1

บทท 7 การดลและโมเมนตม

เครองบนโบอง 767-200ER ขณะทพงเขาชนตกเวลดเทรดมโมเมนตม และพลงงานจลนเทาไร (ยงไมรวมพลงงานของเชอเพลง) และถารวมพลงงานของเชอเพลงดวยแลวมพลงงานรวมเทาไร ทดลองเทยบกบระเบดปรมาณทหยอนลงทญปนเปนกลก (ก าหนดให 1,000,000 ตนของระเบดทเอนท เทากบพลงงาน 4.2 x 1015 จล แรงระเบดของปรมาณ 1 ลกเทากบระเบดทเอนท 13,000 ตน) สามารถหาค าตอบได คลกครบ

การกอวนาศกรรมตกแฝดเวลด เทรด เซนเตอร ทมหานครนวยอรกไดเกดขนแลว พรอมกบค าถามมากมาย โดยเฉพาะกบขอสงสยทวา ตกอนสงสงาเชนน ถงกาลอวสานไดอยางไร นกศกษาสามารถชมภาพวดโอได คลกครบ

7-1 การดลและโมเมนตม__________________________________________ พจารณาอนภาคมวล m ก าลงเคลอนทเปนเสนตรง มแรง F คงท กระท ากบอนภาคในแนว การเคลอนท v0 คอ ความเรวเรมตน ดงนน ความเรว ณ เวลาใด ๆ v = vo + at คณสมการทงสองขางดวย m และแทน ma ดวย F ผลกคอ mv = mv0 + Ft จดรปใหม mv - mv0 = Ft ................... (7-1)

สมการขวาเปนผลคณของแรงกบเวลา มชอเรยกวา การดล แทนดวยสญลกษณ J และแรงทท าใหเกดการดลเราเรยกวา “แรงดล” แรงดลขนาดคงท F กระท ากบมวลในชวงเวลา t1 ถง t2 จะได การดล = J = F(t2 - t1) ................... (7-2)

บททแลวเราไดศกษาแนวคดเกยวกบพลงงาน และการประยกตเพอแกปญหาโจทย แตในบทน เราจะพฒนาแนวความคดจากเดมยงขนไปอก โดยขยายออกไปอก 2 แนวคอ การดลและโมเมนตม เพออธบายเหตการณเฉพาะบางอยาง เชน การชนและการกระแทกทเกดขนในชวงระยะเวลาสน ๆ

2

สมการขางซายของ (7-1) คอผลตางของมวลคณกบความเรว เรยกปรมาณใหมนวา โมเมนตม บางครงเรยกวา โมเมนตมเชงเสน แตกตางจากโมเมนตมเชงมม ซงจะอธบายตอไปในภายหลง ใหใชสญลกษณ P แทนโมเมนตมเชงเสน โมเมนตม = P = mv ................... (7-3) แปลความหมายสมการ (7-1) ไดวา การดลคอการเปลยนแปลงโมเมนตม ให v1 เปนความเรวของอนภาค ท t = t1 และ v2 คอความเรว ท t = t2 ดงนน F (t2 - t1) = mv2 - mv1 .................... (7-4) โมเมนตมขนอยกบการเคลอนทของอนภาค สวนการดลเกยวกบแรงทกระท าในชวงเวลาหนง ดงนน สมการ (7-4) เปนความสมพนธระหวางแรงกบการเคลอนท จากกฎขอทสองของนวตน

F = ma = dtdp

dtd(mv)

dtmdv

การดลและโมเมนตมเปนปรมาณเวกเตอร เขยนอยในรปของเวกเตอรไดดงน การดล = J = F (t2 - t1) .................... (7-5) โมเมนตม = P = mv .................... (7-6) เขยนสมการ (7-4) ใหมในรปของเวกเตอร F (t2 - t1) = mv2 - mv1 ................... (7-7) การเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงเสน มลกษณะคลายกบการเปลยนแปลงของงาน พลงงานจลนและพลงงานศกย ดงทไดอธบายจากบททแลว แตกมความแตกตางอย อยางแรก การดล เปนผลคณของแรงกบเวลา ขณะทงานคอผลคณของแรงกบระยะทางตามแนวแรง อยางทสอง การดลและโมเมนตมเปนปรมาณเวกเตอร แตงานและพลงงานจลนเปนปรมาณสเกลาร

ตวอยาง 7-1 กลองมวล 2 kg เคลอนทไปบนแกน x ดวยความเรวเรมตน 3 ms-1 มแรง F = -6 N

(ทศ -x) กระท ากบกลองเปนเวลา 3 วนาท จงหาความเรวสดทาย

หลกการค านวณ จากสมการ (7-4)

(-6 N)(3 s) = (2 kg)(v2) - (2 kg)(3 ms-1)

v2 = -6 ms-1 เครองหมายลบ แสดงวาอนภาคก าลงเคลอนทอยบนแกน -x

หนวยของการดลคอ 1 นวตนวนาท (1 Ns)

หนวยของโมเมนตมคอ 1 กโลกรมเมตรตอวนาท (1 kg ms-1)

1 kgms-1 = (1 kgms-2)s = 1 Ns

3

ขอสงเกต หนวยของโมเมนตมกบการดลจะเหมอนกน เราพงจะอธบายการดลในกรณทแรงคงท แตถากรณทแรงไมคงท จะเขยนสมการในอก รปแบบหนง พจารณามวล m ถกกระท าดวยแรง F ทไมคงท เคลอนทบนระนาบ xy จากกฎขอทสองของ นวตน

F = ma = dtmdv

หรอ Fdt = mdv ถา v1 เปนความเรวของอนภาค ท t = t1 และ v2 คอความเรว ท t = t2 ดงนน

2

1

t

tdtF =

2

1

v

vmdv ................... (7-8)

อนทกรลของสมการขางซายคอการดล J ของแรง F ในชวงเวลา t1 ถง t2

การดล = J = 2

1

t

tdtF

เราสามารถหาผลของการอนทกรลได ถาทราบฟงกชนของ F กบเวลาเปนอยางไร อนทกรลสมการทางขวาของสมการ (7-8)

2

1

v

vmdv =

2

1

v

vdvm = m (v2 - v1)

แทนลงไปในสมการ (7-8) จะได

2

1

t

tdtF = mv2 - mv1 ................... (7-9)

รป 7-1 พนทสเหลยมเลกแรเงา คอการเปลยนโมเมนตมในชวงเวลา t

4

ถาแรง F คงท ใชสมการ (7-7) ได แตถาแรง F ไมคงท เรากสามารถหาคาเฉลยของ F กอน แลวคอยคณกบเวลา ดงน Fav (t2 - t1) ซงกคอพนทใตกราฟ รป 7-1 ดงสมการ Fav (t2 - t1) = J = mv2 - mv1 ................... (7-10)

จากสมการ (7-9) ถาแรงและความเรวกระท าอยบนระนาบ xy กสามารถเขยนอยในรปของ สมการสเกลารแตละแกนไดดงน

2

1

x

t

tdtF = mv2x - mv1x

2

1

y

t

tdtF = mv2y - mv1y

2

1

t

tdtF คอพนทใตเสนกราฟ จาก t1 ถง t2 ซงกคอการดลจาก t1 ถง t2 นนเอง

ถาการดลมเครองหมายเปนบวก แสดงใหเหนวาโมเมนตมก าลงเพมขน แตถาการดลม เครองหมายเปนลบ แสดงใหเหนวาโมเมนตมก าลงลดลง และถาการดลเปนศนย แสดงวาไมมการ เปลยนแปลงโมเมนตม

ตวอยาง 7-2

รป 7-2 การดล คอพนทใตกราฟระหวางแรงดลกบเวลา จงอธบายการดลและการเปลยนแปลงของโมเมนตมดวยแรงตาง ๆ เหลาน (ถาพนไมมแรงเสยดทาน) มวลไดรบแรงกระท าดงน ก) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ดงรป 7-2a ข) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ตอจากนนเปลยนทศทางของแรงไปทางซาย 20 N เปนเวลา 2s ดงรป 7-2b

…………… (7-11)

5

ค) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ตอจากนนเปลยนทศทางของแรงไปทางซาย 20 N เปนเวลา 1s ดงรป 7-2c

หลกการค านวณ ก) การดลจากกราฟรป 7-2a คอ (10 N)(2 s) = + 20 Ns

การดลมเครองหมายเปนบวกแสดงวาโมเมนตมก าลงเพมขน 20 kgms-1

สมมตใหมวลมขนาด 2 kg เรมจากหยดนง ความเรวสดทายค านวณไดเทากบ 10 ms-1 มทศไปทางขวา

กรณแรก ถาเรมตนมวลมความเรว 5 ms-1 ไปทางขวา แสดงวามโมเมนตมเรมตนอยแลวเทากบ10

kgms-1 โมเมนตมสดทายค านวณไดเทากบ 30 kgms-1 หาความเรวสดทายไดเทากบ 15 ms-1 ไปทางขวา

กรณทสอง ถาเรมตนมวลมความเรว 5 ms-1 ไปทางซาย แสดงวามโมเมนตมเรมตนอยแลว เทากบ

-10 kgms-1 โมเมนตมสดทายค านวณไดเทากบ 10 kgms-1 หาความเรวสดทายไดเทากบ

5 ms-1 ไปทางขวา ขอสงเกต ส าหรบกรณทสองเรมตนมวลเคลอนทไปทางซาย สดทายมวลกลบทศทางไปทางขวา เนองมาจากแรงคงท 10 N มทศตานการเคลอนท ข) การดลจากกราฟ รป 7-2 b คอ

(10 N)(2 s) - (20 N)( 2 s) = - 20 Ns

การดลมเครองหมายเปนลบ แสดงวาโมเมนตมลดลง 20 kgms-1 ค) การดลจากกราฟ รป 7-2 c คอ (10 N)(2 s) - (20 N)( 1 s) = 0 การดลเปนศนยแสดงวาโมเมนตมรวมของมวลไมมการเปลยนแปลง จากกราฟโมเมนตม เพมขน 2 วนาทแรก และจะลดลงดวยขนาดทเทากนใน 1 วนาทหลง

ตวอยาง 7-3

รป 7-3 การดลคอพนทใตกราฟระหวางแรงดลกบเวลา

6

ลกบอลมวล 0.40 kg ถกขวางไปทางซายดวยความเรวในแนวระดบ 30 ms-1 กระทบกบก าแพง

สะทอนกลบมาทางขวาดวยความเรว 20 ms-1 จงหาแรงดลทก าแพงกระท ากบลกบอล ถาลกบอลสมผสกบก าแพงเปนเวลา 0.010 s

หลกการค านวณ โมเมนตมเรมตนของลกบอลเทากบ (0.40 kg)(-30 ms-1) = - 12 kgms-1

โมเมนตมสดทายเทากบ 8.0 kgms-1

ดงนน การเปลยนโมเมนตม mv2 - mv1 = 8.0 kgms-1 - (-12 kgms-1)

= 20 kgms-1 = การดล

การดลมเครองหมายเปนบวก แสดงวา แรงดลกมเครองหมายเปนบวกมทศไปทางขวา ลกษณะของกราฟรป 7-3 ทง a, b และ c แรงดลเปนศนยกอนกระทบ ตอมาแรงดลจะสงสดและลดลงเปนศนยอกครง หลงสะทอนจากก าแพง ในกรณทลกบอลคอนขางแขง เพราะสบลมเขาไปมาก เวลาของการชนจะสน แรงดลจะพงขนไปสง ดงกราฟรป (a) แตถาลกบอลคอนขางนม เวลาของการชนจะมากขน ดงกราฟรป (b) อยางไรกตามไมวาจะ

เปนกรณใด พนทใตกราฟจะเทากบ 20 Ns ทกกราฟ

ถาลกบอลสมผสกบก าแพงเปนเวลา 0.010 s จากสมการ (7-10)

Fav (0.010 s) = 20 Ns Fav = 2,000 N แรงเฉลย (Fav) สามารถแสดงไดดวยเสนขนาน ดงรป (c)

ตวอยาง 7-4 จากตวอยาง 7-3 ใหลกบอลมความเรวเรมตนไปทางซาย 30 ms-1 หลงกระทบกบก าแพง

ความเรวเปลยนไปทางขวาท ามม 45o กบระดบเทากบ 30 ms-1 จงหาแรงดลและแรงเฉลย ถาลกบอลสมผสกบก าแพงเปนเวลา 0.010 s

หลกการค านวณ เนองจากความเรวกอนกระทบและหลงกระทบก าแพงไมไดอยในทศทางเดยวกน เวลาค านวณการเปลยนโมเมนตมและการดลจะตองแยกเปนแกน x และ y อสระจากกน ดงนน ใหแกน x เปนแกนทอยในแนวระดบ ไปทางขวาเปนบวก และไปทางซายเปนลบ และใหแกน y เปนแกนทอยในแนวดง ขนเปนบวก และลงเปนลบ

v1x = -30 ms-1 , v1y = 0

v2x = v2y = (0.707)(30 ms-1) = 21.2 ms-1

เขยนโดยมเวกเตอร 1 หนวยก ากบ

v1 = (-30 ms-1) i ,

v2 = (21.2 ms-1) i + (21.2 ms-1) j

7

การดลบนแกน x คอการเปลยนโมเมนตมบนแกน x ; สวนบนแกน y กคดแบบเดยวกน Jx = m (v2x - v1x)

= (0.4 kg)[21.2 ms-1 - (-30 ms-1)]

= 20.5 kgms-1 Jy = m (v2y - v1y)

= (0.4 kg)[21.2 ms-1 - 0 ms-1]

= 8.48 kgms-1 เขยนรวมได

J = (20.5 kgms-1)i + (8.48 kgms-1)j แรงเฉลยแยกเปนแกน x และ y ไดดงน

Fx = t

J x

= 2,050 N , Fy

= t

J y

= 848 N

เขยนรวมได Fav = (2,050 N)i + (848 N)j

ขนาดและทศทางของแรงเฉลย คอ

Fav = 22 (848N)(2,050N)

= 2,218 N

= tan-1 N2,050

N848

= 22.5o

รป 7-4 ถายภาพดวยการใชเทคนคพเศษ โดยการใหสญญาณไฟแฟลซสม าเสมอ เปดหนากลอง บนทกภาพลงบนฟลม เปนภาพของลกบอลขณะสมผสกบไมแรกเกตเปนเวลา 0.01 s

8

7-2 กฎการคงตวของโมเมนตม______________________________________ ขณะทวตถ 2 อน เคลอนทเขาชนกน วตถอนแรกมแรงกระท ากบวตถอนทสอง ตามกฎขอท 2 ของนวตน จะเกดการเปลยนโมเมนตมและการดล และจากกฎขอท 3 วตถอนทสองกจะมแรงปฏกรยาท เทากนกระท าตอวตถอนแรก ใหโมเมนตมรวมของระบบเปน P ดงนน P = mv1 + mv2 + mv3 + .... = P1 + P2 + ... .............(7-12) ถาโมเมนตมรวมของระบบคงท แสดงวาในระบบมโมเมนตมยอยหนงเพมขน กตองมโมเมนตมยอยอกอนหนงลดลง เพอใหผลรวมโมเมนตมของระบบคงทนนเอง แรงทกระท าอยภายในระบบ (ดงตวอยางบนประกอบขนดวยมวล 2 อนเคลอนทเขาชนกน) เรยกวา แรงภายใน สวนแรงจากภายนอกทกระท ากบระบบเรยกวา แรงภายนอก ถาไมมแรงภายนอกกระท ากบระบบ ระบบนนเรยกวา ระบบอสระ สามารถใชกฎการคงตวของโมเมนตมได ดงนน สามารถสรปไดวา โมเมนตมของระบบอสระจะคงทหรออนรกษ กระนน ถามแรงภายนอกกระท ากบระบบ แตถาแรงสทธเปนศนย โมเมนตมรวมยงคงท สวนแรงภายในแมจะมผลเปลยนโมเมนตมยอยภายในระบบ แตเมอรวมทงระบบแลว โมเมนตมคงท

ขอสงเกต แมแรงภายในจะไมอนรกษ กฎการคงตวของโมเมนตมยงคงใชไดเหมอนกบแรง

อนรกษ

การทดลองเสมอนจรง

การทดลองเสมอนจรงเรองการดลและโมเมนตม กดทรปหรอทนเพอเขาสการทดลอง

9

ตวอยาง 7-5 มวล A และมวล B เคลอนทเขาชนกนบนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน แรงลพธสทธทงแนวดงและ

แนวระดบมคาเทากบศนย ดงนน โมเมนตมรวมของระบบคงท ก าหนดใหหลงจากมวลทงสองชนกนแลว มวล B

เคลอนทดวยความเรว + 2 ms-1 มวล A มความเรวเปนเทาไรหลงชน

รป 7-5 แผนภาพโมเมนตมของตวอยาง 7-5

หลกการค านวณ ก าหนดใหความเรวหลงชนของ A แทนดวยตวแปร vA2 เนองจากโมเมนตมรวมของระบบคงท โมเมนตมรวมกอนชน = โมเมนตมรวมหลงชน

(5.0 kg)(2 ms-1) + (3.0 kg)(-2 ms-1) = (5.0 kg) vA2 + (3.00 kg)(2 ms-1)

แกสมการ จะได vA2 = - 0.4 ms-1

เครองหมายลบแสดงวา มวล A หลงชนเคลอนทไปทางซายดวยความเรว 0.4 ms-1

ตวอยาง 7-6 ลกเหลก 2 ลกเคลอนทเขาชนกนบนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน ก าหนดใหลกเหลก A มมวล

5 kg เคลอนทดวยความเรวตน vA1 = 2 ms-1 บนแกน x ชนกบลกเหลก B มวล 3 kg หยดนงอยกบท หลงจาก

การชน ความเรวสดทาย vA2 = 1 ms-1 ท ามม = 30o กบแกน x ความเรวสดทายของ B จะเปนเทาไร

รป 7-6 แผนภาพโมเมนตมของตวอยาง 7-6

10

หลกการค านวณ ลกษณะการชนเกดขนบนระนาบ ดงนน เวลาค านวณการเปลยนโมเมนตมจะตองแยกเปนแกน x และ y อสระจากกน เนองจากโมเมนตมรวมของระบบคงท ส าหรบบนแกน x จะได โมเมนตมกอนชนบนแกน x = โมเมนตมหลงชนบนแกน x

(5 kg)(2 ms-1) + (3 kg)(0) = (5 kg)(1 ms-1) (cos 30o )+ (3 kg) vB2x แกสมการ จะได

vB2x = 1.9 ms-1 ส าหรบแกน y จะได

(5 kg)(0) + (3 kg)(0) = (5 kg)(1 ms-1)(sin 30o) + (3 kg) vB2y แกสมการ จะได

vB2y = -0.83 ms-1 ขนาดและทศทางของ vB2 หาไดจาก

vB2 = 2121 )sm0.83()sm(1.9 = 2.07 ms-

1 มม วดจากแกน x หาไดจาก

= tan-1 1

1

sm1.9

sm0.83

= - 24o เครองหมายลบ แสดงวาวดตามเขมจากแกน x

11

7-3 การชน_____________________________________________________

รป 7-7 มวล A ตดกบสปรงเคลอนทเขาชนกบมวล B บนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน หลกการคงตวของโมเมนตมแตเพยงอยางเดยวไมสามารถใหรายละเอยดของการชนไดทงหมด ตวอยางเชน มวล mA และ mB มความเรวเรมตน vA1 และ vB1 เคลอนทเขาชนกน หลงจากชนกนแลวความเรวสดทายเปน VA2และ VB2 เนองจากไมมแรงภายนอกกระท ากบระบบ ดงนน โมเมนตมรวมของระบบคงท mAvA1 + mBvB1 = mAvA2 + mBvB2 ................... (7-13)

เราทราบแตความเรวเรมตน vA1 และ vB1 แตความเรวสดทาย vA2 และ vB2 ไมทราบคา แตมเพยงสมการ (7-13) เพยงสมการเดยว ไมสามารถหาคาของตวแปรทง 2 ได เพราะจ านวนสมการ ไมเทากบตวแปร จงไมสามารถหาได อยางไรกตามถาระหวางการชนแรงทเกดขนเปนแรงอนรกษ พลงงานจลนของระบบทงกอนชนและหลงชนจะคงท การชนลกษณะนเรยกวา การชนแบบยดหยน บางทกเตมใหยดยาวเพอใหชดเจนขนวา การชนแบบยดหยนสมบรณ ตวอยางเชน การชนของลกบอลทสบลมคอนขางแขง หรอลกบลเลยด อนโลมไดวาเปนการชนแบบยดหยน หรอการชนของรป 7-7 กอนโลมไดเชนเดยวกน ลกษณะการชนสามารถ อธบายไดดงน มวล A กบมวล B เคลอนทเขาชนกน สปรงจะถกกดอดอยระหวางกลาง พลงงานจลนเปลยนรปไปเปนพลงงานศกยยดหยนทงหมด เมอสปรงถกกดอดจนเตมทสปรงจะขยายตวดนมวลทงสองออกมา เปลยนรปกลบไปเปนพลงงานจลน เหมอนกบกอนชน พลงงานไมมการสญเสย จงเปนการชนแบบยดหยน แตถาพลงงานจนลหลงชนนอยกวากอนชน เรยกวา การชนแบบไมยดหยน เชน หลงจากชนแลว มวล A และ B ตดไปดวยกน การชนลกษณะนพลงงานจะสญเสยไปในรปของความรอน

12

7-4 การชนแบบไมยดหยน________________________________________ หวขอนจะพจารณากรณเฉพาะ เมอมวล A เคลอนทเขาชนมวล B ทหยดนง หลงจากชน แลวมวลทสองเคลอนทตดไปดวยกน ความเรวสดทายหลงชนจะเทากน vA2 = vB2 = v2 จากสมการ 7-13 จะได mAvA1 + mBvB1 = (mA + mB) v2 .................... (7-14)

ถาทราบความเรวตนของ A และ B กสามารถค านวณความเรวปลายได การชนแบบไมยดหยน พลงงานจลนหลงชนจะนอยกวากอนชน จากสมการ (7-14) จะได

v2 = 1BA

A vmm

m

.................... (7-15)

ให K1 และ K2 เปนพลงงานจลนกอนและหลงชนตามล าดบ

K1 = 21Avm2

1

K2 = 21

2

BA

ABA v

mm

m)m(m

21

อตราสวนพลงงานจลนกอนและหลงชน คอ

1

2

K

K =

BA

A

mmm

.................... (7-16)

อตราสวนนจะนอยกวา 1 เสมอ

ตวอยาง 7-7 จากรป 7-5 ถามวลทงสองตดไปดวยกนหลงการชน

หลกการค านวณ จากกฎการคงตวของโมเมนตม

(5 kg)(2 ms-1) + (3 kg)(-2 ms-1) = (5 kg + 3 kg)(v2) ;

จะได v2 = 0.5 ms-1 v2 มเครองหมายเปนบวก แสดงวา มวลทงสองเคลอนทไปทางขวาหลงจากชน

พลงงานจลนของ A กอนชนคอ 2AAvm2

1 =

21

(5 kg)(2 ms-1)2 = 10 J

พลงงานจลนของ B กอนชนคอ 2BBvm2

1 =

21

(3 kg)(-2 ms-1)2 = 6 J

พลงงานจลนรวมกอนชน คอ 16 J

13

ขอสงเกต พลงงานจลนของ B เปนบวก แมวา vB1 และ mvB1 จะเปนลบทงค พลงงานจลนรวมหลงชน คอ

22BA )vm(m

21

= 21

(5 kg + 3 kg)(0.5 ms-1)2 = 1 J

พลงงานจลนรวมหลงชนเปน 161

เทาของพลงงานจลนกอนชน เพราะฉะนน 1615

เทาของ

พลงงานจลนกอนชนจะสญเสยไปกบการชน พลงงานสวนนไมไดหายไปไหน แตเปลยนรปไปเปนพลงงานความรอน ถามวล A ตดสปรงไว ดงรป 7-7 หลงจากชนแลวมวล A และ B ตดไปดวยกน พลงงานทหายไปนไมไดหายไปไหนจะไปสะสมเปนพลงงานศกยยดหยนอยในสปรง ขอสงเกต ส าหรบระบบอสระไมวาจะเปนการชนแบบไมยดหยนหรอยดหยนกตาม โมเมนตม ยงคงอนรกษเสมอ

ตวอยาง 7-8 ยงกระสนฝงเขาไปใน Ballistic pendulum อปกรณนมไวส าหรบวดความเรวของลกปน

หลงจากถกยงแลว Pendulum จะแกวงขนไปเปนระยะ y

รป 7-8

เพนดลมท าดวยไม มวล M แขวนดวยเชอก 2 เสนในแนวดง ถกยงดวยลกกระสนมวล m ความเรว v ฝงเขาไปในเนอไม ถาไมมแรงภายนอกกระท ากบระบบ โมเมนตมรวมคงท ให V แทนความเรวของเพนดลมและลกปนหลงถกยง, และ v แทนความเรวของลกปน

mv = (m + M)V, v = VmMm

พลงงานจลนของระบบหลงถกยง คอ K = 21

(m + M)V2

เพนดลมแกวงขนไปเปนระยะ y จงหยด พลงงานจลนทงหมดจะถกเปลยนไปเปนพลงงานศกยโนมถวง ดงน

21

(m + M) V2 = (m + M) gy,

V = 2gy

แทนลงไปในสมการบนจะได v = 2gymMm

14

ถาทราบคา m, M และ y เรากค านวณหาความเรวของกระสน v ได สมมตให m = 5.00 g = 0.00500 kg, M = 2.00 kg และ y = 3.00 cm = 0.0300 m จะได

V = m))(0.0300sm2(9.8 2

= 0.767 ms-1

v = m))(0.0300sm(9.82kg0.00500

kg2.00kg0.005002

v = 307 m/s

พลงงานจลนกอนยง คอ 21

(0.00500 kg)(307 ms-1)2 = 236 J

พลงงานจลนหลงยง คอ 21

(2.005 kg)(0.767 ms-1)2 = 0.589 J

พลงงานเกอบทงหมดสญเสยไปกบความรอน ท าใหอณหภมของเพนดลมรอนขนหลงจากถกยง

15

7-5 การชนแบบยดหยน__________________________________________ การชนแบบยดหยนระหวางมวล A และ B ทงพลงงานจลนและโมเมนตมจะอนรกษ ดงนนจะได

2B1B

2A1A vm

21

vm21

= 2B2B

2A2A vm

21

vm21

และ mAvA1 + mB vB1 = mAvA2 + mB vB2

ถาทราบมวล และความเรวตนของมวลทงสอง กใชสมการบนหาความเรวสดทายของมวล ทงสองได สมมตให mB เรมตนหยดนง และให v เปนความเรวเรมตนของ mA

vA และ vB เปนความเรวสดทายของมวลทงสอง จากกฎการคงตวของพลงงานกบโมเมนตม

21

mAv2 = 2

BvB2AA m21

vm21

................... (7-17)

และ mAv = mAvA + mBvB ................... (7-18)

ถาทราบมวล และความเรวตน v กใชสมการ (7-17) และ (7-18) หาความเรว vA และ vB ได จดสมการ (7-17) และ (7-18) ใหม จะได

2BBvm = )v(vm 2

A2

A = mA (v - vA)(v + vA) .................... (7-19)

และ mBvB = mA(v - vA) .................... (7-20)

หารสมการ (7-19) ดวยสมการ (7-20) จะได

vB = v + vA .................... (7-21)

แทนกลบลงไปในสมการ (7-20) ขจดเทอม vB เพอหา v

mB (v + vA) = mA (v - vA)

vA = )m(m)vm(m

BA

BA

.................... (7-22)

แทนกลบลงไปในสมการ (7-21) จะได

vB = vmm

2m

BA

A

.................... (7-23)

16

วเคราะหสมการ ให A เปนลกปงปอง และ B เปนลกโบวลง เนองจากมวลของลกปงปองคอนขางนอยเมอเทยบกบลกโบวลง จากสมการ (7-22) mA << mB ; vA = -v ลกปงปองจะสะทอนกลบดวยความเรวเกอบเทากบความเรวทวงเขาชน และจากสมการ (7-23) ความเรวของ B จะชามากเกอบเทากบศนย

ทดลองวเคราะหดวยตนเอง โดยให A เปนลกโบวลง และ B เปนลกปงปอง ถามวลทงสองเทากน mA = mB จากสมการ (7-22) และ (7-23) จะได vB = v และ vA = 0 คอหลงจากมวลวงเขาชนแลว มวล A จะหยดนง มวล B จะเคลอนทตอไปดวยความเรวเทากบมวล A ส าหรบนกสนกเกอร เรองเหลานจะเปนททราบกนด สมการ (7-21) เขยนใหมไดเปน

v = vB - vA .................... (7-24) v คอความเรวสมพทธของ A เทยบกบ B กอนชน สวน vB -vA คอความเรวสมพทธของ B เทยบกบ A หลงจากชนแลว นาแปลกทวา ความเรวสมพทธมขนาดเทากนกอนและหลงการชน มขอแมเพยงประการเดยวเทานน คอ ตองเปนการชนแบบยดหยนสมบรณ

ตวอยาง 7-9 สมมตใหการชนตามรป 7-5 เปนการชนแบบยดหยนสมบรณ จงหาความเรวของ A และ B

หลงจากชน

หลกการค านวณ จากกฎการคงตวของโมเมนตม

(5 kg)(2 ms-1) + (3 kg)(-2 ms-1) = (5 kg) vA2 + (3 kg) vB2

5 vA2 + 3 vB2 = 4 ms-1 เพราะเปนการชนแบบยดหยนสมบรณ vB2 - vA2 = - (vB1 - vA1)

= - (-2 ms-1 - 2 ms-1)

= 4 ms-1 จาก 2 สมการบนจะได

vA2 = -1 ms-1 , vB2 = 3 ms-1

มวลทงสองจะสะทอนกลบทศทางการเคลอนท A จะเคลอนทไปทางซายดวยความเรว 1 ms-1

และ B จะเคลอนทไปทางขวา 3 ms-1 พลงงานจลนทงหมดหลงจากชน คอ

21

(5 kg)(-1 ms-1)2 + 21

(3 kg)(3 ms-1)2 = 16 J

เทากบกอนชน แสดงวาเปนการชนแบบยดหยน

17

ตวอยาง 7-10 จากรป 7-6 ให mA = 5 kg มความเรวตน 4 ms-1 ทศ +x หลงจากชนกบมวล

mB = 3 kg ความเรวเหลอเปน 2 ms-1 ไมทราบทศทาง ใหการชนเปนแบบยดหยน

หลกการค านวณ เพราะเปนการชนแบบยดหยน พลงงานจลนหลงชนเทากบกอนชน

ดงนน 21

(5 kg)(4 ms-1)2 = 21

(5 kg)(2 ms-1)2 + 21

(3 kg) 2B2v

จะได vB2 = 4.47 ms1 โมเมนตมบนแกน x และ y คงท ดงนน

(5 kg)(4 ms-1) = (5 kg)(2 ms-1)cos + (3 kg)(4.47 ms-1) cos

O = (5 kg)(2 ms-1) sin - (3 kg)(4.47 ms-1) sin แกสมการทง 2 จะได = 36.9o , = 26.6o ถาพลงงานอนรกษการชนนนเปนแบบยดหยน แตถาพลงงานจลนลดลง เปนการชนแบบ ไมยดหยน แตมกรณพเศษทพลงงานจลนสดทายมากกวาพลงงานเรมตน ทเรยกวา การดด

วดโอเพอการศกษา

ดาวหางชเมกเกอรเลว เกา วงเขาชนดาวพฤหสในเดอน กรกฎาคม 1994 ขณะทพงเขาสแรงโนมถวงอนมหาศาลของดาวพฤหส ดาวหางถกแรงฉกออกเปน ชนเลกชนนอย ทงหมด 23 ชน แตละชน มเสนผาศนยกลาง 3 ถง 4 กโลเมตร และเคลอนทดวยความเรว 60 กโลเมตรตอวนาท (134,000 ไมลตอชวโมง) มพลงงานจลน 2 x 1022 จล เทยบเทากบแรงระเบดของทเอนท 6,000,000 เมกะตน หรอเทยบเทากบระเบดปรมาณทถลมฮโรชมา 100 ลานลก แรงระเบดมรศมกระจายไปถง 8,000 กโลเมตร คลกครบ

18

7-6 การดด____________________________________________________

รป 7-9 โมเมนตมยงคงอนรกษส าหรบกรณของการดด รถยนต A และ B เขาเกยรถอยหลง อดสปรงไวตรงกลางและหยดรถโดยขนเบรกมอไวใหเปนต าแหนงเรมตน โมเมนตม = 0 รถทงคปลดเกยรวางพรอมกน สปรงจะดดรถใหพงออกดวยความเรว vA และ vB ถอวาแรงเสยดทานนอยมาก ไมมแรงสทธกระท ากบระบบ ดงนน โมเมนตมของระบบคงท จากกฎการคงตวของโมเมนตม เราจะได

mAvA + mBvB = 0 , B

A

vv

= A

B

mm

................... (7-25)

ความเรวกบมวลเปนอตราสวนกลบกน รถยนตทมขนาดเลกกวาจะดดออกไปดวยความเรวทมากกวา รถยนตทมขนาดใหญกวาจะดดออกไปดวยความเรวทนอยกวา เราสามารถประยกตการดดไปใชกบการยงปนได กอนยงปนโมเมนตมของระบบเปนศนย ขณะยงปน ลกปนจะใหโมเมนตมพงไปขางหนา และปนจะถกดนใหถอยหลง ซงกมขนาดเดยวกบโมเมนตมทไปขางหนา แตเนองเพราะมวลของปนใหญ มากกวามวลของลกปน ดงนนความเรวถอยหลงของปนจะนอยกวาความเรวของลกปน

ตวอยาง 7-11 ยงลกปนมวล 5.00 g จากปนมวล 3.0 kg ดวยความเรว 300 ms-1 จงหาความเรวถบกลบ

พลงงานจลนของปนและลกปนจะเปนเทาไร

หลกการค านวณ โมเมนตมของระบบกอนและหลงยงเปนศนย ดงนน

0 = (0.00500 kg)(300 ms-1) + (3.00 kg) v,

v = - 0.500 ms-1 เครองหมายลบ แสดงวา ทศตรงขามกบลกปน พลงงานจลนของลกปน คอ

19

Kลกปน = 21

(0.00500 kg)(300 ms-1)2

= 225 J พลงงานจลนของปน คอ

Kปน = 21

(3.00 kg)(0.500 ms-1)2

= 0.375 J

จะไดอตราสวน

ปน

ลกปน

K

K =

J375.0J225

= 600 = kg00500.0

kg00.3

สรปไดวา ปน

ลกปน

K

K =

ลกปน

ปน

m

m ....................(7-26)

20

7-7 จดศนยกลางมวล____________________________________________ จากการสงเกตการเคลอนทของระบบอนภาคใด ๆ กตาม แมระบบทมการระเบดชนดแตกกระจายออกเปนเสยง ๆ พบวามจดตวแทน ซงเปนคาเฉลยของการเคลอนทของระบบทงหมด จดตวแทนนเรยกวา จดศนยกลางมวล สมมตวาระบบประกอบดวยอนภาค มวล m1 , m2 , m3 , ..... ให m1 อยทต าแหนง (x1 , y1) และ m2 อยทต าแหนง (x2 , y2) ตามล าดบ นยามจดศนยกลางมวลแยกบนแกนพกด xy คอ

X = .....mmm.....xmxmxm

321

332211

Y = .....mmm.....ymymym

321

332211

...................(7-27)

ความเรวของจดศนยกลางมวลบนแกน x และ y คอ vx = dtdx

และ vy = dtdy

ตามล าดบ

เขยนเปนความเรวรวมได ดงน

V = .......

321

332211

mmm

....vmvmvm

................... (7-28)

มวลทงหมดของระบบ M = m1 + m2 + m3 สมการบนเขยนไดใหมเปน MV = m1v1 + m2v2 + m3v3 + ..... = P .................... (7-29) ดานขวาของสมการคอโมเมนตมรวม P ซงกคอ มวลรวมคณกบความเรวของจดศนยกลางมวล ส าหรบระบบอสระทไมมแรงภายนอกมากระท า โมเมนตมรวมจะคงท ความเรวของจดศนยกลางมวลจะคงทดวย หาอนพนธเทยบกบเวลาของสมการ (7-29) จะไดสมการของมวลคณกบความเรงดงน MA = m1a1 + m2a2 + m3a3 + ..... .................... (7-30) m1a1 คอ แรงทกระท าบนอนภาคตวทหนง , m2a2 คอแรงทกระท าบนอนภาคตวทสอง และ m3a3 คอ แรงทกระท าบนอนภาคตวทสาม ตามล าดบ ขางขวาของสมการบนคอมวลรวมคณกบความเรงของจดศนยกลางมวล เปนแรงสทธทงหมดทกระท ากบระบบอนภาค

21

แรงสทธของระบบประกอบดวย แรงทกระท าจากภายนอก + แรงจากภายใน เขยนเปนสมการไดวา

F = Fนอก + Fใน จากกฎขอทสองของนวตน แรงกรยาและแรงปฏกรยาภายในของระบบอนภาคจะหกลางกนหมด ดงนน จะเหลอแตแรงทกระท าจากภายนอกเทานน

ดงนน Fนอก = MA ................... (7-31) เพราะจดศนยกลางมวลเสมอนกบเปนตวแทนของมวลทงระบบ แรงสทธทกระท าทจด ศนยกลางมวลจงเหมอนกบกระท าบนมวลทงระบบ ตวอยางเชน จบประแจเลอนขวางท ามมกบแนวระดบออกไป ประแจเลอนจะหมนและเคลอนทเปลยนต าแหนงไปพรอมกน ถาเราทราบวาจดศนยกลางมวลของประแจเลอนอยตรงไหน และสงเกตเฉพาะจดศนยกลางมวล จะเหนจดนเคลอนทเปนแนวโคงแบบโปรเจกไตล ราวกบวาเปนจดอนภาคเลก ๆ จดหนงเทานน

อกตวอยางหนง ยงลกปนใหญใหเคลอนทเปนโปรเจกไตล (ดงรป 7-10) ลกปนระเบดกลางอากาศ แตกออกเปน 2 สวน ทง 2 สวนยงคงเคลอนทเปนโปรเจกไตลตอไป กระนน ทจดศนยกลางของมวลทงสองยงคงเคลอนทแบบโปรเจกไตลตามแนวเดมเสมอนกบตอนทลกปนใหญยงไมไดระเบด

22

รป 7-10 ลกปนใหญระเบดกลางอากาศ ชนสวนเคลอนทตอไป กระนนจดศนยกลางมวล ยงคงเคลอนทเปนแบบโปรเจกไตลเหมอนกบตอนทยงไมไดระเบด จดศนยกลางมวลจะชวยในการวเคราะหการเคลอนทของวตถแขงเกรง ซงจะมทงการเคลอนทแบบยายต าแหนง และการหมน ซงจะอธบายอยางละเอยดตอไปในบทท 9

จาก MA = dtmdv

= dtdP

................... (7-32)

สรปไดวา แรงภายนอกทกระท ากบระบบ คอ อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมตอหนวยเวลา

Fนอก = dtdP

ถา Fนอก = 0 , P = คาคงท มความหมายวา ถาไมมแรงภายนอกโมเมนตมของระบบจะคงท

ตวอยาง 7-12 มวล 2 kg และ 3 kg ก าลงเคลอนทไปบนแกน x ณ เวลาหนง มวล 2 kg อยหางจากจดตงตน 1

m มความเรว 3 ms-1 และมวล 3 kg หางจากจดตงตน 2 m มความเรว -1 ms-1 จงหาต าแหนงและความเรวของจดศนยกลางมวลและโมเมนตมรวมของระบบ

หลกการค านวณ จากสมการ (7-27)

X = kg3kg2

m)kg)(2(3m)kg)(1(2

= 1.6 m จากสมการ (7-28)

V = kg3kg2

)sm1kg)((3)smkg)(3(2 11

= 0.6 ms-1 โมเมนตมรวมหาไดจาก

P = (2 kg)(3 ms-1) + (3 kg)(-1 ms-1)

= 3 kgms-1 หรอจะหาจากสมการ (7-29) โมเมนตมรวม = มวลรวมคณกบความเรวจดศนยกลางมวล

P = (5 kg)(0.6 ms-1)

= 3 kgms-1

7-8 แรงขบดนของจรวด__________________________________________ เชอเพลงทถกขบดนออกมาจะผลกจรวดใหพงขนไป ยงเชอเพลงถกขบดนออกมามากเทาไหร มวลของจรวดกยงลดลงมากเทานน เปนความจรงทวามวลของจรวดสวนใหญคอเชอเพลง ดงนนเพอให การค านวณงายขน ไมตองคดแรงเสยดทานของอากาศ

23

รป 7-11 (a) ณ เวลา t ใด ๆ ขณะทจรวดก าลงพงขน จรวดมมวล m ความเรว v และมโมเมนตม mv (b) ณ เวลา t + dt มวลของจรวดลดลงเหลอ m - dm ความเรวเพมขนเปน v + dv จรวด มโมเมนตม (m - dm)(v + dv) สวนเชอเพลงจะมโมเมนตม = dm (v - vr) ; vr คอ ความเรวของเชอเพลงพงลงสมพทธกบจรวดมทศทางลง

ณ เวลา t ใด ๆ จรวดมมวล m ความเรว v และโมเมนตม mv ในชวงเวลาสน ๆ ทเพมขน dt มวลของเชอเพลง dm ถกขบดนออกจากจรวด

ก าหนดให vr คอ ความเรวของเชอเพลงพงลงสมพทธกบจรวด และ v คอความเรวของ

เชอเพลงสมพทธกบโลก จะได v = v - vr โมเมนตมของเชอเพลง

dm v = dm (v - vr) ชวงเวลาสน ๆ dt มวลของจรวดจะลดลงเหลอ m - dm ความเรวจะเพมขนเปน v + dv จรวดจะมโมเมนตม = (m - dm)(v + dv) ดงนน โมเมนตมรวมทเวลา t + dt คอ (m - dm)(v + dv) + dm (v - vr) ถาไมคดแรงเสยดทานของอากาศ แรงภายนอกของจรวดกมเพยงแรงเดยวเทานน คอ - mg (ก าหนดใหทศขนเปนบวกและทศลงเปนลบ ; mg มทศลงจงเปนลบ) จากสมการ (7-32)

Fนอก = dtdP

- mgdt = (m - dm)(v + dv) + dm(v- vr) - mv - mgdt = mdv - dmvr – (dm)(dv) เทอม dmdv มคานอยมาก สามารถตดทงได หารแตละเทอมดวย dt และจดเทอมใหมจะได

dtdv

m = mgdtdm

v r

................... (7-33)

24

dtdv

คอความเรงของจรวด คณกบมวล เปนแรงสทธทกระท ากบจรวด ซงจะเทากบ แรงขบดนของ

จรวด

dtdm

v r ลบดวยน าหนกของจรวด mg

ความเรงของจรวด dtdv

= gdtdm

m

v r

................... (7-34)

ขณะทจรวดพงสงขนเรอย ๆ คา g จะลดลงตามระดบของความสง ( อวกาศ g 0 )

dtdm

คอมวลของเชอเพลง ทถกขบดนออกมาตอหนวยเวลา

จากสมการ (7-34) dv = gdtdmm

v r

เนองจากมวลของจรวดลดลง dm จะตองแทนดวย - dm ก าหนดใหมวลและความเรวท t = 0 เปน m0 และ vo ดงนน

v

vdv0

=

t

0gdt

m

m mdm

v0

r

v - v0 = -vr n gtmm

0

v = v0 + vr n gtm

m0 ................... (7-35)

ตวอยาง 7-13 วนาทแรก จรวดจะขบเชอเพลง 1/60 ของมวลทงหมด ดวยความเรวสมพทธกบจรวด =

2400 ms-1 ความเรงของจรวดจะเปนเทาไร

หลกการค านวณ ใชเชอเพลงไป dm = m/60 ในชวงเวลา dt = 1s จากสมการ(7-34)

dtdv

= 21

m.s9.8(60)(1s)

m.s2400

= 30.2 m.s-2

ตวอยาง 7-14 จากตวอยาง 7-13 อตราสวนมวลจรวดเรมตน m0 ตอมวลจรวด เมอเวลาผานไป 60 s

เทากบ 4 จงหาความเรวของจรวด ณ เวลาน ถาจรวดเรมตนจากหยดนง

หลกการค านวณ

25

จากสมการ (7-35)

v = (2,400 ms-1)( n 4) - (9.8 ms-2)(60 s)

= 2,740 ms-1 ขณะทจรวดก าลงจะเรมเคลอนท ความเรวของจรวดเปนศนย แตความเรวของเชอเพลงเทยบกบโลกเทากบ vr เมอความเรวของจรวดเพมขนเทากบ vr ความเรวของเชอเพลงเทยบกบโลกจะเปนศนย และถาความเรวของจรวดเพมขนมากกวา vr ความเรวของเชอเพลงเทยบกบโลก ( v ) กจะอยในทศเดยวกบการเคลอนทของจรวด ดงเชน v = v - vr

= (2,740 - 2,400) ms-1

= 340 ms-1 อยในทศทางเดยวกบจรวด ลองสงเกตการสงจรวดด จะเหนวาเชอเพลงวงตามจรวดขนไป

บรรยายลงในกระดานฟสกสราชมงคล

วนท 10 สงหาคม ค.ศ. 1972 มลกอกกาบาตลกหนงพงผานโลก ทางฝ งตะวนตกของทวปอเมรกาเหนอ เหนเปนทางสขาวพงผานทางขอบฟา สามารถเหนไดในตอนกลางวนอยางชดเจนดงรป การเคลอนทของมนใกลโลกคอนขางมาก มโอกาสทจะพงเขาชนโลกตลอดเวลา มวลของลกอกกาบาตลกนมคาเทากบ 4,000,000 kg และมความเรวประมาณ 15 กโลเมตรตอวนาท สมมตวามนเปลยนทศทางพงเขาชนโลกในแนวดงดวยความเรวเทาเดม จะเกดอะไรขน นกฟสกสทดลองค านวณความหายนะใหกบคณ ค าตอบ ใหนกศกษาลองบรรยายความหายนะดวยตนเองลงใน กระดานฟสกสราชมงคลใหม

26

1. จงหาโมเมนตมของอนภาคมวล 3.0 kg ซงมความเรว (3i-4j) m/s [ ตอบ (9i-12j) kg.m/s ] 2. ลกปนมวล 10 g ถกยงเขาในเนอบลอกไมมวล 5 kg ทนทหลงกระทบบลอกไมทมลกปนฝงในเคลอนทไปดวย

อตราเรว 0.6 m/s จงค านวณหาอตราเรวของลกปนกอนกระทบกบบลอกไม [ ตอบ 300.6 m/s ] 3. ลกเบสบอลมวล 0.145 kg ลกหนงก าลงเคลอนทในทศ +y ดวยอตราเรว 1.30 m/s และลกเทนนสมวล

0.0570 kg ลกหนงก าลงเคลอนทในทศ –y ดวยอตราเรว 7.80 m/s จงหาขนาดและทศของโมเมนตมทงหมดของระบบลกบอลสองลกน [ ตอบ 0.256 kg.m/s ทศ –y ]

4. ลกฮอกกมวล 0.160 kg ก าลงเคลอนทไปบนผวน าแขงแนวระดบลนท t = 0 ลกฮอกกก าลงเคลอนไปทางขวา

เรว 3.00 m/s ก) จงหาความเรวของลกฮอกก (ขนาดและทศทาง) หลงจากทแรง 25.0 N ทศไปทางขวาไดท าตอ ลกฮอกกนาน 0.050 s [ ตอบ 10.8 m/s ไปทางขวา ] ข) ถาแรงขนาด 12.0 N ซงมทศไปทางซายท าแทนจาก t = 0 ถง t = 0.050 s จงหาความเรว สดทายของลกฮอกก [ ตอบ 0.75 m/s ไปทางซาย ] 5. คณก าลงยนอยบนแผนน าแขงแหงหนง มแรงเสยดทานนอยมากระหวางเทาของคณกบน าแขง เพอนคนหนง

โยนลกบอลมวล 0.400 kg ซงก าลงเคลอนทดวยอตราเรว 10.0 m/s ใสคณ คณมมวล 70.0 kg ก) ถาคณรบลกบอล คณและลกบอลจะเคลอนทดวยอตราเรวเทาใดหลงจากนน [ ตอบ 5.68 x 10-2 m/s ]

ข) ถาลกบอลโดนคณและกระดอนออกจากหนาอกของคณและท าใหลกบอลเคลอนทออกไปในแนว ระดบดวยอตราเรว 8.0 m/s ในทศตรงขาม อตราเรวของคณมคาเทาใด

[ ตอบ 0.103 m/s ]

ทดสอบกอนและหลงเรยน

วธท า ให ใสชอ สกล เลอกวชาทสอบ และจ านวนขอ แตตองไมเกนจากทก าหนดไว เชน ก าหนดไว 10 ขอ เวลาเลอกจ านวนขอ ใหเลอก 5 และ 10 ขอไมเกนจากน เปนตน เมอ

ท าเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผท าขอสอบไดทนท เรอง การดลและโมเมนตม

คลกเขาส ทดสอบกอนและหลงเรยน

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย คลกครบ

แบบฝกหดเรองการดลและโมเมนตม

27

6. วตถ A ในรป มมวล 1.00 kg และวตถ B มมวล 3.00 kg วตถทงสองถกดนเขาหากนโดยการอดสปรง S

ระหวางวตถทงสอง หลงจากนนกปลอยระบบจากหยดนงบนผวลนแนวระดบ สปรงซงมมวลนอยมากไมไดถกยดไวกบวตถใดและตกลงบนพนหลงจากทขยายตวออก วตถ B มอตราเรว 1.20 m/s หลงจากนน

ก) อตราเรวสดทายของ A มคาเทาใด [ ตอบ 3.60 m/s ] ข) พลงงานศกยทสะสมอยในสปรงมคาเทาใด [ ตอบ 8.64 J ] 7. นายเคนและนางสาวคมก าลงสเกตไปดวยกนบนลานสเกตทอตราเรว 3.00 m/s นายเคนถามนางสาวคม อย

นนแหละวาเธอหนกเทาไหร นางสาวคมร าคาญมากกเลยผลกตวจากนายเคน ท าใหเธอมอตราเรวเปน 4.00 m/s และเขามอตราเรวลดลงเปน 2.25 m/s ในทศเดยวกน แรงเสยดทานมขนาดนอยมากถานายเคนหนก 700 N นางสาวคมหนกเทาใด [ ตอบ 525 N ]

8. ระบบอนภาคกอนหนงตงอยในสภาพนง ในทนใด เกดระเบดออกเปนสามสวน คอ A B และ C ซงมมวลเปน 3

kg, 2 kg และ 1 kg ตามล าดบ ถาหลงจากการระเบด A มความเรว ( 3.0 m/s ) i และ B มความเรว ( -1.0 m/s ) j จงหาความเรวของ C หลงจากการระเบด [ ตอบ ( - 9i +2j ) m/s ]

9. เมอวตถมวล 3 kg มความเรว (5 m/s) i ชนกบวตถมวล 2 kg ซงมความเรว ( - 3 m/s) j จงหาความ เรว

หลงชนของมวลทงสองถาการชนครงนเปนแบบไมยดหยนอยางสมบรณ [ ตอบ (3i-1.1j) kg.m/s ] 10. คณอยทศนยควบคมเครองเรงอนภาคและก าลงสงล าโปรตอนอตราเรว 1.50 x 107 m/s (มวล m) ไปยงเปา

กาซของธาตทไมรชนด เครองตรวจจบของคณบอกวาโปรตอนบางอนภาคกระดอนยอนกลบทางเดมหลงชนกบนวเคลยสของธาตทไมรชนดน โปรตอนเหลานกระดอนกลบดวยอตราเรว 1.20 x 107 m/s สมมตวาอตราเรวเดมของนวเคลยสทเปนเปามขนาดนอยมากและการชนเปนแบบยดหยน

ก) จงหามวลของนวเคลยสของธาตทไมรชนดนหนงอนภาค ใหตอบในรปของมวลโปรตอน m [ตอบ 9.00 m ] ข) อตราเรวทนทหลงการชนของนวเคลยสทไมรชนดนมคาเทาใด [ ตอบ 3.00 x 106 m/s ] 11. โครงแขวนมวล 0.150 kg อนหนงเมอแขวนจากขดสปรงขดหนงท าใหสปรงขดนนยดออก 0.050 m ปลอย

กอนดนน ามนมวล 0.200 kg กอนหนงจากหยดนงจากทสง 30.0 cm ลงมาบนโครง จงหาวาโครงยดลงมามากทสดจากต าแหนงเดมเทาใด [ ตอบ 23.2 cm ]

28

12. อนภาคโปรตอนมวล 1.66 x 10-27 kg พงชนโดยตรงกบอะตอมฮเลยมมวล 6.64 x 10-27 kg ซงอยนง ท าให

อะตอมฮเลยมเคลอนทดวยความเรว 5 x 105 m/s จงหา ก) ความเรวของโปรตอนกอนและหลงชน [ ตอบ 1.25 x 106 m/s, -7.5 x 105 m/s ] ข) พลงงานทถายโอนใหกบอะตอมฮเลยมคดเปนรอยละ [ ตอบ 64% ] 13. ลกปนมวล 12 กรม ถกยงฝงอยในทอนไมมวล 100 กรม ซงอยนงบนพนระนาบท าใหทอนไมไถลไป 7.5 m

กอนทจะหยดเคลอนท ถาสมประสทธความตานทานระหวางผวสมผสเปน 0.65 จงหาอตราเรวของลกปนในทนททนใดกอนชน [ ตอบ 91.2 m/s ]

14. ลกบลเลยดเคลอนทดวยความเรว 5 m/s พงเขาชนลกบลเลยดอกลกหนงซงมมวลเทากนแตอยนงกบท ท าให

ลกแรกเคลอนทดวยความเรว 4.33 m/s เปนมม 30 องศา กบแนวการเคลอนทเดม จงหาขนาดและทศทางของความเรวส าหรบลกทสองซงถกชน โดยไมค านงถงแรงเสยดทานใดๆ และการหมนของลกบลเลยด [ ตอบ 2.5 m/s ท ามม -60 องศา ]

15. ถาเครองยนตของจรวดเผาผลาญเชอเพลงในอตรา 80 kg/s และพนแกสออกมาดวยอตราเรว 2.5 km/sจงหา

แรงผลกดนทเกดจากการพนเชอเพลงออกทางดานหลงของจรวด [ ตอบ 200 kN ]