151

บทที่ 7 การดลและโมเมนตัม

บทที่แลวเราไดศึกษาแนวคิดเกี่ยวกับพลังงาน และการประยุกตเพ่ือแกปญหาโจทย แตในบทนี้ เราจะพัฒนาแนวความคิดจากเดิมย่ิงขึ้นไปอีก โดยขยายออกไปอีก 2 แนวคือ การดลและโมเมนตัม เพ่ืออธิบายเหตุการณเฉพาะบางอยาง เชน การชนและการกระแทกที่เกิดขึ้นในชวงระยะเวลาสั้น ๆ

เครื่องบินโบอิ้ง 767-200ER ขณะที่พุงเขาชนตึกเวลดเทรดมีโมเมนตัม และพลังงานจลนเทาไร (ยังไมรวมพลังงานของเชื้อเพลิง) และถารวมพลังงานของเชื้อเพลิงดวยแลวมีพลังงานรวมเทาไร ทดลองเทียบกับระเบิดปรมาณูที่หยอนลงที่ญี่ปุนเปนกี่ลูก (กําหนดให 1,000,000 ตันของระเบิดทีเอ็นที เทากับพลังงาน 4.2 x 1015 จูล แรงระเบิดของปรมาณู 1 ลูกเทากับระเบิดทีเอ็นที 13,000 ตัน) สามารถหาคําตอบได คลิกครับ

การกอวินาศกรรมตึกแฝดเวิลด เทรด เซ็นเตอร ที่มหานครนิวยอรกไดเกิดขึ้นแลว พรอมกับคําถามมากมาย โดยเฉพาะกับขอสงสัยที่วา ตึกอันสูงสงาเชนนี้ ถึงกาลอวสานไดอยางไร นักศึกษาสามารถชมภาพวีดีโอได คลิกครับ

7-1 การดลและโมเมนตัม__________________________________________ พิจารณาอนุภาคมวล m กําลังเคล่ือนที่เปนเสนตรง มีแรง F คงที่ กระทํากับอนุภาคในแนว การเคลื่อนที่ v0 คือ ความเร็วเริ่มตน ดังนั้น ความเร็ว ณ เวลาใด ๆ v = vo + at คูณสมการทั้งสองขางดวย m และแทน ma ดวย F ผลก็คือ mv = mv0 + Ft จัดรูปใหม mv - mv0 = Ft ................... (7-1)

สมการขวาเปนผลคูณของแรงกับเวลา มีชื่อเรียกวา การดล แทนดวยสัญลักษณ J และแรงที่ทําใหเกิดการดลเราเรียกวา “แรงดล” แรงดลขนาดคงที่ F กระทํากับมวลในชวงเวลา t1 ถึง t2 จะได

ฟสิกสราชมงคล

152

การดล = J = F(t2 - t1) ................... (7-2) สมการขางซายของ (7-1) คือผลตางของมวลคูณกับความเร็ว เรียกปริมาณใหมนี้วา โมเมนตัม บางครั้งเรียกวา โมเมนตัมเชิงเสน แตกตางจากโมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งจะอธิบายตอไปในภายหลัง ใหใชสัญลักษณ P แทนโมเมนตัมเชิงเสน โมเมนตัม = P = mv ................... (7-3) แปลความหมายสมการ (7-1) ไดวา การดลคือการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ให v1 เปนความเร็วของอนุภาค ที่ t = t1 และ v2 คือความเร็ว ที่ t = t2 ดังนั้น F (t2 - t1) = mv2 - mv1 .................... (7-4) โมเมนตัมขึ้นอยูกับการเคลื่อนที่ของอนุภาค สวนการดลเกี่ยวกับแรงที่กระทําในชวงเวลาหนึ่ง ดังนั้น สมการ (7-4) เปนความสัมพันธระหวางแรงกับการเคลื่อนที่ จากกฎขอท่ีสองของนิวตัน

F = ma = dt

dp

dt

d(mv)

dt

mdv==

การดลและโมเมนตัมเปนปริมาณเวกเตอร เขียนอยูในรูปของเวกเตอรไดดังนี้ การดล = J = F (t2 - t1) .................... (7-5) โมเมนตัม = P = mv .................... (7-6) เขียนสมการ (7-4) ใหมในรูปของเวกเตอร F (t2 - t1) = mv2 - mv1 ................... (7-7) การเปล่ียนแปลงของโมเมนตัมเชิงเสน มีลักษณะคลายกับการเปลี่ยนแปลงของงาน พลังงานจลนและพลังงานศักย ดังที่ไดอธิบายจากบทที่แลว แตก็มีความแตกตางอยู อยางแรก การดล เปนผลคูณของแรงกับเวลา ขณะที่งานคือผลคูณของแรงกับระยะทางตามแนวแรง อยางที่สอง การดลและโมเมนตัมเปนปริมาณเวกเตอร แตงานและพลังงานจลนเปนปริมาณสเกลาร

ตัวอยาง 7-1 กลองมวล 2 kg เคล่ือนที่ไปบนแกน x ดวยความเร็วเริ่มตน 3 m⋅s-1 มีแรง F = -6 N

(ทิศ -x) กระทํากับกลองเปนเวลา 3 วินาที จงหาความเร็วสุดทาย

หลักการคํานวณ จากสมการ (7-4)

(-6 N)(3 s) = (2 kg)(v2) - (2 kg)(3 m⋅s-1)

v2 = -6 m⋅s-1

เครื่องหมายลบ แสดงวาอนุภาคกําลังเคล่ือนที่อยูบนแกน -x

หนวยของการดลคือ 1 นิวตัน⋅วินาที (1 N⋅s)

หนวยของโมเมนตัมคือ 1 กิโลกรัมเมตรตอวินาที (1 kg⋅ m⋅s-1)

1 kg⋅m⋅s-1 = (1 kg⋅m⋅s-2)⋅s = 1 N⋅s

ฟสิกสราชมงคล

153

ขอสังเกต หนวยของโมเมนตัมกับการดลจะเหมือนกัน เราพ่ึงจะอธิบายการดลในกรณีที่แรงคงที่ แตถากรณีที่แรงไมคงที่ จะเขียนสมการในอีก รูปแบบหนึ่ง พิจารณามวล m ถูกกระทําดวยแรง F ที่ไมคงที่ เคล่ือนที่บนระนาบ xy จากกฎขอท่ีสองของ นิวตัน

F = ma = dt

mdv

หรือ Fdt = mdv ถา v1 เปนความเร็วของอนุภาค ที่ t = t1 และ v2 คือความเร็ว ที่ t = t2 ดังนั้น

= ................... (7-8) ∫2

1

t

tdtF ∫

2

1

v

vmdv

อินทิกรัลของสมการขางซายคือการดล J ของแรง F ในชวงเวลา t1 ถึง t2

การดล = J = ∫2

1

t

tdtF

เราสามารถหาผลของการอินทิกรัลได ถาทราบฟงกชันของ F กับเวลาเปนอยางไร อินทิกรัลสมการทางขวาของสมการ (7-8)

= = m (v∫2

1

v

vmdv ∫

2

1

v

vdvm 2 - v1)

แทนลงไปในสมการ (7-8) จะได

= mv∫2

1

t

tdtF 2 - mv1 ................... (7-9)

รูป 7-1 พ้ืนที่ส่ีเหล่ียมเล็กแรเงา คือการเปลี่ยนโมเมนตัมในชวงเวลา Δt

ฟสิกสราชมงคล

154

ถาแรง F คงที่ ใชสมการ (7-7) ได แตถาแรง F ไมคงที่ เราก็สามารถหาคาเฉล่ียของ F กอน แลวคอยคูณกับเวลา ดังนี้ Fav (t2 - t1) ซึ่งก็คือพ้ืนที่ใตกราฟ รูป 7-1 ดังสมการ Fav (t2 - t1) = J = mv2 - mv1 ................... (7-10)

จากสมการ (7-9) ถาแรงและความเร็วกระทําอยูบนระนาบ xy ก็สามารถเขียนอยูในรูปของ สมการสเกลารแตละแกนไดดังนี้

= mv∫2

1

x

t

tdtF 2x - mv1x

= mv∫2

1

y

t

tdtF 2y - mv1y

…………… (7-11)

คือพื้นที่ใตเสนกราฟ จาก t∫2

1

t

tdtF 1 ถึง t2 ซึ่งก็คือการดลจาก t1 ถึง t2 นั่นเอง

ถาการดลมีเครื่องหมายเปนบวก แสดงใหเห็นวาโมเมนตัมกําลังเพ่ิมขึ้น แตถาการดลมี เครื่องหมายเปนลบ แสดงใหเห็นวาโมเมนตัมกําลังลดลง และถาการดลเปนศูนย แสดงวาไมมีการ เปล่ียนแปลงโมเมนตัม

ตัวอยาง 7-2

รูป 7-2 การดล คือพ้ืนที่ใตกราฟระหวางแรงดลกับเวลา จงอธิบายการดลและการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมดวยแรงตาง ๆ เหลานี้ (ถาพ้ืนไมมีแรงเสียดทาน) มวลไดรับแรงกระทําดังนี้ ก) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ดังรูป 7-2a ข) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ตอจากนั้นเปล่ียนทิศทางของแรงไปทางซาย 20 N เปนเวลา 2s ดังรูป 7-2b ค) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ตอจากนั้นเปล่ียนทิศทางของแรงไปทางซาย 20 N เปนเวลา 1s ดังรูป 7-2c

ฟสิกสราชมงคล

151

หลักการคํานวณ ก) การดลจากกราฟรูป 7-2a คือ (10 N)(2 s) = + 20 N⋅s การดลมีเครื่องหมายเปนบวกแสดงวาโมเมนตัมกําลังเพ่ิมขึ้น 20 kg⋅m⋅s-1

สมมติใหมวลมีขนาด 2 kg เร่ิมจากหยุดนิ่ง ความเร็วสุดทายคํานวณไดเทากับ 10 m⋅s-1 มีทิศไปทางขวา

กรณีแรก ถาเริ่มตนมวลมีความเร็ว 5 m⋅s-1 ไปทางขวา แสดงวามีโมเมนตัมเริ่มตนอยูแลว

เทากับ10 kg⋅m⋅s-1 โมเมนตัมสุดทายคํานวณไดเทากับ 30 kg⋅m⋅s-1 หาความเร็วสุดทายไดเทากับ 15 m⋅s-1 ไปทางขวา

กรณีท่ีสอง ถาเริ่มตนมวลมีความเร็ว 5 m⋅s-1 ไปทางซาย แสดงวามีโมเมนตัมเริ่มตนอยูแลว

เทากับ -10 kg⋅m⋅s-1 โมเมนตัมสุดทายคํานวณไดเทากับ 10 kg⋅m⋅s-1 หาความเร็วสุดทายไดเทากับ

5 m⋅s-1 ไปทางขวา ขอสังเกต สําหรับกรณีที่สองเริ่มตนมวลเคลื่อนที่ไปทางซาย สุดทายมวลกลับทิศทางไปทางขวา เน่ืองมาจากแรงคงที่ 10 N มีทิศตานการเคลื่อนที่ ข) การดลจากกราฟ รูป 7-2 b คือ

(10 N)(2 s) - (20 N)( 2 s) = - 20 N⋅s การดลมีเครื่องหมายเปนลบ แสดงวาโมเมนตัมลดลง 20 kg⋅m⋅s-1

ค) การดลจากกราฟ รูป 7-2 c คือ (10 N)(2 s) - (20 N)( 1 s) = 0 การดลเปนศูนยแสดงวาโมเมนตัมรวมของมวลไมมีการเปล่ียนแปลง จากกราฟโมเมนตัม เพ่ิมขึ้น 2 วินาทีแรก และจะลดลงดวยขนาดที่เทากันใน 1 วินาทีหลัง

ตัวอยาง 7-3

รูป 7-3 การดลคือพ้ืนที่ใตกราฟระหวางแรงดลกับเวลา

ฟสิกสราชมงคล

152

ลูกบอลมวล 0.40 kg ถูกขวางไปทางซายดวยความเร็วในแนวระดับ 30 m⋅s-1 กระทบกับ

กําแพงสะทอนกลับมาทางขวาดวยความเร็ว 20 m⋅s-1 จงหาแรงดลที่กําแพงกระทํากับลูกบอล ถาลูกบอลสัมผัสกับกําแพงเปนเวลา 0.010 s

หลักการคํานวณ โมเมนตัมเริ่มตนของลูกบอลเทากับ (0.40 kg)(-30 m⋅s-1) = - 12 kg⋅m⋅s-1

โมเมนตัมสุดทายเทากับ 8.0 kg⋅m⋅s-1

ดังนั้น การเปล่ียนโมเมนตัม mv2 - mv1 = 8.0 kg⋅m⋅s-1 - (-12 kg⋅m⋅s-1)

= 20 kg⋅m⋅s-1 = การดล

การดลมีเครื่องหมายเปนบวก แสดงวา แรงดลก็มีเครื่องหมายเปนบวกมีทิศไปทางขวา ลักษณะของกราฟรูป 7-3 ทั้ง a, b และ c แรงดลเปนศูนยกอนกระทบ ตอมาแรงดลจะสูงสุดและลดลงเปนศูนยอีกครั้ง หลังสะทอนจากกําแพง ในกรณีที่ลูกบอลคอนขางแข็ง เพราะสูบลมเขาไปมาก เวลาของการชนจะสั้น แรงดลจะพุงขึ้นไปสูง ดังกราฟรูป (a) แตถาลูกบอลคอนขางนิ่ม เวลาของการชนจะมากขึ้น ดังกราฟรูป (b)

อยางไรก็ตามไมวาจะเปนกรณีใด พ้ืนที่ใตกราฟจะเทากับ 20 N⋅s ทุกกราฟ

ถาลูกบอลสัมผัสกับกําแพงเปนเวลา 0.010 s จากสมการ (7-10)

Fav (0.010 s) = 20 N⋅s Fav = 2,000 N แรงเฉล่ีย (Fav) สามารถแสดงไดดวยเสนขนาน ดังรูป (c)

ตัวอยาง 7-4 จากตัวอยาง 7-3 ใหลูกบอลมีความเร็วเริ่มตนไปทางซาย 30 m⋅s-1 หลังกระทบกับกําแพง

ความเร็วเปล่ียนไปทางขวาทํามุม 45o กับระดับเทากับ 30 m⋅s-1 จงหาแรงดลและแรงเฉลี่ย ถาลูกบอลสัมผัสกับกําแพงเปนเวลา 0.010 s

หลักการคํานวณ เน่ืองจากความเร็วกอนกระทบและหลังกระทบกําแพงไมไดอยูในทิศทางเดียวกัน เวลาคํานวณการเปล่ียนโมเมนตัมและการดลจะตองแยกเปนแกน x และ y อิสระจากกัน ดังนั้น ใหแกน x เปนแกนที่อยูในแนวระดับ ไปทางขวาเปนบวก และไปทางซายเปนลบ และใหแกน y เปนแกนที่อยูในแนวดิ่ง ขึ้นเปนบวก และลงเปนลบ

v1x = -30 m⋅s-1 , v1y = 0

v2x = v2y = (0.707)(30 m⋅s-1) = 21.2 m⋅s-1

เขียนโดยมีเวกเตอร 1 หนวยกํากับ

v1 = (-30 m⋅s-1) i ,

v2 = (21.2 m⋅s-1) i + (21.2 m⋅s-1) j

การดลบนแกน x คือการเปลี่ยนโมเมนตัมบนแกน x ; สวนบนแกน y ก็คิดแบบเดียวกัน Jx = m (v2x - v1x)

= (0.4 kg)[21.2 m⋅s-1 - (-30 m⋅s-1)]

ฟสิกสราชมงคล

153

= 20.5 kg⋅m⋅s-1

Jy = m (v2y - v1y)

= (0.4 kg)[21.2 m⋅s-1 - 0 m⋅s-1]

= 8.48 kg⋅m⋅s-1

เขียนรวมได

J = (20.5 kg⋅m⋅s-1)i + (8.48 kg⋅m⋅s-1)j แรงเฉล่ียแยกเปนแกน x และ y ไดดังนี้

Fx = t

JxΔ

= 2,050 N , Fy

= t

JyΔ

= 848 N

เขียนรวมได Fav = (2,050 N)i + (848 N)j

ขนาดและทิศทางของแรงเฉลี่ย คือ

Fav = 22 (848N)(2,050N) +

= 2,218 N

θ = tan-1 N2,050

N848

= 22.5o

รูป 7-4 ถายภาพดวยการใชเทคนิคพิเศษ โดยการใหสัญญาณไฟแฟลซสม่ําเสมอ เปดหนากลอง บันทึกภาพลงบนฟลม เปนภาพของลูกบอลขณะสัมผัสกับไมแรกเก็ตเปนเวลา 0.01 s

ฟสิกสราชมงคล

154

การทดลองเสมือนจริง

การทดลองเสมือนจริงเรื่องการดลและโมเมนตัม กดที่รูปหรือท่ีนี่เพ่ือเขาสูการทดลอง

7-2 กฎการคงตัวของโมเมนตัม______________________________________ ขณะที่วัตถุ 2 อัน เคล่ือนที่เขาชนกัน วัตถุอันแรกมีแรงกระทํากับวัตถุอันที่สอง ตามกฎขอท่ี 2 ของนิวตัน จะเกิดการเปลี่ยนโมเมนตัมและการดล และจากกฎขอท่ี 3 วัตถุอันที่สองก็จะมีแรงปฏิกิริยาที่ เทากันกระทําตอวัตถุอันแรก ใหโมเมนตัมรวมของระบบเปน P ดังนั้น P = mv1 + mv2 + mv3 + .... = P1 + P2 + ... .............(7-12) ถาโมเมนตัมรวมของระบบคงที่ แสดงวาในระบบมีโมเมนตัมยอยหนึ่งเพ่ิมขึ้น ก็ตองมีโมเมนตัมยอยอีกอันหนึ่งลดลง เพ่ือใหผลรวมโมเมนตัมของระบบคงที่นั่นเอง แรงที่กระทําอยูภายในระบบ (ดังตัวอยางบนประกอบขึ้นดวยมวล 2 อันเคล่ือนที่เขาชนกัน) เรียกวา แรงภายใน สวนแรงจากภายนอกที่กระทํากับระบบเรียกวา แรงภายนอก ถาไมมีแรงภายนอกกระทํากับระบบ ระบบนั้นเรียกวา ระบบอิสระ สามารถใชกฎการคงตัวของโมเมนตัมได ดังนั้น สามารถสรุปไดวา โมเมนตัมของระบบอิสระจะคงที่หรืออนุรักษ กระนั้น ถามีแรงภายนอกกระทํากับระบบ แตถาแรงสุทธิเปนศูนย โมเมนตัมรวมยังคงที่ สวนแรงภายในแมจะมีผลเปล่ียนโมเมนตัมยอยภายในระบบ แตเมื่อรวมทั้งระบบแลว โมเมนตัมคงที่

ขอสังเกต แมแรงภายในจะไมอนุรักษ กฎการคงตัวของโมเมนตัมยังคงใชไดเหมือนกับแรง

อนุรักษ

ฟสิกสราชมงคล

155

ตัวอยาง 7-5 มวล A และมวล B เคล่ือนที่เขาชนกันบนพ้ืนระดับที่ไมมีแรงเสียดทาน แรงลัพธสุทธิทั้ง

แนวดิ่งและแนวระดับมีคาเทากับศูนย ดังนั้น โมเมนตัมรวมของระบบคงที่ กําหนดใหหลังจากมวลทั้งสองชน

กันแลว มวล B เคล่ือนที่ดวยความเร็ว + 2 m⋅s-1 มวล A มีความเร็วเปนเทาไรหลังชน

รูป 7-5 แผนภาพโมเมนตัมของตัวอยาง 7-5

หลักการคํานวณ กําหนดใหความเร็วหลังชนของ A แทนดวยตัวแปร vA2

เน่ืองจากโมเมนตัมรวมของระบบคงที่ โมเมนตัมรวมกอนชน = โมเมนตัมรวมหลังชน

(5.0 kg)(2 m⋅s-1) + (3.0 kg)(-2 m⋅s-1) = (5.0 kg) vA2 + (3.00 kg)(2 m⋅s-1)

แกสมการ จะได vA2 = - 0.4 m⋅s-1

เครื่องหมายลบแสดงวา มวล A หลังชนเคล่ือนที่ไปทางซายดวยความเร็ว 0.4 m⋅s-1

ตัวอยาง 7-6 ลูกเหล็ก 2 ลูกเคล่ือนที่เขาชนกันบนพ้ืนระดับที่ไมมีแรงเสียดทาน กําหนดใหลูกเหล็ก A

มีมวล 5 kg เคล่ือนที่ดวยความเร็วตน vA1 = 2 m⋅s-1 บนแกน x ชนกับลูกเหล็ก B มวล 3 kg หยุดนิ่งอยูกับที่

หลังจากการชน ความเร็วสุดทาย vA2 = 1 m⋅s-1 ทํามุม θ = 30o กับแกน x ความเร็วสุดทายของ B จะเปนเทาไร

รูป 7-6 แผนภาพโมเมนตัมของตัวอยาง 7-6

ฟสิกสราชมงคล

156

หลักการคํานวณ ลักษณะการชนเกิดขึ้นบนระนาบ ดังนั้น เวลาคํานวณการเปลี่ยนโมเมนตัมจะตองแยกเปนแกน x และ y อิสระจากกัน เน่ืองจากโมเมนตัมรวมของระบบคงที่ สําหรับบนแกน x จะได โมเมนตัมกอนชนบนแกน x = โมเมนตัมหลังชนบนแกน x

(5 kg)(2 m⋅s-1) + (3 kg)(0) = (5 kg)(1 m⋅s-1) (cos 30o )+ (3 kg) vB2x

แกสมการ จะได

vB2x = 1.9 m⋅s-1

สําหรับแกน y จะได

(5 kg)(0) + (3 kg)(0) = (5 kg)(1 m⋅s-1)(sin 30o) + (3 kg) vB2y

แกสมการ จะได

vB2y = -0.83 m⋅s-1

ขนาดและทิศทางของ vB2 หาไดจาก

vB2 = 2121 )sm0.83()sm(1.9 −− ⋅−+⋅ = 2.07 m⋅s-1

มุม φ วัดจากแกน x หาไดจาก

φ = tan-1 1

1

sm1.9

sm0.83−

−

⋅

⋅−

= - 24o

เครื่องหมายลบ แสดงวาวัดตามเข็มจากแกน x

7-3 การชน______________________________________________________

รูป 7-7 มวล A ติดกับสปริงเคล่ือนที่เขาชนกับมวล B บนพ้ืนระดับที่ไมมีแรงเสียดทาน หลักการคงตัวของโมเมนตัมแตเพียงอยางเดียวไมสามารถใหรายละเอียดของการชนไดทั้งหมด ตัวอยางเชน มวล mA และ mB มีความเร็วเริ่มตน vB A1 และ vB1 เคล่ือนที่เขาชนกัน หลังจากชนกันแลวความเร็วสุดทายเปน VA2และ VB2 เน่ืองจากไมมีแรงภายนอกกระทํากับระบบ ดังนั้น โมเมนตัมรวมของระบบคงที่ mAvA1 + mBvB B1 = mAvA2 + mBBvB2 ................... (7-13)

ฟสิกสราชมงคล

157

เราทราบแตความเร็วเริ่มตน vA1 และ vB1 แตความเร็วสุดทาย vA2 และ vB2 ไมทราบคา แตมีเพียงสมการ (7-13) เพียงสมการเดียว ไมสามารถหาคาของตัวแปรทั้ง 2 ได เพราะจํานวนสมการ ไมเทากับตัวแปร จึงไมสามารถหาได อยางไรก็ตามถาระหวางการชนแรงที่เกิดขึ้นเปนแรงอนุรักษ พลังงานจลนของระบบทั้งกอนชนและหลังชนจะคงที่ การชนลักษณะนี้เรียกวา การชนแบบยืดหยุน บางทีก็เติมใหยืดยาวเพื่อใหชัดเจนขึ้นวา การชนแบบยืดหยุนสมบูรณ ตัวอยางเชน การชนของลูกบอลที่สูบลมคอนขางแข็ง หรือลูกบิลเลียด อนุโลมไดวาเปนการชนแบบยืดหยุน หรือการชนของรูป 7-7 ก็อนุโลมไดเชนเดียวกัน ลักษณะการชนสามารถ อธิบายไดดังนี้ มวล A กับมวล B เคล่ือนที่เขาชนกัน สปริงจะถูกกดอัดอยูระหวางกลาง พลังงานจลนเปล่ียนรูปไปเปนพลังงานศักยยืดหยุนทั้งหมด เมื่อสปริงถูกกดอัดจนเต็มที่สปริงจะขยายตัวดันมวลทั้งสองออกมา เปล่ียนรูปกลับไปเปนพลังงานจลน เหมือนกับกอนชน พลังงานไมมีการสูญเสีย จึงเปนการชนแบบยืดหยุน แตถาพลังงานจนลหลังชนนอยกวากอนชน เรียกวา การชนแบบไมยืดหยุน เชน หลังจากชนแลว มวล A และ B ติดไปดวยกัน การชนลักษณะนี้พลังงานจะสูญเสียไปในรูปของความรอน

7-4 การชนแบบไมยืดหยุน________________________________________ หัวขอนี้จะพิจารณากรณีเฉพาะ เมื่อมวล A เคล่ือนที่เขาชนมวล B ที่หยุดนิ่ง หลังจากชน แลวมวลที่สองเคล่ือนที่ติดไปดวยกัน ความเร็วสุดทายหลังชนจะเทากัน vA2 = vB2 = v2

จากสมการ 7-13 จะได mAvA1 + mBvB B1 = (mA + mBB) v2 .................... (7-14)

ถาทราบความเร็วตนของ A และ B ก็สามารถคํานวณความเร็วปลายได การชนแบบไมยืดหยุน พลังงานจลนหลังชนจะนอยกวากอนชน จากสมการ (7-14) จะได

v2 = 1BA

A vmm

m

+ .................... (7-15)

ให K1 และ K2 เปนพลังงานจลนกอนและหลังชนตามลําดับ

K1 = 21A vm2

1

K2 = 21

2

BA

ABA v

mm

m)m(m

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

ฟสิกสราชมงคล

158

อัตราสวนพลังงานจลนกอนและหลังชน คือ

1

2

K

K =

BA

A

mm

m

+ .................... (7-16)

อัตราสวนนี้จะนอยกวา 1 เสมอ

ตัวอยาง 7-7 จากรูป 7-5 ถามวลทั้งสองติดไปดวยกันหลังการชน

หลักการคํานวณ จากกฎการคงตัวของโมเมนตัม

(5 kg)(2 m⋅s-1) + (3 kg)(-2 m⋅s-1) = (5 kg + 3 kg)(v2) ;

จะได v2 = 0.5 m⋅s-1

v2 มีเครื่องหมายเปนบวก แสดงวา มวลทั้งสองเคลื่อนที่ไปทางขวาหลังจากชน

พลังงานจลนของ A กอนชนคือ 2AA vm2

1 =

2

1 (5 kg)(2 m⋅s-1)2 = 10 J

พลังงานจลนของ B กอนชนคือ 2BBvm2

1 =

2

1 (3 kg)(-2 m⋅s-1)2 = 6 J

พลังงานจลนรวมกอนชน คือ 16 J ขอสังเกต พลังงานจลนของ B เปนบวก แมวา vB1 และ mvB1 จะเปนลบทั้งคู พลังงานจลนรวมหลังชน คือ

22BA )vm(m

2

1+ =

2

1(5 kg + 3 kg)(0.5 m⋅s-1)2 = 1 J

พลังงานจลนรวมหลังชนเปน 16

1 เทาของพลังงานจลนกอนชน เพราะฉะนั้น

16

15 เทาของ

พลังงานจลนกอนชนจะสูญเสียไปกับการชน พลังงานสวนนี้ไมไดหายไปไหน แตเปล่ียนรูปไปเปนพลังงานความรอน ถามวล A ติดสปริงไว ดังรูป 7-7 หลังจากชนแลวมวล A และ B ติดไปดวยกัน พลังงานที่หายไปนี้ไมไดหายไปไหนจะไปสะสมเปนพลังงานศักยยืดหยุนอยูในสปริง ขอสังเกต สําหรับระบบอิสระไมวาจะเปนการชนแบบไมยืดหยุนหรือยืดหยุนก็ตาม โมเมนตัม ยังคงอนุรักษเสมอ

ฟสิกสราชมงคล

159

ตัวอยาง 7-8 ยิงกระสุนฝงเขาไปใน Ballistic pendulum อุปกรณนี้มีไวสําหรับวัดความเร็วของ

ลูกปน หลังจากถูกยิงแลว Pendulum จะแกวงขึ้นไปเปนระยะ y

รูป 7-8

เพนดูลัมทําดวยไม มวล M แขวนดวยเชือก 2 เสนในแนวดิ่ง ถูกยิงดวยลูกกระสุนมวล m ความเร็ว v ฝงเขาไปในเนื้อไม ถาไมมีแรงภายนอกกระทํากับระบบ โมเมนตัมรวมคงที่ ให V แทนความเร็วของเพนดูลัมและลูกปนหลังถูกยิง, และ v แทนความเร็วของลูกปน

mv = (m + M)V, v = Vm

Mm⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

พลังงานจลนของระบบหลังถูกยิง คือ K = 2

1(m + M)V2

เพนดูลัมแกวงขึ้นไปเปนระยะ y จึงหยุด พลังงานจลนทั้งหมดจะถูกเปล่ียนไปเปนพลังงานศักยโนมถวง ดังนี้

2

1(m + M) V2 = (m + M) gy,

V = 2gy

แทนลงไปในสมการบนจะได v = ( )2gym

Mm⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

ถาทราบคา m, M และ y เราก็คํานวณหาความเร็วของกระสุน v ได สมมติให m = 5.00 g = 0.00500 kg, M = 2.00 kg และ y = 3.00 cm = 0.0300 m จะได

V = m))(0.0300sm2(9.8 2−⋅

= 0.767 m⋅s-1

v = ( )m))(0.0300sm(9.82kg0.00500

kg2.00kg0.005002−⋅×⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

v = 307 m/s

พลังงานจลนกอนยิง คือ 2

1(0.00500 kg)(307 m⋅s-1)2 = 236 J

พลังงานจลนหลังยิง คือ 2

1(2.005 kg)(0.767 m⋅s-1)2 = 0.589 J

พลังงานเกือบทั้งหมดสูญเสียไปกับความรอน ทําใหอุณหภูมิของเพนดูลัมรอนขึ้นหลังจากถูกยิง

ฟสิกสราชมงคล

160

7-5 การชนแบบยืดหยุน__________________________________________ การชนแบบยืดหยุนระหวางมวล A และ B ทั้งพลังงานจลนและโมเมนตัมจะอนุรักษ ดังนั้นจะได

2B1B

2A1A vm

2

1vm

2

1+ = 2

B2B2A2A vm

2

1vm

2

1+

และ mAvA1 + mB vB B1 = mAvA2 + mBB vB2

ถาทราบมวล และความเร็วตนของมวลทั้งสอง ก็ใชสมการบนหาความเร็วสุดทายของมวล ทั้งสองได สมมติให mB เร่ิมตนหยุดนิ่ง และให v เปนความเร็วเริ่มตนของ mB A

vA และ vB เปนความเร็วสุดทายของมวลทั้งสอง จากกฎการคงตัวของพลังงานกับโมเมนตัม

B

2

1 mAv

2 = 2BvB

2AA m2

1vm

2

1+ ................... (7-17)

และ mAv = mAvA + mBvB BB ................... (7-18)

ถาทราบมวล และความเร็วตน v ก็ใชสมการ (7-17) และ (7-18) หาความเร็ว vA และ vB ได B

จัดสมการ (7-17) และ (7-18) ใหม จะได

= 2BBvm )v(vm 2

A2

A − = mA (v - vA)(v + vA) .................... (7-19)

และ mBvB BB = mA(v - vA) .................... (7-20)

หารสมการ (7-19) ดวยสมการ (7-20) จะได

vB = v + vB A .................... (7-21)

แทนกลับลงไปในสมการ (7-20) ขจัดเทอม vB เพ่ือหา v B

mB (v + vB A) = mA (v - vA)

vA = )m(m

)vm(m

BA

BA

+−

.................... (7-22)

แทนกลับลงไปในสมการ (7-21) จะได

vB = B vmm

2m

BA

A

+ .................... (7-23)

ฟสิกสราชมงคล

161

วิเคราะหสมการ ให A เปนลูกปงปอง และ B เปนลูกโบวล่ิง เน่ืองจากมวลของลูกปงปองคอนขางนอยเมื่อเทียบกับลูกโบวล่ิง จากสมการ (7-22) mA << mB ; vB A = -v ลูกปงปองจะสะทอนกลับดวยความเร็วเกือบเทากับความเร็วที่วิ่งเขาชน และจากสมการ (7-23) ความเร็วของ B จะชามากเกือบเทากับศูนย

ทดลองวิเคราะหดวยตนเอง โดยให A เปนลูกโบวล่ิง และ B เปนลูกปงปอง ถามวลทั้งสองเทากัน mA = mB จากสมการ (7-22) และ (7-23) จะได vB BB = v และ vA = 0 คือหลังจากมวลวิ่งเขาชนแลว มวล A จะหยุดนิ่ง มวล B จะเคล่ือนที่ตอไปดวยความเร็วเทากับมวล A สําหรับนักสนุกเกอร เรื่องเหลานี้จะเปนที่ทราบกันดี สมการ (7-21) เขียนใหมไดเปน

v = vB - vB A .................... (7-24) v คือความเร็วสัมพัทธของ A เทียบกับ B กอนชน สวน vB -vB A คือความเร็วสัมพัทธของ B เทียบกับ A หลังจากชนแลว นาแปลกที่วา ความเร็วสัมพัทธมีขนาดเทากันกอนและหลังการชน มีขอแมเพียงประการเดียวเทานั้น คือ ตองเปนการชนแบบยืดหยุนสมบูรณ

ตัวอยาง 7-9 สมมติใหการชนตามรูป 7-5 เปนการชนแบบยืดหยุนสมบูรณ จงหาความเร็วของ A และ B

หลังจากชน

หลักการคํานวณ จากกฎการคงตัวของโมเมนตัม

(5 kg)(2 m⋅s-1) + (3 kg)(-2 m⋅s-1) = (5 kg) vA2 + (3 kg) vB2

5 vA2 + 3 vB2 = 4 m⋅s-1

เพราะเปนการชนแบบยืดหยุนสมบูรณ vB2 - vA2 = - (vB1 - vA1)

= - (-2 m⋅s-1 - 2 m⋅s-1)

= 4 m⋅s-1

จาก 2 สมการบนจะได

vA2 = -1 m⋅s-1 , vB2 = 3 m⋅s-1

มวลทั้งสองจะสะทอนกลับทิศทางการเคลื่อนที่ A จะเคล่ือนที่ไปทางซายดวยความเร็ว 1 m⋅s-1

และ B จะเคล่ือนที่ไปทางขวา 3 m⋅s-1 พลังงานจลนทั้งหมดหลังจากชน คือ

2

1(5 kg)(-1 m⋅s-1)2

+ 2

1 (3 kg)(3 m⋅s-1)2 = 16 J

เทากับกอนชน แสดงวาเปนการชนแบบยืดหยุน

ฟสิกสราชมงคล

162

ตัวอยาง 7-10 จากรูป 7-6 ให mA = 5 kg มีความเร็วตน 4 m⋅s-1 ทิศ +x หลังจากชนกับมวล

mB = 3 kg ความเร็วเหลือเปน 2 m⋅s-1 ไมทราบทิศทาง ใหการชนเปนแบบยืดหยุน

หลักการคํานวณ เพราะเปนการชนแบบยืดหยุน พลังงานจลนหลังชนเทากับกอนชน

ดังนั้น 2

1 (5 kg)(4 m⋅s-1)2 =

2

1 (5 kg)(2 m⋅s-1)2 +

2

1 (3 kg) 2

B2v

จะได vB2 = 4.47 m⋅s1

โมเมนตัมบนแกน x และ y คงที่ ดังนั้น

(5 kg)(4 m⋅s-1) = (5 kg)(2 m⋅s-1)cos θ + (3 kg)(4.47 m⋅s-1) cos φ

O = (5 kg)(2 m⋅s-1) sin θ - (3 kg)(4.47 m⋅s-1) sin φ แกสมการทั้ง 2 จะได θ = 36.9o , φ = 26.6o

ถาพลังงานอนุรักษการชนนั้นเปนแบบยืดหยุน แตถาพลังงานจลนลดลง เปนการชนแบบ ไมยืดหยุน แตมีกรณีพิเศษที่พลังงานจลนสุดทายมากกวาพลังงานเริ่มตน ที่เรียกวา การดีด

วีดีโอเพื่อการศึกษา

ดาวหางชูเมกเกอรเลวี เกา วิ่งเขาชนดาวพฤหัสในเดือน กรกฎาคม 1994 ขณะที่พุงเขาสูแรงโนมถวงอันมหาศาลของดาวพฤหัส ดาวหางถูกแรงฉีกออกเปน ชิ้นเล็กชิ้นนอย ทั้งหมด 23 ชิ้น แตละชิ้น มีเสนผาศูนยกลาง 3 ถึง 4 กิโลเมตร และเคล่ือนที่ดวยความเร็ว 60 กิโลเมตรตอวินาที (134,000 ไมลตอชั่วโมง) มีพลังงานจลน 2 x 1022 จูล เทียบเทากับแรงระเบิดของทีเอ็นที 6,000,000 เมกะตัน หรือเทียบเทากับระเบิดปรมาณูที่ถลมฮิโรชิมา 100 ลานลูก แรงระเบิดมีรัศมีกระจายไปถึง 8,000 กิโลเมตร คลิกครับ

ฟสิกสราชมงคล

163

7-6 การดีด____________________________________________________

รูป 7-9 โมเมนตัมยังคงอนุรักษสําหรับกรณีของการดีด รถยนต A และ B เขาเกียรถอยหลัง อัดสปริงไวตรงกลางและหยุดรถโดยขึ้นเบรกมือไวใหเปนตําแหนงเริ่มตน โมเมนตัม = 0 รถทั้งคูปลดเกียรวางพรอมกัน สปริงจะดีดรถใหพุงออกดวยความเร็ว vA และ vB ถือวาแรงเสียดทานนอยมาก ไมมีแรงสุทธิกระทํากับระบบ ดังนั้น โมเมนตัมของระบบคงที่ B

จากกฎการคงตัวของโมเมนตัม เราจะได

mAvA + mBvB BB = 0 , B

A

v

v =

A

B

m

m− ................... (7-25)

ความเร็วกับมวลเปนอัตราสวนกลับกัน รถยนตที่มีขนาดเล็กกวาจะดีดออกไปดวยความเร็วที่มากกวา รถยนตที่มีขนาดใหญกวาจะดีดออกไปดวยความเร็วที่นอยกวา เราสามารถประยุกตการดีดไปใชกับการยิงปนได กอนยิงปนโมเมนตัมของระบบเปนศูนย ขณะยิงปน ลูกปนจะใหโมเมนตัมพุงไปขางหนา และปนจะถูกดันใหถอยหลัง ซึ่งก็มีขนาดเดียวกับโมเมนตัมที่ไปขางหนา แตเนื่องเพราะมวลของปนใหญ มากกวามวลของลูกปน ดังนั้นความเร็วถอยหลังของปนจะนอยกวาความเร็วของลูกปน

ตัวอยาง 7-11 ยิงลูกปนมวล 5.00 g จากปนมวล 3.0 kg ดวยความเร็ว 300 m⋅s-1 จงหาความเร็วถีบกลับ

พลังงานจลนของปนและลูกปนจะเปนเทาไร

หลักการคํานวณ โมเมนตัมของระบบกอนและหลังยิงเปนศูนย ดังนั้น

0 = (0.00500 kg)(300 m⋅s-1) + (3.00 kg) v,

v = - 0.500 m⋅s-1

เครื่องหมายลบ แสดงวา ทิศตรงขามกับลูกปน พลังงานจลนของลูกปน คือ

Kลูกปน = 2

1(0.00500 kg)(300 m⋅s-1)2

= 225 J

ฟสิกสราชมงคล

164

พลังงานจลนของปน คือ

Kปน = 2

1(3.00 kg)(0.500 m⋅s-1)2

= 0.375 J

จะไดอัตราสวน

ปน

ลูกปน

K

K =

J375.0

J225 = 600 =

kg00500.0

kg00.3

สรุปไดวา ปน

ลูกปน

K

K =

ลูกปน

ปน

m

m ....................(7-26)

7-7 จุดศูนยกลางมวล____________________________________________ จากการสังเกตการเคลื่อนที่ของระบบอนุภาคใด ๆ ก็ตาม แมระบบที่มีการระเบิดชนิดแตกกระจายออกเปนเส่ียง ๆ พบวามีจุดตัวแทน ซึ่งเปนคาเฉล่ียของการเคลื่อนที่ของระบบทั้งหมด จุดตัวแทนนี้เรียกวา จุดศูนยกลางมวล สมมติวาระบบประกอบดวยอนุภาค มวล m1 , m2 , m3 , ..... ให m1 อยูที่ตําแหนง (x1 , y1) และ m2 อยูที่ตําแหนง (x2 , y2) ตามลําดับ นิยามจุดศูนยกลางมวลแยกบนแกนพิกัด xy คือ

X = .....mmm

.....xmxmxm

321

332211

+++

+++

Y = .....mmm

.....ymymym

321

332211

+++

+++ ...................(7-27)

ความเร็วของจุดศูนยกลางมวลบนแกน x และ y คือ vx = dt

dx และ vy =

dt

dy ตามลําดับ

เขียนเปนความเร็วรวมได ดังนี้

V = .......

321

332211

mmm

....vmvmvm

+++

+++ ................... (7-28)

มวลทั้งหมดของระบบ M = m1 + m2 + m3 สมการบนเขียนไดใหมเปน MV = m1v1 + m2v2 + m3v3 + ..... = P .................... (7-29) ดานขวาของสมการคือโมเมนตัมรวม P ซึ่งก็คือ มวลรวมคูณกับความเร็วของจุดศูนยกลางมวล สําหรับระบบอิสระที่ไมมีแรงภายนอกมากระทํา โมเมนตัมรวมจะคงที่ ความเร็วของจุดศูนยกลางมวลจะคงท่ีดวย

ฟสิกสราชมงคล

165

หาอนุพันธเทียบกับเวลาของสมการ (7-29) จะไดสมการของมวลคูณกับความเรงดังนี้ MA = m1a1 + m2a2 + m3a3 + ..... .................... (7-30) m1a1 คือ แรงที่กระทําบนอนุภาคตัวที่หนึ่ง , m2a2 คือแรงที่กระทําบนอนุภาคตัวที่สอง และ m3a3 คือ แรงที่กระทําบนอนุภาคตัวที่สาม ตามลําดับ ขางขวาของสมการบนคือมวลรวมคูณกับความเรงของจุดศูนยกลางมวล เปนแรงสุทธิทั้งหมดที่กระทํากับระบบอนุภาค แรงสุทธิของระบบประกอบดวย แรงที่กระทําจากภายนอก + แรงจากภายใน เขียนเปนสมการ

ไดวา ΣF = ΣFนอก + ΣFใน จากกฎขอท่ีสองของนิวตัน แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาภายในของระบบอนุภาคจะหักลางกันหมด ดังนั้น จะเหลือแตแรงที่กระทําจากภายนอกเทานั้น

ดังนั้น ΣFนอก = MA ................... (7-31) เพราะจุดศูนยกลางมวลเสมือนกับเปนตัวแทนของมวลทั้งระบบ แรงสุทธิที่กระทําที่จุด ศูนยกลางมวลจึงเหมือนกับกระทําบนมวลทั้งระบบ ตัวอยางเชน จับประแจเลื่อนขวางทํามุมกับแนวระดับออกไป ประแจเล่ือนจะหมุนและเคลื่อนที่เปล่ียนตําแหนงไปพรอมกัน ถาเราทราบวาจุดศูนยกลางมวลของประแจเล่ือนอยูตรงไหน และสังเกตเฉพาะจุดศูนยกลางมวล จะเห็นจุดนี้เคล่ือนที่เปนแนวโคงแบบโปรเจกไตล ราวกับวาเปนจุดอนุภาคเล็ก ๆ จุดหนึ่งเทานั้น

อีกตัวอยางหนึ่ง ยิงลูกปนใหญใหเคล่ือนที่เปนโปรเจกไตล (ดังรูป 7-10) ลูกปนระเบิดกลางอากาศ แตกออกเปน 2 สวน ทั้ง 2 สวนยังคงเคล่ือนที่เปนโปรเจกไตลตอไป กระนั้น ที่จุดศูนยกลางของมวลทั้งสองยังคงเคล่ือนที่แบบโปรเจกไตลตามแนวเดิมเสมือนกับตอนที่ลูกปนใหญยังไมไดระเบิด

ฟสิกสราชมงคล

166

รูป 7-10 ลูกปนใหญระเบิดกลางอากาศ ชิ้นสวนเคลื่อนที่ตอไป กระนั้นจุดศูนยกลางมวล

ยังคงเคล่ือนที่เปนแบบโปรเจกไตลเหมือนกับตอนที่ยังไมไดระเบิด จุดศูนยกลางมวลจะชวยในการวิเคราะหการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งจะมีทั้งการเคลื่อนที่แบบยายตําแหนง และการหมุน ซึ่งจะอธิบายอยางละเอียดตอไปในบทที่ 9

จาก MA = dt

mdv =

dt

dP ................... (7-32)

สรุปไดวา แรงภายนอกที่กระทํากับระบบ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมตอหนวยเวลา

ΣFนอก = dt

dP

ถา ΣFนอก = 0 , P = คาคงที่ มีความหมายวา ถาไมมีแรงภายนอกโมเมนตัมของระบบจะคงที่

ตัวอยาง 7-12 มวล 2 kg และ 3 kg กําลังเคล่ือนที่ไปบนแกน x ณ เวลาหนึ่ง มวล 2 kg อยูหางจากจุดตั้ง

ตน 1 m มีความเร็ว 3 m⋅s-1 และมวล 3 kg หางจากจุดตั้งตน 2 m มีความเร็ว -1 m⋅s-1 จงหาตําแหนงและความเร็วของจุดศูนยกลางมวลและโมเมนตัมรวมของระบบ

หลักการคํานวณ จากสมการ (7-27)

X = kg3kg2

m)kg)(2(3m)kg)(1(2

+

+

= 1.6 m จากสมการ (7-28)

V = kg3kg2

)sm1kg)((3)smkg)(3(2 11

+

−+

− ⋅−⋅

= 0.6 m⋅s-1

โมเมนตัมรวมหาไดจาก

P = (2 kg)(3 m⋅s-1) + (3 kg)(-1 m⋅s-1)

= 3 kg⋅m⋅s-1

หรือจะหาจากสมการ (7-29) โมเมนตัมรวม = มวลรวมคูณกับความเร็วจุดศูนยกลางมวล

P = (5 kg)(0.6 m⋅s-1)

= 3 kg⋅m⋅s-1

ฟสิกสราชมงคล

151

7-8 แรงขับดันของจรวด__________________________________________ เชื้อเพลิงที่ถูกขับดันออกมาจะผลักจรวดใหพุงขึ้นไป ยิ่งเชื้อเพลิงถูกขับดันออกมามากเทาไหร มวลของจรวดก็ยิ่งลดลงมากเทานั้น เปนความจริงที่วามวลของจรวดสวนใหญคือเชื้อเพลิง ดังนั้นเพ่ือให การคํานวณงายขึ้น ไมตองคิดแรงเสียดทานของอากาศ

รูป 7-11 (a) ณ เวลา t ใด ๆ ขณะที่จรวดกําลังพุงขึ้น จรวดมีมวล m ความเร็ว v และมีโมเมนตัม mv (b) ณ เวลา t + dt มวลของจรวดลดลงเหลือ m - dm ความเร็วเพ่ิมขึ้นเปน v + dv จรวด มีโมเมนตัม (m - dm)(v + dv) สวนเชื้อเพลิงจะมีโมเมนตัม = dm (v - vr) ; vr คือ ความเร็วของเชื้อเพลิงพุงลงสัมพัทธกับจรวดมีทิศทางลง

ณ เวลา t ใด ๆ จรวดมีมวล m ความเร็ว v และโมเมนตัม mv ในชวงเวลาสั้น ๆ ที่เพ่ิมขึ้น dt มวลของเชื้อเพลิง dm ถูกขับดันออกจากจรวด กําหนดให vr คือ ความเร็วของเชื้อเพลิงพุงลงสัมพัทธกับจรวด และ คือความเร็วของ

เชื้อเพลิงสัมพัทธกับโลก จะได v′ = v - v

v′

r โมเมนตัมของเชื้อเพลิง

dm v′ = dm (v - vr) ชวงเวลาสั้น ๆ dt มวลของจรวดจะลดลงเหลือ m - dm ความเร็วจะเพ่ิมขึ้นเปน v + dv จรวดจะมีโมเมนตัม = (m - dm)(v + dv) ดังนั้น โมเมนตัมรวมที่เวลา t + dt คือ (m - dm)(v + dv) + dm (v - vr) ถาไมคิดแรงเสียดทานของอากาศ แรงภายนอกของจรวดก็มีเพียงแรงเดียวเทานั้น คือ - mg (กําหนดใหทิศขึ้นเปนบวกและทิศลงเปนลบ ; mg มีทิศลงจึงเปนลบ) จากสมการ (7-32)

ΣFนอก = dt

dP

- mgdt = (m - dm)(v + dv) + dm(v- vr) - mv - mgdt = mdv - dmvr – (dm)(dv)

ฟสิกสราชมงคล

152

เทอม dmdv มีคานอยมาก สามารถตัดทิ้งได หารแตละเทอมดวย dt และจัดเทอมใหมจะได

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛dt

dvm = mg

dt

dmvr −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ................... (7-33)

dt

dv คือความเรงของจรวด คูณกับมวล เปนแรงสุทธิที่กระทํากับจรวด ซึ่งจะเทากับ แรงขับดัน

ของจรวด ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛dt

dmvr ลบดวยน้ําหนักของจรวด mg

ความเรงของจรวด dt

dv = g

dt

dm

m

vr−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ................... (7-34)

ขณะที่จรวดพุงสูงขึ้นเรื่อย ๆ คา g จะลดลงตามระดับของความสูง ( อวกาศ g ≈ 0 )

dt

dm คือมวลของเชื้อเพลิง ที่ถูกขับดันออกมาตอหนวยเวลา

จากสมการ (7-34) dv = gdtdmm

vr−

เน่ืองจากมวลของจรวดลดลง dm จะตองแทนดวย - dm กําหนดใหมวลและความเร็วที่ t = 0 เปน m0 และ vo ดังนั้น

= ∫v

vdv0

∫∫ −−

t

0gdt

m

m m

dmv0

r

v - v0 = -vr n l gtm

m

0

−

v = v0 + vr l n gtm

m0− ................... (7-35)

ตัวอยาง 7-13 วินาทีแรก จรวดจะขับเชื้อเพลิง 1/60 ของมวลทั้งหมด ดวยความเร็วสัมพัทธกับ

จรวด = 2400 m⋅s-1 ความเรงของจรวดจะเปนเทาไร

หลักการคํานวณ ใชเชื้อเพลิงไป dm = m/60 ในชวงเวลา dt = 1s จากสมการ(7-34)

dt

dv = 2

1

m.s9.8(60)(1s)

m.s2400 −−

−

= 30.2 m.s-2

ฟสิกสราชมงคล

153

ตัวอยาง 7-14 จากตัวอยาง 7-13 อัตราสวนมวลจรวดเริ่มตน m0 ตอมวลจรวด เมื่อเวลาผานไป 60 s

เทากับ 4 จงหาความเร็วของจรวด ณ เวลานี้ ถาจรวดเริ่มตนจากหยุดนิ่ง

หลักการคํานวณ จากสมการ (7-35)

v = (2,400 m⋅s-1)( l n 4) - (9.8 m⋅s-2)(60 s)

= 2,740 m⋅s-1

ขณะที่จรวดกําลังจะเริ่มเคล่ือนที่ ความเร็วของจรวดเปนศูนย แตความเร็วของเชื้อเพลิงเทียบกับโลกเทากับ vr เมื่อความเร็วของจรวดเพิ่มขึ้นเทากับ vr ความเร็วของเชื้อเพลิงเทียบกับโลกจะเปนศูนย และถาความเร็วของจรวดเพิ่มขึ้นมากกวา vr ความเร็วของเชื้อเพลิงเทียบกับโลก ( ′v ) ก็จะอยูในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่ของจรวด ดังเชน ′v = v - vr

= (2,740 - 2,400) m⋅s-1

= 340 m⋅s-1

อยูในทิศทางเดียวกับจรวด ลองสังเกตการสงจรวดดู จะเห็นวาเชื้อเพลิงวิ่งตามจรวดขึ้นไป

บรรยายลงในกระดานฟสิกสราชมงคล

วันที่ 10 สิงหาคม ค.ศ. 1972 มีลูกอุกกาบาตลูกหนึ่งพุงผานโลก ทางฝงตะวันตกของทวีปอเมริกาเหนือ เห็นเปนทางสีขาวพุงผานทางขอบฟา สามารถเห็นไดในตอนกลางวันอยางชัดเจนดังรูป การเคลื่อนที่ของมันใกลโลกคอนขางมาก มีโอกาสที่จะพุงเขาชนโลกตลอดเวลา มวลของลูกอุกกาบาตลูกนี้มีคาเทากับ 4,000,000 kg และมีความเร็วประมาณ 15 กิโลเมตรตอวินาที สมมติวามันเปล่ียนทิศทางพุงเขาชนโลกในแนวดิ่งดวยความเร็วเทาเดิม จะเกิดอะไรขึ้น นักฟสิกสทดลองคํานวณความหายนะใหกับคุณ คําตอบ ใหนักศึกษาลองบรรยายความหายนะดวยตนเองลงใน กระดานฟสิกสราชมงคลใหม

ฟสิกสราชมงคล

154

วิธีทํา ให ใสชื่อ สกุล เลือกวิชาที่สอบ และจํานวนขอ แตตองไมเกินจากที่กําหนดไว เชน กําหนดไว 10 ขอ เวลาเลือกจํานวนขอ ใหเลือก 5 และ 10 ขอไมเกินจากนี้ เปนตน เมื่อ

ทําเสร็จสามารถดูคะแนนจากรายละเอียดผูทําขอสอบไดทันที เร่ือง การดลและโมเมนตัม

คลิกเขาสู ทดสอบกอนและหลังเรียน

ทดสอบกอนและหลังเรียน

แบบฝกหัดทายบทพรอมเฉลย คลิกครับ

แบบฝกหัดทายบทพรอมเฉลย

แบบฝกหัดเรื่องการดลและโมเมนตัม 1. จงหาโมเมนตัมของอนุภาคมวล 3.0 kg ซึ่งมีความเร็ว (3i-4j) m/s [ ตอบ (9i-12j) kg.m/s ] 2. ลูกปนมวล 10 g ถูกยิงเขาในเนื้อบล็อกไมมวล 5 kg ทันทีหลังกระทบบล็อกไมที่มีลูกปนฝงในเคล่ือนที่

ไปดวยอัตราเร็ว 0.6 m/s จงคํานวณหาอัตราเร็วของลูกปนกอนกระทบกับบล็อกไม [ ตอบ 300.6 m/s ] 3. ลูกเบสบอลมวล 0.145 kg ลูกหนึ่งกําลังเคล่ือนที่ในทิศ +y ดวยอัตราเร็ว 1.30 m/s และลูกเทนนิสมวล

0.0570 kg ลูกหนึ่งกําลังเคล่ือนที่ในทิศ –y ดวยอัตราเร็ว 7.80 m/s จงหาขนาดและทิศของโมเมนตัมทั้งหมดของระบบลูกบอลสองลูกนี้ [ ตอบ 0.256 kg.m/s ทิศ –y ]

4. ลูกฮอกกี้มวล 0.160 kg กําลังเคล่ือนที่ไปบนผิวน้ําแข็งแนวระดับล่ืนที่ t = 0 ลูกฮอกกี้กําลังเคล่ือนไป

ทางขวาเร็ว 3.00 m/s ก) จงหาความเร็วของลูกฮอกกี้ (ขนาดและทิศทาง) หลังจากที่แรง 25.0 N ทิศไปทางขวาไดทําตอ ลูกฮอกกี้นาน 0.050 s [ ตอบ 10.8 m/s ไปทางขวา ] ข) ถาแรงขนาด 12.0 N ซึ่งมีทิศไปทางซายทําแทนจาก t = 0 ถึง t = 0.050 s จงหาความเร็ว สุดทายของลูกฮอกกี้ [ ตอบ 0.75 m/s ไปทางซาย ] .

ฟสิกสราชมงคล

155

5. คุณกําลังยืนอยูบนแผนน้ําแข็งแหงหนึ่ง มีแรงเสียดทานนอยมากระหวางเทาของคุณกับน้ําแข็ง เพ่ือนคนหนึ่งโยนลูกบอลมวล 0.400 kg ซึ่งกําลังเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็ว 10.0 m/s ใสคุณ คุณมีมวล 70.0 kg

ก) ถาคุณรับลูกบอล คุณและลูกบอลจะเคลื่อนที่ดวยอัตราเร็วเทาใดหลังจากนั้น [ ตอบ 5.68 x 10-2 m/s ]

ข) ถาลูกบอลโดนคุณและกระดอนออกจากหนาอกของคุณและทําใหลูกบอลเคลื่อนที่ออกไปในแนว ระดับดวยอัตราเร็ว 8.0 m/s ในทิศตรงขาม อัตราเร็วของคุณมีคาเทาใด

[ ตอบ 0.103 m/s ] 6. วัตถุ A ในรูป มีมวล 1.00 kg และวัตถุ B มีมวล 3.00 kg วัตถุทั้งสองถูกดันเขาหากันโดยการอัดสปริง S

ระหวางวัตถุทั้งสอง หลังจากนั้นก็ปลอยระบบจากหยุดนิ่งบนผิวล่ืนแนวระดับ สปริงซึ่งมีมวลนอยมากไมไดถูกยึดไวกับวัตถุใดและตกลงบนพื้นหลังจากที่ขยายตัวออก วัตถุ B มีอัตราเร็ว 1.20 m/s หลังจากนั้น

ก) อัตราเร็วสุดทายของ A มีคาเทาใด [ ตอบ 3.60 m/s ] ข) พลังงานศักยที่สะสมอยูในสปริงมีคาเทาใด [ ตอบ 8.64 J ] 7. นายเคนและนางสาวคิมกําลังสเกตไปดวยกันบนลานสเกตที่อัตราเร็ว 3.00 m/s นายเคนถามนางสาวคิม

อยูนั่นแหละวาเธอหนักเทาไหร นางสาวคิมรําคาญมากก็เลยผลักตัวจากนายเคน ทําใหเธอมีอัตราเร็วเปน 4.00 m/s และเขามีอัตราเร็วลดลงเปน 2.25 m/s ในทิศเดียวกัน แรงเสียดทานมีขนาดนอยมากถานายเคนหนัก 700 N นางสาวคิมหนักเทาใด [ ตอบ 525 N ]

8. ระบบอนุภาคกอนหนึ่งตั้งอยูในสภาพนิ่ง ในทันใด เกิดระเบิดออกเปนสามสวน คือ A B และ C ซึ่งมีมวล

เปน 3 kg, 2 kg และ 1 kg ตามลําดับ ถาหลังจากการระเบิด A มีความเร็ว ( 3.0 m/s ) i และ B มีความเร็ว ( -1.0 m/s ) j จงหาความเร็วของ C หลังจากการระเบิด [ ตอบ ( - 9i +2j ) m/s ]

9. เมื่อวัตถุมวล 3 kg มีความเร็ว (5 m/s) i ชนกับวัตถุมวล 2 kg ซึ่งมีความเร็ว ( - 3 m/s) j จงหาความ

เร็วหลังชนของมวลทั้งสองถาการชนครั้งนี้เปนแบบไมยดืหยุนอยางสมบูรณ [ ตอบ (3i-1.1j) kg.m/s ] 10. คุณอยูที่ศูนยควบคุมเครื่องเรงอนุภาคและกําลังสงลําโปรตอนอัตราเร็ว 1.50 x 107 m/s (มวล m) ไปยัง

เปากาซของธาตุที่ไมรูชนิด เครื่องตรวจจับของคุณบอกวาโปรตอนบางอนุภาคกระดอนยอนกลับทางเดิมหลังชนกับนิวเคลียสของธาตุที่ไมรูชนิดนี้ โปรตอนเหลานี้กระดอนกลับดวยอัตราเร็ว 1.20 x 107 m/s สมมติวาอัตราเร็วเดิมของนิวเคลียสที่เปนเปามีขนาดนอยมากและการชนเปนแบบยืดหยุน

ก) จงหามวลของนิวเคลียสของธาตุที่ไมรูชนิดนี้หนึ่งอนุภาค ใหตอบในรูปของมวลโปรตอน m [ตอบ 9.00 m ] ข) อัตราเร็วทันทีหลังการชนของนิวเคลียสที่ไมรูชนิดนี้มีคาเทาใด [ ตอบ 3.00 x 106 m/s ]

ฟสิกสราชมงคล

156

11. โครงแขวนมวล 0.150 kg อันหนึ่งเมื่อแขวนจากขดสปริงขดหนึ่งทําใหสปริงขดนั้นยืดออก 0.050 m ปลอยกอนดินน้ํามันมวล 0.200 kg กอนหน่ึงจากหยุดนิ่งจากที่สูง 30.0 cm ลงมาบนโครง จงหาวาโครงยืดลงมามากที่สุดจากตําแหนงเดิมเทาใด [ ตอบ 23.2 cm ]

12. อนุภาคโปรตอนมวล 1.66 x 10-27 kg พุงชนโดยตรงกับอะตอมฮีเลียมมวล 6.64 x 10-27 kg ซึ่งอยูนิ่ง ทํา

ใหอะตอมฮีเลียมเคล่ือนที่ดวยความเร็ว 5 x 105 m/s จงหา ก) ความเร็วของโปรตอนกอนและหลังชน [ ตอบ 1.25 x 106 m/s, -7.5 x 105 m/s ] ข) พลังงานที่ถายโอนใหกับอะตอมฮีเลียมคิดเปนรอยละ [ ตอบ 64% ] 13. ลูกปนมวล 12 กรัม ถูกยิงฝงอยูในทอนไมมวล 100 กรัม ซึ่งอยูนิ่งบนพ้ืนระนาบทําใหทอนไมไถลไป 7.5

m กอนที่จะหยุดเคล่ือนที่ ถาสัมประสิทธิ์ความตานทานระหวางผิวสัมผัสเปน 0.65 จงหาอัตราเร็วของลูกปนในทันทีทันใดกอนชน [ ตอบ 91.2 m/s ]

14. ลูกบิลเลียดเคลื่อนที่ดวยความเร็ว 5 m/s พุงเขาชนลูกบิลเลียดอีกลูกหนึ่งซึ่งมีมวลเทากันแตอยูนิ่งกับที่

ทําใหลูกแรกเคลื่อนที่ดวยความเร็ว 4.33 m/s เปนมุม 30 องศา กับแนวการเคลื่อนที่เดิม จงหาขนาดและทิศทางของความเร็วสําหรับลูกที่สองซึ่งถูกชน โดยไมคํานึงถึงแรงเสียดทานใดๆ และการหมุนของลูกบิลเลียด [ ตอบ 2.5 m/s ทํามุม -60 องศา ]

15. ถาเครื่องยนตของจรวดเผาผลาญเชื้อเพลิงในอัตรา 80 kg/s และพนแกสออกมาดวยอัตราเร็ว 2.5 km/s

จงหาแรงผลักดันที่เกิดจากการพนเชื้อเพลิงออกทางดานหลังของจรวด [ ตอบ 200 kN ]

ฟสิกสราชมงคล

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล