บทที่ 5 ตรีโกณมิติ · บทที่ 5...

บทท่ี 5 ตรีโกณมิต ิ

1. ค าจ ากัดความ

ตรีโกณมิติ เป็นสาขาหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการค านวณโดยใช้ค่าความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติทั่วๆ ไปในวิชาแผนที่และปัญหาหลักยิงปืนใหญ่สนาม มีเพียง 4 อย่าง คือ

sine เขียนย่อว่า sin consine เขียนย่อว่า cos tangent เขียนย่อว่า tan cotangent เขียนย่อว่า cot โดยปกติแล้ว cotangent ไม่มีโอกาสได้ใช้ในกิจการแผนที่และหลักยิงปืนใหญ่สนาม ซึ่งค่าความสัมพันธ์

ตรีโกณมิติดังกล่างมักจะพูดถึงค่าแท้ของมัน โดยแยกต่างหากจากค่าพละคณิตสัมพันธ์ตรีโกณมิติ

2. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมๆ หนึ่งเป็นมุมฉาก (1600 มิลเลียม) มุมภายในที่เหลือเป็น

มุมแหลม (มุมที่มีค่าน้อยกว่า 1 มุมฉาก) ด้านที่ยาวที่สุดจะอยู่ตรงข้ามมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านอีกสองด้านที่เหลือและสั้นกว่าที่อยู่ตรงข้ามกับมุมแหลม มักจะเรียกว่าเป็นด้านตรงข้าม และ ด้านประชิด

A

BC

2.1. ด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จากรูปด้านบน มุม B เป็นมุมฉาก มุม A, C เป็นมุมแหลม ด้าน AC เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้าน AB และ BC เป็นด้านตรงข้ามมุม และ ด้านประชิด

2.2. หลักนิยมในการเรียกด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม 2.2.1 เมื่อพิจารณาที่มุม A

ด้าน BC เป็นด้านตรงข้ามมุม

28

ด้าน AB เป็นด้านประชิดมุม 2.2.2 เมื่อพิจารณาที่มุม C

ด้าน AB เป็นด้านตรงข้ามมุม ด้าน BC เป็นด้านประชิดมุม

3. อัตราส่วนตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ หมายถึง อัตราส่วนของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ได้แก่ sine, cosine,

tangent และ cotangent ซึ่งจะมีอัตราส่วนดังนี้

sin ของมุมใดๆ ด้านตรงข้ามของมุมนั้น

ด้านตรงข้ามของมุมฉาก

ของมุมใดๆ ด้านประชิดของมุมนั้น


ของมุมใดๆ ด้านตรงข้ามของมุมนั้น

ด้านประชิดของมุมนั้น

ของมุมใดๆ ด้านประชิดของมุมนั้น

ด้านตรงข้ามของมุมนั้น

หรืออาจจะเขียนใหม่ได้ดังนี้

ab

cA B

C

จากรูป สมมุติให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เราสามารถเรียกด้านต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยม ABC และเขียนอัตราส่วนของความสัมพันธ์ตรีโกณมิติที่มุม A ได้ดังนี ้ การเรียกด้านต่างๆ AC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse) AB เรียกว่า ด้านประชุดมุม (Adjacent Side) BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม (Opposite Side) ความสัมพันธ์

sin A ด้านตรงข้ามของมุม


29

ด้านประชิดของมุม


ด้านตรงข้ามของมุม



ด้านตรงข้ามของมุม

ข้อสังเกต ุi. อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม B หรือ C จะมีวิธีการเขียนเช่นเดียวกับมุม A จะแตกต่างตรงการ

ก าหนดด้านตรงข้ามมุมและด้านประชิดมุม ii. อัตราส่วนตรีโกณมิตินี้ บางครั้งเรียกว่า ฟังก์ชั่นตรีโกณมิต ิ

4. วงกลมหน่วย วงกลมหน่วย คือ วงกลมที่มีรัศมียาวเท่ากับหนึ่งหน่วย โดยจะเป็นหน่วยอะไรก็ได้ เช่น นิ้ว เมตร หลา ฟุต

ไมล์ ฯลฯ มีประโยชน์เพ่ือใช้แสดงความสัมพันธ์ของมุมทางตรีโกณมิติ วงกลมหน่วยแต่ละวงจะแบ่งออกเป็น 4 ส่วน แต่ละส่วนเรียกว่า จตุรางคดล คือ จตุรางคดลที่ 1, จตุรางคดลที่ 2, จตุรางคดลที่ 3 และจตุรางคดลที่ 4 โดยอาศัยเส้นแกนตั้งและเส้นแกนนอนเป็นเส้นแบ่ง

I

IIIII

IV

จากรูป แสดงการแบ่งวงกลมออกเป็น 4 ส่วน หรือ 4 จตุรางคดล คือ ส่วนบนขวา เรียกว่า จตุรางคดลที่ 1 ส่วนล่างขวา เรียกว่า จตุรางคดลที่ 2 ส่วนล่างซ้าย เรียกว่า จตุรางคดลที่ 3 ส่วนบนซ้าย เรียกว่า จตุรางคดลที่ 4

5. การใช้วงกลมแสดงค่าความสัมพันธ์ตรีโกณมิติทางเรขาคณิต 5.1. เครื่องหมายและการแสดงค่าของ sin ทางเรขา

5.1.1. การแสดงค่าของ sin ในจตุรางคดลที่ 1 สมมุติให้วงกลมหน่วยมีรัศมี r = 1 หน่วย ให้รัศมี OP อยู่ที่ OP1 และลาก P1M1 ให้ตั้งฉาก

กับ YOY' ที่ M1 P1M1 เป็นพิกัดราบ (Abscussa) ยาว X

OM1 เป็นพิกัดฉาก (Ordinte) ยาว Y

30

OP1 เป็นรัศมีหมุนยาว r

Y

X'

Y'

XO

M1

y

X

r

P1

O

sin

; x = P1M1 (เครื่องหมายเป็น +)

x สรุป ค่าของ sin ในจตุรางคดลที่ 1 มีค่าเป็นบวก (+) เสมอ เพราะว่าเดินอยู่ในเส้นบน

แกนราบ (+) ซึ่งเป็นค่าอยู่บนฐานก าเนิดไปทางขวา และค่าของ sin จะมีค่ามากข้ึนเมื่อค่าของมุมมากขึ้นและมีค่าเป็น +1 เมื่อมุมเท่ากับ 1600 มิลเลียม


กับ YOY' ที่ M2 P2M2 เป็นพิกัดราบ (Abscissa) ยาว X OM2 เป็นพิกัดฉาก (Ordinate) ยาว Y OP2 เป็นรัศมีหมุนยาว r

Y

X'

Y'

XO

M2

y

Xr

P2

O

sin

31

; x = P2M2 (เครื่องหมายเป็น +)

x สรุป ค่าของ sin ในจตุรางคดลที่ 2 มีค่าเป็นบวก (+) เสมอ เพราะมีค่าจากจุด

ก าเนิดไปทางขวาและจะมีค่าลดลงเมื่อราคาของมุมมากขึ้น และค่าของ sin เป็น 0 เมื่อมุมเท่ากับ 3200 มิลเลียม


กับ YOY' ที่ M3

P3M3 เป็นพิกัดราบ (Abscissa) ยาว X OM3 เป็นพิกัดฉาก (Ordinate) ยาว Y OP3 เป็นรัศมีหมุนยาว r

Y

X'

Y'

XO

M3

y

X

rP3

O

sin

; x = P3M3 (เครื่องหมายเป็น -)

สรุป ค่าของ sin ในจตุรางคดลที่ 3 มีค่าเป็นลบ (-) เสมอ เพราะมีค่าจากจุด

ก าเนิดไปทางซ้ายและจะมีค่ามากขึ้นทางลบเมื่อราคาของมุมมากขึ้น และค่าของ sin เป็น -1 เมื่อมุมเท่ากับ 4800 มิลเลียม


กับ YOY' ที่ M4 P4M4 เป็นพิกัดราบ (Abscissa) ยาว X

32

OM4 เป็นพิกัดฉาก (Ordinate) ยาว Y OP4 เป็นรัศมีหมุนยาว r

Y

X'

Y'

XO

M4

Yr

P4

O

sin

; x = P4M4 (เครื่องหมายเป็น -)

สรุป ค่าของ sin ในจตุรางคดลที่ 4 มีค่าเป็นลบ (-) เสมอ เพราะมีค่าจากจุด

ก าเนิดไปทางซ้ายและจะมีค่าลดลงทางลบเมื่อราคาของมุมมากขึ้น และค่าของ sin เป็น 0 เมื่อมุมเท่ากับ 6400 มิลเลียม

ข้อสังเกตุ o ค่าของ sin ทางเรขานั้น จะเคลื่อนที่อยู่บนแกนราบ (XX') หรือทุกเส้นที่ขนานกับแกนราบ o ค่าของ sin จะเริ่มจากจุดก าเนิด (เส้นแกนตั้ง) ไปทางซ้ายหรือทางขวาเสมอ o เครื่องหมายสังเกตุจากต าแหน่งของ OX, OX' ว่าอยู่ทางขวาหรือซ้ายของจุดก าเนิด (ขวา+, ซ้าย-)

5.2. เครื่องหมายและการแสดงค่าของ cos ทางเรขา 5.2.1. การแสดงค่าของ cos ในจตุรางคดลที่ 1

สมมุติให้วงกลมหน่วยมีรัศมี r = 1 หน่วย ให้รัศมี OP อยู่ที่ OP1 และลาก P1M1 ให้ตั้งฉากกับ YOY' ที่ M1

P1M1 เป็นพิกัดราบ (Abscissa) ยาว X OM1 เป็นพิกัดฉาก (Ordinate) ยาว Y OP1 เป็นรัศมีหมุนยาว r

33

Y

X'

Y'

XO

M1

y

X

r

P1

O

cos

; Y = OM1 (เครื่องหมายเป็น +)

Y สรุป ค่าของ cos ในจตุรางคดลที่ 1 มีค่าเป็นบวก (+) เสมอ เพราะว่าเดินอยู่

เหนือจุดก าเนิด และค่าของ cos จะมีค่าลดน้อยลงเมื่อค่าของมุมมากขึ้นและมีค่าแป็น 0 เมื่อมุมเท่ากับ 1600 มิลเลียม

5.2.2. การแสดงค่าของ cos ในจตุรางคดลที่ 2 สมมุติให้วงกลมหน่วยมีรัศมี r = 1 หน่วย ให้รัศมี OP อยู่ที่ OP2 และลาก P2M2 ให้ตั้งฉาก


Y

X'

Y'

XO

M2y

Xr

P2

O

cos

34

; Y = P2M2 (เครื่องหมายเป็น -)

Y สรุป ค่าของ cos ในจตุรางคดลที่ 2 มีค่าเป็นลบ (-) เสมอ เพราะจะเดินใต้จุดก าเนิด

(XOX') และจะมีค่ามากขึ้นในทางลบ (-) เมื่อค่าของมุมมากขึ้น และค่าของ cos เป็น -1 เมื่อมุมเท่ากับ 3200 มิลเลียม



Y

X'

Y'

XO

M3

y

X

rP3

O

cos

; Y = P3M3 (เครื่องหมายเป็น -)

สรุป ค่าของ cos ในจตุรางคดลที่ 3 มีค่าเป็นลบ (-) เสมอ เพราะอยู่ใต้จุดก าเนิด

(XOX') และจะมีค่าลดน้อยลงในทางลบเมื่อราคาของมุมมากขึ้น และค่าของ cos เป็น 0 เมื่อมุมเท่ากับ 4800 มิลเลียม

35



Y

X' XO

M4

Yr

P4

O

Y'

cos

; Y = P4M4 (เครื่องหมายเป็น +)

สรุป ค่าของ cos ในจตุรางคดลที่ 4 มีค่าเป็นบวก (+) เสมอ เพราะเดินอยู่เหนือ

จุดก าเนิดและจะมีค่าเพ่ิมข้ึนในทางบวกเมื่อราคาของมุมมากขึ้น และค่าของ cos เป็น +1 เมื่อมุมเท่ากับ 6400 มิลเลียม

ข้อสังเกตุ o ค่าของ cos ทางเรขานั้น จะเคลื่อนที่อยู่บนแกนราบ (YY') หรือทุกเส้นที่ขนานกับแกนต้ัง o ค่าของ cos จะเริ่มจากจุดก าเนิด (เส้นแกนนอน) ไปทางเหนือหรือทางใตเ้สมอ o เครื่องหมายสังเกตุจากต าแหน่งของ OY, OY' ว่าอยู่ทางเหนือหรือใตข้องจุดก าเนิด (เหนือ+, ใต-้)

5.3. เครื่องหมายและการแสดงค่าของ tan ทางเรขา การแสดงค่าของ tan นั้น ท าโดยการต่อเส้นรัศมี r ของวงกลมหน่วยไปตัดกับเส้นสัมผัสวงกลม ณ

จุด Q1 ซ่ึง r = 1 ฉะนั้น Y = 1 5.3.1. การแสดงค่าของ tan ในจตุรางคดลที่ 1

ลากเส้นสัมผัส PP1 สัมผัสวงกลมที่จุด Y หรือที่ 0 มิลเลียม ต่อเส้น OP1 ไปตัดกับ PP1 ที่ Q1

36

Y

X'

Y'

XO

Q1X

rO

P1P

y

tan

; X = YQ1 (เครื่องหมายเป็น +)

X สรุป ค่าของ tan ในจตุรางคดลที่ 1 มีค่าเป็นบวก (+) เสมอ และจะมีค่าเพ่ิมขึ้น

เมื่อราคาของมุมมากขึ้น และค่าของ tan เป็น เมื่อมุมเท่ากับ 1600 มิลเลียม 5.3.2. การแสดงค่าของ tan ในจตุรางคดลที่ 2


Y

X'

Y'

XO

Q2 X

rP2

O

O

P1P

y

tan

; X = YQ2 (เครื่องหมายเป็น -)

37

-X สรุป ค่าของ tan ในจตุรางคดลที่ 2 มีค่าเป็นลบ (-) เสมอ เพราะอยู่ทางซ้ายของ

จุดก าเนิด และจะมีค่าน้อยลงในทางลบ และค่าของ tan เป็น 0 เมื่อมุมเท่ากับ 3200 มิลเลียม 5.3.3. การแสดงค่าของ tan ในจตุรางคดลที่ 3


Y

X'

Y'

XO

y r

Q3

O

O

P1P

tan

; X = YQ3 (เครื่องหมายเป็น +)

X สรุป ค่าของ tan ในจตุรางคดลที่ 3 มีค่าเป็นบวก (+) เสมอ เพราะอยู่ทางขวา

ของจุดก าเนิด และจะมีค่าเพ่ิมขึ้นเมื่อเมื่อราคาของมุมมากขึ้น และค่าของ tan เป็น เมื่อมุมเท่ากับ 4800 มิลเลียม

5.3.4. การแสดงค่าของ tan ในจตุรางคดลที่ 4 ลากเส้นสัมผัส PP1 สัมผัสวงกลมที่จุด Y หรือที่ 0 มิลเลียม ต่อเส้น OP4 ไปตัดกับ PP1

ที่ Q4

38

Y

X'

Y'

XO

yrO

Q4 P1P

tan

; X = YQ4 (เครื่องหมายเป็น -)

-X สรุป ค่าของ tan ในจตุรางคดลที่ 4 มีค่าเป็นลบ (-) เสมอ เพราะอยู่ทางซ้ายของ

จุดก าเนิด และจะมีค่าน้อยลงในทางลบเมื่อราคาของมุมมากขึ้น และค่าของ tan เป็น 0 เมื่อมุมเท่ากับ 6400 มิลเลียม

ข้อสังเกตุ o ค่าของ tan ทางเรขานั้น จะเคลื่อนที่อยู่บนเส้นสัมผัสที่ 0 มิลเลียม (6400 มิลเลียม) o ลักษณะการเดินค่าของ tan คล้ายกับ sin แต่ค่าของ tan มากกว่า 1 ได ้o การก าหนดเครื่องหมายของ tan จะยึดถือจุดก าเนิด O (YOY') แกนตังเป็นหลัก o ถ้าค่าของ tan อยู่ทางขวาของจุดก าเนิด เครื่องหมายเป็น + o ถ้าค่าของ tan อยู่ทางซ้ายของจุดก าเนิด เครื่องหมายเป็น -

6. ตารางเครื่องหมายในวงกลมหน่วย

จากหัวข้อที่ 5 เราใช้วงกลมหน่วยแสดงค่าความสัมพันธ์ตรีโกณมิติของมุมทั้งหมดจาก 0 – 6400 มิลเลียม และเป็นวิธีที่ง่ายในการพิจารณาเครื่องหมายความสัมพันธ์ตรีโกณมิติของมุม อีกทั้งช่วยในการค านวณผลงานที่เกี่ยวข้องกับพิกัด มุมภาคของทิศและระยะได้อย่างดีอีกด้วย เพ่ือให้เกิดความเข้าใจมากยิ่งขึ้นเราสามารถสรุปเครื่องหมายในวงกลมหน่วยในรูปของตารางได้ดังนี้

ตรีโกณมิติ ความสัมพันธ์ เครื่องหมายทางความสัมพันธ์ตรีโกณมิติ จ.1 จ.2 จ.3 จ.4

39

sin ของมุมใดๆ ด้านตรงข้ามของมุมนั้น

ด้านตรงข้ามของมุมฉาก + + - -

cos ของมุมใดๆ ด้านประชิดของมุมนั้น

ด้านตรงข้ามของมุมฉาก + - - +

tan ของมุมใดๆ ด้านตรงข้ามของมุมนั้น

ด้านประชุดของมุมนั้น + - + -

ความสัมพันธ์ตรีโกณ เมื่อพิจารณามุมที่แตกต่างกัน

B

A Cb

ac

จากรูป ACB มีมุม C เป็นมุมฉาก เมื่อพิจารณาที่มุม B จะได้ว่า B = 1600 – A ดังนั้น sin B = sin (1600 – A) = cos A cos B = cos (1600 – A) = sin A tan B = tan (1600 – A) = cot A 7. การเปลี่ยนมุมป้านให้เป็นมุมแหลม

ในจตุรางคดล ค่าความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติไม่ได้ให้ค่าความสัมพันธ์ของมุมที่มากกว่า 1600 มิลเลียม ไว้ในการพิจารณา เนื่องจากสามารถที่จะเปลี่ยนมุมซึ่งมีค่ามากกว่า 1600 มิลเลียม ให้มีค่าน้อยกว่า 1600 มิลเลียมได้โดยที่ผลลัพธ์จากกการค านวณยังถูกต้อง เรียกวิธีการเช่นนี้ว่า การเปลี่ยนมุมป้านให้เป็นมุมแหลม

40

ซึ่งเป็นการท าให้มุมในจตุรางคดลต่างๆ อยู่ในจตุรางคดลที่ 1 นั่นเอง หลักการเปลี่ยนมุมป้านให้เป็นมุมแหลม มีดังนี ้

7.1. ในจตุรางคดลที่ 1 คือ มุมระหว่าง 0 – 1600 มิลเลียม

sin A = cos (1600 – A) cos A = sin (1600 – A) tan A = cot (1600 – A) 7.2. ในจตุรางคดลที่ 2 คือ มุมระหว่าง 1600 – 3200 มิลเลียม

sin A = sin (3200 – A) cos A = cos (3200 – A) tan A = tan (3200 – A) cot A = cot (3200 – A)

� � = 3200 – � �

B

A Cb

ac

เช่น มุมภาคของทิศเท่ากับ 2800 มิลเลียม

มุมทิศทาง = 3200 – 2800 = ใต้ 400 ตะวันออก


� � = � � - 3200

41


มุมทิศทาง = 3500 – 3200 = ใต้ 300 ตะวันตก


� � = 6400 - � �


มุมทิศทาง = 6400 – 5800 = เหนือ 600 ตะวันตก

จากหลักการข้างต้น ถ้าทราบมุมทิศทางแล้วก็สามารถที่จะหามุมภาคของทิศจากมุมทิศทางนั้นได้ เช่น มุมทิศทาง = ต.400 ตก. (ใน จ.3)

มุมภาคของทิศ = 3200 – 400 = 3600 มิลเลียม

8. การประยุกต์ใช้สูตรตรีโกณมิติ สูตรสัมพันธ์ตรีโกณมิติ น าไปใช้ในการแก้ปัญหารูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น เมื่อทราบค่าสองค่าของรูป

สามเหลี่ยมมุมฉาก (ยกเว้นมุมฉาก) ก็จะสามารถหาค่าอ่ืนๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นได้ 8.1. ค านวณค่าแท้ของสัมพันธ์ตรีโกณมิติ

คือ ปฏิภาคทางตัวเลขระหว่างด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่างเช่น ถ้าด้านตรงข้ามมุม A ยาว 1 หน่วย และด้านประชิดมุม A ยาว 2 หน่วย เราต้องการหาค่า tan A สามารถหาได้ดังนี้

tan A ด้านตรงข้ามมุม

ด้านประชิดมุม

0.5

ตารางค่าแท้ของสัมพันธ์ตรีโกณมิติ คิดขึ้นจากปฏิภาคของด้านหนึ่งกับอีกด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

มุมฉาก ซึ่งดูได้จากตารางที่ 4 (TM.6-230) ดังนั้น tangent ของมุมซึ่งมีค่าเท่ากับ 0.5 คือ 472 มิลเลียม โดยน า 0.5 ไปเปิดในตารางที่ 4 (TM.6-230) ส่วนค่า sin และ cos มีวิธีการท าเช่นเดียวกัน

เช่น sin 749 มิลเลียม = 0.67083 (ตารางที่ 4 ของพละคณิต)

42

cos 1460 มิลเลียม = 0.13701 (ตารางที่ 4 ของพละคณิต) หลักการพิจารณาใช้สัมพันธ์ทางตรีโกณมิติของ sin, cos, tan

1) เมื่อไม่ได้ก าหนดหรือต้องการทราบเกี่ยวกับด้านตรงข้ามมุมแล้ว สัมพันธ์ตรีโกณมิติที่จะใช้ คือ สัมพันธ์ tangent อย่างเดียว ตัวอย่างที่ 1 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี B เป็นมุมฉาก ก าหนดให้ ด้าน a = 200, ด้าน c = 100 จงหา มุม c

A

C Ba

cb

วิธีท า tan C ด้านตรงข้ามมุม

ด้านประชิดมุม

0.5

C tan-1 (0.5)

472 มิลเลียม

2) เมื่อก าหนดให้ด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ ต้องการทราบเกี่ยวกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สัมพันธ์ตรีโกณมิติที่จะใช้คือ sin หรือ cos เท่านั้น (i) การใช้สัมพันธ์ sin

เมื่อทราบหรือต้องการทราบเกี่ยวกับด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุม หรือมุมที่อยู่ด้านตรงข้ามที่รู้ เช่น ตัวอย่างที่ 2 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี B เป็นมุมฉาก ก าหนดให้ ด้าน b = 250, มุม A =250 มิลเลียม จงหา ด้าน a

43

C

A Bc

ab

วิธีท า sin A ด้านตรงข้ามมุม

ด้านตรงข้ามมุมฉาก

sin A

a b in A

250 in (250 0.05625) 60.74

(ii) การใช้สัมพันธ์ cos เมื่อทราบหรือต้องการเกี่ยวกับด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประชิดของมุมที่รู้ หรือ มุมซึ่งเป็นมุมประชิดของด้าน เช่น ตัวอย่างที่ 3 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี B เป็นมุมฉาก ก าหนดให้ ด้าน b = 400, ด้าน a = 250 จงหา มุม c

C

A Bc

ab

วิธีท า cos C ด้านประชิดมุม

ด้านตรงข้ามมุมฉาก

44

0.62500

C cos-1 (0. 62500)

912 มิลเลียม

8.2. ค านวณค่าสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติ ค่าสัมพันธ์ตรีโกณมิติสังเขปนี้ โดยทั่วไปแล้วในกิจการทหารปืนใหญ่ใช้หาค่า sin สังเขปเท่านั้น

ค่า sin สังเขปแสดงตามตารางต่อไปนี้

มุมเป็นมิลเลียม ค่า sin สังเขป

100 0.1 200 0.2 300 0.3 400 0.4 500 0.5 600 0.6 700 0.6 800 0.7 900 0.8 1000 0.8 1100 0.9 1200 0.9 1300 1 1400 1 1500 1 1600 1

ค่า sin สังเขปนี้จะใช้ค านวณเมื่อมุมมากกว่า 600 มิลเลียม ถ้ามุมมีค่าน้อยกว่า 600 มิลเลียม ใช้กฏ

ก ผ

ร ค านวณ

บทที่ 5 ตรีโกณมิติ · บทที่ 5...

Documents