ปรภมสามมต (3-1)

จดในระนาบสองมต (2D) ประกอบดวยคอนดบ (x, y)จดในปรภมสามมต ประกอบดวย สามสงอนดบ (x, y, z)O = (0, 0, 0) แทนจดกำาเนด

ระนาบ xy = {(x, y, z) | z = 0}, ระนาบ xz = {(x, y, z) | y = 0}, ระนาบ yz = {(x, y, z) | x = 0} โดยทกระนาบตงฉากกนทกคจดในปรภมเขยนแทนดวย P(a, b, c) แสดงดวยภาพดงน

สตรของระยะ:กำาหนดให P1(x1, y1, z1) และ P2(x2, y2, z2) แทนจดในปรภมสามมต

∣P1P2∣=√(x1−x2)2+( y1− y2)

2+(z1−z2)2

สมการทรงกลมทมจดศนยกลางอยท (h, k, l) และรศมคอ r เขยนไดในรปของ(x−h)

2+( y−k )

2+(z−l )

2=r

2

1. จงลงจด (0.5, 2), (4.0, -1), (2, 4.5) และ (1, -1.2) บนระนาบสองมต

ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________2. จงอธบายพรอมรางผวโคงในปรภมสามมตของวตถทเขยนแทนดวยสมการ x + y = 1.

3. จงแสดงวาสามเหลยมทมจดมมเปน P(-2, 4, 0), Q(1, 2, -1) และ R(-1, 1, 2) คอสามเหลยมดานเทา

4. จงหาสมการทรงกลมทผานจดกำาเนดและมจดศนยกลางอยทจด (3, 2, 1)

เวกเตอร (3-2)

เวกเตอรทมจดเรมตนทจด A และจดปลายทจด B เขยนแทนดวย v=ABกำาหนดจด A(x1, y1, z1) และ B(x2, y2, z2),

v=AB=( x2−x1 , y2− y1 , z 2−z 1)

ความยาวหรอขนาดของเวกเตอร v = (v1, v2, v3) คอ |v|=√v1

2+v2

2+v3

2

ถา a=(a1,a2,a3) และ b=(b1, b2, b3) และ c เปนสเกลาร แลว

a+ b=(a1+b1 , a2+b2 , a3+b3), c a=(ca1 , c a2 , c a3)

เวกเตอรมาตรฐานไดแก i=(1 ,0 ,0) , j=(0 ,1 ,0) , k=(0 ,0 ,1)

ดงนน, v=v1 i +v 2 j+v3 k

สมบตของเวกเตอรถา a , b และ u เปนเวกเตอรในปรภมสามมต และ c, d คอสเกลาร แลว

1. a+ b= b+ a

2. a+( b+ u)=(a+b)+ u

3. a+ 0= a

4. a+(−a)= 0

5. c(a+ b)=c a+c b

6. (c+d) a=c a+d b

7. (c d) a=c (d a)

8. 1 a= a1. จงหาผลบวกของเวกเตอรทกำาหนด พรอมแสดงกราฟของเวกเตอรดงกลาว (3, -1, 2), (2, 0, 1), (-1, 1, 0), (0, 2, 1)

2. จงหาเวกเตอรหนวยทมทศเดยวกบเวกเตอร (3, -4, 0)

3. ถา v ชไปยงจตภาพแรกและทำามม π3

กบแกน x และ ∣v∣=2, จงเขยนสวนประกอบ

ของเวกเตอร v

ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________ผลคณจด (DOT product)ถา a=(a1,a2,a3) and b=(b1, b2,b3) แลว

a⋅b=a 1b1+a2b 2+a3b3

สมบตของผลคณจด

1. a⋅a=∣a∣2

2. a⋅b=b⋅a

3. a⋅( b+ c)= a⋅b+ a⋅c

4. (k a)⋅b=k (a⋅b)= a⋅k b

5. 0⋅a=a

สตรอกรปแบบคอ a⋅b=|a||b|cos(θ)

ถา a⋅b=0 แลว เวกเตอรทงคตงฉากกนถา a⋅b>0 แลว เวกเตอรทงคทำามมแหลมกนถา a⋅b<0 แลว เวกเตอรทงคทำามมปานกน3. จงหาคาของ a⋅b และมมของเวกเตอรเมอ a=(1,1, 1) and b=(−1, 1,0) .

มมแสดงทศทาง

cos(α) =a1

∣a∣

cos(β) =a

2

∣a∣

cos(γ) =a3

∣a∣

ภาพฉาย

ภาพฉายสเกลารของ b บน a คอ compa(b)=a⋅b

|a|

เวกเตอรภาพฉายของ b บน a คอ proja(b)=a⋅b

|a|2a

4. จงหาเวกเตอรภาพฉายของเวกเตอร (2, 1, -1) บน (0, 2, 1)

5. จงแสดงวา i⋅ j= i⋅k= j⋅k และ i⋅i= j⋅ j= k⋅k=1

6. จงหาคา b ททำาใหเวกเตอร (-6, b, 2) และ (b, b2, b) ตงฉากกน?

เวกเตอร (3-3)ผลคณไขว (Cross product)กำาหนดเวกเตอร a=(a1,a2,a3) and b=(b1,b2,b3) , ผลคณไขวของ a and b

คอ a×b=(a2b3−a3b2 , a3 b1−a1b 3 ,a1b2−a 2b1)

มคาเทากบการคำานวณดเทอรมเนนตของ ∣i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣ทฤษฎบท:เวกเตอร a× b ตวฉากกบเวกเตอร a และ b

ถา θ คอมมระหวางเวกเตอร a and b จะไดวา |a× b|=|a||b|sin (θ)

ทฤษฎบท:เวกเตอรสองเวกเตอร a , b ขนาดกน กตอเมอ a×b=0 1. จงหาพนทของสามเหลยมทมจดยอดอยท P(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1), R(1, -1, 1)

ทฤษฎบท

1. a×b=−b×a

2. (k a)× b=k ( a×b)= a×(k b)

3. a×( b+ c)=a×b+a×c

4. ( a+ b)× c=(a×c)+( b×c )

5. a⋅( b× c)=(a× b)⋅c

6. a×( b× c)=(a⋅c) b−(a⋅b) c

2. สมมตวา a≠ 0

2.1 ถา a⋅b=a⋅c , แลวจรงหรอไมท b= c ?

2.2 ถา a× b=a× c , แลวจรงหรอไมท b= c ?

2.3 ถา a× b=a× c and a⋅b=a⋅c , แลวจรงหรอไมท b= c ?

3. จงแสดงวา (a−b)×(a+ b)=2(a× b)

ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________ปรมาตรของทรงเหลยมดานขนานปรมาตรของทรงเหลยมดานขนานทสรางจากเวกเตอร a , b , c คอV=A h=|b× c||a||cos (θ)|=|a⋅(b× c )|

4. จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร เพอแสดงวาเวกเตอรทงหมดรวมระนาบa=(1, 4,−7) , b=(2,−1, 4) , c=(0,−9, 18)

5. จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรเพอตดสนวา จดทงหมดอยบนระนาบเดยวกน P(1, 0, 1), Q(2, 4, 6), R(3, -1, 2) และ S(6, 2, 8)

สมการของเสนและระนาบ (3-4)เสนตรง L เกดจากจด r0 = (x0, y0, z0) และเวกเตอรแสดงทศทาง v=(a ,b , c) ทขนานกบเสนตรง เรยก สมการทไดวา สมการเชงเวกเตอร (The vector equation)

(x , y , z )=(x0, y0, z0)+ t(a ,b , c) . สมการองพาราเมทรกซเสรม (The parametric equation): x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct.เมอเรากำาจดพารามเตอร t, สมการสมมาตร (the symmetric equations) เขยนไดเปน

Case , a≠0,b≠0, c≠0,x−x0

a=y− y0

b=z−z0

c

case , a=0,b≠0,c≠0, x=x0,

y− y0

b=z−z0

c

case , a≠0,b=0,c≠0, y=y 0,

x−x0

a=z−z

0

c

case , a≠0,b≠0,c=0, z=z0,

x−x0

a=y− y0

b

case , a=0,b=0,c≠0, x=x 0, y=y0

case , a=0,b≠0,c=0, x=x0, z=z0

case , a≠0,b=0,c=0, y= y 0, z=z0

เมอ a = b = c = 0, สมการดงกลาวแทนไดดวยจดเพยงจดเดยว1. จงหา สมการเวกเตอร และสมการองพารามเตอรของเสนตรง ทผานจด (3, 2, 0) และขนานกบ

3 i −2 j+ k .

สวนของเสนตรง (line segment) จาก r0 to r1 กำาหนดไดเปนr (t)=(1−t) r0+ t r1 ,0≤t≤1.

เสนตรงสองเสนเบ ถาเสนตรงทงสองไมตดกน และไมขนานกน2. จงพสจนวาเสนตรงสองเสน L1 และ L2 เบหรอไมL1:x = 3 – t, y = 1 + 2t, z = 1 – t, L2:x = 1 + t, y = 3 – 4t, z = t.

ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________ระนาบถา n=(a ,b , c) , r=(x , y , z) and r0=(x0, y0, z0) แลว

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0or ax + by + cz – d = 0

เรยก สมการเชงเสนของระนาบทม n แทน เวกเตอรนอรมล (the normal vector)3. จงหาสมการของระนาบทผานจด (1, 2, 0) กบเวกเตอรนอรมล n=(2 ,1 ,1) จงหาจดตดของทกแกน พรอมรางระนาบน?

4. จงหาสมการระนาบทผานจด P(1, 2, -1), Q(0, 2, 1), R(3, 0, -1)?

5. จงหาจดตดระหวางเสนตรง x = 2t, y = 1 – t, z = 3 + t กบระนาบ 2x – 3y + z = 1

6. จงหามมระหวางระนาบ x + y + z = 2 และ x – 3y + 2z=1?

สมการเสนตรงและระนาบ (3-5)สองระนาบขนานกน กตอเมอ เวกเตอรนอรมลขนานกน1. จงหาสตรของระยะ D ระหวางจด P1(x1, y1, z1) กบระนาบ ax + by + cz = d

2. จงหาระยะระหวางระนาบทขนานกนของ x + y – z = 5 กบ 2z – 2y – 2x = 1?

3. จงตดสนวาขอความตอไปน ขอความใดเปนจรงหรอเทจ3.1. เสนตรงสองเสนทขนานกบเสนตรงเสนทสาม ตองขนานกน3.2. เสนตรงสองเสนทตงฉากกบเสนตรงเสนทสาม ตองขนานกน3.3. เสนตรงสองเสนทตงฉากกบเสนตรงเสนทสาม ตองตงฉากกน3.4. เสนตรงสองเสนทขนานกบระนาบ ตองขนานกน3.5. เสนตรงสองเสนทตงฉากกบระนาบ ตองขนานกน3.6. เสนตรงสองเสนทตงฉากกบระนาบ ตองตงฉากกน3.7. สองระนาบทขนานกบเสนตรง ตองขนานกน3.8. สองระนาบทตงฉากกบเสนตรง ตองขนานกน3.9. สองระนาบทตงฉากกบเสนตรง ตองตงฉากกน

ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________4. จงหาสมการองตวแปรเสรมและสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด (6, 1, -3) และ (2, 4, 5).

5. จงตดสนวา เสนตรงทผานจด (-4, -6, 1) และ (-2, 0, -3) ขนานกบเสนตรงทผานจด (10, 18, 4) และ (5,3, 14)?

6. จงหาสมการเวกเตอรของสวนของเสนตรงจาก (2, -1, 4) ไปยง (4, 6, 1)

7. จงหาสมการของระนาบผานจด (1, -3, -2) และตงฉากกบเวกเตอร <1, -2, 0>

8. จงหาสมการของระนาบทผานจดกำาเนด และ (-2, 4, 0) และ (5, 1, 3)

9. จงหาสมการของระนาบทผานจด (1, -1, 1) และมเสนตรง x = 2y = 3z อยในระนาบ

10. จงหาจดตดของเสนตรง ทผานจดสองจด (1, 0, 1) และ (4, -2, 2) กบระนาบ x + y + z =6 ?

11. จงหาสมการระนาบทประกอบดวยจดทหางจากทงสองจด (1, 1, 0) และ (0, 1, 1) เปนระยะเทากน

12. จงหาระยะจากจด (2,-1,4) ไปยงระนาบ 4x – 6y + z = 5

ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคงสามมต (3-6)ฟงกชนคาเวกเตอร หรอเวกเตอรฟงกชน คอการสงเซตของจำานวนจรง ไปยงเซตของเวกเตอรr (t )=( f (t ), g(t ) , h(t ))= f (t ) i + g(t ) j+h(t ) k

โดเมนของเวกเตอรฟงกชน คออนเทอรเซกชนของโดเมนของทกสวนประกอบของเวกเตอรลมตของเวกเตอรฟงกชน r (t) คอ

limt→a

r (t )=(limt→a

f (t ) , limt→a

g(t ) , limt→a

h(t ))

1. จงหาโดเมนของ r (t )=(√t+1 , ln (4−t ) ,0)

2. กำาหนดให r (t)=(et−4 ,sin (t−4)

2

t−4,t

2−8 t+16

∣t−4∣) จงหา lim

t→4

r ( t )?

การตอเนองของเวกเตอรฟงกชนเวกเตอรฟงกชน r (t) ตอเนอง ถา lim

t→a

r (t )= r (a)

3. จงแสดงเสนโคงสามมตของเวกเตอรฟงกชน r (t )=(t ,1−t ,2+3 t )

4. จงรางเสนโคงสามมตของเวกเตอรฟงกชน r (t )=cos(t ) i +sin (t ) j+t k

ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________อนพนธและปรพนธของเวกเตอรฟงกชนอนพนธ r ' ( t) ของเวกเตอรฟงกชน r (t) นยามโดย

d r (t )

dt= r ' (t)= lim

h→0

r (t+h)− r (t )

h.

ถา r (t)=( f (t ) , g (t) , h(t )) แลว r '(t )=( f ' (t ) , g ' (t ) ,h ' (t ))

5. จงหาอนพนธของ r (t )=t3i +t e

−tj+cos(5t ) k

6. จงหาเวกเตอรเสนสมผสหนวย r (t)=t3i +t e

−tj+cos(5 t ) k ทจดทมคา t = 0

7. จงหาสมการองตวแปรเสรมของสมการเสนสมผสกบเสนโคงฮลกซ x = cos(t), y = 2sin(t), z = t ทจด (0, 2, /2)π

หลกเกณฑการหาอนพนธของเวกเตอรฟงกชนd (u(t )+ v (t))

dt=u ' (t)+ v ' (t )

d (c u (t ))

dt=c u ' (t)

d ( f (t) u(t))

dt= f ' (t ) u(t )+ f ( t) u ' (t )

d (u(t )⋅v(t ))

dt=u ' (t )⋅v (t)+ u(t)⋅v ' (t )

d (u(t )×v (t ))

dt=u ' (t)× v (t)+ u( t )× v ' (t)

d (u( f (t )))

dt= f ' (t ) u ' ( f (t ))

d (u(t )+ v (t))

dt=u ' (t)+ v ' (t )

อนทกรลอนทกรลจำากดเขตของเวกเตอรฟงกชนทตอเนอง r (t)=( f (t ) , g (t) , h(t )) นยามโดย

∫a

b

r (t )dt=(∫a

b

f (t )dt ) i +(∫a

b

g (t )dt ) j+(∫a

b

h(t )dt ) k8. กำาหนดให r (t)=cos(−t ) i+sin (2 t ) j+ t k จงหา ∫

0

π /2

r (t )dt

เวกเตอรฟงกชนและเสนโคงสามมต (3-7)1. จงแสดงวา ถา r (t) เปนเวกเตอรฟงกชนซง r ' ' (t ) มคา แลวd ( r(t )× r ' (t ))

d t= r (t )× r ' ' (t )

2. ถา r (t)≠0 , จงแสดงวา d |r (t )|

d t=r (t )⋅r ' (t )

|r (t )|

ความยาวของสวนของเสนโคงและความโคงความยาวของเสนโคงในสามมต r (t)=( f (t ) , g (t) , h(t )) นยามโดย

L=∫a

b

√ ( f '(t ))2+( g ' (t))

2+(h ' (t ))

2dt=∫

a

b

|r ' (t )|dt

3. จงหาความยาวของสวนของเสนโคงของฮลกซตามสมการเวกเตอรr (t)=sin (t ) i−cos(t) j+ t k จากจด (0, -1, 0) ไปยงจด (0, -1, 2)

ฟงกชนความยาวของเสนโคง

ฟงกชนความยาวของเสนโคง s นยามโดย s(t )=∫a

t

|r ' (u)|du

โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส d s (t )

dt=|r ' (t )|

ความโคงของเสนโคงคอ κ=∣d Td s ∣ เมอ T (t)=r ' (t )

∣r ' ' (t)∣หรอ

κ=|T ' (t )||r ' (t )|

4. จงแสดงวา ความโคงของวงกลมรศม a คอ 1/a

ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________

ทฤษฎบท:ความโคงของเสนโคงของเวกเตอรฟงกชน r (t) ไดเทากบ|r ' (t )× r ' ' (t )|

|r ' (t )|3

5. จงหาความโคงของลกบาศกบด (t, t2, t3) ณ จดใดๆ และ และทจดกำาเนด (0, 0, 0)

เวกเตอรนอรมลสำาหรบเสนโคง r (t) , มเวกเตอรมากมายไมจำากดทตงฉากกบเวกเตอรสมผสหนวย T (t )

แตสำาหรบทก t ซง |T (t )|=1 จะไดวา T (t )⋅T ' (t )=0

เวกเตอรนอรมลหลกหนวย นยามไดโดย N (t )=T (t )

|T (t )|

เวกเตอรไบนอรมลนยามไดโดย B(t )=T (t )×N (t )

6. จงหาเวกเตอรนอรมลหลกหนวย และเวกเตอรไบนอรมลของฮลกซr (t )=(cos (t ) ,sin (t ) , t )

7. จงหาเวกเตอร T (t) , N (t ) , B (t ) ของ r (t)=(t 2, 2 t3

3,t ) ทจด (1, 2/3, 1)

8. จงหาเวกเตอรสมผสหนวย และเวกเตอรนอรมลหลกหนวยของr (t )=( 2sin (t ) ,5 t ,2cos(t ))

9. จงหาจดในเสนโคง y = ln x ทมความโคงสงสด?