Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 1 / 28

ผลเฉลยแบบอนุกรม (Series Solutions)

สำหรับ ODE เชิงเส้นอันดับสอง

ผศ.ดร.สุจินต์ คมฤทัย, Ph.D.

วิชา 2301317

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 2 / 28

• ชื่อวิชา Methods of Applied Mathematics

• Course URL:

http://pioneer.netserv.chula.ac.th/˜ksujin/MethodAppMath317.htm

ข้อมูลบนเว็บ

• Course syllabus• Information: Grades, etc.• Lecture notes, Problem sets, etc.

บทนำ

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 3 / 28

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น (Linear ODE) อันดับสอง

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)

โดย p, q, f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้

y′ =dy

dxและ y′′ =

d2y

dx2

• จุดประสงค์ หาฟังก์ชัน y = y(x) ที่สอดคล้องสมการ

• ในหัวข้อนี้จะศึกษาวิธีหาผลเฉลยเมื่อ p หรือ q ไม่เป็นฟังก์ชันค่าคงที่ด้วยวิธีกระจายอนุกรมกำลัง

ตัวอย่าง 1

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 4 / 28

EX. พิจารณาครีบระบายความร้อนทรงลิ่ม ดังในรูปข้างล่าง

ตัวอย่าง 1

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 5 / 28

สมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายความร้อนบนครีบ คือ

x2 d2y

dx2+ x

dy

dx− µxy = 0

เมื่อ

• x = ระยะจากจุดบนครีบไปยังจุดยอด• y = T − T0 โดย T = อุณหภูมิที่จุดบนครีบที่ x

• T0 = อุณหภูมิอากาศโดยรอบเป็นค่าคงที่

ตัวอย่าง 1

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 6 / 28

และ µ เป็นค่าคงตัวที่คำนวณได้จาก

µ = 2h sec

(

ℓθ

kw

)

เมื่อ

• h = สัมประสิทธิ์การถ่ายโอนความร้อนจากผิวครีบ ไปยังอากาศโดยรอบ

• k = การนำความร้อนของวัสดุครีบ

ตัวอย่าง 2

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 7 / 28

EX. พิจารณาบีมยาว 2ℓ วางในแนวนอน มีสิ่งรองรับที่ปลายทั้งสองโดยปลายทางซ้ายถูกตรึงอยู่กับที่ มีแรงกระทำต่อบีมสม่ำเสมอขนาด w (ต่อหนึ่งหน่วยความยาว) และมีแรงคงที่ P

กระทำที่จุดปลาย ทางขวามือ

ตัวอย่าง 2

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 8 / 28

ให้โมเมนต์เฉื่อยของพื้นที่หน้าตัด ที่ระยะ s จากจุดปลายทางซ้ายเท่ากับ I = 2(s+ 1) จะได้สมการอธิบายการเคลื่อนตัวของบีม คือ

2E(x+ 1 + ℓ)d2y

dx2− Py =

1

2w(x+ ℓ)2 − w(x+ ℓ)

โดย

• x = ระยะจากจุดกึ่งกลางของบีม• y = ระยะการเบน (deflection) ในแนวดิ่งที่ x

• E = Young modulus

ทบทวนความรู้เบื้องต้น

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 9 / 28

• อนุกรมกำลังรอบจุด a คือ อนุกรมที่อยู่ในรูป

∞∑

n=0

cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·

โดย c0, c1, c2, . . . เป็นค่าคงตัว

สำหรับอนุกรมกำลังใด ๆ จะมีจำนวนจริง R ≥ 0 ซึ่งอนุกรมลู่เข้าสำหรับทุก x ∈ (a− R, a+R) และผลบวกนิยามฟังก์ชัน

f(x) =∞∑

n=0

cn(x− a)n

R เรียกว่ารัสมีการลู่เข้า และ f(x) เรียกว่าผลบวกอนุกรม

ความรู้เบื้องต้น

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 10 / 28

EX. อนุกรม

3− 6(x− 1) + 12(x− 1)2 − 24(x− 1)3 + · · ·

เป็นอนุกรมกำลังรอบจุด a = 1 โดย c0 = 3, c1 = −6, c2 = 12,c3 = −24, . . . ซึ่งเขียนสูตรทั่วไปได้ cn = 3(−2)n ดังนั้น

3− 6(x− 1) + 12(x− 1)2 − 24(x− 1)3 + · · ·

=∞∑

n=0

3(−2)n(x− 1)n

=∞∑

n=0

3[−2(x− 1)]n

ความรู้เบื้องต้น

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 11 / 28

จากผลบวกอนุกรมเรขาคณิต

∞∑

n=0

c0rn =

c0

1− rเมื่อ − 1 < r < 1

ถ้าให้ c0 = 3 และ r = −2(x− 1) จะได้อนุกรมเท่ากับ

∞∑

n=0

3[−2(x− 1)]n =3

1 + 2(x− 1)=

3

2x− 1

เมื่อ −1 < −2(x− 1) < 1 (นั่นคือ 12< x < 3

2) �

ความรู้เบื้องต้น

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 12 / 28

• อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f รอบจุด a คืออนุกรมกำลังพิเศษรอบจุด a ที่เขียนได้ในรูป

∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n

นั่นคือ cn = f (n)(a)n!

ความรู้เบื้องต้น

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 13 / 28

EX. พิจารณาฟังก์ชัน

f(x) = ex

เนื่องจากอนุพันธ์ dn

dxnex = ex สำหรับทุกอันดับ n ดังนั้นอนุกรม

เทย์เลอร์ของ f รอบจุด a = 0 เท่ากับ

∞∑

n=0

e0

n!xn = 1 + x+

1

2!x2 +

1

3!x3 + · · ·

ความรู้เบื้องต้น

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 14 / 28

บทนิยาม ฟังก์ชัน f จะกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุด a

ถ้ามีช่วง (a−R, a+R) ซึ่ง R > 0 และ

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n

สำหรับทุก x ∈ (a−R, a+R)

ความรู้เบื้องต้น

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 15 / 28

EX. ฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่

• expo, log, trig functions• พหุนาม หรือ เศษส่วนพหุนาม• ฟังก์ชันยกกำลัง

ทั้งหมดเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ทุกจุดบนโดเมนของแต่ละฟังก์ชัน

ความรู้เบื้องต้น

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 16 / 28

• ฟังก์ชันพิเศษ (Special functions) คือฟังก์ชันที่ไม่สามารถเขียนได้ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน

• ฟังก์ชันพิเศษสำคัญๆ ได้จากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยวิธีกระจายอนุกรมกำลัง เช่น

(1) Bessel function ได้จาก Bessel’s equation(2) Legendre function ได้จาก Legendre’s equation

• วิธีกระจายอนุกรมกำลังจะให้คำตอบในรูปอนุกรมกำลัง ดังนั้นฟังก์ชันพิเศษทั้งสองจะนิยามด้วยอนุกรมกำลัง

• ฟังก์ชันพิเศษเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนโดเมนของการลู่เข้า

จุดสามัญและจุดเอกฐาน (Ordinary and SingularPoints)

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 17 / 28

บทนิยาม • จุด a จะเรียกว่าจุดสามัญสำหรับสมการ

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

ถ้าทั้ง p และ q เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุด a

• ถ้ามี p หรือ q ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุด a จะเรียกจุดนี้ว่าจุดเอกฐานของสมการ

จุดเอกฐานปรกติและไม่ปรกติ (Regular andIrregular Singular Points)

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 18 / 28

บทนิยาม • ถ้า a เป็นจุดเอกฐานของสมการ

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

โดย limx→a

(x − a)p(x) และ limx→a

(x − a)2q(x) มีค่า จะเรียก a

ว่าจุดเอกฐานปรกติ

• ถ้า a เป็นจุดเอกฐานของสมการโดย limx→a

(x − a)p(x) หรือ

limx→a

(x− a)2q(x) ไม่มีค่า จะเรียก a ว่าจุดเอกฐานไม่ปรกติ

ตัวอย่าง 3

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 19 / 28

EX. สมการเชิงอนุพันธ์

y′′ + δ(xy′ + y) = 0

พบในการศึกษา turbulent flow ของกระเสน้ำในท่อทรงกระบอกจงแยกแยะจุดสามัญ จุดเอกฐานปรกติ และจุดเอกฐานไม่ปรกติ

ตัวอย่าง 4

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 20 / 28

EX. จงแสดงว่าจุด a = 0 เป็นจุดเอกฐานปรกติของสมการRiccati-Bessel

x2y′′ − (x2− k)y = 0

วิธีกระจายอนุกรมกำลังรอบจุดสามัญ

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 21 / 28

ทฤษฎีบท ให้ a เป็นจุดสามัญของ ODE

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

จะได้ว่าสมการมีผลเฉลยสองอัน y1, y2 ที่เขียนได้เป็น

y1 =∞∑

n=0

cn(x− a)n, y2 =∞∑

n=0

dn(x− a)n

โดย y1, y2 อิสระเชิงเส้นจากกัน และผลเฉลยทั่วไป คือ

y = C1y1 + C2y2 (C1, C2 ค่าคงที่)

วิธีกระจายอนุกรมกำลังรอบจุดสามัญ

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 22 / 28

วิธีหา y1, y2

• แทน

y =∞∑

n=0

bn(x− a)n

y′ =∞∑

n=1

bnn(x− a)n−1

y′′ =∞∑

n=2

bnn(n− 1)(x− a)n−2

ใน ODE คูณสัมประสิทธิเข้าไปในอนุกรมแต่ละอันจากนั้นรวม อนุกรมทางซ้ายมือเป็นอนุกรมเดิยว

วิธีกระจายอนุกรมกำลังรอบจุดสามัญ

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 23 / 28

• ใช้ความจริงที่ว่า∞∑

n=0

cn(x− a)n = 0 ก็ต่อเมื่อ cn = 0 ทุก n = 0, 1, 2, . . .

ซึ่งทำให้ได้ Recurrence relations

• กำหนด b0, b1 เป็นค่าคงที่ใดๆ แก้สมการ Recurrence จะได้b2, b3, b4, . . . ในเทอมของ b0, b1

• แทน bn ใน y =∑

n=0 bn(x− a)n แยกเทอม b0, b1 จัดรูปได้

y = b0y1 + b1y2

ตัวอย่าง 5

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 24 / 28

EX. สมการ Airy คือ

y′′ − xy = 0

ปรากฎในการศึกษา diffraction

จงแก้สมการ Airy โดยกระจายอนุกรมกำลังรอบจุด a = 0

วิธีทำ

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 25 / 28

แทน

y =∞∑

n=0

bnxn,

y′′ =

∞∑

n=2

bnn(n− 1)xn−2

ในสมการและจัดรูปได้

∞∑

n=2

bnn(n− 1)xn−2 +∞∑

n=0

bnxn+1 = 0

b2 · 2x0 +

∞∑

n=1

(bn+2(n+ 2)(n+ 1)− bn−1) xn = 0

วิธีทำ

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 26 / 28

จากความจริงที่ว่า∑

∞

n=0 anxn = 0 ก็ต่อเมื่อ an = 0 สำหรับทุก

n = 0, 1, 2, . . . จะได้สมการเวียนเกิด (Recurrence equations)

2b2 = 0, และ

bn+2(n+ 2)(n+ 1)− bn−1 = 0 n = 1, 2, . . .

แก้สมการได้

b2 = 0, b3 =b0

3 · 2, b4 =

b1

4 · 3,

b5 = 0, b6 =b3

6 · 5=

b0

6 · 5 · 3 · 2, b7 =

b4

7 · 6=

b1

7 · 6 · 4 · 3,

b8 = 0, b9 =b0

9 · 8 · 6 · 5 · 3 · 2, b10 =

b1

10 · 9 · 7 · 6 · 4 · 3

วิธีทำ

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 27 / 28

โดยทั่วไปจะได้ว่า

b2 = b5 = · · · = b3k−1 = · · · = 0,

b3k =b0

(3k)(3k − 1)(3k − 3)(3k − 4) · · · · 3 · 2,

b3k+1 =b1

(3k + 1)(3k)(3k − 2)(3k − 3) · · · 4 · 3

แทนผลลัพธ์ที่ได้ในอนุกรมของผลเฉลยได้

y = b0 + b1x+b0

3 · 2x3 +

b1

4 · 3x4 +

b0

6 · 5 · 3 · 2x6

+b1

7 · 6 · 4 · 3x7 + · · ·

วิธีทำ

Introduction

EX 1.

EX 2.

Review

Ord and Sing

Reg and Irreg

EX 3.

EX 4.

Series solution

EX 5.

Solution

Lecture 1 สุจินต์ คมฤทัย – 28 / 28

y = b0

(

1 +x3

3 · 2+

x6

6 · 5 · 3 · 2+ · · ·

)

+ b1

(

x+x4

4 · 3+

x7

7 · 6 · 4 · 3+ · · ·

)

เนื่องจาก b0, b1 เป็นค่าคงตัวใด ๆ ถ้าให้ฟังก์ชัน y1, y2

นิยามโดยอนุกรม

y1 = 1 +x3

3 · 2+

x6

6 · 5 · 3 · 2+ · · ·

y2 = x+x4

4 · 3+

x7

7 · 6 · 4 · 3+ · · ·

จะได้ว่าผลเฉลยข้างต้นคือผลเฉลยทั่วไปของสมการ Airy