บทที ่3 การเคลื่อนทีใ่นหนึ่งมติิ

3.1 ตาํแหน่งและการกระจดั

ตําแหน่ง (position) คือ การบอกให้ทราบวา่ วตัถหุรือสิง่ของที่เราพิจารณาอยูท่ี่

ใด เทียบกบัจดุอ้างอิง

วตัถอุยูท่ี่ตําแหน่ง x = x1 ที่เวลา t1 หมายถงึ วตัถอุยูท่ี่ระยะทาง x1 จากจดุ O

(จดุอ้างอิง) ที่เวลา t1

ถ้าวตัถเุลื่อนที่ไปอยูท่ี่ x2 ที่เวลา t2 แสดงวา่ วตัถไุด้มีการเคลื่อนที่ไประหวา่งเวลา

t1 และ t2

-X +Xx1 x2O

การกระจัด (displacement)

การเปลี่ยนตําแหน่งของวตัถจุาก x = x1 ไปเป็น x = x2 หรือ x2 – x 1

การกระจดั หมายถงึ การเปลี่ยนตําแหน่งของวตัถไุปจากตําแหน่งปกติ (สมดลุ)

2.2 ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย

ความเร็ว (velocity) คือ การกระจดัตอ่เวลา

ความเร็วเฉลี่ย (average velocity) คือ การกระจดัหารด้วยชว่งเวลา

อตัราเร็ว (speed) เป็นปริมาณสเกลาร์ หมายถงึ ระยะทางของการเคลื่อนที่

ทัง้หมดโดยไมค่ํานงึถงึทิศทางหารด้วยเวลา

อตัราเร็วเฉลี่ย (average speed) คือ ระยะทางทัง้หมดที่เคลื่อนที่หารด้วยเวลา

-X +Xx1 x3O x2

พิจารณาการเคลื่อนที่ของวตัถจุาก x1 ไป x3 และจาก x3 กลบัมา x2 ใช้เวลา

ทัง้หมด (t2 – t1)

อตัราเร็วเฉลี่ย = (x3 – x1) + (x3 – x2) / (t2 – t1)

ความเร็วเฉลี่ย = (x2 – x1) / (t2 – t1)

ตวัอย่าง โยนลกูบอลขึน้ในแนวดิ่ง ลกูบอลลอยขึน้ไปได้สงู 5 เมตร แล้วตก

กลบัมายงัมือในเวลา 2 วินาที

อตัราเร็วเฉลี่ย = ระยะทางทัง้หมดที่เคลื่อนที่ / เวลา

= (5 เมตร + 5 เมตร) / 2 วินาที

= 5 เมตรตอ่วินาที

ความเร็วเฉลี่ย = การกระจดัทัง้หมด / เวลา

= 0 / 2

= 0 เมตรตอ่วินาที

(การกระจดัเป็นศนูย์เพราะ ลกูบอลกลบัมาที่เดิม)

2.3 ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

ความเร็วขณะใดขณะหนึง่ (instantaneous velocity) คือ ความเร็วของวตัถใุน

ชว่งเวลาสัน้มากขณะผา่นจดุจดุหนึง่หรือที่เวลาใดเวลาหนึง่

X

t

x2

x1

OO

t1 t2

Q

P

ความชนัเป็นความเร็วที่ผา่น Q

ความชนัเป็นความเร็วเฉลี่ย

ความเร็วเฉลี่ย

ความชนัของเส้นตรงที่ลากผา่น PQ คือ (x2 – x1) / (t2 – t1)

ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

ความเร็วของวตัถทุี่ Q เป็นความเร็วขณะใดขณะหนึง่ที่เวลา t2 หรือ ที่จดุ Q

หาได้จากลมิิตของความชนั

ตวัอย่าง ความสมัพนัธ์ระหวา่งตําแหน่งกบัเวลาเป็นไปตามสมการ x = 5t2 เมตร

ให้ Q เป็นตําแหน่งที่ 2.00 วินาที คา่ของตําแหน่ง P ที่เวลาตา่งๆ ใกล้ Q และคา่ของ

ความชนัของเส้น PQ ดงัตาราง ลมิิตของความชนัที่ Q เป็น 20.00 เมตรตอ่วินาที

t (s) P (m) Q(m) ความชันของ PQ (m/s)

1.50 11.25 20.00 17.50

1.80 16.20 20.00 19.00

1.90 18.05 20.00 19.50

1.98 19.602 20.00 19.90

1.99 19.8005 20.00 19.95

1.995 19.9001 20.00 19.98

1.999 19.9800 20.00 20.00

1.9999 19.9980 20.00 20.00

ตารางแสดงคา่ x ของ P และ Q ที่เวลาตา่งๆ และคา่ความชนัของเส้น PQ

จากตาราง แสดงวา่ความชนัไมเ่ปลี่ยนเมื่อ t เข้าใกล้ 2.00 วินาทีมาก

2.4 ความเร่ง

ความเร่ง (acceleration) หมายถงึ การเปลี่ยนแปลงความเร็วตอ่เวลา

ถ้าที่เวลา t2 วตัถมุีความเร็ว v2 และที่เวลาก่อนนัน้คือ t1 วตัถมุีความเร็ว v1

ความเร่งเฉลี่ย =

ความเร่งขณะใดขณะหนึง่ =

กราฟของความเร็วกบัเวลา ความชนัของเส้นสมัผสัที่จดุตา่งๆ คือ ความเร่ง

ของวตัถทุี่จดุนัน้ๆ

อตัราเร่ง เป็นปริมาณสเกลาร์ ไมค่ิดทิศทางเชน่เดียวกบัอตัราเร็ว

กราฟระหว่างการกระจัดกบัเวลา (x-t)

ตวัอยา่งการเคลื่อนที่แบบตกอิสระระหวา่ง x กบั t จะได้กราฟเส้นโค้งพาราโบลา

การกระจดั (x)

t (วินาที)

ความเร็วที่ตําแหน่ง x0 = ความชนัของเส้นสมัผสัเส้นกราฟ ณ ตําแหน่ง (0, x0)

t

(t, x)

(0, x0)

x

x0

ความชนัของ T1 = v(t) = v

T0

T1

ความชนัของ T0 = v0

ความเร็วขณะใดขณะหนึง่ = ความชนัของเส้นสมัผสัเส้นกราฟ

O

กราฟระหว่างความเร็วกบัเวลา (v – t)

t

v

t

v0

at

v

v0

O

ความชนัของเส้นกราฟ = (v – v0) / (t – 0)

a = (v – v0) / (t – 0)

v = v0 + at

ระยะทาง x หาได้จาก

x = พืน้ที่สี่เหลี่ยม + พืน้ที่สามเหลี่ยม

ความเร่ง = ความชนัของเสน้กราฟระหวา่ง v กบั t ขณะเวลา t ใดๆ

กราฟระหว่างความเร่งกับเวลา (a – t)

วตัถทุี่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วเพิ่มขึน้หรือลดลงอยา่งสมํ่าเสมอ

v

tOv

tO

t

a

O

a = v / t

vav = a t

หาความเร็วเฉลี่ย

ได้จาก

พืน้ที่ใต้กราฟ a - t

ความเร็วเพิ่มขึน้

ความเร็วลดลง

t

a

t

-a

Ot

a

สมการการเคลื่อนที่กรณีความเร่งเป็นค่าคงตวั

วตัถทุี่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วแบบ

เพิ่มขึน้หรือลดลงอยา่งสมํ่าเสมอ กราฟ

ความเร็วกบัเวลาเป็นกราฟเส้นตรง

ความชนัทกุจดุบนเส้นตรงเทา่กนั

เวลา (t)

ความเร็ว

v0

tความชนั = มีคา่เทา่กบัความเร่ง ( a0 )

v

O

................สมการ (1.1)

การหาระยะทางที่วตัถเุคลื่อนที่ได้ พิจารณาจาก

กราฟ ชว่งเวลา t สัน้ๆ วตัถมุีความเร็ว v

ระยะทางที่วตัถเุคลื่อนที่ได้ในชว่งเวลา t คือ v

t

ระยะทางของการเคลื่อนที่ทัง้หมด ได้จากการรวม

vt ทัง้หมด โดยเริ่มจาก t = 0 จนถงึ t = t1

ระยะทางทัง้หมดสมมตวิา่เป็น (x1 – x0)

ความเร็ว

เวลาt1t

v1

v

v0

O

................สมการ (1.2)

ความเร็ว

เวลาt1t

v1

v

v0

O

จากกราฟ vt เป็นพืน้ที่ใต้กราฟ

การรวมพืน้ที่ vt ทัง้หมดจะได้พืน้ที่ใต้กราฟทัง้หมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหม ูมีคา่เทา่กบั

(1/2)(v0+v1)(t1-0)

........สมการ (1.3)

ระยะทางทัง้หมด

แทนคา่ v จากสมการ (1.1) จะได้

........สมการ (1.4)

v – v0 = a0t ดงันัน้ t = (v – v0)/a0

แทนคา่ t ลงในสมการ (1.3) จะได้

........สมการ (1.5)

สรุปเป็นสูตร

สตูรทัง้ 4 สตูรนีใ้ช้ได้ถกูต้องเฉพาะกรณีที่ a มีคา่คงตวัเทา่นัน้

ตวัอย่าง ถ้าการเคลื่อนที่ของก้อนหินในแนวดิง่ เกิดจากการโยนขึน้ด้วยความเร็วต้น

5.0 เมตรตอ่วินาที ซึง่จะมีความเร่งคงตวัในทิศลงมีคา่ 10 เมตรตอ่ (วินาที)2 ก้อน

หินจะใช้เวลาเทา่ใดจะถงึจดุสงูสดุ และใช้เวลาอีกเทา่ใดจงึจะกลบัถงึจดุที่โยน

ความเร็วเฉลี่ยของชว่งขาขึน้เป็นเทา่ใด และระยะทางถงึจดุสงูสดุเป็นเทา่ใด กราฟ

ของความเร็วสําหรับชว่งเวลาทัง้ขึน้และลงจะเป็นอยา่งไร

วธิีทาํ กําหนดให้ x เป็น การกระจดัในทิศขึน้

v เป็น ความเร็วในทิศขึน้

a เป็น ความเร่งในทิศขึน้ (a = -10 m/s2)

จากสมการ v = u + at

ความเร็วที่จดุยอดจะเป็น 0 และความเร็วต้น 5.0 m/s จะได้

0 = 5.0 + (-10 )t

t = 0.50 s

ก้อนหินใช้เวลา 0.50 วินาที จะถงึจดุสงูสดุ ANS1

เวลาในชว่งขาลง = เวลาในชว่งขาขึน้ เทา่กบั 0.50 วินาที เพราะการเคลื่อนที่ของ

ก้อนหินเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอยา่งเดิมในระยะทางเทา่กนักบัขาขึน้

ก้อนหินใช้เวลาอีก 0.50 วินาทีจงึจะกลบัถงึจดุที่โยน ANS2

ความเร็วเฉลี่ยของชว่งขาขึน้

(v + v0) / 2 = (0 + 5.0)/2

= 2.5 m/s ANS3

ระยะทางถงึจดุสงูสดุ = ความเร็วเฉลี่ย เวลา= 2.5 0.5 = 1.25 m ANS4

และกราฟของความเร็วกบัเวลาจะเป็นดงัรูป

O

-5.0

5.0

0.5 1.0 t(s)

v(m/s)

อาจตรวจสอบความถูกตอ้งของคาํตอบได้

จากสมการ

ใช้คา่เวลาของคําตอบ 1 แทนคา่จะได้

x = 5.0 0.5 + (1/2) 10 (0.50 )2 m = 1.25 m ตรงกบัคําตอบที่ 4

หากใช้สตูรระยะทางนี ้หาเวลาการเคลื่อนที่ขาลง ซึง่การกระจดัขาลงเป็น

-0.125 เมตร เพราะ การกระจดัมีทิศลง ใช้ความเร็วต้นเป็นศนูย์ (จากจดุยอด)

แทนคา่จะได้

-0.125 = 0 – (1/2)(-10) t2

t = +0.5 , -0.5 s ตรงกบัคําตอบที่ 1 และ 2

ตวัอย่างที่ 1 วตัถกุ้อนหนึง่มีการกระจดัเป็นไปตามสมการ x = 10t2 + 5 เมตร

จงคํานวณหาคา่ ก. ความเร็วที่เวลา t = 2 วินาที ข. ความเร่งที่เวลา t = 3 วินาที

วธิีทาํ

ก. ความเร็วขณะใดขณะหนึง่ = dx = d (10t2+5)dt dt

v(t) = 20 t เมตรตอ่วินาที

t = 2 วินาที , v = 20 x 2 = 40 เมตรตอ่วินาที

ข. ความเร่งขณะใดขณะหนึง่ = dv = d (20t)dt dt

a(t) = 20 เมตรตอ่วินาที 2

t = 3 วินาที , a = 20 เมตรตอ่วินาที 2

ตวัอย่างที่ 2 อนภุาคอนัหนึง่เดิมอยูน่ิ่ง แล้วทําให้เกิดความเร่ง = 3t เมตรตอ่วินาที 2

เมื่อ t คือ เวลา จงหาความเร่ง ความเร็ว และการกระจดั ภายหลงัเมื่อเคลื่อนที่ได้

นาน 5 วินาที

วธิีทาํ

ก. ความเร่ง a = 3t = 3x5 = 15 m/s2

ข. ความเร็ว

เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ a = 3t จะได้

ค. การกระจดั

เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ v = 3t2 / 2 จะได้

ตวัอย่างที่ 3 รถยนต์คนัหนึง่เคลื่อนที่ได้ 30 กิโลเมตร ในครึ่งชัว่โมงแรก และ

เคลื่อนที่ได้ระยะทาง 50 กิโลเมตร ในครึ่งชัว่โมงตอ่มา อตัราเร็วเฉลี่ยใน 1 ชัว่โมง

มีคา่เทา่ใด

วธิีทาํ อตัราเร็วเฉลี่ย = ระยะทาง

เวลา

= 30 กิโลเมตร + 50 กิโลเมตร

1/2 ชัว่โมง + 1/2 ชัว่โมง

= 80 กิโลเมตร/ชัว่โมง

คาํตอบ อตัราเร็วเฉลี่ย 80 กิโลเมตร/ชัว่โมง

ตวัอย่างที่ 4 ก้อนหินตกแบบเสรีจากที่สงูแหง่หนึง่ จะใช้เวลานานเทา่ใด ความเร็ว

ของก้อนหินจะเป็น 4 เทา่ของความเร็ว เมื่อสิน้วินาทีที่ 1 ของการเคลื่อนที่

วธิีทาํ หาความเร็วของก้อนหินเมื่อสิน้วินาทีที่ 1

จาก v = u + at

v = 0 + (-10) x 1

v = -10 เมตร/วินาที

หาเวลาที่ก้อนหินมีความเร็ว 40 m/s

จาก v = u + at

-40 เมตร/วินาที = 0 + (-10) x t

t = 4 วินาที

คาํตอบ ก้อนหินตกลงมาใช้เวลา 4 วินาที

ตวัอย่างที่ 5 วตัถชุิน้หนึง่เคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที

โดยมีความเร่ง 5 เมตร/วินาที 2 ขณะที่วตัถเุคลื่อนที่ได้ระยะทาง 480 เมตร วตัถุ

เคลื่อนที่มาแล้วกี่วินาที

วธิีทาํ

จากสตูร s = ut + ½ at 2

480 เมตร = 10 เมตร/วินาที . t + ½ x 5 เมตร/วินาที 2 . t2

960 = 20t + 5t2

(t - 12)(t + 16) = 0

t = 12 และ -16 วินาที แตเ่วลาเป็นลบไมม่ีความหมาย ดงันัน้วตัถุ

เคลื่อนที่มาแล้ว 12 วินาที

คาํตอบ วตัถเุคลื่อนที่มาแล้ว 12 วินาที

21

21

ตวัอย่างที่ 6 รถยนต์คนัหนึง่ออกวิ่งจากจดุหยดุนิ่งไปตามถนนตรงด้วยขนาด

ความเร่งคงตวัและวิ่งไปได้ไกล 75 เมตร ภายในเวลา 5 วินาที ขนาดของความเร่ง

ของรถยนต์เป็นทา่ใด

วธิีทาํ จากสตูร s = ut + ½ x at2

75 เมตร = 0 + ½ a 25 วินาที 2

a = 6 เมตร/วินาที 2

คาํตอบ ขนาดความเร่งของรถยนต์เป็น 6 เมตร/วินาที 221

21

ตวัอย่างที่ 7 โยนก้อนหินไปตามแนวดิง่ด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที ถามวา่

ก. เมื่อใดก้อนหินมีความเร็วเป็นศนูย์

ข. ก้อนหินขึน้ไปได้สงูสดุเทา่ใด

ค. เป็นเวลานานเทา่ใดก้อนหินจงึจะตกลงมาถงึตําแหน่งเริ่มต้น

วธิีทาํ

ก. จากสตูร v = u + at

0 = 10 เมตร/วินาที + (-10) เมตร/วินาที 2 x t

t = 1 วินาที

คาํตอบ ก้อนหินมีอตัราเร็วเป็นศนูย์หลงัจากโยนขึน้ไปนาน 1.0 วินาที

ข. จากสตูร s = (u+v)t / 2

= (10 เมตร/วินาที + 0 ) × 1.0 วินาที

2

= 5.0 เมตร

คาํตอบ ก้อนหินขึน้ไปได้สงูสดุเป็นระยะ 5.0 เมตร

ค. เมื่อก้อนหินตกถงึพืน้ s = 0

s = ut +1/2at2

s = 10t + ½ (-10) เมตร/วินาที 2 x t

0 = 10t – 5t2

0 = 5t(2 – t)

t = 2.0 s

คาํตอบ จะต้องใช้เวลา 2.0 วินาที ก้อนหินจงึตกถงึพืน้

ตวัอย่างที่ 8 อิเลก็ตรอนตวัหนึง่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1.0 x 10 4 เมตร/วินาที

เข้าสูบ่ริเวณสนามไฟฟา้และถกูเร่งโดยสนามไฟฟา้เป็นระยะทาง 1.0 เซนติเมตร

เมื่อออกจากสนามไฟฟา้ อิเลก็ตรอนนัน้มีความเร็ว 4.0 x 106 เมตร/วินาที จง

คํานวณหาความเร่ง

วธิีทาํ จากสตูร v2 = u2 + 2 as

(4.0 x 104 เมตร/วินาที) 2 = (1.0 x 104 เมตรตอ่วินาที) 2 + 2a x 1.0 x 10-2 เมตร

16.0 x 1012 = 0.0001 x 1012 + 2a x 1.0 x 10-2

a = 8.0 x 1014 เมตร/วินาที 2

คาํตอบ ความเร่งของอิเลก็ตรอนมีคา่เทา่กบั 8.0 x 1014 เมตรตอ่วินาที 2

ตวัอย่างที่ 9 โยนก้อนหินขึน้ไปในแนวดิง่จากพืน้ดิน ด้วยความเร็วต้น 20 เมตร/วินาที

หลงัจากโยนไปแล้วเป็นเวลาเทา่ไร ก้อนหินจงึตกลงมาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที

วธิีทาํ กําหนดให้ความเร็วในทิศขึน้เป็น +

จาก v = u + at

ความเร็วขณะตก = 10 เมตร/วินาที

-10 เมตร/วินาที = 20 เมตร/วินาที + (-10) x t

t = 3 วินาที