คณิตศาสตร -...

การจดการความรในหวขอ

คณตศาสตร

โดย

กองวชาคณตศาสตรและคอมพวเตอร

สวนการศกษา

โรงเรยนนายรอยพระจลจอมเกลา

2555

�� /��ก�� /ก�� ก��ก�� .��. �� ก�� ก��ก�� ก�� !�� ก��"�� # �� !$��%� &'(��()�*�ก+��,��'�+$�-� "��+��!��.��.��%.��/��0��-�� ก�� ก��"��!$�ก!$��ก+� �� !�� ก��"�� # �� !$*��%.�� /��%��/�1 &'(��!�� +.��-��%�(��2�/��'/��ก��*�� 34$�%.��,ก��0�/��0��-�5��-6 �/��ก��*�7 &'(��0��ก�� +1�ก�(��"�0��-�"� �� 34$��ก��&'ก��'!$�� !"�#��$��%�

1. �,�'�ก�%.��*��ก+��/��'�!$��()�*�&'(��%� &'(��0"�-�%*�-��

2. .�+$*��ก+��+��,�/��'%.��+��+� -��(��ก��&ก�-/ �3�$�� 3. �!ก��5�&3�� (*��+�3+ � )��83�(%ก',��* +ก��!� +ก��ก��

6�$��ก',��!$��0-��+��()�*��ก5'��, %.�� 4. �!ก��&'ก��'!$��

#��&�'() 5'��-�*��3�$�3�� %.�ก+�ก',��* +ก��!� +ก��ก�� &'(�,��'�+$�-�&'( -�"��-�%*��()�*�%*!�� #��#��(*�

1. �5�&3��+�� ก�(+��/��ก',��* +ก��!� +ก��ก��-��

2. ��&.'�� %.�ก+��* +ก��!� +ก��ก�� &'(�,��'�+$�-�

3. ��&.'��&'ก��'!$��

สารบญ

หนา

ประวตแคลคลส 1

สตรการหาอนพนธ 4

สตรการหาปรพนธ 6

ประวตเครองหมายคณตศาสตร 7

ประวตตรโกณมต 9

เทคนคคดในใจสาหรบการบวก ลบ และ คณ เลขจานวนเตม 12

เทคนคการคณเลขเรว 14

การหา ห.ร.ม. แบบยคลด โดยใชตาราง 18

วธการใชลกคด (Abacus) 20

วธการใชสไลดรล (Slide Rule) 29

คณตศาสตรเกยวกบวนท 29 กมภาพนธ 31

ปญหาการเรยงสมในกลองสามมต 33

เทคนคจาคา sine และ cosine โดยใชฝามอ 36

การตดเกรดโดยใช T- Score 37

Integration by Part (ทมาของสตรลด) 46

1

ประวต แคลคลส (Calculus)

แคลคลส เปนวชาคณตศาสตรทมความสาคญอยางยง สามารถนาไปประยกตใชในการอธบายกฎเกณฑธรรมชาต เปนพนฐานของความเขาใจโลก และปรากฎการณตาง ๆ แคลคลสชวยใหเราสามารถคานวณวงโคจรของดาวตาง ๆ ชวยใหเราคานวณกระแสนา การคานวณหาเสนแรงในอาคารรปแปลก ๆ เพอใหสามารถสรางอาคารเหลานน เปนวชาทจาเปนสาหรบนกวทยาศาสตรแทบทกแขนง

เซอร ไอแสค นวตน กอตฟรค ไลปนช

ผทเกดแนวคดเรองแคลคลสกอนผใด เมอราว ป 1667 เซอร ไอแสค นวตน นกฟสกส

ชาวองกฤษ สนใจในเรองคณตศาสตรของการเคลอนท ซงมการเปลยนแปลงตลอดเวลา กฎเกณฑของการเปลยนแปลงนเอง ทาใหเปนทมาของแคลคลส ในเรองของอนทกรลและดฟเฟอเรนเชยล ตอมาไมนานกมนกคณตศาสตรชาวเยอรมนชอ กอตฟรค ไลปนช กเกดแนวตดในทานองเดยวกน ทงสองคนเขยนจดหมายแลกเปลยนทศนะ และแนวคดกน

แคลคลสเปนคณตศาสตรทถอกาเนดขนในศตวรรษท 17 แตถาไลยอนไปในอดต กจะพบแนวความคดหรอเทคนคตาง ๆทนกคณตศาสตรสมยกอนหนานนไดชวยคดชวยสรางมาตงแตสมยกรกโบราณโนน ซงมรายละเอยดมาก พอจะสรปหลก ๆ ทสาคญ ดงน

2

อารคมดส เสนสมผสรปรางเกลยวหอย

นกคณตศาสตรสมยโบราณหลายคน เชน อารคมดส เคยคดวธหาเสนสมผสรปรางเกลยว

หอย โจทยขอนสาคญมาก เพราะนาจะเปนโจทยเกยวกบ เสนสมผสหรอ “ดฟเฟอเรนเชยลแคลคลส” เพยงขอเดยวในประวตศาสตร สวนทเหลอ เชน การคานวนหาพนทวงกลม ปรมาตร และพนผวของทรงกลมไดอยางไร ซงจากมมมองสมยน เปนโจทยเกยวกบผลรวม หรอ “อนทกรลแคลคลส” ทงสน

นอกจากน นกคณตศาสตรชาวกรก ไดตงโจทยเกยวกบ ลมต และคาอนนอกดวย แตทนาจะสาคญทสดคอ เทคนคทางคณตศาสตรทเรยกวา "วธใชทงหมดของยโดซส" ซงมหลกการงาย ๆวา ถาตองการคานวณหาพนทรปทรงประหลาดๆ ทสนใจกแบงพนทใหเปนรปงายๆ เชน รป 3 เหลยม 4 เหลยม โดยเรมจากการใชรปงาย ๆ ใสลงไปในพนททตองการหาและซอยยอยลงไปเรอยๆ ดงนนผลรวมกจะไดใกลเคยงกบพนททตองการ

3

นคอเทคนคการอนทเกรต โดยใชภาพ ของนกคณตศาสตรกรกโบราณนนเอง นกคณตศาสตรชาวเอเชยกมผคด"ปฐมแคลคลส"ไวคอ คนจนกบคนญปน นกคณตศาสตรญปนคานวนหาพนทวงกลม โดยแบงเปนแถบ 4 เหลยมยอย ๆ

จวบจนถงครตศตวรรษท 14 จงมคาถามประเภทวา วตถเคลอนทดวยอตราเรวไมคงท จะหาระยะทางทวงไปไดอยางไร แตแคลคลสสมยใหมตองรอเวลานานกวาจะถอกาเนดขนได เพราะแคลคลส จาเปนตองใชแนวคดจากคณตศาสตรสาขาอน ๆ หลายวชานามากอน เชน ฟงกชน พชคณตสญลกษณ และเรขาคณตวเคราะห แนวคดเรองฟงกชนนมาสกงอม ตอนทกาลเลโอมาศกษาเรองการเคลอนท สวนสองเรองหลงคอ พชคณตสญลกษณ และเรขาคณตวเคราะห เปนฝมอของเดอคารตสยอดนกคณตศาสตรทคดแกนอางองแบบคารทเชยนใหเราใชกนจนถงเดยวนนเอง

4

สตรการหาอนพนธ ฟงกชนทวไป

[ ] 0dc

dx=

[ ]( ) ( )dcf x cf x

dx′=

[ ]( ) ( ) ( ) ( )df x g x f x g x

dx′ ′+ = +

[ ]( ) ( ) ( ) ( )df x g x f x g x

dx′ ′− = −

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x g x f x g x g x f x

dx′ ′= + กฎผลคณ

[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d f x g x f x f x g x

dx g x g x

′ ′− = กฎผลหาร

1n ndx nx

dx

− = กฎการยกกาลง

[ ]( ) ( )d duf u f u

dx dx′= กฎลกโซ

ฟงกชนตรโกณมต

[ ]sin cosd

x xdx

=

[ ]cos sind

x xdx

= −

[ ] 2tan secd

x xdx

=

[ ]csc csc cotd

x x xdx

= −

[ ]sec sec tand

x x xdx

=

[ ] 2cot cscd

x xdx

= −

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอกาลทม

x xde e

dx =

[ ] 1ln

dx

dx x=

lnx xda a a

dx =

[ ] 1log

lna

dx

dx x a=

5

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

1

2

1sin

1

dx

dx x

− = −

1

2

1tan

1

dx

dx x

− = +

1

2

1sec

1

dx

dx x x

− = −

1

2

1cos

1

dx

dx x

− = − −

1

2

1cot

1

dx

dx x

− = − +

1

2

1csc

1

dx

dx x x

− = − −

ฟงกชนไฮเพอรโบลก

[ ]sinh coshd

x xdx

=

[ ]cosh sinhd

x xdx

=

[ ] 2tanh sechd

x xdx

=

[ ]sech sech tanhd

x x xdx

= −

[ ]csch csch cothd

x x xdx

= −

[ ] 2coth cschd

x xdx

= −

6

สตรหาปรพนธ

1

1

nn uu du C

n

+

= ++∫

1lndu u C

u= +∫

u ue du e C= +∫

sin cosu du u C= − +∫

cos sinu du u C= +∫

2sec tanu du u C= +∫

sec tan secu u du u C= +∫

csc cot cscu u du u C= − +∫

2csc cotu du u C= − +∫

sec ln sec tanu du u u C= + +∫

csc ln csc cotu du u u C= − +∫

1

2 2

1sin

udu C

aa u

− = + −∫

1

2 2

1 1tan

udu C

a u a a

− = + +∫

1

2 2

1 1sec

udu C

a au u a

− = + −∫

เอกลกษณตรโกณมตทสาคญ sin 2 2sin cosx x x=

2 1 cos 2sin

2

xx

−=

2 1 cos 2cos

2

xx

+=

7

ประวตเครองหมายคณตศาสตร

เครองหมายแทนการหาร ÷ หรอ สญลกษณ ÷ ไดถกนามาใชโดย จอหน วอลลส (John Wallis 1616–1703) ในประเทศองกฤษและสหรฐอเมรกา แตไมแพรหลายในทวปยโรป เพราะใชเครอง หมายโครอน ( : ) กนจนชนแลว ในป 1923 คณะกรรมการแหงชาตเกยวกบคณตศาสตรในสหรฐอเมรกากลาววา เครองหมาย หาร (÷) และ เครองหมายโครอน ( : ) ไมไดถกนามาใชในชวตธรกจแตใชในวชาพชคณตเทานน จงไดมการนาเครองหมายเศษสวน ( / ) มาใชแทนเครองหมายหาร (÷) หมายเหต อางองจากรายงาน National Committee on Mathematical Requirement ของ Mathematical Association of America,Inc( 1923,P 81 )

เครองหมายแทนการคณ × คาวา Multiply ทแปลวา “คณ” มาจากคาวา Multiplicare เปนภาษาละตนซงหมายถงการมคาเพมมากขนเปนทวคณ นกคณตศาสตร Oughtred เปนคนคดเครองหมายคณเปนรป × ในป1631 ตอมา Harriot แนะนาใหใชเครองหมายจด . ในปเดยวกน ในป ค.ศ. 1698 Leibniz เขยนถง Bernoulli วา “ ฉนใช × เปนสญลกษณในการคณมนสบสนกบตว X บอยครง ฉนจงใชสญลกษณงายๆ คอ . ” ปจจบนนการคณใชเครองหมาย 3 แบบไดแก 3×a หรอ 3. a หรอ (3)a หรอการวางชดกนคอ 3a

เครองหมายแทนการบวก + คาวา บวก มาจากภาษาละตนวา adhere ซงหมายความวา “ ใสเขาไป ” Widman เปนคนแรกทคดใชเครองหมาย “ + ” และ “ − ” ในป 1489 เขากลาววา “ − คอ minus และ + คอ more เชอกนวาสญลกษณ “ + ” มาจากภาษาละตน et แปลวา “ และ ”

สญลกษณ π ทใชในการหาพนทวงกลมมความเปนมาในอดตโดยไมมหลกฐานทแนชดวา π

เปนจานวนอตรรกยะ อยางไรกตาม ในคมภรไบเบล(I Kings 7: 23) ตว π ถกกาหนด

ใหมคาเปน 3 และ ในป 1892 นตยสาร นวยอรกไทม แสดงคา π เทากบ 3.2 อกทงในป 1897 ใน

House Bill หมายเลข 246 ในรฐอนเดยนนา ให π มคาเทากบ 4 ในหนงสอพมพในป 1934 ให π ม

คา 22

7

8

อยางไรกตาม สญลกษณ π พบครงแรกในป 1934 แตยงไมแพรหลาย จนกระทง Euler

เรมนามาใชในป 1737 และ ในป 1873 William Shanks คานวณคา π ไดทศนยม 700 ตาแหนง โดยเขาใชเวลานานถง 15 ป อยางไรกตามไดมการนาเทคนคทางคอมพวเตอรมาใชแทนซงคานวณไดแมนยากวา 100 ตาแหนง

“ 0 ” กาเนดเมอไร ชาวอยปตยงไมมสญลกษณแทน 0 ชาวบาบโลเนยนใชระบบ

ตาแหนงแตกยงไมม 0 ใช จงทาใหตวเลขทเขาใชยงไมสมบรณ จนกระทงในปท 150 ของครสตกาล ชาวมายน ไดนา 0 มาใชเปนกลมแรก โดยใชแสดงตาแหนงและใชแทนจานวน 0 ซงไมทราบวานามาใชเมอใดจนกระทงมบนทกไวกอนครสตศตวรรษ ท 16 โดยนกเดนทางชาวสเปนทเดนทางไปคาบสมทรยคาธาน พวกเขาพบวา ชาวมายนไดมการใช 0 อยางแพรหลายมาเปนเวลานาน กอนทโคลมบส จะคนพบอเมรกาเสยอก

ลอการทม (Logarithm) ถกคนพบโดย จอหน เนเปยร (John Napier:1550-1617) ซงไดรบยกยองวาเปนผคนพบลอการทม และเปนคนแรกทพมพผลงาน Descriptio ซงเกยวกบลอการทม ในป 1614 ในป ค.ศ. 1588 แนวคดทคลายกนนกไดรบการพฒนาโดย จอบ บก (Jobst Burgi) Glaisher กลาววา การประดษฐลอการทม และตารางคานวณ มคณคาอยางยงตอวทยาศาสตรไมมงานคณตศาสตรใด ทมผลสบเนองอยางมคณคาเทากบงาน Descriptio ของ เนเปยร ยกเวน Principia ของนวตน หมายเหต แหลงทจะศกษาทางประวตเกยวกบลอการทม มอยใน Encyclopedia Britanica พมพครงท 11 ฉบบท 16 หนา 868 – 877 เขยนโดย J.W.L. Glaisher และมอยใน “ History of the Exponential and Logarithmic Concepts. ในหนงสอวารสาร American Mathematical Monthly. Vol.20(1913) ซงเขยนโดย Florian Cajori

9

ประวตตรโกณมต

ตรโกณมต (จากภาษากรก trigonon มม 3 มม และ metro การวด) เปนสาขาของ

คณตศาสตรทเกยวของกบมม, รปสามเหลยม และฟงกชนตรโกณมต เชน ไซน และ โคไซน มความเกยวของกบเรขาคณต แมวาจะสรปไมไดอยางแนชดวา ตรโกณมตเปนหวขอยอยของเรขาคณต

นกคณตศาสตรมสลมในยคกลาง (หรอยคมด ตามคาเรยกของชาวยโรป) มสวนเปนอยางมากในการพฒนาและอทศผลงานในคณตศาสตรสาขาตรโกณมต โดยพวกเขาไดรบแนวคดพนฐานมาจาก

1. ตาราคณตศาสตรอนเดยทชอ Sūrya Siddhānta (สรยสทธานตะ) 2. ตาราอลมาเกส (เปนภาษาอาหรบแปลวายงใหญทสด แสดงใหเหนวานกคณตศาสตรอาหรบยกยองหนงสอเลมนมาก) ของทอเลมนกคณตศาสตรทมชอเสยงชาวกรก 3. ตาราสเฟยรก ของเมเนลาอสนกคณตศาสตรชาวกรกเชนกน

อยางไรกตาม ถงแมวานกคณตศาสตรกรกและอนเดยจะมบทบาทในการพฒนาตรโกณมต แตทวานกประวตศาสตรคณตศาสตรหลายทาน ไดใหเกยรตนกคณตศาสตรอาหรบวา เปนผพฒนาความรในสาขานอยางแทจรง

สาหรบประเทศไทยนน กมศาสตรตรโกณมตเขามาตงแตสมยสโขทย ผานทางคมภร สรยยาตร สาหรบคานวณหาตาแหนงพระอาทตยและพระจนทร และปรากฏการณขางขนขางแรม (เพยร) โดยปรากฏตาราง SINE ทกๆ มม 15 องศา เรยกวา ตารางฉายา สวน COSINE จะใชหลกการเทยบจากตารางฉายา เรยกวา โกฏฉายา

ตรโกณมตวนน ปจจบน มการนาตรโกณมตไปใชในงานสาขาตางๆ เชน เปนเทคนคในการสรางรปสามเหลยม ซงใชในวชาดาราศาสตรเพอวดระยะทางของดาวทอยใกล ในภมศาสตรใชวดระยะทางระหวางหลกเขตทดน และใชในดาวเทยมนาทาง งานทมการใชประโยชนจากตรโกณมต ไดแก ดาราศาสตร (และการนาทางในมหาสมทร บนเครองบน และในอวกาศ) ,ทฤษฎดนตร, สวนศาสตร, ทศนศาสตร, การวเคราะหตลาดการเงน, อเลกทรอนกส, ทฤษฎความนาจะเปน, สถตศาสตร, ชววทยา, การสรางภาพทางการแพทย (การกราดภาพตดขวางใชคอมพวเตอรชวย (CAT scans) และ คลนเสยงความถสง) , เภสชศาสตร, เคม, ทฤษฎจานวน (รวมถง วทยาการเขารหสลบ) , วทยาแผนดนไหว, อตนยมวทยา, สมทรศาสตร, วทยาศาสตรกายภาพสาขาตางๆ, การสารวจพนดน และภมมาตรศาสตร, สถาปตยกรรม,

10

สทศาสตร, เศรษฐศาสตร, วศวกรรมไฟฟา, วศวกรรมเครองกล, วศวกรรมโยธา, เรขภาพคอมพวเตอร, การทาแผนท, ผลกศาสตร

รปสามเหลยมสองรปจะเรยกวาคลายกน ถารปหนงสามารถขยายไดเปนอกรปหนง และจะเปนกรณนกตอเมอมมทสมนยกนมขนาดเทากน ตวอยางเชน รปสามเหลยมสองรปทมมมรวมกนมมหนง และดานทตรงขามกบมมนนขนานกน เปนขอเทจจรงวารปสามเหลยมทคลายกน ดานแตละดานจะเปนสดสวนกน นนคอ ถาดานทยาวทสดของรปสามเหลยมหนง ยาวเปนสองเทาของดานทยาวทสดของรปสามเหลยมทคลายกน จะกลาวไดวา ดานทสนทสดจะยาวเปนสองเทาของดานทสนทสดของอกรปสามเหลยม และดานทยาวปานกลางกจะเปนสองเทาของอกรปสามเหลยมเชนกน อตราสวนระหวางดานทยาวทสดและดานทสนทสดของรปสามเหลยมแรก จะเทากบ อตราสวนระหวางดานทยาวทสดและดานทสนทสดของรปสามเหลยมอก รปดวย

จากขอเทจจรงเหลาน เราจะนยามฟงกชนตรโกณมต เรมตนดวยรปสามเหลยมมมฉาก ซงเปนรปสามเหลยมซงมมมฉากหนงมม (90 องศา หรอ /2 เรเดยน) ดานทยาวทสดในรปสามเหลยมใดๆจะอยตรงขามกบมมทใหญทสด แตเพราะวาผลรวมของมมภายในรปสามเหลยมเทากบ 180 องศา หรอ เรเดยน ดงนนมมทใหญทสดในรปสามเหลยมนคอมมฉาก ดานทยาวทสดในรปสามเหลยมจงเปนดานทตรงขามกบมมฉาก เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก นารปสามเหลยมมมฉากมาสองรปทมมม A รวมกน รปสามเหลยมทงสองนจะคลายกน และอตราสวนของดานตรงขามมม A ตอดานตรงขามมมฉาก จะเทากนทงสองรป มนจะเปนจานวนระหวาง 0 ถง 1 ขนอยกบขนาดของมม A เทานน เราเรยกวา ไซนของ A และเขยนดวย sin (A) ในทานองเดยวกน เรานยาม โคไซนของ A คออตราสวนระหวาง ดานประชดมม A ตอดานตรงขามมมฉาก ฟงกชนเหลานเปนฟงกชนตรโกณมตทสาคญ ฟงกชนอนๆสามารถนยามโดยใชอตราสวนของดานตางๆของรปสามเหลยม แตมนกสามาถเขยนไดในรปของ ไซน และ โคไซน ฟงกชนเหลานคอ แทนเจนต, ซแคนต, โคแทนเจนต, และ โคซแคนต

วธจา ไซน โคไซน แทนเจนต อยางงายๆคอจาวา ขามฉาก ชดฉาก ขามชด (ไซน-ดานตรงขาม-ดานตรงขามมมฉาก โคไซน-ดานประชด-ดานตรงขามมมฉาก แทนเจนต-ดานตรงขาม-ดานประชด)

11

ทผานมา ฟงกชนตรโกณมตถกนยามขนสาหรบมมระหวาง 0 ถง 90 องศา (0 ถง 2π

เรเดยน) เทานน หากใชวงกลมหนงหนวย จะขยายไดเปนจานวนบวกและจานวนลบทงหมด ครงหนง ฟงกชนไซนและโคไซนถกจดลงในตาราง (หรอคานวณดวยเครองคดเลข) ทาใหตอบคาถามทงหมดเกยวกบรปสามเหลยมใดๆ ไดอยางแทจรง โดยใชกฎไซน และ กฎโคไซน

กฎเหลานสามาถใชในการคานวณมมทเหลอและดานของรปสามเหลยมได เมอรความยาวดานสองดานและขนาดของมมหนงมม หรอรขนาดของมมสองมมและความยาวของดานหนงดาน หรอ รความยาวของดานทงสามดาน

นกคณตศาสตรบางคนเชอวาตรโกณมตแตเดมนน ถกประดษฐชนเพอใชคานวณนาฬกาแดด ซงมกเปนโจทยในหนงสอเกาๆ ทมความสาคญมากในเรองการสารวจ

12

เทคนคคดในใจสาหรบการบวกและลบเลขจานวนเตม

การบวก ลบ เลขจานวนเตมสามารถลองคดเลขในใจได แตการบวก ลบ กยงทาใหหลายคนกมขมบได ถาตองคณ หาร แถมยกกาลงดวย กคงตองหยบเครองคดเลขมากดกนใหญ แตถาไดเรยนรเทคนค “ คดในใจ ” ตามเคลดลบ “ พอมดคณตศาสตรแหงอเมรกา ” จากเคลดลบในหนงสอ “ กดเครองคดเลขทาไม ในเมอคดในใจไดเรวกวา ” ผลงานเขยนของ ดร.อาเธอร เบนจามน (Arthur Benjamin) อาจจะทาใหหลายคนคงเกบเครองคดเลขลงลนชกแนๆ

โดยผเขยนเทคนคการคดเลขไดตงขอสงเกต คนเรามกทาอะไรจาก ซายไปขวา แตเรากลบคดเลขจากขวาไปซาย จงไดเสนอวธคดเลขจากซายไปขวาบาง

การบวกเลข 2 หลก ตวอยาง 95 + 38 = ? วธคดในใจ คอ แยกตวเลขเปน 2 กลม คอ (90 + 30) และ (5 + 8) แลวนามารวมกน ได 133 การบวกเลข 3 หลก ตวอยาง 763 + 854 = ? วธคดในใจ คอ 800 + 700 = 1,500 แลวบวก 60 + 50 ได 1,600 แลวนาไปบวกกบ 3 + 4 ทเหลอ ไดคาตอบของโจทยนเทากบ 1,617 วธการลบเลข

นาจะเปนวธทคนทวไปไมร เพราะปกตเราจะตวเลขตงแลวลบ แตวธของ ดร.เบนจามนคอ เปลยนจากตวเลขลบเปนบวก (complement) เชน -23 ม complement เปน 77

ตวอยาง 138 - 68 ใหเปลยนเปน (138 + 32) = 170 หลงจากนนตด 100 ออกไป จะได 70

ตวอยาง 857 - 192 = ? มวธคดงายๆ คอ เปลยนเปน 857 - 200 = 627 แลวบวกดวย 8 ทลบเกนไป จะไดคาตอบ 665 สาหรบวธคณ

กคดจากซายไปขวาเชนกน

13

ตวอยาง 13 x 14 = ? ใหแยกเปน (13 x 10) + (13 x 4) = 130 + 52 = 182 ตวอยาง 68 x 49 = ? ใหคดเปน 68 x 50 = 3,400 แลวลบ 68 ทคณเกนมา ตวอยาง 84 x 21 = ? ใหคดเปน 84 x 20 = 1,680 แลวบวกดวย 84 ทยงคณไมครบ เลขยกกาลง

การยกกาลง 2 โดยระบวา ใหปดตวเลขเพอใหเหลอตวคณเพยง 1 หลก ตวอยาง เชน 223 ซงแยกไดเปน 23 x 23 ใหปดตวเลขขนลงเปน 26 x 20 = 520 แลวบวกเขากบจานวนยกกาลงสองของ

คาทปดขนลงซงในตวอยางนคอ 23 จะไดคาตอบเปน 529

ตวอยาง 278 ปดไดเปน (80 x 76) + 22 = 6,084

สวนการหาร นนไมแตกตางจากทวธคดเดมเทาไหรเนองจากปกตเราหารจากซายไปขวาอยแลว

การเรยนรเทคนคการคดเลขในใจ ซงวธทไดประโยชนมากคอการคานวณเลขยกกาลง ซง ดร.เบนจามนสอนวธคานวณถงเลข 5 หลก แตเขาทาไดทเลข 2 - 3 หลก ซงการคดเลขในใจใหเรวนนเขาบอกวาตองหมนฝกฝนดวยซงวธตามหนงสอทเขาแปลนนชวยได

สาหรบ ดร.เบนจามน จบการศกษาทางดานคณตศาสตรในระดบปรญญาเอกจากมหาวทยาลยจอหน ฮอปกนส และปจจบนเปนศาสตราจารยคณตศาสตร มหาวทยาลยฮารวย มดด สหรฐฯ ซงนอกจากสอนหนงสอแลว ยงแสดงมายากลโดยนาเทคนคทางคณตศาสตรมาใชในการแสดงดวย และไดรบยกยองจากนตยสารรดเดอร ไดเจสตใหเปน “พอมดคณตศาสตรอนดบหนงของสหรฐอเมรกา ”

14

เทคนคการคณเลขเรว การหาคากาลงสองของเลขทลงทายดวย 5

1. ใหเอา 5 ตวทายคณกนได 25 ตงเปนผลลพธหลกหนวย และ หลกสบไวกอน 2. ใหเอาจานวนทอยหนาเลข 5 คณจานวนทมากกวามนอย หนง คณไดเทาไร เขยนเปน

ผลลพธตอ 25 เปนหลกรอย , หลกพน , หลกหมน ฯลฯ เปนผลลพธ ทถกตองและ รวดเรว

ตวอยางท 1 25 x 25 กใหเอาตวทายคอ 5 x 5 ได 25 ตงไว เอา 2 ตวหนา คณกบ เลขทมากกวา 2 อย

หนง ( คอ เลข 3 ) 2 x 3 ได 6 ตงเปนผลลพธ ตอจาก 25 เปน 625 แสดงวา 25 x 25 = 625 ตวอยางท 2

45 x 45 กใหเอาตวทายคอ 5 x 5 ได 25 ตงไว เอา 4 ตวหนา คณกบ เลขทมากกวา 4 อย หนง ( คอ เลข 5 ) 4 x 5 ได 20 ตงเปนผลลพธ ตอจาก 25 เปน 2,025 แสดงวา 45 x 45 = 2,025 การคณเลข 2 หลกทจานวนหนาเทากน จานวนหลงบวกกนได 10

1. ใหเอา เลข ตวทายคณกน ตงเปนผลลพธหลกหนวย และ หลกสบไวกอน 2. ใหเอาตวหนาคณกบจานวนทมากกวามนอย หนง คณไดเทาไร เขยนเปนผลลพธตอ

เปนหลกรอย , หลกพน , หลกหมน ฯลฯ เปนผลลพธ ทถกตอง และ รวดเรว 3. กรณทคณกนแลว ได หลกหนวย อยางเดยว ใหใสเลขศนย เปนหลกสบ ( เชน 1x9 )

ใหเขยน 09 )

ตวอยางท 1 22x28 กใหเอาตวทายคอ 2x8 ได 16 ตงไว เอา 2 ตวหนา คณกบ เลขทมากกวา 2 อย หนง

( คอ เลข 3 ) 2x3 ได 6 ตงเปนผลลพธ ตอจาก 16 เปน 616 แสดงวา 22x28 = 616 ตวอยางท 2

31x39 กใหเอาตวทายคอ 1x9 ได 09 ตงไว เอา 3 ตวหนา คณกบ เลขทมากกวา 3 อย หนง ( คอ เลข 4 ) 3x4 ได 12 ตงเปนผลลพธ ตอจาก 09 เปน 1,209 แสดงวา 31x39 = 1,209

15

การคณเลขสองหลกทมหลกสบเปนเลข 1 ทงตวตงและตวคณ 1. ใหเอาเลข ตวทายคณกน ตงเปนผลลพธหลกหนวย ถาคณกนเกน 9 ใหทดหลกสบไวกอน 2. เอาจานวนหนา บวกหลกหนวยตวหลง และ บวกจานวนททดไว เขยนเปนผลลพธตอจากท

เขยนไวเปนหลกสบ หลกรอย กจะไดผลลพธ ทถกตอง และรวดเรว ตวอยางท 1

17x15 กใหเอาตวทายคอ 7x5 ได 35 ใส 5 ทดไว 3 เอาจานวนหนาคอเลข 17 บวกหลกหนวยตวหลง คอเลข 5 ได 17 บวก 5 บวกจานวนททดไว คอเลข 3 เทากบ 25 เขยนตอจากหลกหนวยเปนผลลพธ 255 แสดงวา 17x15 = 255

ตวอยางท 2

18x19 กใหเอาตวทายคอ 8x9 ได 72 ใส 2 ทดไว 7 เอาจานวนหนาคอเลข 18 บวกหลกหนวยตวหลง คอเลข 9 ได 18 บวก 9 บวกจานวนททดไว คอเลข 7 เทากบ 34 เขยนตอจากหลกหนวยเปนผลลพธ 322 แสดงวา 18x19 = 342 การคณเลขสองหลกทมหลกหนวยเปนเลข 1 ทงตวตงและตวคณ

1. เขยน 1 เปนหลกหนวยทผลลพธ ตงไวกอน 2. เอาเลข หลกสบ บวกกบ หลกสบ ไดเทาไร เขยนเปนผลลพธ หลกสบ ตอจาก 1

ถาบวกกนไดเลขสองตว ใหทดตวหนาไวกอน 3. เอาหลกสบ คณ หลกสบ บวกกบตวทด ไดเทาไร เขยนผลลพธ ตอเปน หลกรอย หลกพน

ตอไป กจะไดผลลพธ ทถกตอง และรวดเรว ตวอยางท 1

71x51 กใหเขยน 1 เปนหลกหนวยทผลลพธ เลขหลกสบ บวกเลข หลกสบ (7+5 ) ได 12 ใส 2 เปนหลกสบ ทด 1 เอาเลข หลกสบ คณ เลข หลกสบบวกกบตวทด ( 7x5 + 1 = 36 ) เขยนตอจากหลกหนวยเปนผลลพธ 3621 แสดงวา 71x51 = 3621 การคณเลขทมตวคณเปน 999...9

กรณท 1 เมอเลย 999...9 เปนตวคณทมากกวา ตวอยาง เชน 99 x 99 = 9801

16

999 x 999 = 998001 99 x 999999 = 98999901 158 x 9999 = 1579842 วธทา คอ

1. ลดจานวนสดทายของคานอยกวาลง 1 เ ชน 99 x 999 ลด99 เหลอ 98 2. นา จานวนมากทสดลบดวยจานวนในขอ1 จะได 999-98 = 901 3. นาผลลพธ1ตอทายดวย 2 จะได 98901

ตวอยางท 1 เมอ 158 x 9999 จะได

1. 157 2. 9999-157 = 9842 3. ผลคณ คอ 1579842


1. 674 2. 99999-675 = 99324 3. ผลคณ คอ 67499324

กรณท 2 เมอเลย 999...9 เปนตวคณทนอยกวา ตวอยาง เชน 99 x 2589 = 256331 วธทาคอ

1. เตม0แทนจานวนเลข9ตอทายเชน 258900 เนองจากม 9 สองตว 2. และนาผลขอ1 ลบดวยตวมนเอง คอ 258900-2589 = 256331


1. 1508000 2. 1508000-1508 = 1506492

17

การคณดวยเลข 9 โดยใชนวมอสบนว

1. เเบมอ 2 มอ นวโปงมอซายเปนนวท1 นวชมอซายเปนนวท2 นวกลางมอซายเปนนวท3 นวนางมอซายเปนนวท4 นวกอยมอซายเปนนวท5 นวกอยมอขวาเปนนวท6 นวนางมอขวาเปนนวท7 นวกลางมอขวาเปนนวท8 นวชมอขวาเปนนวท9 นวโปงมอขวาเปนนวท10

2. ตวอยางเชน 9x3 ใหเราพบนวท3ลง เมอหกนวลง ขางๆนวทหกดานซายจะมนวอย2นว ขางๆนวทหกดานขวาจะมนวอย7นว เเสดงวา 9x3=27 การคณเลขสองหลกดวย 11

1. ตวอยางเชน 45 x 11 เอาเลขทสองหลกรวมกน 4+5 = 9 2. นาเลขทไดใสระหวางกลางจะไดคาตอบ ดงน 4 9 5 นน คอ 45 x 11 = 495

18

การหา ห.ร.ม. แบบยคลด โดยใชตาราง

วธการหา ห.ร.ม. หรอ ตวหารรวมมาก แบบยคลด (Euclid) โดยใชตาราง สามารถปฏบตไดตามขนตอนดงตอไปน

1. เขยนตวทมคานอยไวทางดานซายในตารางชองซาย และ ตวทมคามากไวทางดานขวาในตารางชองขวา

2. นาเลขทมคานอยในตารางชองซาย หาร ตวเลขทมคามากในตารางชองขวา เขยนผลหารดานนอกทางขวาของตารางชองขวา และตงลบเพอหาเศษแลวเขยนเศษในตารางชองขวา

3. นาเศษทไดในชองขวาไปหารตวเลขทอยดานลางสดของชองดานซาย เขยนผลหารดานนอกทางซายของตารางชองซาย และตงลบเพอหาเศษแลวเขยนเศษในตารางชองซาย

4. ซาขนตอนท 3 และสลบระหวางดานซายและขวาไปเรอยๆ จน ไดเศษจากการหารเปน 0 (ศนย) ใหหยด ห.ร.ม. คอตวหารตวสดทายททาใหเศษการหารเปน 0

พจารณาตวอยางการหา ห.ร.ม. ตอไปน ตวอยางท 1 การหา ห.ร.ม. ของ 42 และ 105 ปฏบตดงน

3 63 147 2 <---------(1)

63 126 <---------(2)

0 21 <---------(3)

(1) เอา 63 หาร 147 ไดผลหาร 2 เศษ 21 แลว เขยนผลหาร 2 ไวขางๆ ตวตง 147 (2) เขยนผลคณ 63x3 = 126 ไวใตตวตง (3) แลวเอาเศษจากการหาร หรอ 147-126 = 21 เขยนตอลงมา (4) เรมการหารครงใหม โดยนาเศษทไดจากการหารครงทผานมาคอ 21ไปหาร ตวหารคอ 63 (5) ทาขนท (1)-(3) สลบซายขวาไปเรอย จนไดเศษเทากบ 0 แลวตวหารตวสดทาย คอ ห.ร.ม.

คาตอบ ห.ร.ม. ของ 42 และ 105 คอ 21

19

ตวอยางท 2 การหา ห.ร.ม. ของ 83 และ 109 ปฏบตไดดงตารางแสดงดานลาง

3 83 109 1

78 83

5 5 26 5

5 25

0 1

คาตอบ ห.ร.ม. ของ 83 และ 109 คอ 1

20

วธการใชลกคด

ลกคด (Abacus) เปนเครองชวยคานวณเลขสมยโบราณซงถกประดษฐ พฒนา และใชอยางแพรหลายโดยชาวจน ในทศวรรษท 11 ถงแมวาจะมการจารกของชาวมายาเกยวกบลกคดตงแตสมยทศวรรษท 10 แตอยางไรกตาม ยงไมมหลกฐานแนชดเกยวกบ การประดษฐและการใชลกคดของชาวมายน ปกตลกคดจนจะประกอบดวย ลกกลม 2 กลมดวยกนดงน คอ

1. กลมบนจะม 2 ลก จะแทนคาเปนลกละ 5 2. กลมลางจะม 5 ลก จะแทนคาเปนลกละ 1

สวนจานวนแถวแตละแถวจะแทนหลกหนวย,สบ,รอย,พน,หมน,... กแลวแตผใชวาจะใชหลกใดแทนคาหลกหนวย หลกถดไปกจะแทนหลกสบ ไปเรอยๆ การเรมตน จะดนลกกลมกลมบนใหตดขางบน และกลมลางใหตดขางลาง พอตอนจะเตมตวเลขเชน 2 กจะดดลกกลมกลมลางขนมา 2 ลก การคานวณพอเตมตวเลขครบ 5 กจะดดกลมบนลงมา 1 ลกและดดกลมลางลงตดขอบลาง ถาครบหลกสบ หรอหลกถดไป กจะดดลกกลมของหลกถดไปมาแทน และดดหลกทใชอยตดขอบบนและลาง ดงแสดงในตวอยางในรปท 1.1 สาหรบการแสดงคา 37,925

รปท 1.1 รปตวอยางของลกคดแสดงคา 37,925

21

1. การคณลกคด สามารถทาไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 การคณ 47x13 = 611

23

2. การหารลกคด สามารถทาไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 2 การหาร 9/2 = 4.5

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

24

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

25

ตวอยางท 3 การหาร 354/2 = 177

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

26

9.

10.

11.

12.

13.

27

ตวอยางท 4 การหาร 177/3 = 59

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

28

9.

10.

11.

12.

13.

14.

29

วธการใชสไลดรล สไลดรล (slide rule) หรอ สลปสตก (slipstick) ดงแสดงในรปท 1.1 นบเปนคอมพวเตอรแบบอนาลอกอยางหนง มกประกอบดวยแถบปรบได 3 แถบ และชองสาหรบเลอน 1 ชอง เรยกวา "เคอรเซอร" (cursor) นยมใชกนทวไปในหมวศวกรและสถาปนก หรอนกศกษาดานวทยาศาสตร กระทงพ.ศ. 2513 เมอมการผลตเครองคดเลขออกมา และมราคาไมแพง สไลดรปจงกลายเปนเทคโนโลยทลาสมยไป สไลดรลนนมประโยชนสาหรบการคานวณทางคณตศาสตรหลายอยาง ทาใหสามารถหาคาทตองการไดอยางรวดเรวดวยกน

รปท 1.1 สไลดรล

สไลดรลใชสเกลอนาลอกแบบลอการทม โดยตาแหนงอางองเรมตนคอเลข 1 ซงทาใหการบวกระยะทางบนสไลดรล จะทาใหเกดการคณ และการลบระยะทางบนสไลดรล จะทาใหเกดการหาร และการทสเกลบนและลางตางกนเทาตว จงเปนการยกกาลงสองหรอถอดรากทสองกได

1. วธใชสาหรบการคณ เมอตองการคณ 2 กบ 4 ใหใชจดตงตนของไมบรรทดอนลางชไปทเลข 4 ของไมบรรทดอนบน เมออานไมบรรทดอนลางไปทเลข 2 ตาแหนงของไมบรรทดอนบนจะเปนเลข 8

รปท 1.2 การคณโดยใชสไลดรล

4 x 2 = 8

ตาแหนงอางอง

30

2. วธใชสาหรบการหาร เมอตองการหารเลข 8 ดวย 2 ใหเลข 8 ของไมบรรทดอนบนวางบนเลข 2 ของไมบรรทดอนลาง แลวอานคาบนไมบรรทดอนบนทตรงกบเลข 1 ของไมบรรทดอนลาง จะได 4

รปท 1.3 การหารโดยใชสไลดรล

3. วธใชสาหรบการถอดรากทสอง เมอตองการหารากทสองของ 4 ใหใชไมบรรทดแกนกลางเปนตวเลอนใหจดตงตนชทเลข 4 ของโครงอนบน เมอดทจดตงตนดานลางของไมบรรทดแกนกลาง จะชทเลข 2 นนคอ เลข 2 ดานลาง เปนรากทสองของเลข 4 ดานบน

รปท 1.4 การหารากทสองโดยใชสไลดรล

8 / 2 = 4

4 = 2

31

คณตศาสตรเกยวกบวนท 29 กมพาพนธ

วนท 29 กมภาพนธ นบเปนทมความพเศษเพราะมไดแค 4 ปครง และวนท 29 ก.พ.แหงป 2008 นกพเศษเขาไปอก เพราะวนท 29 ก.พ.น ตรงกบวนศกร นบเปนครงแรกใน 28 ป ถาคณกาลงนงอานบทความน คณกจะตองเคยผานวนท 29 กมภาพนธมาแลวอยางนอย 3-4 รอบ ลองถามตวเองวาคณรจก “วนท 29 กมภาพนธ” ทมา 4 ปครงดแคไหน

การคานวณหาปทมวนท 29 กมภาพนธ มกฎงายๆ คอ ปครสตศกราชทหารดวย 4 ลงตว จะเปนปทเดอนกมภาพนธม 29 วน ตวอยางเชน ป ค.ศ. 2008, 2012, 2016 เปนตน และมขอยกเวนคอ คอ ปทหารดวย 100 ลงตว แตหารดวย 400 ไมลงตว ไมตองเพมวนท 29 กมภาพนธเขาไป ตวอยางเชน ป ค.ศ. 1700, 1800, 1900 เปนตน สาหรบป 1600 หรอ 2000 ถงจะหารดวย 100 ลงตว แตกหารดวย 400 ลงตวดวยเชนกน ดงนน จงมวนท 29 กมภาพนธ

หลกการทางวทยาศาสตและคณตศาสตรเบองหลงวนท 29 กมภาพนธ มดงน โลกโคจรรอบดวงอาทตย 1 รอบกนเวลา 365.242199 วน หรอ 365 กบอก ¼ วน ซงปปกตทม 365 วนกจะทาใหเวลาขาดไป ¼ วน ดงนนจงตองทดไว เมอทดครบ 4 ปกจะไดเทากบ 1 วนพอด จงทาใหตองเพม 1 ปม 366 วนในทกๆ 4 ป และ ปทมวนเพมมานนเราเรยกกนวา “อธกสรทน” ซงแปลวา “วนเกน” ขณะทฝรงใชคาวา “ลป" (leap) ทหมายถงการกระโดดหรอขาม (ซงเรยกกนทง ลปเดย-leap day ทหมายถงวนท 29 ก.พ. หรอ ลปเยยร-leap year ทหมายถงปทมวนท 29 ก.พ.) และสญญลกษณแหงปกระโดดทพวกเขาใชคอ "กบ"

คราวนถาทกๆ 4 ปมวนเกนมา 1 วน เมอถง 400 ป กจะมวน 29 กมภาพนธ เพมขน 100 รอบ หรอ 100 วน แตถาคานวณจากตวเลข วนทเกนในแตละป คอ ประมาณ 0.242199 วน เมอครบ 400 ป จะมวนเกน 0.242199 x 400 = 96.8796 วน หรอประมาณ 97 วน ดงนนเพอใหทกๆ 400 ป มวนเพมเพยง 97 วน ไมใช 100 วน จงกาหนดใหวนทหาร 100 ลงตว แตหาร 400 ไมลงตว ไมตองเพมวนท 29 กมภาพนธ ซงทาใหการนบวนเวลาไดใกลเคยงกบวฎจกรโลกและดวงอาทตยมากทสด

อยางไรกด ดวยหลกการนเมอครบรอบ 10,000 ป วนในปฏทนจะผดจากความเปนจรงไปอก 3 วน ซงจะตองมการแกไขในอนาคต แตอกตงหมนปชางแสนยาวไกล ปญหานจงยงไมเปนทสนใจในการหาวธแก

ขอสงเกตทนาสนใจ คอ ปกตแลววนเรมป หรอวนท 1 มกราคมของทกป จะตกในวนไลตดกนไปในสปดาห แตละป อยาง 1 ม.ค.ปทแลวตรงกบวนจนทร สวน 1 ม.ค.ปนตรงกบวนองคาร ซง

32

เปนวฎจกรปกต ดงนนการเรมตนปทจะเรยงกนไปนน หากเปนปอธกสรทนมาคน วนเรมตนของปถดไปกจะเลอนไปอก 1 วน ตามตวอยางตอไปน

1 มกราคม 2000 ตรงกบ วนเสาร (ปอธกสรทน) 1 มกราคม 2001 ตรงกบ วนจนทร 1 มกราคม 2002 ตรงกบ วนองคาร 1 มกราคม 2003 ตรงกบ วนพธ 1 มกราคม 2004 ตรงกบ วนพฤหสบด (ปอธกสรทน) 1 มกราคม 2005 ตรงกบ วนเสาร 1 มกราคม 2006 ตรงกบ วนอาทตย 1 มกราคม 2007 ตรงกบ วนจนทร

หมายเหต อางองจากเวปไซต http://krukomnuan-kruanek.blogspot.com/

33

ปญหาการเรยงสมลงในกลองสามมต

หลายๆ คนคงคาดไมถงหากจะบอกวา วธการทแมคาใชในการเรยงสมขายนน นกคณตศาสตรตองใชเวลาถง 387 ป จงสามารถพสจนไดวามนเปนวธทมประสทธภาพมากทสดในการบรรจสม ลงกลองใหไดจานวนมากทสด

ประวตวชาคณตศาสตรทเกยวกบปญหาการเรยงวตถทรงกลมทมขนาดเทากนลงในภาชนะใหไดจานวนมากทสดนถอกาเนดเมอ Sir Walter Releigh ผเปนนกสารวจและนายทหารทมชอเสยงในรชสมยของพระราชน Elizabeth ท 1 แหงกรงองกฤษไดถาม Thomas Hariot วานกคณตศาสตรมสตรคณตศาสตรใดๆ หรอไมทจะใชบอกจานวนลกกระสนปนใหญในกลองไดอยางรวดเรว แทนทจะใชวธนบตรงๆ หรอในมมมองตรงกนขาม หากมการกาหนดขนาดของกลองสาหรบบรรจกระสนปนใหญมาให นกคณตศาสตรมวธทสามารถบรรจลกกระสนปนใหญลงในกลองใหไดจานวนมาก ทสด หรอไม Hariot จงไดเขยนจดหมายถง Johannes Kepler เพอถามปญหานอน Kepler ทโลกรจกนนเปนนกคณตศาสตรชาวออสเตรย ทไดพบวาวงโคจรของดาวเคราะหตางๆ ในสรยจกรวาลรอบดวงอาทตยมลกษณะเปนวงรหาใชวงกลม แต Kepler นอกจากจะสนใจวทยาศาสตรแลว เขายงสนใจวชาเรขาคณตมากดวย เขาจงไดเรมศกษาปญหาอยางจรงจงในป ค.ศ.1611 และหลงจากทไดทดลองเรยงลกกระสนปนใหญหลายรปแบบ Kepler กไดคานวณพบวา หาก เขาเรยงใหลกกระสนปนใหญแตละลกแตะสมผสลกกระสนอนๆ อก 6 ลก (แบบเดยวกบทเขาเรยงลกแดงเวลาจะเรมเลนบลเลยด) และเมอเรยงลกกระสนจนเตมชนลางแลว Kepler กไดพบวาในการเรยงชน 2 กใหวางลกกระสนปนใหญลงเหนอรอยบมระหวางลกกระสนทวางเรยงรายอย ชนลาง ดงนน รปแบบการเรยงของลกกระสนปนในชนท 2 นกจะเหมอนการเรยงของลกกระสนชนแรกทกประการ เพยงแตลกกระสนชน 2 นไดเลอนตาแหนงไปจากชนแรกประมาณครงลกเทานนเอง และหากกระทาซาสาหรบชนท 3, 4…. ไปเรอยๆ

Kepler ไดพบวาการเรยงลกกระสนปนใหญลกษณะน (นกคณตศาสตรเรยกการเรยงรปแบบนวา face centered cubic) เปนวธทจะทาใหความหนาแนนในการบรรจลกกระสนปนใหญลงกลองมคาสง สด คอมากถง 74.05% นนหมายความวาจากปรมาตร 100 ลกบาศกเมตรทกาหนดใหการเรยงทรงกลมแบบ face centered cubic จะทาใหเรามปรมาตรเพยง 25.95 ลกบาศกเมตรเทานน ทเปนทวาง ซงเปนทวางทมปรมาตรนอยทสดแตเราจะรไดอยางไรวา วธท Kepler คดนนเปนวธทดทสดในการเรยงทรงกลม กในเมอรปแบบการเรยงมมากมายนบไมถวนคอทงทเปนระเบยบและท สะเปะสะปะ แลวเราจะ

34

พสจนไดอยางไรวา รปแบบทกรปแบบทใครๆ คดนนตางกจะเรยงทรงกลมไดหนาแนนนอยกวารปแบบท Kepler คดทงสน ตว Kepler เองมนใจวาวธของเขาเปนวธทดทสด แตเขาไมมวธพสจนนกฟสกสเองกรอยในอกวา วธท Kepler คดนนมประสทธภาพสงสดในการบรรจทรงกลมลงกลอง แตกไมมวธพสจนอกเชนกน สวนนกคณตศาสตรเองกยงไมยอมรบวาวธของ Kepler นนดทสดจนกวาวธนไดรบการพสจนวาดกวาวธอนๆ ทงอสงไขยรปแบบ ดงนนเราจงไมตองถามหรอสงสยใหเสยเวลาวาเหตใดปญหา Kepler จงไดสยบสมองของอจฉรยะตางๆ ทางคณตศาสตรมานานกวา 3 ศตวรรษความ ยากลาบากในการพสจนปญหา Kepler น ไดทาให D. Hilbert นกคณตศาสตรผยงใหญของโลกคนหนงในป ค.ศ.1900 ตดอนดบปญหานวาเปน 1 ใน 23 ปญหาทยากทสดในโลกเมอสมองของนกคณตศาสตรไมสามารถจะแกปญหานได ในป ค.ศ.1953 Laszio Fejes Toth ไดเสนอแนะใหมการแกปญหานโดยใชคอมพวเตอร

ในป ค.ศ.1975 Buckminster Fuller วศวกรผออกแบบโดมกลมแบบ geodesic อางวาเขาสามารถพสจนปญหา Kepler ได แตกไดรบการพสจนในเวลาตอมาวาวธพสจนของเขาไมถกตองปญหา Kepler จงเปนปญหาทยาก "พอๆ" กบปญหา Fermat และแลวในป ค.ศ.1993 Wu-Yi Hsiang กไดทาใหวงการคณตศาสตรตกตะลงเมอเขาอางวาเขาสามารถพสจนปญหาของ Kepler ได แตเมอผเชยวชาญไดตรวจรายงานการวจยของ Hsiang ทมความหนารวม 100 หนา และไดพบวามจดบกพรอง Hsiang จงตองกลบไปทบทวนวธพสจนใหม แตถงแม Hsiang จะไดแกไขจดบกพรองแลว และวธการพสจนของเขาในภาพรวมกยงหาไดเปนทยอมรบไม เพราะผเชยวชาญหลายคนมความเหนวา Hsiang ไดใชสมมตฐานหลายขอในการพสจน และ Hsiang กยงไมไดพสจนสมมตฐานเหลานนวามนเปนจรง เมอเปนเชนน Hsiang กตองยอมรบวา เขายงแกปญหา Kepler ไมได

ในเดอนสงหาคม ค.ศ.1998 Thomas C. Hales นกคณตศาสตรแหงมหาวทยาลย Michigan ท Ann Arbor ในสหรฐอเมรกาไดประกาศวาเขาสามารถพสจนปญหา Kepler ได หลงจากทไดขบสปญหานมานานรวม 10 ป งานวจยของ Hales ทมความยาว 250 หนา ไดถกแบงออกเปน 5 ตอน และใชวธคานวณหลายสไตล แตวธหลกท Hales ใชกคอวธของ Laszlo Fejes-Toth ซงไดพจารณาการจดเรยงทรงกลมประมาณ 50 ลกในทกรปแบบเทาทคอมพวเตอรจะคดได และจากแตละรปแบบ Hales กคานวณอตราสวนระหวางปรมาตรทวาง : ปรมาตรทงหมด จากทรงกลมจานวน 50 ลกทนามาพจารณาน ทาให Hales มตวแปร 150 ตว ปญหาธรรมดาๆ ใน 3 มต กเปนปญหาพระกาฬใน 150 มตทนท และเมอเงอนไขบงคบความเปนไปไดของตวแปรมรวม 2,000 เงอนไข การหาคามากทสดหรอนอยทสดของปรมาตรกยงยากขนเปนทวคณวธการท Hales ใชในการคานวณ ปญหานจงแตกตางจากวธธรรมดาๆ ทนกคณตศาสตรทวไปใชคอ Hales ใชคอมพวเตอรในการพสจน โดยเขาไดเขยนโปรแกรมคานวณ และแสดงโปรแกรมทกโปรแกรมใน Website เพอใหผสนใจไดศกษา

35

บดนวงการคณตศาสตรกไดยอมรบแลววา Hales เปนผพสจนปญหา Kepler ได แตนกคณตศาสตรหลายทานกยงไมสขใจกบวธพสจนนนก เพราะนกคณตศาสตรเหลานอางวาวธพสจนทดนน นอกจากจะใหคาตอบแลวยงตองใหแนวคดใหมดวย แต Hales ไดพสจนทฤษฎบทนโดยใชคอมพวเตอร จงไมมใครซงในวธพสจนของเขาเลยดงนน Hales ตงใจไววาจะแกปญหาการบรรจทรงกลมลงกลองใน 3 มตใหเรยบรอย จากนนกจะขยบขยายการศกษาปญหา Kepler ไปใน 4, 5, 6….มต และกไดพบวาวธการจดสมขนาดเทาๆ กนลงกลอง 4, 5, 6, 7, 8 มตนน งายกวาการจดสมลงกลอง 3 มต

36

เทคนคจาคา sine และ cosine โดยใชฝามอ

เทคนคการใชมอชวยจาคาไซน (sine) และ โคไซน (cosine) ของมมทใชกนบอยๆ ในเรองตรโกณมต หรอมม 0°, 30°, 45°, 60°, และ 90° โดยในทนจะกลาวอางโดยใชมอซาย (อาจจะใชมอขวาแทนไดแตมมใหเรยงจากทางดานซายไปขวา) ทาไดตามขนตอนตอไปน

1. โดยหนฝามอเขาหาตว และกาหนดนวทางซายสด หรอนวโปง แทนมม 0° และเรยงตามนวมาเปน 30°, 45°, 60°, และ 90° ซงจะจบทนวกอยพอดสาหรบมม 90°

2. ถาตองการหาคา ไซน หรอ โคไซน ของมมไหน กใหหกนวทแทนมมนนลง จานวนนวขางซายทเหลอใชหาคาไซน และ สวนจานวนนวทางดานขวาใชหาคาโคไซน

3. นาจานวนนวถอดคารากท 2 แลวหารดวย 2 กจะไดคาไซน หรอ โคไซน ทตองการ 4. ถาตองการหาอตราสวนตรโกณคาอนๆ อก 4 อตราสวน ใหใชความสมพนธของอตราสวน

นนๆ กบ อตราสวนไซน หรอ โคไซน

ตวอยาง สาหรบมม 30° ใหหกนวชเกบ ทางดานซายมอจะเหลอ 1 นว ทาให 1sin 30

2° = และ

ทางขวาเหลอ 3 นว ทาใหได 3cos30

2° =

30°

0°

45° 60°

90°

2

sin cos

37

การตดเกรดโดยใช T- Score

การนาคะแนนดบมาใชตดเกรดทาไมจงไมใชวธทดทสดคะแนนดบเปนคะแนนทไดจากการสอบ หรอการทากจกรรมใดๆ ซงเปนคะแนนทบงถงปรมาณททาไดจากทงหมดของผเรยน ไมสามารถตความหมายไดแนชดวามสภาพการเรยนรมากนอยเพยงไร เชน นสตคนหนงสอบวชาหนงไดคะแนน 30 คะแนนจากทงหมด 80 คะแนน เราจะยงบอกไมไดวานสตคนนนเกงหรอออนอยางไร จนกวาจะนาคะแนนนไปเปรยบเทยบกบคะแนนของคนอนๆ ทเรยนวชาเดยวกนกบเขา อกทงคะแนนดบเปนคะแนนทมชวงหางแตกตางกน เชน นาย ก. ได 60 นาย ข.ได 52 นาย ค. ได 41 นาย ง.ได 34 จะเหนไดวา ชวงคะแนนของ ก-ข=8, ข-ค=11,ค-ง=7 จากชวงคะแนนทตางกนนคะแนนดบจงไมสามารถนามาเปรยบเทยบหรอคานวณได

วธการตดเกรดทนยมใชกนคอวธการตดเกรดเชงสมบรณ หรอทนยมเรยกกนวา การตดเกรดแบบองเกณฑ และ วธการตดเกรดเชงสมพทธ หรอทนยมเรยกกนวา การตดเกรดแบบองกลม ไดแก “วธกาหนดโควตา” “วธหาชองวาง” “วธกาหนดชวงคะแนนโดยใชพสย” “วธกาหนดชวงคะแนนโดยใชคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐาน”

การตดเกรดแบบองเกณฑ แนวคดพนฐานทสาคญของวธการตดเกรดแบบองเกณฑคอ เกรดของนกเรยนแตละคนควรขนอยกบความรความสามารถทเขามอย ไมควรขนอยกบความรความสามารถของบคคลอนๆ จงควรพจารณาตดสนบคคลภายใตเกณฑทกาหนดไว นนคอแมจะเรยนและสอบเพยงคนเดยวกยอมตดสนผลการเรยนได

การตดเกรดแบบองกลม แนวคดพนฐานจะตรงกนขามแบบองเกณฑ เพราะเกณฑทแทจรงไมไดมอยอยางตายตว แมแตกรณทมผสอบตกสามารถสรปไดหลายสาเหต เชน อาจสรปวาเปนเพราะเขาเรยนออนมาก หรอเปนเพราะเกณฑทกาหนดไวนนสงเกนได หรออาจเปนเพราะขอสอบยากเกนไป หรอสรปไดอยางอน ดงนนการตดเกรดโดยการนาคะแนนทนกเรยนแตละคนไดรบมาเปรยบเทยบกนเองวาใครเกงออนกวากน(องกลม) จงนาจะสมเหตสมผลมากกวาการนาไปเทยบเกณฑทตงไว เพราะสงคมมนษยตองแขงขนตลอดเวลา คนเกงจะตองมความสามารถเหนอผอน ซงมวธดงน

1. วธกาหนดโควตา แนวคดพนฐานของวธนกคอมนษยมคณลกษณะเฉพาะทแตกตางกน เกง ปานกลาและออน โดยเชอวามการแจกแจงของคณลกษณะเหลานนเปนโคงปกตหรอเกอบจะเปนโคงปกตนนเอง

38

2. วธการหาชองวางเนองจากการวดผลการเรยนรความคลาเคลอนเกดขนไดเสมอ ดงนนเราจะมนใจวานกเรยนวานกเรยน 2 คนใดมความสามารถแตกตางกนกตอเมอเขาไดคะแนนตางกนมากพอจงใชระยะหางหรอชองวาง(Gap)ของคะแนนทงสองคนตดสนวามความสามารถทแตกตางกน หากพจารณาในหลกการทกลาวมานนคงเหนไดวาการใช “ชองวาง” เพยงอยางเดยวคงไมชวยใหเราตดเกรดได แตควรใชวธอนตดเกรดกอน จงจะใชวธ “ชองวาง” เพอปรบเปลยนเกรด เพราะ“ชองวาง” อาจไมไดเกดจากความแตกตางของความรความสามารถทแทจรง แตเกดจากความบงเอญมากกวา

3. วธกาหนดชวงคะแนนโดยใชพสย หลกการตดเกรดวธนกคลายกบการตดแบงคะแนนออกเปนทอนๆทอนละเทาๆกน ดงนนจงตองคานวณหาระยะหางระหวางคะแนนสงสดและตาสดกอน และกาหนดจดตดขน เพอทาการตดเกรดตอไป

4. วธกาหนดชวงโดยใชคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐาน หลกการตดเกรดวธนจะใชการกระจายคะแนนมาใชพจารณารวมดวย เมอใครไดคะแนนใกลเคยงกบคะแนนเฉลยของกลมกแสดงวามความสามารถปานกลางเทานน ทงนจงสามารถใชคาเบยงเบนมาตรฐาน(Standard Deviation) กบความคะแนนเฉลยของกลมมาเปนดชนบงชถงระดบความเกง-ออนได

วธทดในการตดเกรดควรตองนาหลกทางการสถตและการตดเกรดแบบองกลมมาชวยกน นน

คอการกาหนดชวงคะแนนไวในรปของคะแนนแปลงรปเชงเสนตรง(Linear Transformation) เชน คะแนนซ(Z-Score)และคะแนนท(T-Score)

การตดเกรดโดยใช T- Score คะแนนท (T-Score) เปนคะแนนทนาคะแนนดบมาผานขนตอนทางสถต ทาให

สามารถวดไดวาผเขาสอบมความสามารถเปนอยางไรเมอเทยบกบผเขาสอบ(ในวชาเดยวกน)ทงหมด สามารถบอกไดมคนเกงกวาเรากคน และเราทาคะแนนชนะผอน อยกคน ซงเปนคะแนนมาตรฐานเชนเดยวกบคะแนนท แตทปกตนจะมการแจกแจงเปนโคงปกต ซงปกตคะแนนดบทเราไดมานนมกจะไมเปนโคงปกตถาหากเราแปลงเปนคะแนนท โดยใชสตร T=10Z+50 การแจกแจงของคะแนนกยงเปนรปเดมหรอรกษาเคาโครงของคะแนนดบทกประการ ในปจจบนวธการตดเกรดแบบใชคะแนนทเปนวธทสมบรณและดทสดเทาทในปจจบนจะมได โดยหลกการเปนการตดสนวธการใชคะแนนT-Scoreเปนสงทถกในหลกวชา เนองจากไดนาหลกทางสถตมาใชในการคานวณเขาใจงายและทงนคะแนนท-ปกตมพนฐานมาจากคะแนนมาตรฐานและการกระจายโคงปกต

ถานาวธ t ในการคานวณคะแนนท เราจะหาคะแนนซ (Z score)กอนโดยคะแนนซของคะแนนคาใด ๆ คานวณไดจากสตร

39

คะแนนใดทมคาเทากบคาเฉลยจะไดคะแนนซ เทากบศนย คะแนนทมคานอยกวาคาเฉลยจะไดคะแนนซทมคาตดลบ ดงนนเราจงนยมแปลงคะแนนซ ใหเปนคะแนนท เพอใหพนคาตดลบเหลานโดยใชสตร

คะแนนท จงเปนการแปลงคะแนนของกลม โดยทาใหมคะแนนเฉลยของกลมเปน 50 และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 นนเอง คะแนนสอบทงกลมจงมคาอยระหวาง 0 ถง 100

คะแนนซ (Z-Score)

หาไดจากสตร

SD

meanxz

−= โดยท X คอคะแนนดบของแตละคน Mean คอ

คะแนนเฉลยของกลม SD คอสวนเบยงเบนมาตรฐานของกลม (Standard Deviation ตวยอ คอ S หรอ SD) Mean=0, SD=1

40

คะแนน Linear T-Score

หาไดจากสตร 5010 += ZT นนคอตองหาคา Z กอน แลวจงไดคาคะแนน T (ทงนเพอ

แกปญหาในการตความคะแนน Z ซงบางสวนมคะแนนนอยกวา 0 จงเปนคาตดลบ) Mean=50, SD=10 การตดเกรด การกระจายของความถของคะแนนผเขาสอบจะมลกษณะเปนโคงปกต พนทใตเสนโคงปกต

สวนเบยงเบนมาตรฐาน % พนทใตเสนโคงสะสม คะแนน Z และคะแนน T แสดงเปรยบเทยบ ไดดงรป

41

ในทนจะกลาวเฉพาะกรณแบงการตดเกรดออกเปน 5 เกรด คอ A, B, C, D และ F (ถาจะแบงเกรดใหเปน A, B+, B, C+, C, D+, D และ F เพยงซอยยอยบรเวณของแตละเกรดออกเปน สองสวนเทานน )

ขนตอนการคดคะแนนทปกต จะขอยกตวอยางประกอบคาอธบายไปพรอม ๆ กนเลยดงน ในการสอบวชาหนง จานวนนกศกษา 20 คน ไดคะแนนสอบ ดงน 24, 20, 15, 12, 24, 27, 14, 18, 20, 19, 23, 20, 21, 20, 23, 24, 25, 20, 17, 15 การแปลงคะแนนดบใหเปนคะแนนทปกต ใหทาตามลาดบขนดงน 1. เขยนคะแนนดบเรยงจากมากไปหานอย ใหคะแนนสงสดอยดานบน หาความถของ

คะแนนแตละคะแนนดงรปท 1

2. หาความถสะสม โดยการนาความถของคะแนนนน รวมกบความถสะสมของคะแนนทอยตากวาตวมนเอง 1 บรรทด จะเหนวาความถสะสมบรรทดบนสด จะมคาเทากบจานวนคนทเขาสอบ

42

3. คานวณหาคา (cf + 0.5 f) คานจะนาไวใชหา Percentile ของคะแนน ความหมายของสตรนคอ ใหนาความถสะสมของคะแนนบรรทดทอยตากวา 1 บรรทด + ครงหนงของความถของคะแนนในบรรทดนน

ในโปรแกรมคานวณคะแนนทปกตน ไดเพมชอง Percentile ซงจะเปนตวบอกวาผเขาสอบมตาแหนงของคะแนนเหนอกวาผสอบทงหมดอยเทาไร เปนพนทใตเสนโคงปกตตรงตาแหนงผเขาสอบนนอย

43

เมอนาพนทใตเสนโคงปกต คณดวย 100 จะไดคา Percentile ของคะแนนของผเขาสอบรายนน เมอทราบพนทใตเสนโคง เราสามารถหายอนกลบไดวา คะแนน Z เทาใดทาใหเกดพนทใตเสนโคงปกต คาดงกลาว สมการของเสนโคงปกตหาไดจาก

เมอไดคา คะแนน Z แลว หาคะแนน T ปกต ไดจาก

เมอเพมคอลมน Percentile จะไดดงตาราง

เมอผใชเลอกตดเกรด A, B+, B, C+,C, D+,D, F

หาพสย (Range) ของคะแนน ในทนคอ

(คะแนนทปกตคาสงสด – คะแนนทปกตคาตาสด)/ จานวนเกรดทจะตด = (70 -30) /8 = 5

เมอแปลงคะแนนดบเปนคะแนนทปกต เรยบรอยแลวตอไปกเขาสขนตอนการตดเกรด

44

คะแนนทปกต เทากบหรอมากกวา 50 +( 3 *พสย) จะไดเกรด A

50 + 3*5 = 65 คะแนน T ปกต 65 ขนไปจงจะได A

คะแนนทปกต เทากบหรอมากกวา 50 + (2* พสย) แตไมถง 50 + (3* พสย) จะไดเกรด B+

50 + 2*5 = 60 คะแนน T ปกต 60 ถง 65 จะได B+

คะแนนทปกต เทากบหรอมากกวา 50 + (1* พสย) แตไมถง 50 + (2* พสย) จะไดเกรด B

50 + 1*5 = 55 คะแนน T ปกต 55 ถง 60 จะได B

คะแนนทปกต เทากบหรอมากกวา 50 + (0* พสย) แตไมถง 50 + (1* พสย) จะไดเกรด C+

50 + 0*5= 50 คะแนน T ปกต 50 ถง 55 จะได C+

คะแนนทปกต เทากบหรอมากกวา 50 –(1* พสย) แตไมถง 50 + (0* พสย) จะไดเกรด C

50 – 1*5 = 45 คะแนน T ปกต 45 ถง 50 จะได C

คะแนนทปกต เทากบหรอมากกวา 50 –(2* พสย) แตไมถง 50 - (1* พสย) จะไดเกรด D+

50 – 2*5 = 40 คะแนน T ปกต 40 ถง 45 จะได D+

คะแนนทปกต เทากบหรอมากกวา 50 –(3* พสย) แตไมถง 50 - (2* พสย) จะไดเกรด D

50 – 3*5 = 35 คะแนน T ปกต 35 ถง 40 จะได D

คะแนนทปกต ทนอยกวา 50 –(3* พสย) จะไดเกรด F

คะแนนทปกตทนอยกวา 35 จะตด F

45

หมายเหต บรรณานกรม ชดชนก เชงเชาว.(2543). การกาหนดเกรดของรายวชา. เอกสารประกอบการฝกอบรมเชง

ปฏบตการ หลกสตร “ การเรยนการสอนในระดบอดมศกษา” รนท 6. มหาวทยาลยสงขลานครนทร สรชย มชาญ (2546) . คะแนนและแนวคดพนฐานในการตดเกรด. วารสารศกษาศาสตร

คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยสงขลานครนทร

46

�� ก�� ก��ก�� ก�� ก��!��"�#��$�%&��!�'ก()��*��ก*��%&�!��"�#� ��"�+��,��,��ก��ก��*��ก��!�ก�� ก��"��*��-��ก��"� ��.�%�.%�$��/ 00 %1 � $+��*��%&��2!��*��+/*�3�!��2 �� (!��"�#��ก��ก��2 ��$�)��)��"�ก4�� ก��!�� Integration by Parts �� +*��!�� .�%�.� �� 5��-��%�$6��2��ก ��,��$-��ก ��"��!��3�ก7��%&�%�$��*3�!��2 ��+��*��+/*�3�!��2��, �/$�%&��ก��(��.) ��,�%1� : / ก��*��+/*�3�!��2 !��ก��3�ก7� ��.�%�. %�$��/ %1 .3.:;<= (+)�� *�� shortcut �%&��*��ก"�ก�� "��+6�6 �"�%>��'-�� ก�� ก!��"��#��$��ก�� %�� &��'��&(��$��#�� %��$$�$)�ก��$��ก��*��ก%��ก + �� '��,�� “��.+.”��ก��+)��/ 65

2= 4,225 /�0� 71 2

= 5,041 /�0� 99 2= 9,801 �� ก!��"��/�(#� 5��"��ก��)��

��$--ก��3�ก7�!��"��!��!�*�ก��)� � ��"��+��+*�� "�'กก�/��ก��+)��/ �,��-��+��,��%&�ก��+)��/�--��( ��$��%�, ��+��ก��"�� !�� $��%�$6��2��6�� ? �$ก��%�$�� ,�.�.1.��'��2 ก�3��'�� 4�(�,(�/$�,��' =< %1� ��) ��+��"�� !��%��, ��$�%&� ,.�.��$ 1�ก��41�� ก��*��+/*�3�!��2"��/$��,��%&��*��*��(�/$�,��!��*�� ) ��ก��2��)�� @�� / ��,�� '#��)�� %�$6��2!�A��/$ �-�,��"�� %��-��-�,� :�*A��%�,

�� D(u) I(dv)

x sin 2x(dx)

1 - 2

1cos 2x

0 -4

1sin 2x

xdxx sin2∫ = 2

1− xcos2x

4

1+ sin2x + C

xdxx 2sin∫ = ?

+

- +

��5��5�� %�� .��.��6�/$�$��,��5��6

5��/�0��$$��(8��95�'��ก��9��!�) ;��$��,�� '��ก��6$�ก

..�3. A�� 3��B�$ �� .ก+3.C, ��.!ก3.C � $ �� -.��.�%�.

47

Integration by Parts �%&��%&��!)�+�#��*��+/*�3�!��2 "��ก��*�*�ก�� +�/�� : E>�ก2�� "��!��+/*�3�!��2'ก� ��ก�� *!��2!��"�ก��)�6��2��, � $ก�$)��ก ��"��!'��$��

!�� ∫∫ −= vduuvudv ��$ก ��%�,�$��$ก�-6��2��+�� u = nx 5��6��%ก�*��ก��!��'�*+��

u � $ dv 5,)�(ก�� +��,� )�"��!�� ก � ��2ก4��$�)�ก�� 5��5��"��%�--6��2��*��( 5��$�;�� $�ก��,��9��#$�%�� /�� "��ก("�� . ��)��,� : �*A+�-+��ก��%ก�� "��!'��2��!�'%�� %"��"�� *A �� $��$�)��%"��"�ก��*��*3�ก��3�!��2��(�*�� Maths for Engineers � $�*��(�$��%�$�� ) ��*��,�"��$�� (��,� �� "��,��,!�-��/2��,��"�� EF� ,��$,��9��#$�%��6��,�$�� #��ก!��!�( /��*�ก��,��9��/�� <) ��ก4ก ��$�%5,)�ก�-��+��)��ก�� "��+6�6 �"�%>��'-��+�� Google Search +��,�� $��6��"�� Keyword ��ก��( ��'ก��% Keyword �� “��/��ก” �� “��3” ��-"�� “��”��กก��) 6��"��+)�+�� Integration by Parts, Integration by Parts Example � $ Integration by Parts Short Method �� -�� ก��ก ��*A �� !��-��ก�� ก�-��2��!��%1 .3.:;<= (��"��)��!��%��,)�*A� -"��*��2��4��,� �*A Tanzalin Method, Tic-Tac-Toe, Tabula

Method � $�*A THE D-I METHOD �� *��/�� 4��*A Tabula Method � $ THE D-I

METHOD "ก ��+��!'� ��'ก�*A� - ก��"��*A �� ก$�� $�� !)��-6��2��*��( � ��-- ��%��$��-��*Aก��2�+�!�� -�กก�-�*Aก�� *!��2��*A ��+*�� %�$ก�-ก��("�� . ��%��-��-ก�-��2!��"�%>��'-��) ��,��!�� )�6��2��ก�*��2��4�-��)��*A��(�*A!��'�*��!��)-��ก4)�ก��*A��(�� ,) � ��%��-��-ก��(!)��-6��2�5�-5��ก( ��+��"��*A!��'�*��%ก�*��%) ��ก��,�%&�� กG��"��*��!��!��3�ก7�� .�%�. � ��$��+��4��2 ��.�%�.�"��*A ��,�� !��3�ก7��ก��("�!��ก(��*��!��!��3�ก7�"�� %&��*��!�� +��+�"��%&��ก!��*�"��*��ก��ก�� 6��? �$��*��3�!��2) �� ,�%&��!��ก��4�

Tabular Method Tanzalin Method

48

dxex x∫ 2 xdxe x 3cos2∫ −

��ก7�/��'�� H %1� �� ก4��+��)��,��%&�� +��4��*A *!��2�� 6��? �$�!�!��)��+��! �-ก�� $��ก4�� *!��2��ก�� +��)��*A ��%"��)�6��2��+��,��%�*##�6�!��G��*ก� "�%1 .3.:;:; ��2��4��+)��-��ก�� ก4��$��()�"��%�$�� %"��)��() ��2 �%�. ��ก�� Integration by Parts 5��5�� $��#*$;��ก��$�5�� *$�'��ก��"�=�>��ก?>�� Integration by Parts(Diagonal)

��,��9��#$�%��

��# @ �*A ��"��-��6��2�%&� : !�� +�� u(�� diff.) � $dv (�� int.) � ��ก��,�"��+�/�� +��+�/�$! �-ก��+��(+,-,+,-,…) �� # @ ��!�!��$�� ;$��0#��/$��ก�� 6��$ *!��2

(1)(B) = uv(+) 1 (1) (A) dx (2)(B) = (-) 2 (2) (B) (2)(C) = uv(+)

3 (3) (C) (3)(C) = (-)

4 (4) (D) (3)(D) = uv(+)

(4)(D) = (-)

��# @

THE D-I METHOD

��# +

∫ vdu

] D[u] I[dv]

+

_

+

∫− vduuv ]

Line

_

∫ vdu

∫ vdu

∫− vduuv

] ∫− vduuv

- �+�� (2)(B) �%&� (-) )�"�� (2)(c)�%&� (-)�� ก*��ก (-)(+) = (-)

49

�,� 0 !��!�� ,�!�� uv, � $ก��% ��% ��+��(��%) �� # @ �� (1)(B),

(2)(C) � $ (3)(D) ��ก��5��ก4+��+�� uv �� $ (2)(B), (3)(C), (4)(D) ��ก��'�� (Line) ก4+��+�� ก�/ u = "� Line 2, Line 3 �� Line 4 ��! �- u � $ v � $)�"�� diff. ��'ก+��,� ��%&� 0 "�-��!'�� +�� (+) �� uv � $�+��(-) �� ก*��,�'ก+��,��ก��!��'�* ��)��!�'%��"� ��# + �0�ก��%��0#��/$�� (+) 5�' (- ) �� ,�!��!�'%"�%�$��4��กก4+�� (4) �%&� 0(3��2)�� $+� ��2�� Int.��'ก�� 'ก��ก4�$)��ก (�� .�.@ � $ �.�.+ �� ก4��'��+� Line 2 �� .�.< ��'��+� Line 3 �� .�.C ) � ��)��*A%ก�*��% (��"��@� ��-�%�$ก�-�� $)�"��"��,�)

��# + ,��9��;$��0#��/$��ก�� "��ก��#��8��ก�� /��ก ∫∫ −= vduuvudv

�� ∫∫ −= udvuvvdu 5,)�ก�� (+��,�6��,��),�'��0#��/$�� ก��! �-+�� u � $ v ��)��

�!�� ก�/� u = 6��ก)� �� x �$ � ��%��(��ก�� diff. ��"��!'�ก4�$�+��%&� 0

��ก!�� ∫∫ −= vduuvudv = ∫− 11dvuuv

= [ ]∫−− 1111 duvvuuv ( ! �-+�� u � $ v )

= 1111 duvvuuv ∫+−

= 2211 dvuvuuv ∫+− ( ! �-+�� u � $ v )

= [ ]222211 duvvuvuuv ∫−+−

= 332211 dvuvuvuuv ∫−+− ( ! �-+�� u � $ v )

= [ ]44332211 dvuvuvuvuuv ∫−−+−

= 44332211 dvuvuvuvuuv ∫+−+−

(+) (-) (+) (-) (+) ………….

(��ก�ก��ก��%��0#��/$�� + 5�' - ��ก��ก��# @ ��$��6�ก�� u 5�' v ��ก��6��# �� ) �%&�� *$;��,��9��#$�%��5�� 6��!�'% ��5�� ก�-6��2'ก%�$�@ ก4��!�,� ก$�� $��ก�� *A��*A!��'�* ��)��+/*�3�!��2!��"�#�"��ก��

/$��/�� !��ก��ก��+�� +)�� D-I METHOD 5��%&��*A��ก��ก�%>#�� +�� D � $ I �� +��!�� 2��"��"�ก��!��"� ��.�%�. ��,�� %1 .3.:;<= +��+)�� Diagonal ก4+�� D = Differentiate ��ก�-+��ก�� Diff.(u) � $ D ��%&��ก7��ก�� Diagonal ��+)�� '�(��2��"�� ?�( � ��$�%��ก�-ก��"�� ก4+��ก��+�/�� $ I = Integrate ��ก�-+��ก�� Int.(dv) 5��%&��ก7��!�� Diagonal �� ,��,�� Integration by Parts (Diagonal) ��"ก ��+��ก�-�ก+�� (�$��$ -��*#��,� ��%�� %�$ก�-)

∫ vdu

xn

∫ vdu

xn

∫ vdu

50

Integration by Parts �� ก�� .��.

��ก�� ∫∫ −= vduuvudv �� "�� )(xfu = � $ )(xgv =

�$�� ∫∫ ′−=′ dxxgxfxgxfxdxgxf )()()()()()( �� Integration by Parts 5��5�� 2��!��,��%1 .3.:;<= ��"��ก6��2��%&� Integration � +�/�� Differentials ��%�--��(��ก�%&� : +� ��2 8�� $�9��# @ �� Differentiate(diff.) "��!�# �ก7/2 D �� u � $ ��$�9��# + "�� I �� dv �� Integrate(int.) � ��+�� "��-��ก��)��--��%&� 0 �-- !�� $��( �$��A*-��"�� $�-- ��, 5��# @ &��$��&5��8��9 ��"� u 5�' dv 5�'�$��& diff.(u) /�0� du ��"� 0 ;�� 5��$��& int.(dv);��;$��ก /�5��"� + ��$�9 ( u 5�' dv ) "�� diff.(u) ��"� 0 5�' int.(dv) ��$;�� %��ก1��)�� 5�' ��0#��/$�� +, - ��ก��;� 8��)��(�5��)��6��5�'��0#��/$�� (�.�.@) (ก�/�, u = �� diff. +��,��ก� �� $ก ��%&� ��+��!��+��,��ก� �� !��! �-+�� u � $ v � $!��)�5,)��,��ก��!��%��( ��"��!'� u = 0 ��ก�� *!��2ก��! �-��+��*A�: �$)�"��"��,�)

��ก�%&�6��2��%��5�-5��*3�ก�� ∫ − dxxx 6)23(2 , xdxx sin2∫ , �%&��

�.�.@ ��+�� xdxx sin2∫

�� ก!�� ∫∫ −= vduuvudv

- ��*A�� "��,+��ก)��"�� u = 2x � $ dv = sinxdx

u dv

2x sinx(dx)

2x - cosx

2 - sinx

0 cosx

�$�� xdxx sin2∫ = - x 2 cosx + 2xsinx + 2cosx + C Ans.

DI agonal (�5��) Differentiate(u) Integrate(dv)

D-I METHOD

+

+ _

_

xn

xn 1−

dxex x42∫

xn

51

�.�.+ ��+�� *A��"��,+��ก)��"�� u = 2x � $ dv =

�� dv = u dv 2x

2

0

��6� = Ans.

5��# + ��ก)�� u � �� diff. �%&� 0 �� int. ��( �)��%&��! �-+�� u � $ dv ��"��)�+��,�� !��)��*AA��(�� ( ก��)� 1 +��,��*A�� $)�"��6��2�� !�,� � $ ��,� )

�.�.< ��+�� xdxx ln2∫

�� *A�� ก)�� u = lnx � $ dv = x dx ��,� u dv lnx x (dx)

x

1

3

3x

xdxx ln2∫ = xx ln3

1 3 - dx

x

x 3

1 3

∫

= xx ln3

1 3 - ∫ dxx 2

3

1

= [ ]33

3

1

3

1xnxlx − + C Ans.

�--� 0 ก�/)��*A�� )�"��6��2! �-� ��+�� $E>�ก2�� ก �-�% �%&��*� "��)� 3 -��ก*��5,)� � ��'� "�� .�.C

�.�.C ��+�� xdxe x cos∫

�� *A�� ! �-+�� u � $ dv �� ก)�� u = xe � $ dv = sinxdx

∫ − dxxx 6)23(2

dxx 6)23( −

)23()23(3

1 6 −− xdx

)23()23(3

1 6 −− xdx

7)23(73

1−x

X

8)23(8321

1−x

XX

∫ − dxxx 6)23(2 , 7)23(21

2−x

Cx +− 8)23(252

1

-

+

+

2

+ _

2

.

-

52

u dv

xe cosx(dx)

xe sinx

xe - cosx

xdxex cos∫ = xe sinx +

xe cosx - xdxe x cos∫

2 xdxex cos∫ = xe sinx +

xe cosx

xdxex cos∫ = 2

xe(sinx + cosx) + C Ans.

%��'�� '��0#��# ��#��$��/�0�/�� 5�'��0#��/$�� + /�0� - /��6�

��-��*��ก��ก(ก��$+��- 5��ก4��-�ก��'� ��ก�� )��ก��, � �!��3�ก7�"�%1 .3.:;;L ��!��ก*��%�� %��-��-ก�-�� "��*��2��4��/$�, ��+*��+� ��,� ��ก��%�%M��)��+/*�3�!��2� �� 2��*�� "�%>��'-��ก3�ก7� ก4�� ,�� ก��!��*A ��ก�-� ��.�%�. "��!�� $�ก ��-��"��*��2��4�ก4�%&�� -��!�� $�� $��"�� 8��),�'��,��9��#$�%�� ;$��$� 5�� ,��'*$�,�#� ��$��,��9%(6�$�� ,�� "��%&��*��ก��ก�ก*��%��ก ��*��ก*��ก!�ก 0 �� %&�ก��+ ��+��ก�*��+/*�3�!��2 ��$��%&�+� $��ก�� ก��!��!��"�!��, �� ,-��ก��+�� -��%&�

�� ,� 0 ��%&��ก��ก�-��1��9��$ �,��"��*��+/*�3�!��2 *!��2��ก ��)�� ½

(+��)��,� ��+��ก�+�� $��@� !��(�� =�,��%��ก�� Crop Circles �� *3��+��6 ก ��NF��%��ก4��@��$+��-

��0#��# @ �ก�� !��"�ก#�$ /�(#�(��'��) � $ ��(!��) �+��,��ก�� $�%&��E�ก�� /�(#��ก"�� ก+/*�3�!��2(� �,�!��+��-��ก��) *!��2+��ก�--��( /�(#��,�� /�(#� : �� (��$��+��!�� : ��5* (�ก �� "��*��ก��-��/�(#�� $+� $+��/�(#��$�? �) /�(#� : ก4/�(#�� (��*,�� "�"�+*�� /�(#��$��) �� : ก4��*��? �$��,�$5* �� -�� /�(#��ก4�� /�(#� : ก4�� 4�� (��)��) /�(#� : (�A*-��) ��)�� 2!��+/*�3�!��2!�� ( “a(��)” �� “1(��)” �!��

+

+

_

53

� ��$�� ก+/*�3�!��2 a = 1xa = ax1 = a 1 = a/1 ��4�� $�� /�(#�� +��!�� '�!��2 *!��2�� ก+/*�3�!��2� �� ,�� /�(#��+��!�� : �� $ (��)�� ก+/*�3�!��2��+��"�)

��0#��# + %�&��'��()� ��ก� ก$�� %&�� !�*ก�� ?��"ก �(ก�� ;ก� : �O�� 4��!�� *� 2�� 6��%� �� ก�� -��ก*Pก � ��)��?�� ;%� : �O��ก� ก��6�+��$ ��*��ก��-��+��+��ก ��A�-�ก�� ก�� !��@� ��ก*Pก �$ �67"��ก�� ก��ก4� �!��@� ��$ � $�� $+��+��6�+�� ก��!��@� ��;��#�%��ก��,��(#�� )�"��?��$ ��;ก� : ???

��0#��# < �ก�#��ก��1��'��1��9 ��9��!��#�� /��0#�� &��8�� Google

5��,�$,9��ก$��'��$$�ก ;$��D06�/��0�$�� 0#��(ก��0#��/�(#� �/��0#�� D(#��"��#� �%��#�8�ก$��5��0� Crop Circles ��#��ก�� ;$ �� ;��;� 5�� /3�ก!��"��%�� #D��D�� 5�' ��$ ��#*$�ก$� /�� "��%��=�,��$�/��6� 5�'��0#�E ��ก!�';��6� =�,,0� =�,��9 ��$��6�=�,��ก;$��# ��$ ��$ ��%�� 5�',�$,9;��"��1��'��#��(#��ก�� ( F �G /��ก>��*$��#��8��Hก$�5�� + ��0#�� 5�'��#��0#��,�$,9$�5�� < ��0#�� ,��$��6� ;��,�$,9=�,��E��$E��ก��!�;��/��=�,5�� *$��&�� 8�8��,�#$�%��;� ก��/��กก��5�� I �.��กD�ก��5��'ก! ��ก!�'*��;��!� %��'�� /��5ก��,��$�%=�,5%!�5��ก�� ;��0#��8��;D�$��95�'8��=��;%��!��#��$ ��"�ก��0$;�;��) *$%��ก��ก�� 0#��#��6 *$�� %��5�',�$,9��6��6�

54

*$%��0#��6�,��5��6 &(��'��"�/��%��0#��!กE��1��9 5��ก!��=$� ��#��$� �� .��. ��5�'�ก��'8��9��!กE��E��ก��1(ก>�%�� . �(��'��(ก;��"�/��ก2�� 1(ก>�%�� #� ��6ก!&0��"��5/��ก��5�ก��#��$��D(#�ก��5�'ก�� 5�'�� /�� . 5�' ��.��# ก��1(ก>�� ;��#$��#;�%��0#��6��ก��

Samples of Maths sign in Crop Circles

��$��# FF ��# < / ก�กS�+� – ก�� :;;L

คณิตศาสตร -...

Documents