ฟสกสราชมงคล

177

บทท 8 การหมน

ไจโรสโคปเปนอปกรณทนาพศวงงงงวยเปนอยางยง เพราะการหมนของมนคอนขางแปลก และคลายกบวา มนทาทายกบแรงโนมถวงได คณสมบตอนพเศษน สามารถน าไปประยกตใชไดตงแตรถจกรยาน จนถงยานขนสงอวกาศ เครองบนโดยสารทกประเภทมไจโรสโคป ไวส าหรบท าเปนเขมทศ และระบบน ารองอตโนมต สถานอวกาศ Mir ของรสเซย ใชไจโรสโคปจ านวน 11 อน เพอบงคบใหแผงโซลารเซลลหนไปในทศทางเดยวกบดวงอาทตยตลอดเวลา การหมนแบบไจโร จะเกดกบมวลทกชนดในโลกทมการหมน ฟสกสราชมงคลจะไขปรศนานให โดยจะโยงใหคณไดทราบเหตและผลทเกดจากการหมนแบบน ซงจะท าใหคณยงมหศจรรยเพมขนไปอก เพราะการประยกตของไจโรมมากมายนบไมถวน ทงๆ ทความรพนฐานนน งายแสนจะงาย กดทนเพอดรายละเอยดทงหมด

การเคลอนทของวตถตามสภาพจรงคอนขางซบซอน เนองเพราะขณะเคลอนทวตถอาจเปลยนแปลงรปรางได ตวอยางเชน ยบ แตก และราว ฯลฯ หรออาจจะหมนและเคลอนยายต าแหนงไปพรอมกน บททผานมาเราพยายามลดขนาดของวตถใหเปนเพยงจด เพอหลกเลยงผลเหลาน ส าหรบบทนเราจะเรมตนอธบายการหมนและการเลอนต าแหนง อยางไรกตามยงจ ากดไมใหวตถเปลยนรปรางขณะเคลอนท ซงเราเรยกวตถแบบนวา วตถแขงเกรง พรอมกบเพมแนวคดใหม เชน ทอรค, โมเมนตความเฉอย และโมเมนตมเชงมม

วดโอเพอการศกษา

ดวดโอการควงของลอจกรยาน เปนเวลา 30 วนาท คลกทนครบ

ฟสกสราชมงคล

178

8-1 ความเรวเชงมม______________________________________________

รป 8-1 a) เวลาเปดประตทกอนภาคบนประตจะมความเรว และความเรงเชงมม เทากน แตความเรวและความเรงเชงเสนแตกตางกนขนอยกบระยะท หางจากแกนหมน b) ภาพดานบนของบานประต จด P หางจากจดหมนเทากบ R เคลอนท เปนสวนโคงของวงกลม S พจารณาวตถแขงเกรงหมนรอบจดคงทหนง ดงรป 8-1 เวลาเปดบานประต OP คอแนวเสนบนขอบประตทเราจะศกษาการเคลอนท คอมมทท ากบระดบมหนวยเปนเรเดยน เรเดยนคอ สวนโคงของ วงกลมหารดวยรศม ดงนน 1 เรเดยน (rad) คอสวนโคงของวงกลม (S) ทมขนาดเทากบรศม 2 rad (1 รอบ) = 360o

1 rad = 2

360 o

= 57.3o

360o = 2 rad = 6.28 rad 180o = rad = 3.14 rad

90o = 2

rad = 1.57 rad

60o = 3

rad = 1.05 rad

45o = 4

rad = 0.79 rad

รป 8-2 R กบ S สามารถเขยนเปนความสมพนธไดดงน S = R

ฟสกสราชมงคล

179

มชอเรยกเฉพาะวา ต าแหนงเชงมม (Angular position) มเครองหมายเปนบวกเมอวดทวนเขมนาฬกา และเปนลบเมอวดตามเขมนาฬกา จากนยามของต าแหนงเชงมม

= RS

; S = R ................... (8-1)

ถา = 2 rad กแสดงวา S คอเสนรอบวงของวงกลม เรเดยนเปนอตราสวนระหวางความยาวตอความยาว ดงนน จงไมมหนวย ถา S = 1.5 m และ R = 1 m จะไดมม = 1.5 rad นยมเขยน = 1.5 ไมตองมหนวยก ากบกเขาใจ

รป 8-3 ระยะกระจดเชงมม ของวตถทก าลงหมน

การหมนสามารถอธบายไดดวยอตราการเปลยนระยะกระจดตอเวลา ดงรป 8-3 ใหเวลา t ต าแหนงเชงมมของแนวเสน OP อยท 1 วดจากแกน OX เวลาผานไปเปน t2 ต าแหนงเชงมมของแนวเสน OP อยท 2 ความเรวเชงมมเฉลย จะเปน

av = ttt 12

12

ความเรวเชงมมชวขณะ เปน

= dtd

tim

0t

................... (8-2)

หนวยของความเรวเชงมม คอ เรเดยนตอวนาท ( 1 rad s-1 หรอ 1 s-1) บางครงนยมใชรอบตอนาท (revmin-1) rev เปนตวยอของ revolution 1 revs-1 = 2 rads-1 และ 1 revmin-1 = 1 rpm = (2/60) rads-1

ฟสกสราชมงคล

180

8-2 ความเรงเชงมม______________________________________________ ถาความเรวเชงมมไมคงท แสดงวาอนภาคมความเรงเชงมม ให 1 และ 2 เปนความเรวเชงมมชวขณะทเวลา t1 และ t2 ความเรงเชงมมเฉลยจะเปน

av = ttt 12

12

ความเรงเชงมมชวขณะจะเปน

= dtd

tim

0t

................... (8-3)

หนวยของความเรงเชงมม คอ เรเดยนตอวนาท2 (1 rads -2 หรอ 1 s-2)

เพราะ = dtd

ความเรงเชงมมจงสามารถเขยนอยในรปของอนพนธอนดบทสองไดเปน

= dtd

dtd

= 2

2

dtd

................... (8-4)

เปรยบเทยบกบการเคลอนทเชงเสน คอต าแหนงเชงมม x คอระยะกระจดเชงเสน คอความเรวเชงมม เปรยบเทยบกบ v คอความเรวเชงเสน คอความเรงเชงมม a คอความเรงเชงเสน

8-3 การหมนดวยความเรงเชงมมคงท_______________________________ เราสามารถหาความสมพนธระหวางระยะกระจดเชงมม อตราเรวเชงมม และความเรงเชงมมได ในกรณทความเรงเชงมมคงท โดยใชวธเดยวกนกบการหาความสมพนธระหวางระยะกระจดเชงเสน ความเรวเชงเสน และความเรงเชงเสนในกรณทความเรงคงท ดงทไดวเคราะหมาแลวในบทท 2

dt

d = = คงท

อนทเกรตจะได d = dt , = t + C1 C1 เปนคาคงททไดจากอนทเกรต ใหเวลาเรมตน t = 0 อนภาคมความเรวเชงมม 0 แทนคาลงในสมการบน จะได C1 = 0 ดงนน = 0 + t ................... (8-5)

แทน = dtd

และอนทเกรตอกครงจะได

d = 0 dt + tdt, = 0t + 21t2 + C2

ฟสกสราชมงคล

181

C2 เปนคาคงททไดจากการอนทเกรต ใหเวลาเรมตน t = 0 อนภาคมต าแหนงเชงมม 0 แทนคาลงในสมการบน จะได C2 = 0

ดงนน = 0 + 0t + 21t2 ................... (8-6)

จากสมการ (8-5) จะได t =

0 แทนคาลงไปในสมการ (8-6)

2 =

020 -2 ................... (8-7)

ตาราง 8-1 เปรยบเทยบสตรทไดจากสมการ (8-5) (8-6) และ (8-7) ส าหรบการหมนดวยความเรงเชงมม คงท กบสตรทไดจากการเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท ตาราง 8-1

การเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท การหมนทมความเรงเชงมมคงท a = คงท v = v0 + at

x = x0 + v0 t + 21 at2

v2 = )x2a(xv 020

= คงท = 0 + t

= 0 + 0t + 21t2

2 = )( 020 2

ตวอยาง 8-1 ลอจกรยานหมนดวยความเรงเชงมมคงท 2 rads-2 ใหเวลาเรมตน t = 0 ซลอ OP อยในแนวระดบ มความเรวเชงมม = 4 rad.s-1 ก) ณ เวลา t = 3.0 s ซลอจะท ามมกบแนวระดบเทาไร ข) ความเรวเชงมม หลกการค านวณ ก) จากสมการ (8-6)

= 0 + 0t + 21t2

t = 3.0 s, = 0 + (4.0 rad.s-1) (3.0 s) +21

(2.0 rads-2)(3.0 s)2

= 21 rad =2

21 รอบ = 3.34 รอบ

ซลอจะหมนไป 3 รอบ บวกกบอก 0.34 รอบ หรอ (0.34 รอบ)(2 radrev-1) = 2.15 rad = 123o ข) จากสมการ (8-5) = 0 + t t = 3.0 s , = 4.0 rads-1 + (2.0 rads-2)(3.0 s) = 10 rads-1

ฟสกสราชมงคล

182

หรอใชสมการ (8-7) 2 = 0

20 2

= (4 rads-1)2 + 2(2 rads-2)(21 rad) 2 = 100 rad2

s-2 = 10 rads-1 ค าตอบเทากน

บทความออนไลน

เมอแมวตกลงจากทสง มนมความสามารถทจะลงบนพนโดยใชเทาได ทงๆทตอนเรมตนตกมนหงายทองเกงลงมา การถายภาพความเรวสงเปนชอตๆ ในปจจบนชวยใหเราเหนขนตอนตางๆ ขณะทแมวก าลงตกลงมาได อานตอครบ

ฟสกสราชมงคล

183

8-4 ความสมพนธระหวางปรมาณเวกเตอรของการเคลอนทเชงเสนและการเคลอนทเชงมมของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม____________________

รป 8-4 S = r

รป 8-5 ถาวตถหมนดวยความเรวไมสม าเสมอรอบจด O จะเกดความเรงขน 2 แนวคอ ความเรงแนวสมผสทจด P = r ; และแนวตงฉาก = 2r จด P หางจากจดหมนเปนระยะ r เคลอนทเปนวงกลม โดยมต าแหนงกระจดเชงมมเรมตนเทากบ เพมขนเปน ในชวงเวลา t อนภาคทจด P จะเคลอนทเปนสวนโคงของวงกลม s = r อตราเรวเฉลยของอนภาคหาไดจาก

vav = ts

=

tr

.................. (8-8)

ให t เขาใกลศนย จะได

v = dtd

r

= r .................. (8-9)

ความเรว v สมผสกบเสนทางการเคลอนท ความสมพนธระหวางความเรวของอนภาคทเปลยนไป v กบความเรวเชงมมทเปลยนไป เขยนไดดงน v = r

O x

r

a= 2r

a= r

P a

ฟสกสราชมงคล

184

หาร t ทง 2 ขาง tv

=

tr

ให t เขาใกลศนยจะได

a = dtd

r

= r ................... (8-10)

a คอ ความเรงในแนวเสนสมผสกบเสนทางการเคลอนท

ความเรงในแนวตงฉาก หรอรศม แทนดวย a = r

v 2

จากสมการ (8-9) เขยนใหมไดเปน

a = r

v 2

= 2r ................... (8-11)

ถาวตถหมนดวยความเรวทไมสม าเสมอรอบจด O จะเกดความเรงขน 2 แนว คอ a กบ a ความเรงลพธหาไดจาก

a = 2II

2 aa

ตวอยาง 8-2 นกขวางจานโอลมปคเหวยงจานขาวออกไปดวยความเรงเชงมม = 50 rads-2 จงหา

ความเรงแนวสมผสและตงฉากขณะทความเรวเชงมม = 10 rads-1 ก าหนดให แขนของนกขวางยาว 0.80 m หลกการค านวณ จากสมการ (8-10) และ (8-11)

a = 2r = (10s-1)2(0.80 m) = 80 ms-2 a = r = (0.80 m)(50s-2) = 40 ms-2 ขนาดของความเรง

a = 22IIaa

= 89 ms-2

8-5 พลงงานจลนของการหมน_____________________________________ ขณะทวตถหมน อนภาคตาง ๆ ทประกอบขนเปนวตถกหมนพรอมไปกบวตถดวย สมมตใหอนภาคตวหนงมวล mi อยหางจากจดหมนเปนระยะทาง ri ความเรวเชงเสนของอนภาคจะเปน vi = ri และมพลงงานจลนเปน

Ki = 22ii

2ii rm2

1vm21

เนองจากพลงงานจลนเปนปรมาณสเกลาร พลงงานจลนรวมของวตถจะเทากบผลรวม พลงงานจลนของแตละอนภาค

K = .....rm21

rm21

rm21 22

3322

2222

11

ฟสกสราชมงคล

185

อนภาคภายในวตถกอนเดยวกน จะม เทากน จงแยก ออกมาเปนตวรวมได

K = 2...)rmrmr(m21 2

33222

211

= 22ii )rm(

21

mi

2ir คอผลบวกมวลของอนภาคคณดวยระยะทางก าลงสองจากมวลไปยงจดหมน ถาแทน

ดวยปรมาณ จะได = mi

2ir .................... (8-12)

เรยกคา วาเปนความเฉอยของการหมน หรอโมเมนตความเฉอยของวตถ สมพทธกบแกนหมน คา ของวตถจะขนกบแกนหมน รปรางของวตถ และลกษณะการเรยงตวของวตถ รอบแกนหมน มหนวยเปน กโลกรม-เมตร2 (kgm2) คาพลงงานจลนสามารถเขยนใหมไดวา

K = 21

2 ................... (8-13)

เปรยบเทยบกบการเคลอนทเชงเสน K = 21

Mv2

สมการ (8-12) และ (8-13) แสดงใหเหนวาพลงงานการหมนของวตถ ส าหรบความเรวเชงมมคาหนง ๆ นน ไมเพยงแตขนอยกบขนาดของมวลเทานน แตยงขนอยกบการกระจายของมวลนน ๆ รอบแกนหมน ดงรป 8-6 เสนลวดอลมเนยมซงมขนาดเทากนและเหมอนกนทงสามเสน แตละเสนมวตถมวล M ท าดวยตะกวผกตดอย รป (a) มวลอยใกลกบแกนหมนมากทสด ดงนน คา ri ในสมการ (8-12) จงมคานอย สวนรป (b) อนภาคอยหางจากแกนหมนแตยงนอยกวารป (c)

รป 8-6 จากการทดลองพบวา a < b < c วตถตะกวทงสามมมวลเทากน แตการกระจายของมวลรอบแกนหมนตางกน

ฟสกสราชมงคล

186

ใหมวลทงสามหมนดวยความเรวเชงมม เทากน พบวารป a ใชงานนอยทสด และรป c ใช

งานมากทสด เนองจากงานทใหวตถแตละอนมคาเทากบพลงงานจลน 21

2 ของวตถนน ๆ ท าใหคา

Ka < Kb < Kc และเนองจากแตละอนมคา เทากน ดงนน คา a < b < c จากนยามของสมการ (8-13) จงอาจเรยก M วาเปนคาความเฉอยเนองจากการเคลอนทแบบเลอนต าแหนง (translational inertia) ซงเปนการวดความตานทานของวตถทมตอการเปลยนแปลงการเคลอนทในแนวเสนตรง และเรยก วาเปนความ เฉอยเนองจากการหมน (rotational inertia) ซงเปนการวดความตานทานของวตถทมตอการหมน ตวอยาง 8-3 โมเมนตความเฉอยของสวนประกอบชนหนงของเครองจกร ดงรป 8-7 จะเปนเทาไร

รป 8-7 สวนประกอบชนหนงของเครองจกร (ก) รอบแกนหมน A ตงไดฉากกบระนาบ ABC (ข) ให BC เปนแกนหมน (ค) จากขอ (ก) ถามความเรวเชงมม = 40 rads-1 พลงงานจลนการหมนจะเปนเทาไร หลกการค านวณ (ก) มวลทจด A อยทแกนหมนพอด ระยะจากจดหมนเปนศนย โมเมนตความเฉอยของมวล ทจดนจงเปนศนย จากสมการ (8-12) A = miri

2 = (0.10 kg)(0.50 m)2 + (0.20 kg)(0.40 m)2 = 0.057 kgm2

(ข) มวลทจด B และ C อยทแกนหมนพอด ระยะจากจดหมนเปนศนย โมเมนตความเฉอย บนแกนนจงเปนศนย จากสมการ (8-12) BC = miri

2 = (0.30 kg)(0.40 m)2 = 0.048 kgm2 สรปไดวา โมเมนตความเฉอยขนอยกบแกนหมน แกนหมนเปลยนคากเปลยน (ค) จากสมการ (8-13)

K = 21

2 = 21

(0.057 kgm2)(40 rads-1)2

= 45.6 J

ฟสกสราชมงคล

187

)R(Rm2

1 22

21

การค านวณหาคาโมเมนตความเฉอยของตวอยางทผานมา มวลมลกษณะเปนจด แตถาวตถมรปทรงขนาดใหญ มวลกระจายอยางตอเนองเชนทรงกระบอกหรอจาน การหาโมเมนตความเฉอย จะตองใชวธการอนทเกรต ตวอยางการค านวณจะอธบายในหวขอถดไป รป 8-8 คอตารางโมเมนตความเฉอยของมวลรปทรงตาง ๆ

รป 8-8 โมเมนตความเฉอยของมวลรปทรงตาง ๆ รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล

ขอสงเกต การหาโมเมนตความเฉอยโดยใชมวลคณกบระยะจดศนยกลางมวลหางจากจดหมน ยกก าลงสอง เพราะคดวาจดศนยกลางมวลเปนตวแทนของมวลทงกอน แตจรง ๆ แลวผด ตวอยางเชนแทงกลมขนาดเลกยาว L มมวล M ใหจดหมนอยทปลายของแทงโลหะ โมเมนตความเฉอยของแทงโลหะทจดหมนน

(จากตาราง) คอ 3

ML2

ถาใชมวลคณกบระยะจากจดศนยกลางมวลถงจดหมนซงเทากบ 2Lสามารถ

ค านวณหา I ไดเทากบ 4

ML2LM

22 คาทไดไมตรงกน การหาดวยวธนจงท าไมได

ตวอยาง 8-4 ลกรอกมวล 50 kg เสนผาศนยกลาง 0.12 m หมนอยรอบแกนไดโดยไมมความฝด พนเชอกรอบลกรอก ดงปลายเชอกดวยแรงคงท 9 N เปนระยะ 2 m ถาลกรอกเรมตนจากหยดนง จงหาความเรวเชงมมและเชงเสนของเชอกทระยะน หลกการค านวณ พลงงานจลนของลกรอกทเพมขน = งานทกระท ากบลกรอก

21

2 = Fd

= (9.0 N)(2.0 m) = 18 J จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของลกรอก

= 21

MR2

= 21

(50 kg)(0.060 m)2

= 0.090 kgm2 แทนลงไปในสมการบน จะได

21

(0.090 kgm2) 2 = 18 J

2ml12

1 )b(am

12

1 22 2mR

2

1 mR2

2mR

5

2

ฟสกสราชมงคล

188

= 20 rads-1 ความเรวเชงเสนของเชอกจะเทากบความเรวสมผสของลกรอก จากสมการ (8-9) v = r = (0.060 m)(20 rads-1) = 1.2 ms-1 ตวอยาง 8-5 ลกรอกมวล M หมนรอบแกนโดยไมมความฝด พนเชอกรอบลกรอก ใหปลายเชอกขางหนงผกตดกบมวล m ในแนวดง ปลอยมวล m จากความสง h จงหาความเรวเชงมมและเชงเสนของลกรอก ขณะทมวล m ถงพน

รป 8-9 หลกการค านวณ เรมตนปลอยมวล m พลงงานจลนยงเปนศนย (K1 = 0) มแตพลงงานศกย U1 = mgh ขณะทมวล m ถงพน พลงงานจลนของการเคลอนทเชงเสนเปน K2 พลงงานศกยเปนศนย (U2 = 0) แตเนองจากลกรอกหมนจงมพลงงานจลนของการหมนบวกเพมเขามา

K2 = 21

mv2 + 21

2 ................... (8-14)

จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของลกรอก

= 21

MR2

จาก = R ความเรวเชงเสนของมวล m จะเทากบความเรวสมผสของลกรอก จากกฎการคงตวของพลงงาน จะได

K1 + U1 = K2 + U2

mgh + 0 = 21

mv2 + 21

2 + 0

mgh = 21

mv2 + 21

(21

MR2)2

Rv

= 21

(m + 21

M)v2

ฟสกสราชมงคล

189

v =

2mM

1

2gh

วเคราะหโจทย ถามวลของลกรอก M มากกวา m มาก ๆ v จะมคานอย ในทางกลบกน M นอยกวา m มาก ๆ v ของมวล m จะเกอบเทากบความเรวของการตกอยางอสระทระยะความสง h ดงนนโจทยทมรอกประกอบจากบททผานมา จงตองก าหนดใหมวลของรอกนอยมาก เพอหลกเลยงผลของการหมนนนเอง

8-6 วธค านวณหาโมเมนตความเฉอย________________________________ = mi

2ir เปนสมการทหาโมเมนตความเฉอยในกรณทมวลเปนจด ดงตวอยาง 8-3 แตถา

มวลมรปทรงขนาดใหญ และเนอวตถกระจายอยางสม าเสมอ จะตองใชวธการอนทกรลแทน โดยแบงมวลของวตถออกเปนชนเลก ๆ มคา dm อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r โมเมนตความเฉอยของอนภาคเลกๆ นจะเปน d = r2dm โมเมนตความเฉอยของวตถทงกอน = dmr 2

................... (8-15) ถา เปนความหนาแนนของวตถ และ dV เปนปรมาตรเลก dm = dV แทนในสมการบน จะได

= dVr 2ρ การกระจายของมวลเปนเนอเดยวสม าเสมอ ความหนาแนนจะคงท สามารถน าออกนอกเครองหมาย อนทกรลได = dVr 2

................... (8-16) dV คอปรมาตรเลก ๆ ของมวล dm จงมลกษณะเหมอนจด ตวอยาง 8-6

รป 8-10 วธค านวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลมขนาดเลก สวนทแรเงาคอ มวล dm เลก ๆ ทแบงในชวง dx

ฟสกสราชมงคล

190

แทงกลมขนาดเลก มวล M ยาว เนอวตถกระจายสม าเสมอ แกนหมนตงฉากกบจด O หางจากปลายแทงขางหนงเปนระยะ h แบงแทงกลมเปนชวงเลก ๆ dx หางจากจด O เปนระยะ x อตราสวน

ของมวลกอนเลก ๆ dm ตอมวลทงกอน M จะเทากบ อตราสวนของ dx กบความยาวทงหมด ดงน

Mdm

=

dx

dm =

Mdx

แทนคา dm ลงในสมการ (8-15) และอนทเกรตบนแกน x จาก -h ถง -h ดงน

0 = dmx 2

=

h-

h

2dxxM

= 3xM 3

h

h

= 31

M(2-3h+3h2)

สมการบนทได สามารถหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนไดทก ๆ แกน ตวอยางเชน ถาแกนหมนอยทปลายแทงดานซาย, h = 0 จะได

= 31

M2 ................... (8-17)

แกนหมนอยทปลายแทงดานขวา , h = จะได

= 31

M2

เทากนเพราะมวลมลกษณะสมมาตร ทงซายขวา

ถาแกนหมนผานจดศนยกลางมวล h = /2

I = 121

M2 ................... (8-18)

ตรงกบรป 8-8

ตวอยาง 8-7 ทรงกระบอกกลวง ยาว มเสนผาศนยกลางในและนอกเปน R1 และ R2 ตามล าดบ ใหแกนหมนผานจดศนยกลางมวลของทรงกระบอก แบงปรมาตรของทรงกระบอกกลวงเปนเปลอกเลก ๆ dV หาง

จากแกนหมนเปนรศม r หนา dr ยาว (บรเวณแรเงาในรปภาพ) ปรมาตรของเปลอกเลก ๆ dV =

2rdr มวลของเปลอกเลก ๆ dm = dV = 2rdr

ฟสกสราชมงคล

191

หลกการค านวณ

รป 8-11 วธค านวณหาโมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกกลวง สวนทแรเงาคอปรมาตร

ของเปลอกเลก ๆ dV = 2 rdr

แทนคา dm ในสมการ (8-15) และอนทเกรตในแนวรศมจาก R1 ถง R2 ดงน = dVr 2

= 2 2R

1R

3drr

= 41

42 RR

2

= 21

22

21

22 RRRR

2

................... (8-19)

ปรมาตรทงหมดของทรงกระบอก V = ( 21

22 RR )

มวลทงหมดของทรงกระบอก M = ( 21

22 RR )

แทน ( 21

22 RR ) ดวย M ลงในสมการ (8-19) จะได

= )RM(R21 2

221 ................... (8-20)

ถาเปนทรงกระบอกตน R1 = 0 ให R2 = R ดงนน ตรงกบรป 8-8

โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกตน รศม R = 2MR21

.................... (8-21)

ตรงกบรป 8-8 หรอถาเปนทรงกระบอกกลวงบาง R1 และ R2 เกอบจะเทากน ใหแทน R1 = R2 = R = MR2 ตรงกบรป 8-8

ขอสงเกต โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกไมวาจะกลวงหรอตน ไมขนอยกบความยาว ตวอยางเชน ทรงกระบอกทท าจากไมหรอทองเหลองมมวลเทากน ถามรศมนอก และในเทากน จะม เทากนดวย ถงแมวาจะมความยาวไมเทากนกตาม สรปไดวาโมเมนตความเฉอยขนอยกบการกระจายของมวลแนวรศมรอบแกนหมน ไมใชแนวเดยวกบแกนหมน

r

dr

ฟสกสราชมงคล

192

ตวอยาง 8-8

รป 8-12 วธค านวณหาโมเมนตความเฉอยของทรงกลม ; สวนทแรเงาคอ ปรมาตรของจานหนา dx

ทรงกลมรศม R ใหแกนหมนผานจดศนยกลางมวล แบงปรมาตรของทรงกลมใหเปนรปจานหนา dx รศม r ดงรป 8-12

r = 22 xR ปรมาตรของจาน คอ dV = r2dx = (R2 - x2)dx ;

มวลของจาน คอ dm = dV

จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกตน รศม R = 2MR21

น ามาใชกบจานได จากขอสงเกตในตวอยาง 8-7 ดงนน โมเมนตความเฉอยของจาน คอ

d = dx)x(R2

222

อนทเกรต จาก O ถง R ไดดงน

= R

0dx)x(R

2(2) 222

หลงจากอนทเกรตจะได

= 15

R8 5

มวลทงหมดของทรงกลม

M = v = 3R4 3

แทนลงในสมการบนจะได

= 2MR52

ตรงกบรป 8-8

ฟสกสราชมงคล

193

8-7 ทฤษฎแกนขนาน_____________________________________________ รป 8-8 เปนโมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงตาง ๆ รอบแกนทผานจดศนยกลางมวล แทนดวย cm แตถาเราตองการหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนใหมทขนานกบแกนหมนเดมเปนระยะ d กสามารถค านวณหาได โดยใชทฤษฎของสไตเนอร (steiner’s theorem) หรอทฤษฎแกนขนาน (parallel axis theorem) ซงเขยนเปนรปของสมการไดวา = cm + Md2 ................... (8-22) cm คอโมเมนตความเฉอยของวตถมวล M รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล คอ โมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนซงขนานกบแกนทผานจดศนยกลางมวล และหางเปนระยะ d

การทดลองเสมอนจรง

การทดลองนเปนการหาโมเมนตความเฉอยโดยการหมนมวล คณสามารถวางมวลบนกลางโตะ หรอมมของโตะกยอมได และท าการทดลองหาความเรงของระบบ เมอไดความเรงแลว น าไปหาโมเมนตความเฉอยไดจากสตร

m = มวลทใชแขวนในระบบ R = คอรศมของโตะหมน ในหองทดลองเสมอนจรงน R = 0.25 เมตร เมอค านวณหาโมเมนตความเฉอยไดแลว ใหน าคา 0.03 kg.m2 ซงกคอโมเมนตความเฉอยของโตะ ลบออก คาทไดกคอโมเมนตความเฉอยของมวลทน าไปหมน กดทรปภาพหรอทนเพอเขาสการทดลอง

ฟสกสราชมงคล

194

รป 8-13 การพสจนทฤษฎแกนขนาน ถาทราบคาโมเมนตของความเฉอยทผานจด C กจะสามารถหาคาโมเมนตของความเฉอยทผานจด P ได การพสจนหาความสมพนธของสมการ (8-22) เราจะก าหนดใหจด C เปนจดศนยกลางมวลของวตถรปใด ๆ มพนทภาคตดขวางดงรป 8-13 มพกดท (xcm , ycm , zcm = 0) ใหแกนหมนทผานจด C มทศตงฉากกบระนาบของกระดาษและแกนหมนทจด P ซงมแกนขนานกบแกนทผานจดศนยกลางมวล P จะมจด

พกดอยท (xcm+a ; ycm+b , zcm = 0) และระยะระหวางแกนทงสองมคา d ซงเทากบ 22 ba อนภาคมวล

mi อยหางจากจด C = 2i

2i yx และจด P = 2

i2

i b)(ya)(x คาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนทผานจด P มคาเทากน = mi {(xi -a)2 + (yi - b)2} = mi )y(x 2

i2i - 2amixi - 2bmiyi + (a2 + b2)mi

เนองจาก คา xcm และ ycm เปน 0 เพราะเปนจดศนยกลางมวล ดงนน mixi = xcmmi = 0 miyi = ycmmi = 0 = mi i

222i

2i m)b(a)y(x

= cm + Md2 พสจนสมการ (8-22) ตามตองการ ตวอยาง 8-9 จงหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลม ใหแกนหมนอยทปลายแทง

หลกการค านวณ จากรป 8-10 แกนหมนอยทปลายแทง = 31

M2 ซงไดมาจากการอนทเกรต อยางไร

กตามเราสามารถใชสมการ (8-22) ไดโดยไมตองผานการอนทเกรตกได

จากรป 8-8 cm = 12

M 2 และ d =

2 แทนลงในสมการ (8-22) จะได

= 12

M 2 + M

4

2 =

3M 2

P(Xcm + a, Ycm + b)

(Xcm ,Ycm)

mi

b yi d

C xi

a

Y

Ycm

X o Xcm

ฟสกสราชมงคล

195

ตวอยาง 8-10 จงหาโมเมนตความเฉอยของจานบางสม าเสมอ แกนหมนอยในแนวตงฉากกบ ขอบจาน

หลกการค านวณ cm = 2

MR2

และ d = R ดงนน

= 2

MR2

+ MR2

= 2

3MR2

8-8 ทอรค______________________________________________________ ทอรค คอแรงทกระท าใหวตถหมน ขนอยกบขนาดของแรงและต าแหนงทแรงกระท าตวอยางเชน มนงายกวากนมากทจะออกแรงผลกประตทลกบดมากกวาทบานพบ

รป 8-14 แรง F1 และ F2 กระท าบนระนาบของวตถ ท าใหวตถหมนไดรอบจด O ในรป 8-14 แรง F1 ท าใหวตถหมนรอบแกน O อตราการหมนจะขนอยกบขนาดของแรง F1

และระยะทตงฉากกบแรง 1 แตถา 1 = 0 วตถจะไมมการหมน ระยะ 1 เปรยบเทยบไดกบดามจบของ

ประแจเราสามารถขนนอตดวยประแจทมดามยาวไดงายกวาดามทมขนาดสน ระยะ 1 จงมชอเรยกวา

แขนโมเมนตของแรง F1 และ F1 1 เรยกวา ทอรคหรอโมเมนตของแรงรอบจด O แทนดวยอกษรกรก (แกมมา)

= F ................... (8-23)

แขนของโมเมนต F1 คอ ระยะทลากจากจดหมนตงฉากกบแรง F1 แทนดวย 1

แขนของโมเมนต F2 คอ ระยะทลากจากจดหมนตงฉากกบแรง F2 แทนดวย 2 แรง F1 ท าใหวตถหมนทวนเขมนาฬการอบจด O ขณะทแรง F2 ท าใหวตถหมนตามเขมนาฬการอบจด O ถาก าหนดใหทอรคหมนทวนเขมเปนบวก และตามเขมเปนลบ ดงนน

1 = +F1 1

และ 2 = -F2 2 ถาแรงทกระท าผานแกนหมน แขนของโมเมนตจะเปนศนย ทอรคกจะเปนศนยดวย หนวยของทอรคคอ นวตน-เมตร (Nm)

F1

แขนโมเมนตของ F1 ทศทางของแรง F1

แขนโมเมนตของ F2

ทศทางของแรง F2

A

O

B

F2

1 2

ฟสกสราชมงคล

196

รป 8-15 = r F รปนทศทางของ ชลงไปในกระดาษ

แรง F สามารถแตกออกเปน 2 แนว คอ F1 ในแนวขนานกบ r และ F2 ในแนวตงฉากกบ r ; F1 = Fcos ไมเกดทอรค เพราะแขนโมเมนตผานจดหมน สวน F2 = F sin ท าใหเกดทอรค ขนาดของ = rF2 = rFsin สามารถเขยนอยในรปของสมการทางเวกเตอรไดดงน = r F ................... (8-24)

r sin = ดงนน ขนาดของ เทากบ F จากรป 8-15 ทอรคมทศชลงไปในกระดาษ ซงเราสามารถหาไดจากกฎของมอขวา

8-9 ทอรคและความเรงเชงมม______________________________________ ใหอนภาคมวล m อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r แรงสทธทกระท าตออนภาคเทากบ F แยกออกเปน 2 แรงคอ F ในแนวตงฉาก หรอรศม และ F สมผสกบเสนทางการเคลอนท จากกฎขอทสองของนวตน จะได F = ma ................... (8-25) จากสมการ (8-10) a = r แทนลงในสมการ (8-25) คณสมการทง 2 ขางดวย r จะได Fr = mr2 ................... (8-26) Fr คอทอรค และ mr2 คอโมเมนตความเฉอยของอนภาค เขยนใหมไดเปน = อนภาค

สมการบนเปนทอรคของอนภาคเพยงตวเดยว ถาตองการหา ของอนภาคทกตวบนวตถ กตองบวกทอรคของแตละอนภาค ซงแตละอนภาคทอยในวตถแขงเกรงเดยวกนจะมความเรงเชงมม เทากนหมด ดงนนทอรครวมจะไดวา

= วตถ ................... (8-27) คอ ทอรครวมทเกดจากแรงกระท าจากภายนอก สวนทอรคทเกดจากแรงภายในจะ หกลางกนหมด เพราะเปนแรงคกรยาและปฏกรยา สมการ (8-27) ใชส าหรบกรณของการหมน ซงทจรง กมาจากกฎขอทสองของนวตน F = ma รปลกษณะของสมการจงคลาย ๆ กน

F F1

r F2

O

ฟสกสราชมงคล

197

ตวอยาง 8-11 ลกกลงมวล 50 kg รศม 0.1 m หมนรอบแกนไดโดยไมมความฝด พนเชอกรอบ ลกกลงทรงกระบอกตน จงหาความเรงเชงมม เมอดงปลายเชอกดวยแรงคงท 20 N หลกการค านวณ = (20 N)(0.1 m)

= 2.0 Nm

ความเรงเชงมม =

= 2m)kg)(0.1(50

21

mN2.0 = 8 rads-2

ตวอยาง 8-12 จงหาความเรงของมวล m และความเรงเชงมมของลกกลง รป 8-16 แผนภาพแทนแรงของตวอยาง 8-12 หลกการค านวณ เขยนแผนภาพแทนแรงของวตถทงสองอสระจากกน ดงรป 8-16 จากกฎขอทสอง mg – T = ma จากสมการ (8-27) จะได

RT = ลกกลง = 2MR21

การทดลองเสมอนจรง

การทดลองเรองทอรค กดทรปภาพหรอทนเพอเขาสการทดลอง

ฟสกสราชมงคล

198

ความเรวลงของมวลจะเทากบความเรวแนวเสนสมผสของลกกลง เชนเดยวกน ความเรงของมวล m กจะเทากบ ความเรงแนวเสนสมผสของลกกลง จากสมการ (8-10) จะได a = R แทนลงไปใน

สมการทสอง จะได RT = 21

MRa , T = Ma แทนลงไปในสมการแรกจะได

mg - 21

Ma = ma

a =

2M

m

mg

=

2mM

1

g

ขอสงเกต แรงตง T จะไมเทากบน าหนก mg และความเรง a กนอยกวา g แตถา M = 0 , T = 0 และ a = g มวล m จะตกลงมาแบบอสระ มวล m เรมตกจากทระดบความสง h ความเรว v หาไดจากสมการ 2

02 vv = 2ah

กรณน ความเรวตน v0 = 0 จะได v = 2ah

=

2mM

1

2gh

เทากบตวอยางท 8-5 ตวอยาง 8-13 มวล m1 คลองผานรอกผกตดเขากบมวล m2 ท าใหมวล m1 ไถลไปบนพนทไมมแรงเสยดทาน ก าหนดใหรอกท าจากทรงกระบอกกลวงบางมมวล M รศม R ขณะหมนเชอกไมไถล จงหาความเรงของมวลแตละกอน ความเรงเชงมมของรอก และความตงของเสนเชอก

หลกกา

รป 8-17 (a) ระบบในตวอยาง 8-13 (b) แผนภาพแยกแรง

ฟสกสราชมงคล

199

หลกการค านวณ รป 8-17 (b) ใสแรงทกแรง ตงแกนพกดและก าหนดทศทางบนมวลแตละกอนใหครบ สงเกตวา T1 และ T2 ไมเทากน แมจะเปนเสนเชอกเสนเดยวกน เหตผลเนองจากรอกมมวล จากกฎขอทสอง สมการการเคลอนทบนมวล m1 และ m2 T1 = m1a1 .................. (8-28) และ m2g - T2 = m2a2 .................. (8-29) แรงปฏกรยา N2 กระท าผานจดศนยกลางมวลของรอก ดงนน จงไมมทอรคเกดขน สมการ การเคลอนทแบบหมนบนรอกกคอ T2R - T1 R = = (MR2) .................. (8-30)

เพราะเชอกไมลนไถล ดงนน a1 = a2 = R ................... (8-31)

แทนลงในสมการ (8-30) จะได T2R - T1R = MRa1

จากสมการ (8-29) และ (8-30) ตวแปร 3 สมการ 3

amTmg

amT

MaTT

122

111

112

จากสมการทง 3 มตวแปร 3 ตว จ านวนสมการเทากบจ านวนตวแปรจงสามารถแกสมการหา T1 , T2 และ a1 ไดดงน

a1 = Mmm

gm

21

2

แทนคากลบลงไปในสมการ (8-28) และ (8-29) จะได

T1 = Mmm

gmm

21

21

T2 = Mmm

gm M)(m

21

21

วเคราะหโจทย ถามวล m1 หรอ M มวลใดมวลหนงมากกวา m2 มาก ๆ ความเรงจะมคานอย และ T2 กจะมขนาดเกอบเทา m2g ในทางกลบกนถา m2 มากกวา m1 หรอ M มวลใดมวลหนงมาก ๆ ความเรงของ m2 เกอบจะเทากบ g หรอเหมอนกบการตกแบบอสระ

ฟสกสราชมงคล

200

8-10 งานและก าลงของการหมน___________________________________

รป 8-18 งานของลกกลงทเกดจากการกระท าของแรง F แรง F ท าใหลกกลงรศม R เคลอนทไดระยะกระจดเชงมม ถามมนมขนาดเลกมาก ๆ แรงจะคงทในชวงเวลาสน ๆ งานทท าโดยแรง F คอ dW = Fds แต ds = Rd ดงนน dW = FRd FR คอทอรค ( ) แทนลงไปเราจะได dW = d ................... (8-32) ใหทอรคคงทระหวางทลกกลงหมนจาก 1 ไป 2 จะได W = (2 - 1) = ................... (8-33) สรปไดวา งานทท าโดยทอรคคงทจะเทากบผลคณของทอรคกบระยะกระจดเชงมม

ทอรค มหนวยเปน Nm แรงในรป 8-18 ถาเปนแรงในแนวสมผส จะท าใหเกดงานได แตถาเปนแรงในแนวรศมจะไมมงานและทอรค เพราะไมมระยะกระจดและแขนของโมเมนตในแนวรศม จากสมการ (8-32) หารสมการทง 2 ขางดวย dt จะได

dt

dW =

dtd

dt

dW คออตราการท างาน หรอก าลง (P)

dtd

คอความเรวเชงมม () ดงนน

P = ................... (8-34) เปนสตรส าหรบการเคลอนทแบบวงกลม เปรยบไดกบ P = Fv ซงเปนกรณการเคลอนท แบบเชงเสน

ฟสกสราชมงคล

201

ตวอยาง 8-14 เพลาของเครองยนตหมนดวยความเรว 3,600 rpm ขณะสงก าลง 80 hp ไปยงลอหลง จงค านวณหาทอรค หลกการค านวณ

= 1

1-1

s.min60

)rad.rev)(2rev.min(3600

= 120. rads-1 80hp = (80hp)(746 Whp-1) = 59,700 W แทนลงในสมการ(8-34) = P/ = 59700 W/120 rads-1 = 158 Nm

ตวอยาง 8-15 มอเตอรไฟฟาขบหนเจยรโดยใหทอรค 10 N.m โมเมนตความเฉอยของใบเจยร = 2 kg.m2 ถาเรมหมนจากหยดนง จงหางาน พลงงานจลน และก าลงเฉลยของมอเตอรหลงจากหมนไปได 8 วนาท หลกการค านวณ จาก = ค านวณหาความเรงเชงมมไดเทากบ 5 s-2 ความเรวเชงมมหลงจาก 8 s หาจาก = t = (5s-2)(8s) = 40 s-1

พลงงานจลนของการหมน K = 21

2

= 21 (2 kgm2)(40 s-1)2 = 1,600 J

ระยะกระจดเชงมมเมอหมนไปได 8 s คอ

= 21t2 =

21 (5s-2)(8s)2 = 160 rad

งานของมอเตอรคอ W =

= (10 Nm) (160 rad) = 1,600 J

ก าลงเฉลย Pav = 8s

J1,600

= 200 Js-1 = 200 W ขอสงเกต ใชสมการ P = ไมไดเนองเพราะ ไมคงท

ฟสกสราชมงคล

202

อยางไรกตาม สามารถค านวณหางานทงหมดได โดยวธการอนทเกรต ก าลง P จาก 0 ถง 8 s ดงน W = Pdt

= dt

= dtt)(

= )tdt8s

0sm)(5N(10 2

= 1,600 J ก าลงชวขณะ ณ เวลา 8s คอ = (10 Nm)(40 s-1) = 400 W เนองเพราะความเรวเชงมมเพมขนเปนเชงเสน ดงนน ก าลงเฉลยเปนครงหนงของคาสงสด

= 2

400 = 200 W

8-11 แกนหมนคงท______________________________________________ ถาแกนหมนไมไดหยดนงอยกบท เพราะมการเลอนต าแหนงและหมนไปพรอม ๆ กนตวอยางเชน ลกบอลไหลลงมาตามพนเอยงโดยไมไถล เปนตน การเคลอนทในลกษณะน พลงงานจลนทงหมดของวตถจะเทากบพลงงานจลนเลอนต าแหนงบวกกบพลงงานจลนของการหมน ก าหนดใหมวล M กลงไปดวยความเรว v และหมนดวยความเรวเชงมม พลงงานจลนทงหมด

K = 21 Mv2 +

21 c

2

c คอ โมเมนตของความเฉอยของทรงกระบอกรอบแกนหมนผานจดศนยกลางมวล

วดโอเพอการศกษา

ไจโรสโคป มคณสมบตชไปในทศทางเดยวตลอดเวลา โดยไมตองค านงถงต าแหนงของฐานวาจะเอยงไปอยางไร ในวดโอมการทดลองใหเหนอยางชดเจน บนกระสวยอวกาศจงใชไจโรสโคปน าวถ เพอน ายานกลบสโลก คลกครบ

ฟสกสราชมงคล

203

ตวอยาง 8-16 พนเชอกรอบทรงกระบอกหลายรอบ ยดปลายเชอกไว ปลอยใหทรงกระบอกตกลงมา จงหาความเรงและความตงในเสนเชอกของทรงกระบอก

รป 8-19 ปลอยใหทรงกระบอกตกลงมา โดยจบปลายเชอกไวดานหนง

หลกการค านวณ จากกฎขอท 2 (เคลอนยายต าแหนง) F = ma Mg - T = Ma ................... (8-35) สมการการหมน =

TR = = 21

(MR2) ................... (8-36)

ถาเชอกไมลนไถลขณะคลายตวออก ความเรงเชงเสน a = R ................... (8-37)

แทน = Ra ลงไปในสมการ (8-36) แกสมการหา a และ T ไดดงน

a = g32

T = Mg31

ตวอยาง 8-17 โบวลงลกหนงก าลงกลงลงมาโดยไมมการลนไถลบนพนเอยงท ามม กบระดบ จงหาความเรงของลกโบวลงตามแนวพนเอยง

รป 8-20 แผนภาพแทนแรงของลกโบวลงขณะทก าลงกลงลงมาบนพนเอยง

ฟสกสราชมงคล

204

หลกการค านวณ จากกฎขอท 2 mg sin -f = ma จากสมการการหมน

fR = =

2mR52

ถาลกโบวลงไมลนไถล จาก a = R แทน = a/R ลงในสมการบน แกสมการหา a และ f ไดดงน

a = 75

g sin

f = 72

mg sin

วเคราะหโจทย ความเรงทค านวณไดเทยบไดกบ 75เทาของมวลทไถลลงบนพนเอยง ท ามม กบระดบ

โดยทไมมแรงเสยดทาน ถงกระนนทบอลกลงไดโดยไมลนไถลกเพราะพนมแรงเสยดทาน และสมประสทธ

ความเสยดทาน (s) จะตองมคาเทากบ tan72

cosmg

sinmg72

Nf

เปนอยางนอย ดงนนถาพนเอยง

มาก s กจะตองมากตามเพอปองกนการลนไถล

8-12 โมเมนตมและการดลเชงมม___________________________________

รป 8-21 โมเมนตมเชงมม

พจารณามวล m เคลอนทบนระนาบดวยความเรว v รอบแกนหมน O มโมเมนตมเชงเสน = mv เราจะนยามโมเมนตมเชงมม L ของอนภาค รอบแกนหมน O มทศทางตงฉากกบระนาบ เปนผลจากการคณของโมเมนตมเชงเสนกบระยะจากแกนหมนตงฉากกบเสนทางการเคลอนทของอนภาค

โมเมนตมเชงมม = L = mvr ................... (8-38)

ฟสกสราชมงคล

205

ในท านองเดยวกบทอรค อาจเรยกโมเมนตมเชงมมวา เปนโมเมนตของโมเมนตมเชงเสน ใหอนภาคมวล m ภายในกอนวตถก าลงหมนรอบจด O ดงรป 8-21b ดวยความเรวเชงเสน v ซงความเรวเชงเสนมความสมพนธกบความเรวเชงมม ดงน v = r แทนคาลงไปในสมการ (8-38) จะได L = mr2 เปนโมเมนตมเชงมมของอนภาคเดยว จะหาโมเมนตมเชงมมของอนภาคทงหมดไดจากผลรวมของอนภาคทงหมดในวตถ แตอนภาคภายในวตถกอนเดยวกน จะม เทากน จงแยก ออกเปนตวรวมได mr2 = mr2 mr2 คอโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนหมน ( ) จะได L = เปนโมเมนตมเชงมมของวตถ ................... (8-39) เมอเทยบกบโมเมนตมเชงเสน P = mv มสวนคลายกน มคาเปนบวกเสมอ ดงนน L จะมทศทางเดยวกบ ทอรคคงทกระท าบนวตถทมโมเมนตความเฉอย ในชวงเวลา t1 ถง t2 ท าใหความเรวเชงมมเปลยนจาก 1 ไปเปน 2 จะได

= = )t(t

)(

12

12

จดรปสมการใหม

(t2 - t1) = 2 - 1 = L2 - L1 = L ................... (8-40) ทอรคคณกบเวลาเรยกวา การดลเชงมม แทนดวยสญลกษณ J

การดลเชงมม = J = (t2 - t1) ................... (8-41) การดลเชงมม คอการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมม ในกรณททอรคไมคงท

J = 2

1

t

tdt ................... (8-42)

จากสมการ (8-40) สรปความสมพนธไดดงน

J = 2 - 1 = L2 - L1 ................... (8-43) จากสมการ (8-39) สามารถเขยนอยในรปของสมการอนพนธ

ฟสกสราชมงคล

206

dtdL

= dtd

=

เทยบกบสมการ (8-27)

= dtdL

................... (8-44)

รป 8-22 อธบายโมเมนตมเชงมมในรปของเวกเตอร

L = r p = r mv ................... (8-45) r เปนเวกเตอรบอกต าแหนงของอนภาคเทยบกบจด O L เปนเวกเตอรตงฉากกบระนาบของรป มขนาดเทากบ mvr

8-13 การคงตวของโมเมนตมเชงมม________________________________

รป 8-23 การดลเชงมมของจานหมนแตละใบ คอการเปลยนแปลงของโมเมนตม

L = r x p

ฟสกสราชมงคล

207

จานหมน 2 ใบดงรป 8-23 มโมเมนตความเฉอย และ และมความเรวเชงมมเรมตน 0 และ 0 ตามล าดบ ประกบจานทงสองเขาหากนดวยแรงในแนวระดบ แรงนจะไมท าใหเกดทอรค เพราะวาอยแกนเดยวกนกบแกนหมน รอสกครจานทงสองจะมความเรวเชงมมเทากบ ขณะทจานประกบกน จานใบใหญใหทอรค กบจานใบเลก สวนจานใบเลกกจะให กบ จานใบใหญ หลงจากทจานมความเรวเชงมมรวมกน ทอรครวมเปนศนย ซงกเปนไปตามกฎขอทสามของ นวตน เหตผลกเพราะวา เปนแรงกรยาและคกรยา กระท าทจดเดยวกน มขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขามกน ดงนน ทอรคของจานใบใหญจะเทากบทอรคของจานใบเลก แตทศทางแตกตางกน = - หรอเขยนอยในรปของการดลเชงมม J = - J จากสมการ (8-43) J = - 0 J = - 0 เพราะ J = - J ดงนน - 0 = -( - 0) จดรปใหม 0 + 0 = (+) ................... (8-46) ขางซายของสมการ (8-46) เปนโมเมนตมเชงมมรวมกอนประกบจาน สวนสมการดานขวาเปนโมเมนตมเชงมมรวมหลงประกบจาน ไมมทอรคภายนอกมากระท ากบระบบ สามารถสรปไดวา ถาไมมทอรคภายนอกกระท ากบระบบหรอทอรคสทธของระบบเปนศนย โมเมนตมเชงมมของระบบจะคงท เราเรยกวา กฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม

รป 8-24 พสจนกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม รป 8-24 นกกายกรรมปลอยมอจากเชอก ตลงกากลางอากาศ ขาและแขนของเขาเหยยดตรง ถาขณะนนเขาหดตวลงโดยยอเขาและมอ ท าใหโมเมนตความเฉอยรอบจดหมนของตวเขาลดลง เมอระบบไมมทอรคกระท าจากภายนอก โมเมนตมเชงมมของระบบจะคงท และความเรวเชงมมจะเพมขน นนคอ นกกายกรรมจะหมนตวกลางอากาศไดเรวขน

ฟสกสราชมงคล

208

ตวอยาง 8-18 จากรป 8-23 ก าหนดใหจานใบแรกมมวล 2 kg มรศม 0.2 m ความเรวเชงมม

เรมตน 50 rads-1 จานใบทสองมมวล 4 kg มรศม 0.1 m ความเรวเชงมมเรมตน 200 rads-1 จงหาความเรวเชงมมสดทายหลงจากจานประกบกน อยากจะทราบวาพลงงานจลนของระบบอนรกษหรอไม หลกการค านวณ

โมเมนตความเฉอยของจานใบแรก = 21

(2 kg)(0.2 m)2 = 0.04 kgm2

โมเมนตความเฉอยของจานใบทสอง = 21

(4 kg)(0.1 m)2 = 0.02 kgm2

จากกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม จะได (0.04 kgm2)(50 rads-1) + (0.02 kgm2)(200 rads-1) = (0.04 kgm2 + 0.02 kgm2) = 100 rads-1 พลงงานจลนเรมตนกอนประกบ

K0 = 21

(0.04 kgm2)(50 rads-1)2 + 21

(0.02 kgm2)(200 rads-1)2

= 450 J พลงงานจลนสดทายหลงประกบ

K = 21

(0.04 kgm2 + 0.02 kgm2)(100 rads-1)2

= 300 J ขอสงเกต พลงงานจลนสญเสยไป 150 J ระหวางการประกบ สรปไดวาพลงงานจลนอาจจะไมคงท ถงแมวาไมมแรงและทอรคจากภายนอกมากระท ากบระบบ ตวอยาง 8-19 นกกลามหนงามคนหนงนงอยบนจดศนยกลางของเกาอหมน กางแขนออกไปในแนวระดบมอแตละขางถอมวล 5 kg เกาอหมน 1 รอบในเวลา 2 วนาท จงหาความเรวเชงมมเมอเขาหบแขนเขาหาตว ก าหนดใหนกกลามผนมโมเมนตความเฉอยเทากบ 6 kg.m2 ระยะวดจากน าหนกถงแกนหมนขณะเหยยดแขนคอ 1 m และหบแขนคอ 0.2 m

วดโอเพอการศกษา

การทดลองกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมมบนเกาอหมน คลกครบ

ฟสกสราชมงคล

209

หลกการค านวณ

รป 8-25 ถาเกาอหมนไมมแรงเสยดทาน ทอรคจากภายนอกระบบไมมจะเปนศนยโมเมนตมเชงมมคงตวหรออนรกษ นนคอ โมเมนตมเชงมมเรมตน = โมเมนตมเชงมมสดทาย ii = ff i และ i คอโมเมนตความเฉอย และความเรวเชงมมเรมตน f และ f คอโมเมนตความเฉอยและความเรวเชงมมสดทาย โมเมนตความเฉอยรวม = คน + น าหนก i = 6 kgm2 + 2(5 kg)(1.0 m)2 = 16 kgm2 f = 6 kgm2 + 2(5 kg)(0.2 m)2 = 6.4 kgm2

i = 2 (21

rads-1)

f = f

ii

= rads-1 2

2

mkg6.4

mkg16

= 2.5 rads-1 = 7.85 rads-1 ความเรวเชงมมสดทายมากกวาเรมตน

พลงงานจลนเรมตน K0 = 21

(16 kgm2)( rads-1)2

= 79 J

พลงงานจลนสดทาย K = 21

(6.4 kg.m2)(2.5 rads-1)2

= 197 J ค าถาม พลงงานจลนสดทายมากกวาเรมตนถกตองหรอไม

ฟสกสราชมงคล

210

ตวอยาง 8-20 ประตกวาง 1 m มวล 1.5 kg หมนไปมารอบบานพบโดยไมมแรงเสยดทาน ยงลกปนมวล

10 กรม ดวยความเรว 400 ms-1 ตงฉากกบบานประต ฝงเขาไปบรเวณจดกงกลางของประต จงหาความเรวของประตหลงจากถกยง อยากทราบวาพลงงานจลนของระบบอนรกษหรอไม หลกการค านวณ โมเมนตมเชงมมเรมตน L = mvr = (0.01 kg)(400 ms-1)(0.5 m) = 2.0 kgm2

s-1 โมเมนตมเชงมมสดทาย รวม โดยท รวม = ประต + ลกปน

ประต = 3

ML2

= 3

m)kg)(1.0(15 2

= 5.0 kgm2 ลกปน = mr2 = (0.01 kg)(0.5 m)2 = 0.0025 kgm2 ไมมทอรคกระท าจากภายนอก ดงนน โมเมนตมเชงมมของระบบคงท mvr = รวม 2.0 kgm2

s-1 = (5.0 kgm2 + 0.0025 kgm2) = 0.4 rads-1 ลกปนฝงลงไปในบานประต ลกษณะแบบนพลงงานจะไมอนรกษ

พลงงานจลนเรมตน Ki = 21

mv2

= 21

(0.01 kg)(400 ms-1)2

= 800 J

พลงงานจลนสดทาย Kf = 21

2

= 21

(5.0025 kgm2)(0.4 rads-1)2

= 0.4 J

ฟสกสราชมงคล

211

8-14 เวกเตอรเชงมม_____________________________________________

รป 8-26 เวกเตอรทศทางของความเรวเชงมม

รป 8-27 เวกเตอร L คอการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมมในชวงเวลา t เนองจาก

มทอรคซงเกดจากน าหนกมากระท ากบระบบ ; เวกเตอร L มทศเดยวกบ

ความเรวเชงมม โมเมนตมเชงมม และทอรค ปรมาณเหลานสามารถแสดงดวยสญลกษณ เวกเตอร สวนทศทางหาไดจากกฎของมอขวา ตวอยางเชน ถาตองการทราบทศทางของความเรวเชงมมกใหใชมอขวาหรอสกร ก ารอบแกนหมน หมนมอตามทศทางการหมน นวโปงและสกรจะชไปในทศทางของ ไจโรสโคป ดงรป 8-27 สามารถหมนรอบแกนหมน O ไดอยางอสระ แรงทกระท าบนไจโรสโคป มอยเพยงแรงเดยว คอ น าหนกของลกขาง w มทศลงทจดศนยกลางมวลของไจโรสโคป ทอรค จากน าหนก w มทศทางตามรป ขณะทลกขางหมน(วธจะท าใหลกขางหมน ใหพนเชอกบนแกนของลกขางหลาย ๆ รอบ ดงลง ลกขางกจะหมนดวยความเรวเชงมม ) ไจโรสโคบจะมโมเมนตมเชงมมเรมตน L = ทอรคสทธจะท าใหโมเมนตมเชงมมเปลยนแปลงไป (L) และท าใหไจโรหมนไปเปนมม ดงสมการ

= LL การเคลอนทของลกขางรอบแกน O เรยกวา การควง (precession)

t เรยกวา ความเรวเชงมมของการควง ใชสญลกษณ (โอเมกา) แทน

ทศทางการหมน

ฟสกสราชมงคล

212

= t

= tL/L

=

L

=

wR ................... (8-47)

ความเรวเชงมมของการควง เปนสดสวนกลบกบความเรวเชงมมของลกขาง ถาลกขางหมนเรว การควงจะชา แตถาลกขางหมนชาการควงจะเรว อยางไรกตามถาลกขางไมหมน กไมมโมเมนตมเชงมม L ตงแตเรมตนแลว ไจโรสโคปกจะไมมการควง

ตวอยาง 8-21 จากรป 8-27 ลกขางหมนรอบตวเองในทศทางทวนเขมนาฬกา ดวยอตราเรว 30 รอบ

ตอวนาท มวลของลกขาง 0.5 kg มโมเมนตความเฉอย = 5 10-4 kgm2 จดศนยกลางมวลของลกขางหางจากจดหมน 4 cm จงค านวณหาความเรวเชงมมของการควง หลกการค านวณ จากสมการ (8-47)

=

wR =

mgR

= )revrad 2srev)(30mkg10(5

m))(4x10sm kg)(9.8(0.51124

2-2

= 2.1 rads-1 ตามกฎมอขวา จะมทศทวนเขมนาฬกา เมอมองจากดานบน

บรรยายลงในกระดานฟสกสราชมงคล

เมอไมมแรงบดหรอทอรคกระท าจากภายนอกโมเมนตมเชงมมทงขนาดและทศทางจะคงท ดงเชน เขมทศไจโรสโคปทหมนอยในเรอ ถาไมมทอรคภายนอกไปกระท ามนจะไมเปลยนทศทาง แมวาเรอล านนจะเคลอนทรอบโลกไปทใดกตามดงรป เขมทศไจโรจงน าไปใชในระบบน ารอง ปจจบนมระบบคอมพวเตอรในการค านวณ ดงนนเมอเรอเปลยนต าแหนงไป คอมพวเตอรจะค านวณเทยบกบต าแหนงของเขมทศไจโร พรอมไปกบขอมลจากตววดความเรง คอมพวเตอรจะค านวณหาระยะทางจากจดเรมตนได แมนย าไมมผดพลาด ใหนกศกษาวจารณภาพนลงใน กระดานฟสกสราชมงคล

ฟสกสราชมงคล

213

1. ก) จงหามมในหนวยเรเดยนทสวนโคงยาว 1.50 m บนเสนรอบวงของวงกลมรศม 2.50 m รองรบทจด

ศนยกลาง มมนมคาเทาใดในหนวยองศา [ ตอบ 0.600 rad = 34.4 องศา ] ข) สวนโคงยาว 14.0 cm บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนงรองรบมม 128 องศา ทจดศนยกลาง วงกลม

นมรศมเทาใด [ ตอบ 6.27 cm ] ค) มมระหวางเสนรศมสองเสนของวงกลมรศม 1.50 m มคาเทากบ 0.700 rad จงหาความยาวของสวน

โคงบนเสนรอบวงของวงกลมระหวางต าแหนงทเสนรศมสองเสนนตดกบเสนรอบวง [ ตอบ 1.05 m ]

2. มม ทลอรถจกรยานลอหนงหมนไปมคา 2 3( )t a bt ct โดยท a , b และ c เปนคาคงตวบวกทท าให มหนวยเปนเรเดยนเมอเวลา t มหนวยเปนวนาท

ก) จงค านวณความเรงเชงมมลอในรปของฟงกชนของเวลา [ ตอบ ( ) 2 6t b ct ] ข) ทเวลาใดความเรวเชงมมของลอมคาไมเปลยนแปลงชวขณะ [ ตอบ / 3b c ]

3. ลอจกรยานลอหนงก าลงถกทดสอบทรานซอม ความเรวเชงมมของลอมคา 4.00 rad/s ทเวลา t = 0 และ ความเรงเชงมมของลอมคาคงตว -1.20 rad/s2 ซลอ OP ซหนงของลอทบซอนกบแกน +x ท t = 0 ดงรป

ก) ความเรวเชงมมของลอท t = 3.00 s มคาเทาใด [ ตอบ 0.40 rad/s ]

ข) ซลอ OP ท ามมเทาใดกบแกน +x ทเวลาน [ ตอบ 6.60 rad ]

แบบฝกหดเรองการหมน

ทดสอบกอนและหลงเรยน

วธท า ให ใสชอ สกล เลอกวชาทสอบ และจ านวนขอ แตตองไมเกนจากทก าหนดไว เชน ก าหนดไว 10 ขอ เวลาเลอกจ านวนขอ ใหเลอก 5 และ 10 ขอไมเกนจากน เปนตน เมอ

ท าเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผท าขอสอบไดทนท เรอง การหมน

คลกเขาส ทดสอบกอนและหลงเรยน

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย คลกครบ

ฟสกสราชมงคล

214

4. ใบมดป นอาหารเครองหนงหมนดวยความเรงเชงมมคงตว 1.50 rad/s2 ก) ถาใบมดเรมหมนจากหยดนง นานเทาใดใบมดจงจะมความเรวเชงมม 36.0 rad/s [ ตอบ 24.0 s] ข) ใบมดหมนไปไดกรอบในชวงเวลาน [ ตอบ 68.8 รอบ ] 5. ท t = 0 ลอฝนมดลอหนงมความเรวเชงมม 24.0 rad/s ลอฝนมดมความเรงเชงมมคงตว 30.0 rad/s2

จนกระทงอปกรณตดไฟท างานท t = 2.00 s จากนนลอหมนทอตราเรงเชงมมคงตวไปเปนมม 432 rad เมอหยด

ก) ลอหมนไปเปนมมทงหมดเทาใดในระหวาง t = 0 จนกระทงหยด [ ตอบ 540 rad ] ข) ลอหยดหมนทเวลาเทาใด [ ตอบ 12.3 s ] ค) ความเรงในขณะทลอหมนชาลงมคาเทาใด [ ตอบ -8.17 rad/s2 ] 6. ลอๆ หนงหมนดวยความเรวเชงมมคงตวท 6.00 rad/s ก) จงหาความเรงในแนวรศมของจดๆ หนงซงอยหาง 0.500 m จากแกนโดยใชความสมพนธ

2

rada r [ ตอบ rada = 18.0 m/s2 ] ข) จงหาอตราเรวในแนวเสนสมผสของจดนและค านวณหาความเรงในแนวรศมจากความสมพนธ

2 /rada v r [ ตอบ v = 3.00 m/s, rada = 18.0 m/s2 ] 7. ลกกลมมวล 1 kg กลงไปบนพนราบดวยความเรว 20 m/s แลวเคลอนทข นไปบนพนเอยงซงท ามม 30

องศา กบแนวระดบ ก) พลงงานจลนทงหมดของลกกลมเปนเทาใดขณะอยบนพนราบ [ ตอบ 280 J ] ข) ลกกลมจะขนไปบนพนเอยงไดไกลเทาใด [ ตอบ 57.2 m ] 8. ไมเมตรอนหนงมมวล m ยาว ตงตรงบนพนดวยปลายขางหนง ถาปลอยใหไมเมตรนลมลงมาโดยให

ถอวาปลายไมทแตะพนคงอยทต าแหนงเดม ไมจะฟาดพนดวยอตราเรวเชงมมเทาใด [ ตอบ 3g ]

9. ไมคทาทอนหนงท าจากทรงกระบอกโลหะเรยวมวล M และยาว L ทปลายแตละขางมปลอกยางมวล m สวมอย และแตละปลอกสามารถมองไดวาเปนอนภาคในปญหาขอน จงหาโมเมนตความเฉอยทงหมดของไมคทารอบแกนหมนโดยปกต (ตงฉากกบไมคทาผานจดกงกลางของไม)

[ ตอบ 2( /12 / 2)M m L ]

10. ทรงกลมเหลก 4 ลก แตละลกมองวาเปนจดมวล 0.200 kg ได วางทรงกลมทงสเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 0.400 m และตอกนดวยแทงเบา ดงรป จงหาโมเมนตความเฉอยของระบบรอบแกน

ก) ทผานจดศนยกลางของสเหลยมจตรสและตงฉากกบระนาบสเหลยม (แกนทผานจด O ในรป) ข) ทแบงครงดานตรงขามสองดานของสเหลยมจตรส (แกนตามเสน AB ในรป) ค) ทผานจดศนยกลางของทรงกลมทดานบนซายและดานลางขวาและผานจด O

ฟสกสราชมงคล

215

11. สวนหนงของขอตอชนหนง ดงรป มมวล 3.6 kg เราวดโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนทอยหาง 0.15 m จากจดศนยกลางมวลของวตถได IP = 0.132 kg.m2 โมเมนตความเฉอย Icm ของวตถรอบแกน ขนานทผานจดศนยกลางมวลของวตถมคาเทาใด [ ตอบ 0.051 kg.m2 ]

12. จากรป แทงไมบางสม าเสมอมวล M ยาว L แทงนอาจเปนไมคทาทคนน าขบวนแหถอ (ไมมปลอกยางทปลายสองขาง) จงค านวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงนรอบแกนผาน O ทระยะหาง h ใดๆ จาก

ปลายดานหนง [ ตอบ 1

3M(L2 – 3Lh + 3h2) ]

13. ชางประปาคนหนงไมสามารถหมนเกลยวขอตอออกได กเลยเอาเศษทอเกา (“ตวโกง”) สวมไปบนมอจบประแจของเขา แลวเขากใชน าหนกตวทงหมดของเขา 900 N ท าตอปลายของตวโกงโดยการยนบนตวโกง ระยะจากจดศนยกลางของขอตอไปยงจดทน าหนกกระท าคอ 0.80 m และมอจบประแจและตวโกงท ามม 19 องศา กบแนวระดบ ดงรป จงหาขนาดและทศของทอรคทเขากระท าตอขอตอทอ [ ตอบ 680 N.m มทศพงเขาไปในระนาบของรป ]

14. เปลอกทรงกระบอกมวล M และรศม R กลงโดยไมไถลดวยอตราเรว vcm บนผวเรยบแบน พลงงานจลน

ของวตถมคาเทาใด [ ตอบ Mvcm2 ]

15. โฆษณาชนหนงอางวาก าลงจายออกของเครองรถยนตคนหนงมคาเทากบ 200 hp ท 6000 rpm ทอรค ขณะนนมคาเทาใด

ฟสกสราชมงคล

216

16. พดลมกงหนในเครองยนตไอพนเครองหนง ดงรป มโมเมนตความเฉอยขนาด 2.5 kg.m2 รอบแกนหมนของเครอง ในขณะทกงหนเรมหมน ความเรวเชงมมของกงหนในรปฟงกชนของเวลาคอ

= (400 rad/s3)t2

ก) จงหาโมเมนตมเชงมมของใบพดในรปของฟงกชนของเวลา และใหหาคาของโมเมนตมเชงมมน

ทเวลา t = 3.0 s [ ตอบ 9000 kg.m2/s ] ข) จงหาทอรคสทธทกระท าตอใบพดในรปฟงกชนของเวลา และจงหาทอรคทเวลา t = 3.0 s

[ ตอบ 6000 N.m ] 17. ประตกวาง 1.0 m มวล 15 kg ตดบานพบทดานหนงท าใหสามารถหมนโดยไมมความเสยดทานรอบ

แกนดง ประตนไมไดใสกลอนไว ต ารวจนายหนงยงลกปนมวล 10 g และอตราเรว 400 m/s เขาไปทตรงกลางประตพอดในทศตงฉากกบระนาบของประต จงหาอตราเรวเชงมมของประตหลงจากทลกปนฝงเขาไปในประตพอด พลงงานจลนมคาคงตวหรอไม [ ตอบ 0.40 rad/s พลงงานจลนสดทายมคาเพยง 1/2000 ของคาเดม ]

18. ชายคนหนงยนอยกลางแปนหมน มอทงสองถอกอนน าหนกมอละ 2 kg และเหยยดแขนตรงใหกอน

น าหนกหางแกนหมน 1 m และหมนแปนนนดวยอตรา 6 รอบ/นาท โมเมนตความเฉอยเมอเขายนมอเปลารอบแกนหมนเทากบ 10 kg/m2 ถาเขาหดแขนเขามากอนน าหนกทงสองหางแกนหมน 0.2 m เขาจะหมนในอตรากรอบ/นาท [ ตอบ 8.3 รอบ/นาท ]

19. จงค านวณหาโมเมนตมเชงมมของเขมวนาทบนนาฬการอบแกนทผานจดศนยกลางของหนาปดนาฬกา

เขมนาฬกายาว 15.0 cm และมมวล 6.00 g ใหพจารณาวาเขมนาฬกาเปนแทงวตถผอมบางซงก าลงหมนดวยความเรวเชงมมคงตวรอบปลายขางหนง [ ตอบ 4.71 x 10-6 kg.m2/s ]

20. เมอใชทอรคลพธขนาด 20 N.m กระท าทลออนหนงท าใหลอนนหมน จากหยดนงเปน 100 รอบ/นาท ใน

เวลา 10 วนาท ก) ใหหาโมเมนตความเฉอยของลอนน [ ตอบ 19.2 kg.m2 ] ข) เมอใชทอรคครบ 10 วนาท นบจากถอนทอรคนนออก ลอนนกหมนชาลง จนหยดนงในเวลา 100 วนาท นบจากถอนทอรค ทอรคเนองจากความฝดในการหมนมคาเทาใด [ ตอบ 2 N.m ] ค) หาจ านวนทงหมดทลอนนหมนไดจากเรมตนจนหยดนงสนท [ 92 รอบ ]