = L{f(t)} แลวจะเรยก f(t) วา ผลการแปลงลาปลาซผกผน (in-verse Laplace transform) ของ F (s) และจะเขยนแทนดวย

f(t) = L−1{F (s)}

ตวอยาง 5.7

1. L−1

{1

s3

}=

2. L−1

{1

s+ 2

}=

3. L−1

{2

s2 + 9

}=


ฟงกชนตอเนองเปนชวง (Piecewise Continuous Functions)

บทนยาม 5.3 ฟงกชน f(t) จะกลาววา ตอเนองเปนชวง (piecewise continuous)บนชวง [a, b] ถาชวง [a, b] สามารถแบงออกเปนชวงยอยๆ ทมจำนวนจำกด โดยทแตละชวงยอยมคณสมบตดงน

1. f มความตอเนองททกจดทเปนจดภายในของชวงนนๆ และ

2. f(t) หาคาลมตไดเมอ t เขาใกลจดปลายของชวงนนๆ จากจดภายใน

เราจะกลาววา f ตอเนองเปนชวงสำหรบ t ≥ 0 ถา f ตอเนองเปนชวงบนชวงยอยของ [0,∞)

ทกชวงทเปนชวงปด ดงนนฟงกชนทตอเนองเปนชวง จะไมตอเนองทจดบางจดซงมจำนวนจำกดและทจดเหลานคาของฟงกชนจะกำหนดโดย f(c+)− f(c−) เมอ

f(c+) = limε→0+

f(c+ ε) และ f(c−) = limε→0+

f(c− ε)

คณสมบตทวไปของผลการแปลง (General Properties of Transforms)

บทนยาม 5.4 ฟงกชน f จะกลาววาม อนดบเลขชกำลง (exponential order) α เมอt → +∞ ถามจำนวนทไมเปนลบ M, α, และ T ททำให

|f(t)| ≤ Meαt สำหรบ t ≥ T (5.6)

ตวอยางเชน f(t) = e5t sin 2t มอนดบเลขชกำลง 5 เพราะวา

|e5t sin 2t| ≤ e5t

โดยม M = 1, α = 5, และ T เปนจำนวนทไมเปนลบใดๆ ในขณะท g(t) = et2 เปนฟงก

ชนทไมมอนดบเลขชกำลง เพราะวา

limt→∞

et2

eαt= lim

t→∞et

2−αt = +∞

นนคอ เราไมสามารถหาคา M ทเปนไปตามเงอนไขของสมการ (5.6) ได

ทฤษฎบท 5.2 การมจรงของผลการแปลงลาปลาซ (Existence of Laplace Trans-forms)ถา f เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงสำหรบ t ≥ 0 และมอนดบเลขชกำลง α เมอ t → +∞แลวผลการแปลงลาปลาซ F (s) = L{f(t)} หาคาได นอกจากนเราสามารถกลาวใหชดเจนไดวาถา f เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงและสอดคลองกบเงอนไขของสมการ (5.6) แลว F (s) หาคาไดสำหรบทกคา s > α


ทฤษฎบท 5.3 ความเปนไปไดอยางเดยวของผลการแปลงลาปลาซผกผน (Uniqueness ofInverse Laplace Transforms)กำหนดใหฟงกชน f(t) และ g(t) สอดคลองกบสมมตฐานของ ทฤษฎบท 5.2 ดงนนผลการแปลงลาปลาซ F (s) = L{f(t)} และ G(s) = L{g(t)} หาคาได และถา F (s) = G(s)

สำหรบทกคา s > α แลว f(t) = g(t) บนชวง [0,∞) ททำให f และ g เปนฟงกชนตอเนอง

ทฤษฎบท 5.4 สำหรบคาคงตว a และ b

L−1{aF (s) + bG(s)} = aL−1{F (s)}+ bL−1{G(s)} (5.7)

เมอ F และ G เปนผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน f และ g บางฟงกชน

ตวอยาง 5.8 จงหา L−1

{5

(s+ 2)4

}

วธทำ . . . . . . . . .


{3

s+ 4+

4

s2 + 9− 6s

3s2 + 12s+ 15

}

วธทำ . . . . . . . . .

วธการแยกเศษสวนยอยสามารถนำมาชวยในการหาผลการแปลงลาปลาซผกผน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 5.10 จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนของฟงกชน

R(s) =s2 + 1

s3 − 2s2 − 8s

วธทำ . . . . . . . . .


{5s2 + 6s+ 2

(s+ 2)(s2 + 2s+ 5)

}

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบทตอไปนเปนคณสมบตบางประการของผลการแปลงลาปลาซ ทจะชวยใหการหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนบางฟงกชนงายขน และสามารถนำไปใชในการหาผลเฉลยของขอปญหาคาเรมตน

ทฤษฎบท 5.5 ถา F (s) = L{f(t)} หาคาไดสำหรบ s > α แลว L{eatf(t)} หาคาไดสำหรบ s > α + a และ

L{eatf(t)} = F (s− a)


ในทำนองเดยวกนL−1{F (s− a)} = eatf(t)

ดงนนการเลอนขนาน s → s−a ในการแปลงนจะสอดคลองกบการคณฟงกชนของ t ทกำหนดใหดวย eat

ถาเราประยกตใชทฤษฎบท 5.5 กบผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน tn, cos kt, และsin kt ทเราทราบแลว จะทำใหไดผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนเพมเตมดงน

ถา f(t) = eattn แลว F (s) =n!

(s− a)n+1, s > a

ถา f(t) = eat cos kt แลว F (s) =s− a

(s− a)2 + k2, s > a

ถา f(t) = eat sin kt แลว F (s) =k

(s− a)2 + k2, s > a

ทฤษฎบท 5.6 ถา f(t) เปนฟงกชนทตอเนองเปนชวงสำหรบ t ≥ 0 และ |f(t)| ≤ Meαt

เมอ t → +∞ แลวสำหรบ s > α

L{−tf(t)} = F ′(s) (5.8)

ในทำนองเดยวกนf(t) = L−1{F (s)} = −1

tL−1{F ′(s)} (5.9)

ถานำสมการ (5.8) มาทำซำหลายๆครง เราจะไดวา

L{tnf(t)} = (−1)nF (n)(s) (5.10)

สำหรบ n = 1, 2, 3, . . .

ตวอยาง 5.12 จงหา L{t2 sin kt} เมอ k เปนคาคงตวใดๆ

วธทำ . . . . . . . . .


{tan−1

(1

s

)}

วธทำ . . . . . . . . .


{ln

(s− 3

s+ 1

)}

วธทำ . . . . . . . . .



1. จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนตอไปนโดยใชนยาม

(a) f(t) = t (b) f(t) = t2

(c) f(t) = e3t+1 (d) f(t) = cos t

(e) f(t) = sin2 t (f) f(t) = te4t

(g) f(t) = e−t sint (h) f(t) = t cos t

2. จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนตอไปน

(a) f(t) = 2t4 (b) f(t) = 4t− 10

(c) f(t) = t2 + 6t− 3 (d) f(t) = 1 + e4t

(e) f(t) = t− 2e3t (f) f(t) = sin 2t+ cos 2t

(g) f(t) = cos2 2t (h) f(t) = sin 3t cos 3t

(i) f(t) = (1 + t)3 (j) f(t) = (1 + e2t)2

(k) f(t) = 4t2 − 5 sin 3t

3. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนตอไปน

(a) L−1

{2

s3

}(b) L−1

{5

s2− 24

s5

}

(c) L−1

{(s+ 2)2

s3

}(d) L−1

{1

s− 6

s2+

3

s− 4

}

(e) L−1

{1

3s+ 1

}(f) L−1

{7

s2 + 25

}

(g) L−1

{9s

9s2 + 1

}(h) L−1

{−s + 14

s2 + 49

}

(i) L−1

{1

s2 + s

}(j) L−1

{s

s2 + 3s− 4

}

(k) L−1

{0.9s

(s− 0.1)(s+ 0.2)

}(l) L−1

{s

(s− 2)(s− 3)(s− 6)

}

(m) L−1

{2s− 4

(s2 + s)(s2 + 1)

}(n) L−1

{1

(s2 + 1)(s2 + 4)

}


4. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนของฟงกชนตอไปน

(a) F (s) =1

s2 − 4(b) F (s) =

5s− 6

s2 − 3s

(c) F (s) =5− 2s

s2 + 7s+ 10(d) F (s) =

5s− 4

s3 − s2 − 2s

(e) F (s) =1

s3 − 5s2(f) F (s) =

1

(s2 + s− 6)2

(g) F (s) =s3

(s− 4)4(h) F (s) =

s2 − 2s

s4 + 5s2 + 4

(i) F (s) =1

s4 − 8s2 + 16(j) F (s) =

s2 + 3

(s2 + 2s+ 2)2


1. (a)1

s2, s > 0 (b)

2

s3, s > 0 (c)

e

s− 3, s > 3 (d)

s

s2 + 1, s > 0

(e)1

2

[1

s− s

s2 − 4

], s > 0 (f)

1

(s− 4)2(g)

1

s2 + 2s+ 2(h)

s2 − 1

(s2 + 1)2

2. (a)48

s5(b)

4

s2− 10

s(c)

2

s3+

6

s2− 3

s(d)

1

s+

1

s− 4

(e)1

s2− 2

s− 3(f)

s+ 2

s2 + 4(g)

1

2

(1

s+

s

s2 + 16

)(h)

3

s2 + 36

(i)1

s+

3

s2+

6

s3+

6

s4(j)

1

s+

2

s− 2+

1

s− 4(k)

8

s3− 15

s2 + 9

3. (a) t2 (b) 5t− t4 (c) 1 + 4t+ 2t2 (d) 1− 6t+ 3e4t (e) 13e−t/3

(f) 75sin 5t (g) cos 1

3t (h) − cos 7t + 2 sin 7t (i) 1− e−t

(j) 15et + 4

5e−4t (k) 0.3e0.1t + 0.6e−0.2t (l) 1

2e2t − e3t + 1

2e6t

(m) −4 + 3e−t + cos t+ 3 sin t (n) 13sin t− 1

6sin 2t

4. (a)1

4(e2t − e−2t) (b) 2 + 3e3t (c) 3e−2t − 5e−5t (d) 2− 3e−t + e2t

(e)1

25(−1− 5t+ e5t) (f)

1

125[e−3t(2 + 5t) + e2t(−2 + 5t)]

(g) e4t(1 + 12t+ 24t2 + 32

3t3)

(h)1

3(−2 cos t− sin t+ 2 cos 2t+ 2 sin 2t)

(i)1

32[e−2t(1 + 2t) + e2t(−1 + 2t)] (j)

1

2e−t(5 sin t− 2t sin t− 3t cos t)


5.2 การแปลงของปญหาคาเรมตน

ในหวขอนเราจะกลาวถงการใชผลการแปลงลาปลาซ ชวยในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว และมการกำหนดเงอนไขเรมตนให ตวอยางเชน

ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = f(t) (5.11)

โดยมเงอนไขเรมตน y(0) = y0, y′(0) = y′0 เราสามารถหาผลการแปลงลาปลาซฃองสมการ(5.11) โดยใชคณสมบตเชงเสนของผลการแปลงลาปลาซ นนคอจะไดวา

aL{y′′(t)} + bL{y′(t)}+ cL{y(t)} = L{f(t)}

ซงจะเกยวของกบผลการแปลงลาปลาซฃอง y′ และ y′′ ของฟงกชน y(t) ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงผลการแปลงลาปลาซฃองอนพนธของฟงกชนในเทอมของการแปลงของฟงกชนนนๆ

ทฤษฎบท 5.7 การแปลงของอนพนธ (Transforms of Derivatives)กำหนดให f(t) เปนฟงกชนตอเนองและปรบเรยบเปนชวง (piecewise smooth) สำหรบt > 0 และมอนดบเลขชกำลงเมอ t → +∞ นนคอ จะมจำนวนเตมทไมเปนลบ M α และT ททำให

|f(t)| ≤ Meαt สำหรบ t ≥ T (5.12)

แลวจะไดวา L{f ′(t)} หาคาไดสำหรบ s > α และ

L{f ′(t)} = sL{f(t)} − f(0) = sF (s)− f(0) (5.13)

หมายเหต ฟงกชน f จะเรยกวา ปรบเรยบเปนชวง (piecewise smooth) บนชวงปด[a, b] ถา f(t) เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงบนชวง [a, b] และอนพนธฃอง f หาคาไดยกเวนทจดบางจดซงมจำนวนจำกดบนชวงนโดยท f ′(t) เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงบนชวง [a, b] และเราจะกลาววา f ปรบเรยบเปนชวงสำหรบ t ≥ 0 ถา f ปรบเรยบเปนชวงบนทกๆ ชวงปดยอยของ [0,∞)

ถา g(t) = f ′(t) เปนฟงกชนทสอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบท 5.7 แลวจะได

L{f ′′(t)} = L{g′(t)} = sL{g(t)} − g(0)

= sL{f ′(t)} − f ′(0)

= s{sL{f(t)} − f(0)} − f ′(0)

= s2L{f(t)} − sf(0)− f ′(0) (5.14)

ในทำนองเดยวกนถาเราทำซำอกครง จะได

L{f ′′′(t)} = sL{f ′′(t)} − f ′′(0) = s3F (s)− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0) (5.15)

ดงนนในกรณทวไปจะเปนไปตามทฤษฎบทตอไปน


ทฤษฎบท 5.8 การแปลงของอนพนธอนดบสง (Transforms of Higher Deriva-tives)กำหนดให f, f ′, f ′′, . . ., f (n−1) เปนฟงกชนตอเนองและปรบเรยบเปนชวงสำหรบ t ≥ 0

และแตละฟงกชนสอดคลองกบเงอนไข (5.12) โดยทมคา M และ α เหมอนกน แลวL{f (n)} หาคาไดเมอ s > α และ

L{f (n)(t)} = snL{f(t)} − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− f (n−1)(0)

= snF (s)− sn−1f(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) (5.16)

ตวอยาง 5.15 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

y′′ − y′ − 6y = 0; y(0) = 2, y′(0) = −1

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.16 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

y′′ + 3y′ + 2y = t; y(0) = y′(0) = 0

วธทำ . . . . . . . . .


จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตนตอไปน โดยใชผลการแปลงลาปลาซ1. y′ + 4y = e−4t; y(0) = 2

2. y′′ + 2y′ + y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 1

3. y′′ − 6y′ + 9y = t; y(0) = 0, y′(0) = 1

4. y′′ − 6y′ + 13y = 0; y(0) = 0, y′(0) = −3

5. y′′ + 6y′ + 25y = 0; y(0) = 2, y′(0) = 3

6. y′′ − 6y′ + 8y = 2; y(0) = y′(0) = 0

7. y′′ + 4y′ + 8y = e−t; y(0) = y′(0) = 0

8. y′′ + 4y′ + 13y = te−t; y(0) = 0, y′(0) = 2

9. y′′ + 6y′ + 18y = cos 2t; y(0) = 1, y′(0) = −1

10. y′′ + 9y = 6 cos 3t; y(0) = y′(0) = 0

11. y′′ + 0.4y′ + 9.04y = 6e−t/5 cos 3t; y(0) = y′(0) = 0

12. y′′ − y′ = et cos t; y(0) = y′(0) = 0



1. y(t) = te−4t + 2e−4t 2. y(t) = e−t + 2te−t

3. y(t) = 19t + 2

27− 2

27e3t + 10

9te3t 4. y(t) = −3

2e3t sin 2t

5. y(t) = e−3t[2 cos 4t] + (9/4) sin 4t 6. y(t) =1

4(1 + e4t − 2e2t)

7. y(t) =1

10[2e−t − e−2t(2 cos 2t+ sin 2t)]

8. y(t) =1

50[(−1 + 5t)e−t + e−2t(cos 3t+ 32 sin 3t)]

9. y(t) =1

170(7 cos 2t+ 6 sin 2t) +

1

510e−3t(489 cos 3t+ 307 sin 3t)

10. y(t) = t sin 3t 11. y(t) = te−t/5 sin 3t 12. 12− 1

2et cos t+ 1

2et sin t

5.3 สงวตนาการ

บทนยาม 5.5 ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงบนชวง [0,∞) แลว สงวตนาการ(convolution) ของ f และ g ซงเขยนแทนดวย f ∗ g คอฟงกชนทกำหนดโดยอนทกรลดงน

(f ∗ g)(t) =∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ (5.17)

เพอความสะดวกเราสามารถเขยนแทนดวย f(t) ∗ g(t)

ตวอยาง 5.17 จงหาสงวตนาการ (convolution) ของ cos t และ sin t

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 5.9 คณสมบตสงวตนาการ (Convolution Property)กำหนดให f(t) และ g(t) เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงบนชวง [0,∞) และมอนดบเลขชกำลงα แลวผลการแปลงลาปลาซของสงวตนาการ f(t) ∗ g(t) หาคาไดสำหรบ s > α นอกจากนจะไดวา

L{f(t) ∗ g(t)} = L{f(t)} · L{g(t)} = F (s)G(s)

และL−1{F (s) ·G(s)} = f(t) ∗ g(t)


ดงนนเราสามารถหาการแปลงผกผนของ F (s) ·G(s) โดยการหาคาอนทกรล

L−1{F (s) ·G(s)} =

∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ

ตวอยาง 5.18 จงหา L{∫ t

0

eτ (t− τ)2dτ

}

วธทำ . . . . . . . . .


{2

(s− 1)(s2 + 4)

}

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงหาสงวตนาการ f(t) ∗ g(t) เมอ

(a) f(t) = t, g(t) = 1

(b) f(t) = g(t) = sin t

(c) f(t) = g(t) = eat

2. จงหาผลการแปลงลาปลาซตอไปน

(a) L{1 ∗ t3} (b) L{e−t ∗ et cos t}

(c) L{∫ t

0

τet−τdτ

}(d) L

{∫ t

0

(t− τ)2 cos 2τdτ

}

(e) L{∫ t

0

e−(t−τ) sin τdτ

}(f) L

{∫ t

0

(t− τ)eτdτ

}

(g) L{∫ t

0

sin(t− τ) cos τdτ

}

3. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนตอไปน โดยใชสงวตนาการ

(a) L−1

{1

s(s− 3)

}(b) L−1

{1

(s2 + 9)2

}

(c) L−1

{s2

(s2 + 4)2

}(d) L−1

{s

(s− 3)(s2 + 1)

}

(e) L−1

{1

s3(s− 1)

}



1. (a) 12t2 (b) 1

2(sin t− t sin t) (c) teat

2. (a)6

s5(b)

s− 1

(s+ 1)[(s− 1)2 + 1

] (c)1

s2(s− 1)(d)

2

s2(s2 + 4)

(e)1

(s+ 1)(s2 + 1)(f)

1

s2(s− 1)(g)

s

(s2 + 1)2

3. (a) 13(e3t − 1) (b) 1

54(sin 3t− 3t cot 3t) (c) 1

4(sin 2t+ 2t cos 2t)

(d) 110(3e3t − 3 cos t+ sin t) (e) et − 1

2t2 − t− 1

บทท 6

การแปลงฟเรยร

บทนยาม 6.1 ผลการแปลงฟเรยร (Fourier transform) ของ f คอฟงกชน f(w) ทกำหนดโดย

F(f) = f(w) =1√2π

∫ ∞

−∞

f(x)e−iwxdx (6.1)

และ ผลการแปลงฟเรยรผกผน (inverse Fourier transform) ของ f(w) คอฟงกชนf(x) ทกำหนดโดย

F−1(f) = f(x) =1√2π

∫ ∞

−∞

f(w)eiwxdx (6.2)

วธการใหไดมาซงผลการแปลงฟเรยร F(f) จากฟงกชน f(x) ทกำหนดให เรยกวา วธการแปลงฟเรยร (Fourier transform method)

การมจรง (Existence) เงอนไข 2 เงอนไขตอไปนเปนเงอนไขทจำเปนสำหรบการมจรงของผลการแปลงฟเรยร (6.1) ของฟงกชน f(x) ทนยามบนแกน x

1. f(x) เปนฟงกชนทตอเนองเปนชวงบนทกชวงจำกด

2. f(x) เปนฟงกชนทมปรพนธอยางสมบรณบนแกน x

ตวอยาง 6.1 จงหาผลการแปลงฟเรยรของ

f(x) =

{k ถา x ∈ (0, a)

0 ถา x /∈ (0, a)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.2 จงหาผลการแปลงฟเรยรของ f(x) = e−a|x| เมอ a > 0

วธทำ . . . . . . . . .

98


ตวอยาง 6.3 จงหาผลการแปลงฟเรยรของฟงกชน e−ax2 เมอ a > 0

วธทำ . . . . . . . . .

การเปนเชงเสนและผลการแปลงฟเรยรของอนพนธ

ทฤษฎบท 6.1 (การเปนเชงเสนของผลการแปลงฟเรยร)ผลการแปลงฟเรยรมสมบตการเปนเชงเสน นนคอสำหรบฟงกชน f(x) และ g(x) ใดๆ ทมผลการแปลงฟเรยร และสำหรบคาคงตว a และ b ใดๆ

F{af + bg} = aF(f) + bF(g) (6.3)

ทฤษฎบท 6.2(ผลการแปลงฟเรยรของอนพนธของ f(x)

)

กำหนดให f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนแกน x และ f(x) → 0 เมอ |x| → ∞ นอกจากนกำหนดให f ′(x) เปนฟงกชนทมปรพนธอยางสมบรณบนแกน x แลว

F{f ′(x)} = iwF{f(x)} (6.4)

จากสมการ (6.4) เราไดวา

F{f ′′(x)} = iwF{f ′(x)} = (iw)2F(f)

เนองจาก (iw)2 = −w2 ดงนน

F{f ′′(x)} = −w2F{f(x)}

เราสามารถหาผลการแปลงฟเรยรของอนพนธอนดบสงไดในทำนองเดยวกน

ตวอยาง 6.4 จงใช F(e−ax2

)=

1√2a

e−w2/4a หาผลการแปลงฟเรยรของ xe−x2

วธทำ . . . . . . . . .

สงวตนาการ

สงวตนาการ (convolution) f ∗ g ของ f และ g คอฟงกชนทกำหนดโดย

h(x) = (f ∗ g)(x) =∫ ∞

−∞

f(p)g(x− p) dp =

∫ ∞

−∞

f(x− p)g(p) dp (6.5)

ทฤษฎบท 6.3 (ทฤษฎบทสงวตนาการ)สมมตให f(x) และ g(x) เปนฟงกชนตอเนองเปนชวง มขอบเขตและมปรพนธอยางสมบรณบนแกน x แลว

F(f ∗ g) =√2πF(f)F(g) (6.6)


แบบฝกหดบทท 6

1. จงหาผลการแปลงฟเรยรของฟงกชนตอไปน

a. f(x) =

{e−x ถา x > 0

0 ถา x < 0b. f(x) =

{ex ถา x < 0

0 ถา x > 0

c. f(x) =

{e2ix ถา x ∈ (−1, 1)

0 ถา x /∈ (−1, 1)d. f(x) =

{ex ถา x ∈ (−1, 1)

0 ถา x /∈ (−1, 1)

e. f(x) =

{x ถา x ∈ (0, a)

0 ถา x /∈ (0, a)f. f(x) =

{xe−x ถา x > 0

0 ถา x < 0

g. f(x) =

−1 ถา − 1 < x < 0

1 ถา 0 < x < 1

0 ถา x เปนคาอนๆh. f(x) =

{ex ถา x < 0

e−x ถา x > 0

2. กำหนดให f(x) =

{1 ถา − b < x < b

0 ถา x เปนคาอนๆ

จงแสดงวา F(f) =

√2

π

sin bw

w

3. จงหา F(f) ของฟงกชนในขอ 1 (f) โดยใชสตร F{f ′(x)} = iwF{f(x)} และผลการแปลงฟเรยรของฟงกชนในขอ 1 (a)

4. จงหา F(f) ของฟงกชนในขอ 1(f) โดยใชสงวตนาการ(แนะนำ: แสดงกอนวา xe−x = e−x ∗ e−x (x > 0)

)

บทท 7

สมการเชงอนพนธยอย

บทนยาม 7.1 สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation หรอเรยกยอๆวา PDE) คอ สมการเชงอนพนธทเกยวของกบอนพนธยอยของฟงกชนเทยบกบตวแปรอสระมากกวาหนงตว ตวอยางเชน

1.∂u

∂x− x

∂u

∂y= xuy2

2.∂4w

∂x4− 3

∂2w

∂z∂u+

∂3w

∂u3+ cos(xu)

∂3w

∂x∂y∂z− xyzu

∂w

∂x= 0

3.∂2h

∂x2+

∂2h

∂y2+

∂2h

∂z2= f(x, y, z)

อนดบของสมการเชงอนพนธยอย คออนดบสงสดของอนพนธยอยทปรากฏอยในสมการนน ตวอยางเชน

1.4∂u

∂x+ u = 0 เปนสมการเชงอนพนธยอยอนดบหนง

2.∂2u

∂x2− 9

∂2u

∂y2= 0 เปนสมการเชงอนพนธยอยอนดบสอง

การเปนเชงเสนของสมการเชงอนพนธยอย เราจะกลาววา สมการเชงอนพนธยอยเปนสมการเชงเสน ถาสมการเชงอนพนธยอยเปนเชงเสน ในเทอมของตวแปรไมอสระ(หรอฟงกชนทไมทราบคา) และอนพนธยอยของตวแปรดงกลาวสำหรบสมการเชงอนพนธยอยทไมเปนเชงเสนจะเรยกวา สมการไมเชงเสน ตวอยางเชน

1. x2∂2u

∂x2− y

∂2u

∂x∂y= u เปนสมการเชงเสนอนดบหนง

2. x2∂2u

∂x2− y

∂2u

∂x∂y= u2 เปนสมการไมเชงอนดบสอง

101


3.(∂2u

∂x2

)1/2

− 4∂2u

∂y2= xu เปนสมการไมเชงอนดบสอง

ตวอยาง 7.1 สมการเชงอนพนธยอยตอไปน เปนตวอยางของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองทสำคญ

1.∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2คอสมการคลนในหนงมต

2.∂u

∂t= c2

∂2u

∂x2คอสมการความรอนในหนงมต

3.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 คอสมการลาปลาซในสองมต

4.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= f(x, y) คอสมการปวซงในสองมต

5.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0 คอสมการลาปลาซในสามมต

ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอย ในบรเวณ R ซงเปนปรภมของตวแปรอสระคอฟงกชนทสอดคลองกบสมการเชงอนพนธยอยในบรเวณ R โดยทวไปสมการเชงอนพนธยอยอาจจะมผลเฉลยไดหลายผลเฉลยตวอยางเชน

u = x2 − y2, u = ex cos y, u = ln(x2 + y2)

ตางกเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยขอท 3 ของตวอยาง 7.1การเปนไปไดอยางเดยวของผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยจะสมนยกบปญหาทมการกำหนด

เงอนไขเพมเตมเชน มการกำหนด เงอนไขขอบ (boundary conditions) ของผลเฉลยu หรอมการกำหนด เงอนไขเรมตน (initial conditions) t = 0 ในทน t หมายถงเวลาซงเปนตวแปรอสระของผลเฉลย u หรออนพนธยอยของ u

ทฤษฎบท 7.1 Fundamental Theoremถา u1 และ u2 เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยเอกพนธในบรเวณ R แลว

u = c1u1 + c2u2

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใดๆจะเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยเอกพนธในบรเวณR

ตวอยาง 7.2 จงหาผลเฉลย u(x, y) ของสมการเชงอนพนธยอย∂2u

∂x2− u = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.3 จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอย∂2u

∂x∂y= −∂u

∂x

วธทำ . . . . . . . . .

บทที่ 4 วิธีการ ... - t...

Documents