การวิเคราะห โครงข ายวงจรอ ัน ......การว...
TRANSCRIPT
การวเคราะหโครงขายวงจรอนดบ 1
1st Order Circuit
ปยดนย ภาชนะพรรณ
สมการอนพนธอนดบ 1 (1st Order Equation)สมการอนพนธทวไป มรปแบบเปน
สมการอนดบ 1 คอ กรณ n = 1 จะไดรปแบบเปน
ผลลพธของสมการ เรยกวา ผลตอบสนอง (Response)
1
0 1 11( ) ( ) ( )... ( ) ( )
−
−−+ + + + =n n
n nn nd f t d f t df ta a a a f t g t
dt dt dt
0 1( ) ( ) ( )+ =df ta a f t g t
dt
คอ ตวแปร (กระแส, แรงดน)คอ เวลาคอ อนพต (แหลงจาย)
( )f tt( )g t
วงจรอนพนธอนดบ 1 (1st Order Circuit)
วงจรใดๆ ทประกอบดวย
• อปกรณเกบสะสมพลงงาน 1 ตว (L หรอ C)
• แหลงจาย (source)
• ความตานทาน
**แรงดนและกระแสในวงจรเขยนในรปสมการอนพนธอนดบ 1 ได
A First Order RC Circuit
R+-
Cvs(t)+
-vc(t)
+ -vr(t)
• Capacitor 1 ตว และ Resistor 1 ตว• Source และ Resister อาจไดจากการยบรวมจาก Source และ Resister
หลายๆตว
A First Order RC Circuit
KVL : R+
-Cvs(t)
+
-vc(t)
+ -vr(t)( ) ( ) ( )+ =r c sv t v t v t
( ) ( ) ( )+ =R c sRi t v t v t
จาก ( ) ( )= = cR c
dvi t i t Cdt
Differential Equation( ) ( )+ =c
c sdvRC v t v tdt
รปแบบสมการเปน 1st Order Equation
A First Order RL Circuit
v(t)is(t) R L
+
-
• Inductor 1 ตว และ Resistor 1 ตว• Source และ Resister อาจไดจากการยบรวมจาก Source และ Resister
หลายๆตว
A First Order RL Circuit
v(t)is(t) R L
+
-
KCL : ( ) ( ) ( )+ =r L si t i t i t
( ) ( ) ( )+ =RL s
v t i t i tR
( ) ( )= = LR L
div t v t Ldt
จาก
Differential Equation( ) ( )+ =L
L sdiL i t i t
R dt
รปแบบสมการเปน 1st Order Equation
ผลตอบทไมมอนพต (Zero Input Response)วงจร RC
ทเวลา t < 0 C ถกอดประจดวยตนแรงดน V0 จนมแรงดนเปน V0
t = 0 สวตช k1 เปดสวตช k2 ปด
เมอเวลา วงจรจะมลกษณะเปน0≥t
พลงงานไฟฟาทสะสมใน Cจะสญหายไปในรปความรอนของตวตานทาน
2
( )2
Cv
2( )Ri
0≥t ( ) ( )=C Rv t v tKVL :
KCL : ( ) ( ) 0+ =c Ri t i t
0+ =c cdv vCdt R
=−c
c
dv dtv RC
อนทเกรตสมการทง 2 ขาง (เวลา 0 t) จะไดสมการเปน
1ln =− +cv t KRC
เมอ ln คอ Natural Logarithm (ลอกกะรธมธรรมชาต) เปนคาลอกกะรธมของฐาน e = 2.71828
คาคงท K เขยนใหมเปน ln=K k
ln ln ln−= +tRC
cv e k
ln ln( )−=tRC
cv ke
จะได 0= s tcv ke
โดยท 01=−s
RCผลตอบของวงจร (Response)
โดย เปนผลตอบทวไป (General Solution)0= s tcv ke
ถา k หาได ผลตอบเปน เปนผลตอบเอกเทศ (Particular Solution)
เมอ t = 0 0(0)=cv V
0 (0)(0)= =scv ke k
จะได 0=k V
0( ) −=tRC
cv t V e เมอ 0≥t
พลอตกราฟ ไดเปน( )cv t
วงจรไมม input ผลตอบเกดจากแรงดนแรกเรมของ Cเรยก Zero Input Response (ผลตอบทไมมอนพต)
หาคากระแสและแรงดนในแตละกง ไดเปน
0( ) −= = −t
c RCc
dv Vi t c edt R
0≥t
0( ) ( ) −= − =tRC
R cVi t i t eR
0≥t
0( ) ( ) −= =tRC
R cv t v t V e 0≥t
โดย ( ), ( ), ( )c R Ri t i t v t มลกษณะกราฟเปน
อตราการลดลงของกระแสจะขนกบคา RC RC มาก อตราการลดลงนอยRC นอย อตราการลดลงมาก
R คงท C คงท
คาคงทเวลา (Time Constant)
กราฟเอกโพเนเชยล ถกกาหนดลกษณะสมบตไดดวย- ตาแหนงออดเนทของกราฟทเวลาอางอง (เชน t = 0)- คาคงทเวลา (Time Constant)
จาก 0( ) −=tRCv t V e
แทน T = RC
0
( ) −=tTv t e
V
• ใชชวงเวลาทฟงกชนเอกโพเนเชยลลดลงถง 37 % (t = T) เปนมาตรฐานในการเปรยบเทยบกราฟ
• การวดภาวะชวครความละเอยดอยท 2 % จงมกถอวาภาวะชวครจะหายไปเมอเวลา t = 4T
ตวอยาง วงจร RC ซงมผลตอบทวไปเปน
0−= t
RCv V e
กรณ 1 100 = ΩR 100 =C pF 1 0.01 secµ=T
กรณ 2 1000 M= ΩR 1 µ=C F 2 1000 sec=T
จะได T2 > T1
อตราการลดลงของ v ในกรณท 2 จะนอยกวา กรณท 1
01 1 = − = −sT RC
จากท
ความถ และ วดเปน เรเดยน/วนาทมหนวยเปน สวนกลบเวลา0s
เรยกวา ความถธรรมชาต (Natural Frequency) ของวงจร0s
วงจร RL
ทเวลา t < 0 L ถกเหนยวนาดวยกระแส I0 จนมกระแสเปน I0
t = 0 สวตช k1 สบไปท Cสวตช k2 ปด
เมอเวลา วงจรจะมลกษณะเปน0≥t
พลงงานไฟฟาทสะสมใน Lจะสญหายไปในรปความรอนของตวตานทาน
2
( )2
Li
2( )Ri
KVL : ( ) ( )=L Rv t v t0≥t
KCL : ( ) ( ) 0+ =L Ri t i t
0+ =LL
diL Ridt
=−L
L
di R dti L
( )−
=RtL
Li t keจะได , 0≥t
จากท t = 0 0(0)=Li I
0( )−
=RtL
Li t I e
KVL : ( ) ( )=L Rv t v t
KCL : ( ) ( ) 0+ =L Ri t i t
จะได ( ) ( )=−L Lv t Ri t
0( )−
=−RtL
Lv t RI e
ผลตอบแหงสถานะศนย (Zero State Response)
ผลตอบของวงจรอนเนองจากตนกาเนดอสระ (input) โดยไมมภาวะเรมตน(ภาวะเรมตนเปน 0)
t < 0 : ตนกระแสถกลดวงจรt = 0 : สวตช k เปดออก ตนกระแสตอเขาวงจร R // C
แรงดนครอมชนสวนทง 3 จะเทากน
( ) ( ) ( ) + = =Sdv t v tC i t I
dt RKVL : ( 0)≥t
เมอ t = 0 ตว C ยงไมไดรบการอดประจ ภาวะเรมตน คอ(0) 0=v
แรงดนครอม C เทากบ 0 กระแสใน R ตองเทากบ 0∴ กระแสทงหมดจะไหลเขาท C ท 0≥t
แรงดน v มอตราการเพมเปน
0= +
=t
dv Idt C
0=dvdtเมอ C ถกอดประจจนเตม แรงดนจะคงท
กระแสทงหมดจากตนกระแสจะไหลผาน R และตว C จะเปนเสมอนเปดวงจร
คาสดทายดงนน =v RI
กราฟแรงดน v แสดงไดเปน
วเคราะหการเปลยนแปลงคาแรงดน
( ) ( ) ( ) + = =Sdv t v tC i t I
dt Rจาก : ( 0)≥t
พบวาเปนสมการอนพนธแบบ nonhomogeneous ( ( ) 0)≠g t
ผลตอบของสมการสามารถเขยนไดในรปของ= +h pv v v
hv Complementary Functionผลตอบของสมการอนพนธแบบ homogeneous ( ( ) 0)=g t
pv Paricular Integralผลตอบของสมการอนพนธจะขนกบ input ( ( ) 0)≠g t
จากหา hv
( ) ( ) 0+ =dv t v tCdt R
01 0
1, = =−s thv K e s
RCจะได
หา จากpv
( ) ( )+ =dv t v tC Idt R
หา จากวธ D - Operationpv
=pv IR
ผลตอบทวไปของสมการเปน
1( ) , 0−
= + ≥t
RCv t K e RI t
พบวาท t = 0 (0) 0=v0
1 10 = + = +K e RI K RI
1 =−K RI
จะไดสมการแรงดนเปน
( ) (1 ) , 0−
= − ≥t
RCv t RI e t
พลอตกราฟแรงดน v(t) ไดเปน
วเคราะหวงจรเดม แตเปลยน input เปนสญญาณซายด (Sinusoidal Signal)
1 1( ) cos( )ω φ= +Si t A t
เมอ คอ Amplitude1A
คอ ความถเชงมม [Rad/s]ω
คอ มมเฟสφ
เนองจากวงจรเหมอนเดม เปลยนแค input เหมอนเดมhv
01 0
1, = =−s thv K e s
RC
หา (particular integral)pv
pv มคาขนอยกบ inputเมอ input เปนสญญาณซายด เปนสญญาณซายดทมความถเดยวกนpv
2 2( ) cos( )ω φ= +Pv t A t
หาคา และ 2A 2φ
1 1
( ) ( )cos( )ω φ+ = +p pdv t v t
C A tdt R
จะได
2 2 2 2 1 11sin( ) cos( ) cos( )ω ω φ ω φ ω φ− + + + = +CA t A t A tR
จากหลกการทางตรโกณมตcos( ) sin( ) cos( )ω φ ω φ ω φ δ+ + + = + −A t B t C t
โดยท 2 2= +C A B1tanδ −= B
A
แทนคาแลว จะได
( )1
22 21( )ω
=+
AAC
R
1tanδ ω−=− CR
จาก 2 1φ δ φ− =
2 1φ φ δ= +
12 1 tanφ φ ω−= − CR
ผลตอบของวงจรเปน
1 2 2( ) cos( )ω φ−
= + +t
RCv t K e A t
เมอ t = 0 (0) 0=v
1 2 2cosφ= +K A
1 2 2 cosφ∴ =−K A
สมการแรงดนในฟงกชนเวลา เปน
2 2 2 2( ) cos cos( )φ ω φ−
=− + +t
RCv t A e A t ( 0)≥t
พลอตกราฟ v(t) ไดเปน
เปนผลตอบแหงสถานะศนย (Zero State Response) ของ input 1 1cos( )ω φ+A t
- วงจรจะอยในสถานะศนย (Zero State) กตอเมอ ภาวะแรกเรมทงหมดในวงจรเปน ศนย
- ผลตอบของวงจรซงเรมจากสถานะศนย จะขนกบ input
ผลตอบแหงสภาวะศนย (Zero State Response)คอ ผลตอบของวงจรตอ input ทใสใหกบวงจรทเวลาหนงเวลาใด (t0)
โดย สภาวะของวงจรตองอยในภาวะศนย กอนทจะมการใส input เขาในวงจร
input และ zero state response จะมคาเปน 0 ท t < t0∴
ผลตอบสมบรณ (Complete Response)
•ผลตอบของวงจรตอทง input และ ภาวะเรมแรก (initial condition)•ผลรมของผลตอบทไมม input กบ ผลตอบแหงสถานะศนย
Complete Response = Zero Input Response + Zero State Response
เมอ t < 0 : สวตชอยตาแหนง A ตนกระแสถกลดวงจรมแรงดนครอม C = V0 0(0) 0= ≠v V
เมอ t = 0 : สวตชอยตาแหนง B ตนกระแส is(t) ตอเขากบวงจร
ผลตอบสมบรณของวงจร คอ รปคลน v(t) ซงเกดจาก- input is(t)- ภาวะแรกเรม V0
( )+ = sdvC Gv i tdt
(a)( 0)≥tKCL :(b)0(0)=v V (แรงดนแรกเรมครอม C)
ให vi เปน Zero Input Response0+ =i
idvC Gvdt
(1)( 0)≥t
(2)0(0)=iv V
ให vo เปน Zero State Response0
0 ( )+ = sdvC Gv i tdt
(3)( 0)≥t
(4)(0) 0=ov
รวมสมการ (1) ถง (4)0
0( ) ( ) ( )+ + + =i
i sd v vC G v v i t
dt( 0)≥t
0(0) (0)+ =i ov v V
รปคลน vi(t) +vo(t) เปนไปตามสมการอนพนธและภาวะเรมตนตามสมการ(a) และ (b)
∴ ผลตอบสมบรณ v(t) กาหนดโดย
Complete Zero ZeroResponse Input State
Response Response
( ) ( ) ( )= +i ov t v t v t
ตวอยาง กาหนดใหแหลงจายกระแสปอนเขาวงจรท t =0 โดย is(t) = I
ผลตอบสมบรณ (Complete Response) เขยนไดเปน( ) ( ) ( )= +i ov t v t v t
จะได0( )
−=
tRC
iv t V e
( ) (1 )−
= −t
RCov t RI e
( 0)≥t
( 0)≥t
ผลตอบสมบรณ (Complete Response) เปน
0Complete Zero ZeroResponse State Input
ResponseResponse
( ) (1 )− −
= + −t t
RC RCv t V e RI e ( 0)≥t
พลอตกราฟ v(t) ไดเปน
เขยนผลตอบสมบรณใหอยในรปอน ไดเปน
0Steady StateTransient
( ) ( )−
= + +t
RCv t V RI e RI ( 0)≥t
สภาวะชวคร (Transient) มาจาก Zero Input Response และ Zero State Responseเกดจาก - ภาวะเรมแรกในวงจร
- การให input ทนททนใด
สภาวะคงตว (Steady State) มาจาก Zero State Response อยางเดยว- เปนผลของ input อยางเดยว- รปคลนสมพนธกบ input (input เปน sine steady state เปน sine)
Circuit With many Time Constant
เปนวงจรประกอบดวยสวตชหลายตว
กาหนด - C,R เปนเชงเสนและไมขนกบเวลา- ในตอนแรก C ไมไดถกอดประจ
เมอ t < 0 สวตช k1 ปด และ k2 เปด
เมอ t = 0 สวตช k1 ปด ตนกระแสคงท ตอเขากบวงจรขนาน RC
เมอ วงจรจะกลายเปน 0t ≥
ตว C จะถกอดประจเรอย ดวยคาคงทเวลา
1 1T R C=
11( ) (1 )
tTv t IR e
−
= − ( 0)t ≥
ให เวลา t = T1 สวตช k2 ปด ไดวงจรเปน
แบงปญหาเปนสองชวง คอ เวลา 0, T1 และ T1, ∞
ชวงแรก 0, T1 เนองจาก v(0) = 0 หา zero state response ไดเปน
( 0)t <
11
0( )
(1 )t
Tv t
IR e−=
− 1(0 )t T≤ ≤
ท t = T1
1 11( ) (1 )v T R Ie
= −
1 , T ∞ซงเปนภาวะเรมแรก ของสวนท 2เมอ t > T1 : สวตช k2 ปด รวมวงจร C, R1, R2 จะได
1 22
1 2
R RT CR R
=+
คาคงทเวลา
คา Input I
ผลตอบสมบรณของสวนท 2 หาจาก1 2
1 2
( ) ( ) ( )sdv t R RC v t i t I
dt R R+
+ = = 1( )t T≥
แกสมการ โดยอนทเกรท ตงแตเวลา T1 ถง t1
2
( )
1
t TT
hv K e−
−
=จะได1 2
1 2p
R Rv IR R
=+
ไดผลตอบสมบรณเปน1
2
( )1 2
11 2
( )t TT R Rv t K e I
R R
−−
= ++ 1( )t T≥
1 11( ) (1 )v T R Ie
= −ท t = T1
1 1
2
( )1 2
11 2
T TT R RK e I
R R
−−
= ++
จะได 1 21 1
1 2
1(1 ) R RK R I Ie R R
= − −+
1
2
( )1 2 1 2
11 2 1 2
1( ) [ (1 ) ]t TTR R R Rv t R I I e I
e R R R R
−−
= − − ++ +
ผลตอบสมบรณ (Complete Response)
1( )t T≥
1 1
2 2
( ) ( )1 2
11 2
1( ) (1 ) (1 )t T t TT TR Rv t R I e I e
e R R
− −− −
= − + −+
1( )t T≥
พลอตกราฟ v(t) ไดเปน