คณิตพิชิต o-net ช่วงชั้นที่ 3 ·...

คณตพชต O-NET ชวงชนท 3 1


ค าน า

เอกสาร “แนวการจดการเรยนรคณตพชต O – NET” ชวงชนท 3 จดทาขนเพอใหครผสอนคณตศาสตรแใชเปนแนวทางในการจดการเรยนการสอนโดยยดมาตรฐานการเรยนรเปนหลก และยกระดบผลสมฤทธทางการเรยนกลมสาระการเรยนรคณตศาสตรแ ประกอบดวย มาตรฐาน การเรยนรคณตศาสตรแ ตวชวด สงทนกเรยนตองร โจทยแตวอยางและแนวคด แบบฝกหด และ แนวขอสอบ O – NET โดยใชสาระสาคญของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรแและเทคโนโลย (สสวท.) เปนหลกในการจดการเรยนการสอน

จากผลการนเทศตดตามการจดการเรยนรกลมสาระคณตศาสตรแ พบวา ครผสอนคณตศาสตรแสวนใหญไมจบเอกคณตศาสตรแโดยตรง ทาใหขาดความรและเทคนคในการสอนคณตศาสตรแทถกตองและชดเจน ตลอดทงในการจดการเรยนรคณตศาสตรแครไมไดยดมาตรฐานการเรยนรเปนหลก สวนใหญเปนการสอนตามหนงสอทซอมาจากสานกพมพแตางๆ สงผลใหการสอนไมครอบคลมมาตรฐานการเรยนร หรออาจมเนอหามากเกนไปสอนไมทนตามเนอหาในหนงสอในเวลาเรยนทกาหนด

สานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาบรรมยแ เขต 1 จงหวงเปนอยางยงวา เอกสาร “แนวการจดการเรยนรคณตพชต O – NET” จะชวยแกปญหาดงกลาวใหกบครผสอนคณตศาสตรแได และสงผลตอการยกระดบผลสมฤทธทางการเรยนกลมสาระการเรยนรคณตศาสตรแใหสงขนตามเปาหมาย

ขอขอบคณคณะกรรมการจดทาเอกสารและผมสวนเกยวของทกทาน และหวงเปนอยางยงวาเอกสารเลมนจะเปนประโยชนแแกผเกยวของทกฝาย หากมขอเสนอแนะประการใดกรณาแจงคณะผจดทาเพอพฒนาใหมความสมบรณแมากยงขน

สานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาบรรมยแ เขต 1


สารบญ

หนา

สาระท 1 จานวนและการดาเนนการ 5 มาตรฐาน ค 1.1 เขาใจถงความหลากหลายของการแสดงจานวน และการใชจานวนในชวตจรง 5 มาตรฐาน ค 1.2 เขาใจถงผลทเกดขนจากการดาเนนการของจานวน และความสมพนธแระหวางการดาเนนการตาง ๆ และใชการดาเนนการในการแกปญหา 21 มาตรฐาน ค 1.3 ใชการประมาณคาในการคานวณและแกปญหา 36 มาตรฐาน ค 1.4 เขาใจระบบจานวนและนาสมบตเกยวกบจานวนไปใช 40 สาระท 2 การวด 48 มาตรฐาน ค 2.1 เขาใจพนฐานเกยวกบการวด วดและคาดคะเนขนาด ของสงทตองการวด 48 มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกยวกบการวด 67 สาระท 3 เรขาคณต 73 มาตรฐาน ค 3.1 อธบายและวเคราะหแรปเรขาคณตสองมตและสามมต 73 มาตรฐาน ค 3.2 ใชการนกภาพ (visualization) ใชเหตผลเกยวกบปรภม (spatial reasoning) และใชแบบจาลองทางเรขาคณต (geometric model) ในการแกปญหา 93 สาระท 4 พชคณต 116 มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแแบบรป (pattern) ความสมพนธแ และฟงกแชน 116 มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจนแ สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตรแ (mathematical model) อน ๆ แทนสถานการณแตาง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใชแกปญหา 121 สาระท 5 การวเคราะหแขอมลและความนาจะเปน 167 มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวธการทางสถตในการวเคราะหแขอมล 167 มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปน ในการคาดการณแไดอยางสมเหตสมผล 185


สารบญ (ตอ)

หนา

มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจ และแกปญหา 193 สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรแ 201

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรแ และการนาเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรแ และเชอมโยง คณตศาสตรแกบศาสตรแอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรคแ 201 บรรณานกรม 224

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก เฉลยแบบฝกหด 226 ภาคผนวก ข ตวอยางขอสอบ O-NET ทกสาระ 289 ภาคผนวก ค เฉลยแนวขอสอบ O-NET ทกสาระ 326 รายชอคณะทางาน 344


สาระท 1 จ านวนและการด าเนนการ

มาตรฐาน ค 1.1 เขาใจถงความหลากหลายของการแสดงจ านวนและการใชจ านวน ในชวตจรง

ตวชวดชนป ม.1/1

ระบหรอยกตวอยาง และเปรยบเทยบ จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ ศนยแ เศษสวน และทศนยม

สงทนกเรยนตองร

1. จานวนเตม ประกอบดวย จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และศนยแ ดงน 1.1 จานวนเตมบวก คอ จานวนเตมทมคามากกวา 0 ไดแก 1, 2, 3, 4, 5, … 1.2 จานวนเตมลบ คอ จานวนเตมทมคานอยกวา 0 ไดแก -1, -2, -3, -4, -5, … 1.3 ศนยแ คอ จานวนเตมทมคาเทากบ 0 ไดแก 0

2. เศษสวน ประกอบดวยตวเศษและตวสวน เชน 11

3 , 19

3

3. ทศนยม ประกอบดวยสวนทเปนจานวนเตมและสวนทเปนทศนยมและมจดคน เชน 2.43

4. การเปรยบเทยบจานวนเตม ในการเปรยบเทยบจานวนสองจานวนทไมเทากนวาจานวนใดมากกวาหรอจานวนใด

นอยกวา สามารถเหนไดงายโดยใชเสนจานวน 5. การเปรยบเทยบเศษสวน

5.1 ในกรณทสวนเทากน ใหเปรยบเทยบทเศษ เศษสวนทมเศษมากจะมคามากกวา

เศษสวนทมเศษนอย เชน 8

5 8

3

5.2 ในกรณทสวนไมเทากน ใหนาตวเลขใดๆ มาคณทงเศษและสวนเพอปรบใหเศษสวน

ทงสองมสวนเทากนกอนแลวจงทาการเปรยบเทยบเชนเดยวกบกรณทมสวนเทากน เชน 6

2 กบ 5

3

6

2 × 5

5 5

3 × 5

6 = 30

18


5.3 ในกรณเปนจานวนคละ ใหเปลยนจานวนคละใหเปนเศษเกนกอนแลวจง

เปรยบเทยบเศษสวนนน เชน 46

5 กบ 47

6

โจทยตวอยาง

ตวอยางท 1 จงพจารณาประโยคตอไปนวาประโยคใดเปนจรง ประโยคใดเปนเทจ

....เทจ..... 1) 0 เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด

....จรง..... 2) 1 เปนจานวนเตม

....เทจ.... 3) จานวนนบทนอยทสด คอ 0

….จรง.... 4) -2 เปนจานวนเตม

ตวอยางท 2 จงเปรยบเทยบ 6

54 กบ

7

64

แนวคด ขนท 1 เปลยนจานวนคละใหเปนเศษเกนกอน

46

5 = 6

546 = 6

29

47

6 = 7

647 = 7

34

ขนท 2 เปรยบเทยบเศษเกนทไดจากขนท 1

6

29 กบ 7

34

6

29

7

7 =

42

203 < 7

34

6

6 =

42

204

42

203 < 42

204

ดงนน 6

54 <

7

64


แบบฝกหด ชดท 1 (ค 1.1 ม.1/1)

จงเลอกขอทถกทสดเพยงขอเดยว

1. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 826 + 752 < 1,500 ค. 2,001 − 949 > 1,000

ข. 25 × 70 > 1,800 ง. 22,776 ÷ 39 > 600

2. ขอใดเรยงลาดบเศษสวนจากนอยไปมากไดถกตอง

ก. 12

7 , 6

1 , 14

3 , 7

5 ค. 11

3 ,19

3 , 14

3 , 17

3 , 8

3

ข. 8

3 ,11

3 , 14

3 , 17

3 ,19

3 ง. 12

7 , 6

1 , 14

3 , 7

5

3. ขอใดเรยงลาดบทศนยมจากมากไปนอยไดถกตอง

ก. 2.43, 2.08, 2.045, 2.0119 ค. – 30.05, -32.45, -20.50, -35.17 ข. – 2.43, - 2.34, -2.045, -2.540 ง. 6.003, 6.030, 6.300, 6.0003

4. ขอใดมคามากทสด ก. 0.003 ค. – 30.05 ข. – 2.43 ง. 1.03

5. ขอใดเปนจานวนเตมบวกทงหมด

ก.

4

8 , 7

5 , 8.3, 2.03 ค. 0.05, 2.45, 20.00, 5.17

ข. 2.43, 2.34, 2.045, 2.540 ง. 43, 72, 6

18 , 4

82



เขาใจเกยวกบเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม และเขยนแสดงจานวนใหอย ในรปสญกรณแวทยาศาสตรแ (scientific notation)


1. เลขยกก าลง เปนสญลกษณแใชแทนจานวนทเกดจากการคณตวเอง ซากนหลาย ๆ ตว เชน 5 × 5 × 5 × 5 = 54

( -2 )×( -2) ×( -2) = 23

( 0.3 )×( 0.3) = ( 0.3)2

2. สญกรณวทยาศาสตร เปนการเขยนจานวนในรปการคณของจานวนทมากกวาหรอ เทากบ 1 แตนอยกวา 10 กบเลขยกกาลงทมฐานเปนสบและเลขชกาลงเปนจานวนเตม นยมใชกบจานวนทมคามาก ๆ หรอมคานอย ๆ สญกรณแวทยาศาสตรแ มรปทวไปเปน A × 10n เมอ 1 A และ n เปนจานวนเตม

2.1 การเขยนจานวนทมคามาก ๆ ใหอยในรปสญกรณแวทยาศาสตรแ เชน 1. 70,000 = 7×10,000

= 7×104

2. 2,810,000 = 281×10,000

= (2.81×100)×104

= (2.81×102)×104

= 2.81×106

2.2 การเขยนจานวนทมคานอย ๆ ใหอยในรปสญกรณแวทยาศาสตรแ เชน

1. 0.0008 =

= 10

84

= 8×10-4


2. 0.00000985 =

= 10

1085.98

2

= 9.85×102-8

= 9.85×10-6


ตวอยางท 1 เขยนจานวนตอไปนในรปเลขยกกาลง

1. 3

1

3

1

3

1

3

1

ตอบ 4

3

1

ม 3

1 เปนฐาน และ 4 เปนเลขชกาลง

2. 6.16.16.16.16.16.16.1 ตอบ (1.6)7 ม 1.6 เปนฐาน และ 7 เปนเลขชกาลง

3. 81 ตอบ 43 3333 81 ม 3 เปนฐาน และ 4 เปนเลขชกาลง

ตวอยางท 2 ใหหาวาเลขยกกาลงตอไปนแทนจานวนใด

1. )5( 2

แนวคด )5()5()5( 2

= 25

ตอบ 25


2. 5

23

แนวคด 5

2

5

2

5

2

5

23

125

8

ตอบ 125

8

ตวอยางท 3 จงหาผลลพธของ )107()1012()1020( 888 ในรปสญกรณวทยาศาสตร

แนวคด 8888 10)71220()107()1012()1020(

81025

810105.2

9105.2

ตอบ 9105.2



จงเลอกขอทถกทสดเพยงขอเดยว

1. 532 เขยนใหอยในรปสญกรณแวทยาศาสตรแไดเทากบจานวนในขอใด ก. 21032.5 ค. 1032.5 ข. 11032.5 ง. 21032.5

2. เขยน 3101.32 ในรป n10 A (เมอ 10A 1 และ n เปนจานวนเตม) ไดเทากบจานวน ในขอใด ก. 1021.3 ค. 31021.3

ข. 41021.3 ง. 51021.3

3. เขยน 62 108 อยในรป n10 A (เมอ 10A 1 และ n เปนจานวนเตม) ไดเทากบขอใด

ก. 6104.6 ค. 71064 ข. 61064 ง. 7104.6

4. 0.0000123 เทากบขอใดตอไปน ก. 71023.1 ค. 61023.1 ข. 51023.1 ง. 41023.1

5. 610295.3 เทากบจานวนในขอใด ก. 329,500 ค. 3,295,000 ข. 32,950,000 ง. 329,500,000



เขยนเศษสวนในรปทศนยมและเขยน ทศนยมซาในรปเศษสวน

สงทนกเรยนตองร 1. การเปลยนเศษสวนเปนทศนยมสามารถท าไดโดยใชวธการหารยาว

2. ทศนยมซา แบงเปน 2 ประเภท คอ

2.1 ทศนยมซาศนยแ เชน 6.1

06.1

2.2 ทศนยมซาซงไมใชศนยแ เชน

4327.9 3. การเปลยนทศนยมซาเปนเศษสวน ใชหลกการ ดงน

ตวเศษ นาตวเลขหลงจดทศนยมทงหมดตง ลบดวยตวเลขหลงทศนยมทไมซา ตวสวน เตมเลข 9 เทากบจานวนตาแหนงทศนยมหลงจดทศนยมทซา แลวจงเตมเลข 0 เทากบจานวนตาแหนงทศนยมไมซาหลงจดทศนยมจานวนนน โจทยตวอยาง

ตวอยางท 1 เปลยน 0.

8 เปนเศษสวน

ตวเศษ คอ 8 - 0 = 8

ตวสวน คอ 9

ดงนน 0.

8 = 9

8

ตวอยางท 2 เปลยน 0.

7613 เปนเศษสวน

ตวเศษ คอ 3617 - 3 = 3614

ตวสวน คอ 9990

ดงนน 0.

7613 = 9990

3614



จงเปลยนจ านวนตอไปนใหอยในรปทศนยมและเศษสวน

1. 2

5 เขยนในรปทศนยมไดคอ ……………………………………….

2. 15

7 เขยนในรปทศนยมไดคอ ……………………………………...

3.

8251.0 เขยนในรปเศษสวนไดคอ ……………………………………..

4.

210.10 เขยนในรปเศษสวนไดคอ ……………………………………..

5. 0.

632 เขยนในรปเศษสวนไดคอ ………………………..…………..



จาแนกจานวนจรงทกาหนดให และยกตวอยางจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะได


1. จานวนตรรกยะ คอ จานวนทเขยนแทนไดดวยทศนยมซาหรอเศษสวน b

a เมอ a และ

b เปนจานวนเตมท b 0 เชน 0, 1, 5, 7 , 3

2 , 5

3 , 0.5

0 , 0.4

6 , 0.7

52 , …

2. จานวนตรรกยะ ประกอบดวยจานวนประเภทตางๆ ดงน

1.1 จานวนเตมบวก เชน 9 สามรถเขยนแทนในรปเศษสวน คอ 1

9

1.2 ศนยแ สามรถเขยนแทนในรปเศษสวน คอ 3

0

1.3 จานวนเตมบวก เชน 8 สามรถเขยนแทนในรปเศษสวน คอ 1

8

1.4 เศษสวน คอ 2

1

,

5

3

1.5 ทศนยมซาศนยแ เชน 1.5 = 1. 5

0

1.6 ทศนยมซาซงไมใชศนยแ เชน

4237.9

2. จานวนอตรรกยะ คอ จานวนทไมสามารถเขยนแทนไดดวยทศนยมซาหรอเศษสวน b

a

เมอ a และ b เปนจานวนเตมท b 0 เชน 2 , 4.323223222… , 39.933933399… , 2.34567891011121314… เปนตน


ตวอยางท 1 3.14 เปนจานวนตรรกยะ

เนองจากสามารถเขยนในรปเศษสวนหรอทศนยมซาได คอ 100

314 หรอ

014.3

ตวอยางท 2 3 เปนจานวนอตรรกยะ เนองจากไมสามารถเขยนในรปเศษสวนหรอทศนยมซาได ตวอยางท 3 ...4316879.5 เปนจานวนอตรรกยะ เนองจากไมสามารถเขยนในรปเศษสวนหรอทศนยมซาได


ตวอยางท 4 ...329329329.4 เปนจานวนตรรกยะ

เนองจากสามารถเขยนในรปทศนยมซาได คอ

923.4

ตวอยางท 5 0 เปนจานวนอตรรกยะ

เนองจากสามารถเขยนในรปเศษสวนหรอทศนยมซาได คอ 1

0 หรอ

0.0


จงพจารณาจ านวนตอไปนเปนจ านวนตรรกยะหรอจ านวนอตรรกยะ

1. -3, 0 , 5 ………………………………………………..

2. 4 , 1

2 , 3

9 ……………………………………..………..

3. 2 , , 3.123456… ………………………………..……………..

4. 100 , 92 ,

4237.39 ……………………………..………………..

5. 10 ,79.7797779… , 2.4313113111… ………………………..……………………..



อธบายและระบรากทสองและรากทสามของจานวนจรง


1. รากทสอง ให a แทนจานวนจรงบวกใด ๆ หรอ ศนยแ รากทสองของ a คอ จานวนจรง

ทยกกาลงสองแลวได a เชน 7 เปนรากทสองของ 49 เนองจาก 72 = 49

-7 เปนรากทสองของ 49 เนองจาก (-7)2 = 49 25 เปนรากทสองของ 625 เนองจาก 252 = 625

-25 เปนรากทสองของ 625 เนองจาก (-625)2 = 625

ถา a เปนจานวนจรงบวก รากทสองของ a มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซง

แทนดวยสญลกษณแ a และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณแ a

ถา a = 0 รากทสองของ a คอ 0

2. รากทสาม ให a แทนจ านวนจรงบวกใดๆ รากทสามของ a คอ จ านวนจรงทยกก าลงสาม

แลวได a เขยนแทนดวยสญลกษณ 3 a

สญลกษณ 3 a อานวารากทสามของ a

จากบทนยามจะได ( 3 a )3 = a


ตวอยางท 1 รากทสองของ 36 มสองราก เขยนแทนดวย 36 และ 36

36 = 6 และ 36 = 6

ตวอยางท 2 รากทสองของ 0.01 มสองราก เขยนแทนดวย 01.0 และ 01.0

01.0 = 0.1 และ 01.0 = - 0.1


ตวอยางท 3 เนองจาก (-5)3 = -125 ดงนน รากทสามของ -125 คอ -5 หรอ

3 125 = -5

ตวอยางท 4 เนองจาก (0.1)3 = 0.001 ดงนน รากทสามของ 0.001 คอ 0.1 หรอ

3 001.0 = 0.1


จงหาผลลพธตอไปน

1. 16 = ……………………………………………………….……

2. 3 27 = ……………………………………………………..…….

3. 49

9 = ……………………………………………………..…….

4. 3

125

64 = …………………………………………………….…….

5. 01.0 = ………………………………………………….……….



ใชความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละในการแกโจทยแปญหา

สงทนกเรยนตองร 1. อตราสวน คอ ความสมพนธแทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณซงอาจมหนวย

เดยวกนหรอหนวยตางกนกได เขยนแทนดวยสญลกษณแ a : b หรอ b

a

2. การเขยนอตราสวน ใหพจารณาทหนวย ดงน 2.1 ถามหนวยตางกน ใหระบหนวยดวย 2.2 ถาหนวยเหมอนกน ไมตองระบหนวย 3. การหาอตราสวนทเทากน สามารถทาได 2 วธ คอ

3.1 โดยใชหลกการคณ เมอคณแตละจานวนในอตราสวนใดดวยจานวนเดยวกน โดยทจานวนนนไมเทากบศนยแ จะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม เชน

5

4 = 25

24

= 10

8

3.2 โดยใชหลกการหาร เมอหารแตละจานวนในอตราสวนใดดวยจานวนเดยวกน โดยทจานวนนนไมเทากบศนยแ จะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม เชน

15

12 = 315

312

= 5

4

4. สดสวน คอ ประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวน 5. รอยละ หรอเปอรแเซนตแ คอ อตราสวนแสดงการเปรยบเทยบปรมาณใดปรมาณหนง ตอ 100

6. การเขยนอตราสวนใหอยในรปรอยละ จะตองเขยนอตราสวนนนใหอยในรปทมจานวนหลงของอตราสวนเปน 100 แลว จะไดจานวนแรกของอตราสวนเปนคาของรอยละทตองการ

7. การเขยนรอยละใหเปนอตราสวน ทาไดโดยการเขยนเปนอตราสวนทมจานวนแรกเปน

คาของรอยละ และจานวนหลงเปนรอย 100 เชน 35 % = 100

35



ตวอยางท 1 รปสามเหลยมรปหนงมอตราสวนของความยาวของดานทงสามเปน 2 : 5 : 6 ถาดานทสนทสด ยาว 8 เซนตเมตร จงหาความยาวรอบรป แนวคด ในอตราสวนทกาหนดให 2 : 5 : 6 เปนความยาวดานทสนทสด

ถาตองการใหดานทสนทสดยาวเปน 8 จะตองนา 4 มาคณทกจานวนในอตราสวน จะได 2 : 5 : 6 = 24 : 54 : 64

= 8 : 20 : 24 ดงนน ความยาวรอบรปเทากบ 8 + 20 + 24 = 52 เซนตเมตร ตอบ ความยาวรอบรปเทากบ 52 เซนตเมตร

ตวอยางท 2 จงหาคาของ c ในสดสวน 5

4 = 35

c

แนวคด เนองจาก 5

4 = 75

74

= 35

28

จะได 35

28 = 35

c

ดงนน คาของ c = 20

ตอบ c เทากบ 20

ตวอยางท 3 พรซอทดนแปลงหนง จายเงนมดจาไป 36,000 บาท คดเปน 30 % ของราคา ทดนแปลงน จงหาวาทดนแปลงนราคาเทาไร แนวคด ใหพรซอทดนแปลงนราคา x บาท จายเงนมดจาไป 36,000 บาท

เงนมดจาทจายไปคดเปน 30 % = 100

30

เขยนสดสวนไดดงน x

000,36 = 100

30

จะได 36,000 100 = 30

x = 30

100000,36

ดงนน x = 120,000 ตอบ พรซอทดนแปลงนราคา 120,000 บาท



ตอนท 1 จงเลอกขอทถกทสด

1. อตราสวนคใดเปนอตราสวนทเทากน ก. 2 : 3 และ 38 : 58 ค. 5 : 7 และ 65 : 81 ข. 3 : 4 และ 51 : 68 ง. 4 : 5 และ 44 :65 2. อตราสวนทเปน 7 เทาของอตราสวน 9 : 13 คอขอใด ก. 49 : 81 ค. 56 : 81 ข. 6 : 91 ง. 63 : 91 3. ถา 5 : A = 70 : 98 ตวแปร A มคาเทากบขอใด ก. 5 ค. 6 ข. 7 ง. 14

ตอนท 2 จงหาค าตอบ

1. ปยชนดหนงมอตราสวนผสมโดยนาหนกของไนโตรเจน ฟอสฟอรส โพแทสเซยมและสวนผสม อน ๆ เปน 1 : 2 : 1 : 6 ตามลาดบ จงหาวาปยชนดนหนก 1 ตน จะมไนโตรเจน ฟอสฟอรส โพแทสเซยม และสวนผสมอน ๆ อยางละกกโลกรม

ตอบ ………………………………………………………………….

2. ชางรบเหมาทาโต฿ะ และมานงนกเรยนใหแกโรงเรยนแหงนงเปนเงน 24,000 บาท ปรากฏวามกาไร 20 % อยากทราบวาตนทนของการทาโต฿ะและมานงเปนเทาไร

ตอบ ………………………………………………………………….


มาตรฐาน ค 1.2 เขาใจถงผลทเกดขนจากการด าเนนการของจ านวนและความสมพนธ ระหวางการด าเนนการตางๆ และใชการด าเนนการในการแกปญหา

ตวชวดชนป ม.1/1 บวก ลบ คณ หาร จานวนเตม และนาไปใชแกปญหา ตระหนกถงความสมเหตสมผลของ

คาตอบ อธบายผลทเกดขนจากการบวก การลบ การคณ การหาร และบอก

สงทนกเรยนตองร 1. การบวก ลบ คณ หาร จานวนเตม ใหหาผลลพธแในวงเลบกอน แลวจงนาไปบวก ลบ คณ

หรอหารกบจานวนนอกวงเลบ 2. สมบตของ 1 และ 0 2.1 จานวนใดคณกบ 1 จะไดจานวนนน (เรยก 1 วา เอกลกษณแการคณ) 2.2 จานวนใดหารดวย 1 จะไดจานวนนน 2.3 จานวนใดบวกกบ 0 จะไดจานวนนน (เรยก 0 วา เอกลกษณแการบวก) 2.4 จานวนใดคณกบ 0 จะได 0 เสมอ 2.5 0 หารจานวนใดๆ ทไมใช 0 จะได 0 เสมอ 2.6 จานวนใดๆ หารดวย 0 จะไมมความหมายทางคณตศาสตรแ 2.7 ถาผลคณของจานวนสองจานวนใดๆ เทากบ 0 แลวจานวนใดจานวนหนง อยางนอยหนงจานวนตองเปน 0 แนๆ


จงหาผลลพธแตอไปน 1. 12463 = 89 = 89 = 1

2. 1524016144 = 169

= 169 = 25


3. 245

1147

= 25

77

= 25

77

= 3

0

= 0



1. 24798 = …………………………………………….

2. 3283 = …………………………………………….

3. 54260 = …………………………………………….

4. 7473 = …………………………………………….

5.

4

1212

6

257 = …………………………………………….



บวก ลบ คณ หาร เศษสวน และทศนยม และนาไปใชแกปญหา ตระหนกถงความ สมเหตสมผลของคาตอบ อธบายผลทเกดขนจากการบวก การลบ การคณ การหาร และบอกความสมพนธแของการบวกกบการลบ การคณกบการหารของเศษสวน และทศนยม


การบวก ลบ คณ หาร เศษสวน 1. การบวกหรอการลบเศษสวนทมตวสวนไมเทากน ตองทาตวสวนใหเทากนกอน โดยการ

หา ค.ร.น. ของตวสวนทงหมด 2. การคณเศษสวนใหนาตวเศษคณตวเศษ ตวสวนคณตวสวน 3. การหารเศษสวน ใหกลบเศษเปนสวนของตวหาร แลวนาไปคณกบตวตง

4. การบวก ลบ คณ หารเศษสวนทเปนจานวนคละ ใหเขยนจานวนคละในรปเศษเกนกอน แลวจงหาผลลพธแนน 5. การบวก ลบ คณ หาร เศษสวน ใหหาผลลพธแในวงเลบกอน แลวจงนาไปบวก ลบ คณ หรอหารกบจานวนนอกวงเลบ 6. การทอนเศษสวนใหเปนเศษสวนอยางตา ตองดวาตวเลขใดทหารไดทงเศษและสวนในเบองตนและควรตองรตรงนกอน 6.1 จานวนเตมใดๆ หารดวย 1 ลงตวเสมอ 6.2 จานวนทหารดวย 2 ลงตว ตองลงทายดวยเลขค (อยาลม 0 กเปนเลขคดวย) 6.3 จานวนทหารดวย 3 ลงตว มขอสงเกต คอ ผลบวกของเลขโดดของเลขจานวนนน หารดวย 3 ลงตว เชน 3,651 เรานา 3+6+5+1 = 15 ซงหารดวย 3 ลงตว ดงนน 3,651 หารดวย 3 ลงตวดวย 6.4 จานวนทหารดวย 4 ลงตว มขอสงเกต คอ ถาเลข 2 ตวทายหารดวย 4 ลงตว หรอลงทายดวย 0 สองตว จะหารดวย 4 ลงตวดวย เชน 1,516 จะเหนวา 16 หารดวย 4 ลงตว ดงนน 1,516 หารดวย 4 ลงตวดวย 6.5 จานวนทหารดวย 5 ลงตว จะลงทายดวย 5 หรอ 0 6.7 จานวนทหารดวย 6 ลงตว ตองเปนเลขคทหารดวย 3 ลงตว 6.8 จานวนทหารดวย 9 ลงตว ผลบวกของเลขโดดตองหารดวย 9 ลงตว 6.10 จานวนทหารดวย 10 ลงตว เลขตวทายตองเปน 0


การบวก ลบ คณ หารทศนยม 1. การบวกและการลบทศนยม จะตองตงจดทศนยมใหตรงกนกอน แลวคอยหาผลบวกหรอผลลบนน 2. การคณทศนยม ใหคณเหมอนกบเลขทวไป แตจานวนตาแหนงทศนยมของผลลพธแทได จะมาจากการนบจานวนตาแหนงทศนยมของตวตงและตวคณรวมกน 3. การหารทศนยม ตองเปลยนตวหารใหเปนจานวนเตมกอน โดยการเลอนจดทศนยม แลวจงหาผลหารนน 4. การบวก ลบ คณ หาร ทศนยม ใหหาผลลพธแในวงเลบกอน แลวจงนาไปบวก ลบ คณ หรอหารกบจานวนนอกวงเลบ


บอยมเสอสแดง สขาว และสเหลอง โดยมเสอสแดง 5

1 ของเสอทงหมด เสอสขาว 10

9

ของเสอนอกเหนอจากสแดง บอยมเสอสเหลองคดเปนเศษสวนเทาไรของเสอทงหมด

แนวคด บอยมเสอสแดง 5

1 ของเสอทงหมด

แสดงวาเหลอเสอทไมใชสแดง 5


มเสอขาว 10

9 ของเสอนอกเหนอจากสแดง

ซงคดเปน 5

4

10

9 =

25


ดงนน บอยมเสอสเหลองคดเปน 25

18

5

11 =

25


= 25


ตอบ บอยมเสอสเหลองคดเปน 25





1. 08.06.125.0 = ………………………………………………..

2. 176.479.679.6 = ………………………………………………..

3.

89.011.1

1.05.0

78.532.44 = ………………………………………………..

4.

3

21

7

66

9

52 มคาเปนกเทาของ

231

132

5. ถาเขยน 17

23 ในรป

cb

a1

1

11

โดยท cba ,, เปนจานวนเตมแลว abc มคาเทาใด

6. ฟารแมแหงหนงเลยงมา วว สกรและแพะรวม 000,2 ตว เลยงมา 4

1 ของจานวนสตวแทงหมด

เลยงวว 5

1 ของจานวนมา เลยงสกร 8

3 ของสตวแทเหลอ ฟารแมเลยงแพะกตว



อธบายผลทเกดขนจากการยกกาลงของจานวนเตม เศษสวน และทศนยม

สงทนกเรยนตองร ถา a เปนจานวนใดๆ และ n เปนจานวนเตมบวก แลว a ยกกาลง n หรอ na

มความหมายดงน aaaaan ... n ตว เรยก na วา เลขยกกาลงทม a เปนฐาน และ n เปนเลขชกาลง


1. 3

3

2

=

3

2

3

2

3

2

=

27

8

2. 3

23

=

3

222

=

3

8

3. 3

24 = 3

2222

= 3

16

4. 2)3.1( = 3.13.1 = 69.1



จงเขยนจ านวนตอไปนในรปเลขยกก าลง

1) 22222 = ..................................................................

2) )7()7()7()7( = ..................................................................

3) )()()( xyxyxy = ..................................................................

4) 5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

= .................................................................

5) 000,100 = ..................................................................

6) 0081.0 = ..................................................................

7) 243 = ..................................................................

8) 625 = ..................................................................

9) )1.0()1.0()1.0( = ..................................................................

10) 88888 = ..................................................................



คณและหารเลขยกกาลงทมฐานเดยวกน และเลขชกาลงเปนจานวนเตม

สงทนกเรยนตองร สมบตของเลขยกกาลง

กาหนดให a , b แทนจานวนใดๆ ทไมใชศนยแ และให m , n แทนจานวนเตมบวก จะได

1. 10 a

2. n

n

aa

1

3. nmnm aaa

4. nmnm aaa

5. nmmn aa

6. nnnbaab

7. n

nn

b

a

b

a


1. 855 222562

852

132 ตอบ 132

2. 433 )5()5(625)5( (เนองจาก 625)5( 4 )

43)5(

7)5( ตอบ 7)5(


3. babababa 532532

bbaa 352

1352 ba

47ba ตอบ 47ba

4. 3

3

5

5

วธท 1 555

555

5

53

3

1

วธท 2 33

3

3

55

5

05

1 ตอบ 1

5. 5

5

a

a เมอ 0a

วธท 1 aaaaa

aaaaa

a

a5

5

1

วธท 2 55

5

5

aa

a

0a

1 ตอบ 1


6. จงหาผลลพธแของ nn

nn

33

39351

11

แนวคด nn

nn

33

39351

11

= 133

39353 1

n

n

=

13

3

1935

= 2

315

= 2

12

= 6

ตอบ 6


1. เขยนจานวนตอไปนในรปเลขยกกาลง

1) 31015 222 )()()( = .....................................................

2) 43510 baba = .....................................................

3) 57

6

5

6

5

= .....................................................

4)

nmx,x

xn

m

0 = .....................................................

2. หาผลลพธแของ 136313 5512525 nnn

3. ในบรเวณหนงมแบคทเรยเฉลย 3104.6 ตวตอตารางเซนตเมตร ถาพนทของบรเวณนเทากบ

7.2 ตารางเมตร จานวนแบคทเรยทงหมดในบรเวณนเทากบกตว


ตวชวดชนป ม.2/1 หารากทสอง และรากทสามของจานวนเตม โดยการแยกตวประกอบ และนาไปใชในการ

แกปญหา พรอมทงตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบ

สงทนกเรยนตองร 1. รากทสองของจานวนจรงบวกม 2 จานวน คอ จานวนบวกและจานวนลบซงเปนจานวนตรงขามกน 2. รากทสองของ 0 ม 1 จานวน คอ 0 3. รากทสองอาจเปนจานวนตรรกยะหรอจานวนอตรรกยะอยางใดอยางหนง พจารณาไดดงน 3.1 ถาสามารถหาจานวนใดๆ ทยกกาลงสองแลวมคาเทากบจานวนทตองการหารากทสอง รากทสองของจานวนนนเปนจานวนตรรกยะ เชน 09.03.0 2 รากทสองของ 0.09 เปนจานวนตรรกยะ 3.2 ถาไมสามารถหาจานวนใดๆ ทยกกาลงสองแลวมคาเทากบจานวนทตองการหารากทสอง รากทสองของจานวนนนเปนจานวนอตรรกยะ เชน ไมสามารถหาจานวนใดๆ ทยกกาลงสองแลวมคาเทากบ 10 รากทสองของ 10 เปนจานวนอตรรกยะ ซงเขยนในรกรณฑแทสอง คอ 10 4. การหารากทสองโดยการแยกตวประกอบ มขนตอนดงน 4.1 แยกตวประกอบของจานวนทตองการหารากทสอง 4.2 จดใหตวประกอบอยในรปวงเลบยกกาลงสองหรอ 2 4.3 รากทสอง คอ ผลคณของจานวนในวงเลบ 5. การหารากทสามโดยการแยกตวประกอบ มขนตอนดงน 5.1 แยกตวประกอบของจานวนทตองการหารากทสาม 5.2 จดใหตวประกอบอยในรปวงเลบยกกาลงสามหรอ 3 5.3 รากทสาม คอ ผลคณของจานวนในวงเลบ


ตวอยางท 1 จงหารากทสองของ 400 โดยการแยกตวประกอบ

แนวคด เนองจาก 552222400 2522 220 และ 220400 ตอบ รากทสองของ 400 คอ 20 และ -20


ตวอยางท 2 จงหารากทสามของ 64 โดยการแยกตวประกอบ แนวคด เนองจาก 22222264 44464 3464 ตอบ รากทสามของ 64 คอ 4

ตวอยางท 3 แจกนทรงกระบอกใบหนงมปรมาตรประมาณ 192.5 ลกบาศกแเซนตเมตร แจกนใบนม ความสง 5 เซนตเมตร และสตรการหาปรมาตรทรงกระบอกเทากบ hr 2 เมอ r แทนความยาวของรศม และ h แทนความสง จงหาวาแจกนใบนมรศมยาว

กเซนตเมตร (กาหนด 7

22 )

แนวคด จากสตรปรมาตรทรงกระบอก = hr 2

จะได 192.5 57

22 2 r

2r 522

75.192

2r 25.12 2r 25.3 r 5.3,5.3 เนองจาก r เปนความยาวของรศมของวงกลม จงใชเฉพาะจานวนบวก ตอบ แจกนใบนมรศมยาวประมาณ 3.5 เซนตเมตร

แบบฝกหด ชดท 11 (ค 1.2 ม.2/1) จงตอบค าถามตอไปน 1. จงหารากทสองของ 625 โดยการแยกตวประกอบ 2. จงหารากทสามของ -216 โดยการแยกตวประกอบ

3. 196

25 มคาเทาใด

4. ตดกระดาษรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 5 เซนตเมตร ถาตดกระดาษนเปนรปสามเหลยมสองรป ตามแนวเสนทแยงมม จงหาวาเสนทแยงมมยาวประมาณกเซนตเมตร 5. แทงกแใสนาทรงลกบาศกแมความยาวดานละ 70 เซนตเมตร ถาตองการสรางแทงกแนาใหมปรมาตร เปนแปดเทาของแทงกแนาใบน จะตองสรางแทงกแนาใหมดานยาวดานละกเซนตเมตร 6. ลกบาศกแมปรมาตร 343 ลกบาศกแเซนตเมตร ลกบาศกแมความยาวดานละเทาใด


ตวชวดชนป ม.2/2 อธบายผลทเกดขนจากการหารากทสองและรากทสามของจานวนเตม เศษสวน และทศนยม

บอกความสมพนธแของการยกกาลงกบการหารากของจานวนจรง

สงทนกเรยนตองร 1. สมบตของรากทสอง

1.1 2

1

xx

1.2 2

n

n xx โดยท n > 1

1.3 xxx 22

1.4 xx 2

1.5 xyyx เมอ x และ y 0

1.6 y

x

y

x เมอ x 0 และ y > 0

2. รปอยางงายของรากท 2 เปนการเปลยนจานวนซงมคามากและอยในรากทสองใหเปน

จานวนทนอยลงโดยใชสมบต xx 2 เชน 35 เปนรปอยางงายของ 75 3. การบวกและการลบรากทสอง มหลกการ ดงน 3.1 ถารากทตองการบวกหรอลบมจานวนภายในรากตางกน ใหเปลยนจานนวนภายในรากใหเหมอนกนโดยใชหลกการทาใหอยในรปอยางงายของรากทสอง 3.2 ถารากทตองการบวกหรอลบมจานวนภายในรากเทากน ใหนาจานวนซงคณกบราก มาบวกหรอลบกน 4. การคณและการหารรากทสอง มหลกการ ดงน 4.1 ถารากทตองการคณหรอหารไมอยในรปอยางงาย ใหเปลยนรากนนเปนรปอยางงาย 4.2 ถาจานวนใดมตวหารอยในรปของราก ใหเปลยนเปนจานวนเตมโดยคณดวย

x

x โดยท x คอ จานวนภายในรากของตวหาร เชน 6

3 เปลยนเปน 6

63

6

6

6

3

หรอ 2

6

4.3 การคณหรอการหารใหนาจานวนซงคณกบรากมาคณหรอหารกน และนารากมาคณหรอหารกน


5. ความสมพนธแของรากกบการยกกาลง คอ n

m

n m xx


ตวอยางท 1 ถา 5363 x แลว จงหาคาของ x แนวคด 3 36 x = 5

33 36 x = 35 x36 = 125 x = 12536 x = 89 ดงนน ถา 5363 x แลว คาของ x คอ 89 ตอบ x คอ 89

ตวอยางท 2 จงหาผลลพธแของ 7

273632

แนวคด 7

273632 =

7

7

7

27376

= 7

727376

= 7

7279

= 7

72763

= 7

761

ดงนน 7

273632 =

7

761

ตอบ 7

761



1. จงหาผลลพธแของ 3

3243

6

3482

2. จงหาผลลพธแของ

9

625

125

273

3. ถา y เปนจานวนจรง และ 4y3 = 1,372 แลว y มคาเทาไร 4. ถา x เปนจานวนจรง และ 14x แลว x มคาเทาไร

5. ถา z เปนจานวนจรง และ 155

62

z แลว z มคาเทาไร


มาตรฐาน ค 1.3 ใชการประมาณคาในการค านวณและแกปญหา

ตวชวดชนป ม.1/1 ใชการประมาณคาในสถานการณแตางๆ ไดอยางเหมาะสม รวมถงใชในการพจารณา

ความสมเหตสมผลของคาตอบทไดจากการคานวณ

สงทนกเรยนตองร 1. การประมาณคาใชเครองหมาย 2. การปดเศษเมอเปนจานวนเตม ใหพจารณาตวเลขในหลกทตากวาหลกทตองการปดเศษ

หนงหลก ถาตวเลขเปน 0 – 4 ใหปดทง ถาเปนตวเลข 5 – 9 ใหปดขน 3. การปดเศษเมอเปนทศนยม ใหพจารณาตวเลขในทศนยมในตาแหนงทตากวาตาแหนงท

ตองการปดเศษหนงตาแหนง ถาตวเลขเปน 0 – 4 ใหปดทง ถาเปนตวเลข 5 – 9 ใหปดขน 4. ถาตองการหาคาประมาณโดยการปดเศษ สามารถทาไดดงน 4.1 หาคาประมาณของแตละจานวนทโจทยแกาหนดโดยวธการปดเศษเปนจานวน

เตมหนวย จานวนเตมสบ จานวนเตมรอย และจานวนเตมอนๆ ตามความเหมาะสมของสถานการณแ 4.2 นาคาประมาณทไดจากขอ 4.1 มาคานวณหาผลลพธแตามทโจทยแตองการ

โจทยตวอยาง จงหาคาประมาณเปนจานวนเตมรอยของ 78.24190,3816,1

แนวคด ขนท 1 เนองจากการประมาณนเกยวของกบการหารและตองการผลลพธแ เปนจานวนเตม หาคาประมาณเปนจานวนเตมรอยของ 1,816 กบ 3,190 ไดดงน 800,1816,1 200,3190,3

หาคาประมาณเปนจานวนเตมของ 24.78 ไดดงน 2578.24

ขนท 2 คานวณหาผลลพธแ 78.24190,3816,1 25200,3800,1

25000,5

200

ดงนน 78.24190,3816,1 200



จงหาค าตอบ

1. จงหาคาประมาณของ 85.41.3

6.204.41

2. จงหาคาประมาณของ

7

33

8

5

4

3

3. ณเดชใชเงนไป 9.75% ของจานวนเงนทมอย ถาณเดชมเงน 65,670 บาท ณเดชใชเงน

ประมาณกบาท

4. กลองใบหนงมฐานกวาง 63 เซนตเมตร ยาว 48 เซนตเมตร มปรมาตร 74,999 ลกบาศกแเซนตเมตร กลองใบนสงประมาณกเซนตเมตร

5. เตขบรถดวยอตราเรว 97 กโลเมตรตอชวโมง เปนเวลา 2.08 ชวโมง ตาขบรถดวยอตราเรว 72 กโลเมตรตอชวโมง เปนเวลา 4.97 ชวโมง ตาขบรถไกลกวาเตประมาณ กกโลเมตร



หาคาประมาณของรากทสอง และรากทสาม ของจานวนจรง และนาไปใชในการแกปญหา พรอมทงตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบ

สงทนกเรยนตองร 1. การหาคาประมาณของรากทสอง สามารถทาไดดงน 1.1 หาจานวนเตมบวกสองจานวนทเรยงกน ซงกาลงสองของจานวนทงสอง ตองม

จานวนทนอยกวากบจานวนทมากกวาจานวนทตองการหาคารากทสอง และมคาใกลเคยงจานวน ทตองการหาคารากทสองมากทสด

1.2 หาคาเฉลยของจานวนทไดจากขอ 5.1 แลวนาคาเฉลยทไดมายกกาลงสอง พจารณาวามากหรอนอยกวาจานวนทตองการหารากทสอง ถามากกวา ใหนาจานวนทนอยกวากบจานวนทเปนคาเฉลยมาหาคาเฉลย

แลวนาไปยกกาลงสองอก ถานอยกวา ใหนาจานวนทเปนคาเฉลยกบจานวนทมากกวามาหาคาเฉลย

แลวนาไปยกกาลงสองอก 1.3 ทาตามขอ 5.2 ซาอกจนไดจานวนทมคาใกลเคยงกบจานวนทนามาหา

รากทสอง 2. การหาคาประมาณของรากทสาม สามารถทาไดโดยใชวธการเดยวกนกบการหา

คาประมาณของรากทสอง


จงหาคาประมาณของ 12 (ตอบเปนทศนยมสองตาแหนง) แนวคด ขนท 1 เนองจาก 932 และ 1642

จะไดวา 12 มคาอยระหวาง 3 และ 4

ขนท 2 หาคาเฉลยของ 3 และ 4 ได 3.5 นา 3.5 ไปยกกาลงสองได 12.25 ซงมคามากกวา 12 ดงนน นา 3 และ 3.5 มาหาคาเฉลยได 3.25 ขนท 3 นาคาเฉลยทไดจากขนท 2 (3.25) ไปยกกาลงสองได 10.5625 ซงมคานอยกวา 12 ดงนนนา 3.25 และ 3.5 มาหาคาเฉลย ได 3.375 จากนนทาขนท 3 ซาอกจนไดจานวนทมคาใกลเคยงกบ

จานวนทนามาหารากทสอง


3.375 3.5

คาเฉลย = 3.4375

8164.114375.32

3.4375 3.5

คาเฉลย = 3.46875

032.1246875.32

ดงนน 46875.312 แตโจทยแตองการคาตอบเปนทศนยมสองตาแหนง

ตอบ 46.312


จงหาคาประมาณของจ านวนตอไปน (ตอบเปนทศนยมสองต าแหนง)

1. 14 = ……………………………………………………

2. 20 = ……………………………………………………

3. 24 = ……………………………………………………

4. 35 = ……………………………………………………

5. 3 12513 = ……………………………………………………


มาตรฐาน ค 1.4 เขาใจระบบจ านวนและน าสมบตเกยวกบจ านวนไปใช


นาความรและสมบตเกยวกบจานวนเตมไปใชในการแกปญหา


1. สมบตของจ านวนเตม 1.1 สมบตการสลบทการบวก เมอมจานวนเตมสองจานวนบวกกน สามารถสลบท

ระหวางตวตงและตวบวก โดยทผลลพธแมคาเทากน เชน 2 + 3 = 3 + 2 = 5 2 + (-3) = (-3) + 2 = -1

นนคอ ถา a และ b แทนจานวนใด ๆ แลว a + b = b + a 1.2 สมบตการสลบทการคณ เมอมจานวนเตมสองจานวนคณกน สามารถสลบท

ระหวางตวตงและตวคณ โดยทผลลพธแมคาเทากน เชน 2 × 3 = 3 × 2 = 6 2 × (-3) = (-3) × 2 = - 6

นนคอ ถา a และ b แทนจานวนใด ๆ แลว a × b = b × a 1.3 สมบตการเปลยนหมการบวก เมอมจานวนเตมสามจานวนบวกกน สามารถบวก

จานวนเตมคแรกหรอคหลงกอนกได โดยทผลลพธแมคาเทากน เชน 498 = 498 = 5

นนคอ ถา a ,b และ c แทนจานวนใด ๆ แลว ( a + b) + c = a + (b + c) 1.4 สมบตการเปลยนหมการคณ เมอมจานวนเตมสามจานวนคณกน สามารถคณ

จานวนเตมคแรกหรอคหลงกอนกได โดยทผลลพธแมคาเทากน เชน 352 = 352 = 30

นนคอ ถา a ,b และ c แทนจานวนใด ๆ แลว ( a × b) × c = a × (b × c) 1.5 สมบตการแจกแจง เปนสมบตทแสดงความเกยวของระหวางการบวกและการคณ

ทกลาววา ถา a ,b และ c แทนจานวนใด ๆ แลว a × ( b+ c) = ( a × b) + ( a × c) และ ( b+ c) × a = ( b × a) + ( c × a) เชน 357 = 3757 = 14 และ 735 = 7375 = 14


1.6 สมบตของหนง 1.6.1 การคณจานวนใดๆ ดวยหนงหรอคณหนงดวยจานวนใดๆ จะไดผลคณ

เทากบจานวนนน เชน 5 × 1 = 1 × 5 = 5 (-3) × 1 = 1 × (-3) = - 3

1.6.2 การหารจานวนใด ๆ ดวยหนงหรอหารหนงดวยจานวนใด ๆ จะไดผลหาร

เทากบจานวนนน เชน = 27

1

35 = 35

นนคอ ถา a แทนจานวนใด ๆ แลว a × 1 = 1 × a = a 1.7 สมบตของศนยแ

1.7.1 การบวกจานวนใด ๆ ดวยศนยแหรอบวกศนยแดวยจานวนใด ๆ จะไดผลบวกเทากบจานวนนน เชน 5 + 0 = 0 + 5 = 5 (-13) + 0 = 0 + (-13) = - 13 1.7.2 การคณจานวนใด ๆ ดวยศนยแหรอคณศนยแดวยจานวนใด ๆ จะไดผลคณ เทากบจานวนศนยแ เชน 7 × 0 = 0 × 7 = 0 (-25) × 0 = 0 × (-25) = 0 นนคอ ถา a แทนจานวนใด ๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0

2. การหาห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ านวนนบ 2.1 การหา ห.ร.ม. ของจานวนนบตงแตสองจานวนขนไปเปนการหาตวหารรวมหรอ

ตวประกอบรวมทมากทสดของจานวนนบเหลานน เราจงอาศยการหาตวประกอบรวม ในการหา ห.ร.ม. ซงม 3 วธ คอ 2.1.1 โดยการพจารณาตวประกอบ 2.1.2 โดยการแยกตวประกอบ 2.1.3 โดยการตงหาร 2.2 การหา ค.ร.น. ของจานวนนบตงแตสองจานวนขนไปเปนการหาจานวนนบทหารดวยจานวนนบทกาหนดใหลงตว ซงเรยกวา พหคณของจานวนนบทกาหนดใหนน ม 3 วธ คอ 2.2.1 โดยการพจารณาพหคณ 2.2.2 โดยการแยกตวประกอบ 2.2.3 โดยการตงหาร



ตวอยางท 1 จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 45 โดยการพจารณาตวประกอบ แนวคด ตวประกอบของ 30 ไดแก 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30 ตวประกอบของ 45 ไดแก 1, 2, 3, 5, 9, 15 และ 45

ตวประกอบของ 30 และ 45 ไดแก 1, 3, 5, และ 15 ตวประกอบรวมทมากทสดของ 30 และ 45 คอ 15

ดงนน ห.ร.ม. ของ 30 และ 45 คอ 15 ตอบ ห.ร.ม. ของ 30 และ 45 คอ 15

ตวอยางท 2 จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 โดยการแยกตวประกอบ แนวคด 18 = 2 × 3 × 3

30 = 2 × 3 × 5 ตวประกอบรวมของ 18 และ 30 ไดแก 2, 3 ตวประกอบรวมทมากทสดของ 18 และ 30 คอ 2 × 3 = 6

ดงนน ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 คอ 6 ตอบ ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 คอ 6

ตวอยางท 3 จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48 โดยการตงหาร

แนวคด 2) 24 36 48 2) 12 18 249

3) 6 9 12 2 3 4 ดงนน ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48 คอ 2 × 2 × 3 = 12 ตอบ ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 48 คอ 12

ตวอยางท 4 จงหาจานวนนบทมากทสดทหาร 15, 23 และ 31 แลวเหลอเศษ 1, 2, และ 3 ตามลาดบ แนวคด จานวนนบทหาร 15 แลวเหลอเศษ 1 จะเปนจานวนทหาร 15 – 1 หรอ 14 ลงตว จานวนนบทหาร 23 แลวเหลอเศษ 2 จะเปนจานวนทหาร 23 – 2 หรอ 21 ลงตว

จานวนนบทหาร 31 แลวเหลอเศษ 3 จะเปนจานวนทหาร 31 – 3 หรอ 28 ลงตว จานวนนบทมากทสดทหาร 14, 21 และ 28 ลงตวจะเปน ห.ร.ม. ของ 14, 21 และ 28 หา ห.ร.ม. ของ 14, 21 และ 28 ไดดงน


7) 14 21 28 2 3 4 ห.ร.ม. ของ 14, 21 และ 28 คอ 7 ตอบ จานวนนบทมากทสดทหาร 15, 23 และ 31 แลวเหลอเศษ 1, 2, และ 3 ตามลาดบ คอ 7

ตวอยางท 5 จงหา ค.ร.น. ของ 8 และ 12 โดยการพจารณาพหคณ แนวคด เนองจาก 8, 16, 24, 32, 40, 48,.. เปนพหคณของ 8

12, 24, 36, 48,,.. เปนพหคณของ 12 จะเหนวา 24, 48,... เปนพหคณของ 8 และ 12

24 เปนพหคณรวมทนอยทสดของ 8 และ 12 ดงนน ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คอ 24 ตอบ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คอ 24

ตวอยางท 6 จงหา ค.ร.น. ของ 6 และ 20 โดยการแยกตวประกอบ แนวคด แยกตวประกอบของ 6 และ 20 ไดดงน

6 = 2 × 3 20 = 2 × 2 × 5 จากการแยกตวประกอบของ 6 และ 20 จะเหนวา พหคณรวมทนอยทสดของ 6 และ 20 คอ 2 × 2 × 3 × 5 = 60 ดงนน ค.ร.น. ของ 6 และ 20 คอ 60 ตอบ ค.ร.น. ของ 6 และ 20 คอ 60

ตวอยางท 7 จงหา ค.ร.น. ของ 8, 30 และ 42 โดยการตงหาร แนวคด 2) 8 30 42 3) 4 15 21

4 5 7 ดงนน ค.ร.น. ของ 8, 30 และ 42 คอ 2 × 3 × 4 × 5 × 7 = 840 ตอบ ค.ร.น. ของ 8, 30 และ 42 คอ 840


ตวอยางท 8 จงหาจานวนนบทนอยทสดทหาร 36, 54 และ 63 แลวเหลอเศษ 7 ทกจานวน แนวคด จานวนนบทนอยทสดทหาร 36, 54 และ 63 ลงตว คอ ค.ร.น. ของ 36, 54 และ 63

แตตองการหาจานวนนบทนอยทสดซงหารดวย 36, 54 และ 63 แลวเหลอเศษ 7 จานวนนบทตองการหาจงตองมากกวา ค.ร.น. ของทงสามจานวนอย 7 เนองจาก ค.ร.น. ของ 36, 54 และ 63 คอ 756 ดงนน จานวนนบทนอยทสดทหาร 36, 54 และ 63 แลวเหลอเศษ 7 คอ 756 + 7 = 763 ตอบ จานวนนบทนอยทสดทหาร 36, 54 และ 63 แลวเหลอเศษ 7 คอ 763



ตอนท 1 จงเตมจ านวนเตมใหประโยคเปนจรง

1) 2 + 305 = 305 + …….

2) 2 + (-93) = ……. + 2

3) 57 × 28 = …… × 57

4) 25 × (-63) = (-63) × ……..

5) 4928 = 4........28

6) 3457 = .........7457

7) 875 × 1 = …………

8) (-255) × 0 = …………

9) (-113) + 0 = …………

10) 1

2735

= …………


ตอนท 2 จงเลอกค าตอบทถกทสด

1) ปอกมเงนมากกวาแดง 10 บาท แดงมเงนมากกวานก 15 บาท ถาปอก แดง และ นก มเงนรวมกน 55 บาท แดงจะมเงนเทาไร ก. 20 บาท ค. 25 บาท ข. 30 บาท ง. 35 บาท

2) จานวนนบทนอยทสด ซงเมอหารดวย 18, 24 และ 36 แลวเหลอเศษ 5 ทกจานวน คอขอใด ก. 72 ค. 77 ข. 95 ง. 101

3) ขอใดเปนจานวนเฉพาะของจานวนนบตงแต 14 ถง 32 ก. 15 ค. 21

ข. 29 ง. 32

4) จานวนนบทมากทสดซงนาไปหาร 53, 80 และ 101 แลวเหลอเศษ 2 ทกจานวน คอจานวนใด ก. 2 ค. 3 ข. 6 ง. 9

5) ถา A เปนตวหารรวมมากของ 36 และ 54 และ B เปนตวคณรวมนอยของ 36 และ 54 แลว B ÷ A จะมคาเปนเทาไร

ก. 3 ค. 6 ข. 9 ง. 12


ตวชวดชนป ม.2/1 บอกความเกยวของของจานวนจรง จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

สงทนกเรยนตองร 1. จานวนจรง คอ จานวนทเปนจานวนตรรกยะ หรอจานวนอตรรกยะ 2. จานวนเตม ประกอบดวย จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และศนยแ 3. จานวนตรรกยะ คอ จานวนทสามารถเขยนแทนไดดวยทศนยมซาหรอเศษสวนได 4. จานวนอตรรกยะ คอ จานวนทไมสามารถเขยนแทนไดดวยทศนยมซาหรอเศษสวนได

เชน 3 , 10 , เปนตน


เตมเครองหมาย √ หนาขอทถกตอง หรอเครองหมาย × หนาขอทไมถกตอง

……×…… 1. 17 เปนจานวนอตรรกยะ แตไมเปนจานวนจรง

……×….. 2. ทศนยมทกจานวนเปนจานวนตรรกยะ

……×….. 3. กรณฑแซงไมสามารถหาคาทแนนอน ไมเปนจานวนจรง

……×…… 4. ทศนยมไมซาบางจานวนเปนจานวนอตรรกยะ

……√…… 5. ถาจานวนใดไมเปนจานวนตรรกยะตองเปนจานวนอตรรกยะเสมอ


เตมเครองหมาย √ หนาขอทถกตอง หรอเครองหมาย × หนาขอทไมถกตอง

…………… 1. จานวนทกจานวนเปนจานวนจรง …………… 2. ทศนยมไมซาเปนจานวนอตรรกยะ …………… 3. จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนอตรรกยะ …………… 4. 49 ไมเปนจานวนอตรรกยะ แตเปนจานวนจรง

…………… 5. ไมเปนจานวนอตรรกยะเพราะมคาเทากบ 7

22


สาระท 2 การวด

มาตรฐาน ค. 2.1 เขาใจพนฐานเกยวกบการวด วดและคาดคะเนขนาดของสงของทตองการวด ตวชวดชนป ม.2/1 เปรยบเทยบหนวยความยาว หนวยพนทในระบบเดยวกน และตางระบบ และเลอกใชหนวยการวดไดอยางเหมาะสม

สงทนกเรยนตองร 1. หนวยความยาว

หนวยความยาวในระบบเมตรก 10 มลลเมตร เทากบ 1 เซนตเมตร 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร 1,000 เมตร เทากบ 1 กโลเมตร

หนวยการวดความยาวในระบบองกฤษ 12 นว เทากบ 1 ฟต 3 ฟต เทากบ 1 หลา 1,760 หลา เทากบ 1 ไมลแ

หนวยความยาวในมาตราไทย 12 นว เทากบ 1 คบ 2 คบ เทากบ 1 ศอก 4 ศอก เทากบ 1 วา 20 วา เทากบ 1 เสน 400 เสน เทากบ 1 โยชนแ

ก าหนดการเทยบ 1 วา เทากบ 2 เมตร

หนวยการวดความยาวในระบบองกฤษเทยบกบระบบเมตรก (โดยประมาณ) 1 นว เทากบ 2.54 เซนตเมตร 1 หลา เทากบ 0.9144 เมตร 1 ไมลแ เทากบ 1.6093 กโลเมตร


3. หนวยการวดพนท 4.

หนวยการวดพนทในระบบเมตรก 1 ตารางเซนตเมตร เทากบ 100 หรอ 2

10 ตารางมลลเมตร 1 ตารางเมตร เทากบ 10,000 หรอ 4

10 ตารางเซนตเมตร 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 1,000,000 หรอ 6

10 ตารางเมตร

หนวยการวดความยาวในระบบองกฤษ 1 ตารางฟต เทากบ 144 หรอ 2

12 ตารางนว 1 ตารางหลา เทากบ 9 หรอ 23 ตารางฟต 1 เอเคอรแ เทากบ 4,840 ตารางหลา 1 ตารางไมลแ เทากบ 460 เอเคอรแ หรอ 1 ตารางไมลแ เทากบ 2

760,1 ตารางหลา

หนวยความยาวในมาตราไทย 100 ตารางวา เทากบ 1 งาน 4 งาน เทากบ 1 ไร หรอ 400 ตารางวา เทากบ 1 ไร

หนวยการวดพนทในมาตราไทยเทยบกบระบบเมตรก 1 ตารางวา เทากบ 4 ตารางเมตร 1 งาน เทากบ 400 ตารางเมตร หรอ 1 ไร เทากบ 1,600 ตารางเมตร 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 625 ไร

หนวยการวดพนทในระบบองกฤษเทยบกบระบบเมตรก (โดยประมาณ) 1 ตารางนว เทากบ 6.4516 ตารางเซนตเมตร 1 ตารางฟต เทากบ 0.0929 ตารางเมตร 1 ตารางหลา เทากบ 0.8361 ตารางเมตร 1 เอเคอรแ เทากบ 4046.856 ตารางเมตร (2.529 ไร) 1 ตารางไมลแ เทากบ 2.5899 ตารางกโลเมตร


โจทยตวอยาง ภราดร ศรชาพนธแ นกเทนนสทมชอเสยงของไทยสง 185 เซนตเมตร ไมเคล จอรแแดน นกบาสเกตบอลทมชอเสยงของสหรฐอเมรกาสง 6 ฟต 6 นว อยากทราบวาใครสงกวากน แนวคด จากโจทยแ จะเปรยบเทยบกนไดตองเปลยนใหเปนหนวยเดยวกนกอน เนองจาก ไมเคล จอรแแดน สง 6 ฟต 6 นว

คดเปนความสง (6 12) + 6 = 72 + 6 = 78 นว เนองจาก ความยาว 1 นว เทากบ 2.54 เซนตเมตร (โดยประมาณ)

ดงนน ไมเคล จอรแแดน สงประมาณ 78 2.54 = 198.12 เซนตเมตร แตภราดร ศรชาพนธแ สงเพยง 185 เซนตเมตร ดงนน ไมเคล จอรแแดน สงกวา ภราดร ศรชาพนธแ ตอบ ไมเคล สงกวา ภราดร


ค าชแจง เปลยนหนวยวดความยาวตอไปนใหเปนหนวยใหม แตใหมความยาวเทาเดม 1. 61.5 มลลเมตร 6.15 เซนตเมตร 2. 0.211 เมตร 21.1 เซนตเมตร 3. 0.058 กโลเมตร 58 เมตร 4. พนท 8,400 ตารางเมตร 0.84 ตารางกโลเมตร 5. พนท 80 ตารางวา 320 ตารางเมตร


ตวชวดชนป ม.2/2 คาดคะเนเวลา ระยะทาง พนท ปรมาตรและนาหนกไดอยางใกลเคยงและอธบายวธการใชในการคาดคะเน สงทนกเรยนตองร การคาดคะเน คอ การบอกคาประมาณของปรมาณของสงตาง ๆ โดยไมไดวดจรง โจทยตวอยาง ตวอยางท 1

ถาเดนทางออกจากบานไปถงสถานหวลาโพง ตองใชเวลาเดนทาง 2

11 ชวโมง และมานะ

ตองการไปถงสถานรถไฟกอนรถไฟออกอยางนอยครงชวโมง และเดนทางดวยขบวน ดวนพเศษ 43 (ออกจากสถานหวล าโพงเวลา 07.45 น.) มานะจะตองออกเดนทางจากบาน เวลาใดจงจะไปถงสถานตามเวลาทตองการ แนวคด รถไฟขบวนดวนพเศษ 43 ออกจากสถานหวลาโพงเวลา 07.45 น.

มานะใชเวลาเดนทางมาถงสถาน 2

11 ชวโมง

และมานะตองการมาถงสถานกอน 2

1 ชวโมง

ดงนน มานะตองใชเวลาทงหมด 22

1

2

11 ชวโมง

นนคอ มานะจะตองออกจากบานกอน 05.45 น. ตอบ มานะจะตองออกเดนทางจากบานเวลา 05.45 น. ตวอยางท 2 ถาตองการซอผามาตดเสอ 1 ตว ซงมขนาดดงรป จงใชการคาดคะเนเพอหาวา จะตองซอผาขนาดเทาใด


แนวคด จากรป คาดคะเนขนาดของผาทตองซอ โดยการแบงพนทของเสอออกเปนตารางทม

ความยาวชองละ 5 นว 5 นว นบจานวนชองทเตมตารางกอน แลวนบสวนทไมเตม ตาราง ทงความยาวและความกวางของตวเสอ พรอมคาดคะเน

จะได ความยาวของเสอ 8 ชอง คดเปนความยาวเทากบ 4058 นว ความกวางของตวเสอ 4 ชอง คดเปนความยาวเทากบ 2054 นว เนองจาก การตดเสอนน ชางตดเสอจะเผอผาไวสาหรบรอยเยบดวย นนคอ ความกวางและความยาวของผาตองมากกวาความกวางและความยาวของเสอ แตขนาดของผาทซอตองเลอกซอตามขนาดกวางของผาทมขายตามทองตลาด คอ มขนาดกวาง 45, 48 และ 60 นว

ดงนน ขนาดผาทตองเลอกซอ คอ 45 นว 45 นว

ตอบ จะตองซอผาขนาด 45 นว 45 นว

ตวอยางท 3 จากรปภาชนะทกาหนดใหรป ข มความจ 275 ลกบาศกแเซนตเมตร จงคาดคะเน รป ก มความจกลกบาศกแเซนตเมตร

รป ก รป ข


แนวคด จากการคาดคะเนดวยสายตาคดวา ภาชนะ รป ก มรศมเปน 2 เทาของภาชนะ รป ข แตภาชนะทงสองมความสงเทากน

จะไดวา พนทฐานของภาชนะ รป ก เทากบ 2r2 เมอ r แทนรศมภาชนะ รป ข

แตภาชนะ รป ข มการเวาเขา จะไดวา ภาชนะ รป ก มความจมากกวา 4 เทาของความจภาชนะ รป ข นนคอ ภาชนะ รป ก มความจมากกวา 2754 หรอ มความจมากกวา 1,100 ลกบาศกแเซนตเมตร จงคาดคะเนวาภาชนะ รป ก มความจประมาณ 1,150 ลกบาศกแเซนตเมตร ตอบ รป ก มความจประมาณ 1,150 ลกบาศกแเซนตเมตร


แบบฝกหด ชดท 2 (ค 2.1 ม.2/2) จงวเคราะหการคาดคะเนของสถานการณตอไปนวาเหมาะสมหรอไม เพราะเหตใด 1. โกชวนเอกไปรวมงานครบรอบ 30 ป ของโรงเรยน โดยนดจะมารบเวลา 9.15 น. เอกตกลงรบคา ทจะไปรวมงานดวย แตตวเองจะตองจดการกบงานประจาทจะตองชวยแมทางานใหเสรจกอน เอกไดลองคาดคะเนเวลาดแลววา งานของแมตองใชเวลาไมนอยกวา 3 ชวโมง เอกจงตงนาฬกาปลก เวลา 6.00 น. ไมเหมาะสม เพราะถาเอกตองใชเวลาในการชวยแมมากกวา 3 ชวโมงเลกนอย แมเพยง 10 นาท เอกกจะอาบน าแตงตวเพอไปงานไมทนในเวลา 5 นาท หรอนกเรยนอาจตอบวา เหมาะสม เพราะเทยบกนตนเองทใชเวลาในการอาบน าแตงตวไมเกน 5 นาท 2. โรงเรยนของจตราเขาแถวเคารพธงชาตตอนเชา เวลา 7.50 น. ทกวนจตราจะออกจากบาน ไปโรงเรยนใน เวลา 7.15 น. และถงโรงเรยนกอนเขาแถวประมาณ 5 นาท วนนครนดใหมาถง โรงเรยนกอน 7.30 น. จตราจงออกจากบานไปโรงเรยนเมอเวลา 6.45 น. 3. สาลเปนลกคาคนแรกทสงขาวไขเจยว แมครวใชเวลาเจยวไข 5 นาท จงไดอาหาร สดาตามมา ทหลงเหนแมครวยกขาวไขเจยวมาให สาลจงสงขาวไขเจยวดวย แมครวบอกสดาวา จะเสรจภายใน 3 นาท เหมาะสม เพราะครงแรกแมคาใชเวลาเจยวไข 5 นาท เนองจากส าลเปนลกคาคนแรก กระทะทใชเจยวไขยงไมรอน จงตองใชเวลานาน แตสดาสงไขเจยวตอจากส าลในขณะทกระทะยงคงรอนอย

เหมาะสม เพราะจตราใชเวลาเดนทาง 35 นาท


ตวชวดชนป ม.2/3 ใชการคาดคะเนเกยวกบการวดในสถานการณแตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม สงทนกเรยนตองร การบอกคาประมาณของปรมาณของสงตาง ๆ โดยไมไดวดจรง เรยกวา การคาดคะเน โจทยตวอยาง

ตองการออกกาลงกายรอบสนามใหไดระยะทาง 4 กโลเมตร โดยความยามรอบสนามเทากบ 400 เมตร จะตองวงกรอบ แนวคด เนองจาก 1 กโลเมตร มคาเทากบ 1,000 เมตร ดงนนระยะทาง 4 กโลเมตร มคาเทากบ 4 1,000 เมตร = 4,000 เมตร แตความยาวรอบสนามมคาเทากบ 400 เมตร ดงนน ตองวงรอบสนาม = 4,000 400 รอบ = 10 รอบ ตอบ ตองวงรอบสนาม 10 รอบ


แบบฝกหด ชดท 3 (ค 2.1 ม.2/3) จงตอบค าถามตอไปน 1. จางชางทาสสนามวอลเลยแบอลขนาด กวาง 9 เมตร ยาว 18 เมตร ในราคาตารางเมตรละ 15 บาท จะตองจายเงนคาจางเทาไร ตอบ ……………………………………………………………………………… 2. ตองการนากระดาษสรปสเหลยมจตรส กวาง 5 เซนตเมตร ไปแปะบนกระดาษชารแดทม ความกวาง 60 เซนตเมตร ยาว 1 เมตร จะตองใชกระดาษสอยางนอยกแผน ตอบ ……………………………………………………………………………… 3. ระยะทางจากบานนอยไปสวนเทากบ 800 เมตร ระยะทางจากบานนอยไปตลาดเทากบ 2 กโลเมตร ระยะทางจากบานนอยไปบานเพอน 1.5 กโลเมตร นอยเดนทางไปสวน 5 ครง และไปตลาด 2 ครง ไปบานเพอน 4 ครง นอยเดนทางไปไหนมระยะทางไกลทสด ตอบ ……………………………………………………………………………… 4. พอมทดน 2 ไร ตองการแบงออกเปนแปลง ๆ ละ 50 ตารางวา พอแบงทดนไดกแปลง ตอบ ……………………………………………………………………………… 5. สมพรขายทดน 1 ไร ในราคาตารางวาละ 400 บาท สมชายขายทดน 1 ไร ในราคา 100,000 บาท ใครขายไดราคามากทสด และมากกวากนเทาไร ตอบ ………………………………………………………………………………


ตวชวดชนป ม.3/1 หาพนทผวของปรซมและทรงกระบอก สงทนกเรยนตองร พนทผวของปรซม คอผลรวมของพนทฐานทงดานบนและดานลางกบพนทดานขางทงหมดของปรซมหรอผลรวมของพนทหนาตดดานหนาและดานหลงกบพนทดานขางทงหมดของปรซม พนทผวทรงกระบอก คอ ผลรวมของพนทฐานหรอหนาตดและพนทผวขางทงหมดของทรงกระบอก นนคอพนทผวของทรงกระบอกแบงออกเปน 2 สวน ไดแก พนทฐานหรอหนาตดและพนทผวขาง ดงนน พนทผวทรงกระบอก = 2 r 2 + 2 r h เมอ r แทน รศมของทรงกระบอก h แทน ความสงของทรงกระบอก โจทยตวอยาง จงหาพนทผวภายนอกของแกวนาใบหนง ซงมเสนผานศนยแกลาง 9 เซนตเมตร และสง 10.5 เซนตเมตร ( กาหนด = 3.14 ) แนวคด เนองจากพนทผวภายนอกของแกวนาเกดจากพนทฐานดานเดยวบวกกบพนทผวขาง ดงนน พนทผวภายนอกของแกวนา = r 2 + 2 r h = (3.14×4.5×4.5)+(2×3.14×4.5×10.5) = 63.585 + 296.73 = 360.315 ตารางเชนตเมตร ตอบ 360.315 ตารางเชนตเมตร



จงตอบค าถามตอไปน 1. ตองการสรางกลองไมมฝาปดทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 90 เซนตเมตร สง 1.50 เมตร จะตองใชกระดาษในการสรางกตารางเมตร ตอบ …………………………………………………………………………. 2. ถงเกบนาฝนทรงกระบอกมเสนผานศนยแกลาง ยาว 2.8 เมตร สง 4 เมตร มพนทผวขางเทาไร ตอบ …………………………………………………………………………. 3. ขนมเคกทรงปรซมฐานสเหลยมจตรส มความยาวฐานดานละ 20 เซนตเมตร ความสง 8 เซนตเมตร จงหาพนทผวของขนมเคก ตอบ …………………………………………………………………………. 4. กลองทรงสเหลยมมมฉากใบหนงมฐานเปนรปสเหลยมจตรส ยาวดานละ 30 เซนตเมตร กลองมความสง 40 เซนตเมตร พนทผวขางของกลองเทากบเทาไร ตอบ …………………………………………………………………………. 5. ตองการทาสภายนอกของถงเกบนาฝนอนหนง มฐานเปนรปสเหลยมมมฉาก มความยาวของฐาน 3 เมตร กวาง 2 เมตร สง 4 เมตร จงหาพนทในการทาสเปนเทาไร ตอบ ………………………………………………………………………….


ตวชวดชนป ม. 3/2 หาปรมาตรของทรงกระบอก พระมด กรวย และทรงกลม สงทนกเรยนตองร 1. ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน × สง 2. ปรมาตรของทรงกระบอก = พนทฐาน × สง = r 2 × h เมอ r แทน รศมของทรงกระบอก h แทน ความสงของทรงกระบอก

3. ปรมาตรของพระมด = 1

3× พนทฐาน × ความสง

4. ปรมาตรของกรวย

= 1

3ของปรมาตรของทรงกระบอกซงมพนทฐานและความสงเทากน

= 1

3 × r 2 h

ดงนน ปรมาตรของกรวย = 1

3 r 2 h

เมอ r แทน รศมของทรงกรวย h แทน ความสงของทรงกรวย 5. ปรมาตรของทรงกลม

= 2

3ของปรมาตรของทรงกระบอก

= 2

3 × r 2 h

= 2

3 × r 2 × 2r ( เนองจาก h = 2r )

= 4

3 r 3

ดงนน ปรมาตรของทรงกลม = 4

3 r 3

เมอ r แทน รศมของทรงกลม


โจทยตวอยาง กลองบรรจผลตภณฑแเปนปรซมฐานหกเหลยมดานเทามมเทา มพนทฐาน 101 ตารางเซนตเมตร ถากลองนสง 11 เซนตเมตร จะมปรมาตรกลตร แนวคด ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน สง = 101 11 = 1,111 ลกบาศกแเซนตเมตร เนองจาก 1,000 ลกบาศกแเซนตเมตร = 1 ลตร

ดงนน 1,111 ลกบาศกแเซนตเมตร = 1 1111

1000

= 1.111 ลตร ตอบ กลองบรรจผลตภณฑแใบนมปรมาตร 1.111 ลตร



จงตอบค าถามตอไปน 1. ปรซมทรงสามเหลยมมมฉากมพนทฐานเทากบ 45 ตารางเซนตเมตร มความยาว 25 เซนตเมตร มปรมาตรเทาไร ตอบ ……………………………………………………………………………. 2. ถงบรรจนามนทรงสเหลยมใบหนง กวาง 30 เซนตเมตร ยาว 40 เซนตเมตรและสง 50 เซนตเมตร ถาซอถงบรรจนามนมา 3 ใบ จะไดปรมาณนามนกลตร (1,000 ลกบาศกแเซนตเมตร เทากบ 1 ลตร) ตอบ ……………………………………………………………………………. 3. บอเลยงปลามลกษณะเปนปรซม มฐานเปนรปหาเลยมดานเทามมเทามพนท 12 ตารางเมตร บอลก 3 เมตร บอเลยงปลาจนาเทาไร ตอบ ……………………………………………………………………………. 4. ตองการหลอลกเปตองเหลกทมเสนผานศนยแกลางยาว 8 เซนตเมตร จานวน 12 ลกจะตองใช เหลกในการหลอเทาไร (กาหนดให = 3.14) ตอบ ……………………………………………………………………………. 5. ถงนาทรงกระบอกและกรวยมความสงและมเสนผานศนยแกลางเทากน โดยมความสง 15 เซนตเมตร ถาใชกรวยตกนาใหเตมพอดแลวเทใสถงทรงกระบอก จงหาวาระดบนาในถง ทรงกระบอกจะสงกเซนตเมตร ตอบ …………………………………………………………………………….


ตวชวดชนป ม. 3/3 เปรยบเทยบหนวยความจ หรอหนวยปรมาตรในระบบเดยวกนหรอตางระบบ และเลอกใชหนวยการวดไดอยางเหมาะสม

สงทนกเรยนตองร การเปรยบเทยบหนวยความจหรอหนวยปรมาตร

การเปรยบเทยบหนวยปรมาตรในมาตราเมตรก 1 ลกบาศกแเซนตเมตร เทากบ 1,000 ลกบาศกแมลลเมตร 1 ลกบาศกแเดซเมตร เทากบ 1,000 ลกบาศกแเซนตเมตร 1 ลกบาศกแเมตร เทากบ 1,000 ลกบาศกแเดซเมตร 1 ลกบาศกแเดคาเมตร เทากบ 1,000 ลกบาศกแเมตร 1 ลกบาศกแเฮกโตเมตร เทากบ 1,000 ลกบาศกแเดคาเมตร 1 ลกบาศกแกโลเมตร เทากบ 1,000 ลกบาศกแเฮกโตเมตร 1 ลกบาศกแเมตร เทากบ 1,000,000 ลกบาศกแเซนตเมตร 1 ลกบาศกแกโลเมตร เทากบ 1,000,000,000 ลกบาศกแเมตร

การเปรยบเทยบหนวยปรมาตรในมาตราองกฤษ 1 ลกบาศกแฟต เทากบ 1,728 ลกบาศกแนว 1 ลกบาศกแหลา เทากบ 27 ลกบาศกแฟต

การเปรยบเทยบหนวยปรมาตรในมาตราไทย 1 ลกบาศกแคบ เทากบ 1,728 ลกบาศกแนว 1 ลกบาศกแศอก เทากบ 8 ลกบาศกแคบ 1 ลกบาศกแวา เทากบ 64 ลกบาศกแศอก 1 ลกบาศกแเสน เทากบ 8,000 ลกบาศกแวา 1 ลกบาศกแโยชนแ เทากบ 64,000,000 ลกบาศกแเสน

ในท านองเดยวกน เราสามารถเปรยบเทยบหนวยการตวงไดดงน 1 เซนตลตร เทากบ 10 มลลลตร 1 เดซลตร เทากบ 10 เซนตลตร 1 ลตร เทากบ 10 เดซลตร 1 เดคาลตร เทากบ 10 ลตร 1 เฮกโตลตร เทากบ 10 เดคาลตร 1 กโลลตร เทากบ 10 เฮกโตลตร


ในการเปรยบเทยบหนวยปรมาตรและการเปรยบเทยบหนวยการตวงสามารถเปรยบเทยบ ในมาตราเดยวกน หรอตางมาตรากนกได เชน 1 ลตร เทากบ 1,000 ลกบาศกแเซนตเมตร 1 ลตร เทากบ 61.02 ลกบาศกแนว 1 ลตร เทากบ 0.035 ลกบาศกแฟต 1 ลกบาศกแฟต เทากบ 0.028 ลกบาศกแเมตร 1 ลกบาศกแฟต เทากบ 28,316.84 ลกบาศกแเซนตเมตร 1 ลกบาศกแเซนตเมตร เทากบ 0.06102 ลกบาศกแนว การเปรยบเทยบหนวยการตวงของไทย เชน 1 ลตร เทากบ 1 ทะนานหลวง (ท) 20 ลตร เทากบ 1 สดหลวง (ถง) (ส.1) 1,000 ลตร เทากบ 1 บนหลวง (บ.1) 2,000 ลตร เทากบ 1 เกวยนหลวง โจทยตวอยาง

ขวดยาขวดหนงมกนขวดเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 5 เซนตเมตร สง 13 เซนตเมตร ขวดยานจะบรรจยาไดกมลลลตร

แนวคด ปรมาตรของยาทบรรจในขวด = ความกวาง × ความยาว × ความสง = 5× 5× 13 = 325 ลกบาศกแเซนตเมตร เนองจาก 1 ลกบาศกแเซนตเมตร เทากบ 1 มลลลตร ดงนน 325 ลกบาศกแเซนตเมตร เทากบ 325 มลลลตร ตอบ ขวดยานจะบรรจยาได 325 มลลลตร


แบบฝกหด ชดท 6 (ค 2.1 ม.3/3) จงตอบค าถามตอไปน 1. ถงนามนทรงกระบอกมรศม 2 เมตร สง 3 เซนตเมตร จะจนามนไดกลตร ตอบ ………………………………………………………………………. 2. กลองเหลกมฐานกวาง 50 เซนตเมตร ยาว 60 เซนตเมตร สง 70 เซนตเมตร จะบรรจทราย ไดกลตร ตอบ ………………………………………………………………………. 3. ถงเกบนามนทรงกระบอกใบหนงมเสนผานศนยแกลางยาว 4 เมตร สง 9 เมตร จะจนามนไดเตมท กลตร (กาหนดให 3.14) ตอบ ………………………………………………………………………. 4. แกวนาทรงกระบอกใบหนงวดเสนผานศนยแกลางภายในได 8 เซนตเมตร แกวนาลก 10 เซนตเมตร จะจนาไดเทาไร (กาหนดให = 3.14) ตอบ ………………………………………………………………………. 5. อางเกบนาทรงสเหลยมมมฉากยาว 20 เมตร กวาง 10 เมตร ถาตองการเกบนาไวในอาง 1,000 ลกบาศกแเมตร ระดบนาจะตองสงจากกนอางเทาไร ตอบ ……………………………………………………………………….


ตวชวดชนป ม. 3/4 ใชการคาดคะเนเกยวกบการวดในสถานการณแตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม สงทนกเรยนตองร 1. การบอกคาประมาณของปรมาณของสงตาง ๆ โดยไมไดวดจรง เรยกวา การคาดคะเน 2. คาทไดจากการคาดคะเนอาจมากกวาหรอนอยกวาทไดจากการใชเครองมอวด เรยกคา ทมากกวาหรอนอยกวานวา คาความคลาดเคลอน 3. การคาดคะเนจะมความคลาดเคลอนมากนอยเพยงใดขนอยกบประสบการณแ แนวคด หรอรปแบบทใชประกอบการตดสนใจ โจทยตวอยาง จงคาดคะเนความจของแจกนทกาหนด แนวคด พจารณารปแจกนทกาหนดประกอบดวย 2 สวน สวนบนมลกษณะคลายทรงกระบอก สวนลางมลกษณะคลายทรงกลม ดงนนการคาดคะเนความจของแจกนน ตองคาดคะเน จากสวนบน และสวนลางดงน

สวนบน คาดคะเนรศมของปากแจกนและความสง แลวคานวณความจจากสตร hr 2

สวนลาง คาดคะเนรศมแลวคานวณความจจากสตร

3

3

4r แลวหาคาคาดคะเนของความจของแจกน

ใบน ดดยนาคาคาดคะเนความจจากสวนบนรวมกบคาคาดคะเนความจจากสวนลาง

สวนบน

สวนลาง



ค าชแจง ใหนกเรยนวเคราะหแสถานการณแตอไปน สปญญาตองบรโภคนาสมทกวน จงตองการตรวจสอบวาปรมาณนาสมทเทากนของนาสมสาเรจรปกบนาสมทคนเอง นาสมแบบใดประหยดเงนไดมากกวา จงไดสารวจราคาขายสมเขยวหวาน พบวา สมเขยวหวานราคากโลกรมละ 45 บาท เมอนาสมเขยวหวาน 1 กโลกรม มาคนนาจะไดนาสมปรมาตร 600 ลกบาศกแเซนตเมตร แตนาสมเขยวหวานคนสาเรจรป 100% ราคาลตรละ 72 บาท นกเรยนคดวา สปญญาควรเลอกซอนาสมเขยวหวานคนสาเรจรป 100% หรอซอสมเขยวหวานสดมาคนเอง จงจะคมคา โดยใชความรเรองการคาดคะเนมาชวยในการตดสนใจ (เมอกาหนดใหคณคาทางโภชนาการของนาสมเขยวหวานคนสาเรจรป 100% และนาสมเขยวหวานคนสดไมแตกตางกน) ตอบ ……………………………………………………………………………..


มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกยวกบการวด ตวชวดชนป ม. 2/1 ใชความรเกยวกบความยาว และพนทแกปญหาในสถานการณแตาง ๆ


1. พนทรปสเหลยมจตรส ดาน ดาน 2. พนทรปสเหลยมผนผา กวาง ยาว ความยาว 1 เมตร เทากบ 100 เซนตเมตร ดงนน พนท 11 ตารางเมตร เทากบ 100100 ตารางเซนตเมตร

นนคอ พนท 1 ตารางเมตร เทากบ 10,000 ตารางเซนตเมตร

หรอ พนท 1 ตารางเมตร เทากบ 410 ตารางเซนตเมตร

หนวยการวดพนทในระบบเมตรก 1 ตารางเซนตเมตร เทากบ 100 หรอ 2

10 ตารางมลลเมตร 1 ตารางเมตร เทากบ 10,000 หรอ 4

10 ตารางเซนตเมตร 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 1,000,000 หรอ 6

10 ตารางเมตร

หนวยการวดความยาวในระบบองกฤษ 1 ตารางฟต เทากบ 144 หรอ 2

12 ตารางนว 1 ตารางหลา เทากบ 9 หรอ 23 ตารางฟต 1 เอเคอรแ เทากบ 4,840 ตารางหลา 1 ตารางไมลแ เทากบ 460 เอเคอรแ หรอ 1 ตารางไมลแ เทากบ 2

760,1 ตารางหลา

หนวยความยาวในมาตราไทย 100 ตารางวา เทากบ 1 งาน 4 งาน เทากบ 1 ไร หรอ 400 ตารางวา เทากบ 1 ไร


หนวยการวดพนทในมาตราไทยเทยบกบระบบเมตรก 1 ตารางวา เทากบ 4 ตารางเมตร 1 งาน เทากบ 400 ตารางเมตร หรอ 1 ไร เทากบ 1,600 ตารางเมตร 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 625 ไร

หนวยการวดพนทในระบบองกฤษเทยบกบระบบเมตรก (โดยประมาณ)

1 ตารางนว เทากบ 6.4516 ตารางเซนตเมตร 1 ตารางฟต เทากบ 0.0929 ตารางเมตร 1 ตารางหลา เทากบ 0.8361 ตารางเมตร 1 เอเคอรแ เทากบ 4046.856 ตารางเมตร (2.529 ไร) 1 ตารางไมลแ เทากบ 2.5899 ตารางกโลเมตร

โจทยตวอยาง พนท 3 ไร 44 ตารางเมตร ประมาณกตารางวา

แนวคด พนท 1 ไร = 1,600 ตารางเมตร พนท 3 ไร = 4,800 ตารางเมตร พนท 4 ตารางเมตร = 1 ตารางวา พนท 4,800 ตารางเมตร = 4,800 ÷ 4 = 1,200 ตารางวา พนท 44 ตารางเมตร = 44 ÷ 4 = 11 ตารางวา ดงนนพนท 3 ไร 44 ตารางเมตร = 1,200 + 11 = 1,211 ตารางวา ตอบ 1,211 ตารางวา


แบบฝกหด ชดท 8 (ค 2.2 ม.2/1) จงตอบค าถามตอไปน 1. สมชายขายทดนไรละ 150,000 บาท นรนดรแขายทดนตารางเมตรละ 150 บาท วนยขายทดน 100 ตารางวา 40,000 บาท ใครขายทดนไดราคาสงทสด ตอบ ………………………………………………………………………….. 2. ตองการสรางรวเหลกรอบสนามรปสเหลยมผนผาทมความยาว 40 เมตร กวาง 30 เมตร โดยเหลก ราคาเมตรละ 40 บาท ตองใชเงนเพอซอเหลกอยางนอยเทาไร ตอบ ………………………………………………………………………….. 3. สนามฟตบอลกวาง 60 เมตร ยาว 80 เมตร อมรตองการใชเชอกเพอทาเสนทแยงมม 2 เสน จะตองใชเชอกยาวกเมตร ตอบ ………………………………………………………………………….. 4. นาโต฿ะทมความกวาง 60 เซนตเมตร ยาว 80 เซนตเมตร จานวน 20 ตว มาตอกนเพอเปน เวทแสดง จะไดเวทในการแสดงกตารางเมตร ตอบ ………………………………………………………………………….. 5. ซอสมาทาสนามวอลเลยแบอลกวาง 9 เมตร ยาว 18 เมตร โดยส 1 กระปอง ทาได 18 ตารางเมตร จะตองซอสอยางนอยกกระปองจงจะพอใชในการทาสนามวอลเลยแบอล ตอบ …………………………………………………………………………..


ตวชวดชนป ม.3/1 ใชความรเกยวกบพนท พนทผวและปรมาตรในการแกปญหาใสถานการณแตาง ๆ สงทนกเรยนตองร

1. พนทผว พนทผวของปรซม คอ ผลรวมของพนทฐานทงดานบนและดานลางกบพนทดานขางทงหมดของปรซมหรอผลรวมของพนทหนาตดดานหนาและดานหลง กบพนทดานขางทงหมดของปรซม พนทผวทรงกระบอก คอ ผลรวมของพนทฐานหรอหนาตดและพนทผวขางทงหมด ของทรงกระบอก นนคอพนทผวของทรงกระบอกแบงออกเปน 2 สวน ไดแก พนทฐานหรอหนาตด และพนทผวขาง ดงนน พนทผวทรงกระบอก = 2 r 2 + 2 r h เมอ r แทน รศมของทรงกระบอก เมอ h แทน ความสงของทรงกระบอก 2. ปรมาตร 2.1 ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน × สง 2.2 ปรมาตรของทรงกระบอก = พนทฐาน × สง = r 2 h เมอ r แทน รศมของทรงกระบอก เมอ h แทน ความสงของทรงกระบอก

2.3 ปรมาตรของพระมด = 1

3× พนทฐาน × ความสง

2.4 ปรมาตรของกรวย = 1

3ของปรมาตรของทรงกระบอกซงม

พนทฐานและความสงเทากน

= 1

3 r 2 h

เมอ r แทน รศมของทรงกรวย เมอ h แทน ความสงของทรงกรวย


2.5 ปรมาตรของทรงกลม = 2

3ของปรมาตรของทรงกระบอก

= 2

3 × r 2 × h

= 2

3 × r 2 × 2r ( เนองจาก h = 2r )

= 4

3 r 3

ดงนนปรมาตรของทรงกลม = 4

3 r 3

เมอ r แทน รศมของทรงกลม h แทน ความสงของทรงกลม

โจทยตวอยาง ตองการนากลองชอลแคทมฐานเปนรปสเหลยมจตรส ยาว 20 เซนตเมตร สง 20 เซนตเมตร บรรจลงในถงทรงสเหลยมทมความกวาง 60 เซนตเมตร ยาว 80 เซนตเมตร และสง 1 เมตร โดยปดฝาถงใหมดชดจะบรรจไดมากทสดกกลอง แนวคด ปรมาตรของถง = 60 80 100 = 480,000 ลกบาศกแเซนตเมตร ปรมาตรของกลองชอลแค = 20 20 20 = 8,000 ลกบาศกแเซนตเมตร บรรจได = 480,000 8,000 = 60 กลอง ตอบ บรรจไดมากทสด 60 กลอง


แบบฝกหด ชดท 9 (ค 2.2 ม.3/1) จงหาค าตอบตอไปน 1. ใชวสดตกทรายเปนพระมดฐานสเหลยมจตรสกวาง 20 เซนตเมตร สง 30 เซนตเมตรลงในถง ทรงกระบอกทมเสนผาศนยแกลาง 1.4 เมตร สง 1 เมตร จานวนกครงจงจะเตมถงพอด ตอบ ……………………………………………………………………. 2. มกระดาษหนงแผน กวาง 18 เซนตเมตร ยาว 63 เซนตเมตร ถาตองการตดกระดาษดงกลาว เปนรปสเหลยมจตรสทมดานกวางและดานยาวเปนจานวนนบทมากทสดเทาทจะทาได โดยท สเหลยมจตรสนจะตองมขนาดเทากนทกชน และเมอตดเสรจแลวจะตองไมมเศษกระดาษเหลอ อยเลย จงหาวาจะตดกระดาษไดทงหมดกชน ตอบ ……………………………………………………………………. 3. ใสนาลงในอางนาทรงสเหลยมมมฉากกวาง 25 เซนตเมตร ยาว 50 เซนตเมตร และสง 38 เซนตเมตร ถาระดบนาตากวาขอบบนของอางอย 8 เซนตเมตร จงหาวามนาอยในอางดงกลาว กลกบาศกแเซนตเมตร ตอบ ……………………………………………………………………. 4. ตองการทาเคกรปทรงกระบอกชนหนงทมเสนผานศนยแกลาง 28 เซนตเมตรเปนชน ๆ ดงน

ชนท 1 เปนเนอเคกหนา 3 เซนตเมตร ชนท 2 เปนแยมหนา 1 เซนตเมตร ชนท 3 เปนเนอเคกหนา 2 เซนตเมตร ชนท 4 เปนครมหนา 1.5 เซนตเมตร

ถาเนอเคก 100 ลกบาศกแเซนตเมตรราคา 10 บาท แยม 100 ลกบาศกแเซนตเมตรราคา 25 บาท และครม 100 ลกบาศกแเซนตเมตรราคา 25 บาท ถาตองการกาไรจากการขายเคกกอนน 20 % จะตองตงราคาขายเคกกอนนไวทกบาท ตอบ ……………………………………………………………………. 5. พระมดฐานสามเหลยมมมฉากมดานประกอบมมฉากยาว 7 เซนตเมตร และ 9 เซนตเมตร ถาพระมดนมปรมาตร 126 ลกบาศกแเซนตเมตร พระมดนสงกเซนตเมตร ตอบ ...............................................................................................


สาระท 3 เรขาคณต

มาตรฐาน ค 3.1 อธบายและวเคราะหรปเรขาคณตสองมตและสามมต


สรางและบอกขนตอนการสรางพนฐานทางเรขาคณต

สงทนกเรยนตองร 1. คาพนฐานทางเรขาคณต

1.1 จด (point) ใชสาหรบบอกตาแหนง 1.2 เสนตรง (straight line) มความยาวไมจากด มเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานน

ทผานจด 2 จดทกาหนด เสนตรงสองเสนตดกนทจดเดยวเทานน A B

1.3 สวนของเสนตรง (line segment) คอ สวนของเสนตรงทมจดปลาย 2 จด A B

1.4 รงส (ray) คอ สวนหนงของเสนตรงซงมจดปลายเพยงจดเดยว เชน A B

ขอสงเกต การเรยกชอรงสใหใชจดปลายขนกอนเสมอเสมอ เชน A เปนจดปลาย เรยก AB 1.5 มม (angle) คอ รงส 2 เสนทมจดปลายเปนจดเดยวกน เรยกรงส 2 เสนนวา

แขนของมม และเรยกจดปลายทเปนจดเดยวกนวา จดอดของมม (vertex) มมม 5 ชนดคอ มมแหลม มมปาน มมฉาก มมตรง มมกลบ

มมแหลม คอ มมทมขนาดนอยกวา 90 องศา มมปาน คอ มมทมขนาดมากกวา 90 องศา แตนอยกวา 180 องศา มมฉาก คอ มมทมขนาดเทากบ 90 องศา มมตรง คอ มมทมขาดเทากบ 180 องศา มมกลบ คอ มมทมขนาดมากกวา 180 องศา แตนอยกวา 360 องศา

2. การสรางรปเรขาคณตโดยการใชวงเวยนและสนตรงในทางคณตศาสตรแ เรยกวา การสรางทางเรขาคณตเบองตน ไดแก การสรางสวนของเสนตรงและการแบงครงสวนของเสนตรง การสรางมมและการแบงครงมม การสรางมมตรง มมฉาก มม o45 มม o60 และมมอนๆ การสรางเสนตงฉากจากจดทกาหนดให และการสรางรปเรขาคณตอยางงาย


3. เสนตรงสองเสนตงฉากกน กตอเมอเสนตรงทงสองเสนตดกนและทาใหเกดมมฉาก 4. เสนตรงซงแบงครงสวนของเสนตรงทกาหนดให จะตงฉากกบสวนของเสนตรงนนดวย


ตวอยางท 1

จงสรางมมใหมขนาด 135

แนวคด : วธสราง

(1) สราง AC และให B เปนจดจดหนงบน

AC

(2) ทจด B สราง BD ใหตงฉากกบ

AC

จะได m(ABD ) = m(

CBD ) = 90

(3) สราง BE แบงครงมมฉาก ABD

จะได m( DBE ) = 45

ดงนน CBE = 90 + 45 = 135 ตามตองการ

หมายเหต อาจสรางมม 180 กอน แลวหกออกดวยมมทมขนาด 45 กได


จงสรางเสนคขนานคหนง ใหมระยะหางระหวางเสนขนาน 4 เซนตเมตร



(1) สราง AB

(2) ทจด A สราง AC ใหตงฉากกบ

AB และสราง AC ให AC = 4 เซนตเมตร

(3) ทจด C สราง CD ใหตงฉากกบ AC จะได

CD ขนานกบ

AB และมระยะหางเทากบ

4 เซนตเมตร ตามตองการ


การสรางสวนของเสนตรง จากจด P ใหตงฉากกบ AB ทาไดดงน

(1) ใช P เปนจดศนยแกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตด AB ทจด C และจด D

(2) ใช C และ D เปนจดศนยแกลาง รศมยาวเทากน เขยนสวนโคงตดกนทจด E

(3) ลาก EP ตด AB ทจด Q จะได EP ตงไดฉาก กบ AB ทจด Q ตามตองการ


แบบฝกหดท 1 (ค 3.1 ม.1/1) ค าชแจง จงสรางรปตอไปนโดยใชวงเวยนและเสนตรง พรอมทงบอกขนตอนการสราง 1. กาหนด a และ b แทนความยาวของสวนของเสนตรงสองเสนดงรป

a b

จงสรางสวนของเสนตรงใหมความยาวเทากบ

1) a + b

2) a - b

2. จงสราง ABC ใหมขนาดเทากบขนาดของมมกลบทกาหนดให

3. จงสราง ABC ใหมขนาดนอยกวา 180 องศา

1) จงสรางเสนแบงครงมม ABC

2) จงสรางเสนแบงครงมมกลบ ABC

3) เสนแบงครงมมในขอ 1) และ 2) เกยวของกนอยางไร



สรางรปเรขาคณตสองมต โดยใชการสรางพนฐานทางเรขาคณต และบอกขนตอนการสรางโดยไมเนนการพสจนแ


กอนทนกเรยนจะสรางรปเรขาคณตสองมตได นกเรยนตองมความรเกยวกบการสรางทางเรขาคณตเบองตน ไดแก

- การสรางสวนของเสนตรง - การแบงครงสวนของเสนตรง - การสรางมมและการแบงครงมม - การสรางมมตรง มมฉาก มม o45 มม o60 และมมอนๆ - การสรางเสนตงฉากจากจดทกาหนดให - การสรางเสนขนาน เปนตน


จงสรางรปสเหลยมผนผาทมขนาดของดานกวางและดานยาวเปน 4 เซนตเมตร และ

6 เซนตเมตร ตามลาดบ



(1) สราง AB ให AB = 6 เซนตเมตร

(2) สราง AD ใหตงฉากกบ AB ทจด A และ AD = 4 เซนตเมตร

(3) สราง DC ใหขนานกบ AB โดยสราง ADC ใหมขนาด 90 เทากบ

XAD ซงเปนมมแยง และให DC = 6 เซนตเมตร

(4) ลาก BC จะได รปสเหลยมผนผา ABCD ทมดานยาว 4 เซนตเมตร

และ 6 เซนตเมตร ตามตองการ

แบบฝกหดท 2 (ค 3.1 ม.1/2)

ค าชแจง จงสรางรปตอไปนโดยใชวงเวยนและเสนตรง พรอมทงบอกขนตอนการสราง

1. จงสรางรปสามเหลยม MON ใหมดาน ON ยาว 5 เซนตเมตร มม MON มขนาด 60 และ

มม MNO มขนาด 45

2. จงสรางสวนสงของรปสามเหลยม PQR ทง 3 เสน

3. จงสรางรปสามเหลยม ABC ใหดาน BC ยาว 6 เซนตเมตร ดาน AB ยาว 4 เซนตเมตร และ มม ABC มขนาด 105 แลวลากเสนตรงเชอมจดกงกลางของดานทงสามของรปสามเหลยม ABC



สบเสาะ สงเกต และคาดการณแเกยวกบสมบตทางเรขาคณต


1. รปเรขาคณตสามมต เปนรปหลายเหลยมซงมสวนประกอบคอ หนา สน จดมม และฐานเราสามารถเขยนรปเรขาคณตสามมตทเกดจากภาพสองมตใดๆ ทกาหนดใหได ในทานองเดยวกนเราสามารถระบภาพสองมตทเกดจากการมองดานบน ดานหนาและดานขางของรปเรขาคณตสามมตได 2. ลกษณะและสมบตของรปเรขาคณตสามมตขนอยกบชนดของรปเรขาคณตทเปนสวนประกอบ ดงน 2.1 ปรซม คอ รปทรงตนทมหนาตดเปนรปเหลยม โดยทเหลยมทงสองขางตองเปน รปเดยวกนพนทเทากนและขนานกนดวย 2.2 พระมด คอ รปทรงตนทมฐานเปนรปเหลยมใดๆ มยอดเหลม ซงไมอยบนระนาบ เดยวกบฐานดานขางทกดานเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลม 2.3 ทรงกระบอก คอ รปทรงตนทมหนาตดฐานเปนวงกลม และอยในระนาบท ขนานกน (ทรงกระบอกกบปรซมคลายกน ตางกนทหนาตดเปนวงกลมหรอหลายเหลยม) 2.4 กรวย คอ รปทรงตนทมฐานเปนวงกลมและมยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกน กบฐาน 2.5 ทรงกลม คอ รปทรงตนทเกดจากการหมน (แผน) รปครงวงกลมไปรอบเสนผาน ศนยแกลาง


ถาใชระนาบตดทรงสเหลยมมมฉากตามแนวเสนทแยงมม AB และเสนทะแยงมม CD จะไดหนาตดเปนรปอะไร

แนวคด

ตอบ รปสเหลยมมมฉาก ABCD



ค าชแจง จงตอบคาถามตอไปน

1. ถาใชระนาบตดมมของทรงสเหลยมมมฉาก จะไดหนาตดเปนรปอะไร

ตอบ …………………………………………

2. ถาใชระนาบตดกรวยในแนวเฉลยงซงไมขนานกนกบฐานและไมตงฉาก ดงรป จะไดหนาตดเปนรปอะไร

ตอบ …………………………………………

3. ถาใชระนาบตดกรวยในแนวตงฉากกบฐาน โดยตดผานจดยอดกรวย จะไดหนาตดเปนรปอะไร

ตอบ …………………………………………



อธบายลกษณะของรปเรขาคณตสามมตจากภาพทกาหนดให


1. รปเรขาคณตสามมต เปนรปหลายเหลยมซงมสวนประกอบคอ หนา สน จดมม และฐานเราสามารถเขยนรปเรขาคณตสามมตทเกดจากภาพสองมตใดๆ ทกาหนดใหได ในทานองเดยวกนเราสามารถระบภาพสองมตทเกดจากการมองดานบน ดานหนาและดานขางของรปเรขาคณตสามมตได 2. ลกษณะและสมบตของรปเรขาคณตสามมตขนอยกบชนดของรปเรขาคณตทเปนสวนประกอบ ดงน 2.1 ปรซม คอ รปทรงตนทมหนาตดเปนรปเหลยม โดยทเหลยมทงสองขางตองเปน รปเดยวกนพนทเทากนและขนานกนดวย 2.2 พระมด คอ รปทรงตนทมฐานเปนรปเหลยมใดๆ มยอดเหลม ซงไมอยบนระนาบ เดยวกบฐานดานขางทกดานเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลม 2.3 ทรงกระบอก คอ รปทรงตนทมหนาตดฐานเปนวงกลม และอยในระนาบท ขนานกน (ทรงกระบอกกบปรซมคลายกน ตางกนทหนาตดเปนวงกลมหรอหลายเหลยม) 2.4 กรวย คอ รปทรงตนทมฐานเปนวงกลมและมยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกน กบฐาน 2.5 ทรงกลม คอ รปทรงตนทเกดจากการหมน (แผน) รปครงวงกลมไปรอบเสนผาน ศนยแกลาง 3. ตวอยางรปเลขาคณตสามมตตาง ๆ

ปรซม


ทรงกระบอก

พระมด


จงบอกชนดของรปเรขาคณตสามมตทมรปคลดงตอไปน

1)

ตอบ พระมดฐานสเหลยมจตรส

2)

ตอบ ทรงสเหลยมมมฉาก (ลกบาศกแ)



ค าชแจง บอกชอรปเรขาคณตสามมตทกาหนดใหในแตละขอตอไปน

1) 2) 3)

........................................... ............................................... ......................... ......................

4) 5) 6)

........................................... ............................................... ......................... ......................

7) 8) 9)

........................................... ............................................... ..............................................



ระบภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา (front view) ดานขาง (side view) หรอดานบน (top view) ของรปเรขาคณตสามมตทกาหนดให


รปเรขาคณตสามมต เปนรปหลายเหลยมซงมสวนประกอบคอ หนา สน จดมม และฐาน เราสามารถเขยนรปเรขาคณตสามมตทเกดจากภาพสองมตใด ๆ ทกาหนดใหได ในทานองเดยวกนเราสามารถระบภาพสองมตทเกดจากการมองดานบน ดานหนา และดานขางของรปเรขาคณตสามมตนนได



ดานขาง

(Side View) ดานหนา

(Front View)

ดานบน

(Top View)



ดานบน

(Top View)

ดานหนา

(Front View)

ดานขาง

(Side View)



ค าชแจง จงจบคภาพดานหนา ดานขาง และดานบนในแตละขอตอไปนกบรปเรขาคณตสามมต

ทกาหนดใหทางขางบน โดยเลอกตวอกษรทกากบรปเรขาคณตสามมตเขยนเตม

ในชองวางบนขวาของแตละขอ

ก ข ค

ง จ

1)

2 1 1 1 ภาพดานบน 1 1 1 2 1 3 1 ภาพดานหนา ภาพดานขาง


2)

1 2 3 2 1 ภาพดานบน 1 1 1 2 2 1 2 2 1 3 2 ภาพดานหนา ภาพดานขาง

3) 3 2 1 1 1 2 1 ภาพดานบน 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 4 3 ภาพดานหนา ภาพดานขาง 4) 3 3 1 3 3 1 1 ภาพดานบน 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 ภาพดานหนา ภาพดานขาง



วาดหรอประดษฐแรปเรขาคณตสามมตทประกอบขนจากลกบาศกแ เมอกาหนดภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบนให


ลกบาศกแ เปนรปเรขาคณตสามมตทมความกวาง ความยาว และความสงเทากน คอ 1 หนวย ถาเรานาลกบาศกแมาประกอบกนหลาย ๆ ลก จะเปนรปเรขาคณตสามมตอกรปแบบหนง ซงเราสามารถเขยนภาพสองมตทเกดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบนของรปเรขาคณต ทประกอบขนจากลกบาศกแนได

โจทยตวอยาง จงวาดรปเรขาคณตสามมตแสดงการจดเรยงของลกบาศกแ

แนวคด จะไดรปเรขาคณตสามมตแสดงการจดเรยงของลกบาศกแ ดงน

ดานขาง ดานหนา ดานบน



ค าชแจง จงวาดรปเรขาคณตสามมตแสดงการจดเรยงของลกบาศกแ




อธบายลกษณะและสมบตของปรซม พระมด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม


1. รปเรขาคณตสามมต เปนรปหลายเหลยมซงมสวนประกอบคอ หนา สน จดมม และฐานเราสามารถเขยนรปเรขาคณตสามมตทเกดจากภาพสองมตใดๆ ทกาหนดใหได ในทานองเดยวกนเราสามารถระบภาพสองมตทเกดจากการมองดานบน ดานหนาและดานขางของรปเรขาคณตสามมตได 2. ลกษณะและสมบตของรปเรขาคณตสามมตขนอยกบชนดของรปเรขาคณตทเปนสวนประกอบ ดงน 2.1 ปรซม คอ รปทรงตนทมหนาตดเปนรปเหลยม โดยทเหลยมทงสองขางตองเปน รปเดยวกนพนทเทากนและขนานกนดวย 2.2 พระมด คอ รปทรงตนทมฐานเปนรปเหลยมใดๆ มยอดเหลม ซงไมอยบนระนาบ เดยวกบฐานดานขางทกดานเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลม 2.3 ทรงกระบอก คอ รปทรงตนทมหนาตดฐานเปนวงกลม และอยในระนาบท ขนานกน (ทรงกระบอกกบปรซมคลายกน ตางกนทหนาตดเปนวงกลมหรอหลายเหลยม) 2.4 กรวย คอ รปทรงตนทมฐานเปนวงกลมและมยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกน กบฐาน 2.5 ทรงกลม คอ รปทรงตนทเกดจากการหมน (แผน) รปครงวงกลมไปรอบเสนผาน ศนยแกลาง 3. ตวอยางรปเลขาคณตสามมตตาง ๆ

ปรซม


ทรงกระบอก

พระมด


จากรป ถา O เปนจดศนยแกลางของทรงกลม รปสามเหลยม OAB เปนรปสามเหลยมชนดใด

ตอบ รปสามเหลยม OAB

เปนรปสามเหลยมหนาจว




1. รปคลทกาหนดให เปนรปเรขาคณตสามมตชนดใด

ตอบ …………………………………………………………………..

2. ถาใชระนาบตดกรวยในแนวตงฉากกบฐานโดยตดผานจดยอดกรวยจะไดหนาตดเปนรปเรขาคณต

ชนดใด

ตอบ …………………………………………………………………..

3. ถาใชระนาบตดทรงสเหลยมมมฉากตามแนวเสนทแยงมม และใหระนาบตงฉากกบฐาน

หนาตดจะเปนรปเรขาคณตชนดใด

ตอบ …………………………………………………………………..

4. ถาใชระนาบตดมมของทรงสเหลยมมมฉากออก จะไดหนาตดเปนรปเรขาคณตชนดใด

ตอบ …………………………………………………………………..

5. ถาใชระนาบตดทรงกระบอกในแนวทตงฉากกบฐานจะไดหนาตดเปนรปเรขาคณต ชนดใด

ตอบ …………………………………………………………………..

6. ถาใชระนาบตดทรงกลม จะไดหนาตดเปนรปเรขาคณตชนดใด

ตอบ …………………………………………………………………..


มาตรฐาน ค 3.2 ใชการนกภาพ (visualization) ใชเหตผลเกยวกบปรภม (spatial reasoning) และใชแบบจ าลองทางเรขาคณต (geometric modei) ในการแกปญหา ตวชวดชนป ม.2/1

ใชสมบตเกยวกบความเทากนทกประการของรปสามเหลยม และสมบตของเสนขนานในการใหเหตผล และแกปญหา สงทนกเรยนตองร สมบตเกยวกบความเทากนทกประการ

1. รปสามเหลยมสองรปเทากนทกประการ กตอเมอ ดานคทสมนยกนและมมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทงสองรปนน มขนาดเทากนเปนคๆ สญลกษณแทใชแทนความเทากนทกประการ คอ

2. ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มความสมพนธแแบบ ดาน-มม-ดาน (ด.ม.ด.) กลาวคอ มดานยาวเทากนสองค และมมในระหวางดานคทยาวเทากน มขนาดเทากน แลวรปสามเหลยมสองรปนนเทากนทกประการ

3. ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ ทมความสมพนธแแบบ มม-ดาน-มม (ม.ด.ม.) กลาวคอ มมมทมขนาดเทากนสองค และดานซงเปนแขนรวมของมมทงสองยาวเทากน แลวรปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ

4. ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มความสมพนธแแบบ ดาน-ดาน-ดาน (ด.ด.ด.) กลาวคอ มดานยาวเทากนสามค แลวรปสามเหลยมสองรปนน จะเทากนทกประการ

5. รปสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากน 2 ค และมแขนของมมคทมขนาดเทากนคหนง ซงไมเปนแขนรวมของมมทมขนาดเทากน 2 คนน แลวรปสามเหลยมสองรป จะมความสมพนธแแบบ มม-มม-ดาน เขยนแทนดวย ม.ม.ด.

6. ความสมพนธแแบบ มม-มม-ดาน ตางจากความสมพนธแแบบ มม-ดาน-มม ทดานทเทากนในความสมพนธแแบบ มม-มม-ดาน ตองเปนดานทไมใชแขนรวมของมมคทเทากน แตดานทเทากนในความสมพนธแแบบ มม-ดาน-มม ตองเปนดานทเปนแขนรวมของมมคทเทากน

สมบตของเสนขนาน เสนตรงสองเสนทอยบนระนาบเดยวกนขนานกน กตอเมอ เสนตรงทงสองเสนนนไมตดกน เมอมเสนตรงเสนหนงตดเสนขนาน จะทาใหเกดมมแยง มมภายนอก และมมภายใน มมแยง หมายถง มมคหนงทอยคนละขางของเสนตดและไมใชมมประชด ซงมมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกนของเสนตด จะมขนาดเทากน และถาเสนตรงเสนหนงตดกบเสนตรงคหนง ทาใหมมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกนของเสนตดมขนาดเทากนแลว เสนตรงคนนจะขนานกน


เสนขนานและรปสามเหลยม

ขนาดของมมทงสามของรปสามเหลยมใดๆ รวมกนได 180 องศา และถาตอดานใดดานหนง

ของรปสามเหลยมออกไป มมภายนอกทเกดขน จะมขนาดเทากบผลบวกของขนาดของมมภายใน

ทไมใชมมประชดของมมภายนอกนน และสมบตดงกลาวนสามารถนาไปใชแกปญหาตางๆ ทเกยวของ

กบขนาดของมมได


ตวอยางท 1 กาหนดรปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมจตรส และ DE = DF

จงใหเหตผลวา ABE CBF

แนวคด 1. BCAB (ดานของรปสเหลยมจตรสยอมยาวเทากน)

2. BCFBAE∧∧

= (มมของรปสเหลยมจตรสยอมมขนาดเทากน)

3. DFDE = (โจทยก าหนดให)

และ CDAD = (ดานของรปสเหลยมจตรส)

จะได CFAE = (สมบตของการเทากน)

4. ABE CBF (ด.ม.ด.)

C

B A

D

E

F


ตวอยางท 2 หาขนาดของมมภายในแตละมมของรปสามเหลยม ABC ทกาหนดใหตอไปน

แนวคด เนองจาก 180EBCCBADBA

(มมตรงมขนาดเทากบ 180๐)

จะได 1806644

CBA

6644180CBA

70CBA

เนองจาก 180FCABCA

(มมตรงมขนาดเทากบ 180๐)

180114BCA

66114180BCA

เนองจาก 180BCACBACAB

(มมภายในของรปสามเหลยม รวมกนได 180 )

1806670CAB

446670180CAB

ดงนน 70CBA

, 66BCA

, 44CAB

44๐

66๐

114๐

F

C A

D B E



จากรปกาหนดให CD

BG และม

AB เปนเสนตด ถา FGBECA,GFCE

จงแสดงวา รปสามเหลยม AEC เทากนทกประการกบรปสามเหลยม BFG

แนวคด จากรป จะแสดงวา AEC BFG ไดดงน

1. FGBECA

(ก าหนดให)

2. FBGEAC

(มมแยงทเกดจากเสนตดเสนขนาน จะมขนาดเทากน) 3. GFCE (ก าหนดให)

ดงนน AEC BFG (ม.ม.ด.)

B E

F

C

D

A

G



ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงเหตผลวา ขอความทกาหนดใหเปนจรงหรอไม

1. แสดงเหตผลใหเหนวา “ถามมของรปสามเหลยมสองรปใดๆ มขนาดเทากนสองคแลวมมคทสามจะมขนาดเทากนดวย” เปนความจรง

............................................................................................................................. ........................... ............................................................................................................................. ........................... ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................................................................. ........................... ....................................................................................................................................................... .

2. แสดงเหตผลใหเหนวา “ถาตอดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไป มมภายนอกทเกดขน จะมขนาดเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในทไมใชมมประชดของมมภายนอกนน” เปนความจรง

............................................................................................................................. ...................................

................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ...................................

............................................................................................................................. ...................................

D

F E

n

y x

A

B C x y

m

A

B C D


3. แสดงเหตผลใหเหนวา “ถารปสามเหลยมสองรปมขนาดของมมเทากนสองค และมดานทอยตรง

ขามกบมมคทมขนาดเทากนคหนงแลว รปสามเหลยมสองรปนจะเทากนทกประการ” เปนความจรง

................................................................................................................................... ...................... ............................................................................................................................. ............................ ............................................................................................................................. ............................ ............................................................................................. ............................................................ ............................................................................................................................. ............................ ......................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................

A

B C

D

F E



ใชทฤษฎบทพทาโกรสและบทกลบในการใหเหตผลและแกปญหา


1. ทฤษฎบทพทาโกรส ทฤษฎบทพทาโกรส เปนทฤษฎทวาดวยความสมพนธแของความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก ซงกลาวไววา กาลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบวกของกาลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉาก 2. บทกลบทฤษฎบทพทาโกรส รปสามเหลยมใดๆ ถากาลงสองของความยาวของดานดานหนง เทากบผลบวกของกาลงสองของความยาวของดานอกสองดาน แลวรปสามเหลยมนนเปนรปสามเหลยมมมฉาก


ตวอยางท 1 จากรปสามเหลยมมมฉากทกาหนดให จงหาคา c

แนวคด จากความสมพนธแระหวางความยาวของรปสามเหลยมมมฉาก

จะได 222 2.34.2 c

24.1076.5

16

44

ดงนน 4c

c

2.4 ซม.

3.2 ซม.



กาหนดรปสามเหลยม PQR โดยท PS QR และ PS, QS, SR มความยาว เปน 36 , 27 และ 48 หนวย ตามลาดบ จงแสดงวา PQR เปนรปสามเหลยมมมฉาก

แนวคด จากโจทยแ PQS เปนรปสามเหลยมมมฉาก จะไดวา PQ2 = 272 + 362 = 729 + 1,296 = 2,025 จากโจทยแ PRS เปนรปสามเหลยมมมฉาก จะไดวา PR2 = 362 + 482 = 1,296 + 2,304 = 3,600 พจารณา PQ2 + PR2 = 2,025 + 3,600 = 5,625 เนองจาก QR = QS + SR จะได QR = 27 + 48 = 75 พจารณา QR2 = 5,625

จะไดวา PQ2 + PR2 = QR2

ดงนน PQR เปนรปสามเหลยมมมฉากทม QPR เปนมมฉาก

P

Q R S

36

48 27

^



ค าชแจง แสดงวธทาโจทยแปญหาตอไปน

1. กาหนดกลองทรงสเหลยมมมฉาก ดงรป มดาน AB ยาว 12 เซนตเมตร ดาน BC ยาว 9 เซนตเมตร และ ดาน AF ยาว 8 เซนตเมตร จงหาความยาวของ AH

วธท า............................................................................................................................. ................................ ........................................................................................................................................................... .. ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................ .................................................................... ......................................................................................... ............................................................................................................................. ................................ ..................................................................................................................................... ........................ .......................................................................................................... ................................................... ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................ .................................................................................... ......................................................................... ............................................................................................................................. ................................ ..................................................................................................................................................... ........ .......................................................................................................................... ...................................

A B

C D

E

F G

H

8 ซม.

12 ซม.

9 ซม.


2. เรอเดนทะเลลาหนงแลนไปทางทศเหนอ 20 ไมลแ แลวแลนไปทางทศตะวนตก 2 ไมลแ จงจอดเรอ เพอหยดพกเครอง แลวแลนตอไปทางทศเหนออก 20 ไมลแ และแลนไปทางทศตะวนออกอก 11 ไมลแ เรอลานอยหางจากจดเรมตนกไมลแ

วธท า................................................................................................................................................ ............. ..................................................................................................................... ........................................ ............................................................................................................................. ................................ ......................................................... .................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................... .............................................................. ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................ ......................................................................... .................................................................................... ............................................................................................................................. ................................ .......................................................................................................................................... ................... ............................................................................................................... .............................................. ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................ ......................................................................................... .................................................................... ............................................................................................................................. ................................ .......................................................................................................................................................... ... ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................


3. จากรป กาหนดให RQP

เปนมมฉาก QS ตงฉากกบ PR ตวเลขทกากบดานมหนวย เปนหนวยความยาว จงหาความยาวของ QS

วธท า.............................................................................................................. ............................................... ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................ ........................................................................................ ..................................................................... ............................................................................................................................. ................................ ......................................................................................................................................................... .... ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................ .................................................................. ........................................................................................... ............................................................................................................................. ................................ ................................................................................................................................... .......................... ........................................................................................................ ..................................................... ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................ ............................................................................................................................. ................................ .................................................................................. ........................................................................... ............................................................................................................................. ................................

P S R

Q

60 11



เขาใจเกยวกบการแปลงทางเรขาคณตในเรองการเลอนขนาน การสะทอน การหมน และนาไปใช


1. การแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ เปนการดาเนนการจบคกนแบบหนงตอหนง

แบบทวถง (one-to-one onto) ระหวางจดบนรปตนแบบกบจดบนรปทเกดจากการแปลง ซงทาให

รปตนแบบ (object) และรปทเกดจากการแปลง ซงเรยกวา ภาพ (image) มลกษณะเหมอนรปตนแบบ

เพยงแตขนาดอาจเทาเดม หรอเลกลง หรอใหญขน การแปลงทางเรขาคณต มทงการเลอนขนาน

การสะทอน การหมน และการยอหรอการขยาย ซงการแปลงทางเรขาคณตโดยการเลอนขนาน

การสะทอน และการหมน จะทาใหรปตนแบบและภาพมขนาดเทากน 2. การเลอนขนาน เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบ

ภาพมรปรางเหมอนกนและมขนาดเทากน โดยการเลอนจดทกจดไปบนระนาบตามแนวเสนตรงในทศทางเดยวกนและเปนระยะทางทเทากนตามทกาหนด

3. การสะทอน เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบภาพมรปรางเหมอนกนและมขนาดเทากน โดยการจบคกนแบบหนงตอหนง ทสมนยกนระหวางจดตางๆ บนรปตนแบบและภาพทเกดจากการสะทอน ระยะระหวางจดบนรปตนแบบถงเสนสะทอน กบระยะจากเสนสะทอนถงจดบนภาพทสมนยกนกบจดบนรปตนแบบ มความยาวเทากน เสนสะทอนจะแบงครงและตงฉากกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนภาพทเกดจากการสะทอนทสมนยกน จดตางๆ บนเสนสะทอน เปนจดคงทไมเปลยนตาแหนงเมอทาการสะทอน การสะทอนครงรป เมอพบตามแนวเสนสะทอน รปซกซายและซกขวาจะทบกนสนทพอด เรยกวา เสนสะทอนสมมาตร

4. การหมน เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบภาพมรปรางเหมอนกนและเทากน โดยการจบคระหวางจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนภาพทสมนยกน ซงจดบนรปตนแบบเคลอนทรอบจดหมนดวยขนาดของมมทกาหนดให และจดแตละคท สมนยกนจะมระยะหางจากจดหมนเปนระยะเทากน

5. การหมนม 2 ลกษณะ ดงน

1) การหมนทวนเขมนาฬกา 2) การหมนตามเขมนาฬกา




กาหนด ABC มจด A(-2,-2) , จด B(6, -1) และ จด C(2,-4) เปนจดยอดมม

จงเลอน ABC ดวย ST และหาพกดของจดยอดมมของ CBA ซงเปนภาพ

ทไดจากการเลอนขนาน ABC

จากภาพจะได

CBA เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน ABC ดวย ST ซงมจดยอดเปน A' (-6,2) B' (-2,0) และ C' (2,3)

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

A (-2,-2)

C (6,-1)

B (2,-4)

A' (-6,2) C ' (2,3)

B' (-2,0) T

S



ก าหนดสวนของเสนตรง PQ และม L เปนเสนของการสะทอน

จะพบวา จด QและP เปนภาพสะทอนของจด P และจด Q

QP เปนภาพสะทอนของ PQ

จากรป จะไดวา 1) ระยะจากจด P ถง เสนของการสะทอน L เทากบ ระยะจากจด P ถง เสนของ

การสะทอน L ระยะจากจด Q ถง เสนของการสะทอน L เทากบ ระยะจากจด Q ถง เสนของการสะทอน L

2) PQ = QP

3) เสนของการสะทอน L แบงครงและตงฉากกบ QQและPP

L


ตวอยางท 3 หาภาพทเกดจากการหมนรป ABC ทวนเขมนาฬกา ดวยมมทมขนาด 60 องศา

โดยจด P เปนจดหมน

ตวอยางท 4 กาหนดจด A เปนรปตนแบบ และจด P เปนจดหมน จงหาภาพทเกดจากการหมน รปตนแบบ ทวนเขมนาฬกา เปน 90๐ 180๐ และ 270๐ ตามลาดบ

- เมอหมนจด A ทวนเขมนาฬกา เปน 90๐ ไดภาพ A (-3,3) - เมอหมนจด A ทวนเขมนาฬกา เปน 180๐ ไดภาพ A (-3,-3) - เมอหมนจด A ทวนเขมนาฬกา เปน 270๐ ไดภาพ A (3,-3)



ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว

1. ขอใดตอไปนเปนการเลอนขนาน

ก. ค.

ข. ง.

2. หาพกดของจด A (4,-2) ทเกดจากการเลอนขนานเดยวกบการสงจด B (-1,5) ไปยงจด )1,5(B ก. (2,-2) ข. (8,4) ค. (0,-8) ง. (10,-6)

3. กาหนด AB โดยมแกน X เปนเสนสะทอน จด A มพกดเปน (-3,4) และจด B มพกดเปน (4,-2) จงหาพกดของจด A และ B ก. A (3,4) B (-4,-2) ข. A (-3,-4) B (4,2) ค. A (3,-4) B (-4,2) ง. A (-3,4) B (-4,2)


4. กาหนดให CBA เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน ABC ขอใดเปนเวกเตอรแของ

การเลอนขนาน ABC

ก.

ข.

ค.

ง.

5. ขอใดเปนการหมน ABC โดยหมนทวนเขมนาฬกา และมจด P เปนจดหมนเปนมม 90 องศา

ก. ค.

ข. ง.



บอกภาพทเกดขนจากการเลอนขนาน การสะทอน และการหมนรปตนแบบ และอธบายวธการทจะไดภาพทปรากฏ เมอกาหนดรปตนแบบและภาพนนให

สงทนกเรยนตองร 1. การเลอนขนาน เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบ

ภาพมรปรางเหมอนกนและมขนาดเทากน โดยการเลอนจดทกจดไปบนระนาบตามแนวเสนตรงในทศทางเดยวกนและเปนระยะทางทเทากนตามทกาหนด

2. การสะทอน เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบภาพมรปรางเหมอนกนและมขนาดเทากน โดยการจบคกนแบบหนงตอหนง ทสมนยกนระหวางจดตางๆ บนรปตนแบบและภาพทเกดจากการสะทอน ระยะระหวางจดบนรปตนแบบถงเสนสะทอน กบระยะจากเสนสะทอนถงจดบนภาพทสมนยกนกบจดบนรปตนแบบ มความยาวเทากน เสนสะทอนจะแบงครงและตงฉากกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนภาพทเกดจากการสะทอนทสมนยกน จดตางๆ บนเสนสะทอน เปนจดคงทไมเปลยนตาแหนงเมอทาการสะทอน การสะทอนครงรป เมอพบตามแนวเสนสะทอน รปซกซายและซกขวาจะทบกนสนทพอด เรยกวา เสนสะทอนสมมาตร

3. การหมน เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบภาพมรปรางเหมอนกนและเทากน โดยการจบคระหวางจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนภาพทสมนยกน ซงจดบนรปตนแบบเคลอนทรอบจดหมนดวยขนาดของมมทกาหนดให และจดแตละคท สมนยกนจะมระยะหางจากจดหมนเปนระยะเทากน


จากรป , , และ มการดาเนนการในการแปลง ดงน ...........................................................................................

ตอบ การหมน การสะทอน 2 ครง



ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณารปทกาหนดใหในแตละขอตอไปน แลววเคราะหแวาเกดจากการแปลง

ลกษณะใด (การเลอนขนาน การสะทอน หรอการหมน)

1.

จากรปมลกษณะคลายการแปลงในแบบ ............................................................. ............................

2.

จากรปใชการดาเนนการในการแปลงแบบ ......................................................................... ...............


3.

จากรป , , และ มการดาเนนการในการแปลง ดงน ......................................................................................................

4.

จากรป , , และ มการดาเนนการในการแปลง ดงน .................................................................................

5.

จากรป , , และ มการดาเนนการในการแปลง ดงน ..............................................................................................



ใชสมบตของรปสามเหลยมคลายในการใหเหตผลและการแกปญหา

สงทนกเรยนตองร รปสามเหลยมสองรปทคลายกนเปนไปตามเงอนไขเกยวกบขนาดของมมและอตราสวนของความยาวของดานทสมนยกน โดยทเราสามารถนาความรเกยวกบรปสามเหลยมทคลายกนไปใชในชวตประจาวนได

โจทยตวอยาง เงาของตกหลงหนงทอดยาว 30 เมตร ในขณะทรวสง 3 เมตรมเงาทอดยาว 1.8 เมตร อยากทราบวาตกหลงนมความสงเทาใด

แนวการคด จากขอมลในโจทยแ เขยนแผนภาพไดดงน A X 3ม. C Y 1.8 ม. B 30 เมตร

จากแผนภาพ ให AC แทนความสงของตก CB แทนความยาวของเงาตก เปน 30 เมตร XY แทนความสงของรว เปน 3 เมตร และ YB แทนความยาวของเงารว เปน 1.8 เมตร เนองจาก ABC ~ XBY

จะได XY

AC = YB

CB

หรอ 3

AC = 8.1

30

ดงน AC = 50 นนคอ ตกหลงนสง 50 เมตร

ตอบ ตกหลงนมความสง 50 เมตร




1. เสาไฟฟาตนหนงหก ณ จดทสงจากพน 9 เมตร และยอดเสาไฟฟาหางโคนเสา 12 เมตร ดงรป เดมเสาไฟฟาสงกเมตร 9 ม. 12 ม. วธท า ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………

2. บนไดยาว 5 เมตร พาดอยบนผนงตก ชางทาสขนบนไดไปได 3

2 ของบนได เขาทาแปรงตกลง

พนดน แปรงหางจากผนงตก 0.25 เมตร จงหาวาเชงบนไดหางจากผนงตกกเมตร

วธท า ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………


Q

3. จากรปให TSPQ // QP = 5 หนวย ST = 3 หนวย QS = x และ SR = y หนวย จงหา x : y

วธท า ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………

R

P

S

T 5

3

x y


สาระท 4 พชคณต

มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป (Pattern) ความสมพนธและฟงชน


วเคราะหและอธบายความสมพนธของแบบรปทก าหนดให


1) แบบรป (Pattern) หมายถง ความสมพนธของจ านวนหรอรปภาพทแสดงถงลกษณะ

ส าคญรวมกน 2) แบบรปของรปเรขาคณตและรปอน ๆ คอ“ชดของรปเรขาคณตและรปอนๆ ทม

ความสมพนธกนอยางใดอยางหนงในลกษณะของรปราง ขนาด หรอส เรา เรยกวา แบบรป

3) แบบรปของจ านวน คอการสงเสรมทกษะกระบวนการคดโดยเรมจากสถานการณ ตาง ๆ พฒนาการคนหาแบบรปของจ านวน เชน กจกรรมพาลนโดรม ล าดบฟโบนกช และปญหาชวนคดทหลากหลาย


ขอ 1 จงหาจ านวนถดไป จาก 1, 5, 10, 16, 23, 31, ...

แนวคด

1, 5, 10, 16, 23, 31,

4

40

5 6 7 8 9


ขอ 2 จงเตมจ านวนลงในชองวางใหถกตองพรอมทงแสดงวธการคดหรอแนวคด

7, 9, 11, 13, 15, 17, ...., ......., 23, 25

แนวคด : แบบรปของจ านวนทมลกษณะเพมขนทละเทา ๆ กน

พจารณาจาก 7 = 7 + 0 9 = 7 + 2 + 0

11 = 7 + 2 + 2 + 0

13 = 7 + 2 + 2 + 2 + 0

15 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2 + 0

17 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 + 0

19 = 7 + 2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 +0

21 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 +2 +2 +0

23 = 7 + 2 + 2 + 2+ 2 + 2+ 2 +2 +2 + 0

25 = 7 + 2 + 2+ 2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 +0



27, 15, 32, 12, 37, 9, 42 , 6, ......, ......,

แนวคด : เปลยนแบบใหมเปนการทาทงเพมขนทละเทา ๆ กนและลดลงทละเทา ๆ กน มารวมกน โดยเรมพจารณาจากชดท (1) 27, 32, 37, 42,...............

27 = 27 + 0

32 = 27 + 5 + 0

37 = 27 + 5 + 5 +0

42 = 27 + 5 + 5 + 5+ 0

47 = 27 + 5 + 5 + 5 + 5 + 0

และพจารณาชดท (2 ) 15, 12, 9, 6,..........

15 = 15 – 0

12 = 15 – 3 – 0

9 = 15 – 3 – 3 -0

6 = 15 – 3 – 3 – 3 – 0

3 = 15 – 3 – 3 – 3 - 3 - 0



ขอ 1 จงเตมจ านวนลงในชองวางใหถกตองพรอมทงแสดงแนวคด

10, 11, 13, 16, 20, 25, …….. , ......... , 46

อธบายแนวคด............................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ขอ 2 จงหาคา X

อธบายแนวคด............................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

X 7

11

19

35

5



35, 31, 27, 23, 19, ........ , 11, …….. , 3

อธบายแนวคด..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


56, 50, 44, 38, 32, ....., 20

อธบายแนวคด..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ขอ 5 จงเตมจ านวนลงในชองวางใหถกตองพรอมทงแสดงวธการคดหรอแนวคด 11, 14, 17, 20, 23, ...., ......, 32, 35

อธบายแนวคด..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตร (mathematical model) อน ๆ แทนสถานการณตาง ๆ ตลอดจน

แปลความหมายและน าไปใชแกปญหา


แกสมการเชงเสนตวแปรเดยวอยางงาย


1. สมการเชงเสนตวแปรเดยว หมายถง สมการซงม X เปนตวแปรและมรปทวไปเปนax

+ b= 0 , เมอ a,b เปนคาคงตว และ a 0 โดยค าตอบของสมการเชงเสนตวแปรเดยวจะมเพยงค าตอบเดยว การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยวจะใชสมบตการเทากนในการหาค าตอบ 1.1 สมการ คอ ประโยคสญลกษณทมเครองหมายเทากบ ( = ) โดยทสมการอาจจะมหรอไมมตวแปรกได เชน 35 x 2 = 70 , 56 x d = d x 56 , 25+12 = 37 และ 12+34 = 34+12 1.2 ค าตอบของสมการ หมายถง สมการทมการใชตวอกษรแทนจ านวน เรยกตวอกษรทแทนจ านวนในสมการวา ตวไมทราบคา หรอ ตวแปร ในการหาค าตอบของสมการโดยทวไปจะใชสมบตของการเทากนชวยในการหาค าตอบ เชน 35 x ก = 70 เรยกจ านวนทแทนตวไมทราบคาในสมการแลวไดสมการทเปนจรง เชน 35 x ก = 70 ถาแทน ก ดวย 1 จะได 35 x 1 = 35 (สมการเปนเทจ) ถาแทน ก ดวย 2 จะได 35 x 2 = 70 (สมการเปนจรง) ดงนน 2 คอ ค าตอบของสมการ

สมการทเปนจรง หมายถง สมการซงจ านวนทอยทางซายของเครองหมาย = กบจ านวน

ทอยทางขวาเทากน เชน

1. 35 x 2 = 70 2. 25 + 12 = 37 3. 25 - 10 = 15


สมการทเปนเทจ หมายถง สมการซงจ านวนทอยทางซายของเครองหมาย = กบจ านวน ทอยทางขวาไมเทากน เชน

1. 35 x 2 = 60 2. 25 + 12 = 30 3. 56 x d = d + 56

2. การแกสมการ คอ การหาจ านวนใด ทน ามาแทนตวแปรในสมการ แลวท าให ไดสมการทเปนจรง วธการแกสมการจงมหลายวธ เชน :- 2.1 วธการแทนคาตวแปร โดยพยายามหาตวเลขมาแทนคาตวแปร แลวทาใหสมการเปนจรง วธการนนาจะใชกบสมการงาย ๆ ไมซบซอน

2.2 ใชสมบตของความเทากนเขาชวยในการหาคาตวแปร ซงแตละสมบตมรายละเอยดดงน

1) สมบตการสมมาตร เปนสมบตทชวยใหเราสามารถเขยนการเทากน ของจานวนสองจานวน ได 2 แบบ เชน b = 5 หรอเขยน 5 = b

กรณทโจทยแกาหนด 2a + 5 = 12 เราอาจเขยนเปน 12 = 2a + 5 ตวอยาง 1 กาหนดให a + 2 = 6 แนวคด เราสามารถสรปไดวา 6 = a + 2 ตวอยาง 2 กาหนดให k + 1 = y + 1 แนวคด เราสรปไดวา 1 + y = k + 1

สรปสมบตการสมมาตร

เมอ a และ b เปนจานวนใด ๆ

ถากาหนดให a = b แลว เรา สรปไดวา b = a

2) สมบตการถายทอด สมบตนจะชวยใหเราสรปวาจานวน 2 จานวน

จาก 3 จานวนเทากนได เมอ 3 จานวนเขยนในรป จานวนท 1 = จานวนท 2 และจานวนท 2 = จานวนท 3 ขอสงเกต 1. จากสมบตการถายทอด จานวนทสรปวาเทากนจะอยซายสดและขวาสด 2. จานวนท 2 จะตองปรากฏถง 2 ครงและอยตรงกลางเทานน เชน a = b และ b = c จงจะ สรปผลไดดงน จานวนท 1 = จานวนท 3 หรอ a = c


ตวอยาง กาหนดให A + 5 = B และ C = B จากโจทยแเราสามารถใชสมบตการถายทอด แนวคด โจทยแกาหนดให A + 5 = B และ C = B พจารณาจาก

ขอสงเกต : พบวาจานวนทอยตรงกลางไมใชจานวนเดยวกนแตจะเปน B และ C ดงนน สมบตสมมาตรจะได C = B จะไดเปน B = C เราจะไดโจทยแใหมเปน ดงน @@ กาหนดให A + 5 = B แลว B = C จะได A + 5 = C

3) สมบตการบวก สมบตนมประโยชนมากในการแกสมการ เพราะสามารถทจะเปลยนรปแบบของสมการไดโดยผลลพธไมเปลยน สมบตนสรปไดวา ถาเรามจ านวน 2 จ านวนเทากน น าจ านวนอกจ านวนหนง มาบวก แตละจ านวนทเทากน ผลลพธจะเทากน

เชน @ b - 4 = 10 จะได b - 4 + 4 = 10 + 4

น า 4 มาบวกเขาทงสองขาง b = 14 @@ a + 5 = 8 จะได a + 5 + (-5) = 8 -5

น า -5 มาบวกเขาทงสองขาง a + 5 - 5 = 8 - 5 a + 0 = 3 a = 3

ขอสงเกต จากการทเราน าตวทเทากนมาบวกเขาทงสองขาง จงท าใหขางทมตวแปร เหลอเฉพาะ ตวแปร จงท าใหเราทราบคาตวแปรได

4) สมบตการคณ สมบตนมประโยชนมากในการแกสมการเชนเดยวกบสมบตการบวกเพราะสามารถจะเปลยนรปแบบของสมการไดโดยผลลพธไมเปลยน สมบตนสรปไดวา ถาเรามจ านวน 2 จ านวนเทากน น าจ านวน อกจ านวนหนง มาคณแตละจ านวนทเทากนผลลพธ จะเทากน เชน

@ โจทยก าหนดให จงแกสมการ 3b = 9 แนวคด - ใหเราพยามก าจดตวเลขท บวก,ลบ,คณ หรอหาร กบตวแปรออกกอน

สรปสมบตการถายทอด

ถา a, bและ c เปนจ านวนใด ๆ ถา ก าหนดให a = bและ b = c แลวสรปไดวา a = c

สรปสมบตการบวก ถา a , b และ c เปนจ านวนใด ๆ และถา a = b แลว สรปไดวา a+c = b+c


นนคอเราก าจด เลข 3 ออกจากตว b - ใหเราสงเกตดวา 3 ท าอะไรอยกบ b จากโจทย 3 ก าลงคณอยกบ b ดงนนเราตองเอา

3

1 มาคณทงสองขางของสมการเพอเอา 3 ออกไปใหเหลอ b ตวเดยว

ซงจะไดคา b ดงน:-

วธท า จากโจทย 3b = 9

3b 3

1 = 9 3

1

ตอบ b = 3

@@ โจทยก าหนดให จงแกสมการ แนวคด :

1. ใหเราพยามก าจดตวเลขท บวก,ลบ,คณ หรอหาร กบตวแปรออกกอน นนคอ

เราก าจดเลข ออกจากตว a หรอเราจะท าให ใหเปน a เพอจะไดคาของ a นนเอง

2. ใหเราสงเกตดวา ท าอะไรอยกบ a จากโจทย ก าลงคณ อยกบ a ดงนนเราตองเอา 5 มาคณทงสองขาง ของสมการ เพอเอา ออกไป ใหเหลอ a ตวเดยว ซงจะได คา a ตามทโจทยก าหนดใหหาหรอใหแกสมการ

วธท า จากโจทย จงแกสมการ

=> เอา 5 มาคณเขาทงสองขางของสมการ

=> a = 125 ตอบ a = 125

สรปสมบตการคณ ถา a , b และ c เปนจ านวนใด ๆ และถา a = b แลว สรปไดวา ac = bc

255

1a

a5

1

52555

1a

255

1a

5

1

5

1

5

1

5

1



ขอ 1 จงแกสมการ 4y + 2(y + 1) = -10 พรอมทงแสดงวธตรวจสอบค าตอบดวย

แนวคด 4y + 2(y + 1) = -10

4y + 2y + 2 = -10

6y + 2 = -10

นา -2 มาบวกเขาทงสองขางของสมการจะได (-2) + 6y + 2 = -10 + (-2)

นา 6

1 มาคณเขาทงสองขางของสมการจะได 6y 6

1 = -126

1

y = -2

ตรวจสอบ แทน y ดวย -2 ในสมการ 4y + 2(y + 1) = -10

จะได [4 (-2)] + 2[(-2) + 1)] = -10

-8 + 2(-1) = -10

-8 + (-2) = -10

-10 = -10 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน -2 เปนคาตอบของสมการ 4y + 2(y + 1) = -10


แบบฝกหด ชดท 2 (ค.4.2 ม.1/1)

ค าชแจง จงแกสมการตอไปน พรอมแสดงวธตรวจสอบคาตอบ

1. X + 58 = 99

2. b – 2.6 = 1.2

3. y - 3

5 = 3

7

4. – 0.3a = 2.4

5. 3

c = -14



เขยนสมการเชงเสนตวแปรเดยวจากสถานการณ หรอปญหาอยางงาย


การเขยนสมการเชงเสนตวแปรเดยวสามารถวเคราะหไดจากความสมพนธระหวางจ านวนจากเงอนไขในสถานการณ หรอปญหา


จงเปลยนประโยคภาษาตอไปนเปนประโยคสญลกษณ (1) สองในสามของจานวนนกเรยนในชนหนงเปนผชาย 28 คน

แนวคด : สองในสามของจานวนนกเรยนในชนหนง เปน 3

2 X

ดงนนจะได 3

2 X = 28

(2) ผลบวกของสเทาของจานวน ๆ หนงกบหกเปนสาม แนวคด : จานวน ๆ หนง เปน X ผลบวกของสเทาของจานวน ๆ หนงกบหก จะได 4X + 6 ดงนนจะได ผลบวกของสเทาของจานวน ๆ หนงกบหกเปนสาม คอ 4X+6 = 3

( 3) เมอแปดปทแลวอายของสมบตเปนสองในสามของอายปจจบน แนวคด : อายปจจบน เปน X เมอแปดปทแลว เปน X – 8

อายของสมบตเปนสองในสามของอายปจจบน เปน 3

2 X

เมอแปดปทแลวอายของสมบตเปนสองในสามของอายปจจบน ดงนนจะได X - 8 = 3

2 X



ค าชแจง จงเปลยนประโยคภาษาตอไปนเปนประโยคสญลกษณ

1. สามในเจดของเลขจานวนหนงตางกบสในหาของจานวน ๆ นนอยสบหา …………………………………………………………………………………………………..

2. ผลตางของสในหาของจานวนหนงกบสองเทากบสบเกา ………………………………………………………………………………………………….

3. ผลบวกของจานวนคสองจานวนเรยงกนเทากบหาสบแปด …………………………………………………………………………………………………

4. ปจจบนบดาอาย 33 ป นอยกวาสบสองเทาของอายบตรชายอย 3 ป ………………………………………………………………………………………………..

5. หนงในสองของจานวนสมดทมอยมากกวาทใชไปแลวสบเอดเลมอยสบแปดเลม …………………………………………………………………………………………………………….

6. ธรณมอาย 15 ป มากกวาสองเทาของอายนดอย 3 ป …………………………………………………………………………………………………….

7. สองเทาของผลบวกระหวางสามในสของเลขจานวนหนงกบสามเทากบ 96 ………………………………………………………………………………………………………

8. ชใจมขนมอยถงหนง แบงใหดวงแกว 4

1 ของจานวนขนมในถงนน ปรากฏวาดวงแกว

ไดขนมไป 5 ชน แสดงวาเดมชใจมขนมอยกชน

…............................................................................................................................. ......



แกโจทยปญหาเกยวกบสมการเชงเสนตวแปรเดยวอยางงาย พรอมทงตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบ


การแกโจทยปญหาเกยวกบสมการเชงเสนตวแปรเดยวจะใชสมบตของการเทากนในการหาค าตอบและตรวจสอบค าตอบ

1. โจทยสมการ คอ โจทยปญหาทางคณตสาสตรทใชการแกในการหาค าตอบ 1.1 ในการแกสมการนน มเปาหมายเพอจะทาใหสมการท กาหนดมาใหนน เหลออยในรปของ ตวแปร = คาคงท 1.2 การแกสมการใหนกเรยนสงเกตดวาโจทยแกาหนดมาอยางไร และเราจะใช สมบตอะไรเขาไปแกปญหาโจทยแนน ๆ

2. สรปขนตอนของการแกโจทยปญหาเกยวกบสมการ ดงน

ขนท 1 อานโจทยแใหเขาใจวาโจทยแกาหนดอะไรใหและตองการใหหาอะไร

ขนท 2 กาหนดตวแปรแทนสงทโจทยแ ใหหา

ขนท 3 เปลยนประโยคภาษาทโจทยแกาหนดใหเปนประโยคสญลกษณแเขยนสมการ

ขนท 4 แกสมการเพอหาคาตอบทโจทยแตองการ

ขนท 5 ตรวจสอบคาตอบทไดกบเงอนไขทโจทยแกาหนดวาสอดคลองกนหรอไม



ขอ 1. อก 3 ปขางหนา วชระจะมอายเปน 2 เทาของวชรา ถาปจจบนวชรามอาย 19 ป จงหาวาปจจบนวชระอายเทาไร

แนวคด : ให X แทนอายปจจบนของวชระ

ดงนน อก 3 ปขางหนา วชระจะมอาย X + 3 ป

ถาปจจบนวชรามอาย 19 ป

อก 3 ปขางหนา วชราจะมอาย 19 + 3 = 22 ป

อก 3 ปขางหนา วชระจะมอายเปน 2 เทาของวชรา

จงเขยนเปนสมการไดดงน X + 3 = 2 × 22

X + 3 = 44

X + 3 - 3 = 44 - 3

X = 41

ตรวจสอบ อก 3 ปขางหนา วชระจะมอาย = 41 + 3 = 44 ป

และอก 3 ปขางหนา วชราจะมอาย = 19 + 3 = 22 ป

จะเหนวา อก 3 ปขางหนา วชระจะมอายเปน 2 เทาของวชราจรง

นนคอ ปจจบนวชระมอาย = 41 ป

ตอบ ๔๑ ป


ขอ 2. พอมเงนอยจานวนหนง แบงใหลกคนโตไป 51 ของจานวนเงนทมอยและแบงใหลกคนเลกอก

50 บาท ปรากฏวาเงนทลกทงสองคนไดรบรวมเปนเงน 250 บาท จงหาจานวนเงนทพอมอยทงหมด

แนวคด ใหจานวนเงนทพอมอยทงหมด X บาท

แบงใหลกคนโต 51

ของจานวนเงนทพอมเงนคดเปน 51

X บาท

แบงใหลกคนเลกอก 50 บาท

ปรากฏวาลกทงสองไดรบเงนรวมกน 250 บาท

ดงนน 51

X + 50 = 250 บาท

51

X + 50 - 50 = 250 - 50

51

X = 200

X = 200 5 = 1,000 บาท

ตรวจสอบ ลกทงสองคนไดรบเงนรวมกน = ( 51 ×1,000) + 50

= 250 บาท ซงเปนจรง

นนคอ จานวนเงนทพอมเงนอย = 1,000 บาท

ตอบ ๑,๐๐๐ บาท



ค าชแจง จงหาคาตอบ

1. พอคาคนหนงซอขาวกลองและขาวมนปเพอนามาผสมกนใหได 100 กโลกรม เขาซอ ขาวมนป กโลกรมละ 20 บาท ซอขาวกลองกโลกรมละ 18 บาท เมอนามาผสมกนแลว เขาขายไปไดกาไร 40% คดเปนกาไร 776 บาท อยากทราบวา พอคาซอขาวแตละชนด อยางละกกโลกรม

ตอบ ……………………………………………………….

2. ปจจบนเตยอายมากกวาเตเา 6 ป อก 14 ปขางหนา อตราสวนอายของเตยตออายของเตเา เปน 5 : 4 ปจจบนเตยและเตเาอายเทาไร

ตอบ ……………………………………………………….

3. เมอ 3 ปทแลวบตรมอายเปนหนงในหกของอายของบดาถาปจจบนบตรมอาย 8 ป จงหาอายปจจบนของบดา

ตอบ ……………………………………………………….

4. โรงเรยนแหงหนงจดงานสงสรรคแศษยแเกา แตมนกเรยนปจจบนไปรวมงาน 7

3 ของผรวมงาน

ทงหมด ถานกเรยนปจจบนไปรวมงาน 420 คน ผรวมงานทงหมดมกคน

ตอบ ……………………………………………………….

5. สามในสของรายไดของนาย ก นอยกวานายรายไดของนาย ข อย 500 บาท ถานาย ข มรายได 2,600 บาท จงหารายไดของนาย ก

ตอบ ……………………………………………………….



เขยนกราฟบนระนาบในระบบพกดฉากแสดงความเกยวของของปรมาณสองชดทกาหนดให


1. กราฟแสดงความสมพนธแในระบบพกดฉากจะเขยนเสนจานวนในแนวนอนและแนวตง

ใหตดกนเปนมมฉากทตาแหนงของจดทเรยกวา “จดกาเนด”

1.1 กราฟเปนแผนภาพแสดงความสมพนธแระหวางสมาชกของกลมหนงกบสมาชกอก

กลมหนง โดยใชเสนจานวนในแนวนอนและแนวตงตดกนเปนมมฉากทตาแหนงของจดทแทนศนยแ (0) โดยเสนจานวนในแนวนอนเรยกวา แกนนอน หรอแกน X แทนสมาชกตวท หนง และ เสนจานวนในแนวตงเรยกวา แกนตง หรอแกน Y แทนสมาชกตวทสอง จดทเสนจานวนทงสองเสนตดกน เรยกวา “จดกาเนด (origin)” นยมแทนดวยจด 0 ซงมคอนดบ (0,0)

1.2 เสนจานวนสองเสนเปนแกนตดตงฉากกนทจานวนเตม 0 บนระนาบเดยวกน เรยกระนาบนวา ระนาบจานวน โดยเสนจานวนแสดงจานวนเตมทงสองเสน เปนแกนในการเขยนกราฟ แบงระนาบจานวนออกเปน 4 สวน แตละสวนเรยกวา จตภาค (quadrant) จดแตละจด บนเสนระนาบจานวนแทนคอนดบเพยงคเดยวเทานน เขยนในรปทวไปคอ (a ,b) โดย a เปนจานวนใด ๆ ทอยบนแกนนอนเรยกวา แกน X และ b เปนจานวนใด ๆ ทอยบนแกนตงเรยกวาแกน Y

2. คอนดบแตละคอนดบแทนไดดวยจดบนระนาบ เรยกจดนวา กราฟคอนดบ พจารณาลกษณะของกราฟตอไปน


จากรป จด A เปนจดทอยหางจากแกนตง (แกน Y) 5 หนวย และหางจากแกนนอน (แกน X ) 1 หนวย ดงนน จด A แทนคอนดบ (5,1) จด B แทนคอนดบ (4,5) จด C แทนคอนดบ (3,3)

จด D แทนคอนดบ (2,4)


โจทยตวอยาง ขอ 1. ใหนกเรยนนาขอมลจากตารางคอนดบไปเขยนกราฟแสดงความสมพนธแระหวาง

ปรมาณสองกลมตามตารางน

จานวนสม (ผล) 2 4 6 8 10 ราคา (บาท) 4 8 12 16 20

แนวคด : จากตาราง เขยนคอนดบแสดงความสมพนธแระหวางจานวนสม และราคาไดดงน (2,4) (4,8), (6,12), (8,16), และ (10,20) เมอกาหนดใหแกน X แสดงจานวนสม และแกน y แสดงราคาสมกราฟแสดงความสมพนธแของจานวนสมและราคา จะสงเกตวา

1. แกนนอน (แกน X) และแกนตง (แกน Y) การกาหนดความยาวไมจาเปนตอง เทากนแลวแตความเหมาะสม แตถาเปนแกนเดยวกนชวงหางตองใชความยาวเทากน

2. กราฟแสดงความสมพนธแระหวางจานวนเตมและราคา ตอเปนเสนไมได เพราะ จานวนสมเปนจานวนนบ

3. เนองจากจานวนสมและราคาสมเปนจานวน กราฟของความสมพนธแจงอยใน จตภาคท 1 เทานน



ค าชแจง จงเขยนกราฟแสดงความสมพนธแระหวางขอมลทกาหนดใหในแตละขอ

ขอ 1

เวลา(นาท) 0 1 2 3 4 ระยะทาง(เมตร) 0 10 20 30 40

ขอ 2

จ านวนดนสอ (แทง) 1 2 3 4 5 ราคา (บาท) 5 10 15 20 25

ขอ 3

ปรมาณขาวสาร (กโลกรม) 1 2 3 4 5 ราคา (บาท) 25 50 75 100 125

ขอ 4

เวลา (ชวโมง) 1 2 3 4 5 ระยะทาง (กโลเมตร) 70 140 210 280 350



อานและแปลความหมายของกราฟบนระนาบในระบบพกดฉากทกาหนดให


การอานและแปลความหมายของกราฟบนระนาบในระบบพกดฉากจะทราบถงความสมพนธแ ระหวางปรมาณสองกลมและสามารถอธบายความเปลยนแปลงของปรมาณทเกดขนได


ขอ 1. จงตอบคาถามจากกราฟตอไปน ปรมาณนาฝนวดเปนมลลเมตรทหาดเจาสาราญ จงหวดเพชรบร ในวนท 1 - 10 กรกฎาคม แสดงดวยกราฟไดดงน

1. วนท 2วดปรมาณนาฝนไดเทาไร

2. วนทเทาไรฝนตกมากทสด วดปรมาณนาฝนไดเทาไร

3. วนทฝนตกนอยทสด และวนทฝนตกมากทสด มปรมาณนาฝนตางกนเทาไร

4. จงหาปรมาณนาฝนเฉลยของทง 10 วน

5. วนทฝนตกมากทสด วดปรมาณไดมากกวาปรมาณนาฝนเฉลยเทาไร


10

10

แนวคด จากโจทย

1. วนท 2 วดปรมาณนาฝนไดเทาไร

วนท 2 วดปรมาณนาฝนได 35 มลลเมตร

2. วนทเทาไรฝนตกมากทสด วดปรมาณนาฝนไดเทาไร

วนท 8 ฝนตกมากทสด วดปรมาณนาฝนได 70 มลลเมตร

3. วนทฝนตกนอยทสด และวนทฝนตกมากทสด มปรมาณนาฝนตางกนเทาไร

วนท 1 ฝนตกนอยทสด 25 มลลเมตร

วนท 8 ฝนตกมากทสด 70 มลลเมตร

ดงนน วนทฝนตกนอยทสดและวนทฝนตกมากทสด

มปรมาณนาฝนตางกน 70 - 25 = 45 มลลเมตร

4. จงหาปรมาณนาฝนเฉลยของทง 10 วน

ปรมาณนาฝนเฉลยของทง 10 วน

= 10

43667045506055403625

= 10

490 = 49 มลลเมตร (ประมาณ)

5. วนทฝนตกมากทสด วดปรมาณไดมากกวาปรมาณนาฝนเฉลยเทาไร

วนทฝนตกมากทสดวดปรมาณไดมากกวาปรมาณนาฝนเฉลยเทากบ 70-49 = 21 มลลเมตร




ขอ 1. เมอปลอยวตถเปนเนอเหลกใหตกลงจากทสง ระยะทางทวตถตกจะเปลยนแปลงไปตามเวลาดงกราฟ ทแสดงความสมพนธแระหวางเวลาและระยะทางในลกษณะทตอเนองกน เปนสวนของเสนโคงดงรป

จงตอบค าถามตอไปน

(1) เมอเวลาผานไป 3 วนาท วตถตกลงมาไดประมาณกเมตร ตอบ …………………………………………….

(2) เมอเวลาผานไป 6 วนาท วตถตกลงมาไดประมาณกเมตร ตอบ …………………………………………….

(3) ถาวตถตกลงมาได 90 เมตร เวลาผานไปประมาณกวนาท ตอบ …………………………………………….

(4) ถาวตถตกลงมาได 180 เมตร เวลาผานไปประมาณกวนาท ตอบ …………………………………………….

(5) วตถตกลงมาทพกด (5, 160) หมายความวาอยางไร ตอบ …………………………………………….


ขอ 2. กราฟแสดงความสมพนธแระหวางเวลาและระยะทางทวตถตกจากทสง


(1) เมอเวลาผานไป 4.5 วนาท วตถตกลงมาไดประมาณกเมตร ตอบ …………………………………………….

(2) ถาวตถตกลงมาไดประมาณ 120 เมตร เวลาผานไปประมาณกวนาท

ตอบ …………………………………………….



แกโจทยแปญหาเกยวกบสมการเชงเสนตวแปรเดยว พรอมทงตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบ

สงทนกเรยนตองร 1. สมการทมตวแปรเดยวและมเลขชกาลงของตวแปรเปน 1 เรยกวา สมการเชงเสนตวแปร

เดยวซงมรปทวไปเปน ax+b = 0, เมอ x เปนตวแปร a, b เปนคาคงตว และ a ≠0 และสมการนจะ มคาตอบเพยงคาตอบเดยวเทานน การแกสมการ เปนการใชสมบตการเทากน เพอชวยในการหาคาตอบของสมการ สมบตของการเทากน มดงน สมบตการสมมาตร สมบตการถายทอด สมบตการบวก และสมบตการคณ


ขอ 1. เทพมเหรยญบาทและเหรยญหาสบสตางคแ จานวน 30 เหรยญ คดเปน 20 บาท จงหาวาเทพมเงนเหรยญบาทและเหรยญหาสบสตางคแอยางละกเหรยญ

แนวคด

ขนท 1 สงทโจทยแกาหนด และสงทโจทยแตองการทราบสงทกาหนดให คอ เทพมเงนเหรยญบาทและเหรยญหาสบสตางคแ จานวน 30 เหรยญ คดเปน 20 บาท

สงทโจทยแถาม คอ เทพมเงนเหรยญบาทและเหรยญหาสบสตางคแอยางละกเหรยญ

ขนท 2 วางแผนการแกโจทยแปญหากาหนดให เทพมเงนเหรยญบาท จานวน X เหรยญ จะไดวา เทพมเงนเหรยญหาสบสตางคแ จานวน 30 - X เหรยญ

ขนท 3 อธบายขนตอนการแกโจทยแปญหาตามแผนทวางไว เหรยญบาท X เหรยญ คดเปนเงน X บาท

เหรยญหาสบสตางคแ 30 - x เหรยญ คดเปนเงน x-302

1 บาท

จะได 20-302

1 xx

นา 2 คณเขาทงสองขาง 40-302

22 xx

จะได 40302 xx

3040x

10x

-


ดงนน เทพมเงนเหรยญบาท จานวน 10 เหรยญ

และเหรยญหาสบสตางคแ จานวน 20 เหรยญ

ขนท 4 ตรวจสอบคาตอบดวยวธทหลากหลายและรวดเรว

นาคา 10x แทนในสมการ 20-302

1 xx

2010-302

110

20202

110

ตอบ 201010 สมการเปนจรง



ขอ 1. ในกระปกออมสนของมาน มเงนเหรยญหาบาทและเหรยญสบบาท รวมกน 25 เหรยญ คดเปนเงนทงสน 185 บาท จงหาวามานมเงนเหรยญหาบาทและเหรยญ สบบาทอยางละ กเหรยญ

ขอ 2. แมคาขายมะนาว จดแบงมะนาวเปนกองเลกและกองใหญ โดยกองเลกมมะนาว กองละ 5 ผล และกองใหญมมะนาว กองละ 10 ผล ถามะนาวทงกองเลกและกองใหญมทงหมด 30 กอง รวมเปนมะนาว 280 ผล อยากทราบวามมะนาว กองเลกและกองใหญอยางละกกอง

ขอ 3 แมคาซอไขมาจานวนหนงราคาฟองละ 2.75 บาท ขายไขไปฟองละ 3.25 บาท แบงใหเพอนบานไป 12 ฟอง ขายไขทเหลอทงหมดยงไดกาไรอก 111 บาท จงหาวาแมคาซอไขมาทงหมดกฟอง

ขอ 4 มานะมขนมอยหนง แบงใหมาน 3

1 ของจานวนขนมในถงนน ปรากฏวามานไดขนม

ไป 6 ชน จงหาวาเดมมานะมขนมอยกชน



หาพกดของจด และอธบายลกษณะของรปเรขาคณตทเกดขนจากการเลอนขนาน การสะทอน และการหมนบนระนาบในระบบพกดฉาก


1. การเลอนขนาน การสะทอน และการหมน รปเรขาคณตบนระนาบในระบบ พกดฉาก

2. การเลอนขนาน ( Translation) เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบภาพมรปรางเหมอนกนและมขนาดเทากน โดยการเลอนจดทกจดไปบนระนาบตามแนวเสนตรงในทศทางเดยวกนและเปนระยะทางทเทากนตามทกาหนด

3. การสะทอน (Reflection) เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบภาพมรปรางเหมอนกนและมขนาดเทากน โดยการจบคกนแบบหนงตอหนง ทสมนยกนระหวางจดตาง ๆ บนรปตนแบบและภาพทเกดจากการสะทอน ระยะระหวางจดบนรปตนแบบถง เสนสะทอน กบระยะจากเสนสะทอนถงจดบนภาพทสมนยกนกบจดบนรปตนแบบ มความยาวเทากน เสนสะทอนจะแบงครงและตงฉากกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนภาพ ทเกดจากการสะทอนทสมนยกน จดตางๆ บนเสนสะทอน เปนจดคงทไมเปลยนตาแหนงเมอทาการสะทอน การสะทอน ครงรป เมอพบตามแนวเสนสะทอน รปซกซายและซกขวาจะทบกนสนทพอด เรยกวา เสนสะทอนสมมาตร

การสะทอนของรปตาง ๆ

1) 2)


4. การหมน(Rotation) เปนการแปลงทางเรขาคณตของรปบนระนาบ ซงทาใหรปตนแบบกบภาพมรปรางเหมอนกนและเทากน โดยการจบคระหวางจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนภาพทสมนยกนซงจดบนรปตนแบบเคลอนทรอบจดหมนดวยขนาดของมมทกาหนดให และจด แตละคทสมนยกนจะมระยะหางจากจดหมนเปนระยะเทากน


ขอ 1. กาหนด ABC มจด A(2,3) , B(3,-3) และ C(6,2) และม CBA เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน ABC จด A มพกดเปน (-5,3) จงหาพกดของ B และพกด C

ตอบ พกดของ B ...................... พกดของ C ...........................

Y

X

(-4,-3) (-1,2)


ขอ 2. หาพกดของจดบนรปทไดจากการสะทอนของรปตนแบบทกาหนดใหในแตละขอโดย มแกน Y เปนเสนของการสะทอน ตอบ... พกดของ A' ............................ B' .................................. C' ..............

ขอ 3. การสรางรปสามเหลยม ABC และให P เปนจดหมน และหมนตามเขมนาฬกา เปน 180 องศา และได ภาพปรากฏ ดงน

X

(6,1) (2,4) (0,-2)

Y

Y

X



ขอ 1 กาหนดใหรปสเหลยม ABCD มพกด ดงน A (-6,1) , B (-2,1) , C (-1,3) และ

D (-5,3) จงสรางตอไปน

1) รปทเกดจากการเลอนขนานของรปสเหลยม ABCD ขนานกบแกน X ไปทางซาย 5 หนวย พรอมทงหา จดพกด

2) รปทเกดจากการเลอนขนานรปสเหลยม ABCD ขนานกบแกน Y ลงมาดานลาง 4 หนวย พรอมทงหา จดพกด

Y

X


ขอ 2 . จงหาพกดของจดบนรปทไดจากการสะทอนของรปตนแบบทกาหนดใหในแตละขอ โดยมแกน Y เปนเสนของการสะทอน

พกดของ N' .................... D' ....................... L' .................... M' .......................

ขอ 3. ใหนกเรยนสรางรปสามเหลยม ABC และให P เปนจดหมน และหมนตามเขมนาฬกาเปน 90 องศา ตามรปตนแบบ ดงน

X

Y



ใชความรเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยวในการแกปญหา พรอมทงตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบ


การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยวจะใชสมบตของการไมเทากนในการหาค าตอบและตรวจสอบค าตอบ

1. อสมการ คอ ประโยคสญลกษณแทกลาวถงความสมพนธแของจานวนโดยมสญลกษณ “ > , < , ≥ , ≤ หรอ ≠” บอกความสมพนธของจานวน

ค าตอบของอสมการ คอ จานวนทแทนตวแปรแลวในอสมการทาใหอสมการเปนจรงหรอ สอดคลองกบอสมการ

2. อสมการเชงเสนตวแปรเดยว คอ อสมการซงพหนามในอสมการเปนพหนามทมตวแปรเพยงตวเดยวและดกรของพหนามเทากบ 1 เชน 3X – 4 < 2X + 5 และ 4X ≠ 24

3. อสมการทสมมลกน อสมการ A สมมลกบอสมการ B กตอเมอ คาตอบทกคาตอบของอสมการ A เปนคาตอบทกคาตอบของอสมการ B และคาตอบทกคาตอบของอสมการ B เปนคาตอบของอสมการ A เชน

X – 4 < 5 สมมลกบ 2X < X + 9 4X – 6 < 2X + 8 สมมลกบ X < 7

4. สมบตของการไมเทากน ให a, b และ c แทนจานวนใด ๆ (1) สมบตการถายทอด ถา a < b และ b < c และ a < c (2) สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา a < b แลว a + c < b + c (3) สมบตการคณดวยจานวนทเทากน เมอ c > 0 ถา a < b แลว ac < bc

เมอ c < 0 ถา a < b แลว ac > bc ขอควรระวง เมอนาจานวนลบมาคณหรอหารในอสมการจะตองเปลยนเครองหมายเปน

ตรงกนขาม ดงน > เปลยนเปน < ≥ เปลยนเปน ≤ < เปลยนเปน > ≤ เปลยนเปน ≥

เชน -2X > 6 2X < -6


30502

1

X < -3

5. การแกอสมการ

5.1 ประโยคภาษาและประโยคสญลกษณ ประโยคภาษาคอ ประโยคทใชตดตอสอสารกนในชวตประจาวน ประโยคสญลกษณแ คอ ประโยคทถกสรางขนมาแทนประโยคภาษาเพอความ

สะดวกในการคดคานวณ

ประโยคภาษา ประโยคสญลกษณแ

ครงหนงของหาสบนอยกวาสามสบ

6. หลกการแกอสมการ

6.1 คาตอบทไดจากอสมการจะอยในรปชวง 6.2 ถาคณหรอหารดวยคาลบ(จานวนจรงลบ) เครองหมายของอสมการตองเปลยนเปน

ตรงขาม 6.3 การแกอสมการกาลงสงสดแคหนงใหใชหลกการแกเหมอนการแกสมการคอยายขาง

ไดสาหรบการบวกและลบนยมยายตวแปรไวดานหนง

7. การแกอสมการทมก าลงมากกวาหนง 7.1 ทาทางขวามอของอสมการใหมคาเปนศนยแ 7.2 แยกตวประกอบของอสมการใหอยในรปผลคณหรอผลหารของฟงกแชน 7.3 พจารณาดวาคาใดบางททาใหตวประกอบแตละตวเทากบศนยแ 7.4 นาคาทไดใสลงในเสนจานวน โดยเรยงจากนอยไปมาก

นอย + - + - + มาก

กาหนดใหชวงทางขวามอสดเปนคาบวก และถดมาเปนคาลบ บวก ลบ …… สลบไปเรอย ๆ ตามจานวนของชวงทมอย

7.5 พจารณาหาคาตอบ โดยใชหลก (1) ถาอสมการเครองหมาย , เลอกชวงทมคาบวก(+) ถามหลายคาเชอมดวย "หรอ"

(2) ถาอสมการเครองหมาย , เลอกชวงทมคาลบ(-) ถามหลายคาเชอมดวย "หรอ"


8. ค าตอบและกราฟแสดงค าตอบของอสมการ 8.1 คาตอบของอสมการ เชน X – 3 > 0 จะให X > 3 จะไดวาคาตอบของอสมการ คอ X > 3 (ทกคาทมากกวา 3) 8.2 กราฟแสดงคาตอบ จาก X > 3 เขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน

9. โจทยปญหาอสมการ หาคาตอบแบบเดยวกบสมการ แตมกจะใชคาพดวา ไมถง, ไมนอยกวา, ไมมากกวา, เปนตน 10. อสมการเชงเสน การแกปญหาอสมการเชงเสน มลกษณะประยกตแมาจากสมการ เชน สมการเชงเสน มตวแปรและความสาคญอยในรป

ax + by + c = 0

ถา a =0 b 0

จะไดเสนตรงทขนานกบแกน x และตด

แกน y ท ( 0 , -b

c )

ถา a 0 b = 0

จะไดเสนตรงทขนานกบแกน y และตดแกน x ท ( -a

c , 0 )

ถา a 0 b 0

จะไดเสนตรงตดแกน x ท (-a

c ,0) ตดแกน y ท ( 0 , -b

c )

กราฟอสมการสองตวแปร

3


ในการใชงานอสมการ คอ การแทนฟงกแชนในสมการดานทมเครองหมาย > < อยกลาง

โดยหากเปนอสมการทมตวแปรสองตวกจะอยในรป

ax + by + c < 0 และ ax + by + c 0

ax + by + c > 0 และ ax + by + c 0

เมอ x และ y เปนตวแปรลาดบกาลงหนง สวน a , b , c เปนคาคงตว ซง a 0 หรอ b 0

กรณท b = 0 กรณท b 0

โจทยตวอยาง จงแกอสมการตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบ

ขอ 1. 3x + 5 > 2x + 3 วธท า 3x + 5 > 2x + 3 นา -2x บวกเขาทงสองขาง จะได 3x + 5 + (-2x) > 2x + 3 + (-2x) x + 5 > 3 นา -5 บวกทงสองขาง จะได x + 5 + (-5) > 3 + (-5) x > -2

ตอบ คาตอบอสมการคอ จานวนทกจานวนทมากกวา -2

กราฟแสดงค าตอบ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/case_b0.htm

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/case_b0n.htm


ขอ 2. -5 + r < -9

วธท า -5 + r < -9

-5 + 5 + r < -9 + 5 (นา 5 บวกทงสองขาง)

r < -4 ตอบ กราฟแสดงคาตอบ

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

ขอ 3 . 3x - 7 > x + 1

วธทา 3x - x > 1 + 7

2x > 8

x > 2

8

x > 4

ตอบ กราฟแสดงคาตอบ

0 1 2 3 4 5 6 7

ขอ 4. 4

7

4

1

3

2

x

4

1

4

7

3

2

x

23

2

x

x 2

32 x 3

ตอบ กราฟแสดงคาตอบ

1 2 3 4 5 6 7 8



ค าชแจง จงแกอสมการตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบ

1. จงแกอสมการ 5X + 6 < 7X + 8

2. จงแกอสมการ -8X + 7 < -15 + 6X

3. จงแกอสมการ -4X + 1 9

4. จงแกอสมการ

5. จงแกอสมการ

6. จงหาคาตอบของอสมการ 55

3x2

5

4

x

7. เดกชายแสนดไดรบเงนจากพอและแมเปนจานวนเทา ๆ กน เพอเปนคาใชจายประจาสปดาหแ เมอสนสปดาหแเขารวมรายจายแลวพบวาไดใชเงนไปทงสน 310 บาท และฝากธนาคารออมสนไว 100 บาท เมอนบเงนทเหลอแลวปรากฏวาเหลอไมถง 50 บาท จงหาวาเดกชายแสนดไดรบเงนจากพอเทาไร



เขยนกราฟแสดงความเกยวของระหวางปรมาณสองชดทมความสมพนธแเชงเสน สงทนกเรยนตองร


กราฟแสดงความเกยวของระหวางปรมาณสองชดทมความสมพนธเชงเสนมลกษณะเปนเสนตรง สวนของเสนตรงหรอเปนจด ทเรยงอยในแนวเสนตรงเดยวกน

1. ระบบสมการเชงเสน (system of linear equations)

สมการเชงเสน (Linear equation) หมายถง สมการใด ๆ ทมตวแปร 1 ตว หรอ 2 ตว หรอ 3 ตว แตกาลงของตวแปรนน ๆ ตองเปน 1 เสมอ เชน aX + bY + cZ = d

2. สมการเชงเสนสองตวแปร (Linear equation with two variable)

สมการเชงเสนสองตวแปร คอ สมการทอยในรปทวไป คอ Ax + By + C = 0 เมอ A , B , C เปนคาคงท A, B ไมเปนศนยแพรอมกน และ x , y เปนตวแปร

ขอสงเกต

1. สมการเชงเสนสองตวแปร เปนสมการทมตวแปรสองตวเลขชกาลงของตวแปรแตละตวเปน 1 และไมมการคณกนของตวแปร

2. คาตอบของสมการเชงเสนสองตวแปร ทม X และ Y เปนตวแปรไดแก คาของ X และ Y ททาใหสมการเปนจรง นยมเขยนในรปคอนดบ ( X , Y )

เชน (4,8) จะไดวา X = 4 , Y = 8

สมการเชงเสนสองตวแปร เลขชกาลงของตวแปรแตละตวเปน 1 และไมมการคณของตวแปร เรยกวา สมการเชงเสนสองตวแปร เชน 2X + Y = 5 เมอ X , Y แทนจานวนเตม ซงเขยนกราฟจากรปสมการ 2X + Y = 5


โจทยตวอยาง มนกกฬาชาย หญงรวมกน 12 คน จงเขยนคอนดบ ( X , Y )

วธท า ให X แทนจานวนนกกฬาชาย ให Y แทนจานวนนกกฬาหญง

จากโจทยแเขยนเปนประโยคสญลกษณแ ไดดงน X + Y = 12

X 1 2 3 4 5 6 7 8

Y 11 10 9 8 7 6 5 4

จากตาราง เขยนใหอยในรปคอนดบ ( X , Y )ไดดงน ( 1 , 11 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 , 8 ), ( 5 , 7 ) , ( 6 , 6 ) , ( 7 , 5 ) , ( 8 , 4 ), ( 9 , 3 ) , ( 10 , 2 ) , ( 11 ,1 ) นามาเขยนกราฟไดดงน

Y 12 10 8 6 4 2 0

2 4 6 8 10 12 x


แบบฝกหด ชดท 10 ค 4.2 ม.3/2


1. จงเขยนกราฟของสมการตอไปนโดยใชแกนคเดยวกน เสนตรงเหลานตดแกน y ทจดใด 1.1 y = -2x

1.2 y = -x

2. จงเขยนกราฟของสมการตอไปนโดยใชแกนคเดยวกน เสนตรงเหลานตดแกน y ทจดใด 2.1 y = -x + 1

2.2 y = -2x + 1

3. จงแกสมการ 2x + y = -3 และ 2x + y = 3 แลวเขยนกราฟลงบนแกนคเดยวกน



เขยนกราฟของสมการเชงเสนสองตวแปร


1. กราฟของสมการเชงเสนสองตวแปรทอยในรป Ax + By + C = 0 แสดงความเกยวของระหวางปรมาณสองชดทมความสมพนธแเชงเสนมลกษณะเปนเสนตรง สวนของเสนตรงหรอเปนจด ทเรยงอยในแนวเสนตรงเดยวกน

2. กราฟของสมการเชงเสนสองตวแปร คอ กราฟของคาตอบของสมการเชงเสน สองตวแปร ซงเกดจากการนาคาตอบไปเขยนกราฟจากรปทวไปของสมการเชงเสนสองตวแปร

คอ Ax + By + C = 0 จะได By = – Ax – C

Y = (-A/B)x-C/B ให a = -A/B และ b = - C/B ปรบรปสมการใหม จะได y = ax + b เมอ a , b เปนคาคงตว x , y เปนตวแปร ( a คอ ความชน , b เปนตาแหนงทกราฟตดแกน Y ทจด (0, b) )

สมการในรป y = ax + b เรยกวา รปมาตรฐานของสมการเชงเสนสองตวแปร โดย a เรยกวาความชนของเสนตรง ซงคาของ a และ b จะทาใหทราบลกษณะกราฟดงนคอ

1. คาของ a บอกใหทราบวากราฟทามมอยางไรกบแกน x ดงน

a > 0 กราฟจะทามมแหลมกบแกน x

a < 0 กราฟจะทามมปานกบแกน x

a = 0 กราฟจะขนานกบแกน x

2. คาของ b จะบอกใหทราบวากราฟตดแกน y ทจดใดโดยกราฟจะตดแกน y ท (0, b)

3. ถาสมการใด ๆ ทมคา a เทากน จะไดกราฟทขนานกน

4. ถาสมการใด ๆ ทมคา a คณกนได –1 จะไดกราฟ 2 เสนตงฉากกน

5. เนองจากกราฟของสมการ y = ax + b เปนเสนตรง ดงนนในการเขยนกราฟของสมการดงกลาวจงสามารถทาไดโดยการหาจดเพยง 2 จด ทแทน (x, y) แลวทาใหสมการนนเปนจรง


โจทยตวอยาง จงเขยนกราฟของสมการ 2x + y = 3

แนวคด 2 x +y = 3

ยายขาง จะได Y = 3 - 2x

(กาหนดให X = 1) แทนคา y = 3 – 2 (1)

y = 3 – 2 y = 1

แบบฝกหดชดท 11 (ค 4.2 ม.3/3 )

ขอ 1 จงหาคา x และ คา y จากระบบสมการ x + y = 4 และ x - y = 2 ขอ 2 จงแกสมการ x + y = 8 และ x - y = 2 แลวเขยนกราฟลงบนแกน

คเดยวกน

ขอ 3 จงแกระบบสมการ 2a - b = 3 และ a + 2b = 4

ขอ 4 จงแกระบบสมการ 4x - 3y = 12 และ 8x - 6y - 24 = 0

x -2 -1 0 1 2 3 4

y 7 5 3 1 -1 -3 -5

ตรวจค าตอบ 2 x +y = 3, ( x =1, y = 1)

แทนคา 2 (1) +1 = 3

3 = 3

3 = 3



อานและแปลความหมายกราฟของระบบสมการเชงเสนสองตวแปรและกราฟอน ๆ


ระบบสมการเชงเสนสองตวแปรอาจมค าตอบเดยว มหลายค าตอบหรอไมมค าตอบ โดยพจารณาไดจากกราฟของสมการทงสองของระบบสมการเชงเสนสองตวแปรนน ๆ

1. ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร (system of linear equation with two variable) ให a, b , c , d , e และ f เปนจานวนจรงใด ๆ ท a , b ไมเปนศนยแพรอมกนและ c, d ไมเปนศนยแพรอมกน เรยก ax + by = e

cx + dy = f วาระบบสมการเชงเสนสองตวแปร คาตอบของระบบสมการเชงเสน คอ คาของ x และ y ททาใหระบบสมการนนเปนจรง ซงอาจมคาเดยว มหลายคา หรอไมมคาตอบกไดการแกระบบสมการเชงเสนมวธการ 3 วธ คอ

1.1 โดยการใชกราฟ

1.2 โดยการกาจดตวแปรตวใดตวหนง

1.3 โดยการแทนคาตวแปรตวหนงในรปตวแปรตวหนง

2. การแกระบบสมการโดยใชกราฟ คอ การเขยนกราฟเสนตรงจากระบบสมการทกาหนดใหคาตอบของระบบสมการคอ จดตดของกราฟทงสองทได คอ (x , y) ซงเปนคาตอบของระบบสมการ ถาในกรณทกราฟทงสองเสนขนานกน แสดงวาระบบสมการนนไมมคาตอบ และถากราฟทไดทงสองเสนทบกนแสดงวาระบบสมการนนมคาตอบหลายคาตอบ

3. การแกระบบสมการเชงเสนโดยการก าจดตวแปรตวใดตวหนง การแกระบบสมการ เชงเสนโดยวธนจะใชการบวกหรอการลบ ดงน

1. ใชสมบตการบวก ถา a , b ,c และ d เปนจานวนจรงใด ๆ โดยท

a = b …………….…….. ❶

c = d ……….……………❷

❶ + ❷ a + c = b + d

2. ใชสมบตการลบ ถา a , b ,c และ d เปนจานวนจรงใด ๆ โดยท

a = b …………….…….. ❶

c = d ………………..……❷

❶ – ❷ a – c = b – d และการจะเลอกใชสมบตการบวกหรอการลบ


ใหพจารณาวธการแกระบบสมการ ตอไปน

1. ถาตองการกาจดตวแปรใด ใหใชสมบตการคณ ทาสมประสทธของตวแปรทตองการกาจดนนใหเทากน หรอใหเปนจานวนตรงขามกน

2. ถาสมประสทธของตวแปรทตองการกาจด เทากน ใหใชสมบตการลบ จะทาใหตวแปรนนหายไป

3. ถาสมประสทธของตวแปรทตองการกาจดเปนจานวนตรงขามกน ใหใชสมบตการบวก จะทาใหตวแปรนนหายไป

4. แกสมการหาคาตวแปรทเหลอ

5. นาคาของตวแปรทไดในขอ 4 แทนคาในสมการทโจทยแกาหนดสมการใดสมการหนง จะไดคาของตวแปรทเหลอ

4. การแกระบบสมการโดยการแทนคา การแกระบบสมการโดยการแทนคา ใชวธการแทนคาตวแปรตวใดตวหนงจากสมการหนง ในสมการอกอกตวหนง


โจทยตวอยาง ให x , y เปนจานวนจรงใด ๆ จงหาคาตอบของระบบสมการ 5y +5 = 15x และ 12x -4y = -12

แนวคด

จากกราฟเสนตรงทงสองเสนขนานกนไมเกดจดตด ดงนนระบบสมการนไมมคาตอบ

ตอบ ระบบสมการนไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

Y

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x x

Y =3x+3

Y=3x-1


แบบฝกหดชดท 12 (ค 4.2 ม.3/4 )

ค าชแจง จงหาคาตอบของระบบสมการตอไปน โดยวธเขยนกราฟ

1. 2x + 3y - 9 = 0 …………………..(1) x - y + 8 = 0 ……………………(2)

2. -4y - 6 = - 2x …………………….(1) -2y – 3 = -x ..……………………(2)

y

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

y

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x



แกระบบสมการเชงเสนสองตวแปรและนาไปใชแกปญหา พรอมทงตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบ


การแกระบบสมการเชงเสนตวสองตวแปรเปนการหาค าตอบของระบบสมการเชงเสน สองตวแปร อาจหาค าตอบไดโดยใชกราฟหรอใชสมบตการเทากน

1. โจทยสมการเชงเสนสองตวแปร

ขนตอนในการแกโจทยปญหาสมการเชงเสนสองตวแปร

1. สมมตตวแปรสองชนด แทนสงทโจทยแถาม

2. พจารณาวาตวแปรทสมมตเกยวของหรอสมพนธแกบโจทยแหรอตวเลขอน ๆ ในโจทยแอยางไร

3. เขยนสมการแสดงความสมพนธแตามเงอนไขของโจทยแ

4. แกระบบสมการโดยอาศยการแกระบบสมการหรอตามแตวธทสะดวก

วธแกสมการเชงเสนสองสมการ สองตวแปร Solving Two Linear Equations with Two Unknowns การแกสมการเชงเสนสองสมการ สองตวแปร มอย 2 วธใหญๆ ดงนคอ 1. วธ จด Term (Express in term) และวธจดเทอมประยกตแ 2. วธ กาจดตวแปรตวใดตวหนงใหหมดไป (Eliminating)


จงแกสมการตอไปน พรอมเขยนกราฟแสดงค าตอบ

ขอ 1. X + Y = 5 ………….......เปนสมการท (1) X – Y = 1 ……...............เปนสมการท (2)

* แนวคด : วธจด Term (Express in term) 1.1 เขยนตวแปรหนงใหอยในรปของตวแปรอกตวหนง (จด Term) เชน X + Y = 5 ...................สมการท (1) เขยนไดเปน X = 5 – Y ...................สมการท (3)


1.2 แทนคาตวแปรทไดจากขอ 1.1 ในสมการทไมใชสมการเดม จากโจทยแ คอการนาคา X จากสมการท (3) แทนลงไปในสมการท (2) X – Y = 1 …….............สมการท (2) แทนคาเปน (5 – Y) – Y = 1 ………….......สมการท (4) สงเกตวา เมอแทนคาแลว จะไดสมการใหมเปน หนงสมการ หนงตวแปร

ดงนนเมอจานวนตวแปร เทากบ จานวนสมการ เราจงแกสมการหาคาตวแปรตวเดยว

1.3 แกสมการทไดจากขอ 1.2 (5 – Y) – Y = 1 …….........สมการท (4) 5 – 2Y = 1 -2Y = 5 – 1 -2Y = -4 Y = 2 1.4 นาคาทไดจากการแกสมการขอ 1.3 ไปแทนคาตวแปรในสมการใดกได [สมการท (1) หรอ สมการท (2) กได] เพอหาคาตวแปรทเหลอ ในทนแทนคา Y = 2 ลงในสมการท (2) X – Y = 1 ……….....สมการท (2) X – 2 = 1 X = 2 + 1 X = 3 ดงนนค าตอบของระบบสมการน คอ X = 3, Y = 2 ** วธจดเทอมประยกต คอ เขยนตวแปรหนงใหอยในรปของตวแปรอกตวหนงทงสองสมการ X + Y = 5 ...เปนสมการท (1) ==> X = 5 – Y X – Y = 1 ...เปนสมการท (2) ==> X = 1 + Y

จบ X ของสมการท (1) เทากบ X ของสมการท (2) จะไดวา 5 – Y = 1 + Y 5 – 1 = Y + Y 4 = 2Y Y = 2 นาคา Y = 2 แทนคาลงในสมการท (1) จะได X + 2 = 5 X = 3 ดงนนค าตอบของระบบสมการน คอ X = 3, Y = 2


จากโจทยตวอยาง X + Y = 5 ………….......สมการท (1) X – Y = 1 …….............สมการท (2)

วธท 2 วธก าจดตวแปรตวใดตวหนงใหหมดไป (Eliminating) วธนใชเพอกาจดตวแปรทเหมอนกนตวใดตวหนงออกกอน ซงตวแปรนนตองมสมประสทธหนาตวแปรเทากนดวย เราจะกาจดตวแปร X ใหหมดไป โดยนาสมการท (1) ลบ สมการท (2) @ X + Y = 5 ……..............สมการท (1) X – Y = 1 .……............สมการท (2) (1) – (2) จะไดวา (X – X) + (Y – (-Y)) = 5 – 1 2Y = 4 Y = 2 นาผลลพธแทได Y = 2 แทนคาลงไปในสมการใดกได ในทนแทนคาลงไปในสมการท (1) X + Y = 5 ….…….......สมการท (1) ไดวา X + 2 = 5 X = 5 – 2 X = 3 ดงนนคาตอบของระบบสมการน คอ X = 3, Y = 2

หรอนาสมการท (1) บวก สมการท (2) เพอกาจดตวแปร Y ใหหมด ไปกได @@ X + Y = 5 ….…….......เปนสมการท (1) X – Y = 1 …….….......เปนสมการท (2)

(1) + (2) จะไดวา (X + X) + (Y +(-Y)) = 5 + 1 2X = 6 X = 3

นาผลลพธแทได X = 3 แทนคาลงไปในสมการใดกได ในทนใหแทนคาลงไปในสมการท (2) X – Y = 1 .……..…….เปนสมการท (2) 3 – Y = 1 Y = 2 ดงนนคาตอบของระบบสมการน คอ X = 3, Y = 2



ขอ 1. จงแกระบบสมการ x + y = 8 และ x - y = 6

ขอ 2. จงแกระบบสมการ 2a - b = 3 และ a + 2b = 4

ขอ 3. จงหาคา x และ คา y จากระบบสมการ 9x + y = 2 และ 4x + y = 2

ขอ 4. จงเขยนกราฟของสมการ 2x + y = 0 และ 2x + y + 3 = 0

ขอ 5. จงแกระบบสมการ 3x - 2y = 6 และ -5x + 6y = 30


สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวธการทางสถตในการวเคราะหขอมล


อานและนาเสนอขอมลโดยใชแผนภมรปวงกลม


1. การน าเสนอขอมล การนาเสนอขอมล คอ การนาขอมลทรวบรวมไดมาจดแสดงอยางเปนระเบยบ เพอให

ผอานเกดความสะดวกในการใชงาน การนาเสนอขอมลสามารถใชวธการตางๆ เชน ตาราง แผนภมแทง แผนภมรปวงกลม กราฟเสน ตารางแจกแจงความถ ฮสโทแกรม รปหลายเหลยมของความถ เปนตน 2. แผนภมรปวงกลม คอ การนาเสนอขอมลรปแบบหนง โดยใชพนทภายในวงกลมแทนขอมลทตองการนาเสนอ 3. การอานแผนภมรปวงกลม 3.1 พจารณาวาพนทสวนของวงกลมทนาเสนอแทนกลมขอมลใด โดยดจาก การระบายสแรเงา หรอการทาเครองหมายตางๆ ทกาหนดไว 3.2 อานจานวนรอยละของกลมขอมลทสนใจ 3.3 นาจานวนรอยละมาคณกบจานวนขอมลทงหมดทกาหนดไว ผลทไดจะเปนปรมาณของขอมลทสนใจ

4. การสรางแผนภมรปวงกลม มขนตอนดงน 4.1 หาผลรวมของความถ หรอขอมลเชงปรมาณทตองการนาเสนอทงหมด 4.2 คานวณหาขนาดของมมทจดศนยแกลาง ซงคานวณไดจาก ขนาดของมมทจดศนยแกลาง = จานวนของขอมลสวนยอย 360 องศา ผลรวมของขอมลทงหมด

ผลรวมของมมทจดศนยแกลางของทกสวนยอยจะตองเทากบ 360 องศา


4.3 คานวณหาคาของรอยละของพนทสวนยอยแตละสวน ซงคานวณไดจาก รอยละของพนทของสวนยอย = จานวนของขอมลสวนยอย 100 ผลรวมของขอมลทงหมด

4.4 สรางวงกลมและแบงขนาดของมมทจดศนยแกลางตามสดสวนทคานวณได 4.5 เขยนคาอธบายในแตละสวนของพนทวงกลมวาแสดงขอมลเรองอะไร พรอมทงระบคารอยละทคานวณได


จงสรางแผนภมรปวงกลมจากขอมลตอไปน

ยอดขายเครองเขยนของสหกรณแ คอ สมด 54 เลม ไมบรรทด 30 อน ยางลบ 24 กอน วงเวยน 12 อน

แนวคด ขอมลรวม คอ 54 + 30 + 24 + 12 = 120 หามมทจดศนยแกลาง ไดดงน

สมด =

ไมบรรทด =

ยางลบ =

วงเวยน =

สรางแผนภมรปวงกลมใหมมทจดศนยแกลางมขนาดตามทคานวณไดดงน

แผนภมแสดงยอดขายเครองเขยนของสหกรณแ



จงเลอกค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว

ใชขอมลตอไปนตอบคาถามขอ 1 - 2 ฟารแมแหงหนงเลยงสตวแ ดงน หม 144 ตว แพะ 108 ตว มา 72 ตว วว 36 ตว 1. ถาตองการสรางแผนภมรปวงกลม สวนของหมจะมขนาดของมมทจดศนยแกลางเทาไร ก. ค.

ข. ง.

2. ถาตองการสรางแผนภมรปวงกลม สวนของววจะมขนาดของมมทจดศนยแกลางเทาไร ก. ค. ข. ง.

ใชแผนภมรปวงกลมตอไปนตอบคาถามขอ 3-5 ยอดขายของรานหนงสอ

3. นตยสารมยอดขายมากกวาการแตนกเปอรแเซนตแ ก. 20 % ค. 25 % ข. 45 % ง. 65 %


4. เดอนทแลวมยอดขายรวม 36,000 บาท ขายหนงสอพมพแไดเงนเทาไร ก. 4,000 บาท ค. 9,000 บาท ข. 12,000 บาท ง. 16,000 บาท

5. เดอนมกราคมมยอดขาย 24,000 บาท เดอนธนวาคมมยอดขาย 17,000 บาท นยายทขายเดอนมกราคมเปนเงนนอยกวาการแตนทขายเดอนธนวาคมเทาไร

ก. 1,000 บาท ค. 2,400 บาท ข. 3,400 บาท ง. 6,800 บาท



กาหนดประเดนและเขยนขอคาถามเกยวกบปญหาหรอสถานการณแตาง ๆ รวมทงกาหนดวธการศกษาและการเกบรวบรวมขอมลทเหมาะสม


1. สถตมความหมายสองนย คอ สถต หมายถง ตวเลขทแทนจานวนหรอขอเทจจรง ของสงทเราศกษา เชน สถตราคานามน สถตผลการเรยนของนกเรยน สถต หมายถง ศาสตรแทวาดวยระเบยบวธการทางสถต ซงประกอบดวยการเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะหแและแปลความหมายขอมล 2. ปญหาหรอสถานการณแตาง ๆ กาหนดโจทยแปญหาหรอสถานการณแตาง ๆ ในชวตประจาวน ทมความจาเปนตองใชสถตเปนเครองมอประกอบการตดสนใจ หรอวางแผนเพอแกปญหาทเกดขน 3. กาหนดวธการศกษา 3.1 ศกษาสถานการณแหรอปญหาในชวตประจาวนทเกดขนจรง 3.2 ศกษาจากตวอยางปญหาและสถานการณแตาง ๆ 4. การเกบรวบรวมขอมลทตองการสามารถทาได 2 วธ คอ 4.1 การเกบรวบรวมขอมลโดยไปคดลอกขอมลทมผอนรวบรวมไวแลว เชน การเกบสถตผปวยตาง ๆ จากเวชระเบยนของโรงพยาบาล 4.2 การเกบรวบรวมขอมลโดยตรงจากสงทตองการศกษา เชน สถตนาหนกของนกเรยน จากการชงนาหนกของนกเรยนแตละคนโดยตรง


ทพยแเปนเจาของรานขายไกทอด ตองการทราบวาควรทอดไกขายใหลกคาในแตละวนเปนชนเลกหรอชนใหญด กอนตดสนใจไดดาเนนการดงน

1) สารวจความคดเหนของลกคาประจาทมประมาณ 50 คนตอวน วาตองการไกชนเลกหรอ ไกชนใหญ ถาให ล แทนไกชนเลก และ ญ แทนไกชนใหญ ผลของการสารวจเปนดงน


ญ ล ล ล ล ล ญ ล ล ล ล ล ญ ล ล ล ญ ล ล ล ล ญ ล ญ ล ญ ล ล ล ญ ล ล ล ล ญ ล ล ญ ญ ล ล ญ ล ล ล ญ ล ล ล ญ

2) ทพยแจาแนกลกคาตามแบบทเลอก พบวา ลกคาเลอกไกชนเลก 36 คน และเลอก ไกชนใหญ 14 คน 3) ทพยแเหนวาลกคาเลอกไกชนเลกมากกวาไกชนใหญ จงตดสนใจทอดไกชนเลก

ขายแกลกคา



ค าชแจง จงพจารณาสถานการณแตอไปนวามขนตอนอยางไร

1. โรงเรยนของอรณแบงนกเรยนทกระดบชนใหสงกดคณะส เพอใหนกเรยนไดทากจกรรมตาม ความสามารถรวมกน ทาใหเกดความรกสามคคในหมคณะ เชน เปนนกกฬาของคณะส เปน ฝายเชยรแ และเปนฝายสนบสนนอปกรณแ อรณและเพอนหวหนาคณะส ตองตดสนใจเลอกแบบเสอแบบใดแบบหนงเพอใชกบสมาชก ในทกคณะส มแบบเสอใหเลอก 3 แบบคอ แบบ A แบบ B และแบบ C นกเรยนคดวาอรณและ เพอนควรจะดาเนนการอยางไร จงจะทาใหนกเรยนสวนใหญในโรงเรยนมความพอใจในแบบเสอ ทเลอก …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. ใหนกเรยนศกษาและรวบรวมขอมลเกยวกบเรองทนกเรยนสนใจพรอมทงหาขอสรปเกยวกบขอมล ทรวบรวมได เชน สารวจรสของไอศกรมทเพอน ๆ ชอบรบประทาน …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………..



หาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลทไมไดแจกแจงความถ และเลอกใชไดอยางเหมาะสม


1. คาเฉลยเลขคณต (Mean) สามารถหาไดโดยใชสตร

N

xX

เมอ X แทน คาเฉลย

x แทน ผลรวมของขอมลทงหมด N แทน จานวนขอมลทงหมด

2. มธยฐาน (Median) คอ ขอมลซงอยในตาแหนงกลางเมอทาการเรยงขอมลจาก มากไปนอยหรอจากนอยไปมาก การหามธยฐานของขอมลทยงไมไดแจกแจงความถ มขนตอนดงน

2.1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก หรอ มากไปนอย

2.2 หาตาแหนงกลางของขอมลจาก โดยท N คอ จานวนขอมล

2.2.1 กรณทจานวนขอมลเปนเลขค เชน 7

มธยฐานอยตาแหนง = = 4

2.2.2 กรณทจานวนขอมลเปนเลขค เชน 4

มธยฐานอยตาแหนง = = 2.5 คอจดกงกลาง

ของตาแหนงท 2 และ 3

กรณขอมลทไดมการแจกแจงความถ ตาแหนงคามธยฐานหาจาก จากนน

ไปดทความถสะสมวาตรงกบชวงใด 3. ฐานนยม (Mode) คอ ขอมลทมความถสงสด หรอ ขอมลทซากนมากทสด

ถาขอมลทมความถมากทสดม 2 จานวน ใหตอบ 2 จานวน แตถามากกวา 2 จานวน ใหถอวาขอมลชดนนไมมฐานนยม

เชน 2, 3, 3, 3, 5, 8 ฐานนยมคอ 3 2, 5, 5, 6, 6, 9 ฐานนยมคอ 5, 6

2, 4, 7, 9, 5, 3 ไมมฐานนยม 2, 2, 3, 3, 4, 4 ไมมฐานนยม


4. การเลอกใชคากลางของขอมล 4.1 คาเฉลยเลขคณต มขอจากดในการใชดงน 4.1.1 ตองเปนขอมลเชงปรมาณเทานน 4.1.2 คาทคานวณไดจะมเพยงหนงคาเทานน 4.1.3 ถาขอมลชดนนมคาตางกนมากจะมผลทาใหการแปลความคลาดเคลอน 4.2 คามธยฐาน มขอจากดในการใชดงน 4.2.1 ตองเปนขอมลเชงปรมาณเทานน 4.2.2 คาทคานวณไดจะมเพยงหนงคาเทานน อาจเปนขอมลในชดนน หรอเปนคาเฉลยเลขคณตของสองขอมลทอยในตาแหนงคกลาง 4.2.3 เมอบางขอมลมการเปลยนแปลง มธยฐานอาจจะเปลยนแปลงหรอไมเปลยนแปลงกได 4.2.4 ถาขอมลชดนนมคาตางกนมากจนผดปกต ซงไมทาใหเกดการเปลยนแปลงตาแหนง มธยฐานถอเปนตวแทนทเหมาะสม 4.3 ฐานนยม เปนคากลางทคอนขางจะหาไดงาย สะดวกและรวดเรว โดยเฉพาะอยางยงเมอมจานวนขอมลไมมากนก ฐานนยมสามารถใชไดกบขอมลเชงปรมาณและขอมลเชงคณภาพ แตฐานนยมไมสามารถใชไดกบขอมลทกชนด เชน ขอมลทมการเกดซาเทาๆ กนทกคา หรอมการเกดซากนมากทสดของขอมลหลายคา


ตวอยางท 1 นาหนกของเดก 6 คน เรยงจากนอยไปหามาก ดงน 36, 38, 40, 47, 49, 54 คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของนาหนกตางกนเทาไร แนวคด ขนท 1 หาคาเฉลยเลขคณต

คาเฉลยเลขคณต =

=

=

= 44


ขนท 2 หามธยฐาน

ตาแหนงกลาง คอ =

= 3.5 (กงกลางของตาแหนงท 3 และ 4)

มธยฐาน คอ = 43.5

ดงนน คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานตางกน 44 – 43.5 = 0.5 ตอบ คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานตางกน 0.5

ตวอยางท 2 4, 6, x, 8, 8, 9 มธยฐานของขอมลชดนเทากบ 7 ฐานนยมของขอมลชดน เทากบเทาไร แนวคด ขนท 1 หาคา x

มธยฐานอยในตาแหนง = = 3.5

มธยฐาน =

7 =

14 = x + 8 X = 6

ขนท 2 หาฐานนยม ขอมล คอ 4, 6, 6, 8, 8, 9

ดงนน ขอมลชดนมฐานนยม 2 ตว คอ 6 และ 8 ตอบ ขอมลชดนมฐานนยม 2 ตว คอ 6 และ 8

ตวอยางท 3 ชาญศลปสารวจราคาของอปกรณแวาดรปซงเปนชนดเดยวกนทใชในวชาศลปะของเพอน ในกลมจดบนทกแลวนามาจดเรยงลาดบราคา (บาท) จากนอยไปหามาก ดงน 75 , 75 , 80 , 80 , 90 , 95 , 300 จากขอมลจงตอบคาถามตอไปน 1) ฐานนยมของราคาอปกรณแเปนเทาไร 2) มธยฐานของราคาอปกรณแเปนเทาไร 3) คาเฉลยเลขคณตของราคาอปกรณแเปนเทาไร 4) คากลางของขอมลทเหมาะสมสาหรบเปนตวแทนของขอมลของนกเรยนกลมนควรเปนคากลางชนดใด เพราะเหตใด


แนวคด เนองจากขอมลมการจดเรยงลาดบแลว ดงนนจงหาคากลางของขอมลตางๆ ไดดงน

1) ฐานนยมของราคาอปกรณแเทากบ 75 บาท และ 80 บาท เพราะเปนคาทซากนมากทสดทงสองคา

2) มธยฐานของราคาอปกรณแเทากบ 80 บาท เพราะเปนคาทมตาแหนงอยตรงกลางของขอมลทจดเรยงลาดบแลว

3) คาเฉลยเลขคณตของราคาอปกรณแ = 7

300959080807575

= 7

795

57.113 บาท 4) คากลางของขอมลทเหมาะสม คอ มธยฐาน เพราะฐานนยมของขอมลม 2 คา

จงไมเหมาะสม และคาเฉลยเลขคณตไมเหมาะสมเพราะราคาอปกรณแของเพอนคนสดทายมากกวาราคาอปกรณแของเพอนคนอนๆ อยมาก



1. ราคาสนคา 6 ชน เรยงลาดบ ดงน 12, 18, 20, 24, 26, และ 32 บาท คาเฉลยเลขคณต และมธยฐานของสนคาตางกนเทาไร

2. 2, 7, x, 10, 14 มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 8.4 ขอมลนมมธยฐานเทากบเทาไร

3. x, 11, y, 18, 21 พสยของขอมลชดนเทากบ 14 คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 14.2 มธยฐานของขอมลชดนเทากบเทาไร

4. x, 11, y, 19, 23 มธยฐานของขอมลชดนเทากบ 14 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 15 พสยของขอมล ชดนเทากบเทาไร

5. 6, 6, 8, x, 11, y มธยฐานของขอมลชดนเทากบ 9 พสยเทากบ 7 คาเฉลยเลขคณตของขอมล ชดนเทากบเทาไร



นาเสนอขอมลในรปแบบทเหมาะสม

สงทนกเรยนตองร 1. การนาเสนอขอมลเปนการเตรยมความพรอมเบองตนสาหรบการวเคราะหแและแปล

ความหมายเพอจะนาไปใชในงานตอไปโดยจดเปนหมวดหมใหมความสมพนธแเกยวของกนตามวตถประสงคแซงจะทาใหอานและแปลความหมายของขอมลไดงายขน

2. ตารางแจกแจงความถ คอ การนาเสนอขอมลรปแบบหนง โดยนาขอมลทตองการนาเสนอมาแบงเปนชวงและมการแสดงความถของขอมลในแตละชวง คาศพทแทเกยวของกบ ตารางแจกแจงความถมดงน

พสย คอ ผลตางของขอมลทมากทสดและขอมลทนอยทสด

พสย = ขอมลทมคาสงสด – ขอมลทมคาตาสด = -

ความกวางของอนตรภาคชน คอ จานวนขอมลในแตละอนตรภาคชน

ความกวางของอนตรภาคชน = หรอ

ความกวางของอนตรภาคชน = ขอบบน – ขอบลาง

จ านวนอนตรภาคชน คอ จานวนกลมของขอมลในตาราง พสย ความกวางของอนตรภาคชน จานวนอนตรภาคชนมความสมพนธแกน ดงน

จ านวนอนตรภาคชน =

ขอสงเกต จานวนอนตรภาคชนหรอความกวางของอนตรภาคชนทคานวณได ถาเปนทศนยมใหปดขนเปนจานวนเตมเสมอ

ขอบบนและขอบลาง คอ คาทใชเปนจดแบงขอมลในแตละอนตรภาคชน

ขอบบน =


ขอบลาง =

จดกงกลางชน คอ คาทอยกงกลางของขอมลในแตละอนตรภาคชน

จดกงกลางชน = หรอ

จดกงกลางชน =


ตวอยางท 1 กาหนดขอมล คอ 31 42 26 34 45 28 33 43 45 27 31 35 40 22 34 27 22 30 45 44 25

จงสรางตารางแจกแจงความถซงม 4 อนตรภาคชน

แนวคด พสย = 45 – 22 = 23

ความกวางของอนตรภาคชน =

=

= 5.75 = 6

ขอมล รอยขด ความถ

22 - 27 6 28 - 33 5 34 - 39 3 40 - 45 7


ตวอยางท 2 กาหนดตารางแจกแจงความถ

อนตรภาคชน ความถ (f) ความถสะสม ( ) ขอบเขตชน จดกงกลางชน

10 - 19 3 3 9.5 - 19.5 = 14.5

20 - 29 2 5 19.5 - 29.5 = 24.5

30 - 39 1 6 29.5 - 39.5 = 34.5

40 - 49 4 10 39.5 - 49.5 = 44.5

จากตาราง ความกวางของอนตรภาคชน คอ 19.5 - 9.5 = 10 หรอ 29.5 - 19.5 = 10

พสย คอ 49.5 - 9.5 = 40



จงเลอกค าตอบทถกทสดเพยงจ านวนเดยว

ใชขอมลตอไปนตอบคาถาม ขอ 1 - 2 11 8 32 17 25 30 28 32 9 11 14 22 26 31 7 14 22 40 6 7 14 22 35 17 11 25 36 21 17 9 7 11 1. ถาตองการสรางตารางแจกแจงความถซงมความกวางของอนตรภาคชนเปน 8 จะมกอนตรภาคชน

ก. 4 อนตรภาคชน ค. 4.25 อนตรภาคชน ข. 5 อนตรภาคชน ง. 6 อนตรภาคชน

2. จากขอ 1 ขอบลาง ขอบบน และจดกงกลางชนของอนตรภาคชนท 2 มคาเทาไรตามลาดบ ก. 13.5 29.5 21.5 ค. 5.5 13.5 9.5 ข. 21.5 13.5 17.5 ง. 13.5 21.5 17.5

3. ขอมลชดหนงมคา x – 58 มพสยเทากบ 35 x มคาเทาไร ก. 23 ค. 46 ข. 63 ง. 81

4. อนตรภาคชนหนงมจดกงกลางชนเปน 28 ขอบบนเปน 30.5 ขอบลางมคาเทาไร ก. 25.5 ค. 24.5 ข. 22.5 ง. 20.5

5. ขอมลชดหนงมคา 6 – 44 นามาสรางตารางแจกแจงความถซงความกวางของอนตรภาคชนเปน 5 ตารางแจกแจงความถนนมกอนตรภาคชน

ก. 7 อนตรภาคชน ค. 8 อนตรภาคชน ข. 9 อนตรภาคชน ง. 10 อนตรภาคชน



อาน แปลความหมายและวเคราะหแขอมลทไดจากการนาเสนอ

สงทนกเรยนตองร ในการรบรขอมลจะตองมความรเกยวกบการหาคากลางของขอมล คาศพทแเกยวของกบ การสรางตารางแจกแจงความถกอน ซงไดกลาวไวแลวในขางตน ถงจะสามารถอาน แปลความหมายและวเคราะหแขอมลไดอยางมประสทธภาพ


ตวอยางท 1 สนคา 8 ชน มคาเฉลยเลขคณตของราคาเทากบ 12 บาท เมอเพมสนคาอก 1 ชน คาเฉลยเลขคณตของราคาเทากบ 11 บาท สนคาทเพมเขามาราคาเทาไร

แนวคด ขนท 1 หาราคารวมของสนคา 8 ชน


12 =

ผลรวมของราคา = 96

ขนท 2 หาราคารวมของสนคา 9 ชน


11 =

ผลรวมของราคา = 99 ดงนน สนคาทเพมเขามาราคา 99 – 96 = 3 บาท ตอบ สนคาทเพมเขามาราคา 3 บาท


ตวอยางท 2 ผลการสารวจคาใชจายรายวนในการมาโรงเรยนของนกเรยนหองหนง จานวน 41 คน ปรากฏผลดงตารางแจกแจงความถ

คาใชจาย (บาท) รอยขด ความถ (จานวนคน) 10 – 19 2

20 – 29 8

30 – 39 15

40 – 49 10

50 – 59 4

60 – 69 1

70 - 79 1

รวม 41

จากตารางทกาหนดให ตอบคาถามตอไปน 1) ตารางแจกแจงความถนมกอนตรภาคชน 2) ความกวางของอนตรภาคชน 50 – 59 และ 60 – 69 เทากบเทาไร 3) แตละอนตรภาคชนมความกวางเทากนหรอไม 4) นกเรยนทมคาใชจายรายวน 40 -49 บาท มจานวนกคน 5) นกเรยนทมคาใชจายรายวนนอยกวา 30 บาท มจานวนกคน 6) นกเรยนทมคาใชจายรายวน 50 บาทขนไป มจานวนกคน

ตอบ 1) ตารางแจกแจงความถนม 7 อนตรภาคชน 2) ความกวางของอนตรภาคชน 50 – 59 และ 60 -69 เทากบ 10 3) สามารถแสดงไดวาคาของขอมลทจดอยในแตละอนตรภาคชนม 10 คา เทากน ดงนน

แตละอนตรภาคชนจงมความกวางเทากน คอเทากบ 10 4) นกเรยนทมคาใชจายรายวน 40 -49 บาท ม 10 คน 5) นกเรยนทมคาใชจายรายวนนอยกวา 30 บาท ม 8 + 2 = 10 คน 6) นกเรยนทมคาใชจายรายวน 50 บาทขนไป ม 4 + 1 + 1 = 6 คน




1. นกเรยนกลมหนงมความสงรวม 1,336 เซนตเมตร ความสงเฉลย 167 เซนตเมตร นกเรยนกลม นนมกคน ตอบ …………………………………………………………………

2. เงนเดอนเฉลยของพนกงาน 5 คน เทากบ 8,000 บาท เงนของพนกงาน 4 คน เปน 6,800, 8,500, 9,000 และ 7,600 บาท ตามลาดบ เงนเดอนของพนกงานคนท 5 เทากบเทาไร ตอบ …………………………………………………………………

3. ขอมลชดหนงเรยงจากมากไปหานอย ดงน 13, 11, 10, 9, 6, x พสยเทากบ 8 คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเปนเทาไร ตอบ …………………………………………………………………

4. ขอมลชดหนงมคาเปน 2, x, x , 7, 10, 17 ถาคาเฉลยเลขคณตเทากบ 8 แลว x มคาเทาไร ตอบ …………………………………………………………………

5. ขอมล 6 จานวน มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 13 เมอเพมขอมลอกหนงจานวน คาเฉลยเลขคณต เปลยนเปน 15 ขอมลทเพมเขามามคาเทาไร ตอบ …………………………………………………………………


มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณได อยางสมเหตสมผล


อธบายไดวาเหตการณแทกาหนดให เหตการณแใดจะมโอกาสเกดขนไดมากกวากน

สงทนกเรยนตองร 1. การทดลองสม เปนการทดลองทเราไมสามารถบอกผลทแนนอนไดในแตละครง

แตสามารถบอกผลทเกดขนทงหมดได 2. เหตการณแ เปนสถานการณแทเราสนใจ หรอสงทเราสนใจในการทดลองสม 3. โอกาสของเหตการณแ เปนการใชขอมลประกอบการตดสนใจ เพอลงขอสรปไดอยาง

สมเหตสมผลวา เหตการณแนนมโอกาสเกดขนไดหรอไม ซงอาจเกดขนไดมากหรอนอย หรอไมมโอกาสเกดขนเลย

โจทยตวอยาง จากการสมหยบลกแกวครงละหนงลก 1 ครง จากถงทมลกแกวสแดง 5 ลก สเขยว 3 ลก และสขาว 1 ลก แตละลกมขนาดเทากนและมลกษณะเดยวกน จะมโอกาสหยบลกแกวสอะไรไดมากกวากน แนวการตอบ เนองจากมลกแกวสแดง 5 ลก สเขยว 3 ลก และสขาว 1 ลก จะพบวามลกแกวสแดงมากทสด ดงนน จะมโอกาสหยบลกแกวสแดงไดมากกวาสเขยวและสขาว




1. จากการสมหยบลกบอลครงละหนงลก 1 ครง จากกลองทมลกบอลสแดง 2 ลก สเขยว 4 ลก และสขาว 7 ลก แตละลกมขนาดเทากนและมลกษณะเดยวกน จะมโอกาสหยบลกบอลสอะไร ไดมากกวากน

ตอบ ………………………………………………

2. รงฟามเบยพลาสตกขนาดเทา ๆ กน เปนสแดง 2

1 ของจานวนทงหมด สนาเงน 8

1 ของจานวน

ทงหมด และทเหลอเปนสเขยวคละปนกนอยในกระปองจานวนหนง ถารงฟาหลบตาหยบเบยส 1 อน รงฟามโอกาสจะหยบไดสอะไรมากทสด

ตอบ ………………………………………………

3. เออยและอายชวยกนตกนาจากคลองใสโองนาคนละใบทมความจเทากน กระปองของเออยตกนา

เตมหนงกระปองไดนา 8

1 ของความจของโอง กระปองของอายตกนาเตมหนงกระปองไดนา

17

2 ของความจของโอง ถาทงสองคนตกนาใสโองพรอมกน ใครนาจะตกนาไดเตมโองกอนกน

ตอบ ………………………………………………



อธบายไดวาเหตการณแทกาหนดให เหตการณแใดเกดขนแนนอน เหตการณแใดไมเกดขนแนนอน และเหตการณแใดมโอกาสเกดขนไดมากกวากน

สงทนกเรยนตองร 1. การทดลองสม เปนการทดลองทเราไมสามารถบอกผลทแนนอนไดในแตละครง

แตสามารถบอกผลทเกดขนทงหมดได 2. เหตการณแ เปนสถานการณแทเราสนใจ หรอสงทเราสนใจในการทดลองสม 3. โอกาสของเหตการณแ เปนการใชขอมลประกอบการตดสนใจ เพอลงขอสรปไดอยาง

สมเหตสมผลวา เหตการณแนนมโอกาสเกดขนไดหรอไม อาจมโอกาสเกดขนอยางแนนอน หรอมโอกาสเกดขนบาง ซงอาจเกดขนไดมากหรอนอย หรอไมมโอกาสเกดขนเลย โจทยตวอยาง

ตวอยางท 1 ทดลองสมหยบสลาก 1 ใบ 1 ครง จากถงทบรรจสลากทเขยนหมายเลข 1- 8 ไว สลากละ 1 หมายเลข จงวเคราะหแโอกาสของเหตการณแทหยบไดสลากทมหมายเลขเปน จานวนคเปรยบเทยบกบสลากทมหมายเลขเปนจานวนคเปนอยางไร

แนวคด เนองจากโอกาสทจะหยบไดสลากทมหมายเลขเปนจานวนค ม 4 เหตการณแ คอ 2 , 4 , 6 , 8

และโอกาสทจะหยบไดสลากทมหมายเลขเปนจานวนค ม 4 เหตการณแ คอ 1 , 3 , 5 , 7

ดงนน โอกาสทจะหยบไดสลากทมหมายเลขเปนจานวนค เทากบ โอกาสทจะหยบได สลากทมหมายเลขเปนจานวนค ตอบ โอกาสทจะหยบไดสลากทมหมายเลขเปนจานวนคและจานวนคมเทากน

ตวอยางท 2 ทดลองโยนลกเตเา 1 ลก 1 ครง จงวเคราะหแโอกาสของเหตการณแทลกเตเาขนแตม มากกวา 4 เปรยบเทยบกบลกเตเาขนแตมนอยกวา 4 เปนอยางไร

แนวคด เนองจากโอกาสทลกเตเาจะขนแตมมากกวา 4 ม 2 เหตการณแ คอ 5 และ 6 และโอกาสทลกเตเาจะขนแตมนอยกวา 4 ม 3 เหตการณแ คอ 1 , 2 และ 3 ดงนน โอกาสทลกเตเาจะขนแตมมากกวา 4 เกดขนไดนอยกวา โอกาสทลกเตเา จะขนแตมนอยกวา 4 ตอบ โอกาสทจะขนแตมมากกวา 4 เกดไดนอยกวา ขนแตมนอยกวา 4


ตวอยางท 3 แมคาขายผลไมอย 3 ชนด ไดแก แตงโม ขนน และสาล โดยแตงโมลกละ 23 บาท ขนนลกละ 30 บาท สวนสาลลกละ 12 บาท ถาเมธาจะตองซอผลไมโดยใชเงน อยางนอย 104 บาท แตไมเกน 115 บาท เขาจะซอผลไมไดกวธ

แนวคด กรณท 1 ซอแตงโม 5 ลก เปนเงน 115 บาท พอด กรณท 2 แตงโม ขนน สาล เหลอเงน 0 ลก 9 ลก 7 บาท 0 ลก 1 ลก 7 ลก 1 บาท 2 ลก 4 ลก 7 บาท 4 วธ 3 ลก 2 ลก 1 บาท

กรณท 3 แตงโม ขนน สาล เหลอเงน 0 ลก 7 ลก 8 บาท 0 ลก 1 ลก 5 ลก 2 บาท 2 ลก 2 ลก 8 บาท 4 วธ 3 ลก 0 ลก 2 บาท

กรณท 4 แตงโม ขนน สาล เหลอเงน 0 ลก 5 ลก 9 บาท 0 ลก 1 ลก 3 ลก 3 บาท 3 วธ 2 ลก 0 ลก 9 บาท

กรณท 5 แตงโม ขนน สาล เหลอเงน 0 ลก 1 ลก 9 บาท 3 ลก 1 ลก 3 ลก 3 บาท 2 วธ

กรณท 6 ซอแตงโม 4 ลก ขนน 0 ลก สาล 1 ลก เหลอเงน 11 บาท รวม = 1 + 4 + 4 + 3 + 2 +1 = 15 วธ

ตอบ เมธาจะซอผลไมได 15 วธ



1. กาหนดลกบาศกแหกหนา ซงเขยนหมายเลข 0 , 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 ไวหนาละหนงหมายเลข และ โยนลกบาศกแลกน 1 ครง จงพจารณาวาเหตการณแตางๆ ตอไปน เหตการณแใดมโอกาสเกดขน อยางแนนอน มโอกาสเกดขน หรอไมมโอกาสเกดขนเลย

1) หมายเลขบนหนาลกบาศกแทหงายขนเปนเลข 10 2) หมายเลขบนหนาลกบาศกแทหงายขนเปนจานวนค 3) หมายเลขบนหนาลกบาศกแทหงายขนเปนเลข 5 4) หมายเลขบนหนาลกบาศกแทหงายขนเปนจานวนทนอยกวา 7

2. มบตรตวเลข 4 ใบ ซงเขยนตวเลข 1 , 2 , 2 และ 3 กากบไวอยางละใบ นาบตรตวเลขทง 4 ใบ มาเรยงสลบท และมขอกาหนดดงตอไปน ก. ไดหมายเลขทม 1 เปนเลขโดดในหลกพน ข. ไดหมายเลขทม 2 เปนเลขโดดในหลกพน ค. ไดหมายเลขทม 3 เปนเลขโดดในหลกพน จงเปรยบเทยบโอกาสของเหตการณแตอไปน

1) เหตการณแ ก. กบเหตการณแ ข. 2) เหตการณแ ก. กบเหตการณแ ค. 3) เหตการณแ ข. กบเหตการณแ ค.

3. ฟาใสซอดนสอและปากกาเปนเงน 23 บาท เธอจายเงนเหรยญทงหมดโดยไมมการทอน จงตอบคาถามตอไปน

1) ถาใชจานวนเหรยญนอยทสดจะตองเปนเหรยญชนดใดบาง 2) ถาใชจานวนเหรยญมากทสดจะตองเปนเหรยญชนดใดบาง 3) ถาฟาใสใชเหรยญทงหมด 6 เหรยญ อยากทราบวาจะเปนไปไดหรอไม ถาเปนไปไดจะ

เปนเหรยญใดไดบาง 4) ถาฟาใสบอกวา เธอใชเหรยญทงหมด 8 เหรยญ อยากทราบวาจะเปนไปไดหรอไม

เพราะเหตใด



หาความนาจะเปนของเหตการณแจากการทดลองสมทผลแตละตวมโอกาสเกดขนเทาๆ กน และใชความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณแไดอยางสมเหตสมผล


1. ความนาจะเปน คอ จานวนทบอกใหทราบวาเหตการณแทเราสนใจ มโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด เมอ S แทนแซมเปลสเปซ E แทนเหตการณแใด ๆ

2. คาความนาจะเปนหาจาก P(E) =

เมอ P ( E ) คอ ความนาจะของเหตการณแ n ( S ) คอ จานวนของเหตการณแทงหมด n ( E ) คอ จานวนของเหตการณแทเราสนใจ

3. คณสมบตของความนาจะเปน a. 0 ≤ P (E) ≤ 1 b. P (E) = 1 หมายความวา เหตการณแนน ๆ มโอกาสเกดขนแนนอน c. P (E) = 0 หมายความวา เหตการณแนน ๆ ไมมโอกาสเกดขนแนนอน

4. เทคนคคดเรวโดยการใชสตร หา n (S) = เมอ n คอ จานวนเหรยญหรอจานวนครงทโยน

เชน 1 เหรยญ n (S) = = = 2

2 เหรยญ n (S) = = = 4

3 เหรยญ n (S) = = = 8

5. เทคนคคดเรวโดยการใชสตร หา n (S) = เมอ n คอ จานวนลกเตเาหรอจานวนครงทโยน

เชน 1 ลก n (S) = = = 6

2 ลก n (S) = = = 36

3 ลก n (S) = = = 216


6. กฎเกยวกบความนาจะเปนทควรร 6.1 กฎการคณ คอ เมอมเหตการณแตงแต 2 เหตการณแขนไปกระทาตอเนองกน

ใหนาความนาจะเปนของแตละเหตการณแมาคณกน 6.2 กฎการบวก คอ เมอมเหตการณแตงแต 2 เหตการณแขนไปกระทาไมตอเนองกน

ใหนาความนาจะเปนของแตละเหตการณแมาคณกน 6.3 กฎการจดหม ถามสงของ n สง แตเลอกมาทละ r สงจะไดจานวนวธในการ

เลอกทงหมด

คอ


ซอสลากกนแบงรฐบาลไว 2 ฉบบ โอกาสทจะถกเลขทาย 3 ตวเปนเทาไร

แนวคด S = { 000, 001, 002,…, 999} n (S) = 1000

E = { ถกหนงฉบบ, ถกสองฉบบ } n (E) = 2

P (E) = = =



จงเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว

1. นกกฬายงปนคนหนงฝกยงปนเขาเปา โดยยงจานวน 3 นด ในแตละนดคาดวาจะยงถกเปาหรอ พลาดเปาโอกาสทนกกฬาคนนจะยงถกเปา 2 ครง มคาตรงกบขอใด

ก. ค.

ข. ง.

2. ในการทอดลกเตเา 2 ลก พรอมกน ความนาจะเปนททอดไดแตมรวมกนเปนเลขคทไมเกน 10 คอขอใด

ก. ค.

ข. ง.

3. ในการโยนเหรยญ 4 เหรยญหนงครงความนาจะเปนทเหรยญทง 4 จะขนหนาเหมอนกนเทากบ ขอใด

ก. ค.

ข. ง.

4. เลอกเลขจานวนหนงจากเลข 1, 2, 3,…, 30 ความนาจะเปนทจะไดจานวนเลข 4 หรอ 6 หารลงตวเทากบขอใด

ก. ค.

ข. ง.

5. โยนลกเตเา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทลกเตเาลกแรกใหแตมมากกวาหรอเทากบลกท 2

ก. ค.

ข. ง.


มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา ตวชวดชนป ม.3/1

ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนประกอบการตดสนใจในสถานการณแตางๆ

สงทนกเรยนตองร 1. คากลางของขอมล

1.1 คาเฉลยเลขคณต =

1.2 คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนก คอ คาเฉลยเลขคณตของขอมลซงมความสาคญไมเทากน

คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนก =

1.3 คาเฉลยเลขคณตรวม คอ คาเฉลยเลขคณตของขอมลหลายกลม ซงแตละกลมมคาเฉลยเลขคณตหรอจานวนขอมลไมเทากน

คาเฉลยเลขคณตรวม =

1.4 คามธยฐาน คอ ขอมลซงอยในตาแหนงกลางเมอทาการเรยงขอมลจากมาก ไปหานอยหรอจากนอยไปหามาก

1.5 ฐานนยม คอ ขอมลทมความถสงสด หรอ ขอมลทซากนมากทสด ถาขอมลทม ความถมากทสดม 2 จานวน ใหตอบ 2 จานวน แตถามากกวา 2 จานวน ใหถอวาขอมลชดนนไมมฐานนยม

2. คาความนาจะเปนหาไดจาก P(E) =

เมอ P( E ) คอ ความนาจะของเหตการณแ n( S ) คอ จานวนของเหตการณแทงหมด n( E ) คอ จานวนของเหตการณแทเราสนใจ

3. คาคาดหมาย = (ผลตอบแทน ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณแ) + (ผลตอบแทน ความนาจะเปนทจะไมเกดเหตการณแ)


โจทยตวอยาง ตวอยางท 1 เงนเกบในรอบสปดาหแเปน 6, 9, 13, 15, 7, 2 และ X บาท ตามลาดบ สปดาหแนน คาเฉลยเลขคณตของเงนเกบเทากบ 11 บาท X เทากบกบาท

แนวคด คาเฉลยเลขคณต =

11 =

11 =

52 + X = 77

X = 25

ตอบ X เทากบ 25 บาท

ตวอยางท 2 ผลสอบและจานวนหนวยกตเปนดงน วชา ผลสอบ หนวยกต

คณตศาสตรแ 3 3 ภาษาไทย 2 1

วทยาศาสตรแ 4 2 ภาษาองกฤษ 4 1.5

คะแนนเฉลยเปนเทาไร แนวคด เนองจากหนวยกตของแตละวชาไมเทากน ดงนนคะแนนเฉลยจงเปนคาเฉลยเลขคณตถวงนาหนก

คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนก =

=

=

= 3.33 ตอบ คะแนนเฉลยเทากบ 3.33


ตวอยางท 3 เจาของทดนสามรายมทดนเฉลย 36 ไร เจาของทดนรายแรกมทดน 22 แปลง พนทเฉลยแปลงละ 20 ไร เจาของทดนรายทสองมทดน 18 แปลง พนทเฉลยแปลงละ 80 ไร เจาของทดนรายทสามมทดน 40 แปลง พนทเฉลยแปลงละกไร

แนวคด

36 =

36 =

2,880 = 1,880 +

= 1,000

พนทเฉลย = 25

ตอบ เจาของทดนรายทสามมพนทเฉลยแปลงละ 25 ไร

ตวอยางท 4 ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมาก ดงน 10 , 20 , 30 , a , b , 60 , 90 , 120 ถาฐานนยมมเพยงคาเดยวเปน 30 และมธยฐานเปน 35 แลวคาเฉลยเลขคณต ของขอมล 21 , 22 , 33 , 34 , a + 5 , b + 6 , 67 , 68 , 69 , 150 มคาเทาใด แนวคด

จากขอมล ฐานนยมมคาเดยวเปน 30 ฉะนน a = 30

มธยฐานเปน 35 จะได = 35

30 + b = 70

b = 40

คาเฉลยของขอมล =

=

= 54.5

ตอบ มคาเฉลยเทากบ 54.5


ตวอยางท 5 โยนเหรยญ 1 เหรยญ ถาออกหวจะไดเงน 1 บาท ออกกอยจะเสยเงน 2 บาท นากเอ เลอกออกหวซงมคาคาดหมายเทาไร แนวคด

ความนาจะเปนทจะออกหว 2

1 ผลตอบแทนเปน +1 บาท

ความนาจะเปนทจะออกหว 2

1 ผลตอบแทนเปน -2 บาท

คาคาดหมาย = 5.02

12

2

11

บาท

ดงนน คาคาดหมายทจะไดเงนรางวลเปน -0.5 บาท ตอบ การโยนเหรยญแตละครงจะเสยเงน 0.5 บาท



ตอนท 1 จงเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว

1. ขอมลชดหนงคอ 5, 8, x, 8, 7, 14 ถาคาเฉลยเลขคณตเทากบ 9 แลว x มคาเทากบขอใด ก. 8 ค. 9 ข. 10 ง. 12

2. นกเรยนหอง 1 มจานวน 25 คน คาเฉลยคะแนนสอบวชาคณตศาสตรแเปน 30 คะแนน สวนนกเรยนหอง 2 มจานวน 35 คน มคาเฉลยเปน 40 คะแนน จงหาคาเฉลยของคะแนนสอบ วชาคณตศาสตรแของนกเรยนทง 2 หองเปนเทาไร

ก. 33.35 ค. 35 : 83 ข. 37.05 ง. 39 : 08

3. คนกลมหนงเปนชาย 6 คน หญง 4 คน ถาผชายทกคนมอาย 30 ป เทากนหมด และผหญงมอาย 25 ปเทากน ถามวาอายเฉลยของคนกลมนเปนเทาใด

ก. 28 ค. 26 ข. 25 ง. 30

4. หองเรยนหองหนงมนกเรยนชายสงโดยเฉลย 172 เซนตเมตร สวนนกเรยนหญงเฉลยสง 152 เซนตเมตร ถานกเรยนหองนเฉลยสง 160 เซนตเมตร อตราสวนจานวนนกเรยนชายตอ จานวนนกเรยนหญงเปนเทาใด

ก. 2 : 3 ค. 3 : 2 ข. 1 : 2 ง. 1 : 3

5. นกเรยนคนหนงสอบคณตศาสตรแครงท 1 ได 40 คะแนน ครงท 2 ได 45 คะแนน จะตองสอบ ครงท 3 ใหไดกคะแนนจงจะไดคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเปน 42 คะแนน

ก. 41 คะแนน ค. 42 คะแนน ข. 43 คะแนน ง. 44 คะแนน

6. คะแนนสอบคณตศาสตรแ 10 คน เปนดงน 15, 18, 10, 12, 15, 14, 2, 8, 12, 14 ขอใดตอไปนถกตอง

ก. คาเฉลยเลขคณต คอ 12 ค. ฐานนยม คอ 12 ข. คามธยฐาน คอ 12 ง. ถกทกขอ


7. ถามขอมล 8, 2a, 12, 14, 2b, 20 มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 14 และมฐานนยมเทากบ คาเฉลยเลขคณต แลวจงหาคาเฉลยของ a และ b

ก. 7.0 ค. 7.5 ข. 8.0 ง. 8.5

8. เดกกลมหนงอาย 9, 12, 10, 14 ป และมแฝดอก 3 คนรวมอยดวย อายเฉลยเดกกลมน 12 ป เดกแฝดอายคนละกป

ก. 11 ป ค. 12 ป ข. 13 ป ง. 14 ป

9. นาหนกเฉลยของเดกกลมหนงซงม 5 คน เปน 30 กโลกรม แลวเมอนาเดกอกคนมาเพมทาให คาเฉลยของนาหนกเฉลยของเดกกลมนเปน 40 กโลกรม แลวนาหนกของเดกทมาเพมหนกเทาไร

ก. 75 กโลกรม ค. 80 กโลกรม ข. 85 กโลกรม ง. 90 กโลกรม

10. นกเรยนกลมแรกจานวน 5 คน มเงนเกบเฉลย 12 บาท นกเรยนกลมสองจานวน 8 คน มเงนเกบเฉลย 20 บาท นกเรยนกลมทสามจานวน 6 คนมเงนเกบเฉลย 14 บาท นกเรยนทงหมดมเงนเกบเฉลยกบาท

ก. 15 บาท ค. 15.5 บาท ข. 16 บาท ง. 16.5 บาท

ตอนท 2 จงตอบค าถามตอไปน 1. เกมสแปาเปาวงลอภาษาองกฤษ A – Z กาหนดเงอนไขดงน 1) ปาถกตวอกษรไมไดเงนรางวล 2) ปาถกตวสระไดเงน 10 บาท การปาเปาแตละครงเสยเงน 2 บาท ควรเลนเกมสแนหรอไม

2. การทาธรกจมโอกาสประสบความสาเรจ 0.65 ถาประสบความสาเรจจะไดกาไร 400,000 บาท ถาประสบความลมเหลวจะขาดทน 550,000 บาท ควรทาธรกจนนหรอไม เพราะอะไร

3. นาย ก มลก 3 คน เลนพนนกบนาย ข ดงน - ถานาย ก มลกชาย 3 คน ไดเงน 10,000 บาท - ถานาย ก มลกชาย 2 คน ไดเงน 4,000 บาท - ถานาย ก มลกชาย 1 คน ไดเงน 2,000 บาท - ถานาย ก ไมมลกชาย เสยเงน 12,000 บาท นาย ข ควรจะรบพนนนาย ก หรอไม เพราะเหตใด



อภปรายถงความคลาดเคลอนทอาจเกดขนได จากการนาเสนอขอมลทางสถต


1. ความคลาดเคลอนในการใชสถตอาจเกดขนไดในทกขนตอนของการดาเนนการทางสถต เรมตงแตการเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะหแขอมล ตลอดจนถงการแปล ความหมาย 2. การเกบรวบรวมขอมล อาจไดขอมลทไมตรงกบขอเทจจรง มความลาเอยงในการเกบรวบรวมขอมล หรอมขอผดพลาดในการบนทกขอมล 3. การนาเสนอขอมล อาจมการนาเสนอขอมลผดความเปนจรงหรอนาเสนอขอมลแลวทาใหผใชเกดการเขาใจผด 4. การวเคราะหแขอมล อาจมการใชสถตทไมเหมาะสมกบขอมล เชน ในชดของขอมลทควรใชมธยฐานเพอบอกคากลาง แตกลบใชคาเฉลยเลขคณต 5. การแปลความหมาย อาจมการอานขอมลทนาเสนอผดความจรงหรอมการตความเกนความเปนจรง


ใหนกเรยนพจารณาสถานการณแตอไปน แลวอธบายวา ขอมลจากแตละสถานการณแมความนาเชอถอมากนอยเพยงไร

สถานการณ 1 สถาบนแหงหนงตองการตรวจสอบวายาสฟนทบรษทแหงหนงผลตจาหนาย ชวยปองกนฟนผไดจรงหรอไม จงทาการสารวจโดยสอบถามจากผใชยาสฟนน 1,000 คน วาหลงใชยาสฟนแลวมฟนผหรอไม

แนวการตอบ ไมนาเชอถอ เนองจาก การกาหนดและเลอกกลมตวอยางยงไมชดเจน



ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาสถานการณแตอไปน แลวอธบายวา ขอมลจากแตละสถานการณแ มความนาเชอถอมากนอยเพยงไร

สถานการณ 1 บรษทผลตแชมพสระผมยหอหนง ตองการโฆษณาเพอใหผบรโภคเชอวา แชมพทตนผลต ทาใหผมนม สลวย สวยงาม จงจดใหมการประกวดและทดสอบผมของหญงสาวทใชแชมพยหอตาง ๆ ดวยการใหชายหนมใชมอสมผสวาผมนม สลวย สวยงามเพยงใด แลวอางวา ผชนะใชแชมพทตนผลต

ตอบ …………………………………………………………………..

สถานการณ 2 สถาบนทางการศกษาแหงหนงตองการตรวจสอบความเหนของประชาชนเกยวกบปญหามอเตอรแไซคแซง จงทาการสารวจโดยใหนกศกษาไปสมสมภาษณแความเหนของคนทวไปทรจก โดยใชแบบสอบถามชนดเลอกคาตอบจากขอความทกาหนดให

ตอบ ………………………………………………………………….

สถานการณ 3 คณะกรรมการอาหารและยา กระทรวงสาธารณสขไดสมเกบขอมลการใชสารฟอกขาว ในอาหารทคนบรโภคในตลาดสดและรานคาทวไป พบวามอาหารหลายชนด เชน หนอไม เหดหหนขาวและนาตาลมะพราว มปรมาณสารฟอกขาวเกนกาหนดทประกาศอนญาตไว

ตอบ …………………………………………………………………

สถานการณ 4 บรษทผลตรถยนตแแหงหนง ตองการโฆษณาใหประชาชนเชอวารถยนตแทบรษทผลตประหยดนามน จงจดใหมการทดสอบขบรถยนตแจากจงหวดสงขลาถงจงหวดเชยงราย แลวอางวา เตมนามนเตมถงเพยงครงเดยวจะสามารถแลนไดตลอดเสนทาง

ตอบ …………………………………………………………………


สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย

ทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวดชนป

1. ใชวธการทหลากหลายแกปญหา (ค 6.1 ม.3/1)

2. ใชความร ทกษะ และกระบวนการทางคณตศาสตรแและเทคโนโลยในการแกปญหา ในสถานการณแตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.3/2)

3. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.3/3)

4. ใชภาษาและสญลกษณแทางคณตศาสตรแในการสอสาร การสอความหมาย และการ

นาเสนอไดอยางถกตองและชดเจน (ค 6.1 ม.3/4)

5. เชอมโยงความรตาง ๆ ในคณตศาสตรแและนาความร หลกการ กระบวนการทาง

คณตศาสตรแไปเชอมโยงกบศาสตรแอน ๆ (ค 6.1 ม.3/5)

6. มความคดรเรมสรางสรรคแ (ค 6.1 ม.3/6) สงทนกเรยนตองร

1. สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก (Property of the right triangle) ถาABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก โดยมมม A เปนมมฉาก ดงรป


จะไดวา a2 = b2+ c2

และเมอกาหนด B เปนมมใดๆ เรยก a วาดานตรงขามมมฉาก เรยก b วาดานตรงขามมม เรยก c วาดานประชดมม

2. ความคลาย (Similarity) รปสามเหลยมสองรปคลายกน กตอเมอ สามเหลยมสองรปนนมขนาดของมมเทากน เปนคๆ สามค เขยนแทนดวยสญลกษณแ

สมบตของสามเหลยมทคลายกน 1) สามเหลยมสองรปคลายกน จะมดานทสมนยกนเปนสดสวนกน จากรป ถาABCDEF แลว

2) สามเหลยมสองรปคลายกนจะมมมทสมนยกนมขนาดเทากน จากรป , ,

3. ความรเกยวกบตรโกณมต

กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ม = 90o

ไซนแของ A (sin A ) = =

โคไซนแของ A (cos A ) = =


ไซนแของ A (sin A ) = =

การหาฟงกชนของมม 30o, 45o, 60o

กาหนดให ABC เปน ดานเทา ซงมความยาวดานละ 2 หนวย ลากเสนแบงครง มมยอด A มาตงฉากกบฐาน BC จะไดABD เปน มมฉากทม เปนมมฉาก และม

AB = 2 หนวย , BD= 1 หนวย จากสมบตของสามเหลยมมมฉาก AD2 = AB2 – BD2

= 22 -12 = 3

AD = หนวย

จากรป = 30o , = 60o , = 90o

ดงนน sin = sin 30o = =

cos = cos 30o = =

tan = tan 30o = = =

sin = sin 60o = =

cos = cos 60o = =

tan = tan 60o = = =


กาหนดให ABC เปนหนาจวม = 90o ดงนน = = 45o

และถา BC = BA = 1 หนวย แลว AC2 = BC2 + BA2 = 12 +12 = 2

AC = หนวย

ดงนน sin = sin 45o = = =

cos = cos 45o = = =

tan = tan 45o = = = 1

4. มมเงย และมมกม

มมเงย (angle of elevation) หมายถง มมทวดจากแนวระดบ (สายตา) ขนไป คอ มมกม (angle of depresion) หมายถง มมทวดจากแนวระดบ (สายตา) ลงไป คอ


5. สตรตรโกณมต cosec A =

sec A =

cot A =

tan A =

cot A =

sin2A + cos2A = 1 sec2A – tan2A = 1 cosec2 A –cot2A = 1

sinA cosec A = 1

cosA sec A = 1 tanA cot A = 1 โจทยตวอยาง ตวอยางท 1 กาหนดให cos A = จงหา sin A และ tan A

แนวคด จาก cos A =

CB2 = AC2 – AB2 = 52 - 32 = 25 – 9 = 16

CB = 4


ตอบ sinA = =

tanA = =

ตวอยางท 2 ถา 3tanA = 4 จงหาคาของ 2cotA – 5cosA + sinA

แนวคด 3tanA = 4 tanA =

AC2 = AB2 + BC2 = 32+ 42 = 9+16 = 25 AC = 5 2cotA – 5cosA + sinA = 2* - 5cosA + sinA

= 2* - 5* +

= 2* - 5* +

= - 3 +

=

=

ตอบ


ตวอยางท 3 จงหาคาของ tan245 * sin60o * tan30o * tan260o

แนวคด tan245 * sin60o * tan30o * tan260o = 12 * * *

= 1 * * 3

=

ตอบ

ตวอยางท 4 จงหาคาของ cos60o – tan245o + tan230o + cos230o – sin30o

แนวคด cos60o – tan245o + tan230o + cos230o – sin30o

= 12 + + -

= 1 + + -

=

=

= 0 ตอบ 0

ตวอยางท 5 จงหาคาของ x จากสมการ cos x = เมอ 0o< x < 90o

แนวคด cos x =

cos x = cos 30o

x = 30o

ตอบ 30o


ตวอยางท 6 ชาย 2 คนอยหางจากตกหลงหนงซงสง 97 ฟต ทงสองวดมมเงยของตกได 30o และ 45o ตามลาดบ ชาย 2 คนนอยหางกนกฟต

แนวคด

tan 30o =

=

DB = 97 x

= 97 x 1.732 = 168 ฟต tan 45o =

1 =

CB = 97 ฟต

ดงนน DC = 168 – 97 = 71 ฟต ตอบ ชายทงสองคนอยหางกน 71 ฟต


แบบฝกหด


1. นายกลาหาญ ยนหางจากตกหลงหนง 165 เมตร สงเกตเหนยอดตกเปนมมเงย 30° เมอเขาเดน ไปอกระยะหนงแลวสงเกตเหนยอดตกหลงเดมเปนมมเงย 45° อยากทราบวา เขาเดนเขาไปอก ประมาณกเมตร (กาหนดให 0.577)

ตอบ …………………………………………………………………….

2. นายศกดชาย สง 5 ฟต ยนอยหางเสาโทรเลข 14 ฟต มองดยอดเสาโทรเลขเปนมมเงย 72° เสาโทรเลขสงกเมตร (กาหนดให tan 72° = 3.078)

ตอบ …………………………………………………………………….

3. นายภกด ยนอยกลางสนาม สงเกตเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 30° ถาเขาเดนไปหาเสาธงอก 50 เมตร เขาสงเกตเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 45° ถา นายภกดสง 160 เซนตเมตร เสาธง สงกเมตร (กาหนดให 1.732)

ตอบ …………………………………………………………………….

4. เงาของเสาโทรเลขตนหนง ยาว 15 ฟต เมอมมเงยของดวงอาทตยแเปน 58° จงหาความยาวของ เงาเสาโทรเลขตนน เมอมมเงยเปน 27° (กาหนดให tan 58° = 1.6 และ tan 27° = 0.5)

ตอบ …………………………………………………………………….

5. เสาไฟฟาสองตนสงเทากน อยหางกน 100 ฟต ชายคนหนงยนอย ณ จดหนงระหวางเสาไฟ สองตนน บนแนวเสาตนเดยวกนกบโคนเสาไฟฟาทงสองตน เขามองดยอดเสาไฟฟาเปนมมเงย 30° และ 60° จงหาวาเขายนอยหางจากเสาไฟฟาตนแรกกฟต

ตอบ …………………………………………………………………….


กจกรรมพฒนาทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร

การสรางองคแความรทางคณตศาสตรแจาเปนตองอาศยทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรแดานตาง ๆ ไดแก การแกปญหา การใหเหตผล การสอความหมายทางคณตศาสตรแ การนาเสนอ การเชอมโยงและความคดรเรมสรางสรรคแ เพอใหนกเรยนไดเหนกระบวนการทางคณตศาสตรแ อยางชดเจน จงจาเปนตองใหนกเรยนไดเรยนรและฝกฝนการใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรแดานตาง ๆ ผานการแกปญหาทหลากหลาย อนจะทาใหเกดความคดสรางสรรคแและสามารถนาไปประยกตแใชไดดยงขน

กจกรรมชดท 1 วรพลมดนสออยจานวนหนง ทจะนาไปแจกใหเดก ๆ ถาแจกใหเดกคนละ 3 แทง จะเหลอดนสออย 1 แทง ถาแจกใหเดกคนละ 4 แทง จะเหลอดนสออย 3 แทงและ ถาแจกใหเดกคนละ 5 แทง จะเหลอดนสออย 4 แทงจงหาวาบวรมดนสออยอยางนอยกแทง ?

ใหนกเรยนพจารณาปญหาขางตนแลวตอบค าถามตอไปน

1. จากเงอนไขในโจทยแ นกเรยนคดวาควรเรมพจารณาจากดนสอกแทง เพราะเหตใด ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. นกเรยนคดวาจะตองใชความรเรองใดในการแกปญหาน ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. นกเรยนมแนวคดและมรปแบบการนาเสนอใหเหนกระบวนการแกปญหานอยางไร ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มอยเทาไร . . . ?


นกเรยนอาจหาคาตอบของปญหาขางตนไดจากหลายแนวคด ตอไปนเปนแนวคดหนงทแกปญหาโดยใชวธการแจงนบและใชความรเกยวกบการหาร 4. ใหนกเรยนทากจกรรมและตอบคาถามตอไปน

1) เขยนจานวนดนสอเรมจาก 9 แทง แลวเพมขนทละ 1 แทง และหารแตละจานวนทไดดวย 3, 4 และ 5 ตามลาดบ แลวบนทกคาตอบลงในตารางตอไปน จนไดจานวนดนสอทเปน คาตอบของปญหา

จ านวนดนสอ (แทง) เศษทไดจากการหารจ านวนดนสอดวยตวหาร

ตวหาร 3 ตวหาร 4 ตวหาร 5 9 0 1 4

2) จากตาราง วรพลจะตองมดนสออยางนอยกแทง ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) นกเรยนตรวจสอบไดอยางไรวา คาตอบในขอ 2) เปนจรง จงอธบาย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. เพอเปนการปรบปรงแนวคดการแกปญหาในขอ 4 ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน

1) จากเงอนไขทวา “ถาแจกใหเดกคนละ 3 แทง จะเหลอดนสออย 1 แทง” นกเรยนคดวาวรพลจะมจานวนดนสอเปนจานวนคไดหรอไม เปนจานวนคไดหรอไม เพราะเหตใด ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………


2) จากเงอนไขทวา “ถาแจกใหเดกคนละ 4 แทง จะเหลอดนสออย 3 แทง” นกเรยนคดวาวรพลจะมจานวนดนสอเปนจานวนคไดหรอไม เปนจานวนคไดหรอไม เพราะเหตใด ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) จากเงอนไขทวา “ถาแจกใหเดกคนละ 5 แทง จะเหลอดนสออย 4 แทง” นกเรยนคดวาวรพล จะมจานวนดนสอเปนจานวนคไดหรอไม เปนจานวนคไดหรอไม เพราะเหตใด ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4 ) จากคาตอบในขอ 1) ถง 3) นกเรยนคดวา วรพลจะมดนสอเปนจานวนคใชหรอไม เพราะเหตใด ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) ใหนกเรยนเตมจานวนดนสอในตารางดงตวอยาง จนไดจานวนดนสอทเปนคาตอบของปญหา

จ านวนดนสอ (แทง) เศษทไดจากการหารจ านวนดนสอดวยตวหาร

ตวหาร 3 ตวหาร 4 ตวหาร 5 9 0 1 4

6) บวรมดนสออยางนอยกแทง ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… จากกจกรรมขางตน จะทราบวา บวรมดนสออยางนอย………………แทง และสามารถตรวจคาตอบไดวา เปนจรงตามเงอนไขโจทยแ ดงน ………… ÷ 3 ไดผลหารเปน…………เศษ 1 ………… ÷ 4 ไดผลหารเปน…………เศษ 3 ………… ÷ 5 ไดผลหารเปน…………เศษ 4


กจกรรมชดท 2

ใหนกเรยนพจารณาปญหาตอไปน

เพอใหไดแนวคดในการแกปญหา จงตอบค าถามตอไปน

1) เลขโดดในหลกพนมไดกตว อะไรบาง จงอธบาย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) เลขโดดในหลกรอยมไดกตว อะไรบาง จงอธบาย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) ถาเลขโดดในหลกรอยเปน 5 เลขโดดในหลกสบ จะเปนอะไรไดบาง จงอธบาย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) ถาเลขโดดในหลกสบเปน 6 เลขโดดในหลกหนวย จะเปนอะไรไดบาง จงอธบาย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มอยกจ านวน . . . ?

ในระหวาง 4,000 กบ 5,000 จงหาวา มจานวนนบอยกจานวน อะไรบาง ทเลขโดดใน หลกพนนอยกวาเลขโดดในหลกรอย เลขโดดในหลกรอยนอยกวาเลขโดดในหลกสบ และเลขโดดในหลกสบนอยกวาเลขโดดในหลกหนวยเชน 4,589 ม 4 < 5, 5 < 8 และ 8 < 9


5) ใหนกเรยนเตมตวเลข และทาแผนภาพตนไมตอไปนใหสมบรณแ

6) คาตอบของปญหานคออะไร ใหนกเรยนตรวจสอบวา คาตอบทไดสอดคลองกบเงอนไขหรอไม ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ค าชแจง จงหาคาตอบของโจทยแทกาหนดใหและ ถอดรหสปรศนาภาษา โดย หาตวอกษร ภาษาองกฤษลาดบทตรงกบคา ตอบของโจทยแนนคอ A = 1, B = 2, C = 3, …, Z = 26 แลวเขยนตวอกษรทหาไดทงหมดเปนประโยค พรอมแปลเปนภาษาไทย

โจทยแ ค าตอบ ตวอกษร 11 ÷ 22 V

100% ของ 1 1 A x 9 12 L

5 E 8 – (-2) + 2 – (-2) 14 N

(4 x 52) ÷ 5 20 T (9 x 55) – (9 x 54) 9 I

0.014 ÷ 0.001 14 N 5 x 120 5 E

(444x444) ÷ (444x111) 4 D (987654321)0 1 A

( )2 25 Y ประโยคทได คอ…………………………………………………………………………….…………

แปลเปนภาษาไทย คอ………………………………………………………………………………

ถอดรหสปรศนาภาษา



ค าชแจง ใหนกเรยนแกปญหาโจทยแตอไปน

ตาชง 1 และ 2 เปนตาชงทสมดล อยากทราบวา จะตองใชรปสเหลยมจตรสกรป จงจะทาใหตาชง 3 สมดล

วธท า ให ……………แทน ……………แทน ……………แทน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปรศนาตาชง



กาหนดใหรปสเหลยมจตรสขนาด 4×4 ทไดมาจากรปสเหลยมจตรสขนาด 1×1 ตอกนดงรป

1. มรปสเหลยมจตรสขนาด 1×1 ซอนอยในรปทกาหนดใหทงหมดกรป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงเขยนแผนภาพแสดงการแจงนบรปสเหลยมจตรสขนาด 2×2 ทงหมดทซอนอยในรปทกาหนดใหโดยการระบายส

นบไดเทาไร ?


3. ใหนกเรยนแจงนบรปสเหลยมจตรสขนาดตาง ๆ ทซอนอยในรปทกาหนดให และบนทกผลทได ลงในตารางใหสมบรณแ

ขนาด จ านวนรปสเหลยมจตรส 1×1 2×2

รวม 4. ถามรปสเหลยมจตรสขนาด 10×10 ทไดมาจากรปสเหลยมจตรสขนาด 1×1 ตอกน นกเรยนคดวาจะมรปสเหลยมจตรสขนาดตาง ๆ ซอนอยในรปทกาหนดใหทงหมดกรป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ถามรปสเหลยมจตรสขนาด n×n ทไดมาจากรปสเหลยมจตรสขนาด 1×1 ตอกน นกเรยนคดวา จะมรปสเหลยมจตรสขนาดตาง ๆ ซอนอยในรปทกาหนดใหทงหมดกรป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ออมและนนไปเทยวสวนสตวแเบตง ซงสวนสตวแแหงนเลยงมาลายและนกกระจอกเทศในรวเดยวกน ออมและนนอยากทราบวามมาลายและนกกระจอกเทศอยางละกตว จงไดพยายามชวยกนนบจานวนสตวแทงสองชนด แตทงมาลายและนกกระจอกเทศไมยอมอยนงใหนบ ออมและนน จงสอบถามจากนายสตวแพทยแทกาลงดแลสตวแอยบรเวณนน

ออม : ในรวมมาลายและนกกระจอกเทศอยางละกตวคะ

นายสตวแพทย : ถาหนอยากรตองหาคาตอบเองนะ ในรวมมาลายและนกกระจอกเทศรวมกน 47 ตว ถานบขาของมาลายและขาของนกกระจอกเทศรวมกนได 118 ขา

นน : ไมยากเลยคะ เดยวหนชวยกนหาคาตอบได

นายสตวแพทย : ถาหนไดคาตอบแลว ขอดวธคดของหนดวยนะครบ นนเลอกใชวธเขยนรปแทนตวสตวแเพอนบตวและขาของสตวแทงสองชนดโดยใชรป

แทนนกกระจอกเทศ 1 ตว และรป แทนมาลาย 1 ตว

เรมตน นนเขยนรป ทงหมด 47 ตวดงรป

กตวกนแน !


ใหนกเรยนชวยนนหาคาตอบตามวธคดของนนโดยวาดขาเพมภาพละ 2 ขา เพอแทนมาลาย 1 ตว จนนบจานวนขาไดครบตามทกาหนดให นกเรยนหาคาตอบไดเปนอยางไร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สาหรบออมคดวานาจะใชวธวเคราะหแประกอบการเดาคาตอบและตรวจสอบโดยตงคาถาม กบตวเองกอน เพอการเดามประสทธภาพทจะทาใหไดคาตอบเรวขน ออมจงตงคาถามกบตวเองวา “เปนไปไดหรอไมทจะมมาลาย 30 ตว” หลงจากตอบคาถามตวเองไดแลว ออมจงเรมเดาครงแรกโดยคดจานวนมาลายเปน 20 ตว และนกกระจอกเทศเปน 27 ตว พรอมทงบนทกขอมลการเปลยนแปลงจานวนตวสตวแและจานวนขาของสตวแทงสองชนดไปเรอย ๆ จนไดคาตอบโดยใชตารางชวยดงน

เดาครงท มาลา(ตว) นกกระจอกเทศ

(ตว) ขามาลาย

ขานกกระจอกเทศ

รวมขาทงหมด

ผลสรป

1 20 27 20x4=80 27x2=54 134 x 2 3


นกเรยนคดวา เพราะเหตใดออมจงเรมตงคาถามกบตวเองถงความเปนไปไดของการมมาลาย 30 ตว แลวกลบมาเรมเดาท 20 ตว จงอธบาย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ถาออมจะวเคราะหแโดยพจารณาจานวนนกกระจอกเทศกอน นกเรยนคดวาจะหาคาตอบไดหรอไม จงอธบาย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จากผลในตารางจะไดคาตอบของออมตงกบคาตอบของนน ทงสองคนตางนาวธคดและคาตอบไปใหนายสตวแพทยแด ทงสองคนไดรบคาชมวาวธคดใชได และคาตอบไดกถกตอง คอ ม มาลาย………ตว และมนกกระจอกเทศ………ตว นายสตวแพทยแไดแนะนาออมและนนอกวา ถาเรา มความรเกยวกบสมการ เราอาจใชสมการมาชวยหาคาตอบไดอกวธหนงดวย

ใหนกเรยนชวยออมและนนแกปญหาอกครงโดยใชสมการ

วธท 1 ใชระบบสมการเชงเสนสองตวแปร

ใหจานวนมาลายม x ตว จานวนนกกระจอกเทศม y ตว จะไดระบบสมการเชงเสนเปน

x + y = 47 (1) …………………………………… (2)

แกระบบสมการ ดงนน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………


ตรวจสอบค าตอบ ดงน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ดงนน มจานวนมาลาย………ตว และจานวนนกกระจอกเทศ………ตว

วธท 2 ใชสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ใหจานวนมาลายม x ตว จะไดจานวนนกกระจอกเทศ…………………ตว และจะไดสมการเชงเสนตวแปรเดยว เปน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แกระบบสมการ ดงนน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตรวจสอบคาตอบ ดงน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ดงนน มจานวนมาลาย………ตว และจานวนนกกระจอกเทศ………ตว


ลองท ากจกรรมด แลวคณจะร

ใน “จตรสกล…กบคนเกง” ตอไปน ผลบวกของจานวนในแตละแถว ผลบวกของจานวนในแตละหลก ผลบวกของจานวนในแตละแนวเสนทแยงเทากนหมด คอเทากบ 27 แตจตรสนยงไมสมบรณแตองการคนเกงมาชวยเตมหนอย เพราะยงไมไดหาคาของ x และบางชองยงไมมจานวนปรากฏอย ใครเปนคนเกงชวยเตมจตรสกลใหสมบรณแดวยนะครบ


บรรณานกรม

กนกวล อษณกรกล และคณะ. หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ม.1 เลม 1. กรงเทพมหานคร : อกษรเจรญทศนแ อจท. จากด, 2553. _______. หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ม.1 เลม 2. กรงเทพมหานคร : อกษรเจรญทศนแ อจท. จากด, 2553. _______. หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ม.2 เลม 2. กรงเทพมหานคร : อกษรเจรญทศนแ อจท. จากด, 2553. ทรงวทยแ สวรรณธาดา. New สรปเขมคตศาสตร ม.2. กรงเทพมหานคร : แมค, 2552 _______. หนงสอเรยนเสรมมาตรฐานแมค คณตศาสตรพนฐาน ม.1 ภาคเรยนท 1. กรงเทพมหานคร : แมค, 2552. เทพฤทธ ยอดใส และคณะ. ตะลยโจทยคณตศาสตรพนฐาน ม.2 . กรงเทพมหานคร : สานกพมพแ พ.ศ. พฒนา จากด , 2550. ธดาสร ภทรากาญจนแ และคณะ. คณตคดเพลน : กรงเทพมหานคร : สานกพมพแแหงจฬาลงกรณแ มหาวทยาลย, 2547. ธวชชย บญเลศ. ลยโจทยคลงขอสอบคณตศาสตร ม. ตน. กรงเทพฯ : สานกพมพแธรรมบณฑต,

2549. _______. อภนหารต านานโจทยแขงขนคณตศาสตร SUPER TEST MATHS ม.ตน (ม.1-2-3) . กรงเทพฯ : สานกพมพแธรรมบณฑต, 2550. ฝายวชาการ พบซ. ยอดคณตศาสตร ม.ตน (ชดท 3). กรงเทพมหานคร : พบซ, 2553. ฝายวชาการ. ยอดคณตศาสตร ม. ตน ชดท 4. กรงเทพฯ : สานกพมพแ พบซ, 2553. ศกษาธการ, กระทรวง. ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพแชมนมสหกรณแการเกษตรแหงประเทศไทย จากด, 2551. _______. หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร :

โรงพมพแชมนมสหกรณแการเกษตรแหงประเทศไทย จากด, 2551. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรแและเทคโนโลย. เอกสารประกอบการอบรมครคณตศาสตร

ชนประถมศกษาปท 6 ทางสถานโทรทศนเพอการศกษา (ETV), 2549. http://www.krupongsak.net/syseqation.html http://mc41.thport.com/education/m2/equation/test05.html http://www.trueplookpanya.com/data/product/media/hash_knowledge/337 8/27378/DOCU2000027378.pdf http://www.trueplookpanya.com/true/login_form.php?page_url=/true/knowledge_det ail.php?mul_content_id=15386&mul_source_id=027378

http://www.krupongsak.net/syseqation.html

http://mc41.thport.com/education/m2/equation/test05.html

http://www.trueplookpanya.com/data/product/media/hash_knowledge/337%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%208/27378/DOCU2000027378.pdf

http://www.trueplookpanya.com/data/product/media/hash_knowledge/337%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%208/27378/DOCU2000027378.pdf

http://www.trueplookpanya.com/true/login_form.php?page_url=/true/knowledge_det%20%20%20%20ail.php?mul_content_id=15386&mul_source_id=027378

http://www.trueplookpanya.com/true/login_form.php?page_url=/true/knowledge_det%20%20%20%20ail.php?mul_content_id=15386&mul_source_id=027378


https://kanchit004.wordpress.com/ http://tanyaporn.wordpress.com/ http://bussayamas123.wordpress.com/ http://supawimol.wordpress.com/ http://prawit1972.wordpress.com/ http://kruaun.wordpress.com/ http://bussayamas123.files.wordpress.com/ http://golek03.wordpress.com/ D:\MyFirstBrain_Com https://www.google.co.th/ www.myfirstbrain.com/ www.kanid.com www.ipst.ac.th

https://kanchit004.wordpress.com/

http://tanyaporn.wordpress.com/

http://bussayamas123.wordpress.com/

http://supawimol.wordpress.com/

http://prawit1972.wordpress.com/

http://kruaun.wordpress.com/

http://bussayamas123.files.wordpress.com/

http://golek03.wordpress.com/

https://www.google.co.th/

http://www.myfirstbrain.com/

http://www.kanid.com/

http://www.ipst.ac.th/


ภาคผนวก ก เฉลยแบบฝกหด


เฉลยแบบฝกหด

สาระ/มาตรฐาน สาระท 1 จ านวนและการด าเนนการ มาตรฐาน ค 1.1 ม. 1/1 แบบฝกหดชดท 1

ขอท ต าตอบ

1 ค 2 ข 3 ก 4 ง 5 ง



1 ก 2 ข 3 ง 4 ข 5 ค



1 2.5 2 4.666… 3

4

5




1 ตรรกยะ 2 ตรรกยะ 3 อตรรกยะ

4 ตรรกยะ

5 อตรรกยะ



1 4 2 3

3 3

7

4 4

5

5 0.1


ขอท ต าตอบ ตอนท 1

1 ข 2 ง 3 ข

ตอนท 2 1

ไนโตเจน = 100 กก. โพแทสเชยม = 100 กก. ฟอสฟอรล = 200 กก. อน ๆ = 600 กก.

2 20,000 บาท


สาระ/มาตรฐาน สาระท 1 จ านวนและการด าเนนการ

มาตรฐาน ค 1.2 ม. 1/1

แบบฝกหดชดท 7


1 10 2 11 3 13 4 13 5 18





1 -0.2 2 4.76 3 -85.64 4

5 10 6 875 ตว





1

2

3

4

5

6

7

8

9

10






1 1)

2)

3)

4) 2 1 3 1.728 ตว





1 5, -5

2 -6

3

4

5 140 ซม.

6 7 ซม.





1 +

2 5 3 7 4 196 5 9






1 100 2 1 3 6,570 บาท 4 25 เซนตเมตร 5 150 กโลเมตร





1 3.74 2 4.47 3 -5.00 4 -5.92 5 8.51




ขอท ต าตอบ 1 1) 2 2) -93 3) 28 4) 25 5) 9 6) 3 7) 875 8) -113 9) 0 10) -2735 2

2.1 ก 2.2 ค 3 ข 4 ค 5 ค






1

2

3

4

5

สาระ/มาตรฐาน สาระท 2 การวด




1 6.15 2 21.1 3 58 4 0.84 5 320


มาตรฐาน ค 2.1 ม. 2/2แบบฝกหดชดท 2


1 ไมเหมาะสม เพราะถาเอกตองใชเวลาในการชวยแมมากกวา 3 ชวโมงเลกนอย แมเพยง 10 นาท เอกกจะอาบน าแตงตวเพอไปงานไมทนในเวลา 5 นาท หรอนกเรยนอาจตอบวา เหมาะสมเพราะเทยบกนตนเองทใชเวลาในการอาบน าแตงตวไมเกน 5 นาท

2 เหมาะสม เพราะจตราใชเวลาเดนทาง 35 นาท 3 เหมาะสม เพราะครงแรกแมคาใชเวลาเจยวไข

5 นาท เนองจากส าลเปนลกคาคนแรก กระทะทใชเจยวไขยงไมรอน จงตองใชเวลานาน แตสดาสงไขเจยวตอจากส าลในขณะทกระทะยงคงรอนอย






1 2,430 บาท 2 240 แผน 3 ไปบานเพอน 4 16 แปลง 5 สมพรขายทดนไดมากกวาสมชาย 60,000 บาท





1 6.21 ตารางเมตร 2 35.2 ตารางเมตร 3 1,440 ตารางเซนตเมตร 4 6,600 ตารางเซนตเมตร 5 60 ตารางเซนตเมตร





1 1,125 ลกบาศกแเซนตเมตร 2 180 ลตร 3 36 ลกบาศกแเมตร 4 3,215.36 ลกบาศกแเซนตเมตร 5 5 เซนตเมตร





1 37,680 ลตร 2 210 ลตร 3 113,040 ลตร 4 502.4 ลกบาศกแเซนตเมตร 5 5 เมตร






1 ควรชอนาสมเขยวหวานคนสาเรจรป 100 %





1 นรนทรแ 2 5,600 บาท 3 200 เมตร 4 9.6 ตารางเมตร 5 9 กระปอง





1 3,850 ครง 2 14 ชน 3 37,500 ลกบาศกแเซนตเมตร 4 832 บาท 5 12 เซนตเมตร




เฉลยแบบฝกหดท 1 (ค 3.1 ม.1/1)

1. กาหนด a และ b แทนความยาวของสวนของเสนตรงสองเสนดงรป

a b

จงสรางสวนของเสนตรงเสนหนงใหมความยาวเทากบ a + b และ a – b

1) สวนของเสนตรงทมความยาวเทากบ a + b

วธสราง

(1) ลาก AD

(2) ใช A เปนจดศนยแกลางรศมยาวเทากบ a เขยนสวนโคงใหตด AD ทจด B

(3) ใช B เปนจดศนยแกลางรศมยาวเทากบ b เขยนสวนโคงใหตด BD ทจด C

จะได AC ยาวเทากบ a + b

2) สวนของเสนตรงทมความยาวเทากบ a - b

วธสราง

(1) ลาก OR

(2) ใช O เปนจดศนยแกลางรศมยาวเทากบ a เขยนสวนโคงตด OR ทจด P

(3) ใช O เปนจดศนยแกลางรศมยาวเทากบ b เขยนสวนโคงตด OR ทจด Q


จะได QP ยาวเทากบ a – b

2. จงสราง ABC ใหมขนาดเทากบขนาดของมมกลบทกาหนดให

วธสราง ใหมมทกาหนดให คอ

XYZ

(1) ลาก BC

(2) ใช Y เปนจดศนยแกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตด XY และ

YZ

ทจด S และจด T ตามลาดบ

(3) ใช B เปนจดศนยแกลาง รศมยาวเทากบ YT เขยนสวนโคง MN ใหตด BC

ทจด N

(4) ใช N เปนจดศนยแกลาง รศมเทากบ TS เขยนสวนโคงใหตดสวนโคง MN

ทจด A ลาก BA จะได มมกลบ

ABC ทมขนาดเทากบมมกลบทกาหนดให


3. จงสราง ABC ใหมขนาดนอยกวา 180 องศา

1) จงสรางเสนแบงครงมม ABC

2) จงสรางเสนแบงครงมมกลบ ABC

3) เสนแบงครงมมในขอ 1) และ 2) เกยวของกนอยางไร

วธสราง

1) สรางมม ABC ใหมขนาดนอยกวา 180 องศา แลวสรางเสนแบงครง

ABC

(1) ใช B เปนจดศนยแกลาง รศมยาวพอสมควรเขยนสวนโคงตด BA และ

BC

ทจด P และจด Q ตามลาดบ

(2) ใช P และ Q เปนจดศนยแกลาง รศมยาวเทากนเขยนสวนโคงตดกนทจด D

ลาก BD จะได

BD เปนเสนแบงครง

ABC

2) สรางเสนแบงครงมมกลบ ABC เชนเดยวกบขอ (1) ได BE เปนเสนแบงครงมม

กลบ ABC

3) เสนแบงครงมมในขอ 1) และ 2) เปนเสนตรงเดยวกน




1. จงสรางรปสามเหลยม MON ใหมดาน ON ยาว 5 เซนตเมตร มม MON มขนาด 60 และมม MNO มขนาด 45

วธสราง (1) สราง AB และสราง ON บน

AB ให ON = 5 เซนตเมตร

(2) ใช O เปนจดศนยแกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตด AB ทจด X

และจด Y

(3) ใช Y เปนจดศนยแกลาง รศมเทากบ OY เขยนสวนโคงตดสวนโคง XY ทจด C

(4) ลาก OC จะได

OCY หรอ

CON มขนาด 60

(5) ทจด N สราง ND ใหตงฉากกบ ON จะได m(

OND ) = 90

(6) สราง NM ใหแบงครงมมฉาก OND และให

NM ตดกบ OC ทจด M จะได m(

MNO ) = 45 และจะไดรปสามเหลยม MON ทมดาน ON ยาว 5 เซนตเมตร

มม MON มขนาด 60 และ มม MNO มขนาด 45 ตามตองการ


2. จงสรางสวนสงของรปสามเหลยม PQR ทง 3 เสน

PS เปนสวนสงเมอ QR เปนฐาน ของ PQR

QT เปนสวนสงเมอ PR เปนฐาน ของ PQR

RO เปนสวนสงเมอ PQ เปนฐาน

ของ PQR

วธสราง

(1) สรางสวนสงทลากจากจด P มาตงฉากกบสวนตอของ QR โดยใช P เปนจดศนยแกลาง รศมยาวพอสมควรเขยนสวนโคงตด QR และสวนตอของ QR ทจด A และจด B แลวใช A และ B เปนจดศนยแกลาง รศมเทากน เขยนสวนโคงตดกนทจด X ลาก FX ตดสวนตอของ RQ ทจด S จะได PS เปนสวนสงของรปสามเหลยม PQR ทลากจากจด P มายงสวนตอของฐาน RQ

(2) สรางสวนสง QT ทลากจากจดยอด Q ไปยงฐาน PR โดยใชวธการเชนเดยวกบขอ (1)

(3) สรางสวนสง RO ทลากจากจดยอด R ไปยงสวนตอของฐาน PQ โดยวธการ

เชนเดยวกบขอ (1)


3. จงสรางรปสามเหลยม ABC ใหดาน BC ยาว 6 เซนตเมตร ดาน AB ยาว 4 เซนตเมตร

และมม ABC มขนาด 105 แลวลากเสนตรงเชอมจดกงกลางของดานทงสามของรป

สามเหลยม ABC

วธสราง

(1) สราง BC ให BC = 6 เซนตเมตร

(2) สราง BD ตงฉากกบ BC ทจด B จะได

DBC = 90

(3) สราง EBC ใหมขนาด 120 จะได

EBD = 30

(4) สราง BF แบงครง แบงครง

EBD จะได

FBD = 15

ดงนน FBC มขนาด 90 + 15 = 105

(5) สราง AB บน FB ให AB = 4 เซนตเมตร

(6) ลาก AC จะไดรปสามเหลยม ABC ทมดาน AC ยาว 6 เซนตเมตร ดาน AB

ยาว 4 เซนตเมตร และมม ABC มขนาด 105

(7) แบงครง AB ท X แบงครง BC ทจด Y และแบงครง AC ทจด Z

(8) ลาก XY , YZ และ ZX จะไดเสนตรงทเชอมจดกงกลางของดานทงสามของ

รปสามเหลยม ABC




1. รปสามเหลยม ABC

2. รปวงร

3. รปสามเหลยม ABC



ค าชแจง บอกชอรปเรขาคณตสามมตทกาหนดใหในแตละขอตอไปน

1) 2) 3)

........................................... ............................................... ......................... ......................

ทรงสเหลยมมมฉาก ปรซมฐานสามเหลยม ทรงกระบอก


4) 5) 6)

........................................... ............................................... ......................... ......................

7) 8) 9)

........................................... ................................. .............. ............................................

พระมดฐานสามเหลยม พระมดฐานสเหลยมจตรส กรวย

ทรงหกหนา ทรงแปดหนา ทรงสบสองหนา




1) ค 2) ข 3) จ 4) ง



จะไดรปเรขาคณตสามมตแสดงการจดเรยงของลกบาศกแ ดงน





1. รปคลทกาหนดให เปนรปเรขาคณตสามมตชนดใด

ตอบ ทรงสเหลยมมมฉาก

2. ถาใชระนาบตดกรวยในแนวตงฉากกบฐานโดยตดผานจดยอดกรวยจะไดหนาตดเปนรปเรขาคณต

ชนดใด

ตอบ รปสามเหลยม

3. ถาใชระนาบตดทรงสเหลยมมมฉากตามแนวเสนทแยงมม และใหระนาบตงฉากกบฐาน หนาตด จะเปนรปเรขาคณตชนดใด

ตอบ รปสเหลยมมมฉาก

4. ถาใชระนาบตดมมของทรงสเหลยมมมฉากออก จะไดหนาตดเปนรปเรขาคณตชนดใด

ตอบ รปสเหลยมคางหม

5. ถาใชระนาบตดทรงกระบอกในแนวทตงฉากกบฐานจะไดหนาตดเปนรปเรขาคณต ชนดใด

ตอบ รปสเหลยมมมฉาก

6. ถาใชระนาบตดทรงกลม จะไดหนาตดเปนรปเรขาคณตชนดใด

ตอบ รปวงกลม



เฉลยแบบฝกหด ชดท 8 (ค 3.2 ม.2/1)

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงเหตผลวา ขอความทกาหนดใหเปนจรงหรอไม

1. แสดงเหตผลใหเหนวา “ถามมของรปสามเหลยมสองรปใดๆ มขนาดเทากนสองคแลว มมคทสามจะมขนาดเทากนดวย” เปนความจรง

D

F E

n

y x

A

B C

x y

m

จากรป ABC , 180myx (ขนาดของมมทงสามของรปสามเหลยม)

DEF , 180nyx (ขนาดของมมทงสามของรปสามเหลยม)

nyxmyx (จากขอ 1 และขอ 2 ตางเทากบ 108๐)

nx (สมบตของการเทากน)

ดงนน ถามมของรปสามเหลยมสองรปใดๆ มขนาดเทากนสองคแลว มมคทสามจะมขนาดเทากนดวย


2. แสดงเหตผลใหเหนวา “ ถาตอดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไป มมภายนอกทเกดขน จะมขนาดเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในทไมใชมมประชดของมมภายนอกนน เปนความจรง

3. แสดงเหตผลใหเหนวา “ถารปสามเหลยมสองรปมขนาดของมมเทากนสองค และมดานทอยตรง

ขามกบมมคทมขนาดเทากนคหนงแลวรปสามเหลยมสองรปนจะเทากนทกประการ” เปนความจรง

A

B C D

A

B C

D

F E

180DCABCA

(ขนาดของมมตรง)

180CABCBABCA

(ขนาดของมมทงสามของรปสามเหลยม รวมกนได 180 องศา)

ดงนน CABCBADCA

(สมบตของการเทากน)

CABCBABCADCABCA

(ตางกเทากบ 180 องศา)

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

..................................

FEDCBA

(โจทยก าหนดให)

FDECAB

(โจทยก าหนดให)

EFBC (โจทยก าหนดให)

ดงนน ABC DEF แบบ ม.ม.ด.





1. กาหนดกลองทรงสเหลยมมมฉาก ดงรป มดาน ยาว 12 เซนตเมตร ดาน ยาว 9

เซนตเมตร และดาน ยาว 8 เซนตเมตร จงหาความยาวของ

วธท า จากรปสามเหลยมมมฉาก ABC ซงม CBA

เปนมมฉาก

จะได 222 BCABAC

จากรป ACH เปนรปสามเหลยมมมฉากทม HCA


จะได 222 CHACAH

ดงนน 222 CHBCABAH

222 8912

6481144

289AH 2

289AH

17AH

ดงนน AH มความยาวเทากบ 17 เซนตเมตร

A B

C D

E

F G

H

8 ซม.

12 ซม.

9 ซม.


2. เรอเดนทะเลลาหนงแลนไปทางทศเหนอ 20 ไมลแ แลวแลนไปทางทศตะวนตก 2 ไมลแ จงจอดเรอเพอหยด พกเครอง แลวแลนตอไปทางทศเหนออก 20 ไมลแ และแลนไปทางทศตะวนออกอก 11 ไมลแ เรอลานอย หางจากจดเรมตนกไมลแ

วธท า............................................................................................................................. ..................

............................................................................ .................................................................................

............................................................................................................................. ................................

............................................................................................................................................. ...............

................................................................................................................... ..........................................

............................................................................................................................. ................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ................................

............................................................................................................................. ................................

............................................................................................ ................................................................

............................................................................................................................. ................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ................................

............................................................................................................................. ................................

....................................................................... ......................................................................................

ให A แทน จดทเรอเดนทะเลเรมตนออกเดนทาง

AB แทน ระยะทางทเรอแลนไปทางทศเหนอ 20 ไมล

BC แทน ระยะทเรอแลนไปทางทศตะวนตก 2 ไมล

CD แทน ระยะทางทเรอแลนไปทางทศเหนออก 20 ไมล

DE แทน ระยะทางทเรอแลนไปทางทศตะวนออก 11 ไมล

AE แทน ระยะทางทเรออยหางจากจดเรมตน

ลาก AF ขนานกบ DE แลวลาก EF ขนานกบ DC

จะได AEF เปนรปสามเหลยมมมฉากทม EFA


โดย AF ยาว 9211 ไมล

และ EF ยาว 402020 ไมล

จะไดวา 222 EFAFAE

22 409

600,181

681,1AE2

681,1AE , 41AE

ดงนน เรออยหางจากจดเรมตน 41 ไมล


3. จากรป กาหนดให RQP

เปนมมฉาก QS ตงฉากกบ PR ตวเลขทกากบดานมหนวยเปนหนวย

ความยาว จงหา QS

วธท า

P S R

Q

60 11

เนองจาก PQR เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทม PQR เปนมมฉาก

จะได 222 6011PR

600,3121

721,3PR2

721,3PR

61PR

พนทของรปสามเหลยม QRPQ2

1PQR

60112

1

330 ตารางหนวย

เนองจาก PRQS จะไดวาQS เปนความสงของ PQR

เมอ PR เปนฐานของรปสามเหลยม

พนทของรปสามเหลยม QSPR2

1PQR

QS612

1330

61

2330QS

82.10QS

ดงนน QS ยาวประมาณ 10.82 หนวย




1. ข 2. ง 3. ข 4. ง 5. ข



1. การเลอนขนาน

2. การสะทอน

3. การเลอนขนาน การหมน การเลอนขนาน

4. การหมน การสะทอน การเลอนขนาน

5. การหมน 2 ครง การเลอนขนาน



1. 50 เมตร 2. 0.75 เมตร 3. 2 : 3


1 2 3 4 5 6 7 8

สาระท 4 พชคณต


เฉลยแบบฝกหดชดท 1 (ค 4.1 ม.1/1)

ค าชแจง จงเตมจานวนลงในชองวางใหถกตองพรอมทงแสดงวธการคดหรอแนวคด

ขอ 1. 10, 11, 13, 16, 20, 25, … , ......, 46

แนวคด : เปลยนแบบใหมเปนการเพมอยางเปนระบบแตไมคงตว

พจารณา 10 11 13 16 20 25 ..31… 38... 46

ขอ 2. จงหาคา X

แนวคด : ตวเลขทตอจาก 5 จะบวกดวย 2 ยกกาลงหนง ถง 2 ยกกาลง 5

เรม 5 + 21 = 5 + 2 = 7 19 + 2

4 = 19 + 16 = 35

7 + 22 = 7 + 4 = 11 35 + 2

5 = 35 + 32 = 67

11 + 23 = 11 + 8 = 19

X 7

11

19

35

5 21

22

23

2

4

25

ดงนน X = 67


ขอ 3. ค าชแจง จงเตมจานวนลงในชองวางใหถกตองพรอมทงแสดงแนวคด 35, 31, 27, 23, 19, .... , 11, ….. , 3

อธบายแนวคด : เปลยนแบบใหมเปนการลดลงทละเทา ๆ กน โดยลดลงทละ 4 เทา ๆ กน จะได 35, 31, 27, 23, 19, ...15.., 11, …7.., 3

เรมพจารณาจาก 35 = 35 - 0 31 = 35 – 4 – 0 27 = 35 – 4 – 4 - 0 23 = 35 – 4 – 4 – 4 - 0 19 = 35 – 4 – 4 – 4 - 4 - 0 15 = 35 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 - 0 11 = 35 – 4 – 4 – 4 - 4 - 4 – 4- 0 7 = 35 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 - 4 - 0 3 = 35 – 4 – 4 – 4 – 4 - 4 – 4 - 4 – 4 - 0

ขอ 4. ค าชแจง จงเตมจานวนลงในชองวางใหถกตองพรอมทงแสดงแนวคด

56, 50, 44, 38, 32, ..., 20

อธบายแนวคด : เปลยนแบบใหมเปนการลดลงทละเทา ๆ กน โดยลดลงทละ 6 เทา ๆ กน

56, 50, 44, 38, 32, .. 26.., 20

เรมพจารณาจาก 56 = 56 - 0

50 = 56 – 6 – 0

44 = 56 – 6 – 6 - 0

38 = 56 – 6 –6 – 6 - 0

32 = 56 – 6 – 6 –6 - 6 - 0

26 = 56 – 6 – 6 – 6– 6 – 6 - 0

20 = 56 – 6 – 6 – 6 - 6 - 6 – 6- 0


ขอ 5. ค าชแจง จงเตมจานวนลงในชองวางใหถกตองพรอมทงแสดงแนวคด

11, 14, 17, 20, 23, ...., ......, 32, 35

อธบายแนวคด : เปลยนแบบใหมเปนการลดลงทละเทา ๆ กน โดยลดลงทละ 3 เทาๆกน

11, 14, 17, 20, 23, ..26.., ...29..., 32, 35

เรมพจารณาจาก 11 = 11 + 0

14 = 11 + 3 + 0

17 = 11 + 3 + 3 + 0

20 = 11 + 3 + 3 + 3 + 0

23 = 11 + 3 + 3 + 3 + 3 + 0

26 = 11 + 3 + 3 + 3 + 3 +3 + 0

29 = 11 + 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 +0

32 = 11 + 3 + 3 + 3 + 3 +3 +3 +3 +0

35 = 11 + 3 + 3 + 3+ 3 + 3+ 3 +3 +3 + 0

38 = 11 + 3 + 3+ 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3 +0




1. x + 58 = 99 แนวคด : นา -58 มาบวกเขาทงสองขางของสมการ (สมบตการบวก)

จะได x + 58 – 58 = 99 – 58 x = 41

ตรวจสอบ แทน x = 41 ในสมการ x + 58 = 99

จะได 41 + 58 = 99 99 = 99 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน 41 เปนคาตอบของสมการ x + 58 = 99

2. b – 2.6 = 1.2 แนวคด : นา 2.6 มาบวกทงสองขางของสมการ (สมบตการบวก)

จะได b – 2.6 + 2.6 = 1.2 +2.6 b = 3.8

ตรวจสอบ แทน b = 3.8 ในสมการ b - 2.6 = 1.2

จะได 3.8 - 2.6 = 1.2 1.2 = 1.2 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน 3.8 เปนคาตอบของสมการ b – 2.6 = 1.2

3. y - 3

5 = 3

7

แนวคด : นา 3

5 มาบวกทงสองขางของสมการ (สมบตการบวก)

จะได y - 3

5 + 3

5 = 3

7 +3

5

y = 3

12 y = 4

ตรวจสอบ แทน y = 4 ในสมการ y - 3

5 = 3

7

จะได 4 - 3

5 = 3

7

3

7 = 3

7 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน 4 เปนคาตอบของสมการ y - 3

5 = 3

7


4. – 0.3a = 2.4 แนวคด : นา

3.0

1 มาคณเขาทงสองขางของสมการ (สมบตการคณ)

จะได 3.0

1 x (-0.3a) = 2.4 x 3.0

1

a = 3.0

4.2

a = -8 ตรวจสอบ แทน a = -8 ในสมการ –0.3a = 2.4

จะได –0.3 x (-8) = 2.4 2.4 = 2.4 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน -8 เปนคาตอบของสมการ –0.3a = 2.4

5. 3

c = -14

แนวคด : นา 3 มาคณทงสองขางของสมการ (สมบตการคณ) จะได 3

3

c = -14 x 3

c = -42 ตรวจสอบ แทน c = -42 ในสมการ

3

c = -14

จะได 3

42 = -14

-14 = -14 เปนสมการทเปนจรง ดงนน -42 เปนคาตอบของสมการ

3

c = -14


เฉลยแบบฝกหด ชดท 3 ค 4.2 ม.1/2

(1) 7

3 x - 5

4 x = 15 (2) 5

4 x – 2 = 19

(3) 2x + (2x+2) = 58 (4) 12x – 33 = 3

(5) 2

1 x – 11 = 18 (6) 15 - 2x = 3

(7) 2 )34

3( x = 96




ขอ 1. พอคาคนหนงซอขาวกลองและขาวมนปเพอนามาผสมกนใหได 100 กโลกรม

เขาซอขาวมนป กโลกรมละ 20 บาท ซอขาวกลองกโลกรมละ 18 บาท เมอนามาผสมกนแลว เขาขายไปไดกาไร 40% คดเปนกาไร 776 บาท อยากทราบวา พอคาซอขาวแตละชนดอยางละ กกโลกรม

วธท า ขนท 1 สงทโจทยแกาหนด และสงทโจทยแตองการทราบ

สงทกาหนดให คอ พอคาซอขาวกลองและขาวมนปผสมกน ใหได 100 กโลกรม

ซอขาวมนป กโลกรมละ 20 บาท ซอขาวกลอง กโลกรมละ 18 บาท

เมอนามาผสมกนแลว เขาขายไปไดกาไร 40% คดเปนกาไร 776 บาท

สงทโจทยแถาม คอ พอคาซอขาวแตละชนดอยางละกกโลกรม

ขนท 2 วางแผนการแกโจทยแปญหา กาหนดให พอคาซอขาวกลอง x กโลกรม

และ ซอขาวมนป x100 - กโลกรม

ขนท 3 อธบายขนตอนการแกโจทยแปญหาตามแผนทวางไว

ซอขาวกลอง กโลกรมละ 18 บาท คดเปนเงน 18x บาท

ซอขาวมนป กโลกรมละ 20 บาท คดเปนเงน ( )x10020 - บาท

ขายขาวผสมไดกาไร 40% คดเปนเงน 776 บาท

จะไดสมการ 776-1002018100

40 xx

7762-000,2185

2 xx

7762-000,25

2x

2

57762-000,2 x

940,1=x2000,2 -

จะได 000,2-940,12- x

60-2- x

30x


ขนท 4 ตรวจสอบคาตอบดวยวธทหลากหลายและรวดเรว

ถาพอคาซอขาวกลอง 30 กโลกรม จะซอขาวมนป 70=30100 - กโลกรม

ซอขาวกลอง 30 กโลกรม คดเปนเงน 540=30×18 บาท

ซอขาวมนป 70 กโลกรม คดเปนเงน 400,1=70×20 บาท

จะไดกาไร ( ) 776=945,1×52

=400,1+54010040

บาท

ดงนน ซอขาวกลอง 30 กโลกรม และซอขาวมนป 70 กโลกรม

ขอ 2 ปจจบนเตยอายมากกวาเตเา 6 ป อก 14 ปขางหนา อตราสวนอายของเตยตออายของ เตเาเปน 5 : 4 ปจจบนเตยและเตเาอายเทาไร

วธท า ขนท 1 สงทโจทยแกาหนด และสงทโจทยแตองการทราบ สงทกาหนดให คอ ปจจบนเตยอายมากกวาเตเา 6 ป อก 14 ปขางหนา

อตราสวนของอายของเตยตออายของเตเาเปน 5 : 4 สงทโจทยแถาม คอ ปจจบนเตยและเตเาอายเทาไร ขนท 2 วางแผนการแกโจทยแปญหา สมมตให ปจจบนเตยมอาย x ป จะไดวา เตเามอาย x - 6 ป ขนท 3 อธบายขนตอนการแกโจทยแปญหาตามแผนทวางไว อก 14 ปขางหนา เตยจะมอาย 14x ป อก 14 ปขางหนา เตเาจะมอาย 8146- xx ป เนองจาก อก 14 ปขางหนา อายของเตยตออายของเตเา เปน 5 : 4

ดงนน จงเขยนเปนสดสวน 4

5

8

14

x

x

เมอใชการคณไขว จะไดสมการเปน 58414 xx 40+x5=56+x4

56-405-4 xx

16-- x , 16x


ขนท 4 ตรวจสอบคาตอบดวยวธทหลากหลายและรวดเรว ถา 16 ป เตเาจะมอาย 10=616- ป

อก 14 ปขางหนา เตยจะมอาย 30=14+16 ปและ เตเาจะมอาย 24=14+10 ป

อตราสวนอายของเตย ตอ อายของเตเาเปน 30 : 24 ซงเทากบ 5 : 4 และเปนจรงตามเงอนไขในโจทยแดงนน ปจจบนเตยมอาย 16 ป และเตเามอาย 10 ป

ขอ 3. เมอ 3 ปทแลวบตรมอายเปนหนงในหกของอายของบดาถาปจจบนบตรมอาย 8 ป จงหาอายปจจบนของบดา วธท า ใหอายปจจบนของบดา x ป ถาปจจบนบตรมอาย 8 ป เมอสามปทแลวบตรมอายเปนหนงในหกของอายของบดา เมอ 3 ปทแลวบตรมอาย 8 - 3 = 5 ป และเมอ 3 ปทแลว บดามอาย x - 3 ป ดงนน 5 = 6

1 (x - 3) หรอ 61 (x - 3) = 5

นา 6 มาคณทงสองขางของสมการ จะได x - 3 = 30 นา 3 มาบวกทงสองขางของสมการ จะได x = 30 + 3 x = 33 ตรวจสอบ เมอ 3 ปทแลวบตรมอาย 8 - 3 = 5 ป เมอ 3 ปทแลวบดามอาย 33 - 3 = 30 ป

ดงนน เมอ 3 ปทแลว บตรมอายเปน 305

= 61

ของอายบดา ซงเปนจรง ตอบ อายปจจบนของบดา = 33 ป ขอ 4 โรงเรยนแหงหนงจดงานสงสรรคแศษยแเกา แตมนกเรยนปจจบนไปรวมงาน

7

3 ของผรวมงาน

ทงหมด ถานกเรยนปจจบนไปรวมงาน 420 คน ผรวมงานทงหมดมกคน วธท า มนกเรยนปจจบนไปรวมงานสงสรรคแศษยแเกา

7

3 ของผรวมงานทงหมด

ถานกเรยนปจจบนไปรวมงาน 420 คน สงทโจทยแถาม ผรวมงานทงหมดมกคน (ให x แทนจานวนผรวมงานทงหมด) นกเรยนปจจบนไปรวมงาน

7

3 ของ x เทากบ 420 คน

สมการทได คอ 7

3 x = 420

นา 7

3 มาคณทงสองขางของสมการ(สมบตการคณ) จะได (3

7 ) (7

3 ) x = 3

7 420

x = 980 ตรวจสอบ นกเรยนปจจบนไปรวมงาน

7

3 ของผรวมงานทงหมดเทากบ 7

3 980 = 420

ดงนน ผรวมงานทงหมด 980 คน


ขอ 5 สามในสของรายไดของนาย ก นอยกวานายรายไดของนาย ข อย 500 บาท ถานาย ข มรายได 2,600 บาท จงหารายไดของนาย ก

วธทา ใหรายไดของนาย ก เปน x บาท

ดงนน สามในสของรายไดของนาย ข เทากบ 4

3 x บาท

4

3 x บาท นอยกวารายไดของนาย ข อย 500 บาท

ดงนน รายไดของนาย ข เทากบ 4

3 x + 500 บาท

แตรายไดของนาย ข เทากบ 2,600 บาท

ดงนน 4

3 x + 500 = 2,600 บาท

นา – 500 มาบวกเขาทงสองขางของสมการ จะได 4

3 x + 500 – 500 = 2,600 – 500

4

3 x = 2,100

นา 4

3 มาคณเขาทงสองขางของสมการ จะได 4

3 4

3 = 4

3 2,100

x = 2,800 บาท

ตรวจสอบ สามในสของรายไดของนาย ก นอยกวารายไดของนาย ข คดเปนเงน

2,600 - (4

3 2,800 ) = 2,600 - 2,100 = 500 บาท สมการเปนจรง

ตอบ รายไดของนาย ก 2,800 บาท




ขอ 1. จากตารางตอไปน จงเขยนกราฟแสดงความสมพนธแระหวางขอมลสองกลมทกาหนดให

เวลา(นาท) 0 1 2 3 4 ระยะทาง(เมตร) 0 10 20 30 40

ขอ 2. จากตารางตอไปน จงเขยนกราฟแสดงความสมพนธแระหวางขอมลสองกลมทกาหนดให

จ านวนดนสอ (แทง) 1 2 3 4 5

ราคา (บาท) 5 10 15 20 25 + +

Y ระยะทาง (เมตร) 40 + 30 + 20 + 10 + 0

1 2 3 4 5

X เวลา(นาท)

Y ราคา (บาท) 25

20 15 + 10 + 5 +

0 1 2 3 4

X จ านวนดนสอ(แทง)


ขอ 3 จากตารางตอไปน จงเขยนกราฟแสดงความสมพนธแระหวางขอมลสองกลมทกาหนดให

ปรมาณขาวสาร (กโลกรม) 1 2 3 4 5 ราคา (บาท) 25 50 75 100 125

Y ราคา (บาท) 125 + 100 + 75 + 50 + 25 +

0 1 2 3 4 5

X

ปรมาณขาวสาร

(กโลกรม)




ขอ 1. เมอปลอยวตถเปนเนอเหลกใหตกลงจากทสง ระยะทางทวตถตกจะเปลยนแปลงไปตามเวลาดงกราฟ ทแสดงความสมพนธแระหวางเวลาและระยะทางในลกษณะทตอเนองกน เปนสวนของเสนโคงดงรป จงตอบค าถามตอไปน

(1) เมอเวลาผานไป 3 วนาท วตถตกลงมาไดประมาณกเมตร ตอบ 70 เมตร

(2) เมอเวลาผานไป 6 วนาท วตถตกลงมาไดประมาณกเมตร ตอบ 215 เมตร

(3) ถาวตถตกลงมาได 90 เมตร เวลาผานไปประมาณกวนาท ตอบ 3.5 วนาท

(4) ถาวตถตกลงมาได 180 เมตร เวลาผานไปประมาณกวนาท ตอบ 5.5 วนาท (5) วตถตกลงมาทพกด (5, 160) หมายความวาอยางไร

ตอบ เมอเวลาผานไป 5 วนาท วตถตกลงมาไดประมาณ 10 เมตร


ขอ 2. จงใชกราฟ รปน ตอบคาถามตอไปน กราฟแสดงความสมพนธแระหวางเวลาและระยะทางทวตถตกจากทสง

1. เมอเวลาผานไป 4.5 วนาท วตถตกลงมาไดประมาณกเมตร ตอบ 100 เมตร 2. ถาวตถตกลงมาไดประมาณ 120 เมตร เวลาผานไปประมาณกวนาท ตอบ 5 วนาท

http://www.google.co.th/imgres?hl=th&biw=1024&bih=567&tbm=isch&tbnid=YpHh_0Qs-M8-jM:&imgrefurl=http://topicstock.pantip.com/chalermkrung/topicstock/2010/06/C9331098/C9331098.html&docid=7aZZ0zg33OVRpM&imgurl=http://topicstock.pantip.com/chalermkrung/topicstock/2010/06/C9331098/C9331098-7.jpg&w=394&h=246&ei=wcL5T52WGYunrAeo5v3XBg&zoom=1&iact=hc&vpx=481&vpy=228&dur=1375&hovh=177&hovw=284&tx=141&ty=111&sig=115790107984946305812&page=2&tbnh=163&tbnw=247&start=21&ndsp=14&ved=1t:429,r:2,s:21,i:142



มาตรฐาน ค 4.2 ม. 2/1 เฉลยแบบฝกหด ชดท 7 ค 4.2 ม.2/1

ขอ 1. ในกระปกออมสนของมาน มเงนเหรยญหาบาทและเหรยญสบบาท รวมกน 25 เหรยญ คดเปนเงนทงสน 185 บาท จงหาวามานมเงนเหรยญหาบาทและเหรยญสบบาทอยางละกเหรยญ แนวคด/ วธท า ขนท 1 สงทโจทยแกาหนด และสงทโจทยแตองการทราบสงทกาหนดให คอ กระปกออมสนของมาน มเงนเหรยญหาบาทและเหรยญสบบาท รวมกน 25 เหรยญ คดเปนเงนทงสน 185 บาท สงทโจทยแถาม คอ มานมเงนเหรยญหาบาทและเหรยญสบบาทอยางละกเหรยญ

ขนท 2 วางแผนการแกโจทยแปญหา กาหนดให มานมเงนเหรยญหาบาท จานวน x เหรยญ จะไดวา มานมเงนเหรยญสบบาท จานวน x25- เหรยญ ขนท 3 อธบายขนตอนการแกโจทยแปญหาตามแผนทวางไว เหรยญหาบาท 1 เหรยญ คดเปนเงน 5 บาท เหรยญหาบาท x เหรยญ คดเปนเงน 5x บาท เหรยญสบบาท 1 เหรยญ คดเปนเงน 10 บาท เหรยญสบบาท 25 - x เหรยญ คดเปนเงน ( )x2510 - บาท เนองจาก เงนเหรยญหาบาทและเหรยญสบบาท รวมกน 25 เหรยญ คดเปนเงน

ทงสน 185 บาท เขยนเปนสมการ จะไดดงน ( ) 185=x2510+x5 -

18510-2505 xx 250-1855- x

5-

65-x

13=x

ดงนน มานมเหรยญหาบาท จานวน 13 เหรยญ เหรยญสบบาท จานวน 1213-25 เหรยญ ขนท 4 ตรวจสอบคาตอบดวยวธทหลากหลายและรวดเรว นาคา 13x แทนในสมการ 185-25105 xx 18513-2510135 185130-25065

185=185 สมการเปนจรง


ขอ 2. แมคาขายมะนาว จดแบงมะนาวเปนกองเลกและกองใหญ โดยกองเลกมมะนาว กองละ 5 ผล และกองใหญมมะนาว กองละ 10 ผล ถามะนาวทงกองเลกและกองใหญมทงหมด 30 กอง รวมเปนมะนาว 280 ผล อยากทราบวามมะนาว กองเลกและกองใหญอยางละกกอง

แนวคด / วธท า ขนท 1 สงทโจทยแกาหนด และสงทโจทยแตองการทราบสงทกาหนดให คอ มะนาวกองเลก

กองละ 5 ผล มะนาวกองใหญ กองละ 10 ผล มะนาวกองเลกและกองใหญ มจานวน 30 กอง คดเปนมะนาว 280 ผล สงทโจทยแถาม คอ มมะนาวกองเลกและมะนาวกองใหญอยางละกกอง ขนท 2 วางแผนการแกโจทยแปญหา สมมตให มมะนาวกองเลก x กอง จะไดวา มมะนาวกองใหญ 30 - x กอง ขนท 3 อธบายขนตอนการแกโจทยแปญหาตามแผนทวางไว มะนาวกองเลก x กอง กองละ 5 ผล รวมเปนมะนาว 5x ผล มะนาวกองใหญ 30 - x กอง กองละ 10 ผล รวมเปนมะนาว x-3010 ผล มะนาวทงหมดรวมกน 280 ผล เขยนเปนสมการ ไดดงน 280-30105 xx 28010-3005 xx 20-5- x 4x ตอบ ดงนน มมะนาวกองเลก 4 กอง และมะนาวกองใหญ 26 กอง ขนท 4 ตรวจสอบคาตอบดวยวธทหลากหลายและรวดเรว นาคา 4x แทนในสมการ ( ) 280=x3010+x5 -

( ) ( ) 280=43010+45 - 280=40300+20 -

280280 สมการเปนจรง


ขอ 3 แมคาซอไขมาจานวนหนงราคาฟองละ 2.75 บาท แลวขายไขไปฟองละ 3.25 บาท แบงใหเพอนบานไป 12 ฟอง ขายไขทเหลอทงหมดยงไดกาไรอก 111 บาท จงหาวาแมคาซอไขมาทงหมดกฟอง

วธทา แมคาซอไขมา x ฟอง

ซอไขราคาฟองละ 2.75 บาท คดเปนเงน 2.75 x บาท

แบงใหเพอนบานไป 12 ฟอง จงเหลอไขสาหรบขาย x – 12 ฟอง

ขายไข x – 12 ฟอง ฟองละ 3.25 บาท คดเปนเงน 3.25 ( x -12) บาท

ขายไขไดกาไร 111 บาท

จะไดสมการ 3.25 ( x -12 ) – 2.75x = 111

3.25 x -39 – 2.75x = 111

(3.25 x - 2.75x) -39 = 111

0.5 x – 39 = 111

0.5x = 150

X = 300

ตรวจสอบ ถาแมคาซอไขมาทงหมด 300 ฟอง ฟองละ 2.75 บาท

คดเปนเงน 2.45(300) = 825 บาท

ขายไข 300 – 12 = 288 ฟอง ฟองละ 3.25 บาท คดเปนเงน 3.25(288) = 936 บาท

ขายไขไดกาไร 936 – 825 = 111 บาท ซงเปนจรงตามเงอนไขในโจทยแ

ตอบ ดงนน แมคาซอไขมาทงหมด 300 ฟอง


ขอ 4 มานะมขนมอยหนง แบงใหมาน 3

1 ของจานวนขนมในถงนน ปรากฏวามานไดขนมไป 6 ชน

จงหาวาเดมมานะมขนมอยกชน

วธทา ใหเดมมานะมขนมอย x ชน

แบงใหมาน 3

1 ของจานวนขนมในถง เทากบ 3

1 x

จะไดสมการ 3

1 x = 6

นา 3 มาคณทงสองขางของสมการ จะได 3

1 x 3 = 6 3

x = 18

ตรวจสอบ แบงใหมาน 3

1 ของจานวนขนมในถง เทากบ 3

1 18 = 6 ซงเปนจรงตามโจทยแ

ตอบ ดงนน เดมมานะมขนมอย 18 ชน




ขอ 1. กาหนดใหรปสเหลยม ABCD มพกด ดงน A (-6,1) , B (-2,1) , C (-1,3) และ

D (-5,3) จงสรางตอไปน

1) รปทเกดจากการเลอนขนานของรปสเหลยม ABCD ขนานกบแกน X ไปทางซาย 5 หนวย พรอมทงหา จดพกด

2) รปทเกดจากการเลอนขนานรปสเหลยม ABCD ขนานกบแกน Y ลงมาดานลาง 4 หนวย พรอมทงหาจดพกด

ตอบ

ขอ 1) จดพกด A' (-11,1) B' ( -7,1) C' (-6,3) D' (-10,3)

ขอ 2) จดพกด A'' (-6,-3) B'' (-2,-3) C'' (-1,-1) D'' (-5,-1)

A''

A'

D' C'

B'

B''

C'' D''

Y

X


ขอ 2. จงหาพกดของจดบนรปทไดจากการสะทอนของรปตนแบบทกาหนดใหใน

แตละขอ โดยมแกน Y เปนเสนของการสะทอน

พกดของ N' ....................... D' ............................ L' .......................... M' .................

ขอ 3. ใหนกเรยนสรางรปสามเหลยม ABC และให P เปนจดหมน และหมนตามเขมนาฬกาเปน 90 องศา ตามภาพ ดงน

ตอบ

X

Y

(0,4) (5,0) (0,-2) (-2,0)




1. จงแกอสมการ 5x + 6 < 7x + 8

วธท า 5x + 6 < 7x + 8 5x + 6 - 5x < 7x + 8 - 5x 6 < 2x + 8 6 - 8 < 2x + 8 - 8 -2 < 2x -1 < x

ตอบ คาตอบของอสมการ คอ จานวนทกจานวนทมากกวา -1

2. จงแกอสมการ -8x + 7 < -15 + 6x

วธท า -8x + 7 < -15 + 6x -8x - 6x < -15 - 7 -14x < -22

x > 14

22

x > 7

11 หรอ 1. 51

ตอบ คาตอบขอสมการคอ จานวนทกจานวนทมากกวา 7

11

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 3

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 3

4


3. จงแกอสมการ -4x + 1 9

วธท า -4x + 1 9 นา -1 บวกทงสองขาง จะได -4x + 1 + (-1) 9 + (-1) -4x 8

นา -4

1 คณทงสองขาง จะได -4

1 ( -4x ) -4

1 ( 8 )

x -2 ตอบ แสดงวา คาตอบของอสมการคอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวาหรอเทากบ -2

กราฟแสดงค าตอบ

4. จงหาแกอสมการ 55

3x2

5

4

x

วธท า หาคาตอบของอสมการ 25

4

55

3

xx

75

x

35x

ตอบ คาตอบของอสมการ คอ จานวนทกจานวนยกเวน -35

กราฟแสดงคาตอบ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-35


5. จงแกอสมการ พรอมเขยนกราฟแสดงคาตอบ

วธท า

6. จงแกอสมการ พรอมเขยนกราฟแสดงคาตอบ

วธท า

1 2

12



7. เดกชายแสนดไดรบเงนจากพอและแมเปนจานวนเทา ๆ กน เพอเปนคาใชจายประจาสปดาหแ เมอสนสปดาหแเขารวมรายจายแลวพบวาไดใชเงนไปทงสน 310 บาท และฝากธนาคารออมสนไว 100 บาท เมอนบเงนทเหลอแลวปรากฏวาเหลอไมถง 50 บาท จงหาวาเดกชายแสนดไดรบเงนจากพอเทาไร

วธท า สมมตวาพอใหเงนเดกชายแสนด x บาท

ดงนน เดกชายแสนดไดรบเงนทงหมด 2x บาท

เมอหกสวนทนาไปฝากธนาคาร และคาใชจายแลวจะเหลอ 2x - 310 บาท

ดงนน 2x - 310 < 50

แกอสมการไดดงน 2x < 360

x < 180 ……………………..(1)

แตจานวนเงนทเดกชายแสนดไดรบทงสนตองมากกวา 310 บาท

นนคอ 2x > 310

x > 155 ……………….(2)

จาก (1) และ (2)

ตอบ ดงนนเดกชายแสนดไดรบเงนจากพอมากกวา 155 บาท แตไมถง 180 บาท






1. จงเขยนกราฟของสมการตอไปนโดยใชแกนคเดยวกน เสนตรงเหลานตดแกน y ทจดใด 1.1 y = -2x

X -2 -1 0 1 2 3

y 4 2 0 -2 -4 -6

1.2 y = -x

X -2 -1 0 1 2 3

y 2 1 0 -1 -2 -3

Y

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x

+

+

+

+

+

y = -2x

+ +

+ +

+

y = -x


2. จงเขยนกราฟของสมการตอไปนโดยใชแกนคเดยวกน เสนตรงเหลานตดแกน y ทจดใด

2.1 y = -x + 1

X -2 -1 0 1 2 3

y 3 2 1 0 -1 -2

2.2 y = -2x + 1

X -2 -1 0 1 2 3

y 5 3 1 -1 -3 -5

y

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x

+

+ +

+

+

y = -x+ 1

+

+

+ +

+

y = -2x+ 1




ขอ 1. จงแกระบบสมการ x + y = 4 ……………………(1)

x - y = 2 ……………………..(2)

วธทา x + y = 4 ……………………(1)

x - y = 2 ……………………..(2)

นาสมการท (1) + (2) , ( x + y ) + ( x - y ) = 4+2

x + y + x - y = 6

2x = 6

x = 3

นาสมการท (1) - (2) , ( x + y ) - ( x - y ) = 4 - 2

x + y - x + y = 2

2y = 2

y = 1

ตรวจคาตอบ แทนคา x , y ในสมการท (1) และ (2)

x = 3 , y = 1 จะไดประโยคทเปนจรงสองประโยคดงน

3 + 1 = 4

3 - 1 = 2 สรปไดวา ( 3 , 1 ) เปนคาตบของระบบสมการ ตอบ


ขอ 2. จงแกระบบสมการ x + y = 8 และ x - y = 2 เขยนกราฟลงบนแกนคเดยวกน

(5,3) x-y= 2

x+y = 8

ดงนน กราฟเสนตรง x + y = 8 และ x - y = 2 ตดกนทจด ( 5 , 3 )

เรยก ( 5, 3 ) วาคาตอบของระบบสมการ x + y = 8 และ x - y = 2

ขอ 3 จงแกระบบสมการ 2a - b = 3 ………………….(1)

a + 2b = 4 ………………….(2)

วธทา 2a - b = 3 ………………….(1)

a + 2b = 4 ………………….(2)

นาสมการ (1) x 2 จะได 4a - 2b = 6 ………………(3)

นาสมการ (2) + (3) , ( a + 2b ) + ( 4a - 2b ) = 4 + 6

a + 2b + 4a - 2b = 10

2a = 10

a = 2

Y

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x


y

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

แทนคา a = 2 ใน (1)

2(2) - b = 3

4 - b = 3 - b = 3 - 4

-b = -1

b = 1

คาตอบของระบบสมการ คอ ( 2 , 1 ) ตอบ

ขอ 4. จงแกระบบสมการ 4x - 3y = 12 และ 8x - 6y - 24 = 0

4x-3y= 12

8x- 6y-24=0

ดงนน จากสมการ 4x - 3y = 12 และ 8x - 6y - 24 = 0 เมอนามาเขยนกราฟเราจะได เสนตรงสองเสนทบกน แสดงวา ทกคอนดบทแทนจดบนเสนตรงทได คอ คาตอบของระบบสมการทกาหนดให

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x




ค าสง จงหาค าตอบของระบบสมการตอไปน โดยวธเขยนกราฟ

1. 2x + 3y - 9 = 0 …………………..(1) x - y + 8 = 0 ……………………(2)

ตอบ ( -3, 5)

วธทา จาก 2x + 3y - 9 = 0 …………………..(1) จาก x – y + 8 = 0 ………………………..(2) จะได 3y = -2x + 9 จะได – y = - x - 8 y = 3

3

2

x y = x + 8

y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

(-3,5)

x – y + 8 = 0

2x + 3y - 9 = 0


2. -4y - 6 = - 2x …………………….(1) -2y – 3 = -x ..……………………(2)

ตอบ คาตอบของระบบสมการนคอจดทกจดบนเสนตรงคอ ( x , 2

3x )

วธทา จาก -4y - 6 = - 2x จาก -2y – 3 = -x จะได -2y - 3 = - x จะได -2y = -x + 3 -2y = - x +3

y = 2

x - 2

3 y = 2

x - 2

3

y

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

-4y-6 = -2x

-2y-3 = -x




ขอ 1. จงหาคา x และ คา y จากระบบสมการ 9x+y=2 และ 4x+y=2

ตอบ ( 0,2 ) หรอ ( x = 0, y = 2 )

ขอ 2. จงแกระบบสมการ x + y = 8 และ x - y = 6

แนวคด/วธท า

x + y = 8 …………………… (1) x - y = 6 ……………………. (2)

นาสมการท (1) + (2) , ( x + y ) + ( x - y ) = 8+6 x + y + x - y = 14 2x = 14 x = 7 นาสมการท (1) - (2) , ( x + y ) - ( x - y ) = 8 - 6 x + y - x + y = 2 2y = 2 y = 1 ตรวจค าตอบ แทนคา x , y ในสมการท (1) และ (2)

x = 7 , y = 1 จะไดประโยคทเปนจรงสองประโยคดงน

7 + 1 = 8

7 - 1 = 6

ตอบ สรปไดวา ( 7 , 1 ) เปนคาตอบของระบบสมการ


ขอ 3. จงแกระบบสมการ 2a - b = 3 และ a + 2b = 4

แนวคด/วธท า 2a - b = 3 ………………….(1)

a + 2b = 4 ………………….(2)

นาสมการ (1) x 2 จะได 4a - 2b = 6 …………………..(3)

นาสมการ (2) + (3) , ( a + 2b ) + ( 4a - 2b ) = 4 + 6

a + 2b + 4a - 2b = 10

2a = 10

a = 2

แทนคา a = 2 ใน 2a - b = 3 ………………….(1)

(2) (2) - b = 3

4 - b = 3

- b = 3 - 4

-b = -1

b = 1

ตอบ คาตอบของระบบสมการ คอ ( 2 , 1 )


ขอ 4 จงหาคาตอบของระบบสมการ 3x- 2y=6 และ -5x+6y=30

แนวคด/วธท า 3x- 2y=6 ………………….(1)

-5x+6y=30 ………………….(2)

นา 3 (1) จะได 9x – 6y = 18 ………………….(3)

นาสมการ (2) + (3) , (-5x + 9x ) + (6y - 6y) = 30 + 18

4x = 48

x = 4

48

x = 12

แทนคา นา x = 12 แทนคาใน 3x- 2y=6 ……………….(1)

3(12) - 2y = 6

36 - 2y = 6

- 2y = 6 - 36

-2y = -30

y = 15

ตอบ คาตอบของระบบสมการ คอ ( 12 , 15 )


ขอ 5. จงเขยนกราฟของสมการ 2x + y = 0 และ กราฟของสมการ 2x + y + 3 = 0 จากสมการ 2x + y = 0 และ จากสมการ x + y +3 = 0 จะได y = - 2x จะได y = - 2x - 3 สมการ y = - 2x สมการ y = - 2x – 3

สมการ 2x + y = 0 2x + y + 3 = 0

x y = - 2x y ( x,y ) x y = - 2x - 3 y ( x,y )

- 1 y = - 2(-1 ) 2 (-1, 2) - 1 y = - 2( -1 ) - 3 -1 (-1,-1)

0 y = - 2(0) 0 (0,0) 0 y = - 2 (0) - 3 -3 (0,-3)

1 y = -2(1) - 2 (1,- 2) 1 y = - 2(1) - 3 -5 (1,-5)

x 2 1 4 3

1

2

3

-1

-2

-3

- 4

-1 -2 -3 - 4

2x + y + 3 = 0

2x + y = 0

- 5


สาระ/มาตรฐาน สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน




1 ก 2 ง 3 ข 4 ข 5 ก





1 อยในดลยพนจของครผสอน 2 อยในดลยพนจของครผสอน





1 ไมตางกน 2 9 3 14 4 15 5 9





1 ข 2 ง 3 ก 4 ก 5 ค






1 8 2 8,100 บาท 3 9 4 6 5 27





1 ลกบอลสขาวไดมากกวากน 2 สแดง 3 เออย





1 1) ไมมโอกาสเกดขน 2) มโอกาสเกดขนอยางแนนอน 3) มโอกาสเกดขนอยางแนนอน 4) ไมมโอกาสเกดขน 2 1) โอกาสเหตการณแ ก นอยกวา

โอกาสเหตการณแ ข 2) โอกาสเหตการณแ ก เทากบโอกาส

เหตการณแ ค 3) โอกาสเหตการณแ ข มากกวาโอกาส

เหตการณแ ค 3 1) เหรยญ 10 บาท 2) เหรยญบาท 3) เหรยญสบจานวน 1 เหรยญ

เหรยญหาจานวน 2 เหรยญเหรยญบาทจานวน 3 เหรยญ

4) เปนไปไมได






1 ง 2 ง 3 ข 4 ก 5 ก




ขอท ต าตอบ ตอนท 1

1 ง 2 ค 3 ก 4 ก 5 ก 6 ก 7 ค 8 ข 9 ง 10 ค

ตอนท 2 1 ไมควรเลน เพราะเลนแตละครง

จะตองเสยเงน 0.08 บาท 2 ควรทาธรกจ เพราะไดกาไร ครง

ละ 67,500 บาท 3 ไมควรรบเพราะเสยเปรยบ 50

บาท






1 อยในดลยพนจของครผสอน 2 อยในดลยพนจของครผสอน 3 อยในดลยพนจของครผสอน 4 อยในดลยพนจของครผสอน

สาระ/มาตรฐาน สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 แบบฝกหด


1 70 เมตร 2 12.93 เมตร 3 69.9 เมตร 4 48 ฟต 5 25 ฟต


ภาคผนวก ข ตวอยางขอสอบ O – NET ทกสาระ


ตวอยางขอสอบ O-NET คณตศาสตร ม.3

สาระท 1 จ านวนและการด าเนนการ มาตรฐาน ค 1.1 เขาใจถงความหลากหลายของการแสดงจ านวนและการใชจ านวนในชวตจรง

1. ขอใดถกตอง (ป 2550) ก. มจานวนเตมบวกทนอยกวา 1 ข. มจานวนเตมลบทมากกวา 0

ค. มจานวนเตมทนอยทสดแตมากกวา -3 ง. มจานวนตรรกยะทนอยทสดแตมากกวา 5

2. ขอใดเปนจานวนอตรรกยะทกจานวน (ป 2550) ก. 521.3,5,2 ค. ,9,7

ข. 4,10,8 ง. ...,12112.2,5 3. จงพจารณาขอความตอไปน วาขอใดเปนจรง (ป 2553) ก. จานวนจรงทเปนจานวนตรรกยะมบางจานวนทเปนจานวนอตรรกยะ ข. จานวนเตม 0 เปนจานวนจรงเพยงจานวนเดยวทคณกบจานวนตรรกยะใดๆ แลวไดผล คณเปนจานวนตรรกยะ ค. จานวนจรงทเขยนไดในรปทศนยมทไมซากนเปนจานวนอตรรกยะและเขยนเปนรป เศษสวนทมเศษและสวนเปนจานวนเตมไมได ง. จานวนเตมเปนจานวนจรงทประกอบดวยจานวนเตมลบและจานวนเตมบวกเทานน 4. ขอใดตอไปนเปนจรง (ป 2553) ก. ถา a เปนจานวนจรง แลว a2 > a เสมอ ข. ให a , b , c เปนจานวนอตรรกยะ ถา a > b แลว c - a > c – b ค. ให x เปนจานวนตรรกยะ ถา x2 > 4 แลว x > 2 ง. ให y เปนจานวนเตม ถา y > 1 แลว y > 1

5. ถาเขยนเศษสวน 7

1 ในรปทศนยมซา จะไดทศนยมในตาแหนงท 37 เปนเทาไร (ป 2553)

ก. 1 ค. 7 ข. 5 ง. 8

6. ถา (3x - 3) : (x + 3) = 3 : 5 แลว x มคาเทากบขอใด (ป 2550) ก. -6 ค. 2

ข. -2 ง. 6


7. ก , ข และ ค มเงนเปนอตราสวน 4 : 5 : 7 ถา ค มเงนมากกวา ข 40 บาท ขอความใด ถกตอง (ป 2550) ก. ก มเงนคดเปน 80 % ของเงนของ ข

ข. ข มเงน 4

1 เทาของเงนทงหมด

ค. ก , ข และ ค มเงนรวมกน 640 บาท ง. ค มเงนเปน 70 % ของ ก และ ข รวมกน

8. พอคาคนหนงซอสมมา 10 กโลกรม ราคากโลกรมละ 40 บาท ถาตองการขายใหไดกาไร 5 % จากตนทน จะตองขายสมกโลกรมละกบาท และไดกาไรทงหมดกบาท (ป 2552) ก. กโลกรมละ 50 บาท กาไร 100 บาท ข. กโลกรมละ 45 บาท กาไร 50 บาท ค. กโลกรมละ 48 บาท กาไร 80 บาท ง. กโลกรมละ 42 บาท กาไร 20 บาท 9. ภาสกร สอบวชาตางๆ ไดคะแนนดงน คณตศาสตรแ : ภาษาองกฤษ ไดคะแนนเปน 5 : 3 ภาษาองกฤษ : วทยาศาสตรแ ไดคะแนนเปน 4 : 7 ถาแตละวชาคะแนนเตม 50 คะแนน และ เขาสอบวชาคณตศาสตรแได 40 คะแนน ถามวา เขาสอบวชาวทยาศาสตรแไดรอยละเทาไร (ป 2553) ก. 84 ค. 60

ข. 80 ง. 48 10. ถา A = 0.0000065 และ B = 0.0000095 แลว A + B เทากบขอใด (ป 2550)

ก. 12106.1 ค. 6106.1

ข. 7106.1 ง. 5106.1

11. ถาให A ตวหารรวมมากของ 36 และ 54 และ B เปนตวคณรวมนอยของ 36 และ 54 แลว BA จะมคาเปนเทาไร (ป 2554)

ก. 2 ค. 4 ข. 3 ง. 6


12. พจารณาขอความตอไปน 1) รากทสองของ 169 ม 2 คาคอ 13 , -13 2) รากทสามของ -64 ม 2 คาคอ 4 , -4 3) รากทสองของ -16 ม 1 คาคอ -4 4) รากทสามของ -27 ม 1 คาคอ -3 มขอความทเปนจรงกขอ

ก. 1 ขอ ค. 3 ขอ ข. 2 ขอ ง. 4 ขอ

13. อตราสวนคาจางรายวนของ ฉลาม เฉลม เฉลยว เปน 2 : 1 : 3 ถา ฉลาดและเฉลม ไดรบคาจาง รายวนรวมกน 900 บาท ตอไปนขอใดผด

ก. เฉลยวไดคาจางวนละ 900 บาท ข. เฉลมไดคาจางวนละ 300 บาท ค. ฉลามไดคาจางวนละ 600 บาท ง. ฉลามไดคาจางมากกวาเฉลมวนละ 200 บาท

มาตรฐาน ค 1.2 เขาใจถงผลทเกดขนจากการด าเนนการของจ านวนและความสมพนธระหวาง การด าเนนการตางๆ และใชการด าเนนการ ในการแกปญหา

1. ขอใดตอไปนไมจรง (ป 2550)

ก. 2

2381

ค. 632 22

ข. 555253 ง. 027283 33 2. 3 278372 มคาเทากบขอใด (ป 2550)

ก. 27 ค. 11 ข. 21 ง. 3

3. ถา 12n แลว 3

2

n มคาเทาใด (ป 2550)

ก. 33

1 ค. 63

1

ข. 3

1 ง. 9

1


4. ถา A และ B เปนจานวนเตมแลวขอใด เปนเทจ (ป 2550) ก. ถา 30.333.003.030.0 A แลว 9A

ข. ถา 155

3 A < 1 แลว A < 6

ค. ถา A < 0 แลว A

2 > A

3

ง. ถา A > 0 แลว B

A

> 0

5. จานวนใดไมใชรากทสองของ 841 (ป 2552)

ก. 229 ค. 29 และ -29

ข. 229 ง. 229 และ 229

6. จงหาผลบวกของจานวนเตมทงหมดทมคาอยระหวาง -7 กบ 15 และหารดวย 3 ลงตว วามคา เทาใด (ป 2552) ก. 7 ค. 21 ข. 15 ง. 36

7. ถา 1250532418382 2

1

2

1

2

1

2

1

a แลว a มคาเทาใด (ป

2552) ก. 22 ค. 33 ข. 21 ง. 32

8. นกเรยนหองหนงเปนนกเรยนชาย 9

5 ของนกเรยนทงหองมนกเรยนหญงทเปนนกกรฑา

อย 5.0 ของนกเรยนหญง ถานกเรยนหญงในหองนเปนนกกรฑา 8 คน จะมนกเรยนชาย ในหองนกคน (ป 2553) ก. 18 ค. 22 ข. 20 ง. 24

9. 5

3553

02 มคาเทากบขอใด (ป 2550)

ก. -90 ค. 75 ข. -75 ง. 90 10. จงหาคาของ 161064 1 (ป 2554) ก. 0.1 ค. 1.6 ข. 0.8 ง. 4.0


11. กาหนดให 2.1a และ 6.3b ดงนน ba 02.02.012 มคาเทากบขอใด (ป 2550) ก. -0.312 ค. 3.120 ข. -3.120 ง. 0.312

12. แสงเดนทางดวยอตราเรว 8103 เมตรตอวนาท จงหาวาในเวลา 3

1 วน แสงจะเดนทางได

ระยะทางกเมตร (ป 2552) ก. 1210480.6 ค. 1310296.1 ข. 1210640.8 ง. 1310592.2 13. กาหนด x และ y เปนจานวนจรง ถา x > y และ xy < 0 แลว จานวนในขอใดเปนจานวนลบ (ป 2555) ก. 3y – x ค. x – 4y ข. x – 2y ง. –x และ -y มาตรฐาน ค. 1.3 ใชการประมาณคาในการค านวณและแกปญหา

1. คาประมาณของ 3 6412 มคาเทากบขอใด (ป 2550) ก. 7.46 ค. 11.46 ข. 7.82 ง. 11.82 2. ขอใดใชการประมาณ ไมเหมาะสม (ป 2550) ก. มเงน 3,000 บาท ซอเสอราคาตวละ 220 บาท ไดประมาณ 13 ตว ข. ซอผา 29.25 เมตร ราคาเมตรละ 54 บาท จะตองเตรยมเงนประมาณ 1,650 บาท ค. มอฐทงหมด 28,000 กอน รถบรรทกไดเทยวละ 2,500 กอน จะตองบรรทกประมาณ 11 เทยว

ง. ในการนาเสนอผลงานใชเวลาคนละ 12 นาท ถาผเสนอมจานวน 16 คน จะใชเวลา นาเสนอประมาณ 3 ชวโมง

3. ผลบวกของเศษสวน 3 จานวนตอไปน 3997

2009

5998

8008

2999

2007 มคาใกลเคยงจานวนเตม

ในขอใดตอไปนมากทสด (ป 2553) ก. 1 ค. 3 ข. 2 ง. 4


มาตรฐาน ค 1.4 เขาใจระบบจ านวนและน าสมบตเกยวกบจ านวนไปใช

1. ขอใดตอไปนผด (ป 2552) ก. ห.ร.ม. ของ 8 และ 12 คอ 4 ข. ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คอ 24 ค. ตวประกอบรวมของ 8 และ 12 คอ 1 , 2 และ 4 ง. ตวหารรวมของ 8 และ 12 คอ 2 และ 4 2. จงหาจานวนนบทนอยทสดทหารดวย 60 , 54 , 42 และ 30 แลวเหลอเศษ 9 ทกจานวน (ป 2552) ก. 3771 ค. 3789

ข. 3780 ง. 3798 3. มกระดาษหนงแผน กวาง 18 เซนตเมตร ยาว 63 เซนตเมตร ถาตองการตดกระดาษดงกลาวเปน รปสเหลยมจตรสทมดานกวางและดานยาวเปนจานวนนบทมากทสดเทาทจะทาได โดยทสเหลยม จตรสนจะตองมขนาดเทากนทกชน และเมอตดเสรจแลวจะตองไมมเศษกระดาษเหลออยเลย จงหาวาจะตดกระดาษไดทงหมดกชน (ป 2552) ก. 126 ชน ค. 14 ชน

ข. 42 ชน ง. 8 ชน 4. ให a เปนจานวนทมากทสดทหาร 170 และ 94 แลวเหลอเศษ 5 และ 4 ตามลาดบ แลว a + 5 ไมเปนพหคณของจานวนใดตอไปน (ป 2553) ก. 2 ค. 4

ข. 3 ง. 5

สาระท 2 การวด

มาตรฐาน ค. 2.1 เขาใจพนฐานเกยวกบการวด วดและคาดคะเนขนาดของสงของทตองการวด 1. จะตองใชขวดขนาด 750 มลลลตร กขวดเพอบรรจนา 600 ลตร ก. 400 ขวด ค. 800 ขวด

ข. 600 ขวด ง. 1,000 ขวด


2. ขอใดใชหนวยการวดไดเหมาะสมทสด (ป 2550) ก. เสาธงของโรงเรยนสง 480 นว ข. สระวายนาจนาได 800,000 ลตร ค. จงหวดสงขลาอยหางจากจงหวดยะลา 140 กโลเมตร

ง. สนามฟตบอลของโรงเรยนมพนท 750 ตารางฟต 3. จงหาพนทสวนทแรเงา (ป 2552)

ก. 2.25 ตารางเชนตเมตร ค. 6.25 ตารางเชนตเมตร

ข. 3 ตารางเชนตเมตร ง. 9 ตารางเชนตเมตร 4. จงหาพนทบนหนาทมองไมเหนของรปทรงเรขาคณตขางลางน รวมกนไดกตารางหนวย (ป 2552)

ก. 582 ตารางหนวย ค. 762 ตารางหนวย ข. 682 ตารางหนวย ง. 772 ตารางหนวย


5.

จากรปถาตองการนากระดาษมาปดรอบรปทกดาน จะตองใชกระดาษอยางนอยทสดเทาใด (ป 2550) ก. 480 ตารางหนวย ค. 504 ตารางหนวย ข. 488 ตารางหนวย ง. 528 ตารางหนวย

6. วงกลมรศมยาว 7 หนวย แนบในรปสเหลยมจตรสทมดานยาว 14 หนวย จงหาพนทบรเวณท แรเงา (ป 2553)


7. ทอซเมนตแรปทรงกระบอกยาว 1.40 เมตร วดเสนผานศนยแกลางภายนอกได 80 เซนตเมตร ทอมความหนา 4 เซนตเมตร ปรมาตรของเนอซเมนตแเปนกลกบาศกแเมตร

8

6

20

A

D

F A

E

C B


ก. 0.13376 ค. 0.12560 ข. 1.33760 ง. 1.25600

มาตรฐาน ค. 2.2 แกปญหาเกยวกบการวด

1. นายอมมนากวาง 102 วา และยาว 195 วา ถาปย 1 กระสอบหวานไดเนอท 98 ตารางวา เขา จะตองใชปยประมาณเทาไร (ป 2550)

ก. 190 กระสอบ ค. 210 กระสอบ ข. 200 กระสอบ ง. 220 กระสอบ

2. นากระปองทรงสเหลยมมมฉากขนาดกวาง 2 นว ยาว 3 นว และสง 2 นว มาตวงนาใสถงรป ทรงเดยวกนกวาง 4 นว ยาว 6 นว สง 12.6 นว จะตวงนาประมาณกครงจงจะเตมถง (ป 2550)

ก. 20 ครง ค. 30 ครง ข. 25 ครง ง. 35 ครง

3. ถาตองการทาสพนทผวภายนอกดานขางทง 4 ดานของถงเกบนาฝนทรงสเหลยมกวาง 4 เมตร ยาว 8 เมตร และสง 2 เมตร โดยส 1 กระปองทาไดพนท 8 ตารางเมตร จะตองใชสเทาไร ( ป 2550)

ก. 3 กระปอง ค. 8 กระปอง ข. 6 กระปอง ง. 9 กระปอง

4. ชายคนหนงมทดน 2 ไร 3 งาน 150 ตารางวา ตองการขายทดนดงกลาวทงหมด ในราคาตารางวา ละ 12,000 บาท เพอชอทดนอกแปลงหนงตารางวาละ 15,000 บาท จงหาวาจะซอทดนดงกลาว ไดกงาน (ป 2552)

ก. 10 งาน ค. 15 งาน ข. 12 งาน ง. 20 งาน

5. ใสนาลงในอางนาทรงสเหลยมมมฉากกวาง 25 เชนตเมตร ยาว 50 เชนตเมตร และ สง 38 เชนตเมตร ถาระดบนาตากวาขอบบนของอางอย 8 เชนตเมตร จงหาวามนาอยในอาง ดงกลาวกลกบาศกแเชนตเมตร (ป 2552)

ก. 19,500 ลกบาศกแเชนตเมตร ข. 24,500 ลกบาศกแเชนตเมตร ค. 37,500 ลกบาศกแเชนตเมตร ง. 47,500 ลกบาศกแเชนตเมตร


6. ตองการทาเคกรปทรงกระบอกชนหนงทมเสนผานศนยแกลาง 28 เชนตเมตร เปนชน ๆ ดงน ชนท 1 เปนเนอเคกหนา 3 เชนตเมตร ชนท 2 เปนแยมหนา 1 เชนตเมตร

ชนท 3 เปนเนอเคกหนา 2 เชนตเมตร ชนท 4 เปนครมหนา 1.5 เชนตเมตร ถาเนอเคก 100 ลกบาศกแเชนตเมตร ราคา 10 บาท แยม 100 ลกบาศกแเชนตเมตร

ราคา 25 บาท และครม 100 ลกบาศกแเชนตเมตรราคา 25 บาท ถาตองการกาไรจากการขาย เคกกอนน 20% จะตองราคาขายเคกกอนนไวทกบาท (ป 2552)

ก. 138.60 บาท ค. 831.60 บาท ข. 693.00 บาท ง. 925.40 บาท

7. ถงนาทรงกระบอกและกรวยมความสงและมเสนผานศนยแกลางเทากน โดยมความสง 15 เชนตเมตร ถาใชกรวยตกนาใหเตมพอดแลวเทใสถงกระบอก จงหาวาระดบนาในถง ทรงกระบอกจะสงกเชนตเมตร (ป 2552)

ก. 3 เชนตเมตร ค. 10 เชนตเมตร ข. 5 เชนตเมตร ง. 15 เชนตเมตร

8. กลองกระดาษรปสเหลยมลกบาศกแทมขนาดภายในกวาง 21 เชนตเมตร บรรจลกบอลลกหนงได พอด อยากทราบวาปรมาตรของอากาศภายในกลองทอยลอมรอบบอลลกนนกลกบาศกแเชนตเมตร (ป 2552)

ก. 4,400 ลกบาศกแเชนตเมตร ค. 4,420 ลกบาศกแเชนตเมตร ข. 4,410 ลกบาศกแเชนตเมตร ง. 4,430 ลกบาศกแเชนตเมตร

9. สนามหญาหนาบานของจรและจไรเปนรปสเหลยมมมฉากมเสนรอบรปยาวเทากนคอ 20 เมตร และมพนทตางกน 12 ตารางเมตรโดยความยาวของสนามเปนจานวนเตมเมตรถามวาพนทสนาม หญาหนาบานของจรและจไรรวมกนเปนกตารางเมตร(ป 2554)

ก. 25 ตารางเมตร ค. 35 ตารางเมตร ข. 30 ตารางเมตร ง. 40 ตารางเมตร

10. สระวายนารปสเหลยมมมฉากยาว 12 เมตร กวาง 8 เมตร ทางเดนรอบสระมความกวางเทากน ตลอด ถาพนทรวมของสระและทางเดนเทากบ 320 ตารางเมตร แลวทางเดนกวางกเมตร (ป 2554)

ก. 1 เมตร ค. 3 เมตร ข. 2 เมตร ง. 4 เมตร


11. กรวยกลมและทรงกระบอกมฐานเทากนและมสวนสงเทากน ถากรวยกลมมปรมาตร 9 ลกบาศกแ เซนตเมตร แลวทรงกระบอกมปรมาตรเทาไร (ป 2553)

ก. 30 ลกบาศกแเชนตเมตร ค. 21 ลกบาศกแเชนตเมตร ข. 27 ลกบาศกแเชนตเมตร ง. 18 ลกบาศกแเชนตเมตร

12. กลองทรงกระบอก 2 ใบ มความสงเทากน ถาเสนผานศนยแกลางของใบแรกยาวเปนครงหนงของ ใบทสอง ปรมาตรทรงกระบอกใบทสองเปนกเทาของใบแรก

ก. 1

2 ค. 2

ข. 1

4 ง. 4

13. แทงกแนารปสเหลยมลกบาศกแมความยาวดานละ 1.10 เมตร มนาอย 3

4ของแทงกแถาจะนานา

ดงกลาวทงหมดไปกรอกใสขวดทมความจ 1.5 ลตร จะตองใชขวดกใบ ( 1 ลกบาศกแเมตร เทากบ 1,000 ลตร)

ก. 56 ค. 665 ข. 66 ง. 666


มาตรฐาน ค 3.1 อธบายและวเคราะหแรปเรขาคณตสองมตและสามมต 1. พจารณาภาพตอไปน ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน

เกดจากการนาลกบาศกแขนาด 1 หนวย มาประกอบกนเปนรปเรขาคณต 3 มต ตามขอใด


ก. ค. ข. ง. 2. พจารณาภาพตอไปน

ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน เกดจากการนาลกบาศกแขนาด 1 หนวย มาประกอบกนเปนรปเรขาคณต 3 มต ตามขอใด

ก. ค. ข. ง.


45 55 x

C D F H

A B E I G

D C

75 40

a

3. จากรป ถา ,// CDAB GHEF // และ HIFG // แลว จงหาคา 2

x ( ป 2551)

ก. 25 องศา ค. 55 องศา ข. 40 องศา ง. 80 องศา

4. ถากาหนดให ABC ม 13AB หนวย และ 5BC หนวย จงหาวา CA มความยาว

ทเปนไปไดกหนวย (ป 2552)

ก. CA > 8 ค. 8 < CA < 18 ข. 8 < CA < 18 ง. CA > 8

5. ถา CDAB // แลว a มคากองศา (ป 2550) A B

ก. 35 ค. 55 ข. 45 ง. 65


A

B

C D

C 2 ซม.

6. กาหนดให ACE และ BCD เปนสวนของเสนตรงตดกนทจด C สวนของเสนตรง AB และ DE ขนานกน ถา AB = 2 ซม., AC = 1.5 ซม., DE = 4 ซม., DC = AB, BC = X ซม. และ EC = Y ซม. จงหาคา X + Y (ป 2552) A B 1.5 ซม. X ซม.

Y ซม. D 4 ซม. C

ก. 3.0 ค. 4.0 ข. 3.5 ง. 4.5

7.

จากรปขางบน มดาน AB = 6 เซนตเมตร AC = 10 เซนตเมตร DE = 3 เซนตเมตร 90ˆˆ EDCCBA จงหาวา AD ยาวกเซนตเมตร (ป 2552)

ก. 5 ค. 7 ข. 6 ง. 8

8. คณครเดนทางออกจากบานไปทางทศตะวนออกเปนระยะทาง 2.4 กโลเมตร แลวเลยวขนไป ทางทศเหนออก 3.2 กโลเมตร ถงโรงเรยนพอด จงหาระยะหางระหวางบานกบโรงเรยน (ป 2552)

ก. 4.0 กโลเมตร ค. 5.6 กโลเมตร ข. 4.5 กโลเมตร ง. 6.7 กโลเมตร

9. สามเหลยมมมฉากรปหนง มดานประกอบมมฉากยาว 3 หนวย และ 5 หนวย ความยาวของดาน ตรงขามมมฉากมคาตรงกบ ขอใด (ป 2553 ชด C) ก. ระหวาง 35 และ 6 ค. ระหวาง 32 และ 33

ข. ระหวาง 33 และ 35 ง. ระหวาง 5 และ 32


D

F

E

10. สามเหลยมมมฉากรปหนง มดานประกอบมมฉากยาว 3 หนวย และ 6 หนวย ความยาวของดาน ตรงขามมมฉากมคาตรงกบขอใด (ป 2553 ชด D ) ก. ระหวาง 46 และ 7

ข. ระหวาง 43 และ 46 ค. ระหวาง 39 และ 43

ง. ระหวาง 6 และ 39 11. เดกคนหนงเดนออกจากโรงเรยนไปทางทศตะวนตก 7 เมตร เลยวไปทางทศเหนอ 20 เมตรแลว เลยวไปทางทศตะวนออกอกกเมตร จงจะถงบานพอด ถาบานและโรงเรยนอยหางกน 25 เมตร (ป 2551) ก. 15 เมตร ค. 27 เมตร

ข. 22 เมตร ง. 29 เมตร 12. ขอใดสรปไดถกตอง (ป 2550) ก. รปสามเหลยมมมฉาก 2 รปใด ๆ ตองเปนรปสามเหลยมทคลายกน ข. รปสามเหลยมหนาจว 2 รปใด ๆ ตองเปนรปสามเหลยมทคลายกน ค. รปสามเหลยมมมแหลม 2 รปใดๆ ตองเปนรปสามเหลยมทคลายกน ง. รปสามเหลยมดานเทา 2 รปใด ๆ ตองเปนรปสามเหลยมทคลายกน 13. การเคลอนของเดกเลนกระดานลน เกดจากการแปลงทางเรขาคณตแบบใด (ป 2550) ก. การหมน ค. การยอ – ขยาย

ข. การสะทอน ง. การเลอนขนาน 14. ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน AB ขนานกบดาน CD และหางกน 8 หนวย จด P และ จด Q เปนจดกงกลางดาน AD และ BC ตามลาดบ ถารปสเหลยม ABCD มพนท 40 ตารางหนวย แลวจด P และจด Q จะหางกนกหนวย (ป 2552) ก. 3 หนวย ค. 5 หนวย

ข. 4 หนวย ง. 6 หนวย 15. C 15 3 4 A B


B

C

E

จากรป ถา DFAC // และ DEAB // , BC ยาว 15 หนวย แลว AC ยาวกหนวย (ป 2550)

ก. 6 ค. 12 ข. 9 ง. 14

16. นคมขจกรยานโดยเรมตนทางจากโรงเรยนไปทางทศตะวนตก 8 กโลเมตร ถงปอมตารวจแลว ไปทางทศเหนอ 14 กโลเมตร ถงสถานอนามย แลวเลยวไปทางทศตะวนออก 13 กโลเมตร ถง ศาลาพกรอนไปทางทศใตอก 2 กโลเมตร ถงทหมาย ดงนนทหมายอยหางจากโรงเรยนเทาไร (ป 2550) ก. 37 กโลเมตร ค. 17 กโลเมตร ข. 21 กโลเมตร ง. 13 กโลเมตร 17. A D จากรป รปสามเหลยม ABC และ BDE เทากนทกประการม BE ตงฉากกบ AD ท B ดาน AB และ BD ยาว 12 และ 5 หนวย ตามลาดบ ถามวา CE ยาวเทาไร (ป 2554) ก. 5 หนวย ค. 7 หนวย

ข. 6 หนวย ง. 8 หนวย


D

B C

18. A จากรป ถา มม BAC = 85 องศา มม ABD = 20 องศา มม BDC โตเปน 4 เทาของมม ACD แลว ถามวา มม ACD จะมขนาดกองศา (ป 2554)

ก. 20 องศา ค. 30 องศา ข. 25 องศา ง. 35 องศา

19.

ลากเสนตรงเสนหนงตดรปตนแบบ ขางบนออกเปน 2 สวน แลวเลอนขนานสวนหนงไป ประกบกบอกสวนหนงเปนรปในขอใดตอไปนได (ป 2554)

ก. ค.

ข. ง.


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

20. A D B C จากรป AD ขนานกบ BC สวนของเสนตรง AB และ AC ยาวเทากบ 5 นว มม BAC มขนาดเทากบ 2 เทาของมม CAD ถามวา BC ยาวกนว (ป 2554) ก. 52 นว ค. 5 นว

ข. 25 นว ง. 35 นว 21. ขอใดเปนพกดทเกดจากการสะทอนภาพ B บนแกน X (ป 2550) Y 8-- 6-- B 4-- 2-- X -2 -- -4 -- -6 -- -8 -- ก. )8,4(),5,4(),5,1( ค. )8,4(),5,4(),5,1( ข. )8,4(),5,4(),5,1( ง. )8,4(),5,4(),5,1(


l A

B

C

22. ถารปสามเหลยม CBA เกดจากการสะทอนรปสามเหลยม ABC โดยใช l เปนเสนสะทอน แลวขอใด ถกตอง (ป 2550) ก. สวนของเสนตรง AC และ CA ขนานกน ข. สามเหลยม ABC เลอนทบ สามเหลยม CBA ไดสนท ค. จด B และจด B อยคนละขางของเสนตรง l และมระยะหางจากเสนตรง l เทากน ง. ระยะหางระหวางจด B และจด B เทากบระยะหางระหวางจด C และจด C

สาระท 4 พชคณต มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแแบบรป (pattern) ความสมพนธแ และฟงกแชน 1. กาหนดแบบรปของจานวนดงน 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, … จากรปแบบขางตน ถาเขยนตอไป เรอย ๆ ถงพจนแท 19 จะตรงกบจานวนในขอใด (ป 2553) ก. 1 ค. 3 ข. 2 ง. 4 2. พจารณาความสมพนธแของคอนดบตอไปน (1,4), (2,9), (3,14), (4,19), …, (11,y) จากคอนดบ (11,y) จงหาคา y เปนเทาไร (ป 2554)

ก. 54 ค. 48 ข. 49 ง. 44


3. พจารณาแบบรปจานวนตอไปน 2, 5, 14, 41, , 365, 1094 จงหาจานวนทขาดหายไปเปนจานวนใด (ป 2555) ก. 122 ค. 145 ข. 123 ง. 146 4. หมบานประชาชนมบานอย 150 หลง บานเลขทเรยงลาดบดงน 1, 2, 3, 4, 5, 6, … , 148, 149, 150 ถามวามบานทงหมดกหลงทเลขทบาน มเลข 4 อยางนอย 1 ตว (ป 2555) ก. 15 หลง ค. 33 หลง ข. 24 หลง ง. 34 หลง 5. จากรปทกาหนด รปท 42 มพนท เทาไร (ป 2550)

รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4

รปท 1 2 3 4 ...

พนท(ตารางหนวย) 4 7 10 13 ...


6. กาหนดจด 6 จด ม 5 จดทอยในแนวเสนตรงเดยวกน ดงรป

จะสรางสามเหลยม ทมจดยอดมมเปนจดเหลานไดกรป (ป 2553) ก. 13 รป ค. 11 รป ข. 12 รป ง. 10 รป


7. A

6 B

5 3

รปขางบนเปนจตรสกล จานวนในบางชองหายไป เมอเตมจานวนจนครบถวน แลวผลบวกของ จานวนตามแนวนอน หรอแนวตง หรอแนวทแยงมม จะเทากน จงหาคาของ A + B (ป 2555) ก. 17 ค. 15 ข. 16 ง. 14 8. ถานาจานวนไปแทนคา A, B, C ในตารางขางลางน

2 A B C 3 4

แลวทาใหผลบวกของจานวนในแตละแถว (แนวนอน) เทากนและผลคณของจานวนในแตละหลก (แนวตง) เทากนแลว จงหาคาของ A + B + C (ป 2555) ก. 55 ค. 75 ข. 65 ง. 85

9. รปขางลางนมรปสามเหลยมหลายรปวางทบซอนกนอย ถามวามรปสามเหลยมกรป (ป 2555)

ก. 6 รป ค. 8 รป ข. 7 รป ง. 9 รป


มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจนแ สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตรแ (mathematical model) อน ๆ แทนสถานการณแตาง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใช แกปญหา

10. จงพจารณาขนตอนตอไปน 6(2x+3) + 5x = (12x + 18) + 5x ขนท 1 = 12x + (18 + 5x) ขนท 2 = 12x + (5x + 18) ขนท 3 = (12x + 5x) + 18 ขนท 4 = (12+5)x + 18 ขนท 5 = 17x + 18 ขอใดตอไปนกลาวถงการใชสมบตการบวกและการคณจานวนเตมไดถกตอง (ป 2550)

ก. ขนท 1 ไปขนท 2 ใชสมบตการสลบทสาหรบการบวก ข. ขนท 2 ไปขนท 3 ใชสมบตการเปลยนหมสาหรบการบวก ค. ขนท 3 ไปขนท 4 ใชสมบตการเทากนสาหรบการบวก ง. ขนท 4 ไปขนท 5 ใชสมบตการแจกแจง

11. ถา แลว a มคา

เทาใด (ป 2551) ก. 22 ค. 33 ข. 21 ง. 32

12. ถา 3 – 2x = 11 แลว 2(x + 1) มคาเทาไร (ป 2550) ก. – 4 ค. 10 ข. – 6 ง. 22 13. เมออารยา อาย 6 ป คณแมเธอ อาย 36 ป แตปจจบนนคณแมมอายเปน 3 เทาของ อารยาแลว ถามวาปจจบนอารยา และคณแมเธออายรวมกนไดเทาไร (ป 2555) ก. 55 ป ค. 65 ป ข. 60 ป ง. 70 ป


14. จากรปกราฟขางตน ณ เวลาใดทหน A และ B มราคาแตกตางกนมากทสด (ป 2551)

ก. 09.00 น. ค. 07.00 น. ข. 11.00 น. ง. 10.00 น.

15. กราฟแสดงจานวนนกทองเทยวของบรษท ก และบรษท ข ในป พ.ศ. 2544-2549

จากกราฟขอใดไมถกตอง (ป 2550)

ก. แนวโนมจานวนนกทองเทยวของบรษท ข มากกวาบรษท ก ข. จานวนนกทองเทยวของบรษท ก มจานวนมากทสด ในป พ.ศ. 2547

ค. ป พ.ศ. 2548 จานวนนกทองเทยวของบรษท ข นอยกวาบรษท ก 10 ลานคน ง. ในชวงป พ.ศ. 2544-2547 บรษท ก มจานวนนกทองเทยวโดยเฉลยมากกวา บรษท ข

16. ให x เปนจานวนเตม ถา คามากทสดของ x คอจานวนใดตอไปน (ป 2551)

ก. 17 ค. 24 ข. 18 ง. 25


17. ถา แลวคาตอบของอสมการทเปนจานวน เตมบวกมกจานวน (ป 2550) ก. 2 ค. 4 ข. 3 ง. มากกวา 4 18. ตะกราใบหนงมผลไมสามชนด คอ สม มะมวง และมงคด ถาตะกราใบนมสม 8 ผลและถานา มะมวง ออกจากตะกรา 1 ผล มะมวงกบมงคดจะมจานวนเทากน เมอนบผลไมทงหมดในตะกรา หลงจากทนามะมวงออกไปแลว 1 ผล พบวาผลไมทงหมดในตะกรามจานวนนอยกวา 20 ผล ขอใดตอไปนถก (ป 2551)

ก. มมะมวงอยในตะกราไมเกน 6 ผล ข. มมะมวงอยในตะกราอยางนอยทสด 7 ผล ค. มมะมวงอยในตะกรานอยกวา 6 ผล ง. มมะมวงอยในตะกรามากกวา 7 ผล

19. กราฟของสมการในขอใดตอไปนผานจดทกราฟของสมการ x + y = 2 และ x – y = 8 ตดกน (ป 2553) ก. 2x + y = 5 ค. 3x + 2y = 11 ข. X – 2y = 7 ง. 2x – 3y = 19

20. ให x และ y สอดคลองกบระบบสมการ 2x – y = 3 และ x = 5 + ขอใดตอไปนถกตอง

(ป 2551) ก. ระบบสมการนมคาตอบเดยว ข. ระบบสมการนไมมคาตอบ ค. ระบบสมการมจานวนคาตอบมากมายไมจากด

ง. ขอมลไมเพยงพอทจะหาจานวนคาตอบของระบบสมการได 21. ขอใดตอไปนถกตอง (ป 2551)

ก. กราฟของสมการ 3(x – 2) = 2y ตดแกน y ทจด y = –2

ข. กราฟของสมการ 2x – ตดแกน x ทจด x =

ค. กราฟของสมการ y – 2x = 1 และ 2y – x = 1 มความชนเทากน ง. กราฟของสมการ 2y – 3x = 5 และ 4y – 6x = 1 เปนกราฟเสนตรงทขนานกน 22. อตราคาเขาชมของสวนสตวแแหงหนงเปนดงน ผใหญคนละ 200 บาท เดกทมความสงตงแต 150 เซนตเมตร ใหคดอตราเดยวกนกบผใหญสวนเดกทมความสงนอยกวา 150 เซนตเมตร คนละ 100 บาท ปรากฏวามผเขาชมทงหมด 5,000 คน และขายบตรเขาชม ไดเงน 695,800 บาท อยากทราบวา เดกทม ความสงนอยกวา 150 เซนตเมตรเขาชมสวนสตวแ ครงนกคน (ป 2551)


ก. 3,042 คน ค. 2,153 คน ข. 1,958 คน ง. 2,847 คน

23. มนกเรยนชน ม. 3 หลายหองทมจานวนนกเรยนชานนอยกวาจานวนนกเรยนหญงอย 8 คน ถานา 3 เทาของจานวนนกเรยนหญงรวมกบจานวนนกเรยนชายจะไดผลรวมมากกวา 68 คน แตไมเกน 88 คน แลวถามวามนกเรยน ม. 3 ทมลกษณะดงกลาวไดมากทสดกหอง (ป 2555)

ก. 4 หอง ค. 19 หอง ข. 5 หอง ง. 20 หอง

24. เดก 4 คน กบผใหญหญง 1 คน ทางานไดเทากบ เดก 3 คน กบผใหญชาย 1 คน ถาผใหญชาย คนเดยว ทางานนนเสรจใน 6 วน แลวเดก 1 คน ผใหญหญง 1 คน และผใหญชาย 1 คน ชวยกนทางานนนจะเสรจภายในกวน (ป 2553) ก. 2 วน ค. 4 วน ข. 3 วน ง. 5 วน

สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวธการทางสถตในการวเคราะหขอมล 1. แผนภมวงกลมแสดงรอยละจานวนนกเรยนกลมหนง จาแนกตามระดบผลการเรยนเปนดงน

ถาจานวนนกเรยนสอบไมผานม 25 คน แลวจานวนนกเรยนทไดระดบผลการเรยน 2 มากกวาจานวน

นกเรยนทไดระดบผลการเรยน 3 อยเทาไร ( ป 2550)

ระดบผลการเรยน 3 25%

12% ระดบผลการเรยน 4

ระดบผลการเรยน 0


5% 20%



ก. 45 คน ค. 65 คน

ข. 55 คน ง. 75 คน

2. แผนภมรปวงกลมแสดงคาใชจายรายเดอนของกนกพร

ถากนกพรมเงนเดอน ๆ ละ 15,000 บาท ในแตละเดอนตองเสยคารถเทาไร

ก. นอยกวาคาเสอผา 600 บาท

ข. นอยกวาคาเชาหอง 2,000 บาท

ค. มากกวาคาใชจายอน ๆ 500 บาท

ง. คดเปน เทาของคาอาหาร

3. ขอมลชดหนงเรยงลาดบจากนอยไปมาก ดงน ( a, b เปนจานวนเตม) 2, a, 4, 6, b, 8, 10, 13 ถาขอมลชดนมฐานนยมคอ 6 ดงนน คาเฉลยเลขคณตเปนเทาใด (ป 2550)

ก. 6.0 ค. 7.0

ข. 6.5 ง. 7.5

4. ขอมลชดหนงประกอบไปดวยจานวน 6 จานวน ดงน 11, 3, x, x+2, 5, 10 ถามธยฐานของ ขอมลนมคาเทากบ 7 จงหาวา x มคาเทาใด (ป 2552)

ก. 6 ค. 9 ข. 7 ง. 13

คาอาหาร 50 %

อน ๆ 6%

คาเสอผา 14%

คารถ 10%

คาเชาหองพก 20%


5. บรรณารกษแหองสมดโรงเรยนตองการทราบจานวนนกเรยนทใชบรการหองสมดในแตละวน ควรเกบรวบรวมขอมลโดยวธใดจงจะเหมาะสมทสด (ป 2550)

ก. การสอบถาม ค. การสงเกต ข. การสารวจ ง. การนบ

6. ผลการเรยนวชาภาษาไทยของนกเรยนกลมหนงมระดบคะแนนดงน 2 2 3 1 3 3 1 4 3 2 4 3 3 2 2 4 3 1 2 1 จงหาฐานนยมระดบคะแนนของผลการเรยนของนกเรยนกลมน (ป 2553)

ก. 4 ค. 2 ข. 3 ง. 1

มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณแไดอยาง เหมาะสม 1. ในการสอบถามนกเรยน 3 คนวา “ไป” หรอ “ไมไป” เทยวนาตก ความนาจะเปนทนกเรยนตอบ วา “ไป” ทง 3 คน เปนเทาไร ( ป 2550)

ก. ค.

ข. ง.

2. กอยสมหยบบตร 2 ใบ จากบตร 5 ใบ ทมหมายเลข 1 ถง 5 กากบไวโดยหยบทละใบแลวใสคน ความนาจะเปนทกอยหยบบตรแลวไดผลรวมของหมายเลขทงสองครงเปน 6 มคาเทากบขอใด (ป 2550)

ก. ค.

ข. ง.


3. บตร 9 ใบ มหมายเลขกากบเปน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, และ 9 ถาสมหยบบตรขนมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดตวเลขทมากกวาหรอเทากบ 6 เปนเทาใด (ป 2552)

ก. ค.

ข. ง.

4. มบตร 5 ใบกากบดวยตวเลข 1, 2, 3, 4, 5 สมหยบมา 2 ใบ ความนาจะเปนทผลคณของ จานวนในบตรทง 2 ใบ ถอดรากทสองเปนจานวนเตม เปนเทาไร (ป 2553)

ก. 0.1 ค. 0.3 ข. 0.2 ง. 0.4

5. บตรแตละใบเขยนจานวน 400, 401, 402, 403, … , 498, 499, 500 ตามลาดบ ถาสมหยบ บตรทเขยนไวขนมา 1 ใบ จงหาความนาจะเปนทจานวนในบตรนนมเลขโดดในหลกรอยนอยกวา เลขโดดในหลกสบและเลขโดดในหลกสบนอยกวาเลขโดดในหลกหนวย (ป 2554)

ก. ค.

ข. ง.

มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา

1. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรแของนกเรยน 4 หอง (คะแนนเตม 20 คะแนน) เปนดงน

หองท คะแนนตาสด คะแนนสงสด คะแนนเฉลย จานวนนกเรยน (คน) 1 0 20 19.0 20 2 5 20 9.5 20 3 10 20 12.5 20 4 15 20 16.0 20

จากตารางขางตน จงหาจานวนนกเรยนหองท 1 ทสอบไมผานวามทงหมดกคน (ผทสอบผาน จะตองไดคะแนนมากกวา 10 คะแนน) (ป 2552)

ก. 1 คน ค. 3 คน ข. 2 คน ง. ขอมลไมเพยงพอทจะหาคาตอบได


2. พนกงานบรษทกลมหนงมอายเทากบ 25, 27, 30, 26, 27, 29, และ 18 ป พนกงานกลมนจะม อายเฉลยเทาใด เมอ 3 ป ทแลว (ป 2552)

ก. 23 ป ค. 26 ป ข. 26 ป ง. 32 ป

3. คะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยนหองหนง มการแจกแจงปกตคาเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 คะแนน แสดงพนทใตโคงปกตดงน (ป 2553)

ถามนกเรยนเขาสอบ 44 คน ผทไดคะแนนนอยกวา 65 คะแนน มกคน ก. 35 คน ค. 38 คน ข. 37 คน ง. 39 คน

4. นกเรยน 9 คน มความสงเฉลยเปน 161 เซนตเมตร แตถาเดกชายสมศกดเขามารวมอก 1 คน ทาใหความสงเฉลยเปนเซนตเมตร (ป 2554)

ก. 151 เซนตเมตร ค. 153 เซนตเมตร ข. 152 เซนตเมตร ง. 154 เซนตเมตร

5. นกเรยนจานวน 10 คน มนาหนกเปนกโลกรมดงน (ป 2554) 47, 48, 45, 48, 46, 44, 47, 45, 48 และ 52 ปรากฏวา มนกเรยน 2 คน เดนออกไปจากกลม แตนกเรยนทเหลออยยงคงมนาหนกเฉลย เทากบนาหนกเฉลยของนกเรยนจานวน 10 คนเดม ถามวานกเรยนคนทมนาหนกเทาไร ในขอตอไปนจะไมใชนกเรยน 2 คนทเดนออกไปจากกลมอยางแนนอน

ก. 44 กโลกรม ค. 47 กโลกรม ข. 46 กโลกรม ง. 48 กโลกรม


6. หมบานประชาชนมบานอย 150 หลง บานเลขทเรยงลาดบดงน 1, 2, 3, 4, 5,……., 148, 149, 150 ถามวามบานทงหมดกหลงท เลขทบาน มเลข 4 อยางนอย 1 ตว (ป 2554)

ก. 15 หลง ค. 33 หลง ข. 24 หลง ง. 34 หลง

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค. 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตอนท 1 จงเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว 1. มกระดาษหนงแผน กวาง 18 เซนตเมตร ยาว 63 เซนตเมตร ถาตองการตดกระดาษดงกลาวเปน รปสเหลยมจตรสทมดานกวางและดานยาวเปนจานวนนบทมากทสดเทาทจะทาได โดยทสเหลยม จตรสนจะตองมขนาดเทากนทกชน และเมอตดเสรจแลวจะตองไมมเศษกระดาษเหลออยเลย จงหาวาจะตดกระดาษไดทงหมดกชน(ป 2551)

ก. 126 ชน ค. 14 ชน ข. 42 ชน ง. 8 ชน

2. ตองการทาเคกรปทรงกระบอกชนหนงทมเสนผานศนยแกลาง 28 เซนตเมตรเปนชน ๆ ดงน ชนท 1 เปนเนอเคกหนา 3 เซนตเมตร ชนท 2 เปนแยมหนา 1 เซนตเมตร ชนท 3 เปนเนอเคกหนา 2 เซนตเมตร ชนท 4 เปนครมหนา 1.5 เซนตเมตร ถาเนอเคก 100 ลกบาศกแเซนตเมตรราคา 10 บาท แยม 100 ลกบาศกแเซนตเมตร

ราคา 25 บาท และครม 100 ลกบาศกแเซนตเมตรราคา 25 บาท ถาตองการกาไรจากการขาย เคก กอนน 20% จะตองตงราคาขายเคกกอนนไวทกบาท (ป 2551)

ก. 138.60 บาท ค. 831.60 บาท ข. 693.00 บาท ง. 925.40 บาท

3. จงหาพนทสวนทแรเงา (ป 2551) ก. 2.25 ตารางเซนตเมตร ข. 3 ตารางเซนตเมตร ค. 6.25 ตารางเซนตเมตร ง. 9 ตารางเซนตเมตร


4. ถากาหนดให ABC ม AB = 13 หนวย และ BC = 5 หนวย จงหาวา CA มความยาวทเปน ไปไดกหนวย (ป 2551)

ก. CA > 8 ค. 8 < CA < 18 ข. −8 < CA < 18 ง. CA > −18

5. ถงนาทรงกระบอกและกรวยมความสงและมเสนผานศนยแกลางเทากน โดยมความสง 15 เซนตเมตร ถาใชกรวยตกนาใหเตมพอดแลวเทใสถงทรงกระบอก จงหาวาระดบนาในถง ทรงกระบอกจะสงกเซนตเมตร (ป 2551)

ก. 3 เซนตเมตร ค. 10 เซนตเมตร ข. 5 เซนตเมตร ง. 15 เซนตเมตร

ตอนท 2 ค าชแจง ใหเลอกคาตอบทถกตอง 1 คาตอบ จากตวเลอก 9 ตวเลอกทกาหนดให 1. 10 2. 11 3. 12 4. 13 5. 15 6. 16 7. 18 8. 19 9. 20 1. มนกเรยน 6 คน จบมอทกทายกนจนครบทกคน จะมการจบมอทกทายกนทงหมด กครง (ป 2552)

2. ใหสามเหลยม ABC มดานยาวเปน จานวนเตมหนวย AB = 30 หนวย BC = 18 หนวย แลว AC สนทสดจะยาวกหนวย (ป 2552) 3. จานวนนบสามจานวน ถานามาบวกกนทละค จะไดผลบวกเปน 40 , 48 และ 52 จานวนท นอยทสดเปนเทาไร (ป 2552) 4. ABC เปนสามเหลยมมมฉากทมมม B เปนมมฉาก และความยาวดานBC = 10 หนวย

และ COS A = จงหาวา AC ยาวกหนวย (ป 2552)

5. พจารณา ลาดบของรปสามเหลยม ตอไปน (ป 2552)

รปท 1 มรปสามเหลยมทงหมด 1 รป


รปท 2 มรปสามเหลยมทงหมด 3 รป รปท 3 มรปสามเหลยมทงหมด 6 รป รปท 4 มรปสามเหลยมทงหมด 10 รป

ถามวา สามเหลยมรปทเทาไร จะมรปสามเหลยมทงหมด 55 รป

ตอนท 3 ค าชแจง จงหาค าตอบทถกทสด 1. กาหนดรปสามเหลยมทมขนาดของดานยาว 3, 5, a เซนตเมตร ถา a เปนจานวนเตมแลวจะมสามเหลยมทเปนไปไดกรป (ป 2553) 2.

จากรปขางบนเปนรปสเหลยมจตรสขนาน3×3 ไดจากรปสเหลยมจตรส ขนาด 1×1 มาตอกนแตมบางสวนขาดหายไป จงหาวามรปสเหลยมจตรสขนาดตางๆ กนทงหมด กรป (ป 2553) 3. รานขายรถจกรยานสาหรบเดกมรถจกรยาน 2 ชนด คอชนด 2 ลอ และชนด 3 ลอ ถานบจานวน ลอจกรยานทวางขายหนารานได 17 ลอพอด โดยมจานวนรถจกรยานชนด 2 ลอ มากกวา ชนด 3 ลอ และมกรณทเปนไปได 2 กรณ ถามวาจะมรถจกรยาน 3 ลอ ทง 2 กรณรวมกนกคน (ป 2553) 4. อรดาและดารนสะสมแสตมปไวจานวนไมเทากนจงมาแลกแสตมปกนถาอรดาใหแสตมปดารน 1 ดวง ทาใหทงสองคนมแสตมจานวนเทากน แตถาดารนใหแสตมปอรดา 1 ดวง ทาใหอรดาม แสตมปเปน 3 เทาของดารน ดงนนกอนจะแลกแสตมปกนดารนมแสตมปกดวง (ป 2553) 5. พจารณาการดาเนนการตอไปน (ป 2553) 1x2x3x4+1 = 5x5 = 25 2x3x4x5+1 = 11x11 = 121 3x4x6x7+1 = 19x19 = 361 4x5x6x7+1 = 29x29 = 841 และถา 23x24x25x26+1 = AxA แลว A มคาเทาไร


6. กาหนดรปสามเหลยมทมขนาดของดานยาว 4, 6, a เซนตเมตร ถา a เปนจานวนเตมแลวจะม สามเหลยมทเปนไปไดกรป (ป 2553) 7.

จากรปขางบนเปนรปสเหลยมจตรสขนาน 3×3 ไดจากรปสเหลยมจตรส ขนาด 1×1 มาตอกนแตม บางสวนขาดหายไป จงหาวามรปสเหลยมจตรสขนาดตาง ๆ กนทงหมดกรป (ป 2553)

8. รานขายรถจกรยานสาหรบเดกมรถจกรยาน 2 ชนด คอชนด 2 ลอ และชนด 3 ลอ ถานบจานวน ลอจกรยานทวางขายหนารานได 19 ลอพอด โดยมจานวนรถจกรยานชนด 2 ลอ นอยกวา ชนด 3 ลอ ถามวาจะมรถจกรยาน 3 ลอกคน (ป 2553)

9. อรดาและดารนสะสมแสตมปไวจานวนไมเทากนจงมาแลกแสตมปกนถาอรดาใหแสตมป ดารน 2 ดวง ทาใหทงสองคนมแสตมจานวนเทากน แตถาดารนใหแสตมปอรดา 1 ดวง ทาใหอรดา มแสตมปเปน 2 เทาของดารน ดงนนกอนจะแลกแสตมปกนดารนมแสตมปกดวง (ป 2553)

10. พจารณาการดาเนนการตอไปน (ป 2553) 1x2x3x4+1 = 5x5 = 25 2x3x4x5+1 = 11x11 = 121 3x4x6x7+1 = 19x19 = 361 4x5x6x7+1 = 29x29 = 841 และถา 24x25x26x27+1 = AxA แลว A มคาเทาไร

11. กาหนดให A, B แทนจานวนจรง AB หมายถง A+B-5.5 จงหาวา 123456789 เทากบเทาไร (ป 2554)


12. นาจานวน 1, 2, 2, 4, 4, 8, ไปใสใน บนดานของรปสามเหลยมดงรป (ป 2554)

ถาทาใหผลคณของจานวนแตละดานของรปสามเหลยมเทากนแลวผลบวกของทกจานวนตรงจด ยอดมมของรปสามเหลยมมคาเทาไร 13. รปทรงมมฉาก ประกอบดวยลกบาศกแขนาด 1 ลกบาศกแเซนตเมตร จานวน 8 ลก ถกแบงเปน 2 สวน คอสวน A และสวน B สวน A ประกอบดวยลกบาศกแ 5 ลก สวน B ไมไดใหรปไว รปสวน A

จงหาวา สวน B กตารางเซนตเมตร (ป 2554) 14. ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากโดยมม ABC มขนาดโตกวามม BAC และมม BCA ถา sin A = 0.6 และเสนรอบรปสามเหลยม ABC ยาว 24 นว แลวดาน AC ยาวกวาดาน AB กนว

(ป 2554)

C

A B


C

D

B

A

15. จากคาวา PAMAP มเสนทางการอานวา MAP ได 2 เสนทาง ถานาคาวา HAND มาเขยนเรยงกน

ดงรปขางลาง จะมเสนทางการอานคาวา HAND ไดกเสนทาง (ป 2554)

16. สายชลยนหางจากจดกงกลางของอนสาวรยแชยสมรภมเปนระยะ 100 เมตร เหนนกพราบ เกาะอยบนยอดอนสาวรยแเปนมมเงย 40o จงหาวานกพราบอยสงจากพนดนกเมตร (กาหนด tan50o = 1.2)

17. รปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมจตรส และรปสเหลยมจตรสเลกๆทอยภายในเกดจากการ

แบงครงดานของรปสเหลยมจตรสรปใหญ ถารปสเหลยม ABCD มพนท 128 ตารางหนวย

บรเวณทแรเงามพนทเทาไร


18. นายสมพงษแเลยงหมและเปนรวมกนจานวน 47 ตว ถานบขาของหมและเปดรวมกนได 118 ขา นายสมพงษแเลยงหมไวกตว

19. มดตวหนงตองการกนนาเชอมทหกอยบนกลองทมขนาดกวาง 6 เซนตเมตร ยาว 7 เซนตเมตร

และสง 1 เซนตเมตร ถามดอยทจด A และหยดนาเชอมอยทจด B บนมมของกลองทอยตรงขาม

กนดงรป อยากทราบวาระยะทางทใกลทสดทมดจะเดนไปหาหยดนาเชอมเปนระยะทางก

เซนตเมตร

1 เซนตเมตร



หยดน าเชอม

มด

B

A


ภาคผนวก ค เฉลยแนวขอสอบ O – NET ทกสาระ


เฉลยแนวขอสอบ O – NET ทกสาระ

สาระ/มาตรฐาน สาระท 1 จ านวนและการด าเนนการ มาตรฐาน ค 1.1


1 ค 2 ง 3 ค 4 ง 5 ก 6 ค 7 ก 8 ง 9 ก 10 ง 11 ง 12 ข 13 ง



1 ค 2 ง 3 ข 4 ง 5 ง 6 ค 7 ข 8 ข 9 ก




10 ค 11 ก 12 ข 13 ก



1 ก 2 ข 3 ค



1 ง 2 ค 3 ค 4 ข

สาระ/มาตรฐาน สาระท 2 การวด มาตรฐาน ค 2.1


1 ค 2 ค 3 ก 4 ข 5 ง 6 ค 7 ก


สาระ/มาตรฐาน สาระท 2 การวด มาตรฐาน ค 2.2


1 ข 2 ข 3 ข 4 ก 5 ค 6 ค 7 ข 8 ข 9 ข 10 ง 11 ข 12 ง 13 ง

สาระ/มาตรฐาน สาระท 3 เรขาคณต มาตรฐาน ค 3.1


1 ง 2 ง 3 ข 4 ข 5 ง 6 ค 7 ค 8 ก 9 ข 10 ข 11 ข 12 ง 13 ง


สาระ/มาตรฐาน สาระท 3 เรขาคณต มาตรฐาน ค 3.1


14 ค 15 ข 16 ง 17 ค 18 ง 19 ก 20 ข 21 ค 22 ค

สาระ/มาตรฐาน สาระท 4 พชคณต มาตรฐาน ค 4.1


1 ง 2 ก 3 ก 4 ค 5 ก 6 ง 7 ก 8 ข 9 ง



1 ง 2 ข 3 ข 4 ข 5 ง




6 ค 7 ค 8 ก 9 ก 10 ง 11 ข 12 ง 13 ก 14 ข 15 ข

สาระ/มาตรฐาน สาระท 5 การวเคราะหขอมลและ ความนาจะเปน มาตรฐาน ค 5.1


1 ค 2 ก 3 ข 4 ก 5 ข 6 ค


ขอท ต าตอบ 1 ข 2 ข 3 ง 4 ก 5 ง




1 ง 2 ก 3 ข 4 ก 5 ก 6 ค

สาระ/มาตรฐาน สาระท 6 ทกษะและกระบวนทางคณตศาสตร มาตรฐาน ค 6.1 ตอนท 1

ขอท ต าตอบขอ

1 ค 2 ค 3 ก 4 ค 5 ข

ตอนท 2

1

5

2 4 3 7 4 9 5 1

ตอนท 3

1

เตมค าตอบ 5

2 9 3 4 4 3 5 599 6 7


สาระ/มาตรฐาน สาระท 6 ทกษะและกระบวนทางคณตศาสตร มาตรฐาน ค 6.1 ตอนท 3

ขอท เตมต าตอบ

7 8 8 5

9 11 10 649 11 1 12 7 13 14 14 2 15 28 16 83.33 17 4 18 12 19 10


เฉลย สาระท 6 ค 6.1 อยางละเอยด

ตอนท 1 1 แนวคด หา ห.ร.ม. ของดานกวางและไดยาว 3) 18 63 3) 6 21 2 7 ห.ร.ม. ของ 18 และ 63 คอ 3x3 = 9 ดานกวางสามารถตดแบงไดเปน 2 สวน ดานยาวสามารถตดแบงไดเปน 7 สวน ดงนน จะตดไดทงหมด 2x7 = 14 ชน 2. แนวคด พนทฐานของเคก = π x r x r

= x 14 x 14

= 616 เนอเคกหนา 3 + 2 = 5 เซนตเมตร มปรมาตร 616 x 5 = 3,080 ลกบาศกแเซนตเมตร

คดเปนเงน 3,080 x = 308 บาท

แยมหนา 1 เซนตเมตร มปรมาตร 616 x 1 = 616 ลกบาศกแเซนตเมตร

คดเปนเงน 616 x = 154 บาท

ครมหนา 1.5 เซนตเมตร มปรมาตร 616 x 1.5 = 924 ลกบาศกแเซนตเมตร

คดเปนเงน 924 x = 231 บาท

ดงนน ลงทนทาเคกเปนเงน 308 + 154 + 231 = 693 บาท

ตองการกาไรจากการขายเคก 20 % คดเปนกาไร x 693 =138.60 บาท

ดงนน ตองตงราคาขายไว 693 + 138.60 = 831.60 บาท ตอบ ขอ 3. 831.60 บาท


3 แนวคด จากรป ABC DEC

ดงนน =

DE = x 2

DE = 3 นนคอ สวนทแรเงามพนท = π x r x r = π x 1.5 x 1.5 = 2.25 π ตอบ ขอ 1. 2.25π ตารางเซนตเมตร

4. แนวคด ขนาดของดาน ของรปสามเหลยม ดานทยาวทสดจะตองยาวนอยกวาผลรวมของอกสอง ดานทเหลอ ดงนน ความยาวทเปนไปไดของดาน CA ตองมากกวา 13 – 5 และนอยกวา 13 + 5 นนคอ 8 < CA < 18 ตอบ ขอ 3. 8 < CA < 18 5. แนวคด เนองจากความสมพนธแระหวางปรมาตรของทรงกระบอกและกรวยทมพนทฐานเทากนและมความสงเทากนนน ทรงกระบอกจะมปรมาตรเปน 3 เทา ของกรวย

ดงนน ถาใชกรวยตกนาใหเตมพอดแลวเทใสถงทรงกระบอกจะไดปรมาตรเปน ของทรงกระบอก

ระดบนาจะสงเปน ของทรงกระบอก = x 15

= 5 ตอบ ขอ 2. 5 เซนตเมตร ตอนท 2 1. แนวคด คนท 1 จบมอทกทาย 5 ครง คนท 2 จบมอทกทาย 4 ครง คนท 3 จบมอทกทาย 3 ครง คนท 4 จบมอทกทาย 2 ครง

คนท 5 จบมอทกทาย 1 ครง ดงนน จะมการจบมอทกทายกนทงหมด 5+4+3+2+1 = 15 ครง ตอบ 15 ครง


2 .แนวคด ขนาดของดาน ของรปสามเหลยม ดานทยาวทสดจะตองยาวนอยกวาผลรวมของอกสองดานทเหลอ ดงนน ความยาวของดาน AC ตองมากกวา 30 -18 = 12 เนองจากใหสามเหลยม ABC มดานยาวเปน จานวนเตมหนวย

ดงนน AC สนทสด 13 เมตร ตอบ 13 เมตร

3. แนวคด ให a เปนจานวนทมคานอยทสด B เปนจานวนทมคามากเปนอนดบทสอง C เปนจานวนทมคามากทสด ผลบวกทมคานอยทสด เกดจากจานวนทมคานอยทสดบวกกบจานวนทมคามากเปนลาดบทสอง จะได a+b = 40 ผลบวกทมคามากเปนลาดบทสองเกดจากจานวนทมคานอยทสดบวกกบจานวนทมคามากทสด จะได a+c = 48 ผลบวกทมคามากทสดเกดจากจานวนทมคามากเปนลาดบทสองบวกกบจานวนทมคามากทสด จะได b+c = 52 นาสมการ - จะได c-b = 8 นาสมการ - จะได c-a = 12 นาสมการ - จะได b-a = 4 จากสมการท และสมการท จะไดวาจานวนทมผลตางเทากบ 4 และมผลรวมเทากบ 40 คอ 18 กบ 22 ดงนนจานวนทมคานอยทสด คอ 18 ตอบ 18

4. แนวคด จาก COS A =

ดงนนมม A มขนาด 60o

จะได sin A =

ดงนน =

X = ×

X = 20 ตอบ 20

A

C

B


5. แนวคด รปท 1 มรปสามเหลยมทงหมด 1 รป รปท 2 มรปสามเหลยมทงหมด 1+2 รป รปท 3 มรปสามเหลยมทงหมด 1+2+3 รป รปท 4 มรปสามเหลยมทงหมด 1+2+3+4 รป จานวนรปสามเหลยมในแตละลาดบหาไดจาก

เมอ n คอลาดบของรป

ดงนนรปทมรปสามเหลยมทงหมด 55 รป เกดจาก

= 55

n × (n+1) = 110 10 x 11 = 110 ดงนน สามเหลยมรปท10 จะมรปสามเหลยมทงหมด 55 รป ตอบ 10

ตอนท 3 1. แนวคด ขนาดของดาน ของรปสามเหลยม ดานทยาวทสดจะตองยาวนอยกวาผลรวมของอกสองดานทเหลอ ถา a เปนจานวนเตม ความยาวของแตละดานทเปนไปไดมดงน (3, 5, 3), (3, 5, 4), (3, 5, 5), (3, 5, 6), (3, 5, 7), ดงนน มสามเหลยมทเปนไปได 5รป

2. แนวคด 1. รปสเหลยมจตรสขนาด 1 ตารางหนวย ม 6 รปไดแก รปท 1, 2, 3, 4, 5, 6 2. รปสเหลยมจตรสขนาด 2×2 ตารางหนวย ม 2 รป ไดแก รปทเกดจาก รปสเหลยมจตรสขนาด1 หนวย รปท 2,3,4,5, รวมกน และรปทเกดจาก รปหมายเลข 4 รวมกบหมายเลข 7 3. รปสเหลยมจตรสขนาด 3×3หนวยมจานวน 1 รปคอ รปสเหลยมจตรสทเกดจากการรวมสวนยอยๆทงหมด ดงนน มรปสเหลยมจตรสทหมด 6+2+1 = 9 รป


3. แนวคด จากโจทยแสามารถเขยนแจกแจงเหตการณแทเปนไปไดโดยใชตารางชวยดงน

จานวนจกยาน 2 ลอ จานวนจกยาน 3 ลอ จานวนลอรวมกน 7 1 17 4 3 17 2 5 17

(ใชไมไดเนองจากไมตรงตามเงอนไข)

ดงนน จะมจานวนรถจกรยาน 3 ลอ ทง 2 กรณ รวมกน เทากบ 1+3 = 4 คน 4. แนวคด กาหนดใหเดมดารนมแสตมป a ดวง และอรดามแสตมป b ดวง อรดาใหแสตมปดารน 1ดวงทาใหทงสองคนมแสตมปเทากน

จะได b-1 = a+1 b = a+1+1 b = a+2 ถาดารนใหแสตมปอรยา 1 ดวง ทาใหอรยามแสตมเปนสามเทาของดารน จะได 3(a-1) = b+1 3a-3 = b+1 3a-4 =b แทนคา b ดวย a+2 ใน สมการ จะได 3a-4 = a+2 2a = 6 a = 3 ดงนน กอนจะแลกแสตมปกน ดารนมแสตมป 3 ดวง 5. แนวคด จากการดาเนนการพจารณาไดดงน แถวท 1 (4x1)x(2x3)+1 = 5x5 (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 4x6+1 = 5x5 แถวท 2 (2x5)x(3x4)+1 = 11x11 (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 10x12+1 = 11x11


แถวท 3 (3x6)x(4x5)+1 = 19x19 (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 18x20+1 = 19x19 แถวท 4 (4x7)x(5x6)+1 = 29x29 (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 28x30+1 = 29x29 และถา 23x24x25x26+1 = AxA (23x26)x(24x25)+1 = AxA (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 598x600+1 = AxA 599x599 = AxA ดงนน A มคาเทากบ 599 6. แนวคด ขนาดของดาน ของรปสามเหลยม ดานทยาวทสดจะตองยาวนอยกวาผลรวมของอกสองดานทเหลอ ถา a เปนจานวนเตม ความยาวของแตละดานทเปนไปไดมดงน (4, 6, 3), (4, 6, 4), (4, 6, 5), (4, 6, 6), (4, 6, 7), (4, 6, 8), (4, 6, 9), ดงนน มสามเหลยมทเปนไปได 7รป 7.

แนวคด 1. รปสเหลยมจตรสขนาด 1 ตารางหนวย ม 5 รปไดแก รปท 1, 2, 3, 4, 5 2. รปสเหลยมจตรสขนาด 2×2 ตารางหนวย ม 2 รป ไดแก รปทเกดจาก รปสเหลยมจตรสขนาด1 หนวย รปท 2,3,4,5, รวมกน และรปทเกดจาก รปหมายเลข 4, 5, 6 รวมกน 3. รปสเหลยมจตรสขนาด 3×3หนวยมจานวน 1 รปคอ รปสเหลยมจตรสทเกดจากการรวมสวนยอยๆทงหมด ดงนน มรปสเหลยมจตรสทหมด 5+2+1 = 8 รป


8. แนวคด จากโจทยแสามารถเขยนแจกแจงเหตการณแทเปนไปไดโดยใชตารางชวยดงน จานวนจกยาน 2

ลอ จานวนจกยาน 3

ลอ จานวนลอรวมกน

8 1 19 (ใชไมไดเนองจากไมตรงตามเงอนไข) 5 3 19 (ใชไมไดเนองจากไมตรงตามเงอนไข) 2 5 19 ตรงตามเงอนไข

ดงนน มจานวนจกยาน3 ลอ 5 คน 9. แนวคด กาหนดใหเดมดารนมแสตมป a ดวง และอรดามแสตมป b ดวง อรดาใหแสตมปดารน 2ดวงทาใหทงสองคนมแสตมปเทากน

จะได b-2 = a+2 b = a+2+2 b = a+4 ถาดารนใหแสตมปอรดา 1 ดวง ทาใหอรดามแสตมเปนสามเทาของดารน จะได 2(a-1) = b+1 2a-2 = b+1 2a-3 =b แทนคา b ดวย a+4 ใน สมการ จะได 2a-3 = a+4 a = 4+3 a = 7 แทนคา a ดวย 7 ใน สมการ จะได b = 7+4 b = 11 ดงนน กอนจะแลกแสตมปกน อรดามแสตมป 11 ดวง 10. แนวคด จากการดาเนนการพจารณาไดดงน แถวท 1 (4x1)x(2x3)+1 = 5x5 (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 4x6+1 = 5x5


แถวท 2 (2x5)x(3x4)+1 = 11x11 (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 10x12+1 = 11x11 แถวท 3 (3x6)x(4x5)+1 = 19x19 (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 18x20+1 = 19x19 แถวท 4 (4x7)x(5x6)+1 = 29x29 (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 28x30+1 = 29x29 และถา 24x25x26x27+1 = AxA (24x27)x(25x26)+1 = AxA (สมบตการเปลยนหมของการคณ) 648x650+1 = AxA 649x649 = AxA

ดงนน A มคาเทากบ 649 11. แนวคด จาก AB หมายถง A+B-5.5 ดงนน AB C = ( AB)+C-5.5 = (A+B-5.5)+C-5.5 = A+B+C-5.5-5.5 = (A+B+C) - (2x5.5) จะไดวา AB C .......= (A+B+C+…..) - (nx5.5) เมอ n คอจานวน ดงนน 123456789 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9) – (8x5.5) = 45- 44 = 1

12. (หมายเหต ทาง สทศ. ไดตดขอนออกไมนามาคดคะแนน ซงอาจเกดจากขอคาถามไมชดเจนหรอไมครบถวน)

แนวคด อาจสามารถทาไดดงรปน ดงนนผลรวมทกจานวนของจดยอดมม ของรปสามเหลยมมคาเทากบ 4+2+1 = 7


13.

แนวคด สวน B มลกบาศกแจานวน 3 ลก ดงน มพนทผว 14 ตารางเซนตเมตร

14.แนวคด รปสามเหลยมมมฉาก ABC มมม ABC เปนมมฉากเนองจากเปนมมทมขนาดโตกวามมอน

sin A =

=

เนองจาก sin A = 0.6

=

จะไดวา AC = 10 หนวย BC = 6 หนวย จาก AB2 = AC2 – BC2 = 102 - 62 = 100 – 36 = 64 AB = 8 หนวย

ดงนน AC ยาวกวาดาน AB = 10 - 8 = 2 นว


15. แนวคด สามารถอานคาวา HAND ได 28 เสนทางดงน


คณะท างาน

ทปรกษา

นายสพจนแ เจยมใจ ผอานวยการสานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษา บรรมยแ เขต 1

นางสาวรตตมา พานชอนรกษแ รองผอานวยการสานกงานเขตพนทการศกษา ประถมศกษาบรรมยแ เขต 1

นายปญญา ยางนอก ผอ.กลมนเทศตดตามและประเมนผลการจดการศกษา ผรบผดชอบโครงการ

1. นายอดลยแ สชรมยแ ศกษานเทศกแ สพป. บรรมยแ เขต 1 2. นางรงฤด หมนการ ศกษานเทศกแ สพป. บรรมยแ เขต 1 คณะจดท าเอกสาร 1. นายอดลยแ สชรมยแ ศกษานเทศกแ สพป. บรรมยแ เขต 1 2. นางรงฤด หมนการ ศกษานเทศกแ สพป. บรรมยแ เขต 1 3. นายชศกด สระประวตวงศแ ครโรงเรยนบานหนองไฮ 4. นายนพล อนนอก ครโรงเรยนบานลงมวง 5. นายประสทธ ชบรมยแ ครโรงเรยนบานหนองตาดนอย 6. นายคาภ หนอสดา ครโรงเรยนไตรคามสามคควทยา 7. นายประเทอง ตาละคา ครโรงเรยนบานตะโก 9. นายบญรง จนทรวงษแวาณชยแ ครโรงเรยนบานโพธดอนหวาย 10. นางสมถวล พรหมบตร ครโรงเรยนอนบาลลาปลายมาศ 11. นางทองจนทรแ ปะสรมยแ ครโรงเรยนบานยางครราษฎรแรงสรรคแ 12. นางนฤมล ศรโกตะเพชร ครโรงเรยนวดโคกซาด 13. นางสาวสภทราภรณแ สขหนา ครโรงเรยนบานวานเขอนคอวทยา 14. นางสาวสภาวด แสงโทโพธ ครโรงเรยนบานหนองแวง 15. นางนงลกษณแ ฉายา ครโรงเรยนอนบาลชาน 16. นางวภาดา รตนวรรณ ครโรงเรยนบานหนองไผ 17. นางสาวฐตรภค ไผดนกล ครโรงเรยนบานสาโรงโนนเคง


จดพมพตนฉบบ 1. นางสาวจรวด จตตแหาญ เจาหนาทธรการ 2. นางสาวภชรยา พชรมณปกรณแ เจาหนาทธรการ คณะบรรณาธการกจ 1. นายอดลยแ สชรมยแ ศกษานเทศกแ สพป. บรรมยแ เขต 1

2. นายชศกด สระประวตวงศแ ครโรงเรยนบานหนองไฮ 3. นางทองจนทรแ ปะสรมยแ ครโรงเรยนบานยางครราษฎรแรงสรรคแ 4. นางสาวสภทราภรณแ สขหนา ครโรงเรยนบานวานเขอนคอวทยา 5. นางสาวสภาวด แสงโทโพธ ครโรงเรยนบานหนองแวง 6. นางนงลกษณแ ฉายา ครโรงเรยนอนบาลชาน ออกแบบปก นายศราวธ โรจนาวรรณ ศกษานเทศกแ สพป. บรรมยแ เขต 1

คณิตพิชิต o-net ช่วงชั้นที่ 3 ·...

Documents