เอกสารประกอบการเรียน...

เอกสารประกอบการเรยน

คณตศาสตรทวไป

( General Mathematics )

สาขาวชาคณตศาสตรและสถตประยกต มหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา

ภาคเรยนท …… ปการศกษา ………

week 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Check class

ชอ ....................................................................... รหส .........................................................

วน................................เวลา............................. น. หมเรยน.................หองเรยน..................

ค ำน ำ

เอกสารการเรยน คณตศำสตรทวไป (General Mathematics) เลมน คณะอาจารยผสอนในสาขา

วชาคณตศาสตรและสถตประยกต มหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา ไดเรยบเรยงขน เพอใช

ประกอบการเรยนการสอนในรายวชา รหส 4104104 คณตศำสตรทวไป (General Mathematics) ซงเปน

รายวชาในกลมวชาแกนวทยาศาสตร-คณตศาสตร หมวดวชาเฉพาะ ตามหลกสตรระดบปรญญาตร

(หลกสตรปรบปรง พ.ศ. 2554)

จดประสงคเพอใหนสต-นกศกษาไดมเอกสารประกอบการเรยนในรายวชาน และอาจารยผสอนจะไดใชเปนสอส าหรบจดการเรยนการสอน หวงวาเอกสารการเรยนเลมนจะเปนประโยชนชวยใหการเรยนการสอนมประสทธภาพสงยงขน

คณะกรรมกำรผแตงและเรยบเรยง สำขำวชำคณตศำสตรและสถตประยกต

มหำวทยำลยรำชภฏบำนสมเดจเจำพระยำ มถนำยน 2555

สารบญ

ค ำน ำ ก สำรบญ

บทท 1 ระบบจ ำนวนจรง 1 1.1 จ ำนวนจรง 1 1.2 สมบตของจ ำนวนจรงเกยวกบกำรบวกและกำรคณ 10 1.3 สมบตของกำรไมเทำกน 11 1.4 รำกท n ของจ ำนวนจรง 12 1.5 กำรด ำเนนกำรของจ ำนวนจรงทอยในรปกรณฑ 14 บทท 2 เซตและตรรกศำสตร 19 2.1 เซต 19

2.2 ตรรกศำสตร 35

บทท 3 เมทรกซ 44 3.1 แนวคดพนฐำนเกยวกบเมทรกซและประโยชน 44 3.2 กำรด ำเนนกำรบนเมทรกซ 50 3.3 สมบตทำงพชคณตของกำรด ำเนนกำรบนเมทรกซ 57 3.4 ตวก ำหนด 62 บทท 4 แนวคดพนฐำนของแคลคลส 66 4.1 อตรำกำรเปลยนแปลง 66 4.2 ควำมหมำยของอนพนธ 75 4.3 กฎของกำรหำอนพนธ 78 บรรณำนกรม 85

1

บทท 1 ระบบจ ำนวนจรง

1. 1 จ ำนวนจรง จ ำนวนจรง(Real Number) ประกอบดวย เซตของจ ำนวนตำงๆ ดงตอไปน 1.1.1 จ ำนวนเตม (Integer) ประกอบไปดวย จ ำนวนเตมบวก จ ำนวนเตมลบ และจ ำนวนเตมศนย เซตของจ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนนบ(Counting Number) เขยนแทนดวยสญลกษณ I

},3,2,1{ I เซตของจ ำนวนเตมลบ เขยนแทนดวยสญลกษณ I

},3,2,1{ I เซตของจ ำนวนเตม เขยนแทนดวยสญลกษณ I },3,2,1,0,1,2,3,{ I ตอไปจะขอทบทวนกำรด ำเนนกำรของจ ำนวนเตมใหทรำบพอสงเขป เพอน ำไปใชเปนพนฐำนในกำรศกษำเรองอนๆ ตอไป

กำรด ำเนนกำรของจ ำนวนเตม

1) กำรบวกจ ำนวนเตม (1) กำรบวกระหวำงจ ำนวนเตมลบกบจ ำนวนเตมลบ หลกเกณฑ ใหน ำคำสมบรณมำบวกกนแลวตอบเปนจ ำนวนเตมลบ ตวอยำงท 1 จงหำ (–3) + (–7) วธท ำ (–3) + (–7) = – (| –3 | + | –7 |) = – (3 + 7) = –10 #

ตวอยำงท 2 จงหำ (–7) + (–4) วธท ำ (–7) + (–4) = – (| –7 | + | –4 |) = – (7 + 4) = –11 #

2

(2) กำรบวกระหวำงจ ำนวนเตมบวกกบจ ำนวนเตมลบ กรณท 1 จ ำนวนเตมบวกมคำสมบรณมำกกวำ หลกเกณฑ ใหน ำคำสมบรณทมำกกวำลบดวยคำสมบรณทนอยกวำ แลวตอบเปน จ ำนวนเตมบวก ตวอยำงท 3 จงหำ 15 + (–5) วธท ำ 15 + (–5) = | 15 | – | –5 | = 15 – 5 = 10 #

ตวอยำงท 4 จงหำ (–10) + 15 วธท ำ (–10) + 15 = | 15 | – | –10 | = 15 – 10 = 5 #

กรณท 2 จ ำนวนเตมลบมคำสมบรณมำกกวำ

หลกเกณฑ ใหน ำคำสมบรณทมำกกวำลบดวยคำสมบรณทนอยกวำ แลวตอบเปน จ ำนวนเตมลบ

ตวอยำงท 5 จงหำ (–18) + 10 วธท ำ (–18) + 10 = – (| –18 | – | 10 |) = – (18 – 10) = –8 #

ตวอยำงท 6 จงหำ 8 + (–18) วธท ำ 8 + (–18) = – (| –18 | – | 8 |) = – (18 – 8) = –10 #

กรณท 3 จ ำนวนเตมทงสองมคำสมบรณเทำกน หลกเกณฑ กำรบวกจ ำนวนเตมบวกกบจ ำนวนเตมลบ เมอจ ำนวนเตมทงสองมคำ สมบรณเทำกน ผลบวกจงเทำกบ 0 ตวอยำงท 7 จงหำ (–10) + 10 วธท ำ (–10) + 10 = 0 #

ตวอยำงท 8 จงหำ 12 + (–12) วธท ำ 12 + (–12) = 0 #

3

2) กำรลบจ ำนวนเตม ในกำรลบจ ำนวนเตมนน เรำอำศยกำรบวกตำมขอตกลงดงน

ตวตง – ตวลบ = ตวตง + จ ำนวนตรงขำมของตวลบ นนคอ เมอ a และ b แทนจ ำนวนเตมใด ๆ a – b = a + จ ำนวนตรงขำมของ b หรอ a – b = a + (– b) ขอสงเกต – (– b) = b ตวอยำงท 9 จงหำ 7 – 15 วธท ำ 7 – 15 = 7+ (–15) = –8 #

ตวอยำงท 10 จงหำ (–3) – 4 วธท ำ (–3) – 4 = (–3) + (–4) = –7 #

ตวอยำงท 11 จงหำ 2 – (–3) วธท ำ 2 – (–3) = 2 + [–(–3)] = 2 + 3 = 5 #

ตวอยำงท 12 จงหำ (–2) – (–6) วธท ำ (–2) – (–6) = (–2) + [–(–6)] = (–2) + 6 = 4 #

3) กำรคณจ ำนวนเตม ถำ a, b เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ จงสรปผลคณไดดงน (1) a (–b) = – ( a b ) (2) (–a) b = – ( a b ) (3) (–a) (–b) = a b ตวอยำงท 13 จงหำ (–4) 3 วธท ำ (–4) 3 = – (4 3) = –12 #

ตวอยำงท 14 จงหำ (–5) (–6) วธท ำ (–5) (–6) = 5 6 = 30 #

4

4) กำรหำรจ ำนวนเตม ถำ a, b เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ จงสรปผลหำรไดดงน (1)

b

a

b

a

(2) b

a

b

a

(3)

b

a

b

a

ตวอยำงท 15 จงหำ 12

444

วธท ำ 12

444

12

444

37 #


777

วธท ำ 37

777

37

777

21 #

1.1.2 จ ำนวนตรรกยะ(Rational Number)คอ จ ำนวนทสำมำรถเขยนอยในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมทตวสวนไมเปนศนย ใชสญลกษณ Q แทน เซตของจ ำนวนตรรกยะ ดงนน

q

pxxQ |{ เมอ Iqp , และ }0q

กอนอนขอทบทวนกำรด ำเนนกำรของเศษสวนใหทรำบเสยกอน เพอเปนพนฐำนในกำรศกษำจ ำนวนอนๆ ตอไป กำรด ำเนนกำรของเศษสวน 1) กำรบวกและกำรลบของเศษสวน หลกเกณฑ ถำตวสวนเทำกน น ำตวเศษมำบวกกน แตถำตวสวนไมเทำกนท ำตวสวน ของเศษสวนทงสองใหเทำกน โดยทวไปจะท ำใหเทำกบตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ของตวสวน แลวน ำตวเศษมำบวกกน

5

ตวอยำงท 17 จงหำ

6

1

4

3 วธท ำ ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คอ 12

ดงนน 26

2)1(

34

33

6

1

4

3

12

)2(9

12

7 #

หำ ค.ร.น. โดยวธแยกตวประกอบ

4 2 2 6 2 3

2 2 3 ค.ร.น. ของ 4 และ 6 เทำกบ 322


13

24

15

16

3

วธท ำ ค.ร.น. ของ 16, 24 และ 36 คอ 144

ดงนน436

413

624

6)15(

916

93

36

13

24

15

16

3

144

52)90(27

144

11

144

11 #

หำ ค.ร.น. โดยวธตงหำรสน

2 ) 16 24 36

2 ) 8 12 18

2 ) 4 6 9

3 ) 2 3 9

2 1 3

ค.ร.น. ของ 16, 24 และ 36 เทำกบ 323222


3

8

7

วธท ำ ค.ร.น. ของ 8 และ 5 คอ 40

ดงนน

5

3

8

7

5

3

8

7

85

8)3(

58

57

40

)24(35

40

11 #

ดงตวซ ำและตว ไมซ ำมำคณกน

แนวคด 1. เปลยนเครองหมำยลบ (-) เปนบวก (+)

2. เปลยนตวเลขหลงเปนตวตรงขำม

A – B = A + (– B)

6


8

5

4

3 วธท ำ ค.ร.น. ของ 4 และ 8 คอ 8

ดงนน 8

5

4

3

8

5

4

3

8

5

24

23

8

56

8

11 #

2) กำรคณและกำรหำรเศษสวน (1) กำรคณเศษสวน ให ba, เปนจ ำนวนเตม และ db, เปนจ ำนวนเตมทไมใชศนย

db

ca

d

c

b

a


5

4

3

2 ตวอยำงท 22 จงหำ

9

4

5

3

วธท ำ

53

42

5

4

3

2

15

8 #

วธท ำ

9

4

5

3

9

4

5

3

35

41

15

4 #

ตวอยำงท 23 จงหำ )5(45

2


7

6

วธท ำ 45

52)5(

45

2

9

2 #

วธท ำ

7

56656

7

6

)86( 48 #

1

3

แนวคด

A – (– B) = A + B

133

339

7

(2) กำรหำรเศษสวน ให a เปนจ ำนวนเตม และ dcb ,, เปนจ ำนวนเตมทไมใชศนย

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a


3

2

1


12

7

6

วธท ำ 5

3

2

1

5

3

2

1

3

5

2

1

32

51

6

5 #

วธท ำ

35

12

7

6

35

12

7

6

12

35

7

6

21

51

2

5 #


8

3


8

5

24

วธท ำ

6

8

3

6

8

3

6

1

8

3

68

13

6

1 #

วธท ำ 85

24

8

5

24

8

1

5

24

5

3 #

8


3

3 ตวอยำงท 30 จงหำ

4

56

8

วธท ำ 7

3)3(

7

3

3

3

73

7 #

วธท ำ 4

568

4

56

8

56

48

56

48

7

4 #

นสตไดเรยนมำแลววำเรำสำมำรถเขยนเศษสวนทกจ ำนวนใหอยในรปทศนยมไดโดยกำรน ำตวสวนไปหำรตวเศษ ตอไปจะยกตวอยำงกำรเขยนเศษสวนใหอยในรปทศนยมเปนขอสงเกตดงน เขยน

3

1 ใหอยในรปทศนยม จะได 333.0 หรอเขยนดวย

3.0

เขยน 4

1 ใหอยในรปทศนยม จะได 250.0 หรอเขยนดวย

025.0 หรอ 25.0 ซงทศนยมทไดดงขำงตนจะถอวำเปนทศนยมซ ำ แตถำตองกำรเขยนทศนยมซ ำ 333.0 ใหอยในรปเศษสวนนนจะมวธกำรอยำงไรขอใหศกษำดจำกตวอยำงตอไปน

ตวอยำงท 31 จงเขยน

3.0 ใหอยในรปเศษสวน วธท ำ ให

3.0N ดงนน 333.0N ……………… (1) (1) 10 จะได 333.310 N ……………… (2) (2) - (1) จะได )333.0()333.3(10 NN )333.0()333.03(9 N

39 N

9

3N

นนคอ 9

33.0

หรอ 3

1 #

9

ตวอยำงท 32 จงเขยน

527.0 ใหอยในรปเศษสวน วธท ำ ให

527.0N ดงนน 7252525.0N ……………… (1) (1) 10 จะได 252525.710 N ……………… (2) (1) 1000 จะได 252525.7251000 N ……………… (3) (3) - (2) จะได )252525.7()252525.725(101000 NN )252525.07()252525.0725(990 N

7725990 N

990

7725 N

นนคอ 990

7725527.0

หรอ 990

718 #

ดงนน จงสรปไดวำจ ำนวนตอไปนเปนจ ำนวนตรรกยะ 1) จ ำนวนเตมไดแก ,3,3,2,2,1,1,0

2) จ ำนวนทเขยนในรปเศษสวนของจ ำนวนเตม และตวหำรไมเปนศนย เชน 7

22,

4

3 เปนตน

3) จ ำนวนทเขยนในรปทศนยมซ ำ เชน

1000

414.1414000.1414.1

999

123123123.0321.0

1.1.3 จ ำนวนอตรรกยะ(Irrational Number) คอ จ ำนวนจรงทไมใชจ ำนวนตรรกยะ ใชสญลกษณ Q แทน เซตของจ ำนวนอตรรกยะ จ ำนวนตอไปนเปนตวอยำงของจ ำนวนอตรรกยะ 1) จ ำนวนทอยในรปกรณฑทเมอหำคำแลวไมเปนจ ำนวนตรรกยะ เชน 43 3,2,4,2 ฯลฯ 2) จ ำนวนทอยในรปทศนยมไมซ ำ เชน 122212212.0,125743.0 ฯลฯ 3) จ ำนวน 1415.3 และ 7182.2e

10

ตวอยำงท 33 ก ำหนด ba, แทนจ ำนวนอตรรกยะและ c แทนจ ำนวนตรรกยะ จงยกตวอยำงใหเหนวำ 1) ba เปนจ ำนวนตรรกยะ วธท ำ ให 2a และ 2b จะได 2)2(22 2 ba ดงนน ba เปนจ ำนวนตรรกยะ #

2) ca เปนจ ำนวนตรรกยะ วธท ำ ให 2a และ 0c จะได 002 ca ดงนน ca เปนจ ำนวนตรรกยะ #

ตวอยำงท 34 จงใหเหตผลวำ

7

22 เปนจรงหรอไม

วธท ำ ไมเปนจรง เนองจำกวำ เปนจ ำนวนอตรรกยะ

แต 7

22 เปนจ ำนวนตรรกยะ เพรำะวำ

742851.37

22 เปนทศนยมซ ำ

นนคอ 7

22 #

กลำวโดยสรปดงนวำ จ ำนวนจรงคอจ ำนวนทประกอบดวยจ ำนวนตรรกยะและจ ำนวน อตรรกยะ ใช R แทนเซตของจ ำนวนจรง ดงนน QQR ดงแสดงแผนผงขำงลำงน 1.2 สมบตของจ ำนวนจรงเกยวกบกำรบวกและกำรคณ 1.2.1 สมบตของกำรเทำกน เมอ ba, และ c เปนจ ำนวนจรง 1) สมบตกำรสะทอน aa 2) สมบตกำรสมมำตร ถำ ba แลว ab 3) สมบตกำรถำยทอด ถำ ba และ cb แลว ca 4) สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ ba แลว cbca 5) สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ ba แลว bcac

จ ำนวนจรง

จ ำนวนตรรกยะ จ ำนวนอตรรกยะ

จ ำนวนเตม จ ำนวนตรรกยะทไมใชจ ำนวนเตม

จ ำนวนเตมลบ ศนย จ ำนวนเตมบวก (หรอจ ำนวนนบ)

11

1.2.2 สมบตของระบบจ ำนวนจรงเกยวกบกำรบวกและกำรคณ ถำ ba, และ c เปนจ ำนวนจรงใดๆ

สมบต กำรบวก กำรคณ ปด กำรสลบท กำรเปลยนกลม กำรมเอกลกษณ กำรมอนเวอรส

1. Rba 3. abba 5. )()( cbacba 7. 0 เปนเอกลกษณ โดยท aaa 00 9. อนเวอรสกำรบวกของ a คอ a โดยท aaaa )(0)(

2. Rab 4. baab 6. )()( bcacab 8. 1 เปนเอกลกษณ โดยท aaa 11 10. อนเวอรสกำรคณของ a เมอ 0a โดยท

aaaa 11 1 กำรแจกแจง 11. acabcba )( หรอ cabaacb )( ตวอยำงท 1 เซตของจ ำนวนเตมลบ มสมบตปดกำรคณหรอไม วธท ำ ไมม เชน 1 และ 2 เปนสมำชกของเซตของจ ำนวนเตมลบ แต 2)2)(1( ซง 2 ไมไดเปนสมำชกของเซตของจ ำนวนเตมลบ # ตวอยำงท 2 จงแสดงวำ 12 เปนอนเวอรสของ 12 วธท ำ เนองจำก )12)(12(12112)12)(12( ดงนน 12 เปนอนเวอรสของ 12 # 1.3 สมบตของกำรไมเทำกน เรำอำจเขยนกำรไมเทำกนโดยไมตองอำศยเสนจ ำนวนไดดงน ถำ ba แลว 0 ba นนคอ ba เปนจ ำนวนบวก ถำ ba แลว 0 ba นนคอ ba เปนจ ำนวนลบ 1.3.1 สมบตไตรวภำค เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรงแลว ba หรอ ba หรอ ba จะเปนจรงเพยงอยำงใดอยำงหนงเทำนน ba หมำยถง ba หรอ ba โดยท ba อำนวำ a นอยกวำหรอเทำกบ b ba หมำยถง ba หรอ ba โดยท ba อำนวำ a มำกกวำหรอเทำกบ b cba หมำยถง ba และ cb โดยท cba อำนวำ b มำกกวำ a แตนอยกวำ c

12

1.3.2 สมบตของกำรไมเทำกน ให ba, และ c เปนจ ำนวนจรงใดๆ 1) ถำ ba และ cb แลว ca 2) ถำ ba แลว cbca 3) ถำ ba และ 0c แลว bcac 4) ถำ ba และ 0c แลว bcac

5) ถำ ba 0 แลว ba

11

6) ถำ 0 ba แลว ba

11

7) ถำ ba แลว bba

a

2

8) ถำ ba และ ab แลว ba 9) ถำ 0a แลว 0na เมอ n เปนจ ำนวนคบวก 10) 0na เมอ n เปนจ ำนวนคบวก

ตวอยำงท 1 จงแสดงวำ ถำ ba แลว bba

a

2

วธท ำ เนองจำก ba ดงนน baaa และ bbba baa 2 และ bba 2

2

baa

และ b

ba

2

นนคอ bba

a

2

#

ตวอยำงท 2 จงแสดงวำ ถำ ba และ 0c แลว bcac วธท ำ เนองจำก ba ดงนน 0 ba และ 0c เพรำะฉะนน 0)( cba จงไดวำ 0 bcac นนคอ bcac # 1.4 รำกท n ของจ ำนวนจรง บทนยำม ให n เปนจ ำนวนเตมทมำกกวำ 1 a และ b เปนจ ำนวนจรง b เปนรำกท n ของ a กตอเมอ abn

13

ตวอยำงเชน 1642 และ 16)4( 2 ดงนน 4 และ 4 จงเปนรำกทสองของ 16 125)5( 3 ดงนน 5 จงเปนรำกทสำมของ 125 บทนยำม ให a เปนจ ำนวนจรง และ n เปนจ ำนวนเตมทมำกกวำ 1

1) ถำ 0a และ n เปนจ ำนวนค รำกท n ของ a ม 2 รำก คอ n a และ n a 2) ถำ a เปนจ ำนวนจรง และ n เปนจ ำนวนค รำกท n ของ a คอ n a จำกบทนยำมเรำเรยกจ ำนวนทเขยนในรป n a วำ กรณฑ และอำนวำ กรณฑท n ของ a

เชน 3 5 อำนวำ กรณฑทสำมของ 5 ในกรณท 2n จะเขยน a แทน 2 a เชน กรณฑทสองของ 5 เขยนไดเปน 5 ตวอยำงเชน รำกทสองของ 5 คอ 5 และ 5 รำกทสำมของ 5 คอ 3 5

สมบตของรำกท n ของจ ำนวนจรง

ก ำหนด n เปนจ ำนวนเตมทมำกกวำ 1 1) ถำ a เปนจ ำนวนจรงทมรำกท n แลว aa nn )( 2) ถำ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ และ n เปนจ ำนวนเตมบวก โดยท 2n แลว

(1) aan n เมอ n เปนจ ำนวนค (2) aan n เมอ n เปนจ ำนวนค

ตวอยำงท 1 จงหำ 49 ตวอยำงท 2 จงหำ 3 64

วธท ำ

2749 7 # ตวอยำงท 3 จงหำ 4 4)2( วธท ำ 2)2(4 4 2 #

วธท ำ 4)4(64 3 33 # ตวอยำงท 4 จงหำ 3 3)5( วธท ำ 3 3)5( 5 #

14

ตวอยำงท 5 จงหำผลส ำเรจ 32 216)6( วธท ำ 3 3232 )6()6(216)6( )6(6 0 # 1.5 กำรด ำเนนกำรของจ ำนวนจรงทอยในรปกรณฑ 1) กำรบวกและกำรลบของจ ำนวนจรงทอยในรปกรณฑ กำรบวกและกำรลบของจ ำนวนจรงทอยในรปกรณฑท ำไดโดยใชสมบตกำรแจกแจงของระบบจ ำนวนจรง โดยกรณฑทมอนดบเดยวกนและมจ ำนวนภำยใตเครองหมำยกรณฑเปนจ ำนวนเดยวกน ตวอยำงท 1 จงหำผลบวก 242522 วธท ำ 2)452(242522 23 # ตวอยำงท 2 จงแสดงวำ 169169 หรอไม วธท ำ 743169

525169 นนคอ 169169 #

2) กำรคณและกำรหำรของจ ำนวนทอยในรปกรณฑ ทฤษฎบท ให ba, เปนจ ำนวนจรงทมรำกท n แลว

1) nnn abba

2) nn

n

b

a

b

a เมอ 0b

15

ตวอยำงท 3 จงหำผลลพธ

1) 33 75

2) 18

32

วธท ำ 333 7575 วธท ำ 9

16

18

32

3 35 # 9

16

3

4 #

ตวอยำงท 4 จงท ำใหอยในรปอยำงงำย

1) 50

2) 2

1

วธท ำ 2550 2 วธท ำ 2

2

2

1

2

1

252 2)2(

2

25 2

2 #

25 # ตวอยำงท 5 จงท ำใหเปนผลส ำเรจ

1) 2712

2) 15

102

วธท ำ 33322712 22 วธท ำ 53

)52(2

15

102

3332 3

22

35 # 33

322

3

62 #

16

แบบฝกหดบทท 1 1. จงพจำรณำวำจ ำนวนทก ำหนดใหในแตละขอตอไปนวำเปนจ ำนวนชนดใด โดยท ำเครองหมำย ใหตรงกบจ ำนวนนนๆ (สำมำรถตอบไดมำกกวำ 1 ขอ) ขอ จ ำนวน I I I Q Q R (1) 0 (2) 1 (3) 2

(4) 2

1

(5) 12.0 (6) 444.1 (7)

432.1 (8) 2 (9) 9 (10) 254

(11) 2

6

(12) 010010001.0 (13) 98742.1 (14) 46547.0

(15) 2

8

2. ก ำหนดให cba ,, เปนจ ำนวนจรงใดๆ จงเตมสมบตของกำรเทำกนทใชในแตละขอ (1) ถำ baba 22 แลว baba 22 ………………………………………..…….. (2) ถำ a8 แลว 228 a ……………….………..…………………………………… (3) ถำ 5b แลว 522 b ……………….………..…………………………………… (4) ถำ ba 843 และ 78 b แลว 743 a …….…………………..……………… (5) ถำ baab แลว abba ……………….………..……………………………..… (6) 210210 …….………..……………………………………………………………… (7) ถำ 97 c แลว 2c ……………………...………..………………………………… (8) ถำ 20)2(4 ca แลว 52 ca ……………………...………..……………………

17

3. ก ำหนดให ba, และ c เปนจ ำนวนจรงใดๆ จงบอกวำขอควำมในแตละขอตอไปนเปนจรงตำมสมบตใด (1) 22 เปนจ ำนวนจรง …………………………………………….

(2) 5 เปนจ ำนวนจรง …………………………………………….

(3) aa 33 …………………………………………….

(4) bcbacab )( …………………………………………….

(5) ababa …………………………โดยท b …..….

(6) cacac …………………………โดยท a …..….

(7) 3)()(3 baba …………………………………………….

(8) baab )3()(3 …………………………………………….

(9) )3(2)32( cbacba …………………………………………….

(10) )45()65()46(5 …………………………………………….

4. จงหำอนเวอรสกำรบวกของจ ำนวนในแตละขอ (1) อนเวอรสกำรบวกของ 5 คอ ………. (2) อนเวอรสกำรบวกของ 72 คอ …..…. (3) อนเวอรสกำรบวกของ ba คอ ………. (4) อนเวอรสกำรบวกของ )( a คอ …...…...

5. จงหำอนเวอรสกำรคณของจ ำนวนในแตละขอ (1) อนเวอรสกำรคณของ 4 คอ ………. (2) อนเวอรสกำรคณของ 5 คอ …...….

(3) อนเวอรสกำรคณของ 3

2 คอ ………. (4) อนเวอรสกำรคณของ 23 คอ …...….

6. เซตทก ำหนดใหในแตละขอตอไปนมหรอไมมสมบตปดของกำรบวกหรอสมบตปดของกำรคณ จงเขยนเครองหมำย ถำเซตมสมบตปดและเขยนเครองหมำย ถำเซตไมมสมบตปดลงในตำรำง ขอ เซต สมบตปดของกำรบวก สมบตปดของกำรคณ (1) จ ำนวนนบ (2) จ ำนวนเตม (3) จ ำนวนตรรกยะ (4) จ ำนวนอตรรกยะ (5) จ ำนวนจรง

7. จงหำผลลพธ (1) )2(1 …………………… (2) 4)3( …………………… (3) 5)5( ……………………

(4) )7(6 …………………… (5) 9)8( …………………… (6) )11()10( ……..………

(7) 2)1( …………………… (8) )3(3 …………………… (9) )2()4( ………..………

18

(10)

8

3

12

7 ……………… (11)

5

2

10

7 ………… (12)

3

48 ………...………

(13) 7

5

14

11 …………..…….… (14)

21

13

14

9 ……….….… (15) 2

9)6( ….………………

(16) 15

12

3

5 …………………… (17)

8

9

7

6 …….….… (18) 35

9)5( ….……..………

(19)

20

16

8

7

……………………

(20)

20

16

8………….……..… (21)

30

9

5

………...……………

(22) 4 81 ……………………… (23) 5 32 …………………… (24) 33 42 ………………….. (25) 2)5( ………………….. (26) 3 3)8( ………………….. (27) 6 6)4( …………………..

(28) 9

1 …………………….…… (29)

21.0 ……………………… (30)

654.3 ……………………

8. จงท ำใหเปนผลส ำเรจ (1) 5453 …………………………………… (2) 7976 ……………………………………

(3) 9832 …………………………………… (4) 4812 …………….………………………

(5) 550 …………………………………..… (6) 531252 ………….………………………

(7) 18

162 …………………………………….…… (8) 20

180003 ………………...……………………

9. จงท ำใหอยในรปอยำงงำย (1) )273(3 ………………………….….… ………………………….….…

(2) )23(5 …………..………………….…… ………..…………………….……

(3) )72312(32 ………………………………………….……… ………………………………………….………

…………………………………….……………

(4) )13560(153 ………..………………………..………….…… ………..…………………..……………….…… …………………..………………………………

10. จงยกตวอยำงใหเหนวำ

(1) ถำ ba 0 แลว ba

11

……………………………………..…….….….… ……………………………………..…….….….…

(2) เมอ a เปนจ ำนวนจรงและ n เปนจ ำนวนคบวก นนคอ 0na ……………………………………..…….….……...… ……………………………………..…….….……...…

19

บทท 2 เซตและตรรกศาสตร

เซต (set) และตรรกศาสตร (logic) เปนความรพนฐานทส าคญอยางยงในการศกษาคณตศาสตรหรอศาสตรอน ๆ โดยเฉพาะอยางยงทางดานวทยาศาสตร ในบทท 2 นผเรยนจะไดศกษาในสองเรองดงกลาวในระดบพนฐาน เพอท าความเขาใจในมโนคตตาง ๆ บทนยาม และทฤษฎเบองตนโดยไมเนนการพสจน ดงหวขอตอไปน

2.1 เซต ความคดเกยวกบเรองเซตมมานานหลายรอยปแลวแตไมมใครจดระบบและสรางทฤษฎเซต

ออกมาใหชดเจนจนกระทงปลายศตวรรษท 19 เกออรก คนทอร (Georg Cantor ค.ศ.1845-1918) นกคณตศาสตรชาวเยอรมน ไดเรมจดระบบของเซต

ค าวา “เซต” เปนค าทยอมรบวา ไมสามารถใหความหมายทรดกมไดถงแมวา คนเตอรไดอธบายความหมายของเซตวา คอกลมของสงของหรอจนตนาการ ซงมสมบตบางประการคลายกน และสงของดงกลาวเรยกวา สมาชกของเซต แตคนเตอรกไมไดถอวาค าอธบายดงกลาวเปนการนยามค าวาเซต เพราะวาในค าอธบายดงกลาวมค าทไมไดใหความหมายไวคอค าวา กลม สงของสมบต และสมาชก และถาจะอธบายค าเหลานกจะวกไปวนมาไมสามารถอธบายใหรดกมได ดงนนเราจงถอวาค าวา เซต เปนค าอนยาม เมอก าหนดเซต สงทส าคญคอ ตองสามารถบอกไดแนนอนวา สงนน ๆ อยในเซตทก าหนดใหหรอไม ซงเราเรยกวาเซตแจมชด (well defined set) เชน เซตของจ านวนเตมทยกก าลงสองแลวได 9 สามารถบอกไดแนนอนวา 3, –3 อยในเซตน

ส าหรบสงตาง ๆ ทอยในเซตนน เราเรยกวา สมาชก (member or element) ของเซตนน ๆ ในเซตหนง ๆ อาจมสมาชกจ านวนมากจนนบไมหมด เชน เซตของจ านวนนบทมากกวา 10 หรอ อาจมสมาชกอยเปนจ านวนจ ากด เชน เซตของพยญชนะภาษาไทย หรอ อาจไมมสมาชกเลย เชน เซตของจ านวนเตมทยกก าลงสองแลวมคาเทากบ 2

โดยทวไป จะแทนเซตดวยอกษรภาษาองกฤษตวใหญ เชน A, B, C, X, Y ฯลฯ และแทนสมาชกของเซตดวยตวอกษรภาษาองกฤษตวเลก เชน a, b, c, x, y ฯลฯ

20

2.1.1 วธเขยนเซต โดยทวไปเราสามารถเขยนเซตได 2 วธ คอ เขยนแบบแจกแจงสมาชก และการเขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต ดงตอไปน

2.1.1.1 เขยนแบบแจกแจงสมาชก การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชกเปนการเขยนบอกสมาชกแตละตวอยางชดเจน

สามารถสรปการเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชกดงน 1) เขยนสมาชกทกตวของเซตไวในเครองหมายวงเลบปกกา { } 2) ใชเครองหมายจลภาค “,” คนระหวางสมาชกแตละตว

3) ถาเซตทตองการเขยนมสมาชกเปนจ านวนมากจนนบไมถวนเราจะเขยนสมาชก ตวแรก ๆ เพยงบางตวโดยเรยงล าดบใหสามารถบอกไดวา สมาชกตวตอไปจะเปนอะไร แลวละสมาชกทเหลอไวในฐานทเขาใจ โดยเขยนจด 3 จด “…” แทน

4) ถาเซตทตองการเขยนมสมาชกเปนจ านวนมาก แตมจ านวนจ ากด เราจะเขยน “…” แทนสมาชกทละไว แตตองเขยนสมาชกตวสดทายไวดวย

ตวอยาง 2.1 แนะน าเซตและสญลกษณทใชแทนเซต และจ านวนตาง ๆ ทควรรจก (1) เซตของจ านวนนบหรอจ านวนธรรมชาต (counting numbers or natural

numbers) เขยนแทนดวยสญลกษณ N โดยท N = {1, 2, 3, 4, ... } (2) เซตของจ านวนเตมบวก (positive integers) เขยนแทนดวยสญลกษณ I+ หรอ

N หรอ Z+ โดยท N = {1, 2, 3, 4, ...} (3) เซตของจ านวนเตมลบ (negative integers) เขยนแทนดวยสญลกษณ I- หรอ Z-

โดยท I- = {–1, –2 , –3, –4, …} (4) เซตของจ านวนเตม (integers) เขยนแทนดวยสญลกษณ I หรอ Z โดยท

Z = {0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, ...} = {... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} (5) จ านวนเฉพาะ (prime number) คอ จ านวนเตม p ทไมเทากบ 0 หรอ 1, –1 และ

หารลงตวดวย 1, –1, p, –p เทานน เชน 2 , –2 , 3, –3, 5, –5, 7, –7, 11, –11 (6) จ านวนค (even number) คอ จ านวนเตมทหารดวย 2 ลงตว นนคอ เมอก าหนด

a เปนจ านวนเตมจะไดวา a เปนจ านวนค กตอเมอ มจ านวนเตม n ซงท าให a = 2n เชน 0, 2, –2, 4, –4, 6, –6

(7) จ านวนค (odd number) คอจ านวนเตมทไมใชจ านวนค จ านวนคแตละจ านวน สามารถเขยนในรป 2n + 1 โดยท n เปนจ านวนเตมจ านวนหนง เชน 1, –1, 3, –3

21

ตวอยาง 2.2 จงเขยนเซตทก าหนดใหตอไปน แบบแจกแจงสมาชก (1) A เปนเซตของจ านวนนบทมากกวา 15 (2) B เปนเซตของจ านวนเตมตงแต 5 ถง 5000 (3) C เปนเซตของชอเดอนในหนงป ทขนตนดวย “ก” ตอบ (1) เนองจากเซตของจ านวนนบ, N = {1, 2, 3, 4, ... } ท าให A = {16, 17, 18 , …} (2) B = …………………………………………………………………………………… (3) C = ……………………………………………………………………………………

จากตวอยาง 2.2 (1) เราพบวา 17 เปนสมาชกของเซต A แต 3 ไมเปนสมาชก ของเซต A ซงเราจะเขยนแทนดวยสญลกษณ 17 A แต 3 A นนคอ ใชสญลกษณ “” แทน “เปนสมาชกของ” และใชสญลกษณ “” แทน “ไมเปนสมาชกของ” ตวอยาง 2.3 แสดงการเปนสมาชกของเซตทก าหนดให

(1) ก าหนดให A = {1, 2, 3} จะไดวา 1A , 2 A , 3 A (2) ก าหนด B เปนเซตของพยญชนะในค าวาประชาธปไตย ไดวา

B = {ป, ร, ช, ธ, ป, ต ,ย} = …………………..….. และ ป B, ……B, ก B, ……. B (3) ก าหนด C = {5, {6}, 7} ไดวา …… C, {6} C, 6 C, ….. C

2.1.1.2 เขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต

การเขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตเปนวธทใชตวแปรแทนสมาชก แลว บอกลกษณะของตวแปรนน ๆ ซงเซตทเราก าหนดขนจะตกลงกนวา จะไมกลาวถงสงใดนอกเหนอไปจากสมาชกของเซตน เราเรยกเซตนวา เอกภพสมพทธ (universe ) ใชสญลกษณแทนดวย U การเขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกน จะเขยนในเครองหมายวงเลบปกกา โดยใชเครองหมาย หรอ : ( ซงอานวา โดยท ) คนไวระหวางตวแปรและประโยคทบอกลกษณะของตวแปร ตวอยาง 2.4 แสดงการเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก ขอท เอกภพสมพทธ เซต เขยนเซตแบบบอกเงอนไขของ

สมาชก 1 เซตของจ านวน

เตม ( I ) A เปนเซตซงประกอบดวยจ านวนเตมทนอยกวา 8

A = { x x I และ x 8 } หรอ { x I ………... }

22

ขอท เอกภพสมพทธ เซต เขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก

2 เซตของชอเดอน B เปนเซตของชอเดอนทมจ านวนวนมากกวา 30 วน

B = ………………………………

3 ………………. C เปนเซตของจ านวนนบทอยระหวาง 1 กบ 2

C = ………………………………

4 ………………. D = ……………………………

D = { x x I+ และ x 2 }

2.1.2 ประเภทของเซต ในการแยกประเภทของเซตเบองตนจะพจารณาจากจ านวนสมาชกในเซตนนโดยแยกเปนเซตจ ากด

(finite set) และเซตอนนต (infinite set) แตกอนอนจะแนะน าเซตทมลกษณะพเศษคอเซตวาง (empty set or null set) มรายละเอยดดงน

บทนยาม 2.1 เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก สญลกษณทใชเขยนแทนเซตวางคอ { } หรอ หรอ = { x x U } ตวอยาง 2.5 แสดงตวอยางเซตวางในรปการเขยนเซตแบบบอกเงอนไข (1) A = { x I 3 x 4 }

(2) B = { x I x = x + 2 } (3) C = ……………………………………………………

(4) D = ……………………………………………………

บทนยาม 2.2 เซตทมจ านวนสมาชกเทากบจ านวนเตมบวกใด ๆ หรอ ศนย เรยกวา เซตจ ากด และเรยกเซตใด ๆ ทไมใชเซตจ ากด วา เซตอนนต

ส าหรบเซตจ ากด A เมอตองการจะเขยนจ านวนสมาชกของเซต A ใหชดเจน เราใชสญลกษณ n(A) แทนจ านวนสมาชกของเซต A

23

ตวอยาง 2.6 แสดงตวอยางเซตจ ากด และเซตอนนต เซตจ ากด จ านวน

สมาชกของเซตจ ากด

เซตอนนต

(1) A = {5, 6, 7, ..., 500} (2)B ={กมภาพนธ, กรกฎาคม, กนยายน} (3) C = {x I 8 x 10} (4) D = {{1}, {1, 2}, {3}} (5) E = {x I 49 x 50}

n(A) = ….. n(B) = …. n(C) = …. n(D) = ….. n(E) = …..

(1) F = { x I x 20 }

(2) G = {3, 6, 9, 12, 18, ...} (3) H = ……………………………. (4) J = { x R 8 x 50}

ขอสงเกต เซต E ในตวอยาง 2.6 เปนเซตจ ากดทเปนเซตวาง

2.1.3 ความสมพนธระหวางเซต เมอกลาวถงจ านวนสองจ านวนใด ๆ เราสามารถหาความสมพนธของจ านวน 2 จ านวนนนไดหลายแบบโดยการเปรยบเทยบ เชน เทากบ มากกวา นอยกวา ฯลฯ เปนตน ในท านองเดยวกน ถาม เซต 2 เซตใด ๆ เราจะบอกวา เซต 2 เซตนนมความสมพนธ กนแบบใด โดยความสมพนธในเรองเซตทกลาวถงในทนจะมอยดวยกน 4 ลกษณะ คอ เซตยอย (subset) เซตก าลง (power set) เซตเทากน(equal set) และเซตทเทยบเทากบ (equivalent set) ซงสรปรายละเอยดไดดงน บทนยาม 2.3 เซต A เปนเซตยอยของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของ เซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A B (หนงสอบางเลมใชสญลกษณ A B)

จากบทนยาม 2.3 ถามสมาชกของเซต A อยางนอยหนงตวทไมอยในเซต B กลาว

ไดวา เซต A ไมเปนเซตยอยของเซต B ซงจะเขยนแทนดวยสญลกษณ A B ตวอยาง 2.7 แสดงการเปนเซตยอย ให A = {1} B = {1, 2, 3} C = {0, 1, 5, 7} D = {2, 3} และ E = {x | x เปนจ านวนเฉพาะบวกทมคานอยกวา 4} จะไดวา

24

(1) A B เพราะสมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B (2) A C เพราะ……………………………………………………. (3) A D เพราะม 1 A แต 1 D (4) B A เพราะม ….. B แต ….. A

(5) C B เพราะ…………………………………………………… (6) D E เพราะ………………………………………………………………

(7) E ….. D เพราะ…………………………………………….………………………………… สมบตตอไปนเปนสมบตเบองตนทเกยวกบเซตยอย

1) A A เมอ A เปนเซตใด ๆ (เซตทก ๆ เซต เปนเซตยอยของตวเอง) 2) ให A, B และ C เปนเซตใด ๆ ถา A B และ B C แลว A C

เรยกวาสมบตการถายทอด (transitive property) 3) A เมอ A เปนเซตใด ๆ (เซตวาง เปนเซตยอยของเซตทก ๆ เซต)

บทนยาม 2.4 เซตก าลงของเซต A คอเซตของเซตยอยทงหมดของเซต A เขยนแทนดวย P(A) ตวอยาง 2.8 จงหา P(A) และ P(B) เมอก าหนดเซต A = {2, 3} B = {0, 1, 2} C = {a, b, c, d} วธท า เซตยอยทงหมดของ A คอ , {2}, {3}, {2, 3} ดงนน P(A) = {, {2}, {3}, {2, 3}} พจารณาในท านองเดยวกน จะไดวา P(B) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, ………………………………………………………… P(C) = ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………

โดยใชหลกเกณฑการนบเบองตน ทเรยกวา หลกเกณฑการคณ ซงกลาววา “ถาการทดลอง หนงประกอบดวยการกระท าสองขนตอน ขนตอนแรกเลอกท าได pวธ และหลงจากเลอกท าขนตอนแรกดวยวธใดวธหนงแลว จะเลอกท าขนตอนทสองได q วธ จะไดวธการทดลองทงหมดเลอกท าได pq วธ” สงผลใหถา A เปนเซตทมสมาชก n ตว จ านวนเซตยอยท งหมดของเซต A จะเทากบ 2n ดงน น n(P(A)) = 2n บทนยาม 2.5 เซต A และเซต B เปนเซตทเทากน กตอเมอ A B และ B A เขยนแทนดวย สญลกษณ A = B

25

ตวอยาง 2.9 แสดงเซตทเทากน (1) ให A = {2, 3, 4} B = {3, 4, 2, 2} จะไดวา A = B เพราะวา A B และ B A (2) ให C = {x | x I และ x 2 = 3} และ D = {x | x N และ x < 0} จะไดวา C = D เพราะวา ………………………………………………………………………… กอน ท จะ น ยาม เซต ท เท ยบ เท ากน จะก ล าวถ ง เซต ท สมนยกน แบบห น งตอห น ง (one–to–one correspondence) ซงเขยนเปนนยามไดดงน บทนยาม 2.6 เซต A และเซต B สมนยกนแบบหนงตอหนง กตอเมอสมาชกแตละตวของเซต A สามารถจบคกบสมาชกแตละตวของเซต B ไดเพยงตวเดยว และสมาชกแตละตวของเซต B สามารถจบคกบสมาชกแตละตวของเซต A ไดเพยงตวเดยว บทนยาม 2.7 เซต A และเซต B เปนเซตทเทยบเทากน กตอเมอ เซต A และเซต B มสมนย

กนแบบหนงตอหนง

ตวอยาง 2.10 แสดงเซตทเทยบเทากน (1) ให A = {x | x เปนจ านวนเตมทสอดคลองกบสมการ (x – 2)(x + 7) = 0} และ B = {a, b} จะไดวา A เทยบเทากบ B หรอกลาววา เซต A และเซต B เปนเซตทเทยบเทากนเพราะสามารถจบคระหวางสมาชกของเซตทงสองไดแบบหนงตอหนง เชน 2 จบคกบ a และ –7 จบคกบ b (2) ให C = {2, 4, 6, 8} และ D = {9, 10, 11} จะไดวา เซต C และเซต D ไมเปนเซตทเทยบเทากน (3) ให E = {1, 2, 3, 4, …} และ F = {2, 4, 6, 8, …} พจารณา 1 2 3 4 ... n 2 4 6 8 2 n ดงนน E และ F เปนเซตทเทยบเทากน

2.1.4 การด าเนนการของเซต เมอพจารณาเกยวกบจ านวนเราพบวาเมอก าหนดจ านวนมาสองจ านวนเราสามารถสรางจ านวนใหม

ไดจากการด าเนนการระหวางจ านวนทงสองดวยการ บวก หรอลบ หรอคณ หรอหารได ในท านองเดยวกน

26

เมอก าหนดเซตใด ๆ มาให เราสามารถสรางเซตใหมโดยอาศยเซตทก าหนดใหและใชการด าเนนการของเซต (set operation) ซงการด าเนนการของเซตโดยทว ๆ ไป มอย 3 ชนด คอ ยเนยน (union) อนเตอรเซกชน (intersaction) และสวนเตมเตม (complement) ซงสามารถสรปรายละเอยดไดดงน

บทนยาม 2.8 ยเนยนของเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของ เซต A หรอเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A B (อานวา A ยเนยน B) หรอไดวา

A B = {x | x A หรอ x B}

ตวอยาง 2.11 แสดงเซตใหมทไดจากการด าเนนการ ยเนยน เซตทก าหนดให เซตใหมทได

(1) ให A = {–5, –4, –3, –2, –1} และ B = {–3, –1}

A B = {–5, –4, –3, –2, –1}

(2) ให M = {a, b, c, d} และ L = {1, 2, 3} M L = ………………………………….. (3) ให S = {10, 20, 30, 40} และ T = {5, 10, 15, 20, 25}

S T = ……………………………………

(4) ให K = {1, 2, 3, 4, 5, …, 100} และ L = {1, 2, 3, 4, …}

K L = ……………………………………

บทนยาม 2.9 อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชก ของทงเซต A และเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A B (อานวา A อนเตอรเซกชน B) และไดวา A

B = {x | x A และ x B}

ตวอยาง 2.12 แสดงเซตใหมทไดจากการด าเนนการอนเตอรเซกชนของเซต เซตทก าหนดให เซตใหมทได

(1) ให A = {–5, –4, –3, –2, –1} และ B = {–3, –1}

A B = ……………………………………

(2) ให M = {a, b, c, d} และ L = {1, 2, 3} M L = ………………………………….. (3) ให S = {10, 20, 30, 40} และ T = {5, 10, 15, 20, 25}

S T = ……………………………………

(4) ให K = {1, 2, 3, 4, 5, …, 100} และ L = {1, 2, 3, 4, …}

K L = ……………………………………

27

ขอสงเกต 1. ถาก าหนดเซต A , B โดยท A B แลว A B = …………………

บทนยาม 2.10 เซต A และเซต B เปนเซตทไมมสวนรวม กตอเมอ A B =

บทนยาม 2.11 ให A และ B เปนเซต สวนเตมเตมของเซต A เทยบกบเซต B คอเซตทประกอบ ดวยสมาชกซงเปนสมาชกของเซต B และไมเปนสมาชกของเซต A สวนเตมเตมของเซต A เทยบ กบเซต B เขยนแทนดวย B – A

ไดวา B – A = {x | x B และ x A}

ตวอยาง 2.13 ให M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ L = {1, 3, 4} จงหา M – L และ L – M วธท า จากนยามของสวนเตมเตม จะได M – L = ................. และจะได L – M = ...........

สวนเตมเตม ของเซต A เทยบกบ U (เอกภพสมพทธ) เขยนแทนดวย AC หรอ A/ นนคอ AC = {x | x U และ x A}

ตวอยาง 2.14 ใหเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, S = {2, 3, 5, 7} และT = {1, 3, 7} จงหา S – T , T – S, SC และ TC วธท า จากนยาม จะไดวา

S – T = ...................................................................... T – S = ...................................................................... SC = ...................................................................... DC = ......................................................................

ขอสงเกต ให A และ B เปนเซต จะไดวา (A – B) A และ ( A – B ) BC

ตวอยาง 2.15 จงเขยนเซตทก าหนดใหตอไปน ใหเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}

A = {2, 4, 6, 8} และ B = {4, 5, 6, 7, 10}

(1) A B = ...................................................................... (2) A B = ...................................................................... (3) AC = ......................................................................

(4) BC = ......................................................................

28

(5) A–B = ...................................................................... (6) B–A = ...................................................................... (7) A–BC = ...................................................................... (8) BC–A = ...................................................................... (9) (A B) C = ...................................................................... (10) (A B) C =…………..................................................................... (11) AC BC = .........................................................................

2.1.5 แผนภาพของเวนน – ออยเลอร

ในการศกษาเกยวกบเรองเซตนน เพอจะอธบายใหเขาใจไดงายยงขน นกคณตศาสตรสองทานคอ จอหน เวนน (John Venn) ชาวองกฤษ และเลยวนารด ออยเลอร (Leonard Euler) ชาวสวสไดคดแผนภาพ ซงเรยกวา แผนภาพของเวนน – ออยเลอร (Venn – Euler diagram) เปนการเขยนแผนภาพแทนเซตตาง ๆ เพอชวยใหเขาใจถงความสมพนธหรอความเกยวของกนของเซตตาง ๆ ไดชดเจนยงขน การเขยนแผนภาพนยมเขยนรปสเหลยมผนผาแทนเอกภพสมพทธ และใชรปวงกลม หรอวงร แทนเซตตาง ๆ (วรรณ ธรรมโชต, 2537, หนา 23) ดงภาพท 2.1

ภาพท 2.1 แสดงการเขยนแผนภาพแทนเซต จากภาพท 2.1 แสดงใหเหนวา A U, B U, C U, A B = , A C =

และ C B เมอตองการแสดงใหเหนในสวนใดของเซต เชน ยเนยน, อนเตอรเซกชน ฯลฯ กจะใชการแรเงา หรอท าเครองหมายในสวนทตองการแสดงไว เชน ภาพท 2.2-2.6

U B

A

U

C B

29

A B U

ภาพท 2.2 แผนภาพแสดง A B ภาพท 2.3 แผนภาพแสดง A – B ภาพท 2.4 แผนภาพแสดง ........................ ภาพท 2.5 แผนภาพแสดง A B C ตวอยาง 2.16 ก ำหนดใหเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 5, 9, 10} B = {2, 4, 5, 8} และ C = {2, 3, 5, 6, 8, 9}

U

A B

A

B C

A

B C

จงหำ A B , A C , A – (B C) , (A B)C , CC ..................................................................... .................................................................................................................................................................................................................. ......................................................................

U

30

ในกำรเขยนแผนภำพแทนเซตนน สำมำรถท ำใหกำรวเครำะหปญหำโจทยทเกยวกบเซตงำยขน ดงตวอยำงตอไปน

ตวอยาง 2.17 ในกำรส ำรวจเกยวกบกำรอำนหนงสอพมพสองชนด คอชนดภำษำไทย และ ภำษำองกฤษของคน 150 คน ปรำกฏวำ คนทอำนหนงสอพมพภำษำไทยม 105 คน คนทอำน หนงสอพมพภำษำองกฤษม 50 คน คนทไมอำนหนงสอพมพชนดใดเลย ม 8 คน จงหำวำคนท อำนหนงสอพมพทงภำษำไทยและภำษำองกฤษมกคน วธท า ให A เปนเซตของคนทอำนหนงสอภำษำไทย B เปนเซตของคนทอำนหนงสอพมพภำษำองกฤษ x เปนจ ำนวนของคนทอำนหนงสอพมพทงภำษำไทยและภำษำองกฤษ

เขยนแผนภำพของ เวนน-ออยเลอร แสดงจ ำนวนของสงตำง ๆ ทก ำหนดใหในสวนตำง ๆ สงทก ำหนดขำงตนไดดงน

ดงนนคนทอำนหนงสอพมพทงภำษำไทยและภำษำองกฤษม 13 คน

ลองท านะ โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 100 คน จำกกำรส ำรวจพบวำ เปนโรคฟน 50 คน เปนโรคตำ 35 คน เปนโรคห 25 คน เปนทงโรคฟนและโรคตำ 10 คน เปนทงโรคฟนและโรคห 13 คน เปนทงโรคตำและโรคห 15 คน เปนทงสำมโรค 5 คน จงหำจ ำนวนนกเรยนทเปนโรคฟนเพยงอยำงเดยว

คนทไมอำนหนงสอพมพชนดใดเลยม 8 คน ดงนนมคนทอำนหนงสอพมพจ ำนวน 150 – 8 = 142 คน จำกแผนภำพไดวำ (105 – x) + (50 – x) + x = 142 x = 13

ถำ A, B และ C เปนเซต แลวจะไดวำ n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C)

U

A B

x 105-x 50-x

8

31

2.1.6 ทฤษฎและกฎตาง ๆ ทเกยวกบการด าเนนการของเซต ในกำรด ำเนนกำรของเซต มทฤษฎและกฎตำง ๆ ทควรทรำบเบองตนทเกยวกบกำรด ำเนนกำรของเซตซงสำมำรถพสจนอยำงงำย ๆโดยอำศยควำมรทำงตรรกศำสตร แตจะไมพสจนในทน เมอก าหนดให A, B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา

1. กฎการสลบท (commutative laws) (1) A B = B A (2) A B = B A 2. กฎการเปลยนหม [กฎกำรจดหม, กฎกำรเปลยนกลม] (associative laws) (1) A (B C) = (A B) C (2) (A B) C = A (B C) 3. กฎการแจกแจง [กฎกำรกระจำย] (distributive laws) (1) A (B C) = (A B) (A C) (2) A (B C) = (A B) (A C) 4. กฎนจพล [กฎกำรเหมอนกน, กฎไอเดมโพเทนต] (idempotent laws) (1) A A = A (2) A A = A 5. A B A B = A 6. A B A B = B 7. กฎเอกลกษณ (identity laws) (1) A = (2) A = A (3) A U = A (4) A U = U 8. กฎสวนเตมเตม (complement laws)

(1) A Ac = U (2) A Ac = (3) (Ac) c = A (4) Uc = , c = U 9. กฎของเดอมอรแกน (De Morgan,s laws) (1) (A B)c = Ac Bc (2) (A B) c = Ac Bc 10. (1) A A B (2) A B A 11. กฎการซมซบ (absorption laws) (1) A (A B) = A (2) A (A B) = A 12. การเสนอทางเลอกส าหรบเซตผลตาง (alternate representation for set difference) A – B = A Bc

32

แบบฝกหดท 2.1 1. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมำชก

ตอบ 1. A = { x | x เปนเดอนทม 31 วน } 2. B เปนเซตของจ ำนวนเตมทมำกกวำ –5 3. C เปนเซตของจ ำนวนคบวกทนอยกวำ 10 4. D เปนเซตของจ ำนวนเตมบวกทเปนเลขสองหลก

5. E = { x | x สอดคลองกบสมกำร x + 7 = 10 } 6. F = { x | x I และ 1 x 13 }

7. G = { x I+ | 2x = x + x } 8. H = { x | x เปนจ ำนวนนบทมำกกวำ 12 และหำรดวย 5 ลงตว }

9. J = { x | x = n2 และ n I + } 10. K = { x | x สอดคลองกบสมกำร x2 + 2x – 3 = 0 }

2. จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสมำชก

ตอบ A = {4 , 8, 12, 16, 20, ... , 80} B = {–2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3, ... } C = {0, 1, 4, 9, 16, 25, ... } D = {a, e, i, o, u} E = {2, 4, 6, 8, …, 20} 3. ก ำหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {a, b, c, {a}} C = {1, 2, {3}, {45}, {1,2}} ขอควำมตอไปนเปนจรงหรอเทจ

1. 1 A ……… 4. {3} C ……… 7. a A ………

2. {1} A ……… 5. a B ……… 8. d A ………

3. 3 C ……… 6. {a} B ……… 9. ………. จรง

33

4. ขอควำมตอไปนเปนจรงหรอเทจ ตอบ

1. ก ำหนดให A = { 1, 23, 4 } ไดวำ n(A) = 4 2. เซตของจ ำนวนเตมทมคำมำกกวำ 500 เปนเซตอนนต 3. { 1, 2, 3 , ... , 1000 } เปนเซตอนนต 4. { x | x สอดคลองกบสมกำร x2 + 1 = 0 } เปนเซตจ ำกด 5. { x | 4 < x < 5 } เปนเซตอนนต 6. {1} {2, {3}, 1} 7. ส ำหรบเซต A, B ใด ๆ ถำ n (A) = 2, n (B) = 4 แลว A B

5. ก ำหนดให A = {0, {1}, 2} จงหำ P(A) ……………………………………………………………………………………………………… 6. ก ำหนดให U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} B = {0, 3, 6, 9} และ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} จงหำ 1. A B = 5. (A B) C = 2. B C = 6. C – (A– B) = 3. A – B = 7. Bc = 4. Ac = 8. (A B) c = 7. จำกกำรตรวจสขภำพของนกเรยนในโรงเรยนแหงหนง ซงมนกเรยนทงหมด 100 คน พบวำม นกเรยนทเปนโรคฟน 40 คน เปนโรคห 30 คน เปนทงโรคฟนและโรคห 15 คน จงหำ 1. จ ำนวนนกเรยนทเปนโรคฟนเพยงอยำงเดยว 2. จ ำนวนนกเรยนทไมเปนทงสองโรค ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

34

8. จำกกำรส ำรวจกำรชอบดกฬำของนกเรยนกลมหนง จ ำนวน 120 คน ปรำกฎผลดงน ชอบ ฟตบอล 50 คน ชอบวอลเลยบอล 40 คน ชอบบำสเกตบอล 45 คน ชอบฟตบอลและบำสเกตบอล 15 คน ชอบบำสเกตบอลและวอลเลยบอล 17 คน ชอบฟตบอลและวอลเลยบอล 13 คน ชอบทงสำมประเภท 7 คน จงหำ

1. จ ำนวนนกเรยนทชอบดฟตบอลอยำงเดยว 2. จ ำนวนนกเรยนทชอบดกฬำประเภทเดยว 3. จ ำนวนนกเรยนทไมชอบดกฬำทงสำมประเภท ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 9. ก ำหนดใหเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {2, 4}, A และ B ไมเปนเซตวำง จงยกตวอยำงเซต A ในแตละขอ ทสอดคลองกบเงอนไขดงน 1. A B = U และ A B = และ B = {1} ………………………………………………………………………………………………………. 2. A B และ A B = {1, 2, 6} และ A C = ………………………………………………………………………………………………………. 3. A B = {4 } และ A B = {1, 4, 6} และ B C = {1, 2, 4} ……………………………………………………………………………………………………….

35

2.2 ตรรกศาสตร

ตรรกศาสตร (logic) มาจากค าวา “ตรรก” ซงเปนภาษาสนสกฤต แปลวา ตรตรอง นกคด รวมกบค าวา “ศาสตร” (ความร) ท าให “ตรรกศาสตร” หมายถงวชาทวาดวยการให เหตผล (science of reasoning) การใชความคด (สรศกด ลรตนาวล, 2543, หนา 1) นกคณตศาสตรไดพฒนา ตรรกศาสตรใหอยในรปของสญลกษณและมรปแบบของการใชเหตผลอยางมระบบมากขนเปนตรรกศาสตรสญลกษณ (symbolic logic) โดยเปลยนขอความทเปนรปภาษาทใชในชวตประจ าวน ใหอยในรปของสญลกษณเพอขจดความก ากวมของภาษา แตพนฐานทส าคญกยงคงเดมคอตงอยบนรากฐานของความมเหตผล และการใหเหตผลทกครงจะตองเปนไปโดยสมเหตสมผลดวย การศกษาตรรกศาสตรเบองตนเกยวของกบภาษา และใชสามญส านกทว ๆ ไปทเกยวกบภาษาในการหาคาความจรงของค าพดหรอขอความในลกษณะตาง ๆ

2.2.1 ประพจน

บทนยาม 2.12 ประพจนคอ ประโยคบอกเลา หรอประโยคปฏเสธทเปนจรง หรอเทจ เพยงอยาง ใดอยางหนงเทานนในขณะใดขณะหนง

ประโยคทไมเปนประพจนสวนใหญอยในรปของ ประโยคค าถาม ประโยคค าสง ขอหาม ค าขอรอง ค าออนวอน ค าอทาน ค าทแสดงความปรารถนา ประโยคเปด

ตวอยาง 2.18 แสดงประโยคทเปนประพจน และทไมเปนประพจน

ประโยค คาความจรงของประโยค

เปน/ไมเปนประพจน

4+9 = 15 ( บอกเลา ) เทจ เปนประพจน 5 > 2 ( บอกเลา ) จรง ........................

10 ไมเปนจ านวนค (ปฏเสธ) เทจ เปนประพจน ท าไมเธองวงนอน (ค าถาม) ไมสามารถบอกได ........................



ออกไปใหพน (ค าสง) ไมสามารถบอกได ........................ โปรดแกทผดใหดวยนะ (ขอรอง) ไมสามารถบอกได ..........................

36



x + 10 = 35 (เปนประโยคเปดทม x เปนตวแปร) ไมสามารถบอกได ขนอยกบคาทน ามาแทนตวแปร x

ไมเปนประพจน

...................................................................... ................................ เปนประพจน ....................................................................... ................................. ไมเปนประพจน

ส าหรบประพจนทมประธานและกรยาเพยงตวเดยว เราเรยกวา ประพจนเดยว (simple or

atomic proposition) ซงเราสามารถน าประพจนเดยวมาเชอมตอกนดวยตวเชอม (connectives) เพอใหไดประพจนใหมทมความหมายตาง ๆ กนออกไป หรอเพอใหไดขอความทตอเนองกน เราเรยกประพจนทไดวา ประพจนเชงซอน ในทางตรรกศาสตรใช อกษรภาษาองกฤษ เชน a, b, c, d หรอ A, B, C, D แทน ประพจนเดยว ส าหรบตวเชอมทท าใหไดประพจนเชงซอนม 5 ตวเชอมทส าคญดงน ตวเชอมประพจน สญลกษณ ชอของประพจนเชงซอนทไดจากการเชอม 1) และ ประพจนรวม (conjunction) 2) หรอ ประพจนเลอก (disjunction) 3) ถา … แลว … ประพ จน ม เง อน ไข (conditional proposition) ห รอ เร ยก ว า

ประพจนแจงเหตสผล 4) … กตอเมอ … ประพจนเงอนไขสองทาง (biconditional proposition) 5) “ นเสธ ” ประพจนนเสธ (negation) หรอขอความนเสธ

ตวอยาง 2.19 ก าหนดให P แทนประพจน 25 = 10 Q แทนประพจน 0 เปนจ านวนค R แทนประพจน 5-7 = 7-5 S แทนประพจน 10 หารดวย 3 ลงตว

จงเขยนสญลกษณแทนขอความตอไปน ขอ ขอความ ประพจน 1. 0 เปนจ านวนค และ 5-7 = 7-5 Q R 2 25 = 10 หรอ 10 หารดวย 3 ลงตว …………………………… 3 ถา 10 หารดวย 3 ลงตว แลว 0 เปนจ านวนค ……………………………

37

ขอ ขอความ ประพจน 4 25 = 10 กตอเมอ 5-7 = 7-5 …………………………… 5 25 ≠ 10 [ไมเปนจรงทวา 25 = 10 ] P 6 ถา 25 ≠ 10 แลว 10 หารดวย 3 ลงตว …………………………… 7 5-7 = 7-5 หรอ 25 = 10 กตอเมอ 0 ไมเปนจ านวนค …………………………… 8 ไมเปนจรงทวา ถา 0 เปนจ านวนค แลว 5-7 = 7-5 …………………………… 9 5-7 ≠ 7-5 และ 10 หารดวย 3 ไมลงตว …………………………… 10 ถา 0 เปนจ านวนค และ 5-7 = 7-5 แลว 25 = 10 …………………………… 2.2.2 คาความจรงของประพจน

คาความจรงของประพจน ทเกดขนมได 2 กรณ คอ 1) จรง (true) เขยนแทนดวย T

2) เทจ (false) เขยนแทนดวย F เราสามารถสรปคาความจรงของประพจนเชงซอนโดยทว ๆ ไป ในรปตารางไดดงตารางตอไปน P Q P Q P Q P Q QP P T T T T T T F T F F T F F F F T F T T F T F F F F T T T

38

ตวอยาง 2.20 1. ขอความทก าหนดใหในแตละขอ เปนจรงหรอเทจ

1. 2 + 4 = 7 และ 5 – 3 = 2 2. 2 + 4 = 7 หรอ 5 – 3 = 2

1. ถา 5 3 = 8 แลว 6 5 4. 2 (3 - 5) = 4 หรอ 2 (5 - 3) = 4 5. 2 เปนจ านวนค แต 5 เปนจ านวนค 6. ถา นกโดยทวไปมสามขา แลว คนเหาะได 7. 10 เปนเลขค กตอเมอ 10 หารดวย 2 ลงตว 8. ไมจรงทวา นกโดยทวไปมสามขา 9. 2 3 = 6 และ 6 10 10. 4 3 = 7 และ 6 10 หรอ 13 5

2. ตอบ 1. ............................................... 3. 2. . ..................................................... 4. 3. ......................................................... 5. 4............................................................. 6. 5. ......................................................... 7. 6. ......................................................... 8. 7. ......................................................... 9. 8. ......................................................... 10. 9. ......................................................... 11. 10. ........................................................

2. จงตอบค าถามในแตละขอตอไปน ขอความทสนใจ เหตการณทเกดขน/ ค าถาม 1.

1. ด าไปแลกซอสนคาในวนท 29 กรกฏาคม 2555 2. รานคาไมใหแลกซอ จงหาวารานคาท าผดจากทโฆษณาไวหรอไม เพราะอะไร ตอบ......................................................................

2. ขอตกลงรวมกน

1. 1. สามน าเงนทนกอนนไปใชจาย 2. 2. ภรรยาไมไดรบร 3. จงหาวาสามท าผดขอตกลงรวมกนหรอไม 4. ตอบ......................................................................

5. 1. สามน าเงนทนกอนนไปใชจาย 6. 2. ภรรยารบรและเหนชอบดวย 7. จงหาวาสามท าผดขอตกลงรวมกนหรอไม 8. ตอบ......................................................................

สนคาแลกซอมจ านวนจ ากด แลกซอไดถงวนท 30 กรกฎาคม 2555 หรอสนคาหมด

เงนทนกอนน การใชจายตองไดรบความเหนชอบจากทงสามและภรรยา

39

ขอความทสนใจ เหตการณทเกดขน/ ค าถาม 3. ด าใหสญญากบศรวา “ผมจะขอแตงงานกบคณ กตอเมอ ผมมงานท า”

2. ด ายงไมมงานท า 2. ด ายงไมไดขอศรแตงงาน จงหาวาด ารกษาค าพดหรอไม ตอบ......................................................................

3. ด ามงานท า 2. ด ายงไมไดขอศรแตงงาน จงหาวาด ารกษาค าพดหรอไม ตอบ......................................................................

4. ด าไดท าประกนอบตเหตกบ บรษทประกนภย โดยมเงอนไขวา ถาด าประสบอบตเหต บรษทจะจายคารกษาทงหมดและชดใชครงหนงของรายไดทด าเสยไประหวางรกษาตว

9. 1. ด าประสบอบตเหต 2. ด ารกษาตว 10. 3.เสยรายไดระหวางรกษาตว 4. บรษทจายคารกษาตวใหด า 11. 5.บรษทไมชดใชรายไดทด าเสยไป 12. จงหาวาบรษทท าผดเงอนไขหรอไม 13. ตอบ...................................................................... 14. 1. นายด าประสบอบตเหต 2.ด ารกษาตว 15. 3.เสยรายไดระหวางรกษาตว 16. 4. บรษทจายคารกษาตวใหด าครงหนง 17. 5.บรษทชดใชรายไดทด าเสยไป 18. จงหาวาบรษทท าผดเงอนไงหรอไม 19. ตอบ......................................................................

1. นายด าไมประสบอบตเหต 2.บรษทไมจายคาใด ๆ แกด า 20. จงหาวาบรษทท าผดเงอนไขหรอไม 21. ตอบ......................................................................

5. อาจารยแจงนสตวา เกณฑการสอบผานวชาคณตศาสตรคอ 1.มาเรยนทกครงและท าแบบฝกหด หรอ 2. สอบไดคะแนนเกน 70 % หรอ 3. ไดคะแนนรวมเกน 50 %

22. 1. มนสตทมาเรยนบาง ไมมาเรยนบาง แตสอบผานวชาน 23. จงหาวาอาจารยท าตามทแจงแกนสตหรอไม 24. ตอบ......................................................................

25. 1. แดงมาเรยนทกครง แตไมไดท าแบบฝกหด แดงยงมโอกาสสอบผานวชานหรอไม

26. ตอบ......................................................................

40

ตวอยาง 2.21 จงแสดงคาความจรงของประพจนตอไปน ดวยแผนภาพตนไม เมอ P แทน พระอาทตยขนทางทศตะวนออก Q แทน 2+3 = 9

1. ( P Q ) P

2. ( P Q ) ( P Q )

3. ( P Q ) ( P Q )

4. ( P Q ) ( P Q )

5. ( P Q ) ( P Q )

6. [ ( P Q ) P ] Q

7. [ ( P Q ) ( P Q ) ]

8. ( P Q ) ( P Q )

สรปคาความจรงสน ๆ ไดวา P

เปนจรง Q เปนเทจ

T F

T

T

F

F

ตอบ ( P Q ) P เปนเทจ

41

ในกรณทไมทราบคาความจรงของประพจนเดยวทประกอบกนอยในประพจนเชงซอนนน ๆ เราอาจแสดงคาความจรงในทกกรณทเปนไปได ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง 2.22 แสดงการสรางตารางคาความจรงของประพจนทก าหนดให

ตารางคาความจรงของ (P Q) P P Q P Q (P Q) P T T T T T F T T F T T F F F F T

ตารางคาความจรงของ (P Q) P P Q P Q (P Q) P T T T …..…………... T F F ……………….. F T F ……………… F F F ………………

ตารางคาความจรงของ P (P Q) P Q P P Q P (P Q)

T T F ….. …..….. T F F ….. …..….. F T T ….. …..….. F F T ….. …..…..

ตารางคาความจรงของ P (P Q) P Q P P Q P (P Q) T T F ….. …..….. T F F ….. …..….. F T T ….. …..….. F F T ….. …..…..

42

แบบฝกหดท 2.2 1. จงตรวจสอบวาขอความตอไปน เปนประพจนหรอไม เพราะอะไร

1. โปรดชวยกนรกษาความสะอาด ………………………………………………. 2. 2 + 7 = 4 + 5 ………………………………………………. 3. ท าไมสนคาราคาแพงขน ………………………………………………. 4. 12 เปนจ านวนเตม ………………………………………………. 5. –2 > –10 ………………………………………………. 6. พระอาทตยขนทางทศตะวนตก ………………………………………………. 7. x + 15 = 20 ……………………………………………….

2. ให A แทน 5+2 = 13 B แทน 27 = 14 C แทน 15 เปนจ านวนนบ จงเปลยนสญลกษณตอไปนเปนประโยคขอความ

1. A B ……………………………………….…………………………….

2. A B ……………………………………….…………………………….

3. (A B) ……………………………………….…………………………….

4. (A B) C ……………………………………….…………………………….

5. B C ……………………………………….…………………………….

6. A C ……………………………………….…………………………….

7. A C ……………………………………….…………………………….

8. (A B) (A C)

……………………………………….…………………………….

3. ถา P มคาความจรงเปนจรง Q มคาความจรงเปนเทจ R และ S มคาความจรงเปนจรง จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน

1. (P) R

2. P (Q R )

43

3. (R S ) P 4. ( P Q ) R

5. ( P Q ) (R S ) 6. ( P Q ) (R S )

4. จงสรางตารางคาความจรงของประพจนตอไปน

1. (P Q) (P Q) 2. (P Q) (P Q) 3. P (Q P) 4. [ (P Q) P ] Q ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

P เปน จรง , Q เปนเทจ, R และ S เปนจรง

44

บทท 3 เมทรกซ

ถงแมวาเราจะอาศยอยบนโลกทสลบซบซอนซงประกอบดวยสงตาง ๆ มากมาย แตอยางไรกตาม ทรพยากรทมอยางจ ากดท าใหมการแขงขนแยงชง และปจจยทส าคญทท าใหเราสามารถแขงขนกบผอนไดคอ ขอมลขาวสาร แตถงแมเราจะมขอมลขาวสารเปนจ านวนมาก แตกอาจจะไมมประโยชนเลย ถาขอมลนนไมไดผานการวเคราะห ไมสอดคลองกบความตองการ และสลบซบซอนท าใหยากตอการเขาใจและการวเคราะห ดงนนจงจ าเปนตองมการจดขอมลใหเปนระเบยบ โดยอาศยตวแบบทางคณตศาสตร และตวแบบทางคณตศาสตรทสามารถน าไปประยกตใชไดเปนอยางดตวแบบหนงคอ เมทรกซ (metrix) ซงมแนวคดพนฐานเกยวกบเมทรกซ ดงตอไปน

3.1 แนวคดพนฐานเกยวกบเมทรกซและประโยชน ในการเกบรวบรวมขอมลโดยทว ๆ เชน พนกงานของหางสรรพสนคาแหงหนงไดส ารวจปรมาณ ของเสอยหอหนงทมอย โดยแยกตามลกษณะของประเภทเสอ และขนาดและไดขอมลดงตอไปน เสอยดคอกลม ขนาด เบอร S จ านวน 50 ตว เบอร M จ านวน 62 ตว เบอร L จ านวน 23 ตว และ เบอร XL จ านวน 12 ตว เสอยดคอกลม ขนาด เบอร S จ านวน 38 ตว เบอร M จ านวน 22 ตว เบอร L จ านวน 43 ตว และ เบอร XL จ านวน 52 ตว เสอเชตแขนยาว ขนาด เบอร S จ านวน 35 ตว เบอร M จ านวน 27 ตว เบอร L จ านวน 48 ตว และ เบอร XL จ านวน 46 ตว เสอเชตแขนสน ขนาด เบอร S จ านวน 24 ตว เบอร M จ านวน 17 ตว เบอร L จ านวน 16 ตว และ เบอร XL จ านวน 5 ตว จะเหนวาการรายงานขอมลในรปแบบน ถาจ าเปนตองใชขอมลอยางเรวคงจะไมงายเพราะจะตองอานทละยอหนา ดงนนสามารถจดรปแบบการรายงานขอมลใหมดงน

45

ขนาดเสอ ชนดของเสอ

เสอยดคอกลม เสอยดคอปก เสอเชตแขนยาว เสอเชตแขนยาว S 50 62 23 12 M 38 22 43 52 L 35 27 48 46

XL 24 17 16 5

ซงมรปแบบสอดคลองกบรปแบบของเมทรกซในคณตศาสตรคอ

5161724

46482735

52432238

12236250

โดยแตละแถว (row) จะแทนขนาดของเสอ คอ S, M, L และ XL ตามล าดบ โดยแตละหลก

(column) จะแทนชนดของเสอ คอ เสอยดคอกลม เสอยดคอปก เสอเชตแขนยาว และเสอเชตแขนสน ตามล าดบ ส าหรบการศกษาเมทรกซในวชาคณตศาสตร เบองตนจ าเปนตองศกษาท าความเขาใจในรปแบบทางคณตศาสตร และมตวอยางทประยกตทสอดคลองกบชวตประจ าวน(ถาม) ควบคกนไป แตบางครงไมสามารถหาตวอยางจรงไดเพราะคณตศาสตรบางสาขาจะมเนอหาคอนขางทเปนนามธรรมยงไมสามารถประยกตในชวตประจ าวนในปจจบนได แตอาจสามารไชไดในอนาคต เชนทฤษฎหลายทฤษฎของไอสไตนกวาจะน ามาประยกตใชไดตองใชเวลานานอกหลายป แตทไดประโยชนทนทในการเรยนคณตศาสตรกคอไดพฒนากระบวนการคดทดและมประสทธภาพมาก ๆ อยางหนง

โดยนยามลกษณะของเมทรกซดงน บทนยาม 3.1.1 เมทรกซ คอการจดกลมของจ านวนชดหนงใหเปนแถวตามแนวนอน และเปนหลกตามแนวตงในรป

46

A =

mnm2m1

2n2221

1n1211

aaa

aaa

aaa

โดย aij เปนสมาชกของเมทรกซ A ต าแหนงแถวท i หลกท j และเมทรกซ A มขนาด (order) mn หรอแทนดวยสญลกษณ A=[aij]mXn

จากบทนยาม 3.1.1 จะเหนวาในคณตศาสตรการจดกลมของขอมลใหเปนระเบยบเปนแถวเปนหลกทว ๆ ไปในรปเมทรกซนน สนใจเฉพาะขอมลทเปนจ านวนเนองจากสามารถน าไปวเคราะหตอไดโดย ศกษาการด าเนนการตาง ๆ และทส าคญคอ เปนการปพนฐานใหเกดความเขาใจในแนวคดเกยวกบปรภมเวกเตอร (vector space) เพอใหเขาใจในโครงสรางทางคณตศาสตร ซงเปนสงจ าเปนอยางยง เพราะสงส าคญทสดของการศกษาไมวาจะเปนศาสตรใด ๆ กตามตองเขาใจถงรากฐานขององคความรอยางแทจรง อนจะน าไปสการพฒนาท าใหเกดองคความรใหมไดอยางไมจบสน ตวอยาง 3.1.1 แสดงตวอยางเมทรกซขนาดตาง ๆ และสมาชก A = [5 6] จะไดวา A มขนาด 12 โดย a11 = 5 และ a12 = 6

B =

3

5

2

จะไดวา A มขนาด 31 โดย a11 = 2 a21 = 5 และ a31 = –3

C =

7036

321

102

.

จะไดวา C มขนาด 33 โดย a11 = 2 a12 = 0 a13 = 1 a21 = 1

A22 = 2 a23 = 3 a31 = 6 a32 = 3 และ a33 = 0.7

47

จากตวอยาง 3.1.1 จะเหนวา A เปนเมทรกซทมแถวเดยวซงเรยกวา เมทรกซแถว (row matrix) หรอ เวกเตอรแถว (row vector) สวน B เปนเมทรกซทมหลกเดยวซงเรยกวา เมทรกซหลก (column matrix) หรอ เวกเตอรหลก (column vector) สวน C เปนเมทรกซทมจ านวนแถวกบหลกเทากนซงเรยกวาเมทรกซจตรส (square matrix)

นอกจากการเรยกชอเมทรกซตาง ๆ กนตามขนาดแลวยงเรยกชอเมทรกซในลกษณะอน ๆ อกซงสรปไดดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 3.1.2 เมทรกซศนย (zero matrix) คอเมทรกซซงสมาชกทกตวเปนศนย ตวอยาง 1.1.2 แสดงเมทรกซศนย

A =

00

00 B =

000

000

000

C =

00

00

00

จะไดวา A, B และ C เปนเมทรกซศนย แตมขนาดตางกน และให O = [0ij] แทนเมทรกซศนย

บทนยาม 3.1.3 เมทรกซจตรส ( square matrix) คอ เมทรกซซงจ านวนแถวและหลกเทากน ตวอยาง 3.1.3 แสดงเมทรกซจตรส

A =

31

40 B =

566

321

172

C = [5]

จากตวอยาง 3.1.3 ถงแมวา C จะมเพยง 1 แถว 1 หลก แตกถอวาเปนเมทรกซจตรสตามบทนยาม แตในการศกษาเมทรกซเรามกจะไมศกษาเมทรกซทมขนาด 11 เนองจากมสมบตทางพชคณตเชนเดยวกบระบบของจ านวนจรง จากการพจารณาลกษณะของเมทรกซจตรสขนาด nn (หรออาจเขยนเมทรกซจตรสขนาด n กไดเนองจากมจ านวนแถวกบจ านวนหลกเทากน) จะมเสนทแยงมมหลก (main diagonal) จากมมบนซายสดมายงมมลางขวาสดจากตวอยางไดวาจ านวนทอย

48

ในเสนทแยงมมหลกของเมทรกซ A คอ 0 และ 3 และจ านวนเสนทแยงมมหลกของเมทรกซ B คอ 2, 2 และ 5 ในกรณทวไปจะไดวา ถา A = [aij] nn เปนเมทรกซมขนาด nn เสนทแยงมมหลกคอ a11, a22, …, ann และเมอพจารณาเมทรกซจตรสจากเสนทแยงมมหลก จะไดวาเมทรกซจตรสทมสมาชกเหนอเสนทแยงมมทงหมดเปน 0 จะเรยกวา เมทรกซเชงสามเหลยมบน(upper triangular matrix) สวนเมทรกซจตรสทมสมาชกใตเสนทแยงมมทงหมดเปน 0 เราเรยกวาเมทรกซเชงสามเหลยมลาง (lower triangular matrix) ซงนยามในรปทวไปตามต าแหนงแถวหลกดงบทนยามตอไปน บทนยาม 3.1.4 ให A = [aij] เปนเมทรกซจตรสขนาด n 1. เรยกเมทรกซ A วาเมทรกซเชงสามเหลยมบน กตอเมอ aij = 0 ส าหรบทก i, j ซง i j

2. เรยกเมทรกซ A วาเมทรกซเชงสามเหลยมลาง กตอเมอ aij = 0 ส าหรบทก i, j ซง i j 3. เรยกเมทรกซ A วาเมทรกซเชงสามเหลยม (triangular matrix) กตอเมอ A เปนเมทรกซเชงสามเหลยมบน หรอเมทรกซเชงสามเหลยมลาง จากบทนยาม ยกตวอยางประกอบไดดงตวอยางตอไปน ตวอยาง 3.1.4 แสดงตวอยาง เมทรกซเชงสามเหลยม

เมทรกซ

50

12,

600

120

953

,

4300

2400

5170

6892

เปนเมทรกซเชงสามเหลยมบน

เมทรกซ

53

02,

653

020

003

,

4373

0408

0075

0002

เปนเมทรกซเชงสามเหลยมลาง

สงทจ าเปนตองพจารณาในเรองของเมทรกซเปนล าดบแรก คอการเทากนของเมทรกซ

49

เนองจาก ในการศกษาเกยวกบเมทรกซไมวาหวขอใดกตามตองมความสมพนธคอ การเทากนอยเสมอโดยการเทากนของเมทรกซจะพจารณาจาก ขนาดของเมทรกซ และสมาชกของเมทรกซ ในต าแหนงเดยวกนวาเทากนหรอไมดงบทนยามตอไปน บทนยาม 3.1.5 ก าหนดให A = [aij]mn และ B = [bij]pq เมทรกซ A เทากบ B (A = B)กตอเมอ เมทรกซ A และ B มขนาดเทากน [aij]mn และ B = [bij]pq และสมาชกของเมทรกซ ในต าแหนงเดยวกนเทากน นนคอ m = p และ n = q และaij = bij เมอ i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …n

จากบทนยาม 3.1.5 ยกตวอยางประกอบไดดงตวอยางตอไปน ตวอยาง 3.1.5 แสดงการเทากนของเมทรกซ

ก าหนด A =

1543

4902 B =

15b3

49ax C =

15

84 D =

75

84

จะเหนวา A = B กตอเมอ x = 2, a = 0 และ b = 4 สวน C D เนองจากม สมาชกแถว 2 หลก 2 ไมเทากน คอ 1 7

ตวอยาง 3.1.6 แสดงการเทากนของเมทรกซ

ก าหนด A =

wy

x

21

2215 B =

2x2yed

cbax จงหาคา a b c d e w x y

(ท าปนแบบฝกหด) ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................

50

3.2 การด าเนนการบนเมทรกซ เนองจากเมทรกซทศกษาในระบบคณตศาสตรเปนเมทรกซทมสวนประกอบเปนจ านวน

จรง ดงนนจงมการด าเนนการ (operations) บนเมทรกซ เชนเดยวกบการด าเนนการบนจ านวนจรง คอ การบวก และการคณ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.2.1 ครอบครวหนงมอาชพเกษตรกรไดแบงทดนไหลกชาย สองคนท านา และเกบบนทกขอมลผลผลตดงน พนธขาว ผลผลตคนท 1 (ถง) ผลผลตคนท 2 (ถง)

นาป นาปรง นาป นาปรง หอมมะล ขาวตาแหง

500 550

400 470

550 580

420 500

สามารถเขยนเปนเมทรกซของผลผลตของทงสองคนไดดงน

470550

400500 และ

500580

420550

สามารถหาผลรวมของผลผลตคอ

470550

400500 +

500580

420550 =

500470580550

420400550500 =

9701130

8201050

นนคอ ผลผลตรวมดงน พนธขาว ผลผลตรวม (ถง)

นาป นาปรง หอมมะล ขาวตาแหง

1050 1130

820 970

และถาราคาขาวนาป และนาปรงเฉลยถงละ 150 บาท 170 บาทจะขายขาวแตละชนดไดกบาท เขยนในรปตารางไดดงน

51

ชวงเวลาเพาะปลก ราคาถงละ(บาท) นาป นาปรง

150 170

สามารถเขยนเมทรกซแทนราคาขาวดงน

170

150 และใชการคณ เมทรกซดงน

9701130

8201050

170

150 =

)170970()1501130(

)170820()1501050( =

334400

297900

ดงนนสรปไดเงนดงตารางตอไปน

ชวงเวลาเพาะปลก ไดเงน(บาท) นาป นาปรง

297900 334400

เราก าหนดนยามการด าเนนการของเมทรกซดงน บทนยาม 3.2.1 ก าหนดให A = [aij]mn และ B = [bij]mn ผลบวกของ A และ B ซงเขยนแทนดวย A + B ซง A + B = C = [cij]mn โดยท cij= aij + bij ส าหรบทก i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …n จากบทนยาม 1.2.1 ยกตวอยางประกอบไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.2.2 ก าหนด A =

1543

4902 B =

4972

1063 C =

15

84 และ

D =

73

52 จงหา A + B , C + D และ A + C ถาสามารถท าได

วธท า A + B =

41957423

14096032=

514115

5965

C + D =

7135

5824=

88

136

52

ตวอยาง 3.2.3 (ท าปนแบบฝกหด)ก าหนด A =

zyxw

dcba B =

4972

1063

C =

64

15 และ D =

73

52 จงหา A + B , C + D

วธท า A + B = ………………………………………………………………… C + D = ……………………………………………………………..

การด าเนนการคณเมทรกซจะมการด าเนนการระหวาง เมทรกซกบจ านวนจรง และระหวางเมทรกซกบเมทรกซ ดงบทนยามตอไปน บทนยาม 3.2.2 ก าหนดให A = [aij]mn และ c เปนจ านวนจรงใด ๆ จะไดวา cA = [caij]mn ส าหรบแตละ i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …n จากบทนยาม 1.2.2 เปนการระหวาง เมทรกซกบจ านวนจรงยกตวอยางประกอบไดดงตวอยางตอไปน


1543

4902 จงหา 3A และ –1A

วธท า 3A =

13534333

43930323 =

315129

122706

53

-1A=

11514131

41910121

=

315129

122706

จากตวอยาง 3.2.4 เราเขยน -1A ดวย –A ดงนนจากบทนยามการบวกของเมทรกซ และการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง จะไดวาเมทรกซ A – B คอ A + (-1)B นนเอง ดงนนเพอความสดวกเราสามารถหาผลลบของเมทรกซในท านองเดยวกนกนการหาผลลบของจ านวนจรงไดเลย เชน ตวอยางตอไปน


1543

4902 และ B =

1021

1501 จงหา A - B

วธท า A - B =

11152413

14590012 =

0422

3401

สวนการด าเนนการคณระหวางเมทรกซกบเมทรกซ นยาม ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 3.2.3 ก าหนดให A = [aij]mn และ B = [bij]np ผลคณของ A และ B ซงเขยนแทนดวย

AB โดย AB = C = [cij]mp โดยท cij =

n

1kaikbkj = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj ส าหรบแตละ i = 1, 2,

3, …, m และ j = 1, 2, 3, …n พจารณาจากบทนยาม จะเหนวาสามารถหาคา AB ไดกตอเมอ จ านวนหลกของเมทรกซ A ตองเทากบ จ านวนแถวของเมทรกซ B พจารณาในรปตารางจะไดสมาชกของผลคณ

54

mnm2m1

ini2i1

2n2221

1n1211

aaa

aaa

aaa

aaa

npnjn2n1

2p2j2221

1p1j1211

bbbb

bbbb

bbbb

=

mpmjm2m1

ipiji2i1

2p2j2221

1p1j1211

cccc

cccc

cccc

cccc

จะเหนวา สมาชกแถวท i ของตวตง กระท ากบสมาชกหลกท j ของตวคณ จะไดสมาชกแถวท i หลกท j คอ cij ในเมทรกซของผลคณ ยกตวอยางประกอบดงน

ตวอยาง 3.2.6 ให A=

310

542 B =

73

52

41

C =

34

21จงหา AB , AC

วธท า โดยบทนยามการคณจะไดวา

AB =

)7(3)5(1)4(0)3(3)2(11)(0

)7(5)5(4)4(2)3(5)2(41)(2

=

2611

6325

สวน AC ไมสามารถหาได เนองจากจ านวนหลกของ A ไมเทากบจ านวนแถวของ C

55

ตวอยาง 3.2.7(ท าเปนแบบฝกหด)

ให A=

310

542 B =

73

52

41

C =

3

2

1

D=

73

52 และ E= 5

จงหา AB , AC , BD และ CE วธท า โดยบทนยามการคณจะไดวา …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

56

นอกจากเมทรกซจะมการด าเนนการเชนเดยวกบการด าเนนการบนจ านวนจรงแลว ยงมการการด าเนนการโดยการสลบแถวเปนหลก ดงบทนยามตอไปน บทนยาม 3.2.4 ก าหนดให A = [aij]mn เมทรกซสลบเปลยน (transpose of matrix) ของ A เขยนแทนดวย AT คอเมทรกซทไดจากการสลบทกนระหวางแถวกบหลกโดยแถวท i ของ A จะเปนหลกท i ของ A นนคอ AT = [bij]nm ซง bij = aji ส าหรบทกคาของ i และ j จากบทนยาม 1.2.4 ยกตวอยางประกอบไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.2.8 ให A = [ 1 5 3 9 ] B =

6020

4371 C =

73

34

D =

436

375

652

E =

036

305

650

จงหา AT, BT, CT และ DT

วธท า โดยนยาม3.2.4 จะได AT =

9

3

5

1

และ BT =

64

03

27

01

CT =

73

34

DT =

436

375

652

และ ET =

036

305

650

จากตวอยาง จะเหนวา CT = C และ DT = D ซงเราเรยกเมทรกซทมสมบตแบบนวาเมทรกซสมมาตร (symetric matrix) ซงมรปแบบเหมอนกบการสมมาตรของรปสเหลยมจตรส โดยมการด าเนนการคอการพลก และมเสนทแยงมมเปนแกนสมมาตร สวนการสลบเปลยนของเมทรกซ E จะเหนวา ET = -E ซงเราเรยกเมทรกซทมสมบตแบบนวาเมทรกซเสมอนสมมาตร (skew symetric matrix)

57

ตวอยาง 3.2.8 (ท าเปนแบบฝกหด) ให A = [ 1 5 3 9 ] B =

6020

4371 C =

73

34

D =

436

375

652

E =

036

305

650

จงหา AT BT CT DT ET

วธท า โดยนยาม ……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………..

3.3 สมบตทางพชคณตของการด าเนนการบนเมทรกซ เนองจากมการด าเนนการบนเมทรกซในลกษณะเดยวกบการด าเนนการบนจ านวนจรง ดง

นนสงทนาสนใจคอ การการด าเนนการบนเมทรกซดงทกลาวมาแลว มสมบตเชนเดยวกบการด าเนนการบนจ านวนจรงหรอไม ไมวาจะเปนสมบตการเปลยนหม สมบตการสลบท สมบตการมเอกลกษณ สมบตการมตวผกผน ซงสมบตตาง ๆ เหลานใหนกศกษาฝกท าจากตวอยางประกอบสวนทฤษฎและการพสจนจะไมแสดงใวในทน ผสนใจการพสจนสามารถศกษาไดจาก หนงสอพชคณเชงเสน

58

ตวอยาง 3.3.1 ให A =

345

412 และ B =

872

340

จงตรวจสอบวา A + B เทากบ B + A หรอไม วธท า A + B =.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ................................................................................................................................... B + A = .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ดงนน A + B = B + A

จากตวอยาง 3.3.1 จะเหนวาการด าเนนการบวกของเมรกซมสมบตการสลบท ส าหรบสมบตสลบทการคณของเมทรกซ พจารณาตวอยางตอไปน เพอตรวจสอบวาการคณของเมทรกซมสมบตการสลบทหรอไม


41

32 B =

64

53 และ C =

872

340

จงตรวจสอบวา AB = BA และ AC = CA หรอไม วธท า โดยบทนยามการคณจะไดวา AB = .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ................................................................................................................................... BA = .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ...................................................................................................................................

พจารณา AC สามารถหาคาได แต CA ไมสามารถหาคาได ดงนน AC CA

59

จากตวอยาง จะเหนวาการคณของเมทรกซไมมสมบตการสลบท ในการพจารณาสมบตการเปลยนหมของการบวกเมทรกซพจารณาตวอยางตอไปน


345

412 B =

872

340 และ C =

125

930

จงตรวจสอบวา (A + B) + C เทากบ A + (B + C) หรอไม

วธท า พจารณา (A + B) + C = .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ................................................................................................................................... พจารณา A + (B + C) = ....................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................ ...................................................................................................................

ดงนน (A + B) + C = A + (B + C)

จากตวอยาง จะเหนวาการด าเนนการบวกของเมรกซมสมบตการเปลยนหม ซงสามารถพสจนในกรณทว ๆ ไป ส าหรบสมบตการเปลยนกลมการคณ พจารณาตวอยางตอไปน


345

412 B =

7

5

3

และ C = [ 5 9 8 7 ]

จงตรวจสอบวา (A B)C เทากบ A(BC) หรอไม วธท า พจารณา (AB)C =.......................................................................

60

..................................................................................................................

..................................................................................................................

.........................................................................................................................

.......................................................................................................................

......................................................................................................................

.................................................................................................................................

...........................................................................................................................

ดงนน (AB)C = A(BC)

จากตวอยาง จะเหนวาการด าเนนการคณเมทรกซมสมบตการเปลยนหม ซงสามารถพสจนในกรณทว ๆ ไป

ตอไปจะพจารณาสมบตการแจกแจงโดยพจารณาตวอยางตอไปน


345

412 B =

03

52

41

และ C =

14

69

06

จงตรวจสอบวา

A(B + C) เทากบ AB + AC หรอไม

วธท า ……………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………

ส าหรบเอกลกษณ การบวกและการคณเมทรกซจะพจารณาเฉพาะเมทรกซจตรส ขนาด 22 และ 33 เพอเปนพนฐานการศกษาในรปทวๆ ไป จะเหนไดชดเจนวาในเมทรกซขนาด

22 และ 33 มเมทรกซ

00

00 และ

000

000

000

ตามล าดบ เปนเอกลกษณ การบวก

แสดงไดดงน.................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ........................................................................................................................................

61

และเมทรกซขนาด 22 และ 33 มเมทรกซ

10

01 และ

100

010

001

ตามล าดบ เปน

เอกลกษณ การบวก แสดงไดดงน.................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ส าหรบตวผกผนการบวกและการคณพจารณาเชนเดยวกบจ านวนจรง เชน

43

21 และ

43

21 เปนตวผกผนการบวกซงกนและกน

เพราะ.................................................................................... ........................................................................................... ......................................................................................... สวนการหาตวผกผนการคณในเบองตนใชทกษะการแกสมการ

เชนให

dc

ba เปนตวผกผนของ

43

21 จะไดวา

dc

ba

43

21 =

10

01 (เอกลกษณการ

คณเมทรกซขนาด 22) สามารถหาคา a b c และd ดงน ....................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ....................................................................................................................................

ในเมทรกซขนาด 33 กท าไดท านองเดยวกน เชนสามารถหาตวผกผนการคณของ

110

012

021

ไดดงน......................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................

62

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................ สงนาสนใจส าหรบตวผกผนการคณกคอเมทรกซจตรสแตละเมทรกจ าเปนตองมตวผกผนการคณหรอไม (ท าเปนแบบฝกหด) ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................

3.4 ตวก ำหนด(determinant)

ในการศกษาวาเมทรกซจตรสใดวามตวผกผนหรอไม โดยหาตวผกผนจากการแกสมการ ส าหรบในบทนจะศกษาเงอนไขโดยอาศยตวก าหนด (determinant)ของเมทรกซ ซงเปนฟงกชนจากเซตของเมทรกซจตรสไปยงเซตของจ านวนจรงโดยอาศยวธการเรยงสบเปลยนในการนยามฟงกชนดงกลาว ดงไปน

เมอกลาวถงวธเรยงสบเปลยน (permutation) ในความหมายทว ๆ ไป เชอวาคนสวนใหญคงรจกการเรยงสบเปลยนเปนอยางด เพราะในชวตประจ าวนแตละวนมกจะมกจกรรมทเกยวของกบการเรยงสบเปลยนเสมอ เชน เลขทาย 3 ตวของการออกรางวลของสลากกนแบงรฐบาล หรอการสลบต าแหนงของสงตาง ๆ เชน ใหคน 3 คน คอ นายแดง นายด า นายขาว เขาแถวเรยงกน อาจจะเรยงล าดบไดดงน

ล าดบท 1 ล าดบท 2 ล าดบท 3 นายแดง นายด า นายขาว นายแดง นายขาว นายด า

63

นายด า นายแดง นายขาว นายด า นายขาว นายแดง นายขาว นายแดง นายด า นายขาว นายด า นายแดง ซงรปแบบดงกลาวสอดคลองกบรปแบบของฟงกชน แตในทนจะน ามาใชเพยงการหาคา

ตวก าหนดโดยตรงโดพพจาณาจากการเรยงสบเปลยนต าแหนงทเปนคอลมนของเมทรกซ เชน

เมทรกซ 22 การเรยงสบเปลยนคอ 12 และ 21 สอดคลองคาตวก าหนดคอ a11a22- a12a21

เมทรกซ 33 การเรยงสบเปลยนคอ 123 132 213 231 312 และ 321 สอดคลองคาตวก าหนดคอ a11a22a33- a11a23a32- a12a21a33+ a12a23a31 +a13a21a32 -a13a22a31 ตอไปนจะใชสญลกษณ det A หรอ det ija หรอ ija แทนตวก าหนดของเมทรกซ A

และคา det

43

21 =……………………………………………

det

63

21 =……………………………………………

det

110

012

021

=……………………………………………….

det

210

022

011

=……………………………………………….

และทดลองหาตวผกผนของ

63

21 ดงน

.........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

......................................................................................................................................

64

และทดลองหาตวผกผนของ

210

022

011

ไดดงน

...................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

สรปไดวา..................................................................................................................................

แบบฝกหดเสรมทกษะ

ก าหนด A=

210

022

011

B=

63

21 C=

63

21 D=

210

022

011

และ E=

0

3

0

1

4

5

7

0

1

6

1

2

จงหาคา B+C ……………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………. Et ………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………. AB ………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………. AE ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….

65

A-1(ตวผกผนการคณของA) ………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………. B-1 ………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….

66

บทท 4

แนวคดพนฐานของแคลคลส

ในบทเรยนนเสนอแนวคดพนฐานของอนพนธในความหมายของลมตของเสนโคง การค านวณอนพนธโดยใชสตร และการน าอนพนธไปใชแกปญหาทเกยวของ อนพนธมความส าคญมากในแคลคลสซงน าไปใชอยางกวางขวางในทางวทยาศาสตร วศวกรรมศาสตร เศรษฐศาสตร สถตและคอมพวเตอร

4.1 อตราการเปลยนแปลง การเปลยนแปลงนนเกดขนอยตลอดเวลา เชน การเจรญเตบโตของสงมชวตในแตละวน

การเปลยนแปลงจ านวนสนคาทซอเมอราคาเปลยนไป การเปลยนแปลงของก าไรทไดรบเมอตน ทนการผลตเพมขนหรอลดลง ซงเปนการเปลยนแปลงทเกดขนของตวแปรสองตว

4.1.1 อตราการเปลยนแปลงเฉลยและอตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ บทนยาม 4.1.1 ส าหรบฟงกชน y = f(x) ใดๆ เมอ x1เปลยนเปน x2 โดยท x1 x2 ท าใหคาของ y เปลยน จาก f(x1) เปน f(x2) แลวอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ yเทยบกบ x ในชวง x1ถง x2คอ

12

12 )()(

xx

xfxf

ตวอยางท 4.1.1 ก าหนดให y = 3x2+ 4 จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x เมอ

1. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 3 2. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 5

วธท า 1. อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x เมอ x เปลยนจาก 2 เปน 3 คอ

12

12xx

)x(f)x(f

=

23)2(f)3(f

67

= 1

]4)2(3[]4)3(3[ 22

= 31-16 = 15 2. อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x เมอ x เปลยนจาก 2 เปน 5 คอ (ท าเอง) …..…………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. ตวอยางท 4.1.2โรงงานผลตคอมพวเตอรมตนทนในการผลตสนคา xจ านวนเครองทผลต ดงน

C(x) = 20 + 3x + x2 จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของตนทนเทยบกบจ านวนเครองทผลตเมอเปลยนการผลตจาก 100 หนวย เปน 200 หนวย

วธท า อตราการเปลยนแปลงเฉลยของตนทน C(x) เทยบกบจ านวนเครองทผลตจาก 100หนวย เปน 200 หนวยคอ

12

12xx

)x(C)x(C

= ………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………..

ตวอยางท 4.1.3 ก าหนดให y = 4x2+ 6จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x เมอ

1. x เปลยนจาก 3 ไปเปน 5 2. x เปลยนจาก 4 ไปเปน 7

วธท า (แบบฝกหด)

68

บทนยามท 4.1.2 ส าหรบฟงกชนy = f(x) ใดๆ เมอx เปลยนเปน x+ h โดยท h 0 ท าใหคาของyเปลยนจาก f(x) เปน f(x+h) แลวอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ xขณะใดๆ คอ

h)x(f)hx(f

0hlim

เมอลมตมคา

ตวอยางท 4.1.4 ก าหนดให y = f(x)= 3x2+3x+1

1. อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะใด ๆ 2. อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x = 2

วธท า 1. อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะใด ๆคอ

ดงนน อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะใด ๆ คอ 6x+3

2. จากขอ 1. เราไดอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะใด ๆคอ 6x+3 ดงนน อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x เมอ x = 2 คอ 6(2)+3 = 15

69

ตวอยางท 3.1.5 โรงงานผลตสนคาผลตภณฑหนงมตนทนในการผลตสนคา x หนวย ดงน C(x) = 40 + 3x + x2

จงหาอตราการเปลยนแปลงของตนทนเทยบกบจ านวนหนวยทผลตขณะทมปรมาณการผลต 130 หนวย

วธท าอตราการเปลยนแปลงของตนทนเทยบกบจ านวนหนวยทผลตขณะทมปรมาณการผลต 130 หนวยคอ

h)x(C)hx(C

0hlim

= ……………………………………………………………

= …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… ดงนน อตราการเปลยนแปลงของตนทนเทยบกบจ านวนหนวยทผลตขณะปรมาณการผลต X มคาเปน 130 หนวยคอ ……………..บาท/ หนวย ตวอยางท 4.1.6 ให C (x) เปนตนทนการผลตสนคาชนดหนงปรมาณ x หนวย โดยมสมการคอ C(x) = 100 – 2x + x2 จงหา

1. อตราการเปลยนแปลงของตนทนเทยบกบจ านวนหนวยทผลตขณะใด ๆ 2. อตราการเปลยนแปลงของตนทนขณะผลตสนคาชนดนได 24 หนวย

วธท า (แบบฝกหด)

70

4.1.2 ความเรว การเปลยนแปลงในการเคลอนทของวตถ ไมวาจะเปนความเรวของรถยนต รถไฟฟา

เครองบน เรอยนต และความเรวของการเคลอนทอนๆ

เชน สมมตวารถไฟฟาขบวนหนงเคลอนทไดระยะทาง S เมตร โดยมความสมพนธกบเวลา t วนาท ทใชในการเคลอนทดงสมการตอไปน S(t) = t2 – t + 6 จากสมการ ท าใหทราบระยะทางทรถไฟฟาเคลอนทไดเมอเวลาผานไป t วนาท ดงน

เมอ t = 1 วนาท รถไฟฟาเคลอนทได S(1) = 12 – 1 + 6 = 6เมตร เมอ t = 2 วนาท รถไฟฟาเคลอนทได S(2) = 22 – 2 + 6 = 8เมตร t = … แตถาเราตองการทราบ ความเรวเฉลยของรถไฟฟา ค านวณไดจากสตร

ความเรวเฉลย = อนทในการเคลเวลาทใช

อนทไดวตถเคลระยะทางท หรอ V =

tS

เชน

ความเรวเฉลยจากเวลา t = 2 ถง t = 3 คอ 23

)2(S)3(S

= 12 8

1

= 4เมตร/วนาท

ความเรวเฉลยจากเวลา t = 2 ถง t = 2.5 คอ 25.2

)2(S)5.2(S

= 9.75 8

0.5

= 3.5 เมตร/วนาท

ความเรวขณะ เวลาtใด ๆ คอ v(t) เมอ

v(t) = h)t(S)ht(S

0hlim


จะเหนไดวาความเรวขณะเวลาใดๆ ของวตถกคออตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ ของฟงกชนระยะทางเทยบกบเวลา

71

ตวอยางท 4.1.7 วตถเคลอนทในแนวเสนตรงดงสมการ S(t) = t2 - 6t + 10 เมอ S เปนระยะทาง (เมตร) และ t เปนเวลา (วนาท)

1. จงหาความเรว (v) ของวตถ ณ เวลา t ใดๆ 2. จงหาระยะทางทวตถเคลอนทไดทงหมด

วธท า 1. ความเรวของวตถ ณ เวลา t ใด ๆ คอ

v(t) = h)t(S)ht(S

0hlim

= ……………………………………………………………

= …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

ดงนน ความเรวของวตถ ณ เวลาใดๆ คอ v(t)= ……………………..เมตร/วนาท

2. ระยะทางทวตถเคลอนทไดทงหมด นนคอ วตถหยดเคลอนทความเรวเทากบ 0 จะไดวา t = ………….

ดงนน ระยะทางทวตถเคลอนทไดทงหมด = S(2.5) = (2.5) 2 -6(2.5) + 10

= 1.25เมตร

ตวอยางท 4.1.8 วตถเคลอนทไดระยะทาง S เมตร ในเวลา t วนาท ดวยสมการการเคลอนทดงน S(t) = 18t2

1. ความเรวเฉลยจากเวลา t = 2 วนาท ถง t = 5 วนาท 2. ความเรวขณะเวลาt = 2 วนาท

วธท า (ท าเอง) .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

72

4.1.3 ความชนของเสนสมผสเสนโคง Y y = f(x) f(x+h)Q L f(x+h)-f(x) f(x) P X 0 x hx+h ความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จด P(x, f(x)) คอ

h)x(f)hx(f

0hlim


เราจะเรยกความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จดPวา ความชนของเสนโคง ณ จด P ตวอยางท 4.1.9 ก าหนดสมการเสนโคง คอ y = x2 - 8 จงหาสมการเสนสมผสเสนโคง ณ จด (4 , -8) วธท า ความชนของเสนสมผสเสนโคง y = x2 - 8 ณ จด (4 , -8) คอ

h)x(f)hx(f

0hlim

= ……………………………………………………………

= …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = …………………………………………………………… = ……………………………………………………………

73

ตวอยางท 4.1.10 ก าหนดสมการเสนโคง คอ y = x2 จงหาสมการเสนสมผสเสนโคง ณ จด (2 ,3) วธท า (ท าเอง)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

............................................................................................................................................ ...............................................................................................................................................

แบบฝกหด 4.1 1. วตถชนหนงเคลอนทไดระยะทาง S(t) ดวยสมการ s(t) = 5t2-20t+4

1.1 จงหาความเรวเฉลยใน 6 วนาทแรก 1.2 ให v(t) เปนความเรวขณะเวลา t ใด ๆ จงหา v(t) และ v(2)

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

74

2. จงหาความชนของเสนโคงตอไปนทจดทก าหนดให

2.1 y = x2-3x ; ณ จด (1, -2) 2.2 y = 3x

1 ; ณ จด (1, -1)

2.3 y = 2x3+8x+1 ; ณ จด (0, 1) .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. จงหาสมการเสนสมผสเสนโคงตอไปนทจดทก าหนดให

3.1 y = x3 - 3x ; ณ จด (1, -2) 3.2 y = x21

5

; ณ จด (0 ,5)

3.3 y = -2x 2 ; ณ จด (2, -8) .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

75

4.2 ความหมายของอนพนธ อนพนธ(Derivative) เปนการวดอตราการเปลยนแปลงทนทของฟงกชน ซงจะบอกใหทราบวาตวแปรตามเปลยนแปลงไปเทาไหร ถาตวแปรตนเปลยนแปลงไปเพยงเลกนอย บทนยาม 4.2.1 ให f เปนฟงกชนใด ๆ เราจะเรยก

ax)a(f)x(f

axlim


วา อนพนธของ f ท x=aและเขยนแทนดวย f / (a)หรอ

นนคอ f / (a) = ax)a(f)x(f

axlim


ถาก าหนดให h = x – aจะไดวา

ax)a(f)x(f

= h)a(f)ha(f

และขณะท x a จะไดวา h 0 ดงนนเมอลมตมคาจะไดวา

ax)a(f)x(f

axlim

= h

)a(f)ha(f

0hlim

จะไดวา

f / (a) = ax)a(f)x(f

axlim

= h

)a(f)ha(f

0hlim


และอนพนธของ f ท x ใดๆ คอ

f / (x) = h)x(f)hx(f

0hlim


สญลกษณทใชแทนอนพนธของf ท x ใดๆ มหลายสญลกษณดวยกน เชน

dx

)x(fd , f /(x) หรอ ถา y = f (x) เราอาจใชสญลกษณ y/ ,

dxdy

76

ตวอยางท 4.2.1 ก าหนดให f(x) = x2 + 2x + 3 จงหา f / (3)

วธท าf / (x) = h)x(f)hx(f

0hlim

= h]3)x(2x[]3)hx(2)hx[(

0h

22

lim

= hh2xh2h

0h

2

lim

= 2x2hlim0h

= 2x + 2 ดงนน f / (3) = 2(3) + 2 = 8 ตวอยางท 4.2.2 ก าหนดให f(x) = x2

1. จงหา f / (x) 2. จงหา f / (2)

วธท า (ท าเอง) .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

77

แบบฝกหด 4.2 จงหาอนพนธของฟงกชน

1 ก าหนดให f(x) = x + 3 จงหา f / (2) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2 ก าหนดให f(x) = 3x + 5จงหา f / (3) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3 ก าหนดให f(x) = x2+4จงหา f / (-1) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4 ก าหนดให f(x) = x2 + 5x - 7จงหา f / (2) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

78

4.3 กฎของการหาอนพนธ เนองจากเราไดหาอนพนธของฟงกชนโดยบทนยามแลว ตอไปนเปนทฤษฏบทเกยวกบอนพนธเพอน าไปใชในการหาอนพนธของฟงกใหรวดเรวขน ทฤษฏบท4.3.1 ก าหนดใหฟงกชน f และ g มอนพนธ ท x และ c เปนคาคงตวใดๆ จะไดวา กฎของฟงกชนคงตว (Constant Function Rule )

1. dxdc

= 0

กฎของฟงกชนยกก าลง (PowerFunction Rule )

2. 1-nn

nxdx

dx เมอ nเปนจ านวนตรรกยะ

3. dx

)x(fdc

dx

)x(cfd

กฎผลรวมและผลตาง (Sum-difference Rule)

4. dx

)x(dgdx

)x(dfdx

)]x(g)x(f[d

กฎผลคณ (Porduct Rule)

5. dx

)x(df)x(g

dx)x(dg

)x(fdx

)]x(g)x(f[d

กฎผลหาร (Quotient Rule)

6. 2)x(g)x(f

)x(gdx

)x(dg)x(f

dx)x(df

)x(g][

dxd

กฎส าหรบการยกก าลงของฟงกชน(Rule for the Power of Function)

7. dx

)x(dfn[f(x)]

dx)]x(f[d 1-n

n เมอ n เปนจ านวนตรรกยะ

79

ตวอยางท 4.3.1 จงหาอนพนธของฟงกชน 1. f(x) = 7x3 + 8x2 - 5 2. g(x) = (2x + 3 )5 3. h(x) = (3x+1)(2x2+ 5)

วธท า 1. f(x) = 7x3 + 8x2 - 5

dx

)x(fd=

dxd

)5x8x7( 23

= dx

xd7

3+

dx

xd8

2 -

dx

5d

= 7(3x2) + 8(2x) – 0 = 21 x2 + 16x

2. g(x) = (2x + 3 )5 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. h(x) = (3x+1)(2x2 + 5) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

80

ตวอยางท 4.3.2จงหา f /(0) เมอ f(x) = 5x

1x22

วธท า .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ตวอยางท 4.3.3ก าหนดให f(x) =x2 -4 x + 5 จงหาคา x ทท าให f /(x) = 0 วธท า

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

แบบฝกหด 4.3 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 1. y = x3 + x2 – x +1

2. y = 2x2 + x1

3. y = (x2+ 5x- 2)2(x-2)

4. y =

5. y = 7x3 2

6. y =

7. y = x512

8. y = (x3+ 2x +1)5

9. y =(2x2+3x-1)(3x-2)

10. y = 52x

1x

11. y = (x2+3x+1) ( + )

12. f(x) = x1

x

13. f(x) = (7x2 - x) - 1

81

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

82

8. กฏลกโซ (Chain Rule)

อนพนธของฟงกชน y = f(u) โดยท u = g(x) จะมคาเทากบอนพนธของฟงกชนท

หนงdudy

คณดวยอนพนธของฟงกชนทสอง dxdu

ซงเขยนเปนสญลกษณได ดงน

dxdu

dudy

dxdy

ตวอยาง 4.3.4 ก าหนดให y = u2 – 3u + 2 โดยท u = 2x + 5 จงหา dxdy

และ dxdy

1x

วธท า จากกฎลกโซจะไดวา

dxdu

dudy

dxdy

= du

)2u3u(d 2

dx

)5x2(d

= (2u – 3)(2) = 4u – 6 ( แทนคาu = 2x + 5) = 4(2x + 5) -6 = 8x + 20 – 6 = 8x + 14

ดงนนdxdy

1x = 8(1) + 14

= 22

83

ตวอยางท 4.3.5ตนทน C(x) (หนวยเปนลานบาท) ในการผลตสนคาชนดหนงจ านวน x หนวย ดงสมการ C(x) = 0.1x3 + 9เมอ x 0 โดยทจ านวนในการผลต x หนวยนนสมพนธกบเวลา t (หนวยเปนเดอน) ดงน x = 2t + 2 เมอ t 0 จงหาอตราการเปลยนแปลงของตนทนการผลตเทยบกบเวลาในเดอนท 4 วธท า อตราการเปลยนแปลงของตนทนการผลตเทยบกบเวลา คอ

dtdx

dxdC

dtdC

= 0.3x2 (2) = 0.6x2 = 0.6(2t+2)2

ดงนนdtdC

4t = 0.6(2(4) + 2)2 = 60

เพราะฉะนน อตราการเปลยนแปลงของตนทนเทยบกบเวลาในเดอนท 4 มคาเทากบ 60 ลานบาทตอเดอน ตวอยางท 4.3.6รายได P(x) (หนวยเปนพนบาท) ในการขายสนคา x หนวยถกก าหนดโดยสมการ P(x) = -4x2 + 80xเมอ 20x0 ถาจ านวนสนคาทขายไดนนเพมขนตามเวลา t (หนวยเปนเดอน) ดงน x = 3t + 2 จงหาอตราการเปลยนแปลงของรายไดเทยบกบเวลาt เมอ t =2 วธท า อตราการเปลยนแปลงของรายไดเทยบกบเวลา คอ ………........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

84

ตวอยางท 4.3.7ตนทนในการผลตสนคา x หนวยมสมการเปน C(x) = x3 + 8เมอ x 0 โดยจ านวนในการผลตขนอยกบระยะเวลา(เดอน) โดยท x = 5t + 6เมอ t 0

1. จงหาอตราการเปลยนแปลงของราคาสนคาเทยบกบเวลา 2. จงหาอตราการเปลยนแปลงของราคาสนคาเทยบกบเวลาเมอ t = 6

วธท า .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

แบบฝกหด 4.3.2

1. จงใชกฎลกโซหา dxdy

ของฟงกชนตอไปน

1.1 y = u6 , u = 5 x-2 1.2 y = u3 + 3u2 + 6u + 1 , u = 1 + x2

1.3 y = u2 + 2u+ 1 , u = x1x1

1.4 y = 1u1u

, u = 2 x2

2. ราคาขายสนคาตอหนวย (P) ของสนคาชนดหนงขนอยกบจ านวนสนคา (x) และจ านวนความตองการสนคาขนอยกบเวลา (t) ดงน P = 300 + 50x และ x = 400 + 0.5t3

2.1 จงหาอตราการเปลยนแปลงของราคาสนคาเทยบกบเวลา 2.2 จงหาอตราการเปลยนแปลงของราคาสนคาเทยบกบเวลาเมอ t = 6

85

บรรณานกรม นกล แกวเนยม. (2546). ตรรกศาสตรเชงคณตศาสตร. กรงเทพมหานคร : โปรแกรมวชา

คณตศาสตร คณะวทยาศาสตร สถาบนราชภฏบานสมเดจเจาพระยา. มณนาถ แกวเนยม. (2548 ) คณตศาสตรส าหรบครประถมศกษา. กรงเทพมหานคร : โปรแกรม

วชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร สถาบนราชภฏบานสมเดจเจาพระยา. สรศกด ลรตนาวด. (2543). คณตตรรกศาสตรเบองตน. เชยงใหม : ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยเชยงใหม. ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยเชยงใหม. แคลคลส 1 . พทพครงท 1, 2549 กฤษณะ เนยมมณ. แคลคลสส าหรบธรกจ 1 . ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณ มหาวทยาลย. พมพครงท 2, 2543.

86

บนทกการเรยน ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียน...

Documents