เอกสารประกอบการเรยนวชาฟสกสพนฐาน หนวยการเรยนรท 1 เรอง การเคลอนท

1. การเคลอนทแนวตรง 1.1 ลกษณะการเคลอนท ในธรรมชาตมการเคลอนทหลายลกษณะ เชน รถยนตแลนไปตามถนน การหมนของวงลอจกรยานการกระเพอมขนลงของผวน า การเคลอนททงหลายเหลานลวนเกยวของกบต าแหนงและการเปลยนต าแหนงในชวงเวลาหนง ๆ ถาเปนกรณรถยนตแลนไปตามถนนลกษณะทจะเกยวกบต าแหนงและการ เปลยนต าแหนงของรถยนต เปนตน

การเคลอนทของวตถตาง ๆ สามารถแบงเปนการเคลอนทแบบเลอนทและการเคลอนทแบบหมนอนภาค สามารถเคลอนทแบบเลอนทไดเทานนโดยไมสามารถเคลอนทแบบหมน แตวตถแขงเกรงจะสามารถเคลอนทแบบเลอนทและแบบหมน

รป 6.1 การศกษาการเคลอนทของวตถในธรรมชาตแบงเปนการศกษาใน 2 ลกษณะ คอ kinematics และdynamics ส าหรบ kinematics เปนการศกษาการเคลอนทของวตถโดยไมค านงถงสาเหตทท าใหวตถเคลอนทไป ส าหรบ dynamics จะเปนการศกษาการเคลอนทของวตถโดยศกษาถงสาเหตทท าใหวตถเคลอนทไป ส าหรบการศกษาในบทนจะเปนการศกษาในแนวของ kinematics และในบทท 7 เรองเกยวกบนวตนจะเปนการศกษาในแนวของ dynamics

1.2 ระยะทางการเคลอนท ระยะทาง หมายถง ระยะทวตถเคลอนทไดจรง ๆ โดยจะตองต าแหนงเรมตนของวตถ ต าแหนงสดทายของวตถและเสนทางการเคลอนทของวตถ ระยะทางเปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปน เมตร (m)

1.3 อตราของวตถ อตราเรว หมายถง ระยะทางทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปน เมตร/วนาท

พจารณาการเคลอนทของรถยนตคนหนงในแนวตรง ดงรป 6.2

รป 6.2 เมอสนสดเวลา t1 วนาท หรอ ณ เวลา t1 รถยนตเคลอนทไดระยะทาง x1 จากจดเรมตน และเมอสนสดเวลา t2 วนาท หรอ ณ เวลา t2 รถยนตเคลอนทไดระยะทาง x2 จากจดเรมตน และการเคลอนท-ต าแหนงเดมตอไปเรอย ๆ อตราเรวเฉลย หมายถง อตราสวนระหวางระยะทางทงหมดทเคลอนทไดกบชวงเวลาทใชในการเคลอนทนนโดยจะเขยนไดวา

v เฉลย = t

………………(6-1)

เมอ x = ระยะทางทเคลอนทไดทงหมด มหนวยเปน เมตร t = เวลาทใชในการเคลอนท มหนวยเปน วนาท เชน จากรป ถา v12 เปนอตราเรวเฉลยในชวงเวลาทรถยนตเคลอนทจาก t1 ถง t2 เราจะไดตามสมการ (6-1)เปน

v12 =12

12

tt

xx

อตราเรวขณะหนง หมายถง อตราเรวของการเคลอนทของวตถ ณ เวลาทพจารณา เชน จากการเคลอนทของรถยนต ดงรป 6.2 เราไดกราฟระยะทางกบเวลา เปน ดงรป 6.3 ถาตองการหาอตราเรวของเวลา t สามารถหาไดจากสมการ (6-1) โดยใหเวลา t เปนจดกงกลางของชวงเวลา t และตองคดทกรณท t มคานอยมา

นนคอ vt = tt

x

= มคานอยมาก และ t เปนจดกงกลางของ t ………………(6-2)

รป 6.3

ตวอยาง 1 ชายคนหนงเดนจากจด A ไปจด B และจด C โดยใชเวลา ดงรป จงค านวณอตราเรวเฉลยในชวงเวลา 0-4 วนาท และ 4-7 วนาท

วธท า ชวง 0-4 S จาก vเฉลย = t

x

กรณ x = ระยะ AB = 20 m t = ชวงเวลา = 4-0 = 4 s

v0-4 = 4

20 = 5 m/s

นนคอ อตราเรวเฉลยในชวงเวลา 0-4 วนาท เทากบ 5 เมตร/วนาท ชวง 4-7 s กรณ x = ระยะ BC = 7-4 =3 m

x = ชวงเวลา = 45-20 = 25 m

v4 = 3

25 = 8.3 m/s

นนคอ อตราเรวเฉลยในชวงเวลา 4-7 วนาท เทากบ 8.3 เมตร/วนาท

ตวอยาง 2 จากตวอยาง 1 ถาชายคนนนเดนถงจด C แลวเดนยอนกลบมาทจด A ดงเดม ใชเวลาทงสน 20 วนาท จงค านวณอตราเรวเฉลยของการเดนน วธท า กรณ x = ระยะเวลาทงหมด = 45+45 = 90 m t = เวลาทงหมด = 20 s

vเฉลย = 20

90 = 4.5 m/s

นนคอ อตราเรวเฉลยตลอดการเดนนเทากบ 4.5 เมตร/วนาท

ตวอยาง 3 รถยนตคนหนงวงออกไปในแนวตรง ดงรป จากขอมลทก าหนดให จงค านวณอตราเรวเฉลยในชวงเวลา 0-5 วนาท และอตราเรว ณ วนาทท 2 วธท า หา V0-5 เมอ V0-5 = อตราเรวเฉลยในชวงเวลา 0-5 s

จาก Vเฉลย = t

x

กรณ x = 30-1 = 30 m t = 5-0 = 5 s

V0-5 = 5

30 = 6 m/s

นนคอ อตราเรวเฉลยในชวงเวลา 0-5 วนาท มคา 6 เมตร/วนาท หา V2 เมอ V2 = อตราเรว ณ วนาทท 2

จาก Vt = tt

x

นอย ๆ และ t เปนจดกงกลางของ t

กรณ x = 16-10 =6 m x = 3-1 =2s

V2 = 2

6 = 3 m/s

นนคอ อตราเรว ณ วนาทท 2 มคา 3 เมตร/วนาท ตวอยาง 4 จากตวอยาง 3 ถาขอมลของระยะทางขณะเวลาตาง ๆ เปนไปตามตารางน ระยะทาง (m) 0 10 20 30 40 50 เวลา (s) 0 1 2 3 4 5 จงค านวณอตราเรวเฉลยในชวงเวลา 0-5 วนาท และอตราเรว ณ วนาทท 2

วธท า หา V0-5 จาก Vเฉลย = t

x

V0-5 = 05

050

= 10 m/s

นนคอ อตราเรวเฉลยในชวงเวลา 0-5 วนาท มคา 10 เมตร/วนาท

หา v2 จาก Vt = tt

x

นอย ๆ และ t เปนจดกงกลางของ t

V2 = 13

1030

= 10 m/s

นนคอ อตราเรว ณ วนาทท 2 มคา 10 เมตร/วนาท หมายเหต จะเหนวา กรณนอตราเรวคงตว เพราะ V0-5 = V2 = 10 m/s และถาเราหา V1 , V3 , V4 กจะได V1 = V2 =V3 = V4 = 10 เมตร/วนาท เชนกน 1.4 การวดอตราเรวของการเคลอนทในแนวตรง ก. วธถายภาพแบบมลตแฟลช เปนวธการทใชในการวดอตราเรวเฉลยของวตถ ซงเคลอนทในชวงเวลาสน ๆ เชน จากรป 6.4 เปนภาพถายแบบมลตเเฟลชของลกบอล 2 ลก โดยถายภาพทก ๆ

30

1 วนาท ลกหนงเคลอนทอยางเสรในแนวดง อกลกหนงเคลอนทโคงแบบโปรเจคไตล ตามสเกลจะ

เหนวาลกบอลทตกอยางเสรจะตกเรวมากขนเรอย ๆ สวนลกทเคลอนทแบบโปรเจคไตลจะมการเคลอนไหวในแนวราดวยอตราเรวคงตว

รป 6.4

ข. เครองเคาะสญญาณเวลา ใชวดอตราเรวเฉลยของวตถซงเคลอนทในเวลา ๆ ดงรป 6.5 รถจะลากแถบกระดาษไปในขณะทปลายเคาะจะเคาะกระดาษใหปรากฏเปนรอยดวยอตราการเคาะท 50ครง/วนาทท าใหเราสามารถศกษาอตราเรวเฉลยของรถไดจากการศกษาแถบกระดาษ

ระยะหางจากจดหนงถดไปบนแถบกระดาษเรยกวา ชวงเวลาจะมคาเทากบ 50

1 เสมอ ไมวา

จดจะใกลกนมากหรอไกลกน ถา VAB เปนอตราเรวเฉลยของรถในชวง AB จะได

รป 6.5

VAB =

50

14

AB

ถากรณใด ๆ ทเราคดระยะทางทงหมดเปน x แลวไดชวงเวลาทงหมด n เราจะไดอตราเรวเฉลยเทากบ Vเฉลย โดยท

Vเฉลย =

50

1n

x ……………….(6-3 )

ตวอยาง 5 รถคนหนงลากแถบกระดาษไปในแนวตรง ดงรป จงค านวณอตราเรวเฉลยในชวง AC และอตราเรวขณะหนง ณ จด B วธท า หา VAC เมอ VAC เปนอตราเรวเฉลยในชวง AC

จาก Vเฉลย =

50

1n

x

VAC =

50

113

109 2

= 0.35 m/s

นนคอ อตราเรวเฉลยในชวง AC มคา 0.35 เมตร/วนาท หา VB เมอ VB เปนอตราเรวขณะหนง ณ จด B

VB =

50

12

DE =

50

12

102 2

= 0.5 m/s

นนคอ อตราเรวขณะหนง ณ จด มคา 0.5 เมตร/วนาท

1.5 การบอกต าแหนงของวตถ เนองจากการเคลอนทของวตถเกยวของกบต าแหนงและการเปลยนต าแหนงของวตถ ดงนนจงตองทราบวธบอกต าแหนงของวตถกอน ดงน ก. การบอกต าแหนงของวตถในแนวเสนตรง (1มต) จะใชเสนตรงหนงเสนนการบอกต าแหนงวตถโดยเปรยบเทยบกบจดอางอง ดงรป 6.6 นาย ก ยนอยตรงต าแหนง –4 หนวยหมายความวา นาย ก อยหางจากจดอางองไปทางซายเปนระยะ 4 หนวย นาย ข ยนอยตรงต าแหนง +2 หนวย จะหมายความวา นาย ข อยหางจากจดอางองไปทางขวาเปนระยะ 2 หนวยการบอกต าแหนงของวตถกรณนจะใชศกษาการเคลอนทในแนวตรง

รป 6.6 ข. การบอกต าแหนงของวตถในระนาบ (2มต) จะใชเสนตรง 2 เสนตดกนทจดก าเนดโดยใหเสนตรงทงสองตงฉากซงกนและกนดงรป 6.7 คอ จดก าเนด ระยะทวดไปทางขวาและเหนอจดก าเนดก าหนดใหเปนบวก สวนระยะทวดไปทางซายและลางของจดก าเนดก าหนดใหเปนลบ ต าแหนงของวตถทอยในระนาบบอกไดดวยคล าดบ (X, Y) X คอระยะจากจดก านดในแกน X, y คอระยะจากจดก าเนดในแกน y เชน วตถทอยทจด ก. ข. ค. และ ง. ดงรป6.7 จะตรงอยต าแหนง (2.3) (-3,3) ,(-3,-2) ,(2,-2) เปนตน

รป 6.7 รป 6.8 รป 6.9 รป 6.8 วตถทอยต าแหนง A มคล าดบเปน (x, y)เราสามารถค านวณระยะจากจดก าเนด 0 ไปยงต าแหนง A ไดดงน OA = 22 yx …………..(6.4) รป 6.9 วตถอยทต าแหนง A, B มคล าดบเปน (x1, y1) และ(x2, y2) ตามล าดบ เราสามรถค านวณระยะจาก A ถง B ไดดงน

AB = 212

2

12 yyxx …………..(6.5) ค. การบอกต าแหนงของวตถในอากาศ ( 3 มต ) จะใชเสนตรง 3 เสน เรยกวาแกน x แกน y และแกน z ตงฉากซงกนและกน ตดกนทจดก าเนด O ดงรป 6.10

รป 6.10 วตถทต าแหนง A (x, y, z) หมายความวา ถาฉายไฟดานบนในแนวแกน z จะเหนเงาของ A ปรากฏบนระนาบ xy ท A/ โดยท A จะอยหางจากแกน Y เปนระยะ x และหางจากแกน X เปนระยะ y จาก A ถาลากเสนตรงขนานกบ A/O จะไปตดทแกน Z ท z ระยะจากจดก าเนด O ถงต าแหนง A สามารถหาไดจาก

OA = 222 zyx ……………..(6.6) ตวอยาง 6 จากรป เดมวตถอยทต าแหนง A ในเวลาตอมายายไปอยทต าแหนง B ถามวาในการเปลยนต าแหนงนจะไดระยะทางสนทสดเทาไร วธท า จากรปในการเปลยนต าแหนงจาก A ไป B จะไดระยะทางสนทสด เทากบเสนตรง AB และจะเหนวาคล าดบของต าแหนง A และ B คอ (1,4) และ (5,1) ตามล าดบ จากสมการ(1-2)จงได AB = 5)41()15( 22 นนคอ ระยะทางสนทสดมคาเทากบ 5 หนวย

1.6 การรวมเวกตอร ในทางฟสกสมปรมาณอยหลายตวทตองศกษา เชน การกระจด ระยะทาง อตราเรวความเรง อตราเรง มวล น าหนก เวลา ฯลฯ ปรมาณเหลานเมอดสมบตบางอยางแลวสามารถแบงไดเปน ปรมาณสเกลาร และปรมาณเวกเตอร

ปรมาณสเกลาร คอ ปรมาณทมแตขนาดเพยงอยางเดยวไมมทศทาง เชน จ านวนนกเรยนในหอง ราคาบาน ระยะทาง อตราเรว มวล ฯลฯ การน าปรมาณสเกลารมาบวก ลบ กนกระท าไดงายมาก โดยท าไดเชนเดยวกบการบวกและลบเลขธรรมดา ปรมาณเวกเตอร คอ ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง เชน การกระจด ความเรว ความเรง น าหนก แรง ฯลฯ ปรมาณเวกเตอรจะเขยนแทนดวยลกศร ขนาดความยาวของลกศรจะเทากบขนาดของปรมาณเวกเตอรนน สวนทศทางของลกศรจะแสดงทศทางของปรมาณเวกเตอรนน

ก. การบวกเวกเตอร ให Pและ Q

เปนเวกเตอรทมขนาดและทศทาง ดงรป6.11 ในการหา

ผลรวมของเวกเตอรทงสองน สามารถท าไดหลายวธ วธหนงคอ เขยนเวกเตอร P

และQ

แบบตอหางตอหว และลากเสนจากจดเรมตนไปยงจดปลาย จะไดเวกเตอรR

ซงเปนผลรวมของ P

และQ

อยคน

ละแนวเสนทแยงมมของสเหลยมดานขนานทสรางขนจะเปนผลรวมของเวกเตอรทงสอง ดงรป 6.12

รป 6.11 รป 6.12

ถาให P, Q และR เปนขนาดของเวกเตอร P

, Q

และ R

ตามล าดบ ดงปรากฏในรป 6.12 จะได

sin

R

sin

Q

sin

P ……………(6-7)

และ cosPQ2QPR 222 ……………(6-8) ข. การลบเวกเตอร มหลกการคลายการบวกเวกเตอร เชน ถาเราตองการหาคา QP

โดยท

เวกเตอร PและQ

มทศทางและขนาดดงรป 6.11 หรอ 6.12 สามรถใชวธหางตอหางหรอสรางสเหลยม

ดานขนานกได โดยจะได

)Q(PR

ซง - Q

กบQ

จะมขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขาม ดรป 6.13 และ 6.14 ประกอบ และสมการ (6-

7) และ (6-8) สามารถน ามาประยกตใชไดเชนกน

รป 6.13

รป 6.14 ตวอยาง 7 ก าหนดให C,B,A

เปนเวกเตอรทมขนาดและทศทางตามทก าหนดในรป จงเขยนรปเพอ

แสดงวธการหา ก. CBA

ข. CBA

วธท า จะแสดงการเขยนรปเพอหาผลลพธของการบวกและลบตามทโจทยตองการโดยใชวธหางตอหว 1.7 การกระจด

รป 6.15 จากรป 6.15 วางวตถไวทจด A มคล าดบเปน(x1,y2) ตอมายายวตถไปยงจด B ซงมคล าดบเปน(x2,y2) ในการยายต าแหนงจากจด A ไปจด B เราสามารถกระท าไดหลายทาง อาจจะใชทาง1,2 และ 3 กสามารถยายจาก A ไป B ไดทงนน แตจะมเสนทางหนงทใชระยะทางสนทสด เสนทางนนคอเสนตรงทตอระหวางจด A กบ B จากรปคอ เสนทาง 2 ลกศรทชจาก A ไป B แลละมขนาดความยาวเทากบ AB เรยกวา การกระจด(displacement) ดงนน การกระจดจงเปนปรมาณเวกเตอร มหนวยเปน เมตร การกระจดแตกตางกนระยะทาง (distance) ตรงทระยะทางสนใจเพยงขนาด ไมสนใจทศทาง และระยะทางจะเปนระยะจรงๆ เกดจากการยายต าแหนง เชน ในรป 6.15 ถาเรายายวตถจากต าแหนง A ไปยง B ตามเสนทาง 1 ระยะทางจะหมายถงระยะจรงๆ วดตามเสนโคงไปมาจนถง B สวนการกระจดจะเทากบความยาว AB และทศพงจาก A ไป B เปนตน หากจะนยามกรกระจดอาจกลาววา “การกระจด คอ ระยะทางทสนทสดในการยายต าแหนงจดคหนง” การค านวณขนาดขอการกระจดสามารถท าไดโดยใชสมการ (6-5)

ตวอยาง 8 ชายคนหนงเดนจากจดอางอง 0 ไปตามลกศร แลวหยดนงทต าแหนง 4 เมตร จงหาขนาดของการกระจดและระยะทางทงหมด วธท า หา d เมอ d เปนขนาดของการกระจด จะได d = ระยะ OB = 4m นนคอ ขนาดของการกระจดของการเดนนเทากบ 4 เมตร และมทศพงไปทางขวามอ (จากO ไปB) หา S เมอ s เปนระยะทางทงหมด จะได s = ระยะ OA+ระยะ AB = 6+2 = 8m นนคอ ระยะทางทงหมดเทากบ 8 เมตร ตวอยาง 9 จากรป ยายวตถจาก A ไป B ตามเสนทางทก าหนด จงค านวณขนาดของการกระจดและทศทางของการกระจด (บอกเปนมมซงเทยบกบแกน X)

วธท า ในการยายต าแหนงจาก A ไป B ตามเสนทางทโจทยก าหนด จะไดระยะทางทสนทสดเทากบเสนตรง AB ใหมคาเปน d

ขนาดของ d

สามารถค านวณไดโดยอาศยสมการ (6-5) ซงจะได (ดรป

ประกอบ)

22 525525 d = 20 2 m ……………….(1)

ให เปนมมท d

เทยบกบแกน X จงเปนมมบอกทศทางของ d

จาก ABC จะได

AC

BCtan = 1

525

525

045 นนคอ การกระจดมขนาด 20 2 เมตร ท ามม 45 องศากบแกน X ตวอยาง 10 ยายวตถไปทางทศตะวนออก 12 เมตร จากนนยายขนไปทางทศเหนอเปนระยะทาง 16 เมตร จงค านวณการกระจดและระยะทางจากจดเรมตนถงจดปลาย วธท า จากรป วตถถกยายจาก A ไป B (ไปทางทศตะวนออก) 12 m และจาก B ไปC (ไปทางทศเหนอ) 16 m จะได d

เปนการกระจดระหวางจดเรมตนกบจดปลาย จะไดขนาดของ d

เปน

d = 22BCAB = 22 )16()12( = 20 m ……………..(1)

ให s เปนระยะหางจากจดเรมตนถงจดปลาย ดงนนได s = AB+BC 12 = 12+16 = 28 m ……………..(2) นนคอ การกระจดมคา 20 เมตร แตระยะทางมคา 28 เมตร

1.8 ความเรว ความเรว (velocity) นยามวา “เปนอตราการเปลยนเเปลงการกระจด “ พจารณาการเคลอนทของรถยนตในแนวเสนตรง (หรอวตถอนใดทเคลอนทในแนวเสนตรง) เรมออกจากจด O เมอน าคาการกระจดของรถยนตทเวลาตาง ๆ กนไปเขยนกราฟ โดยเขยนระหวางการกระจดกบเวลา สมมตวาไดกราฟ ดงรป 6.16 จากกราฟการกระจด –เวลา สามารถสรปไดเปนขอ ๆ ดงน ความเรวเฉลย ตามนยามความเรวเราสามารถค านวณคาความเรวในชวงเวลาจาก t1 ถง t2 ไดดงน

V

เฉลย = t

s

= 12

12

tt

ss

……………….(6-9)

เมอ Vเฉลย เปนความเรวเฉลย s

เปนการกระจดทเปลยนไปในชวงเวลา t โดยท 12 sss

และ 12 ttt จากกราฟจะพบวา Vเฉลย มคาเทากบความชนของเสนตรง AB เพราะ

ความชน = tan = 12

12

tt

ss

AC

BC

…………….(6-10)

รป 6.16 ความเรวขณะหนง เปนความเรว ณ เวลาใดเวลาหนง นยามวา

V

ขณะหนง = 0tt

s

………………….(6.11)

เมอ V

ขณะหนง เปนความเรว ณ เวลาทเปนจดกงกลางเวลา t จากกราฟในรป 6.16 เราสามารถพจารณาความเรวขณะหนงไดจากความชนกราฟ เชน ถา 3V

เปนความเรวขณะ t3 เราจะได

3V

= ความชนของเสน MN ซงสมผสกราฟตรงจดเวลา

ตวอยาง 11 ชายคนหนงวงจากจดเรมตนไปถงตไปรษณย A แลยอนกลบไปหยดทใตตนไม B กนเวลาทงสน 10 วนาทพอด จงค านวณความเรวและอตราเรวเฉลยของชายคนนน วธท า การทชายคนนนวงจากจดเรมตนไป A แลวยอนกลบไปหยดทจดใตตนไม B จะไดการกระจดทงสนเทากบ s โดยท s = -20 m ………………(1) ตามนยามของความเรวเฉลยจะไดความเรวเฉลย V

เฉลย เปน

V

เฉลย = 2010

020

m/s ………………(2)

เครองหมายลบของความเรวเฉลยทไดในสมการ(2) หมายถง ชายคนนนก าลงวงไปทางซายของ จดเรมตน

นนคอ ความเรวเฉลยของชายคนนนเทากบ –2 เมตร/วนาท การวงของชายคนนนจากจดเรมตนไป A แลวยอนกลบไปหยดทจดใตตนไม B จะไดระยะทางทงสนเทากบ d โดยท d = 40+40 +20 =100 m ………………….(3)

ตามนยามของอตราเรวเฉลยจะไดอตราเรวเฉลย Vเฉลย เปน Vเฉลย = 10

100 = 10 m/s

นนคอ อตราเรวเฉลยของชายคนนนเทากบ 10 เมตร/วนาท ตวอยาง 12 ในการเคลอนทแบบเสนตรงของรถยนต 2 คน P และ Q เมอน าการกระจดเขยนกราฟกบเวลาจะไดดงรป จงค านวณความเรวเฉลยของรถ P และ Q ในชวงเวลาจาก 0 ถง 10 วนาท

วธท า เราสามารถค านวณความเรวเฉลยของรถ P และ Q ไดตามสมการ (6-9) ให 1V

และ 2V

เปนความเรวเฉลยของรถ P และ Q ตามล าดบ จงได

010

0100V1

10 m/s และ 0

010

100100V2

m/s

นนคอ ความเรวเฉลยของรถ P และ Q เปน 10 และ 0 เมตร/วนาท ตวอยาง 13 จากรป ชายคนหนงเดนทางจากต าบล A ไปต าบล E ตามเสนทางทผานต าบล B,C และ D ใชเวลาทงสน 15 วนาท จงค านวณความเรวและอตราเรวในการเดนของชายคน วธท า การเดนทางของชายคนนจาก A ไป E จะไดการการะจดเทากบ EA

โดยท

EDDCCBBAEA

………..(1) จากรปทก าหนดให จะได AB = 3 m ………..(2) BC = 6m …………(3) CD = 22 )3()3( = 3 2 m …………(4) DE = 22 )3()2( = 13 m …………(5) ถา d เปนระยะทางทงหมดทชายคนนนเดนจาก A ไป E ตามเสนทางทก าหนด จะได d = AB+BC+CD+DE = 3+6+3 132 = 16.85 m ……….(6) สวนขนาดของการกระจดจาก A ไป B คอ AE สามารถหาไดจาก AE = 22 )6()8( = 10 m ……….(7)

จากนยามของอตราเรวเฉลยกรณจะไดความเรวเฉลย Vเฉลย เปน Vเฉลย = เวลาAE = 0.67 m/s

จากนยามของอตราเรวเฉลยกรณจะไดความเรวเฉลย Vเฉลย เปน

Vเฉลย = 15

85.16d

เวลา = 1.12 m/s

นนคอ ชายคนนนมความเรวเทากบ 0.67 เมตร/วนาท และมอตราเรว 1.12 เมตรตอวนาท

ตวอยาง 14 รถคนหนงวงไปบนพนราบดวยความเรวคงท 10 เมตร/วนาท ตอมาวงดวยความ 20 เมตร/วนาท และมทศเปลยนไปจากเดม 60 องศา จงค านวณความเรวลพธของรถคนน วธท า ความเรวเปนปรมาณเวกเตอรแตอตราเรวเปนปรมาณสเกลาร ดงนนในการบวกลบความ เรวเพอหาความเรวลพธจงตองระวง เพราะตองบวกลบแบบเวกเตอร ให V

1 และ V

2 เปนความเรวในตอนแรกและตอนหลง ให V

เปนความเรวลพธ จะได

21 VVV

ขอใหดประกอบโดยจะหาขนาดของความเรวลพธ V

ดวยการเขยนสเหลยมดานขนาน

อาศยสมการ(6-8) จะได 0

2121 60cosVV2VVV

เมอ V1 และ V2 เปนขนาดของ 1V

และ 2V

ตามล าดบ

0222 60cos)20)(10(2)20()10(V V = 26.5 m/s นนคอ ความเรวลพธของงรถคนนมคา 26.5 เมตร/วนาท

1.10 ความเรง ความเรง นยามวา”เปนอตราเปลยนความเรว” พจารณาการเคลอนทของรถยนตในแนวเสนตรง (หรอวตถอนใดในแนวเสนตรง) เรมตนจากจดหยดนง ท O วงออกไปเมอน าความเรวของรถยนตทเวลาตาง ๆ กนไปเขยนกราฟจะไดกราฟ ดงรป 6.17

รป 6.17

จากกราฟ ความเรว-เวลา สามารถสรปไดเปนขอ ๆ ดงตอไปน ความเรงเฉลย ตามนยามความเรงเราสามารถค านวณคาความเรงเฉลยในชวงเวลาจาก t1 ถง t2 ไดดงน

a เฉลย = t

v

tt

vv

12

12

……………(6-12)

เมอ a เฉลย เปนความเรงในชวงเวลาดงกลาว มหนวยเปน เมตร/วนาท2; (m/s2) มทศทางไปทางเดยวกบ 12 VV

และจากกราฟจะพบวาคาa

เฉลย นมคาเทากบความชน ของเสนตรง AB เพราะ

ความชน = tan12

12

tt

vv

AC

BC

…………………(6-13)

ความเรงขณะใดขณะหนง จากกราฟในรป 6.17 ความเรงขณะใดขณะหนง เชน ขณะเวลา t3 สามารถหาไดโดยการลากเสนตรง MN ให สมผสเสนกราฟทจด P คาความชนของเสนตรง MN ทไดจะเปนคาความเรว ขณะเวลา t3 เปนตน หรอคดค านวณจากสมการ(6-12) โดยให t3 เปนจดกงกลางเวลา t และ 0t พนทใตกราฟความเรว-เวลาคอการกระจด จากกราฟในรป 6.17 การเคลอนทของรถยนตในเวลา t2 ไป t3 เราสามารถหาการกระจดในชวงเวลาดงกลาวไดดวยการหาพนทใตกราฟสวนทแรเงา ลกษณะพเศษของกราฟความเรว-เวลากบความหมาย ส าหรบวตถทเคลอนทเปนเสนตรง

รป 6.18 แสดงวา ความเรวคงท และวงออกจากจดอางองไปทางขวา รป 6.19

แสดงวา ความเรวคงทมคาเปนบวก เมอเวลาเพมขนความเรวกเพมขน และวงออกจากจดอางองไปทางขวา เพราะ ความเรวมคาเปนบวก รป 6.21 แสดงวา ความเรวคงทมคาเปนลบ เมอเวลาเพมขนความเรวลดลง กรณนมชอเรยกเฉพาะวา ความหนาง วตถวงออกจากจดอางองไปทางขวา เพราะ ความเรวมคาเปนบวก

รป 6.21 แสดง ถงปฏกรยาทาทางของมนษทก าลงอยภายใตการเคลอนททมความเรงประมาณ 200 เมตร/วนาท ตวอยาง 15 รถยนตคนหนงเคลอนทในแนวเสนตรงไดกราฟความเรวเวลา ดงรป

ก. จงอธบายการเคลอนทของรถยนต ข. จงหาการกระจดเมอสนวนาทท 6

ค. จงหาคาเฉลยของความเรวในชวงเวลา 0 ถง 6 วนาท ง จงหาคาความเรงเฉลยในชวงเวลา 0 ถง 3 วนาท

วธท า ก. พจารณาจากกราฟความเรว-เวลา จะเหนวารถยนตเรมออกจากจดเรมตนเมอเวลา 0 ดวยความเรว 0 m/s แลววงออกไปทางขวาของจดอางอง เพราะหลงจากวนาทท 0 ไปแลวความเรวเปนบวก ในชวง 0 ถง 3 s รถยนตจะวงดวยความเรง คงทจนมความเรวสงสด 30 m/s จาก 3ถง 6 s รถยนตจะวงดวยความหนวง ความเรวจะลดลงจาก 30 m/s จนเปน0 m/s เมอสนวนาทท 6 ดรปประกอบ ข. ถา s เปนการกระจดของรถยนตเมอสนวนาทท 6 จะได (ดรปกราฟ) s = พนทสามเหลยมทแรเงา

= )30)(6(2

1 = 90 m

นนคอ การกระจดเมอสนวนาทท 6มคา 90 เมตร

ค. ถา V

เฉลย เปนความเรวเฉลยในชวงเวลา 0 ถง 6 วนาท จะได

V

เฉลย =t

s

= 6

90 = 15 m/s

นนคอ เปนความเรวเฉลยในชวงเวลา 0 ถง 6 วนาท มคา 15 เมตร/วนาท ง. ถา aเฉลย เปนความเรงในชวงเวลา 0 ถง 3 จากสมการ(6-12) จะได

aเฉลย =03

030

=10 m/s2

นนคอ ความเรงเฉลยในชวงเวลา 0 ถง 3 วนาท เ เทากบ 10 เมตร/วนาท2 ตวอยาง 16 รถยนตคนหนงเคลอนทในแนวเสนตรงไดกราฟ ความเรว-เวลา ตามรป

ก. จงอธบายการเคลอนทของรถยนต ข. จงหาการกระจดและระยะทางเมอสนวนาทท 4 ค. จงหาความเรวเฉลยและอตราเรวเฉลยในชวงเวลาจาก 0ถง 4 วนาท ง. จงหาความเรงเฉลยในชวงเวลา 1.11 ถง 2.5 วนาท

วธท า ก. พจารณาจากกราฟความเรว-เวลาทโจทยก าหนดให จะเหนวารถยนตเรมออกจากจดเรมตนเมอเวลา 0 s ดวยความเรว 0 m/s แลววงออกไปทางขวาจากจดอางอง เพราะหลงจากวนาทท 0 ไปแลวความเรวเปนบวก ในชวง 0 ถง 1 s รถยนตจะวงดวยความเรวคงทจนมความเรวสงสด 20 m/s จาก 1 ถง 2 s รถยนตจะวงดวยความหนวง คงท ความเรวจะลดลงจาก 20 m/s จนเปน 0 m/s จาก 2 ถง 3 s ความเรวของรถยนตเปนลบ แสดงวารถยนตวงยอนกลบทางเดมจนมความเรวสงสด –20 m/s จาก 3 ถง 4s รถยนตจะวงเขาหาจดเรมตนหรอจดอางองชาลงและจะหยดนงทจดอางองเมอสนวนาทท 4 ดรปประกอบ ข.ให s และ d เปนการกระจดและระยะทางเมอสนวนาทท 4 ตามล าดบ อาศยหลกทวาพนทใตกราฟความเรว-เวลา คอ การกระจด ดงนนจะได S = พนท )(A พนท )(B

= )20)(2(2

1)20)(2(

2

1 = 20-20 =0 m

d = พนท )(A พนท )(B = 20+20 = 40 m นนคอ เมอสนวนาทท 4 จะไดการกระจดและระยะทางเทากบ 0 และ 40 เมตร ตามล าดบ ขอสงเกต ในการค านวณการรกระจดโดยหาพนทใตกราฟความเรว-เวลา จะตองคดเคลอนหมายของความเรวดวย เชน พนทใตกราฟ (B) เปนลบกเพราะความเรวเปนลบ แตในทางตรงขามถาคดระยะทางไมตองคดเครองหมายลบเลยจบบวกกนหมด ค. ให V

เฉลย และ Vเฉลย เปนความเรวเฉลยและอตราเรวเฉลยในชวงเวลาจาก 0 ถง 4s จากนยาม

ของความเรวและอตราเรวได

V

เฉลย = t

s

= 4

0 = 0 m/s

V =เวลา

ระยะทาง = t

x

= 4

40 = 10 m/s

นนคอ ในชวงเวลา 0 ถง 4 วนาท ความเรวเฉลยและอตราเรวเฉลยจะมคาเทากบ 0 และ 10 เมตร/วนาท ง. เนองจากกราฟในชวงเวลา 1 ถง 3 s เปนเสนตรงตอเนองกนตลอด แสดงวาความเรงในชวงเวลาดงกลาวคงท ดงนนความเรงเฉลยในชวงเวลาใด ๆ กตามทอยระหวาง 1 ถง 3 s จะไดคาเทากนหมด โจทยใหหาความเรงเฉลยในชวงเวลา 1.11 ถง 2.5 s เราจงเลอกหาความเรงเฉลยในชวงเวลา 1 ถง3 s เพราะสะดวกกวา ถา a เฉลย เปนความเรงในชวงเวลา 1 ถง 3 s ซงเทากบความเรงเฉลยในชวงเวลา 1.11 ถง 2.5 จะได

a เฉลย = 2013

)20(20

m/s

นนคอ ความเรงเฉลยในชวงเวลา 1.11 ถง 2.5 วนาท มคา -20 เมตร/วนาท ตวอยาง 17 จากตวอยาง 16 กราฟทเขยนระหวางความเรงกบเวลาในขอใดตอไปนทสอดคลองกบกราฟความเรว-เวลา ในตวอยาง 16

วธท า ค าตอบทถกตองคอขอ 1 จากกราฟความเรวเวลา ในตวอยางท 16 ชวงเวลา 0 ถง 1 s กราฟเอยงขวาความชนเปนบวก แสดงวาความเรงคงทเปนบวก ชวงเวลาจาก 1 ถง 3 s กราฟเอยงซาย ความชนเปนลบ แสดงวาความเรงคงทเปนลบ ชวงเวลาจาก 3 ถง 4 s กราฟกลบมาเอยงขวาอกครงหนง ความชนจงเปนบวก แสดงวาความเรงคงทเปนบวก ซงกราฟในขอ 1 สอดคลองตลอดชวงเวลา ตวอยาง 18 จากกราฟความเรว-เวลา ซงแสดงการเดนทางในชวงเวลา A,B,C และ D ก. จงหาระยะทางทเคลอนทไปไดใน 0.5 ชวโมง ข. จงหาอตราเรวเฉลยในชวง 0.2 ชวโมงแรก วธท า ก. พนทใตกราฟความเรว-เวลา คอ การกระจด ถาs1 เปนการกระจดในลวงเวลาจาก 0 ถง 0.5 hr จะ ได s1 = พนท คางหม ( ในชวง 0-0.3 hr) + พนท คางหม (ในชวง0.3 –0.5 hr)

= 5.18)2.0)(1050(2

1)50)(3.02.0(

2

1 km

นนคอ ระยะทางทเคลอนทไดใน 0.5 ชวโมงเทากบ 18.5 กโลเมตร ข.หาอตราเรวเฉลยใน 0.2 hr จะได

s2 = พนท คางหม ( ในชวง 0-0.2 hr)

= 5.7)50)(2.01.0(2

1 km

ให Vเฉลย เปนอตราเรวเฉลยใน 0.2 แรกจะได

Vเฉลย = 2.0

5.7 = 37.5 km/hr

นนคอ อตราเฉลยใน 0.2ชวโมงแรก มคา 37.5 กโลเมตรตอชวโมง

ตวอยาง19 การเคลอนทของวตถชนดหนงทสามารถเขยนกราฟความเรว –เวลา ไดดงรป จงหา ก. การกระจดเมอสนวนาทท 4 ข. ความเรง ณ เวลา 1 วนาท วธท า ก. พนทใตกราฟความเรว - เวลา คอการกระจดเมอสนวนาท 4 จะได S = พนทสวนทแรเงาบางๆ ทงหมด (รวม ( A ) ดวย) แตการค านวณพนทสวนทแรเงาบางๆ ทงหมด โดยตรงท าไดยาก เพราะกราฟโคงเปนคลนรปไซน (sine wave ) อยางไรกตามจะเหนวาพนทสวนทแรเงาดวยเสน ( A ) และ (B )แทนกนไดพอด ดงนนพนทสเหลยมผนผาโดยมความกวาง 20 m/sและยาว4 s จงได S = 20x 10= 80 m นนคอ การกระจดเมอสนวนาทท 4 มคาเทากบ 80 เมตร ข. ความเรง ณ เวลา 1 s จะเทากบความชนของเสนตรงทเราลากสมผสเสนกราฟทจด p เสนตรงทเราลากดงกลาวนจะขนานกบแกน เวลาซงจะไดความชนของเสนตรงนมคาเทากบ ศนย จงไดความเรง ณ เวลา 1 s เทากบ ศนยดวย นนคอ ความเรง ณ เวลา1 วนาท มคา 0 เมตรตอวนาท2 ตวอยาง 20 รถ A แลนดวยความเรวคงท 40 กโลเมตรตอชวโมง ผานรถ B ซงก าลงออกแลนดวยความเรงคงทจนมความเรวคงท 60 กโลเมตรตอชวโมง ซงกราฟความเรว - เวลาของรถทงสองคนเปนดงรป ถาจะใหรถ B แลนทนรถ A รถ B จะตองแลนนานเทาไรและไดทางเทาไร

วธท า ให เปนเวลาทรถ B วงมาทนรถ A พอด ขณะนน แสดงวารถ A และ B วงไดทางเทากน ดงนน จากรปในชวงเวลาจาก 0 ถง t พนทใตกราฟ ความเรว – เวลา ของรถ A จะเทากบรถ B จงได พนทใตกราฟ A = พนทใตกราฟ B

( 40 km/hr)( t ) = hr/km60t60t2

1

4t = 3(2t-60) 4t = 6t-180 t = 90 s ………………(1) ให s เปนระยะทางทรถ Bแลนไดขณะทวงมาทนรถ A พอด จะได s = (40 km/hr )(90 s) = 1 km = 1,000 m ………………(2) นนคอ รถ B แลนนาน 90 วนาทจงหนรถ A ทระยะ 1,000 เมตร ตวอยางท 21 คนขบรถแขงกบรถดวยอตราเรวคงท 120 กโลเมตรตอชวโมงซง อานไดจากหนาปด ขณะทรถพงเขาทางโคงคนขบรถมอตราเรว 120 กโลเมตรตอชวโมงตลอดเวลา รถมความเรงหรอไมเพราะเหตใด วธท า ค าตอบคอ รถมความเรง

จากรป สมมตแขงวงดวยอตราเรว v ความเรวเปน v ก าลงวงเขาโคง ขณะทรถเปลยนต าแหนงจาก A ไป B ความเรวจะเปลยนไปท ามม กบแนวเดมคอ v ไมเปลยน ถา 3v

เปนความเรวทเปลยนไป จะได 3v

= 2v + (- 1v

) ถาในการเปลยนต าแหนงจาก A ไป B ใชเวลา t เราจะไดความเรงของรถแขงเปน

t

va 3

เมอ a เปนความเรงของรถแขง ดงนน จงเหนไดวาแมวารถจะมอตราเรวคงทตลอดเวลา แตความเรวอาจเปลยนไดจงท าใหรถมความเรงได 1.11 การเคลอนทของวตถทตกแบบเสร เมอปลอยใหวตถตกจากทสงลงสพน ความเรวของวตถจะเพมขนตลอดเวลา นนคอ วตถมความเรง ถาวตถตกลงสพนภายใตแรงดงดดของโลกเพยงแรงเดยว (ไมคดแรงภายนอกอนๆ รวมทงแรงตานของอากาศ) เรยกการตกของวตถนวา “การตกแบบเสร” และเรยกความเรงของวตถทตกแบบเสรนวา “ความเรงเนองจากแรงดงดดของโลก” ซงแทนดวยสญลกษณ g และมทศเขาสศนยกลางของโลก มคาเทากบ 9.8 m/s2 หรอ 10 m/s2 และถอวามคาคงตวบรเวณผวโลก *********************************************************************************

*