เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · web...
TRANSCRIPT
![Page 1: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/1.jpg)
วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30206 )ระดบชนมธยมศกษาปท 6เรอง ทฤษฎกราฟเบองตน
1. กำาเนดทฤษฎกราฟ ( The origin of graph theory )
ครสตศตวรรษท 18 มเมองๆหนงชอ เคอนกสแบรก ( Koningsberg ) ตงอยบนสองฝงของแมนำ$ปรเกล ( Pregel ) ตอม$เปลยนชอเปนค$ลนนกร$ด ( Kalininggrad ) อยในสหภ$พโซเวยตรสเซยท$งด$นตะวนออก ปจจบนเมอสหภ$พโซเวยตถกแบงแยกแลวเมองนสงกดอยกบสหพนธรฐรสเซย เมองเคอนกสแบรกประกอบดวยเก$ะ 2 เก$ะ คอ เก$ะ A และ เก$ะ B ซงเชอมระหว$งเก$ะกบตวเมองดวยสะพ$น 7 แหงดงรป ก
รป ก เนองจ$กช$วเมองมนสยชอบเดนเลน จงตงปญห$เกยวกบก$รเดนขนว$ เปนไปไดหรอไมทคน คนหนงจะเดนข$มสะพ$นทง “ 7 เพยงสะพ$นละหนงครง โดยจะตงตนทไหนและจะสนสดทใดกได ปญห$นไมมใคร”ใหคำ$ตอบได จนกระทงในป ค.ศ. 1736 เลออนฮ$รด ออยเลอร ( Leonhard Euler ) นกคณตศ$สตร ช$วสวสไดใหคำ$ตอบพรอมคำ$
D
C
BA
![Page 2: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/2.jpg)
D
CB
A
อธบ$ยว$ก$รเดนลกษณะดงกล$ว เปนไปไมได เพร$ะก$รทคนคนหนงจะทำ$เชนนนได เข$จะตองเดนม$ทเก$ะ A ( หรอเก$ะ B ) แลวกลบออกไปโดยใชสะพ$นททต$งกนในจำ$นวนครงทเท$กนซงไมอ$จทำ$ได
ถ$คำ$ตอบของออยเลอรมเพยงเท$น ปญห$สะพ$นเคอนกสแบรก คงไมกล$ยเปนปญห$อมตะในวช$คณตศ$สตร แตธรรมช$ตของนกคณตศ$สตรมกไมพอใจเพยงคำ$ตอบเฉพ$ะกรณ เข$มกแสวงห$คำ$ตอบทวไปเพอจะตอบปญห$อนๆทมลกษณะเดยวกนดวย ออยเลอรไดเปลยนรปแบบของปญห$แลวเสนอเปนตวแบบน$มธรรม คอ แทนฝงแมนำ$และเก$ะดวย จดยอด ( vertex หรอ node ) แทนสะพ$นดวยเสนเชอมระหว$ง จดยอด 2 จด เรยกว$ ดาน ( edge หรอ arc ) แผนภ$พนเรยกว$ กราฟ ( ซงแตกตางจากกราฟทแทนฟงกชนของจำานวนจรงในเรขาคณต ) ดงรป ข
รป ข
ตวอยางท 1 สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะอย 2 เก$ะ คอ เก$ะ B และเก$ะ C และมสะพ$นเชอมระหว$ง เก$ะกบฝง A และฝง D ดงรป
A
C
B
D
![Page 3: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/3.jpg)
A
B C
D
A
B C
D
A
BC
D
จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน
วธทำา จำ$ลองปญห$นดวยกร$ฟ G โดยท จดยอด V(G) = { A , B , C , D }
เสนเชอม E(G) = { AB , AB , AC , BC , BD , DC } แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป
ตวอยางท 2 สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะอย 2 เก$ะ คอ เก$ะ B และเก$ะ C และมสะพ$นเชอมระหว$งเก$ะ กบฝง A และฝง D ดงรป
จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน
วธทำา จำ$ลองปญห$นดวยกร$ฟ G โดยทจดยอด V(G) = { A , B , C , D }
เสนเชอม E(G) = { AB , AC , BC , BD , DC }แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป
![Page 4: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/4.jpg)
งคขก
DCBA
ABCD
กขคง
ตวอยางท 3 บรษทแหงหนงมตำ$แหนงง$นว$ง 4 ตำ$แหนง คอ A , B , C และ D มผม$สมครง$น 4 คน คอ ก , ข , ค และ ง โดยทแตละคนมคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงต$งๆดงน
ก มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A ข มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A , B และ D ค มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง C และ D ง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A และ B
บรษทจะจดตำาแหนงงานใหผสมครทงสคนอยางไรโดยทผสมครทกคนสามารถเขาทำางานได
วธทำา จำ$ลองปญห$ดวยกร$ฟ G โดยทV(G) = { A , B , C , D , ก , ข , ค , ง }
E(G) = { ก A , ข A , ข B , ข D , ค C , ค D , ง A , ง B }แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป
จ$กแผนภ$พของกร$ฟ G จะจดง$นใหผสมครทงสคนเข$ทำ$ง$นในทกตำ$แหนงไดดงน
ก ทำ$ง$นในตำ$แหนง A
![Page 5: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/5.jpg)
ข ทำ$ง$นในตำ$แหนง Dค ทำ$ง$นในตำ$แหนง Cง ทำ$ง$นในตำ$แหนง B
แบบฝกทกษะท 1 เรอง กำาเนดทฤษฎกราฟ
1. สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะ A เก$ะ B และเก$ะ C อยกล$งแมนำ$ และมสะพ$นเชอมระหว$ง
เก$ะกบฝง D และฝง E ดงรป
จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยกำาหนดจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน
E
D
CBA
![Page 6: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/6.jpg)
2. แดง , ดำ$ , เขยว , ข$ว และ เหลอง สมครเข$ทำ$ง$นในบรษทแหงหนง โดยทบรษทนมตำ$แหนงง$น ว$งอย 5 ตำ$แหนง และบคคลทง 5 คนมคว$มส$ม$รถในก$รทำ$ง$นตำ$แหนงต$งๆดงน
แดง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 3 และ 4 ดำ$ มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 3 เขยว มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 1 และ 2 ข$ว มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 4 และ 5 เหลอง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 2 และ 5
จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟและพจารณาวาเปนไปไดหรอไมทบรษทจะรบบคคลทง 5 คน เขาทำางานในทกตำาแหนง ถาเปนไปได ใครจะทำางานในตำาแหนงใดไดบาง
2. จดยอดและเสนเชอม
ความหมายของกราฟ
บทนยาม กร$ฟ G คอคอนดบ ( V(G) , E(G) ) ประกอบดวย เซตจำ$กด 2 เซต คอ 1. V(G) เปนเซตของจดยอดของ
![Page 7: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/7.jpg)
A
B
C
De4e1 e3e2
e5
e7e6 E
จ$กบทนย$ม กร$ฟจะประกอบไปดวยจดยอดและเสนเชอมเสมอ ซงจดยอดของกร$ฟ ไมเปนเซตว$ง แตเสนเชอมของกร$ฟอ$จจะเปนเซตว$งได
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G จงห$ V(G) , E(G)
G
วธทำา จ$กกร$ฟ G จะไดว$ V(G) = { A , B , C , D , E } E(G) = { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7} หรอ E(G) = { AB , BC , CD , DE , BD , AC , CE }
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ H จงห$ V(H) , E(H)
H
วธทำา จ$กกร$ฟ H จะไดว$ V(H) = { W , X , O , Y , Z } E(H) = { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } หรอ E(H) = { WO , WX , XO , OZ , YZ , YO }หมายเหต
1. ในก$รเขยนแผนภ$พของกร$ฟนน จะกำ$หนดตำ$แหนงของจดยอด ณ ตำ$แหนงใดกได
และล$กเสนเชอมของกร$ฟเปนเสนตรงหรอเสนโคงมคว$มย$วเปนเท$ใดกได เชน
Oe1
e2e3e4
e5
e6ZY
XW
A
e1
e3
B
e2
Ce5e4
De5e4
e3 e2
e1
D C
BA
![Page 8: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/8.jpg)
D C
BA A B
C D
รปท 1 รปท 2 กร$ฟรปท 1 และกร$ฟรปท 2 ถอว$เปน กราฟเดยวกน
2. เสนเชอมสองเสนของกร$ฟอ$จล$กตดกนได โดยทจดตดของเสนทงสองไมถอว$
เปนจดยอดของกร$ฟ เชน กร$ฟ
ซงส$ม$รถเขยนใหมเปน
นกเรยนลองตอบดซว$รปนมจดยอดกจด เสนเชอมกเสน แลวเตมคำ$ตอบลงข$งล$งน
จดยอดม ................จด คอ ...............................................................................................
![Page 9: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/9.jpg)
dc
baA
B
D
C
o
w
x
z
y
A
D
C
B
แบบฝกทกษะท 2เรอง จดยอด และ เสนเชอม
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณกร$ฟ G V(G) E(G)
ตวอยาง { a , b , c , d }
{ ab , ad , ac , bc , bd , dc }
1.
2.
3.
4.
5.
3. เสนเชอมขนาน และ วงวน
V4 V3
V2V1
V6V5
V1
V2V3
V4
![Page 10: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/10.jpg)
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป
จ$กรป จะไดว$ 1. เสนเชอม e1 , e2 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 2. เสนเชอม e5 , e6 , e7 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 3. เสนเชอม e8 , e9 เปนวงวน หรอ บวง 4. เสนเชอม e3 , e4 เปนด$นเดยว
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป
จ$กรป จะไดว$ 1. เสนเชอม e3 , e4 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 2. เสนเชอม e5 , e6 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 3. เสนเชอม e9 เปนวงวน หรอ บวง 4. เสนเชอม e1 , e2 , e7 , e8 เปนด$นเดยว
แบบฝกทกษะท 3เรอง เสนเชอมขนาน และ วงวน
บทนยาม เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหว$งจดยอดคเดยวกนเรยกว$ เสนเชอมขนาน (Parallel edges) เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว เรยกว$ วงวน
e9
e8
A
B
e1 e2 e6C
e3e5
D
e4
e7
e8
e9
C
Ae1
B
e5De4e3
e2
e6
e7
![Page 11: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/11.jpg)
คำาชแจง ใหนกเรยนปฎบตต$มกจกรรมตอไปน1. จ$กกร$ฟตอไปนจงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย หน$ขอทผด
.................1. เสนเชอม e3 , e4 , e5 เรยกว$เสนเชอมขน$น .................2 เสนเชอม e1 , e2 เรยกเสนเชอมขน$น .................3. เสนเชอม e6 , e7 เรยกว$เสนเชอมขน$น .................4. เสนเชอม e3 , e5 เรยกว$วงวน .................5 เสนเชอม e1 , e2 เรยกว$วงวน .................6. เสนเชอม e8 เรยกว$วงวน .................7. เสนเชอม e6 , e7 เรยกว$ด$นเดยว .................8. เสนเชอม e4 เกดกบจดยอด C .................9. เสนเชอม e8 เกดกบจดยอด A ...............10. เสนเชอม e5 เกดกบจดยอด D2. จ$กกร$ฟขอ 1 จงใชตอบคำ$ถ$มพรอมทงบอกเหตผลดงตอไปน 2.1 กร$ฟด$นเดยวคอ ............................................................................................................. เพร$ะ ...................................................................................................................................... 2.2 กร$ฟด$นซอน หรอ เสนเชอมขน$น คอ ......................................................................... เพร$ะ ....................................................................................
e1e7
e4D
e5e3C
e6e2
BAe8
![Page 12: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/12.jpg)
e1 e2 e3 e4
e5
e6 e7A
B C
ED
................................................. 2.3 บวง หรอ วงวน คอ .......................................................................................................... เพร$ะ ......................................................................................................................................
4. จดยอดประชด
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ จดยอดประชด และ เสนเชอมทเกดกบจดยอด A , B , C , D , E
วธทำา จดยอด A ประชดจดยอด B เกดเสนเชอม e1
จดยอด A ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e6
จดยอด B ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e2
จดยอด B ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e5
จดยอด C ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e3
บทนยาม จดยอด u และจดยอด v ของกร$ฟ เปนจดยอดประชด กตอเมอมเสนเชอมระหว$งจดทงสอง เสนเชอม e ของกร$ฟเกดกบ ( incident ) จดยอด v ถ$จดยอด v เปนจดปล$ยจดหนงของ
![Page 13: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/13.jpg)
e8e7
e6
e5e4e3
e2e1
A B
CD
จดยอด C ประชดจดยอด E เกดเสนเชอม e7
จดยอด D ประชดจดยอด E เกดเสนเชอม e4
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ จดยอดประชด และ เสนเชอมทเกดกบจดยอด A , B , C , D
จดยอด A ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e1 , e2
จดยอด A ประชดจดยอด B เกดเสนเชอม e3
จดยอด B ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e4 , e5
จดยอด C ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e6
เสนเชอมทเกดจ$กจดยอด A คอ e7
เสนเชอมทเกดจ$กจดยอด B คอ e8
![Page 14: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/14.jpg)
แบบฝกทกษะท 4เรอง จดยอดประชด
คำาชแจง ใหนกเรยนปฎบตต$มกจกรรมตอไปน
1. จ$กกร$ฟตอไปนจงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย หน$ขอทผด ใชกร$ฟ G ตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 5
G
.................1) จดยอด A ประชดกบจดยอด D เพร$ะ ........................................................................ .................2) จดยอด D ประชดกบจดยอด B เพร$ะ ........................................................................ .................3) จดยอด C ประชดกบจดยอด B เพร$ะ ........................................................................ .................4) จดยอด B ประชดกบจดยอด A เพร$ะ .......................................................................
e1e7
e4D
e5e3C
e6e2
BAe8
![Page 15: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/15.jpg)
Ae1
Be5
C
e4
e3e2
e6D
e7
.................5) จดยอด A ประชดกบจดยอด C เพร$ะ .......................................................................
2. จงใชกร$ฟ H ตอบคำ$ถ$มตอไปน
H
1) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 2) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 3) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 4) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม ..................................................
![Page 16: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/16.jpg)
5) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 6) จดยอดประกอบดวย ............................................................................................................. 7) เสนเชอมขน$นหรอด$นซอนประกอบดวย .......................................................................... 8) เสนเชอมด$นเดยวประกอบดวย ........................................................................................... 9) วงวนหรอบวงประกอบดวย ................................................................................................. 10) เสนเชอม e1 , e2 เกดจ$กจดยอด ..........................................................................................
5. ดกรของจดยอด
บทนยาม ดกรของจดยอด V ในกร$ฟ คอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด V ใชสญลกษณ deg(V) แทนดกรของจด
![Page 17: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/17.jpg)
ED
C
BA
ED
C
BA
A
B C
D
จ$กบทนย$ม จะไดว$ ดกรของจดยอดในกร$ฟกคอ จำานวนเสนทงหมดทตกกระทบกบจดยอดนนๆ กรณเสนเชอมเปนวงวนใหนบเสนเชอมเปน 2 เสน
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ ดงนน เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ AB , AC , AC , AE deg(A) = 4
เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ BA , BB deg(B) = 3
เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ CA , CA , CD deg(C) = 3
เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ DC , DE , DD deg(D) = 4 เสนเชอมทเกดกบจดยอด E คอ EA , ED deg(E) = 2
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
![Page 18: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/18.jpg)
A B
CD
วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ ดงนน เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ AB , AB , AC , AD deg(A) = 4
เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ BA , BA , BC deg(B) = 3
เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ CA , CB deg(C) = 2
เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ DA, DD deg(D) = 3
ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟพรอมทงบอกเหตผล
วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ จะไดว$ deg (A) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด A จำ$นวน 4 เสน deg (B) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด B จำ$นวน 4 เสน deg (C) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด C จำ$นวน 4 เสน
![Page 19: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/19.jpg)
E
A
B
C D
FGA
B C
DE
deg (D) = 0 เพร$ะไมมเสนเชอมทเกดกบจดยอด D
ขอตกลง1. ดกรของจดยอดทเปนวงวน จะมดกร
เทากบ 2 เชน ดกรของจดยอด A เทากบ 2 ( deg A = 2 )2. จดยอดทไมมเสนเชอมใหถอวาดกรของจดยอดเปนศนย
แบบฝกทกษะท 6เรอง ดกรของจดยอด
คำาชแจง ใหนกเรยนปฏบตต$มกจกรรมดงตอไปน
1. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
1) deg ( A ) = ................เพร$ะ................................................... 2) deg ( B ) = ...............เพร$ะ................................................... 3) deg ( C ) = ...............เพร$ะ................................................... 4) deg ( D ) = ................เพร$ะ.................................................. 5) deg ( E ) = ................เพร$ะ...................................................
2. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
![Page 20: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/20.jpg)
FA
BC
D
E
1) deg ( A ) = ................เพร$ะ................................................... 2) deg ( B ) = ................เพร$ะ................................................... 3) deg ( C ) = ................เพร$ะ................................................... 4) deg ( D ) = ...............เพร$ะ................................................... 5) deg ( E ) = ................เพร$ะ................................................... 6) deg ( F ) = ................เพร$ะ................................................... 7) deg ( G ) = ...............เพร$ะ....................................................
3. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟพรอมทงบอกเหตผล
1) deg ( A ) = ....................เพร$ะ...................................................................................................
![Page 21: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/21.jpg)
2) deg ( B ) = ....................เพร$ะ................................................................................................... 3) deg ( C ) = ...................เพร$ะ.................................................................................................... 4) deg ( D ) = ...................เพร$ะ................................................................................................... 5) deg ( E ) = ....................เพร$ะ................................................................................................... 6) deg ( F ) = .....................เพร$ะ..................................................................................................
7. การหาผลรวมของดกรของจดยอด
![Page 22: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/22.jpg)
ED
C
BA
ก$รห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ จะอ$ศยทฤษฎบท ดงตอไปน
พสจน เนองจ$กเสนเชอมแตละเสนในกร$ฟ เกดกบจดยอดเปนจำ$นวนสองครง ดงนน เสนเชอมแตละเสน จะถกนบ 2 ครง ในผลรวมของดกรของจดยอดทกจด นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด ในกร$ฟเท$กบ สองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงแสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปนสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ
วธทำา จ$กกร$ฟจะไดเสนเชอมทงหมด 8 เสน และ deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 2
ดงนน deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = 4 + 3 + 3 + 4 + 2 = 16
แสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ 16 ซงเท$กบสองเท$ของเสนเชอม คอ 2 ( 8 ) = 16
ทฤษฎบทท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอม ในกร$ฟ
![Page 23: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/23.jpg)
E
D
CB
A
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ G
วธทำา จ$กกร$ฟจะไดเสนเชอมทงหมด 7 เสน และ deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 0
ดงนน deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = 4 + 3 + 3 + 4 + 0 = 14
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ 14 และผลรวมของดกรของจดยอดทกจดใน กร$ฟเปนสองเท$ของเสนเชอม นนคอ 2 ( 7 ) = 14
ตวอยางท 3 จงห$จำ$นวนจดยอดของกร$ฟทมเสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จดทมดกรเท$กบ 4 สวนจดยอดทเหลอมดกรเท$กบ 3
วธทำา ให n เปนจำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 3 ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ คอ ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n )
จ$กทฤษฎบท ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบสองเท$ของเสนเชอมในกร$ฟ
ดงนน ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n ) = ( 2 )( 15 ) 12 + 3n = 30 n = 6
![Page 24: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/24.jpg)
จำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 3 มจดยอดทงหมด 6 จด จำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 4 มจดยอดทงหมด 3 จด
จำ$นวนจดยอดทงหมดของกร$ฟ คอ 3 + 6 = 9
สรป1.ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนจำานวนค
เสมอ2.จำานวนเสนเชอมในกราฟเทากบครงหนงของผลรวมของด
กรของจดยอดทกจดในกราฟ หรอผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนสองเทาของจำานวนเสนเชอม
แบบฝกทกษะท 7 เรอง ผลรวมของดกรของจดยอด
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ1. จ$กกร$ฟ G ดงรป จงแสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปนสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ
A
B
C
D
E
1) deg ( A ) = ..................................... 2) deg ( B ) = ..................................... 3) deg ( C ) = .....................................
![Page 25: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/25.jpg)
4) deg ( D ) = ..................................... 5) deg ( E ) = .....................................
deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = ....................................................
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ .................... เสนเชอมมทงหมด .............. เสน ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปน .......................... ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ
2. จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
E
F
AB
C
D
1) deg ( A ) = ..................................... 2) deg ( B ) = ..................................... 3) deg ( C ) = ..................................... 4) deg ( D ) = ..................................... 5) deg ( E ) = ..................................... 6) deg ( F ) = ..................................... deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) + deg ( F ) = ....................................................
![Page 26: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/26.jpg)
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ .................... เสนเชอมมทงหมด .............. เสน ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปน..................................ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ หรอ จำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟทกเสนเปน............................ของผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
3. ถ$กร$ฟมดกรของจดยอด A = 3 , จดยอด B = 2 , จดยอด C = 4 , จดยอด D = 3 แลวเสนเชอมของกร$ฟจะม ........................ เสน
4. ถ$กร$ฟมเสนเชอมทงหมด 14 เสน จะมผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ ...................
8. จดยอดค , จดยอดค
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค
บทนยาม จดยอดทมดกรเปนจำ$นวนค เรยกว$ จดยอดค ( even vertex ) จดยอดทมดกรเปนจำ$นวนค เรยกว$ จด
E
D
CB
A
![Page 27: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/27.jpg)
วธทำา deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 0
ดงนน จดยอดค คอ จดยอด A , D และ E จดยอดค คอ จดยอด B และ C
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค
วธทำา deg ( A ) = 5 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 4 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 4 , deg ( F ) = 4
ดงนน จดยอดค คอ จดยอด C , D , E และ F จดยอดค คอ จดยอด A และ B
จ$กตวอย$งท 1 และ 2 ข$งตน
พบว$ กร$ฟมจดยอดคเปนจำ$นวนค ซงเปนไปต$มทฤษฎบท
ตวอยางท 3 ในก$รประชมคณะกรรมก$รนกเรยนซงประกอบดวย ประธ$น , รองประธ$น , เหรญญก,
D
CB
A
FE
ทฤษฎบทท 2 ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจำานวนค
![Page 28: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/28.jpg)
ปฏคม และ เลข$นก$ร โดยกำ$หนดว$ ใหคณะกรรมก$รจบมอกนดงน ประธ$นจบมอกบเพอน 4 ครง ,รองประธ$นจบมอกบเพอน 3 ครง , เหรญญกจบมอกบเพอน 3 ครง , ปฏคมจบมอกบเพอน 4 ครง ,เลข$นก$รจบมอกบเพอน 2 ครง จงพจ$รณ$ว$เปนไปไดหรอไมทคณะกรรมก$รนกเรยนจะจบมอทกท$ยกนต$มทกำ$หนด
วธทำา แปลงปญห$ใหเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทน ประธ$น , รองประธ$น , เหรญญก , ปฏคม และเลข$นก$ร เสนเชอมแทนก$รจบมอทกท$ยของคณะกรรมก$รนกเรยน จะไดว$
กร$ฟนมจดยอด 5 จด โดยให A แทน ประธ$น , B แทน รองประธ$น , C แทน เหรญญก , D แทน ปฏคม และ E แทน เลข$นก$ร
ดงนน จดยอด A มดกรเท$กบ 4 จดยอด B มดกรเท$กบ 3 จดยอด C มดกรเท$กบ 3 จดยอด D มดกรเท$กบ 4 จดยอด E มดกรเท$กบ 2
จะเหนว$ กร$ฟมจดยอดคเปนจำ$นวนค สอดคลองกบทฤษฎบท ดงนน คณะกรรมก$รนกเรยนจะจบมอทกท$ยกนไดต$มทกำ$หนด
A
D
EC
B
![Page 29: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/29.jpg)
แบบฝกทกษะท 8เรอง จดยอดค และ จดยอดค
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
1. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค
จ$กกร$ฟ จดยอดค คอ .......................................................................................... จดยอดค คอ ..........................................................................................
2. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค
จ$กกร$ฟ จดยอดค คอ ........................................................................................ จดยอดค คอ
E
A
B
C D
GF
A
DE
CB
![Page 30: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/30.jpg)
.............................................................................
...........
3. จงพจ$รณ$ว$เปนไปไดหรอไมทตำ$บลหนงม 5 หมบ$น โดยม 3 หมบ$นซงแตละหมบ$น มถนนเชอมหมบ$นอนเพยง 3 ส$ย , ม 1 หมบ$นทมถนนเชอมกบหมบ$นอนเพยง 2 ส$ย และม 1 หมบ$นมถนนเชอมกบหมบ$นทเหลอทกหมบ$น
วธทำ$ ……..……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
![Page 31: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/31.jpg)
……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………...
9. แนวเดน
บทนยาม ให u และ v เปนจดยอดของกร$ฟ แนวเดน u – v ( u – v walk ) คอลำ$ดบจำ$กด
ของจดยอดและเสนเชอมสลบกน u = u0 , e , u1 , e2 , u 2 , e3 ,… , u n - 1 , en ,
un = v โดยเรมตนทจดยอด u และสนสดทจดยอด v และ
![Page 32: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/32.jpg)
e5e4
e3e2e1
A
B
C
D
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$แนวเดน A – C , D – B
เพอคว$มสะดวกจะเขยนเสนท$ง จ$ก A – C ดวยลำ$ดบของจดยอดและเสนเชอม
จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน A – C ดงน เสนทางท 1 A , e1 , B , e2 , A , e5 , D , e4 , C หรอ A , B , A , D , C เสนทางท 2 A , e1 , B , e3 , C หรอ A , B , C เสนทางท 3 A , e5 , D , e4 , C หรอ A , D , C
แนวเดน D – B มดงน เสนทางท 1 D , e5 , A , e1 , B หรอ D , A , B เสนทางท 2 D , e5 , A , e2 , B หรอ D , A , B เสนทางท 3 D , e4 , C , e3 , B หรอ D , C , B
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$แนวเดน B – D , C – E
A
B
C
DE
![Page 33: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/33.jpg)
เพอคว$มสะดวกจะเขยนเสนท$ง จ$ก B – D ดวยลำ$ดบของจดยอดและเสนเชอม
จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน B – D ดงน เสนทางท 1 B , A , E , D เสนทางท 2 B , A , C , D เสนทางท 3 B , C , A , E , D เสนทางท 4 B , C , A , D เสนทางท 5 B , C , D เสนทางท 6 B , A , D
จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน C – E ดงน เสนทางท 1 C , B , A , D , E เสนทางท 2 C , B , A , C , D , A , E เสนทางท 3 C , B , A , C , D , E เสนทางท 4 C , D , A , E เสนทางท 5 C , B , A , E เสนทางท 6 C , A , D , E เสนทางท 7 C , D , E
หมายเหต สำ$หรบกร$ฟใดๆทไมมเสนเชอมขน$นและไมมวงวนอ$จเขยนแนวเดนดวยลำ$ดบของจดยอด เชน ในตวอย$งท 1 แนวเดน A – C ส$ม$รถเขยนแทนไดดวย A , B , C
![Page 34: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/34.jpg)
e5 Ee6
e9e8 e7e4
e3
e2 e1
FD
C
B
A
แบบฝกทกษะท 9 เรอง แนวเดน
คำาชแจง จ$กกร$ฟจงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
G
1. แนว เดน A – D คอ ........................................................ หรอ ......................................... 2. แนวเดน B – E คอ ........................................................ หรอ ......................................... 3. แนวเดน A – C คอ ........................................................ หรอ ......................................... 4. แนวเดน B – D คอ ........................................................ หรอ ......................................... 5. แนวเดน B – F คอ ........................................................ หรอ .........................................
2. จ$กกร$ฟ G แนวเดนทกำ$หนดใหจงบอกว$เปนแนวเดนของวถอะไร
![Page 35: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/35.jpg)
e5 Ee6
e9e8 e7e4
e3
e2 e1
FD
C
B
A
6. แนวเดน C , e8 , F , e5 , A , e1 , E เปนแนวเดนของ .......................................................... 7. แนวเดน F , e8 , C , e3 , B , e4 , C , e9 , D เปนแนวเดนของ ............................................. 8. แนวเดน E , e7 , D , e9 , C , e8 , F , e5 , A เปนแนวเดนของ ............................................. 9. แนวเดน F , e5 , A , e1 , E , e7 , D , e9 , C เปนแนวเดนของ .............................................. 10. แนวเดน D , e7 , E , e1 , A , e2 , B , e3 , C เปนแนวเดนของ ................................
10. กราฟเชอมโยง
จ$กบทนย$มจะไดว$ กราฟทจะเปนกราฟเชอมโยง จะตองมแนวเดนระหวางจดยอดทกจดในกราฟ
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด
บทนยาม กร$ฟ G เรยกว$ กร$ฟเชอมโยง ( connected graph ) กตอเมอ สำ$หรบ จดยอด u และ v ทเปนจดยอดต$งกน
E
DC
BA
![Page 36: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/36.jpg)
เปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ มแนวเดน A – C , มแนวเดน B – D มแนวเดน A – E , มแนวเดน D – E เปนตน
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด
เปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ มแนวเดน A – D , มแนวเดน A – E มแนวเดน A – C , มแนวเดน B – D มแนวเดน B – E , มแนวเดน E – D เปนตนตวอยางท 3 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด
ไมเปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ ไมมแนวเดน A – E , ไมมแนวเดน B – E
E
D
C
BA
ED C
BA
![Page 37: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/37.jpg)
ไมมแนวเดน C – E , ไมมแนวเดน D – E
ตวอยางท 4 กำ$หนดข$ยง$นก$รเชอมโยงระหว$งเส$ไฟฟ$และส$ยไฟฟ$ในอำ$เภอภก$มย$ว ดงรป ถ$เกดเหตก$รณเส$ไฟฟ$ตนหนงลมแลว จงห$ว$เส$ไฟฟ$ตนใดเมอลมแลวจะทำ$ใหกร$ฟเชอมโยงของข$ยง$นเสยห$ยม$กทสด
วธทำา แปลงปญห$ข$งตนเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทนเส$ไฟฟ$ เสนเชอมแทนส$ยไฟฟ$ดงรป
จ$กกร$ฟจะพบว$ ถ$ลบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) ออกเสนทเกดกบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) จะถกลบออกดวย ดงนน กร$ฟทเกดจ$กก$รลบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) ออก จะไมเปนกร$ฟเชอมโยง ดงรป
ถ$ลบจดยอดอน เชน จดยอด 1 หรอ จดยอด 2 หรอ จดยอด 4 หรอ จดยอด 5 หรอ จดยอด 6 ออกจ$กกร$ฟ กร$ฟทเกดจ$กก$รลบจดยอดดงกล$ว ยงคงเปนกร$ฟเชอมโยง
65
43
2
1
6
4
5
2
1
6 บานกวาน 5 บานดอกบว
4 บานสนปากอก3 บานเจน
2 บานรอง1 บานรองปอ
![Page 38: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/38.jpg)
ดงนน เส$ไฟฟ$ท 3 (บ$นเจน) จงเปนเส$ไฟฟ$ทสำ$คญทสด เพร$ะถ$เส$ไฟฟ$ท 3 (บ$นเจน) ลม จะทำ$คว$มเสยห$ยม$กกว$เส$ไฟฟ$ตนอนลม
แบบฝกทกษะท 10เรอง กราฟเชอมโยง
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
![Page 39: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/39.jpg)
1. กร$ฟตอไปนเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด1) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 2) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 3) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 4) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. .....
D
C B
A
FEBA
FDC
B
A
E
D C
BA
![Page 40: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/40.jpg)
.............................................................................. ....................................................................................
5) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... ....................................................................................
2. กำ$หนดข$ยง$นก$รเชอมโยงระหว$งเส$โทรศพทและส$ยโทรศพทในเขตอำ$เภอแหงหนง ดงรป
ถ$เกดเหตก$รณเส$โทรศพทตนหนงลมแลว จงห$ว$เส$โทรศพทตนใดเมอลมแลวจะทำ$ใหกร$ฟ เชอมโยงของข$ยง$นเสยห$ยม$กทสด
วธทำ$
E
D
C
BA
6
5
43
21
![Page 41: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/41.jpg)
11. วถออยเลอร
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4
วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 คอ A , E , D , C หรอ A , F , C , D หรอ E , F , C , D หรอ B , C , D , E หรอ B , C , F , A หรอ D , C , F , E เปนตน
วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 คอ A , B , C , D , E หรอ A , F , E , D , C หรอ A , E , D , C , B หรอ E , F , C , B , A หรอ F , C , B , A , E เปนตน
B
C D
F
EA
![Page 42: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/42.jpg)
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – D และ วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – E
วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – D คอ A , B , C , D หรอ A , C , E , D หรอ A , E , C , D
วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – E คอ B , A , C , D , E หรอ B , C , A , D , C
หรอ B , C , D , A , E
ตวอยางท 3 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก B – E และ วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – A
วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก B – E คอ B , A , D , E หรอ B , C , D , E หรอ B , D , A , E
วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – A คอ C , B , D , E , A หรอ C , D , B , E , A
E D
C
B
A
E DC
BA
![Page 43: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/43.jpg)
หรอ C , B , E , D , A หรอ C , D , E , B , A
แบบฝกทกษะท 11เรอง วถออยเลอร
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
1. จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4
E
D C
BA
![Page 44: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/44.jpg)
1) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – C คอ.............................................................................
2) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก E – B คอ ............................................................................
3) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – D คอ ...........................................................................
4) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – A คอ ...........................................................................
2. จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4
1) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก D – A คอ ...............................................................................
2) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก E – D คอ ................................................................................
3) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก F – C คอ ...............................................................................
4) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – B คอ ...............................................................................
3. จงเขยนกร$ฟทมจดยอด 5 จด แลวห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 , ย$วเท$กบ 4 และ
GF
A
DE
CB
![Page 45: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/45.jpg)
ย$วเท$กบ 5 ม$อย$งนอย 2 ตวอย$ง
12. วงจรออยเลอร
บทนยาม วงจร ( circuit ) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกต$งกน โดยมจดยอดเรมตน และจดสดท$ยเปนจดเดยวกน
![Page 46: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/46.jpg)
ตวอยางท 1 จงเขยนวงจรจำ$นวน 4 วงจร จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหตอไปน
วธทำา จ$กบทนย$ม ส$ม$รถเขยนวงจรจ$กกร$ฟไดดงนวงจรท 1 A , B , C , D , Aวงจรท 2 E , C , B , A , Eวงจรท 3 D , E , A , B , C , Dวงจรท 4 C , B , A , D , C
วงจรออยเลอร
ตวอยางท 2 จงห$วงจรออยเลอรจ$กกร$ฟทกำ$หนดให
วธทำา
บทนยาม วงจรออยเลอร ( Euler circuit ) คอ วงจรทผ$นจดยอดทกจด
E D
C
B
A
g f
e
dc
b
a
![Page 47: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/47.jpg)
ขนตอนการหาวงจรออยเลอร 1. เรมตนดวยวงจรเลกๆ เชน e , c , d , e 2. ในวงจร C เลอกจดยอดทเชอมตอกบจดยอดอน โดยใชด$นทนอกเหนอจ$กวงจร C และสร$งวงจรใหม จ$กนนนำ$ไปแทรกในวงจรเดม เชน ในทนมจด c ทเชอมตอกบจดยอดอนดวยด$นนอกวงจร แลวสร$งวงจร C : c , f , g , a , b , c จ$กนนนำ$วงจร C ม$แทรกใน C ในตำ$แหนงของจด c ซงจะไดวงจรทขย$ยใหญขน นนคอ e , c , f , g , a , b , c , d , e 3. ทำ$เชนเดยวกบขอท 2 จนด$นถกใชทกด$นเพยงครงเดยว กจะไดวงจรออยเลอรของกร$ฟทตองก$ร ซงเขยนเปนแผนภ$พแสดงก$รห$วงจรออยเลอรไดดงน C : e , c , d , e C : c , f , g , a , b , c เมอรวมกนจะได e , c , f , g , a , b , c , d , e ดงนนจะไดว$ วงจรออยเลอร คอ e , c , f , g , a , b , c , d , e
ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$วงจรออยเลอร
วธทำา C : e , c , d , e C : c , f , a , g , c เมอรวมกนจะได e , c , f , a , g , c , d , e
a
b
cd
e
fg
![Page 48: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/48.jpg)
C : c , b , a , c เมอรวมกนจะได e , c , b , a , c , f , a , g , c , d , e C : b , g , f , b เมอรวมกนจะได e , c , b , g , f b , a , c , f , a , g , c , d , e ดงนนวงจรออยเลอร คอ e , c , b , g , f b , a , c , f , a , g , c , d , e
ตวอยางท 4 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วงจรออยเลอรม$ 3 วงจร
วธทำา จ$กบทนย$มของวงจรออยเลอร ส$ม$รถเขยนวงจรออยเลอรจ$กกร$ฟไดดงน
C : A , B , C , A C : B , D , A , E , B เมอรวมกนจะได A , B , D , A , E , B , C , A C : A , E , F , A เมอรวมกนจะได A , B , D , A , E , F , A , E , B , C , A
ดงนนวงจรออยเลอร คอ A , B , D , A , E , F , A , E , B , C , A หรอ C : A , E , F , A C : E , B , D , A , E เมอรวมกนจะได A , E , B , D , A , E , F , A
F
E DC
BA
![Page 49: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/49.jpg)
C : B , C , A , B เมอรวมกนจะได
A , E , B , C , A , B , D , A , E , F , Aดงนนวงจรออยเลอร คอ A , E , B , C , A , B , D , A , E , F ,
A หรอC : B , C , A , B
C : A , E , F , A เมอรวมกนจะได B , C , A , E , F , A , B C : E , B , D , A , E เมอรวมกนจะได
B , C , A , E , B , D , A , E , F , A , Bดงนนวงจรออยเลอร คอ B , C , A , E , B , D , A , E , F , A ,
B
จากบทนยามของวงจรออยเลอรและตวอยางท 4 พอจะสรปสมบตของวงจรออยเลอรไดดงน
สมบตของวงจรออยเลอร มดงน1.แนวเดนผานเสนเชอมทกเสนของ
กราฟ2.แนวเดนจะตองไมผานเสนเชอมใด
เกนหนงครง3.มจดเรมตนและจดสนสดเปนจด
เดยวกน
![Page 50: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/50.jpg)
แบบฝกทกษะท 12เรอง วงจรออยเลอร
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
1. จงเขยนวงจรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหม$ 3 วงจร
วงจรท 1. ……………………………………………………………………………… วงจรท 2. ……………………………………………………………………………… วงจรท 3. ………………………………………………………………………………
E
D
C
B
A
![Page 51: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/51.jpg)
2. จงเขยนวงจรออยเลอรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหม$ 3 วงจร
วงจรท 1. …………………………………………………………………………… วงจรท 2. …………………………………………………………………………… วงจรท 3. ……………………………………………………………………………
3. จงเขยนกร$ฟทมจดยอด 4 จด พรอมทงห$วงจรและวงจรออยเลอรม$อย$งนอยอย$งละ 3 วงจร
D C
BA
![Page 52: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/52.jpg)
13. กราฟออยเลอร
บทนยาม กร$ฟทมวงจรออยเลอร เรยกว$กร$ฟออยเลอร ( Eulerian graph )
จ$กบทนย$ม กร$ฟออยเลอรจะเปนกร$ฟเชอมโยงเสมอ เพร$ะว$ ถ$ u และ v เปนจดยอดสองจด ทแตกต$งกนบนกร$ฟออยเลอร แลวสวนของวงจรออยเลอรทเชอม u และ v จะเปนแนวเดน u – v
ตวอยางท 1 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม
![Page 53: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/53.jpg)
G
วธทำา เนองจ$กกร$ฟ G มแนวเดน A , B , C , D , E , C , E , F , B , F , A เปนวงจรออยเลอร
ดงนน กร$ฟ G จงเปนกร$ฟออยเลอร
ตวอยางท 2 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม
G
วธทำา จ$กบทนย$มของกร$ฟออยเลอร ไมมแนวเดนใดในกร$ฟ G เปนวงจรออยเลอร
ดงนน กร$ฟ G จงไมเปนกร$ฟออยเลอร ในก$รตรวจสอบว$กร$ฟใดๆจะเปนกร$ฟออยเลอรหรอไมนน
นอกจ$กตรวจสอบดวยวงจรออยเลอรแลว ยงมวธก$รตรวจสอบอกโดยใชทฤษฎบท 3 ดวย
ตวอยางท 3 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G1 , G2 และ G3 เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม ถ$เปนจงห$วงจรออยเลอร
HG
F E
CB
DA
B
E
DA
F
C
ทฤษฎบท 3 กำ$หนดให G เปนกร$ฟเชอมโยง G จะเปนกร$ฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทก
E D
C
B
A
D C
BA D
CB
A
![Page 54: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/54.jpg)
G1 G2 G3
วธทำา กร$ฟ G1 เปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะจดยอดทกจดของ G1 เปน
จดยอดค ซงมวงจรออยเลอร แทนดวยลำ$ดบของจดยอดดงน A , B , C , D , E , A , C , D , E , A
กร$ฟ G2 ไมเปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะมจดยอด A มดกรเท$กบ 3 และจดยอด D มดกรเท$กบ 3
กร$ฟ G3 ไมเปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะมจดยอด B มดกรเท$กบ 3 และจดยอด D มดกรเท$กบ 1
แบบฝกทกษะท 13 เรอง กราฟออยเลอร
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
จงพจารณาวากราฟทกำาหนดใหเปน หรอ ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะเหตใด ถาเปน
กราฟออยเลอรใหเขยนวงจรออยเลอรลงในตารางทกำาหนดใหกร$ฟทกำ$หนดให เปน ไม เหตผล วงจรออย
สรป1.กราฟออยเลอรจะเปนกราฟเชอมโยงเสมอ2.การตรวจสอบวากราฟใดเปนออยเลอรนน
ใหดวาจดยอดทกจดในกราฟตองเปนจดยอดค
![Page 55: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/55.jpg)
E
D
CB
A
F
ED
C
B
A
ED
C
B
A
F E
D
C
B
A
F
E D
C
BA
เปน เลอร1.
2.
3.
4.
5.
14. คานำาหนกของเสนเชอม
บทนยาม ค$นำ$หนก ( weight ) ของเสนเชอม e คอจำ$นวนทไมเปนลบทกำ$หนดใหบนเสนเชอม e
![Page 56: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/56.jpg)
จ$กบทนย$ม จะไดว$ ค$นำ$หนกของเสนเชอมใดๆในกร$ฟกคอ จำ$นวนบวกทเขยนกำ$กบไวบน เสนเชอมนนเอง
ตวอยางท 1 จงห$ค$นำ$หนกของเสนเชอมแตละเสนจ$กกร$ฟตอไปน
วธทำา จ$กบทนย$ม ค$นำ$หนกของเสนเชอมจะไดว$เสนเชอม AB มค$นำ$หนกเท$กบ 6เสนเชอม AC มค$นำ$หนกเท$กบ 3เสนเชอม BC มค$นำ$หนกเท$กบ 4เสนเชอม AE มค$นำ$หนกเท$กบ 3เสนเชอม DE มค$นำ$หนกเท$กบ 2เสนเชอม AD มค$นำ$หนกเท$กบ 5เสนเชอม DC มค$นำ$หนกเท$กบ 2
ตวอยางท 2 จงเขยนกร$ฟ G เมอกำ$หนดใหมจดยอดคอ V(G) = { V , V , V , V } และเสนเชอมE(G) = { V V , V V 3 , V V , V V 2 , V 2 V , V V , V V } โดยทค$นำ$หนกของ V V , V V , V V , V V , V V , V V , V V เปน 4 , 3 , 2 , 3 , 4 , 5 , 2 ต$มลำ$ดบวธทำา จ$กโจทยจะไดว$
ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 4
4
6
2 2
35
3E
D
CB
A
![Page 57: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/57.jpg)
ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V 3 = 3ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 2ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V 2 = 3ค$นำ$หนกของเสนเชอม V 2 V = 4ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 5ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 2ซงเขยนกร$ฟไดดงน
กราฟถวงนำาหนกจ$กคว$มรเรองค$นำ$หนกของเสนเชอมในกร$ฟ ส$ม$รถสรปบทนย$ม
ของกร$ฟถวงนำ$หนกไดดงน
ตวอยางท 3 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟถวงนำ$หนกหรอไม เพร$ะเหตใด
54
4
3
3
22V4
V3
V2
V1
บทนยาม กร$ฟถวงนำ$หนก ( weighted graph ) คอกร$ฟทเสนเชอมทกเสนมค$นำ$หนก
4
4
2 22 2D C
BA
4
43
322D C
BA
3 3
13 32 2
2
22
2
2
HGFE
DC
BA
![Page 58: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/58.jpg)
G1 G2 G3
วธทำา G1 เปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอมทกเสนมค$นำ$หนก G2 ไมเปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอม AB อก 1 เสนไมมค$นำ$หนก G3 ไมเปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอม GG ไมมค$นำ$หนก
แบบฝกทกษะท 14เรอง คานำาหนกของเสนเชอม
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
![Page 59: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/59.jpg)
1. จ$กกร$ฟ จงห$
1) ค$นำ$หนกของ AB เท$กบ ............................................. 2) ค$นำ$หนกของ BC เท$กบ ............................................. 3) ค$นำ$หนกของ CD เท$กบ ............................................. 4) ค$นำ$หนกของ DE เท$กบ ............................................. 5) ค$นำ$หนกของ EF เท$กบ ............................................. 6) ค$นำ$หนกของ CE เท$กบ ............................................. 7) ค$นำ$หนกของ FC เท$กบ ............................................. 8) ค$นำ$หนกของ AF เท$กบ .............................................
2. จงยกตวอย$งกร$ฟถวงนำ$หนกม$ 2 ตวอย$งพรอมทงบอกค$นำ$หนก...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
D76
5
2
1
3 34
F
E
CB
A
![Page 60: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/60.jpg)
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
...........................................................
........................................................................................
.................................................................................
15. วถทสนทสด
จดประสงคการเรยนร ห$วถทสนทสดในกร$ฟถวงนำ$หนก และนำ$ไปใชได
สาระสำาคญ วถทสนทสดเปนวถทมผลรวมของค$นำ$หนกของเสนทกเสนในวถนนมค$นอยทสด
สาระการเรยนร วถทสนทสด
บทนยาม จ$กจดยอด A ถงจดยอด Z ในกร$ฟถวงนำ$หนกคอวถ A – Z ทผลรวมของค$ นำ$หนกของเสนเชอมทกเสนในวถ A – Z นอยทสด
![Page 61: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/61.jpg)
จ$กบทนย$มสรปไดว$ วถทสนทสด คอ แนวเดนทมผลรวมของค$นำ$หนกของ เสนเชอมในแนวเดน ( วถ )นนมค$นอยทสด
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$วถ A – F ทสนทสด
วธทำา วถท 1 คอ A , B , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 5 = 7 วถท 2 คอ A , B , C , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 3 + 1 = 6 วถท 3 คอ A , B , C , D , E , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 3 + 2 + 4 + 5 = 16 วถท 4 คอ A , D , C , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 2 + 1 = 5 วถท 5 คอ A , D , E , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 4 + 5 = 11 วถท 6 คอ A , D , C , B , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 2 + 3 + 5 = 12
ดงนนวถ A , D , C , F เปนวถทสนทสด มค$นำ$หนกเท$กบ 5
5
5
4
32
2 21
F
ED
C
B
A
![Page 62: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/62.jpg)
ตวอยางท 2 ในตำ$บลๆหนงมหมบ$นอย 6 หมบ$น คอ หมบ$น A , B , C , D , E , F และมถนนเชอม หมบ$น A กบหมบ$น C ย$ว 3 กโลเมตร , หมบ$น C กบหมบ$น E ย$ว 4 กโลเมตร , หมบ$น E กบ หมบ$น B ย$ว 3 กโลเมตร , หมบ$น A กบหมบ$น D ย$ว 1 กโลเมตร , หมบ$น D กบหมบ$น F ย$ว 6 กโลเมตร , หมบ$น D กบหมบ$น E ย$ว 7 กโลเมตร , หมบ$น F กบหมบ$น E ย$ว 1 กโลเมตร และหมบ$น B กบหมบ$น F ย$ว 2 กโลเมตร จงห$ระยะท$งทสนทสดจ$กหมบ$น A ไปยงหมบ$น B
วธทำา แปลงปญห$ใหเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทนเมอง เสนเชอมแทนถนน และค$นำ$หนกของเสนเชอมแทนระยะท$งระหว$งหมบ$น ( หนวยเปนกโลเมตร ) จะไดกร$ฟดงรป
76
3
32
1 1F
E
D
C
B
A4
![Page 63: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/63.jpg)
วถท 1 คอ A , C , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 3 + 4 + 3 = 10 กม.วถท 2 คอ A , C , E , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 3 + 4 + 1 + 2 = 10 กม.วถท 3 คอ A , D , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 7 + 3 = 11 กม.วถท 4 คอ A , D , E , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 7 + 1 + 2 = 11 กม.วถท 5 คอ A , D , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 6 + 2 = 9 กม.วถท 6 คอ A , D , F , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 6 + 1 + 3 = 11 กม. ดงนนวถท 5 คอ A , D , F , B เปนวถทสนทสดจากเมอง A ไปยงเมอง B ซงมระยะทางเทากบ 9 กม.
แบบฝกทกษะท 14เรอง วถทสนทสด
จดประสงคการเรยนรห$วถทสนทสดในกร$ฟถวงนำ$หนก และนำ$ไปใชได
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
![Page 64: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/64.jpg)
ใชกร$ฟ G ตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 3
1. จงเตมคำ$ตอบลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ 1) จำ$นวนวถทงหมดจ$ก A – B เท$กบ ......................... วถ 2) วถ A – B ไดแก ........................................................................................................................ 3) วถ A – B ทสนทสดคอ.............................................................................................................. 4) วถ A – B ทมผลรวมของค$นำ$หนกม$กทสดคอ........................................................................ 5) วถ A – V2 มทงหมด ..............วถไดแก...................................................................................... 6) วถ A – V2 ทสนทสดคอ............................................................................................................. 2. ใหนกเรยนพจ$รณ$วถ V1 – V4 แลวจบควถ กบ จำ$นวนตอไปน 1) วถทงหมดของ V1 – V4 ก. 4 2) วถทสนทสดของ V1 – V4 ข. 5 3) วถทย$วทสดของ V1 – V4 ค. 12
5
5
33
4 211BA
V4
V3
V2V1
![Page 65: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/65.jpg)
4) วถทย$วเท$กนของ V1 – V4 ง. 13 5) วถทใชเสนเชอมเท$กบ 3 เสนย$วเท$กบ จ. 15
3. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด .............. 1. วถ V2 – V4 มทงหมด 5 วถ .............. 2. วถทสนทสดของ V2 – V4 คอวถ V2 , V3 , A , V4 ……….. 3. วถทมผลรวมของค$นำ$หนกม$กทสดคอ V2 , V1 , A , V3 , B , V4 ……….. 4. มวถทสนทสดทย$วเท$กนของวถ V2 – V4 ……….. 5. ผลรวมของค$นำ$หนกทสนทสดของ V2 – V4 คอย$วเท$กบ 6 ……….. 6. ผลรวมของค$นำ$หนกทม$กทสดของ V2 – V4 คอย$วเท$กบ 15
![Page 66: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/66.jpg)
เอกสารประกอบการเรยนท 15 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )
ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง วฎจกร
จดประสงคการเรยนร
ห$วฎจกรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
สาระสำาคญ วฎจกรเปนวงจรทไมมจดยอดซำ$กน ยกเวนจดยอดเรมตนและจดสดท$ย
สาระการเรยนร วฎจกร
บทนยาม วฎจกร คอ วงจรทไมมจดยอดซำ$กน ยกเวนจดเรมตนและจดสดท$ย
![Page 67: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/67.jpg)
e3 e4e2e1
e6e7 EDCB
A
e5
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G จงพจ$รณ$ว$ในขอ 1 – 4 ว$ขอใดเปนวฎจกร
1. A , e , B , e , C , e , A 2. A , e , C , e , D , e , A , e , E , e , D , e , A
3. B , e , C , e , D , e , A , e , C , e , B
4. D , e , A , e1 , B , e , C , e , Dวธทำา จ$กบทนย$มของวฎจกรจะไดว$
วงจรท 1 เปนวฎจกร เพร$ะ วงจรไมมจดยอดใดซำ$กนวงจรท 2 ไมเปนวฎจกร เพร$ะ วงจรมจดยอด A ซำ$กนวงจรท 3 ไมเปนวฎจกร เพร$ะ วงจรมจดยอด C ซำ$กนวงจรท 4 เปนวฎจกร เพร$ะ วงจรไมมจดยอดใดซำ$กน
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$วฎจกรในกร$ฟม$ 3 วฎจกร
A
EDCB
![Page 68: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/68.jpg)
วธทำา จ$กบทนย$มของวฎจกรจะส$ม$รถเขยนวฎจกรในกร$ฟ G ไดดงน
1. A , B , C , A2. B , C , D , A , B3. C , A , E , D , C4.
จ$กตวอย$งท 1 และตวอย$งท 2 ส$ม$รถสรปลกษระของวฎจกรไดดงน1. เปนวงจร2. ไมมจดยอดในวงจรซำ$กน
แบบฝกทกษะท 15เรอง วฎจกร
จดประสงคการเรยนร ห$วฎจกรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
![Page 69: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/69.jpg)
ใชกร$ฟตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 3
1. จ$กร$ฟทกำ$หนดให จงห$วฎจกรม$ 4 วฎจกร 1) ………………………………………………………………………………………………… 2) ………………………………………………………………………………………………… 3) ………………………………………………………………………………………………… 4) ………………………………………………………………………………………………… 2. ใหนกเรยนพจ$รณ$กร$ฟ แลวจบคเปนวฎจกร หรอไมเปนวฎจกร 1) A , B , C , D , B , A ก. เปนวฎจกร 2) A , G , D , C , B , A ข. ไมเปนวฎจกร 3) G , F , D , C , E , F , G 4) E , C , B , D , C , E 5) F , G , D , C , E , F
G FE
D
CB
A
![Page 70: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/70.jpg)
3. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก
ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด .............. 1. วฎจกรจะเรมตนทจดไหนกไดและจดสดท$ยตองเปนจดเดยวกนกบจดเรมตน .............. 2. วฎจกรจะใชแตละจดทไมใชจดเรมตนเพยงครงเดยว ……….. 3. วฎจกรจะใชจดยอดทกจดสองครงกได ……….. 4. กร$ฟใดๆทไมมวงวน จะมวฎจกรและใชจดยอดเพยงสองจดเท$นน ……….. 5. กร$ฟใดๆจะมวฎจกรไดตองมเสนเชอมอย$งนอย 2 เสน
![Page 71: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/71.jpg)
เอกสารประกอบการเรยนท 16 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )
ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง ตนไม
จดประสงคการเรยนรห$ตนไมจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
สาระสำาคญ ตนไมเปนกร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกร ซงส$ม$รถนำ$ไปใชในก$รห$ตนไมแผทวได
สาระการเรยนรตนไม
จ$กบทนย$มสรปไดว$ กร$ฟใดๆจะเปนตนไมจะตองเปนกร$ฟเชอมโยง และไมมวฎจกร
บทนยาม ตนไม คอ กร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกร
![Page 72: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/72.jpg)
ตวอยางท 1 จงห$ว$กร$ฟในขอใดเปนตนไม
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
วธทำา จ$กบทนย$มของตนไม จะไดว$(1) ไมเปนตนไมเพร$ะมวฎจกร
(2) ไมเปนตนไม เพร$ะว$ไมเปนกร$ฟเชอมโยง และ มวฎจกร(3) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(4) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(5) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(6) ไมเปนตนไม เพร$ะว$ มวฎจกร
ขอสงเกต1. ตนไมไมมเสนเชอมขนานและไมมวงวน2. ตนไมทมจดยอด n จด จะมเสนเชอม n – 1 เสน
เสมอ
![Page 73: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/73.jpg)
แบบฝกทกษะท 16เรอง ตนไม
จดประสงคการเรยนรห$ตนไมจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
1. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด…………. 1) ตนไมจะมเสนเชอมขน$นหรอวงวนกได…………. 2) กร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกรเรยกว$ตนไม…………. 3) กร$ฟทไมเปนกร$ฟเชอมโยงจะเปนตนไมไมได…………. 4) กร$ฟทเปนกร$ฟเชอมโยงและมวฎจกรเรยกว$ตนไม…………. 5) กร$ฟทเปนกร$ฟเชอมโยงและไมมวฎจกรเรยกว$ตนไมเสมอ…………. 6) ตนไมทมจดยอด 9 จด จะมเสนเชอมเท$กบ 9 เสนเสมอ…………. 7) กร$ฟทเปนตนไม ถ$มเสนเชอม 12 เสน จะมจดยอด 11 จดเสมอ2. จงห$ว$กร$ฟในขอใดเปนตนไม เพร$ะเหตใด
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )……………………………………………………………………
![Page 74: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/74.jpg)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงยกตวอย$งกร$ฟทเปนตนไมม$ 2 ตวอย$ง พรอมทงใหเหตผลประกอบ
![Page 75: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/75.jpg)
เอกสารประกอบการเรยนท 17 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )
ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง กราฟยอย และ ตนไมแผทว
จดประสงคการเรยนร ห$กร$ฟยอยและตนไมแผทวจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
สาระสำาคญ กร$ฟยอยของกร$ฟใดๆ เปนกร$ฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมทเปนสบเซตของกร$ฟนน สวนตนไมแผทวเปนตนไมซงเปนกร$ฟยอยของกร$ฟเชอมโยงทบรรจจดยอดทกจดในกร$ฟนน ซงเปน พนฐ$นในก$รห$ตนไมแผทวนอยทสด
สาระการเรยนร กราฟยอยและตนไมแผทว
บทนยาม กร$ฟยอย ( Subgraph ) ของกร$ฟ G คอกร$ฟทประกอบดวยจดยอดและ เสนเชอมใน G กล$วคอ กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของกร$ฟ G ถ$ V(H) V(G)
![Page 76: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/76.jpg)
F D
CBA
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G และกร$ฟ H ดงรป
G H
จงแสดงว$กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของ G
วธทำา กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของกร$ฟ G ถ$ V(H) V(G) และ E(H) E(G)
จ$กกร$ฟ G จะได V(G) = { A , B , C , D , E , F } E(G) = { AB , AF , BC , BF , CD , CF , DE , EF }
จ$กกร$ฟ H จะได V(H) = { A , B , C , D , F } E(H) = { AF , BC , BF , CD }
จะเหนว$ V(H) V(G) และ E(H) E(G)ดงนน กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของ G
F
E
D
CBA
![Page 77: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/77.jpg)
ตวอยางท 2 กร$ฟ H1 , H2 , H3 และ H4 กร$ฟใดเปนกร$ฟยอยของ G
G H1 H2
H3 H4
วธทำา จ$กกร$ฟ G ม V(G) = { A , B , C , D , E } และ E(G) = { AB , AC , BC , BD , BE , CD , DE } จ$กกร$ฟ H1 ม V(H1) = { A , B , C , D , E } และ E(H1) = { AE , BE , BD , CD } จะไดว$ V(H1) V(G) และ E(H1) E(G) , นนคอ H1 เปนกร$ฟยอยของ G จ$กกร$ฟ H2 ม V(H1) = { A , B , C , D , E } และ E(H2) = { AB , BC , BE , DE } จะไดว$ V(H2) V(G) และ E(H2) E(G) , นนคอ H2 เปนกร$ฟยอยของ G
E B
CD
E B
CD
CD
E BA
B
A
E
D C CD
E
A
B
![Page 78: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/78.jpg)
จ$กกร$ฟ H3 ม V(H3) = { B , C , D , E } และ E(H3) = จะไดว$ V(H3) V(G) และ E(H3) E(G) , นนคอ H3 เปนกร$ฟยอยของ G จ$กกร$ฟ H1 ม V(H1) = { B , C , D , E } และ E(H4) = { BC , BE , CD , CE } จะไดว$ V(H4) V(G) และ E(H4) E(G) , นนคอ H4 ไมเปนกร$ฟยอยของ G
ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$ตนไมแผทวของ G
G วธทำา จ$กบทนน$มของตนไมแผทว ส$ม$รถเขยนกร$ฟทเปนตนไมแผทวของ G ไดดงน
ตวอยางท 4 กำ$หนดกร$ฟดงรป H จงเขยนตนไมแผทวม$ 3 แบบ
บทนยาม ตนไมแผทว ( spannimg tree ) คอตนไมซงเปนกร$ฟยอยของกร$ฟเชอมโยง G ทบรรจ จดยอดทกจดของ G
D C
BA B
D C
A
D C
BA
D C
BA
D C
BA
D C
BA
D C
BA
D C
BA
G F E
D
C
B
A
D C
BA
![Page 79: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/79.jpg)
วธทำา จ$กบทนย$มของตนไมแผทว จะไดตนไมแผทวของ H ดงน
ขอสงเกต ตนไมแผทวของกราฟเชอมโยงอาจมมากกวาหนงแบบ
แบบฝกทกษะท 17 เรอง กราฟยอย และ ตนไมแผทว
จดประสงคการเรยนรห$กร$ฟยอยและตนไมแผทวจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
คำาชแจง จงเขยนกร$ฟยอยและห$ตนไมแผทวของกร$ฟทกำ$หนดใหเพยง 1 แบบใหถกตองสมบรณ
ขอ
กร$ฟทกำ$หนดให กร$ฟยอย ตนไมแผทว
1
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
A
B
C
D
EFG A
B
C
D
EFG A
B
C
D
EFG
E D C B
A
![Page 80: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/80.jpg)
2
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
5
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
F E
D
CB
A G F E
DCBA
V6V5
V1
V2V3
V4
E
D
C
B
A
![Page 81: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/81.jpg)
………… ………
เอกสารประกอบการเรยนท 18 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )
ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง ตนไมแผทวทนอยทสด
จดประสงคการเรยนร ห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟถวงนำ$หนกทกำ$หนดใหได
สาระสำาคญ ตนไมแผทวทนอยทสด เปนตนไมแผทวทมผลรวมของค$นำ$หนกของแตละเสนเชอมนอยทสด
สาระการเรยนร ตนไมแผทวทนอยทสด
จ$กบทนย$ม ตนไมแผทวทนอยทสดห$ไดโดยก$รห$ผลรวมของค$นำ$หนกของแตละเสนเชอม ในตนไมแผทวทมค$นอยทสด
บทนยาม ตนไมแผทวทนอยทสด ( minimal spanning tree ) คอ ตนไมแผทวทมผลรวมของ ค$นำ$หนกของแตละเสนเชอมนอยทสด
![Page 82: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/82.jpg)
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟถวงนำ$หนกดงรป จงห$ตนไมแผทวทนอยทสด
วธทำา ห$ตนไมแผทวของกร$ฟทกำ$หนดใหทงหมด ดงน H1 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H1 เท$กบ 1 + 1 + 1 = 3
H2 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H2 เท$กบ 1 + 2 + 1 = 4
H3 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H3 เท$กบ 1 + 2 + 1 = 4
ดงนนกร$ฟ H1 เปนตนไมแผทวทนอยทสด
21
11
C
DA
B
111
A
B C
D
21 1
A
B C
D
12
1
A
B C
D
![Page 83: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/83.jpg)
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟถวงนำ$หนกดงรป จงห$ตนไมแผทวทนอยทสด
วธทำาขนท 1 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทน คอ DF มนำ$หนกเท$กบ 3
ขนท 2 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสดจ$กเสนเชอมทเหลอ และไมทำ$ใหเกดวฎจกรในทน คอเสนเชอม AE และ BF ซงมค$นำ$หนกเท$กบ 4 จะเหนว$เสนเชอม DF , AE และ BF ไมเปนวฎจกร
ขนตอนตอๆไป ทำ$เชนเดยวกบขนตอนท 2 จนกระทงไดตนไมแผทวขนท 3 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทนคอ มนำ$หนกเท$กบ 5 โดยเลอกเสนเชอม AB หรอ FE เสนใดเสนหนง เพร$ะถ$เลอกทงสองเสนจะทำ$ใหเกดวฎจกร ในทนเลอก AB
B C
DE
A4
58
58
3F4
6
7
B C
DE
A4
58
58
3F4
6
7
B C
DE
A4
58
58
3F4
6
7
D8
8 7
6
34
4
5
5FA
B C
E
![Page 84: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/84.jpg)
ขนท 4 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกเท$กบ 6 ในทนคอเสนเชอม BC
จ$กขนท 1 ถง ขนท 4 จะไดตนไมแผทวทนอยทสด และผลรวมค$นำ$หนกของตนไมแผทวทนอยทสด คอ 3 + 4 + 4 + 5 + 6 = 22 จะไดรป
ตวอยางท 3 บรษทรบเหม$ตดตงโทรศพทแหงหนงตองก$รว$งส$ยโทรศพทเชอมระหว$งหมบ$น A , B , C , D , E และ F โดยจะว$งส$ยไปต$มถนน ค$ใชจ$ยในก$รว$งส$ยโทรศพทขนอยกบคว$มย$วของส$ยโทรศพท บรษทนจะว$งส$ยโทรศพทอย$งไรใหเสยค$ใชจ$ยนอยทสด เมอกำ$หนดต$ร$งแสดงระยะท$ง ( กโลเมตร ) ของถนนเชอมระหว$งหมบ$นดงน
หมบ$น
A B C D E F
A - 30 - - - 40B 30 - 10 - 50 20C - 10 - 20 30 -D - - 20 - 10 20E - 50 30 10 - 60F 40 20 - 20 60 -
B C
DE
A4
58
58
3F46
7
B C
DE
A4
53F
46
![Page 85: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/85.jpg)
วธทำา แปลงปญห$ข$งตนเปนกร$ฟถวงนำ$หนกโดยใช จดยอดแทนหมบ$น เสนเชอมแทนถนน และค$นำ$หนกของเสนเชอมคอระยะท$งระหว$งหมบ$น ดงรป
เนองจ$กตนไมแผทวของกร$ฟจะประกอบดวยจดยอดทกจดของกร$ฟ และมวถระหว$งทกๆคของจดยอดในตนไม ดงนนคำ$ตอบของปญห$น คอ ก$รห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟ
พจ$รณ$ขนตอนในแตละขนของเสนทเลอก
ขนท 1 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทน คอ เสนเชอม BC และ DE มนำ$หนกเท$กบ 10
ขนท 2 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสดจ$กเสนเชอมทเหลอ และไมทำ$ใหเกดวฎจกร ในทน คอเสนเชอม CD , DF และ BF ซงมค$นำ$หนกเท$กบ 20 โดยเลอกเสนเชอม CD , DF และ BF พรอมกนทงส$มเสนไมได เพร$ะจะทำ$ใหเกดวฎจกร ในทนเลอกเสนเชอม CD และ DF
3020A
B C
D
EF
10
10
2030
40 2050
60
60
502040
30 20
10
10
F E
D
CB
A20 30
60
502040
30 20
10
10
F E
D
CB
A20 30
![Page 86: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/86.jpg)
ขนตอนตอๆไปทำ$เชนเดยวกบขนตอนท 2 จนกระทงไดตนไมแผทวขนท 3 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทนคอนำ$หนกเท$กบ 30 โดยเลอกจ$กเสนเชอม CE และ AB จะเหนว$ถ$เลอกเสนเชอม CE จะทำ$ใหเกดวฎจกรจงไมเลอก จะเลอกเสนเชอม AB
จ$กขนท 1 ถงขนท 3 จะไดตนไมแผทวทนอยทสด และผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมเท$กบ 10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90 ดงนนบรษทรบเหม$แหงนตองว$งส$ยโทรศพทต$มถนนดงรปข$งล$งจงจะเสยค$ใชจ$ยนอยทสด
แบบฝกทกษะท 18 เรอง การหาตนไมแผทวทนอยทสด
จดประสงคการเรยนรห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟถวงนำ$หนกทกำ$หนดใหได
คำาชแจง 1. จงห$ตนไมแผทวทนอยทสดจ$กกร$ฟทกำ$หนดให พรอมทงเขยนกร$ฟตนไมแผทวทนอยทสด
60
502040
30 20
10
10
F E
D
CB
A20 30
20
30 20
10
10
F E
D
CB
A
![Page 87: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/87.jpg)
ขอ
กร$ฟถวงนำ$หนก ตนไมแผทวทนอยทสด
1
2
3
2. บรษทรบเหม$ตดตงไฟฟ$แหงหนงตองก$รว$งส$ยไฟฟ$เชอมระหว$งหมบ$น A , B , C , D , E และ F โดยจะว$งส$ยไปต$มถนน ค$ใชจ$ยในก$รว$งส$ยไฟฟ$ขนอยกบคว$มย$วของส$ยไฟฟ$
23 1 21
5
54A
B C
D
E
F
1
5
2
354
67
FC
D
A B
E
55
4
42
3 6
7A
B
E
C
D
![Page 88: เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · Web viewTitle เอกสารประกอบการเร ยนท 1 รายว](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060805/608a7fbba1ad1f6c2431e758/html5/thumbnails/88.jpg)
บรษทนจะว$งส$ยไฟฟ$อย$งไรใหเสยค$ใชจ$ยนอยทสด เมอกำ$หนดต$ร$งแสดงระยะท$ง (กโลเมตร) ของถนนเชอมระหว$งหมบ$นดงน
หมบ$น
A B C D E F
A - 10 - 40 - 60B 10 - 30 40 - -C - 30 - 50 50 20D 40 40 50 - 10 -E - - 50 10 - 30F 60 - 20 - 30 -